高中数学概率统计2
高中数学中的概率统计计算期望与方差的技巧
高中数学中的概率统计计算期望与方差的技巧概率统计是高中数学中的重要内容，计算期望与方差是其中的关键技巧。
本文将介绍几种常见的计算期望与方差的技巧，以帮助读者更好地理解和应用这些知识。
一、离散型随机变量的期望与方差计算对于离散型随机变量X，其概率分布列为P(X=x)，而期望和方差的计算公式如下：1. 期望计算期望E(X)表示随机变量X的平均值，计算公式为：E(X) = Σ[x * P(X=x)]其中，Σ表示对所有可能取值的求和。
通过遍历所有可能取值，将取值与其对应的概率相乘，再求和，即可得到期望值。
2. 方差计算方差Var(X)表示随机变量X的离散程度，计算公式为：Var(X) = Σ[(x - E(X))^2 * P(X=x)]同样，通过遍历所有可能取值，将每个取值减去期望值，再平方，再与其对应的概率相乘，最后再求和，即可得到方差值。
这种计算方法适用于离散型随机变量的期望和方差计算，例如投掷一枚骰子的结果、抽取一副扑克牌的点数等情况。
二、连续型随机变量的期望与方差计算对于连续型随机变量X，其概率密度函数为f(x)，而期望和方差的计算公式如下：1. 期望计算期望E(X)的计算公式为：E(X) = ∫(x * f(x))dx其中，∫表示对整个定义域的积分。
通过对概率密度函数乘以x后再积分，即可得到期望值。
2. 方差计算方差Var(X)的计算公式为：Var(X) = ∫[(x - E(X))^2 * f(x)]dx同样，通过对概率密度函数乘以(x - E(X))的平方后再积分，即可得到方差值。
这种计算方法适用于连续型随机变量的期望和方差计算，例如正态分布、指数分布等情况。
三、应用技巧下面将介绍一些计算期望与方差时的常用技巧：1. 期望的线性性质如果X和Y是两个随机变量，a和b为常数，则有：E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)这是期望的线性性质，利用这个性质可以简化复杂随机变量的期望计算。
人教B版高中数学必修二课件 《概率》统计与概率PPT(古典概型)
解:样本空间为{(红,白),(红,黄),(白,红),(白,黄),(黄,红),(黄,白)},第 一次摸出红球,第二次摸出白球,只包含(红,白)一个基本事件,所以 所求概率是.
探究一
探究二
探究三
思维辨析 当堂检测
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
思维辨析 当堂检测
古典概型的概率计算
例2将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次观察朝上的面
的点数.
(1)一共有多少种不同的结果?
(2)点数之和为5的结果有多少种?
(3)点数之和为5的概率是多少?
解:(1)将一枚质地均匀的正方体骰子抛掷一次,朝上的面的点数
有1,2,3,4,5,6,共6种结果,故先后将这枚骰子抛掷两次,一共有
所选两个国家都是亚洲国家包含的基本事件有
(A1,A2),(A1,A3),(A2,A3),共3个. 故所求事件的概率
(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个,所有的基本事件有
(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A3,B1),(A3,B2),(A3,B3), 共9个,包含A1但不包括B1的基本事件有(A1,B2),(A1,B3),共2个.
3.做一做:下列对古典概型的说法,正确的是( )
①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;②每个事件出现
的可能性相等;③每个基本事件出现的可能性相等;④求从含有3件
次品7件正品的10件产品中任取一件为正品的概率为古典概型问题.
A.②④
B.①③④ C.仅①④ D.仅③④
答案:B
高中数学概率与统计(二项式定理)
二项式定理一、二项式定理 ()0111*().nn n r n r r n nn n n n a b C a C a b C a b C b n N --+=+++++∈1.右边的多项式叫做()na b +的二项展开式2.各项的系数rn C 叫做二项式系数3.式中的r n r r n C a b -叫做二项展开式的通项，它是二项展开式的第1r +项，即1(0,1,2,,).r n r r r n T C a b r n -+==4.二项展开式特点：共1r +项；按字母a 的降幂排列，次数从n 到0递减；二项式系数r n C 中r 从0到n 递增，与b 的次数相同；每项的次数都是.n二．二项式系数的性质性质1 ()na b +的二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即m n m n n C C -= 性质2 二项式系数表中，除两端以外其余位置的数都等于它肩上两个数之和，即11m m m n n n C C C -++= 性质3 ()n a b +的二项展开式中，所有二项式系数的和等于2n，即012.nn n n n C C C +++=（令1a b ==即得，或用集合的子集个数的两种计算方法结果相等来解释） 性质4 ()na b +的二项展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即022132112.rr n n n n n n n C C C C C C +-++++=++++=（令1,1a b ==-即得）性质5 ()na b +的二项展开式中，当n 为偶数时，中间一项的二项式系数2n nC 取得最大值；当n 为奇数时，中间两项的二项式系数12,n n C-12n nC+相等，且同时取得最大值.（即中间项的二项式系数最大）【题型精讲】题型一、展开式中的特殊项1．21()nx x-的展开式中，常数项为15，则n =A ．3B ．4C ．5D ．6 2.在()()1nx n N *+∈的二项展开式中，若只有5x的系数最大，则n =A ．8 B. 9 C. 10 D.113．如果2323nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为（ ）Ａ．3 Ｂ．5 Ｃ．6 Ｄ．10题型二、展开式的系数和1.已知()()()()100210001210012111.x a a x a x a x +=+-+-++-求：（1）0a ；（2）012100a a a a ++++（3）13599a a a a ++++；2.（江西理4）已知33nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n 等于（ ） Ａ．4Ｂ．5Ｃ．6 Ｄ．73.（江西文5）设2921101211(1)(21)(2)(2)(2)x x a a x a x a x ++=+++++++，则01211a a a a ++++的值为（ ）Ａ．2-Ｂ．1-Ｃ．1Ｄ．24.(安徽文12)已知45235012345(1)x a a x a x a x a x a x -=+++++, ())(531420a a a a a a ++++ 的值等于 .题型三、一项展开:拆成两项1.233除以9的余数是（ ）A ．1B ．2C ．4D ．8题型四、多项展开：1.（|x |＋||1x －2）3展开式中的常数项是（ ） A ．12 B ．－12 C ．20 D ．－202.求()()()2111nx x x ++++++ 展开式中3x 项的系数.。
高中数学必修二统计概率知识点总结
必修第二册第九章 统计知识点总结知识点一：简单随机抽样1. 全面调查和抽样调查2.简单随机抽样的概念放回简单随机抽样不放回简单随机抽样一般地,设一个总体含有N(N 为正整数)个个体,从中逐个抽取n (1≤n<N)个个体作为样本如果抽取是放回的,且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等,我们把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样如果抽取是不放回的,且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等,我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样.通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本3.抽签法先把总体中的个体编号,然后把所有编号写在外观、质地等无差别的小纸片(也可以是卡片、小球等)上作为号签,并将这些小纸片放在一个不透明的盒里,充分搅拌.最后从盒中不放回地逐个抽取号签,使与号签上的编号对应的个体进入样本,直到抽足样本所需要的个体数.调查方式全面调查(普查)抽样调查定义对每一个调查对象都进行调查的方法,称为全面调查,又称普查根据一定目的,从总体中抽取一部分个体进行调查,并以此为依据对总体的情况作出估计和推断的调查方法,称为 抽样调查相关概念总体:在一个调查中,我们把调查对象的全体称为总体.个体:组成总体的每一个调查对象称为个体样本:把从总体中抽取的那部分个体 称为样本.样本量:样本中包含的个体数称为 样本量4.随机数法(1)定义:先把总体中的个体编号,用随机数工具产生已编号范围内的整数随机数,把产生的随机数作为抽中的编号,使与编号对应的个体进入样本,重复上述过程,直到抽足样本所需要的个体数.(2)产生随机数的方法:(i)用随机试验生成随机数;(ii)用信息技术生成随机数.5.总体均值和样本均值(1)总体均值:一般地,总体中有N个个体,它们的变量值分别为Y1,Y2,…,Y N,则称Y=Y1+Y2+⋯+Y NN =1N∑i=1NY i为总体均值,又称总体平均数.(2)总体均值加权平均数的形式:如果总体的N个变量值中,不同的值共有k(k≤N)个,不妨记为Y1,Y2,…,Y k,其中Y i出现的频数f i(i=1,2,…,k),则总体均值还可以写成加权平均数的形式Y=1N ∑i=1kf i Y i.(3)如果从总体中抽取一个容量为n的样本,它们的变量值分别为y1,y2,…,y n,则称y=y1+y2+⋯+y nn =1n∑i=1ny i为样本均值,又称样本平均数.6.分层随机抽样的相关概念(1)分层随机抽样的定义:一般地,按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体,每个个体属于且仅属于一个子总体,在每个子总体中独立地进行简单随机抽样,再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本,这样的抽样方法称为分层随机抽样,每一个子总体称为层.(2)比例分配:在分层随机抽样中,如果每层样本量都与层的大小成比例,那么称这种样本量的分配方式为比例分配.(3)进行分层随机抽样的相关计算时,常用到的关系①样本容量n总体容量N =该层抽取的个体数该层的个体数;②总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比;③样本的平均数和各层的样本平均数的关系:w=mm+n x+nm+ny=MM+Nx+NM+Ny.1.画频率分布直方图的步骤(1)求极差:极差为一组数据中最大值与最小值的差;(2)决定组距与组数:当样本容量不超过100时,常分成5-12组,为方便起见,一般取等长组距,并且组距应力求“取整”;(3)将数据分组;(4)列频率分布表:一般分四列:分组、频数累计、频数、频率.其中频数合计应是样本容量,频率合计是⑥1;.(5)画频率分布直方图:横轴表示分组,纵轴表示频率组距=频率,各小长方形的面积的总和等于1.小长方形的面积=组距×频率组距2.其他统计图表统计图表主要应用扇形图直观描述各部分数据在全部数据中所占的比例条形图和直方图直观描述不同类别或分组数据的频数和频率反映统计对象在不同时间(或其他合适情形)的发展折线图变化情况1.第p百分位数:一般地,一组数据的第p百分位数是这样一个值,它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值,且至少有(100-p)%的数据大于或等于这个值.2.计算一组n个数据的第p百分位数的步骤第1步,按从小到大排列原始数据.第2步,计算i=n×p%.第3步,若i不是整数,而大于i的比邻整数为j,则第p百分位数为第j项数据;若i是整数,则第p百分位数为第i项与第(i+1)项数据的平均数.3.四分位数:第25百分位数,第50百分位数,第75百分位数,这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份,因此称为四分位数.知识点四：总体集中趋势的估计1.众数、中位数和平均数的定义(1)众数:一组数据中出现次数最多的数.(2)中位数:一组数据按大小顺序排列后,处于中间位置的数.如果这组数据是偶数个,则取中间两个数据的平均数.(3)平均数:一组数据的和除以数据个数所得到的数.2.众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系(1)平均数:在频率分布直方图中,样本平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和近似代替.(2)中位数:在频率分布直方图中,中位数左边和右边的直方图的面积应该相等.(3)众数:众数是最高小矩形底边的中点所对应的数据.2.众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系众数众数是最高小长方形底边的中点所对应的数据,表示样本数据的中心值中位数①在频率分布直方图中,中位数左边和右边的直方图面积相等,由此可以估计中位数的值,但是有偏差;②表示样本数据所占频率的等分线平均数①平均数等于每个小长方形的面积乘小长方形底边中点的横坐标之和;②平均数是频率分布直方图的重心,是频率分布直方图的平衡点1.一组数据x1,x2,…,x n的方差和标准差数据x1,x2,…,x n的方差为1n ∑i=1n(x i-x)2=1n∑i=1nx i2-x2,标准差为√1n∑i=1n(x i-x)2.2.总体方差和总体标准差(1)总体方差和标准差:如果总体中所有个体的变量值分别为Y1,Y2,…,Y N,总体的平均数为Y,则称S2= 1N ∑i=1N(Y i-Y)2为总体方差,S=√S2为总体标准差.(2)总体方差的加权形式:如果总体的N个变量值中,不同的值共有k(k≤N)个,不妨记为Y1,Y2,…,Y k,其中Y i出现的频数为f i(i=1,2,…,k),则总体方差为S2= 1N ∑i=1kf i(Y i-Y)2.3.样本方差和样本标准差如果一个样本中个体的变量值分别为y1,y2,…,y n,样本平均数为y,则称s2= 1n ∑i=1n(y i-y)2为样本方差,s=√s2为样本标准差.4.标准差的意义标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度,标准差越大,数据的离散程度越大;标准差越小,数据的离散程度越小.5.分层随机抽样的方差设样本容量为n,平均数为x,其中两层的个体数量分别为n1,n2,两层的平均数分别为x1,x2,方差分别为s12,s22,则这个样本的方差为s2=n1n [s12+(x1-x)2]+n2n[s22+(x2-x)2].必修第二册第十章概率知识点总结知识点一：有限样本空间与随机事件1.随机试验的概念和特点(1)随机试验:我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验,简称试验,常用字母E表示.(2)随机试验的特点:(i)试验可以在相同条件下重复进行;(ii)试验的所有可能结果是明确可知的,并且不止一个;(iii)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个,但事先不能确定出现哪一个结果.2.样本点和样本空间定义字母表示样本点我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点用ω表示样本点样本空间全体样本点的集合称为试验E的样本空间用Ω表示样本空间有限样本空间如果一个随机试验有n个可能结果ω1,ω2,…,ωn,则称样本空间Ω={ω1,ω2,…,ωn}为有限样本空间Ω={ω1,ω2,…,ωn}3.事件的类型我们将样本空间Ω的子集称为随机事件,简称事件,并把只包含一个样本点的事件称为基本事件.随机事件一般用大写字母A,B,C,…表示.在每次试验中,当且仅当A中某个样本点出现时,称为事件A发生.Ω作为自身的子集,包含了所有的样本点,在每次试验中总有一个样本点发生,所以Ω总会发生,我们称Ω为必然事件.而空集⌀不包含任何样本点,在每次试验中都不会发生,我们称⌀为不可能事件.必然事件与不可能事件不具有随机性.为了方便统一处理,将必然事件和不可能事件作为随机事件的两个极端情形.这样,每个事件都是样本空间Ω的一个子集.知识点二：事件的关系和运算1.包含关系定义一般地,若事件A 发生,则事件B 一定发生,我们就称事件B 包含事件A(或事件A 包含于事件B)含义 A 发生导致B 发生 符号表示B ⊇A(或A ⊆B)图形表示特殊情形如果事件B 包含事件A,事件A 也包含事件B,即B ⊇A 且A ⊇B,则称事件A 与事件B 相等,记作A=B2.并事件(和事件)定义一般地,事件A 与事件B 至少有一个发生,这样的一个事件中的样本点或者在事件A 中,或者在事件B 中,我们称这个事件为事件A 与事件B 的并事件(或 和事件)含义 A 与B 至少有一个发生符号表示A ∪B(或A+B)图形表示3.交事件(积事件)定义一般地,事件A 与事件B 同时发生,这样的一个事件中的样本点既在事件A中,也在事件B 中,我们称这样的一个事件为事件A 与事件B 的交事件(或积 事件)含义 A 与B 同时发生 符号表示A ∩B(或AB)图形表示4.互斥(互不相容)一般地,如果事件A与事件B不能同时发生,也就是说A∩B是一个不可能定义事件,即A∩B=⌀,则称事件A与事件B互斥(或互不相容)含义A与B不能同时发生符号表示A∩B=⌀图形表示5.互为对立一般地,如果事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生,即A∪B=定义Ω,且A∩B=⌀,那么称事件A与事件B互为对立.事件A的对立事件记为A 含义A与B有且仅有一个发生符号表示A∩B=⌀,且A∪B=Ω图形表示6.清楚随机事件的运算与集合运算的对应关系有助于解决此类问题.符号事件的运算集合的运算A 随机事件集合A A的对立事件A的补集AB 事件A与B的交事件集合A与B的交集A∪B 事件A与B的并事件集合A与B的并集知识点三：古典概型1.古典概型的定义试验具有如下共同特征:(1)有限性:样本空间的样本点只有有限个;(2)等可能性:每个样本点发生的可能性相等.我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验,其数学模型称为古典概率模型,简称古典概型.2.古典概型的概率计算公式一般地,设试验E是古典概型,样本空间Ω包含n个样本点,事件A包含其中的k个样本点,则定义事件A的概率P(A)= kn =n(A)n(Ω),其中n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数.知识点四：概率的基本性质1.概率的基本性质性质1 对任意的事件A,都有P(A)≥0.性质2 必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即P(Ω)=1,P(⌀)=0.性质3 如果事件A与事件B互斥,那么P(A∪B)=P(A)+P(B).性质4 如果事件A与事件B互为对立事件,那么P(B)=1-P(A),P(A)=1-P(B).性质5 如果A⊆B,那么P(A)≤P(B).性质6 设A,B是一个随机试验中的两个事件,我们有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B).知识点五：事件的相互独立性1.相互独立事件的定义：对任意两个事件A与B,如果P(AB)=P(A)P(B)成立,则称事件A 与事件B相互独立,简称为独立.2.相互独立事件的性质：当事件A,B相互独立时,则事件A与事件B相互独立,事件A与事件B相互独立,事件A与事件B相互独立.【提示】公式P(AB)=P(A)P(B)可以推广到一般情形:如果事件A1,A2,…,A n相互独立,那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积,即P(A1A2·…·A n)=P(A1)P(A2)·…·P(A n).3. 两个事件是否相互独立的判断方法(1)直接法:由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响.(2)公式法:若P(AB)=P(A)P(B),则事件A,B为相互独立事件.4.求相互独立事件同时发生的概率的步骤:①首先确定各事件之间是相互独立的.②求出每个事件的概率,再求积.5.事件间的独立性关系已知两个事件A,B相互独立,它们的概率分别为P(A),P(B),则有事件表示概率A,B同时发生AB P(A)P(B)A,B都不发生A B P(A)P(B)A,B恰有一个发生(A B)∪(A B) P(A)P(B)+P(A)P(B)A,B中至少有一个发生(A B)∪(A B)∪(AB) P(A)P(B)+P(A)P(B)+P(A)P(B)A,B中至多有一个发生(A B)∪(A B)∪(A B) P(A)P(B)+P(A)P(B)+P(A)P(B)。
高中数学中的概率与统计公式整理
高中数学中的概率与统计公式整理概率与统计是高中数学中的重要内容，它们在我们日常生活中的应用非常广泛。
在学习概率与统计时，整理公式是非常重要的，它可以帮助我们更好地理解和应用这些知识。
本文将整理一些高中数学中常用的概率与统计公式，帮助大家更好地掌握这一知识点。
一、概率公式1. 事件的概率公式：对于一个事件A，它的概率可以用如下公式表示：P(A) = 事件A发生的次数 / 总的可能次数2. 互斥事件的概率公式：如果两个事件A和B是互斥事件（即两个事件不能同时发生），则它们的概率可以用如下公式表示：P(A或B) = P(A) + P(B)3. 相互独立事件的概率公式：如果两个事件A和B是相互独立事件（即一个事件的发生不受另一个事件的影响），则它们的概率可以用如下公式表示：P(A且B) = P(A) × P(B)4. 条件概率公式：如果事件B已经发生，事件A的概率可以用如下公式表示：P(A|B) = P(A且B) / P(B)5. 贝叶斯公式：如果事件A和事件B是两个相关事件，且P(B) ≠ 0，则事件B发生的条件下事件A发生的概率可以用如下公式表示：P(A|B) = P(B|A) × P(A) / P(B)二、统计公式1. 样本均值的计算公式：对于一组样本数据x1, x2, ..., xn，它们的均值可以用如下公式表示：x = (x1 + x2 + ... + xn) / n2. 总体均值的计算公式：对于一组总体数据x1, x2, ..., xn，它们的均值可以用如下公式表示：μ = (x1 + x2 + ... + xn) / N3. 样本方差的计算公式：对于一组样本数据x1, x2, ..., xn，它们的方差可以用如下公式表示：s^2 = [(x1 - x)^2 + (x2 - x)^2 + ... + (xn - x)^2] / (n - 1)4. 总体方差的计算公式：对于一组总体数据x1, x2, ..., xn，它们的方差可以用如下公式表示：σ^2 = [(x1 - μ)^2 + (x2 - μ)^2 + ... + (xn - μ)^2] / N5. 样本标准差的计算公式：对于一组样本数据x1, x2, ..., xn，它们的标准差可以用如下公式表示：s = √[s^2]6. 总体标准差的计算公式：对于一组总体数据x1, x2, ..., xn，它们的标准差可以用如下公式表示：σ = √[σ^2]7. 正态分布的概率计算公式：对于一个服从正态分布的随机变量X，它的概率密度函数可以用如下公式表示：f(x) = (1 / (σ√(2π))) × e^(-((x - μ)^2) / (2σ^2))以上是高中数学中常用的概率与统计公式的整理。
高中数学中的概率统计应用概率分布计算期望与方差的技巧
高中数学中的概率统计应用概率分布计算期望与方差的技巧概率统计是高中数学的重要内容之一，其应用广泛且重要。
在概率统计中，我们经常遇到需要计算随机变量的期望和方差的问题。
概率分布是解决这些问题的关键工具之一。
在本文中，我们将介绍一些高中数学中常见的概率分布，以及计算期望和方差的技巧。
1. 离散概率分布离散概率分布指的是随机变量只能取有限个或可列个值的概率分布。
其中，最常见的离散概率分布有二项分布、泊松分布和几何分布。
1.1 二项分布二项分布在实际问题中经常出现，特别是在重复试验的情况下。
假设有n个独立的重复试验，每次试验有成功和失败两种可能结果。
如果成功的概率为p，失败的概率为q=1-p，则随机变量X表示n次试验中成功的次数。
二项分布的概率密度函数为：P(X=k) = C(n,k) * p^k * q^(n-k)其中，C(n,k)表示组合数。
二项分布的期望和方差的计算公式如下：E(X) = npVar(X) = npq1.2 泊松分布泊松分布适用于描述单位时间或空间内随机事件发生的次数。
例如，某地区每小时的交通事故数、每天接到的电话数等。
泊松分布的概率密度函数为：P(X=k) = (λ^k * e^(-λ)) / k!其中，λ代表单位时间或单位空间内平均发生的次数。
泊松分布的期望和方差的计算公式如下：E(X) = Var(X) = λ1.3 几何分布几何分布用于描述一系列独立重复试验中，首次成功所需的试验次数。
例如，投掷一枚硬币直到首次出现正面的次数等。
几何分布的概率密度函数为：P(X=k) = q^(k-1) * p其中，p表示成功的概率，q=1-p表示失败的概率。
几何分布的期望和方差的计算公式如下：E(X) = 1/pVar(X) = q/(p^2)2. 连续概率分布连续概率分布指的是随机变量可以取某个区间内的任意值的概率分布。
最常见的连续概率分布有均匀分布、正态分布和指数分布。
2.1 均匀分布在均匀分布中，随机变量在某一区间内的取值是等可能的。
高中二年级数学概率与统计初步
高中二年级数学概率与统计初步概率与统计是高中数学中的一门重要课程，它涵盖了概率和统计两个方面。
概率是用来描述事件发生的可能性，而统计则是通过对数据进行收集、分析和解释，来给出结论。
本文将从概率和统计两个角度来介绍高中二年级数学中的初步内容。
一、概率1.1 概率的基本概念概率是描述随机事件发生可能性的数值。
在实际生活中，我们经常会遇到概率的问题，比如投掷一枚硬币正面朝上的概率是多少，抽一张扑克牌时抽到黑桃的概率是多少等等。
1.2 事件与样本空间在概率问题中，事件是指某个具体结果的集合，样本空间是指所有可能结果的集合。
例如，投掷一枚硬币，事件可以是正面朝上，样本空间可以是{正面，反面}。
1.3 概率的计算方法在概率的计算中，有两种主要的方法：频率法和古典概型法。
频率法是通过做大量的实验来计算概率，古典概型法是通过确定每个结果出现的可能性来计算概率。
二、统计2.1 数据的收集与整理统计的第一步是收集数据，并对数据进行整理和分类。
我们可以使用表格、图表等形式来展示数据，以便更好地进行分析。
2.2 数据的描述性统计描述性统计是用来对收集到的数据进行概括和描述的方法。
常用的描述性统计方法包括平均数、中位数、众数、标准差等。
2.3 样本与总体在统计学中，我们通常会采集一部分数据作为样本，用来对整个总体进行推断。
样本的选择要具有代表性，以确保结果的可靠性。
2.4 统计推断统计推断是通过对样本数据进行分析，来推断总体的特征和性质。
常用的统计推断方法包括假设检验、置信区间等。
结论概率与统计是高中数学中的一门重要课程，它们在实际生活和各个领域中都有广泛的应用。
通过学习概率与统计，学生可以培养逻辑思维能力，提高数据分析和决策能力，为将来的学习和工作打下坚实的基础。
希望本文对读者对高中二年级数学概率与统计初步有所帮助。
高中数学高二概率统计教案
高中数学高二概率统计教案课时安排：共计10课时第一课时：概率基础概念1. 学习概率的定义和性质2. 计算概率的方法：古典概率、几何概率、条件概率3. 练习概率计算题目第二课时：随机变量及分布1. 学习随机变量的概念和性质2. 离散型随机变量的概率分布3. 连续型随机变量的概率密度函数4. 练习相关题目第三课时：离散型随机变量的期望和方差1. 学习离散型随机变量的期望和方差的定义2. 计算离散型随机变量的期望和方差3. 应用题目练习第四课时：连续型随机变量的期望和方差1. 学习连续型随机变量的期望和方差的定义2. 计算连续型随机变量的期望和方差3. 应用题目练习第五课时：统计推断的基本概念1. 学习统计推断的基本概念和原理2. 掌握抽样调查的方法3. 概率抽样和非概率抽样的区别4. 举例说明统计推断的应用第六课时：样本分布及抽样分布1. 学习样本分布和抽样分布的概念2. 掌握常见的抽样分布：t分布、F分布、卡方分布等3. 练习相关题目第七课时：参数估计1. 学习参数估计的概念和原理2. 掌握点估计和区间估计的方法3. 了解最大似然估计和贝叶斯估计4. 应用题目练习第八课时：假设检验1. 学习假设检验的基本概念和原理2. 掌握假设检验的步骤和方法3. 了解常见的假设检验方法：t检验、F检验、χ²检验等4. 应用题目练习第九课时：方差分析1. 学习方差分析的概念和原理2. 掌握单因素方差分析和多因素方差分析的方法3. 了解方差分析的应用领域和意义4. 练习相关题目第十课时：复习与总结1. 复习前面所学知识2. 整理重点难点的习题3. 课堂互动答疑，巩固知识点4. 总结本次概率统计学习的内容和重点教学方法：讲授、案例分析、小组讨论、练习题，结合实际生活应用参考教材：高中数学选修教材、概率统计教辅资料板书内容：概率基础、随机变量及分布、参数估计、假设检验、方差分析等关键概念和公式课后作业：完成相关练习题和课后作业，加深对概率统计知识的理解和掌握。
高中数学统计学 PPT课件 图文
• 对于负的 x ，可由 (-x)1 x得到
• 对于标准正态分布，即X~N(0,1)，有
• P (a X b) b a • P (|X| a) 2 a 1
• 对于一般正态分布，即X~N( , )，有
• 方差为 D ( X ) ＝ npq
【例】某农庄饲养100只家禽,其中有5只鹅，现 从中任取一只，有放回地抽样3次。求在所抽取 的3只家禽中恰好有2只鹅的概率
解：设 X 为所抽取的3只家禽中鹅的数目，则 X~B ( 3 , 0.05)，根据二项分布公式有
P X 2 C 3 2 (0 .0)2 5 (0 .9)3 5 2 0 .0071
x!
— 给定的时间间隔、长度、面积、 体积内事件出现的平均数
e = 2.71828 x —给定的时间间隔、长度、面积、体
积内事件出现的次数
泊松概率分布的期望和方差
• 泊松分布的数学期望为 E(X)=
• 方差为 D(X)=
泊松分布
——实例3.2.6
【例】假定某人饲养了一群鸡，母鸡在周一产蛋的 个数X服从泊松分布，假设周一产蛋的平均数为2.5 个。试求
• f(x)不是概率
请多加注意啊！
概率密度函数
密度函数 f(x)表示X 的所有取值 x 及其频数f(x)
频数
f(x)
(值, 频数)
x
a
b
值
概率密度函数
在平面直角坐标系中画出f(x)的图形，则对于任何实数
x1 < x2，P(x1< X x2)是该曲线下从x1 到 x2的面积
概率是曲线下的面积， 哈哈！
方差为：D(X) 6 xi E(X)2pi i1
高中数学概率与统计
高中数学概率与统计在高中数学的学习中，概率与统计是一个非常重要的内容。
概率与统计涉及到我们日常生活中各种概率事件的计算与分析，以及统计数据的收集与解读。
本文将介绍概率与统计的基本概念、常用方法和一些实际应用。
一、概率的基本概念概率是用来度量一个事件发生的可能性的数值。
在概率计算中，我们常使用事件的概率来描述事件发生与不发生的可能性大小。
概率的计算可以通过频率方法或几何方法进行。
1.1 频率方法频率方法是通过实验来估计一个事件发生的概率。
我们可以进行大量的实验，记录事件发生的次数，然后用事件发生次数除以总实验次数，得到事件发生的频率。
经过大量实验，频率会逐渐接近真实概率值。
1.2 几何方法几何方法是通过对事件发生的空间进行几何概念的分析来计算概率。
例如，对于一个均匀的正方形，事件发生的区域的面积与正方形的面积之比就是事件发生的概率。
二、统计的基本概念统计是用来对数据进行收集、整理、分析和解读的方法。
通过统计，我们可以对一组数据的特征和规律进行描述和推断。
2.1 数据的收集数据的收集是统计的第一步。
我们可以通过调查、观察、实验等方式来收集数据。
收集到的数据可以是数值型数据或类别型数据。
2.2 数据的整理与分析收集到数据后，需要对数据进行整理和分析。
可以使用表格、图表、统计量等方式来呈现和分析数据。
常用的数据整理方法包括频数表、频率表、直方图、饼图等。
2.3 数据的解读与推断在数据分析的过程中，我们可以通过对数据的解读和推断来得出结论。
可以计算数据的平均值、中位数、众数、方差、标准差等统计量，从而对数据的特征和规律进行解读和推断。
三、常用的概率与统计方法在概率与统计的学习中，我们会接触到一些常用的方法。
3.1 排列与组合排列与组合是概率计算中常用的方法。
排列是指从若干个元素中选取若干个进行排序，组合是指从若干个元素中选取若干个不进行排序。
通过排列和组合的计算，可以得到事件发生的可能性的数量。
3.2 离散型随机变量离散型随机变量是指在一定范围内，可能取值有限且可数的随机变量。
高中数学概率统计
高中数学概率统计
概率统计是数学中的一个重要分支，它研究随机现象和事件发
生的可能性。
在高中阶段，学生需要通过研究概率统计来理解和应
用概率的基本概念和计算方法。
概率是指某个事件发生的可能性大小。
在数学中，概率可以通
过计算来得出。
常见的计算方法包括频率概率和几何概率。
学生需
要学会根据给定的条件计算概率，包括单个事件和多个事件的概率
计算。
在概率统计中，还有一些重要的概念需要学生掌握。
例如，样
本空间是指随机事件所有可能结果的集合；事件是样本空间的子集，表示满足特定条件的结果集合；试验是指对随机现象进行观察和记
录的过程。
高中数学概率统计还涉及到一些常见的概率分布，如二项分布、均匀分布和正态分布。
学生需要理解这些分布的特点和应用场景，
以及如何计算和图示化概率分布。
通过研究高中数学概率统计，学生可以提高他们的数据分析和问题解决能力。
他们能够在实际生活中应用概率统计的知识，例如在投资、保险和赌博等方面做出理性的决策。
总之，高中数学概率统计是一门重要的数学课程，它帮助学生理解和应用概率的基本概念和计算方法，提高他们的数学思维和问题解决能力。
高中数学必修二概率统计专题训练(经典必练题型)
高中数学必修二概率统计专题训练(经典必练题型)介绍本文档是针对高中数学必修二中的概率统计专题进行的训练，旨在帮助学生巩固和提高概率统计方面的知识和技能。
文档包含一系列经典必练题型，涵盖了该专题的重要内容。
题型一：排列组合1. 有5个不同的苹果和3个不同的橘子，从中任选3个水果，求共有几种选法。
2. 由字母A、B、C、D、E无重复组成的3位数共有多少种？题型二：事件与概率1. 一枚骰子被掷两次，求两次得到的点数之和为7的概率。
2. 从1至10的十个自然数中随机选择两个数，求两数之和为偶数的概率。
题型三：独立事件与复合事件1. 甲、乙、丙三个人独立地作一件事情成功的概率分别是1/2、1/3、1/4，求三人都成功的概率。
2. 一批零件共有100个，其中有5个次品。
从中连续取3个，求取出3个次品的概率。
题型四：条件概率1. 甲、乙两组各选一位同学参加足球比赛，甲组和乙组每组有5名同学，甲组中有两名女生和三名男生，乙组中有4名女生和一名男生。
从两组中各选出一位同学参加比赛，已知参赛者是女生，求该同学来自甲组的概率。
2. 甲、乙两个班级的数学成绩分别如下表所示，学生随机抽取一位，已知该学生是不及格的，求该学生来自乙班的概率。
题型五：概率分布1. 投掷一枚均匀硬币，正面向上为事件A，反面向上为事件B。
设事件A和事件B的概率分别为0.4和0.6，记为P(A)=0.4，P(B)=0.6。
求该硬币投掷一次出现事件A的概率。
2. 掷一个骰子，其点数的概率分布为：P(X=1)=1/6，P(X=2)=1/6，P(X=3)=1/6，P(X=4)=1/6，P(X=5)=1/6，P(X=6)=1/6。
求投掷一次出现点数为奇数的概率。
以上为高中数学必修二概率统计专题训练的经典必练题型，希望能够帮助学生加深对该专题的理解和应用。
高一必修二数学统计与概率
高一必修二数学统计与概率摘要：一、统计与概率的基本概念1.统计学的定义与作用2.概率论的定义与作用3.统计与概率的关系二、数据的收集与整理1.数据的来源与分类2.数据的收集方法3.数据的整理与展示三、描述性统计分析1.频数与频率分布2.图表法3.统计量度四、概率的基本概念与运算1.随机事件与样本空间2.概率的公理化定义3.概率的运算五、条件概率与独立性1.条件概率2.独立性3.贝叶斯公式六、随机变量及其分布1.随机变量的定义与性质2.离散型随机变量3.连续型随机变量七、数学期望与方差1.数学期望2.方差与标准差3.协方差与相关系数正文：在我国高中数学课程中，必修二数学统计与概率是高一阶段的重要内容。
本章主要介绍统计与概率的基本概念、数据的收集与整理、描述性统计分析、概率的基本概念与运算、条件概率与独立性、随机变量及其分布以及数学期望与方差等方面的知识。
首先，统计学是一门研究如何收集、整理、分析、解释以及展示数据的方法论，它具有广泛的应用，如在科学研究、企业管理、政府决策等方面都发挥着重要作用。
概率论则是一门研究随机现象的理论，通过研究随机现象发生的可能性，可以对未来事件进行预测。
统计与概率之间存在密切的联系，统计学中的许多方法都基于概率论的理论。
数据的收集与整理是统计分析的基础。
数据来源于各种渠道，包括实验数据、观测数据和调查数据等。
数据的整理主要包括数据的分类、排序、汇总等操作，而数据的展示则有图表法、描述性统计量度等方法。
描述性统计分析是统计学的一个重要分支，主要通过频数与频率分布、图表法以及统计量度等方法来概括和描述数据的基本特征。
在概率论部分，我们学习随机事件与样本空间、概率的公理化定义以及概率的运算等基本概念。
条件概率与独立性是概率论中的重要内容，通过学习这部分知识，我们可以更好地处理复杂事件之间的概率关系。
此外，贝叶斯公式是一种在概率论中广泛应用的计算工具，它可以帮助我们根据已知信息来更新对未知事件的概率估计。
高中数学必修二统计概率题型归纳
高中数学必修二统计概率题型归纳高中数学中的统计和概率部分是相当重要的，尤其是在解决实际问题时。
本文将为同学们总结一些常见题型和解题技巧，以帮助大家更好地理解和掌握这一部分的知识。
一、统计概率概述统计和概率是描述随机现象的数学工具。
统计主要关注数据的收集、整理和分析，而概率则研究事件发生的可能性大小。
在高中数学中，这两部分知识经常结合在一起，用于解决实际问题。
二、题型归纳1. 平均数、中位数、众数、方差：这些是描述数据分布的重要指标，需要正确理解和运用。
例如，根据平均数求解题，就需要掌握如何根据样本数据来计算平均数。
2. 概率估算：这是一个重要的技巧，通常用于解决某些随机事件发生的可能性。
我们可以使用试验、比例和相关条件等方法来估算概率。
3. 抽样分布：在统计学中，抽样分布是重要的概念，需要了解如何从总体中抽取样本，并如何根据样本数据来估计总体参数。
4. 排列组合问题：这是概率论中的一个重要分支，需要掌握基本的排列组合公式和技巧。
5. 概率计算：包括条件概率、独立事件等，需要运用概率论的基本原理和方法进行计算。
三、解题方法1. 列表法：对于简单的概率问题，可以通过列表法清晰地看出可能的结果。
2. 公式法：对于一些特定的概率问题，可以运用公式法进行计算。
3. 计算机软件：对于更复杂的概率问题，可以利用计算机软件进行数值计算和模拟实验。
四、注意事项1. 理解概念：统计和概率的概念需要准确理解，不能混淆或错误运用。
2. 数据分析：在解决实际问题时，要善于运用数据分析和推理的方法来解决问题。
3. 解题步骤：在解题时，要按照一定的步骤和思路来进行，避免盲目尝试。
总的来说，高中数学中的统计和概率部分需要准确理解和运用，才能更好地解决实际问题。
通过本文的归纳和总结，相信大家能够更好地掌握这一部分的知识，并在考试中取得好成绩。
高中数学第二章概率随机变量的均值和方差概率论与数理统计公式整理素材苏教版
例如：若X与Y独立，则：3X+1和5Y—2独立。
（8）二维均匀分布
设随机向量（X，Y）的分布密度函数为
其中SD为区域D的面积，则称（X，Y）服从D上的均匀分布，记为（X,Y）～U（D）。
例如图3.1、图3.2和图3.3。
y
1
D1
O1x
图3。1
y
1
O2x
第四章 随机变量的数字特征
（1）一维随机变量的数字特征
离散型
连续型
期望
期望就是平均值
设X是离散型随机变量，其分布律为P（ )＝pk，k=1，2，…，n，
（要求绝对收敛）
设X是连续型随机变量，其概率密度为f(x)，
（要求绝对收敛）
函数的期望
Y=g（X）
Y=g(X）
方差
D(X)=E[X—E(X)］2，
标准差
， 。
第二章 随机变量及其分布
（1)离散型随机变量的分布律
设离散型随机变量 的可能取值为Xk（k=1,2，…）且取各个值的概率，即事件(X=Xk）的概率为
P(X=xk)=pk，k=1，2,…,
则称上式为离散型随机变量 的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给出：
。
显然分布律应满足下列条件:
（1） ， ， （2) 。
均匀分布
设随机变量 的值只落在［a，b］内，其密度函数 在［a，b］上为常数 ，即
a≤x≤b
其他，
则称随机变量 在[a，b]上服从均匀分布，记为X~U(a，b)。
分布函数为
a≤x≤b
0,x〈a，
1,x>b。
当a≤x1〈x2≤b时，X落在区间( )内的概率为
高中数学概率统计
高中数学概率统计高中数学的概率统计是数学中的一个重要分支，它主要研究事件发生的可能性以及事件之间的关联性。
以下是一些常见的概率统计概念和方法：1. 概率：概率是指某个事件发生的可能性。
它的取值范围在0到1之间，其中0表示不可能发生，1表示一定会发生。
2. 随机事件：随机事件是在一次试验中可能发生的结果。
例如，掷硬币的结果（正面或反面）或掷骰子的点数（1到6）都是随机事件。
3. 样本空间：样本空间是指一个试验中所有可能结果的集合。
例如，掷硬币的样本空间是{正面，反面}，掷骰子的样本空间是{1, 2, 3, 4, 5, 6}。
4. 事件：事件是样本空间的一个子集，表示我们感兴趣的结果。
例如，掷硬币出现正面可以表示为事件A，掷骰子点数大于3可以表示为事件B。
5. 概率计算：概率可以通过计算事件发生的次数与试验总次数的比值来确定。
当试验次数足够多时，这个比值将趋近于事件的概率。
6. 条件概率：条件概率是指在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
它可以用P(A|B)表示，表示在事件B发生的情况下，事件A发生的概率。
7. 独立事件：独立事件是指两个事件之间没有相互影响，一个事件的发生与另一个事件的发生无关。
如果事件A和事件B是独立事件，那么P(A|B) = P(A)。
8. 期望值：期望值是对随机变量取值的平均预期。
它是根据每个取值乘以其概率，再将所有乘积相加而得到的。
9. 正态分布：正态分布是一种常见的连续型概率分布，具有钟形曲线特征。
它在实际应用中广泛用于描述各种现象的分布情况。
以上是概率统计的一些基本概念和方法，通过学习这些内容，可以更好地理解和分析概率和统计问题，并在实际问题中应用这些知识进行分析和决策。
高中数学中的概率与统计
高中数学中的概率与统计概率和统计是高中数学中非常重要的两个概念。
概率是用来描述事件发生的可能性，而统计则是通过对数据的收集、整理和分析来得出结论。
本文将从概率和统计的基本概念、应用以及解决实际问题等方面进行论述。
一、概率的基本概念概率是指事件发生的可能性。
在高中数学中，我们常用“P(A)”来表示事件A发生的概率。
概率的取值范围在0到1之间，其中0代表不可能事件，1代表必然事件。
1.1 事件的分类在概率中，事件可以分为互斥事件和非互斥事件。
互斥事件是指两个事件不能同时发生，而非互斥事件则可以同时发生。
1.2 概率的计算对于互斥事件，可以通过求和法则来计算概率。
若事件A和事件B 互斥，则P(A或B) = P(A) + P(B)。
而对于非互斥事件，可以通过减法法则来计算概率。
若事件A和事件B非互斥，则P(A或B) = P(A) + P(B) - P(A和B)。
二、统计的基本概念统计是指通过对数据的收集、整理和分析来得出结论的过程。
在高中数学中，我们主要学习的是统计中的平均数、频率分布和抽样等概念。
2.1 平均数平均数是统计中最常见的概念之一。
我们可以通过求和然后除以总个数来计算平均数。
例如，对于一组数据x1, x2, ..., xn，其平均数可以表示为：(x1 + x2 + ... + xn) / n。
2.2 频率分布频率分布是将数据按照不同数值进行分类，并统计各个类别的个数。
通过绘制频率分布表或直方图，我们可以更直观地了解数据的分布状况。
2.3 抽样抽样是统计中常用的一种方法，它通过从总体中选择一部分样本进行调查和分析。
合理的抽样方法可以保证所得到的结论具有代表性。
三、概率与统计的应用概率和统计在现实生活中有着广泛的应用，以下通过几个具体的例子来说明。
3.1 古典概率的应用古典概率是一种基于样本空间和事件发生数的概率计算方法。
例如，在一组均匀的骰子中，计算掷出的点数为偶数的概率就是一个古典概率的应用。
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某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为 、 、 ,且各轮问题能否正确回答互不影响.
（Ⅰ）求该选手被淘汰的概率;
（Ⅱ）该选手在选拔中回答问题的个数记为 ，求随机变量 的分布列与数学期望.
（注：本小题结果可用分数表示）
（Ⅰ）若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8,从中任意取出4件进行检验,求至少有1件是合格的概率；
（Ⅱ）若厂家发给商家20件产品中,其中有3件不合格,按合同规定该商家从中任取2件.都进行检验,只有2件都合格时才接收这批产品.否则拒收,求出该商家检验出不合格产品数 的分布列及期望 ,并求出该商家拒Байду номын сангаас这批产品的概率.
(Ⅰ)若n=3，求取到的4个球全是红球的概率；(Ⅱ)若取到的4个球中至少有2个红球的概率为 ，求n.
考点2离散型随机变量的分布列
1.随机变量及相关概念
①随机试验的结果可以用一个变量来表示，这样的变量叫做随机变量，常用希腊字母ξ、η等表示.
②随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.
由概率的性质可知，任一离散型随机变量的分布列都具有下述两个性质：
（1） ， 1，2，…;（2） …=1.
②常见的离散型随机变量的分布列：
（1）二项分布
次独立重复试验中，事件A发生的次数 是一个随机变量，其所有可能的取值为0，1，2，…n，并且 ，其中 ， ，随机变量 的分布列如下：
0
1
…
…
P
…
称这样随机变量 服从二项分布，记作 ，其中 、 为参数，并记： .
例4.接种某疫苗后，出现发热反应的概率为0.80.现有5人接种该疫苗，至少有3人出现发热反应的概率为__________.（精确到0.01）
例6．从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件 ：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率 ．
（1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率 ；
（Ⅰ）求事件 ：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率 ；
（Ⅱ）求 的分布列及期望 ．
例16.某班有48名学生，在一次考试中统计出平均分为70分，方差为75，后来发现有2名同学的成绩有误，甲实得80分却记为50分，乙实得70分却记为100分，更正后平均分和方差分别是
A.70，25 B.70，50 C.70，1.04D.65，25
考点4抽样方法与总体分布的估计
抽样方法
1．简单随机抽样：设一个总体的个数为N，如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，就称这样的抽样为简单随机抽样.常用抽签法和随机数表法.
2．系统抽样：当总体中的个数较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按照预先定出的规则，从每一部分抽取1个个体，得到所需要的样本，这种抽样叫做系统抽样（也称为机械抽样）.
例14．甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为ε、η，ε和η的分布列如下：
ε
0
1
2
η
0
1
2
P
P
则比较两名工人的技术水平的高低为.
例15.
某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数 的分布列为
1
2
3
4
5
0.4
0.2
0.2
0.1
0.1
商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元． 表示经销一件该商品的利润．
特例：对立事件的概率：P(A)＋P( )＝P(A＋ )＝1.
(3)相互独立事件同时发生的概率：P(A·B)＝P(A)·P(B);
特例：独立重复试验的概率：Pn(k)＝ .其中P为事件A在一次试验中发生的概率，此式为二项式[(1-P)+P]n展开的第k+1项.
(4)解决概率问题要注意“四个步骤，一个结合”：
③随机变量可以取某区间的一切值，这样的随机变量叫做连续型随机变量.
2.离散型随机变量的分布列
①离散型随机变量的分布列的概念和性质
一般地，设离散型随机变量 可能取的值为 ， ，……， ，……， 取每一个值 （ 1，2，……）的概率P（ ）= ，则称下表.
…
…
P
P1
P2
…
…
为随机变量 的概率分布，简称 的分布列.
1求概率的步骤是：
第一步，确定事件性质
即所给的问题归结为四类事件中的某一种.
第二步，判断事件的运算
即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件.
第三步，运用公式 求解
第四步，答，即给提出的问题有一个明确的答复.
例1．在五个数字 中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是（结果用数值表示）．
（2）若该批产品共100件，从中任意抽取2件，求事件 ：“取出的2件产品中至少有一件二等品”的概率 ．
例7．两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷1本，共8本．将它们任意地排成一排，左边4本恰好都属于同一部小说的概率
是（结果用分数表示）．
例8．甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，2个白球；乙袋装有2个红球，n个白球.由甲，乙两袋中各任取2个球.
（2）几何分布
在独立重复试验中，某事件第一次发生时所作的试验的次数 是一个取值为正整数的离散型随机变量，“ ”表示在第k次独立重复试验时事件第一次发生.
随机变量 的概率分布为：
1
2
3
…
k
…
P
p
qp
…
…
例12．
厂家在产品出厂前,需对产品做检验,厂家将一批产品发给商家时,商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验,以决定是否接收这批产品.
考点3离散型随机变量的期望与方差
随机变量的数学期望和方差
(1)离散型随机变量的数学期望： …；期望反映随机变量取值的平均水平.
⑵离散型随机变量的方差： … …；
方差反映随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度.
⑶基本性质： ； .
(4)若 ～B(n，p)，则 ; D =npq（这里q=1-p）;
如果随机变量 服从几何分布， ，则 ，D = 其中q=1-p.
概率统计
考点1.求等可能性事件、互斥事件和相互独立事件的概率
解此类题目常应用以下知识:
(1)等可能性事件(古典概型)的概率：P(A)＝ ＝ ;
等可能事件概率的计算步骤：
1计算一次试验的基本事件总数 ;
2设所求事件A，并计算事件A包含的基本事件的个数 ;
3依公式 求值;
4答，即给问题一个明确的答复.
(2)互斥事件有一个发生的概率：P(A＋B)＝P(A)＋P(B);