三个正数的算术-几何平均不等式优秀教学设计
教学设计 三个正数的算术-几何平均不等式
三个正数的算术-几何平均不等式 教学目标：
1．了解三个正数的算术-几何平均不等式；
2．会用平均不等式求一些特定函数的最大（小）值。
教学重点：三个正数的算术-几何平均不等式及定理3的应用 教学难点：应用不等式解决应用问题
教学方法：六动感悟法（读，想，记，思，练，悟） 教学过程
1.三个正数的算术-几何平均不等式：
（1）如果333,,,c b a R c b a ++∈+那么>=abc 3，当且仅当 a=b=c 等号
成立。
（2）定理3：如果a,b,c ∈R+,那么
a b c 3++
≥ ,当且仅当a=b=c 时,等号成立.
2．基本不等式的推广
思考：利用平均不等式求最值的要注意条件？
注意：（1）获得定值需要一定的技巧，如配系数、拆项、分离常数、平方变形等；
（2）连续多次使用平均不等式定理时，要注意前后等号成立的条件是否一致；
3．思考并完成例5
4．如果的最小值？如何求212,0x x x +>
二、检测交流
1．已知9))((,,,≥++++∈+c a b c a b a c c b b a R c b a 求证（思考：根据此题你
能得到什么结论？）
2．若正数的最值计算满足y x xy y x 2,4,2+=
三、拓展探究
1．若的最值计算)(8
,0b a b a b a -+>>
2．若的最小值。
求)3)(2(1
,3,2--++>>b a b a b a
3．（参考例6）设的最大值求2)1(,10x x x -<<。
均值不等式教案2（共5篇）
均值不等式教案2（共5篇）第一篇：均值不等式教案2课题：第02课时三个正数的算术-几何平均不等式(第二课时）教学目标：1．能利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单的不等式，解决最值问题； 2．了解基本不等式的推广形式。
教学重点：三个正数的算术-几何平均不等式教学难点：利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单的不等式，解决最值问题教学过程：一、知识学习：定理3：如果a,b,c∈R+，那么推广：a+b+c3≥abc。
当且仅当a=b=c时，等号成立。
3a1+a2+Λ+ann≥a1a2Λan。
当且仅当a1=a2=Λ=an时，等号成立。
n语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
思考：类比基本不等式，是否存在：如果a,b,c∈R+，那么a+b+c≥3abc（当且仅当a=b=c时，等号成立）呢？试证明。
二、例题分析：例1：求函数y=2x+223333(x>0)的最小值。
x解一：y=2x+31112=2x2++≥332x2⋅⋅=334∴ymin=334 xxxxx33312223解二：y=2x+≥22x⋅=26x当2x=即x=时x2xx23 ∴ymin=26⋅12=23312=26324 21的最小值。
(a-b)b上述两种做法哪种是错的？错误的原因是什么？变式训练1 若a,b∈R+且a>b,求a+由此题，你觉得在利用不等式解决这类题目时关键是要_____________________ 例2 ：如下图，把一块边长是a的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的边沿名着虚线折转成一个无盖方底的盒子，问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？变式训练2 已知：长方体的全面积为定值Ｓ，试问这个长方体的长、宽、高各是多少时，它的体积最大，求出这个最大值．由例题，我们应该更牢记一 ____ 二 _____ 三 ________，三者缺一不可。
另外，由不等号的方向也可以知道：积定____________，和定______________.三、巩固练习 1.函数y=3x+12(x>0)的最小值是（）2xA.6B.66C.9D.12 2．函数y=x4(2-x2)(0<x<2)的最大值是（）D.2727A.0B.1C.四、课堂小结：通过本节学习，要求大家掌握三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会应用它证明一些不等式及求函数的最值，但是在应用时，应注意定理的适用条件。
1.1.3三个正数的算术--几何平均不等式(教学设计)
培养与他人合作的精神。学会与人合作交流，乐于探究，感受生活中的数学，
体验成功的喜悦，激发学生学习数学的兴趣，形成正确的学习态度。
重点
三个正数的算术几何平均不等式的理解及应用。
难点
三个正数的算术几何平均不等式应用。
教法
以“问题引导、合作探究”为主的引导发现式教学法。
2.让学生通过拓展练习，进一步掌握此不等式的应用。
拓展2：能不能用基本不等式解决与长方体的棱长和，表面积，体积有关的其他类似问题？
（小组讨论，展示讨论成果）
例2
及其拓展
例2：用边长为60厘米的正方形铁皮做一个无盖的水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边形翻转90°，再焊接而成，问截去小正方形的边长x为多少时，水箱容积V最大，最大的容积为多少？
教学环节设计
设计说明
教
学
过
程
复习引入
复习上节课学习的不等式的相关知识。
（1）基本不等式的内容
（2）基本不等式的应用：证明不等式，求最值。
（3）用基本不等式求最值的条件：“一正，二定，三相等”。
通过复习引入新课，使学生类比两个正数的基本不等式，学习三个正数的基本不等式。
新
课
讲
解
猜想
类比定理1,2猜想对于三个实数或正数有什么样的不等式。
例
1
及其
拓展
例1：已知x,y,z∈ ,求证： 。
（学生独立完成）
把三个正数的算术几何平均不等式的形式与两个正数的基本不等式做比较寻求解决方式，引导学生利用已有的知识经验求解。
拓展1：把x,y,z看做长方体的长宽高，那这个不等式说明什么问题？
1.1.3三个正数的算术-几何平均不等式导学案
1.1.3三个正数的算术-几何平均不等式导学案第一篇：1.1.3三个正数的算术-几何平均不等式导学案兰州新区永登县第五中学高二数学（文）导学案班级：小组名称：姓名：得分：2．若正数x,y满足xy2=4,计算x+2y的最值三、拓展探究1．若a>b>0,计算a+2．若a>2,b>3,求a+b+3．（参考例6）设0<x<1,求x(1-x)的最大值（思考：根据此题你能得到什么结论？）导学案§1.1.3三个正数的算术-几何平均不等式设计人：薛东梅审核人：梁国栋、赵珍学习目标：1．了解三个正数的算术-几何平均不等式；2．会用平均不等式求一些特定函数的最大（小）值。
学习重点：三个正数的算术-几何平均不等式及定理3的应用学习难点：应用不等式解决应用问题学习方法：六动感悟法（读，想，记，思，练，悟）一、自学评价1．三个正数的算术-几何平均不等式（1）如果a,b,c∈R+,那么a3+b3+c33abc，当且仅当，等号成立。
（2）定理3：即：2．基本不等式的推广：思考：利用平均不等式求最值的要注意条件？注意：（1）获得定值需要一定的技巧，如配系数、拆项、分离常数、平方变形等；（2）连续多次使用平均不等式定理时，要注意前后等号成立的条件是否一致；3．思考并完成例54．如果x>0,如何求2x+二、检测交流1．已知a,b,c∈R+,求证（8的最值b(a-b)的最小值。
(a-2)(b-3)的最小值？ x2abcbca++)(++)≥9（思考：根据此题你能得到什么结论？）bcaabc第二篇：三个正数的均值不等式三个正数的均值不等式一、基础知识1、（1）．重要不等式：如果a,b∈R,那么a2+b22ab（当且仅当时取“=”号）（2）．基本不等式：如果a,b是，那么a+bab即（当且仅当时取“=”号）2、三个正数的均值不等式：（1）如果a,bc是，那么号）（2）变形形式。
二、典型例证：例1：已知0<x<1，求y=x(1-x2)的最大值。
教学设计 三个正数的算术—几何平均不等式
1、猜想：
abc 3 1. 学生自主思考，猜想结 借 助 类 比 的 若a, b, c R , 求证： abc , 3 论. 方法，引导学 当且仅当a b c时, 等号成立. 生进行猜想，
若a, b, c R , 求证： a 3 b3 c 3 3abc, 当且仅当a b c时, 等号成立.
键，
若a b c为定值，abc 可能最大值
对定理有效的 解读有利于学 生抓住数学的 本质， 提高学生 运用知识的敏 感性， 从而提升 学生的正确运 用数学知识的 能力.
⑶当且仅当 a b c 时，等式成 立，此时取到最大（小）值. 5、定理推广：n 个正数的算术 5、 类比基本不等式和三个正 借 助 类 比 的 —几何平均不等式： 数的算术-几何平均不等式， 方法，引导学 生进行类比 若a1 , a2 , a3 , , an R , 则 归纳出 n 个正数的算术—几 推理和归纳 a1 a2 a3 an n a1a2 a3 an , 何平均不等式 推理，培养学 n 生合情推理 当且仅当a1 a2 a3 an时, 能力. 等号成立.
2
4、类比基本不等式，引导学 abc 3 abc a b c 3 3 abc 3 生对定理进行解读，让学生
3
若abc为定值，a b c 可能有最小值 抓住利用定理解决问题的关
abc 3 a bc abc abc 3 3
培养学生合 情推理能力.
2、证明：
因为a3 b3 c3 3abc (作差)
新 知 探 究
从已有知识 出发，层层推 3 2.学生在教师引导下，经历 进，调动学生 = a b 3a 2b 3ab 2 演绎推理的论证过程. 进行逻辑思 c 3 3abc 维的内驱力， 逐步导出结 3 = a b c3 3a 2b 3ab 2 3abc 论，培养学生 演绎推理能 = a b c a b a b c c 3ab a b c 力.
《三个正数的算术—几何平均不等式》教案
《三个正数的算术一几何平均不等式》教案教学目标1 •能利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单的不等式，解决最值问题； 2•了解基本不等式的推广形式 •教学重、难点重点：三个正数的算术-几何平均不等式难点：利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单的不等式，解决最值问题 教学过程一、引入：思考：类比基本不等式的形式，猜想对于3个正数a , b , c ,可能有怎样的不等式成立？ 类比基本不等式的形式，猜想对于 3个正数a , b , c ,可能有：若 a,b,c ・R ,那么 a 亠b 亠c -------3 abc ，当且仅当a=b=c 时，等号成立. 3二、给出定理证明:若a, b,c ^ R+,则a 3 + b 3 +c 3畠3abc,当且仅当a = b = c 时,等号成立 和的立方公式： 3 3 2 2 3(x y) x 3x y 3xy y 立方和公式： x 3 y 3 = (x y)(x 2 -xy y 2)a b c- J -----------------------------------------------定理3如果a,b, c • R .，那么 3 abc 当且仅当a=b=c 时，等号成立.3(三个正数的算术平均不小于它们的几何平均 )说明：(1)若三个正数的积是一个常数，那么当且仅当这三个正数相等时，它们的和有 最小值.(2)若三个正数的和是一个常数， 那么当且仅当这三个正数相等时， 它们的积有最大值. 定理推广：n 个正数的算术一几何平均不等式：当且仅当 a i =a 2 =a 3二… =an 时,等号成立.三、例题解析例5 已知 m R .,求证(x y z)3 _27xyz. 例6如图1. 1-5(课本第9页)，把一块边长是a 的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方 形，再把它的边沿着虚线折转成一个无盖方底的盒子，问切去的正方形边长是多少时， 才能使盒子的容积最大？ ^若a i , a 2, a 3, ,a n a i a 2 a 3 a n na n ,四、小结：回顾基本不等式及三个正数的算术—几何平均不等式以及它们的限制条件，I、- —、、＞ * t __-应用它们时,f.『的注意点.。
1.1(第3课时)三个正数的算术—几何平均不等式 学案(含答案)
1.1（第3课时）三个正数的算术—几何平均不等式学案（含答案）第第3课时课时三个正数的算术三个正数的算术几何平均不等式几何平均不等式学习目标1.理解定理3.2.能用定理3及其推广证明一些不等式.3.会用定理解决函数的最值或值域问题.4.能运用三个正数的算术几何平均不等式解决简单的实际问题知识点三项均值不等式思考类比基本不等式ab2aba0，b0，请写出a，b，cR时，三项的均值不等式答案abc33abc.梳理1三个正数的算术几何平均不等式定理3如果a，b，cR，那么abc33abc，当且仅当abc时，等号成立2基本不等式的推广对于n个正数a1，a2，，an，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即a1a2annna1a2an，当且仅当a1a2an时，等号成立3重要变形及结论abcabc33；a3b3c33abc；31a1b1c3abcabc3a2b2c23.上式中a，b，c均为正数，等号成立的条件均为abc.类型一用平均不等式求最值例11求函数yx1232x1x32的最大值；2求函数yx4x12x1的最小值解11x32，32x0，x10.又yx1232xx1x132xx1x132x33133127，当且仅当x1x132x，即x431，32时，ymax127.2x1，x10，yx4x1212x112x14x1213312x112x14x1214，当且仅当12x112x14x12，即x3时等号成立即ymin4.反思与感悟1利用三个正数的算术几何平均不等式定理求最值，可简记为“积定和最小，和定积最大”2应用平均不等式定理，要注意三个条件“一正，二定，三相等”同时具备时，方可取得最值，其中定值条件决定着平均不等式应用的可行性，获得定值需要一定的技巧，如配系数.拆项.分离常数.平方变形等跟踪训练1求函数y13x2x0x13的最大值解y13x2x1613x13x6x1613x13x6x33481，当且仅当13x13x6x，即x19时，ymax481.类型二用平均不等式证明不等式例2已知a，b，cR.求证a3b3c31abc23.证明a3b3c31abc3abc1abc23，当且仅当abc，且abc33时等号成立a3b3c31abc23.引申探究若本例条件不变，求证bcaacabbabcc3.证明bcaacabbabccbacbaccaabbc333bacbac33caabbc3633，当且仅当abc时取等号反思与感悟证明不等式的方法1首先观察所要证的式子结构特点及题目所给条件，看是否满足“一正.二定.三相等”的条件若满足即可利用平均不等式证明2若题目不满足该条件，则可灵活利用已知条件构造出能利用三个正数的基本不等式的式子跟踪训练2已知x，y，z都是正数，且xyz1，求证1xy1xz1yz27.证明1xy33xy0,1xz33xz0，1yz33yz0，1xy1xz1yz273xyz2.又xyz1，1xy1xz1yz27，当且仅当xyz1时，等号成立类型三用平均不等式解决实际应用问题例3如图，将边长为1的正六边形铁皮图的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器图当这个正六棱柱容器的底面边长为多少时，容积最大，并求出最大容积解设正六棱柱的底面B1B2B3B4B5B6的边长为x0x1，则OB1B1B2x.由正六边形A1A2A3A4A5A6的边长为1，得OA1A1A21，A1B1OA1OB11x.作B1C1A1A2于点C1，在RtA1C1B1中，B1A1C160，则容器的高B1C1A1B1sin60321x于是容器的容积为VfxSh634x2321x94x21x0x1则fx94x21x98xx22x98xx22x3313，当且仅当xx22x，即x23时，Vmax13.故当正六棱柱容器的底面边长为23时，最大容积为13.反思与感悟利用三个正数的基本不等式解决应用问题的一般步骤1理解题意，设变量设变量时一般要把所求最大值或最小值的变量定为函数2建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为求函数的最大值或最小值问题3在定义域内，求出函数的最大值或最小值4验证相等条件，得出结论跟踪训练3已知球的半径为R，球内接圆柱的底面半径为r，高为h，则r和h为何值时，内接圆柱的体积最大解设内接圆柱的体积为V，又R2r2h24，r2R2h24，Vr2hR2h24h.又V44R2h2h44R2h22h24124R2h222h24128R233439R3，当且仅当4R2h22h2，即h233R，此时r63R时，等号成立当h233R，r63R 时，内接圆柱的体积最大为439R3.1函数fx1x22xx0的最小值为A3B4C5D6答案A解析x0，fx1x2xx331x2xx3，当且仅当x1x2，即x1时等号成立2设x0，则fx4x12x2的最大值为A422B42C不存在D.52答案D解析x0，fx4x12x24x2x212x2433x2x212x243252，当且仅当x2x212x2，即x1时，等号成立3已知x为正数，下列各选项求得的最值正确的是Ayx22x4x333x22x4x36，故ymin6.By2x1x332x1x332，故ymin332.Cy2x1x4，故ymin4.Dyx1x12x133x1x12x33881，故ymax881.答案C解析A，B，D在使用不等式abc33abca，b，cR和abcabc33a，b，cR时都不能保证等号成立，最值取不到C中，x0，y2x1x2x1x224，当且仅当x1x，即x1时取等号4设a，bR，且ab3，则ab2的最大值为A2B3C4D6答案C解析ab24ab2b24ab2b2334ab334134，当且仅当ab21时，等号成立即ab2的最大值为4.5已知a，b为实数，且a0，b0，则ab1aa21b1a2的最小值为________答案9解析因为a0，b0，所以ab1a33ab1a33b0，同理可得a21b1a2331b0，由及不等式的性质，得ab1aa21b1a233b331b9，当且仅当ab1时，等号成立1求实际问题的最值一定要注意变量应在实际允许的范围内取值，在使用三个正数的基本不等式定理求最值时，一定要注意检验等号是否成立2求形如yax2bxx0，a0，b0的函数的最小值，关键是拆bx为bxb2xb2x，则yax2bxax2b2xb2x33ax2b2xb2x3232ab2.求形如yaxcbx2x0，a0，bc0的函数的最小值，关键是拆ax 为ax2ax2，则yaxcbx2ax2ax2cbx233ax2ax2cbx23232a2cb.。
高中数学《三个正数的算术—几何平均不等式 》导学案
1.1.3三个正数的算术—几何平均不等式一、学习目标1.了解三个正数的算术—几何平均不等式；2.会应用三个正数的算术—几何平均不等式解决简单问题.【重点、难点】教学重点：三个正数的算术-几何平均不等式教学难点：利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单的不等式，解决最值问题二、学习过程【情景创设】1.基本不等式给出了两个正数的算术平均与几何平均的关系，这个不等式能否推广呢？例如，对于3个正数，会有怎样的不等式成立？2.证明：已知+∈R c b a ,,，那么abc c b a 3333≥++，当且仅当c b a ==时，等号成立.【导入新课】（阅读课本第8-9页，完成下面知识点的梳理）1.定理3.如果+∈R c b a ,,，那么3c b a ++ ，当且仅当 时，等号成立. 即：三个正数的 不小于它们的 .2推广：对于n 个正数n a a a ,,,21 ，它们的算术平均它们的几何平均.，即 ，当且仅当 时，等号成立.思考探究:利用不等式a ＋b ＋c 3≥3abc 求最值的条件是什么？ “一正、二定、三相等”，即(1)各项或各因式为 ；(2)和或积为 ；(3)各项或各因式能 相等的值．三 、典例分析例1. 求函数)0(,322>+=x x x y 的最大值，下列解法是否正确？为什么？ 解一： 3322243212311232=⋅⋅≥++=+=xx x x x x x x y ∴3min 43=y 解二：x x x x x y 623223222=⋅≥+=当x x 322=即2123=x 时 633min 3242123221262==⋅=y例2.已知a ，b ，c 为正数，求证： (a ＋b ＋c )(a 2＋b 2＋c 2)≥9abc .【变式拓展】1．如果x >0，如何求2x ＋1x2的最小值？ 2.当x ∈(0,1)时，函数y=x 2(1-x)的最大值是_______.四、总结反思1．(1)在应用平均不等式时，一定要注意是否满足条件，即a >0，b >0.(2)若问题中一端出现“和式”而另一端出现“积式”，这便是应用基本不等式的“题眼”，不妨运用平均不等式试试看．2．连续多次运用平均不等式定理时，要特别注意前后等号成立的条件是否一致．五、随堂检测1．函数y ＝x 2(1－5x )(0≤x ≤15)的最大值是( ) A ．4 B.215 C.4675 D.522．若x >0，则4x ＋9x2的最小值是( ) A ．9 B ．3336 C ．13 D ．不存在3．已知a.b.c ∈R ＋则(a b ＋b c ＋c a )(b a ＋c b ＋a c)≥________. 4．设a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝3，则ab 2的最大值是________．5.若正数y x ,.满足42=xy ，则y x 2+的最小值为 .。
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三个正数的算术－几何平均不等式
【教学目标】
1．能利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单的不等式，解决最值问题；
2．了解基本不等式的推广形式。
【教学重难点】
1．三个正数的算术-几何平均不等式
2．利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单的不等式，解决最值问题
【教学过程】
一、知识学习：
定理3：如果+∈R c b a ,,，那么
33abc c b a ≥++。
当且仅当c b a ==时，等号成立。
推广： n
a a a n +++ 21≥n n a a a 21 。
当且仅当n a a a === 21时，等号成立。
语言表述：n 个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
思考：类比基本不等式，是否存在：如果+∈R c b a ,,，那么abc c b a 3333≥++（当且仅当c b a ==时，等号成立）呢？试证明。
二、例题分析：
例1：求函数)0(322>+=x x
x y 的最小值。
解一： 3322243212311232=⋅⋅≥++=+=x
x x x x x x x y ∴3min 43=y 解二：x x x x x y 623223222
=⋅≥+=当x x 322=即2123=x 时 ∴633min 324212322
1262==⋅=y 上述两种做法哪种是错的？错误的原因是什么？
变式训练1 b
b a a b a R b a )(1,,-+>∈+求且若的最小值。
由此题，你觉得在利用不等式解决这类题目时关键是要_____________________
例2 ：如下图，把一块边长是a 的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的边沿名着虚线折转成一个无盖方底的盒子，问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？
变式训练2 已知：长方体的全面积为定值Ｓ，试问这个长方体的长、宽、高各是多少时，它的体积最大，求出这个最大值。
由例题，我们应该更牢记 一 ____ 二 _____ 三 ________，三者缺一不可。
另外，由不等号的方向也可以知道：积定____________，和定______________。
三、巩固练习
1．函数)0(1232>+=x x
x y 的最小值是 ( ) A ．6 B ．66 C ．9 D ．12
2．函数2
22)1(164++=x x y 的最小值是____________ 3．函数)20)(2(24<<-=x x x y 的最大值是（ ）
A ．0
B ．1
C ．2716
D ． 2732
4．(2009浙江自选)已知正数z y x ,,满足1=++z y x ，求2
444z y x ++的最小值。
5.（2008，江苏，21）设c b a ,,为正实数，求证：32111333≥+++abc c b a
四、课堂小结：
通过本节学习，要求大家掌握三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会应用它证明一些不等式及求函数的最值，，但是在应用时，应注意定理的适用条件。