Ch15矩阵
对称矩阵与二次型_OK
f a11x12 a12 x1x2 a1n x1xn a21x2 x1 a22 x22 a2n x2 xn an1 xn x1 an2 xn x2 ann xn2
2021/9/4
2
a11 a12
故“二记次型与一x个1,对x称2 ,矩阵, x一n，一则aa对2n11应”aa。n222，
化为标准形，并指出 f x1, x2 , x3 1表示何种二次
曲面 。
5 1 3
解：二次型f的矩阵
A
1
5
3, r A 2,
由于
3 3 3
5 1 3
A E 1 5 3 4 9
3 3 3
2021/9/4
12
故矩阵A的特征值为1 0, 2 4, 3 9 ，各特征值
a1n x1 a2n x2
ann xn
例如，二次型
的
A (aij )nn , x x1, x2, , xn T
f xT Ax
矩阵
。
f x12 x22 x42 2x2 x3 x2 x4
1 0 0 0
A
0 0 0
1
1
1 2
1 0 0
1 2
01
2021/9/4
2021/9/4
30
例5.7 若 f = x12 2x22 x32 2x1x2 2tx1 x3为正定二次型，
则t应满足什么条件？
解：二次型f的矩阵为
由于
1 A 1t
a11 1,
1 t
2 0
10 ,
11 A1 2
t0
a11
a12
1
1 1,
a21 a22 1 2
t 0 1 2t2 1
运筹学课件ch5指派问题[全文]
![运筹学课件ch5指派问题[全文]](https://img.taocdn.com/s3/m/76c0dd89b9f3f90f77c61b19.png)
运筹学课件ch5指派问题[全文] 指派问题assignment problem 运筹学课件一种特殊的线性规划问题，我们也经常遇到指派人员做某项工作的情况。
指派问题的许多应用都用来帮助管理人员解决如何为一项将要开展进行的工作指派人员的问题。
其他的一些应用如为一项任务指派机器、设备或者是工厂。
指派问题运筹学课件指派问题的形式表述:给定了一系列所要完成的任务(tasks)以及一系列完成任务的被指派者(assignees)，所需要解决的问题就是要确定出哪一个人被指派进行哪一项任务。
指派问题模型运筹学课件指派问题的假设:被指派者的数量和任务的数量是相同的每一个被指派者只完成一项任务每一项任务只能由一个被指派者来完成每个被指派者和每项任务的组合有一个相关成本目标是要确定怎样进行指派才能使得总成本最小指派问题模型运筹学课件指派问题assignment problem 【例51></a>.14】人事部门欲安排四人到四个不同的岗位工作，每个岗位一个人(经考核四人在不同岗位的成绩(百分制)如表5-34所示，如何安排他们的工作使总成绩最好。
88809086丁90798382丙95788795乙90739285甲DCBA工作人员表5-34【解】设1 数学模型运筹学课件数学模型为:甲乙丙丁ABCD图5. 3指派问题assignment problem运筹学课件假设m个人恰好做m项工作，第i个人做第j项工作的效率为cij?0，效率矩阵为[cij](如表5-34)，如何分配工作使效率最佳(min或max)的数学模型为指派问题assignment problem运筹学课件2 解指派问题的匈牙利算法匈牙利法的条件是:问题求最小值、人数与工作数相等及效率非负【定理5.1】如果从分配问题效率矩阵[cij]的每一行元素中分别减去(或加上)一个常数ui(被称为该行的位势)，从每一列分别减去(或加上)一个常数vj(称为该列的位势)，得到一个新的效率矩阵[bij]，其中bij=cij,ui,vj,则[bij]的最优解等价于[cij]的最优解，这里cij、bij均非负(指派问题assignment problem【证】运筹学课件【定理5.2】若矩阵A的元素可分成“0”与非“0”两部分，则覆盖“0”元素的最少直线数等于位于不同行不同列的“0”元素(称为独立元素)的最大个数( 如果最少直线数等于m，则存在m个独立的“0”元素，令这些零元素对应的xij等于1，其余变量等于0，这时目标函数值等于零，得到最优解(两个目标函数相差一个常数 u+v,约束条件不变,因此最优解不变。
矩阵(ch1.5)
14
例 设 n 阶矩阵 A 满足aA2 bA cE O, 证明 A 为可逆
矩阵, 并求A1,(其中a, b, c为常数且c 0 ).
解 由 aA2 bA cE O 可得
aA2 bA O cE cE
即 A(aA bE) cE
又因为 c 0 , 所以 1 A(aA bE) E
9
三. 求逆矩阵方法
⑴ 先求| A | , 当| A | 0 时A不可逆, 当 | A | 0时A可逆,
逆矩阵 A1 存在;
（2）求A*;
(3) 求 1 A* A1. | A|
10
1 1 1
例
判断矩阵
A
2
1
0
是否可逆,
若可逆,
求
A1.
1 1 0
解 | A | 1 0, 所以 A1 存在. 又
, n),
an
则 A 可逆，且 1
a1
1
A1
a2
1
an
25
5 0 0
例
设
A
0
3 1 ,
求A1.
0 2 1
5
解
A
0 0
0 3 2
0 1 1
A1 O
O
A2
,
A1 (5),
A2
3 2
11,
又
A11
1 5
,
A21
1 2
1
3
,
故
A1
A11 O
1
O A21
10
11
11
A11 1
0
0,
A21
1
0
1, A31
1
1, 0
2 A12 1
Cholesky分解
Cholesky分解Cholesky分解00个人认为，首先，当数据量很大时，将一个矩阵分解为若干个矩阵的乘积可以大大降低存储空间；其次，可以减少真正进行问题处理时的计算量，毕竟算法扫描的元素越少完成任务的速度越快，这个时候矩阵的分解是对数据的一个预处理；再次，矩阵分解可以高效和有效的解决某些问题；最后，矩阵分解可以提高算法数值稳定性，关于这一点可以有进一步的说明，借用一个上学时老师给的例子：有方程组：令，，解方程组可得：现在对b进行微小扰动：，扰动项为：此时相应的解为：。
这个例子说明，当方程组常数项发生微小变动的时候会导致求出的结果差别相当大，而导致这种差别的并不是求解方法，而是方程组系数矩阵本身的问题，这会给我们解决问题带来很大危害，例如，我们在用计算机求解这类问题时难以避免在计算当中出现舍入误差，如果矩阵本身性质不好会直接导致所答非所问。
对常数向量b和矩阵A进行一个简单的扰动分析：1)、扰动b，原方程组为：(式子1)，（，A非奇异）扰动后为：(式子2)把式子1带入式子2得：，用2-范式来衡量这种变化得：，由于，于是得到：而利用式子1同理可得，整理后得：，可见b的扰动对解的影响由决定。
2)、扰动A，扰动后为：(式子3)，（，A非奇异）稍微做一下变换：把式子1带入后得到：对两边同时取2-范式有：于是有：，整理一下就是：，A的扰动对解的影响依然是由决定。
3)、对于同时扰动A和b的情况偶就不推了，最后的结果依然是，扰动对解的影响依然由决定。
定义矩阵的条件数来描述矩阵的病态程度，一般认为条件数小于100为良态，条件数在100到1000之间为中等程度的病态，条件数超过1000存在严重病态。
以上面的矩阵A为例，采用2-范数表示的条件数为：，看来矩阵处于中等病态程度。
矩阵其实就是一个给定的线性变换，特征向量描述了这个线性变换的主要方向，而特征值描述了一个特征向量的长度在该线性变换下缩放的比例，有关特征值和特征向量的相关概念可查看/wiki/Eigenvalues_and_eigen vectors，对开篇的例子进一步观察发现，A是个对称正定矩阵，A的特征值分别为：14.93303437 和：0.06696563，两个特征值在数量级上相差很大，这意味着b发生扰动时，向量x在这两个特征向量方向上的移动距离是相差很大的——对于对应的特征向量只需要微小的移动就可到达b的新值，而对于，由于它比起太小了，因此需要x做大幅度移动才能到达b的新值，于是悲剧就发生了……………..。
第四章 矩阵
Ch5 P234 习题4（1）
13.正交矩阵
定义7：P370CH9
1.正交矩阵的充要条件
A
（a
）正交（A是实矩阵）
ij
A为正交阵
A1为正交阵
A为正交阵
A*为正交阵
A1 A
2）A正交，则A的特征值的模为1；
3）A正交，则 A 1； 4） A、B正交，则AB正交.
,A )为准对角阵，则 S
秩A=秩A +秩A
1
2
L
秩AS
4）A=diag(A1,A 2 ,L
,A ) S
B=diag(B ,B 1
2
,L
,B ) S
那么 AB diag( A1B1,L , AS BS )
5）A=diag(A1,A 2 ,L
,A ) S
B=diag(B ,B 12
,L
,B ) S
8) 设A为n m复矩阵，则 秩A=秩A=秩AA=秩AA
9) A,B为n n矩阵，AB=0,则 秩A+秩B n,(P200.18)
10) A为n n矩阵, A2 E,则
秩（A+E）+秩(A-E)=n；（P .3） 203
11) A为n n矩阵, A2 A,则
秩A+秩(A-E)=n；（P .4） 203
1）设 A, B 为n阶矩阵，则
① tr(A B) trA trB
② tr(kA) ktrA
③ trA trA ④ trAB trBA
2）A ~ B 那么 trA trB
3) A为n阶方阵，则A的特征多项式为
则有 E A
n
b n1 n1
第3讲 矩阵分析
2.4.5 向量和矩阵的范数
矩阵或向量的范数用来度量矩阵或向量在某种意义下的 长度。范数有多种方法定义，其定义不同，范数值也就 不同。 1．向量的3种常用范数及其计算函数 在MATLAB中，求向量范数的函数为： (1) norm(V)或norm(V,2)：计算向量V的2—范数。 (2) norm(V,1)：计算向量V的1—范数。 (3) norm(V,inf)：计算向量V的∞—范数。 2．矩阵的范数及其计算函数 MATLAB提供了求3种矩阵范数的函数，其函数调用格 式与求向量的范数的函数完全相同。
2.6.3.字符串操作
1、字符串比较
(1)比较两个字符串是否完全相同：strcmp (2)比较两个字符串的前n个字符是否相同。strncmp
(3)比较两个字符串是否完全相同，不区分大小写。 Strcmpi
两个字符串还可以逐个字符的比较，MATLAB中用关系 运算符等于(==)实现这一比较。需要注意的是，待比较的 两个字符串必须长度相等，或者其中之一为单个字符。
2.4 矩阵分析
矩阵是线性代数研究的基本元素，实际上相当于MATLAB 中的普通二维数组。矩阵分析主要是研究矩阵的各种特性 及其表征方法。
2.4.1矩阵的行列式
矩阵的行列式是一个数值，它可以用来表示矩阵是否奇异 （矩阵行列式等于0），这主要用在线性方程组特性分析 上。MATLAB中求解矩阵行列式的函数是det. 例如：A=magic(3) det(A)
ch15-优化工具箱概述
第二篇优化工具箱第15章优化工具箱概述在生活和工作中，人们对于同一个问题往往会提出多个解决方案，并通过各方面的论证从中提取最佳方案。
最优化方法就是专门研究如何从多个方案中科学合理地提取出最佳方案的科学。
由于优化问题无所不在，目前最优化方法的应用和研究已经深入到了生产和科研的各个领域，如土木工程、机械工程、化学工程、运输调度、生产控制、经济规划、经济管理等，并取得了显著的经济效益和社会效益。
用最优化方法解决最优化问题的技术称为最优化技术，它包含两个方面的内容：(1)建立数学模型，即用数学语言来描述最优化问题。
模型中的数学关系式反映了最优化问题所要达到的目标和各种约束条件。
(2)数学求解。
数学模型建好以后，选择合理的最优化方法进行求解。
最优化方法的发展很快，现在以经包含有多个分支，如线性规划、整数规划、非线性规划、动态规划、多目标规划等。
利用MATLAB的优化工具箱，可以求解线性规划、非线性规划和多目标规划问题。
具体而言，包括线性、非线性最小化，最大最小化，二次规划，半无限问题，线性、非线性方程（组）的求解，线性、非线性的最小二乘问题。
另外，该工具箱还提供了线性、非线性最小化，方程求解，曲线拟合，二次规划等问题中大型课题的求解方法，为优化方法在工程中实际应用提供了更方便、快捷的途径。
15.1 优化工具箱中的函数优化工具箱中的函数包括下面几类，即最小化函数（见表15-1）、方程求解函数（见表15-2）、最小二乘（曲线拟合）函数（见表15-3）、实用函数（见表15-4）、大型方法的演示函数（见表15-5）、中型方法的演示函数（见表15-6）。
表15-1 最小化函数表表15-5 大型方法的演示函数表15-2优化函数的变量下面的3个表描述工具箱中优化函数的变量：表15-7描述输入变量，表15-8描述输出变量，表15-9描述优化选项参数结构options。
表15-7 输入变量表表15-8 输出变量表表15-9描述优化参数结构options中的元素。
矩阵理论与应用题目和答案
11.设4是宛阶矩阵.对任总O ≠r ∈ F”均HAT≠ x.址明/ 一 A对逆并求其逆.12.设〃阶矩阵/1可逆.R与“足八维列向虽.如果(A + r<∕∙)-1可逆.证明SherUIan-MQrrhoii'5公式:μ÷x∕Γ=.4--±±⅛≤l.'八 1 +旷心Jr(提示；可用上题的结论•)13.设门阶矩昨人可逆.ZrGD分别½∏ X m,m X n.τn × m矩阵•证明=∖A∖∖D-CA^l B∖.15.设炬阵/1与A-BG均可逆，试用A9A^∖β.C^^(Λ-BCΓ∖(提不：研宛廿块矩阵(：的逆矩陈•)30.对工=(zι,x2)τ, y = @1皿几规定(4") = Olly l+ biι y2 + bx2yι + Ci22/2 ・证明S2/)是酬的内积=α > O1αc > b2.31.设U= {αco6f+ bsinf,其中α,b为任意实数}是实二维线性空间.对任意/,g W匕定义(/.<7)= /(OMO)+ /(∣)<7(^).证明(/,g)是V■上的内积,并求仇⑴=3∣cos(f + 7) + 4 Sin (t + 9)的长度•32.设欧氏空间昭刃2中的内枳为1(/,g) = J f(χ)g(χ)dx.-J⑴求棊1・以2的度虽矩阵：(2)用矩阵乘法形式计算/U) = l-ι + F与ff(x)= l-4x-5F的内积.12.设线性空间V = R2是欧氏空间(未必是逋常的欧氏空间)∙‰1 = (l,l)τ,α2 = (1,-1)T与內=(0,2)Γ,A¾ = (6,12)r½V的两纽疥.设術巧与仇的内积分别为(αiw4ι) = 1. (a\.02)= 15. (az.βι) = -1∙(Q2.旳)=3∙(L)求阴组丛的度呈屯阵：(2)求U的一个标准IE交基.44・设A是反对称实矩阵(即ST = -A),证明；(1)A的特征值为0或纯虚数；(2)设α + 0i是4的属于一个非零特征值的特征向量，其中α,&均为实向量，则a与0正交.&设2是所竹次数小于71的实系数多项式爼成的实块性空间.U= {∕(r) ∈ V 1/(1) = 0}∙证明UiLV的子空间，并求V的一个补空间・9.设(/ = [(1,2,X6)τ. (4, -L3,6)τ, (5∙ L 6.12)T b W = [(1.-LLI)T,(2∙-13,5)τ]足R4的恃个子空何.(1)求UnW的基；(2)扩充U∩ IV的菇，使其成为D的基；(3)扩ftu∩ Vr的施，便其成为W的皐；(4)求U + W的基.Io-设U = {(τ,ι∕7 2. w) ∣τ + y + 2 + w = 0}1Ir = {(ι∙7y, 2τ w) |r —y÷2-tr = O}.求U ∩ W z, U + W 的维数与基•12.设/1是“阶方阵.证用(1)4∏f以唯4⅛衣乐成个对称炉阵和个反对称炉PnrJ和.试用f z空何的直和分鮒理论斛种这菇果(2)∙2J以唯一地农加成一个HCnnltC矩障和一个反HcrmItc舱阵的和.比用于空间的自和分鮮埋论解释这一(3)解释定义域为R的任盘实函敢可以咁•地衣示成个偶函数与•个奇函数的和；(4)请举一个类似于上曲(1)-(3)的例子并解释之・27. (1)求例2222屮的幕零变换丁的幕零指数及其在标准基下的矩阵；(2)设ST∈ EIKl”分别是线性空何"的同构变换和峯零变换，证∏JJσ÷ T&V的同构变换;(3)设AD是可逆矩阵，£,C是導零矩阵，证明分块矩阵(2 可逆.29.设V r = K3. σ(τ. t/, Z)=(工 + 2y -Z, # + z, @ + M — 2z)・求(1)。
利用矩阵方法计算数列通项公式
! )
方法与技巧
利用矩阵方法计算数列通项公式
!
% 佛山科学技术学院理学院数学系 ! 广东佛山 !) % ( " " " 杨庚华 ! 戎海武 ! 吴幼明 !$ ’ ’ ’ 摘! 要 ! 利用线性代数知识解决了形如 ’ 8 H 8 H 8 H ! +’ % H2 $ H3 8 数列通项的一般求解方法并给出了一 个例子" 关键词 ! 矩阵! 对角化# 数列通项 ! 中图分类号 !8 $ ) $ K % $ + 文献标识码 +<
! *
" " )年 )月 ++ 高等数学研究 ++++++ + + +++++++%
$ $ ’ $ % ’ $ ! $ $ ) $ % ) $ ! % % ) ’ ) ’ " $ + + ! B + 设B ] 又设 则 ’ ’ ’ ) ) ) ’ ) " % $ % % % ! % $ % % % ! $ $ ! ’ ’ ’ ’ ) ) ) ) ! $ ! % ! ! ! $ ! % ! ! " " $ $ $ ) $ % ) $ ! 8 H % ’ ) ( ’ + ) $ ) % % ) % ! $ H 8 % ) ) ) ’ ! $ ! % ! ! 8 8
矩阵理论课件-第三章 矩阵的广义逆
注2：由定理2知
A In
I
m
初等变换
PAQ Q
P
Ir 0 Q
0 0
P
1 0 -1 1
例：设A=
0
2
2
2 ，求A{1}.
-1 4 5 3
解：由
A I4
I3 0
初等变换
I2 0 Q
0 0
P ，这里
0
1 0 1 1
1 0
P=
0
1/ 2
1 2
0 0 1
,
这里只是给出了A{1}的一个构造性描述,在使用上并不直接， 因为还要求出一个A(1).
推论2：方程组(1)相容的充要条件是AA(1)b b,且其通解为 x=A(1)b+(I-A(1)A) y, y Cn任意.
证明：定理1中，取D=b Cm,B=1即得.
注1:因为A+ A{1},故Ax=b相容时，通解为 x=A+b+(I-A+A) y, y Cn.
证明：由A的奇异值分解(r(A)=r),有A=V
Sr 0
0 0
U
H，其中
Sr diag{1, , r},i 0,U和V是酉阵.
令G=U
Sr1 0
AGA=V
Sr 0
0 0
VH
,
可以验证G满足方程1）-4）.如第1)3)方程
0 0
U
H
U
Sr1 0
0 0
VH
V
Sr 0
X=A(1) DB(1) +Y-A(1)AYBB(1).(2) 其中Y Cnq为任意.
证明：：若AA(1)DB(1)B D,令X=A(1)DB(1)则满足AXB=D. :若AXB=D有解,则D=AXB=AA(1) AXBB(1) B=AA(1) DB(1) B.
选修4-2矩阵与变换第二节矩阵的逆矩阵、特征值与特征向量分析
第二节矩阵的逆矩阵、特征值与特征向量［主匸離构］< O O Q <定义［距阵的逆矩阵、辐征值与特征向员». _________________________________________________匸杏征值与I怖向址1 .矩阵的逆矩阵(1)—般地，设p是一个线性变换，如果存在线性变换0,使得6严p齐I，则称变换p可逆，并且称O是p的逆变换.(2)设A是一个二阶矩阵，如果存在二阶矩阵B,使得BA= AB = E，则称矩阵A可逆,或称矩阵A是可逆矩阵，并且称B是A的逆矩阵.(3)(性质1)设A是一个二阶矩阵，如果A是可逆的，则A的逆矩阵是唯一的，A的逆矩阵记为A_I.-1 - 1 -(4)(性质2)设A，B是二阶矩阵，如果A，B都可逆，则AB也可逆，且(AB) = B A2.二阶行列式与方程组的解I—｛二阶行列式与方禅丽城i<⑸二阶矩阵A =, -d 可逆，当且仅当 det A= ad — bc^ 0时，A 1 = 工d」det A—edet A对于关于x ，y 的二元一次方程组ax+ by= m ， cx+ dy= n ，我们把称为二阶行列式，它的运算结果是一个数值，记为 det A =a b记为D ，m b 记为D x ，a m c dn dc n i=ad - be. de 若将方程组中行列式记为D y ，则当D 丰0时,D x x =D y y=3. 矩阵特征值、特征向量的相关概念宅 b"l(1) 定义：设矩阵A = J ，如果存在实数 入以及非零向量 匕使得A E=入,，则称入是jc d 」 矩阵A 的一个特征值，E 是矩阵A 的属于特征值 入的一个特征向量.(2) —般地，设E 是矩阵A 的属于特征值 入的一个特征向量，则对任意的非零常数 k, K E也是矩阵A 的属于特征值 入的特征向量.⑶一般地，属于矩阵的不同特征值的特征向量不共线=0为矩阵A 的特征方程.4. 特征向量的应用(1) 设A 是一个二阶矩阵，a 是矩阵A 的属于特征值 入的任意一个特征向量，则A na=fa n *€ N ).(2) 性质1设兀h 是二阶矩阵A 的两个不同特征值，&, &是矩阵A 的分别属于特征 值入，h 的特征向量，对于任意的非零平面向量 a,设a= b E i + t 2 ^2(其中t i , t 2为实数)，则对任意的正整数n,有A na=2jjj 2.加石测］＜ o o oo答案：152 1 - a 2解析：由题意|A | =2 2=2 x (a + 1) — 1 x (1 — a ) = a + 2a + 1 = 0 ,「a = — 1.h — a — bh — a — b A = ,称 f (h =为矩阵A 的特征多项式，方程£ d_ —c — d—c h — d(4)设矩阵2.若矩阵 3可逆，则k 的值不可能是k方程组的解为 1.矩阵—1的逆矩阵是 03.若矩阵A =可逆，则实数 a 的值为答案：—1x 3+ m 一4.对任意实数x,矩阵］总存在特征向量，则m的取值范围是___________2 — m 2k- x — 3 — m 解析：由条件得f( k=m— 2 — 2=(入一x)(入一2) — (m— 2)( — 3— m)2 » …一=入一(x+ 2) H 2x+ (m+ 3)(m— 2) = 0 有实数根，2 2所有A i= (x+ 2) — 4(2x + m + m— 6) > 0对任意实数 x恒成立,2所以A2= 16 + 4(4m + 4m — 28)<0,解得m的取值范围是一3< m W 2.答案：—3< m W 2.例1 求矩阵A= 3 2的逆矩阵.2 1【解析】法一：设矩阵A的逆矩阵为|x y\丄 W —5.已知矩阵M的特征值k= 8及对应的一个特征向量e i= £ l并有特征值k= 2及对应的一个特征向量e2= — 2则矩阵M =a解析：设M =JJDa +b =8, 故|c+ d = 8,a — 2b= 2,故|c— 2d=—788?'=.-1」-8」联立以上两个方程组解得 a = 6, b= 2, c= 4, d = 4,故M = f 2热点考向一求逆矩阵L— F ——― 1［求逆矩阵］公式3x+ 2z 3y+ 2w I 即 2x+ z 2y+ w 3x+ 2z= 1, 故2x+ z= 0,解得 x=— 1, z= 2, y = 2, w = — 3,【点评】 方法一是待定系数法；方法二是公式法.£变式训练1.已知变换矩阵 A 把平面上的点 P(2, — 1)、Q(— 1,2)分别变换成点 P i (3, — 4)、Q i (0,5).(1)求变换矩阵A ;—1(2)判断变换矩阵 A 是否可逆，如果可逆，求矩阵 A 的逆矩阵A理由.—1 —1 —23■ — 1 —1丿 f 1/- 3:A-1■— 1 21 卩1! 2 一=匸卜r 2a — b = 3,i< a= 2, 2c — d =— 4,b= 1,解得：j—a+ 2b = 0,c=—1,即a b c d-- y w3y+ 2w = 0,2y+ w = 1, 从而矩阵A 的逆矩阵A —1=■— 1 -23 2= •A法,.°det A = — 1.:如不可逆，请说明I I，依题意，可得l a£X z2 13N ►Hu贝_2 1-所以所求的变换矩阵2] ⑵'.det A = 2X 2- (— 1) X 1 = 5, ••A 可逆—11、 1551 |5—5A -1=1 = 1— u — n2 I 1 255丿‘5 5丿热点考向二 利用矩阵解二兀一次方程组步骤-求|a 1 b订的逆矩阵-求方程组的解 ---- 卫2 b 2」 -----------[例2 （1）求矩阵A = f J 的逆矩阵; （2）利用逆矩阵知识,2x+ 3y — 1 = 0, x+ 2y — 3= 0.【解析】 （1）法一：设矩阵A 的逆矩阵为A -1= r b 1,x d 」2a + 3c= 1,a = 2,b =— 3, c=— 1, d = 2.知 2b + 3d = 0， a+ 2c= 0, b+ 2d =1. ••|A |= 4— 3 = 1 ,解方程组:】=I ：解之得2 Z3|1 1 | f 3- 3【I-1 2-1 2-1 1 -二 31⑵二元一次方程组的系数矩阵为 A = I c，-1 2」由(1)知A- J 2 - 3]二 1 2一[2x+ 3y= 1,因此方程[x+ 2y= 3有唯一解即x=-7,|y= 5.有无数解或无解.2x+ y= 8,2.用矩阵方法求解二元一次方程组4x- 5y= 2.解析：原方程组可以写成『==I8 ',4- 5」®」-2」3 1记M = ,114 — 5a1x+ b1y= C1【点评】二兀一次方程组(a1, b1不同时为零,a2x+ b2y= C2(a1 b[系数矩阵为A= |42 b2，只有当|A|工0时，方程组有唯一解A-1|C1a2, b2不同时为零)的，若A l= 0,则方程组|x L A-1=2 X (— 5) — 1 X 4 =— 14工 0,(1)求A 的特征值4 ⑵求A B .【解析】 (1)设A 的一个特征值为 入由题意知: "X — 1 — 2~\=0,即(入一 2)( X — 3) = 0,解得 X= 2, X= 3,44 44一故 A B = A ( a+ a )= (2 a )+ (3 a )= 16 a+ 81 a =【点评】 求矩阵的特征值及对应的特征向量是矩阵与变换的重点和难点,题首先要利用行列式求出特征 徝，然后求出相应的特征向量. 请注意每一个特征值对应无数 个特征向量，选择坐标为整数的解就能使后面计算〔一11豊.'M —1=1 14r =M -11 '=! i 4，，即方程组的解为‘=3,■1X= 2时，由厂1I X L 2j，得A 属于特征值2的特征向量a 1= I 2E=3f，得A 属于特征值3的特征向量(2)由于 B = 13 L ?!711=a 1 + a .其行列式例3 给定矩阵 A = I入，h 及对应特征向量 a, a;[113 ^97解决此类问简单、方便.ion一、填空题71 3_11•已知A = | 可逆，则实数a 的取值范围是 _________________a 6」 解析：矩阵A 可逆当且仅当det(A)丰0,•'a 的取值范围为(一a, 2) L(2 ,+s ). 答案：(一a, 2) U (2 ,+a )_3，则矩阵M 的特征向量可以是- 23.已知矩阵A =3,若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为 d属于特征值1的一个特征向量，求矩阵A ,并写出A 的逆矩阵.解析：由矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为=I ：可得, 一仁即 c + d= 6;-3] 由矩阵A 属于特征值1的一个特征向量a= 2 ,解得* 2,d = 4P 31 ，即 A = 2 4 .2•设矩阵 可得P即 3c — 2d= — 2,A 的逆矩阵是解析：矩阵M的特征多项式由于f （为=0得矩阵M 的特征值为 入=1 , ?2=— 1.经计算可得，矩阵M属于特征值x=1的一个特征向量为^3的一个特征向量为1（空3答案：「厂I —;3「ac 3,ab+ 3a = 1答案：2 —2 3丄 2 _2x — 2y =— 1， 解析：因为方程组---的矩阵形式是2x+ 2 y= 1,3 •设可逆矩阵A =J|a 3的逆矩阵A -1-4 5」解析：由AA - 1= E 得 ab + 3a ac — 3I71占b+ 5a 4c —5，而属于特征值匕-1 4b+ 5a= 0, 即4c — 5 =解方程组得a= 2, b= — 2 c= 3 2.承―韵=—1,4.已知二元一次方程组 ,呼x+%= 1 ,从线性变换的角度求解时应把向量—1_ 1绕原点作顺时针旋转的旋转变换.方程组就是把向量：1［绕原点作顺时针旋转沪旋转变换答案：n1+、321- .3 2答案:6. 现用矩阵对信息进行加密后传递，规定英文字母数字化为:解析：因为A =『4，所以det A = I14= 2工0,42->0 2对应信息为good”.n 变换得到—1，所以解4一i一1 - 2〕所以A -1=1，而密码矩阵为 ? 1 一B = I 67J3031 8_1 故明码矩阵X= A - 1B =-21 1 2 -31] 7 15]=I , 8」-15 4」[1 - 15A = _0，则 A -11解析：A =_01- 3 •41='X 1-丄X 區1工02 2 2 •4 11, b T 2,…，Z T 26,双方约定的矩阵为1 4，发送方传递的密码为67,30,31,8,此组密码所发信息为—P2答案：good--1 5[7. 矩阵M = 5 __________________________ 的特征值与特征向量分别为勺3一5 2=(入+ 1)( X — 3) — (— 2)( — -)= f — 2 - 8 = 0，得矩阵值为 X = 4, X = — 2.&= — 2的一个特征向量.答案: &已知矩阵A = f — 1, B =『—1，,则满足方程AX = B 的二阶矩阵X =_— 4 3 _— 3 1年-11解析：・.A =「4 3 一2 — 1.•|A |== 2 X 3 — (— 1) X (— 4) = 2 工 0.—4 3 3 1 1•■A — 1=2 2:：AX = B ,.・・X = A —1B ,5 1 -解析:M 的特征设属于特征值 ,则它满足方程(X+ 1)x+ (— 2)y= 0, 即卩 5x — 2y =0•故可取属于特征值 4的一个特征向量.设属于特征值 h= — 2的特征向量为x+ 2y = 0•故可取 -2为属于特征值量为综上所述，矩阵a-灯 属于■— 1 2〔有两个特征值 ?2=— 2的一个特征向量为 ?1= 4, ?2=— 2,属于入=4的一个特征向X = 4的特征向量为02\ = 4, a = || ■和 &=—2, J 5」而 A - 1AXB-B - 1= EXBB -1因为A - 1=- 3_2所以 X = A - 1CB「2 - 3110.已知矩阵A =6 2(1) 求矩阵A 的特征值及对应的特征向量; (2) 计算矩阵A n.当f= 8时，A 属于f 的特征向量为9一25-11AS2 ]7 317A = J ，B =,C =I- 2 -3」】12- 〕1C , 所以 1(A - A )XB B -1=A -1CB -19.已知矩阵 解析：AXB = 1，求满足AXB = C 的矩阵X . 0=X ( BB -1) = X , 所以 X = A - 1CB -1B -1=2 -31解析: (1)矩阵A 的特征方程为入一6=(—6)( — 4) — 8 = f - 10 入 + 16 = 0.得矩阵 A 的特征值为 f = 8, f= 2.当?2= 2时，A属于h的特征向量为⑵设A n =n n n nA a i = 8 a i, A a= 2 a,(1)求证：M和N互为逆矩阵；⑵求证：向量a同时是M和N的特征向量；(3)指出矩阵M和N的一个公共特征值.-2 — 1-j,3 — 3,2 们；1 0]解析：(1)证明：因MN = J = J ,.1 2〜2」J 1」-—3 2na + b= 8c+ d= 8n即a — 2b= 2nc-2d=— 2 2n解得a=n ^n2X 8 + 2n8 —2n8n+ 2n+i2 X 8n—2n+1c=故A n=2 X 8n+ 2n 8n—2nI 3 32 X 8n—2n+18n+ 2n+ 13 311.给定矩阵21，向量02 =且 NM = I 2所以M 和N 互为逆矩阵.(2)证明：因为M%因为故1是矩阵M 和N 的一个公共特征值. ① 若a= 2, b= 3，求M 的逆矩阵② 若曲线C: x 2+ y 2= 1，在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到曲线2C'： x+ y 2= 1,求 a, b 的值.4•'2x 1= 1,2y 1= 0,3x 2= 0,3y 2= 1. 1 1即 x = 2，y 1 = 0, X 2= 0, y 2 = 3ax= x' by= y'-0 1J所以 a 是N 的特征向量.所以 a 是N 的特征向量.-1 |⑶由⑵知，M对应于特征向量―的特征值为1, N 对应于特征向量|彳 一 1的特征值也12. (2011年福建)设矩阵M =打0( b*其中 a>0, b>0) M T ；解析：①设M -1= -| y1.X2 y2则 MM -1= I 1-0 0'又 M =[1 - J) 3JO0：y 1 y 2-0 1②设C 上任一点P(x, y)，在M 作用下得点P' (x' , y')2 2即亍+ b 2y~ 1为曲线C 的方程.|a= 2,又a>0, b>0,所以[b= 1.卫答案：「1又点P'（X’，y'）在C'上，所以2・+ y' 2= 1.又C 的方程为x 2+ y 2= 1,a 2= 4,b 2= 1._1X= 3时，由.1• -1 =。
数学论文 多项式的矩阵表示
多项式的矩阵表示前言本文探讨多项式的矩阵表示，并应用于计算多项的和，差与积运算，进而导出除法中商式与余式的表达公式，以及给出用矩阵去判断多项式整除的方法。
另一方面，本文实际上是用矩阵方法证明了多项式求和求积运算的合理性。
我们使用等效矩阵的概念，把通常教材中的多项式的和，乘积的定义进行了规范化处理，弥补教材中的不足。
本文的方法与文献[4]中提供的形式上不同，但在求积上本质相同。
预备知识设F 是一个给定的数域，Z +为正整数集，Z n m +∈,，以Fnm ⨯表示F 上n m ⨯型矩阵全体构成的集合。
[]x F 表示F 上关于未定元x 的一元多项式环。
设A FA tnm ,⨯∈表示A 的转置。
定义 1 设()F a a A nn ⨯∈=11,, ，()11,,mm b b B F⨯=∈若B A ,满足下列条件之一（1）当n m =时，B A =（2）当n m >时，n i b a b b i n m i n m ,,1,,01 =====+-- （3）当n m <时，m i b a a a i i m n m n ,,1,,01 =====+-- 则称A 与B 等效，记为.B A ≈ 引理1 设,11FUS nn ⨯∞==则S 中元素的等效关系是等价关系。
证明 任取S A ∈，则有Z n +∈，适合F A n⨯∈1，由定义1中的（1），可知A A ≈若S B A ∈,有B A ≈，不访设,,11FB F A mn⨯⨯∈∈则由定义1的（1）推出A B =，而由定义1的（2）应用定义1中的（3）推出A B ≈。
类似，若定义1的（3）成立，应用（2）推出A B ≈。
故总有A B ≈。
对于S C B A ∈,,，若A B ≈，C B ≈，当B A =或C B =时，总有C A ≈。
如果,,11FB FA mn⨯⨯∈∈FCl⨯∈1有l m n ,,彼此不等的情况，可以分出6种情形讨论。
（1）l m n >> （2）m l n >> （3）m n l >> （4）l n m >> （5）n l m >> （6）n m l >>例如当（5）成立时，可设),0(),,0(C B A B ==，从而),0(A C =即C A ≈其他情形同理可证。
利用原子矩阵确定独立反应方法的探讨与改进++2稿
利用原子系数矩阵法确定复杂反应体系中独立反应方法的探讨与改进陈博，朱建华*(中国石油大学化工学院，北京102249)摘要：利用原子系数矩阵法可以确定复杂反应体系的独立反应数及独立反应。
本文针对原子系数矩阵法应用过程中存在的问题，通过对原子系数矩阵法的推导与论证，提出通过对原子系数矩阵进行初等行变换，选取最大无关向量组对应的组分作为该复杂反应体系的非关键组分，使原子系数矩阵法确定独立反应的方法更为严谨，避免了在应用过程中出现无解现象，从而改进了利用原子系数矩阵法确定复杂反应体系独立反应的方法。
关键词：原子系数矩阵法；独立反应；化学计量系数；最大无关向量组。
The Improvements on the Method of Determining the Independent Reactions for Complex Reacting System via AtomicCoefficient Matrix MethodCHEN Bo, ZHU Jian-hua*(Faculty of Chemical Engineering, China University of Petroleum, Beijing 102249, China) Abstract: The independent reactions and their number of complex reacting system could both be determined by using atomic coefficient matrix method. According to the no solution problem occurred in application, based on the deducing for the atomic coefficient matrix, and relative validating of the atomic coefficient matrix method, one new method for selecting the non-key components had been put forward by this paper, i.e., by elementary line transformation for the atomic coefficient matrix, the maximal non-relevant columns were selected and the components corresponding to maximal non-relevant column were chosen as non-key components. Therefore, the method of determination for independent reactions became more precise, and no-solution phenomena could be avoided in the process of application of atomic coefficient matrix method. Finally, the improvements on the method of atomic coefficient matrix were achieved. Keywords: method of atomic coefficient matrix, independent reaction, stoichiometric coefficient, maximal non-relevant column.*联系人：朱建华(E-mail: secondzhu@)1 引言化学计量方程给出了参与化学反应的物种消耗或生成量的比例关系。
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un1 un2 k unm unj = AT [un ] =k 0 1 0 1 ... u n(n1)
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结点 m 支路
j
支路
二,回路矩阵B 回路矩阵 1.定义 独立回路矩阵 定义:(独立回路矩阵 定义 独立回路矩阵)
k = 1,2,...,b
0 I1 + Is1 Us1 0 I2 + Is2 Us2 ... ... ... 0 0 Zb Ib + Isb Usb
U 即: = Z(I + Is ) Us
式中: :支路阻抗矩阵=diag[Z1,Z2,…Zb] 对角阵 式中 Z:支路阻抗矩阵
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(3)特点 特点: 特点
Aa中每一行的元素按列相加为 中每一行的元素按列相加为0, 中任一行均可由其它(n-1)行推导 Aa中任一行均可由其它 行推导 中行不彼此独立. Aa中行不彼此独立 原因:每条支路只与两个结点相连 每条支路只与两个结点相连,势必背离一结 原因 每条支路只与两个结点相连 势必背离一结
2.用A表示 用 表示 表示KCL,KVL形式 形式: 形式 (1)KCL: A[i]=[0]
结点 1)的 i 0 ( ∑ ( 结点 2)的 i 0 ∑ = = [0] A[i] = ... ........ 结点 n 1)的 i 0 ∑ T( (2)KVL:[u]=A [un] 变形的KVL 变形的
(1)实质 描述支路与结点的关联性质. 实质:描述支路与结点的关联性质 实质 描述支路与结点的关联性质. (2)构成 构成:(n*b)阶矩阵 a 阶矩阵A 构成 阶矩阵 行:结点 结点 列:支路 支路
+1:支路 与节点 相关联,且其方向背离结点 支路k与节点 相关联, 支路 与节点j相关联 元素a 元素 jk -1:支路 与节点 相关联,且其方向指向结点 支路k与节点 相关联, 支路 与节点j相关联 0:支路 与节点 无关联 支路k与节点 支路 与节点j无关联
(只有两行元素≠0) 只有两行元素≠ 只有两行元素 (一行为正 一行为正) 一行为正
指向另一结点. 点,指向另一结点. 指向另一结点
(一行为负 一行为负) 一行为负
(4)(降阶 关联矩阵 A 降阶)关联矩阵 降阶 Aa 划去一行
n*b
(n-1)*b阶矩阵 阶矩阵
A (n-1)*b
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§15-1 割 集
一.定义 定义 Q:把一个连通图分成两个分离部分至少必须 把一个连通图分成两个分离部分至少必须 割断的那些支路. 割断的那些支路.
1.是G的一个支路集合;(QG) 是 的一个支路集合 的一个支路集合; 2.把Q的所有支路移去 不移结点 ,图G将分成两部分; 的所有支路移去(不移结点 将分成两部分; 把 的所有支路移去 不移结点), 将分成两部分 3.若少移一条支路,G仍连通. 若少移一条支路, 仍连通 仍连通. 若少移一条支路 Q4 Q1(1,4,6) Q2(1,2,3) Q3(3,5,6) Q2 (1)
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(3)基本回路矩阵 f 基本回路矩阵B 基本回路矩阵 a.独立回路组 单连支回路 独立回路组,单连支回路 独立回路组 单连支回路; b.列序 先连支 后树支 列序:先连支 后树支; 列序 先连支,后树支
特点: 特点
c.行序 回路序号 所含连支所在序号 行序:回路序号 行序 回路序号=所含连支所在序号 d.回路方向 连支方向 回路方向:连支方向 回路方向
例:
1 (2) 4 3 2 5 (3) 6 (4)
Q1
Q3
Q4(1,3,4,5) (1,2,4,6) (2,3)
(1,2,3,4,5)
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作闭合面) 二,确定方法(作闭合面 确定方法 作闭合面
作闭合面,使其包围某一个或某一些结点 在G作闭合面 使其包围某一个或某一些结点 则与 作闭合面 使其包围某一个或某一些结点,则与 切割的所有支路则组成一个割集 闭合面相切割的所有支路则组成一个割集. 闭合面相切割的所有支路则组成一个割集.
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2.有互感,无受控源 有互感, 有互感
设第1支路至第 支路间相互间均有 设第 支路至第g支路间相互间均有 支路至第 耦合(把有耦合的支路编序在一起 把有耦合的支路编序在一起) 耦合 把有耦合的支路编序在一起
U1 = Z1Ie1 ± jωM12Ie2 ± jωM13Ie3 ± ... ± jωM1g Ieg Us1
(2) (3)
2 1
第十五章 电路方程的矩阵形式
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理论依据
拓扑约束
KCL:∑i=0 结点 广义结点 ∑ 结点(广义结点 广义结点) KVL: ∑u=0 回路
独立方程数
n-1 b-(n-1)= b-n+1
元件约束:VCR:u=f(i) 元件约束
b
规模小,结构简单 人工观察 规模小 结构简单:人工观察 人工计算 结构简单 人工观察,人工计算 规模大,结构复杂 计算机(系统化建立方程 结构复杂:计算机 系统化建立方程,矩阵形 规模大 结构复杂 计算机 系统化建立方程 矩阵形 式)
(4)
(5)
Q4
Q1:(1,2,3); Q2:(2,3,4,6) Q3:(3,5,6,7) Q4:(3,5,8)
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§15-2 关联矩阵,回路矩阵 割集矩阵 关联矩阵 回路矩阵,割集矩阵 回路矩阵
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一,关联矩阵A 关联矩阵 1.定义 定义: 定义
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二,复合支路的VCR矩阵形式 复合支路的 矩阵形式 1.无互感,无受控源: 无互感,无受控源 无互感 第k条: 条
Uk = Zk (Ik + Isk ) Usk
∴整个电路: 整个电路
U1 Z1 U2 = 0 ... ... Ub 0 0 Z2 0 0
T
i1 i 2 ... il
k ik =
(2)KVL: B[u]=[0]
支路1 支路 2 …. m 回路
B[u] =
u1 u 2 = ... ub
0 u 0 ∑ = ... 0 章目录 总目录
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Bt]
出现一个l阶的单位子矩阵 Bf=[1l 出现一个 阶的单位子矩阵
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2.用B表示 用 表示 表示KCL,KVL的矩阵形式 的矩阵形式 (1)KCL: [i]=BT[il]
回路1 回路 支 1 2 ……l 路 2 …. b
变形的KCL 变形的
支路
B [il ] =
三,割集矩阵Q 割集矩阵 1.定义 定义 (1)实质 描述支路与割集的关联性质 实质:描述支路与割集的关联性质 实质
割集 (2)构成 (n-1)*b阶矩阵 行:割集 构成 阶 列:支路 支路 +1:支路k与割集 相关联 且方向一致 :支路 与割集 相关联,且方向一致 与割集j相关联 且方向一致. -1:支路 与割集 相关联 且方向相反 与割集j相关联 且方向相反. :支路k与割集 相关联,且方向相反 0: 支路 与割集回路 无关联. 与割集回路j无关联 : 支路k与割集回路
Iei = Ii + Isi
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三,回路电流方程的矩阵形式 KVL : BU = 0
VCR: U = Z(I + Is ) Us
B[Z(I + Is ) Us ] = 0 → BZI + BZIs BUs = 0
KCL: B Il = I
1.依据 依据: 依据
移去这些支路,则 分为两部分 分为两部分; 移去这些支路 则G分为两部分; 少移一条,(保留一条 两部分连通,且每部 保留一条),两部分连通 少移一条 保留一条 两部分连通 且每部 分各自连通,∴图仍连通. 分各自连通 ∴图仍连通. 割集的支路电流满足KCL. . 割集的支路电流满足
元素q 元素 jk=
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(3)基本割集矩阵 f 基本割集矩阵Q 基本割集矩阵 特点:a.独立割集组 单树支割集; 独立割集组,单树支割集 特点 独立割集组 单树支割集 b.列序 先树支 后连支 列序:先树支 后连支; 列序 先树支,后连支 c.行序 割集序号 所含树支所在列序号 行序:割集序号 行序 割集序号=所含树支所在列序号 d.割集方向 树支方向 割集方向:树支方向 割集方向 2.用Q表示 表示KCL,KVL的矩阵形式 的矩阵形式: 用 表示 的矩阵形式 (1)KCL: Q[i]=[0]
g
U2 = ± jωM21Ie1 + Z2 Ie2 ± jωM21Ie3 ± ... ± jωM2g Ieg Us2
Ug = ± jωMg1Ie1 ± jωMg2 Ie2 ± jωMg3 Ie3 + Zg Ieg Usg
g -b
Ug+1 = Zg+1Ie( g+1) Us( g+1) ...... Ub = Zb Ieb Usb
T
BZB Il = BUs BZIs
T
式中:Z 式中 l=BZBT:回路阻抗矩阵 回路阻抗矩阵
主对角线:自阻抗 主对角线 自阻抗 非对角线:互阻抗 非对角线 互阻抗
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电路如图,列出回路电流方程 矩阵形式) 例1:电路如图 列出回路电流方程 矩阵形式 电路如图 列出回路电流方程(矩阵形式
[i]=BT[i l] B[u]=0
1.复合支路 复合支路 k:第k条支路,不允许存在 条支路, 第 条支路 无伴电流源支路 单一元件(R ω Zk:单一元件 k,jωLk,1/jω Ck) 单一元件 ω