算术-几何平均值不等式

算术-几何平均值不等式

信息来源：维基百科

在数学中，算术-几何平均值不等式是一个常见而基本的不等式，表现了两类平均数：算术平均数和几何平均数之间恒定的不等关系。设为个正实

数，它们的算术平均数是，它们的几何平均数是。算术-几何平均值不等式表明，对任意的正实数，总有：

等号成立当且仅当。

算术-几何平均值不等式仅适用于正实数，是对数函数之凹性的体现，在数学、自然科学、工程科学以及经济学等其它学科都有应用。

算术-几何平均值不等式经常被简称为平均值不等式（或均值不等式），尽管后者是一组包括它的不等式的合称。

例子

在的情况，设: ，那么

.可见。

历史上的证明

历史上，算术-几何平均值不等式拥有众多证明。的情况很早就为人所知，但对于一般的，不等式并不容易证明。1729年，英国数学家麦克劳林最早给出了一般情况的证明，用的是调整法，然而这个证明并不严谨，是错误的。

柯西的证明

1821年，法国数学家柯西在他的著作《分析教程》中给出了一个使用逆向归纳法的证明[1]：

命题：对任意的个正实数，

当时，显然成立。假设成立，那么成立。证明：对于个正实数，

假设成立，那么成立。证明：对于个正实数，设，，那么由于成立，。

但是，，因此上式正好变成

也就是说

综上可以得到结论：对任意的自然数，命题都成立。这是因为由前两条可以得到：对任意的自然数，命题都成立。因此对任意的，可以先找使得，再结合第三条就可以得到命题成立了。

归纳法的证明

使用常规数学归纳法的证明则有乔治·克里斯托（George Chrystal）在其著作《代数论》（algebra）的第二卷中给出的[2]：

由对称性不妨设是中最大的，由于，设，则，并且

有。

根据二项式定理，

于是完成了从到的证明。

此外还有更简洁的归纳法证明[3]：

在的情况下有不等式和成立，于是：

所以，从而有。基于琴生不等式的证明

注意到几何平均数实际上等于，因此算术-几何平均不等式等价于：

。

由于对数函数是一个凹函数，由琴生不等式可知上式成立。

基于排序不等式的证明

令，于是有，再作代换，运用排序不等式得到：

，

于是得到，即原不等式成立。

此外还有基于伯努利不等式或借助调整法、辅助函数求导和加强命题的证明。

推广

算术-几何平均不等式有很多不同形式的推广。

加权算术-几何平均不等式

不仅“均匀”的算术平均数和几何平均数之间有不等式，加权的算术平均数和几何平均数之间也有不等式。设和为正实数，并且，那么：

。

加权算术-几何平均不等式可以由琴生不等式得到。

矩阵形式

算术-几何平均不等式可以看成是一维向量的系数的平均数不等式。对于二维的矩阵，一样有类似的不等式：对于系数都是正实数的矩阵

设，，那么有：

也就是说：对个纵列取算术平均数，它们的几何平均小于等于对个横行取的个几何平均数的算术平均。

极限形式

也称为积分形式：对任意在区间上可积的正值函数，都有

这实际上是在算术-几何平均值不等式取成后，将两边的黎曼和中的趋于无穷大后得到的形式。

参考来源

1.^ Augustin-Louis Cauchy, Cours d'analyse de l'École Royale Polytechnique, premier partie, Analyse algébrique, Paris, 1821. p457.

2.^ George Chrystal, Algebra:An Elementary Text-Book, Part II, Chapter .

3.^ P. H. Diananda , A Simple Proof of the Arithmetic Mean Geometric Mean Inequality ,The American Mathematical Monthly, Vol. 67, No. 10 (Dec., 1960), pp. 1007

匡继昌，《常用不等式》，山东科技出版社。

李胜宏，《平均不等式与柯西不等式》，华东师大出版社。

莫里斯·克莱因（Morris Kline），张理京张锦炎江泽涵译，《古今数学思想》，上海科学技术出版社。

李兴怀，《学科奥林匹克丛书·高中数学》，广东教育出版社。