高中数学概率统计2
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1求概率的步骤是：
第一步，确定事件性质
即所给的问题归结为四类事件中的某一种.
第二步，判断事件的运算
即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件.
第三步，运用公式 求解
第四步，答，即给提出的问题有一个明确的答复.
例1．在五个数字 中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是（结果用数值表示）．
（2）几何分布
在独立重复试验中，某事件第一次发生时所作的试验的次数 是一个取值为正整数的离散型随机变量，“ ”表示在第k次独立重复试验时事件第一次发生.
随机变量 的概率分布为：
1
2
3
…
k
…
P
p
qp
…
…
例12．
厂家在产品出厂前,需对产品做检验,厂家将一批产品发给商家时,商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验,以决定是否接收这批产品.
(Ⅰ)若n=3，求取到的4个球全是红球的概率；(Ⅱ)若取到的4个球中至少有2个红球的概率为 ，求n.
考点2离散型随机变量的分布列
1.随机变量及相关概念
①随机试验的结果可以Baidu Nhomakorabea一个变量来表示，这样的变量叫做随机变量，常用希腊字母ξ、η等表示.
②随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.
③随机变量可以取某区间的一切值，这样的随机变量叫做连续型随机变量.
2.离散型随机变量的分布列
①离散型随机变量的分布列的概念和性质
一般地，设离散型随机变量 可能取的值为 ， ，……， ，……， 取每一个值 （ 1，2，……）的概率P（ ）= ，则称下表.
…
…
P
P1
P2
…
…
为随机变量 的概率分布，简称 的分布列.
（Ⅰ）求事件 ：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率 ；
（Ⅱ）求 的分布列及期望 ．
例16.某班有48名学生，在一次考试中统计出平均分为70分，方差为75，后来发现有2名同学的成绩有误，甲实得80分却记为50分，乙实得70分却记为100分，更正后平均分和方差分别是
A.70，25 B.70，50 C.70，1.04D.65，25
由概率的性质可知，任一离散型随机变量的分布列都具有下述两个性质：
（1） ， 1，2，…;（2） …=1.
②常见的离散型随机变量的分布列：
（1）二项分布
次独立重复试验中，事件A发生的次数 是一个随机变量，其所有可能的取值为0，1，2，…n，并且 ，其中 ， ，随机变量 的分布列如下：
0
1
…
…
P
…
称这样随机变量 服从二项分布，记作 ，其中 、 为参数，并记： .
例13．
某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为 、 、 ,且各轮问题能否正确回答互不影响.
（Ⅰ）求该选手被淘汰的概率;
（Ⅱ）该选手在选拔中回答问题的个数记为 ，求随机变量 的分布列与数学期望.
（注：本小题结果可用分数表示）
例4.接种某疫苗后，出现发热反应的概率为0.80.现有5人接种该疫苗，至少有3人出现发热反应的概率为__________.（精确到0.01）
例6．从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件 ：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率 ．
（1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率 ；
例14．甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为ε、η，ε和η的分布列如下：
ε
0
1
2
η
0
1
2
P
P
则比较两名工人的技术水平的高低为.
例15.
某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数 的分布列为
1
2
3
4
5
0.4
0.2
0.2
0.1
0.1
商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元． 表示经销一件该商品的利润．
（Ⅰ）若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8,从中任意取出4件进行检验,求至少有1件是合格的概率；
（Ⅱ）若厂家发给商家20件产品中,其中有3件不合格,按合同规定该商家从中任取2件.都进行检验,只有2件都合格时才接收这批产品.否则拒收,求出该商家检验出不合格产品数 的分布列及期望 ,并求出该商家拒收这批产品的概率.
特例：对立事件的概率：P(A)＋P( )＝P(A＋ )＝1.
(3)相互独立事件同时发生的概率：P(A·B)＝P(A)·P(B);
特例：独立重复试验的概率：Pn(k)＝ .其中P为事件A在一次试验中发生的概率，此式为二项式[(1-P)+P]n展开的第k+1项.
(4)解决概率问题要注意“四个步骤，一个结合”：
（2）若该批产品共100件，从中任意抽取2件，求事件 ：“取出的2件产品中至少有一件二等品”的概率 ．
例7．两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷1本，共8本．将它们任意地排成一排，左边4本恰好都属于同一部小说的概率
是（结果用分数表示）．
例8．甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，2个白球；乙袋装有2个红球，n个白球.由甲，乙两袋中各任取2个球.
概率统计
考点1.求等可能性事件、互斥事件和相互独立事件的概率
解此类题目常应用以下知识:
(1)等可能性事件(古典概型)的概率：P(A)＝ ＝ ;
等可能事件概率的计算步骤：
1计算一次试验的基本事件总数 ;
2设所求事件A，并计算事件A包含的基本事件的个数 ;
3依公式 求值;
4答，即给问题一个明确的答复.
(2)互斥事件有一个发生的概率：P(A＋B)＝P(A)＋P(B);
考点3离散型随机变量的期望与方差
随机变量的数学期望和方差
(1)离散型随机变量的数学期望： …；期望反映随机变量取值的平均水平.
⑵离散型随机变量的方差： … …；
方差反映随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度.
⑶基本性质： ； .
(4)若 ～B(n，p)，则 ; D =npq（这里q=1-p）;
如果随机变量 服从几何分布， ，则 ，D = 其中q=1-p.
考点4抽样方法与总体分布的估计
抽样方法
1．简单随机抽样：设一个总体的个数为N，如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，就称这样的抽样为简单随机抽样.常用抽签法和随机数表法.
2．系统抽样：当总体中的个数较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按照预先定出的规则，从每一部分抽取1个个体，得到所需要的样本，这种抽样叫做系统抽样（也称为机械抽样）.
第一步，确定事件性质
即所给的问题归结为四类事件中的某一种.
第二步，判断事件的运算
即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件.
第三步，运用公式 求解
第四步，答，即给提出的问题有一个明确的答复.
例1．在五个数字 中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是（结果用数值表示）．
（2）几何分布
在独立重复试验中，某事件第一次发生时所作的试验的次数 是一个取值为正整数的离散型随机变量，“ ”表示在第k次独立重复试验时事件第一次发生.
随机变量 的概率分布为：
1
2
3
…
k
…
P
p
qp
…
…
例12．
厂家在产品出厂前,需对产品做检验,厂家将一批产品发给商家时,商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验,以决定是否接收这批产品.
(Ⅰ)若n=3，求取到的4个球全是红球的概率；(Ⅱ)若取到的4个球中至少有2个红球的概率为 ，求n.
考点2离散型随机变量的分布列
1.随机变量及相关概念
①随机试验的结果可以Baidu Nhomakorabea一个变量来表示，这样的变量叫做随机变量，常用希腊字母ξ、η等表示.
②随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.
③随机变量可以取某区间的一切值，这样的随机变量叫做连续型随机变量.
2.离散型随机变量的分布列
①离散型随机变量的分布列的概念和性质
一般地，设离散型随机变量 可能取的值为 ， ，……， ，……， 取每一个值 （ 1，2，……）的概率P（ ）= ，则称下表.
…
…
P
P1
P2
…
…
为随机变量 的概率分布，简称 的分布列.
（Ⅰ）求事件 ：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率 ；
（Ⅱ）求 的分布列及期望 ．
例16.某班有48名学生，在一次考试中统计出平均分为70分，方差为75，后来发现有2名同学的成绩有误，甲实得80分却记为50分，乙实得70分却记为100分，更正后平均分和方差分别是
A.70，25 B.70，50 C.70，1.04D.65，25
由概率的性质可知，任一离散型随机变量的分布列都具有下述两个性质：
（1） ， 1，2，…;（2） …=1.
②常见的离散型随机变量的分布列：
（1）二项分布
次独立重复试验中，事件A发生的次数 是一个随机变量，其所有可能的取值为0，1，2，…n，并且 ，其中 ， ，随机变量 的分布列如下：
0
1
…
…
P
…
称这样随机变量 服从二项分布，记作 ，其中 、 为参数，并记： .
例13．
某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为 、 、 ,且各轮问题能否正确回答互不影响.
（Ⅰ）求该选手被淘汰的概率;
（Ⅱ）该选手在选拔中回答问题的个数记为 ，求随机变量 的分布列与数学期望.
（注：本小题结果可用分数表示）
例4.接种某疫苗后，出现发热反应的概率为0.80.现有5人接种该疫苗，至少有3人出现发热反应的概率为__________.（精确到0.01）
例6．从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件 ：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率 ．
（1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率 ；
例14．甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为ε、η，ε和η的分布列如下：
ε
0
1
2
η
0
1
2
P
P
则比较两名工人的技术水平的高低为.
例15.
某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数 的分布列为
1
2
3
4
5
0.4
0.2
0.2
0.1
0.1
商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元． 表示经销一件该商品的利润．
（Ⅰ）若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8,从中任意取出4件进行检验,求至少有1件是合格的概率；
（Ⅱ）若厂家发给商家20件产品中,其中有3件不合格,按合同规定该商家从中任取2件.都进行检验,只有2件都合格时才接收这批产品.否则拒收,求出该商家检验出不合格产品数 的分布列及期望 ,并求出该商家拒收这批产品的概率.
特例：对立事件的概率：P(A)＋P( )＝P(A＋ )＝1.
(3)相互独立事件同时发生的概率：P(A·B)＝P(A)·P(B);
特例：独立重复试验的概率：Pn(k)＝ .其中P为事件A在一次试验中发生的概率，此式为二项式[(1-P)+P]n展开的第k+1项.
(4)解决概率问题要注意“四个步骤，一个结合”：
（2）若该批产品共100件，从中任意抽取2件，求事件 ：“取出的2件产品中至少有一件二等品”的概率 ．
例7．两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷1本，共8本．将它们任意地排成一排，左边4本恰好都属于同一部小说的概率
是（结果用分数表示）．
例8．甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，2个白球；乙袋装有2个红球，n个白球.由甲，乙两袋中各任取2个球.
概率统计
考点1.求等可能性事件、互斥事件和相互独立事件的概率
解此类题目常应用以下知识:
(1)等可能性事件(古典概型)的概率：P(A)＝ ＝ ;
等可能事件概率的计算步骤：
1计算一次试验的基本事件总数 ;
2设所求事件A，并计算事件A包含的基本事件的个数 ;
3依公式 求值;
4答，即给问题一个明确的答复.
(2)互斥事件有一个发生的概率：P(A＋B)＝P(A)＋P(B);
考点3离散型随机变量的期望与方差
随机变量的数学期望和方差
(1)离散型随机变量的数学期望： …；期望反映随机变量取值的平均水平.
⑵离散型随机变量的方差： … …；
方差反映随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度.
⑶基本性质： ； .
(4)若 ～B(n，p)，则 ; D =npq（这里q=1-p）;
如果随机变量 服从几何分布， ，则 ，D = 其中q=1-p.
考点4抽样方法与总体分布的估计
抽样方法
1．简单随机抽样：设一个总体的个数为N，如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，就称这样的抽样为简单随机抽样.常用抽签法和随机数表法.
2．系统抽样：当总体中的个数较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按照预先定出的规则，从每一部分抽取1个个体，得到所需要的样本，这种抽样叫做系统抽样（也称为机械抽样）.