试验设计数据的方差分析
实验设计的方差分析与正交试验
实验设计的方差分析与正交试验一、实验设计中的方差分析方差分析（analysis of variance，ANOVA）是一种统计方法，用于比较不同组之间的均值差异是否具有统计学上的显著性。
在实验设计中，方差分析主要被用来分析因变量（dependent variable）在不同水平的自变量（independent variable）中的变化情况。
通过比较不同组之间的方差，判断是否存在显著差异，并进一步分析差异的原因。
1. 单因素方差分析单因素方差分析是最简单的方差分析方法，适用于只有一个自变量的实验设计。
该方法通过比较不同组之间的方差来判断各组均值是否有差异。
步骤如下：（1）确定研究目的，选择合适的因变量和自变量。
（2）设计实验，确定各组的样本个数。
（3）进行实验，并收集数据。
（4）计算各组的平均值和总平均值。
（5）计算组内方差和组间方差。
（6）计算F值，通过计算F值来判断各组均值是否有显著差异。
2. 多因素方差分析多因素方差分析是在单因素方差分析的基础上，增加了一个或多个自变量的情况下进行的。
这种方法可以用来分析多个因素对因变量的影响，并判断各因素的主效应和交互效应。
步骤如下：（1）确定研究目的，选择合适的因变量和多个自变量。
（2）设计实验，确定各组的样本个数。
（3）进行实验，并收集数据。
（4）计算各组的平均值和总平均值。
（5）计算组内方差、组间方差和交互方差。
（6）计算F值，通过计算F值来判断各组均值是否有显著差异。
二、正交试验设计正交试验设计是一种设计高效实验的方法，可以同时考虑多个因素和各个因素之间的交互作用，并通过较少的试验次数得到较准确的结果。
1. 正交表的基本原理正交表的设计是基于正交原理，即每个因素和其他所有因素的交互效应都是独立的。
通过正交表设计实验，可以确保各因素和交互作用在样本中能够均匀地出现，从而减少误差来源，提高实验结果的可靠性。
2. 正交试验设计的步骤（1）确定要研究的因素和水平。
第三章 正交试验设计(2)-正交试验数据方差分析和贡献率分析
试验优化设计
主讲：刘建永
材 料 工 程 系 Department of Materials Engineering
第三章 正交试验设计
正交试验数据 方差分析与贡献率分析
正交试验结果的方差分析
1.离差平方和的计算
总离差平方和：
项目 因素A 因素B 因素C 误差 总和
平方和SS SSA SSB SSC SSE SST
自由度DF a－ 1 a－ 1 a－ 1 a－ 1 n－1
纯平方和 SSA－ fA×MSE SSB－ fB×MSE SSC－ fC×MSE fT×MSE SST
贡献率 ρA ρB ρC ρE
其中： 纯平方和＝ SS因－ f因×MSE 贡献率ρ因等于纯平方和与SST的比值 贡献率最大的几个因素是重要因素，与误差贡献率差不多的认为不 重要。
μ 3.2 的 1 − α 置信区间为： μ 3.2± t1−α / 2 ( f e′)σ / ne ˆ ˆ
′ ˆ 这里 σ = S e / f e′ ， ′ S e = S e + 不显著因子的平方和， f e′ = f e + 不显著因子的自由度，
ne = 试验次数 1 + 显著因子自由度之和
n e = 9 /( 1 + f A + f C ) = 9 / 5 = 1 . 8 ， ′ S e = S e + S B=132 ， f ′ = f + f =4 ，
y 31 54 38 53 49 42 57 62 64 T=450 yi2 =23484 ST=984
∑
方差分析表 把上述计算表中得到的平方和与自由度移至一张方差分 析表中继续进行计算。 例 3.3 的方差分析表 来源 平方和 S 自由度 f 均方和 MS 因子 A 因子 B 因子 C 误差 e T 618 114 234 18 984 2 2 2 2 8 309 57 117 9 F比 34.33 6.33 13.00
正交试验设计及其方差分析
例 9. 8 提高某化工产品转化率的试验 . 某种化工产品的转化率可能与反应温度A，反应时间B，某两 种原料之配比C和真空度D有关.为了寻找最优的生产条件，因此 考虑对 A ， B ，C ， D 这4个因素进行试验.根据以往的经验，确 定各个因素的3个不同水平，如表9-19所示 .分析各因素对产品的 转化率是否产生显著影响，并指出最好生产条件.
3
显然 T Tij ,j =1，2，3，4.此处 i 1
T11 大致反映了A1 对试验结果的影响, T21 大致反映了A2 对试验结果的影响, T31 大致反映了A3 对试验结果的影响, T12 , T22 和 T32 分别反映了B1 , B2 , B3 对试验结果的影响,
T13 , T23 和T33 分别反映了C1, C2 , C3 对试验结果的影响, T14 , T24 和 T34 分别反映了D1, D2 , D3 对试验结果的影响.
Rj 反映了第j列因素的水平改变对试验结果的影响大小, Rj 越大反映第j列因素影响越大.上述结果列表 of range) 由极差大小顺序排出因素的主次顺序:
这里, Rj值相近的两因素间用“、”号隔开,而Rj 值相差较 大的两因素间用“;”号隔开.由此看出,特别要求在生产过程中 控制好因素B，即反应时间.其次是要考虑因素A和D，即要控制 好反应温度和真空度.至于原料配比就不那么重要了.
(2 ) 表中任两列，其横向形成的有序数对出现的次数相同 . 如 表 L4 (23) 中任意两列，数字1 ， 2 间的搭配是均衡的 .
凡满足上述两性质的表都称为正交表(Orthogonal table).
常用的正交表有L9(34)， L8(27)，L16(45)等,见附表7. 用正 交表来安排试验的方法,就叫正交试验设计. 一般正交表)
实验设计及数据分析-方差分析
实验设计及数据分析-方差分析实验设计及数据分析方差分析一、方差分析的基本原理方差分析的核心思想是将观测值的总变异分解为不同来源的变异，然后通过比较不同来源变异的大小来判断因素对观测结果的影响是否显著。
总变异可以分解为组间变异和组内变异。
组间变异反映了不同组之间的差异，组内变异则反映了组内个体之间的随机误差。
如果组间变异显著大于组内变异，就说明不同组之间的均值存在显著差异，即所研究的因素对观测结果有显著影响。
二、实验设计要点1、确定研究因素和水平首先要明确研究的因素，以及每个因素的不同水平。
例如，研究不同肥料对作物产量的影响，肥料种类就是因素，不同的肥料品牌或配方就是水平。
2、选择合适的实验对象实验对象应具有代表性和随机性，以减少偏差。
3、控制无关变量在实验过程中，要尽量控制其他可能影响结果的无关变量，以确保结果的准确性。
4、确定样本量样本量的大小会影响统计检验的效力，一般来说，样本量越大，结果越可靠，但也要考虑实际操作的可行性和成本。
5、随机分组将实验对象随机分配到不同的组中，以保证各组之间的初始条件相似。
三、方差分析的类型1、单因素方差分析只考虑一个因素对观测结果的影响。
2、双因素方差分析同时考虑两个因素对观测结果的交互作用。
3、多因素方差分析涉及两个以上因素的情况。
四、数据分析步骤1、提出假设零假设（H0）：不同组之间的均值没有显著差异。
备择假设（H1）：不同组之间的均值存在显著差异。
2、计算统计量根据实验数据，计算出组间平方和、组内平方和、总平方和等，进而得到 F 统计量。
3、确定显著性水平通常选择 005 或 001 作为显著性水平。
4、查找临界值根据自由度和显著性水平，在 F 分布表中查找临界值。
5、做出决策如果计算得到的 F 统计量大于临界值，拒绝零假设，认为不同组之间的均值存在显著差异；否则，接受零假设。
五、结果解读1、查看 ANOVA 表ANOVA 表中会给出各项变异的来源、自由度、平方和、均方和 F 值等信息。
7方差分析和一般线性模型
Sig. .000 .000 .000
• 促 销 (promot) 的 F 检 验 统 计 量 ( 其 自 由 度 来 自 promot 和
error的自由度:2,20)取值为13.880,p-值为0.000(更精确
些是0.0001658).而售后服务的F检验统计量为25.497，
Sig. .000
[PROMOT=1.00]
32.708
1.865
17.539
.000
[PROMOT=2.00]
40.333
1.865
21.628
.000
[SERVICE=.00]
-9.417
1.865
-5.049
.000
[SERVICE=1.00]
0a
.
.
.
a. This parameter is set to zero because it is redundant.
度 n-p,在正态分布的假设下, 如果各组增重均值相等(零
假设), 则
F MSB SSB /( p 1) MSE SSE /(n p)
有自由度为 p-1 和n-p 的F 分布.
10
由SPSS可以得到方差分析表:
(比较一元总体的) ANOVA
WEIGHT(重量)
Sum of Squares(平 方和)
Between Groups(处 理)
SSB
Within Groups
SSE
(误差)
Total(总和)
SST
Df
自由度
P-1
n-p
n-1
Mean Square(均 方)
MSB=SSB/(p-1)
第三章 试验的方差分析讲解
值为yij（i=1,2,…n；j=1,2,…m0），则可将数据以下表形式表达：
yij
i 1
j 1 jm0
m0
Ti yi j j 1
m0
Ri yi2j
j 1
1 m0
yij
m0
yij
j 1
y11 y1 j y1m0
0.003688
SS因
n i 1
(
mi j 1
yij
)2
T
2
mi
N
0.451393
2.7592 17
0.003624
SSe SST SSA 0.000064
18
3.3 双因素试验的方差分析
fT N 1 16 fA n 1 51 4
303.6 4
75.9
Ve
SSe fe
50.0 10
5.0
13
3.2 单因素试验的方差分析
FA
VA Ve
75.9 5.0
15.2
从F分布表中查取临界值
F0.05 (4,10) 3.48, F0.01(4,10) 5.99
因为 FA F0.01(4,10) 5.99
60℃ 65 ℃ 70℃ 75℃ 80 ℃
1
90
97
96
84
84
2
92
93
96
83
86
3
88
92
93
88
82
正交试验设计2正交试验数据方差分析和贡献率分析
正交试验设计2正交试验数据方差分析和贡献率分析正交试验设计是一种实验设计方法，通过选择适当的试验水平组合和设置统计模型，以减少试验阶段的试验次数和工作量，提高试验的效率和准确性。
正交设计通过对变量进行排列组合，使各变量的效应独立出现并减少副效应的影响，从而使实验结果更加可靠。
正交设计数据分析方法方差分析(ANOVA)是一种统计方法，用于测试在不同因素水平下的平均值是否相等。
在正交试验中，方差分析可以用于测试各个因子对试验结果的影响是否显著。
方差分析通常包括总体均值检验、各因子的效应检验以及误差项的检验。
通过方差分析可以确定哪些因子对试验结果的影响是显著的，进而确定最佳的试验条件。
贡献率分析是一种用于确定各个因子对试验结果的贡献程度的方法。
贡献率分析可以通过计算各个因子的均方根(RMS)值来确定各个因子的贡献程度。
贡献率可以用来排除一些不显著的因子，从而进一步优化试验条件。
1.节省试验次数和工作量：由于正交设计能够减少变量之间的相关性，可以通过较少的试验次数得到可靠的结果。
2.减少误差项：正交设计通过考虑副效应的影响，减少了试验误差的可能性，提高了数据的可靠性。
3.确定关键因素：正交设计通过方差分析和贡献率分析，可以确定对试验结果有着显著影响的关键因素，从而进行进一步优化。
4.灵活性：正交设计可以根据实验需求进行灵活的调整和改变，以适应多样的试验条件和目标。
总结正交试验设计是一种有效的实验设计方法，可用于减少试验次数和工作量，提高试验效率和准确性。
方差分析和贡献率分析是对正交设计数据进行进一步分析和总结的重要工具，可以帮助确定关键因素和优化试验条件。
正交试验设计能够在实验设计的早期阶段对各个因子进行全面考虑，从而为实验结果的有效性和可靠性打下基础。
正交试验设计中的方差分析例题分析优秀
可见： F0.05（2，4）≥FA＞F0.10（2，4）， F0.05（2，4）≥FC＞F0.10（2，4）， 因此 A 和C属于影响显著的因素，要重点考察。 而B 的F值小于 F0.25（2,4) ，因此 B 因素对指标没什么 影响，可以忽略。 因此其加入体积可以在给定范围内 任意变化。 这是用方差分析和前面直观分析以及极差分析得出的 一个比较重要的不同结论。 当然，在实际分析中，因素 B还要用其他试验指标进 一步确定，以保证得到准确的结果。
9
那么试验误差的差方和就可如下计算： Qe＝QT－（QA＋QB＋QC）
＝168.2－（66.9＋10.9＋76.2） ＝14.2 其次，计算自由度： f T＝n －1＝9－1＝8； fA＝fB＝fC＝m－1＝3－1＝2 ；
fe=fT－fA－fB－fC＝2 。
10
再次，计算平均差方和： 因素的平均差方和＝ 因素差方和 ＝ Q因
2
7
12
1:1HCl(ml)
21.5
21
20.5
Abs
20
19.5
19
18.5
2
4
6
8
10
0.5% 8-OH喹啉 (ml)
24
23
22
21
Abs
20 19
18
17
16
15
0
5
10
15
20
20mg/ml Sr2+ (ml)
从趋势图看试验指标与因素 C，即释放剂锶盐的浓度 呈单调增长，因此增加锶盐浓度可能会使吸光度更 高，即灵敏度得到更大的提高。
和QT，（3）试验误差的差方和 Qe。 2.计算自由度 :
包括：试验的总自由度；各因素自由度；试验误差的
正交试验设计中的方差分析
目的
通过方差分析，可以确定不同组之间 的平均值差异是否由随机误差引起， 还是由处理因素或自变量引起。
方差分析的数学模型
数学模型
方差分析使用数学模型来描述数据之间的关系，特别是不同组之间的平均值差异。模型通常包括组间差异和组内 差异两部分。
医学研究
通过正交试验设计中的方差分析，研究不同治疗方案、药物剂量等因素对疾病治疗效果的影响，为临床 治疗提供科学依据。
方差分析的局限性
04
方差分析对数据的要求
独立性
数据必须是相互独立的，不存 在相互关联或依赖关系。
正态性
数据应符合正态分布，才能保 证统计推断的准确性。
同方差性
各组数据的方差应相等，否则 可能导致误判。
制定试验方案
根据正交表设计试验方案，确定每个因素的每个 水平。
实施试验
按照试验方案进行试验，记录每个试验的结果。
方差分析
利用方差分析法对试验结果进行分析，确定各因 素对试验结果的影响程度和显著性。
优化方案
根据方差分析结果，优化试验方案，进行下一步试验。
方差分析的基本原理
02
方差分析的定义与目的
定义
拉丁方设计方差分
析
适用于需要控制试验条件的试验， 通过拉丁方设计平衡试验条件和 试验误差。
正交试验设计中的方差分析步骤
确定试验因素和水平
根据研究目的和实际情况确定试验因 素和水平。
制定正交表
根据试验因素和水平选择合适的正交 表。
安排试验
按照正交表进行试验，记录试验数据。
方差分析
对试验数据进行方差分析，包括自由 度、离均平方和、均方、F值等计算。
正交试验设计中的方差分析
那么正交试验的方差分析可以从以下几步进行：
1.计算差方和（离差平方和）： 包括以下几部分：
1)各因素差方和：
正交试验都是多因素多水平的试验，因此有必要对各因素的 差方和进行计算。 各因素差方和等于它的各水平均值k1A,k2A,…,kmA之间偏差平 方和。 以因素A为例，它在正交表中的某列，用xij表示A在第i个水 平的第j次试验结果，则;
即：fA×B=fA×fB 试验误差的自由度fe＝fT－f因 。
3.计算平均差方和（均方）： 在计算各因素的差方和时，按照前面的讲述，它是各水平的 偏差方的和，其大小与水平数有关，故此还不能确切的反映 各因素的情况。为了消除水平数的影响，可以计算其平均差 方和：
因素的平均差方和＝因素差方和 ＝Q因 因素的自由度 f因
试验误差的差方和是所有试验结果在不同水平下的指标值与该 水平下的均值之间的差的平方和。它是由随机误差引起的，故 叫误差的差方和。
Qe QT ( QA QB QN )
2.计算自由度：
试验的总自由度： fT n 1
各因素自由度： f因 m 1
如果有交互作用，则交互作用的自由度为两因素自由度之积:
一．几个数据处理中常用的数理统计名词：
首先对几个数理统计名词进行回顾
1. 平均值 x
就是所有数据的和除以数据的个数。
x
1 n
n i 1
xi
1 n
x1
x2
xn
总体平均值：
1 n
n
xi
i 1
n
总体：数理统计学中指的是研究对象的某一特性值的全体； 样本：从总体中随机抽出的一组测量值。
2.极差 R： 就是一组数据中的最大值减去最小值得到的差值。 3.差方和Q： 测量值对平均值的偏差的平方和，就叫～。也叫离差平方和。
方差分析与实验设计
方差分析与实验设计方差分析（Analysis of Variance，简称ANOVA）是一种统计方法，用于比较两个或多个样本均值之间的差异是否显著。
它是实验设计中常用的一种方法，可以帮助研究者确定实验结果是否受到不同因素的影响，并进一步分析这些因素对实验结果的贡献程度。
实验设计是科学研究中的重要环节，它涉及到如何选择实验对象、确定实验因素、设计实验方案等问题。
合理的实验设计可以提高实验的可靠性和有效性，减少误差的影响，从而得到更准确的结论。
方差分析与实验设计密切相关，下面将介绍方差分析的基本原理和实验设计的常用方法。
一、方差分析的基本原理方差分析的基本原理是通过比较组间变异与组内变异的大小来判断不同组别之间的均值是否存在显著差异。
具体步骤如下：1. 建立假设：首先，我们需要建立原假设和备择假设。
原假设通常是假设各组别之间的均值没有显著差异，备择假设则是假设各组别之间的均值存在显著差异。
2. 计算总平方和：总平方和是各观测值与总均值之差的平方和，表示了所有数据的总变异程度。
3. 计算组间平方和：组间平方和是各组均值与总均值之差的平方和，表示了不同组别之间的差异程度。
4. 计算组内平方和：组内平方和是各观测值与各组均值之差的平方和，表示了同一组别内部的差异程度。
5. 计算F值：F值是组间平方和与组内平方和的比值，用于判断组间差异是否显著。
如果F值大于临界值，则拒绝原假设，认为各组别之间的均值存在显著差异。
6. 进行事后比较：如果F值显著，我们可以进行事后比较，确定哪些组别之间存在显著差异。
二、实验设计的常用方法1. 完全随机设计：完全随机设计是最简单的实验设计方法，它要求实验对象随机分配到不同的处理组中。
这种设计方法适用于实验对象之间没有明显差异的情况。
2. 随机区组设计：随机区组设计是在完全随机设计的基础上引入区组因素，将实验对象分为若干个区组，然后在每个区组内进行随机分配。
这种设计方法可以减少误差的影响，提高实验的可靠性。
实验设计与方差分析
试验设计与方差分析SPSS操作一、试验设计与方差分析的关系试验设计并不是一种统计方法，而是一组统计方法的统称，其主要用途在于分析自变量x的值与因变量y值之间的关系。
此外，还用于降低背景变量对理解x值与y值之间关系时的影响。
试验设计使用的最主要的统计工具是方差分析，因此，许多教材将试验设计与方差分析设计为同一部分，使用共同的概念和术语。
其实方差分析并不仅仅在试验设计领域使用，也可以用来分析观察数据。
二、基本术语例：影响某温室水果产量的主要因素有三个：施肥量、浇水量、温度。
如果想通过控制三个因素的量，找出一个最优组合来提高产量，就是实验设计与方差分析问题。
相关的术语有：自变量（因子、因素、输入变量、过程变量）：可以控制的、影响因变量的变量。
本例为施肥量、浇水量、温度。
因变量（反应变量、输出变量）：我们所关心的、承载试验结果的变量。
本例为产量。
背景变量（噪声、噪声变量、潜伏变量）：能观察但不可控的因子或因素，影响较小、达不到自变量水平。
本例可能有测量误差等。
水平（设置）：自变量的不同等级。
水平数通常不多，连续型变量需离散化取值。
如本例：施肥设1000克、1100克、1200克三个量，浇水量设200千克、220千克两个量，温度设18度、20度、22度三个量。
处理：各因子按设定水平的一个组合。
如本例：施肥1000克、浇水200千克、温度18度为一个处理。
试验单元：试验载体的最小单位。
如本例的一个温室或由一个温室分割形成的房间。
主效应与交互效应：两因子及以上试验时，各因子可能对因变量有影响，因子间的相互作用也可能对因变量有影响。
于是就有了上述概念。
有时，交互效应比主效应更重要。
如本例：施肥固定在1000克，浇水固定在200千克，18度、20度、22度三个温度条件下产量的差异，可以理解为温度的主效应；而同一温度条件下，不同的施肥量、浇水量造成的产量差异，就是交互效应。
三、试验设计的三个基本原则第一，随机化。
即采取机会均等的措施，将各种条件完全随机地配置在试验单元上。
正交设计试验资料的方差分析
数据整理
将收集到的数据整理成 表格形式，便于后续分 析。
数据筛选
对异常值进行筛选和处 理，确保数据质量。
正交设计试验资料的方差分析过程
确定试验因素和水平
明确试验因素和各因素的水平， 为后续分析提供基础。
计算各因素的效应值
根据试验结果，计算各因素的效 应值。
计算误差平方和
根据效应值和水平，计算误差平 方和。
跨学科融合
标准化与规范化
结合其他学科的理论和方法，拓展正交设 计试验的应用领域，推动多学科交叉融合 发展。
制定和完善正交设计试验的标准和规范， 提高试验的可靠性和可比性。
正交设计试验资料方差分析的实际应用价值
科学研究
在科学研究领域，正交设计 试验资料方差分析可用于探 索和验证科学假设，揭示现 象背后的机制和规律。
正交试验设计的基本原理
1 2
正交性原理
正交试验设计基于正交性原理，即每个因素在试 验中出现的次数相同，且各次出现的概率相等。
均匀分散原理
正交试验设计通过均匀分散原理，确保每个水平 在试验中都有均衡的分布，从而减少结果的偏差。
3
代表性原理
正交试验设计通过代表性原理，选取具有代表性 的样本点进行试验，以反映整体情况。
正交设计试验资料的方差 分析
• 正交设计试验概述 • 方差分析基础 • 正交设计试验资料的方差分析方法 • 实例分析 • 总结与展望
01
正交设计试验概述
正交试验设计的基本概念
正交试验设计是一种统计技术，用于 在多因素、多水平条件下进行试验， 以最小化试验次数，同时最大化信息 收集。
它利用正交表来安排试验，确保每个 因素的每个水平都被等可能地选取， 从而得到全面而均衡的试验结果。
实验设计与数据分析方差分析
水平3次重 复测定值
2.1 单因素试验的方差分析 （one-way analysis of variance）
2.1.1 单因素试验方差分析基本问题
（1）目的：检验一个因素对试验结果的影响是否显著性 （2）基本命题： 设某单因素A有r种水平：A1，A2，…，Ar，在每种水平
方差分析的必要性
极差分析不能估计试验中以及试验结果测定中 必然存在的误差大小。为了弥补这个缺点，可 采用方差分析的方法。
方差分析法是将因素水平（或交互作用）的变 化所引起的试验结果间的差异与误差波动所引 起的试验结果间的差异区分开来的一种数学方 法。
所谓方差分析，就是给出离散度的各种因素将 总变差平方和进行分解，然后进行统计检验的 一种数学方法。
r
SSA (xix)2 ni(xix)2
i1 j1
i1
反映了各组内平均值之间的差异程度
由于因素A不同水平的不同作用造成的
③ 组内偏差平方和 SSe （sum of square for error）
r ni
SSe
(xij xi)2
i1 j1
反映了在各水平内，各试验值之间的差异程度 由于随机误差的作用产生
（1）偏差平方和分解：
总偏差平方和＝各列因素偏差平方和+误差偏差平方和
SST SS因素SS空列（误差）
（2）自由度分解：
dTfd因 f 素 d空 f 列 误（列（
（3）方差：M因 S＝ 素Sd因 因 Sf 素 素 ， M误 S＝ 差Sd误 误 Sf 差 差
（4）构造F统计量：
F因素＝
MS因素 MS误差ຫໍສະໝຸດ （2）计算偏差平方和①总偏差平方和SST（sum of squares for total）
《试验设计与数据处理》第3章_试验的方差分析
（4）计算均方—— 离差平方和/自由度
因素A的均方
MS A
SS A r 1
误差的均方：
因素B的均方
A×B的均方
MSB
SSB s 1
MS AB
(r
SS AB 1)(s 1)
MSe
SSe rs(c 1)
22
(5) F检验
FA
MS A MSe
xij
i 表示因素A对应的水平
j 表示因素B对应的水12 平
双因素无重复试验的方差分析的基本步骤：
（l）计算平均值 • Ai水平时所有试验值的算术平均值:
1 s
xi
s
xij
j 1
• Bj水平时所有试验值的算术平均值:
x j
1 r
r j 1
xij
• 所有试验值的总平均值:
1 r s
1r
1s
11
3.2 双因素试验的方差分析 ——讨论两个因素对试验结果有无显著性影响的问题
3.2.1 双因素无重复试验的方差分析 • 设在某试验中，有两个因素A和B在变化：
A有r 种水平A1，A2，…，Ar B有s 种水平B1，B2，…，Bs • 在每一种组合水平（Ai，Bj）上做1次试验; • 试验结果为xij（i=1，2，…，r；j = 1，2，…，s）; • 所有xij相互独立，且服从正态分布。
(4) 计算平均平方 • 用离差平方和除以自由度得平均平方，简称均方 • 组间均方：MSA SSA / dfA • 组内均方(又称为误差均方)： MSe SSe / dfe
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(5) F检验
• 组间均方和组内均方之比F是一个统计量:
实验设计与数据处理：2方差分析（09级温淑平修正均值为μ）
实验设计与数据处理：2⽅差分析（09级温淑平修正均值为µ）第2章⽅差分析2.1 概述⽅差分析（analysis of variance）是数理统计的基本⽅法之⼀，是分析试验数据的⼀种有效⼯具。
⽅差分析是在20世纪20年代初由英国统计学家费歇尔（R.A.Fisher）所创，最早⽤于⽣物学和农业实验，后在⼯业⽣产和科学研究中的许多领域⼴泛应⽤，取得良好的效果。
⼀、⽅差分析的必要性在第1章中，我们已经讨论了两个正态总体均值相等的假设检验问题。
但在实际⽣产中，经常遇到检验多个正态总体均值是否相等的问题。
例2-1 以淀粉为原料⽣产葡萄糖的过程中，残留有许多糖蜜，可作为⽣产酱⾊的原料。
在⽣产酱⾊之前应尽可能彻底除杂，以保证酱⾊质量。
为此，对除杂⽅法进⾏选择。
在试验中选⽤五种不同的除杂⽅法，每种⽅法做四次试验，即重复四次，结果见表2-1。
表2-1 不同除杂⽅法的除杂量(g/kg)本试验的⽬的是判断不同的除杂⽅法对除杂量是否有显著影响，以便确定最佳除杂⽅法。
我们可以认为，同⼀除杂⽅法重复试验得到的4个数据的差异是由随机误差造成的，⽽随机误差常常是服从正态分布的，这时除杂量应该有⼀个理论上的均值。
⽽对不同的除杂⽅法，除杂量应该有不同的均值。
这种均值之间的差异是由于除杂⽅法的不同造成的。
于是我们可以认为，五种除杂⽅法所得数据是来⾃五个均值不同的五个正态总体，且由于试验中其它条件相对稳定，因⽽可以认为每个总体的⽅差是相等的，即五个总体具有⽅差齐性。
这样，判断除杂⽅法对除杂效果是否有显著影响的问题，就转化为检验五个具有相同⽅差的正态总体均值是否相同的问题了，即检验假设H0: µ1=µ2=µ3=µ4=µ5对于这种多个总体样本均值的假设检验，第1章介绍的⽅法不再适⽤，须采⽤⽅差分析⽅法。
⼆、⽅差分析的基本思想⽅差分析的实质就是检验多个正态总体均值是否相等。
那么，如何检验呢？从表2-1可见，20个试验数据（除杂量）是参差不齐的。
如何在分组设计实验中使用方差分析
如何在分组设计实验中使用方差分析在分组实验设计中，方差分析是一种常用的统计方法。
方差分析是一种用于分析实验数据的方法，它可以将数据分成不同的组，然后比较组与组之间的差异以及组内的差异。
方差分析可以通过检验不同的假设来判断因素对响应的影响是否显著。
在这篇文章中，我们将学习如何在分组实验设计中使用方差分析。
第一步：确定实验的设计在进行实验之前，我们需要确定实验的设计。
在分组实验中，我们通常将实验对象随机分为不同的组。
每个组都有一个或多个因素值不同的处理。
为了最大化实验的统计功效，我们需要将实验对象随机分为不同的组，并将每个组中的实验对象分配到相同的处理组。
在分组实验中，我们通常会分别记录每个组的结果，并比较不同处理组之间的结果。
第二步：计算总体方差确定实验的设计后，我们需要计算总体方差。
总体方差表示所有实验对象的结果的变异性。
我们希望可以通过分析不同处理组之间的差异来判断因素对响应的影响是否显著。
第三步：计算组间方差和组内方差在分析分组实验数据时，我们必须对总体方差进行分解，以便区分组间方差和组内方差。
组间方差表示不同处理组之间的差异。
组内方差表示实验对象在同一处理组中的结果差异。
我们可以利用方差分析来确定组间方差和组内方差的值，并使用它们来计算F值。
第四步：计算F值在确定组间方差和组内方差后，我们可以使用它们来计算F值。
F值表示群体之间的变化与群体内的变化之比。
如果F值大于1，则表明不同处理组之间存在显著差异，因素对响应的影响是显著的。
如果F值小于1，则表明差异不显著。
第五步：根据F值确定不同处理组之间的显著性确定F值后，我们可以使用一些常见的显著性水平来判断不同处理组之间的差异是否显著。
一般来说，我们使用p值来判断显著性。
如果p值小于设定的显著性水平，则表明差异是显著的。
研究结果的解释在分析分组实验数据时，我们需要将研究结果进行解释。
如果F值表明差异是显著的，则我们需要了解哪些处理组之间存在差异。
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Excel 数据
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多因素方差分析
(只考虑主效应,不考虑交互效应及协变量) 只考虑主效应,不考虑交互效应及协变量)
首先假定自变量受到的仅仅有不同因素的主效应 首先假定自变量受到的仅仅有不同因素的主效应 （main effect）而没有交互效应 ）而没有交互效应(interaction)和协变 和协变 的影响。 量(covariate)的影响。 的影响 主效应就是每个自变量对因变量的单独影响 就是每个自变量对因变量的单独影响， 主效应就是每个自变量对因变量的单独影响，而交 互效应是当两个或更多的自变量的某些水平同时出 互效应是当两个或更多的自变量的某些水平同时出 现时除了主效应之外的附加影响(“正面 或者“ 正面” 现时除了主效应之外的附加影响 正面”或者“负 的影响)。 面”的影响 。
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饲料例子(继续 饲料例子 继续): 继续
饲料(fodder)为自变量 单因子 重量增加 为自变量(单因子 重量增加(weigh 饲料 为自变量 单因子),重量增加 为因变量(一个数量变量 一个数量变量) 为因变量 一个数量变量) (SPSS计算机数据形式 计算机数据形式 有所不同) 有所不同
饲料 A 133.8 125.3 143.1 128.9 135.7 B 151.2 149.0 162.7 143.8 153.5
自由度
IGHT(重量 重量) 重量
Mean Square(均 均 方)
MSB=SSB/(p-1)
F
F= MSB/MSE
Si
etween Groups(处 处 理)
P-1
P(F
Within Groups
n-p n-1
MSE=SSE/(n-p)
(误差 误差) 误差
Total(总和 总和) 总和
为水平数, )=α 这里n 为观测值数目p 为水平数,Fα满足P(F>Fα)=α. 这是自由度为p-1和n-p的F-分布的概率
2
试验设计模型就是回归模型
在水产养殖业中，比如养蟹，因变量是产量， 在水产养殖业中，比如养蟹，因变量是产量，自变量是 水温，饲料，疾病等。 水温，饲料，疾病等。 描述试验设计的模型就是回归模型的一种 但试验设计问题本身有很大一部分是如何设计试验， 但试验设计问题本身有很大一部分是如何设计试验，使 得人们有可能用最少的资源得到最好的结果。 得人们有可能用最少的资源得到最好的结果。 当然，我们不打算详细讨论如何设计试验， 当然，我们不打算详细讨论如何设计试验，而把主要精 力放在试验设计数据的方差分析上。 力放在试验设计数据的方差分析上。
MSB SSB /( p − 1) F= = MSE SSE /(n − p )
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分布. 有自由度为 p-1 和n-p 的F 分布
可以得到方差分析表: 由SPSS可以得到方差分析表: 可以得到方差分析表
比较一元总体的) 比较一元总体的 ANOVA
Sum of Squares(平 平 方和) 方和 SSB SSE SST Df
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多因素方差分析
(只考虑主效应,不考虑交互效应及协变量) 只考虑主效应,不考虑交互效应及协变量)
拿我们例子来说，当单独考虑时， 拿我们例子来说，当单独考虑时，假定主动促销比被动 促销可以多产生8万元效益 万元效益， 促销可以多产生 万元效益，而有售后服务比没有售后服 务多产生9万元效益 那么在没有交互作用时， 万元效益。 务多产生 万元效益。那么在没有交互作用时，同时采取 主动促销和售后服务会产生8＋ ＝ 万元的效益 万元的效益（ 主动促销和售后服务会产生 ＋9＝17万元的效益（称为 可加的）。 可加的）。 如存在交互效应， 如存在交互效应，那么同时采取主动促销和售后服务会 产生一个附加的效应即交互效应(可正可负) 产生一个附加的效应即交互效应(可正可负)，这时的总 效应就不是17万元了 万元了。 效应就不是 万元了。
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公式:总平方和=组间平方和+ 公式:总平方和=组间平方和+组内平方和
T = SSA + SSB + SSE
p q p i =1 q j =1 i =1 j =1
q ∑ ( y i. − y ) 2 + p ∑ ( y . j − y ) 2 +
∑ ∑
( y ij − y i . − y . j + y
试验设计数据的 试验设计数据的方差分析 和一般线性模型
吴喜之
1
试验设计
在几乎所有领域都有各种试验。 在几乎所有领域都有各种试验。比如 如何对不同的土壤、 如何对不同的土壤、气候等各种条件找出最合适的 作物， 作物，使得收益最大 如何使得工业产品优质、 如何使得工业产品优质、价廉 什么环境下， 什么环境下，儿童才能在心理上健康成长 企业采取的什么主动措施能够增加收益
240
5 4
140
120 100
N= 5 5
220
A B C D
fodder
200
180
Mean of WEIGHT
160
140
120 A B C
8
D
fodder
线性模型: 线性模型:
= µ i + ε ij , i = 1, ..., p ,
ij
j = 1, ..., n
假设: 假设:
2
i1
, y i 2 , ..., y in i 服 从 分 布 N ( µ i , σ ), i = 1, ..., p
4
方差分析分解因素贡献 分解因素贡献的机理 方差分析分解因素贡献的机理
原理为：因变量的值随着自变量的不同取值而变化。 原理为：因变量的值随着自变量的不同取值而变化。我 们把总变化(差的平方 按照自变量 因素)进行分解 按照自变量(因素 进行分解， 们把总变化 差的平方和)按照自变量 因素 进行分解， 显示每一个自变量的贡献； 显示每一个自变量的贡献；最后剩下无法用已知的因素 解释的则看成随机误差的贡献。 随机误差的贡献 解释的则看成随机误差的贡献。 然后用各自变量的贡献和随机误差的贡献进行比较（ 然后用各自变量的贡献和随机误差的贡献进行比较（F 检验）， ），以判断该自变量的不同水平是否对因变量的变 检验），以判断该自变量的不同水平是否对因变量的变 化有显著贡献。输出就是F-值和检验的一些 值和检验的一些p-值 化有显著贡献。输出就是 -值和检验的一些 值。 下面看一个例子。 下面看一个例子。
y ijk = α i + β j + ε ijk , i = 1, 2 , 3, j = 1, 2 , k = 1, 2 , 3,
( 或 有 常 数 项 时 为 : y ijk = µ + α i + β j + ε ijk )
这里的下标i代表促销的水平，下标j代表是否有售后服 这里的下标i代表促销的水平，下标j 下标k代表每种ij组合中的第几个观测值。 ij组合中的第几个观测值 务，下标k代表每种ij组合中的第几个观测值。这里的最 后一项ε 为随机误差项。 后一项εijk为随机误差项。
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F (3,15)分布密度图 分布密度图
F0.05(3,15)
面积=0.05 面积
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可以得到方差分析表: 由SPSS可以得到方差分析表: 可以得到方差分析表
NOVA
Sum of Squares 20538.698 652.159 21190.858 Df 3 15 18 Mean Square 6846.233 43.477 F 157.467
Sig. .995
这是SPSS输出之一,明白即可,不用记住 输出之一,明白即可, 这是 输出之一
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销售数据( 销售数据(sales.sav) )
研究这个数目的主要目的是看销售额（因变量） 研究这个数目的主要目的是看销售额（因变量）是否受到促 方式、售后服务和奖金这三个自变量的影响（ 方式、售后服务和奖金这三个自变量的影响（头两个是定性 亦称为因子，分别有3个和 个水平； 个和2个水平 量，亦称为因子，分别有 个和 个水平；而定量变量奖金是 变量）以及怎样的影响。 变量）以及怎样的影响。
均值B= 均值 152.04 均值C=189.72 均值 189.72
C 193.4 185.3 182.8 188.5 198.6
均值D= 220.78 均值
D 225.8 224.6 220.4 212.3
值A= 133.36
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四种饲料的箱图
240 220 200
180
8
160
四种饲料的均值图
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单因素方差分析回顾(data12.01) 单因素方差分析回顾(data12.01) 饲料比较数据, n=19头猪 头猪, p=4种饲料喂养一 饲料比较数据, n=19头猪, 用p=4种饲料喂养一 段时间后的重量增加 问题: 四种饲料是否不同? 问题: 四种饲料是否不同?
饲料 A 133.8 125.3 143.1 128.9 135.7 B 151.2 149.0 162.7 143.8 153.5 C 193.4 185.3 182.8 188.5 198.6 D 225.8 224.6 220.4 212.3
检验: 检验 H0: µ1=…=µp
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公式:总平方和=组间平方和+ 公式:总平方和=组间平方和+组内平方和
SST = SSB + SSE = ∑ ni ( y i − y ) + ∑∑ ( yij − y i )
2 i =1 i =1 j =1 p p ni 2
其中, SSB有自由度 其中 SST 有自由度 n-1, SSB有自由度 p-1, SSE 有自由 在正态分布的假设下, 度 n-p,在正态分布的假设下, 如果各组增重均值相等 零 在正态分布的假设下 如果各组增重均值相等(零 假设), 假设 则