数学竞赛训练题--选择题(每题含详解)

高中数学竞赛训练题—选择题1．当01x <<时，()lg xf x x=，则下列大小关系正确的是（ ） A ．22()()()f x f x f x << B. 22()()()f x f x f x << C. 22()()()f x f x f x << D. 22()()()f x f x f x <<2．设()f x 在[0,1]上有定义，要使函数()()f x a f x a -++有定义，则a 的取值范围为（ ）A ．1(,)2-∞-； B. 11[,]22-； C. 1(,)2+∞； D. 11(,][,)22-∞-⋃+∞3．已知P 为三角形ABC 内部任一点（不包括边界），且满足()(2)0PB PA PB PA PC -+-=，则△ABC 一定为 ( )A ．直角三角形；B. 等边三角形；C. 等腰直角三角形；D. 等腰三角形4．已知()()2222212f x x a b x a ab b =++-++-是偶函数，则函数图象与y 轴交点的纵坐标的最大值是（ ）A B. 2 C. D. 45．已知函数34)(2+-=x x x f ，集合}0)()(|),{(≤+=y f x f y x M ，集合}0)()(|),{(≥-=y f x f y x N ，则在平面直角坐标系内集合M N 所表示的区域的面积是（ ） A.4π B. 2πC.πD.π26. 函数()f x = ）[]3. 1, . 1, C. 1, D. 1, 22A B ⎡⎤⎡⎡⎢⎥⎣⎣⎣⎦7. 设)(x f 有反函数)(1x f -，将)32(-=x f y 的图象向左平移2个单位，再关于x 轴对称后所得函数的反函数是（ ） A ．21)(1--=-x fyB ．2)(11x f y --=- C ．2)(11x f y --= D ．21)(1-=-x f y 8.化简三角有理式xx x x xx x x 22662244cos sin 2cos sin cos sin sin cos ++++的值为（ ）A. 1B. sin cos x x +C. sin cos x xD. 1+sin cos x x9.设a ,b 为两个相互垂直的单位向量。

已知OP =a ，OQ =b ，OR=r a +k b .若△PQR 为等边三角形，则k ，r 的取值为（ ）A ．k r ==B ．k r ==C ．k r ==D ．k r == 10.设{}n a ，{}n b 分别为等差数列与等比数列，且11444,1a b a b ====，则以下结论正确的是（ ）A. 22a b >B. 33a b <C. 55a b >D. 66a b >11.若15,(12)x R x +∈+则的二项式展开式中系数最大的项为（ ） A ．第8项 B. 第9项 C. 第8项和第9项 D. 第11项 12.设()cos5x f x =，12111(log ),(log ),(log )e e a f b f c f e πππ===，则下述关系式正确的是（ ）。

A ．a b c >> B. b c a >> C. c a b >> D. b a c >> 13．已知－１＜βα+＜3，且２＜βα-＜４，则βα32+的范围是（ ） A. )217,213(-B. )211,27(-C. )213,27(-D. )213,29(-14．若函数()2log 1a y x ax =-+有最小值，则a 的取值范围是（ ）．A 01a <<B 02,1a a <<≠C 12a <<D 2a ≥15．已知,1,=>ab b a 则ba b a -+22的最小值是（ ）．A 22 B2 C 2 D 116．已知cos cos 1x y +=，则sin sin x y -的取值范围是（ ）．A []11-，B []2-，2C 0⎡⎣D ⎡⎣17．函数()f x 是(0,)+∞上的单调递增函数，当*n N ∈时，*()f n N ∈，且[()]3f f n n =，则(1)f 的值等于（ ）．A 1 B 2 C 3 D 418.设集合}5,4,3,2,1{},1,0,2{=-=N M ，映射N M f →:使得对任意的M x ∈，都有)()(x xf x f x ++是奇数，则这样的映射f的个数是（ ）（A ）45 （B ）27 （C ）15 （D ）11 19.设函数xbax x g x x f +==)(,ln )(，它们的图象在x 轴上的公共点处有公切线，则当1>x 时，)(x f 与)(x g 的大小关系是 （ ）（A ）)()(x g x f >（B ）)()(x g x f <（C ）)()(x g x f =（D ）)(x f 与)(x g 的大小不定 20.已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，过顶点A 1在空间作直线l ，使直线l 与直线AC 和BC 1所成的角都等于600，这样的直线l 可以作（ ） （A ）4条（B ）3条（C ）2条（D ）1条21. 从１至169的自然数中任意取出３个数构成以整数为公比的递增等比数列的取法有（ ） A. 89种 B. 90种 C. 91种 D. 92种22.一个正六面体的各个面和一个正八面体的各个面都是边长为a 的正三角形，这样的两个多面体的内切球的半径之比是一个最简分数nm，那么积n m ⋅等于（ ）A ．3B ．4C ．6D ．1223.圆周上有10个等分点，则以这10个等分点中的四个点为顶点的凸四边形中，梯形所占的比为（ ） A ．821 B ．421C ．1126D ．2724．把2008表示成两个整数的平方差形式，则不同的表示方法有（ ）种．A 4B 6C 8D 1625.12)526(++n 的小数表示中，小数点后至少连续有 （ ） （A ）12+n 个零（B ）22+n 个零（C ）32+n 个零（D ）42+n 个零26.设AB 是椭圆12222=+by a x （0>>b a ）的长轴，若把AB100等分，过每个分点作AB的垂线，交椭圆的上半部分于P 1、P 2、… 、P 99 ，F 1为椭圆的左焦点，则21111P F P F A F +++…B F P F 1991++的值是（ ）（A ）a 98 （B ）a 99 （C ）a 100 （D ）a 101高中数学竞赛训练题—选择题 答案1.解：当01x <<时，()0lg x f x x =<，222()0lg x f x x =<，22()0lg x f x x ⎛⎫=> ⎪⎝⎭。

又因为2222(2)0lg lg 2lg 2lg x x x x x x x x x x---==<。

所以 22()()()f x f x f x <<。

选 C 。

2解：函数()()f x a f x a -++的定义域为 [,1][,1]a a a a +⋂--。

当0a ≥时，应有1a a ≤-，即12a ≤；当0a ≤时，应有1a a -≤+，即12a ≥-。

因此，选 B 。

3解：因为,2PB PA AB PB PA PC CB CA -=+-=+，所以已知条件可改写为()0AB CB CA ⋅+=。

容易得到此三角形为等腰三角形。

因此 选 D 。

4解：由已知条件可知，2210a b +-=，函数图象与y 轴交点的纵坐标为222a ab b +-。

令,s cos in b a θθ==，则22222sin cos sin cos2sin 2c s 2o a ab b θθθθθθ+=+=--+≤ 选 A 。

5．C 提示：由已知可得M ={（x ,y )|f (x )+f (y )≤0}={(x ,y )|(x -2)2+(y -2)2≤2},N ={(x ,y )|f (x )-f (y )≥0} ={(x ,y )|(x -y )(x +y -4)≥0}.则22(2)(2)2()(4)0x y M N x y x y ⎧-+-≤=⎨-+-≥⎩ ,作出其交集部分可得如图所示，其面积为圆面积的一半，即为212ππ=，故应选C.6.D .解：()f x 的定义域为34,x ≤≤则031x ≤-≤，令23sin , 02x πθθ-=≤≤，则()f x =sin sin 2sin()3πθθθθ==+=+因5336πππθ≤+≤，则 1sin()1, 12sin()2233ππθθ≤+≤≤+≤ 7. A 解：设)32(-=x f y 上有点),(00y x 左移2 ),2(00y x -关于x 轴对称),2(00y x --取反函数)2,(00--x y ，∴⎩⎨⎧=-=-y x x y 200⇒⎩⎨⎧-=+=xy y x 002代入)32(-=x f y 得)12(+=-y f x ⇒)(121x f y -=+-⇒21)(1--=-x fy ，8.解答为 A 。

22442222sin cos )(sin cos sin cos )2sin cos x x x x x x x x ++-+分母=(4422s i n c o s s i nc o sx x x x =++。

也可以用特殊值法9.解答．C. PQ QR PR ==，12==r=k=。

10.解答：A 。

11444,1a b a b ====设等差数列的公差为d ，等比数列公比为q,由，得223355663,2,0,1,a b a b a b a b =======-=得。

11.解答：D. 11512129322,33r rr r r r r T C T T T T r ++++=≤≤⇒≤≤由，，r=10，第11项最大。

12.解答： D 。

函数()cos5x f x =为偶函数，在（0，2π）上，()cos f x x =为减函数，而121111log log ,log ,log 2log log ee e e e e ππππππ=-=-=， log 2log 105log 554e e e ππππ<<<<，所以b a c >>。

13解：由待定系数法或线性规划可得。

14答案：C ．解：当01a <<时，log a y x =是递减函数，由于21t x ax =-+没有最大值，所以()2log 1a y x ax =-+没有最小值；当1a >时，()2log 1a y x ax =-+有最小值等价于21t x ax =-+有大于0的最小值．这等价于240a ∆=-<，因此12a <<．15答案：A.解：记t b a =-，则0>t ，b a b a -+2222222≥+=+=t t t t ，（当且仅当22t a b ===即时取等号）．故选A ． 16答案：D ．解：设sin sin x y t -=，易得21cos cos sin sin 2t x y x y --=，即()21cos 2t x y -+=．由于()1cos 1x y -≤+≤，所以21112t --≤≤，解得 t ≤≤．17答案：B 解：（用排除法）令1n =，则得[(1)]3f f =． 若(1)1f =，则[(1)](1)3f f f ==，与(1)1f =矛盾；若(1)3f =，则[(1)](3)3f f f ==，与“()f x 在(0,)+∞上单调递增”矛盾；若(1)4f =，则[(1)](4)3f f f ==，也与“()f x 在(0,)+∞上单调递增”矛盾．故选B ． 18.A 提示：当2-=x 时，)2(2)()(---=++f x xf x f x 为奇数，则)2(-f 可取1、3、5，有3种取法；当0=x 时，)0()()(f x xf x f x =++为奇数，则)0(f 可取1、3、5，有3种取法；当1=x 时，)1(21)()(f x xf x f x +=++为奇数，则)1(f 可取1、2、3、4、5，有5种取法。