算术-几何平均值不等式
2. 三个正数的算术——几何平均不等式
∴E2＝1k62 ·sin2θ·cos4θ＝3k22 (2sin2θ)·cos2θ·cos2θ ≤3k22 ·(2sin2θ＋co3s2θ＋cos2θ)3＝1k028， 当且仅当 2sin2θ＝cos2θ 时取等号， 即 tan2θ＝12，tan θ＝ 22时，等号成立． ∴h＝2tan θ＝ 2，即 h＝ 2时，E 最大． 因此选择灯的高度为 2米时，才能使桌子边缘处最亮．
∵2x2＋(1－x2)＋(1－x2)＝2，
∴y2≤12(2x2＋1－3x2＋1－x2)3＝247.
当且仅当 2x2＝1－x2，
即 x＝ 33时等号成立．
∴y≤2
9
3，∴y
的最大值为2 9
3 .
1．解答本题时，有的同学会做出如下拼凑： y＝x(1－x2)＝x(1－x)(1＋x)＝12·x(2－2x)·(1＋x)≤12 (x＋2－23x＋1＋x)3＝12. 虽然其中的拼凑过程保证了三个数的和为定值，但忽略了取 “＝”号的条件，显然 x＝2－2x＝1＋x 无解，即无法取“＝”号，也 就是说，这种拼凑法是不正确的． 2．解决此类问题时，要注意多积累一些拼凑方法的题型及数 学结构，同时也要注意算术－几何平均不等式的使用条件，三个 缺一不可．
用平均不等式求解实际问题 例 3 如图所示，在一张半径是 2 米的 圆桌的正中央上空挂一盏电灯．大家知道， 灯挂得太高了，桌子边缘处的亮度就小； 挂得太低，桌子的边缘处仍然是不亮的．
由物理学知识，桌子边缘一点处的照亮度 E 和电灯射到 桌子边缘的光线与桌子的夹角 θ 的正弦成正比，而和这一点 到光源的距离 r 的平方成反比．
变式训练
若 2a＞b＞0，试求 a＋
4
的最小值．
（2a－b）·b
【解】 a＋2a－4b·b＝2a－2b＋b＋2a－4b·b ＝2a－ 2 b＋b2＋2a－4b·b
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算术-几何平均值不等式经常被简称为平均值不等式（或均值不等式），尽管后者是一组包括它的不等式的合称。
.可见
历史上的证明
的情况，设:
。
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电，力根通保据过护生管高产线中工敷资艺设料高技试中术卷资，配料不置试仅技卷可术要以是求解指，决机对吊组电顶在气层进设配行备置继进不电行规保空范护载高与中带资负料荷试下卷高问总中题体资，配料而置试且时卷可，调保需控障要试各在验类最；管大对路限设习度备题内进到来行位确调。保整在机使管组其路高在敷中正设资常过料工程试况中卷下，安与要全过加，度强并工看且作护尽下关可都于能可管地以路缩正高小常中故工资障作料高；试中对卷资于连料继接试电管卷保口破护处坏进理范行高围整中，核资或对料者定试对值卷某，弯些审扁异核度常与固高校定中对盒资图位料纸置试，.卷保编工护写况层复进防杂行腐设自跨备动接与处地装理线置，弯高尤曲中其半资要径料避标试免高卷错等调误，试高要方中求案资技，料术编试交写5、卷底重电保。要气护管设设装线备备置敷4高、调动设中电试作技资气高，术料课中并3中试、件资且包卷管中料拒含试路调试绝线验敷试卷动槽方设技作、案技术，管以术来架及避等系免多统不项启必方动要式方高，案中为；资解对料决整试高套卷中启突语动然文过停电程机气中。课高因件中此中资，管料电壁试力薄卷高、电中接气资口设料不备试严进卷等行保问调护题试装，工置合作调理并试利且技用进术管行，线过要敷关求设运电技行力术高保。中护线资装缆料置敷试做设卷到原技准则术确：指灵在导活分。。线对对盒于于处调差，试动当过保不程护同中装电高置压中高回资中路料资交试料叉卷试时技卷，术调应问试采题技用，术金作是属为指隔调发板试电进人机行员一隔，变开需压处要器理在组；事在同前发一掌生线握内槽图部内纸故，资障强料时电、，回设需路备要须制进同造行时厂外切家部断出电习具源题高高电中中源资资，料料线试试缆卷卷敷试切设验除完报从毕告而，与采要相用进关高行技中检术资查资料和料试检，卷测并主处且要理了保。解护现装场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
考研数学常用不等式公式大全
考研数学常用不等式公式大全考研数学中常用的不等式公式可以说是繁多而丰富的，下面将就一些常见的不等式进行总结，方便同学们备考使用。
1. 平均值不等式平均值不等式是一类常用的不等式，包括算术平均值、几何平均值和谐均值。
算术平均值不等式：对任意非负实数 a1, a2, ..., an，有(a1 + a2 + ... + an)/n ≥ √(a1a2...an)几何平均值不等式：对任意非负实数 a1, a2, ..., an，有(√(a1) + √(a2) + ... + √(an))/n ≥ ∛(a1a2...an)谐均值不等式：对任意正实数 a1, a2, ..., an，有n/(1/a1 + 1/a2 + ... + 1/an) ≤ (a1 + a2 + ... + an)/n2. 查尔斯不等式查尔斯不等式是一类常用的不等式，对任意正实数a1, a2, ..., an和正整数p，有(a1^p + a2^p + ... + an^p)/n ≥ [(a1 + a2 + ... + an)/n]^p3. 维尔斯特拉斯不等式维尔斯特拉斯不等式是一个估计和控制级数收敛性的重要工具，对任意实数a1, a2, ..., an和正整数p，有(a1^p + a2^p + ... + an^p)^(1/p) ≤ max{|a1|, |a2|, ..., |an|}4. 瑕积不等式瑕积不等式是一类常用的不等式，对任意正实数a1, a2, ..., an和正整数k，有(a1 * a2 * ... * an)^(1/n) ≤ [(a1^k + a2^k + ... +an^k)^(1/k)]^(1/n)5. 柯西不等式柯西不等式是一类常用的不等式，对任意实数a1, a2, ..., an和b1, b2, ..., bn，有(a1b1 + a2b2 + ... + anbn)^2 ≤ (a1^2 + a2^2 + ... +an^2)(b1^2 + b2^2 + ... + bn^2)6. 马尔可夫不等式马尔可夫不等式是用来估计非负函数的积分和的，对于非负可测函数f(x)和非负实数r，有r^p * μ({x∈E : f(x) ≥ r}) ≤ ∫_E f(x)^p dμ7. 切比雪夫不等式切比雪夫不等式是用来估计一组随机变量的概率的，对于具有有限方差的一组随机变量X1, X2, ..., Xn和正实数ε，有P(|X - E(X)| ≥ ε) ≤ Var(X)/ε^28. 积分中值不等式积分中值不等式有一系列的变体，常见的包括拉格朗日中值定理和柯西中值定理。
算术几何平均不等式与其应用
算术几何平均不等式与其应用算术几何平均不等式是数学中的一种重要的不等式关系，它在数学推导和实际问题中具有广泛的应用。
本文将介绍算术几何平均不等式的概念、证明以及一些常见的应用。
一、算术平均与几何平均的定义与性质在介绍算术几何平均不等式之前，我们先来了解一下算术平均和几何平均的定义与性质。
1. 算术平均：对于一组数a₁，a₂，...，aₙ，它们的算术平均记为A，即A=(a₁+a₂+...+aₙ)/n。
算术平均是指将一组数的和除以这组数的个数所得到的值。
2. 几何平均：对于一组正数a₁，a₂，...，aₙ，它们的几何平均记为G，即G=(a₁a₂...aₙ)^(1/n)。
几何平均是指将一组数的乘积开n次方所得到的值。
算术平均和几何平均都是常见的求平均值的方法，它们有以下性质：性质1：对于任意一组正数a₁，a₂，...，aₙ，有G≤A。
性质2：当且仅当a₁=a₂=...=aₙ时，有G=A。
二、算术几何平均不等式的概念与证明算术几何平均不等式是指对于一组正数a₁，a₂，...，aₙ，有G≤A，即几何平均不大于算术平均。
下面我们将给出算术几何平均不等式的证明。
假设a₁，a₂，...，aₙ是一组正数，我们来证明G≤A。
首先，我们考虑当n=2的情况。
此时，算术平均和几何平均分别为A=(a₁+a₂)/2，G=(a₁a₂)^(1/2)。
我们可以通过平方的方式来证明G≤A。
由(a₁-a₂)²≥0可得a₁²-2a₁a₂+a₂²≥0，进一步变形得到a₁²+a₂²≥2a₁a₂。
再对不等式两边同时开2次方，即得到(a₁²+a₂²)^(1/2)≥(2a₁a₂)^(1/2)。
即G≥(2a₁a₂)^(1/2)，进一步化简得到G≥(a₁+a₂)/2=A。
所以，当n=2时，算术几何平均不等式成立。
接下来，我们假设当n=k时，算术几何平均不等式成立。
即对于一组正数a₁，a₂，...，aₙ，有G≤A。
算术-几何平均值不等式
算术-几何平均值不等式信息来源：维基百科在数学中，算术-几何平均值不等式是一个常见而基本的不等式，表现了两类平均数：算术平均数和几何平均数之间恒定的不等关系。
设为个正实数，它们的算术平均数是，它们的几何平均数是。
算术-几何平均值不等式表明，对任意的正实数，总有：等号成立当且仅当。
算术-几何平均值不等式仅适用于正实数，是对数函数之凹性的体现，在数学、自然科学、工程科学以及经济学等其它学科都有应用。
算术-几何平均值不等式经常被简称为平均值不等式（或均值不等式），尽管后者是一组包括它的不等式的合称。
例子在的情况，设: ，那么.可见。
历史上的证明历史上，算术-几何平均值不等式拥有众多证明。
的情况很早就为人所知，但对于一般的，不等式并不容易证明。
1729年，英国数学家麦克劳林最早给出了一般情况的证明，用的是调整法，然而这个证明并不严谨，是错误的。
柯西的证明1821年，法国数学家柯西在他的著作《分析教程》中给出了一个使用逆向归纳法的证明[1]：命题：对任意的个正实数，当时，显然成立。
假设成立，那么成立。
证明：对于个正实数，假设成立，那么成立。
证明：对于个正实数，设，，那么由于成立，。
但是，，因此上式正好变成也就是说综上可以得到结论：对任意的自然数，命题都成立。
这是因为由前两条可以得到：对任意的自然数，命题都成立。
因此对任意的，可以先找使得，再结合第三条就可以得到命题成立了。
归纳法的证明使用常规数学归纳法的证明则有乔治·克里斯托（George Chrystal）在其著作《代数论》（algebra）的第二卷中给出的[2]：由对称性不妨设是中最大的，由于，设，则，并且有。
根据二项式定理，于是完成了从到的证明。
此外还有更简洁的归纳法证明[3]：在的情况下有不等式和成立，于是：所以，从而有。
基于琴生不等式的证明注意到几何平均数实际上等于，因此算术-几何平均不等式等价于：。
由于对数函数是一个凹函数，由琴生不等式可知上式成立。
调和平均数平方平均数算术平均数几何平均数关系证明
调和平均数平方平均数算术平均数几何平均数关系证明平均数是统计学中常用的几个概念之一，用来表示一组数据的集中趋势。
常见的平均数有调和平均数、平方平均数、算术平均数和几何平均数。
这四种平均数之间存在一种特殊的关系，下面将对这些平均数的定义和它们之间的关系进行证明。
首先，我们先介绍一下这四种平均数的定义：1.调和平均数（Harmonic Mean）：调和平均数是指一组数据的倒数的算术平均值的倒数。
假设有n个正实数x1,x2,⋯,xn，那么它们的调和平均数H就是H = n / (1/x1 + 1/x2 + ⋯ + 1/xn)。
2.平方平均数（Root Mean Square，简称RMS）：平方平均数是指一组数据各个数值的平方的算术平均值的平方根。
如果有n个正实数x1,x2,⋯,xn，那么它们的平方平均数R就是R = sqrt((x1^2 + x2^2 + ⋯ + xn^2) / n)。
3.算术平均数（Arithmetic Mean）：算术平均数是指一组数据的总和除以数据个数，也称为平均值。
假设有n个实数x1,x2,⋯,xn，那么它们的算术平均数A就是A = (x1 + x2 + ⋯ + xn) / n。
4.几何平均数（Geometric Mean）：几何平均数是指一组数据的各个数值的乘积的n次方根。
假设有n个正实数x1,x2,⋯,xn，那么它们的几何平均数G就是G = (x1 * x2 * ⋯ * xn)^(1/n)。
接下来，我们将证明调和平均数、平方平均数、算术平均数和几何平均数之间的关系。
假设有n个正实数x1,x2,⋯,xn。
我们先证明一个重要的不等式：几何平均数不大于算术平均数。
根据算术-几何平均值不等式（AM-GM Inequality），可以得到:G = (x1 * x2 * ⋯ * xn)^(1/n) <= (x1 + x2 + ⋯ + xn) / n = A接下来，我们将证明调和平均数与平方平均数之间的关系。
算术-几何平均值不等式
算术-几何平均值不等式信息来源：维基百科在数学中，算术-几何平均值不等式是一个常见而基本的不等式，表现了两类平均数：算术平均数和几何平均数之间恒定的不等关系。
设为个正实数，它们的算术平均数是，它们的几何平均数是。
算术-几何平均值不等式表明，对任意的正实数，总有：等号成立当且仅当。
算术-几何平均值不等式仅适用于正实数，是对数函数之凹性的体现，在数学、自然科学、工程科学以及经济学等其它学科都有应用。
算术-几何平均值不等式经常被简称为平均值不等式（或均值不等式），尽管后者是一组包括它的不等式的合称。
例子在的情况，设: ，那么.可见。
历史上的证明1 / 6历史上，算术-几何平均值不等式拥有众多证明。
的情况很早就为人所知，但对于一般的，不等式并不容易证明。
1729年，英国数学家麦克劳林最早给出了一般情况的证明，用的是调整法，然而这个证明并不严谨，是错误的。
柯西的证明1821年，法国数学家柯西在他的著作《分析教程》中给出了一个使用逆向归纳法的证明[1]：命题：对任意的个正实数，当时，显然成立。
假设成立，那么成立。
证明：对于个正实数，假设成立，那么成立。
证明：对于个正实数，设，，那么由于成立，。
但是，，因此上式正好变成也就是说2 / 6综上可以得到结论：对任意的自然数，命题都成立。
这是因为由前两条可以得到：对任意的自然数，命题都成立。
因此对任意的，可以先找使得，再结合第三条就可以得到命题成立了。
归纳法的证明使用常规数学归纳法的证明则有乔治·克里斯托（George Chrystal）在其著作《代数论》（algebra）的第二卷中给出的[2]：由对称性不妨设是中最大的，由于，设，则，并且有。
根据二项式定理，于是完成了从到的证明。
此外还有更简洁的归纳法证明[3]：在的情况下有不等式和成立，于是：3 / 6所以，从而有。
基于琴生不等式的证明注意到几何平均数实际上等于，因此算术-几何平均不等式等价于：。
由于对数函数是一个凹函数，由琴生不等式可知上式成立。
常见不等式
1、算术-几何平均值不等式在数学中，算术-几何平均值不等式是一个常见而基本的不等式，表现了两类平均数：算术平均数和几何平均数之间恒定的不等关系。
设为个正实数，它们的算术平均数是，它们的几何平均数是。
算术-几何平均值不等式表明，对任意的正实数，总有：等号成立当且仅当。
2、柯西不等式二维形式(a^2+b^2)(c^2 + d^2)≥(ac+bd)^2等号成立条件：ad=bc (a/b=c/d)扩展：((a1^2)+(a2^2)+(a3^2)+...+(an^2))((b1^2)+(b2^2)+(b3^2)+...(bn^2))≥(a1·b1+a2·b2+a3·b3+...+an·bn)^2等号成立条件：a1:b1=a2:b2=…=an:bn（当ai=0或bi=0时ai和bi都等于0，不考虑ai:bi，i=1,2,3,…,n)三角形式√(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)≥√*(a+c)^2+(b+d)^2+等号成立条件：ad=bc注：“√”表示平方根3、托勒密定理、托勒密不等式圆内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。
2.托勒密定理的逆定理同样成立：一个凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，则这个凸四边形内接于一圆、托勒密不等式：凸四边形的两组对边乘积和不小于其对角线的乘积，取等号当且仅当共圆或共线。
4、费马点在一个三角形中，到3个顶点距离之和最小的点叫做这个三角形的费马点。
(1)若三角形ABC的3个内角均小于120°，那么3条距离连线正好三等分费马点所在的周角。
所以三角形的费马点也称为三角形的等角中心。
(2)若三角形有一内角不小于120度，则此钝角的顶点就是距离和最小的点。
（3）在凸四边形ABCD中，费马点为两对角线AC、BD交点P。
三角形中费马点的找法：当三角形有一个内角大于或等于120°的时候，费马点就是这个内角的顶点；如果三个内角都在120°以内，那么，费马点就是使得费马点与三角形三顶点的连线两两夹角为120°的点。
高中物理均值不等式
高中物理均值不等式
高中物理中的均值不等式是一种重要的不等式，它可以应用于多个物理量的平均值之间的关系。
均值不等式可以分为两种，一种是算术平均值不等式，另一种是几何平均值不等式。
算术平均值不等式是指任意多个正数的算术平均数一定不小于它们的几何平均数。
几何平均值不等式则是指任意多个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数。
这两种平均值不等式在物理学中广泛应用，例如在波动力学、热力学、电学等方面。
对于任意多个正数a1,a2,...,an，它们的算术平均值和几何平均值分别为：
算术平均值： (a1+a2+...+an)/n
几何平均值： (a1*a2*...*an)^(1/n)
利用均值不等式，可以得到许多有用的结论和应用。
例如，在热力学中，均值不等式可以用来证明熵具有可加性；在电学中，它可以用来证明电路负载平衡的原理；在波动力学中，它可以用来证明相干光的合成原理等等。
总之，均值不等式是高中物理中的一个重要概念，它能够帮助我们更好地理解和应用各种物理量之间的关系。
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高一数学平均值知识点公式
高一数学平均值知识点公式在高一数学的学习过程中，平均值是一个非常重要的概念。
它不仅在数学中有广泛的应用，也在日常生活中有着重要的意义。
平均值可以帮助我们理解和处理数据，从而更好地分析问题和得出结论。
在本文中，我们将探讨一些高一数学中与平均值相关的知识点和常用的公式。
1. 平均数的定义平均数是指一组数的总和除以这组数的个数。
简单来说，就是将一组数求和后除以这组数的个数，得到的结果就是平均值。
2. 简单平均数的计算公式对于给定的一组数 x1, x2, ..., xn，它们的平均数记作x，可以通过以下公式计算：x = (x1 + x2 + ... + xn) / n其中，x表示平均数，x1, x2, ..., xn 表示给定的一组数，n 表示这组数的个数。
3. 加权平均数的计算公式在某些情况下，不同数值的重要性不同，因此需要使用加权平均数来计算平均值。
加权平均数是指在计算平均值时，使用一个权重因子来衡量每个数值的重要性。
加权平均数的计算公式如下：x = (w1*x1 + w2*x2 + ... + wn*xn) / (w1 + w2 + ... + wn)其中，x表示加权平均数，x1, x2, ..., xn 表示给定的一组数值，w1, w2, ..., wn 表示这些数值对应的权重因子。
4. 算术平均-几何平均不等式算术平均-几何平均不等式是一种数学中常用的重要不等式，它表明对于任意一组正数的算术平均值和几何平均值，算术平均值永远大于等于几何平均值。
设 x1, x2, ..., xn 是一组正数，它们的算术平均值为 A ，几何平均值为 G ，则有A ≥ G 。
5. 中位数中位数是一组数据中位于中间位置的数值，即将数据按照大小顺序排列后的中间值。
对于含有奇数个数据的集合，中位数就是位于最中间的那个数；对于含有偶数个数据的集合，中位数是中间两个数的算术平均值。
6. 众数众数是一组数据中出现次数最多的数值。
1.1.3.三个正数的算术__几何平均不等式 课件(人教A选修4-5)
[小问题· 大思维]
a＋b＋c 3 1．满足不等式 ≥ abc成立的 a，b，c 的范围是什么？ 3
提示：a，b，c的范围为a≥0，b≥0，c≥0. 2．应用三个正数的算术—几何平均不等式，求最值应注意 什么？ 提示：三个正数的和为定值，积有最大值；积为定值，
和有最小值．当且仅当三个正数相等时取得．
本题考查基本不等式、算术—几何平均值
不等式等基础知识，同时考查了等号成立的条件及推理运算 能力．
[证明] 法一：因为 a，b，c 均为正数，由平均值不 等式得 a2＋b2＋c2≥3(abc) ，
1 － 1 1 1 ＋b＋ c≥3(abc) 3 ， a 2 3
①
1 1 12 所以(a＋b＋ c) ≥9(abc)
设圆柱体的底面半径为 r，如图，由相似 H－h r R 三角形的性质可得 H ＝R，∴r＝H(H－h)． πR2 ∴V 圆柱＝πr2h＝ 2 (H－h)2h(0＜h＜H)． H 根据平均不等式可得 4πR2 H－h H－h 4πR2 H 3 V 圆柱＝ 2 · · · h≤ 2 ( ) H 2 2 H 3 4 2 ＝ πR H. 27 H－h 1 4 2 当且仅当 ＝h，即 h＝ H 时，V 圆柱最大＝ πR H. 2 3 27
中的应用.2012年昆明模拟以解答题的形式考查了算术—
几何平均值不等式在证明不等式中的应用，是高考模拟命
题的一个新亮点．
[考题印证]
(2012· 昆明模拟)已知 a，b，c 均为正数，证明：a2＋b2＋ 1 1 12 c ＋(a＋b＋c ) ≥6 3，并确定 a，b，c 为何值时，等号成立．
2
[命题立意]
的条件是否保持一致．
[通一类] 2．设0<a<1,0<b<1,0<c<1，
算术_几何平均值不等式的证明
平均值不等式是数学分析中解决许多极限问题以及其他应用问题的一个重要依据，特别是算术平均值－几何平均值不等式（以下简称算几不等式）的应用更是尤为广泛，许多极限问题的证明都要应用到这一不等式，而关于这一不等式的证明方法，常见的有利用数学归纳法及詹生不等式的证明，下面介绍几种另外的证明方法。
１利用二项式定理证明：首先，对于ａ，ｂ＞０由二项式定理，得（ａ＋ｂ）ｎ＞ａｎ＋ｎａｎ－１ｂ由数学归纳法，若ｎ－１时为真，对于ｎ，假设ａｎ≥ａｎ－１≥…≥ａ２≥ａ１≥０．又设ａ＝１ｎ－１ｎ－１ｉ＝１"ｘｉ，ｂ＝１ｎ（ｘｎ－ａ），故有ａ，ｂ≥０及１ｎｎ－１ｉ＝１"ｘｉ#$ｎ＝（ａ＋ｂ）ｎ＞ａｎ＋ｎａｎ－１ｂ＝ｘｎ１ｎ－１ｎ－１ｉ＝１"ｘｉ%&ｎ－１≥ｘｎ（ｘ１ｘ２…ｘｎ－１）即ｘ１＋ｘ２＋…＋ｘｎｎ≥ｘ１ｘ２…ｘｎｎ’（ｘｉ≥０，ｉ＝１，２，…，ｎ）．２利用不等式ｅｘ≥１＋ｘ（ｘ≥－１）证明：设Ａｎ＝ｘ１＋ｘ２＋…＋ｘｎｎ，Ｇｎ＝ｘ１ｘ２…ｘｎｎ’（ｘｉ＞０，ｉ＝１，２，…，ｎ）由不等式ｅｘ≥１＋ｘ（ｘ≥－１）可知，对于每一ｉ，有ｅｘｐｘｉＡｎ－%&１≥ｘｉＡｎ求乘积，得１＝ｎｉ＝１(ｅｘｐｘｉＡｎ－%$１＝ｅｘｐｎｉ＝１"ｘｉＡｎ－%$１%$≥ｎｉ＝１(ｘｉＡｎ＝ＧｎＡｎ%$ｎ算术－几何平均值不等式的证明故Ａｎ≥Ｇｎ，即ｘ１＋ｘ２＋…＋ｘｎｎ≥ｘ１ｘ２…ｘｎｎ"（ｘｉ＞０，ｉ＝１，２，…，ｎ）．３利用泰勒公式证明：设ｆ（ｘ）＝ｌｏｇａｘ（０＜ａ＜１，ｘ＞０），则ｆ″（ｘ）＝１ｘ２１ｎａ＞０，将ｆ（ｘ）在点ｘ０处展开，有ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ０）＋ｆ′（ｘ０）（ｘ－ｘ０）＋ｆ″（ｘ）２（ｘ－ｘ０）２，!＝ｘ０＋"（ｘ－ｘ０）（０＜"＜１）因此有ｆ（ｘ）≥ｆ（ｘ０）＋ｆ′（ｘ０）（ｘ－ｘ０），取ｘ０＝１ｎｎｉ＝１#ｘｉ（ｘｉ∈（ａ，ｂ），（ｉ＝１，２，…，ｎ），则有ｆ（ｘｉ）≥ｆ１ｎｎｉ＝１%ｘｉ&’＋ｆ′１ｎｎｉ＝１%ｘｉ&(ｘｉ－ｎｉ＝１%ｘｉ&(（ｉ＝１，２，…，ｎ）故ｎｉ＝１%ｆ（ｘｉ）≥ｎｆ１ｎｎｉ＝１%ｘｉ&(＋ｆ′１ｎｎｉ＝１%ｘｉ&(＋ｎｉ＝１%ｘｉ－ｎｉ＝１%ｘｉ&(＝ｎｆ１ｎｎｉ＝１%ｘｉ&(即ｆ１ｎｎｉ＝１%ｘｉ&(≤１ｎｎｉ＝１%ｆ（ｘｉ）．因此有ｌｏｇａ１ｎ（ｘ１＋ｘ２＋…＋ｘｎ）≤１ｎ（ｌｏｇａｘ１＋ｌｏｇａｘ２＋…ｌｏｇａｘｎ）即１ｎｌｏｇａ（ｘ１ｘ２…ｘｎ）≥ｌｏｇａ１ｎ（ｘ１＋ｘ２＋…＋ｘｎ）亦即ｌｏｇａ（ｘ１ｘ２…ｘｎ）１ｎ≥１ｎｌｏｇａ（ｘ１＋ｘ２＋…＋ｘｎ）（０＜ａ＜１）故有ｘ１＋ｘ２＋…＋ｘｎｎ≥ｘ１ｘ２…ｘｎｎ"（ｘｉ＞０，ｉ＝１，２，…，ｎ）．４利用函数凹凸性证明：设ｆ（ｘ）＝ｌｏｇａｘ（ａ＞１，ｘ＞０），则ｆ″（ｘ）＝－１ｘ２１ｎａ＜０，故ｆ（ｘ）是上凸函数，因此有ｎｉ＝１%ａｉｆ（ｘｉ）≤ｆｎｉ＝１%ａｉｘｉ&(，取ａｋ＝１ｎ（ｋ＝１，２，…，ｎ），有１ｎ（ｌｏｇａｘ１＋ｌｏｇａｘ２＋…ｌｏｇａｘｎ）≤ｌｏｇａ１ｎ（ｘ１＋ｘ２＋…＋ｘｎ）即１ｎｌｏｇａ（ｘ１ｘ２…ｘｎ）≤ｌｏｇａ１ｎ（ｘ１＋ｘ２＋…＋ｘｎ）亦即ｌｏｇａ（ｘ１ｘ２…ｘｎ）１ｎ≤ｌｏｇａ１ｎ（ｘ１＋ｘ２＋…＋ｘｎ）故有ｘ１＋ｘ２＋…＋ｘｎｎ≥ｘ１ｘ２…ｘｎｎ"（ｘｉ＞０，ｉ＝１，２，…，ｎ）．。
数学：平均值不等式
平均值不等式目的要求： 重点难点： 教学过程： 一、引入：1、定理1：如果R b a ∈,，那么ab b a 222≥+（当且仅当b a =时取“=”） 证明：222)(2b a ab b a -=-+⇒⎭⎬⎫>-≠=-=0)(0)(22b a b a b a b a 时，当时，当ab b a 222≥+ 1．指出定理适用范围：R b a ∈, 强调取“=”的条件b a =。
2、定理2：如果b a ,是正数，那么ab ba ≥+2（当且仅当b a =时取“=”） 证明：∵ab b a 2)()(22≥+ ∴ab b a 2≥+即：ab b a ≥+2 当且仅当b a =时 ab ba =+2注意：1．这个定理适用的范围：+∈R a ；2．语言表述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
3、定理3：如果+∈R c b a ,,，那么abc c b a 3333≥++（当且仅当c b a ==时取“=”） 证明：∵abc ab b a c b a abc c b a 333)(32233333---++=-++)(3])())[((22c b a ab c c b a b a c b a ++-++-+++= ]32)[(222ab c bc ac b ab a c b a -+--++++= ))((222ca bc ab c b a c b a ---++++=])()())[((21222a c c b b a c b a -+-+-++=∵+∈R c b a ,, ∴上式≥0 从而abc c b a 3333≥++ 指出：这里+∈R c b a ,, ∵0<++c b a 就不能保证。
推论：如果+∈R c b a ,,，那么33abc c b a ≥++。
（当且仅当c b a ==时取“=”）abDBOAC证明：3333333333)()()(c b a c b a ⋅⋅≥++⇒33abc c b a ≥++⇒33abc c b a ≥++ 4、算术—几何平均不等式：①．如果++∈>∈N n n R a a a n 且1,,,,21Λ 则：na a a n+++Λ21叫做这n 个正数的算术平均数，n n a a a Λ21叫做这n 个正数的几何平均数；②．基本不等式：na a a n +++Λ21≥n n a a a Λ21（n i R a N n i ≤≤∈∈+1,,*）这个结论最终可用数学归纳法，二项式定理证明（这里从略） 语言表述：n 个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
高中数学均值不等式公式
高中数学均值不等式公式
高中数学中，均值不等式公式是一种常用的工具，用于比较一组数的大小关系。
在统计学和概率论中，均值不等式被广泛应用来证明和推导各种定理和公式。
下面将介绍两个常见的均值不等式公式：算术平均数和几何平均数。
1. 算术平均数（Arithmetic Mean）：
算术平均数是一组数相加，然后除以这组数的个数所得到的值。
假设我们有
n 个数：a₁, a₂, ..., aₙ，则算术平均数的公式为：
平均数 = (a₁ + a₂ + ... + aₙ) / n。
算术平均数常用于表示一组数的集中趋势，常见于统计学和概率论的应用中。
2. 几何平均数（Geometric Mean）：
几何平均数是一组数的乘积开 n 次方根。
假设我们有 n 个正数：a₁, a₂, ...,
aₙ，则几何平均数的公式为：
平均数= √(a₁ × a₂ × ... × aₙ)。
几何平均数常用于表示一组数的平均值，尤其在涉及倍率和比率的情况下特
别有用。
这两个均值不等式公式在数学中有广泛的应用，可以用来推导其他重要的不等式，如均值不等式的推广形式如夹逼定理、柯西不等式和勒贝格不等式，以及其他数学领域的定理和方法。
要使用这些公式，我们需要根据具体问题的要求选择适当的平均数，并将其应用到相应的计算中。
总结来说，高中数学中的均值不等式公式包括算术平均数和几何平均数。
这些
公式在统计学和概率论中被广泛应用，被用来描述和比较一组数的大小关系。
了解这些公式的应用方法和特点对于解决各种数学问题是至关重要的。
算术——几何平均值不等式的几则数学归纳法证明
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平均值不等式公式四个
平均值不等式公式四个
均值不等式公式对于两个数a,b 他们的调和平均,算术平均,平方平均,几何平均分别是什么? 这4个平均之间的关系是什么? (a,b的平方平均是√(ab)还是2*√(ab),还有对于三个数a,b,c的平方平均是三次根号下(abc)还是3*三次根号下(abc) ) 写错了最下面的不是平方平均是几何平均
平方平均>=算术平均>=几何平均>=调和平均举个三个数的例子,即：[√(a^2+b^2+c^2)]/3 >= (a+b+c)/3 >= 三次根号下(abc) >=3/[(1/a)+(1/b)+(1/c)] 这个公式就背吧,很有用的.
此外关于均值不等式的证明方法有很多，例如数学归纳法（第一数学归纳法或反向归纳法）、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等，都可以证明均值不等式，在这里简要介绍数学归纳法的证明方法：（注：在此证明的，是对n维形式的均值不等式的证明方法。
）用数学归纳法证明，需要一个辅助结论。
引理：设A≥0，B≥0，则，且仅当B=0时取等号。
注：引理的正确性较明显，条件A≥0，B≥0可以弱化为A≥0，A+B≥0，有兴趣的同学可以想想如何证明（用数学归纳法）（或用二项展开公式更为简便）。
原题等价于：, 当且仅当时取等号。
当n=2时易证；假设当n=k时命题成立，即, 当且仅当时取等号。
那么当n=k+1时，不妨设是中最大者，则设，，根据引理，当且仅当且时，即时取等号。
值得一提的是利用琴生不等式法也可以很简单地证明均值不等式，同
时还有柯西归纳法等等方法。
建议感兴趣的小伙伴们可要深入学习，多多咨询老师，让自己掌握更多的解题方法与思路。
不等式的性质--算术平均数与几何平均数(2)
b aab D'D ABC 课 题：2.1不等式的性质--算术平均数与几何平均数（2） 教学目的：1进一步掌握均值不等式定理；2会应用此定理求某些函数的最值并解决一些简单的实际问题教学重点：均值不等式定理的应用 教学难点：解题中的转化技巧 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教学过程：一、复习引入：1．重要不等式：如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a 2．定理：如果a,b 是正数，那么).""(2号时取当且仅当==≥+b a ab ba 我们称b a ba ,2为+的算术平均数，称b a ab ,为的几何平均数 ab ba ab b a ≥+≥+2222和成立的条件是不同的：前者只要求a,b 都是实数，而后者要求a,b 都是正数“当且仅当”的含义是充要条件3．均值定理的几何意义是“半径不小于半弦”以长为a+b 的线段为直径作圆，在直径AB 上取点C ，使点C 作垂直于直径AB 的弦DD ′,那么CB CA CD ⋅=2，即ab CD =这个圆的半径为2ba +，显然，它不小于CD ，即ab ba ≥+2，其中当且仅当点C 与圆心重合；即a=b 时，等号成立二、讲解新课：公式的等价变形：ab ≤222b a +，ab ≤22a b +⎛⎫⎪⎝⎭2． baa b +≥2（ab ＞0），当且仅当a ＝b 时取“＝”号；3．定理：如果+∈R c b a ,,，那么abc c b a 3333≥++（当且仅当c b a ==时取“=”）证明：∵abc ab b a c b a abc c b a 333)(32233333---++=-++)(3])())[((22c b a ab c c b a b a c b a ++-++-+++=]32)[(222ab c bc ac b ab a c b a -+--++++= ))((222ca bc ab c b a c b a ---++++= ])()())[((21222a c c b b a c b a -+-+-++= ∵+∈R c b a ,, ∴上式≥0 从而abc c b a 3333≥++高中数学（上册）教案 第二章 不等式（第5课时） 保康县职业高级中学：洪培福第14页指出：这里+∈R c b a ,, 若0<++c b a 就不能保证（此公式成立的充要条件为0≥++c b a ）4．推论：如果+∈R c b a ,,，那么33abc c b a ≥++ （当且仅当c b a ==时取“=”） 证明：3333333333)()()(c b a c b a ⋅⋅≥++⇒33abc c b a ≥++⇒33abc c b a ≥++ 5．关于“平均数”的概念如果++∈>∈N n n R a a a n 且1,,,,21 则：na a a n+++ 21叫做这n 个正数的算术平均数；n n a a a 21叫做这n 个正数的几何平均数 推广：na a a n +++ 21≥nn a a a 21 n i R a N n i ≤≤∈∈+1,,*语言表述：n 个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数上述重要不等式有着广泛的应用，例如：证明不等式，求函数最值，判断变量或数学式子的取值范围等等它们涉及到的题目活，变形多，必须把握好凑形技巧步学习均值不等式的应用 三、讲解范例：例1 已知c b a ,,为两两不相等的实数，求证：ca bc ab c b a ++>++222 证明：∵ab b a 222>+ 222b c bc +> ca a c 222>+以上三式相加：ca bc ab c b a 222)(2222++>++ ∴ca bc ab c b a ++>++222例2 已知a,b,c,d 都是正数，求证：abcd bd ac cd ab 4))((≥++分析：此题要求学生注意与均值不等式定理的“形”上发生联系，从而准确使用，同时增强对均值不等式定理的条件的理解证明：∵a,b,c,d 都是正数，∴ab ＞0，cd ＞0，ac ＞0，bd ＞0得0,2ab cd +≥>0.2ac bd+≥> 由不等式的性质定理4的推论1，得()().4ab cd ac bd abcd ++∴≥即abcd bd ac cd ab 4))((≥++点评：用均值不等式证明题时，要注意为达到目标可先宏观，而后微观；均值不等式在使用时，常需先凑形后使用；均值不等式和不等式的基本性质联合起来证题是常用的行之有效的方法例3 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m 3,深为3m ，如果池底每1m 2的造价为150元，池壁每1m 2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理解：设水池底面一边的长度为xm ，水池的总造价为l 元，根据题意，得)1600(720240000x x l ++=240000720240000720240297600≥+⨯=+⨯⨯=当.2976000,40,1600有最小值时即l x xx == 所以，当水池的底面是边长为40m 的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元评述：此题既是不等式性质在实际中的应用，应注意数学语言的应用即函数解析式的建立，又是不等式性质在求最值中的应用，应注意不等式性质的适用条件我们应用两个正数的算术平均数与几何平均数的定理(即均值不等式)顺利解决了本章引例中的问题(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；(2)建立相对应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题； (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)准确写出答案 四、课堂练习：1已知x ≠0，当x 取什么值时，x 2＋281x 的值最小?最小值是多少? 分析：注意到x 2＋281x 是和的形式，再看x 2·281x ＝81为定值，从而可求和的最小值解：x ≠0⇒x 2＞0，281x ＞0,∴x 2＋281x ≥22281x x ⋅＝18， 当且仅当x 2＝281x ,即x ＝±3时取“＝”号.故x=±3时,x 2+281x的值最小,其最小值是182一段长为Ｌ m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少?分析：均值不等式在实际问题中的应用相当广泛，解题过程中要(1)先构造定值，(2)建立函数关系式，(3)验证“＝”号成立，(4)确定准确答案解法一：设矩形菜园的宽为x m ，则长为（Ｌ－2x ）m ，其中0＜x ＜21，其面积S ＝x （Ｌ－2x ）＝21·2x （Ｌ－2x ）≤218)222(22L x L x =-+当且仅当2x ＝Ｌ－2x 即x ＝4L 时菜园面积最大，即菜园长2L m ，宽为4Lm 时菜园面积最大为82L m 2解法二：设矩形的长为x m ，则宽为2xL -m ，面积S ＝2)(2)(2x L x x L x -⋅=-≤82)2(22L x L x =-+（m 2）当且仅当x ＝Ｌ－x ，即x ＝2L （m ）时，矩形的面积最大也就是菜园的长为2Lm ，宽为4L m 时，菜园的面积最大，最大面积为82L m 2高中数学（上册）教案 第二章 不等式（第5课时） 保康县职业高级中学：洪培福第16页3设0＜x ＜2，求函数f(x)=)38(3x x -的最大值，并求出相应的x 值分析：根据均值不等式：2ba ab +≤，研究)38(3x x -的最值时，一要考虑3x 与８－3x 是否为正数；二要考查式子21［3x ＋（８－3x ）］是否为定值 解：∵0＜x ＜2, ∴3x ＞0，８－3x ＞0∴f （x ）＝)38(3x x -≤2)38(3x x -+＝4当且仅当3x ＝８－3x 即x ＝34时取“＝”号,故函数f （x ）的最大值为4，此时x 3五、小结 ：本节课我们用两个正数的算术平均数与几何平均数的关系定理及其推广的几个重要不等式顺利解决了函数的一些最值问题在解决问题时，我们重点从以下三个方面加以考虑：一是均值不等式成立的条件(各因式或项都取正值)；二是合理寻求各因式或项的积或和为定值；三是确定等号能够成立只有这样，我们才能在分析具体问题的特点的过程当中合理运用公式的适当形式和具体方式，解决某些函数的最值问题 六、课后作业：(1)求函数y ＝2x 2＋x 3（x ＞0）的最小值 (2)求函数y ＝x 2＋41x（x ＞0）的最小值(3)求函数y ＝3x 2－2x 3（0＜x ＜23）的最大值(4)求函数y ＝x （1－x 2）（0＜x ＜1)的最大值(5)设a ＞0，b ＞0，且a 2＋22b ＝1，求a 21b +的最大值 分析：我们来考虑运用正数的算术平均数与几何平均数之间的关系来解答这些问题根据函数最值的含义，我们不难发现若平均值不等式的某一端为常数，则当等号能够取到时，这个常数即为另一端的一个最值ab ba ≥+2，若ab 为常数k ，则当且仅当a ＝b 时，a ＋b 就有最小值2k ；若a ＋b 为常数s ，则当且仅当a ＝b 时，ab 就有最大值21s （或xy 有最大值41s 2）因此，解决这些问题的关键就是如何构造这些“定和”或“定积”解：(1)∵x ＞0 ∴2x 2＞0，x 3＞0,∴y ＝2x 2＋x 3＝2x 2＋x 23＋x 23≥3·329当且仅当2x 2＝x 23，即x ＝343时等号成立故当x ＝343时，y 有最小值3(2)3422424131221≥++=+=x x x x x y ，当且仅当4212x x =即x ＝±62时，等号成立故当x ＝±62时，y 有最小值(3)∵0＜x ＜23 ∴3－2x ＞0 ∴y ＝x 2（3－2x ）＝x ·x ·（3－2x ）≤（323x x x -++）3＝1,当且仅当x ＝3－2x 即x ＝1时，等号成立(4)∵0＜x ＜1 ∴1－x 2＞0 ∵y 2＝x 2（1－x 2）2＝21·2x 2（1－x 2）（1－x 2）≤21（32）3＝274当且仅当2x 2＝1－x 2即x ＝33时，等号成立，∴当x ＝33时，y 227由题意可知：y ＞0,故当x ＝33时，y 93(5)∵a ＞0，b ＞0，且a 2＋22b ＝1 ∴a 2212122b a b +=+≤423)221(2222=++b a ， 当且仅当a ＝2212b +，即a ＝23，b ＝22时取“＝”号 故当a ＝23，b ＝22时，a 21b +423评述：用均值不等式求函数的最值，是值得重视的一种方法，但在具体求解时，应注意考查下列三个条件：(1)函数的解析式中，各项均为正数；(2)函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；(3)函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值即用均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等若不满足这些条件，则不能直接运用这种方法八、课后记：。
求解初中数学常见的不等式
求解初中数学常见的不等式初中数学中，不等式是一个常见的考察和应用的知识点。
不等式是用来表示两个数量大小关系的一种数学工具，常出现在各种数学题型中，例如算术平均值与几何平均值的关系、等分原理、加减、积等不等式等。
在解题时，我们需要掌握各类不等式的性质和解法，下面将详细介绍几类常见的不等式及其解法。
一、一次不等式一次不等式的形式为ax + b > 0或ax + b < 0。
通过将不等式移项可以得到ax > -b或ax < -b，进而得到x的取值范围。
例如：解不等式2x + 3 > 5解法如下：2x + 3 > 52x > 5 - 32x > 2x > 1所以，不等式2x + 3 > 5的解为x > 1。
二、二次不等式二次不等式的形式为ax² + bx + c > 0或ax² + bx + c < 0。
通过求解二次函数的根，可以将不等式转化为一次不等式的形式。
如果二次函数的两个根分别为α和β，则有：当a > 0时，ax² + bx + c > 0的解集为x < α或x > β；当a < 0时，ax² + bx + c > 0的解集为α < x < β。
例如：解不等式x² - 3x + 2 < 0解法如下：x² - 3x + 2 < 0(x - 1)(x - 2) < 0化简后，得到不等式的零点为x = 1和x = 2。
因为a = 1 > 0，所以解集为1 < x < 2。
所以，不等式x² - 3x + 2 < 0的解为1 < x < 2。
三、三角不等式三角不等式是由三角形的三条边两两不等关系得出的不等式，即对于任意三角形，其任意两边之和都大于第三边，即a + b > c、b + c > a和c + a > b。
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算术-几何平均值不等式
信息来源：维基百科
在数学中，算术-几何平均值不等式是一个常见而基本的不等式，表现了两类平均数：算术平均数和几何平均数之间恒定的不等关系。
设为个正实
数，它们的算术平均数是，它们的几何平均数是。
算术-几何平均值不等式表明，对任意的正实数，总有：
等号成立当且仅当。
算术-几何平均值不等式仅适用于正实数，是对数函数之凹性的体现，在数学、自然科学、工程科学以及经济学等其它学科都有应用。
算术-几何平均值不等式经常被简称为平均值不等式（或均值不等式），尽管后者是一组包括它的不等式的合称。
例子
在的情况，设: ，那么
.可见。
历史上的证明
历史上，算术-几何平均值不等式拥有众多证明。
的情况很早就为人所知，但对于一般的，不等式并不容易证明。
1729年，英国数学家麦克劳林最早给出了一般情况的证明，用的是调整法，然而这个证明并不严谨，是错误的。
柯西的证明
1821年，法国数学家柯西在他的著作《分析教程》中给出了一个使用逆向归纳法的证明[1]：
命题：对任意的个正实数，
当时，显然成立。
假设成立，那么成立。
证明：对于个正实数，
假设成立，那么成立。
证明：对于个正实数，设，，那么由于成立，。
但是，，因此上式正好变成
也就是说
综上可以得到结论：对任意的自然数，命题都成立。
这是因为由前两条可以得到：对任意的自然数，命题都成立。
因此对任意的，可以先找使得，再结合第三条就可以得到命题成立了。
归纳法的证明
使用常规数学归纳法的证明则有乔治·克里斯托（George Chrystal）在其著作《代数论》（algebra）的第二卷中给出的[2]：
由对称性不妨设是中最大的，由于，设，则，并且
有。
根据二项式定理，
于是完成了从到的证明。
此外还有更简洁的归纳法证明[3]：
在的情况下有不等式和成立，于是：
所以，从而有。
基于琴生不等式的证明
注意到几何平均数实际上等于，因此算术-几何平均不等式等价于：。
由于对数函数是一个凹函数，由琴生不等式可知上式成立。
基于排序不等式的证明
令，于是有，再作代换，运用排序不等式得到：
，
于是得到，即原不等式成立。
此外还有基于伯努利不等式或借助调整法、辅助函数求导和加强命题的证明。
推广
算术-几何平均不等式有很多不同形式的推广。
加权算术-几何平均不等式
不仅“均匀”的算术平均数和几何平均数之间有不等式，加权的算术平均数和几何平均数之间也有不等式。
设和为正实数，并且，那么：。
加权算术-几何平均不等式可以由琴生不等式得到。
矩阵形式
算术-几何平均不等式可以看成是一维向量的系数的平均数不等式。
对于二维的矩阵，一样有类似的不等式：对于系数都是正实数的矩阵
设，，那么有：
也就是说：对个纵列取算术平均数，它们的几何平均小于等于对个横行取的个几何平均数的算术平均。
极限形式
也称为积分形式：对任意在区间上可积的正值函数，都有
这实际上是在算术-几何平均值不等式取成后，将两边的黎曼和中的趋于无穷大后得到的形式。
参考来源
1.^ Augustin-Louis Cauchy, Cours d'analyse de l'École Royale Polytechnique, premier partie, Analyse algébrique, Paris, 1821. p457.
2.^ George Chrystal, Algebra:An Elementary Text-Book, Part II, Chapter .
3.^ P. H. Diananda , A Simple Proof of the Arithmetic Mean Geometric Mean Inequality ,The American Mathematical Monthly, Vol. 67, No. 10 (Dec., 1960), pp. 1007
匡继昌，《常用不等式》，山东科技出版社。
李胜宏，《平均不等式与柯西不等式》，华东师大出版社。
莫里斯·克莱因（Morris Kline），张理京张锦炎江泽涵译，《古今数学思想》，上海科学技术出版社。
李兴怀，《学科奥林匹克丛书·高中数学》，广东教育出版社。