平面几何辅助线添加技巧

第一章 中点模型的构造当已知条件中出现一个中点时，你首选想到的作辅助线解题方法是什么？如果已知两个中点呢？ 一、考情分析三角形是初中几何的重要内容之一，也是历年中考命题的热点.其中三角形各边的中点、线及中位线的有关性质的应用，是中考的必考内容，历年来多以计算和证明题的形式出现. 二、知识点回顾1、线段的中点如图所示，点M 将线段AB 分成相等的两条线段AM 与BM ，则点M 叫做线段AB 的中点.类似地，还有线段的三等分点，四等分点：2、等腰三角形(1)定义：如图所示，在ABC ∆中，如果AC AB =，则ABC ∆是等腰三角形.(2)性质：①等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”).②等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合(简写成“三线合一”).(3)判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”). 3、等边三角形(1)定义：三条边都相等的三角形叫作等边三角形(也叫正三角形).(2)性质：等边三角形的三个角都相等并且每一个角都等于o60；“三线合一”. (3)判定：①三个角都相等的三角形是等边三角形. ②有一个角是o60的等腰三角形是等边三角形. ③三边相等的三角形是等边三角形. 4、直角三角形(1)定义：有一个角是直角的三角形叫作直角三角形. (2)性质：①直角三角形中两锐角互余. ②直角三角形斜边中线等于斜边一半.③直角三角形中，如果一个锐角等于o30，那么它所对的直角边等于斜边的一半；④直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方——勾股定理，即如果直角三角形中两5、全等三角形(1)定义：能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形； (2)性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等； (3)判定：①三边对应相等的两个三角形全等(SSS)；②两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(SAS); ③两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)； ④两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS); ⑤斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL); 6、三角形的中位线(1)定义：连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线.如图所示，在ABC ∆中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，则DE 叫作三角形ABC ∆的中位线.(2)定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.如图所示，在ABC ∆中，DE 是ABC ∆的中位线，则BC DE //且BC DE 21=.技巧提炼很多几何题会给出“点X”是线段XX 的中点”这样的条件，那么看到“中点”应该想到什么呢？“中点”有哪些作用呢？1、已知任意三角形一边上的中点，可以考虑：(1)倍长中位线或类中线(与中点有关的线段)构造全等三角形.如图(a )、(b )所示(2)三角形中位线定理2、已知直角三角形斜边中点，可以考虑构造斜边中线；3、已知等腰三角形底边中点，可以考虑与顶点连接用“三线合一”；4、有些题目的中点不直接给出，此时需要挖掘题目中的隐含中点，例如直角三角形中斜边中点，等腰例题选讲例1、如图所示，在ABC ∆中，12=AB ，20=AC ，求BC 边上的中线AD 的取值范围(思路点拔)因为AD 是中线，所以加倍延长AD 至点E ，使AD DE =，连接CE ，构造全等三角形即可.例2、如图所示，已知在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，连接BE 并延长交AC 于点F ，EF AF =，求证：BE AC =.(思路点拔)遇到中线，可以考虑倍长中线或类中线(与中点有关的线段)，因为AD 是中线，所以加倍延长AD 至点G 使DA DG =，连接BG ，构造全等三角形，进行导角；或者加倍延长DE ，构造全等三角形，再进行导角.⇒ 变式1如图所示，已知在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且AC BE =，延长BE 交AC 于点F ，AF 与EF 相等吗？为什么？(思路点拔)因为AD 是中线，所以加倍延长AD 至点G ，使AD DG =，连接BG ，构造全等三角形，进行导角，或者加倍延长DE ，构造全等三角形，再进行导角.⇒ 变式2如图所示，在ABC ∆中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 的中点，AD EF //交CA 的延长线于点F ，交AB 于点G ，若AD 为ABC ∆的角平分线，求证：CF BG =.(思路点拔)因为点E 是BC 的中点，所以加倍延长EF 至点H ，使EF EH =，连接BH ，构造全等三角形，进行导角.此题还有更多的解法.例3、如图所示，在ABC Rt ∆中，oBAC 90=∠，点D 为BC 的中点，点E 、F 分别为AB 、AC 上的点，且FD ED ⊥.以线段BE 、EF 、FC 为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形，还是直角三角形或者钝角三角形？(思路点拔)此题需要把线段BE 、EF 、FC 集中到同一个三角形中，题目中出现了中点D ，可以考虑加倍延长FD 至点G ，使FD DG =，连接BG 、EG 构造全等三角形，利用三角形的三边关系得证.⇒ 变式1如图所示，已知M 为ABC ∆的边BC 的中点，AMB ∠、AMC ∠的平分线分别交AB 、AC 于点E 、F ，连接EF .求证：EF CF BE >+.(思路点拔)因为M 为BC 的中点，所以考虑加倍延长EM 至点D ，使EM DM =，连接CD 、DF ，利用三角形的三边关系求证.⇒ 变式2如图所示，D 是ABC ∆的边BC 中点，DN DM ⊥，如果2222DN DM CN BM +=+，求证：)(41222AC AB AD +=. (思路点拔)因为D 是BC 的中点，所以加倍延长MD 至点E ，使DM DE =，连接EC 、EN ，利用勾股定理可证.例4、如图所示，在ABC ∆中，BE 、CF 分别为AC 、AB 边上的高，D 为BC 的中点，EF DM ⊥，垂足为M .求证：EM FM =.(思路点拔)直角三角形斜边上有中点，通常考虑斜边中线，故连接DE 、DF 构造等腰三角形，再利用等腰三角形“三线合一”的性质证明.例5、如图所示，ABD ∆和ACE ∆都是直角三角形，且oACE ABD 90=∠=∠，连接DE ，设M 为DE 的中点，连接BM 、CM .求证：CM BM =.(思路点拔)由oACE ABD 90=∠=∠可得DB CE //，又M 为DE 的中点，可以考虑延长BM 交DE 于点H ，构造“8”字全等，利用直角三角形斜边中线性质可证.例6、问题一：如图所示，在四边形ABCD 中，CD AB =，E 、F 分别是BC 、AD 的中点，连接EF 并延长，分别与AB 、CD 的延长线交于点M 、N ，求证：CNE BME ∠=∠.(思路点拔)在四边形中，一组对边相等，另一组对边有中点，可以考虑连接其中一条对角线，然后取其中点，构造三角形中位线.不妨连接BD ，取BD 的中点H ，连接EH 、FH ，利用三角形中位线即可得证.问题二：如图所示，在四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，BD AC =，E 、F 分别是CD 、AB 的中点，连接EF ，分别交BD 、AC 于点M 、N ，判断OMN ∆的形状，请直接写出结论.(思路点拔)在四边形中有对角线相等，一组对边有中点，可以考虑取另一组对边的其中一边的中点构造三角形中位线.不妨取AD 的中点H ，连接FH 、EH 即可.问题三：在ABC ∆中，AB AC >，D 在AC 上，CD AB =，E 、F 分别是BC 、AD 的中点，连接EF 并延长，与BA 的延长线交于点G ，若oEFC 60=∠，连接GD ，判断AGD ∆的形状并证明.(思路点拔)此题的方法与问题一类似，连接BD 取其中点H ，连接EH 、FH ，利用三角形中位线即可得证.(Key ：∆Rt)例7、如图所示，已知ABC ∆中，AC AB =，CE 是AB 边上的中线，延长AB 至点D ，使AB BD =，求证：CE CD 2=(思路点拔)因为CE 是中线，考虑加倍延长CE 至点F ，连接EF 构造全等三角形即可得证.例8、问题一：如图所示，ABC ∆中，点D 是AB 边的中点，BC AE ⊥，AC BE ⊥，垂足分别为E 、F ，设AE 与BF 交于点M ，连接DE 、DF ，若kDF DE =，则____=k ；(思路点拔)利用直角三角形斜边中线等于斜边之半，易得DF DE =，从而1=k.问题二：如图所示，在ABC ∆中，CA CB =，点D 是AB 边的中点，点M 在ABC ∆内部，且MAC ∠MBC ∠=，过点M 分别作BC ME ⊥于E ，作AC MF ⊥于F ，连接DE 、DF .求证：DF DE =.(思路点拔)先证AMF ∆≌BME ∆得BE AF =，再据“SAS”公理证明BED ∆≌AFD ∆，从而使问题得证.问题三：如图所示，若将上面问题二中的条件“CA CB =”改为“CA CB ≠”，其他条件不变，试探究DE 与DF 之间的数量关系，并证明你的结论.(思路点拔)根据问题一得到启示：取AM 的中点G ，BM 的中点H ，连接DG 、FG 、DH 、EH ，然后利用三角形的中位线和直角三角形斜边中线证明DGF ∆≌EHD ∆.巩固练习1、 如图所示，在等腰ABC Rt ∆中，oABC 90=∠，D 为AC 边上的中点，过点D 作DF DE ⊥，交AB于点E ，交BC 于点F ，若4=AE ，3=FC ，求EF 的长。

2、如图所示，在ABC ∆中，D 为BC 延长线上一点，BC DC =，E 是CA 延长线上一点，AC AE 2=，若BE AD =，求证：ABC ∆是直角三角形。

3、如图所示，在正方形ABCD 中，F 是AB 中点，连接CF ，过点D 作CF DE ⊥交BC 于点E ，交CF 于点M ，求证：AD AM =4、如图所示，oDAE BAC 90=∠=∠，M 是BE 的中点，AC AB =，AE AD =，求证：CD AM ⊥5、如图所示，在等腰梯形ABCD 中，CD AB //，BC AD =，AC 与BD 交于点O ，oAOB 60=∠，P 、Q 、R 分别是OA 、BC 、OD 的中点，求证：PQR ∆是正三角形.6、如图所示，在ABC ∆中，若C B ∠=∠2，BC AD ⊥，E 为BC 边的中点，求证：DE AB 2=.7、如图所示，分别以ABC ∆的边AB 、AC 为边，向三角形的外侧作正方形ABDE 和正方形ACFG ，点M 为BC 中点.(1)求证：EG AM ⊥； (2)求证：AM EG 2=8、如图所示，在ABC ∆的两边AB 、AC 向形外作正方形ABDE 和ACFG ，取BE 、BC 、CG 的中点M 、Q 、N 。