江苏省连云港市锦屏高级中学高二数学必修五《1.1.2 余弦定理》课件
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高二数学公开课课件：必修五 《1.1.2余弦定理》(共29张PPT)
思考：
已知两边及一边的对角时， 我们知道可用正弦定理来解三 角形，想一想能不能用余弦定 理来解这个三角形？
如：已知b=4,c= ,C=60° 求边a.
剖析 剖 析 定 理
（3）已知a、b、c（三边），可
以求什么？
a2 = b2 +c2 - 2bccosA b2 = a2 +c2 - 2accosB c2 = a2 + b2 - 2abcosC
练习: 求sin2 700 sin2 500 sin 700 sin 500的值.
解 :原式 sin2 700 sin2 500 2sin700 sin500 cos600
sin2 600 3 4
剖析 剖 析 定 理
问题3：余弦定理在解三角形中的作用
是什么？
（1）已知三边 求三个角 SSS
余弦定理
证明
解析法
y
证明：以CB所在的直线为x轴，过示的坐标系，则A、B、C三点的坐标
分别为：
x
C(0, 0) B(a, 0) A(bcosC,bsin C)
AB 2 (b cosC a)2 (b sin C 0)2
b2 cos2 C 2abcosC a2 b2 sin 2 C
情景问题
千岛湖
在△ABC中，已知AB=6km，BC=3.4km，
∠B=120o，求 AC
岛B 屿B
A岛屿A
120°
?
岛C 屿C
用正弦定理能否直接求出 AC？
看一看想一想
直角三角形中的边a、
b不变，角C进行变动
AAA AA AA
AA
ccccc cbc bbb bb c b c b
必修五1.1.2余弦定理PPT课件
A.60 B.45或135
C.120
D30
C
b
aห้องสมุดไป่ตู้
解析：cos C a2 b2 c2
2ab
Ac
B
a2 c2 b2 abcosC ab 1 C 60
2ab 2
三.判断三角形的形状
由推论我们能判断三角形的角的情况C吗?
推论： cos A b2 c2 a2 2bc
b
a
提炼：设a是最长的边，则
2
A 60
cosB a2 c2 b2 ( 6)2 ( 3 1)2 22
2ac
2 6 ( 3 1)
2 2
B 45
C 180 A B 180 60 45 75
变式：
1.在三角形ABC中，若a 3,b 1, c 2,则A 6_0_________
2.在三角形ABC中，a2 c2 b2 ab,则角C的大小为___A_____
例3、在△ABC中，若a 2 b2 c 2，
则△ABC的形状为（ ）
Ａ、钝角三角形 Ｃ、锐角三角形
Ｂ、直角三角形 Ｄ、不能确定
那a2 b2 c2呢?
例 在ABC中, a 1, b 2, c 7, 试判断这个
三 角 形 的 形 状.
90 C 180
cosC 0
a2 b2 c2
千岛湖
情景问题
千岛湖
岛屿A
岛屿B
120°
?
岛屿C
情景问题
千岛湖
在△ABC中，已知AB=5km，BC=3km，
∠B=120o，求 AC
岛B 屿B
A岛屿A
120°
?
岛C 屿C
用正弦定理能否直接求出 AC？
苏教版数学高二-必修五课件 1.2 余弦定理(二)
反思与感悟
解析答案
跟踪训练2 在△ABC中，内角A，B，C对边分别为a，b，c，且bsin A ＝ 3 acos B. (1)求角B； 解 由 bsin A＝ 3acos B 及正弦定理， 得 sin B＝ 3cos B， 即 tan B＝ 3，因为 B 是三角形的内角，所以 B＝π3.
解析答案
(2)若b＝3，sin C＝2sin A，求a，c的值. 解 由sin C＝2sin A及正弦定理得，c＝2a. 由余弦定理及 b＝3，得 9＝a2＋c2－2accosπ3， 即 9＝a2＋4a2－2a2，所以 a＝ 3，c＝2 3.
解析答案
题型三 利用正弦、余弦定理证明边角恒等式 a2－b2 sinA－B
例 3 在△ABC 中，A，B，C 的对边分别为 a，b，c，求证： c2 ＝ sin C .
证明 在△ABC中，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，
b2＝a2＋c2－2accos B，∴a2－b2＝b2－a2－2bccos A＋2accos B，
123456
4.已知锐角三角形的边长分别为1,3，a，则a的范围是 (2 2， 10) . 解析 只需让3和a所对的边均为锐角即可.
12＋2·312·－3 a2>0， 故12＋2·a12·－a 32>0，
1＋3>a， 1＋a>3，
解得 2 2<a< 10.
解析答案
5.在△ABC 中，若 b＝1，c＝ 3，C＝23π，则 a＝ 1 . 解析 由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C， ∴a2＋1＋a＝3， 即a2＋a－2＝0， 解得a＝1或a＝－2(舍).
＝ sin C ，故等式成立. Nhomakorabea反思与感悟
解析答案
跟踪训练2 在△ABC中，内角A，B，C对边分别为a，b，c，且bsin A ＝ 3 acos B. (1)求角B； 解 由 bsin A＝ 3acos B 及正弦定理， 得 sin B＝ 3cos B， 即 tan B＝ 3，因为 B 是三角形的内角，所以 B＝π3.
解析答案
(2)若b＝3，sin C＝2sin A，求a，c的值. 解 由sin C＝2sin A及正弦定理得，c＝2a. 由余弦定理及 b＝3，得 9＝a2＋c2－2accosπ3， 即 9＝a2＋4a2－2a2，所以 a＝ 3，c＝2 3.
解析答案
题型三 利用正弦、余弦定理证明边角恒等式 a2－b2 sinA－B
例 3 在△ABC 中，A，B，C 的对边分别为 a，b，c，求证： c2 ＝ sin C .
证明 在△ABC中，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，
b2＝a2＋c2－2accos B，∴a2－b2＝b2－a2－2bccos A＋2accos B，
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4.已知锐角三角形的边长分别为1,3，a，则a的范围是 (2 2， 10) . 解析 只需让3和a所对的边均为锐角即可.
12＋2·312·－3 a2>0， 故12＋2·a12·－a 32>0，
1＋3>a， 1＋a>3，
解得 2 2<a< 10.
解析答案
5.在△ABC 中，若 b＝1，c＝ 3，C＝23π，则 a＝ 1 . 解析 由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C， ∴a2＋1＋a＝3， 即a2＋a－2＝0， 解得a＝1或a＝－2(舍).
＝ sin C ，故等式成立. Nhomakorabea反思与感悟
数学新人教A版必修5 1.1.2《余弦定理》1课件ppt
形的四种基本类型： 已知条件 一边和二角 (如a,B,C) 如 两边和夹角 (如a,b,C) 如 两边和其中 一边的对角 (如a,b,A) 如 三边(a,b,c) 三边 定理选用 一般解法
由A+B+C=180°求角 由正 °求角A,由正 正弦定理 弦定理求出b与 弦定理求出 与c 由余弦定理求出第三边c， 由余弦定理求出第三边 ，再 余弦定理 由正弦定理求出剩下的角 由正弦定理求出角B,再求角 由正弦定理求出角 再求角C, 再求角 可有两解,一解 正弦定理 最后求出 c边.可有两解 一解 边 可有两解 或无解. 或无解 先由余弦定理求出其中两个 再利用内角和为180°求出 余弦定理 角,再利用内角和为 再利用内角和为 ° 第三个角. 第三个角
利用余弦定理及其推论， 利用余弦定理及其推论，可以解决以下两类解三角形的 问题：（ ）已知两边及其夹角 求其它的边和角； 两边及其夹角， 问题：（1）已知两边及其夹角，求其它的边和角； ：（ 三边， （2）已知三边，求三个角 ）已知三边 求三个角. 练习： 练习：在△ABC中 中 （1）已知 ）已知a= ，c=2，B=150o，求b； 7 ， ； ，c= ，求A. 45o （2）已知 ）已知a=2，b= ，
二、新课讲解 余弦定理： 余弦定理： 三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去 这两边与它们夹角的余弦的积的两倍， 这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即
a = b + c − 2bc cos A
2 2 2
b = a + c − 2ac cos B
2 2 2
c = a + b − 2ab cos C
角时，应先求最小的边所对的角 角时，应先求最小的边所对的角. 最小的边所对的角
一般地，在 ≈ 180o-(41o+33o)=106° 一般地， 知三边及一角” ° ∴B=180o-(A+C)“知三边及一角”要求剩下的两个
由A+B+C=180°求角 由正 °求角A,由正 正弦定理 弦定理求出b与 弦定理求出 与c 由余弦定理求出第三边c， 由余弦定理求出第三边 ，再 余弦定理 由正弦定理求出剩下的角 由正弦定理求出角B,再求角 由正弦定理求出角 再求角C, 再求角 可有两解,一解 正弦定理 最后求出 c边.可有两解 一解 边 可有两解 或无解. 或无解 先由余弦定理求出其中两个 再利用内角和为180°求出 余弦定理 角,再利用内角和为 再利用内角和为 ° 第三个角. 第三个角
利用余弦定理及其推论， 利用余弦定理及其推论，可以解决以下两类解三角形的 问题：（ ）已知两边及其夹角 求其它的边和角； 两边及其夹角， 问题：（1）已知两边及其夹角，求其它的边和角； ：（ 三边， （2）已知三边，求三个角 ）已知三边 求三个角. 练习： 练习：在△ABC中 中 （1）已知 ）已知a= ，c=2，B=150o，求b； 7 ， ； ，c= ，求A. 45o （2）已知 ）已知a=2，b= ，
二、新课讲解 余弦定理： 余弦定理： 三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去 这两边与它们夹角的余弦的积的两倍， 这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即
a = b + c − 2bc cos A
2 2 2
b = a + c − 2ac cos B
2 2 2
c = a + b − 2ab cos C
角时，应先求最小的边所对的角 角时，应先求最小的边所对的角. 最小的边所对的角
一般地，在 ≈ 180o-(41o+33o)=106° 一般地， 知三边及一角” ° ∴B=180o-(A+C)“知三边及一角”要求剩下的两个
高中数学优质课件 1.1.2余弦定理
答：“边角边”是解三角形中的“两边一夹角” 的题型，“边边边”则是“三边已知”的题型，这两 种题型的解都是唯一的，即它们都能唯一确定三角形， 因而可以为判定三角形全等的条件.
典例突破 （一）“两边一夹角”型三角形
例1. 在∆������������������中，若������ = 2，������ = 2 2，������ = 15°，解此 三角形．
自主探究 （三）拓展探究
问题3. 从形式上来看，勾股定理指出了直角三角形 中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形 中三边平方之间的关系，这两个定理之间有关联吗？ 答：有关联. 当三角形的两边夹角为90°时，余弦定理即 为勾股定理，而且
自主探究 （三）深层探究
(1) 如果一个三角形两边的平方和大于第三边的平方，那么第三 边 所对的角是锐角；
自主探究 （二）余弦定理的其他证法
方法2（三角法） （1）当三角形是锐角三角形时，如图， ������������ = ������sin������,������������ = ������������ − ������������ = ������ − ������cos������ 在������������∆������������������中，根据勾股定理，有������������2 = ������������2 + ������������2 = ������sin������ 2 + (������ − 2bcos������)2, 整理可得������2 = ������cos������ − ������ 2 + (������sin������)2 . 同理可得其它两个结论. （2）当三角形是直角和钝角三角形时，可类似证明.
自主探究 （二）深层探究
典例突破 （一）“两边一夹角”型三角形
例1. 在∆������������������中，若������ = 2，������ = 2 2，������ = 15°，解此 三角形．
自主探究 （三）拓展探究
问题3. 从形式上来看，勾股定理指出了直角三角形 中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形 中三边平方之间的关系，这两个定理之间有关联吗？ 答：有关联. 当三角形的两边夹角为90°时，余弦定理即 为勾股定理，而且
自主探究 （三）深层探究
(1) 如果一个三角形两边的平方和大于第三边的平方，那么第三 边 所对的角是锐角；
自主探究 （二）余弦定理的其他证法
方法2（三角法） （1）当三角形是锐角三角形时，如图， ������������ = ������sin������,������������ = ������������ − ������������ = ������ − ������cos������ 在������������∆������������������中，根据勾股定理，有������������2 = ������������2 + ������������2 = ������sin������ 2 + (������ − 2bcos������)2, 整理可得������2 = ������cos������ − ������ 2 + (������sin������)2 . 同理可得其它两个结论. （2）当三角形是直角和钝角三角形时，可类似证明.
自主探究 （二）深层探究
必修五1.1.2余弦定理(共14张PPT)
余弦定理
a b c 2bc cos A
2 2 2
余弦定理推论
b c a cos A 2bc
2 2 2 B
2 2 2
c a b 2ab cosC
2 2 2
a c b cos B 2ac 2 2 2 a b c cosC 2ab
求角1322中在acbaabc?????abccbacos2222???baccabcos2222???cabbaccos2222???余弦定理bcacba2cos222???acbcab2cos222???abcbac2cos222???余弦定理推论bcacba2cos222???acbcab2cos222???abcbac2cos222???余弦定理推论适用范围
余弦定理（二）
学习目标
1、能够从余弦定理得到它的推论；
2、能够应用余弦定理及其推论解三角形； 3、学习解三角形的几种类型。
复习回顾
1、正弦定理： a b c 2R sin A sin B sin C
适用范围： 已知两角一边，解三角形。
2、余弦定理： 2 2 2 a b c 2bc cos A
延伸：在ABC中，a 2, b 2 , c 3 1， 求(1)角A；（2）角B、C。
思考？
我们发现在解三角形的过程中，求某一角有 时既可以用余弦定理，也可以用正弦定理， 两种方案各有什么利弊？
用余弦定理求角时，运算量较大，但角与余弦值是一 一对应的，无需讨论；而用正弦定理求角时，运算量 较少，但角与正弦值在 上不是一一对应，需讨 论解的情况。
2、在 ABC 中， b 3, c 3 3 , B
13,求最小角。
, 求a。
人教版高中数学必修5课件：1.1.2余弦定理(说课)(共20张PPT)
角形
5.学生练习
人教版A版高中数学必修5
玉林高中 饶蔼
通过探究 学会 掌握 两种表示 运用
过程与方法：
培养 特殊到一般 提升 解决几何问题
情感态度价值观：
数学来源于生活 学习热情 合作能力
一.教材分析
重点
发现与证明 及基本应用
难点
几何法证明 应用思路
二.学情分析
知识起点
正弦定理 知两角与任一边 知两边与对应角
经验起点
几何问题 建立直角坐标系
向量知识
问题1 问题2 问题3 问题4
问题5
对“冷艳”的数学进行“火热”的思考
突出重点
亮点： 基于教材 高于教材 培养思维能力 拓展思维空间
突破难点
例题讲解，解决问题
例1：在△ABC中，已知b=60 cm，c=34 cm，A=41°，解三 角形（角度精确到1°，边长精确到1 cm）.
知两边与夹角
例2：在△ABC中，已知a =134.6 cm，b=87.8 cm，c =161.7 cm，解三角形（角度精确到1°，边长精确到1 cm）.
三角形的形状具有什么特点？ 强化能力
探究题：小组课后学习P8的《探究与发现》，小组探究“知两 边与对应角”题型的解的情况问题。
拓展思维
板书设计
1.余弦定理
2.证明方法: (1)几何法; (2)向量法； (3)坐标法；
1.1.2余弦定理
3.例题讲解
4.小结
(1)已知三边求任意角;
(2)已知两边、一角解三
三.教学方法
问题 导学
小组 探究
总结 反思
构建
学生 主体
四.教学过程
一 • 创设情境，引入课题 6分钟 二 • 合作探究，证明定理 20分钟 三 • 例题讲解，解决问题 6分钟 四 • 牛刀小试，学以致用 4分钟 五 • 课堂小结，回顾反思 3分钟 六 • 布置作业，巩固升华 1分钟
苏教版高中数学必修五课件1.2余弦定理(2)
sin A sin B sin C
R为△ABC的外接圆半径，将原式化为 4R2sin2Bsin2C+4R2sin2Csin2B =8R2sinBsinCcosBcosC，
所以8R2sin2Bsin2C=8R2sinBsinCcosBcosC，
变式训练： 在△ABC中，若b2sin2C+c2sin2B =2bc·cosBcosC，试判断三角形的形状。
cos A b2 c2 a2 cos B a2 c2 b2 cos C a2 b2 c2
2bc
2ac
2ab
例1.在长江某渡口处，江水以5km/h的速度向东流，一渡船在江
南岸的A码头出发预定要在0.1h后到达江北岸的B码头（如图），
设 为正AN北方向，已知B码头在A码头的北偏东 ， 15
故△ABC是直角三角形。
例3. 如图，AM为 ABC中BC边上的中线，
A
求证：AM 1 2 AB2 AC2 - BC2 2
证明：设AMB ,则AMC 180
在 AMB中，由余弦定理，得
B
Ｍ
C
AB2 AM 2 BM 2 2AM MB cos 在 AMC中，由余2 c2 )2 c2(a2 c2 b2 )2
2ab
2ac
2bc a2 c2 b2 a2 b2 c2
2ac
2ab
即得，
b2 c2
[(a2 b2
c2 ) (a2 c2 b2 )]2 4a2
得b2+c2=a2，
15 A
DAN DAB NAB
C
ABC 15 9.4
答：渡船应按北偏西9.4的方向， 并以11.7km / h的速度航行.
R为△ABC的外接圆半径，将原式化为 4R2sin2Bsin2C+4R2sin2Csin2B =8R2sinBsinCcosBcosC，
所以8R2sin2Bsin2C=8R2sinBsinCcosBcosC，
变式训练： 在△ABC中，若b2sin2C+c2sin2B =2bc·cosBcosC，试判断三角形的形状。
cos A b2 c2 a2 cos B a2 c2 b2 cos C a2 b2 c2
2bc
2ac
2ab
例1.在长江某渡口处，江水以5km/h的速度向东流，一渡船在江
南岸的A码头出发预定要在0.1h后到达江北岸的B码头（如图），
设 为正AN北方向，已知B码头在A码头的北偏东 ， 15
故△ABC是直角三角形。
例3. 如图，AM为 ABC中BC边上的中线，
A
求证：AM 1 2 AB2 AC2 - BC2 2
证明：设AMB ,则AMC 180
在 AMB中，由余弦定理，得
B
Ｍ
C
AB2 AM 2 BM 2 2AM MB cos 在 AMC中，由余2 c2 )2 c2(a2 c2 b2 )2
2ab
2ac
2bc a2 c2 b2 a2 b2 c2
2ac
2ab
即得，
b2 c2
[(a2 b2
c2 ) (a2 c2 b2 )]2 4a2
得b2+c2=a2，
15 A
DAN DAB NAB
C
ABC 15 9.4
答：渡船应按北偏西9.4的方向， 并以11.7km / h的速度航行.
【人教A版】高中数学必修五：1.1.2《余弦定理》ppt导学课件
栏
∴2b2－c2＝b2，∴b2＝c2.∴b＝c，∴a＝b＝c，
目 链
接
∴△ABC 为等边三角形．
方法二 利用角的关系来判断：
∵A＋B＋C＝180°，
∴sin C＝sin(A＋B)，
又∵2cos Asin B＝sin C，
栏 目
链
∴2cos Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B，
(2)△ABC 为锐角三角形⇔a2＋b2＞c2且 b2＋c2＞a2且 c2＋a2＞b2.
(3)△ABC 为钝角三角形⇔a2＋b2＜c2或 b2＋c2＜a2或 c2＋a2＜b2. π
(4)若 sin 2A＝sin 2B，则 A＝B 或 A＋B＝ 2 .
4．在△ABC 中，已知 a2＋b2－c2＝ab，且 2cos Asin B＝sin C， 请确定△ABC 的形状．
点评：1.本题已知的是三边的关系，设出三边的大小是解题的关 键．
2．已知三边解三角形的方法：先用余弦定理求出一个角，再用栏目
链
正弦定理或余弦定理求出另一角，最后用三角形的内角和定理求第三接 角．
3．在△ABC 中，已知 a－b＝4，a＋c＝2b，且最大角为 120°，
求三边的长．
解析：由a－b＝4，得a＝b＋4.
解析：因为 A＝120°，b＝3，c＝5，
栏
所以根据余弦定理，得
目 链A＝9＋25－2×3×5×cos 120°＝49，所以 a
＝7.
答案：7
2．在△ABC 中，A＝30°，AB＝2，BC＝1，求 AC.
解析：由余弦定理得：
BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos 30°，
接
∴sin(A－B)＝0.
又∵A 与 B 均为△ABC 的内角，
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余弦定理及其推论：
c2 a2 b2 2ab cosC
cos C a 2 b 2 c 2 2 ab
b2 a2 c2 2ac cos B
cos B a 2 c 2 b 2 2 ac
a2 b2 c2 2bc cos A
cos A b 2 c 2 a 2 2 bc
巩固定理：
思考：观察上述等式的结构特征，谈一 谈你对等式的理解。
余弦定理
三角形一边的平方等于其他两边平方 的和减去这两边与它们夹角的余弦的积 的两倍。
c2 a2 b2 2ab cos C
a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cos B
问题二：已知三边解三角形 探究二:在ABC中,已知 a,b,c ,解三角形.
例：在 ABC中，c 2 3,b 3, A 30解, 三角形.
小结提炼：
余弦定理及其推论获得的过程是怎样 的？在这个过程中你有什么体会？
小结提炼：
提出探究问题 确定探究方案
完成探究过程
小结提炼：
已知两边及其夹角
解三角形
已知三边
证 几何法
明 发
向量法
现
坐标法
几何方法 几
何 代数方法 问
题
余弦定理及其推论
人教A版必修五第一章解三角形
1.1.2 余弦定理
复习回顾:
1.正弦定理的形式是什么?
a b c 2R sin A sin B sin C
2.正弦定理解决了解三角形的哪些类型？ （1）已知两角和任一边 （2）已知两边和一边的对角
提出问题 :
3.对于解三角形，还有哪些类型我们没 有解决呢？
1.已知两边及其夹角
作业布置：
1.课本第10页A组第3、4题
2.拓展思考：相等和不等是一对辩 证的关系，请根据角的范围讨论余 弦定理中所蕴含的相等和不等关系.
﹚
2.已知三边
问题一：已知两边及其夹角解三角形 探究一:在ABC中,已知 a,C,b ,解三角形.
﹚
思考：怎样确定解决问 探究一:在ABC中,已知 a,C,b ,解三角形.
﹚
小组合作，相互讨论，展示结果.
几何法:
向量法:
﹚
﹚
D 坐标法:
y
﹚
x
c2 a2 b2 2ab cos C