一、3、三个正数的算术-几何平均不等式
新人教A版高二数学选修4-5第一章不等式 1.1.3 三个正数的算术-几何平均不等式_1
∴3x＋4y＋5z＝2×6＝12. ∴3 3 3x·4y·5z≤3x＋4y＋5z＝12.
∴(xyz)max＝1165. 答案：1165
当且仅当 x＝43，y＝1，z＝45时等号成立．
课时作业
人教A版数学·选修4-5
复习成功的关键在于
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01 抓思维训练
02 勤于方法总结
03 善于提炼观点
2．已知 x，y∈R＋且 x2y＝4，试求 x＋y 的最小值及达到最小值时 x、y 的值．
解析：∵x，y∈R＋且 x2y＝4，∴x＋y＝12x＋12x＋y≥3 3 14x2y＝3 3 14×4＝3， 当且仅当x2＝x2＝y 时等号成立． 又∵x2y＝4. ∴当 x＝2，y＝1 时，x＋y 取最小值 3.
1．已知 a，b，c∈R＋，证明：a12＋b12＋c12(a＋b＋c)2≥27.
证明：因为 a，b，c∈R＋，所以 a＋b＋c≥33 abc>0.
所以(a＋b＋c)2≥93 a2b2c2. 又a12＋b12＋c12≥3 3 a2b12c2>0，
所以a12＋b12＋c12(a＋b＋c)2≥3 3
13 a2b2c2·9
探究三 平均不等式的实际应用 [例 3] 如图所示，在一张半径是 2 米的圆桌的正中央上空挂一盏 电灯．大家知道，灯挂得太高了，桌子边缘处的亮度就小；挂得 太低，桌子的边缘处仍然是不亮的．由物理学可知，桌子边缘一 点处的亮度 E 和电灯射到桌子边缘的光线与桌子的夹角 θ 的正弦 成正比，而和这一点到光源的距离 r 的平方成反比，即 E＝ksirn2 θ， 这里 k 是一个和灯光强度有关的常数．那么究竟应该怎样选择灯的高度 h，才能 使桌子边缘处最亮？
因构造定值时拆分不合理致误
三个正数的算术-几何平均不等式
3
3时,y 取最小值 2 ×
2
33
3
= 2 9.
错解 2:∵x>0,
3
1 2
∴y=x2 + + ≥3·
1 2
3
3
2 · · = 3 2,y 的最小值为 3 2.
题型一
题型二
题型三
题型四
3
错因分析:错解 1 中不能保证两正数 x2与 的积为定值,此
3
时 2 3为变量,不能说当 x=
2
题型一
题型二
题型三
题型四
解:∵y=x(1-x2),
1
2
2
2
2
2
2
2
∴y =x (1-x ) =2x (1-x )(1-x )·.
2
∵2x2+(1-x2)+(1-x2)=2,
1 22 +1-2 +1-2
2
∴y ≤2
3
3
=
4
.
27
3
当且仅当 2x2=1-x2,即 x= 3 时,等号成立.
2 3
3.三个正数的算术-几何平均不等式
学习目标：
1.了解三个正数的算术-几何平均不等式.
2.会应用三个正数的算术-几何平均不等式解决简单问题.
1.三个正数或三个以上正数的算术-几何平均不等式的应用条件
剖析:“一正”:不论是三个数或者 n 个数的算术-几何平均不等式,
3
都要求是正数,否则不等式是不成立的.如 a+b+c≥3 abc, 取a=b=3
≤32 ·
3
3
=
2
,
高中数学人教A版选修4-5同步辅导与检测1.1.3三个正数的算术—几何平均不等式
设 a1，a2，a3，a4 为正数， a1＋a2＋a3＋a4 4 求证： ≥ a1a2a3a4， 4 当且仅当 a1＝a2＝a3＝a4 时，等号成立．
证明：若 a1＝a2＝a3＝a4，则上式左＝a1，右＝a1. 故所需证不等式中等号成立． 若 a1，a2，a3，a4 不全相等，则不妨设 a1≠a2，于是 a1＋a2＞2 a1a2＞0， a3＋a4≥2 a3a4＞0， 故 a1＋a2＋a3＋a4＞2( a1a2＋ a3a4) ≥2· 2· 4 a1a2· a3a4
13 ， a1a2a3＝________ 9 ________ ，
3
3
a1＋a2＋a3 3 ≥ 则有： ________ a1a2a3. 3
2．n 个正数的算术—几何平均不等式 ＋ (1)如果 a1，a2，…，an∈R ，n＞1 且 n∈N＋则： a1＋a2＋…＋an 叫做这 n 个正数的算术平均数， n n a1a2…an叫做这 n 个正数的________；
不等式和绝对值不等式
1.1 1.1.3
不等式
三个正数的算术—几何平均不等式
1．会用三项的平均值不等式证明一些简单问 题． 2．能够利用三项的平均值不等式求一些特定 函数的极值，从而学会解决简单的应用问题．
1．三个正数的算术—几何平均不等式 a1＋a2＋a3 ＋ (1)如果 a1，a2，a3∈R ，则： 叫做这 3 个 3 正数的算术平均数， a1a2a3叫做这三个正数的几何平均数 ________； a1＋a2＋a3 3 (2)三个正数基本不等式： ≥ a1a2a3. 3 算术 平均数不小于它们的 语言表述：三个正数的________ ________ 几何 平均数． a1＋a2＋a3 练习 1：若已知 a1＝3，a2＝9，a3＝27 则 ＝ 3
3.三个正数的算术-几何平均不等式
语言表述：n个正数的算术平均不
小于它们的几何平均.
例1、 已 知x, y, z R , 求 证 ： （x y z)3 27xyz.
证明：因为 x y z 3 xyz，所以 3
(x y z)3 xyz, 27
即（x+y+z）3 27xyz
例２: 当0 x 1时,求函数y x2 (1 x)的最大值.
解:
x
y 2x2 3 2x2 1 2 33 2x2 1 2 33 4
x
xx
xx
ymin 33 4 (错解:原因是取不到等号)
正解:
y 2x 2 3 2x 2 3 3 33 2x 2 3 3 33 9 3 3 36
x
2x 2x
2x 2x 2 2
当且仅当2x 2 3 ,即x 2x
3 2
时,
y m in
3 2
3
36 .
练习2：
1.若正数x, y满足xy 2 4,求x 2 y的最小值.
33 4
x y3 4
2.若 a>b>0，则 a+ 1 的最小值是
.
b(a b)
3
a 2b
3.求函数y x4 (2 x 2 )(0 x 2)的最大值.
解: 0 x 1, 1 x 0,
y x2 (1 x) 4 x x (1 x) 22
x x 1 x
4( 2 2
)3
4
3
27
构造三 个数相
加等于 定值.
当 x 2
1
x,即x
2 时, 3
高中数学 1.1.3三个正数的算术—几何平均不等式课件 新人教A版选修45
1.1.3 三个正数的算术—几何平均不等式
栏 目 链 接
1．会用三项的平均值不等式证明一些简单问题．
2．能够利用三项的平均值不等式求一些特定函数的 最值，从而学会解决简单的应用问题．
栏 目 链 接
1．三个正数的算术—几何平均不等式．
(1)如果 a1，a2，a3∈R＋，则a1＋a32＋a3叫做这 3 个正数的算
___几__何___平均数．
思考 2 若 x＞0，则x3＋x3＋x3＋2x73 ___≥___4.
栏 目 链 接
题型一 利用定理3证明不等式
例 1 设 a，b，c∈R＋，求证：(a＋b＋c)(1a＋1b＋1c)≥9.
分析：观察式子的结构，通过变形转化来证明．
证明：：∵a，b，c∈R＋，
∴a＋b＋c≥33 abc，1a＋1b＋1c≥33 abc －1，两不等式相乘，
有：(a＋b＋c)(1a＋1b＋1c)≥33 abc×33 abc －1＝9. ∴(a＋b＋c)(1a＋1b＋1c)≥9. 当且仅当 a＝b＝c＝0 时，等号成立．
点评：不等式的证明方法比较多．关键是从式子的 结构入手进行分析．多联想定理3的形式以便用好它．
变式 训练
1．已知 a，b，c∈R＋，a＋b＋c＝1，求证：1a＋1b＋1c≥9. 证明：∵a，b，c∈R＋，a＋b＋c≥33 abc.又 a＋b＋c＝1，∴3 abc
解析：y2＝14sin4θcos2θ＝18×2sin2θ sin2θ cos2θ
≤81sin2θ＋sin32θ＋2 cos2θ3＝217. 当且仅当 sin2 θ＝2cos2θ＝2－2sin2θ.
即
sin
Hale Waihona Puke θ＝36时取等号，此时
113三个正数的算术几何平均不等式课件人教A版选修45
(2)定理3：如果a，b，c∈R＋，那么a＋3b＋c ≥ 3 abc， 当且仅当 a＝b＝c 时，等号成立．
即：三个正数的算术平均 不小于 它们的几何平均．
2．基本不等式的推广 对于n个正数a1，a2，…，an，它们的算术平均不小于 它 们的几何平均，即a1＋a2＋n …＋an ≥ n a1a2…an，当且仅当a1 ＝a2＝…＝an时，等号成立． 3．利用基本不等式求最值 若a，b，c均为正数，①如果a＋b＋c是定值S，那么 a＝b＝c 时，积abc有 最大 值；②如果积abc是定值P，那么 当a＝b＝c时，和 a＋b＋c 有最小值．
【解析】 ∵f(x)＝5x＋2x02 ＝52x＋52x＋2x02 ≥33 53＝15. 当52x＝2x02 ，即x＝2时取等号．
【答案】 15
且仅当x44＝x22，即x＝± 2时，等号成立， ∴ymin＝3.
利用平均不等式求最值
已知x∈R＋，求函数y＝x(1－x2)的最大值． 【思路探究】 为使数的“和”为定值，可以先平方，
即y2＝x2(1－x2)2＝x2(1－x2)(1－x2)＝2x2(1－x2)(1－x2)×12，求 出最值后再开方．
2．若a＞b＞0，则a＋ba1－b的最小值为(
)
A．0
B．1
C．2
D．3
【解析】 ∵a＋ba1－b＝(a－b)＋b＋ba1－b
3 ≥3
a－b·b·ba1－b＝3，当且仅当a＝2，b＝1时取等
号，
∴a＋ba1－b的最小值为3.故选D. 【答案】 D
3．函数 f(x)＝5x＋2x02 (x>0)的最小值为________．
人教版高中数学选修4-51.1.3《三个正数的算术-几何平均不等式》练习及答案
1．1.3 三个正数的算术 —几何均匀不等式1．会用三 的均匀 不等式 明一些 ． 2．能 利用三 的均匀 不等式求一些特定函数的最 ，进而学会解决 的 用．1．三个正数的算 — 几何均匀 不等式．＋a 1＋a 2＋a 33(1)假如 a 1，a 2，a 3∈ R ，叫做 3 个正数的算 均匀数，a 1a 2a 3叫做 三个正数的 ________．答案 : 几何均匀数(2)三个正数基本不等式：a 1＋ a 2＋ a 3≥ 3＝ a ＝ a ，等号建立． 3 a 1a 2a 3.当且 当 a 1 23言表述：三个正数的________均匀数不小于它 的 ________均匀数．答案: 算 几何思虑 1若已知 a 1 ＝3，a 2＝ 9，a 3＝27，a 1＋a 2＋ a 3＝ ________， 3a 1a 2a 3＝ ________．3a 1＋a 2＋ a 33a 1 a 2 a 3.有：3________答案:13 9 >2． n 个正数的算 — 几何均匀不等式．(1)假如 a 1， a 2 ，⋯， a n ∈ R ＋， n ＞ 1 且 n ∈ N *，a 1＋a 2＋⋯ ＋a n叫做 n 个正数的算 n均匀数，na 1a 2⋯ a n 叫做 n 个正数的 ________．答案 : 几何均匀数a 1＋ a 2＋ ⋯ ＋a n n*＋，1≤ i ≤ n)．当且 当 a 1＝(2)基本不等式：n ≥a 1a 2⋯ a n (n ∈ N ，a i ∈ Ra 2＝ ⋯ ＝ a n 等号建立．言表述： n 个正数的 ________均匀数不小于它 的________均匀数．答案 : 算 几何思虑 2若 x ＞ 0，x x x ＋ 27＋＋ x 3 ______4.3 3 3答案:≥一 层 练 习1．函数 y ＝ x 2(1－ 5x) 0≤ x ≤1的最大值是 ()5 2 4 5 A ． 4 B.15C.675 D.2答案:C9 )2．若 x>0，则 4x ＋2的最小值是 (xA ．9B ．3 3 36C ． 13D ．不存在答案:B3．已知∈R＋，则 a ＋ b ＋ cb ＋c ＋ a≥ ________．b c aa b c答案:9＋，且 a ＋ b ＝ 3，则 ab 2的最大值是 ________．4．设 a ， b ∈ R 答案:4二 层 练 习225．若实数 x ， y 知足 xy ＞ 0，且 x y ＝ 2 ，则 xy ＋ x 的最小值是 ( )C ．3D ． 4答案:C6．设 a ＞ b ＞ 0，则 a 2＋ 1＋1的最小值是 ( )ab a （ a － b ）A ．1B ．2C ．3D ． 4分析：把 a 2＋ 1＋1 变形为 ab ＋ 1＋ a(a －b)＋ 1，即可利用三个正数ab a （ a －b ） aba （ a －b ） 的算术 — 几何均匀不等式求其最小值．∵a ＞b ＞ 0，∴ a 2＋ 1＋1＝ a 2－ ab ＋ ab ＋ 1aba （ a －b ） ab＋ 1 ＝ ab ＋ 1＋ a(a ＋ b)＋ 1≥2＋ 2＝ 4，当且仅当 a （ a － b ） ab a （a ＋ b ）ab ＝1，2， b －2时，取 “＝”号．应选D.即 a ＝ a （a － b ）＝ 1，27．若数列 { a n } 的通项公式是 a n ＝ 3 n ，则该数列中的最大项是()n ＋128A ．第 4项B ．第 6项C ．第 7项D ．第 8项分析： a n ＝n＝1＝ 13128 64 64n ＋ 1282 ＋2n n n ＋＋nn3n 2×64×64＝ 48，当且仅当n 2＝64，即 n ＝ 4 时，等号建立，∴ a n∵ n 2＋ 64＋64≥ 3n nnnn≤ 1，该数列的最大项是第4 项．应选 A.48答案： A48．求函数 y ＝ 3x ＋x 2(x>0)的最值是 ________． 分析：∵ x>0 ，43x3x4 3 3x 3x43x3x43932∴ y ＝ 3x ＋ x 2＝ 2 ＋ 2 ＋ x 2≥ 3 2 × 2 × x 2＝ 3 9. 当且仅当 2＝ 2 ＝ x 2，即 x ＝ 3 时取 符号．39时，函数 y 的最小值为 33∴当 x ＝29.39．已知正数 a ， b 知足 ab 2 ＝1，则 a ＋b 的最小值是 ________． 分析：由于 a ，b 是正数， ab 2＝ 1，b b 3 ab 2 3 3 因此 a ＋ b ＝ a ＋ 2＋ 2≥ 34 ＝2 2.故 a ＋b 的最小值是3 32，2ab 2＝ 1，a ＝ 1 3当且仅当b2 2，即时取到最小值．a ＝ 2，b ＝3210．已知 a ， b ， c 为正数，求证：222(a ＋ b ＋ c)(a ＋ b ＋ c ) ≥9abc.证明：∵ a ， b ，c 为正数，3 222≥ 3 3 2 2 2∴ a ＋ b ＋ c ≥3 abc ， a ＋b＋c a b c2223 3 2 2 2 ＝ 9 3 2 2 2∴ (a ＋ b ＋ c)( a＋ b ＋ c ) ≥3abc ×3 a b c abc × a b c .222∴ (a ＋ b ＋ c)( a ＋ b ＋ c ) ≥9abc ，三211 ． θ 角 ， y ＝ sin θ · cos θ 的 最 大是________________________________________________________________________ ．剖析：本 的目 函数 构，故 各因子和 定 ，要特 注意sin 2θ ＋ cos 2θ＝ 1 的 用．分析：∵ y 2＝ sin 2θ cos 2θ cos 2θ＝ 1× 2sin 2θ (1－ sin 2θ) ·(1－ sin 2θ ) 21 2 3 ＝ 4≤ ( ) .2 3 27当且 当 2sin223取等号．θ ＝ 1－ sin θ ，即 sin θ ＝ 32 3 ∴ymax＝ 9.12．已知＋，有不等式 x ＋1≥ 2， x ＋42x ＋ x ＋42x ∈Rxx＝2 2 x ≥ 3，⋯，受此启 ，能够推行ax ＋ n ≥ n ＋ 1， a ＝ ________．xa x xx an ＋ 1 x nan分析：∵ x ＋ x n ＝ n ＋ n ⋯＋ n , s do4(n 个 ))＋ x n ≥ (n ＋ 1) × nn× x n ＝ n ＋ 1，∴ a ＝ n .答案： n n13．已知 a ， b ， c均 正数， 明： a 2＋ b 2＋ c 2＋ 1 ＋ 1 ＋ 1 2a ，b ，c a b c≥ 6 3，并确立何 ，等号建立．明：因 a ，b ， c 均 正数，由均 不等式得2＋ b 2＋ c 2≥ 3(abc) 23a，①1＋ 1＋1≥ 3(abc)－ 1，a b c3因此 1 1 ＋1 22＋ b c ≥ 9(abc)－ .②a32 2 211 1222故 a ＋ b ＋ c ＋ a ＋ b ＋ c ≥ 3(abc)3 ＋ 9(abc)－ 3.22又 3(abc)3＋ 9(abc)－3≥ 2 27＝ 6 3，③ 因此原不等式建立．当且仅当 a ＝ b ＝ c 时，①式和②式等号建立．2当且仅当 3(abc)3＝ 9(abc)－23时，③式等号建立．1故当且仅当 a ＝b ＝ c ＝ 34时，原不等式等号建立．3 m 14．请你设计一个帐篷，的正六棱锥 (以下列图所示它下部的形状是高为)．试问当帐篷的极点1 m 的正六棱柱， 上部的形状是侧棱长为 O 究竟面中心 O 1 的距离为多少时，帐篷的体积最大为多少？剖析：利用正六棱锥的体积公式列关系式， 而后利用算术－几何均匀不等式求最值，也可求导求最值．分析：设 OO 1为 x m ，则 1＜ x ＜ 4.由题设可得正六棱锥底面边长为32－（ x － 1） 2＝26× 32 2＝ 3 328＋ 2x －x ，于是底面正六边形的面积为× (8＋2x － x )2(8＋ 2x － x )，帐篷的4体 积为3 3 21＝3 (4－ x)( x ＋ 2)(x ＋ 2) ＝ 3(8－ 2x)( x ＋ 2)(x ＋ V(x)＝ 2(8＋ 2x － x ) ·（ x －1）＋ 1 2 4 33 （8－ 2x ）＋（ x ＋ 2）＋（ x ＋ 2） 3＝ 3 ×64 ＝16 3.2) ≤ 3 44 当且仅当 8－ 2x ＝x ＋ 2，即 x ＝ 2 时取等号．故当帐篷的极点O 究竟面中心 O 1 的距离为2 m 时帐篷的体积最大，其值为163 m 2 .1．三个正数或三个以上正数的不等式的用条件．(1)一“正”：不是三个数的或许n 个数的算—几何均匀不等式，都要求是正数，否不等式是不建立的，如 a＋b＋ c≥ 3 3abc，取 a＝ b＝－ 2，c＝ 2 a＋ b＋ c＝－ 2，而 33abc ＝6，然－ 2≥6不建立．(2)二“定”：包括两求最：一是已知n个正数的和定 (即 a1＋ a2＋⋯＋ a n 定 )，求其 a1· a2·⋯· a n的最大；二是已知a1· a2·⋯· a n定，求其和 a1＋a2＋⋯＋ a n的最小．(3)三“相等”：取“＝”的条件是 a1＝ a2＝⋯＝ a n，不可以不过一部分相等．2．重要不等式 a2＋ b2≥2ab 与 a3＋ b3＋ c3≥ 3ab c 的运用条件不一，前者a， b∈R，后者 a， b， c∈ R＋，要注意区．3．注意算—几何均匀不等式中的形与拼集方法．。
三个正数的算术几何平均不等式
当且仅当a=b=c时，等号成立.
所以 (
1 1 1 2 )(a b c) 27. 2 2 2 a b c
用平均不等式解应用题
【典型例题】
1.设三角形三边长为3,4,5,P是三角形内的一点，则P到这个
三角形三边距离乘积的最大值是_______. 2.制造容积为 立方米的无盖圆柱形桶,用来做底面的金属板
【拓展提升】
1.用不等式解决实际问题的方法与技巧 应用不等式解决实际问题时，关键是如何把等量关系、不等 量关系转化为不等式的问题来解决，也就是建立数学模型是 解应用题的关键，最后利用不等式的知识来解.
2.利用平均不等式解决应用题的一般步骤 (1)理解题意，设变量，设变量时一般要把所求最大值或最小 值的变量定为函数. (2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为求函数的最大 值或最小值问题. (3)在定义域内，求出函数的最值. (4)验证相等条件，得出结论.
【证明】1.因为a,b,c∈R+,
所以(a+b)+(b+c)+(a+c)
3 3 (a b)(b c)(a c)，
所以 a b c 3 3 (a b)(b c)(a c).
又 1 1 1 33 1 1 1 ,
ac ab bc ac 1 1 1 9 所以 (a b c)( ) . ab bc ac 2 ab bc
2.由y=sin θcos2θ得，y2=sin2θcos4θ
1 2sin 2 cos 2 cos 2 2 1 2sin 2 cos 2 cos 2 3 4 ( ) , 2 3 27
2 3 . 9
当且仅当2sin2θ=cos2θ，即 sin 3 时取等号，此时
高中数学《三个正数的算术—几何平均不等式 》导学案
1.1.3三个正数的算术—几何平均不等式一、学习目标1.了解三个正数的算术—几何平均不等式；2.会应用三个正数的算术—几何平均不等式解决简单问题.【重点、难点】教学重点：三个正数的算术-几何平均不等式教学难点：利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单的不等式，解决最值问题二、学习过程【情景创设】1.基本不等式给出了两个正数的算术平均与几何平均的关系，这个不等式能否推广呢？例如，对于3个正数，会有怎样的不等式成立？2.证明：已知+∈R c b a ,,，那么abc c b a 3333≥++，当且仅当c b a ==时，等号成立.【导入新课】（阅读课本第8-9页，完成下面知识点的梳理）1.定理3.如果+∈R c b a ,,，那么3c b a ++ ，当且仅当 时，等号成立. 即：三个正数的 不小于它们的 .2推广：对于n 个正数n a a a ,,,21 ，它们的算术平均它们的几何平均.，即 ，当且仅当 时，等号成立.思考探究:利用不等式a ＋b ＋c 3≥3abc 求最值的条件是什么？ “一正、二定、三相等”，即(1)各项或各因式为 ；(2)和或积为 ；(3)各项或各因式能 相等的值．三 、典例分析例1. 求函数)0(,322>+=x x x y 的最大值，下列解法是否正确？为什么？ 解一： 3322243212311232=⋅⋅≥++=+=xx x x x x x x y ∴3min 43=y 解二：x x x x x y 623223222=⋅≥+=当x x 322=即2123=x 时 633min 3242123221262==⋅=y例2.已知a ，b ，c 为正数，求证： (a ＋b ＋c )(a 2＋b 2＋c 2)≥9abc .【变式拓展】1．如果x >0，如何求2x ＋1x2的最小值？ 2.当x ∈(0,1)时，函数y=x 2(1-x)的最大值是_______.四、总结反思1．(1)在应用平均不等式时，一定要注意是否满足条件，即a >0，b >0.(2)若问题中一端出现“和式”而另一端出现“积式”，这便是应用基本不等式的“题眼”，不妨运用平均不等式试试看．2．连续多次运用平均不等式定理时，要特别注意前后等号成立的条件是否一致．五、随堂检测1．函数y ＝x 2(1－5x )(0≤x ≤15)的最大值是( ) A ．4 B.215 C.4675 D.522．若x >0，则4x ＋9x2的最小值是( ) A ．9 B ．3336 C ．13 D ．不存在3．已知a.b.c ∈R ＋则(a b ＋b c ＋c a )(b a ＋c b ＋a c)≥________. 4．设a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝3，则ab 2的最大值是________．5.若正数y x ,.满足42=xy ，则y x 2+的最小值为 .。
三个正数的算数-几何平均不等式
三个正数的算术-几何平均不等式求证：如果),0(,,+∞∈c b a ，那么abc c b a 3333≥++，当且仅当c b a ==时，等号成立。
证明：因为abc c ab b a b a abc c b a 333)(33223333-+--+=-++ ①abc ab b a c b a 333)(2233---++= ②)(3])())[((22c b a ab c c b a b a c b a ++-++-+++= )32)((222ab c bc ac b ab a c b a -+--++++=))((222ac bc ab c b a c b a ---++++= ])()())[((21222c a c b b a c b a +++++++=0≥ 所以abc c b a 3333≥++，当且仅当c b a ==时，等号成立。
注意：（1）三个整数的积为定值，则和有最小值；三个正数的和为定值，则积有最大值。
与常用的基本不等式类似，求解过程中要注意“一正、二定、三相等”。
（2）几个简单的变形：33abc c b a ⋅≥++；27)(3c b a abc ++≤；3311133333c b a c b a abc cb a ++≤++≤≤++。
以上三个式子都是当且仅当c b a ==时，等号成立。
（3）公式的证明过程中，①式应用了公式3223333)(y xy y x x y x +++=+。
②式应用了公式))((2233y xy x y x y x +-+=+。
对上述结果做简单的恒等变形，就可以得到定理：如果),0(,,+∞∈c b a ，那么33abc c b a ≥++，当且仅当c b a ==时，等号成立。
这个不等式可以表述为：三个正数的算术平均不小于它们的几何平均。
1，已知),0(,,+∞∈z y x ，求证xyz z y x 27)(3≥++。
证明：因为033>≥++xyz z y x ，所以xyz z y x ≥++27)(3，即xyz z y x 27)(3≥++。
三个正数的算术-几何平均不等式概论
(x
0)的最小值是（
C）
A、6 B、6 6 C、9
D、12
解析：y
3x
12 x2
3x 2
3x 2
12 x2
3x 3x 12 33 2 2 x2 9
当且仅当3x 2
12 x2
即x 3时上式取等号 ymin 9
构造三个数之积为定值.
变式训练：
2、函数y
4x2
16 (x2 1)2
的最小值是
x
a
解：设切去的正方形边长为x，无盖方底
盒子的容积为V，则
V (a 2 x)2 x 1 (a 2x)(a 2x) 4x
4
1 4
(a
2x)
(a 3
当且仅当a 2x a
2x)
4x
3
2a 3 27
2x 4x即当
x
a
6
时，不等式取等号，此时Ｖ取最大值 2a3 ．
27
即当切去的小正方形边长是原来正方形边
当且仅当a b c时,等号成立.
(2)a b c为定值时 abc ( a b c )3 3
当且仅当a b c时,等号成立.
推广：n个正数的算术-几何平均不等式
如果 a1, a2 , , an R , n 1且n N* 则：
a1 a2
a3 n
an
n
a1a2a3 an ,
长的 1 时，盒子的容积最大．
6
变式训练：
1、函数y x4(2 x2 )(0 x 2)的最大值是
（ D） A、0 B、1
C、1267
32
D、27
构造三个数之和为定值.
2、若a, b R且a b,则a 1 _3_ (a b)b
1.1.3-三个正数的算术-几何平均不等式-教案(优秀经典公开课比赛教案)
课题：1.1.3三个正数的算术-几何平均不等式一、教材分析：基本不等式在证明不等式的过程中是一个很重要的桥梁，也是求最值的的一种常见方法，经常运用于实际问题，是高考高频考点。
三个正数的算术—几何平均不等式是基本不等式的进一步推广，通过三个正数的算术—几何平均不等式，常常可以将一些较为复杂的求最值的问题化为简单问题，在化归方法中起着重要的承接作用。
因此，本节课注重在例题中呈现类比及转化等数学思想，引导学生进行数学思想方法的探究，培养用数学思想方法解决问题的意识．二、教学目标：1、知识与技能：掌握三个正数的算术-几何平均不等式；2能够证明三个正数的算术-几何平均不等式3.会应用此定理求某些函数的最值；2、过程与方法：通过类比学习让学生进一步掌握均值不等式定理,并推广到三个，n 个正数，并会用这些定理求某些函数的最值。
3、情感、态度与价值观： 通过学习让学生体会类比学习，培养学生的知识迁移能力；三、教学重点：三个正数均值不等式定理的应用；四、教学难点：解题中的转化技巧。
五、教学准备1、课时安排：1课时2、学情分析：学生已经学习不等式的基本性质和基本不等式等相关知识，初步掌握运用所学知识解决简单的数学问题，但不等式作为高中数学的重点和难点,是学生的相对“头疼”的知识内容，尤其是基本不等式成立的前提条件“一正，二定，三相等”，学生解题时常常会顾此失彼，出现基本不等式运用的一些常见错误。
拓展到三个正数或者更多正数时，务必要结合基本不等式，注重类比，对不等式成立的前提条件加以强调。
3、教具选择： 多媒体六、教学方法：启发引导、合作探究七、教学过程1、自主导学：温故知新：两个正数的均值不等式引入新课：猜想对于3个正数如果+∈R c b a ,,，那么33abc c b a ≥++ （当且仅当c b a ==时取“=”）是否成立？ 2、合作探究（1）分组探究： 探究1a 、b 、c ∈R +, 那么a 3+b 3+c 3≥3abc , 当且仅当a =b =c 时, 等号成立即可（参考公式: (a +b )3=a 3+3a 2b +3ab 2+b 3; a 3+b 3=(a +b )(a 2-ab +b 2)） 证明:33333233332222222222223()333()333()()()3()()23()()1()()()()0,2a b c abc a b a b ab c abc a b c a b ab abc a b c a b a b c c ab a b c a b c a ab b ac bc c ab a b c a b c ab bc ca a b c a b b c c a ++-=+--+-=++---⎡⎤=+++-++-++⎣⎦⎡⎤=++++--+-⎣⎦=++++---⎡⎤=++-+-+-≥⎣⎦对上述结果作简单的恒等变形，就可以的到定理3 如果+∈R c b a ,,，那么33abc c b a ≥++ ，当且仅当c b a ==时取“=” 语言表述： 三个正数的算术平均不小于它们的几何平均. (2)定理3可变形为：①abc ≤(a ＋b ＋c 3)3；②a 3＋b 3＋c 3≥3abc推广： na a a n +++ 21≥ n i R a N n i ≤≤∈∈+1,,* 语言表述：（2）教师点拨：上述重要不等式有着广泛的应用，例如：证明不等式，求函数最值，判断变量或数学式子的取值范围等等它们涉及到的题目活，变形多，必须把握好凑形技巧今天，我们就来进一步学习均值不等式的应用.3、巩固训练： 例1：已知x 、y 、z ∈R +, 求(x +y +z )3≥27xyz例2 将一块边长为a 的正方形铁皮，剪去四个角（四个全等的正方形），作成一个无盖的铁盒，要使其容积最大，剪去的小正方形的边长为多少？最大容积是多少？解：设切去窃取的正方形边长为x,无盖方盒子的容积为V,则（师生共同总结此题规律。
1.1.3.三个正数的算术__几何平均不等式 课件(人教A选修4-5)
设圆柱体的底面半径为 r，如图，由相似 H－h r R 三角形的性质可得 H ＝R，∴r＝H(H－h)． πR2 ∴V 圆柱＝πr2h＝ 2 (H－h)2h(0＜h＜H)． H 根据平均不等式可得 4πR2 H－h H－h 4πR2 H 3 V 圆柱＝ 2 · · · h≤ 2 ( ) H 2 2 H 3 4 2 ＝ πR H. 27 H－h 1 4 2 当且仅当 ＝h，即 h＝ H 时，V 圆柱最大＝ πR H. 2 3 27
2 － 3
时，③式等号成立．
1 4
即当且仅当 a＝b＝c＝3 时，原不等式等号成立． 法二：因为 a，b，c 均为正数，由基本不等式得 a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2 1 1 1 1 同理 2＋ 2＋ 2≥ab＋bc＋ac， a b c ① ②
1 1 1 (1)( 2＋ 2＋ 2)(a＋b＋c)2≥27； a b c 1 1 1 9 (2)(a＋b＋c)( ＋ ＋ )≥ . a＋b b＋c a＋c 2
[精讲详析]
本题考查平均不等式的应用，解答本题
需要先观察求证式子的结构，然后通过变形转化为用平均 不等式证明的问题．
(1)∵a，b，c∈R＋，∴a＋b＋c≥3 abc＞0， 从而(a＋b＋c) ≥9 a2b2c2＞0， 3 1 1 1 1 又 2＋ 2＋ 2≥3 ＞0， a b c a2b2c2 1 1 1 ∴( 2＋ 2＋ 2)(a＋b＋c)2 a b c ≥3 3 1 3 2 2 2 · a b c ＝27. 9 a2b2c2
[研一题] [例3] 已知圆锥的底面半径为R，高为H，求圆锥的内 接圆柱体的高h为何值时，圆柱的体积最大？并求出这个最
大的体积．
[精讲详析] 本题考查算术—几何平均不等式在实际问
选修4-5_一3._三个正数的算术--几何平均不等式_课件(14张)
2. 当0 x 1时,求函数y x(1 x2 )的最大值.
3.设θ为锐角，求y=sin2θcosθ的最大值.
4.
已知
0<a<1,求证:
1 ������
+
14-������≥9.
小结
1.三个正数的算术-几何平均不等式
若a, bc
仍然类比基本不等式的推出过程，我们先证明：
如果a,b, c R+,那么a3 b3 c3 3abc，
当且仅当ａ＝ｂ＝ｃ时，等号成立．
证明 ∵ a3 b3 c3 3abc (a b)3 c3 3a3b 3ab2 3abc
(a b c) (a b)2 (a b)c c2 3ab(a b c) (a b c)(a2 b2 c2 ab bc ca)
1 2
(a
b
c)
(a
b)2
(b
c)2
(c
a)2
0,
∴ a3 b3 c3 3abc
当且仅当ａ＝ｂ＝ｃ时，等号成立．
对上述结果作简单的恒等变形，就可以得到
定理3 (三个正数的算术-几何平均不等式)
若a，b，c R+ , 那么 a b c 3 abc , 3
当且仅当a b c时，等号成立。
语言表述：三个正数的算术平均不小于它们的几何平均.
变形： a b c 33 abc
abc ( a b c )3 3
推广 （n个正数的算术-几何平均不等式）
高中数学 1.1.3三个正数的算术-几何平均不等式练习 新人教A版选修4-5-新人教A版高二选修4-
1．1.3 三个正数的算术—几何平均不等式1．会用三项的平均值不等式证明一些简单问题．2．能够利用三项的平均值不等式求一些特定函数的最值，从而学会解决简单的应用问题．1．三个正数的算术—几何平均不等式． (1)如果a 1，a 2，a 3∈R ＋，则a 1＋a 2＋a 33叫做这3个正数的算术平均数，3a 1a 2a 3叫做这三个正数的________．答案: 几何平均数(2)三个正数基本不等式：a 1＋a 2＋a 33≥3a 1a 2a 3.当且仅当a 1＝a 2＝a 3时，等号成立．语言表述：三个正数的________平均数不小于它们的________平均数． 答案: 算术 几何思考1 若已知a 1＝3，a 2＝9，a 3＝27，则a 1＋a 2＋a 33＝________，3a 1a 2a 3＝________．则有：a 1＋a 2＋a 33________3a 1a 2a 3.答案: 13 9 >2．n 个正数的算术—几何平均不等式． (1)如果a 1，a 2，…，a n ∈R ＋，n ＞1且n ∈N *，则a 1＋a 2＋…＋a nn叫做这n 个正数的算术平均数，na 1a 2…a n 叫做这n 个正数的________．答案: 几何平均数 (2)基本不等式：a 1＋a 2＋…＋a n n≥n a 1a 2…a n (n ∈N *，a i ∈R ＋，1≤i ≤n )．当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时等号成立．语言表述：n 个正数的________平均数不小于它们的________平均数．答案: 算术 几何思考2 若x ＞0，则x 3＋x 3＋x 3＋27x3______4.答案: ≥一层练习1．函数y ＝x 2(1－5x )⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤x ≤15的最大值是( )A ．4 B.215 C.4675 D.52答案: C2．若x >0，则4x ＋9x2的最小值是( )A ．9B ．3336 C ．13 D ．不存在 答案: B3．已知a .b .c ∈R ＋，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋b c ＋c a ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋c b ＋a c ≥________．答案: 94．设a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝3，则ab 2的最大值是________． 答案: 4二层练习5．若实数x ，y 满足xy ＞0，且x 2y ＝2，则xy ＋x 2的最小值是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案: C6．设a ＞b ＞0，则a 2＋1ab ＋1a （a －b ）的最小值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 解析：把a 2＋1ab ＋1a （a －b ）变形为ab ＋1ab ＋a (a －b )＋1a （a －b ），即可利用三个正数的算术—几何平均不等式求其最小值．∵a ＞b ＞0，∴a 2＋1ab＋1a （a －b ）＝a 2－ab ＋ab ＋1ab＋1a （a －b ）＝ab ＋1ab ＋a (a ＋b )＋1a （a ＋b ）≥2＋2＝4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝1，a （a －b ）＝1，即a ＝2，b －22时，取“＝”号．故选D.7．若数列{a n }的通项公式是a n ＝nn 3＋128，则该数列中的最大项是( )A ．第4项B ．第6项C ．第7项D ．第8项 解析：a n ＝nn 3＋128＝1n 2＋128n ＝1n 2＋64n ＋64n∵n 2＋64n ＋64n ≥33n 2×64n ×64n ＝48，当且仅当n 2＝64n，即n ＝4时，等号成立，∴a n≤148，该数列的最大项是第4项．故选A. 答案：A8．求函数y ＝3x ＋4x2(x >0)的最值是________．解析：∵x >0，∴y ＝3x ＋4x 2＝3x 2＋3x 2＋4x 2≥333x 2×3x 2×4x 2＝339.当且仅当3x 2＝3x 2＝4x 2，即x ＝2393时取符号．∴当x ＝2393时，函数y 的最小值为339.9．已知正数a ，b 满足ab 2＝1，则a ＋b 的最小值是________．解析：因为a ，b 是正数，ab 2＝1， 所以a ＋b ＝a ＋b 2＋b2≥33ab 24＝3232.故a ＋b 的最小值是3232，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ab 2＝1，a ＝b 2，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1232，b ＝32时取到最小值．10．已知a ，b ，c 为正数，求证：(a ＋b ＋c )(a 2＋b 2＋c 2)≥9abc . 证明：∵a ，b ，c 为正数，∴a ＋b ＋c ≥33abc ，a 2＋b 2＋c 2≥33a 2b 2c 2∴(a ＋b ＋c )(a 2＋b 2＋c 2)≥33abc ×33a 2b 2c 2＝93abc ×a 2b 2c 2. ∴(a ＋b ＋c )(a 2＋b 2＋c 2)≥9abc ， 当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立．三层练习11．θ为锐角，则y ＝sin θ·cos 2θ的最大值是________________________________________________________________________．分析：本题的目标函数为积结构，故应创设各因子和为定值，要特别注意sin 2θ＋cos 2θ＝1的应用．解析：∵y 2＝sin 2θcos 2θcos 2θ＝12×2sin 2θ(1－sin 2θ)·(1－sin 2θ)≤12(23)3＝427.当且仅当2sin 2θ＝1－sin 2θ，即sin θ＝33时取等号． ∴y max ＝239.12．已知x ∈R ＋，有不等式x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x2≥3，…，受此启发，可以推广为x ＋axn ≥n ＋1，则a ＝________．解析：∵x ＋a x n ＝x n ＋x n …＋x n ,\s \do 4(n 个))＋a x n ≥(n ＋1)×n ＋1x n n n ×a xn ＝n ＋1，∴a ＝n n.答案：n n13．已知a ，b ，c 均为正数，证明：a 2＋b 2＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥63，并确定a ，b ，c为何值时，等号成立．证明：因为a ，b ，c 均为正数，由均值不等式得a 2＋b 2＋c 2≥3(abc )23，①1a ＋1b ＋1c ≥3(abc )－13， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥9(abc )－23.②故a 2＋b 2＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥3(abc )23＋9(abc )－23.又3(abc )23＋9(abc )－23≥227＝63，③所以原不等式成立．当且仅当a ＝b ＝c 时，①式和②式等号成立． 当且仅当3(abc )23＝9(abc )－23时，③式等号成立．故当且仅当a ＝b ＝c ＝314时，原不等式等号成立．14．请你设计一个帐篷，它下部的形状是高为1 m 的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3 m 的正六棱锥(如下图所示)．试问当帐篷的顶点O 到底面中心O 1的距离为多少时，帐篷的体积最大为多少？分析：利用正六棱锥的体积公式列关系式，然后利用算术－几何平均不等式求最值，也可求导求最值．解析：设OO 1为x m ，则1＜x ＜4.由题设可得正六棱锥底面边长为32－（x －1）2＝8＋2x －x 2，于是底面正六边形的面积为6×34×(8＋2x －x 2)2＝332(8＋2x －x 2)，帐篷的体积为V (x )＝332(8＋2x －x 2)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤13（x －1）＋1＝32(4－x )(x ＋2)(x ＋2) ＝34(8－2x )(x ＋2)(x＋2) ≤34⎣⎢⎡⎦⎥⎤（8－2x）＋（x＋2）＋（x＋2）33＝34×64 ＝16 3.当且仅当8－2x＝x＋2，即x＝2时取等号．故当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为2 m时帐篷的体积最大，其值为16 3 m2.1．三个正数或三个以上正数的不等式的应用条件．(1)“一正”：不论是三个数的或者n个数的算术—几何平均不等式，都要求是正数，否则不等式是不成立的，如a＋b＋c≥33abc，取a＝b＝－2，c＝2时a＋b＋c＝－2，而33abc＝6，显然－2≥6不成立．(2)“二定”：包含两类求最值问题：一是已知n个正数的和为定值(即a1＋a2＋…＋a n为定值)，求其积a1·a2·…·a n的最大值；二是已知积a1·a2·…·a n为定值，求其和a1＋a2＋…＋a n的最小值．(3)“三相等”：取“＝”的条件是a1＝a2＝…＝a n，不能只是一部分相等．2．重要不等式a2＋b2≥2ab与a3＋b3＋c3≥3abc的运用条件不一样，前者a，b∈R，后者a，b，c∈R＋，要注意区别．3．注意算术—几何平均不等式中的变形与拼凑方法．。
人教版高中选修4-53.三个正数的算术——几何平均不等式教学设计
人教版高中选修4-53.三个正数的算术——几何平均不等式教学设计一、教学目标1.掌握三个正数的算术平均和几何平均的概念及其计算方法，理解三个正数的算术平均大于等于几何平均的基本思想；2.运用几何平均不等式解决实际问题，提高数学思维能力和解决实际问题的能力；3.培养学生良好的合作精神和创造性思维能力。
二、教学重点与难点1. 教学重点•算术平均与几何平均的概念与计算方法；•三个正数的算术平均大于等于几何平均的基本思想。
2. 教学难点•如何运用几何平均不等式解决实际问题。
三、教学内容和教学步骤1. 教学内容1.算术平均与几何平均的概念及其计算方法；2.三个正数的算术平均大于等于几何平均的基本思想；3.几何平均不等式的应用。
2. 教学步骤第一步：导入1.引入本节课的主题，介绍生活中有关于三个数的问题。
2.让学生思考：如何求三个数的平均数？是否有大小之分？为什么？第二步：概念讲解1.讲述算术平均与几何平均的概念及其计算方法。
2.提出三个正数的算术平均大于等于几何平均的基本思想，并进行简单的证明。
第三步：示例演练1.让学生自己推导一下证明，加深理解。
2.解析一道具体的例子，引导学生掌握应用几何平均不等式解决实际问题的方法。
第四步：作业1.布置课后作业，包括书面练习、思考题、拓展练习等多种形式。
2.留出时间让学生在小组合作中讨论问题，提高学生的合作精神和创造性思维能力。
四、教学方式和教学手段1. 教学方式采用讲授、讨论、实例演练、小组合作等多种教学方式，注重学生的参与和交流。
2. 教学手段1.录制教学视频，让学生自主学习；2.设计多元化的书面练习，既注重知识的考查，也注重学生的应用能力；3.设计一些互动性强的思考题和拓展练习，帮助学生扩展视野，拓展思路。
五、教学评价1. 教学效果•通过考察学生的课余作业和课堂互动表现，综合评价本节课的教学效果。
2. 学生评价•通过问卷调查的形式，征求学生对本节课教学内容、教学方式、教学手段、教学效果等方面的评价，反馈教学情况，为今后的教学改进提供依据。
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3、三个正数的算术-几何平均不等式
1、利用平均不等式比较代数式的大小及证明简单不等式是常考内容。
（难点）
2、利用平均不等式求函数的最值以及实际问题中的最值问题，多以小题的形式进行考查。
（重点、难点）
1、如果+∈R c b a ,,，那么3
33
c b a
++ 3abc
，当且仅当 时，等号成立。
2、定理3：如果∈c
b a ,, ，那么
3
c
b a ++
当且仅当 时，等号成立。
即：三个正数的算术平均 它们的几何平均。
3、对于n 个正数n a a a ,,21，它们的算术平均
它们的几何平均，即
n
a a a n
+++ 21
n
n a a a 21，当且仅当 时，等号成立。
想一想：如果x>0，如何求2
12x
x +的最小值？
题型一 用平均不等式求最值
【例1】 已知R y x ∈、，且42
=y x ，试求x+y 的 最小值及达到最小值时x 、y 的值。
【练习
1】已知
+
∈R c b a 、、，求
()2
2
2
2
)111(
c b a c
b
a
+++
+
的最小值。
题型二 用平均不等式证明不等式 【例
2】设
a,b,c
为正实数，求证：
32111
2
2
2
≥++
+
a b c c
b
a
【练习2】已知n a a a ,,21都是正数，且
121=n a a a ，
求证：n
n a a a 3)2()2)(2(21≥+++
题型三 用平均不等式解应用题
【例3】如图所示，在一张半径是2米得圆桌的正中央上空挂一盏电灯，大家知道，灯挂得太高了，桌子边缘处的亮度就小；挂得太低，桌子的边缘处仍然是不亮的，由物理学知道，桌子边缘一点处的照亮度E 和电灯射到桌子边缘的光线与桌子的夹角θ的正弦成正比，而和这一点到光源的距离r 的平方成反比，
即2
sin r
k
E θ=，这里k 是一个和灯光强度有关的常
数，那么究竟应该怎样选择灯的高度h ，才能使桌子边缘处最亮？
【练习3】无论是工业设备还是家庭生活用具，圆柱形的容器不少见，你是否留心了多数圆柱形容器不是细细长长的，也不是扁扁的，而是高和底面直径大致相等，你是否想过这是为什么？当然，高和底面直径大致相等的圆柱形看上去比较匀称，这是一条理由，但更主要的原因似乎不在这里，我们知道，容器的容积往往是一定的，但表面积却随着形状而改变，这就意味这同样容积的圆柱形容器有的用料较省而有的则费料，如果仅从成本角度考虑，自然应知道用料最省的，那么究竟怎样的圆柱形容器用料最省呢？
课时作业
1、设+∈R z y x 、、且x+y+z=6，则lgx+lgy+lgz 的取值范围是（ ）
A. (]6lg ,∞-
B. (]2lg 3,∞-
C.[)+∞,6lg
D. [)+∞,2lg 3
2、已知圆柱的轴截面周长为6，体积为V ，则下列不等式总成立的是（ ）
A. π≥V
B. π≤V
C.π8
1≥
V D. π8
1≤
V
3、已知+∈R c b a 、、，3
c
b a x ++=
，
3
abc y =
，3
2
22c
b a z ++=
，则（ ）
A.z y x ≤≤
B. z x y ≤≤
C.x z y ≤≤
D. x y z ≤≤
4、设R c b a ∈、、，且a,b,c 不全相等，则不等式
abc c b a 33
3
3
≥++成立的一个充要条件是
（ ）
A.a,b,c 全为正数
B.a,b,c 全为非实数 C ．0≥++c b a D.0>++c b a 5、函数)0(316
32
>+
=
x x
x y 的最小值是（ ）
A. 2
333 B. 4
9 C.1 D.不存在
6、若()+∞∈,0c b a 、、，且a+b+c=1，则
a
c c
b b
a ++
++
+111的最小值为（ ）
A. 3
1 B. 3
2
3
C.
2
9 D.
9
1
7、若a>2,b>2，则()()
321
--++b a b a 的最小值
为 。
8、函数)0(123)(2
>+=x x
x x f 的最小值
是 。
9
、
设
+∈R c b a 、、，求证：
2
9)1
11)((≥
++
++
+++c
a c
b b
a c
b a
10、已知c
b a ,,都是正数，证明：
36)111(
2
2
22≥+
+
+++c
b
a
c b a ，并确定
a,b,c 为何值时，等号成立。