【精选】人教版八年级上册数学 分式解答题(提升篇)(Word版 含解析)
人教版数学八年级上册 分式填空选择(提升篇)(Word版 含解析)
人教版数学八年级上册 分式填空选择（提升篇）（Word 版 含解析）一、八年级数学分式填空题（难）1．已知a 1＝1t t+，a 2＝111a -，a 3＝211a -，…，a n ＋1＝11n a - (n 为正整数，且t≠0，1)，则a 2018＝______(用含有t 的式子表示)．【答案】1＋t【解析】分析：把a 1代入确定出a 2，把a 2代入确定出a 3，依此类推，得到一般性规律，即可确定出a 2018的值．详解：根据题意得：a 1=1t t +，a 2=1111t t t=+-+，a 3=411111111t a t t t t=-==--++，…，2018÷3=672…2，∴a 2018的值为1+t ． 故答案为：1+t ．点睛：本题考查了分式的混合运算，弄清题中的规律是解答本题的关键．2．如果关于x 的分式方程1a x +－3＝11x x -+有负分数解，且关于x 的不等式组2()43412a x x x x -≥--⎧⎪⎨+<+⎪⎩的解集为x ＜－2，那么符合条件的所有整数a 的积是_________． 【答案】9【解析】()243412a x x x x ⎧-≥--⎪⎨+<+⎪⎩①②， 由①得：x≤2a+4，由②得：x<-2，由不等式组的解集为x<-2，得到2a+4≥-2，即a≥-3，分式方程去分母得：a-3x-3=1-x ， x=42a -， 由分式方程1a x +－3＝11x x -+有负分数解，则有a-4<0，所以a<4， 所以-3≤a<4，把a=-3代入整式方程得：-3x-6=1-x，即x=-72，符合题意；把a=-2代入整式方程得：-3x-5=1-x，即x=-3，不合题意；把a=-1代入整式方程得：-3x-4=1-x，即x=-52，符合题意；把a=0代入整式方程得：-3x-3=1-x，即x=-2，不合题意；把a=1代入整式方程得：-3x-2=1-x，即x=-32，符合题意；把a=2代入整式方程得：-3x-1=1-x，即x=-1，不合题意；把a=3代入整式方程得：-3x=1-x，即x=-12，符合题意，∴符合条件的整数a取值为-3，-1，1，3，之积为9，故选D【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，以及解分式方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．3．若关于x的不等式组64031222x ax x++>⎧⎪⎨-+⎪⎩有4个整数解，且关于y的分式方程211ay y---＝1的解为正数，则满足条件所有整数a的值之和为_____【答案】2【解析】【分析】先解不等式组确定a的取值范围，再解分式方程，解为正数从而确定a的取值范围，即可得所有满足条件的整数a的和．【详解】原不等式组的解集为46a--＜x≤3，有4个整数解，所以﹣146a--≤＜，解得：－4＜a≤2．原分式方程的解为y=a+3，因为原分式方程的解为正数，所以y＞0，即a+3＞0，解得：a ＞﹣3．∵y=a+3≠1，∴a≠－2，所以－3＜a≤2且a≠－2．所以满足条件所有整数a的值为－1，0，1，2．和为－1+0+1+2=2．故答案为：2．【点睛】本题考查了不等式组的整数解、分式方程，解答本题的关键是根据不等式组的整数解确定a的取值范围．4．已知113-=a b ，则分式232a ab b a ab b+-=--__________． 【答案】34【解析】【分析】 首先把113-=a b两边同时乘以ab ，可得3b a ab -= ，进而可得3a b ab -=-，然后再利用代入法求值即可．【详解】 解：∵113-=a b， ∴3b a ab -= ，∴3a b ab -=-， ∴2323263334a b ab a ab bab ab a ab b a b ab ab ab 故答案为：34【点睛】 此题主要考查了分式化简求值，关键是掌握代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．5．若32a b =，则a b a -的值为____________ 【答案】12-【解析】【分析】利用32a b =，在a b a -中，将b 用a 表示，约掉a 得到结果. 【详解】∵32a b =，∴3=2a b 代入a b a-得： 3122aa a -=-故答案为：12-【点睛】本题考查分式的运算，解题关键是运用已知字母间的关系，将分式中的字母简化，以至可约分求得.6．已知34(1)(2)x x x ---=1A x -+2B x -，则实数A=_____． 【答案】1【解析】 【分析】先计算出()()()()21212A B x A B A B x x x x +-++=----，再根据已知等式得出A 、B 的方程组，解之可得． 【详解】()()()()()()()()()()21212121212A x B x A B x A B A B x x x x x x x x --+-++=+=--------， ∵()()3x 4x 1x 2---=A x 1-+B x 2-，∴324A B A B +=⎧⎨+=⎩， 解得：12A B =⎧⎨=⎩， 故答案为1．【点睛】本题考查了分式的加减法运算，熟练掌握分式加减运算的法则、得出关于A 、B 的方程组是解本题的关键.7．已知x 为正整数，当时x=________时，分式62x -的值为负整数． 【答案】3、4、5、8【解析】由题意得：2﹣x ＜0，解得x ＞2，又因为x 为正整数，讨论如下：当x=3时，62x -=﹣6，符合题意； 当x=4时，62x -=﹣3，符合题意； 当x=5时，62x -=﹣2，符合题意； 当x=6时，62x -=﹣32，不符合题意，舍去； 当x=7时，62x -=﹣65，不符合题意，舍去； 当x=8时， 62x-=﹣1，符合题意；当x≥9时，﹣1＜62x-＜0，不符合题意．故x的值为3，4，5，8．故答案为：3、4、5、8．8．若关于x的分式方程7311mxx x+=--无解，则实数m=_______．【答案】3或7．【解析】解：方程去分母得：7+3（x﹣1）=mx，整理得：（m﹣3）x=4．①当整式方程无解时，m﹣3=0，m=3；②当整式方程的解为分式方程的增根时，x=1，∴m﹣3=4，m=7．综上所述：∴m的值为3或7．故答案为3或7．9．当x取_____时，分式1111xxx+--有意义．【答案】x≠0且x≠±1【解析】分析：要想使分式有意义，那么分式的分母就不能为0，据此列出关于x的不等式组，解不等式组即可求得x的取值范围．详解：由题意可知，只有当：11101xxxxxx⎧⎪⎪≠⎪⎪-≠⎨⎪+⎪-≠⎪-⎪⎩时，原分式才有意义，解得：11xxx≠⎧⎪≠±⎨⎪≠-⎩，即当x≠0且x≠±1时，原分式有意义．故答案为：x≠0且x≠±1．点睛：本题主要考查了分式有意义的条件，要求掌握．对于任意一个分式，分母都不能为0，否则分式无意义．解此类问题，只要令分式中分母不等于0，求得字母的取值即可．本题的难点在于，题中是一个繁分式，需一层一层分析，x是1x的分母，所以x≠0；x﹣1x是11xxx+-的分母，所以x﹣1x≠0；1﹣11xxx+-又是整个分式的分母，因此1﹣11xxx+-≠0．繁分式的有关知识超出初中教材大纲要求，只在竞赛中出现．10．某市为治理污水，需要铺设一段全长600 m的污水排放管道，铺设120 m后，为加快施工进度，后来每天比原计划多铺设20 m，结果共用8天完成这一任务，则原计划每天铺设管道的长度为_________．【答案】60 m【解析】设原计划每天铺设x m管道，则加快施工进度后，每天铺设（20x+）m，由题意可得，120600120820x x-+=+，解得：60x=，或5x=-（舍去），故答案为：60 m．二、八年级数学分式解答题压轴题（难）11．如图，小刚家、王老师家、学校在同一条路上，小刚家到王老师家的路程为3千米，王老师家到学校的路程为0.5千米.由于小刚的父母战斗在抗震救灾第一线，为了使他能按时到校，王老师每天骑自行车送小刚上学.已知王老师骑自行车的速度是步行的3倍，每天比平时步行上班多用了20分钟，问王老师的步行速度及骑自行车的速度各是多少？【答案】王老师的步行速度是5km/h，则王老师骑自行车的速度是15km/h.【解析】【分析】王老师接小刚上学走的路程÷骑车的速度-平时上班走的路程÷步行的速度=2060小时．【详解】设王老师的步行速度是km/hx，则王老师骑自行车是3km/hx，由题意可得：330.50.520360x x++-=，解得：5x=，经检验，5x=是原方程的根，∴315x=答：王老师的步行速度是5km/h，则王老师骑自行车的速度是15km/h.【点睛】本题考查列分式方程解应用题.重点在于准确地找出相等关系，需注意①王老师骑自行车接小刚所走路程是（3+3+0.5）千米；②注意单位要统一.12．甲、乙、丙三个登山爱好者经常相约去登山，今年1月甲参加了两次登山活动．（1）1月1日甲与乙同时开始攀登一座900米高的山，甲的平均攀登速度是乙的1.2倍，结果甲比乙早15分钟到达顶峰．求甲的平均攀登速度是每分钟多少米？（2）1月6日甲与丙去攀登另一座h 米高的山，甲保持第（1）问中的速度不变，比丙晚出发0.5小时，结果两人同时到达顶峰，问甲的平均攀登速度是丙的多少倍？（用含h 的代数式表示）【答案】（1）甲的平均攀登速度是12米/分钟；（2）360h h+倍. 【解析】【分析】（1）根据题意可以列出相应的分式方程，从而可以求得甲的平均攀登速度；（2）根据（1）中甲的速度可以表示出丙的速度，再用甲的速度比丙的平均攀登速度即可解答本题．【详解】（1）设乙的速度为x 米/分钟， 900900151.2x x+＝， 解得，x=10，经检验，x=10是原分式方程的解，∴1.2x=12，即甲的平均攀登速度是12米/分钟；（2）设丙的平均攀登速度是y 米/分，12h +0.5×60＝h y ， 化简，得 y=12360h h +， ∴甲的平均攀登速度是丙的：1236012360h h h h ++＝倍， 即甲的平均攀登速度是丙的360h h+倍．13．阅读下面的解题过程：已知2113x x =+，求241x x +的值。
人教版八年级上册数学 全册全套试卷(提升篇)(Word版 含解析)
人教版八年级上册数学 全册全套试卷（提升篇）（Word 版 含解析） 一、八年级数学三角形填空题（难） 1．如图，C 在直线BE 上，∠=︒,∠A m ABC 与ACE ∠的角平分线交于点1A ，则1A =_____︒；若再作11A BE A CE ∠∠、的平分线，交于点2A ；再作22A BE A CE ∠∠、的平分线，交于点3A ；依此类推，10A ∠= _________︒．【答案】（2m ） （1024m ） 【解析】【分析】 根据“角平分线定义”和“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和”求出规律，直接利用规律解题．【详解】解：∵∠A 1=∠A 1CE-∠A 1BC=12∠ACE-12∠ABC=12（∠ACE-∠ABC ）=12∠A=2m °． 依此类推∠A 2=224m m ︒︒=，∠A 3=328m m ︒︒=，…，∠A 10=1021024m m ︒︒=． 故答案为：()2m ；()1024m ． 【点睛】此题主要考查了三角形的内角和外角之间的关系以及角平分线的定义，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和．2．如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，∠BAC 的角平分线AE 与AC 的中线BD 交于点F ，P 为CE 中点，连结PF ，若CP=2，15BFP S ∆=，则AB 的长度为_______．【答案】15【解析】【分析】作辅助线EH AB ⊥交AB 于H ，再利用等量关系用△BFP 的面积来表示△BEA 的面积，利用三角形的面积公式来求解底边AB 的长度【详解】作EH AB ⊥∵AE 平分∠BAC BAE CAE ∴∠=∠EC EH ∴=∵P 为CE 中点4EC EH ==∴∵D 为AC 中点，P 为CE 中点=x =y PEF PCF CDF ADF S S S S ==△△△△∴设，15x BEF S =-△∴15+x+y BCD BDA S S ==△△∴y=15+x+y-y=15+x BFA BDA S S =-△△∴15x+15+x=30BEA BEF BFA S S S =+=-△△△∴1=302BEA S AB EH ⨯=△∵ =15AB ∴【点睛】本题考查了辅助线的运用以及三角形的中线平分三角形的面积，解题的关键在于如何利用△BFP 的面积来表示△BEA 的面积3．如图，在△ABC 中，∠B=50°，三角形的外角∠DAC 和∠ACF 的平分线交于点E ，则∠AEC =_______°.【答案】65【解析】如图，∵AE 平分∠DAC ，CE 平分∠ACF ，∴∠1=12∠DAC，∠2=12∠ACF，∴∠1+∠2=12（∠DAC+∠ACF），又∵∠DAC+∠ACF=（180°-∠BAC）+（180°-∠ACB）=360°-（∠BAC+∠ACB），且∠BAC+∠ACB=180°-∠ABC=180°-50°=130°，∴∠1+∠2=12（360°-130°）=115°，∴在△ACE中，∠E=180°-（∠1+∠2）=180°-115°=65°.4．已知一个多边形的内角和与外角和的差是1260°，则这个多边形边数是．【答案】12【解析】试题解析：根据题意，得（n-2）•180-360=1260，解得：n=11．那么这个多边形是十一边形．考点：多边形内角与外角．5．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内时，∠A与∠1＋∠2之间有始终不变的关系是__________．【答案】2∠A＝∠1＋∠2【解析】【分析】根据∠1与∠AED的2倍和∠2与∠ADE的2倍都组成平角，结合△AED的内角和为180°可求出答案．【详解】∵△ABC 纸片沿DE 折叠， ∴∠1＋2∠AED ＝180°，∠2＋2∠ADE ＝180°，∴∠AED ＝12（180°−∠1），∠ADE ＝12（180°−∠2）， ∴∠AED ＋∠ADE ＝12（180°−∠1）＋12（180°−∠2）＝180°−12（∠1＋∠2） ∴△ADE 中，∠A ＝180°−（∠AED ＋∠ADE ）＝180°−[180°−12（∠1＋∠2）]＝12（∠1＋∠2），即2∠A ＝∠1＋∠2．故答案为：2∠A ＝∠1＋∠2．【点睛】 本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于180°及图形翻折变换的性质是解答此题的关键．6．如图，A 、B 、C 三点在同一条直线上，∠A ＝50°，BD 垂直平分AE ，垂足为D ，则∠EBC 的度数为_____．【答案】100°【解析】【分析】根据线段垂直平分线的性质，得BE BA =，根据等腰三角形的性质，得50E A ∠=∠=︒，再根据三角形外角的性质即可求解．【详解】∵BD 垂直平分AE ，∴BE BA =，∴50E A ∠=∠=︒，∴100EBC E A ∠=∠+∠=︒，故答案为100°．【点睛】考查线段垂直平分线的性质以及三角形外角的性质，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键.二、八年级数学三角形选择题（难）7．如图，AB ⊥BC ，AE 平分∠BAD 交BC 于点E ，AE ⊥DE ，∠1+∠2=90°，M 、N 分别是BA 、CD 延长线上的点，∠EAM 和∠EDN 的平分线交于点F ，∠F 的度数为（ ）A．120°B．135°C．150°D．不能确定【答案】B【解析】【分析】先根据∠1+∠2=90°得出∠EAM+∠EDN的度数，再由角平分线的定义得出∠EAF+∠EDF的度数，根据AE⊥DE可得出∠3+∠4的度数，进而可得出∠FAD+∠FDA的度数，由三角形内角和定理即可得出结论．【详解】解：∵∠1+∠2=90°，∴∠EAM+∠EDN=360°-90°=270°．∵∠EAM和∠EDN的平分线交于点F，∴∠EAF+∠EDF=12×270°=135°．∵AE⊥DE，∴∠3+∠4=90°，∴∠FAD+∠FDA=135°-90°=45°，∴∠F=180°-（∠FAD+∠FDA）=180-45°=135°．故选B．【点睛】本题查的是三角形内角和定理、直角三角形的性质及角平分线的性质，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．8．如果线段AB=3cm，BC=1cm，那么A、C两点的距离d的长度为（）A．4cm B．2cm C．4cm或2cm D．小于或等于4cm，且大于或等于2cm【答案】D【解析】试题分析：①当A，B，C三点在一条直线上时，分点B在A、C之间和点C在A、B之间两种情况讨论；②当A，B，C三点不在一条直线上时，根据三角形三边关系讨论.解：当点A、B、C在同一条直线上时，①点B在A、C之间时：AC=AB+BC=3+1=4；②点C 在A、B之间时：AC=AB-BC=3-1=2，当点A、B、C不在同一条直线上时，A、B、C三点组成三角形，根据三角形的三边关系AB-BC＜AC＜AB+BC，即2＜AC＜4，综上所述，选D.故选D.点睛：本题主要考查点与线段的位置关系..利用分类思想得出所有情况的图形是解题的关键，9．有下列说法：①有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；②三边长为、、3的三角形为直角三角形；③等腰三角形的两边长为3、4，则等腰三角形的周长为10；④一边上的中线等于这边长的一半的三角形是等腰直角三角形．其中正确的个数是（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】C【解析】试题分析：根据等边三角形的性质可知，有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，故①正确；根据三边可知：，，3²=9，因此可知：，由勾股定理的逆定理可知其是直角三角形，故②正确；由等腰三角形的三边可知其边长为：3，3，4或3，4，4，则周长为10或11，故③不正确；由一边上的中线等于这边长的一半的直角三角形是等腰直角三角形，故④不正确.故选：C的度数10．如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∠1=30°，∠2=50°，则3等于（）A．50°B．30°C．20°D．15°【答案】C【解析】【分析】根据平行和三角形外角性质可得∠2=∠4=∠1+∠3，代入数据即可求∠3．【详解】如图所示，∵AB∥CD∴∠2=∠4=∠1+∠3=50°，∴∠3=∠4-30°=20°，故选C.11．小明把一副直角三角板如图摆放，其中90,45,30C F A D ∠=∠=︒∠=︒∠=︒，则a β∠+∠等于( )A ．180︒B ．210︒C ．360︒D ．270︒【答案】B【解析】【分析】 根据三角形外角性质分别表示出∠α与∠β，然后进一步计算即可. 【详解】如图所示，利用三角形外角性质可知：∠α=∠1+∠D ，∠β=∠4+∠F ，∴∠α+∠β=∠1+∠D+∠4+∠F ，∵∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠α+∠β=∠2+∠D+∠3+∠F=90°+30°+90°=210°，故选：B .【点睛】本题主要考查了三角形外角性质的运用，熟练掌握相关概念是解题关键.12．已知三角形的两边长分别为4和9,则下列数据中能作为第三边长的是( )A ．13B ．6C ．5D ．4 【答案】B【解析】【分析】首先根据三角形的三边关系定理,求得第三边的取值范围,再进一步找到符合条件的数值．【详解】解：设这个三角形的第三边为x ．根据三角形的三边关系定理“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”,得：94x 94-<<+,解得5x 13<<．故选：B ．【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理.一定要注意构成三角形的条件：两边之和>第三边,两边之差<第三边．三、八年级数学全等三角形填空题（难）13．如图，已知点I 是△ABC 的角平分线的交点．若AB ＋BI ＝AC ，设∠BAC ＝α，则∠AIB ＝______（用含α的式子表示）【答案】1206α︒-【解析】【分析】 在AC 上截取AD=AB ，易证△ABI ≌△ADI ，所以BI=DI ，由AB ＋BI ＝AC ，可得DI=DC ，设∠DCI=β，则∠ADI=∠ABI=2β，然后用三角形内角和可推出β与α的关系，进而求得∠AIB.【详解】解：如图所示，在AC 上截取AD=AB ，连接DI ，点I 是△ABC 的角平分线的交点所以有∠BAI=∠DAI ，∠ABI=∠CBI ，∠ACI=∠BCI ，在△ABI 和△ADI 中，AB=AD BAI=DAI AI=AI ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△ABI ≌△ADI （SAS ）∴DI=BI又∵AB ＋BI ＝AC ，AB+DC=AC∴DI=DC∴∠DCI=∠DIC设∠DCI=∠DIC=β则∠ABI=∠ADI=2∠DCI=2β在△ABC 中，∠BAC+2∠ABI+2∠DCI=180°，即42180ββ︒++=a ， ∴180=3066β︒︒=--a a 在△ABI 中，180︒∠=-∠-∠AIB BAI ABI121802αβ︒=-- 1=23160028αα︒︒⎛⎫--- ⎪⎝⎭ =1206α︒-【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，以及三角形角度计算，利用截长补短构造全等三角形是解题的关键.14．如图，在Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，AD⊥BC 于D ，BE 平分∠ABC 交AC 于E ，交AD 于F ，FG∥BC，FH∥AC，下列结论：①AE＝AF ；②AF＝FH ；③AG＝CE ；④AB＋FG ＝BC ，其中正确的结论有________________．(填序号)【答案】①②③④【解析】 ①正确.∵∠BAC ＝90° ∴∠ABE+∠AEB=90° ∴∠ABE=90°-∠AEB ∵AD ⊥BC ∴∠ADB=90° ∴∠DBE+∠BFD=90° ∴∠DBE=90-∠BFD ∵∠BFD=∠AFE ∴∠DBE=90°-∠AFE ∵BE 平分∠ABC ∴∠ABE=∠DBE ∴90°-∠AEB=90°-∠AFE ∴∠AEB=∠AFE ∴AE=AF②正确.∵∠BAC=90° ∴∠BAF+∠DAC=90° ∴∠BAF=90°-∠DAC ∵AD ⊥BC ∴∠ADC=90° ∴∠C+∠DAC=90° ∴∠C=90°-∠DAC ∴∠C=∠BAF ∵FH ∥AC ∴∠C=∠BHF ∴∠BAF=∠BHF 在△ABF 和△HBF 中 ABE CBE BAF BHF BF BF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABF ≌△HBF ∴AF=FH③正确.∵AE=AF，AF=FH∴AE=FH∵FG∥BC，FH∥AC∴四边形FHCG是平行四边形∴FH=GC∴AE=GC∴AE+EG=GC+EG∴AG=CE④正确.∵四边形FHCG是平行四边形∴FG=HC∵△ABF≌△HBF∴AB=HB∴AB+FG=HB+HC=BC故正确的答案有①②③④.15．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CF交AB于E，BD⊥CF，AF⊥CF，则下列结论:①∠ACF＝∠CBD②BD＝FC③FC＝FD+AF④AE=DC中，正确的结论是____________(填正确结论的编号)【答案】①②③【解析】【分析】根据同角的余角相等，可得到结论①，再证明△ACF≌△CBD，然后根据全等三角形的性质判断结论②、③、④即可.【详解】解：∵BD⊥CF，AF⊥CF，∴∠BDC=∠AFC=90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACF+∠BCD=∠CBD+∠BCD=90°，∴∠ACF=∠CBD，故①正确；在△ACF和△CBD中，BDC AFCACF CBDAC BC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACF≌△CBD，∴BD＝FC，CD=AF，故结论②正确∴FC＝FD+CD=FD+AF，故结论③正确，∵在Rt△AEF中，AE>AF，∴AE>CD，故结论④错误.综上所述，正确的结论是：①②③.【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握判定方法及全等的性质是解题的关键.16．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正△ABC和正△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④CO平分∠AOE；⑤∠AOB=60°．恒成立的结论有__．（把你认为正确的序号都填上）【答案】①②③④⑤【解析】【分析】根据等边三角形的性质及SAS即可证明△ACD≌△BCE即可求解.【详解】①△ABC和△DCE均是等边三角形，点A，C，E在同一条直线上，∴AC=BC，EC=DC，∠BCE=∠ACD=120°∴△ACD≌△ECB∴AD=BE，故本选项正确；②∵△ACD≌△ECB∴∠CBQ=∠CAP，又∵∠PCQ=∠ACB=60°，CB=AC，∴△BCQ≌△ACP，∴CQ=CP，又∠PCQ=60°，∴△PCQ为等边三角形，∴∠QPC=60°=∠ACB，∴PQ∥AE，故本选项正确；③∵∠ACB=∠DCE=60°，∴∠BCD=60°，∴∠ACP=∠BCQ ，∵AC=BC ，∠DAC=∠QBC ，∴△ACP ≌△BCQ （ASA ），∴CP=CQ ，AP=BQ ，故本选项正确；④∵BC ∥DE ，∴∠CBE=∠BED ，∵∠CBE=∠DAE ，∴∠AOB=∠OAE+∠AEO=60°，同理可得出∠AOE=120°，∵D ，O ，C ，E 四点共圆，∴∠OCD=∠OED ，∴∠OAC=∠OCD ，∴∠DCE=∠AOC=60°，∴OC 平分∠AOE ，故④正确；⑤∵△ABC 、△DCE 为正三角形，∴∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC ，DC=EC ，∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD ，∴∠ACD=∠BCE ，∴△ACD ≌△BCE （SAS ），∴∠CAD=∠CBE ，∴∠AOB=∠CAD+∠CEB=∠CBE+∠CEB ，∵∠ACB=∠CBE+∠CEB=60°，∴∠AOB=60°，故本选项正确．综上所述，正确的结论是①②③④⑤．【点睛】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，利用旋转不变性，找到不变量，是解题关键．17．把两个三角板如图甲放置，其中90ACB DEC ∠=∠=︒，45A ∠=︒，30D ∠=︒，斜边12AB =，14CD =，把三角板DCE 绕着点C 顺时针旋转15︒得到△11D CE （如图乙），此时AB 与1CD 交于点O ，则线段1AD 的长度为_________．【答案】10【解析】试题分析：如图所示，∠3=15°，∠1E =90°， ∴∠1=∠2=75°， 又∵∠B=45°，∴∠OF 1E =∠B+∠1=45°+75°=120° ∴∠1D FO=60° ∵∠C 11D E =30°，∴∠5=∠4=90°， 又∵AC=BC ，AB=12， ∴OA=OB=6 ∵∠ACB=90°，∴CO=12AB=6， 又∵C 1D =CD=14， ∴O 1D =C 1D -OC=14-6=8， 在Rt △A 1D O 中，222211A 6810D OA OD =+=+=点睛：本题主要考查的就是旋转的性质、三角形的外角性质、直角三角形的性质及判定以及勾股定理的应用.解决这个问题的关键就是首先根据三角形外角的性质以及旋转图形的性质得出△AO 1D 为直角三角形，然后根据直角三角形的性质得出AO 和O 1D 的长度，最后根据直角三角形的勾股定理得出答案.18．如图，△ABC 与△DEF 为等边三角形，其边长分别为a ，b ，则△AEF 的周长为___________．【答案】a+b【解析】先根据全等三角形的判定AAS 判定△AEF≌△BFD，得出AE=BF ，从而得出△AEF 的周长=AF+AE+EF=AF+BF+EF=a+b ．故答案为：a+b四、八年级数学全等三角形选择题（难）19．Rt △ABC 中，AB ＝AC ，D 点为Rt △ABC 外一点，且BD ⊥CD ，DF 为∠BDA 的平分线，当∠ACD ＝15°，下列结论：①∠ADC ＝45°；②AD ＝AF ；③AD+AF ＝BD ；④BC ﹣CE ＝2D,其中正确的是( )A．①③B．①②④C．①③④D．①②③④【答案】C【解析】【分析】由题意可证点A，点C，点B，点D四点共圆，可得∠ADC＝∠ABC＝45°；由角平分线的性质和外角性质可得∠AFD＝∠BDF+∠DBF＞∠ADF，可得AD≠A F；如图，延长CD至G，使DE＝DG，在BD上截取DH＝AD，连接HF，由“SAS”可证△ADF≌△HDF，可得∠DHF＝∠DAF＝30°，AF＝HF，由等腰三角形的性质可得BH＝AF，可证BD＝BH+DH＝AF+AD；由“SAS”可证△BDG≌△BDE，可得∠BGD＝∠BED＝75°，由三角形内角和定理和等腰三角形的性质可得BC＝BG＝2DE+EC.【详解】∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，且∠ACD＝15°，∵∠BCD＝30°，∵∠BAC＝∠BDC＝90°，∴点A，点C，点B，点D四点共圆，∴∠ADC＝∠ABC＝45°，故①符合题意，∠ACD＝∠ABD＝15°，∠DAB＝∠DCB＝30°，∵DF为∠BDA的平分线，∴∠ADF＝∠BDF，∵∠AFD＝∠BDF+∠DBF＞∠ADF，∴AD≠AF，故②不合题意，如图，延长CD至G，使DE＝DG，在BD上截取DH＝AD，连接HF，∵DH＝AD，∠HDF＝∠ADF，DF＝DF，∴△ADF≌△HDF(SAS)∴∠DHF＝∠DAF＝30°，AF＝HF，∵∠DHF＝∠HBF+∠HFB＝30°，∴∠HBF＝∠BFH＝15°，∴BH＝HF，∴BH＝AF，∴BD＝BH+DH＝AF+AD，故③符合题意，∵∠ADC＝45°，∠DAB＝30°＝∠BCD，∴∠BED＝∠ADC+∠DAB＝75°，∵GD＝DE，∠BDG＝∠BDE＝90°，BD＝BD，∴△BDG≌△BDE(SAS)∴∠BGD＝∠BED＝75°，∴∠GBC＝180°﹣∠BCD﹣∠BGD＝75°，∴∠GBC＝∠BGC＝75°，∴BC＝BG，∴BC＝BG＝2DE+EC，∴BC﹣EC＝2DE，故④符合题意，故选：C.【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，20．如图，在△ABC中，∠ABC=45°， BC=4，以AC为直角边，点A为直角顶点向△ABC的外侧作等腰直角三角形ACD，连接BD，则△DBC的面积为( ) .A．8 B．10 C．2D．2【答案】A【解析】【分析】将△ABD绕着点A顺时针旋转90°得到△AEC，BD与EC交于点O，连接BE，根据旋转的性质得到AE=AB，∠BAE=∠DOC=90°，过D点作DF⊥BC，证△EBC≌BFD，可得DF=BC=4，再用三角形面积公式即可得出答案.【详解】解：如下图所示，将△ABD绕着点A顺时针旋转90°得到△AEC，BD与EC交于点O，连接BE，根据旋转的性质可知EC=BD，AE=AB，∠BAE=∠DOC=90°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴∠ABE=45°，又∵∠ABC=45°，∴∠EBC=90°，∵∠BDF+∠DBF=90°，∠ECB+∠DBF=90°，∴∠BDF=∠ECB在△EBC和△BFD中EBC=BFD=90ECB=BDFEC=BD⎧∠∠⎪∠∠⎨⎪⎩∴△EBC≌△BFD（AAS）∴DF=BC=4∴△DBC的面积=11BC DF=44=822⋅⨯⨯故选A.【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定，是一道综合性较强的题，难度较大，关键是正确的作出辅助线构造全等三角形.21．如图，BD是∠ABC的角平分线，AD⊥AB，AD=3，BC=5，则△BCD的面积为（）A．7.5 B．8 C．10D．15【答案】A【解析】作DE⊥BC于E，根据角平分线的性质，由BD是∠ABC的角平分线，AD⊥AB，DE⊥BC，求出DE=DA=3，根据三角形面积公式计算S△BCD=12×BC×DE=7.5，故选：A．22．如图，已知，BD为△ABC的角平分线，且BD=BC，E为BD延长线上的一点，BE=BA．下面结论：①△ABD≌△EBC；②AC=2CD；③AD=AE=EC；④∠BCE+∠BCD=180°．其中正确的是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④【答案】C【解析】已知BD为△ABC的角平分线，根据角平分线的定义可得∠ABD=∠CBD，在△AB D和△EB C 中，BD＝BC，∠ABD＝∠CBD，BE＝BA，由SAS可判定△ABD≌△EBC，即可得①正确；根据已知条件，无法证明AC=2CD，②错误；已知BD为△ABC的角平分线，BD=BC，BE=BA，可得∠BCD=∠BDC=∠BAE=∠BEA，再由∠BCE=∠BDA，∠BCE=∠BCD+∠DCE，∠BDA=∠DAE+∠BEA，∠BCD=∠BEA，可得∠DCE=∠DAE，所以AE=EC；再由△ABD≌△EBC，可得AD=EC，所以AD=AE=EC，即③正确；由△ABD≌△EBC，可得∠BCE=∠BDA，所以∠BCE+∠BCD=∠BDA+∠BDC=180°，④正确.故选C.点睛：本题考查了全等三角形的判定及性质、等腰三角形的的性质、三角形外角的性质，本题中熟练求证三角形全等和熟练运用全等三角形对应角、对应边相等性质是解题的关键．23．已知OD平分∠MON，点A、B、C分别在OM、OD、ON上(点A、B、C都不与点O重合)，且AB=BC, 则∠OAB与∠BCO的数量关系为（）A．∠OAB+∠BCO=180°B．∠OAB=∠BCOC．∠OAB+∠BCO=180°或∠OAB=∠BCO D．无法确定【答案】C【解析】根据题意画图，可知当C处在C1的位置时，两三角形全等，可知∠OAB=∠BCO；当点C处在C2的位置时，根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质，∠OAB+∠BCO=180°.故选C.24．如图，在△ABC和△DCB中，AB=DC，AC与BD相交于点E，若不再添加任何字母与辅助线，要使△ABC≌△DCB，则还需增加的一个条件是（）A．AC=BD B．AC=BC C．BE=CE D．AE=DE【答案】A【解析】由AB=DC，BC是公共边，即可得要证△ABC≌△DCB，可利用SSS，即再增加AC=DB即可.故选A.点睛：此题主要考查了全等三角形的判定，解题时利用全等三角形的判定：SSS，SAS，ASA，AAS，HL，确定条件即可，此题为开放题，只要答案符合判定定理即可.五、八年级数学轴对称三角形填空题（难）25．在直角坐标系中，O 为坐标原点，已知点 A（1，2），点 P 是 y 轴正半轴上的一点，且△AOP 为等腰三角形，则点P 的坐标为_____________．【答案】5 5),(0,4),0,4⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】有三种情况：①以O为圆心，以OA为半径画弧交y轴于D，求出OA即可；②以A为圆心，以OA为半径画弧交y轴于P，求出OP即可；③作OA的垂直平分线交y轴于C，则AC＝OC，根据勾股定理求出OC即可．【详解】有三种情况：①以O为圆心，以OA为半径画弧交y轴于D，则OA＝OD＝22125+=；∴D （0，5）；②以A 为圆心，以OA 为半径画弧交y 轴于P ，OP ＝2×y A =4，∴P （0，4）；③作OA 的垂直平分线交y 轴于C ，则AC ＝OC ，由勾股定理得：OC ＝AC ＝()2212OC +-，∴OC ＝54， ∴C （0，54）； 故答案为：5(0,5),(0,4),0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭．【点睛】本题主要考查对线段的垂直平分线，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，坐标与图形性质等知识点的理解和掌握，能求出符合条件的所有情况是解此题的关键．26．△ABC 与△DEF 是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠D=90°，AB=AC=6．现将△DEF 与△ABC 按如图所示的方式叠放在一起，使△ABC 保持不动，△DEF 运动，且满足点E 在边BC 上运动（不与B ，C 重合），边DE 始终经过点A ，EF 与AC 交于点M ．在△DEF 运动过程中，若△AEM 能构成等腰三角形，则BE 的长为______．【答案】【解析】【分析】分若AE ＝AM 则∠AME ＝∠AEM ＝45°；若AE ＝EM ；若MA ＝ME 则∠MAE ＝∠AEM ＝45°三种情况讨论解答即可；【详解】解：①若AE ＝AM 则∠AME ＝∠AEM ＝45°∵∠C ＝45°∴∠AME ＝∠C又∵∠AME ＞∠C∴这种情况不成立；②若AE ＝EM∵∠B ＝∠AEM ＝45°∴∠BAE+∠AEB ＝135°，∠MEC+∠AEB ＝135°∴∠BAE ＝∠MEC在△ABE 和△ECM 中，B BAE CENAE EII C ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABE ≌△ECM （AAS ），∴CE ＝AB，∵AC ＝BCAB ＝∴BE ＝；③若MA ＝ME 则∠MAE ＝∠AEM ＝45°∵∠BAC ＝90°，∴∠BAE ＝45°∴AE 平分∠BAC∵AB ＝AC ，∴BE ＝12BC故答案为【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，掌握分类讨论的数学思想是解答本题的关键．27．如图，已知△ABC和△ADE都是正三角形，连接CE、BD、AF，BF=4,CF=7,求AF的长_________ .【答案】3【解析】【分析】过点A作AF⊥CE交于I，AG⊥BD交于J,证明CAE≅BAD，再证明CAI≅BAJ，求出°7830∠=∠=，然后求出12IF FJ AF==，，通过设FJ x=求出x，即可求出AF的长.【详解】解：过点A作AF⊥CE交于I，AG⊥BD交于J在CAE和BAD中AC AB CAE BADAE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴CAE ≅BAD∴ICA ABJ ∠=∠ ∴BFE CAB ∠=∠（8字形）∴°120CFD ∠=在CAI 和BAJ 中°90ICA ABJ CAI BJA CA BA ∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩∴CAI ≅BAJ ,AI AJ CI BJ ==∴°60CFA AFJ ∠=∠=∴°30FAI FAE ∠=∠=在RtAIF 和RtAJF 中°30FAI FAE ∠=∠=∴12IF FJ AF ==设FJ x = 7,4CF BF ==则47x x +=-32x ∴=2AF FJ =AF ∴=3【点睛】此题主要考查了通过做辅助线证明三角形全等，得出相关的边相等，学会合理添加辅助线求解是解决本题的重点.28．如图，线段AB，DE的垂直平分线交于点C，且72ABC EDC∠=∠=︒，92AEB∠=︒，则EBD∠的度数为 ________ ．【答案】128︒【解析】【分析】连接CE，由线段AB，DE的垂直平分线交于点C，得CA=CB，CE=CD，ACB=∠ECD=36°，进而得∠ACE=∠BCD，易证∆ACE≅∆BCD，设∠AEC=∠BDC=x，得则∠BDE=72°-x，∠CEB=92°-x，BDE中，∠EBD=128°，根据三角形内角和定理，即可得到答案．【详解】连接CE，∵线段AB，DE的垂直平分线交于点C，∴CA=CB，CE=CD，∵72ABC EDC∠=∠=︒=∠DEC，∴∠ACB=∠ECD=36°，∴∠ACE=∠BCD，在∆ACE与∆BCD中，∵CA CBACE BCDCE CD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴∆ACE≅∆BCD（SAS），∴∠AEC=∠BDC，设∠AEC=∠BDC=x，则∠BDE=72°-x，∠CEB=92°-x，∴∠BED=∠DEC-∠CEB=72°-（92°-x）=x-20°，∴在∆BDE中，∠EBD=180°-（72°-x）-（x-20°）=128°．故答案是：128︒．【点睛】本题主要考查中垂线的性质，三角形全等的判定和性质定理以及三角形内角和定理，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键．29．如图，已知每个小方格的边长为1，A、B两点都在小方格的格点（顶点）上，请在图中找一个格点C，使△ABC是等腰三角形，这样的格点C有________个。
【精选】八年级上册分式解答题(提升篇)(Word版 含解析)
一、八年级数学分式解答题压轴题（难）1．已知：12x M +=，21xN x =+． （1）当x ＞0时，判断M N -与0的关系，并说明理由；（2）设2y N M=+． ①当3y =时，求x 的值；②若x 是整数，求y 的正整数值．【答案】（1）见解析；（2）①1；②4或3或1 【解析】 【分析】（1）作差后，根据分式方程的加减法法则计算即可； （2）①把M 、N 代入整理得到y ，解分式方程即可； ②把y 变形为：221y x =++，由于x 为整数，y 为整数，则1x +可以取±1，±2，然后一一检验即可． 【详解】（1）当0x >时，M －N ≥0．理由如下：M －N =()()21122121x x xx x -+-=++ ．∵x ＞0，∴(x -1)2≥0，2(x +1)>0，∴()()21021x x -≥+，∴M -N ≥0．（2）依题意，得：4224111x x y x x x +=+=+++． ①当3y =，即2431x x +=+时，解得：1x =．经检验，1x =是原分式方程的解，∴当y =3时，x 的值是1．②2422222111x x y x x x +++===++++ ． ∵x y ，是整数，∴21x +是整数，∴1x +可以取±1，±2．当x +1=1，即0x =时，22401y =+=> ；当x +1=﹣1时，即2x =-时，2201y =-=（舍去）； 当x +1=2时，即1x =时，22302y =+=> ；当x +1=－2时，即3x =-时，22102y =+=>-（） ； 综上所述：当x 为整数时，y 的正整数值是4或3或1． 【点睛】本题考查了分式的加减法及解方式方程．确定x +1的取值是解答（2）②的关键．2．某小麦改良品种后平均每公顷增加产量a 吨，原来产m 吨小麦的一块土地，现在小麦的总产量增加了20吨．（1）当a ＝0.8，m ＝100时，原来和现在小麦的平均每公顷产量各是多少？（2）请直接接写出原来小麦的平均每公顷产量是 吨，现在小麦的平均每公顷产量是 吨；（用含a 、m 的式于表示）（3）在这块土地上，小麦的改良品种成熟后，甲组收割完需n 小时，乙组比甲组少用0.5小时就能收割完，求两组一起收割完这块麦田需要多少小时？【答案】（1）原来和现在小麦的平均每公顷产量各是4吨，4.8吨；（2）20ma，+2020ma a ；（3）两组一起收割完这块麦田需要2241n nn --小时． 【解析】 【分析】（1）设原来小麦平均每公顷产量是x 吨，根据题意列出分式方程求解并验根即可；（2）设原来小麦平均每公顷产量是y 吨，根据题意列出分式方程求解并验根即可；（3）由题意得知，工作总量为m+20,甲的工作效率为：20m n +，乙的工作效率为：200.5m n +-，再由工作总量除以甲乙的工作效率和即可得出工作时间. 【详解】解：（1）设原来平均每公顷产量是x 吨，则现在平均每公顷产量是（x +0.8）吨， 根据题意可得：100100200.8x x +=+ 解得：x ＝4，检验：当x ＝4时，x （x +0.8）≠0， ∴原分式方程的解为x ＝4， ∴现在平均每公顷产量是4.8吨，答：原来和现在小麦的平均每公顷产量各是4吨，4.8吨．（2）设原来小麦平均每公顷产量是y 吨，则现在玉米平均每公顷产量是（y +a ）吨，根据题意得：20m m y y a+=+解得；y ＝20ma ，经检验：y ＝20ma是原方程的解， 则现在小麦的平均每公顷产量是:202020ma ma a a ++= 故答案为:20ma ，2020ma a+； （3）根据题意得：()20.5202202020.5410.5n n m n n m m n n n n -+-==++--+- 答：两组一起收割完这块麦田需要2241n nn --小时．【点睛】本题考查的知识点主要是根据题意列分式方程并求解，找出题目中的等量关系式是解题的关键.3．阅读下面的解题过程：已知2113x x =+，求241x x +的值。
人教版八年级上册数学 分式解答题单元练习(Word版 含答案)
本题考查了分式的加减法及解方式方程．确定x+1的取值是解答（2）②的关键．
3．如图，小刚家、王老师家、学校在同一条路上，小刚家到王老师家的路程为3千米，王老师家到学校的路程为0.5千米.由于小刚的父母战斗在抗震救灾第一线，为了使他能按时到校，王老师每天骑自行车送小刚上学.已知王老师骑自行车的速度是步行的3倍，每天比平时步行上班多用了20分钟，问王老师的步行速度及骑自行车的速度各是多少？
这里的2即为[﹣4+（﹣6）]﹣[﹣7+（﹣5）]；
所以可总结出规律：方程解的分子为右边两个分中的常数项的积减去左边两个分母中的常数项的积，解的分母为左边两个分母中的常数项的差减去右边两个分母中常数项的差．
（1）先把方程分为两边差的形式：方程 ﹣ = ﹣ ，
由所总结的规律可知方程解的分子为：（﹣1）×（﹣6）﹣（﹣7）×（﹣2）=﹣8，
解：解方程 ﹣ = ﹣ ，先左右两边分别通分可得： ，
化简可得： ，
整理可得：2x=15﹣8，
解得：x= ，
这里的7即为（﹣3）×（﹣5）﹣（﹣2）×（﹣4），
这里的2即为[﹣2+（﹣4）]﹣[﹣3+（﹣5）]；
解方程 ﹣ = ﹣ ，先左右两边分别为通分可得：
，
化简可得： ，
解得：x= ，
这里的11即为（﹣7）×（﹣5）﹣（﹣4）×（﹣6），
【点睛】
本题考查列分式方程解应用题.重点在于准确地找出相等关系，需注意①王老师骑自行车接小刚所走路程是（3+3+0.5）千米；②注意单位要统一.
4．“绿色环保，健康出行”新能源汽车越来越占领汽车市场，以“北汽”和“北汽新能源EV500”为例，分别在某加油站和某充电站加油和充电的电费均为300元，而续航里程之比则为1∶4．经计算新能源汽车相比燃油车节约0.6元/公里．
人教版八年级上册数学 分式填空选择(提升篇)(Word版 含解析)
人教版八年级上册数学 分式填空选择（提升篇）（Word 版 含解析）一、八年级数学分式填空题（难）1．已知112x y -=，则代数式22x xy y x xy y+---的值是__________. 【答案】1【解析】【分析】 将112x y -=化简得到2x y xy -=-，再代入代数式22x xy y x xy y+---，即可解答. 【详解】 ∵112x y-= ∴2y x xy -=，则2y x xy -=，2x y xy -=- 222()x xy y x y xy x xy y x y xy+--+=---- 将2x y xy -=-代入，得：2(2)3123xy xy xy xy xy xy-+-==--- 故答案为：1【点睛】本题考查了分式的化简求值，本题主要利用整体思想，难度较大，找出x-y 与xy 的关系是解题关键.2．若x+1x ，则x-1x=____________. 【答案】±2【解析】【分析】先对等式x+1x 21()8x x +=，整理得到2216x x+=，再用完全平方公式求出21()x x-的值，再开平方求出1x x -的值. 【详解】解：∵x+1x ， ∴21()8x x += ∴22128x x++=2x ∴22211()2624x x x x -=+-=-= ∴12x x-=± 故答案是： ±2.【点睛】 本题考查了互为倒数的两个数的和与差的完全平方公式的应用，利用当两数互为倒数时积为1这个特征去解题是关键.3．若以x 为未知数的方程()22111232a a x x x x +-=---+无解，则a =______. 【答案】1-或32-或2-. 【解析】【分析】首先解方程求得x 的值，方程无解，即所截方程的解是方程的增根，应等于1或2，据此即可求解a 的值．【详解】去分母得()()()2121x a x a -+-=+，整理得()134a x a +=+，①当1a =-时，方程①无解，此时原分式方程无解；当1a ≠-时，原方程有增根为1x =或2x =.当增根为1x =时，3411a a +=+，解得32a =-； 当增根为2x =时，3421a a +=+，解得2a =-. 综上所述，1a =-或32a =-或2a =-. 【点睛】本题主要考查了方程增根产生的条件，如果方程有增根，则增根一定是能使方程的分母等于0的值．4．若关于x 的分式方程25x -=1-5m x -有增根，则m 的值为________ 【答案】-2【解析】55x x --方程两侧同时乘以最简公分母(x -5)，得 ()25x m =--，整理，得 7x m =+，即7m x =-.令最简公分母x -5=0，得x =5，∵x =5应该是整式方程7x m =+的解，∴m =5-7=-2.故本题应填写：-2.点睛：本题考查了分式方程增根的相关知识. 一方面，增根使原分式方程去分母时所使用的最简公分母为零. 另一方面，增根还应该是原分式方程所转化成的整式方程的解. 因此，在解决这类问题时，可以通过令最简公分母为零得到增根的候选值，再利用原分式方程所转化成的整式方程检验这些候选值是否为该整式方程的解，从而确定增根. 在本题中，参数m 的值正是利用x =5满足整式方程这一结论求得的.5．阅读材料：方程1111123x x x x -=-+--的解为x=1，方程1111134x x x x -=----的解为x=2，方程11111245x x x x -=-----的解为3,x =，根据你发现的方程的规律，写出解是x=n 的对应方程为____________________. 【答案】11112112x n x n x n x n -=--+-+---- 【解析】【分析】 观察方程左边第二项的分母分别是x ，x-1，x-2，可知解是x=n 的对应方程左边第二项的分母是x-（n-1），其它分母的情况对照与此分母的关系可分别写出.【详解】解：解是x=n 的对应方程为11112112x n x n x n x n -=--+-+----. 【点睛】本题考查根据分式方程解的规律来写分式方程，观察所给的材料信息时，要注意从特殊形式到一般形式的规律与特征．6．当m =____________时,解分式方程533x m x x -=--会出现增根． 【答案】2【解析】分析：分式方程的增根是分式方程转化为整式方程的根，且使分式方程的分母为0的未知数的值．详解：分式方程可化为：x-5=-m ，由分母可知，分式方程的增根是3，当x=3时，3-5=-m ，解得m=2，故答案为：2．点睛：本题考查了分式方程的增根．增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．7．当x ＝1时，分式x b x a -+无意义；当x ＝2时，分式23x b x a -+的值为0，则a ＋b ＝_____． 【答案】3【解析】【分析】先根据分式无意义的条件可求出a 的值,再根据分式值为0的条件可求出b 的值,最后将求出的a,b 代入计算即可.【详解】因为当1x =时,分式x b x a -+无意义, 所以10a +=,解得: 1a =-,因为当2x =时,分式23x b x a-+的值为零, 所以4020b a -=⎧⎨+≠⎩, 解得: 4b =,所以143,a b +=-+=故答案为:3.【点睛】本题主要考查分式无意义和分式值为0的条件,解决本题的关键是要熟练掌握分式无意义和分式值为0的条件.8．若关于x 的分式方程7311mx x x +=--无解，则实数m =_______． 【答案】3或7．【解析】解：方程去分母得：7+3（x ﹣1）=mx ，整理得：（m ﹣3）x =4．①当整式方程无解时，m ﹣3=0，m =3；②当整式方程的解为分式方程的增根时，x =1，∴m ﹣3=4，m =7．综上所述：∴m 的值为3或7． 故答案为3或7．9．若关于x 的分式方程2222x m m x x +=--有增根，则m 的值为_______． 【答案】1【解析】【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母20x -=，得到2x =，然后代入化为整式方程的方程算出m 的值．【详解】解：方程两边都乘2x =，得22(2)x m m x -=-∵原方程有增根，∴最简公分母20x -=，解得2x =，当2x =时，1m =故m 的值是1，故答案为1【点睛】本题考查了分式方程的增根．增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．10．若a 2+5ab ﹣b 2=0，则的值为__．【答案】5【解析】试题分析：先根据题意得出b 2﹣a 2=5ab ，再由分式的减法法则把原式进行化简﹣===5． 故答案为：5．点睛：本题考查的是分式的化简求值，分式求值题中比较多的题型主要有三种：转化已知条件后整体代入求值；转化所求问题后将条件整体代入求值；既要转化条件，也要转化问题，然后再代入求值．二、八年级数学分式解答题压轴题（难）11．某开发公司生产的 960 件新产品需要精加工后，才能投放市场，现甲、乙两个工厂都想加工这批产品，已知甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用20 天，而甲工厂每天加工的数量是乙工厂每天加工的数量的23，公司需付甲工厂加工费用为每天 80 元，乙工厂加工费用为每天 120 元．（1）甲、乙两个工厂每天各能加工多少件新产品？（2）公司制定产品加工方案如下：可以由每个厂家单独完成，也可以由两个厂家合作完成．在加工过程中，公司派一名工程师每天到厂进行技术指导，并负担每天 15 元的午餐补助费，请你帮公司选择一种既省时又省钱的加工方案，并说明理由．【答案】（1）甲工厂每天加工 16 件产品，乙工厂每天加工 24 件产品. （2）甲、乙两工厂合作完成此项任务既省时又省钱．见解析．【解析】【分析】（1）设甲工厂每天加工 x 件新品，乙工厂每天加工 1.5x 件新品，根据题意找出等量关系：甲厂单独加工这批产品所需天数﹣乙工厂单独加工完这批产品所需天数＝20，由等量关系列出方程求解．（2）分别计算出甲单独加工完成、乙单独加工完成、甲、乙合作完成需要的时间和费用，比较大小，选择既省时又省钱的加工方案即可．【详解】（1）设甲工厂每天加工 x 件新品，乙工厂每天加工 1.5x 件新品，则：解得：x＝16经检验，x＝16 是原分式方程的解∴甲工厂每天加工 16 件产品，乙工厂每天加工 24 件产品（2）方案一：甲工厂单独完成此项任务，则需要的时间为：960÷16＝60 天需要的总费用为：60×（80+15）＝5700 元方案二：乙工厂单独完成此项任务，则需要的时间为：960÷24＝40 天需要的总费用为：40×（120+15）＝5400 元方案三：甲、乙两工厂合作完成此项任务，设共需要 a 天完成任务，则16a+24a＝960∴a＝24∴需要的总费用为：24×（80+120+15）＝5 160 元综上所述：甲、乙两工厂合作完成此项任务既省时又省钱．【点睛】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键在于理解清楚题意，找出等量关系，列出方程求解．需要注意：①分式方程求解后，应注意检验其结果是否符合题意；②选择最优方案时，需将求各个方案所需时间和所需费用，经过比较后选择最优的那个方案．12．八年级某同学在“五一”小长假中，随父母驾车去蜀南竹海观光旅游.去时走高等级公路，全程90千米；返回时，走高速公路，全程120千米.返回时的平均速度是去时平均速度的1.6倍，所用时间比去时少用了18分钟.求返回时的平均速度是多少千米每小时？【答案】 返回时的平均速度是80千米/小时.【解析】分析：根据题意，设去时的平均速度是x 千米/小时，找到等量关系：返回时所用时间比去时少用了18分钟，列分式方程求解即可.详解：设去时的平均速度是x 千米/小时.由题：90120181.660x x =+ 解得：50x =检验：50x =是原方程的解.并且，当50x =时，1.680x =，符合题意.答：返回时的平均速度是80千米/小时.点睛：此题主要考查了分式方程的应用，关键是确定问题的等量关系，根据等量关系列方程解答.13．甲、乙两商场自行定价销售某一商品．（1）甲商场将该商品提价25%后的售价为1.25元，则该商品在甲商场的原价为 元；（2）乙商场定价有两种方案：方案①将该商品提价20%；方案②将该商品提价1元。
【精选】人教版八年级数学上册 分式解答题达标检测(Word版 含解析)
一、八年级数学分式解答题压轴题（难）1．为响应“绿色出行”的号召，小王上班由自驾车改为乘坐公交车.已知小王家距离上班地点27km ，他乘坐公交车平均每小时行驶的路程比他自驾车平均每小时行驶的路程的2倍还多9km .他从家出发到上班地点，乘公交车所用的时间是自驾车所用时间的37. （1）小王用自驾车上班平均每小时行驶多少千米？（2）上周五，小王上班时先步行了6km ，然后乘公交车前往，共用43小时到达.求他步行的速度.【答案】（1）小王用自驾车上班平均每小时行驶27km ；（2）小王步行的速度为每小时6km .【解析】【分析】（1））设小王用自驾车上班平均每小时行驶xkm ，则他乘坐公交车上班平均每小时行驶()29x km +.再利用乘公交车的方式平均每小时行驶的路程比他自用驾SS 式平均每小时行驶的路程的2倍还多9千米和乘公交车所用时间是自驾车方式所用时间的37，列方程求解即可；（2）设小王步行的速度为每小时ykm ，然后根据“步行时间+乘公交时间=小时”列方程解答即可.【详解】解（1）设小王用自驾车上班平均每小时行驶xkm ，则他乘坐公交车上班平均每小时行驶()29x km +.根据题意得：27327297x x=⋅+ 解得：27x =经检验，27x =是原方程的解且符合题意.所以小王用自驾车上班平均每小时行驶27km ；（2）由（1）知：小王乘坐公交车上班平均每小时行驶29227963x +=⨯+=（km ）； 设小王步行的速度为每小时ykm ，根据题意得：62764633y -+= 解得：6y =.经检验：6y =是原方程的解且符合题意所以小王步行的速度为每小时6km .【点睛】本题考查了分式方程的应用，解答的关键在于弄清题意、找到等量关系、列出分式方程并解答.2．已知11x a b c ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，11y b a c ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，11z c a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． （1）当1a =，1b =，2c =时，求1111x y +--的值； （2）当0ab bc ac ++≠时,求111111x y z +++++的值． 【答案】（1）4；（2）1【解析】【分析】 （1）分别对x 、y 进行化简，然后求值即可；(2)分别求出1x ＋、1y ＋、和z 1＋值，然后代入化简即可.【详解】（1）,,ac ab bc ab bc ac x y z bc ac ab+++===， 当1,1,2a b c ===时， 1211111=;122x ⨯+⨯∴-=-⨯ 1211111=122y ⨯+⨯∴-=-⨯ 1111=4111122x y ∴+=+-- （2）11ac ab ac ab bc x bc bc ++++=+=， 11bc ab bc ab ac y ac ac ++++=+=， 11bc ac bc ac ab z ab ab++++=+=， ∵+0ab bc ac +≠，∴111111;+++x y z bc ac ab ab bc ac ab bc ac ab bc ac+++++=+++++ ++ab bc ac ab bc ac+=+ =1.【点睛】本题考查了整式的化简求值问题，解题的关键是仔细认真的进行整式的化简.3．阅读下面的解题过程：已知21 13 xx=+，求241xx+的值。
人教版数学八年级上册 分式解答题(提升篇)(Word版 含解析)
【解析】
【分析】
王老师接小刚上学走的路程÷骑车的速度-平时上班走的路程÷步行的速度= 小时．
【详解】
设王老师的步行速度是 ，则王老师骑自行车是 ，
由题意可得： ，解得： ，
经检验， 是原方程的根，
∴
答：王老师的步行速度是 ，则王老师骑自行车的速度是 .
一、八年级数学分式解答题压轴题（难）
1．如图，小刚家、王老师家、学校在同一条路上，小刚家到王老师家的路程为3千米，王老师家到学校的路程为0.5千米.由于小刚的父母战斗在抗震救灾第一线，为了使他能按时到校，王老师每天骑自行车送小刚上学.已知王老师骑自行车的速度是步行的3倍，每天比平时步行上班多用了20分钟，问王老师的步行速度及骑自行车的速度各是多少？
(2)当 时，求 的最小值．
(3)如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△AOB、△COD的面积分别为4和9，求四边形ABCD面积的最小值．
【答案】（1）2，-2；（2）11；（3）25
【解析】
【分析】
（1）当x＞0时，按照公式a+b≥2 （当且仅当a=b时取等号）来计算即可；x＜0时，由于-x＞0，- ＞0，则也可以按照公式a+b≥2 （当且仅当a=b时取等号）来计算；
详解：设去时的平均速度是x千米/小时.
由题：
解得：
检验： 是原方程的解.
并且，当 时， ，符合题意.
答：返回时的平均速度是80千米/小时.
点睛：此题主要考查了分式方程的应用，关键是确定问题的等量关系，根据等量关系列方程解答.
7．某一工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书．甲工程队施工一天，需付工程款1万元；乙工程队施工一天，需付工程款0.6万元．根据甲、乙工程队的投标书测算，可有三种施工方案：
【精选】人教版数学八年级上册 分式解答题单元测试题(Word版 含解析)
一、八年级数学分式解答题压轴题（难）1．我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如：76112333+==+. 在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”. 例如：像33x x -+，23x x -，…这样的分式是假分式；像23x -，23x x-，…这样的分式是真分式. 类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和（差）的形式. 例如：将分式2253x x x +-+拆分成一个整式与一个真分式的和（差）的形式. 方法一：解：由分母为3x +，可设225(3)()x x x x a b +-=+++则由22225(3)()33(3)(3)x x x x a b x ax x a b x a x a b +-=+++=++++=++++ 对于任意x ，上述等式均成立，∴3235a a b +=⎧⎨+=-⎩，解得12a b =-⎧⎨=-⎩∴225(3)(1)2(3)(1)22133333x x x x x x x x x x x x +-+--+-==-=--+++++ 这样，分式2253x x x +-+就被拆分成一个整式与一个真分式的和（差）的形式. 方法二：解：2225332(3)(3)2(3)32213333333x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +-+---+-+-++===--=--+++++++ 这样，分式2253x x x +-+就拆分成一个整式与一个真分式的和（差）的形式. （1）请仿照上面的方法，选择其中一种方法将分式2731x x x ---拆分成一个整式与一个真分式的和（差）的形式；（2）已知整数x 使分式225112x x x +-+的值为整数，求出满足条件的所有整数x 的值. 【答案】（1）961x x ---；（2）x=-1或-3或11或-15. 【解析】【分析】（1）先变形2731x xx---=26691x x xx--+--，由“真分式”的定义，仿照例题即可得出结论；（2）先把分式化为真分式，再根据分式的值为整数确定整数x的值．【详解】解：（1）2731x xx---=26691x x xx--+--=(1)6(1)91x x xx-----=961 xx---；（2）225112x xx+-+=2242132x x xx+++-+=2(2)(2)132x x xx+++-+=13212xx+-+，∵x是整数，225112x xx+-+也是整数，∴x+2=1或x+2=-1或x+2=13或x+2=-13，∴x=-1或-3或11或-15.【点睛】本题考查了逆用整式和分式的加减法对分式进行变形．解决本题的关键是理解真分式的定义对分子进行拆分．2．一件工程，甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的23；若由甲队先做 20 天，剩下的工程再由甲、乙两队合作 60天完成．(1)求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？(2)已知甲队每天的施工费用为 8.6 万元，乙队每天的施工费用为 5.4 万元，工程预算的施工费用为 1000 万元，若在甲、乙工程队工作效率不变的情况下使施工时间最短，问安排预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？【答案】(1)甲、乙两队单独完成这项工程分别需120天、180天(2)工程预算的施工费用不够用，需追加预算8万元【解析】试题分析：（1）首先表示出甲、乙两队需要的天数，进而利用由甲队先做20天，剩下的工程再由甲、乙两队合作60天完成得出等式求出答案；（2）首先求出两队合作需要的天数，进而求出答案．试题解析：解：（1）设乙队单独完成这项工程需要x 天，则甲队单独完成这项工程需要23x 天． 根据题意，得201160()12233x x x ++=，解得：x =180．经检验，x =180是原方程的根，∴23x =23×180=120，答：甲、乙两队单独完成这项工程分别需120天和180天；（2）设甲、乙两队合作完成这项工程需要y 天，则有11()1120180y +=，解得 y =72． 需要施工费用：72×（8.6+5.4）=1008（万元）．∵1008＞1000，∴工程预算的施工费用不够用，需追加预算8万元．点睛：此题主要考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，正确得出等量关系是解题关键．3．小明家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司，合做需6周完成，需工钱5.2万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周才能完成，需工钱4.8万元，若只选一个公司单独完成，从节约开支角度考虑，小明家是选甲公司、还是乙公司请你说明理由．【答案】从节约开支角度考虑，应选乙公司单独完成【解析】试题分析：需先算出甲乙两公司独做完成的周数．等量关系为：甲6周的工作量+乙6周的工作量=1；甲4周的工作量+乙9周的工作量=1；还需算出甲乙两公司独做需付的费用．等量关系为：甲做6周所需钱数+乙做6周所需钱数=5.2；甲做4周所需钱数+乙做9周所需钱数=4.8．试题解析：解：设甲公司单独完成需x 周，需要工钱a 万元，乙公司单独完成需y 周，需要工钱b 万元．依题意得：661491x y x y⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得：1015x y =⎧⎨=⎩． 经检验：1015x y =⎧⎨=⎩是方程组的根，且符合题意． 又6() 5.2101549 4.81015a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪⨯+⨯=⎪⎩，解得：64a b =⎧⎨=⎩． 即甲公司单独完成需工钱6万元，乙公司单独完成需工钱4万元．答：从节约开支角度考虑，应选乙公司单独完成． 点睛：本题主要考查分式的方程的应用，根据题干所给的等量关系求出两公司单独完成所需时间和工钱，然后比较应选择哪个公司． 4．阅读下面的解题过程： 已知2112x x =+，求241x x +的值。
【精选】八年级上册分式解答题(篇)(Word版 含解析)
解：设规定期限x天完成，则有：
，
解得x=20．
经检验得出x=20是原方程的解；
答：规定期限20天．
方案（1）：20×1.5=30（万元）
方案（2）：25×1.1=27.5（万元 ），
方案（3）：4×1.5＋1.1×20=28（万元）．
所以在不耽误工期的前提下，选第三种施工方案最节省工程款．
所以方案（3）最节省．
【答案】王老师的步行速度是 ，则王老师骑自行车的速度是 .
【解析】
【分析】
王老师接小刚上学走的路程÷骑车的速度-平时上班走的路程÷步行的速度= 小时．
【详解】
设王老师的步行速度是 ，则王老师骑自行车是 ，
由题意可得： ，解得： ，
经检验， 是原方程的根，
∴
答：王老师的步行速度是 ，则王老师骑自行车的速度是 .
试题解析：
（ ）∵a2b2=b2a2，∴a2b2是对称式，
∵a2-b2≠b2－a2，∴a2－b2不是对称式，
∵ + = + ，∴ + 是对称式，
∴①、③是对称式；
（ ）①∵（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab=x2+mx+n，
∴a+b=m，ab=n，
∵m=－2 ，n= ，
∴ + = = = = =2 －2；
（2）两人到达滨江大道后约定先跑1000米再休息.小强的跑步速度是小明跑步速度的 倍，两人在同起点，同时出发，结果小强先到目的地 分钟．
①当 ， 时，求小强跑了多少分钟？
②小明的跑步速度为_______米/分（直接用含 的式子表示）．
【答案】（1）小强的速度为80米/分，小明的速度为300米/分；（2）①小强跑的时间为3分；② ．
【精选】人教版八年级数学上册 分式解答题检测题(Word版 含答案)
一、八年级数学分式解答题压轴题（难）1．如图，小刚家、王老师家、学校在同一条路上，小刚家到王老师家的路程为3千米，王老师家到学校的路程为0.5千米.由于小刚的父母战斗在抗震救灾第一线，为了使他能按时到校，王老师每天骑自行车送小刚上学.已知王老师骑自行车的速度是步行的3倍，每天比平时步行上班多用了20分钟，问王老师的步行速度及骑自行车的速度各是多少？【答案】王老师的步行速度是5km /h ，则王老师骑自行车的速度是15km /h . 【解析】 【分析】王老师接小刚上学走的路程÷骑车的速度-平时上班走的路程÷步行的速度=2060小时． 【详解】设王老师的步行速度是km /h x ，则王老师骑自行车是3km /h x ， 由题意可得：330.50.520360x x ++-=，解得：5x =， 经检验，5x =是原方程的根， ∴315x =答：王老师的步行速度是5km /h ，则王老师骑自行车的速度是15km /h . 【点睛】本题考查列分式方程解应用题.重点在于准确地找出相等关系，需注意①王老师骑自行车接小刚所走路程是（3+3+0.5）千米；②注意单位要统一.2．已知分式A=2344(1)11a a a a a -++-÷--. (1) 化简这个分式；(2) 当a ＞2时，把分式A 化简结果的分子与分母同时．．加上3后得到分式B ，问：分式B 的值较原来分式A 的值是变大了还是变小了？试说明理由.(3) 若A 的值是整数，且a 也为整数，求出符合条件的所有a 值的和. 【答案】（1）22a A a +=-；（2）变小了，理由见解析；（3）符合条件的所有a 值的和为11.【解析】分析：（1）分解因式，再通分化简.(2)用作差法比较二者大小关系.(3)先分离常数，再尝试让分子能被分母整除. 详解：（1）A =2344111a a a a a -+⎛⎫+-÷⎪--⎝⎭=()()()2113211a a a a a -+--÷--=22a a +-. （2）变小了，理由如下：()()()()()()()()21522512212121a a a a a a A B a a a a a a ++-+-++-=-==-+-+-+ .∵a ＞2 ∴a -2＞0，a+1＞0，∴()()1221A B a a -=-+＞0，即A ＞B(3) 24122a A a a +==+-- 根据题意，21,2,4a -=±±± 则a =1、0、-2、3、4、6， 又1a ≠ ∴0+（-2）+3+4+6=11 , 即：符合条件的所有a 值的和为11. 点睛：比较大小的方法：（1）作差比较法：0a b a b ->>;0a b a b -<⇒<(a b ，可以是数，也可以是一个式子)（2）作商比较法：若a ＞0，b ＞0，且1a b >，则a ＞b ；若a ＜0，b ＜0，且1ab>，则a ＜b ．3．“绿色环保，健康出行”新能源汽车越来越占领汽车市场，以“北汽”和“北汽 新能源 EV500”为例，分别在某加油站和某充电站加油和充电的电费均为 300 元，而续 航里程之比则为 1∶4．经计算新能源汽车相比燃油车节约 0.6 元/公里． （1）分别求出燃油车和新能源汽车的续航单价（每公里费用）；（2）随着更多新能源车进入千家万户，有条件的小区及用户将享受 0.48 元/度的优惠专用电费．以新能源 EV500 为例，充电 55 度可续航 400 公里，试计算每公里所需电费， 并求出与燃油车相同里程下的所需费用（油电）百分比． 【答案】（1）燃油车0.8；新能源汽车0.2；（2）8.25% 【解析】 【分析】（1）设新能源汽车续航单价为x 元/公里，则燃油车续航单价为（x+0.6）元/公里，根据等量关系式：新能源汽车续航里程：燃油车续航里程=4∶1，列出方程，解之即可. （2）根据总价=单价×数量可得新能源汽车400公里所需费用，再用此费用÷总公里数即可得新能源汽车每公里所需电电费；由（1）知燃油汽车每公里费用，用此费用乘以总公里数可得燃油汽车总费用，再用新能源汽车的总费用÷燃油车相同里程下的所需费用即可得答案. 【详解】解：（1）设新能源汽车续航单价为x 元/公里，则燃油车续航单价为（x+0.6）元/公里，依题可得：300x ：3000.6x + =4：1， 解得：x=0.2，∴燃油车续航单价为：x+0.6=0.2+0.6=0.8（元/公里），答：新能源汽车续航单价为0.2元/公里，燃油车续航单价为0.8元/公里. （2）依题可得新能源汽车400公里所需费用为： 0.48×55=26.4（元），∴新能源汽车每公里所需电电费为： 26.4÷400=0.066（元/公里），依题可得燃油汽车400公里所需费用为： 400×0.8=320（元），∴新能源汽车与燃油车相同里程下的所需费用（油电）百分比为： 26.4÷320=0.0825=8.25%.答：新能源汽车每公里所需电电费为0.066元；新能源汽车与燃油车相同里程下的所需费用（油电）百分比为8.25%. 【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．4．为了迎接运动会，某校八年级学生开展了“短跑比赛”。
八年级数学上册全册全套试卷(提升篇)(Word版 含解析)
八年级数学上册全册全套试卷（提升篇）（Word版含解析）一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）1．在平面直角坐标系中，直线AB分别交x轴，y轴于A（a，0），B（0，b），且满足a2+b2+4a﹣8b+20＝0．（1）求a，b的值；（2）点P在直线AB的右侧；且∠APB＝45°，①若点P在x轴上（图1），则点P的坐标为；②若△ABP为直角三角形，求P点的坐标．【答案】（1）a＝﹣2，b＝4；（2）①（4，0）；②P点坐标为（4，2），（2，﹣2）．【解析】【分析】（1）利用非负数的性质解决问题即可．（2）①根据等腰直角三角形的性质即可解决问题．②分两种情形：如图2中，若∠ABP=90°，过点P作PC⊥OB，垂足为C．如图3中，若∠BAP=90°，过点P作PD⊥OA，垂足为D．分别利用全等三角形的性质解决问题即可．【详解】（1）∵a2+4a+4+b2﹣8b+16＝0∴（a+2）2+（b﹣4）2＝0∴a＝﹣2，b＝4．（2）①如图1中，∵∠APB＝45°，∠POB＝90°，∴OP＝OB＝4，∴P（4，0）．故答案为（4，0）．②∵a＝﹣2，b＝4∴OA＝2OB＝4又∵△ABP为直角三角形，∠APB＝45°∴只有两种情况，∠ABP＝90°或∠BAP＝90°①如图2中，若∠ABP＝90°，过点P作PC⊥OB，垂足为C．∴∠PCB＝∠BOA＝90°，又∵∠APB＝45°，∴∠BAP＝∠APB＝45°，∴BA＝BP，又∵∠ABO+∠OBP＝∠OBP+∠BPC＝90°，∴∠ABO＝∠BPC，∴△ABO≌△BPC（AAS），∴PC＝OB＝4，BC＝OA＝2，∴OC＝OB﹣BC＝4﹣2＝2，∴P（4，2）．②如图3中，若∠BAP＝90°，过点P作PD⊥OA，垂足为D．∴∠PDA＝∠AOB＝90°，又∵∠APB＝45°，∴∠ABP＝∠APB＝45°，∴AP＝AB，又∵∠BAD+∠DAP＝90°，∠DPA+∠DAP＝90°，∴∠BAD＝∠DPA，∴△BAO≌△APP（AAS），∴PD＝OA＝2，AD＝OB＝4，∴OD＝AD﹣0A＝4﹣2＝2，∴P（2，﹣2）．综上述，P点坐标为（4，2），（2，﹣2）．本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．2．如图，在ABC ∆中，ACB ∠为锐角，点D 为射线BC 上一动点，连接AD .以AD 为直角边且在AD 的上方作等腰直角三角形ADF .（1）若AB AC =，90BAC ∠=︒①当点D 在线段BC 上时（与点B 不重合），试探讨CF 与BD 的数量关系和位置关系； ②当点D 在线段C 的延长线上时，①中的结论是否仍然成立，请在图2中面出相应的图形并说明理由；（2）如图3，若AB AC ≠，90BAC ∠≠︒，45BCA ∠=︒，点D 在线段BC 上运动，试探究CF 与BD 的位置关系.【答案】（1）①CF ⊥BD ，证明见解析；②成立，理由见解析；（2）CF ⊥BD ，证明见解析.【解析】【分析】（1）①根据同角的余角相等求出∠CAF=∠BAD ，然后利用“边角边”证明△ACF 和△ABD 全等，②先求出∠CAF=∠BAD ，然后与①的思路相同求解即可；（2）过点A 作AE ⊥AC 交BC 于E ，可得△ACE 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AC=AE ，∠AED=45°，再根据同角的余角相等求出∠CAF=∠EAD ，然后利用“边角边”证明△ACF 和△AED 全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ACF=∠AED ，然后求出∠BCF=90°，从而得到CF ⊥BD ．【详解】解：（1）①∵∠BAC=90°，△ADF 是等腰直角三角形，∴∠CAF+∠CAD=90°，∠BAD+∠ACD=90°，∴∠CAF=∠BAD ，在△ACF 和△ABD 中，∵AB=AC ，∠CAF=∠BAD ，AD=AF ，∴△ACF ≌△ABD(SAS)，∴CF=BD ，∠ACF=∠ABD=45°，∵∠ACB=45°，∴∠FCB=90°，②成立，理由如下：如图2：∵∠CAB=∠DAF=90°，∴∠CAB+∠CAD=∠DAF+∠CAD，即∠CAF=∠BAD，在△ACF和△ABD中，∵AB=AC，∠CAF=∠BAD，AD=AF，∴△ACF≌△ABD(SAS)，∴CF=BD，∠ACF=∠B，∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠B=∠ACB=45°，∴∠BCF=∠ACF+∠ACB=45°+45°=90°，∴CF⊥BD；（2）如图3，过点A作AE⊥AC交BC于E，∵∠BCA=45°，∴△ACE是等腰直角三角形，∴AC=AE，∠AED=45°，∵∠CAF+∠CAD=90°，∠EAD+∠CAD=90°，∴∠CAF=∠EAD，在△ACF和△AED中，∵AC=AE，∠CAF=∠EAD，AD=AF，∴△ACF≌△AED(SAS)，∴∠ACF=∠AED=45°，∴∠BCF=∠ACF+∠BCA=45°+45°=90°，∴CF⊥BD．本题考查全等三角形的动点问题，综合性较强，有一定难度，需要熟练掌握全等三角形的判定和性质进行综合运用.3．如图，在平面直角坐标系中，A、B坐标为()6,0、()0,6，P为线段AB上的一点．（1）如图1，若P为AB的中点，点M、N分别是OA、OB边上的动点，且保持AM ON=，则在点M、N运动的过程中，探究线段PM、PN之间的位置关系与数量关系，并说明理由．（2）如图2，若P为线段AB上异于A、B的任意一点，过B点作BD OP⊥，交OP、OA分别于F、D两点，E为OA上一点，且PEA BDO=∠∠，试判断线段OD与AE的数量关系，并说明理由．【答案】（1）PM=PN，PM⊥PN，理由见解析；（2）OD=AE，理由见解析【解析】【分析】（1）连接OP．只要证明△PON≌△PAM即可解决问题；（2）作AG⊥x轴交OP的延长线于G．由△DBO≌△GOA，推出OD=AG，∠BDO=∠G，再证明△PAE≌△PAG即可解决问题；【详解】（1）结论：PM=PN，PM⊥PN．理由如下：如图1中，连接OP．∵A、B坐标为（6，0）、（0，6），∴OB=OA=6，∠AOB=90°，∵P为AB的中点，∴OP=12AB=PB=PA，OP⊥AB，∠PON=∠PAM=45°，∴∠OPA=90°，在△PON和△PAM中，ON AMPON PAMOP AP=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△PON≌△PAM（SAS），∴PN=PM ，∠OPN=∠APM ，∴∠NPM=∠OPA=90°，∴PM ⊥PN ，PM=PN ．（2）结论：OD=AE ．理由如下：如图2中，作AG ⊥x 轴交OP 的延长线于G ．∵BD ⊥OP ，∴∠OAG=∠BOD=∠OFD=90°，∴∠ODF+∠AOG=90°，∠ODF+∠OBD=90°，∴∠AOG=∠DBO ，∵OB=OA ，∴△DBO ≌△GOA ，∴OD=AG ，∠BDO=∠G ，∵∠BDO=∠PEA ，∴∠G=∠AEP ，在△PAE 和△PAG 中，AEP G PAE PAG AP AP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△PAE ≌△PAG （AAS ），∴AE=AG ，∴OD=AE ．【点睛】考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、坐标与图形性质、直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．4．如图1，已知CF 是△ABC 的外角∠ACE 的角平分线，D 为CF 上一点，且DA ＝DB ．（1）求证：∠ACB ＝∠ADB ；（2）求证：AC +BC ＜2BD ；（3）如图2，若∠ECF ＝60°，证明：AC ＝BC +CD ．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析.【解析】【分析】（1）过点D 分别作AC ，CE 的垂线，垂足分别为M ，N ，证明Rt △DAM ≌Rt △DBN ，得出∠DAM=∠DBN ，则结论得证；（2）证明Rt △DMC ≌Rt △DNC ，可得CM=CN ，得出AC+BC=2BN ，又BN ＜BD ，则结论得证；（3）在AC 上取一点P ，使CP=CD ，连接DP ，可证明△ADP ≌△BDC ，得出AP=BC ，则结论可得出．【详解】（1）证明：过点D 分别作AC ，CE 的垂线，垂足分别为M ，N ，∵CF 是△ABC 的外角∠ACE 的角平分线，∴DM ＝DN ，在Rt △DAM 和Rt △DBN 中，DA DB DM DN =⎧⎨=⎩， ∴Rt △DAM ≌Rt △DBN （HL ），∴∠DAM ＝∠DBN ，∴∠ACB ＝∠ADB ；（2）证明：由（1）知DM ＝DN ，在Rt △DMC 和Rt △DNC 中，DC DCDM DN=⎧⎨=⎩，∴Rt△DMC≌Rt△DNC（HL），∴CM＝CN，∴AC+BC＝AM+CM+BC＝AM+CN+BC＝AM+BN，又∵AM＝BN，∴AC+BC＝2BN，∵BN＜BD，∴AC+BC＜2BD．（3）由（1）知∠CAD＝∠CBD，在AC上取一点P，使CP＝CD，连接DP，∵∠ECF＝60°，∠ACF＝60°，∴△CDP为等边三角形，∴DP＝DC，∠DPC＝60°，∴∠APD＝120°，∵∠ECF＝60°，∴∠BCD＝120°，在△ADP和△BDC中，APD BCDPAD CBDDA DB∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADP≌△BDC（AAS），∴AP＝BC，∵AC＝AP+CP，∴AC＝BC+CP，∴AC＝BC+CD．【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．5．如图，在边长为 4 的等边△ABC 中，点 D 从点A 开始在射线 AB 上运动，速度为 1 个单位/秒，点F 同时从 C 出发，以相同的速度沿射线 BC 方向运动，过点D 作 DE⊥AC，连结DF 交射线 AC 于点 G(1)当 DF⊥AB 时，求 t 的值；(2)当点 D 在线段 AB 上运动时，是否始终有 DG=GF?若成立，请说明理由。
八年级上册分式解答题(篇)(Word版 含解析)
一、八年级数学分式解答题压轴题（难） 1．阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当0a >，0b >时，∵2()20a b a ab b -=-+≥，∴2a b ab +≥，当且仅当a b =时取等号．请利用上述结论解决以下问题：(1)当0x >时，1x x +的最小值为_______；当0x <时，1x x+的最大值为__________． (2)当0x >时，求2316x x y x++=的最小值． (3)如图，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，△AOB 、△COD 的面积分别为4和9，求四边形ABCD 面积的最小值．【答案】（1）2，-2；（2）11；（3）25【解析】【分析】（1）当x ＞0时，按照公式ab a=b 时取等号）来计算即可；x ＜0时，由于-x ＞0，-1x＞0，则也可以按照公式ab a=b 时取等号）来计算； （2）将2316x x y x++=的分子分别除以分母，展开，将含x 的项用题中所给公式求得最小值，再加上常数即可；（3）设S △BOC =x ，已知S △AOB =4，S △COD =9，则由等高三角形可知：S △BOC ：S △COD =S △AOB ：S △AOD ，用含x 的式子表示出S △AOD ，四边形ABCD 的面积用含x 的代数式表示出来，再按照题中所给公式求得最小值，加上常数即可．【详解】解：（1）当x ＞0时，112x x x x +≥⋅= 当x ＜0时，11x x x x ⎛⎫+=--- ⎪⎝⎭ ∵()1122x x x x ⎛⎫--≥-⋅-= ⎪⎝⎭∴12x x ⎛⎫---≤- ⎪⎝⎭∴当0x >时，1x x +的最小值为2；当0x <时，1x x+的最大值为-2； （2）由2316163x x y x x x++==++ ∵x ＞0，∴163311y x x =++≥= 当16x x= 时，最小值为11； （3）设S △BOC =x ，已知S △AOB =4，S △COD =9则由等高三角形可知：S △BOC ：S △COD =S △AOB ：S △AOD∴x ：9=4：S △AOD∴：S △AOD =36x∴四边形ABCD 面积=4+9+x+361325x ≥+= 当且仅当x=6时取等号，即四边形ABCD 面积的最小值为25．【点睛】本题考查了配方法在最值问题中的应用，同时本题还考查了分式化简和等高三角形的性质，本题难度中等略大．2．我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如：76112333+==+. 在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”. 例如：像33x x -+，23x x -，…这样的分式是假分式；像23x -，23x x-，…这样的分式是真分式. 类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和（差）的形式. 例如：将分式2253x x x +-+拆分成一个整式与一个真分式的和（差）的形式. 方法一：解：由分母为3x +，可设225(3)()x x x x a b +-=+++则由22225(3)()33(3)(3)x x x x a b x ax x a b x a x a b +-=+++=++++=++++ 对于任意x ，上述等式均成立，∴3235a a b +=⎧⎨+=-⎩，解得12a b =-⎧⎨=-⎩∴225(3)(1)2(3)(1)22133333x x x x x x x x x x x x +-+--+-==-=--+++++ 这样，分式2253x x x +-+就被拆分成一个整式与一个真分式的和（差）的形式. 方法二：解：2225332(3)(3)2(3)32213333333x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +-+---+-+-++===--=--+++++++ 这样，分式2253x x x +-+就拆分成一个整式与一个真分式的和（差）的形式. （1）请仿照上面的方法，选择其中一种方法将分式2731x x x ---拆分成一个整式与一个真分式的和（差）的形式；（2）已知整数x 使分式225112x x x +-+的值为整数，求出满足条件的所有整数x 的值. 【答案】（1）961x x ---；（2）x=-1或-3或11或-15. 【解析】【分析】 （1）先变形2731x x x ---=26691x x x x --+--，由“真分式”的定义，仿照例题即可得出结论；（2）先把分式化为真分式，再根据分式的值为整数确定整数x 的值．【详解】解：（1）2731x x x ---=26691x x x x --+-- =(1)6(1)91x x x x ----- =961x x ---； （2）225112x x x +-+= 2242132x x x x +++-+ =2(2)(2)132x x x x +++-+ =13212x x +-+， ∵x 是整数，225112x x x +-+也是整数， ∴x+2=1或x+2=-1或x+2=13或x+2=-13，∴x=-1或-3或11或-15.【点睛】本题考查了逆用整式和分式的加减法对分式进行变形．解决本题的关键是理解真分式的定义对分子进行拆分．3．一件工程，甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的23；若由甲队先做 20 天，剩下的工程再由甲、乙两队合作 60天完成．(1)求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？(2)已知甲队每天的施工费用为 8.6 万元，乙队每天的施工费用为 5.4 万元，工程预算的施工费用为 1000 万元，若在甲、乙工程队工作效率不变的情况下使施工时间最短，问安排预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？【答案】(1)甲、乙两队单独完成这项工程分别需120天、180天(2)工程预算的施工费用不够用，需追加预算8万元【解析】试题分析：（1）首先表示出甲、乙两队需要的天数，进而利用由甲队先做20天，剩下的工程再由甲、乙两队合作60天完成得出等式求出答案；（2）首先求出两队合作需要的天数，进而求出答案．试题解析：解：（1）设乙队单独完成这项工程需要x天，则甲队单独完成这项工程需要23x天．根据题意，得201160()12233x x x++=，解得：x=180．经检验，x=180是原方程的根，∴23x=23×180=120，答：甲、乙两队单独完成这项工程分别需120天和180天；（2）设甲、乙两队合作完成这项工程需要y天，则有11()1120180y+=，解得y=72．需要施工费用：72×（8.6+5.4）=1008（万元）．∵1008＞1000，∴工程预算的施工费用不够用，需追加预算8万元．点睛：此题主要考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，正确得出等量关系是解题关键．4．已知分式A=2344 (1)11a aaa a-+ +-÷--.(1) 化简这个分式；(2) 当a＞2时，把分式A化简结果的分子与分母同时．．加上3后得到分式B，问：分式B的值较原来分式A 的值是变大了还是变小了？试说明理由.(3) 若A 的值是整数，且a 也为整数，求出符合条件的所有a 值的和.【答案】（1）22a A a +=-；（2）变小了，理由见解析；（3）符合条件的所有a 值的和为11.【解析】分析：（1）分解因式，再通分化简.(2)用作差法比较二者大小关系.(3)先分离常数，再尝试让分子能被分母整除.详解： （1）A =2344111a a a a a -+⎛⎫+-÷ ⎪--⎝⎭=()()()2113211a a a a a -+--÷--=22a a +-. （2）变小了，理由如下：()()()()()()()()21522512212121a a a a a a A B a a a a a a ++-+-++-=-==-+-+-+ . ∵a ＞2 ∴a -2＞0，a+1＞0，∴()()1221A B a a -=-+＞0，即A ＞B (3) 24122a A a a +==+-- 根据题意，21,2,4a -=±±± 则a =1、0、-2、3、4、6， 又1a ≠ ∴0+（-2）+3+4+6=11 ,即：符合条件的所有a 值的和为11.点睛：比较大小的方法：（1）作差比较法：0a b a b ->>;0a b a b -<⇒<(a b ，可以是数，也可以是一个式子)（2）作商比较法：若a ＞0，b ＞0，且1a b >，则a ＞b ；若a ＜0，b ＜0，且1a b>，则a ＜b ．5．某一工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书．甲工程队施工一天，需付工程款1万元；乙工程队施工一天，需付工程款0.6万元．根据甲、乙工程队的投标书测算，可有三种施工方案：（A ）甲队单独完成这项工程，刚好如期完成；（B ）乙队单独完成这项工程要比规定工期多用4天；（C ）若甲、乙两队合做3天后，剩下的工程由乙队单独做，也正好如期完工．为了节省工程款，同时又能如期完工，你认为应选择哪一种方案？并说明理由．【答案】为了节省工程款，同时又能如期完工，应选C 方案．【解析】试题分析：设完成工程规定工期为x 天，根据等量关系：甲、乙两队合做3天后，剩下的工程由乙队单独做，也正好如期完工，列方程，求解即可得到甲、乙工程队单独完成所需的天数，然后求出每种方案所需的工程款，比较即可得出结论． 试题解析：解：设完成工程规定工期为x 天，依题意得：1133()144x xx x -++=++ 解得：x =12． 经检验，x =12符合原方程和题意，∴x +4=16．∴甲工程队单独完成需12天，乙工程队单独完成需16天．∵B 方案不能按时完成，∴要舍弃．A 方案的工程款为12×1=12（万元），C 方案的工程款为3×1＋12×0.6=10.2（万元）， ∴应选C 方案．答：为了节省工程款，同时又能如期完工，应选C 方案．6．（1）请你写出五个正的真分数，____，____，____，____，____，给每个分数的分子和分母加上同一个正数得到五个新分数：____，____，____，_____，____.（2）比较原来每个分数与对应新分数的大小，可以得出下面的结论：一个真分数是a b （a 、b 均为正数），给其分子分母同加一个正数m ，得a m b m++，则两个分数的大小关系是a mb m ++_____a b . （3）请你用文字叙述（2）中结论的含义：（4）你能用图形的面积说明这个结论吗？（5）解决问题：如图1，有一个长宽不等的长方形绿地，现给绿地四周铺一条宽相等的路，问原来的长方形与现在铺过小路后的长方形是否相似？为什么？（6）这个结论可以解释生活中的许多现象，解决许多生活与数学中的问题.请你再提出一个类似的数学问题，或举出一个生活中与此结论相关例子.【答案】(1) 12；14；16；18；19；23；25；27；29；15；（2）＞；（3）给一个正的真分数的分子、分母同加一个正数，得到的新分数大于原来的分数；（4）答案见解析；（5）不相似，理由见解析；（6）答案见解析.【解析】【分析】（1）小于1的数叫做真分数；（2）根据实例易得规律；（3）抓住新分数大于原分数即可；（4）根据图形进行分析解答；（5）利用相关规律解决问题即可；（6）结合生活中的现象进行解答.【详解】 解：（1）12、14、16、18、19，23、25、27、29、15；（2）a m a b m b+>+； （3）给一个正的真分数的分子、分母同加一个正数，得到的新分数大于原来的分数； （4）思路1：如图2所示，由a b <，得12s s s s +>+，即ab bm ab am +>+，()().a b m b a m +=+，可推出a m a b m b+>+； 思路2：构造两个面积为1的长方形（如图3），将它们分成两部分，比较右侧的两个长方形面积可以发现：1a b a b b --=，1a m b a b m b m+--=++，因为a 、b 、0m >，且a b <，故1a b - 1a m b m +>-+，即a m a b m b+>+ （5）不相似.因为两个长方形长与宽的比值不相等；（6）数学问题举例：①若a b是假分数，会有怎样的结论？ ②a 、b 不是正数，或不全是正数，情况如何？【点睛】本题实际考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键.7．为了践行“绿色低碳出行，减少雾霾”的使命，小红上班的交通方式由驾车改为骑自行车，小红家距单位的路程是20千米，在相同的路线上，小红驾车的速度是骑自行车速度的4倍，小红每天骑自行车上班比驾车上班要早出发45分钟，才能按原时间到达单位，求小红骑自行车的速度．【答案】小红骑自行车的速度是每小时20千米.【解析】【分析】设骑自行车的速度为x 千米/时，则驾车的速度为4x 千米/时．依据“小王每天骑自行车上班比驾车上班要早出发45分钟”列出方程并解答．【详解】解：设小红骑自行车的速度是每小时x 千米，则驾车的速度是每小时4x 千米.根据题意得：202045460x x =+ 解得x ＝20经检验x ＝20是分式方程的解，并符合实际意义答：小红骑自行车的速度是每小时20千米.【点睛】本题考查了分式方程的应用．利用分式方程解应用题时，一般题目中会有两个相等关系，这时要根据题目所要解决的问题，选择其中的一个相等关系作为列方程的依据，而另一个则用来设未知数．8．“节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也给自行车商家带来商机．某自行车行经营的A 型自行车去年销售总额为8万元．今年该型自行车每辆售价预计比去年降低200元．若该型车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将比去年减少10%，求：（1）A 型自行车去年每辆售价多少元；（2）该车行今年计划新进一批A 型车和新款B 型车共60辆，且B 型车的进货数量不超过A 型车数量的两倍．已知，A 型车和B 型车的进货价格分别为1500元和1800元，计划B 型车销售价格为2400元，应如何组织进货才能使这批自行车销售获利最多．【答案】(1) 2000元；（2） A 型车20辆，B 型车40辆．【解析】【分析】（1）设去年A 型车每辆售价x 元，则今年售价每辆为（x ﹣200）元，由卖出的数量相同列出方程求解即可；（2）设今年新进A 型车a 辆，则B 型车（60﹣a ）辆，获利y 元，由条件表示出y 与a 之间的关系式，由a 的取值范围就可以求出y 的最大值．【详解】解：（1）设去年A 型车每辆售价x 元，则今年售价每辆为（x ﹣200）元，由题意，得 8000080000(110%)200x x -=-， 解得：x=2000．经检验，x=2000是原方程的根．答：去年A型车每辆售价为2000元；（2）设今年新进A型车a辆，则B型车（60﹣a）辆，获利y元，由题意，得y=a+（60﹣a），y=﹣300a+36000．∵B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，∴60﹣a≤2a，∴a≥20．∵y=﹣300a+36000．∴k=﹣300＜0，∴y随a的增大而减小．∴a=20时，y最大=30000元．∴B型车的数量为：60﹣20=40辆．∴当新进A型车20辆，B型车40辆时，这批车获利最大．【点睛】本题考查分式方程的应用；一元一次不等式的应用．9．某县为落实“精准扶贫惠民政策”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成;若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的1．5倍．如果由甲、乙队先合作施工15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需5天．(1)这项工程的规定时间是多少天?(2)为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙两队合作完成．则甲、乙两队合作完成该工程需要多少天?【答案】（1）这项工程的规定时间是30天；（2）甲乙两队合作完成该工程需要18天．【解析】【分析】(1)设这项工程的规定时间是x天，则甲队单独施工需要x天完工，乙队单独施工需要1.5x 天完工，依题意列方程即可解答；（2）求出甲、乙两队单独施工需要的时间，再根据题意列方程即可.【详解】(1)设这项工程的规定时间是x天，则甲队单独施工需要x天完工，乙队单独施工需要1.5x天完工，依题意，得: 1551511.5x x++=．解得: 30x=，经检验，30x=是原方程的解，且符合题意．答:这项工程的规定时间是30天．(2)由(1)可知:甲队单独施工需要30天完工，乙队单独施工需要45天完工，11÷+=（天），1()183045答:甲乙两队合作完成该工程需要18天．【点睛】本题考查分式方程的应用，理解题意，根据等量关系列出方程是解题的关键.10．某商场计划购进一批甲、乙两种玩具，已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为40元，用90元购进甲种玩具的件数与用150元购进乙种玩具的件数相同．（1）求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元？（2）商场计划购进甲、乙两种玩具共48件，其中甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数，商场决定此次进货的总资金不超过1000元，求商场共有几种进货方案？【答案】（1）甲，乙两种玩具分别是15元/件，25元/件；（2）共有四种方案．【解析】【分析】（1）设甲种玩具进价x元/件，则乙种玩具进价为（40﹣x）元/件，根据已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为40元，用90元购进甲种玩具的件数与用150元购进乙种玩具的件数相同可列方程求解．（2）设购进甲种玩具y件，则购进乙种玩具（48﹣y）件，根据甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数，商场决定此次进货的总资金不超过1000元，可列出不等式组求解．【详解】解：设甲种玩具进价x元/件，则乙种玩具进价为（40﹣x）元/件，x=15，经检验x=15是原方程的解．∴40﹣x=25．甲，乙两种玩具分别是15元/件，25元/件；（2）设购进甲种玩具y件，则购进乙种玩具（48﹣y）件，，解得20≤y＜24．因为y是整数，甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数，∴y取20，21，22，23，共有4种方案．考点：分式方程的应用；一元一次不等式组的应用．。
人教版八年级上册数学 分式解答题(提升篇)(Word版 含解析)
1．阅读下面材料并解答问题
材料：将分式 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
解：由分母为 ，可设 ，
则
∵对任意 上述等式均成立，
∴ 且 ，∴ ，
∴
这样，分式 被拆分成了一个整式 与一个分式 的和
解答：（1）将分式 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式
（2）1月6日甲与丙去攀登另一座h米高的山，甲保持第（1）问中的速度不变，比丙晚出发0.5小时，结果两人同时到达顶峰，问甲的平均攀登速度是丙的多少倍？（用含h的代数式表示）
【答案】（1）甲的平均攀登速度是12米/分钟；（2） 倍.
【解析】
【分析】
（1）根据题意可以列出相应的分式方程，从而可以求得甲的平均攀登速度；
【详解】
（1）原式
；
（2）根据题意得：
解之得：
经检验： 是原分式方程的解
所以 的值为5.
【点睛】
此题考察分式的计算，分式方程的求解，依据题意正确列式是解此题的关键.
6．我们知道：分式和分数有着很多的相似点.如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质；类比分数的运算法则，我们得到了分式的运算法则等等.小学里，把分子比分母小的分数叫做真分数.类似地，我们把分子整式的次数小于分母整式的次数的分式称为真分式；反之，称为假分式.对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式，
（2）设小王步行的速度为每小时 ，然后根据“步行时间+乘公交时间=小时”列方程解答即可.
【详解】
解（1）设小王用自驾车上班平均每小时行驶 ，则他乘坐公交车上班平均每小时行驶 .根据题意得：
解得：
经检验， 是原方程的解且符合题意.
人教版八年级数学上册 分式解答题单元检测(提高,Word版 含解析)
一、八年级数学分式解答题压轴题（难）1．已知：方程﹣=﹣的解是x=，方程﹣=﹣的解是x=，试猜想：（1）方程+=+的解；（2）方程﹣=﹣的解（a、b、c、d表示不同的数）．【答案】（1）x=4；（2）x=．【解析】通过解题目中已知的两个方程的过程可以归纳出方程的解与方程中的常数之间的关系，利用这个关系可得出两个方程的解．解：解方程﹣=﹣，先左右两边分别通分可得：，化简可得：，整理可得：2x=15﹣8，解得：x=，这里的7即为（﹣3）×（﹣5）﹣（﹣2）×（﹣4），这里的2即为[﹣2+（﹣4）]﹣[﹣3+（﹣5）]；解方程﹣=﹣，先左右两边分别为通分可得：，化简可得：，解得：x=，这里的11即为（﹣7）×（﹣5）﹣（﹣4）×（﹣6），这里的2即为[﹣4+（﹣6）]﹣[﹣7+（﹣5）]；所以可总结出规律：方程解的分子为右边两个分中的常数项的积减去左边两个分母中的常数项的积，解的分母为左边两个分母中的常数项的差减去右边两个分母中常数项的差．（1）先把方程分为两边差的形式：方程﹣=﹣，由所总结的规律可知方程解的分子为：（﹣1）×（﹣6）﹣（﹣7）×（﹣2）=﹣8，分母为[﹣7+（﹣2）]﹣[﹣6+（﹣1）]=﹣2，所以方程的解为x==4；（2）由所总结的规律可知方程解的分子为：cd﹣ab，分母为（a+b）﹣（c+d），所以方程的解为x=．2．某开发公司生产的 960 件新产品需要精加工后，才能投放市场，现甲、乙两个工厂都想加工这批产品，已知甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用 20天，而甲工厂每天加工的数量是乙工厂每天加工的数量的23，公司需付甲工厂加工费用为每天 80 元，乙工厂加工费用为每天 120 元．（1）甲、乙两个工厂每天各能加工多少件新产品？（2）公司制定产品加工方案如下：可以由每个厂家单独完成，也可以由两个厂家合作完成．在加工过程中，公司派一名工程师每天到厂进行技术指导，并负担每天 15 元的午餐补助费，请你帮公司选择一种既省时又省钱的加工方案，并说明理由．【答案】（1）甲工厂每天加工 16 件产品，乙工厂每天加工 24 件产品. （2）甲、乙两工厂合作完成此项任务既省时又省钱．见解析．【解析】【分析】（1）设甲工厂每天加工 x 件新品，乙工厂每天加工 1.5x 件新品，根据题意找出等量关系：甲厂单独加工这批产品所需天数﹣乙工厂单独加工完这批产品所需天数＝20，由等量关系列出方程求解．（2）分别计算出甲单独加工完成、乙单独加工完成、甲、乙合作完成需要的时间和费用，比较大小，选择既省时又省钱的加工方案即可．【详解】（1）设甲工厂每天加工 x 件新品，乙工厂每天加工 1.5x 件新品，则：解得：x＝16经检验，x＝16 是原分式方程的解∴甲工厂每天加工 16 件产品，乙工厂每天加工 24 件产品（2）方案一：甲工厂单独完成此项任务，则需要的时间为：960÷16＝60 天需要的总费用为：60×（80+15）＝5700 元方案二：乙工厂单独完成此项任务，则需要的时间为：960÷24＝40 天需要的总费用为：40×（120+15）＝5400 元方案三：甲、乙两工厂合作完成此项任务，设共需要 a 天完成任务，则16a+24a＝960∴a＝24∴需要的总费用为：24×（80+120+15）＝5 160 元综上所述：甲、乙两工厂合作完成此项任务既省时又省钱．【点睛】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键在于理解清楚题意，找出等量关系，列 出方程求解．需要注意：①分式方程求解后，应注意检验其结果是否符合题意；②选择最优方案时，需将求各个方案所需时间和所需费用，经过比较后选择最优的那个方案．3．已知分式 A =2344(1)11a a a a a -++-÷-- （1）化简这个分式；（2）当 a ＞2 时，把分式 A 化简结果的分子与分母同时加上 4 后得到分式 B ，问：分式 B 的值较原来分式 A 的值是变大了还是变小了？试说明理由；（3）若 A 的值是整数，且 a 也为整数，求出符合条件的所有 a 值的和．【答案】（1）22a a +-；（2）原分式值变小了，见解析；（3）11 【解析】【分析】（1）根据分式混合运算顺序和运算法则化简即可得； （2）根据题意列出算式2622a a A B a a ++-=--+，化简可得16(2)(2)A B a a -=-+，结合a 的范围判断结果与0的大小即可得；（3）由24122a A a a +==+--可知，2a -=±1、±2、±4，结合a 的取值范围可得． 【详解】 解：（1）A=2344(1)11a a a a a -++-÷-- =221311(2)a a a a ---⨯-- =2(2)(2)11(2)a a a a a +--⨯-- =22a a +-； （2）变小了，理由如下： ∵22a A a +=-， ∴62a B a +=+， ∴261622(2)(2)a a A B a a a a ++-=-=-+-+； ∵2a >，∴20a ->，24a +>，∴0A B ->，∴分式的值变小了；（3）∵A 是整数，a 是整数，则24122a A a a +==+--， ∴21a -=±、2±、4±， ∵1a ≠，∴a 的值可能为：3、0、4、6、-2；∴3046(2)11++++-=；∴符合条件的所有a 值的和为11．【点睛】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．4．某商场计划销售A ，B 两种型号的商品，经调查，用1500元采购A 型商品的件数是用600元采购B 型商品的件数的2倍，一件A 型商品的进价比一件B 型商品的进价多30元． （1）求一件A ，B 型商品的进价分别为多少元？（2）若该商场购进A ，B 型商品共100件进行试销，其中A 型商品的件数不大于B 型的件数，已知A 型商品的售价为200元/件，B 型商品的售价为180元/件，且全部能售出，求该商品能获得的利润最小是多少？【答案】(1) B 型商品的进价为120元， A 型商品的进价为150元;(2) 5500元.【解析】分析：（1）设一件B 型商品的进价为x 元，则一件A 型商品的进价为（x+30）元，根据“用1500元采购A 型商品的件数是用600元采购B 型商品的件数的2倍”，这一等量关系列分式方程求解即可；（2）根据题意中的不等关系求出A 商品的范围，然后根据利润=单价利润×减数函数关系式，根据函数的性质求出最值即可.详解：（1）设一件B 型商品的进价为x 元，则一件A 型商品的进价为（x+30）元． 由题意： =×2，解得x=120，经检验x=120是分式方程的解，答：一件B 型商品的进价为120元，则一件A 型商品的进价为150元．（2）因为客商购进A 型商品m 件，销售利润为w 元．m≤100﹣m ，m≤50，由题意：w=m （200﹣150）+（100﹣m ）（180﹣120）=﹣10m+6000，∵﹣10＜0，∴m=50时，w 有最小值=5500（元）点睛：此题主要考查了分式方程和一次函数的应用等知识，解题关键是理解题意，学会构建方程或一次函数解决问题，注意解方式方程时要检验.5．甲、乙两商场自行定价销售某一商品．（1）甲商场将该商品提价25%后的售价为1.25元，则该商品在甲商场的原价为 元；（2）乙商场定价有两种方案：方案①将该商品提价20%；方案②将该商品提价1元。
【精选】人教版八年级数学上册 分式解答题单元测试卷(含答案解析)
一、八年级数学分式解答题压轴题（难）1．如图，小刚家、王老师家、学校在同一条路上，小刚家到王老师家的路程为3千米，王老师家到学校的路程为0.5千米.由于小刚的父母战斗在抗震救灾第一线，为了使他能按时到校，王老师每天骑自行车送小刚上学.已知王老师骑自行车的速度是步行的3倍，每天比平时步行上班多用了20分钟，问王老师的步行速度及骑自行车的速度各是多少？【答案】王老师的步行速度是5km /h ，则王老师骑自行车的速度是15km /h .【解析】【分析】王老师接小刚上学走的路程÷骑车的速度-平时上班走的路程÷步行的速度=2060小时． 【详解】设王老师的步行速度是km /h x ，则王老师骑自行车是3km /h x ，由题意可得：330.50.520360x x ++-=，解得：5x =， 经检验，5x =是原方程的根，∴315x =答：王老师的步行速度是5km /h ，则王老师骑自行车的速度是15km /h .【点睛】本题考查列分式方程解应用题.重点在于准确地找出相等关系，需注意①王老师骑自行车接小刚所走路程是（3+3+0.5）千米；②注意单位要统一.2．为了迎接运动会，某校八年级学生开展了“短跑比赛”。
甲、乙两人同时从A 地出发，沿同一条道路去B 地，途中都使用两种不同的速度1v 与()212v v v ＜。
甲前一半的路程使用速度1v ，另一半的路程使用速度2v ；乙前一半的时间用速度1v ，另一半的时间用速度2v 。
（1）甲、乙二人从A 地到达B 地的平均速度分别为v v 甲乙、；则=v 甲___________,=v 乙____________(2)通过计算说明甲、乙谁先到达B 地？为什么？【答案】（1）12121222v v v v v v ++；；（2）乙先到达B 地． 【解析】【分析】 （1）设AB 两地的路程为s ，乙从A 地到B 地的总时间为a ．先算出前一半的路程所用的时间，后一半的路程所用的时间相加，速度=路程÷时间求出V 甲；先算出前一半的时间所行的路程，后一半的时间所行的路程相加，速度=路程÷时间求出V 乙； （2）看甲、乙两人谁先到达B 地，因为路程一定，比较V 甲，V 乙的大小即可．【详解】（1）设AB 两地的路程为s ，乙从A 地到B 地的总时间为a ．v 甲=12121221122v v sv v s s v v =++，v 乙=1212222v a v a v v a ++=． （2）v 乙﹣v 甲=122v v +－12122v v v v +=21212()2()v v v v -+ ∵0＜v 1＜v 2，∴v 乙﹣v 甲＞0，乙先到B 地．【点睛】本题重点考查了列代数式和分式的混合运算，是一道难度中等的题目．3．八年级某同学在“五一”小长假中，随父母驾车去蜀南竹海观光旅游.去时走高等级公路，全程90千米；返回时，走高速公路，全程120千米.返回时的平均速度是去时平均速度的1.6倍，所用时间比去时少用了18分钟.求返回时的平均速度是多少千米每小时？【答案】 返回时的平均速度是80千米/小时.【解析】分析：根据题意，设去时的平均速度是x 千米/小时，找到等量关系：返回时所用时间比去时少用了18分钟，列分式方程求解即可.详解：设去时的平均速度是x 千米/小时.由题：90120181.660x x =+ 解得：50x =检验：50x =是原方程的解.并且，当50x =时，1.680x =，符合题意.答：返回时的平均速度是80千米/小时.点睛：此题主要考查了分式方程的应用，关键是确定问题的等量关系，根据等量关系列方程解答.4．在计算23224x x x x +-++-的过程中，三位同学给出了不同的方法： 甲同学的解法：原式=222222(3)(2)26284444x x x x x x x x x x x +--+-----==----； 乙同学的解法：原式=3231312(2)(2)222x x x x x x x x x x +-++--=-=++-+++=1； 丙同学的解法：原式=（x+3）（x ﹣2）+2﹣x=x 2+x ﹣6+2﹣x=x 2﹣4．（1）请你判断一下， 同学的解法从第一步开始就是错误的， 同学的解法是完全正确的．（2）乙同学说：“我发现无论x 取何值，计算的结果都是1”．请你评价一下乙同学的话是否合理，并简要说明理由．【答案】（1）丙，乙；（2）不合理，理由见解析.【解析】试题分析：（1）根据分式的加减法，由分解因式和同分母的分式加减，可知甲第2步去括号时没变号；乙正确；丙第一步的计算漏掉了分母，由此可知答案；（2）根据乙的正确化简结果可知最终结果与x 值无关，但是要注意所选取的x 不能使分式无意义.试题解析：（1）丙同学的解法从第一步开始就是错误的，乙同学的解法是完全正确的； 故答案为：丙，乙；（2）不合理，理由：∵当x≠±2时，22232(3)(2)22444x x x x x x x x x +-+--+=-+---=222262444x x x x x x +--+-=--=1， ∴乙同学的话不合理，5．观察下列等式：112⨯＝1－12， 123⨯＝12－13， 134⨯＝13－14. 将以上三个等式的两边分别相加，得：112⨯＋123⨯＋134⨯＝1－12＋12－13＋13－14＝1－14＝34. (1)直接写出计算结果：112⨯＋123⨯＋134⨯＋…＋()11n n +＝________. (2)仿照112⨯＝1－12， 123⨯＝12－13， 134⨯＝13－14的形式，猜想并写出： ()13n n +＝________.(3)解方程： ()()()()()111333669218x x x x x x x ++=++++++. 【答案】1n n +；11133n n ⎛⎫- ⎪+⎝⎭【解析】 试题分析:本题考查分式的运算规律,通过所给等式,可以将(1)展开进行计算, (1)1 12⨯＋123⨯＋134⨯＋…＋()11n n +=11111111112233411n n n -+-+-+⋯+-=-++, =1n n +, (2)因为()()()11333333n n n n n n n n n n +-=-=++++=()133n n +, 所以,()1111 333n n n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭, (3)根据(2)的结论将(3)中方程进行化简可得:()()()()()111333669218x x x x x x x ++=++++++, 1111111333669x x x x x x ⎡⎤-+-+-⎢⎥+++++⎣⎦=3218x +, 11139x x ⎡⎤-⎢⎥+⎣⎦=3218x +, 解得2x =,经检验, 2x =,是原分式方程的解.解：(1) 1n n + (2) 11133n n ⎛⎫- ⎪+⎝⎭(3)仿照(2)中的结论，原方程可变形为11111113(333669218x x x x x x x -+-+-=++++++， 即()111369x x =+， 解得x ＝2.经检验，x ＝2是原分式方程的解．6．水蜜桃是无锡市阳山的特色水果，水蜜桃一上市，水果店的老板用2000元购进一批水密桃，很快售完；老板又用3300元购进第二批水蜜桃，所购件数是第一批的32倍，但进价比第一批每件多了5元．（1）第一批水蜜桃每件进价是多少元？（2）老板以每件65元的价格销售第二批水蜜桃，售出80％后，为了尽快售完，剩下的决定打折促销．要使得第二批水密桃的销售利润不少于288元，剩余的仙桃每件售价最多打几折？(利润=售价-进价)【答案】（1）50；（2）6折．【解析】【分析】（1）根据题意设第一批水蜜桃每件进价是x 元，利用第二批水密桃进价建立方程求解即可；（2）根据题意设剩余的仙桃每件售价最多打m 折，并建立不等式，求出其解集即可得出剩余的仙桃每件售价最多打几折.【详解】解：（1）设第一批水蜜桃每件进价是x 元，则有：20003(5)33002x x ⨯⨯+=，解得50x =， 所以第一批水蜜桃每件进价是50元.（2）由（1）得出第二批水密桃的进价为：55元，数量为：33006055=件， 设剩余的仙桃每件售价最多打m 折，则有： 6580606065(180)3300288m ⨯⨯+⨯⨯--≥％％，解得0.6m ≥，即最多打6折.【点睛】本题考查分式方程的实际应用以及不等式的实际应用，理解题意并根据题意建立方程和不等式是解题的关键.7．某工程队接到任务通知，需要修建一段长1800米的道路，按原计划完成总任务的13后，为了让道路尽快投入使用，工程队将工作效率提高了50%，一共用了10小时完成任务．（1）按原计划完成总任务的13时，已修建道路多少米？ （2）求原计划每小时修建道路多少米？【答案】（1）已修建道路600米；（2）原计划每小时抢修道路140米．【解析】【分析】（1）全长1800，原计划已经完成13，单位“1”已知用乘法，已修道路=118003⨯=600米（2）本题可以采用直接设，设原计划每小时修路为x 米，加快后每小时变为1.5x 米，等量关系为：原计划修路时间+提高后修路时间=总时间，列方程即可解出．【详解】解：（1）已修建道路600米；（2）设原计划每小时抢修道路x 米， 根据题意得：()6001800600x 150x -++%＝10解得：x ＝140，经检验：x ＝140是原方程的解．答：原计划每小时抢修道路140米．【点睛】方程的应用题是中考常考的类型题，设未知数一般有直接设和间接设两种，做题时找好等量关系尤为重要，分式方程解出后要检验增根的情况，排除不合适的解．8．杨梅是漳州的特色时令水果.杨梅一上市，水果店的老板用1200元购进一批杨梅，很快售完；老板又用2500元购进第二批杨梅，所购件数是第一批的2倍，但进价每件比第一批多了5元.（1）第一批杨梅每件进价多少元？（2）老板以每件150元的价格销售第二批杨梅，售出80%后，为了尽快售完，决定打折促销.要使得第二批杨梅的销售利润不少于320元，剩余的杨梅每件售价至少打几折（利润-售价-进价）？【答案】（1）120元（2）至少打7折．【解析】【分析】（1）设第一批杨梅每件进价是x 元，则第二批每件进价是（x+5）元，再根据等量关系：第二批杨梅所购件数是第一批的2倍；（2）设剩余的杨梅每件售价y 元，由利润=售价-进价，根据第二批的销售利润不低于320元，可列不等式求解．【详解】解：(1)设第一批杨梅每件进价是x 元， 则120025002,5x x ⨯=+ 解得120.x =经检验，x=120是原方程的解且符合题意．答：第一批杨梅每件进价为120元．(2)设剩余的杨梅每件售价打y 折． 则2500250015080%150(180%)0.12?500320.125125y ⨯⨯+⨯⨯-⨯-≥ 解得y≥7. 答：剩余的杨梅每件售价至少打7折．【点睛】考查分式方程的应用, 一元一次不等式的应用，读懂题目，从题目中找出等量关系以及不等关系是解题的关键.9．“节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也给自行车商家带来商机．某自行车行经营的A 型自行车去年销售总额为8万元．今年该型自行车每辆售价预计比去年降低200元．若该型车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将比去年减少10%，求：（1）A 型自行车去年每辆售价多少元；（2）该车行今年计划新进一批A 型车和新款B 型车共60辆，且B 型车的进货数量不超过A 型车数量的两倍．已知，A 型车和B 型车的进货价格分别为1500元和1800元，计划B 型车销售价格为2400元，应如何组织进货才能使这批自行车销售获利最多．【答案】(1) 2000元；（2） A 型车20辆，B 型车40辆．【解析】【分析】（1）设去年A 型车每辆售价x 元，则今年售价每辆为（x ﹣200）元，由卖出的数量相同列出方程求解即可；（2）设今年新进A 型车a 辆，则B 型车（60﹣a ）辆，获利y 元，由条件表示出y 与a 之间的关系式，由a 的取值范围就可以求出y 的最大值．【详解】解：（1）设去年A 型车每辆售价x 元，则今年售价每辆为（x ﹣200）元，由题意，得 8000080000(110%)200x x -=-， 解得：x=2000．经检验，x=2000是原方程的根．答：去年A 型车每辆售价为2000元；（2）设今年新进A 型车a 辆，则B 型车（60﹣a ）辆，获利y 元，由题意，得y=a+（60﹣a ），y=﹣300a+36000．∵B 型车的进货数量不超过A 型车数量的两倍，∴60﹣a≤2a ，∴a≥20．∵y=﹣300a+36000．∴k=﹣300＜0，∴y 随a 的增大而减小．∴a=20时，y 最大=30000元．∴B 型车的数量为：60﹣20=40辆．∴当新进A 型车20辆，B 型车40辆时，这批车获利最大．【点睛】本题考查分式方程的应用；一元一次不等式的应用．10．阅读下面的材料，并解答后面的问题 材料：将分式23411x x x +-+拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式. 解：由分母为1x +，可设2341(1)(3)x x x x a b +-=+++.因为223(1)(3)333(3)x x a b x ax x a b x a x a b +++=++++=++++，所以223413(3)x x x a x a b +-=++++.所以341a a b +=⎧⎨+=-⎩，解之，得12a b =⎧⎨=-⎩. 所以2341(1)(31)211x x x x x x +-++-=++ (1)(31)2231111x x x x x x ++=-=+-+++ 这样，分式23411x x x +-+就被拆分成了一个整式31x +与一个分式21x +的差的形式. 问题：（1）请将分式22361x x x ++-拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式；（2）请将分式4225932x x x +-+拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式.【答案】（1）2236112511x x x x x ++=++--；（2）4222259315122x x x x x +-=--++. 【解析】【分析】（1）仿照例题将2236x x ++分解为(1)(2)x x a b -++，求出a 、b 的值即可得到答案；（2）将42593x x +-分解为22(2)(5)x x m n +++，得到10923m m n +=⎧⎨+=-⎩，求出m 、n ，整理后即可得到答案.【详解】（1）由分母为x-1，可设2236x x ++=(1)(2)x x a b -++，∵(1)(2)x x a b -++=22222(2)()x ax x a b x a x b a +--+=+-+-，∴2236x x ++22(2)()x a x b a =+-+- ∴236a b a -=⎧⎨-=⎩，得511a b =⎧⎨=⎩，∴22361x x x ++-=(1)(25)111x x x -++-=(1)(25)1111x x x x -++--=11251x x ++-； （2）由分母为22x +，可设42593x x +-=22(2)(5)x x m n +++，∵22(2)(5)x x m n +++=4224251025(10)(2)m x mx x m x m n n x +++++=+++ ∴42593x x +-=42(10)(2)5x m n x m ++++，∴10923m m n +=⎧⎨+=-⎩，得11m n =-⎧⎨=-⎩， ∴4225932x x x +-+=222(2)(51)12x x x +--+=221512x x --+. 【点睛】此题是仿照例题解题的形式解题，正确理解题意，明确例题中的计算的方法是解题的关键.。
【精选】人教版八年级上册数学 分式解答题(篇)(Word版 含解析)
一、八年级数学分式解答题压轴题（难）1．已知：方程﹣=﹣的解是x=，方程﹣=﹣的解是x=，试猜想：（1）方程+=+的解；（2）方程﹣=﹣的解（a、b、c、d表示不同的数）．【答案】（1）x=4；（2）x=．【解析】通过解题目中已知的两个方程的过程可以归纳出方程的解与方程中的常数之间的关系，利用这个关系可得出两个方程的解．解：解方程﹣=﹣，先左右两边分别通分可得：，化简可得：，整理可得：2x=15﹣8，解得：x=，这里的7即为（﹣3）×（﹣5）﹣（﹣2）×（﹣4），这里的2即为[﹣2+（﹣4）]﹣[﹣3+（﹣5）]；解方程﹣=﹣，先左右两边分别为通分可得：，化简可得：，解得：x=，这里的11即为（﹣7）×（﹣5）﹣（﹣4）×（﹣6），这里的2即为[﹣4+（﹣6）]﹣[﹣7+（﹣5）]；所以可总结出规律：方程解的分子为右边两个分中的常数项的积减去左边两个分母中的常数项的积，解的分母为左边两个分母中的常数项的差减去右边两个分母中常数项的差．（1）先把方程分为两边差的形式：方程﹣=﹣，由所总结的规律可知方程解的分子为：（﹣1）×（﹣6）﹣（﹣7）×（﹣2）=﹣8，分母为[﹣7+（﹣2）]﹣[﹣6+（﹣1）]=﹣2，所以方程的解为x ==4；（2）由所总结的规律可知方程解的分子为：cd ﹣ab ，分母为（a +b ）﹣（c +d ）， 所以方程的解为x =．2．已知：12x M +=，21xN x =+． （1）当x ＞0时，判断M N -与0的关系，并说明理由；（2）设2y N M=+． ①当3y =时，求x 的值；②若x 是整数，求y 的正整数值．【答案】（1）见解析；（2）①1；②4或3或1 【解析】 【分析】（1）作差后，根据分式方程的加减法法则计算即可； （2）①把M 、N 代入整理得到y ，解分式方程即可； ②把y 变形为：221y x =++，由于x 为整数，y 为整数，则1x +可以取±1，±2，然后一一检验即可． 【详解】（1）当0x >时，M －N ≥0．理由如下：M －N =()()21122121x x xx x -+-=++ ．∵x ＞0，∴(x -1)2≥0，2(x +1)>0，∴()()21021x x -≥+，∴M -N ≥0．（2）依题意，得：4224111x x y x x x +=+=+++． ①当3y =，即2431x x +=+时，解得：1x =．经检验，1x =是原分式方程的解，∴当y =3时，x 的值是1．②2422222111x x y x x x +++===++++ ． ∵x y ，是整数，∴21x +是整数，∴1x +可以取±1，±2．当x +1=1，即0x =时，22401y =+=> ；当x +1=﹣1时，即2x =-时，2201y =-=（舍去）； 当x +1=2时，即1x =时，22302y =+=> ； 当x +1=－2时，即3x =-时，22102y =+=>-（） ； 综上所述：当x 为整数时，y 的正整数值是4或3或1． 【点睛】本题考查了分式的加减法及解方式方程．确定x +1的取值是解答（2）②的关键．3．如图，小刚家、王老师家、学校在同一条路上，小刚家到王老师家的路程为3千米，王老师家到学校的路程为0.5千米.由于小刚的父母战斗在抗震救灾第一线，为了使他能按时到校，王老师每天骑自行车送小刚上学.已知王老师骑自行车的速度是步行的3倍，每天比平时步行上班多用了20分钟，问王老师的步行速度及骑自行车的速度各是多少？【答案】王老师的步行速度是5km /h ，则王老师骑自行车的速度是15km /h . 【解析】 【分析】王老师接小刚上学走的路程÷骑车的速度-平时上班走的路程÷步行的速度=2060小时． 【详解】设王老师的步行速度是km /h x ，则王老师骑自行车是3km /h x ， 由题意可得：330.50.520360x x ++-=，解得：5x =， 经检验，5x =是原方程的根， ∴315x =答：王老师的步行速度是5km /h ，则王老师骑自行车的速度是15km /h . 【点睛】本题考查列分式方程解应用题.重点在于准确地找出相等关系，需注意①王老师骑自行车接小刚所走路程是（3+3+0.5）千米；②注意单位要统一.4．阅读下面材料并解答问题材料：将分式322231x x x x --++-+拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：由分母为21x -+，可设()322231()x x x x x a b --++=-+++， 则323223x x x x ax x a b --++=--+++ ∵对任意x 上述等式均成立， ∴2a =且3a b +=，∴2a =，1b =∴()2322221(2)12312111x x x x x x x x x -+++--++==++-+-+-+ 这样，分式322231x x x x --++-+被拆分成了一个整式2x +与一个分式211x -+的和 解答：（1）将分式371x x +-拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式 （2）求出422681x x x --+-+的最小值． 【答案】（1）3+101x -；（2）8 【解析】 【分析】（1）直接把分子变形为3(x-1)+10解答即可；（2）由分母为-x 2+1，可设-x 4-6x 2+8=(-x 2+1)(x 2+a)+b ，按照题意，求出a 和b 的值，即可把分式422681x x x --+-+拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．【详解】解：（1）371x x +-=33101x x -+- =()31101x x -+-=3+101x -； （2）由分母为21x -+，可设4268x x --+()()221x x a b =-+++， 则4268x x --+()()221x x a b =-+++ 422x ax x a b =--+++42(1)()x a x a b =---++．∵对于任意的x ，上述等式均成立，∴168a a b -=⎧⎨+=⎩解得71a b =⎧⎨=⎩∴422681x x x --+-+ ()()2221711x x x -+++=-+()()222217111x x x x -++=+-+-+22171x x =++-+．∴当x=0时，22171x x ++-+取得最小值8，即 422681x x x --+-+的最小值是8． 【点睛】本题主要考查分式的混合运算，解答本题的关键是理解阅读材料中的方法，并能加以正确应用．5．小明和小强两名运动爱好者周末相约到滨江大道进行跑步锻炼．（1）周六早上6点，小明和小强同时从家出发，分别骑自行车和步行到离家距离分别为4500米和1200米的滨江大道入口汇合，结果同时到达.若小明每分钟比小强多行220米，求小明和小强的速度分别是多少米/分？（2）两人到达滨江大道后约定先跑1000米再休息.小强的跑步速度是小明跑步速度的m 倍，两人在同起点，同时出发，结果小强先到目的地n 分钟． ①当3m =，6n =时，求小强跑了多少分钟？②小明的跑步速度为_______米/分（直接用含m n ，的式子表示）．【答案】（1）小强的速度为80米/分，小明的速度为300米/分；（2）①小强跑的时间为3分；②1000(1)m mn-．【解析】 【分析】（1）设小强的速度为x 米/分，则小明的速度为（x+220）米/分，根据路程除以速度等于时间得到方程，解方程即可得到答案；（2）①设小明的速度为y 米/分，由m ＝3，n ＝6，根据小明的时间-小强的时间=6列方程解答；②根据路程一定，时间与速度成反比，可求小强的时间进而求出小明的时间，再根据速度=路程除以时间得到答案. 【详解】（1）设小强的速度为x 米/分，则小明的速度为（x+220）米/分，根据题意得：1200x ＝4500220x +． 解得：x ＝80．经检验，x ＝80是原方程的根，且符合题意． ∴x+220＝300．答：小强的速度为80米/分，小明的速度为300米/分． （2）①设小明的速度为y 米/分，∵m ＝3，n ＝6，∴1000100063y y -=，解之得10009y =. 经检验，10009y =是原方程的解，且符合题意， ∴小强跑的时间为：10001000(3)39÷⨯=（分） ②小强跑的时间：1n m -分钟，小明跑的时间：11n mnn m m +=--分钟，小明的跑步速度为： 1000(1)10001mn m m mn-÷=-分． 故答案为：1000(1)m mn-．【点睛】此题考查分式方程的应用，正确理解题意根据路程、时间、速度三者的关系列方程解答是解题的关键.6．某市2018年平均每天的垃圾处理量为40万吨/天，2019年平均每天的垃圾排放量比2018年平均每天的垃圾排放量多100万吨；2019年平均每天的垃圾处理量是2018年平均每天的垃圾处理量的2. 5倍. 若2019年平均每天的垃圾处理率是2018年平均每天的垃圾处理率的1. 25倍. （注：=垃圾处理量垃圾处理率垃圾排放量）（1）求该市2018年平均每天的垃圾排放量；（2）预计该市2020年平均每天的垃圾排放量比2019年平均每天的垃圾排放量增加10%. 如果按照创卫要求“城市平均每天的垃圾处理率不低于90%”，那么该市2020年平均每天的垃圾处理量在2019年平均每天的垃圾处理量的基础上，至少还需要増加多少万吨才能使该市2020年平均每天的垃圾处理率符合创卫的要求？【答案】（1）100；（2）98. 【解析】 【分析】（1）设2018年平均每天的垃圾排放量为x 万吨，根据题意列方程求出x 的值即可； （2）设设2020年垃圾的排放量还需要増加m 万吨，根据题意列出不等式，解得m 的取值范围即可得到答案. 【详解】（1）设2018年平均每天的垃圾排放量为x 万吨，40 2.5401.25100x x ⨯=⨯+，解得：x=100，经检验，x=100是原分式方程的解， 答：2018年平均每天的垃圾排放量为100万吨. （2）由（1）得2019年垃圾的排放量为200万吨， 设2020年垃圾的排放量还需要増加m 万吨，40 2.5200(110%)m⨯+⨯+≥90%，m ≥98，∴至少还需要増加98万吨才能使该市2020年平均每天的垃圾处理率符合创卫的要求. 【点睛】此题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意，找到各量之间的关系是解题的关键.7．阅读下面的解题过程：已知2112x x =+，求241x x +的值。
【精选】八年级数学上册分式解答题(提升篇)(Word版 含解析)
（2）若甲单独完成的时间是乙丙合作完成时间的a倍，乙单独完成的时间是甲丙合作完成时间的b倍，丙单独完成的时间是甲乙合作完成时间的c倍，求 的值．
【答案】（1）甲单独完成的时间是乙丙合作完成时间的 倍；（2）1
【解析】
分析：（1）先求出乙丙合作完成时间，再用甲单独完成的时间除以乙丙合作完成时间即可求解；
甲前一半的路程使用速度 ，另一半的路程使用速度 ；乙前一半的时间用速度 ，另一半的时间用速度 。
（1）甲、乙二人从A地到达B地的平均速度分别为 ；则 ___________, ____________
(2)通过计算说明甲、乙谁先到达B地？为什么？
【答案】（1） ；（2）乙先到达B地．
【解析】
【分析】
【答案】王老师的步行速度是 ，则王老师骑自行车的速度是 .
【解析】
【分析】
王老师接小刚上学走的路程÷骑车的速度-平时上班走的路程÷步行的速度= 小时．
【详解】
设王老师的步行速度是 ，则王老师骑自行车是 ，
由题意可得： ，解得： ，
经检验， 是原方程的根，
∴
答：王老师的步行速度是 ，则王老师骑自行车的速度是 .
∴小强跑的时间为： （分）
②小强跑的时间： 分钟，小明跑的时间： 分钟，
小明的跑步速度为： 分．
故答案为： ．
【点睛】
此题考查分式方程的应用，正确理解题意根据路程、时间、速度三者的关系列方程解答是解题的关键.
3．阅读理解：
把一个分式写成两个 分式的和叫做把这个分式表示成部分分式．如何将 表示成部分分式？
一、八年级数学分式解答题压轴题（难）
1．如图，小刚家、王老师家、学校在同一条路上，小刚家到王老师家的路程为3千米，王老师家到学校的路程为0.5千米.由于小刚的父母战斗在抗震救灾第一线，为了使他能按时到校，王老师每天骑自行车送小刚上学.已知王老师骑自行车的速度是步行的3倍，每天比平时步行上班多用了20分钟，问王老师的步行速度及骑自行车的速度各是多少？
【精选】人教版八年级上册数学 分式解答题章末训练(Word版 含解析)
一、八年级数学分式解答题压轴题（难）1．已知分式A=2344(1)11a a a a a -++-÷--. (1) 化简这个分式；(2) 当a ＞2时，把分式A 化简结果的分子与分母同时．．加上3后得到分式B ，问：分式B 的值较原来分式A 的值是变大了还是变小了？试说明理由.(3) 若A 的值是整数，且a 也为整数，求出符合条件的所有a 值的和.【答案】（1）22a A a +=-；（2）变小了，理由见解析；（3）符合条件的所有a 值的和为11.【解析】分析：（1）分解因式，再通分化简.(2)用作差法比较二者大小关系.(3)先分离常数，再尝试让分子能被分母整除.详解： （1）A =2344111a a a a a -+⎛⎫+-÷ ⎪--⎝⎭=()()()2113211a a a a a -+--÷--=22a a +-. （2）变小了，理由如下：()()()()()()()()21522512212121a a a a a a A B a a a a a a ++-+-++-=-==-+-+-+ . ∵a ＞2 ∴a -2＞0，a+1＞0，∴()()1221A B a a -=-+＞0，即A ＞B (3) 24122a A a a +==+-- 根据题意，21,2,4a -=±±± 则a =1、0、-2、3、4、6， 又1a ≠ ∴0+（-2）+3+4+6=11 ,即：符合条件的所有a 值的和为11.点睛：比较大小的方法：（1）作差比较法：0a b a b ->>;0a b a b -<⇒<(a b ，可以是数，也可以是一个式子)（2）作商比较法：若a ＞0，b ＞0，且1a b >，则a ＞b ；若a ＜0，b ＜0，且1a b>，则a ＜b ．2．为了迎接运动会，某校八年级学生开展了“短跑比赛”。
八年级数学上册分式解答题单元检测(提高,Word版 含解析)
一、八年级数学分式解答题压轴题（难）1．如图，小刚家、王老师家、学校在同一条路上，小刚家到王老师家的路程为3千米，王老师家到学校的路程为0.5千米.由于小刚的父母战斗在抗震救灾第一线，为了使他能按时到校，王老师每天骑自行车送小刚上学.已知王老师骑自行车的速度是步行的3倍，每天比平时步行上班多用了20分钟，问王老师的步行速度及骑自行车的速度各是多少？【答案】王老师的步行速度是5km /h ，则王老师骑自行车的速度是15km /h .【解析】【分析】王老师接小刚上学走的路程÷骑车的速度-平时上班走的路程÷步行的速度=2060小时． 【详解】设王老师的步行速度是km /h x ，则王老师骑自行车是3km /h x ，由题意可得：330.50.520360x x ++-=，解得：5x =， 经检验，5x =是原方程的根，∴315x =答：王老师的步行速度是5km /h ，则王老师骑自行车的速度是15km /h .【点睛】本题考查列分式方程解应用题.重点在于准确地找出相等关系，需注意①王老师骑自行车接小刚所走路程是（3+3+0.5）千米；②注意单位要统一.2．已知下面一列等式：111122⨯=-；11112323⨯=-；11113434⨯=-；11114545⨯=-；… （1）请你按这些等式左边的结构特征写出它的一般性等式： （2）验证一下你写出的等式是否成立； （3）利用等式计算：11(1)(1)(2)x x x x ++++11(2)(3)(3)(4)x x x x ++++++. 【答案】（1）一般性等式为111=(+11n n n n -+）；（2）原式成立；详见解析；（3）244x x+. 【解析】【分析】（1）先要根据已知条件找出规律；（2）根据规律进行逆向运算；（3）根据前两部结论进行计算.【详解】解：（1）由111122⨯=-；11112323⨯=-；11113434⨯=-；11114545⨯=-；…， 知它的一般性等式为111=(+11n n n n -+）； （2）1111(1)(1)n n n n n n n n +-=-+++111(1)1n n n n ==⋅++， ∴原式成立；（3）11(1)(1)(2)x x x x ++++11(2)(3)(3)(4)x x x x ++++++ 1111112x x x x =-+-+++11112334x x x x +-+-++++ 114x x =-+ 244x x=+. 【点睛】解答此题关键是找出规律，再根据规律进行逆向运算.3．某市2018年平均每天的垃圾处理量为40万吨/天，2019年平均每天的垃圾排放量比2018年平均每天的垃圾排放量多100万吨；2019年平均每天的垃圾处理量是2018年平均每天的垃圾处理量的2. 5倍. 若2019年平均每天的垃圾处理率是2018年平均每天的垃圾处理率的1. 25倍.（注：=垃圾处理量垃圾处理率垃圾排放量） （1）求该市2018年平均每天的垃圾排放量；（2）预计该市2020年平均每天的垃圾排放量比2019年平均每天的垃圾排放量增加10%. 如果按照创卫要求“城市平均每天的垃圾处理率不低于90%”，那么该市2020年平均每天的垃圾处理量在2019年平均每天的垃圾处理量的基础上，至少还需要増加多少万吨才能使该市2020年平均每天的垃圾处理率符合创卫的要求？【答案】（1）100；（2）98.【解析】【分析】（1）设2018年平均每天的垃圾排放量为x 万吨，根据题意列方程求出x 的值即可；（2）设设2020年垃圾的排放量还需要増加m 万吨，根据题意列出不等式，解得m 的取值范围即可得到答案.【详解】（1）设2018年平均每天的垃圾排放量为x 万吨，40 2.540 1.25100x x⨯=⨯+， 解得：x=100，经检验，x=100是原分式方程的解，答：2018年平均每天的垃圾排放量为100万吨. （2）由（1）得2019年垃圾的排放量为200万吨，设2020年垃圾的排放量还需要増加m 万吨，40 2.5200(110%)m ⨯+⨯+≥90%， m ≥98，∴至少还需要増加98万吨才能使该市2020年平均每天的垃圾处理率符合创卫的要求.【点睛】此题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意，找到各量之间的关系是解题的关键.4．阅读理解：把一个分式写成两个分式的和叫做把这个分式表示成部分分式．如何将2131x x --表示成部分分式？设分式2131x x --=11m n x x +-+，将等式的右边通分得：(1)(1)(1)(1)m x n x x x ++-+-=()(1)(1)m n x m n x x ++-+-，由2131x x --= ()(1)(1)m n x m n x x ++-+-得：31m n m n +=-⎧⎨-=⎩，解得：12m n =-⎧⎨=-⎩，所以2131x x --=1211x x --+-+． （1）把分式1(2)(5)x x --表示成部分分式，即1(2)(5)x x --=25m n x x +--，则m = ，n = ；（2）请用上述方法将分式43(21)(2)x x x -+-表示成部分分式． 【答案】（1）13-，13；（2）21212x x ++-． 【解析】【分析】仿照例子通分合并后，根据分子的对应项的系数相等，列二元一次方程组求解.【详解】解：(1)∵()()()522525m n x m n m n x x x x +--+=----， ∴0521m n m n +=⎧⎨--=⎩， 解得：1313m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. (2)设分式()()43212x x x -+-=212m n x x ++-将等式的右边通分得：()()()()221212m x n x x x -+++-=()()()22212m n x m n x x +-++-， 由()()43212x x x -+-=()()()22212m n x m n x x +-++-， 得2423m n m n +=⎧⎨-+=-⎩， 解得21m n =⎧⎨=⎩. 所以()()43212x x x -+-=21212x x ++-.5．“绿色环保，健康出行”新能源汽车越来越占领汽车市场，以“北汽”和“北汽 新能源 EV500”为例，分别在某加油站和某充电站加油和充电的电费均为 300 元，而续 航里程之比则为 1∶4．经计算新能源汽车相比燃油车节约 0.6 元/公里．（1）分别求出燃油车和新能源汽车的续航单价（每公里费用）；（2）随着更多新能源车进入千家万户，有条件的小区及用户将享受 0.48 元/度的优惠专用电费．以新能源 EV500 为例，充电 55 度可续航 400 公里，试计算每公里所需电费， 并求出与燃油车相同里程下的所需费用（油电）百分比．【答案】（1）燃油车0.8；新能源汽车0.2；（2）8.25%【解析】【分析】（1）设新能源汽车续航单价为x 元/公里，则燃油车续航单价为（x+0.6）元/公里，根据等量关系式：新能源汽车续航里程：燃油车续航里程=4∶1，列出方程，解之即可.（2）根据总价=单价×数量可得新能源汽车400公里所需费用，再用此费用÷总公里数即可得新能源汽车每公里所需电电费；由（1）知燃油汽车每公里费用，用此费用乘以总公里数可得燃油汽车总费用，再用新能源汽车的总费用÷燃油车相同里程下的所需费用即可得答案.【详解】解：（1）设新能源汽车续航单价为x 元/公里，则燃油车续航单价为（x+0.6）元/公里，依题可得：300x ：3000.6x+ =4：1， 解得：x=0.2， ∴燃油车续航单价为：x+0.6=0.2+0.6=0.8（元/公里），答：新能源汽车续航单价为0.2元/公里，燃油车续航单价为0.8元/公里.（2）依题可得新能源汽车400公里所需费用为：0.48×55=26.4（元），∴新能源汽车每公里所需电电费为：26.4÷400=0.066（元/公里），依题可得燃油汽车400公里所需费用为：400×0.8=320（元），∴新能源汽车与燃油车相同里程下的所需费用（油电）百分比为：26.4÷320=0.0825=8.25%.答：新能源汽车每公里所需电电费为0.066元；新能源汽车与燃油车相同里程下的所需费用（油电）百分比为8.25%.【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．6．阅读后解决问题：在“15.3分式方程”一课的学习中，老师提出这样的一个问题：如果关于x 的分式方程3111a x x+=--的解为正数，那么a 的取值范围是什么？ 经过交流后，形成下面两种不同的答案：小明说：解这个关于x 的分式方程，得到方程的解为x=a ﹣2．因为解是正数，可得a ﹣2＞0，所以a ＞2．小强说：本题还要必须a≠3，所以a 取值范围是a ＞2且a≠3．（1）小明与小强谁说的对，为什么？（2）关于x 的方程11222mx x x-+=--有整数解，求整数m 的值． 【答案】（1）小强的说法对，理由见解析；（2）m=3，4，0．【解析】【分析】 (1)先根据解分式方程的步骤和解法解分式方程可得x =a ﹣2,根据分式方程有解和解是正数可得:x ＞0且x ≠1, 即a ﹣2＞0, a ﹣2≠1,即可求解,(2) 先根据解分式方程的步骤和解法解分式方程可得（m ﹣2）x =﹣2, 当m ≠2时,解得:x =﹣22m -,根据分式方程有整数解可得: m ﹣2=±1,m ﹣2=±2,继而求m 的值. 【详解】 解:（1）小强的说法对,理由如下:解这个关于x 的分式方程,得到方程的解为x =a ﹣2,因为解是正数,可得a ﹣2＞0,即a ＞2,同时a ﹣2≠1,即a ≠3,则a 的范围是a ＞2且a≠3,（2）去分母得：mx ﹣1﹣1=2x ﹣4,整理得:（m ﹣2）x =﹣2,当m ≠2时,解得: x =﹣22m -,由方程有整数解,得到m ﹣2=±1,m ﹣2=±2,解得:m =3,4,0.【点睛】本题主要考查分式方程解是正数和解是整数问题,解决本题的关键是要熟练掌握解分式方程的解法.7．为进一步落实《中华人民共和国民办教育促进法》，某市教育局拿出了b 元资金建立民办教育发展基金会，其中一部分作为奖金发给了n 所民办学校．奖金分配方案如下：首先将n 所民办学校按去年完成教育、教学工作业绩（假设工作业绩均不相同）从高到低，由1到n 排序，第1所民办学校得奖金b n元，然后再将余额除以n 发给第2所民办学校，按此方法将奖金逐一发给了n 所民办学校．（1）请用n 、b 分别表示第2所、第3所民办学校得到的奖金； （2）设第k 所民办学校所得到的奖金为k a 元（1k n ≤≤），试用k 、n 和b 表示k a （不必证明）；（3）比较k a 和1k a +的大小（k=1，2 ，……，1n -），并解释此结果关于奖金分配原则的实际意义．【答案】（1）211()(1)b b a b n n n n =-⨯=- ,23111()(1)(1)b b a b n n n n n =-⨯-=-； （2）11(1)k k b a n n-=- ； （3）1k k a a +> ．奖金分配的实际意义：名次越靠后，奖金越少．【解析】【试题分析】（1）根据第1所民办学校得奖金b n元，然后再将余额除以n 发给第2所民办学校，得：22311111()(1),()(1)(1).bb b b a b a b n n n n n n n n n=-⨯=-=-⨯-=- （2）根据（1）中的两个式子，11(1)k k b a n n -=- ； （3）11(1)k k b a n n -=-，+11(1)k k b a n n=-，则1111+121111111(1)(1)(1)1(1)(1)(1)0k k k k k k k b b b b b a a n n n n n n n n n n n n----⎡⎤-=---=---=-⋅⋅=-⋅>⎢⎥⎣⎦，则+1k k a a >.奖金分配的实际意义：名次越靠后，奖金越少.【试题解析】（1）根据题意得：22311111()(1),()(1)(1).bb b b a b a b n n n n n n n n n=-⨯=-=-⨯-=- （2）根据（1）中的两个式子，11(1)k k b a n n -=- （3）11(1)k k b a n n -=-，+11(1)k k b a n n=-，则1111+121111111(1)(1)(1)1(1)(1)(1)0k k k k k k k b b b b b a a n n n n n n n n n n n n----⎡⎤-=---=---=-⋅⋅=-⋅>⎢⎥⎣⎦，则+1k k a a >.奖金分配的实际意义：名次越靠后，奖金越少.【方法点睛】本题目是一道分式的实际应用问题，第一个问题有难度，依据奖金的分配规则，写出23a a 、 的表达式；第二问在第一问的基础上，找出规律，直接写出k a 的表达式即可；第三问用作差法比较两个分式的大小，若差为正数，则被减数大于减数；若差为0，则被减数等于减数；若差为负数，则被减数小于减数.8．小明用12元买软面笔记本，小丽用21元买硬面笔记本．（1）已知每本硬面笔记本比软面笔记本贵1.2元，小明和小丽能买到相同数量的笔记本吗；（2）已知每本硬面笔记本比软面笔记本贵a 元，是否存在正整数a ，使得每本硬面笔记本、软面笔记本的价格都是正整数，并且小明和小丽能买到相同数量的笔记本？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1））不能买到；（2）存在，a 的值为3或9．【解析】【分析】【详解】解：（1））设每本软面笔记本x 元，则每本硬面笔记本（x+1.2）元，由题意，得 12211.2x x =+， 解得：x=1.6．此时12211.6 1.2 1.6=+=7.5（不符合题意）， 所以，小明和小丽不能买到相同数量的笔记本；（2）设每本软面笔记本m 元（1≤m≤12的整数），则每本硬面笔记本（m+a ）元，由题意，得1221m m a=+， 解得：a=34m ， ∵a 为正整数，∴m=4，8，12．∴a=3，6，9． 当86m a =⎧⎨=⎩时，1221 1.5m m a ==+（不符合题意） ∴a 的值为3或9．9．京广高速铁路工程指挥部，要对某路段工程进行招标，接到了甲、乙两个工程队的投标书．从投标书中得知：甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的23；若由甲队先做10天，剩下的工程再由甲、乙两队合作30天完成． （1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？（2）已知甲队每天的施工费用为8.4万元，乙队每天的施工费用为5.6万元．工程预算的施工费用为500万元．为缩短工期并高效完成工程，拟安排预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断并说明理由．【答案】（1）甲队单独完成需60天，乙队单独完成这项工程需要90天；（2）工程预算的施工费用不够，需追加预算4万元.【解析】【分析】（1）设甲单独完成这项工程所需天数，表示出乙单独完成这项工程所需天数及各自的工作效率．根据工作量=工作效率×工作时间列方程求解；（2）根据题意，甲乙合作工期最短，所以须求合作的时间，然后计算费用，作出判断．【详解】（1）解:设乙队单独完成这项工程需要x 天，则甲队单独完成需要2x 3填； 403012xx 3+= 解得：x 90=经检验，x =90是原方程的根．则22x906033=⨯=（天）答：甲、乙两队单独完成这项工程分别需60天和90天．（2）设甲、乙两队合作完成这项工程需要y天，则有y(160+190)=1.解得y=36.需要施工费用：36×(8.4+5.6)=504(万元).∵504>500.∴工程预算的施工费用不够用，需追加预算4万元．10．某商场购进甲、乙两种空调共50台．已知购进一台甲种空调比购进一台乙种空调进价少0.3万元；用20万元购进甲种空调数量是用40万元购进乙种空调数量的2倍．请解答下列问题：（1）求甲、乙两种空调每台进价各是多少万元？（2）若商场预计投入资金不少于10万元，且购进甲种空调至少31台，商场有哪几种购进方案？（3）在（2）条件下，若甲种空调每台售价1100元，乙种空调每台售价4300元，甲、乙空调各有一台样机按八折出售，其余全部标价售出，商场从销售这50台空调获利中拿出2520元作为员工福利，其余利润恰好又可以购进以上空调共2台．请直接写出该商场购进这50台空调各几台．【答案】（1）0.1，0.4；（2）商场有3种购进方案：①购买甲种空调31台，购买乙种空调19台；②购买甲种空调32台，购买乙种空调18台；③购买甲种空调33台，购买乙种空调17台；（3）购买甲种空调32台，购买乙种空调18台【解析】【分析】（1）可设甲种空调每台进价是x万元，则乙种空调每台进价是（x+0.3）万元，根据等量关系用20万元购进甲种空调数量＝用40万元购进乙种空调数量×2，列出方程求解即可；（2）设购买甲种空调n台，则购买乙种空调（50﹣n）台，根据商场预计投入资金不少于10万元，且购进甲种空调至少31台，求出n的范围，即可确定出购买方案；（3）找到（2）中3种购进方案符合条件的即为所求．【详解】解：（1）设甲种空调每台进价是x万元，则乙种空调每台进价是（x+0.3）万元，依题意有20 x ＝400.3x×2，解得x＝0.1，x+0.3＝0.1+0.3＝0.4．答：甲种空调每台进价是0.1万元，乙种空调每台进价是0.4万元；（2）设购买甲种空调n 台，则购买乙种空调（50﹣n ）台，依题意有0.10.4(50)1031sn n n +-⎧⎨⎩， 解得31≤n≤3313， ∵n 为整数，∴n 取31，32，33，∴商场有3种购进方案：①购买甲种空调31台，购买乙种空调19台；②购买甲种空调32台，购买乙种空调18台；③购买甲种空调33台，购买乙种空调17台；（3）①购买甲种空调31台，购买乙种空调19台，（31﹣1）×（1100﹣1000）+（1100×0.8﹣1000）+（19﹣1）×（4300﹣4000）+（4300×0.8﹣4000）﹣2520＝3000﹣120+5400﹣560﹣2520＝7720﹣2520＝5200（元），不符合题意，舍去；②购买甲种空调32台，购买乙种空调18台，（32﹣1）×（1100﹣1000）+（1100×0.8﹣1000）+（18﹣1）×（4300﹣4000）+（4300×0.8﹣4000）﹣2520＝3100﹣120+5100﹣560﹣2520＝7520﹣2520＝5000（元），符合题意；③购买甲种空调33台，购买乙种空调17台，（33﹣1）×（1100﹣1000）+（1100×0.8﹣1000）+（17﹣1）×（4300﹣4000）+（4300×0.8﹣4000）﹣2520＝3200﹣120+4800﹣560﹣2520＝7320﹣2520＝4800（元），不符合题意，舍去．综上所述，购买甲种空调32台，购买乙种空调18台．【点睛】此题考查了分式方程的应用，以及一元一次不等式组的应用，弄清题中的等量关系是解本题的关键．。
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本题主要考查了分式方程的实际应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
4．观察下列各式： ， ， ， ， ，…
请你根据上面各式的规律，写出符合该规律的一道等式：________
请利用上述规律计算： ________
（用含有 的式子表示）
请利用上述规律解方程： ．
【答案】
【解析】
【式（分子为整数）的和的形式
（2）求出 的最小值．
【答案】（1）3+ ；（2）8
【解析】
【分析】
（1）直接把分子变形为3(x-1)+10解答即可；
（2）由分母为-x2+1，可设-x4-6x2+8=(-x2+1)(x2+a)+b，按照题意，求出a和b的值，即可把分式 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
（1）小明与小强谁说的对，为什么？
（2）关于x的方程 有整数解，求整数m的值．
【答案】（1）2，-2；（2）11；（3）25
【解析】
【分析】
（1）当x＞0时，按照公式a+b≥2 （当且仅当a=b时取等号）来计算即可；x＜0时，由于-x＞0，- ＞0，则也可以按照公式a+b≥2 （当且仅当a=b时取等号）来计算；
（2）将 的分子分别除以分母，展开，将含x的项用题中所给公式求得最小值，再加上常数即可；
（2）由
∵x＞0，
∴
当 时，最小值为11；
（3）设S△BOC=x，已知S△AOB=4，S△COD=9
则由等高三角形可知：S△BOC：S△COD=S△AOB：S△AOD
∴x：9=4：S△AOD
∴：S△AOD=
∴四边形ABCD面积=4+9+x+
当且仅当x=6时取等号，即四边形ABCD面积的最小值为25．
（1）分别求出燃油车和新能源汽车的续航单价（每公里费用）；
（2）随着更多新能源车进入千家万户，有条件的小区及用户将享受0.48元/度的优惠专用电费．以新能源EV500为例，充电55度可续航400公里，试计算每公里所需电费，并求出与燃油车相同里程下的所需费用（油电）百分比．
【答案】（1）燃油车0.8；新能源汽车0.2；（2）8.25%
【解析】
【分析】
（1）设新能源汽车续航单价为x元/公里，则燃油车续航单价为（x+0.6）元/公里，根据等量关系式：新能源汽车续航里程：燃油车续航里程=4∶1，列出方程，解之即可.
（2）根据总价=单价×数量可得新能源汽车400公里所需费用，再用此费用÷总公里数即可得新能源汽车每公里所需电电费；由（1）知燃油汽车每公里费用，用此费用乘以总公里数可得燃油汽车总费用，再用新能源汽车的总费用÷燃油车相同里程下的所需费用即可得答案.
一、八年级数学分式解答题压轴题（难）
1．阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当 ， 时，∵ ，∴ ，当且仅当 时取等号．请利用上述结论解决以下问题：
(1)当 时， 的最小值为_______；当 时， 的最大值为__________．
(2)当 时，求 的最小值．
(3)如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△AOB、△COD的面积分别为4和9，求四边形ABCD面积的最小值．
根据阅读材料，总结出规律，然后利用规律变形计算即可求解.
【详解】
解： 答案不唯一 ；
故答案为 ；
原式 ；
故答案为
分式方程整理得： ，
即 ，
方程两边同时乘 ，得 ，
解得： ，
经检验， 是原分式方程的解．
【点睛】
此题主要考查了阅读理解型的规律探索题，利用分数和分式的性质，把分式进行变形是解题关键.
5．阅读后解决问题：
【详解】
解：（1）设新能源汽车续航单价为x元/公里，则燃油车续航单价为（x+0.6）元/公里，依题可得：
： =4：1，
解得：x=0.2，
∴燃油车续航单价为：x+0.6=0.2+0.6=0.8（元/公里），
答：新能源汽车续航单价为0.2元/公里，燃油车续航单价为0.8元/公里.
（2）依题可得新能源汽车400公里所需费用为：
【详解】
解：（1） =
=
=3+ ；
（2）由分母为 ，
可设 ，
则
．
∵对于任意的x，上述等式均成立，
∴
解得
∴
．
∴当x=0时， 取得最小值8，即 的最小值是8．
【点睛】
本题主要考查分式的混合运算，解答本题的关键是理解阅读材料中的方法，并能加以正确应用．
3．“绿色环保，健康出行”新能源汽车越来越占领汽车市场，以“北汽”和“北汽新能源EV500”为例，分别在某加油站和某充电站加油和充电的电费均为300元，而续航里程之比则为1∶4．经计算新能源汽车相比燃油车节约0.6元/公里．
0.48×55=26.4（元），
∴新能源汽车每公里所需电电费为：
26.4÷400=0.066（元/公里），
依题可得燃油汽车400公里所需费用为：
400×0.8=320（元），
∴新能源汽车与燃油车相同里程下的所需费用（油电）百分比为：
26.4÷320=0.0825=8.25%.
答：新能源汽车每公里所需电电费为0.066元；新能源汽车与燃油车相同里程下的所需费用（油电）百分比为8.25%.
【点睛】
本题考查了配方法在最值问题中的应用，同时本题还考查了分式化简和等高三角形的性质，本题难度中等略大．
2．阅读下面材料并解答问题
材料：将分式 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
解：由分母为 ，可设 ，
则
∵对任意 上述等式均成立，
∴ 且 ，∴ ，
∴
这样，分式 被拆分成了一个整式 与一个分式 的和
（3）设S△BOC=x，已知S△AOB=4，S△COD=9，则由等高三角形可知：S△BOC：S△COD=S△AOB：S△AOD，用含x的式子表示出S△AOD，四边形ABCD的面积用含x的代数式表示出来，再按照题中所给公式求得最小值，加上常数即可．
【详解】
解：（1）当x＞0时，
当x＜0时，
∵
∴
∴当 时， 的最小值为2；当 时， 的最大值为-2；
在“15.3分式方程”一课的学习中，老师提出这样的一个问题：如果关于x的分式方程 的解为正数，那么a的取值范围是什么？
经过交流后，形成下面两种不同的答案：
小明说：解这个关于x的分式方程，得到方程的解为x=a﹣2．
因为解是正数，可得a﹣2＞0，所以a＞2．
小强说：本题还要必须a≠3，所以a取值范围是a＞2且a≠3．