高中数学第三章三角恒等变换第1课时3.1.1两角和与差的余弦教案苏教版必修441
高中数学 3.1.1 两角和与差的余弦教案 苏教版必修4(1)
【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 3.1.1 两角和与差的余弦教案 苏教版必修43．1两角和与差的三角函数3．1.1 两角和与差的余弦(教师用书独具)●三维目标 1．知识与技能掌握用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用． 2．过程与方法通过公式的推导，领会其中的数学基本思想，掌握研究数学的基本方法，从而提高数学素质．3．情感、态度与价值观 通过公式的推导，了解它们的内在联系和知识的发展过程，体会一般与特殊的关系与转化，培养利用联系、变化的辩证唯物主义观点去分析问题的能力．●重点难点重点：灵活运用两角和与差的余弦公式． 难点：用向量推导两角差的余弦公式．(教师用书独具)●教学建议1．关于探求公式C (α－β)的结果的教学教学时，建议教师先让学生自己动手验证，从而明确cos(α－β)＝cos α－cos β为什么错误，引导学生体会从特殊到一般的思考问题的方法，并应用这种方法通过特殊情境0＜α＜β＜π2探求出cos(α－β)的结果．2．关于公式C(α－β)证明的教学教学时，建议教师：(1)在回顾求角的余弦有哪些方法时，联系向量知识，体会向量方法的作用．(2)结合有关图形，完成运用向量方法推导公式的必要准备．(3)探索过程不应追求一步到位，应先不去理会其中的细节，抓住主要问题及其讨论线索进行探寻，然后再作反思，予以完善(这也是处理一般探索性问题应遵循的原则)，其中完善的过程既要运用分类讨论的思想，又要运用诱导公式．●教学流程创设问题情境，引出问题：cosα－β＝cos α－cos β为什么错误？⇒引导学生结合有关图形，运用向量方法推导出两角差的余弦公式，进而得到两角和的余弦公式.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握利用两角和与差的余弦公式解决求值问题的方法.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握利用两角和与差的余弦公式解决给值求值问题的方法.⇒通过例3及其互动探究，使学生掌握利用两角和与差的余弦公式求解给值求角问题的解题步骤及注意事项.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.课标解读1.能利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用．(难点)2.能利用两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式．3.能用两角和与差的余弦公式化简、求值．(重点)两角和与差的余弦公式1．单位圆中(如图)，∠AOx＝α，∠BOx＝β，那么A，B的坐标是什么？OA→与OB→的夹角是多少？【提示】A(cos α，sin α)，B(cos β，sin β)．OA→与OB→的夹角是α－β.2．你能用哪几种方法计算OA→·OB→的数量积？【提示】①OA→·OB→＝|OA→||OB→|cos(α－β)＝cos(α－β)，②OA→·OB→＝cos αcos β＋sin αsin β.3．根据上面的计算可以得出什么结论？【提示】 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.4．把公式cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β中的β用－β代替，结果如何？【提示】 cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β. cos(α＋β)＝cos__αcos_β－sin_αsin_β； cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β. 这两个公式分别记作C (α＋β)，C (α－β)．运用公式求值求下列各式的值：(1)cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)； (2)cos 7°－sin 15°sin 8°cos 8°.【思路探究】 (1)将α－35°，25°＋α分别视为一个角，逆用公式可得解． (2)由7°＝15°－8°，可用两角差的余弦公式解决．【自主解答】 (1)原式＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝cos 60°＝12. (2)原式＝cos 15°－8°－sin 15°sin 8°cos 8°＝cos 15°cos 8°＋sin 15°sin 8°－sin 15°sin 8°cos 8°＝cos 15°cos 8°cos 8°＝cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝22×32＋22×12＝6＋24.1．两角和与差的余弦公式中，α，β可以是单个角，也可以是两个角的和或差，在运用公式时常将两角的和或差视为一个整体．2．在两角和与差的余弦公式求值应用中，一般思路是： (1)把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值．(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角和差的余弦公式的结构形式，然后逆用公式求值．求下列各式的值：(1)cos 75°；(2)cos 75°cos 15°－sin 255°sin 15°.【解】 (1)cos 75°＝cos(45°＋30°)＝cos 45°cos 30°－sin 45°sin 30°＝22×32－22×12＝6－24. (2)cos 75°cos 15°－sin 255°sin 15° ＝cos 75°cos 15°＋sin 75°sin 15°＝cos(75°－15°)＝cos 60°＝12.设cos(α－β2)＝－19，sin(α2－β)＝23，且π2＜α＜π，0＜β＜π2，求cosα＋β2的值． 【思路探究】 由已知可求得α－β2，α2－β的正弦、余弦．只须将α＋β2用已知条件中的角α－β2，α2－β表示出来，注意α－β2和α2－β的范围．用两角和与差的三角函数公式展开即得结论．【自主解答】 ∵π2＜α＜π，0＜β＜π2，∴π4＜α－β2＜π，－π4＜α2－β＜π2. 又cos(α－β2)＝－19，sin(α2－β)＝23.∴sin(α－β2)＝1－cos2α－β2＝459，cos(α2－β)＝1－sin 2α2－β＝53.∴cos α＋β2＝cos[(α－β2)－(α2－β)]＝cos(α－β2)cos(α2－β)＋sin(α－β2)sin(α2－β) ＝－19×53＋459×23＝7527.1．利用和(差)角的余弦公式求值时，不能机械地从表面去套公式，而要变通地从本质上使用公式，即把所求的角分解成某两个角的和(差)，并且这两个角的正、余弦函数值是已知的或可求的，再代入公式即可求解．2．在将所求角分解成某两角的和(差)时，应注意如下变换：α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)，2α＝[(α＋β)＋(α－β)]，2α＝[(β＋α)－(β－α)]等．α，β为锐角，cos(α＋β)＝1213，cos(2α＋β)＝35，求cos α的值．【解】 ∵α，β为锐角，∴0＜α＋β＜π.又∵cos(α＋β)＝1213，∴0＜α＋β＜π2，∴0＜2α＋β＜π.又∵cos(2α＋β)＝35，∴0＜2α＋β＜π2，∴sin(α＋β)＝513，sin(2α＋β)＝45，∴cos α＝cos[(2α＋β)－(α＋β)]＝cos(2α＋β)·cos(α＋β)＋sin(2α＋β)·sin(α＋β) ＝35×1213＋45×513＝5665.已知α，β均为锐角，cos α＝17，sin(α＋β)＝5314，求角β的值．【思路探究】 解决本题的关键是根据已知条件，分别求出α的正弦值与α＋β的余弦值．再由β＝(α＋β)－α求出cos α，从而可以根据β的范围求出β的值．【自主解答】 ∵0＜α＜π2，cos α＝17.∴sin α＝1－cos 2α＝437.又∵0＜β＜π2，∴0＜α＋β＜π.∵sin(α＋β)＝5314＜sin α，∴π2＜α＋β＜π，∴cos(α＋β)＝－1－sin 2α＋β＝－1114.∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝(－1114)×17＋5314×437＝12.又∵0＜β＜π2，∴β＝π3.解答给值求角问题的步骤： (1)求角的某一个三角函数值； (2)确定角所在的范围；(3)根据角的范围写出所求的角．特别注意：根据题意选择求角的正弦值、余弦值还是正切值，同时要注意缩小所求角的范围，最好把角的范围缩小在某一三角函数的单调区间内．将本题条件改为cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0＜β＜α＜π2，如何求β的值？【解】 由cos α＝17，0＜α＜π2，得sin α＝1－cos 2α＝1－172＝437.由0＜β＜α＜π2，得0＜α－β＜π2.又∵cos(α－β)＝1314，∴sin(α－β)＝1－cos 2α－β＝1－13142＝3314. 由β＝α－(α－β)得cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝17×1314＋437×3314＝12. ∵0＜β＜π2，∴β＝π3.忽略角的范围限制的隐含条件致误已知α，β均为锐角，且sin α＝55，cos β＝1010，求α－β的值．【错解】 ∵cos β＝1010，sin α＝55，α，β为锐角， ∴sin β＝31010，cos α＝255.∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝255×1010＋55×31010＝22，又∵α，β∈(0，π2)，∴－π2＜α－β＜π2，∴α－β＝π4或α－β＝－π4.【错因分析】 错解的原因在于忽视了利用三角函数值的大小判断α与β的大小关系． 【防范措施】 已知三角函数值求角的大小时，一定要注意判断角的范围，有时需利用三角函数值对角的范围进行精确化，以免产生增解．【正解】 ∵cos β＝1010，sin α＝55，α，β为锐角，∴sin β＝31010，cos α＝255.∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝255×1010＋55×31010＝22.又∵sin α＜sin β，∴α＜β.∴－π2＜α－β＜0.∴α－β＝－π4.对公式C (α－β)的理解：(1)公式中的α，β为任意角公式中的α，β不仅可以是任意具体的角，也可以是一个“团体”，比如cos(α＋β2－α－β2)中的“α＋β2”相当于角α，“α－β2”相当于角β，可用两角差的余弦公式展开．因此对公式的理解要注重结构形式，而不要局限于具体的角．(2)公式C (α－β)的结构特点①同名函数相乘：即两角余弦乘余弦，正弦乘正弦． ②把所得的积相加．1．下列等式中，正确的个数为________．①cos(α－β)＝cos α－cos β；②cos(π2＋α)＝－sin α；③cos(α－β)＝cos αcos β－sin αsin β；④cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β.【解析】 由两角和与差的余弦公式可知②④正确． 【答案】 22．cos 105°＝________.【解析】 cos 105°＝cos(45°＋60°)＝cos 45°cos 60°－sin 45°sin 60°＝2－64. 【答案】2－643．计算：cos 75°cos 15°－sin 75°sin 195°＝________.【解析】 原式＝cos 75°cos 15°－sin 75°sin(180°＋15°)＝cos 75°cos 15°＋sin 75°sin 15°＝cos(75°－15°)＝cos 60°＝12.【答案】 124．已知cos α＝－45，α∈(π，32π)，tan β＝－13，β∈(π2，π)，求cos(α＋β)．【解】 ∵α∈(π，32π)，cos α＝－45，∴sin α＝－35.∵tan β＝－13，β∈(π2，π)，∴cos β＝－31010，sin β＝1010.cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝(－45)×(－31010)－(－35)×1010＝31010.一、填空题1．cos 45°cos 15°＋sin 15°sin 45°的值为________．【解析】 cos 45°cos 15°＋sin 15°sin 45°＝cos(45°－15°)＝cos 30°＝32. 【答案】322．若α∈(0，π)，且cos(α＋π3)＝45，则cos α等于________．【解析】 ∵α∈(0，π)且cos(α＋π3)＝45，∴sin(α＋π3)＝35.cos α＝cos[(α＋π3)－π3]＝45×12＋35×32＝4＋3310. 【答案】4＋33103．已知：cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝－45，且180°＜α＜270°，则tan α等于________【解析】 由已知得cos[(α＋β)－β]＝－45，即cos α＝－45.又180°＜α＜270°，所以sin α＝－35，所以tan α＝sin αcos α＝34.【答案】 344．已知sin α＝12，α是锐角，则cos(α－π4)＝________.【解析】 cos(α－π4)＝cos α·22＋sin α·22＝32·22＋12·22＝6＋24.【答案】6＋245．若sin α－sin β＝1－32，cos α－cos β＝12，则cos(α－β)的值为________． 【解析】 ∵(sin α－sin β)2＋(cos α－cos β)2＝2－2cos(α－β)＝(1－32)2＋(12)2，∴cos(α－β)＝32. 【答案】 326．化简：2cos 10°－sin 20°cos 20°＝________.【解析】 2cos 10°－sin 20°cos 20°＝2cos 30°－20°－sin 20°cos 20°＝3cos 20°＋sin 20°－sin 20°cos 20°＝ 3.【答案】37．(2013·成都高一检测)若cos θ＝－1213，θ∈(π，3π2)，则cos(θ＋π4)＝________.【解析】 ∵cos θ＝－1213，θ∈(π，3π2)，∴sin θ＝－513，∴cos(θ＋π4)＝cos θcos π4－sin θsin π4＝－1213×22－(－513)×22＝－7226.【答案】 －72268．已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，α，β∈(0，π)且a ⊥b ，则α－β的值为________．【解析】 ∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0，即cos αcos β＋sin αsin β＝0，从而cos(α－β)＝0.∵α，β∈(0，π)，∴－π＜α－β＜π，∴α－β＝π2或－π2.【答案】 ±π2二、解答题9．设α∈(π2，π)，若sin α＝35，求2cos(α＋34π)的值．【解】 ∵α∈(π2，π)，sin α＝35，∴cos α＝－45，∴2cos(α＋34π)＝2(cos αcos 34π－sin αsin 34π)＝2(－cos αcos π4－sinαsin π4)＝－cos α－sin α＝45－35＝15.10．已知α，β为锐角，且cos α＝110，cos β＝15，求α＋β的值．【解】 ∵α，β为锐角，∴sin α＝310，sin β＝25，∴cos(α＋β)＝cos α·cos β－sin α·sin β＝110·15－310·25＝－550＝－22.又0＜α＋β＜π，∴α＋β＝3π4.11．已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，|a－b|＝255.(1)求cos(α－β)；(2)若0<α<π2，－π2<β<0，且sin β＝－513，求sin α.【解】(1)∵a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，∴a－b＝(cos α－cos β，sin α－sin β)．∵|a－b|＝255，∴cos α－cos β2＋sin α－sin β2＝255，即2－2cos(α－β)＝45，∴cos(α－β)＝35.(2)∵0<α<π2，－π2<β<0，∴0<α－β<π.∵cos(α－β)＝35，∴sin(α－β)＝45.∵sin β＝－513，∴cos β＝1213.∴cos α＝cos[(α－β)＋β]＝cos(α－β)cos β－sin(α－β)sin β＝35×1213－45×(－513)＝5665.又0<α<π2，∴sin α＝1－cos2α＝3365.(教师用书独具)在△ABC中，若tan A(sin C－sin B)＝cos B－cos C，试判断△ABC的形状．【思路探究】将切化成弦，变形后应用差角公式就可得到角A，B，C之间的关系．【自主解答】∵tan A(sin C－sin B)＝cos B－cos C，∴sin Acos A＝cos B－cos Csin C－sin B，∴sin A sin C－sin A sin B＝cos A cos B－cos A cos C，即cos A cos C＋sin A sin C＝cos A cos B＋sin A sin B，∴cos(A－C)＝cos(A－B)．∵0°＜A，B，C＜180°，∴－180°＜A－C＜180°，－180°＜A－B＜180°，∴A－C＝A－B或A－C＝－(A－B)，即B＝C或2A＝B＋C.若B＝C，则△ABC为等腰三角形；若2A＝B＋C，则2A＝180°－A，A＝60°.11 综上所述，△ABC 为等腰三角形或A ＝60°的三角形．1．利用和、差角公式判断三角形的形状时，应考虑借助同名三角函数之间的关系判断三角形内角和的关系或者求出内角大小，进而判断三角形形状，注意三角形内角和A ＋B ＋C ＝180°这一隐含条件的运用．2．记住常用结论：sin(A ＋B )＝sin C ，cos(A ＋B )＝－cos C ，sin A ＋B 2＝cos C 2，cos A ＋B 2＝sin C 2，tan(A ＋B )＝－tan C .在△ABC 中，已知tan A tan B ＜1，判断△ABC 的形状．【解】 ∵tan A tan B ＜1，∴sin A sin Bcos A cos B ＜1，sin A sin B cos A cos B －1＜0，sin A sin B －cos A cos B cos A cos B ＜0，－cos A ＋Bcos A cos B ＜0，cos Ccos A cos B ＜0，∴cos A ＜0或cos B ＜0或cos C ＜0，∴A 、B 、C 中有一个钝角，∴△ABC 为钝角三角形．。
高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1 两角和与差的三角函数 3.1.1 两角和与差的余弦教案 苏教版必修4
3．1.1 两角和与差的余弦整体设计设计思路整堂课大致分两部分，一是探究发现；二是知识应用．探究过程由物理情景出发，尝试解决物理问题后抽象出数学模型——向量，再转化问题的表述，回归数学本质，探究“cos(α－β)能否用α，β的三角函数表示出来？如何表示？”这一问题．经历“猜想——验证——证明”的体验过程，感受向量方法证明的简洁美和数学探究的成功体验．以《几何画板》为探索平台，完成公式推导，并体验α，β的任意性．证明过程由粗至精，在直观形象的基础上进一步去体验数学的科学严谨．通过例1、例2和练习1学会运用公式进行简单三角函数的化简、求值，例3有一定技巧，意在让学生初步体会角的变换的灵活性．教学目标1．经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用；2．掌握两角和与差的余弦公式，能正确运用这些公式进行简单三角函数的化简、求值；3．培养学生发现问题、研究问题、解决问题的能力及创新能力，掌握数形结合这一重要数学思想；4．引导学生注意养成有条理地逐步解决问题的习惯，培养学生普遍联系、运动变化、数学来源于实践又指导实践的辩证唯物主义观点及勇于探索的创新精神．教学过程情景创设1．物理情景如图1所示，倾角为30°的斜坡上，一物体在力F的作用下前进了1 m，已知|F|＝1 N，力F的方向与水平方向成45°角，求此过程中力F所做的功．图1设问1：力F与位移s的夹角不是我们熟知的那些特殊角，有办法求此过程中力F所做的功W吗？将力F正交分解，得水平方向和竖直方向的两个分力F1、F2，将位移s也按同样的方向做正交分解为s1、s2，可以具体计算出W1、W2，再求出和功W.发现：由F·s＝F1·s1＋F2·s2，有cos(45°－30°)＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°.设问2：一般地，斜坡倾角为β，力F的方向与水平方向所成角为α，还会有类似的结果吗？2．数学情境将上述问题中的数学模型抽象出来：我们知道，力、位移这些矢量在数学中抽象为向量，下面我们将前面的探索翻译成数学语言、向量语言．设问3：(设问2的转化)cos(α－β)能否用α，β的三角函数表示出来？如何表示？猜猜看？学生活动：举例验证各自的猜想是否正确，然后班级交流．(猜想cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ，诱导公式就是极好的验证例子)设问4：所猜想的等式有什么结构特点？你能推导出这一猜想吗？说说你的推导思路．建构数学探究1：cos(α－β)看成两个向量的夹角的余弦，用向量的数量积来研究．(严谨性不必一步到位，采用学生们的说法“α－β为两向量夹角”)师生活动：从“α－β为两向量夹角”这一不够严谨的说法出发，学生画图探索，尝试证明．老师用“几何画板”演示(如图2)，写出推导思路．再用“几何画板”演示(如图3)，引导大家对欠严谨处展开讨论，体验α，β的任意性．图2图3前面的推导必须符合条件0≤α－β≤π才正确，α、β是任意的，α－β也应该是任意的．猜想仍然正确吗？利用诱导公式，存在θ∈[0,2π)使cosθ＝cos(α－β)，若θ∈[0，π]，则a·b＝cosθ＝cos(α－β)；若θ∈[π，2π)，则2π－θ∈[0，π]且a·b＝cos(2π－θ)＝cosθ＝cos(α－β)．从而得出公式cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ.C(α－β)探究2：(旋转变换的思想)如图4，将角α－β旋转变换到以x轴正方向为始边的位置，接着利用两点间的距离公式建立等式[cosα－β－1]2＋sin2α－β＝cosα－cosβ2＋sinα－sinβ2.图4引导体会该证法的优点(任意角α、β的终边位置不同不影响公式的证明)．探究3：cos(α＋β)能否用α、β的三角函数表示出来？如何表示？学生小组讨论后很容易由α＋β＝α－(－β)或依据α、β的任意性令β＝－β得出公式：cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.发散：模仿探究3你还能得出其他类似结果吗？数学运用我们探索得到了两角和与差的余弦公式，公式形式上有什么特点，如何记忆？这一公式的得出又有怎样的价值？例题选讲例1利用两角和(差)的余弦公式，求cos75°，cos15°，sin15°，tan15°.设问5：这里的75°、15°以前我们并不熟悉，现在要求它们的余弦值(三角函数值)，怎样处理？学生很快会答出将75°表示成45°＋30°，将15°表示成45°－30°，然后再利用两角和(差)的余弦公式求值．学生还会想出60°－45°的处理办法，要及时肯定．教师板书解题过程，启发学生总结出解决问题的关键点：“将所求角用熟知的特殊角表示出来”．本题还涉及到诱导公式和同角三角函数关系的运用，也需设问引导学生注意总结．学生若能够与探究部分的发散联系起来，得出两角和(差)的正弦公式，要多加赞许．例2已知sinα＝23，α∈(π2，π)，cosβ＝－35，β∈(π，3π2)，求cos(α＋β)． 学生思考后师生共同分析，欲利用两角和的余弦公式求三角函数值，要先准备好公式中所需要的相关角的正弦值、余弦值，教育学生做事情要有条理，一步一步把事情做好．强调利用同角三角函数关系准备相关三角函数值时，要依据角的范围，判断函数值的符号，进而求出三角函数值．例3已知α、β都是锐角，cosα＝17，cos(α＋β)＝－1114，求cosβ. 探究4：学生往往抓住cos(α＋β)用公式展开，将sinα，cosα的值代入，再结合同角三角函数关系sin 2β＋cos 2β＝1，用方程思想求解．启发学生把题目中所涉及的角分成两类：已知角和所求角，能否用已知角把所求角表示出来？进而引导学生抓住角的变换应用公式求值．β＝(α＋β)－α，cosβ＝cos((α＋β)－α)＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα.老师板书解题过程，并引导学生比较两种方法．学生练习1．利用两角和(差)的余弦公式化简：(1)cos58°cos37°＋sin58°sin37°；(2)cos(60°＋θ)－cos(60°－θ)．2．已知cos θ＝－35，θ∈(π2，π)，求cos(π3－θ)的值． 课堂小结先请两位同学谈谈自己这堂课的收获与体验，然后老师小结．·熟记公式 (化归的思想)·向量方法探索公式的简洁美 (其他探索方法)·公式应用 (求值型，证明型，化简型)注意公式的正用、逆用，注意根据角的范围确定三角函数值的符号，要善于发现角之间的关系．巩固作业1．已知sinα＝23，cosβ＝－34，且α、β都是第二象限角，求cos(α－β)的值． 2．已知π4<α<β<π2，且sin(α＋β)＝45，cos(α－β)＝1213. (1)用α＋β，α－β表示2α；(2)求cos2α的值．教学反思1．物理情景的引入帮助学生很快形成猜想，同时尝试抽象出其中的数学本质，一方面自然过渡到用向量法探究两角差的余弦公式，另一方面也是对数学建模思想的又一次丰富．2．两角差的余弦公式探索方法很多，教材中也留有许多思考让学生从不同角度探索公式，这些探索证明方法的建构都有着丰富的数学思想方法，仅仅停留在课堂上的探索是远远不够的，要引导学生课后继续探究．3．本堂课中学生的情感体验，对两角和差余弦公式价值的认识都比较充分；适当的数学史知识和我国数学家的介绍也拓宽了学生的视野，加深了学生对数学研究的亲近感；结合数学解题展开的生活习惯的养成也恰到好处．。
第三章三角恒等变换教案
高中数学必修4 第3章 三角恒等变换 3.1.1 两角差的余弦公式一、教学目标掌握用向量方法建立两角差的余弦公式.通过简单使用，使学生初步理解公式的结构及其功能，为建立其它和（差）公式打好基础. 二、教学重、难点1. 教学重点：通过探索得到两角差的余弦公式；2. 教学难点：探索过程的组织和适当引导，这里不但有学习积极性的问题，还有探索过程必用的基础知识是否已经具备的问题，使用已学知识和方法的水平问题，等等. 三、教学设想： （一）导入：问题1： 我们在初中时就知道 2cos 452=，3cos302=，由此我们能否得到()cos15cos 4530?=-=大家能够猜测，是不是等于cos 45cos30-呢？根据我们在第一章所学的知识可知我们的猜测是错误的！下面我们就一起探讨两角差的余弦公式()cos ?αβ-= （二）探讨过程：在第一章三角函数的学习当中我们知道，在设角α的终边与单位圆的交点为1P ，cos α等于角α与单位圆交点的横坐标，也能够用角α的余弦线来表示。
思考?.1角函数线来探求公式怎样联系单位圆上的三(1) 怎样构造角β和角αβ-？（注意：要与它们的正弦线、余弦线联系起来.）?)2(的余弦线和余弦线的正弦线怎样作出角βαβα-，、、思考2：怎样联系向量的数量积探求公式？（1）结合图形，明确应该选择哪几个向量，它们是怎样表示的？（2）怎样利用向量的数量积的概念的计算公式得到探索结果？ 两角差的余弦公式：βαβαβαsin sin cos cos )cos(⋅+⋅=-（三）例题讲解例1、利用和、差角余弦公式求cos 75、cos15的值. 解：分析：把75、15构造成两个特殊角的和、差.()231cos75cos 4530cos 45cos30sin 45sin 30222=+=-=⨯=()231cos15cos 4530cos 45cos30sin 45sin 302222=-=+=⨯=点评：把一个具体角构造成两个角的和、差形式，有很多种构造方法，例如：()cos15cos 6045=-，要学会灵活使用.例2、已知4sin 5α=，5,,cos ,213παπββ⎛⎫∈=- ⎪⎝⎭是第三象限角，求()cos αβ-的值.解：因为,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，4sin 5α=由此得3cos 5α===-又因为5cos ,13ββ=-是第三象限角，所以12sin 13β===-所以3541233cos()cos cos sin sin 51351365αβαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+=-⨯-+⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭点评：注意角α、β的象限，也就是符号问题.思考：此题中没有),2ππα⎝⎛∈，呢？ （四）练习：不查表计算以下各式的值：︒︒+︒︒20sin 80sin 20cos 80cos 1）（︒+︒15sin 2315cos 212）（解： ︒︒+︒︒20sin 80sin 20cos 80cos 1）（ 2160cos )2080cos(=︒=︒-︒= （五）小结：两角差的余弦公式，首先要理解公式结构的特征，理解公式的推导过程，熟知由此衍变的两角和的余弦公式.在解题过程中注意角α、β的象限，也就是符号问题，学会灵活使用.（1）牢记公式．S S C C C ⋅+⋅=-)(βα（2）在“给值求值”题型中灵活处理已、未知关系． （六）作业3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式一、教材分析本节的主要内容是两角和与差的正弦、余弦和正切公式，为了引起学生学习本章的兴趣，理解以两角差的余弦公式为基础，推导两角和、差正弦和正切公式的方法，体会三角恒等变换特点的过程，理解推导过程，掌握其应用从而激发学生对本章内容的学习兴趣和求知欲。
高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1 两角和与差的三角
3．1.3 两角和与差的正切整体设计教学分析由于学生有了推导两角和与差的正弦、余弦公式的学习经历，因此，教学中应该让学生独立地推导两角和与差的正切公式．对于公式的成立条件，可以让学生推导出公式观察、比较、分析，以便在掌握公式结构的基础上加以讨论．对于公式的结构特点的分析、归纳、总结，可以结合教科书中“思考”引导学生去发现，并结合例题的解答帮助学生更好地掌握这些特点，同时体会这些特点在解题中的作用．三维目标1．会由两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式．2．能用两角和与差的正切公式进行简单的三角函数式的化简、求值及三角恒等式证明．3．通过推导两角和与差的正切公式以及运用公式解决具体问题，使学生从中体会化归思想的作用．4．通过对例题解题思路的探求，使学生学会用分析的方法寻求解题思路．重点难点教学重点：两角和与差的正切公式的推导及运用．教学难点：运用公式解决简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明过程中解题思路的探求．课时安排2课时教学过程第1课时导入新课思路1.(复习导入)前面我们推出了公式C(α－β)、C(α＋β)、S(α＋β)、S(α－β)后自然想到两角和与差的正切，即有没有tan(α－β)，tan(α＋β)的公式呢？由此导入新课．思路2.(问题导入)我们现在很容易由两角和与差的正弦、余弦公式求出sin15°和cos15°，再由同角三角函数关系求出tan15°，那么能不能直接由tan45°和tan30°求出tan15°呢？推进新课新知探究1．推导两角和与差的正切公式．2．用两角和与差的正切公式进行简单的三角函数式的化简、求值及三角恒等式的证明． 教师引导学生回顾并写出两角和与差的正弦、余弦公式及同角三角函数关系式．点拨学生推出tan(α－β)，tan(α＋β)．学生很容易想到利用同角三角函数关系式，化弦为切得到．但学生很可能想不到讨论，这时教师不要直接提醒，让学生自己悟出来．当cos(α＋β)≠0时，tan(α＋β)＝sin α＋βcos α＋β＝sinαcosβ＋cosαsinβco sαcosβ－sinαsinβ. 如果cosαcosβ≠0，即cosα≠0且cosβ≠0时，分子分母同除以cosαcosβ，得tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ，根据角α、β的任意性，在上面的式子中，β用－β代之，则有tan(α－β)＝tanα＋tan －β1－tanαtan －β＝tanα－tanβ1＋tanαtanβ. 由此推得两角和与差的正切公式，简记为T (α－β)、T (α＋β)．让学生自己联想思考，两角和与差的正切公式中α、β、α±β的取值是任意的吗？学生回顾自己的公式探究过程可知，α、β、α±β都不能等于π2＋kπ(k∈Z )，并引导学生分析公式结构特征，加深公式记忆．至此，教师与学生一起归类总结，我们把前面六个公式分类比较可得：C (α＋β)、S (α＋β)、T (α＋β)叫和角公式；S (α－β)、C (α－β)、T (α－β)叫差角公式．并由学生综合分析以上六个公式的推导过程，从而得出以下逻辑联系图．可让学生自己画出这六个框图．通过逻辑联系图，深刻理解它们之间的内在联系，借以理解并灵活运用这些公式．同时教师应提醒学生注意：不仅要掌握这些公式的正用，还要注意它们的逆用及变形用．如两角和与差的正切公式的变形式：tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tanαtanβ)，在化简求值中就经常应用到，使解题过程大大简化，也体现了数学的简洁美．对于两角和与差的正切公式，当tanα，tanβ或tan(α±β)的值不存在时，不能使用T (α±β)处理某些相关问题，但可改用诱导公式或其他方法，例如：化简tan(π2－β)，因为tan π2的值不存在，所以改用诱导公式tan(π2－β)＝sin π2－βcos π2－β＝cosβsinβ来处理等．应用示例例1课本本节例1.变式训练在△ABC 中，已知tanA 、tanB 是方程3x 2＋8x －1＝0的两个根，求tanC 的值． 解：∵tanA、tanB 是方程3x 2＋8x －1＝0的两根，∴tanA＋tanB ＝－83，tanAtanB ＝－13. ∴tanC＝tan[180°－(A ＋B)]＝－tan(A ＋B)＝－tanA ＋tanB 1－tanAtanB ＝－－831－－13＝2.例2课本本节例2.变式训练求tan11°＋tan34°＋tan11°tan34°的值．解：原式＝tan45°(1－tan11°tan34°)＋tan11°tan34°＝1－tan11°tan34°＋tan11°tan34°＝1.点评：充分利用两角和与差的正切公式的变形式：tanα±tanβ＝tan(α±β)(1tanαtanβ).例3课本本节例3. 知能训练课本本节练习1、2、3、4.课堂小结由于学生有了推导两角和与差的正弦、余弦公式的学习经历，因此，教学中应该让学生独立地推导两角和与差的正切公式．对于公式的成立条件，可以让学生推导出公式观察、比较、分析，以便在掌握公式结构的基础上加以讨论．对于公式的结构特点的分析、归纳、总结，可以结合教科书中“思考”引导学生去发现，并结合例1和例2的解答帮助学生更好地掌握这些特点，同时体会这些特点在解题中的作用．本小节共两课时，本节课为第1课时，主要是推导公式、讨论探究公式的成立条件，并完成课本例1、例2、例3.例3是一道具有几何背景的简单问题，在该题的教学中，要注意让学生体会已知一个角的三角函数值，确定角的方法．设计感想本节课从内容上来看，难度较小，但两角和与差的正切公式有其成立的条件．这点教材中未做特别说明，是学生易出错的地方．在教学中，应注意引导学生对公式的结构特征仔细观察，清楚公式变形的本质属性，解题时灵活选用．同时注意鼓励学生进行一题多解，一题多变，并从中体会重要的数学思想方法，这才是本节教学的核心问题，而不是一些特殊的变换技巧．备课资料一、对两角和与差的正切公式的理解1．两角和的正切公式是根据同角三角函数的关系式sinαcosα＝tanα及正、余弦的和角公式导出的，因为公式S (α＋β)与C (α＋β)具有一般性，因此公式T (α＋β)也具有一般性，在公式T (α＋β)中以－β代β便可得到公式T (α－β)．2．两公式只有当tanα，tanβ或tan(α±β)都存在，即α≠kπ＋π2，β≠kπ＋π2，α±β≠kπ＋π2(k∈Z )时才成立，这是由任意角的正切函数的定义域所决定的． 3．当tanα，tanβ或tan(α±β)的值不都存在时，不能使用T (α±β)来处理某些相关问题，但可改用诱导公式或其他方法，如化简tan(π2＋β)，因为tan π2的值不存在，不能利用公式T (α＋β)，所以要改用诱导公式来解，则tan(π2＋β)＝sin π2＋βcos π2＋β＝cosβ－sinβ＝－1tanβ. 二、备用习题 1．如果tan(α＋β)＝25，cot(α＋π4)＝4，则tan(β－π4)为( ) A.16 B.1318C.322D.13222．已知tan(α－β2)＝12，tan(β－α2)＝－13，则tan α＋β2的值等于________． 3．已知tan(α＋π4)＝－940，则tanα＝________，tan(α－π4)＝________. 4．已知tanα，tanβ是方程x 2＋(4m ＋1)x ＋2m ＝0的两个根，且m≠－12，求sin α＋βcos α－β. 5．已知α、β都是锐角，cosα＝45，tan(α－β)＝－13，求cosβ的值．参考答案：1．C 2.173．－940 409 解析：∵tan(α＋π4)＝－940，∴1＋tanα1－tanα＝－940. 解得tanα＝－4931，tan(α－π4)＝tanα－11＋tanα＝409. 4．解：由题意tanα＋tanβ＝－(4m ＋1)，tanαtanβ＝2m ，∴sin α＋βcos α－β＝sinαcosβ＋cosαsinβcosαcosβ＋sinαsinβ＝tanα＋tanβ1＋tanαtanβ＝－4m ＋12m ＋1. 5．解：由题意tanα＝34，∴tanβ＝tan[α－(α－β)]＝tanα－tan α－β1＋tanαtan α－β＝34＋131＋34×－13＝139. 又∵cos 2β＝11＋tan 2β＝11＋16981＝81250，∴cosβ＝91050. (设计者：王光玲)第2课时导入新课思路1.(复习导入)让学生回顾前面所学的两角和与差的正弦、余弦、正切公式，从分析公式的推导过程入手，揭示它们的逻辑关系．思路2.(习题导入)①已知α＋β＝45°，求(1＋tanα)(1＋tanβ)的值．(答案：2)②已知sinα＝－35，α是第四象限角，求tan(π4－α)的值．(答案：7) ③求tan70°＋tan50°－3tan50°tan70°的值．(答案：－3)学生练习，教师讲评中导入新课．推进新课新知探究本节为两角和与差的三角函数的最后一节内容，对两角和与差公式进一步熟练掌握． 上节课我们学习了两角和与差的正切公式，请同学们默写这些公式，并思考这些公式的使用条件．我们上节课初步运用这些公式解决了一些有关三角函数的求值和化简问题，利用这些公式除了能进行三角函数式的求值、化简之外，我们还可以运用其解决一些三角函数式的证明问题，并能解决一些实际问题．这就是我们本节课所要学习的内容．应用示例例1课本本节例4.变式训练在锐角△ABC 中，A 、B 、C 是它的三个内角，记S ＝11＋tanA ＋11＋tanB ，求证：S<1. 证明：∵S＝1＋tanA ＋1＋tanB 1＋tanA 1＋tanB ＝1＋tanA ＋tanB ＋11＋tanA ＋tanB ＋tanAtanB， 又A ＋B>90°，∴90°>A>90°－B>0°.∴tanA>tan(90°－B)＝cotB>0.∴tanAtanB>1.∴S<1.例2课本本节例5.例3求证：sin α＋βsin α－βsin 2αcos 2β＝1－tan 2βtan 2α.活动：证明三角恒等式，一般要遵循“由繁到简”的原则，另外“化弦为切”与“化切为弦”也是在三角式的变换中经常使用的方法． 证法一：左边＝sinαcosβ＋cosαsinβsinαcosβ－cosαsinβsin 2αcos 2β ＝sin 2αcos 2β－cos 2αs in 2βsin 2αcos 2β＝1－cos 2αsin 2βsin 2αcos 2β＝1－tan 2βtan 2α＝右边．∴原式成立． 证法二：右边＝1－cos 2αsin 2βsin 2αcos 2β＝sin 2αcos 2β－cos 2αsin 2βsin 2αcos 2β＝sinαcosβ＋cosαsinβsinαcosβ－cosαsinβsin 2αcos 2β ＝sin α＋βsin α－βsin 2αcos 2β＝左边．∴原式成立． 点评：此题进一步训练学生三角恒等式的变形，灵活运用三角函数公式的能力以及逻辑推理能力．知能训练课本本节练习1、2、3、4.课堂小结我们在学习两角和与差的正切公式的时候，不仅要熟练掌握公式本身，更应该掌握公式的变形公式，尤其是在解决有关三角函数式的证明和化简问题时，更应该注意灵活运用公式的变形公式．作业课本习题3.1(3) 8、9、10.设计感想作为两角和与差公式的最后一节课，学生对两角和与差的正切(包括正弦、余弦)公式及其应用有了比较深刻的理解．对于本节来说，教学中可以更多地让学生自主学习，探究解决问题的来龙去脉，使学生更好地掌握用分析的方法寻求解题思路．特别是本节课本例4是一个优美的三角恒等式，可让学生课后继续探究它的对称美、简洁美、统一美、结构美等特征，让学生从中体会数学的美丽生动．备课资料备选习题1．若tanα＝2，tan(β－α)＝3，则tan(β－2α)的值为( )A ．－1B ．－12C.57D.172．tan30°＋tan15°＋tan15°tan30°的值等于( )A.12B.22C. 2 D ．1 3.tan55°－tan385°1－tan －305°tan －25°＝________. 4．已知tan110°＝a ，则tan50°的值为________．5．若tanx ＝1－tan20°1＋tan20°，则x ＝________. 6．已知sinα＝－35，cosβ＝513，且α，β的终边在同一象限，求tan(α＋β)的值． 7．若3sinx ＋3cosx ＝23sin(x ＋φ)且φ∈(0，π2)，求tan(φ＋π4)的值． 8．在平面直角坐标系中，点P 在以原点O 为圆心、6为半径的圆上运动，线段OP 与以O 为圆心、2为半径的圆交于R 点，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ，过R 作PM 的垂线，垂足为Q ，求∠POQ 的最大值．参考答案：1．D 2.D 3.33 4.a －31＋3a(或1－a 22a ) 5．25°＋k·180°(k∈Z ) 6.6316. 7．分析：如何求φ是本题的关键． 解：∵3sinx＋3cosx ＝23(32sinx ＋12cosx)＝23(sinxcos π6＋cosxsin π6)＝23sin(x ＋π6)， ∴23sin(x ＋φ)＝23sin(x ＋π6)． 又∵φ∈(0，π2)，∴φ＝π6. ∴tan(φ＋π4)＝1＋tanφ1－tanφ＝1＋331－33＝3＋33－3＝9＋3＋6332－3＝2＋ 3. 8．解：本应考虑点P 在四个象限的情形，由于对称性，可不妨设点P 在第一象限，设∠xOP＝α，∠xOQ＝β，则∠POQ＝α－β，Q(6cosα，2sinα)，tanβ＝2sinα6cosα＝13tanα.故tan∠POQ＝tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanαtanβ＝tanα－13tanα1＋13tan 2α＝2tanα3＋tan 2α. 设tan∠POQ＝y ，tanα＝t ，则y ＝2t 3＋t 2， 即yt 2－2t ＋3y ＝0.由α是锐角，可知t ＞0，从而y ＝2t 3＋t 2＞0. 又Δ＝4－12y 2≥0，故0＜y≤33，且当t ＝3时，y ＝33. 故y 的最大值，即tan∠POQ 的最大值为33. 所以∠POQ 的最大值为π6. 附：(设计者：王光玲)3．1.3 两角和与差的正切第1课时作者：徐金花，江苏省铜山县棠张中学教师，本教学设计获江苏省教学设计大赛二等奖．整体设计设计思想数学课程标准指出：“数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上．”“教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探究和合作交流的过程中真正理解与掌握基本的数学基础知识与技能、数学思想方法，获得广泛的数学活动的经验．”苏霍姆林斯基曾经说过，学生心灵深处有一种根深蒂固的需要——希望自己是一个发现者、研究者、探究者．本节课根据新课标和新课程的教学理念，采用自主探究与合作交流的教学方法，让学生积极主动的参与学习，给予他们充分的时间和空间，进行探索、猜想和发现两角和与差的正切公式．对于例习题的处理是通过一题多解、一题多变等形式让教学成为师生对话、沟通、合作、共建的交往活动．教学内容分析本节内容在上两节正、余弦和、差角公式的基础上，利用同角三角函数关系推导出正切的和差角公式，并通过三个例题及变式题的处理(主要是公式的正用、逆用和变用)巩固所学知识．教学目标分析1．知识与技能：会由正、余弦的和、差角公式推导出正切的和差、角公式．能用正切的和、差角公式进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式的证明．2．过程与方法：学生利用正、余弦的和、差角公式自主探究正切的和、差角公式，并从推导的过程中感悟化归思想．3．情感与态度：通过对问题的自主探究和合作交流，体验团队合作的快乐，养成严谨、开放的思维习惯，感悟化归思想、数形结合思想、整体思想、方程思想，增强数学学习的信心．重点难点教学重点：正切公式的推导及用公式进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式的证明．教学难点：公式的灵活应用．教学准备实物投影仪多媒体教学过程情景创设(多媒体出示)回顾3.1.1节例2中求t an15°的过程，我们先分别求出sin15°和cos15°，再由同角三角函数关系求出tan15°，这个计算方法较烦琐，由15°＝45°－30°，我们猜想，能否由tan45°和tan30°直接求出tan15°呢？这就是我们这节课研究的课题——两角和与差的正切．(教师板书课题)学生活动：回顾求解过程、感受计算量．自主探究：(1)如何化未知角为已知角？(2)如何化未知函数名为已知函数名？(“切”化“弦”)学生活动学生就上面的问题展开讨论，讨论将涉及下面的问题：1．同角的三角函数有哪些关系？我们选择哪个关系来研究本课题？2．问题1中涉及到的S(α＋β)和C(α＋β)公式，你能准确写出来吗？3．由问题1,2将tan(α±β)表示成α，β的“弦”的形式之后如何化成“切”的形式呢？小组讨论，合作交流．推荐两个小组代表板演推导两个公式的过程．数学建构两角和与差的正切公式：(教师板书) tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ T (α＋β) tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanαtanβT (α－β) 思考：1.公式的结构特点及适用范围(符号特点；结构特点：要注意到tan(α±β)可以用tanα和tanβ的和(差)与积表示；适用范围是使公式的两边都有意义)．2．公式T (α－β)能否由T (α＋β)来推导呢？(利用化归思想，用－β代替β)(教师板书数学思想)3．由T (α＋β)公式，你能否将公式变形得到其他公式？(教师板书变形公式)变形1 tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)；变形2 tanαtanβ＝1－tanα＋tanβtan α＋β. (两个变形公式的适用范围也是使等式两边都有意义)学生活动：学生在书上划出公式，并观察公式的结构特点．思考：(1)求tan(π2＋α)可以用T (α＋β)公式展开吗？(2)T (α＋β)公式成立的具体条件是什么？自主探究：一中等生口述思路“整体代换”学生感悟化归思想．小组讨论，合作交流．学生记下变形公式(不作记忆要求，会变形应用)思考：两变形公式成立的具体条件是什么？数学应用(例题用多媒体出示、变式题用实物投影仪出示)例1(1)已知tanα＝12，求tan(α＋π4)； (2)已知tanα＝－12，tanβ＝－5，求tan(α＋β)． 分析：直接应用公式，注意公式及运算的准确性．变式1：(教材例1)已知tanα，tanβ是方程x 2＋5x －6＝0的两根，求tan(α＋β)的值．分析：思路一：可以根据方程解出tanα，tanβ，再代入公式计算即可．思路二：通过计算tanα＋tanβ，tanαtanβ的值来求tan(α＋β)．反思：思路二是利用整体思想方法来解题，较思路一简捷．变式题2(教材本节练习4)已知tan(α＋β)＝13，tanα＝－2，求tanβ的值． 分析：思路一：利用“β＝(α＋β)－α”变换方法，代入T (α－β)公式求解即可．思路二：由13＝tan(α＋β)展开，将tanα＝－2代入，建立关于tanβ的方程． 反思：思路一通过角的变换，化未知为已知，渗透了化归思想；思路二是建立方程，体现了方程的思想．(以上几题均是公式的正用)思考：公式及变形公式有什么作用？学生活动：一中等学生口述分析思路一，师板书．一优等生口述分析思路二并板书关键步骤．学生回顾韦达定理的内容并感悟整体思想方法．两中等生口述分析思路一、思路二．(师多媒体出示解答过程，强调规范书写，并给出评分标准)思考：两种思路体现的数学思想是什么？例2(教材例2)求证：1＋tan15°1－tan15°＝ 3. 分析：思路一：由1＝tan45°，等式左边的结构与tan(α＋β)相似，考虑逆用两角和的正切公式．思路二：本题也可由3联想到tan60°，进而联想到两角和的正切公式，找到证明途径(公式正用)．思路三：利用15°＝45°－30°，再代入T (α－β)公式求解．(化未知角为已知角再正用公式)自主探究：(1)如何证明等式？(2)观察等式左、右两边的结构有何特点？一优等生分析口述思路一(师板书)，一中等生分析思路二(师及时表扬学生的巧妙联想)，一潜能生分析思路三(师肯定学生的转化方法)．变式题1.求证：cos15°＋sin15°cos15°－sin15°＝ 3. 分析：思路一：利用15°＝45°－30°，再代入S (α±β)和C (α±β)公式计算即可(此法较为烦琐)．思路二：“弦化切”处理之后即为例2，可证．思路三：逆用两角和与差的正、余弦公式化简可证．其中： cos15°－sin15°＝2(22cos15°－22sin15°) ＝2sin(45°－15°)＝22. cos15°＋sin15°＝2(22cos15°＋22sin15°) ＝2sin(45°＋15°)＝62. 思路四：由等式左边是正值，可证其平方为3，而平方后可逆用和、差角公式，令m ＝cos15°＋sin15°cos15°－sin15°，则m>0， 从而m 2＝1＋2sin15°cos15°1－2sin15°cos15°＝1＋sin30°1－sin30°＝3212＝3，可证． 思路五：构造向量，利用向量的内积定义及坐标表示来证明．令a ＝(1，－1)，b ＝(cos15°，sin15°)，则cos15°－s in15°＝(1，－1)·(cos15°，sin15°)＝2×1×cosθ，其中θ为a 与b 的夹角，且数形结合可知θ＝15°＋45°＝60°， 从而cos15°－sin15°＝2cos60°＝22，同理可求 cos15°＋sin15°＝2cos30°＝62，从而可证． 反思：本题是一题多解，开阔学生的思维，培养学生分析问题和解决问题的能力，渗透数学中的转化思想(思路二)和整体思想(思路四)和数形结合思想(思路五)．小组讨论，合作交流．不同解法的小组派代表展示证明方法．(前四种不同解法)(通过合作探究问题的过程，体验团队合作的快乐，体会公式的灵活应用、感悟化归、数形结合、整体、方程的数学思想．)(师启发思路五并多媒体出示解答过程，留时间让学生体会构造方法)变式题2.利用和(差)公式证明 tan20°＋tan40°＋3tan20°tan40°＝ 3.分析：利用和(差)角公式的变形公式1可得tan20°＋tan40°＝tan(20°＋40°)(1－tan20°tan40°)＝3(1－tan20°tan40°)．反思：本题是公式灵活应用的典例，更一般地，猜想：tanα＋tanβ＋tan(α＋β)tanαtanβ＝tan(α＋β)成立吗？讨论交流，一优等生分析口述(师板书)．思考：能否用公式T (α＋β)的变形2来证明呢？(课后完成猜想)例3(教材例3)如图，三个相同的正方形相接，求证：α＋β＝π4. 分析：由图可知tanα＝12且0<α<π2，tanβ＝13且0<β<π2，欲求α＋β的值，先求tan(α＋β)的值为1且0<α＋β<π，从而α＋β＝π4. 反思：这是一道具有几何背景的简单问题，从这里可以看出已知一个角的三角函数值求角的方法．思考：你能从图形中观察出α，β均小于π4，那你能从代数的角度说明α，β均小于π6吗？(利用函数的单调性求角的范围．如0<tanα＝12<33，则0<α<π6)思考1：求角“α＋β”的哪个函数值较好？思考2：由tan(α＋β)＝1能直接得到α＋β＝π4吗？为什么？ 变式题：已知A ，B 为锐角，且A ＋B ＝45°.(1)求证：(1＋tanA)(1＋tanB)＝2.(2)求值：(1＋tan1°)(1＋tan2°)…(1＋tan44°)．自主探究(1)课外思考(2)回顾小结1．知识点：两角和与差的正切公式的推导；应用公式进行求值、化简及三角恒等式的证明(正用，逆用，变用)．2．数学思想：化归思想、整体思想、数形结合思想、方程思想．一中等生完成小结，学生笔记数学思想．作业教材习题3.1(3)必做题2,5,9；选做题7.教后记本节课根据新课标和新课程的教学理念，采用自主探究与合作交流的教学方法，让学生积极主动的参与学习，给予他们充分的时间和空间，进行探索、猜想和发现两角和与差的正切公式，培养学生自主探究能力和合作交流能力．在公式的结构特点方面，让学生观察归纳，培养学生的观察能力和归纳能力．在例题的处理和变式题的训练方面，完全让学生自主探究，合作讨论交流，体验团队合作的快乐，培养学生思维的严谨性和开阔性，以及分析问题、解决问题的能力，渗透了整体、化归、数形结合、方程等几种数学思想．不足之处：对于例2的变式题1的证法五是在教师启发引导下探究出来的，这说明学生的“向量”工具应用还不够好，学生的思维开阔性及整体思想、数形结合思想的应用方面还需进一步提高．而例2的变式题2的处理，学生变用公式的能力还有待进一步提高．对于例3的思考2同样反映了学生的数形结合能力有待进一步提高．。
高中数学 必修四 教案：3.1.1 两角差的余弦公式
第三章三角恒等变换3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.1.1 两角差的余弦公式整体设计一、教学分析本节是以一个实际问题做引子,目的在于从中提出问题,引入本章的研究课题.在用方程的思想分析题意,用解直角三角形的知识布列方程的过程中,提出了两个问题:①实际问题中存在研究像tan(45°+α)这样的包含两个角的三角函数的需要;②实际问题中存在研究像sinα与tan(45°+α)这样的包含两角和的三角函数与α、45°单角的三角函数的关系的需要.以实例引入课题也有利于体现数学与实际问题的联系,增强学生的应用意识,激发学生学习的积极性,同时也让学生体会数学知识产生、发展的过程.本节首先引导学生对cos(α-β)的结果进行探究,让学生充分发挥想象力,进行猜想,给出所有可能的结果,然后再去验证其真假.这也展示了数学知识的发生、发展的具体过程,最后提出了两种推导证明“两角差的余弦公式”的方案.方案一,利用单位圆上的三角函数线进行探索、推导,让学生动手画图,构造出α-β角,利用学过的三角函数知识探索存在一定的难度,教师要作恰当的引导.方案二,利用向量知识探索两角差的余弦公式时,要注意推导的层次性:①在回顾求角的余弦有哪些方法时,联系向量知识,体会向量方法的作用;②结合有关图形,完成运用向量方法推导公式的必要准备;③探索过程不应追求一步到位,应先不去理会其中的细节,抓住主要问题及其线索进行探索,然后再反思,予以完善;④补充完善的过程,既要运用分类讨论的思想,又要用到诱导公式.本节是数学公式的教学,教师要遵循公式教学的规律,应注意以下几方面:①要使学生了解公式的由来;②使学生认识公式的结构特征,加以记忆;③使学生掌握公式的推导和证明;④通过例子使学生熟悉公式的应用,灵活运用公式进行解答有关问题.二、教学目标1．知识与技能：通过让学生探索、猜想、发现并推导“两角差的余弦公式”,了解单角与复角的三角函数之间的内在联系,并通过强化题目的训练,加深对两角差的余弦公式的理解,培养学生的运算能力及逻辑推理能力,提高学生的数学素质.2．过程与方法：通过两角差的余弦公式的运用,会进行简单的求值、化简、证明,体会化归思想在数学当中的运用,使学生进一步掌握联系的观点,自觉地利用联系变化的观点来分析问题,提高学生分析问题、解决问题的能力.3．情感态度与价值观：通过本节的学习,使学生体会探究的乐趣,认识到世间万物的联系与转化,养成用辩证与联系的观点看问题.创设问题情境,激发学生分析、探求的学习态度,强化学生的参与意识,从而培养学生分析问题、解决问题的能力和代换、演绎、数形结合等数学思想方法.三、重点难点教学重点:通过探究得到两角差的余弦公式.教学难点:探索过程的组织和适当引导.四、课时安排1课时五、教学设想（一）导入新课思路1.(问题导入)播放多媒体,出示问题,让学生认真阅读课本引例.在用方程的思想分析题意,用解直角三角形的知识布列方程的过程中,提出了两个问题:①实际问题中存在研究像tan(45°+α)这样的包含两个角的三角函数的需要;②实际问题中存在研究像sinα与tan(45°+α)这样的包含两角和的三角函数与α、45°单角的三角函数的关系的需要.在此基础上,再一般化而提出本节的研究课题进入新课.思路2.复习导入)我们在初中时就知道cos45°=22,cos30°=23,由此我们能否得到cos15°=cos(45°-30°)=?这里是不是等于cos45°-cos30°呢？教师可让学生验证,经过验证可知,我们的猜想是错误的.那么究竟是个什么关系呢？cos(α-β)等于什么呢？这时学生急于知道答案,由此展开新课:我们就一起来探讨“两角差的余弦公式”.这是全章公式的基础.（二）推进新课、新知探究、提出问题①请学生猜想cos(α-β)=?②利用前面学过的单位圆上的三角函数线,如何用α、β的三角函数来表示cos(α-β)呢？ ③利用向量的知识,又能如何推导发现cos(α-β)=?④细心观察C (α-β)公式的结构,它有哪些特征？其中α、β角的取值范围如何？⑤如何正用、逆用、灵活运用C (α-β)公式进行求值计算？活动:问题①,出示问题后,教师让学生充分发挥想象能力尝试一下,大胆猜想,有的同学可能就首先想到cos(α-β)=cosα-cosβ的结论,此时教师适当的点拨,然后让学生由特殊角来验证它的正确性.如α=60°,β=30°,则cos(α-β)=cos30°=23,而cosα-cosβ=cos60°-cos30°=231 ,这一反例足以说明cos(α-β)≠cosα-cosβ.让学生明白,要想说明猜想正确,需进行严格证明,而要想说明猜想错误,只需一个反例即可.问题②,既然cos(α-β)≠cosα-cosβ,那么cos(α-β)究竟等于什么呢？由于这里涉及的是三角函数的问题,是α-β这个角的余弦问题,我们能否利用单位圆上的三角函数线来探究呢？图1如图1,设角α的终边与单位圆的交点为P 1,∠POP 1=β,则∠POx=α-β.过点P 作PM 垂直于x 轴,垂足为M,那么OM 就是角α-β的余弦线,即OM=cos(α-β),这里就是要用角α、β的正弦线、余弦线来表示OM.过点P 作PA 垂直于OP 1,垂足为A,过点A 作AB 垂直于x 轴,垂足为B,过点P 作PC 垂直于AB,垂足为C.那么,OA 表示cosβ,AP 表示sinβ,并且∠PAC=∠P 1Ox=α.于是,OM=OB+BM=OB+CP=OAcosa+APsina =cosβcosα+sinβsinα,所以,cos(α-β)=cosαcosβ+sinα sinβ.教师引导学生进一步思考,以上的推理过程中,角α、β、α-β是有条件限制的,即α、β、α-β均为锐角,且α>β,如果要说明此结果是否对任意角α、β都成立,还要做不少推广工作,并且这项推广工作的过程比较繁琐,由同学们课后动手试一试.图2问题③,教师引导学生,可否利用刚学过的向量知识来探究这个问题呢?如图2,在平面直角坐标系xOy 内作单位圆O,以Ox 为始边作角α、β,它们的终边与单位圆O 的交点分别为A 、B,则=(cosα,sinα),=(cosβ,sinβ),∠AOB =α-β.由向量数量积的定义有·=||||·cos(α-β)=cos(α-β), 由向量数量积的坐标表示有·=(cosα,sinα)(cosβ,sinβ)=cosαcosβ+sinαsinβ, 于是,cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.我们发现,运用向量工具进行探究推导,过程相当简洁,但在向量数量积的概念中,角α-β必须符合条件0≤α-β≤π,以上结论才正确,由于α、β都是任意角,α-β也是任意角,因此就是研究当α-β是任意角时,以上公式是否正确的问题.当α-β是任意角时,由诱导公式,总可以找到一个角θ∈［0,2π),使cosθ=cos(α-β),若θ∈［0,π］,则·=cosθ=cos(α-β).若θ∈［π,2π］,则2π-θ∈［0,π］,且·=cos(2π-θ)=cosθ=cos(α-β). 由此可知,对于任意角α、β都有此公式给出了任意角α、β的正弦、余弦值与其差角α-β的余弦值之间的关系,称为差角的余弦公式,简记为C (α-β).有了公式C (α-β)以后,我们只要知道cosα、cosβ、sinα、sinβ的值,就可以求得cos(α-β)的值了.问题④,教师引导学生细心观察公式C (α-β)的结构特征,让学生自己发现公式左边是“两角差的余弦”,右边是“这两角的余弦积与正弦积的和”,可让学生结合推导过程及结构特征进行记忆,特别是运算符号,左“-”右“+”.或让学生进行简单填空,如:cos(A-B)=__________,cos(θ-φ)= __________等.因此,只要知道了sinα、cosα、sinβ、cosβ的值就可以求得cos(α-β)的值了. 问题⑤,对于公式的正用是比较容易的,关键在于“拆角”的技巧,而公式的逆用则需要学生的逆向思维的灵活性,特别是变形应用,这就需要学生具有较强的观察能力和熟练的运算技巧.如cos75°cos45°+sin75°sin45°=cos(75°-45°)=cos30°=23, cosα=cos ［(α+β)-β］=cos(α+β)cosβ+sin(α+β)sinβ.讨论结果:①—⑤略.（三）应用示例思路1例1 利用差角余弦公式求cos15°的值.活动:先让学生自己探究,对有困难的学生教师可点拨学生思考题目中的角15°,它可以拆分为哪些特殊角的差,如15°=45°-30°或者15°=60°-45°,从而就可以直接套用公式C (α-β)计算求值.教师不要包办,充分让学生自己独立完成,在学生的具体操作下,体会公式的结构,公式的用法以及把未知转化为已知的数学思想方法.对于很快就完成的同学,教师鼓励其换个角度继续探究.解:方法一:cos15°=cos(45°-30°)=cos45°cos30°＋sin45°sin30° =.42621222322+=⨯+⨯ 方法二:cos15°=cos(60°-45°)=cos60°cos45°＋sin60°sin45° =21×.426232222+=⨯+ 点评:本题是指定方法求cos15°的值,属于套用公式型的,这样可以使学生把注意力集中到使用公式求值上.但是仍然需要学生将这个非特殊角拆分成两个特殊角的差的形式,灵活运用公式求值.本例也说明了差角余弦公式也适用于形式上不是差角,但可以拆分成两角差的情形.至于如何拆分,让学生在应用中仔细体会.变式训练1.不查表求sin75°,sin15°的值解:sin75°=cos15°=cos(45°-30°)=cos45°cos30°＋sin45°sin30° =.42621322322+=⨯+⨯ sin15°= 15cos 12-=2)426(1+-=.426162628-=⨯- 点评:本题是例题的变式,比例题有一定的难度,但学生只要细心分析,利用相关的诱导公式,不难得到上面的解答方法.2.不查表求值:cos110°cos20°＋sin110°sin20°.解:原式=cos(110°-20°)=cos90°=0.点评:此题学生一看就有似曾相识而又无从下手的感觉,需要教师加以引导,让学生细心观察,再结合公式C (α-β)的右边的特征,逆用公式便可得到cos(110°-20°).这就是公式逆用的典例,从而培养了学生思维的灵活性.例2 已知sinα=54,α∈(2π,π),cosβ=135-,β是第三象限角,求cos(α-β)的值. 活动:教师引导学生观察题目的结构特征,联想到刚刚推导的余弦公式,学生不难发现,欲求cos(α-β)的值,必先知道sinα、cosα、sinβ、cosβ的值,然后利用公式C (α-β)即可求解.从已知条件看,还少cosα与sinβ的值,根据诱导公式不难求出,但是这里必须让学生注意利用同角的平方和关系式时,角α、β所在的象限,准确判断它们的三角函数值的符号.本例可由学生自己独立完成.解:由sinα=54,α∈(2π,π),得 cosα=.53)54(1sin 122-=--=--a又由cosβ=135-,β是第三象限角,得 sinβ=.1312)135(1cos 122-=---=--β 所以cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ =.6533)1312(54)135()53(-=-⨯+-⨯- 点评:本题是直接运用公式C (α-β)求值的基础练习,但必须思考使用公式前应作出的必要准备.特别是运用同角三角函数平方关系式求值时,一定要弄清角的范围,准确判断三角函数值的符号.教师可提醒学生注意这点,养成良好的学习习惯.变式训练已知sinα=54,α∈(0,π),cosβ=135-,β是第三象限角,求cos(α-β)的值. 解:①当α∈［2π,π)时,且sinα=54,得cosα=53)54(1sin 122-=--=--a , 又由cosβ=135-,β是第三象限角,得 sinβ=22)135(1cos 1---=--β=1312-. 所以cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=.6533)1312(54)135()53(-=-⨯+-⨯-. ②当α∈(0,2π)时,且sinα=54,得 cosα=53)54(1sin 122=-=-a , 又由cosβ=135-,β是第三象限角,得 sinβ=.1312)135(1cos 122-=---=--β 所以cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ =.6563)1312(54)135(53-=-⨯+-⨯ 点评:本题与例2的显著的不同点就是角α的范围不同.由于α∈(0,π),这样cosα的符号可正、可负,需讨论,教师引导学生运用分类讨论的思想,对角α进行分类讨论,从而培养学生思维的严密性和逻辑的条理性.教师强调分类时要不重不漏.思路2例1 计算:(1)cos(-15°);(2)cos15°cos105°＋sin15°sin105°;(3)sinxsin(x+y)＋cosxcos(x+y).活动:教师可以大胆放给学生自己探究,点拨学生分析题目中的角-15°,思考它可以拆分为哪些特殊角的差,如-15°=15°-30°或-15°=45°-60°,然后套用公式求值即可.也可化cos(-15°)=cos15°再求值.让学生细心观察(2)(3)可知,其形式与公式C (α-β)的右边一致,从而化为特殊角的余弦函数.解:(1)原式=cos15°=cos(45°-30°)=cos45°cos30°＋sin45°sin30° =.42621222322+=⨯+⨯ (2)原式=cos(15°-105°)=cos(-90°)=cos90°=0.(3)原式=cos ［x-(x+y)］=cos(-y)=cosy.点评:本例重点是训练学生灵活运用两角差的余弦公式进行计算求值,从不同角度培养学生正用、逆用、变形用公式解决问题的能力,为后面公式的学习打下牢固的基础. 例2 已知cosα=71,cos(α+β)=1411-,且α、β∈(0, 2π),求cosβ的值.活动:教师引导学生观察题目中的条件与所求,让学生探究α、α+β、β之间的关系,也就是寻找已知条件中的角与所求角的关系.学生通过探究、讨论不难得到β=(α+β)-α的关系式,然后利用公式C (α-β)求值即可.但还应提醒学生注意由α、β的取值范围求出α+β的取值范围,这是很关键的一点,从而判断sin(α+β)的符号进而求出cosβ.解:∵α、β∈(0,2π),∴α+β∈(0,π). 又∵cosα=71,cos(α+β)=1411-, ∴sinα=,734cos 12=-a sin(α+β)=.1435)(cos 12=+-βa 又∵β=(α+β)-α, ∴cosβ=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα =.21734143571)1411(=⨯+⨯- 变式训练1.求值:cos15°+sin15°.解:原式=22(2cos15°+22sin15°)=2(cos45°cos15°+sin45°sin15°) =2cos(45°-15°)=2cos30°=26. 2.已知sinα+sinβ=53,cosα+cosβ=54,求cos(α-β)的值. 解:∵(sinα+sinβ)2=(53)2,(cosα+cosβ)2=(54)2, 以上两式展开两边分别相加得2+2cos(α-β)=1, ∴cos(α-β)=21-. 3.已知锐角α、β满足cosα=54,tan(α-β)=31-,求cosβ. 解:∵α为锐角,且cosα=54,得sinα=53. 又∵0<α<2π,0<β<2π,∴-2π<α-β<2π. 又∵tan(α-β)= 31-<0, ∴cos(α-β)=103. 从而sin(α-β)=tan(α-β)cos(α-β)=101-.∴cosβ=cos ［α-(α-β)］=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β) =54×).101(53103-⨯+ =50109.。
高中数学第三章三角恒等变换第1课时3.1.1两角和与差的余弦教案苏教版必修4
第1课时 §3.1.1 两角和与差的余弦【教学目标】 一、知识与技能：1．掌握两点间的距离公式及其推导； 2．掌握两角和的余弦公式的推导；3．能初步运用公式()C αβ±来解决一些有关的简单的问题 二、过程与方法经历用向量的数量积推导两角差的余弦公式的过程，体验和感受数学发现和创造的过程，体会向量和三角函数间的联系；三、情感态度价值观：用余弦的差角公式推出余弦的和角公式，理解化归思想在三角变换中的作用 教学重点难点：两点间的距离公式及两角和的余弦公式的推导 【教学过程】 一．复习回顾1．数轴两点间的距离公式：12MN x x =-．2．点(,)P x y 是α终边与单位圆的交点，则sin ,cos y x αα==． 二、新课讲解：1．两点间的距离公式及其推导设111222(,),(,)P x y P x y 是坐标平面内的任意两点，从点12,P P 分别作x 轴的垂线1122,PM P M ，与x 轴交于点1122(,0),(,0)M x M x ；再从点12,P P 分别作y 轴的垂线1122,PN P N ，与y 轴交于点1122(0,),(0,)N y N y ．直线11PN 与22P M 相交于点Q ，那么 11221PQ M M x x ==-， 21221QP N N y y ==-．由勾股定理，可得2221212PP PQ QP =+2212x x y y =-+- 222121()()x x y y =-+-∴12PP =．2．两角和的余弦公式的推导在直角坐标系xOy 内作单位圆O ，并作角,αβ与β-，使角α的始边为Ox ，交⊙O 于点1P ，终边交⊙O 于点2P ；角β的始边为2OP ，终边交⊙O 于点3P ；角β-的始边为1OP ，终边交⊙O 于点4P ，则点1234,,,P P P P 的坐标分别是1(1,0)P，2(cos ,sin )P αα， 3(cos(),sin())P αβαβ++，4(cos(),sin())Pββ--， 1324PP P P =，∴22[cos()1]sin ()αβαβ+-++22[cos()cos ][sin()sin ]βαβα=--+--得：22cos()αβ-+22(cos cos sin sin )αβαβ=-- ∴cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-．（()C αβ+） 3．两角差的余弦公式在公式()C αβ+中用β-代替β，就得到cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+ （C αβ-）说明：公式()C αβ±对于任意的,αβ都成立。
江苏省启东市高中数学第三章三角恒等变换第1课时3.1.1两角和与差的余弦教案苏教版必修4201712
第 1课时 §3.1.1 两角和与差的余弦【教学目标】 一、知识与技能：1．掌握两点间的距离公式及其推导； 2．掌握两角和的余弦公式的推导； 3．能初步运用公式C来解决一些有关的简单的问题()二、过程与方法经历用向量的数量积推导两角差的余弦公式的过程，体验和感受数学发现和创造的过程，体 会向量和三角函数间的联系；三、情感态度价值观：用余弦的差角公式推出余弦的和角公式，理解化归思想在三角变换中的作用 教学重点难点：两点间的距离公式及两角和的余弦公式的推导 【教学过程】 一．复习回顾1．数轴两点间的距离公式：MNxx ．122．点 P (x , y ) 是 终边与单位圆的交点，则sin y , cos x ．二、新课讲解：1．两点间的距离公式及其推导 设 P 1(x 1, y 1), P 2 (x 2 , y 2 ) 是 坐 标 平 面 内 的 任 意 两 点 ， 从 点 P 1, P 2 分 别 作 x 轴 的 垂 线 P 1M 1, P 2M 2 ，与 x 轴交于点 M 1(x 1,0),M 2 (x 2 ,0)；再从点 P 1, P 2 分别作 y 轴的垂线P 1N 1, P 2N 2 ，与 y 轴交于点 N 1(0, y 1), N 2 (0, y 2 )．直线P N 与 1 1P M 相交于点Q ，那么 22PQ M M xx ，11221QPN Nyy ．21221yN2P2由勾股定理，可得 PP2 PQ 2QP 2xxyy22 1 2122121M1(xx )(yy )2 22 1211PN1OM2xQ∴PP x x2y y2．12(21)(21)12．两角和的余弦公式的推导在直角坐标系xOy内作单位圆O ，并作角,与，使角的始边为Ox，交⊙O于点P，终边交⊙O于点1P；角的始边为2OP，终边交⊙O于点2P；角的始边为3OP，终边交⊙O于点1P，则点4P1,P2,P3,P4的坐标分别是P1(1,0)，P2(cos,sin)，P ，3(cos(),sin())P4(cos(),sin())，P3yP2，∴PP P P [cos()1]2sin2()1324O [cos()cos][sin()sin]22P 1 x得：22cos()22(cos cos sin sin )P 4∴cos()cos cossin sin ．（C）()3．两角差的余弦公式在公式C中用代替，就得到()cos()cos cossin sin （C）说明：公式C对于任意的,都成立。
高中数学第三章三角恒等变换第1课时3.1.1两角和与差的余弦教案苏教版必修41
第1课时 §3.1.1 两角和与差的余弦【教学目标】一、知识与技能：1．掌握两点间的距离公式及其推导； 2．掌握两角和的余弦公式的推导；3．能初步运用公式()C αβ±来解决一些有关的简单的问题 二、过程与方法经历用向量的数量积推导两角差的余弦公式的过程，体验和感受数学发现和创造的过程，体会向量和三角函数间的联系；三、情感态度价值观：用余弦的差角公式推出余弦的和角公式，理解化归思想在三角变换中的作用 教学重点难点：两点间的距离公式及两角和的余弦公式的推导 【教学过程】 一．复习回顾1．数轴两点间的距离公式：12MN x x =-．2．点(,)P x y 是α终边与单位圆的交点，则sin ,cos y x αα==． 二、新课讲解：1．两点间的距离公式及其推导设111222(,),(,)P x y P x y 是坐标平面内的任意两点，从点12,P P 分别作x 轴的垂线1122,PM P M ，与x 轴交于点1122(,0),(,0)M x M x ；再从点12,P P 分别作y 轴的垂线 1122,PN P N ，与y 轴交于点1122(0,),(0,)N y N y ．直线11PN 与22P M 相交于点Q ，那么 11221PQ M M x x ==-， 21221QP N N y y ==-． 由勾股定理，可得2221212PP PQ QP =+2212x x y y =-+- 222121()()x x y y =-+-∴12PP =2．两角和的余弦公式的推导在直角坐标系xOy 内作单位圆O ，并作角,αβ与β-，使角α的始边为Ox ，交⊙O 于点1P ，终边交⊙O 于点2P ；角β的始边为2OP ，终边交⊙O 于点3P ；角β-的始边为1OP ，终边交⊙O 于点4P ，则点1234,,,P P P P 的坐标分别是1(1,0)P ，2(cos ,sin )P αα， 3(cos(),sin())P αβαβ++，4(cos(),sin())P ββ--，1324PP P P =，∴22[cos()1]sin ()αβαβ+-++22[cos()cos ][sin()sin ]βαβα=--+--得：22cos()αβ-+22(cos cos sin sin )αβαβ=-- ∴cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-．（()C αβ+） 3．两角差的余弦公式在公式()C αβ+中用β-代替β，就得到cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+ （C αβ-）说明：公式()C αβ±对于任意的,αβ都成立。
高中数学第3章三角恒等变换3.1.1两角和与差的余弦启发性学案(无答案)苏教版必修4(2021学年)
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3。
1。
1 两角和与差的余弦一．学习目标:1.通过用向量的数量积推到两角差的余弦公式的过程,体验和感受数学发现和创造的过程,体会向量和三角函数间的联系；２．用两角差的余弦公式推出两角和的余弦公式,理解化归思想在三角变换中的作用;3。
能用余弦的和（差）角公式进行简单的三角函数的化简、求值及恒等式的证明。
二．学习重、难点:1．两角差的余弦公式的推导；2．公式的掌握与应用.三．课堂活动：活动一：（两角差的余弦公式的推导及运用）知识准备1、向量a 与b 的夹角θ余弦cos θ=向量1122(,),(,)a x y b x y == 则b a ⋅=2、在直角坐标系中,设任意角α的终边与单位圆交点P 为 公式推导:在平面直角坐标系xOy 中,以Ox 轴为始边分别作角,αβ，其终边分别与单位圆交于1P ，2P 则12POP ∠=设向量1a OP == ，2b OP == 则b a ⋅= ,所以cos()α-β=从而,两角差的余弦公式:思考:如何利用三角函数线推导公式？例1。
.3cos 22353cos .）（），求，（，已知παππαα-∈=例2..cos 54sin sin 53cos cos ）的值（，求，已知βαβαβα-=+=+思考感悟：活动二:(两角和的余弦公式的推导及运用)ββ代替余弦公式中推导方法：在两角差的-，用推导过程：两角和的余弦公式:例3..cos 43cos 32sin ）的值（都是第二象限角，求，，且，已知βαβαβα+-==例4.cos 6516cos 54cos ),2,0()2,0(.的值，求）（，且，已知ββααπβπα-=+=∈∈思考感悟:四．小结反思:__ _＿＿___＿____五．巩固练习：1。
高中数学 第3章 三角恒等变换 3.1.1 两角和与差的余弦
3.1.1 两角和与差的余弦1．能利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用．(难点)2．能利用两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式．(重点) 3．能用两角和与差的余弦公式化简、求值．(重点)[基础·初探]教材整理 两角和与差的余弦公式 阅读教材P 103～P 104完成下列问题． 1．两角差的余弦公式C (α－β)：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β. 2．两角和的余弦公式C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)α，β∈R 时，cos(α－β)＝cos αcos β－sin αsin β.( ) (2)cos 105°＝cos 45° cos 60°－sin 45°sin 60°.( ) (3)cos 30°cos 120°＋sin 30°sin 120°＝0.( ) (4)cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos 2α.( )【解析】 正确运用公式．(1)中加减号错误．(2)(3)(4)正确． 【答案】 (1)× (2)√ (3)√ (4)√[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：[小组合作型]已知sin α＝5，α∈⎝ ⎛⎭⎪2，π，cos β＝－13，β是第三象限角，求cos(α－β)的值．【精彩点拨】 由sin α求cos α；由cos β求sin β，套用cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β公式求值．【自主解答】 ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝45，∴cos α＝－35.又β是第三象限角，cos β＝－513，∴sin β＝－1213.∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－513＋45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＝－3365.解决条件求值问题的关键是：找出已知条件与待求式之间的角、运算及函数的差异，一般可适当变换已知条件，求得另外函数式的值，以备应用；同时也要注意变换待求式，便于将已知条件及求得的函数值代入，从而达到解题的目的.[再练一题]1．已知sin α＝15，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3的值．【解】 ∵sin α＝15，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， ∴cos α＝－265.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝cos αcos π3＋sin αsin π3 ＝－265×12＋15×32＝3－2610.(2)cos(35°－α)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)． 【精彩点拨】 从所求式子的形式，角的特点入手，化简求值． 【自主解答】 (1)c os 15°cos 105°＋sin 15°sin 105° ＝cos(15°－105°)＝cos(－90°)＝0.(2)原式＝cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α) ＝cos[(α－35°)－(25°＋α)] ＝cos(－60°)＝cos 60°＝12.1．两角和与差的余弦公式中，α，β可以是单个角，也可以是两个角的和或差，在运用公式时常将两角的和或差视为一个整体．2．在运用公式化简求值时，要充分利用诱导公式构造两角和与差的余弦结构形式，然后逆用公式求值．[再练一题] 2．求下各式的值(1)cos 75°cos 15°－sin 75°sin 195°； (2)cos 24°cos 36°－sin 24°cos 54°. 【解】 (1)cos 75°cos 15°－sin 75°sin 195° ＝cos 75°cos 15°＋sin 75°sin 15° ＝c os(75°－15°)＝cos 60°＝12.(2)原式＝cos 24°cos 36°－sin 24°·sin 36° ＝cos(24°＋36°)＝cos 60°＝12.[探究共研型]探究1 角“α【提示】 α＋β＝α＋β；α＝(α＋β)－β；β＝(α＋β)－α. 探究2 已知cos(α＋β)和sin β的值，如何求cos α的值？【提示】 由α＝(α＋β)－β可知，cos α＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β，故可先求出sin(α＋β)及cos β的值，代入上式求得cos α的值．已知α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫3π4，π，sin(α＋β)＝－35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝1213，求cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4.【导学号：06460069】【精彩点拨】 已知α＋β，β－π4的正弦值，可用同角三角函数的基本关系式，结合α，β的范围求其余弦值，所以可利用角变换α＋π4＝(α＋β)－⎝⎛⎭⎪⎫β－π4来求值． 【自主解答】 ∵α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π，∴(α＋β)∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π. ∴cos(α＋β)＝1－sin2α＋β＝45. 又⎝⎛⎭⎪⎫β－π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝－513. ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤α＋β－⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝cos(α＋β)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＋sin(α＋β)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－513＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×1213＝－5665.1．利用和(差)角的余弦公式求值时，不能机械地从表面去套公式，而要变通地从本质上使用公式，即把所求的角分解成某两个角的和(差)，并且这两个角的正、余弦函数值是已知的或可求的，再代入公式即可求解．2．在将所求角分解成某两角的和(差)时，应注意如下变换：α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)，2α＝[(α＋β)＋(α－β)]，2α＝[(β＋α)－(β－α)]等．[再练一题]3．α，β为锐角，cos(α＋β)＝1213，cos(2α＋β)＝35，求cos α的值．【解】 ∵α，β为锐角，∴0＜α＋β＜π. 又∵cos(α＋β)＝1213，∴0＜α＋β＜π2，∴0＜2α＋β＜π.又∵cos(2α＋β)＝35，∴0＜2α＋β＜π2，∴sin(α＋β)＝513，sin(2α＋β)＝45，∴cos α＝cos[(2α＋β)－(α＋β)]＝cos(2α＋β)·cos(α＋β)＋sin(2α＋β)·sin(α＋β) ＝35×1213＋45×513＝5665. [构建·体系]1．cos 75°＝________；cos 15°＝________.【解析】 cos 75°＝cos(30°＋45°)＝cos 30°cos 45°－sin 30°sin 45°＝6－24. cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 30°sin 45°＝6＋24.【答案】6－24 6＋242．cos 45°cos 15°＋sin 15°sin 45°的值为________．【解析】 cos 45°cos 15°＋sin 15°sin 45°＝cos(45°－15°)＝cos 30°＝32. 【答案】323．化简cos 7°－sin 15°sin 8°cos 8°＝________.【解析】 原式＝－－sin 15°sin 8°cos 8°＝cos 15°cos 8°＋sin 15°sin 8°－sin 15°sin 8°cos 8°＝cos 15°cos 8°cos 8°＝cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30° ＝22×32＋22×12＝6＋24. 【答案】6＋244．若sin α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α的值为________. 【导学号：06460070】【解析】 ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝35，∴cos α＝－45.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos π4cos α＋sin π4sin α ＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＋22×35＝－210. 【答案】 －2105．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝1213⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＜α＜π2，求cos α. 【解】 由于0＜α－π6＜π3，cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝1213，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝513. 所以cos α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＋π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6cos π6－sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6·sin π6＝1213×32－513×12＝123－526.我还有这些不足：(1) (2)我的课下提升方案： (1) (2)学业分层测评(二十四) 两角和与差的余弦(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．cos(x ＋27°)cos(18°－x )－sin(18°－x )sin(x ＋27°)等于________． 【解析】 原式＝cos(x ＋27°＋18°－x )＝cos 45°＝22. 【答案】222．若x ∈[0，π]，sin x 3sin 2x 3＝cos x 3cos 2x3，则x 的值是________．【解析】 ∵cos x 3cos 2x 3－sin x 3sin 2x3＝0，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋2x 3＝0，∴cos x ＝0，∵x ∈[0，π]∴x ＝π2.【答案】π23．已知cos(α＋β)＝45，cos(α－β)＝－45，则cos αcos β的值为________．【解析】 cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝45，cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－45∴2cos αcos β＝0. ∴cos αcos β＝0. 【答案】 04．(2016·苏州高一检测)已知cos α＝－35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin β＝－1213，β是第三象限角，则cos(β－α)的值是________. 【导学号：06460071】【解析】 ∵cos α＝－35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴sin α＝1－cos 2α＝45.又sin β＝－1213，β是第三象限角，∴cos β＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12132＝－513.cos(β－α)＝cos βcos α＋sin βsin α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－513＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213×45＝1565－4865＝－3365. 【答案】 －33655．在△ABC 中，若sin A sin B ＜cos A cos B ，则△ABC 一定为________三角形． 【解析】 由sin A sin B ＜cos A cos B 得 cos(A ＋B )＞0， ∴cos C ＜0.∴∠C ＞90°，∴△ABC 为钝角三角形． 【答案】 钝角6．化简2cos 10°－sin 20°cos 20°＝________.【解析】2cos 10°－sin 20°cos 20°＝－－sin 20°cos 20°＝3cos 20°＋s in 20°－sin 20°cos 20°＝ 3.【答案】37．已知向量a ＝(cos 75°，sin 75°)，b ＝(cos 15°，sin 15°)，则|a －b |＝________. 【解析】 |a |＝1，|b |＝1，a ·b ＝cos 75° cos 15°＋sin 75° sin 15°＝cos(75°－15°)＝cos 60°＝12.∴|a －b |＝a 2－2a ·b ＋b 2＝1－2×12＋1＝1.【答案】 18．(2016·南京高一检测)若sin α－sin β＝1－32，cos α－cos β＝12，则cos(α－β)的值为________．【解析】 ∵(sin α－sin β)2＋(cos α－cos β)2＝2－2cos(α－β)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122，∴cos(α－β)＝32.【答案】32二、解答题9．设cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝－19，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝23，其中α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，求cos α＋β2的值．【解】 ∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α－β2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π，α2－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π2，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－β2＝1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α－β2＝1－181＝459， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝1－49＝53. ∴cos α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝－19×53＋459×23＝7527.10．若cos(α－β)＝55，cos 2α＝1010，并且α，β均为锐角且α＜β，求α＋β的值．【解】 ∵α＜β，cos(α－β)＝55， ∴sin(α－β)＝－255.∵α为锐角，cos 2α＝1010， ∴sin 2α＝31010.∴cos(α＋β)＝cos[2α－(α－β)] ＝cos 2αcos(α－β)＋sin 2αsin(α－β) ＝1010×55＋31010×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255 ＝－22. ∵0＜α，β＜π2，∴0＜α＋β＜π.∴α＋β＝3π4.[能力提升]1．已知点P (1，2)是角α终边上一点，则cos(30°－α)＝________. 【解析】 由已知sin α＝63，cos α＝33， cos(30°－α)＝cos 30° cos α＋sin 30°sin α＝32×33＋12×63＝3＋66. 【答案】3＋662. (2016·南通高一检测)如图311，在平面直角坐标系中，锐角α，β的终边分别与单位圆交于A ，B 两点，如果点A 的纵坐标为35，点B 的横坐标为513，则cos(α－β)＝________.图311【解析】 易知sin α＝35，cos β＝513，又因为α，β为锐角，∴cos α＝45，sin β＝1213，∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝45×513＋35×1213＝5665. 【答案】 56653．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝14，则cos α＋3sin α＝________. 【解析】 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α ＝cos π3cos α＋sin π3sin α ＝12cos α＋32sin α ＝12(cos α＋3sin α)＝14∴cos α＋3sin α＝12. 【答案】 124．已知函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(其中ω＞0，x ∈R )的最小正周期为10π. (1)求ω的值；(2)设α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5α＋5π3＝－65，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5β－5π6＝1617，求cos(α＋β)的值． 【解】 (1)∵f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6，ω＞0的最小正周期T ＝10π＝2πω，∴ω＝15. (2)由(1)知f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫15x ＋π6， 而α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ⎝⎛⎭⎪⎫5α＋5π3＝－65，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5β－5π6＝1617，∴2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤15⎝⎛⎭⎪⎫5α＋5π3＋π6＝－65， 2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤15⎝⎛⎭⎪⎫5β－5π6＋π6＝1617， 即cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－35，cos β＝817， 于是sin α＝35，cos α＝45，sin β＝1517， ∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝45×817－35×1517＝－1385.。
江苏省海门市高中数学第3章三角恒等变换3.1.1两角和与差的正弦教案苏教版必修4
两角和与差的正弦 总 课 题 两角和与差的三角函数 总课时 第1课时 分 课题两角和与差的正弦 分课时 第 2 课时 教学目标能由余弦和差角公式推导出正弦和差角公式，并体会化归思想的作用；能用正弦和差角公式进行简单的三角函数式的化简,求值. 重点难点正弦和差角公式的推导及其应用引入新课1、余弦的和差角公式: =-)cos(βα ；=+)cos(βα .2、正弦的和差角公式的推导关键是化归到余弦的和差角公式。
=+)sin(βα 。
简记为:)(βα+S=-)sin(βα 。
简记为：)(βα-S例题剖析例1、化简：（1）=+o o o o 29sin 11cos 29cos 11sin 。
（2)=+o o o o 111sin 24sin 69cos 24cos 。
(3）=-o o 5.22cos 5.22sin 22 。
（4）=o o 15cos 15sin 2 。
例2、（1)已知),2(,32sin ππαα∈=，)23,(,53cos ππββ∈-=，求)sin(βα+的值。
（2）已知,135)cos(=+βαβαβ,,54cos =均为锐角，求αsin 的值。
例3．___________sin 23cos 21=+αα _______________cos sin =-αα αsin 3αcos -______________= ____________cos 4sin 3=+αα辅助角公式:=+ααcos sin b a例4．求证：AB B A A B A sin sin =)+cos(2－sin )+2sin(变式1求20cos 20sin 10cos 2-的值变式2求)80sin()20sin(︒︒+++=x x y 的最值巩固练习1、已知),2(,31)4sin(ππθπθ∈=+，求θsin2、已知,24πβαπ<<<且,54)sin(=+βα.1312)cos(=-βα求α2sin 的值.课后训练一、基础题1、o o o o 17sin 13cos 17cos 13sin +化简得 。
高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1 两角和与差的三角函数 3.1.1 两角和与差的余弦导学案 苏教版必修4
3．1.1 两角和与差的余弦课堂导学三点剖析1.两角和与差的余弦公式的应用【例1】化简下列各式.（1）sin70°cos25°-sin20°·sin25°;（2）cos(70°+α)cos(10°+α)+sin(70°+α)sin(170°-α).思路分析：从整体上观察式子的特点，区别角的异同，利用诱导公式合理转化，凑成公式形式，再利用公式解题.解：（1）原式=cos20°cos25°-sin20°sin25° =cos(20°+25°)=cos45°=22. (2)原式=cos(70°+α)cos(10°+α)+sin(70°+α)sin ［180°-（10°+α）］ =cos(70°+α)cos(10°+α)+sin(70°+α)·sin(10°+α)=cos ［（70°+α）-(10°+α)］ =cos60°=21. 温馨提示在逆用公式时，要通过诱导公式变形，使之符合公式的特征，有时还可以把三角式中的系数作为特殊值转化为特殊角.2.两角差的余弦公式的探索与证明【例2】已知sin=53，cosβ=1715，求cos （α-β）的值. 思路分析：本题要考查利用两角差的余弦公式求值.根据两角差的余弦公式知，还须求cosα、sinβ.由条件可知，只要对α、β所处的象限进行讨论即可.解：∵sinα=53＞0， ∴α为第一、二象限角.当α为第一象限角时，cosα=54； 当α为第二象限角时，cosα=-54. ∵cosβ=1715＞0， ∴β为第一、四象限角.当β为第一象限角时，sinβ=178； 当β为第四象限角时，sinβ=-178. ∵cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ，∴当α、β均为第一象限角时，cos （α-β）=54×1715+53×178=8584； 当α为第一象限角，β为第四象限角时， cos （α-β）=54×1715+53×（-178）=8536； 当α为第二象限角，β为第一象限角时，cos （α-β）=（-54）×1715+53×（-178）=-8536； 当α为第二象限角，β为第四象限角时， cos （α-β）=（-54）×1715+53×-178=-8584. 温馨提示①解题时，由结论出发分析题目作了哪些条件准备，还需再求什么，明确解题的目标.②已知条件中给出某个角的三角函数值，但并未指出角α所在的象限时，一般要进行分类讨论.3.两角和与差的余弦公式的综合应用【例3】已知cos （α-2β）=-53，sin （2α-β）=1312，且α∈（2π，π），β∈（0，2π），求cos 2βα+的值.思路分析：本题主要考查角的变换及两角差的余弦公式.本题是给值求值的问题，若不考虑条件，盲目地看cos 2βα+无法求.为此寻求已知条件中角α-2β、2α-β与欲求式中角2βα+的关系，不难发现2βα+=（α-2β）-（2α-β），这样将cosα+2β的值转化为cos[(α-2β)-（2α-β）]的值，可利用两角差的余弦公式求得. 解：∵2π＜α＜π，0＜β＜2π， ∴4π＜2α＜2π，0＜2β＜4π＜，2π＜α+β＜π23. ∴4π＜α-2β＜π，-4π＜2α-β＜2π，4π＜2βα+＜π43. 又cos （α-2β）=-53，sin （2α-β）=1312. ∴sin（α-2β）=54，cos （2α-β）=135. ∴cosα+2β=cos[（α-2β）-（2α-β）] =cos （α-2β）cos （2α-β）+sin （α-2β）sin （2α-β） =（-53）×135+54×1312=653365486515131254135=+-=⨯⨯-. 温馨提示像这类给值求值问题，关键是抓住已知条件中的角与所求式中角的联系，即想办法利用已知条件中角表示所求式中的角，这个过程我们称作“角的变换”.各个击破类题演练1求值.（1）cos24°cos36°-sin24°sin36°；（2）cos80°cos35°+cos10°cos55°；（3）sin100°sin（-160°）+cos200°（-280°）；（4）sin347°cos148°+sin77°cos58°.解：（1）原式=cos （24°+36°）=cos60°=21； （2）原式=cos80°cos35°+sin80°sin35°=cos（80°-35°）=cos45°=22； （3）原式=sin （180°-80°）sin （20°-180°）+cos （20°+180°）cos （80°-360°） =sin80°（-sin20°）+（-cos20°）cos80°=-sin80°sin20°-co s80°cos20°=-（cos80°cos20°+sin80°sin20°）=-cos （80°-20°）=-cos60°=-21； （4）原式=sin （-13°+360°）cos （180°-32°）+sin77°cos58°=sin （-13°）（-cos32°）+sin77°cos58°=-sin13°（-cos32°）+sin77°cos58°=cos77°cos32°+sin77°sin32°=cos （77°-32°）=cos45°=22. 变式提升1求值.（1）cos （-15°）；（2）cos75°.解：（1）cos （-15°）=cos15°=cos（45°-30°） =cos45°cos30°+sin45°sin30°=426+； （2）cos75°=cos（45°+30°）=cos45°cos30°-sin45°sin30°=426-. 类题演练2已知锐角α、β满足sinα=55，cosβ=10103. （1）求cos （α-β）的值；（2）求α+β的值.解：（1）∵sinα=55，α为锐角， ∴cosα=511sin 12-=-α=552. 又∵cosβ=10103，β为锐角， ∴sinβ=10101091cos 12=-=-β. ∴cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ =255·10103+55·10271010=； （2）由上可知，cos （α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ =552·10103-55·221010=. 又∵α∈（0，2π），β∈（0，2π）， ∴α+β∈（0，π）. ∴α+β=4π. 变式提升2已知sinα=1312，cosβ=-53，α、β均为第二象限角，求cos （α-β）、cos （α+β）. 解：由sinα=1312，α为第二象限角， ∴cosα=.135)1312(1sinh 12-=--=--α 又由cosβ=-53，β为第二象限角， ∴sinβ=22)53(1cos 1--=-β=54. ∴cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ=（-135）×（-53）+1312×54=6563， cos （α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=（-135）×（-53）-1312×54=-6533. 类题演练3已知cosα=71,α、β∈(0,2π),cos(α+β)=1411-,求cosβ.解：∵cosα=71,α∈(0,2π), ∴sinα=734cos 12=-α. 又∵α、β∈(0,2π),∴α+β∈(0,π),且cos(α+β)=1411-. ∴sin(α+β)=1435)1411(12=-.∴cosβ=cos［（α+β）-α］=cosα·cos(α+β)+sinα·sin(α+β) =71×(1411-)+734×1435=21.变式提升3 已知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+)2(54cos cos )1(53sin sin βαβα求cos(α-β)的值.解：①平方得sin 2α+2sinαsinβ+sin 2β=259.②平方得cos 2α+2cosαcosβ+cos 2β=2516.以上两式相加得，2+2（cosαcosβ+sinαsinβ）=1, 2cos(α-β)=-1,cos(α-β)=-21.。
高中数学 第3章 三角恒等变换 3.1.2 两角和与差的正弦讲义 苏教版必修4-苏教版高一必修4数学
3.1.2 两角和与差的正弦学 习 目 标核 心 素 养(教师独具) 1.能利用两角和与差的余弦公式及诱导公式推导出两角差的正弦公式、两角和的正弦公式．(难点) 2.能利用公式解决简单的化简求值问题．(重点)通过学习本节内容，提升学生的逻辑推理、数学运算核心素养.两角和与差的正弦公式 1．两角和的正弦公式：sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β. 2．两角差的正弦公式：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β. 3．辅助角公式a sin x ＋b cos x＝a 2＋b 2⎝⎛⎭⎪⎫a a 2＋b 2sin x ＋b a 2＋b 2cos x ， 令cos φ＝a a 2＋b2，sin φ＝b a 2＋b2，则有a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2(cos φsin x ＋sin φcos x )＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中tan φ＝ba，φ为辅助角．思考1：如何利用两角差的余弦公式和诱导公式得到两角和的正弦公式？[提示] sin(α＋β)＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－(α＋β) ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α－β＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos β＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin β ＝sin αcos β＋cos αsin β. 思考2：如何推导两角差的正弦呢？[提示] 可以由sin(α－β)＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－(α－β)＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＋β得到，也可以由sin(α－β)＝sin[α＋(－β)]得到．1．思考辨析(1)sin 150°＝sin 120°＋sin 30°.( ) (2)sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝12.( )(3)α，β∈R 时，sin(α－β)＝sin αcos β＋cos αsin β.( ) (4)sin 54° cos 24°－sin 36°sin 24°＝sin 30°.( ) [解析] (1)公式错误．(2)原式＝sin(60°＋30°)＝sin 90°＝1. (3)sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β. (4)原式＝sin 54°cos 24°－cos 54°sin 24° ＝sin(54°－24°)＝sin 30°. [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ 2．sin π12－3cos π12＝________.－2 [原式＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin π12－32cos π12＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3sin π12－sin π3cos π12＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π12－π3＝－2sin π4＝－ 2.] 3.sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°等于________．12[原式＝sin (17°＋30°)－sin 17°cos 30°cos 17° ＝cos 17°sin 30°cos 17°＝sin 30°＝12.]两角和与差的正弦公式的简单应用【例1】 求下列各式的值：(1)sin 163°sin 223°＋sin 253°sin 313°；(2)2cos 55°－3sin 5°sin 85°.思路点拨：(1)从角和“形”入手，转化成两角和(差)的正弦求值． (2)注意角的差异与变换：55°＝(60°－5°)，85°＝90°－5°.[解] (1)原式＝sin 163°sin(90°＋133°)＋sin(90°＋163°)·sin(180°＋133°) ＝sin 163°cos 133°－cos 163°sin 133° ＝sin(163°－133°)＝sin 30°＝12.(2)原式＝2cos (60°－5°)－3sin 5°sin (90°－5°)＝cos 5°＋3sin 5°－3sin 5°cos 5°＝cos 5°c os 5°＝1.1．对于非特殊角的三角函数式，要想利用两角和与差的正弦、余弦公式求出具体数值，一般有以下三种途径(1)化为特殊角的三角函数值； (2)化为正负相消的项，消去求值； (3)化为分子、分母形式，进行约分再求值．2．在进行求值过程的变换中，一定要本着先整体后局部的基本原则，先整体分析三角函数式的特点，如果整体符合三角公式，则整体变形，否则进行各局部的变换．提醒：在逆用两角和与差的正弦和余弦公式时，首先要注意结构是否符合公式特点，其次注意角是否满足要求．1．求下列各式的值：(1)sin 165°；(2)sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°； (3)sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－3cos(θ＋15°)． [解] (1)sin 165°＝sin(180°－15°)＝sin 15°＝sin(45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＝ 6－24.(2)sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°＝sin 14°cos 16°＋cos 14°sin 16°＝sin(14°＋16°)＝sin 30°＝12.(3)sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－3cos(θ＋15°)＝sin(θ＋15°＋60°)＋cos(θ＋15°＋30°)－3cos(θ＋15°)＝sin(θ＋15°)cos 60°＋cos(θ＋15°)sin 60°＋cos(θ＋15°)cos 30°－sin(θ＋15°)sin 30°－3cos(θ＋15°)＝12sin(θ＋15°)＋32cos(θ＋15°)＋32cos(θ＋15°)－12sin(θ＋15°)－3cos(θ＋15°)＝0.给值求值【例2】 已知0＜β＜π4，π4＜α＜3π4，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β＝513，求cos(α＋β)的值．思路点拨：注意⎝⎛⎭⎪⎫3π4＋β－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝π2＋(α＋β)，可通过求出3π4＋β和π4－α的正、余弦值来求cos(α＋β)．[解] 由0＜β＜π4，π4＜α＜34π得－π2＜π4－α＜0，34π＜34π＋β＜π. ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π4＋β＝－1213，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－45，cos(α＋β)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＋β＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋βcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋βsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝513×35－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝－3365.解此类问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示出来.(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式. (2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.(3)角的拆分方法不唯一，可根据题目合理选择拆分方式.2．已知α，β是锐角，且sin α＝437，cos(α＋β)＝－1114，求sin β的值．[解] ∵α是锐角，且sin α＝437，∴cos α＝1－sin 2α＝1－⎝⎛⎭⎪⎫4372＝17.又∵cos(α＋β)＝－1114，α，β均为锐角，∴sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝5314. ∴sin β＝sin(α＋β－α)＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α ＝5314×17－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1114×437＝32. 形如a sin x ＋b cos x 的函数的化简及应用[探究问题]1．把12sin x ＋32cos x 化成A sin(ωx ＋φ)的形式⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2.提示：12sin x ＋32cos x ＝cos π3sin x ＋sin π3cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3.2.3sin x ＋cos x 如何化成A sin(ωx ＋φ)的形式⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2？提示：3sin x ＋cos x ＝2⎝⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6.【例3】 已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－2cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，求函数f (x )的值域．思路点拨：先将函数f (x )化简为f (x )＝a sin x ＋b cos x 的形式，然后化为f (x )＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)的形式解决．[解]f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－2cos x＝3sin x －cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6，∵π2≤x ≤π，∴π3≤x －π6≤5π6. ∴12≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6≤1.∴函数f (x )的值域为[1,2]．1．(变结论)本题条件不变，将函数f (x )用余弦函数表示． [解]f (x )＝3sin x －cos x ＝2⎝⎛⎭⎪⎫32sin x －12cos x＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x sin π3－cos x cos π3 ＝－2⎝⎛⎭⎪⎫cos x cos π3－sin x sin π3 ＝－2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3. 2．(变结论)本例条件不变，求函数f (x )的单调区间．[解]f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6，由2k π－π2≤x －π6≤2k π＋π2，得2k π－π3≤x ≤2k π＋2π3，与π2≤x ≤π取交集得π2≤x ≤2π3， ∴函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2π3；由2k π＋π2≤x －π6≤2k π＋3π2，得2k π＋2π3≤x ≤2k π＋5π3，与π2≤x ≤π取交集得2π3≤x ≤π，∴函数f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，π.一般地，对于a sin α＋b cos α形式的代数式，可以提取a 2＋b 2，化为A sin (ωx ＋φ)的形式，公式a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin (α＋φ)(或a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2cos (α－φ))称为辅助角公式.利用辅助角公式可对代数式进行化简或求值.提醒：在使用辅助角公式时常因把辅助角求错而致误.教师独具1．本节课的重点是两角和与差的正弦公式，难点是公式的灵活应用．2．使用和差公式时不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简sin βcos(α＋β)－cosβsin(α＋β)时，不要将cos(α＋β)和sin(α＋β)展开，而应采用整体思想，作如下变形：sin βcos(α＋β)－cos βsin(α＋β)＝sin[β－(α＋β)]＝sin(－α)＝－sin α. 3．运用两角和差公式求值、化简、证明时要注意灵活进行三角变换，有效地沟通条件中的角与问题结论中的角之间的联系，运用恰当的公式快速求解．1．sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( ) A.12 B ．－12 C.32 D ．－32 A [原式＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10° ＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝12.]2．若cos α＝－45，α是第三象限角，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝________. －7210 [∵cos α＝－45，α是第三象限角， ∴sin α＝－35，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝sin αcos π4＋cos αsin π4 ＝－35×22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×22＝－7210.]3．若α是锐角，且满足sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝13，则sin α的值为________．3＋226 [∵α是锐角，∴0＜α＜π2， ∴－π6＜α－π6＜π3，又sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝13，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝223.∴sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6cos π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6sin π6＝13×32＋223×12 ＝3＋226.] 4．若函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. (1)求f (x )的最小正周期； (2)求f (x )的值域．[解]f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝sin 2x cos π6＋cos 2x sin π6＋cos 2x cos π3－sin 2x sin π3＝32sin 2x ＋12cos 2x ＋12cos 2x －32sin 2x ＝cos 2x . (1)T ＝2π2＝π.(2)∵cos 2x ∈[－1,1]， ∴f (x )∈[－1,1]．。
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第1课时 §3.1.1 两角和与差的余弦
【教学目标
】 一、知识与技能：
1．掌握两点间的距离公式及其推导； 2．掌握两角和的余弦公式的推导；
3．能初步运用公式()C αβ±来解决一些有关的简单的问题 二、过程与方法
经历用向量的数量积推导两角差的余弦公式的过程，体验和感受数学发现和创造的过程，体会向量和三角函数间的联系；
三、情感态度价值观：
用余弦的差角公式推出余弦的和角公式，理解化归思想在三角变换中的作用 教学重点难点：两点间的距离公式及两角和的余弦公式的推导 【教学过程】 一．复习回顾
1．数轴两点间的距离公式：12MN x x =-．
2．点(,)P x y 是α终边与单位圆的交点，则sin ,cos y x αα==． 二、新课讲解：
1．两点间的距离公式及其推导
设111222(,),(,)P x y P x y 是坐标平面内的任意两点，从点12,P P 分别作x 轴的垂线
1122,PM P M ，与x 轴交于点1122(,0),(,0)M x M x ；再从点12,P P 分别作y 轴的垂线
1122,PN P N ，与y 轴交于点1122(0,),(0,)N y N y ．直线11PN 与22P M 相交于点Q ，
那么 11221PQ M M x x ==-， 21221QP N N y y ==-．
由勾股定理，可得2
2
2
1212
PP PQ QP =+2
212x x y y =-+- 22
2121()()x x y y =-+-
∴12PP =．
2．两角和的余弦公式的推导
在直角坐标系xOy 内作单位圆O ，并作角,αβ与β-，使角α的始边为Ox ，交⊙O 于点1P ，终边交⊙O 于点2P ；角β的始边为2OP ，终边交⊙O 于点3P ；角β-的始边为1OP ，终边交⊙O 于点4P ，则点1234,,,P P P P 的坐标分别是1(1,0)P
，2(cos ,sin )P αα， 3(cos(),sin())P αβαβ++，4(cos(),sin())P
ββ--， 1324PP P P = ，∴22[cos()1]sin ()αβαβ+-++
22
[cos()cos ][sin()sin ]βαβα=--+--
得：22cos()αβ-+22(cos cos sin sin )αβαβ=-- ∴cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-．（()C αβ+） 3．两角差的余弦公式
在公式()C αβ+中用β-代替β，就得到
cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+ （C αβ-）
说明：公式()C αβ±对于任意的,αβ都成立。
三、例题分析
例1、求值（1）cos 75
； （2）cos195
； （3）cos54cos36sin54sin36-
四、课堂小结：。