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2018-2019学年广东省广州市荔湾区高二(上)期末数学试卷(理科)

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广东省广州市荔湾区2018-2019学年高二上学期期末教学质量监测英语试题及答案解析

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广州市荔湾区2018~2019学年高二上学期期末教学质量监测英语试题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息；2．请将答案正确填写在答题卡上。

第I卷（选择题)一、阅读理解I first began experiencing anxiety and depression at the age of 14, after being bullied (欺凌) at school for years. While at first anxiety and depression would come and go, it eventually became a constant part of my life.I was so eager to find the solution to overcoming my anxiety and depression that I tried everything from when I was in college to graduate school: mood-changing medication, special teas, yoga, anything I read about in books, and advice given by doctors. Despite this, I still felt I hadn’t even come close to managing the problem.But one afternoon, my eyes fell upon an article in a magazine I was reading that talked about how dogs were able to help people with anxiety and depression. The very next day, I decided to get a dog—a corgi. When I brought my little corgi, Buddy, home. I didn’t realize how much he would change my life. It didn’t happen righ t away, however.Once the “puppy excitement” went away, my anxiety and depression came back as usual. One morning, I woke up with those familiar feeling again. I didn’t want to get out of bed. I turned to pull the covers back over my head and give up. That’s when I saw Buddy.Buddy started jumping all over me, licking my face, letting me know that it was time to go outside. It was as if he were saying, “There’s no time to be sad; the world is amazing!” And for the first time in my life, my life was changing. I really was a new person. This was my new beginning.It’s been more than a year since that day, and I’ve never spent another morning unable to get out of bed. I’ve not cried myself to sleep or spent my days stuck with fear and regret. Sure,finally learned how to manage these feelings and emotions.1．According to the first two paragraphs, the author ________.A．has been a school bully for yearsB．suffered from depression since collegeC．tried many ways to fight depression but nothing workedD．felt less depressed after taking medication and doing yoga2．How did the author know having a dog might help with her depression?A．a doctor put it forward to her.B．She read it in an article by chance.C．She heard it from some other depression sufferers.D．She found out herself after spending some time with a corgi.3．How does the author feel in the last paragraph?A．hopeful B．AnxiousC．Confused D．DoubtfulBritish scientists have discovered the willow trees planted at an angle could increase sugars for biofuel production.Willow is a fast-growing species. It is already used to produce fuels for the renewable heating and power market. In future it could also help to produce biofuel to power vehicles. It has been known that when willows growing in the wild are blown sideways, they tend to produce more sugars. But for a while it has not been known why this happens.Researchers at Imperial College London, led by Dr Nicholas Brereton and Dr Michael Ray of the Department of Life Sciences, have now solved the mystery. When the tree is blown sideways, its genes (基因) produce large numbers of sugar molecules (分子) to straighten the tree upwards.“This is an important breakthrough. Our study now shows that natural genetic changes are related to these differences. And this could well be the key to unlocking the future for green energy from willow,” said Dr Brereton.The research was carried out under lab conditions. The willows were grown at an angle of 45 degrees. They were compared to willows which grow naturally straight upwards. The team then looked for the same effect among the willows growing on the Isle of Orkney where strongfive times the amount of sugars found in willows grown in sheltered conditions.Willow is widely planted across the UK. The results show that biofuel crops such as willows could be grown in climatically changeable conditions where chances of growing food crops are limited.The study is published in Biotechnology for Biofuels.4．What may happen when willows are planted in strong winds?A．They stop growing. B．Few sugars are produced.C．They try to grow sideways. D．Changes in genes take place.5．The Orkney willows ________.A．are unusually rich in sugars B．grow naturally straight upwardC．look taller than ordinary willows D．are stronger than those growing in labs 6．Farmers living in changeable climate _______.A．use biofuel for heating and power B．are encouraged to grow biofuel crops C．can plant different kinds of food crops D．should make their willows grow straight 7．Where does this passage most probably come from?A．A personal diary. B．A travel magazine.C．A scientific journal. D．A newspaper advertisement.Have you ever run into a careless cell phone user on the street? Perhaps they were busy talking, texting or checking updates on We Chat without looking at what was going on around them. As the number of this new “species” of human has kept rising, they have been given a new name—phubbers (低头族).Recently, a cartoon created by students from China Central Academy of Fine Arts put this group of people under the spotlight. In the short film, phubbers with various social identities bury themselves in their phones. a doctor plays with his cell phone while letting his patient die, a pretty woman takes selfe in front of a car accident site, and a father loses his child without knowing about it while using his mobile phone, a chain of similar events eventually leads to a series of destruction.Although the ending sounds overstated, the damage phubbing can bring is real.Your health is the first to bear the consequence (后果) of it. “Constantly bending your head to check your cell phone could damage your neck,” Guangming Daily quoted doctors asphones for long periods of time will damage your eyesight gradually, according to the report.But that’s not all. Being a phubber could also damage your social skills and drive you away from your friends and family. At reunions with family or friends, many people tend to stick to their cell phones while others are chatting happily with each other and this creates a strange atmosphere, Qilu Evening News reported.It can also cost you your life. There have been lots of reports on phubbers who fell to their death, suffered accidents, and were robbed of their cell phones in broad daylight.8．For what purpose does the author give the example of a cartoon in Para. 2?A．To advertise the cartoon made by students.B．To inform people of the bad effects of phubbing.C．To show the world will finally be destroyed by phubbers.D．To warn doctors against using cell phones while treating patients.9．Which of the following is NOT a risk a phubber may take?A．His social skills could be affected.B．He will cause a lot of destruction.C．His neck and eyesight will be gradually harmed.D．He might get separated from his friends and family.10．Which of the following may be the author’s attitude towards phubbing? A．Opposed. B．Supportive.C．Objective. D．Optimistic.11．What will the passage most probably talk about next?A．Consequences of phubbing. B．People addicted to phubbing.C．Advice on how to use a cell phone. D．Measures to reduce the risks of phubbingThanks to exchange programmes an increasing number of young students are following educational courses in foreign countries. The Erasmus Programme, which started in 1987, is a European Union student exchange programme. It provides opportunities for young people from Europe to study in a foreign country for shot An intercontinental version of the programme, known as Erasmus Mundus, has existed since 2003, providing non-Europeans the opportunity to study in Europe.A．Student Exchange programmes. B．World-wide Programmes. C．Educational Programmes. D．Continential Programmes.13．What do you know from the passage?A．Erasmus Mundus lasts for nearly 32 years up to now.B．Beatrice Giletti went to Dublin from Rotterdam.C．Erasmus Mundus lasts for 16 years up to now.D．Paul Dupont studies together mostly with Italians.14．Paul Dupont thought highly of the Erasmus Programme except ________. A．seasons in the sun B．a completely new lifeC．living with new friends D．the apartment heating15．Which of the following is NOT true according to the text?A．People in the city of Naples speak many languages.B．Beatrice’s lifestyle was greatly changed after her experience in Dublin.C．Naples was so beautiful that Wilmie Boot loved it at the first sight.D．If Wilmie had a choice again, she would choose no other places than Naples.二、完形填空Two brothers, Ruby and Harry lived in Spain. They 16 for years to buy their mom a very special Christmas present this year: a BWM 3 Series.“Showing 17 to our beautiful Mum who’s worked so hard to 18 us everything in life,” Ruby, 30, told the media. “Compared to the 19 she has made for us over the years, this is nothing.” He said the 20 had been in the works for years.“My mother wanted a BMW ten years ago, which we never 21 ,” he said. “We said that one day we would get her one and we 22 a little each week knowing one day we would be able to get her 23 car.”Ruby and his brother Harry saved for about five years 24 they bought the car. Their mother appears 25 , saying “no” over and over again as the two brothers 26 her to the garage to have a look at a silver BMW.“She was just very surprised and couldn’t 27 it,” he said. “We were sure she 28 love d it.”It will 30 their mom’s current one.“She 31 us two brothers and worked two jobs for most of her life to 32 us in school and give us everything we 33 ,” Ruby said. “We watched her go from her34 job on Friday, get changed and 35 the weekend at a restaurant.”He added, “Maternal love is the most selfless love under the sun and we just thought it would be nice to show how grateful we are for everything and remind ourselves that thankfulness is a virtue.”16．A．waited B．traded C．saved D．desired17．A．concern B．appreciation C．respect D．understanding 18．A．instruct B．tell C．promise. D．offer19．A．efforts B．progress C．opportunity D．atmosphere 20．A．contribution B．achievement C．surprise D．passion 21．A．minded B．forgot C．abandoned D．witnessed22．A．made up B．paid off C．worked out D．put away23．A．dream B．previous C．fixed D．repaired24．A．since B．until C．after D．before25．A．confused B．satisfied C．shocked D．disappointed26．A．called B．walked C．attracted D．drove27．A．believe B．reject C．afford D．accept28．A．gradually B．unconditionally C．eventually D．absolutely 29．A．model B．result C．symbol D．signal30．A．replace B．change C．block D．match31．A．brought up B．depended on C．took in D．gave out 32．A．leave B．keep C．allow D．teach33．A．knew B．owned C．listed D．needed34．A．well-paid B．smartly-dressed C．full-time D．long-sought 35．A．work B．enjoy C．arrange D．expect第II卷（非选择题）Social PhobiaIt is natural to feel nervous, or shy in front of others at times. Most people manage to get through these moments when they need to. 36．It’s probably more tha n shyness. It may build up into a powerful fear. As a result, people feel uncomfortable participating in everyday social activities. This is called social phobia (also called social anxiety).37．It prevents them from chatting with friends in the lunch time, joining an after-school club, or going to a party. Sometimes, they even feel too nervous to ask a question in class or go to a teacher for help. Social phobia not only prevents people from trying new things. It also prevents them from making the normal, everyday mistakes that may help people improve their skills even furtherIt is really sad, isn’t it? But the good news is that people with social phobia can learn to manage fear, develop confidence and communicating skills and stop avoiding things that make them nervous. Of course it’s not always easy. Dealing with social phobia takes the willingness patience and courage to face fears. 38．Therapists (治疗师) can help people create a plan for facing social fears and build the skills and confidence to overcome it. And family or friends are especially important for them. 39．They can encourage them to pick a small goal to aim for, remind them to go for it, and be there when they might feel discouraged.Little by little, someone who decides to deal with extreme shyness can learn to be more comfortable. 40．As shyness and fears begin to melt, confidence and positive feelings build. Pretty soon, the person is thinking less about what might feel uncomfortable and more about what might be fun.A．Friends can overcome their fears easily.B．But for someone, the anxiety can be extreme.C．They are not able to make eye contact with classmates.D．Social phobia makes people lonely or disappointed over missed opportunities.E. Each small step forward helps build enough confidence to take the next small step.F. It also takes an action to go forward rather than back away when feeling shy.G. The support from those key people helps them gather the courage to try something new.阅读下面材料，在空白处填入适当的内容（1个单词）或括号内单词的正确形式。

荔湾区三中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

荔湾区三中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

荔湾区三中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 集合{}5,4,3,2,1,0=S ,A 是S 的一个子集,当A x ∈时,若有A x A x ∉+∉-11且,则称x 为A 的一个“孤立元素”.集合B 是S 的一个子集, B 中含4个元素且B 中无“孤立元素”,这样的集合B 共有个 A.4 B. 5 C.6 D.72． 设曲线2()1f x x =+在点(,())x f x 处的切线的斜率为()g x ，则函数()cos y g x x =的部分图象 可以为（ ）A ．B ． C. D ．3． 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知在S n 中有S 17＜0，S 18＞0，那么S n 中最小的是（ ） A ．S 10 B ．S 9C ．S 8D ．S 74． 已知三棱柱111ABC A B C - 的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 上的射影为BC 的中点， 则异面直线AB 与1CC 所成的角的余弦值为（ ）A ．34 B ．54 C.74D ．345． 设x ，y ∈R ，且满足，则x+y=（ ）A ．1B ．2C ．3D ．46． 若抛物线y 2=2px 的焦点与双曲线﹣=1的右焦点重合，则p 的值为（ ）A ．﹣2B ．2C ．﹣4D ．47． 数列1,3,6,10，…的一个通项公式是（ ） A ．21n a n n =-+ B ．(1)2n n n a -=C ．(1)2n n n a += D ．21n a n =+8． 设函数y=的定义域为M ，集合N={y|y=x 2，x ∈R}，则M ∩N=（ ）A ．∅B ．NC ．[1，+∞）D ．M9． 已知角α的终边经过点(sin15,cos15)-，则2cos α的值为（ ）A ．12+B ．12 C. 34 D ．0 10．若集合A ＝{－1,1}，B ＝{0,2}，则集合{z|z ＝x ＋y ，x ∈A ，y ∈B}中的元素的个数为( )A5 B4 C3 D211．满足集合M ⊆{1，2，3，4}，且M ∩{1，2，4}={1，4}的集合M 的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．412．如图，空间四边形OABC 中，，，，点M 在OA 上，且，点N 为BC 中点，则等于（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题2的点的坐标是 所示的框图，输入，则输出的数等于15．将一个半径为3和两个半径为1的球完全装入底面边长为6的正四棱柱容器中，则正四棱柱容器的高的最小值为．16．给出下列四个命题：①函数y=|x|与函数表示同一个函数；②奇函数的图象一定通过直角坐标系的原点；③函数y=3x2+1的图象可由y=3x2的图象向上平移1个单位得到；④若函数f（x）的定义域为[0，2]，则函数f（2x）的定义域为[0，4]；⑤设函数f（x）是在区间[a，b]上图象连续的函数，且f（a）•f（b）＜0，则方程f（x）=0在区间[a，b]上至少有一实根；其中正确命题的序号是．（填上所有正确命题的序号）17．如图所示是y=f（x）的导函数的图象，有下列四个命题：①f（x）在（﹣3，1）上是增函数；②x=﹣1是f（x）的极小值点；③f（x）在（2，4）上是减函数，在（﹣1，2）上是增函数；④x=2是f（x）的极小值点．其中真命题为（填写所有真命题的序号）．18．已知数列{a n }满足a n+1=e+a n （n ∈N *，e=2.71828）且a 3=4e ，则a 2015= ．三、解答题19．（本小题满分12分）如图所示，已知⊥AB 平面ACD ，⊥DE 平面ACD ，ACD ∆为等边 三角形,AB DE AD 2==，F 为CD 的中点. （1）求证：//AF 平面BCE ； （2）平面⊥BCE 平面CDE .20．若数列{a n }的前n 项和为S n ，点（a n ，S n ）在y=x 的图象上（n ∈N *），（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若c 1=0，且对任意正整数n 都有，求证：对任意正整数n ≥2，总有．21．已知函数f（x）=2|x﹣2|+ax（x∈R）．（1）当a=1时，求f（x）的最小值；（2）当f（x）有最小值时，求a的取值范围；（3）若函数h（x）=f（sinx）﹣2存在零点，求a的取值范围．22．【镇江2018届高三10月月考文科】已知函数，其中实数为常数，为自然对数的底数. （1）当时，求函数的单调区间；（2）当时，解关于的不等式；（3）当时，如果函数不存在极值点，求的取值范围.23．由四个不同的数字1，2，4，x组成无重复数字的三位数．（1）若x=5，其中能被5整除的共有多少个？（2）若x=9，其中能被3整除的共有多少个？（3）若x=0，其中的偶数共有多少个？（4）若所有这些三位数的各位数字之和是252，求x．24．（本小题满分12分）某校为了解高一新生对文理科的选择，对1 000名高一新生发放文理科选择调查表，统计知，有600名学生选择理科，400名学生选择文科．分别从选择理科和文科的学生随机各抽取20名学生的数学成绩得如下累计表：（1率分布直方图．（2）根据你绘制的频率分布直方图，估计意向选择理科的学生的数学成绩的中位数与平均分．荔湾区三中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）一、选择题1． 【答案】C 【解析】试题分析：根据题中“孤立元素”定义可知，若集合B 中不含孤立元素，则必须没有三个连续的自然数存在，所有B 的可能情况为：{}0,1,3,4，{}0,1,3,5，{}0,1,4,5，{}0,2,3,5，{}0,2,4,5，{}1,2,4,5共6个。

2018-2019学年广东省广州市天河区高二上学期期末数学(理)试题(解析版)

2018-2019学年广东省广州市天河区高二上学期期末数学(理)试题(解析版)

2018-2019学年广东省广州市天河区高二上学期期末数学（理）试题一、单选题1．设命题p ：x R ∀∈，210x +>，则p ⌝为（ ）A ．0x R ∀∈，2010x +> B ．0x R ∃∈，2010x +≤ C ．0x R ∃∈，2010x +<D ．0x R ∀∈，2010x +≤【答案】B【解析】试题分析：全称命题的否定是特称命题,所以命题p 的否定为200,10x R x ∃∈+≤,故选B.【考点】命题否定 全称命题 特称命题2．某校为了解学生的学习情况，采用分层抽样的方法从高一600人、高二680人、高三720人中抽取50人进行问卷调查，则高二抽取的人数 是（ ） A ．18 B ．17C ．16D ．15【答案】B【解析】直接根据分层抽样的比例关系得到答案. 【详解】 抽取人数为：6805017600680720⨯=++.故选：B . 【点睛】本题考查了分层抽样，意在考查学生的计算能力.3．双曲线22134y x -=的渐近线方程是（ ）A ．y x =B ．y x =C ．34y x =?D ．43y x =±【答案】A【解析】直接根据渐近线公式得到答案. 【详解】曲线22134y x -=的渐近线方程是：2y x =±.故选：A . 【点睛】本题考查了双曲线的渐近线，属于简单题. 4．下列有关命题的说法错误的是（ ） A ．“若22am bm <，则a b <”的逆命题为假命题B ．命题“如果()()150x x +-=2=”的否命题是真命题C ．若p q ∧为假命题，则p 、q 均为假命题D ．若p q ∨为假命题，则p 、q 均为假命题 【答案】C【解析】写出逆命题和否命题，判断正误，根据或和且的命题真假判断命题真假得到答案. 【详解】逆命题为：若a b <，则22am bm <，当0m =是不成立，故为假命题，A 正确；否命题为：如果()()150x x +-≠2≠，为真命题，B 正确； 若p q ∧为假命题，则p 、q 不同时为真，C 错误； 若p q ∨为假命题，则p 、q 均为假命题，D 正确； 故选：C . 【点睛】本题考查了逆命题和否命题，或和且命题的判断，意在考查学生的推断能力.5．已知向量()()1,1,0,1,0,2a b ==-v v，且ka b +v v 与2a b -v v 互相垂直，则k 的值是（ ） A ．1 B ．15C ．35D ．75【答案】D【解析】由ka b +r r 与2a b -r r互相垂直得()()20a b ka b +⋅=-r r r r ,再代入()()1,1,0,1,0,2a b ==-r r求解即可.【详解】由题()()20a b ka b +⋅=-r rr r ,即()()31,,202,,2k k --⋅=.故7332405k k k -+-=⇒=. 故选：D 【点睛】本题主要考查了空间向量的基本运算与垂直的运用,属于基础题型. 6．已知某算法的程序框图如图所示,则该算法的功能是A ．求首项为1,公比为2的等比数列的前2017项的和B ．求首项为1,公比为2的等比数列的前2018项的和C ．求首项为1,公比为4的等比数列的前1009项的和D ．求首项为1,公比为4的等比数列的前1010项的和 【答案】C【解析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，可得答案． 【详解】解：由已知中的程序框图可知：该程序的循环变量n 的初值为1，终值为2019，步长为2，故循环共执行了1009次由S 中第一次累加的是21﹣1＝1，第二次累加的是23﹣1＝4，……故该算法的功能是求首项为1，公比为4的等比数列的前1009项的和， 故选C ． 【点睛】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．7．“勾股定理”在西方被称为“华达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数列结合的方法给出了勾股定理的详细证明.如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为4的大正方形，若直角三角形中较大的锐角3πα=，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是（ ）A ．31-B ．32C ．434- D ．34【答案】A【解析】计算阴影图形边长为232-，面积为1683-. 【详解】易知阴影部分图形为正方形，其边长为：4sin4cos23233ππ-=，故阴影部分面积为()22321683=-168331162p -==-. 故选：A . 【点睛】本题考查了几何概型，意在考查学生的应用能力.8．二面角l αβ--为60°，A 、B 是棱l 上的两点，AC 、BD 分别在半平面,αβ内，AC l ⊥，BD l ⊥，且AB ＝AC ＝a ，BD ＝2a ，则CD 的长为( )A ．2aB 5aC ．aD 3a【答案】A【解析】试题分析：根据异面直线上两点间的距离公式2222cos EF d m n mn θ=++±，对于本题中，d a =，m a =，2n =，60θ=o，故()222222cos 602CD a a a a a a =++-⋅⋅⋅=o ．【考点】异面直线上两点间距离,空间想象能力．9．某校100名学生的数学测试成绩的频率分布直方图如图所示，分数不低于a 即为优秀，如果优秀的人数为20，则a 的估计值是( )A ．130B ．140C ．133D ．137【答案】C【解析】由题意可知：90﹣100分的频率为0.005×10=0.05，频数为5人 则100﹣110分的频率为0.018×10=0.18，频数为18人 110﹣120分的频率为0.03×10=0.3，频数为30人 120﹣130分的频率为0.022×10=0.22，频数为22人 130﹣140分的频率为0.015×10=0.15，频数为15人 140﹣150分的频率为0.010×10=0.05，频数为10人而优秀的人数为20人，140﹣150分有10人，130﹣140分有15人，取后10人 ∴分数不低于133即为优秀， 故选C ．点睛：由频率分布直方图分析可得每一个分数段上的频率，再由频率与频数的关系，以及获得优秀的频数可得a 的值．本题要看清纵坐标表示频率比上组距，组距为10，计算频率时需要让纵坐标乘以10,不然很容易做错，属于基础题．10．已知椭圆1C 与双曲线2C 有相同的焦点1F 、2F ，点P 是1C 与2C 的一个公共点，12PF F ∆是一个以1PF 为底的等腰三角形，14PF =，1C 的离心率是67，则2C 的离心率是（ ） A ．67B ．76C ．65D ．3【答案】C【解析】根据题意得到12224242PF a a c =-=+=，得到12a c =+，22a c =-，167c a =计算得到答案. 【详解】不妨设椭圆1C ：2222111x y a b +=，双曲线2C ：2222221x y a b -=，则14PF =，故12224242PFa a c =-=+=，故12a c =+，22a c =-.1C 的离心率是67，即167c a =，故1212,14,10c a a ===，故22126105c e a ===. 故选：C . 【点睛】本题考查了椭圆和双曲线的综合应用，意在考查学生的综合应用能力.11．已知命题():0,p x ∀∈+∞，1102xm ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭；命题():0,q x ∃∈+∞，2410mx x +-=，则命题p 是命题q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】分别计算得到m 1≥和4m ≥-，根据范围大小判断得到答案. 【详解】():0,p x ∀∈+∞，1102x m ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭，即112x m ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，易知函数()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增，故m 1≥.命题():0,q x ∃∈+∞，2410mx x +-=， 2214124m x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，故4m ≥-.故命题p 是命题q 的充分不必要条件. 故选：A . 【点睛】本题考查了根据命题求参数，充分不必要条件，意在考查学生的推断能力.12．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，过原点O 作直线与双曲线交于A 、B 两点，点M 为双曲线上异于A 、B 的动点，且直线MA 、MB 的斜率分别为1k 、2k ，若双曲12k k ⋅=（ ） AB ．3CD ．2【答案】D【解析】化简得到222212x y a a-=，设(),M x y ，(),A m n ，故(),B m n --，得到()22222y n x m -=-，计算斜率化简得到答案.【详解】双曲线的离心率为3，即3c a =，故2b a =，即222212x y a a-=. 设(),M x y ，(),A m n ，故(),B m n --，故222212x y a a -=，222212m n a a -=， 两式相减得到：()22222y n x m -=-，故2212222y n y n y n k k x m x m x m-+-⋅=⋅==-+-. 故选：D . 【点睛】本题考查了双曲线中斜率的定值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.二、填空题13．将一个质量均匀的骰子先后投掷2次，观察向上的点数，则两数之和是5的概率是______. 【答案】19【解析】共有36种情况，满足条件的有四种情况，得到概率. 【详解】一共有6636⨯=种情况，满足条件的有()()()()1,4,2,3,3,2,4,1四种情况，故41369p ==. 故答案为：19.【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力.14．如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）.若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x =______.【答案】3【解析】根据中位数相等得到5y =，再根据平均值相等得到答案.【详解】甲组的中位数为65，乙组的中位数也是65，故5y =. 乙组的平均值为：5961656778665++++=，故5662657074665x +++++=，故3x =. 故答案为：3. 【点睛】本题考查了中位数和平均数，意在考查学生的计算能力.15．已知动圆M 与直线2y =相切，且与定圆()22:31C x y ++=外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为______. 【答案】212x y =-【解析】M 到()0,3-的距离等于到3y =的距离，故轨迹为抛物线，得到答案. 【详解】设动圆半径为r ，则M 到直线2y =的距离为r ，1MC r =+，故M 到()0,3-的距离等于到3y =的距离，故轨迹为抛物线，即212x y =-.故答案为：212x y =-. 【点睛】本题考查了抛物线的轨迹方程，意在考查学生对于抛物线定义的理解.16．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 、Q 分别是线段1CC 、BD 上的点，R 是直线AD 上的点，且12CP C P =，//PQ 平面11ABC D ，PQ RQ ⊥，则PR 的长为______.【答案】143【解析】如图所示，过点P 作1//PM BC 交MC 于点M ，连接,,QM QC RC ，证明2DQ QB =，RQ QC ⊥，再利用勾股定理计算得到答案.【详解】如图所示：过点P 作1//PM BC 交MC 于点M ，连接,,QM QC RC .1//PM BC ，1BC ⊂平面11ABC D ，故//PM 平面11ABC D ，//PQ 平面11ABC D ， PM PQ P =I ，故平面//PQM 平面11ABC D ，故//QM AB ，故2DQ QB =.1CC ⊥平面ABCD ，RQ ⊂平面ABCD ，故1CC RQ ⊥，PQ RQ ⊥，PQ RQ Q =I .故RQ ⊥平面PQC ，QC ⊂平面PQC ，故RQ QC ⊥.故22551099CR RQ QC =+=+=，2210414993PR RC CP =+=+=. 故答案为：143.【点睛】本题考查了立体几何中的线段长度，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.三、解答题17．已知抛物线()220y px p =>，其焦点到准线的距离为4.（1）求该抛物线的标准方程.（2）过点()1,1M 的直线交该抛物线于,A B 两点，如果点M 恰是线段AB 的中点，求直线AB 的方程.【答案】（1）28y x =；（2）43y x =-.【解析】（1）根据抛物线定义得到4p =，得到答案.（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，代入相减得到()()()1212128y y y y x x +-=-，故4k =，得到答案. 【详解】（1）抛物线()220y px p =>，其焦点到准线的距离为4，故4p =，故28y x =. （2）设()11,A x y ，()22,B x y ，故2118y x =，2228y x =，两式相减得到：()()()1212128y y y y x x +-=-，即1284k y y ==+，故直线方程为：()41143y x x =-+=-. 【点睛】本题考查了抛物线方程，点差法求直线，意在考查学生的综合应用能力.18．如图，在四棱锥S ABCD -中，SD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，且SD AD =，E 是SA 的中点.（1）求证：//SC 平面BED ；（2）求直线SA 与平面BED 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（26. 【解析】（1）连接AC 与BD 交于点O ，连接EO ，证明//OE AC 得到答案.（2）以,,DA DC DS 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，计算平面BED 的法向量为()1,1,1n =-r，计算得到答案.【详解】（1）如图所示：连接AC 与BD 交于点O ，连接EO ，易知O 为AC 中点，E 是SA 的中点，故//OE AC ，OE ⊂平面BED ， 故//SC 平面BED .（2）如图所示，以,,DA DC DS 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系. 设1AD =，故()0,0,0D ，()1,0,0A ，()0,0,1S ，()1,1,0B ，11,0,22E ⎛⎫⎪⎝⎭. 设平面BED 的法向量为(),,n a b c =r ，故00n DE n DB ⎧⋅=⎨⋅=⎩uu u v v u u u v v ，即011022a b a c +=⎧⎪⎨+=⎪⎩. 取1x =-，则()1,1,1n =-r ，()1,0,1AS =-u u u r.故6cos ,32n AS n AS n AS⋅===⋅⋅r u u u rr u u u r r u u u r ，故直线SA 与平面BED 所成角的正弦值为6.【点睛】本题考查了线面平行，线面夹角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 19．在“新零售”模式的背景下，某大型零售公司推广线下分店，计划在S 市的A 区开设分店，为了确定在该区开设分店的个数，该公司对该市已开设分店的其他区的数据作了初步处理后得到下列表格.记x 表示在各区开设分店的个数，y 表示这个x 个分店的年收入之和.(1)该公司已经过初步判断，可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，求y 关于x 的线性回归方程ˆˆy bxa =+ (2)假设该公司在A 区获得的总年利润z (单位:百万元)与x ，y 之间的关系为20.05 1.4z y x =--，请结合(1)中的线性回归方程，估算该公司应在A 区开设多少个分店时，才能使A 区平均每个分店的年利润最大?(参考公式:ˆˆy bxa =+，其中1221ˆni ii nii x y nxyb xnx ==-=-∑∑，ˆˆay bx =-) 【答案】(1)0.850.6y x =+;(2)该公司应开设4个分店时，在该区的每个分店的平均利润最大【解析】（1）由表中数据先求得,x y .再结合公式分别求得ˆˆ,ba ,即可得y 关于x 的线性回归方程.（2）将（1）中所得结果代入20.05 1.4z y x =--中,进而表示出每个分店的平均利润,结合基本不等式即可求得最值及取最值时自变量的值. 【详解】（1）由表中数据和参考数据得:2345645x ++++==, 2.534 4.5645y ++++==,因而可得()52110ii x x =-=∑,()()518.5i i i x x y y =--=∑,再代入公式计算可知()()()1218.5ˆ0.8510niii nii x x yy bx x ==--===-∑∑, ∴ˆˆ440.850.6a y bx=-=-⨯=, ∴0.850.6y x =+.（2）由题意,可知总收入的预报值ˆz 与x 之间的关系为:2ˆ0.050.850.8z x x =-+-, 设该区每个分店的平均利润为t ,则zt x=, 故t 的预报值ˆt与x 之间的关系为0.880ˆ0.050.850.0150.85t x x x x ⎛⎫=--+=-++ ⎪⎝⎭,当且仅当805x x=时取等号,即4x =或4x =-（舍） 则当4x =时,ˆt取到最大值, 故该公司应开设4个分店时,在该区的每个分店的平均利润最大. 【点睛】本题考查了线性回归方程的求法,基本不等式求函数的最值及等号成立的条件,属于基础题.20．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，平面11BCC B ⊥平面ABC ，四边形11BCC B 为菱形，点M 是棱AC 上不同于A 、C 的点，2AB BC ==，90ABC ∠=o ，1160BB C ∠=o .（1）求证：1B C ⊥平面1ABC ；（2）若二面角1A BC M --为30o ，求AM 的长. 【答案】（1）证明见解析；（2）42AM =【解析】（1）证明1AB B C ⊥，11B C BC ⊥得到答案.（2）以,,BA BC BD 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设AM m =，平面1ABC 的法向量为()10,3,1n =-u r ，平面1MBC 的法向量为2623,1222n m ⎛⎫ ⎪⎪=⎪-⎪⎝⎭u u r ，计算夹角得到答案. 【详解】（1）90ABC ∠=o ，平面11BCC B ⊥平面ABC ，故AB ⊥平面11BCC B ，1B C ⊂平面11BCC B ，故1AB B C ⊥.四边形11BCC B 为菱形，故11B C BC ⊥，1AB BC B =I ，故1B C ⊥平面1ABC .（2）设D 为11B C 中点，易知DB BC ⊥，故DB ⊥平面ABC . 以,,BA BC BD 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设AM m =，故()2,0,0A ，()0,0,0B ，()10,1,3C ，222,,022M m m ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.设平面1ABC 的法向量为()1111,,n x y z =u r ，故11100n AB n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u v u u u vu v u u u u v ，即111030x y z =⎧⎪⎨+=⎪⎩，取11z =，故()10,3,1n =-u r.设平面1MBC 的法向量为()2222,,n x y z =u u r ，故2210n MB n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u v u u u vu u v u u u u v ， 即222222202230m x my y z ⎧⎛⎫-+=⎪ ⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪+=⎩，取11z =，故262,3,122m n m ⎛⎫ ⎪⎪=- ⎪- ⎪⎭u u r . 故12243cos ,22n n n ==⨯u r u u ru u r ，故2433n =u u r ，解得425m =，即425AM =.【点睛】本题考查了线面垂直，根据二面角求长度，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.21．设椭圆2222:1x y E a b+=()0a b >>的一个焦点为()2,0-，且椭圆E 过点(2M ，O 为坐标原点，（1）求椭圆E 的标准方程；（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A 、B ，且OA OB ⊥u u u r u u u r？若存在，写出该圆的方程，并求AB 的最大值，若不存在说明理由.【答案】（1）22184x y +=；（2）存在2283x y +=，max AB =【解析】（1）根据2c =，且22421a b +=，解得答案. （2）设切线方程为y kx m =+，根据垂直得到223880m k --=，故222813m r k ==+，得到2283x y +=，AB =0k =和0k ≠和斜率不存在三种情况，分别计算得到答案. 【详解】（1）根据题意：2c =，且22421a b +=，解得228,4a b ==，故标准方程为：22184x y +=.（2）假设存在圆222x y r +=满足，当斜率存在时，设切线方程为y kx m =+.22184x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，故()222124280k x knx m +++-=. ()()()22222216412288840k m k m k m ∆=-+-=-+>，即22840k m -+>.12221224122812km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩， ()()()()222222212121212222841212k m k m y y kx m kx m k x x kn x x m m k k -=++=+++=-+++222812m k k-=+. OA OB ⊥u u u r u u u r ，即12120x x y y +=，故2222228801212m m k k k--+=++，即223880m k --=. r =222813m r k ==+，故2283x y +=.当直线AB斜率不存在时，根据对称性不妨取A ⎝⎭，B ⎝⎭， 满足OA OB ⊥u u u r u u u r .综上所述：存在2283x y +=使题目条件成立.||AB =====当0k =时，AB =； 当0k ≠时，AB ==≤2214k k =，即2k =±时等号成立； 当斜率不存在时，易知3AB =； 综上所述：AB 的最大值为【点睛】本题考查了椭圆方程，最值问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 22．已知极坐标系的极点为直角坐标系xOy 的原点，极轴为x 轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，圆C 的直角坐标方程为22220x y x y ++-=，直线l 的参数方程为1x t y t =-+⎧⎨=⎩(t 为参数)，射线OM 的极坐标方程为3π4θ=.（1）求圆C 和直线l 的极坐标方程；（2）已知射线OM 与圆C 的交点为O ，P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长. 【答案】（1）圆C ：π4ρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭；直线l ：sin cos 1ρθρθ-=；（2 【解析】（1）结合直角坐标方程、参数方程及极坐标方程间的关系，求出圆C 和直线l 的极坐标方程即可；（2）将3π4θ=与圆C 和直线l 的极坐标方程联立，可求得,P Q 的极坐标，进而可求得线段PQ 的长. 【详解】（1）由于222x y ρ+=，cos x ρθ=，sin y ρθ= ，又圆C 的直角坐标方程为22220x y x y ++-=，则圆C 的极坐标方程为22cos 2sin 0ρρθρθ+-=，即π4ρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.直线l 的参数方程为1x ty t =-+⎧⎨=⎩(t 为参数)，消去t 后得y ＝x ＋1， 直线l 的极坐标方程为sin cos 1ρθρθ-=.（2）当3π4θ=时，3ππ||44OP ⎛⎫=-=⎪⎝⎭ 则点P的极坐标为3π4⎛⎫ ⎪⎝⎭，||OQ ==Q的极坐标为3π,24⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，故线段PQ的长为22=. 【点睛】本题考查直角坐标方程、参数方程与极坐标方程间的转化，利用极坐标求两点间的距离是解决本题的关键，属于基础题.。

荔湾区外国语学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

荔湾区外国语学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

荔湾区外国语学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 设全集U={1，3，5，7，9}，集合A={1，|a ﹣5|，9}，∁U A={5，7}，则实数a 的值是（ ） A ．2B ．8C ．﹣2或8D ．2或82． 已知正方体被过一面对角线和它对面两棱中点的平面截去一个三棱台后的几何体的主（正）视图和俯视图如下，则它的左（侧）视图是（ ）A ．B ．C ．D ．3． 若数列{a n }的通项公式a n =5（）2n ﹣2﹣4（）n ﹣1（n ∈N *），{a n }的最大项为第p 项，最小项为第q 项，则q ﹣p 等于（ ） A ．1B ．2C ．3D ．44． 设△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则，类比这个结论可知：四面体S ﹣ABC 的四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，内切球半径为r ，四面体S ﹣ABC 的体积为V ，则r=（ ）A ．B ．C ．D ．5． 某几何体的三视图如下（其中三视图中两条虚线互相垂直）则该几何体的体积为（ ）A.83B ．4C.163 D ．2036． 执行如图所示的程序框图，若输出的结果是，则循环体的判断框内①处应填（ ）A ．11？B ．12？C ．13？D ．14？7． 已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为4cm ，高为10cm ，则一质点自点A 出发，沿着三棱 柱的侧面，绕行两周到达点1A 的最短路线的长为（ ）A ．16cmB ．123cmC ．243cmD ．26cm8． 三个实数a 、b 、c 成等比数列，且a+b+c=6，则b 的取值范围是（ ） A ．[﹣6，2] B ．[﹣6，0）∪（ 0，2] C ．[﹣2，0）∪（ 0，6] D ．（0，2]9． 已知圆C 方程为222x y +=，过点(1,1)P -与圆C 相切的直线方程为（ ）A ．20x y -+=B ．10x y +-=C ．10x y -+=D ．20x y ++=10．对于任意两个正整数m ，n ，定义某种运算“※”如下：当m ，n 都为正偶数或正奇数时，m ※n=m+n ；当m ，n 中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m ※n=mn ．则在此定义下，集合M={（a ，b ）|a ※b=12，a ∈N *，b ∈N *}中的元素个数是（ ） A ．10个 B ．15个 C ．16个 D ．18个11．集合{}|42,M x x k k Z ==+∈，{}|2,N x x k k Z ==∈，{}|42,P x x k k Z ==-∈，则M ，N ，P 的关系（ ）A ．M P N =⊆B ．N P M =⊆C ．M N P =⊆D ．M P N ==12．某单位综合治理领导小组成员之问的领导关系可以用框图表示，这种框图通常称为（ ）A ．程序流程图B ．工序流程图C ．知识结构图D ．组织结构图二、填空题13．如图所示2×2方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1、2、3中的任何一个，允许重复．若填B 方格的数字，则不同的填法共有 种（用数字作答）．14．已知实数x ，y 满足约束条，则z=的最小值为 ．15．如图是函数y=f （x ）的导函数y=f ′（x ）的图象，对此图象，有如下结论： ①在区间（﹣2，1）内f （x ）是增函数； ②在区间（1，3）内f （x ）是减函数； ③在x=2时，f （x ）取得极大值； ④在x=3时，f （x ）取得极小值． 其中正确的是 ．16．定义在（﹣∞，+∞）上的偶函数f （x ）满足f （x+1）=﹣f （x ），且f （x ）在[﹣1，0]上是增函数，下面五个关于f （x ）的命题中： ①f （x ）是周期函数；②f （x ） 的图象关于x=1对称； ③f （x ）在[0，1]上是增函数； ④f （x ）在[1，2]上为减函数； ⑤f （2）=f （0）．正确命题的个数是 ．17．若非零向量，满足|+|=|﹣|，则与所成角的大小为 ．18．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若﹣1＜a 3＜1，0＜a 6＜3，则S 9的取值范围是 ．三、解答题19．在直角坐标系xOy 中，已知一动圆经过点(2,0)且在y 轴上截得的弦长为4，设动圆圆心的轨 迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；111]（2）过点(1,0)作互相垂直的两条直线，，与曲线C 交于A ，B 两点与曲线C 交于E ，F 两点， 线段AB ，EF 的中点分别为M ，N ，求证：直线MN 过定点P ，并求出定点P 的坐标．20．（本题满分14分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为c b a ,,，已知cos (cos )cos 0C A A B +=． （1）求角B 的大小；（2）若2=+c a ，求b 的取值范围．【命题意图】本题考查三角函数及其变换、正、余弦定理等基础知识，意在考查运算求解能力．21．（本小题满分12分）已知函数2()(21)ln f x x a x a x =-++（a R ∈）.（I ）若12a >，求)(x f y =的单调区间； （II ）函数()(1)g x a x =-，若0[1,]x e ∃∈使得00()()f x g x ≥成立，求实数a 的取值范围.22．已知向量（+3）⊥（7﹣5）且（﹣4）⊥（7﹣2），求向量，的夹角θ．23．已知函数f （x ）=•，其中=（2cosx ， sin2x ），=（cosx ，1），x ∈R ．（1）求函数y=f （x ）的单调递增区间；（2）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，f （A ）=2，a=，且sinB=2sinC ，求△ABC 的面积．24．在四棱锥E ﹣ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，AC 与BD 交于点O ，EC ⊥底面ABCD ，F 为BE 的中点．（Ⅰ）求证：DE ∥平面ACF ；（Ⅱ）求证：BD⊥AE．荔湾区外国语学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）一、选择题1．【答案】D【解析】解：由题意可得3∈A，|a﹣5|=3，∴a=2，或a=8，故选D．2．【答案】A【解析】解：由题意可知截取三棱台后的几何体是7面体，左视图中前、后平面是线段，上、下平面也是线段，轮廓是正方形，AP是虚线，左视图为：故选A．【点评】本题考查简单几何体的三视图的画法，三视图是常考题型，值得重视．3．【答案】A【解析】解：设=t∈（0，1]，a n=5（）2n﹣2﹣4（）n﹣1（n∈N*），∴a n=5t2﹣4t=﹣，∴a n∈，当且仅当n=1时，t=1，此时a n取得最大值；同理n=2时，a n取得最小值．∴q﹣p=2﹣1=1，故选：A．【点评】本题考查了二次函数的单调性、指数函数的单调性、数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．【答案】C【解析】解：设四面体的内切球的球心为O，则球心O 到四个面的距离都是R ， 所以四面体的体积等于以O 为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．则四面体的体积为∴R= 故选C ．【点评】类比推理是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质类比迁移到另一类数学对象上去．一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或者一致性．②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（或猜想）．5． 【答案】【解析】选D.根据三视图可知，该几何体是一个棱长为2的正方体挖去一个以正方体的中心为顶点，上底面为底面的正四棱锥后剩下的几何体如图，其体积V ＝23－13×2×2×1＝203，故选D.6． 【答案】C【解析】解：由已知可得该程序的功能是计算并输出S=+++…+=的值，若输出的结果是，则最后一次执行累加的k 值为12， 则退出循环时的k 值为13， 故退出循环的条件应为：k ≥13？， 故选：C【点评】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．7． 【答案】D考点：多面体的表面上最短距离问题．【方法点晴】本题主要考查了多面体和旋转体的表面上的最短距离问题，其中解答中涉及到多面体与旋转体的侧面展开图的应用、直角三角形的勾股定理的应用等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，学生的空间想象能力、以及转化与化归思想的应用，试题属于基础题．8．【答案】B【解析】解：设此等比数列的公比为q，∵a+b+c=6，∴=6，∴b=．当q＞0时，=2，当且仅当q=1时取等号，此时b∈（0，2]；当q＜0时，b=﹣6，当且仅当q=﹣1时取等号，此时b∈[﹣6，0）．∴b的取值范围是[﹣6，0）∪（0，2]．故选：B．【点评】本题考查了等比数列的通项公式、基本不等式的性质、分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．【答案】A试题分析：圆心(0,0),C r =，设切线斜率为，则切线方程为1(1),10y k x kx y k -=+∴-++=，由,1d r k =∴=，所以切线方程为20x y -+=，故选A.考点：直线与圆的位置关系． 10．【答案】B【解析】解：a ※b=12，a 、b ∈N *，若a 和b 一奇一偶，则ab=12，满足此条件的有1×12=3×4，故点（a ，b ）有4个；若a 和b 同奇偶，则a+b=12，满足此条件的有1+11=2+10=3+9=4+8=5+7=6+6共6组，故点（a ，b ）有2×6﹣1=11个，所以满足条件的个数为4+11=15个． 故选B11．【答案】A 【解析】试题分析：通过列举可知{}{}2,6,0,2,4,6M P N ==±±=±±±，所以M P N =⊆.考点：两个集合相等、子集．112．【答案】D【解析】解：用来描述系统结构的图示是结构图，某单位综合治理领导小组成员之问的领导关系可以用组织结构图表示．故选D ．【点评】本题考查结构图和流程图的概念，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．二、填空题13．【答案】 27【解析】解：若A 方格填3，则排法有2×32=18种，若A 方格填2，则排法有1×32=9种，根据分类计数原理，所以不同的填法有18+9=27种． 故答案为：27．【点评】本题考查了分类计数原理，如何分类是关键，属于基础题．14．【答案】．【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z==32x+y，设t=2x+y，则y=﹣2x+t，平移直线y=﹣2x+t，由图象可知当直线y=﹣2x+t经过点B时，直线y=﹣2x+t的截距最小，此时t最小．由，解得，即B（﹣3，3），代入t=2x+y得t=2×（﹣3）+3=﹣3．∴t最小为﹣3，z有最小值为z==3﹣3=．故答案为：．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．15．【答案】③．【解析】解：由y=f'（x）的图象可知，x∈（﹣3，﹣），f'（x）＜0，函数为减函数；所以，①在区间（﹣2，1）内f（x）是增函数；不正确；②在区间（1，3）内f（x）是减函数；不正确；x=2时，y=f'（x）=0，且在x=2的两侧导数值先正后负，③在x=2时，f（x）取得极大值；而，x=3附近，导函数值为正，所以，④在x=3时，f（x）取得极小值．不正确．故答案为③．【点评】本题考察了函数的单调性，导数的应用，是一道基础题．16．【答案】3个．【解析】解：∵定义在（﹣∞，+∞）上的偶函数f（x），∴f（x）=f（﹣x）；∵f（x+1）=﹣f（x），∴f（x+1）=﹣f（x），∴f（x+2）=﹣f（x+1）=f（x），f（﹣x+1）=﹣f（x）即f（x+2）=f（x），f（﹣x+1）=f（x+1），周期为2，对称轴为x=1所以①②⑤正确，故答案为：3个17．【答案】90°．【解析】解：∵∴=∴∴α与β所成角的大小为90°故答案为90°【点评】本题用向量模的平方等于向量的平方来去掉绝对值．18．【答案】（﹣3，21）．【解析】解：∵数列{a n}是等差数列，∴S9=9a1+36d=x（a1+2d）+y（a1+5d）=（x+y）a1+（2x+5y）d，由待定系数法可得，解得x=3，y=6．∵﹣3＜3a3＜3，0＜6a6＜18，∴两式相加即得﹣3＜S9＜21．∴S9的取值范围是（﹣3，21）．故答案为：（﹣3，21）．【点评】本题考查了等差数列的通项公式和前n 项和公式及其“待定系数法”等基础知识与基本技能方法，属于中档题．三、解答题19．【答案】（１） 24y x =；（２）证明见解析；(3,0)． 【解析】（2）易知直线，的斜率存在且不为0，设直线的斜率为，11(,)A x y ，22(,)B x y ， 则直线：(1)y k x =-，1212(,)22x x y y M ++， 由24,(1),y x y k x ⎧=⎨=-⎩得2222(24)0k x k x k -++=， 2242(24)416160k k k ∆=+-=+>，考点：曲线的轨迹方程；直线与抛物线的位置关系．【易错点睛】导数法解决函数的单调性问题：（1）当)(x f 不含参数时，可通过解不等式)0)((0)(''<>x f x f 直接得到单调递增（或递减）区间．（2）已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件),(),0)((0)(''b a x x f x f ∈≤≥恒成立，解出参数的取值范围（一般可用不等式恒成立的理论求解），应注意参数的取值是)('x f 不恒等于的参数的范围．20．【答案】（1）3B π=；（2）[1,2).【解析】21．【答案】【解析】【命题意图】本题考查导数的应用等基础知识，意在考查转化与化归思想的运用和综合分析问题解决问题的能力．请22．【答案】【解析】解：∵向量（+3）⊥（7﹣5）且（﹣4）⊥（7﹣2），∴=0，+8=0，∴=，化为，代入=0，化为：+16﹣cos2θ，∴，∴θ=或．【点评】本题考查了数量积的定义及其运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．23．【答案】【解析】解：（1）f（x）=•=2cos2x+sin2x=sin2x+cos2x+1=2sin（2x+）+1，令﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，解得﹣+kπ≤x≤+kπ，函数y=f（x）的单调递增区间是[﹣+kπ，+kπ]，（Ⅱ）∵f（A）=2∴2sin（2A+）+1=2，即sin（2A+）=…．又∵0＜A＜π，∴A=．…∵a=，由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣3bc=7 ①…∵sinB=2sinC∴b=2c ②…由①②得c2=．…∴S△ABC=．…24．【答案】【解析】【分析】（Ⅰ）连接FO，则OF为△BDE的中位线，从而DE∥OF，由此能证明DE∥平面ACF．（Ⅱ）推导出BD⊥AC，EC⊥BD，从而BD⊥平面ACE，由此能证明BD⊥AE．【解答】证明：（Ⅰ）连接FO，∵底面ABCD是正方形，且O为对角线AC和BD交点，∴O为BD的中点，又∵F为BE中点，∴OF为△BDE的中位线，即DE∥OF，又OF⊂平面ACF，DE⊄平面ACF，∴DE∥平面ACF．（Ⅱ）∵底面ABCD为正方形，∴BD⊥AC，∵EC⊥平面ABCD，∴EC⊥BD，∴BD⊥平面ACE，∴BD⊥AE．。

荔湾区第二高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

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荔湾区第二高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 已知两条直线，其中为实数，当这两条直线的夹角在内变动12:,:0L y x L ax y =-=0,12π⎛⎫⎪⎝⎭时，的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．()0,1(⎫⎪⎪⎭(2． 已知f （x ）为偶函数，且f （x+2）=﹣f （x ），当﹣2≤x ≤0时，f （x ）=2x ；若n ∈N *，a n =f （n ），则a 2017等于（）A ．2017B ．﹣8C ．D ．3． 已知函数，其中，对任意的都成立，在122()32f x x ax a =+-(0,3]a ∈()0f x ≤[]1,1x ∈-和两数间插入2015个数，使之与1，构成等比数列，设插入的这2015个数的成绩为，则（ ）T T =A ．B ．C ．D ．20152201532015232015224． 已知一三棱锥的三视图如图所示，那么它的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．1323125． 已知抛物线的焦点为，，点是抛物线上的动点，则当的值最小时，24y x =F (1,0)A -P ||||PF PA PAF ∆的面积为（ ）B. C. D. 24【命题意图】本题考查抛物线的概念与几何性质，考查学生逻辑推理能力和基本运算能力.6． 过点（2，﹣2）且与双曲线﹣y 2=1有公共渐近线的双曲线方程是（ ）A ．﹣=1B ．﹣=1C ．﹣=1D ．﹣=17． 已知i 为虚数单位，则复数所对应的点在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限8． 运行如图所示的程序框图，输出的所有实数对（x ，y ）所对应的点都在某函数图象上，则该函数的解析式为（）A ．y=x+2B ．y=C ．y=3xD ．y=3x 39． 在某校冬季长跑活动中，学校要给获得一、二等奖的学生购买奖品，要求花费总额不得超过200元．已知一等奖和二等奖奖品的单价分别为20元、10元，一等奖人数与二等奖人数的比值不得高于，且获得一等奖的人数不能少于2人，那么下列说法中错误的是（ ）A ．最多可以购买4份一等奖奖品B ．最多可以购买16份二等奖奖品C ．购买奖品至少要花费100元D ．共有20种不同的购买奖品方案10．数列{a n }的通项公式为a n =﹣n+p ，数列{b n }的通项公式为b n =2n ﹣5，设c n =，若在数列{c n }中c 8＞c n （n ∈N *，n ≠8），则实数p 的取值范围是（ ）A ．（11，25）B ．（12，16]C ．（12，17）D ．[16，17）11．底面为矩形的四棱锥P -ABCD 的顶点都在球O 的表面上，且O 在底面ABCD 内，PO ⊥平面ABCD ，当四棱锥P -ABCD 的体积的最大值为18时，球O 的表面积为（ ）A ．36πB ．48πC ．60πD ．72π12．设0＜a ＜1，实数x ，y 满足，则y 关于x 的函数的图象形状大致是（）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．已知一组数据，，，，的方差是2，另一组数据，，，，（）1x 2x 3x 4x 5x 1ax 2ax 3ax 4ax 5ax 0a的标准差是，则．a =14．过原点的直线l 与函数y=的图象交于B ，C 两点，A 为抛物线x 2=﹣8y 的焦点，则|+|= ．15．已知数列1，a 1，a 2，9是等差数列，数列1，b 1，b 2，b 3，9是等比数列，则的值为 ．16．【2017-2018学年度第一学期如皋市高三年级第一次联考】已知函数的零点在区间()ln 4f x x x =+-内，则正整数的值为________．()1k k +，k 17．设曲线y=x n+1（n ∈N *）在点（1，1）处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，令a n =lgx n ，则a 1+a 2+…+a 99的值为 ．　18．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若6a=4b=3c ，则cosB= ．三、解答题19．已知函数f （x ）=ax 2+2x ﹣lnx （a ∈R ）．（Ⅰ）若a=4，求函数f （x ）的极值；（Ⅱ）若f ′（x ）在（0，1）有唯一的零点x 0，求a 的取值范围；（Ⅲ）若a ∈（﹣，0），设g （x ）=a （1﹣x ）2﹣2x ﹣1﹣ln （1﹣x ），求证：g （x ）在（0，1）内有唯一的零点x 1，且对（Ⅱ）中的x 0，满足x 0+x 1＞1．20．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a 、b 、c ，且bsinA=acosB ．（1）求B ；（2）若b=2，求△ABC 面积的最大值．21．已知函数f （x ）=xlnx ，求函数f （x ）的最小值．22．（文科）（本小题满分12分）我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准（吨）、一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费，超过的部分按议价收费，为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．[)[)[)0,0.5,0.5,1,,4,4.5（1）求直方图中的值；（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用量不低于3吨的人数，并说明理由；（3）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准（吨），估计的值，并说明理由．23．如图所示，在边长为的正方形ABCD中，以A为圆心画一个扇形，以O为圆心画一个圆，M，N，K为切点，以扇形为圆锥的侧面，以圆O为圆锥底面，围成一个圆锥，求圆锥的全面积与体积．24．根据下列条件求方程．（1）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，求抛物线的准线方程（2）已知双曲线的离心率等于2，且与椭圆+=1有相同的焦点，求此双曲线标准方程．荔湾区第二高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）一、选择题1． 【答案】C 【解析】1111]试题分析：由直线方程，可得直线的倾斜角为，又因为这两条直线的夹角在，所以1:L y x =045α=0,12π⎛⎫⎪⎝⎭直线的倾斜角的取值范围是且，所以直线的斜率为2:0L ax y -=03060α<<045α≠且或，故选C.00tan 30tan 60a<<0tan 45α≠1a <<1a <<考点：直线的倾斜角与斜率.2． 【答案】D【解析】解：∵f （x+2）=﹣f （x ），∴f （x+4）=﹣f （x+2）=f （x ），即f （x+4）=f （x ），即函数的周期是4．∴a 2017=f （2017）=f （504×4+1）=f （1），∵f （x ）为偶函数，当﹣2≤x ≤0时，f （x ）=2x ，∴f （1）=f （﹣1）=，∴a 2017=f （1）=，故选：D ．【点评】本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性和周期性之间的关系是解决本题的关键．　3． 【答案】C 【解析】试题分析：因为函数，对任意的都成立，所以，解得22()32f x x ax a =+-()0f x ≤[]1,1x ∈-()()1010f f -≤⎧⎪⎨≤⎪⎩或，又因为，所以，在和两数间插入共个数，使之与，构成等3a ≥1a ≤-(0,3]a ∈3a =122015,...a a a 2015比数列，，，两式相乘，根据等比数列的性质得，T 122015...a a a =A 201521...T a a a =A ()()2015201521201513T a a ==⨯，故选C.T =201523考点：1、不等式恒成立问题；2、等比数列的性质及倒序相乘的应用.4． 【答案】 B【解析】解析：本题考查三视图与几何体的体积的计算．如图该三棱锥是边长为的正方体21111ABCD A B C D -中的一个四面体,其中，∴该三棱锥的体积为，选B ．1ACED 11ED =112(12)2323⨯⨯⨯⨯=5． 【答案】B【解析】设，则又设，则，，所以2(,)4y P y 2||||PF PA=214y t +=244y t =-1t …，当且仅当，即时，等号成立，此时点，||||PF PA ==2t =2y =±(1,2)P ±的面积为，故选B.PAF ∆11||||22222AF y ⋅=⨯⨯=6． 【答案】A【解析】解：设所求双曲线方程为﹣y 2=λ，把（2，﹣2）代入方程﹣y 2=λ，解得λ=﹣2．由此可求得所求双曲线的方程为．故选A ．【点评】本题考查双曲线的渐近线方程，解题时要注意公式的灵活运用．7． 【答案】A 【解析】解： ==1+i ，其对应的点为（1，1），故选：A ．　8． 【答案】 C【解析】解：模拟程序框图的运行过程，得；该程序运行后输出的是实数对（1，3），（2，9），（3，27），（4，81）；这组数对对应的点在函数y=3x 的图象上．故选：C ．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，是基础题目．　9． 【答案】D【解析】【知识点】线性规划【试题解析】设购买一、二等奖奖品份数分别为x，y，则根据题意有：，作可行域为：A(2，6)，B(4，12)，C(2，16)．在可行域内的整数点有：（2，6），（2，7），……．（2，16），（3，9），（3，10），……．．(3，14)，(4，12)，共11+6+1=18个。

荔湾区高级中学2018-2019学年高二上学期第一次月考试卷数学

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荔湾区高级中学2018-2019学年高二上学期第一次月考试卷数学班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1．已知实数x，y满足，则目标函数z=x﹣y的最小值为（）A．﹣2 B．5 C．6 D．72．已知，其中i为虚数单位，则a+b=（）A．﹣1 B．1 C．2 D．33．函数f（x）=﹣x的图象关于（）A．y轴对称B．直线y=﹣x对称C．坐标原点对称 D．直线y=x对称4．将y=cos（2x+φ）的图象沿x轴向右平移个单位后，得到一个奇函数的图象，则φ的一个可能值为（）A．B．﹣C．﹣D．5．已知函数f（x）是（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，且当x＜0时，函数的部分图象如图所示，则不等式xf（x）＜0的解集是（）A．（﹣2，﹣1）∪（1，2）B．（﹣2，﹣1）∪（0，1）∪（2，+∞）C．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，0）∪（1，2）D．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，0）∪（0，1）∪（2，+∞）10101化为十进制数的结果为（）6．二进制数）（2A．15B．21C．33D．417．从5名男生、1名女生中，随机抽取3人，检查他们的英语口语水平，在整个抽样过程中，若这名女生第一次、第二次均未被抽到，那么她第三次被抽到的概率是（）A．B．C．D．8．若关于x的方程x3﹣x2﹣x+a=0（a∈R）有三个实根x1，x2，x3，且满足x1＜x2＜x3，则a的取值范围为（）A．a＞B．﹣＜a＜1 C．a＜﹣1 D．a＞﹣19．与命题“若x∈A，则y∉A”等价的命题是（）A ．若x ∉A ，则y ∉AB ．若y ∉A ，则x ∈AC ．若x ∉A ，则y ∈AD ．若y ∈A ，则x ∉A 10．设集合A={x|2x ≤4}，集合B={x|y=lg （x ﹣1）}，则A ∩B 等于（ ） A ．（1，2） B ．[1，2]C ．[1，2）D ．（1，2]11．已知函数f （x ）=lnx+2x ﹣6，则它的零点所在的区间为（ ） A ．（0，1） B ．（1，2） C ．（2，3） D ．（3，4）12．如图，在平面直角坐标系中，锐角α、β及角α+β的终边分别与单位圆O 交于A ，B ，C 三点．分别作AA'、BB'、CC'垂直于x 轴，若以|AA'|、|BB'|、|CC'|为三边长构造三角形，则此三角形的外接圆面积为（ ）A ．B ．C ．D ．π二、填空题13．已知实数x ，y 满足，则目标函数z=x ﹣3y 的最大值为14．在极坐标系中，曲线C 1与C 2的方程分别为2ρcos 2θ=sin θ与ρcos θ=1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C 1与C 2交点的直角坐标为 ．15．已知△ABC 的面积为S ，三内角A ，B ，C 的对边分别为，，．若2224S a b c +=+， 则sin cos()4C B π-+取最大值时C = ．16．已知函数f （x ）=x 2+x ﹣b+（a ，b 为正实数）只有一个零点，则+的最小值为 ．17．一个圆柱和一个圆锥的母线相等，底面半径也相等，则侧面积之比是 ． 18．对于函数(),,y f x x R =∈,“|()|y f x =的图象关于y 轴对称”是“()y f x =是奇函数”的 ▲ 条件． （填“充分不必要”， “必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”）三、解答题19．（1）直线l 的方程为（a+1）x+y+2﹣a=0（a ∈R ）．若l 在两坐标轴上的截距相等，求a 的值； （2）已知A （﹣2，4），B （4，0），且AB 是圆C 的直径，求圆C 的标准方程．20．火车站北偏东方向的处有一电视塔,火车站正东方向的处有一小汽车,测得距离为31,该小汽车从处以60的速度前往火车站,20分钟后到达处,测得离电视塔21,问小汽车到火车站还需多长时间？21．已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，点（，）在椭圆E上．（1）求椭圆E的方程；（2）设过点P（2，1）的直线l与椭圆相交于A、B两点，若AB的中点恰好为点P，求直线l的方程．22．已知函数f（x）=aln（x+1）+x2﹣x，其中a为非零实数．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若y=f（x）有两个极值点α，β，且α＜β，求证：＜．（参考数据：ln2≈0.693）23．已知函数f（x）=xlnx+ax（a∈R）．（Ⅰ）若a=﹣2，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对任意x∈（1，+∞），f（x）＞k（x﹣1）+ax﹣x恒成立，求正整数k的值．（参考数据：ln2=0.6931，ln3=1.0986）24．已知函数f（x）=log a（x2+2），若f（5）=3；（1）求a的值；（2）求的值；（3）解不等式f（x）＜f（x+2）．荔湾区高级中学2018-2019学年高二上学期第一次月考试卷数学（参考答案）一、选择题1．【答案】A【解析】解：如图作出阴影部分即为满足约束条件的可行域，由得A（3，5），当直线z=x﹣y平移到点A时，直线z=x﹣y在y轴上的截距最大，即z取最小值，即当x=3，y=5时，z=x﹣y取最小值为﹣2．故选A．2．【答案】B【解析】解：由得a+2i=bi﹣1，所以由复数相等的意义知a=﹣1，b=2，所以a+b=1另解：由得﹣ai+2=b+i（a，b∈R），则﹣a=1，b=2，a+b=1．故选B．【点评】本题考查复数相等的意义、复数的基本运算，是基础题．3．【答案】C【解析】解：∵f（﹣x）=﹣+x=﹣f（x）∴是奇函数，所以f（x）的图象关于原点对称故选C．【解析】解：将y=cos （2x+φ）的图象沿x 轴向右平移个单位后，得到一个奇函数y=cos=cos （2x+φ﹣）的图象，∴φ﹣=k π+，即 φ=k π+，k ∈Z ，则φ的一个可能值为，故选：D ．5． 【答案】D【解析】解：根据奇函数的图象关于原点对称，作出函数的图象，如图则不等式xf （x ）＜0的解为：或解得：x ∈（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，0）∪（0，1）∪（2，+∞） 故选：D ．6． 【答案】B 【解析】试题分析：()21212121101010242=⨯+⨯+⨯=，故选B. 考点：进位制 7． 【答案】B【解析】解：由题意知，女生第一次、第二次均未被抽到，她第三次被抽到， 这三个事件是相互独立的，第一次不被抽到的概率为，第二次不被抽到的概率为，第三次被抽到的概率是，∴女生第一次、第二次均未被抽到，那么她第三次被抽到的概率是=，故选B ．【解析】解：由x3﹣x2﹣x+a=0得﹣a=x3﹣x2﹣x，设f（x）=x3﹣x2﹣x，则函数的导数f′（x）=3x2﹣2x﹣1，由f′（x）＞0得x＞1或x＜﹣，此时函数单调递增，由f′（x）＜0得﹣＜x＜1，此时函数单调递减，即函数在x=1时，取得极小值f（1）=1﹣1﹣1=﹣1，在x=﹣时，函数取得极大值f（﹣）=（﹣）3﹣（﹣）2﹣（﹣）=，要使方程x3﹣x2﹣x+a=0（a∈R）有三个实根x1，x2，x3，则﹣1＜﹣a＜，即﹣＜a＜1，故选：B．【点评】本题主要考查导数的应用，构造函数，求函数的导数，利用导数求出函数的极值是解决本题的关键．9．【答案】D【解析】解：由命题和其逆否命题等价，所以根据原命题写出其逆否命题即可．与命题“若x∈A，则y∉A”等价的命题是若y∈A，则x∉A．故选D．10．【答案】D【解析】解：A={x|2x≤4}={x|x≤2}，由x﹣1＞0得x＞1∴B={x|y=lg（x﹣1）}={x|x＞1}∴A∩B={x|1＜x≤2}故选D．11．【答案】C【解析】解：易知函数f（x）=lnx+2x﹣6，在定义域R+上单调递增．因为当x→0时，f（x）→﹣∞；f（1）=﹣4＜0；f（2）=ln2﹣2＜0；f（3）=ln3＞0；f（4）=ln4+2＞0．可见f（2）•f（3）＜0，故函数在（2，3）上有且只有一个零点．故选C．12．【答案】A【解析】（本题满分为12分）解：由题意可得：|AA'|=sinα、|BB'|=sinβ、|CC'|=sin（α+β），设边长为sin（α+β）的所对的三角形内角为θ，则由余弦定理可得，cosθ==﹣cosαcosβ=﹣cosαcosβ=sinαsinβ﹣cosαcosβ=﹣cos（α+β），∵α，β∈（0，）∴α+β∈（0，π）∴sinθ==sin（α+β）设外接圆的半径为R，则由正弦定理可得2R==1，∴R=，∴外接圆的面积S=πR2=．故选：A．【点评】本题主要考查了余弦定理，三角函数恒等变换的应用，同角三角函数基本关系式，正弦定理，圆的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．二、填空题13．【答案】5【解析】解：由z=x﹣3y得y=，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线y=，由图象可知当直线y=经过点C时，直线y=的截距最小，此时z最大，由，解得，即C（2，﹣1）．代入目标函数z=x﹣3y，得z=2﹣3×（﹣1）=2+3=5，故答案为：5．14．【答案】（1，2）．【解析】解：由2ρcos 2θ=sin θ，得：2ρ2cos 2θ=ρsin θ，即y=2x 2．由ρcos θ=1，得x=1．联立，解得：．∴曲线C 1与C 2交点的直角坐标为（1，2）．故答案为：（1，2）．【点评】本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查了方程组的解法，是基础题．15．【答案】4π 【解析】考点：1、余弦定理及三角形面积公式；2、两角和的正弦、余弦公式及特殊角的三角函数.1【方法点睛】本题主要考查余弦定理及三角形面积公式、两角和的正弦、余弦公式及特殊角的三角函数，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据.一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答，解三角形时三角形面积公式往往根据不同情况选用下列不同形式111sin ,,(),2224abc ab C ah a b c r R++.16．【答案】 9+4．【解析】解：∵函数f （x ）=x 2+x ﹣b+只有一个零点，∴△=a ﹣4（﹣b+）=0，∴a+4b=1， ∵a ，b 为正实数，∴+=（+）（a+4b ）=9++≥9+2=9+4当且仅当=，即a=b 时取等号，∴+的最小值为：9+4故答案为：9+4【点评】本题考查基本不等式，得出a+4b=1是解决问题的关键，属基础题．17．【答案】 2：1 ．【解析】解：设圆锥、圆柱的母线为l ，底面半径为r ，所以圆锥的侧面积为： =πrl圆柱的侧面积为：2πrl所以圆柱和圆锥的侧面积的比为：2：1 故答案为：2：118．【答案】必要而不充分 【解析】试题分析：充分性不成立，如2y x =图象关于y 轴对称，但不是奇函数；必要性成立，()y f x =是奇函数，|()||()||()|f x f x f x -=-=，所以|()|y f x =的图象关于y 轴对称.考点：充要关系【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法．1.定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．2.等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3.集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．三、解答题19．【答案】【解析】解：（1）当a=﹣1时，直线化为y+3=0，不符合条件，应舍去；当a ≠﹣1时，分别令x=0，y=0，解得与坐标轴的交点（0，a ﹣2），（，0）．∵直线l 在两坐标轴上的截距相等，∴a﹣2=，解得a=2或a=0；（2）∵A（﹣2，4），B（4，0），∴线段AB的中点C坐标为（1，2）．又∵|AB|=，∴所求圆的半径r=|AB|=．因此，以线段AB为直径的圆C的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=13．20．【答案】【解析】解:由条件=,设,在中,由余弦定理得.=.在中,由正弦定理,得（）（分钟）答到火车站还需15分钟.21．【答案】【解析】解：（1）由题得=，=1，又a2=b2+c2，解得a2=8，b2=4．∴椭圆方程为：．（2）设直线的斜率为k，A（x1，y1），B（x2，y2），∴，=1，两式相减得=0，∵P是AB中点，∴x1+x2=4，y1+y2=2，=k，代入上式得：4+4k=0，解得k=﹣1，∴直线l：x+y﹣3=0．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、“点差法”、斜率计算公式、中点坐标坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22．【答案】【解析】解：（Ⅰ）．当a﹣1≥0时，即a≥1时，f'（x）≥0，f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增；当0＜a＜1时，由f'（x）=0得，，故f（x）在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；当a＜0时，由f'（x）=0得，，f（x）在上单调递减，在上单调递增．证明：（Ⅱ）由（I）知，0＜a＜1，且，所以α+β=0，αβ=a﹣1．．由0＜a＜1得，0＜β＜1．构造函数．，设h（x）=2（x2+1）ln（x+1）﹣2x+x2，x∈（0，1），则，因为0＜x＜1，所以，h'（x）＞0，故h（x）在（0，1）上单调递增，所以h（x）＞h（0）=0，即g'（x）＞0，所以g（x）在（0，1）上单调递增，所以，故．23．【答案】【解析】解：（I）a=﹣2时，f（x）=xlnx﹣2x，则f′（x）=lnx﹣1．令f′（x）=0得x=e，当0＜x＜e时，f′（x）＜0，当x＞e时，f′（x）＞0，∴f（x）的单调递减区间是（0，e），单调递增区间为（e，+∞）．（II）若对任意x∈（1，+∞），f（x）＞k（x﹣1）+ax﹣x恒成立，则xlnx+ax＞k（x﹣1）+ax﹣x恒成立，即k（x﹣1）＜xlnx+ax﹣ax+x恒成立，又x﹣1＞0，则k＜对任意x∈（1，+∞）恒成立，设h（x）=，则h′（x）=．设m（x）=x﹣lnx﹣2，则m′（x）=1﹣，∵x∈（1，+∞），∴m′（x）＞0，则m（x）在（1，+∞）上是增函数．∵m（1）=﹣1＜0，m（2）=﹣ln2＜0，m（3）=1﹣ln3＜0，m（4）=2﹣ln4＞0，∴存在x0∈（3，4），使得m（x0）=0，当x∈（1，x0）时，m（x）＜0，即h′（x）＜0，当x∈（x0，+∞）时，m（x）＞0，h′（x）＞0，∴h（x）在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，∴h（x）的最小值h min（x）=h（x0）=．∵m（x0）=x0﹣lnx0﹣2=0，∴lnx0=x0﹣2．∴h（x0）==x0．∴k＜h min（x）=x0．∵3＜x0＜4，∴k≤3．∴k的值为1，2，3．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，函数的最值，函数恒成立问题，构造函数求出h（x）的最小值是解题关键，属于难题．24．【答案】【解析】解：（1）∵f（5）=3，∴，即log a27=3解锝：a=3…（2）由（1）得函数，则=…（3）不等式f（x）＜f（x+2），即为化简不等式得…∵函数y=log3x在（0，+∞）上为增函数，且的定义域为R．∴x2+2＜x2+4x+6…即4x＞﹣4，解得x＞﹣1，所以不等式的解集为：（﹣1，+∞）…。

2018-2019学年广东省广州市荔湾区高二(上)期末数学试卷(文科)解析版

2018-2019学年广东省广州市荔湾区高二(上)期末数学试卷(文科)解析版

2018-2019学年广东省广州市荔湾区高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.双曲线-=1的渐近线方程是（）A. y=±xB. y=±xC. y=±xD. y=±x【答案】A【解析】解：根据题意，双曲线的方程为：-=1，其中a==4，b==3；且其焦点在x轴上，则其渐近线方程为：y=±x；故选：A．根据题意，由双曲线的标准方程可得其中a、b的值，结合焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程即可得答案．本题考查双曲线的标准方程，掌握双曲线的渐近线方程即可．2.命题“如果x≥a2+b2，那么x≥2ab”的逆否命题是（）A. 如果x＜a2+b2，那么x＜2abB. 如果x≥2ab，那么x≥a2+b2C. 如果x＜2ab，那么x＜a2+b2D. 如果x≥a2+b2，那么x＜2ab【答案】C【解析】解：命题的逆命题是：如果x≥2ab，那么x≥a2+b2∴逆否命题是：如果x＜2ab，那么x＜a2+b2，故选：C．根据命题的逆否命题的概念，即是逆命题的否命题，也是逆命题的否命题；写出逆命题，再求其否命题即可．本题主要考查四种命题间的关系．如图3.根据给出的算法框图，计算f（-1）+f（2）=（）A. 0B. 1C. 2D. 4【答案】A【解析】解：由程序框图知：程序的功能是求分段函数f（x）=的值，∴f（-1）=-4；f（2）=22=4，∴f（-1）+f（2）=0．故选：A．程序的功能是求分段函数f（x）=的值，分别求出f（-1），f（2），可得答案．本题考查了选择结构的程序框图，根据框图流程判断算法的功能是关键．4.某学校共有教师120人，老教师、中年教师、青年教师的比例为3：4：3，其中青年男教师24人．现用分层抽样的方式从该校教师中选出一个30人的样本，则被选出的青年女教师的人数为（）A. 12B. 6C. 4D. 3【答案】D【解析】解：某学校共有教师120人，老教师、中年教师、青年教师的比例为3：4：3，其中青年男教师24人．则青年教师人数为120×=36人，青年女教师12人，现用分层抽样的方式从该校教师中选出一个30人的样本，被选出的青年女教师的人数为：30××=3．故选：D．利用分层抽样的性质直接求解．本题考查被选出的青年女教师的人数的求法，考查分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.为了测试小班教学的实践效果，王老师对A、B两班的学生进行了阶段测试，并将所得成绩统计如图所示；记本次测试中，A、B两班学生的平均成绩分别为，，A、B两班学生成绩的方差分别为S A2，S B2，则观察茎叶图可知（）A.＜B，S A2＜S B2 B. A＞B，S A2＜S B2AC.＜B，S A2＞S B2 D. A＞B，S A2＞S B2A【答案】B【解析】解：A班学生的分数多集中在[70，80]之间，B班学生的分数集中在[50，70]之间，故A＞B；相对两个班级的成绩分布来说，A班学生的分数更加集中，B班学生的分数更加离散，故S A2＜S B2，故选：B．观察茎叶图数据，根据平均分，方差的定义即可判断得解．本题主要考查了平均分，方差的定义，考查了茎叶图的应用，属于基础题．6.设F1是椭圆的一个焦点，AB是经过另一个焦点F2的弦，则△AF1B的周长是（）A. 12B. 8C. 6D. 4【答案】A【解析】解：∵椭圆的方程为，∴a=3，b=2，又过焦点F1的直线与椭圆交于A，B两点，A，B与椭圆的另一个焦点F2构成△ABF2，则△ABF2的周长l=|AB|+|AF2|+|BF2|=（|AF1|+|AF2|）+（|BF1|+|BF2|）=2a+2a=4a=12．故选：A．由椭圆的方程知，长半轴a=4，利用椭圆的定义知，△ABF2的周长为4a，从而可得答案．本题考椭圆的简单性质，着重考查椭圆定义的应用，属于基础题．7.将一颗质地均匀的骰子（一种各个面分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和等于9的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解：将一颗质地均匀的骰子（一种各个面分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，基本事件总数n=6×6=36，出现向上的点数之和等于9包含的基本事件有：（3，6），（6，3），（4，5），（5，4），共4个，∴出现向上的点数之和等于9的概率为p==．故选：C．基本事件总数n=6×6=36，利用向量法能求了出现向上的点数之和等于9包含的基本事件有4个，由此能求出出现向上的点数之和等于9的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.港珠澳大桥于2018年10月24日正式通车，它是中国境内一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程，桥隧全长55千米，桥面为双向六车道高速公路，大桥通行限速100km/h．现对大桥某路段上汽车行驶速度进行抽样调查，画出频率分布直方图（如图）．根据直方图估计在此路段上汽车行驶速度的众数和行驶速度超过90km/h的概率分别为（）A. 85，0.25B. 90，0.35C. 87.5，0.25D. 87.5，0.35【答案】D【解析】解：由频率分布直方图估计在此路段上汽车行驶速度的众数为：=87.5，由频率分布直方图估计在此路段上汽车行驶速度超过90km/h的频率为：（0.05+0.02）×5=0.35，∴由频率分布直方图估计在此路段上汽车行驶速度超过90km/h的概率为：0.35，故选：D．由频率分布直方图能估计在此路段上汽车行驶速度的众数和在此路段上汽车行驶速度超过90km/h的概率．本题考查众数和概率的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．9.函数y=f（x）的图象如图所示，下列数值排序正确的是（）A. 0＜f'（1）＜f'（2）＜f（2）-f（1）B. 0＜f'（1）＜f（2）-f（1）＜f'（2）C. 0＜f'（2）＜f（2）-f（1）＜f'（1）D. 0＜f'（2）＜f'（1）＜f（2）-f（1）【答案】C【解析】解：根据题意，f（x）的导数为f′（x），则f′（1）函数f（x）在x=1处切线的斜率，f′（2）函数f（x）在x=2处切线的斜率，f（2）-f（1）=，图象上x为2和3对应两点连线的斜率，f′（2）是（1，f（1））与（2，f（2））两点连线的斜率，则有0＜f'（2）＜f（2）-f（1）＜f'（1）；故选：C．根据题意，由导数的几何意义可得f′（1）函数f（x）在x=1处切线的斜率，f′（2）函数f（x）在x=2处切线的斜率，又由f′（2）是（1，f（1））与（2，f（2））两点连线的斜率，据此结合函数的单调性变化分析可得答案．本题考查导数的几何意义，涉及直线斜率的计算，关键是掌握导数的几何意义．10.函数在R上是增函数，则实数a的取值范围是（）A. [-1，+∞）B. （-∞，-1]C. （-1，+∞）D. （-∞，-1）【答案】B【解析】解：函数，f′（x）=x2+2x-a，若f（x）在R递增，则x2+2x-a≥0在R恒成立，可得△=4+4a≤0故a≤-1，故选：B．求出函数的导数，问题转化为即a≤x2+2x在R恒成立，从而求出a的范围即可．本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道基础题．11.设命题p：函数f（x）=2x+2-x在R上单调递增，命题q：在△ABC中，A＞B是sin A＞sin B的充要条件．则下列命题为真命题的是（）A. p∧qB. p∨（￢q）C. （￢p）∧qD. （￢p）∧（￢q）【答案】C【解析】解：命题p：函数f（x）=2x+2-x在（-∞，0）上单调递减，因此是假命题．命题q：在△ABC中，A＞B⇔a＞b，由正弦定理可得：=，因此sin A＞sin B，反之也成立，是真命题．则下列命题为真命题的是（￢p）∧q．故选：C．命题p：函数f（x）=2x+2-x在（-∞，0）上单调递减，即可判断出真假．命题q：在△ABC 中，A＞B⇔a＞b，再利用正弦定理可得：=，进而判断出真假．本题考查了函数的单调性、正弦定理、三角形边角大小关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12.F1、F2为双曲线的左、右焦点，过F1作x轴的垂线与双曲线交于M，N两点，，则C的离心率为（）A. B. C. D. 2【答案】A【解析】解：由题意可知：|MF2|=2a+，cosα==．，可得：=，可得：=8e，解得e=或e=（舍去）．故选：A．画出图形，求出cos∠OF2M，然后通过，求解双曲线的离心率即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知命题p：“∃x∈N，x2≥2x”，则￢p：______．【答案】∀x∈N，x2＜2x【解析】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题p：“∃x∈N，x2≥2x”，则￢p：∀x∈N，x2＜2x．故答案为：∀x∈N，x2＜2x．利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可．本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．14.执行如图所示的程序框图，那么输出S的值是______．【答案】【解析】解：依题意，执行如图所示的程序框图可知：S=-1，k=1，满足条件k＜5，执行循环体，S=，k=2满足条件k＜5，执行循环体，S=2，k=3满足条件k＜5，执行循环体，S=-1，k=4满足条件k＜5，执行循环体，S=，k=5此时，不满足条件k＜5，退出循环．输出S的值为．故答案为：．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．15.已知M={（x，y）||x|≤2，|y|≤2}，点P的坐标为（x，y），当P∈M时，则x，y满足（x-2）2+（y-2）2≥4的概率为______．【答案】【解析】解：如图，点P所在的区域为正方形ABCD及其内部满足（x-2）2+（y-2）2≥4的点位于的区域是以C（2，2）为圆心，半径等于2的圆及其外部∴P满足（x-2）2+（y-2）2≤4的概率为P=1-=1-=1-=故答案为：根据题意，满足|x|≤2且|y|≤2的点P在如图的正方形ABCD及其内部运动，而满足（x-2）2+（y-2）2≥4的点P在以C为圆心且半径为2的圆及其外部运动．因此，所求概率等于圆C与正方形ABCD重叠部分扇形面积与正方形ABCD的面积之比，根据扇形面积和正方形面积计算公式，即可求出本题的概率．根据扇形面积和正方形面积计算公式，即可求出本题的概率．本题给出点P满足的条件，求点P到点C（2，2）距离大于或等于2的概率．着重考查了正方形、扇形面积计算公式和几何概型计算公式等知识，属于基础题．16.抛物线x2=4y的焦点为F，P为抛物线上一点，O为坐标原点．△OPF的外接圆与抛物线的准线相切，则此外接圆的半径为______．【答案】【解析】解：抛物线x2=4y的焦点为F（0，1），抛物线的准线方程为y=-1，设△OPF的外接圆的圆心C为（m，n），半径为r，可得C在线段OF的垂直平分线上，即有n=，由外接圆与准线相切可得n+1=r，即有r=．故答案为：．求得抛物线的焦点和准线方程，由外接圆圆心在线段OF的垂直平分线上，可得圆心的纵坐标为，再由直线和圆相切的条件：d=r，计算可得所求半径．本题考查抛物线的焦点和准线方程，以及直线和圆相切的条件：d=r，考查运算能力，属于基础题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知抛物线C：y2=2px经过点M（1，2）．（1）求C的标准方程和焦点坐标；（2）斜率为1的直线l经过抛物线C的焦点，且与抛物线相交于A、B两点，求线段AB的长．【答案】解：（1）由已知抛物线经过点M（1，2），代入y2=2px得22=2p，解得p=2………………………2 分所以，抛物线C的标准方程为y2=4x………………3 分所以，抛物线的焦点为（1，0），……………4 分（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），由已知得直线l的方程为y=x-1……………5 分联立方程消去y得x2-6x+1=0……………7 分解得，……………8 分所以x1+x2=6（也可以由韦达定理直接得到x1+x2=6）………………9 分于是|AB|=x1+x2+2=8…………10 分【解析】（1）设出抛物线方程，利用已知条件求出p，得到抛物线的方程，然后求解焦点坐标．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），求出直线方程与抛物线联立，求出AB坐标，然后求解弦长即可．本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，抛物线的方程的求法，考查计算能力．18.某电视台为了宣传本区，随机对本区内15～65岁的人群抽取了n人，回答问题“本（1）分别求出n，a，b，x，y的值．（2）根据频率分布直方图估计这组数据的中位数（保留小数点后两位）和平均数．（3）若第1组回答正确的人员中，有2名为女性，其余为男性，现从中随机抽取2人，求至少抽中一名女性的概率．【答案】解：（1）由频率表中第4组数据可知，第4组的人数为=25，再结合频率分布直方图可知n==100，…（1分）a=100×（0.010×10）×0.5=5，b=100×（0.030×10）×9=27，…（2分）x==0.9，…（3分）y==0.2．…（4分）（2）设中位数为x，由频率分布直方图可知x∈[35，45），且有0.010×10+0.020×10+（x-35）×0.030=05，解得x≈41.67，…（6分）故估计这组数据的中位数为41.67，估计这组数据的平均数为：=20×0.010×10+30×0.020×10+40×0.030×10+50×0.025×10+60×0.030×10=41.5．…（8分）（3）由（1）知a=5，则第一组中回答正确的人员中有3名男性，2名女性，男性分别记为a，b，c，女性分别记为1，2，先从5人中随机抽取2人，共有：（a，b），（a，c），（a，1），（a，2），（b，1），（b，2），（c，1），（c，2），（1，2），（b，c）10个基本事件，记“至少抽中一名女性”为事件A，共有（a，1），（a，2），（b，1），（b，2），（c，1），（c，2），（1，2）7个基本事件，∴至少抽中一名女性的概率p=．【解析】（1）由频率表中第4组数据可知，第4组的人数为25，再结合频率分布直方图可知n=100，由此有求出a，b，x，y．（2）设中位数为x，由频率分布直方图可知x∈[35，45），且有0.010×10+0.020×10+（x-35）×0.030=05，得x≈41.67，由此能估计这组数据的中位数和平均数．（3）第一组中回答正确的人员中有3名男性，2名女性，男性分别记为a，b，c，女性分别记为1，2，先从5人中随机抽取2人，利用列举法能求出至少抽中一名女性的概率．本题考查实数值、中位数、平均数、概率的求法，考查频率分布直方图、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19.设函数f（x）=x3+ax2+4x+1在x=-2时取得极值．（1）求实数a的值；（2）求函数f（x）在区间[-3，0]上的最值．【答案】（本小题满分12分）解：（1）f'（x）=3x2+2ax+4，……………2 分因为f（x）在x=-2处取得极值，所以f'（-2）=0解得a=4……………4 分当a=4时，f'（x）=3x2+8x+4，令f'（x）=0，得x=-2或当x＜-2时，f'（x）＞0，f（x）在（-∞，-2）上单调递增，当时，f'（x）＜0，f（x）在上单调递减，当时，f'（x）＞0，f（x）在上单调递增，所以当a=4时，f（x）在x=-2取得极大值．……………5 分21……………分由表可知，在[-3，0]上，当x=-2时函数f（x）取得极大值f（-2）=1当时函数f（x）取得极小值……………9 分又由于f（-3）=-2，f（0）=1……………11 分所以函数f（x）在[-3，0]上的最大值是1，最小值是-2．……………12 分【解析】（1）求出函数的导数，利用导函数求出极值点，然后求解a，利用导函数的符号，验证即可．（2）利用导函数的符号，判断函数的单调性，然后求解最值．本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．20.如图是某公司2001年至2017年新产品研发费用y（单位：万元）的折线图．为了预测该公司2019年的新产品研发费用，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2001年至2017年的数据（时间变量t的值依次为1，2，…，17）建立模型①：；根据2011年至2017年的数据（时间变量t的值依次为1，2，…，7）建立模型②：．（1）分别利用这两个模型，求该公司2019年的新产品研发费用的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．【答案】解：（1）利用模型①，该公司2019年的新产品研发费用的预测值为（万元）．……………3 分利用模型②，该公司2019年的新产品研发费用的预测值为（万元）．……6 分（2）利用模型②得到的预测值更可靠．……………8 分理由如下：（i）从折线图可以看出，2001年至2017年的数据对应的点没有随机散布在直线上下，这说明利用2001年至2017年的数据建立的线性模型①不能很好地描述新产品研发费用的变化趋势.2011年相对2010年的新产品研发费用有明显增加，2011年至2017年的数据对应的点位于一条直线附近，这说明从2011年开始新产品研发费用的变化规律呈线性增长趋势，利用2011年至2017年的数据建立的线性模型可以较好地描述2011年以后的新产品研发费用的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠．……………12 分（ii）从计算结果看，相对于2017年的新产品研发费用135万元，由模型①得到的预测值134.8万元明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠．……………12 分【解析】（1）在模型①中，取t=19，在模型②中，取t=9，即可求得这两个模型该公司2019年的新产品研发费用的预测值；（2）（i）从散点图分析，可知2001年至2017年的数据对应的点没有随机散布在直线上下，说明利用2001年至2017年的数据建立的线性模型①不能很好地描述新产品研发费用的变化趋势.2011年至2017年的数据对应的点位于一条直线附近，这说明从2011年开始新产品研发费用的变化规律呈线性增长趋势，利用2011年至2017年的数据建立的线性模型可以较好地描述2011年以后的新产品研发费用的变化趋势．（ii）从计算结果相对于2017年的新产品研发费用的关系分析．本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，考查学生读取图表的能力，是中档题．21.已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，且过点．直线l与C交于A，B两点，点F1是C的左焦点．（1）求椭圆C的方程；（2）若l过点F1且不与x轴重合，求△AOB面积S的最大值．【答案】解：（1）依题意得，设a=2λ，则，由a2=b2+c2……………1 分得b=λ，此时椭圆方程为，将点代入得，解得λ=1，所以，……………3 分所以椭圆C的方程为．……………4 分（2）依题意得解法1：设直线l的方程为，联立椭圆方程得消去x整理得……………6 分因为F1在椭圆内部，所以△＞0设A（x1，y1），B（x2，y2），则，……………7 分．=== (9)分令，则t≥1，，……………10 分因为当t＞1时，，当且仅当时“=”号成立，所以，所以△AOB的面积S的最大值是1．……………12 分解法2：当直线l垂直于x轴时，将代入椭圆方程得，解得，此时，………5 分当直线l不垂直于x轴时，设直线l的方程为（k≠0），联立椭圆方程得消去y整理得………6 分因为F1在椭圆内部，所以△＞0设A（x1，y1），B（x2，y2），则，……………7 分．==点O到AB的距离，所以因为k≠0所以令，则，……………9 分令，则t≥1，，……………10 分因为当t＞1时，，当且仅当时“=”号成立，所以，……………11 分综上得△AOB的面积S的最大值是1．……………12 分【解析】（1）通过椭圆离心率为，过点．列式值计算即得a，b即可；（2）解法1：设直线l的方程为代入椭圆方程，整理，利用韦达定理，计算三角形的面积，换元，利用函数的单调性，即可求得结论．解法2：当直线l垂直于x轴时，将代入椭圆方程得，解得，此时，当直线l不垂直于x轴时，设直线l的方程为（k≠0），代入椭圆方程，整理，利用韦达定理，计算三角形的面积，换元，利用函数的单调性，即可求得结论．本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查三角形面积的计算，考查运算求解能力，属于中档题．22.已知函数，a∈R．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若a=1，证明：当x∈[1，+∞）时，．【答案】（本小题满分12分）解：（1）……………1 分当a=0时，，当x＜0时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，当x＞0时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，所以f（x）在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增．……………2 分当a≠0时，令f'（x）=0得ax2-2x-a=0（*）因为△=4+4a2＞0所以方程（*）有两根，由求根公式得，……………3 分当a＞0时，x1＜0＜x2，当x＜x1或x＞x2时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，当x1＜x＜x2时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，所以f（x）在（-∞，x1）和（x2+∞）上单调递减，在（x1，x2）上单调递增．………4 分当a＜0时，x2＜0＜x1，当x＜x2或x＞x1时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，当x2＜x＜x1时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，所以f（x）在（-∞，x2）和（x1+∞）上单调递增，在（x2，x1）上单调递减．………5 分综上所述，当a=0时，f（x）在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增；当a＞0时，f（x）在（-∞，x1）和（x2+∞）上单调递减，在（x1，x2）上单调递增；当a＜0时，f（x）在（-∞，x2）和（x1+∞）上单调递增，在（x2，x1）上单调递减．……6 分（2）当a=1时，，由题意知，要证在[1，+∞）上恒成立，即证明（x2+1）ln x≥2x-2，（x2+1）ln x-2x+2≥0在[1，+∞）上恒成立．……7 分设g（x）=（x2+1）ln x-2x+2，则，……8 分因为x≥1，所以2x lnx≥0，（当且仅当x=1时等号成立），即g'（x）≥0，……10 分所以g（x）在[1，+∞）上单调递增，g（x）≥g（1）=0，所以在[1，+∞）上恒成立．……12 分【解析】（1）求出导函数通过a的取值，判断导函数的符号，判断函数的单调性即可．（2）当a=1时，，要证，即证明（x2+1）ln x≥2x-2，（x2+1）ln x-2x+2≥0在[1，+∞）上恒成立，设g（x）=（x2+1）ln x-2x+2，利用函数的导数，判断函数的单调性然后推出结果．本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查分类讨论思想以及转化思想的应用．。

荔湾区第一中学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

荔湾区第一中学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

荔湾区第一中学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 已知均为正实数，且，，，则（ ）,,x y z 22log xx =-22log yy -=-22log z z -=A ．B ．C ．D ．x y z <<z x y <<z y z <<y x z<<2． 一个几何体的三视图如图所示，且其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为（）A ．B ．（4+π）C ．D ．3． 在△ABC 中，sinB+sin （A ﹣B ）=sinC 是sinA=的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也非必要条件4． 如图所示，已知四边形ABCD 的直观图是一个边长为的正方形，则原图形的周长为（）A ．B ． C.D ．5． 设全集U=M ∪N=﹛1，2，3，4，5﹜，M ∩∁U N=﹛2，4﹜，则N=（）A ．{1，2，3}B ．{1，3，5}C ．{1，4，5}D ．{2，3，4}6． 在曲线y=x 2上切线倾斜角为的点是（）A ．（0，0）B ．（2，4）C ．（，）D ．（，）7． 已知直线l 1 经过A （﹣3，4），B （﹣8，﹣1）两点，直线l 2的倾斜角为135°，那么l 1与l 2（）A ．垂直B ．平行C ．重合D ．相交但不垂直8． 为得到函数sin 2y x =-的图象，可将函数sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象（）A ．向左平移3π个单位B ．向左平移6π个单位C.向右平移3π个单位D ．向右平移23π个单位9． 已知变量满足约束条件，则的取值范围是（ ）,x y 20170x y x x y -+≤⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩y x A ． B ．C ．D ．9[,6]59(,][6,)5-∞+∞ (,3][6,)-∞+∞ [3,6]10．已知点A （1，2），B （3，1），则线段AB 的垂直平分线的方程是（ ）A ．4x+2y=5B ．4x ﹣2y=5C ．x+2y=5D ．x ﹣2y=511．将函数f （x ）=sin2x 的图象向右平移个单位，得到函数y=g （x ）的图象，则它的一个对称中心是（）A ．B ．C ．D ．12．某公园有P ，Q ，R 三只小船，P 船最多可乘3人，Q 船最多可乘2人，R 船只能乘1人，现有3个大人和2个小孩打算同时分乘若干只小船，规定有小孩的船必须有大人，共有不同的乘船方法为（ ）A ．36种B ．18种C ．27种D ．24种二、填空题13．在极坐标系中，O 是极点，设点A ，B 的极坐标分别是（2，），（3，），则O 点到直线AB的距离是 ．14．设函数f （x ）=，①若a=1，则f （x ）的最小值为 ；②若f （x ）恰有2个零点，则实数a 的取值范围是 ．　15．17．已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，且它的图象关于直线x=1对称．16．在平面直角坐标系中，，，记，其中为坐标原点，(1,1)=-a (1,2)=b {}(,)|M OM λμλμΩ==+a b O 给出结论如下：①若，则；(1,4)(,)λμ-∈Ω1λμ==②对平面任意一点，都存在使得；M ,λμ(,)M λμ∈Ω③若，则表示一条直线；1λ=(,)λμΩ④；{}(1,)(,2)(1,5)μλΩΩ=⑤若，，且，则表示的一条线段且长度为0λ≥0μ≥2λμ+=(,)λμΩ其中所有正确结论的序号是 ．17．【盐城中学2018届高三上第一次阶段性考试】已知函数有两个极值点，则实数的()()ln f x x x ax =-a 取值范围是．18．曲线在点（3，3）处的切线与轴x 的交点的坐标为 ．三、解答题19．如图，直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，D 、E 分别是AB 、BB 1的中点，AB=2，（1）证明：BC 1∥平面A 1CD ；（2）求异面直线BC 1和A 1D 所成角的大小；（3）求三棱锥A 1﹣DEC 的体积．20．设椭圆C ： +=1（a ＞b ＞0）过点（0，4），离心率为．（1）求椭圆C 的方程；（2）求过点（3，0）且斜率为的直线被椭圆所截得线段的中点坐标．21．【徐州市2018届高三上学期期中】如图，有一块半圆形空地，开发商计划建一个矩形游泳池及其矩形附属设施，并将剩余空地进行绿化，园林局要求绿化面积应最大化．其中半圆的圆心为，半径为，矩形的一边在直径上，点、、、在圆周上，、在边上，且，设．（1）记游泳池及其附属设施的占地面积为，求的表达式；（2）怎样设计才能符合园林局的要求？22．已知不等式ax2﹣3x+6＞4的解集为{x|x＜1或x＞b}，（1）求a，b；（2）解不等式ax2﹣（ac+b）x+bc＜0．23．【南师附中2017届高三模拟二】如下图扇形是一个观光区的平面示意图，其中为，半AOB AOB ∠23π径为，为了便于游客观光休闲，拟在观光区内铺设一条从入口到出口的观光道路，道路由圆弧OA 1km A B 、线段及线段组成．其中在线段上，且，设．AC CD BD D OB //CD AO AOC θ∠=（1）用表示的长度，并写出的取值范围；θCD θ（2）当为何值时，观光道路最长？θ24．（本小题满分12分）已知向量，，(cos sin ,sin )m x m x x w w w =-a (cos sin ,2cos )x x n x w w w =--b 设函数的图象关于点对称，且．()()2n f x x R =×+Îa b (,1)12p(1,2)w Î（I ）若，求函数的最小值；1m =)(x f （II ）若对一切实数恒成立，求的单调递增区间．()(4f x f p£)(x f y =【命题意图】本题考查三角恒等变形、三角形函数的图象和性质等基础知识，意在考查数形结合思想和基本运算能力．荔湾区第一中学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）一、选择题1．【答案】A【解析】考点：对数函数，指数函数性质．2．【答案】D【解析】解：由三视图知，几何体是一个组合体，是由半个圆锥和一个四棱锥组合成的几何体，圆柱的底面直径和母线长都是2，四棱锥的底面是一个边长是2的正方形，四棱锥的高与圆锥的高相同，高是=，∴几何体的体积是=，故选D．【点评】本题考查由三视图求组合体的体积，考查由三视图还原直观图，本题的三视图比较特殊，不容易看出直观图，需要仔细观察．3．【答案】A【解析】解：∵sinB+sin（A﹣B）=sinC=sin（A+B），∴sinB+sinAcosB﹣cosAsinB=sinAcosB+cosAsinB，∴sinB=2cosAsinB，∵sinB≠0，∴cosA=，∴A=，∴sinA=，当sinA=，∴A=或A=，故在△ABC中，sinB+sin（A﹣B）=sinC是sinA=的充分非必要条件，故选：A4．【答案】C【解析】考点：平面图形的直观图.5．【答案】B【解析】解：∵全集U=M∪N=﹛1，2，3，4，5﹜，M∩C u N=﹛2，4﹜，∴集合M，N对应的韦恩图为所以N={1，3，5}故选B6．【答案】D【解析】解：y'=2x，设切点为（a，a2）∴y'=2a，得切线的斜率为2a，所以2a=tan45°=1，∴a=，在曲线y=x2上切线倾斜角为的点是（，）．故选D．【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．7．【答案】A【解析】解：由题意可得直线l 1的斜率k 1==1，又∵直线l 2的倾斜角为135°，∴其斜率k 2=tan135°=﹣1，显然满足k 1•k 2=﹣1，∴l 1与l 2垂直故选A 8． 【答案】C 【解析】试题分析：将函数sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向右平移3π个单位，得2sin 2sin 233y x x ππ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭的图象，故选C ．考点：图象的平移.9． 【答案】A 【解析】试题分析：作出可行域，如图内部（含边界），表示点与原点连线的斜率，易得，ABC ∆y x (,)x y 59(,)22A ，，，所以．故选A ．(1,6)B 992552OAk ==661OB k ==965y x ≤≤考点：简单的线性规划的非线性应用．10．【答案】B【解析】解：线段AB的中点为，k AB==﹣，∴垂直平分线的斜率k==2，∴线段AB的垂直平分线的方程是y﹣=2（x﹣2）⇒4x﹣2y﹣5=0，故选B．【点评】本题考查两直线垂直的性质，线段的中点坐标公式，以及用直线方程的点斜式求直线方程的求法．　11．【答案】D【解析】解：函数y=sin2x的图象向右平移个单位，则函数变为y=sin[2（x﹣）]=sin（2x﹣）；考察选项不难发现：当x=时，sin（2×﹣）=0；∴（，0）就是函数的一个对称中心坐标．故选：D．【点评】本题是基础题，考查三角函数图象的平移变换，函数的对称中心坐标问题，考查计算能力，逻辑推理能力，常考题型．12．【答案】C【解析】排列、组合及简单计数问题．【专题】计算题；分类讨论．【分析】根据题意，分4种情况讨论，①，P船乘1个大人和2个小孩共3人，Q船乘1个大人，R船乘1个大1人，②，P船乘1个大人和1个小孩共2人，Q船乘1个大人和1个小孩，R船乘1个大1人，③，P 船乘2个大人和1个小孩共3人，Q船乘1个大人和1个小孩，④，P船乘1个大人和2个小孩共3人，Q 船乘2个大人，分别求出每种情况下的乘船方法，进而由分类计数原理计算可得答案．【解答】解：分4种情况讨论，①，P船乘1个大人和2个小孩共3人，Q船乘1个大人，R船乘1个大1人，有A33=6种情况，②，P船乘1个大人和1个小孩共2人，Q船乘1个大人和1个小孩，R船乘1个大1人，有A33×A22=12种情况，③，P船乘2个大人和1个小孩共3人，Q船乘1个大人和1个小孩，有C32×2=6种情况，④，P船乘1个大人和2个小孩共3人，Q船乘2个大人，有C31=3种情况，则共有6+12+6+3=27种乘船方法，故选C．【点评】本题考查排列、组合公式与分类计数原理的应用，关键是分析得出全部的可能情况与正确运用排列、组合公式．二、填空题13．【答案】 ．【解析】解：根据点A，B的极坐标分别是（2，），（3，），可得A、B的直角坐标分别是（3，）、（﹣，），故AB的斜率为﹣，故直线AB的方程为y﹣=﹣（x﹣3），即x+3y﹣12=0，所以O点到直线AB的距离是=，故答案为：．【点评】本题主要考查把点的极坐标化为直角坐标的方法，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．14．【答案】　≤a＜1或a≥2　．【解析】解：①当a=1时，f（x）=，当x＜1时，f（x）=2x﹣1为增函数，f（x）＞﹣1，当x＞1时，f（x）=4（x﹣1）（x﹣2）=4（x2﹣3x+2）=4（x﹣）2﹣1，当1＜x＜时，函数单调递减，当x＞时，函数单调递增，故当x=时，f（x）min=f（）=﹣1，②设h（x）=2x﹣a，g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）若在x＜1时，h（x）=与x轴有一个交点，所以a＞0，并且当x=1时，h（1）=2﹣a＞0，所以0＜a＜2，而函数g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有一个交点，所以2a≥1，且a＜1，所以≤a＜1，若函数h（x）=2x﹣a在x＜1时，与x轴没有交点，则函数g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有两个交点，当a≤0时，h（x）与x轴无交点，g（x）无交点，所以不满足题意（舍去），当h（1）=2﹣a≤0时，即a≥2时，g（x）的两个交点满足x1=a，x2=2a，都是满足题意的，综上所述a的取值范围是≤a＜1，或a≥2．15．【答案】【解析】解：∵f（x）=a x g（x）（a＞0且a≠1），∴=a x，又∵f′（x）g（x）＞f（x）g′（x），∴（）′=＞0，∴=a x是增函数，∴a＞1，∵+=．∴a1+a﹣1=，解得a=或a=2．综上得a=2．∴数列{}为{2n}．∵数列{}的前n项和大于62，∴2+22+23+…+2n==2n+1﹣2＞62，即2n+1＞64=26，∴n+1＞6，解得n＞5．∴n的最小值为6．故答案为：6．【点评】本题考查等比数列的前n项和公式的应用，巧妙地把指数函数、导数、数列融合在一起，是一道好题．16．【答案】②③④【解析】解析：本题考查平面向量基本定理、坐标运算以及综合应用知识解决问题的能力．由得，∴，①错误；(1,4)λμ+=-a b 124λμλμ-+=-⎧⎨+=⎩21λμ=⎧⎨=⎩与不共线，由平面向量基本定理可得，②正确；a b 记，由得，∴点在过点与平行的直线上，③正确；OA = a OM μ=+ a b AM μ=b M A b 由得，，∵与不共线，∴，∴，∴④2μλ+=+a b a b (1)(2)λμ-+-=0a b a b 12λμ=⎧⎨=⎩2(1,5)μλ+=+=a b a b 正确；设，则有，∴，∴且，∴表示的一(,)M x y 2x y λμλμ=-+⎧⎨=+⎩21331133x y x y λμ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩200x y x y -≤⎧⎨+≥⎩260x y -+=(,)λμΩ条线段且线段的两个端点分别为、，其长度为，∴⑤错误．(2,4)(2,2)-17．【答案】.【解析】由题意,y ′=ln x +1−2mx令f ′（x ）=ln x −2mx +1=0得ln x =2mx −1，函数有两个极值点,等价于f ′（x ）=ln x −2mx +1有两个零点，()()ln f x x x mx =-等价于函数y =ln x 与y =2mx −1的图象有两个交点，，当m =时，直线y =2mx −1与y =ln x 的图象相切，12由图可知,当0<m <时，y =ln x 与y =2mx −1的图象有两个交点，12则实数m 的取值范围是（0,），12故答案为：（0,）.1218．【答案】　（，0）　．【解析】解：y ′=﹣，∴斜率k=y ′|x=3=﹣2，∴切线方程是：y ﹣3=﹣2（x ﹣3），整理得：y=﹣2x+9，令y=0，解得：x=，故答案为：．【点评】本题考查了曲线的切线方程问题，考查导数的应用，是一道基础题．　三、解答题19．【答案】【解析】（1）证明：连接AC 1与A 1C 相交于点F ，连接DF ，由矩形ACC 1A 1可得点F 是AC 1的中点，又D 是AB 的中点，∴DF ∥BC 1，∵BC 1⊄平面A 1CD ，DF ⊂平面A 1CD ，∴BC 1∥平面A 1CD ；…（2）解：由（1）可得∠A 1DF 或其补角为异面直线BC 1和A 1D 所成角．DF=BC 1==1，A 1D==，A 1F=A 1C=1．在△A 1DF 中，由余弦定理可得：cos ∠A 1DF==，∵∠A 1DF ∈（0，π），∴∠A 1DF=，∴异面直线BC 1和A 1D 所成角的大小；…（3）解：∵AC=BC ，D 为AB 的中点，∴CD ⊥AB ，∵平面ABB 1A 1∩平面ABC=AB ，∴CD ⊥平面ABB 1A 1，CD==1．∴=﹣S △BDE ﹣﹣=∴三棱锥C ﹣A 1DE 的体积V=…【点评】本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查异面直线BC1和A1D所成角，是中档题，解题时要注意空间中线线、线面、面面间的位置关系及性质的合理运用．20．【答案】【解析】解：（1）将点（0，4）代入椭圆C的方程得=1，∴b=4，…由e==，得1﹣=，∴a=5，…∴椭圆C的方程为+=1．…（2）过点（3，0）且斜率为的直线为y=（x﹣3），…设直线与椭圆C的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），将直线方程y=（x﹣3）代入椭圆C方程，整理得x2﹣3x﹣8=0，…由韦达定理得x1+x2=3，y1+y2=（x1﹣3）+（x2﹣3）=（x1+x2）﹣=﹣．…由中点坐标公式AB中点横坐标为，纵坐标为﹣，∴所截线段的中点坐标为（，﹣）．…【点评】本题考查椭圆的方程与几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，确定椭圆的方程是关键．21．【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）根据直角三角形求两个矩形的长与宽，再根据矩形面积公式可得函数解析式，最后根据实际意义确定定义域（2）利用导数求函数最值，求导解得零点，列表分析导函数符号变化规律，确定函数单调性，进而得函数最值（2）要符合园林局的要求，只要最小，由（1）知，令，即，解得或（舍去），令，当时，是单调减函数，当时，是单调增函数，所以当时，取得最小值.答：当满足时，符合园林局要求.22．【答案】【解析】解：（1）因为不等式ax2﹣3x+6＞4的解集为{x|x＜1或x＞b}，所以x1=1与x2=b是方程ax2﹣3x+2=0的两个实数根，且b＞1．由根与系的关系得，解得，所以得．（2）由于a=1且b=2，所以不等式ax2﹣（ac+b）x+bc＜0，即x2﹣（2+c）x+2c＜0，即（x﹣2）（x﹣c）＜0．①当c＞2时，不等式（x﹣2）（x﹣c）＜0的解集为{x|2＜x＜c}；②当c ＜2时，不等式（x ﹣2）（x ﹣c ）＜0的解集为{x|c ＜x ＜2}；③当c=2时，不等式（x ﹣2）（x ﹣c ）＜0的解集为∅．综上所述：当c ＞2时，不等式ax 2﹣（ac+b ）x+bc ＜0的解集为{x|2＜x ＜c}；当c ＜2时，不等式ax 2﹣（ac+b ）x+bc ＜0的解集为{x|c ＜x ＜2}；当c=2时，不等式ax 2﹣（ac+b ）x+bc ＜0的解集为∅．【点评】本题考查一元二次不等式的解法，一元二次不等式与一元二次方程的关系，属于基础题．　23．【答案】（1）;（2）设当时，取得最大值，即当cos ,0,3CD πθθθ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭∴6πθ=()L θ6πθ=时，观光道路最长.【解析】试题分析：（1）在中，由正弦定理得：OCD ∆sin sin sin CD OD COCOD DCO CDO==∠∠∠，2cos 3CD πθθθ⎛⎫∴=-=+ ⎪⎝⎭OD θ=1sin 03OD OB πθθθ<<∴<<<cos ,0,3CD πθθθ⎛⎫∴=+∈ ⎪⎝⎭（2）设观光道路长度为，()L θ则()L BD CD AC θ=++弧的长= = ，1cos θθθθ++cos 1θθθ++0,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∴()sin 1L θθθ=-+'由得：，又()0L θ'=sin 6πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭0,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭6πθ∴=列表：θ0,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭6π,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭()L θ'+-()L θ↗极大值↘当时，取得最大值，即当时，观光道路最长.∴6πθ=()L θ6πθ=考点：本题考查了三角函数的实际运用点评：对三角函数的考试问题通常有：其一是考查三角函数的性质及图象变换，尤其是三角函数的最大值与最小值、周期。

2018-2019学年广东省广州市荔湾区高一(上)期末数学试卷(解析版)

2018-2019学年广东省广州市荔湾区高一(上)期末数学试卷(解析版)

2018-2019学年广东省广州市荔湾区高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题所给的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．（5分）cos（﹣）的值是（）A．B．﹣C．D．﹣2．（5分）三个数log67，0.76，log0.76的大小顺序是（）A．log0.76＜0.76＜log67B．0.76＜log67＜log0.76C．log0.76＜log67＜0.76D．0.76＜log0.76＜log673．（5分）设集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2﹣4x+m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝（）A．{1，﹣3}B．{1，5}C．{1，0}D．{1，3}4．（5分）在△ABC中，A＝，则sin A﹣cos（B+C）的值为（）A．B．C．D．25．（5分）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是（）A．B．C．D．6．（5分）函数y＝sin（2x+φ）的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能的值为（）A．B．C．0D．7．（5分）已知||＝2，||＝3，，的夹角为，如图所示，若＝5+2，＝﹣3，且D为BC中点，则的长度为（）A．B．C．7D．88．（5分）已知函数f（x）＝，若f[f（0）]＝4a，则实数a等于（）A．B．C．2D．99．（5分）若函数f（x），g（x）分别是R上的奇函数、偶函数，且满足f（x）﹣g（x）＝e x，则有（）A．f（2）＜f（3）＜g（0）B．g（0）＜f（3）＜f（2）C．f（2）＜g（0）＜f（3）D．g（0）＜f（2）＜f（3）10．（5分）函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，且为奇函数．若f（1）＝﹣1，则满足﹣1≤f（x﹣2）≤1的x的取值范围是（）A．[﹣2，2]B．[﹣1，1]C．[0，4]D．[1，3]11．（5分）已知函数f（x）＝x﹣2+log2x，则f（x）的零点所在区间为（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）12．（5分）函数y＝cos2x+2a sin x在区间上的最大值为2，则实数a的值为（）A．1或B．C．D．1或二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）计算（）﹣1﹣log525＝．14．（5分）设，，，则＝．15．（5分）函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的一段图象如图所示．则f（x）的解析式为．16．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递增，若实数a满足f（2|a﹣1|）＞f（﹣），则a的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知函数f（x）＝cos（x﹣），x∈R．（Ⅰ）求f（﹣）的值；（Ⅱ）若cosθ＝，θ∈（，2π），求f（2θ+）．18．（12分）已知向量，不共线，＝k+，＝﹣．（1）若∥，求k的值，并判断，是否同向；（2）若||＝||，与夹角为60°，当k为何值时，⊥．19．（12分）已知函数f（x）＝cos2x+sin x cos x．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）若，求函数f（x）的取值范围．20．（12分）小王在某景区内销售该景区纪念册，纪念册每本进价为5元，每销售一本纪念册需向该景区管理部门交费2元，预计这种纪念册以每本20元的价格销售时，小王一年可销售2000本，经过市场调研发现，每本纪念册的销售价格在每本20元的基础上每减少一元则增加销售400本，而每增加一元则减少销售100本，现设每本纪念册的销售价格为x元．（1）写出小王一年内销售这种纪念册所获得的利润y（元）与每本纪念册的销售价格x （元）的函数关系式，并写出这个函数的定义域；（2）当每本纪念册销售价格x为多少元时，小王一年内利润y（元）最大，并求出这个最大值．21．（12分）设二次函数f（x）＝ax2+bx+c（a≠0）在区间[﹣2，2]上的最大值、最小值分别是M、m，集合A＝{x|f（x）＝x}．（1）若A＝{1，2}，且f（0）＝2，求M和m的值；（2）若A＝{1}，且a≥1，记g（a）＝M+m，求g（a）的最小值．22．（12分）已知函数f（x）＝x+（常数k＞0）．（1）证明f（x）在（0，]上是减函数，在[+∞）上是增函数；（2）当k＝4时，求g（x）＝f（2x+1）﹣8（x∈[0，1]）的单调区间；（3）对于（2）中的函数g（x）和函数h（x）＝﹣x﹣2a，若对任意x1∈[0，1]，总存在x2∈[0，1]，使得h（x2）＝g（x1）成立，求实数a的值．2018-2019学年广东省广州市荔湾区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题所给的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．【解答】解：cos （﹣）＝cos（﹣6π﹣）＝cos（﹣）＝cos＝cos（π﹣）＝﹣cos＝﹣，故选：B．2．【解答】解：log67＞log66＝1，0＜0.76＜0.70＝1，log0.76＜log0.71＝0；∴．故选：A．3．【解答】解：集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2﹣4x+m＝0}．若A∩B＝{1}，则1∈A且1∈B，可得1﹣4+m＝0，解得m＝3，即有B＝{x|x2﹣4x+3＝0}＝{1，3}．故选：D．4．【解答】解：在△ABC中，A＝，则sin A﹣cos（B+C），＝，＝，＝2sin（A+），＝2，＝故选：C．5．【解答】解：由汽车经过启动后的加速行驶阶段，路程随时间上升的速度越来越快，故图象的前边部分为凹升的形状；在汽车的匀速行驶阶段，路程随时间上升的速度保持不变故图象的中间部分为平升的形状；在汽车减速行驶之后停车阶段，路程随时间上升的速度越来越慢，故图象的前边部分为凸升的形状；分析四个答案中的图象，只有A答案满足要求，故选：A．6．【解答】解：令y＝f（x）＝sin（2x+φ），则f（x+）＝sin[2（x+）+φ]＝sin（2x++φ），∵f（x+）为偶函数，∴+φ＝kπ+，∴φ＝kπ+，k∈Z，∴当k＝0时，φ＝．故φ的一个可能的值为．故选：B．7．【解答】解：根据条件：＝＝；∴＝＝．故选：A．8．【解答】解：由题知f（0）＝2，f（2）＝4+2a，由4+2a＝4a，解得a＝2．故选：C．9．【解答】解：根据题意，函数f（x），g（x）分别是R上的奇函数、偶函数，则有f（﹣x）＝﹣f（x），g（﹣x）＝g（x），又由f（x）﹣g（x）＝e x，①则f（﹣x）﹣g（﹣x）＝﹣f（x）﹣g（x）＝e﹣x，即f（x）+g（x）＝﹣e﹣x，②联立①②解可得：f（x）＝，g（x）＝﹣，g（0）＝﹣1，f（2）＝，f（3）＝，分析可得：g（0）＜f（2）＜f（3）；故选：D．10．【解答】解：∵函数f（x）为奇函数．若f（1）＝﹣1，则f（﹣1）＝1，又∵函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，﹣1≤f（x﹣2）≤1，∴f（1）≤f（x﹣2）≤f（﹣1），∴﹣1≤x﹣2≤1，解得：x∈[1，3]，故选：D．11．【解答】解：∵连续函数f（x）＝log2x+x﹣2在（0，+∞）上单调递增，∵f（1）＝﹣1＜0，f（2）＝2﹣2+log22＝1＞0，∴f（x）＝x﹣2+log2x的零点所在的区间为（1，2），故选：B．12．【解答】解：f（x）＝cos2x+2a sin x＝﹣sin2x+2a sin x+1令t＝sin x，因为x∈，所以﹣≤t≤1且y＝﹣t2+2at+1，其对称轴为t＝a，故a≤﹣时，y＝﹣t2+2at+1在[﹣，1]上是减函数，最大值为﹣a，由﹣a＝2可得a＝﹣；﹣＜a≤1时，y＝﹣t2+2at+1最大值为a2+1，由a2+1＝2，可得a＝1；a＞1时，y＝﹣t2+2at+1在[﹣，1]上是增函数，最大值为2a，由2a＝2，可得a＝1，舍去．综上，a＝﹣或1．故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．【解答】解：原式＝4+9﹣2＝11．故答案为：11．14．【解答】解：因为，，，所以＝（﹣5，6），所以＝﹣3，故答案为：﹣315．【解答】解：由函数的图象的顶点的纵坐标可得A＝3，再由函数的周期性可得•＝4π﹣，∴ω＝．再由五点法作图可得+ϕ＝0，∴ϕ＝﹣．故函数的解析式为，故答案为．16．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递增，∴f（x）在区间[0，+∞）上单调递减，则f（2|a﹣1|）＞f（﹣），等价为f（2|a﹣1|）＞f（），即﹣＜2|a﹣1|＜，则|a﹣1|＜，即＜a＜，故答案为：（，）三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）＝cos（x﹣），∴．（Ⅱ），∵，，所以，所以，，∴＝cos2θ﹣sin2θ＝．18．【解答】解：（1）∵＝k+，＝﹣，∥，∴，即k+＝λ（﹣）．又向量，不共线，∴，解得λ＝﹣1，k＝﹣1，即＝﹣，故与反向．（2）||＝||，与夹角为60°，•＝（k+）•（﹣）＝k2﹣k•+•﹣2＝（k﹣1）2+（1﹣k）||2•cos 60°，又⊥．故（k﹣1）+a2＝0，即（k﹣1）+＝0．解得k＝1．故k＝1时，⊥．19．【解答】解：（1）f（x）＝（）+sin2x﹣＝cos2x+sin2x＝sin（2x+）．由﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ得：﹣+kπ≤x≤+kπ，（k∈Z），所以f（x）的单调递增区间为[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z；（2）∵x∈[0，]，∴2x+∈[，]，∴当2x+＝即x＝时f（x）max＝1，当2x+＝即x＝时f（x）min＝，∴≤f（x）≤1．20．【解答】解：（1）小王在某景区内销售该景区纪念册，纪念册每本进价为5元，每销售一本纪念册需向该景区管理部门交费2元，预计这种纪念册以每本20元的价格销售时，小王一年可销售2000本，经过市场调研发现，每本纪念册的销售价格在每本20元的基础上每减少一元则增加销售400本，而每增加一元则减少销售100本，现设每本纪念册的销售价格为x元．当0＜x≤20时，y＝[2000+400（20﹣x）（x﹣7）＝400（25﹣x）（x﹣7），当20＜x＜40时，y＝[2000﹣100（x﹣20）]（x﹣70）＝100（40﹣x）（x﹣7），∴小王一年内销售这种纪念册所获得的利润y（元）与每本纪念册的销售价格x（元）的函数关系式为：．此函数的定义域为（0，40）．（2）∵．∴，…………………………（9分）当0＜x≤20，则当x＝16时，y max＝32400（元）……………………（10分）当20＜x＜40，则当时，y max＝27225（元）…………………（11分）所以当x＝16时，小王获得的利润最大为32400元．……………………（12分）21．【解答】解：（1）由f（0）＝2可知c＝2，又A＝{1，2}，故1，2是方程ax2+（b﹣1）x+c＝0的两实根．∴，解得a＝1，b＝﹣2∴f（x）＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1，因为x∈[﹣2，2]，根据函数图象可知，当x＝1时，f（x）min＝f（1）＝1，即m＝1；当x＝﹣2时，f（x）max＝f（﹣2）＝10，即M＝10．（2）由题意知，方程ax2+（b﹣1）x+c＝0有两相等实根x1＝x2＝1，根据韦达定理得到：，即，∴f（x）＝ax2+bx+c＝ax2+（1﹣2a）x+a，x∈[﹣2，2]其对称轴方程为x＝＝1﹣又a≥1，故1﹣∴M＝f（﹣2）＝9a﹣2m＝则g（a）＝M+m＝9a﹣﹣1又g（a）在区间[1，+∞）上为单调递增的，∴当a＝1时，g（a）min＝22．【解答】证明：（1）：设x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，∴f（x1）﹣f（x2）＝x1+﹣x2﹣＝（x1﹣x2）+k•＝（x1﹣x2），∵0＜x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，x1x2＞0，当x＞时，即x1x2＞k，当0＜x＜时，即x1x2＜k，∴当x∈（0，]时，f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），此时函数为减函数，当x∈[，+∞）时，f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），此时函数为增函数，故f（x）在（0，]上是减函数，在[+∞）上是增函数；解：（2）当k＝4时，f（x）＝x+，∴g（x）＝f（2x+1）﹣8＝（2x+1）+﹣8，设t＝2x+1，则t∈[1，3]，∴g（t）＝t+﹣8，由（1）可知g（t）在[1，2]上是减函数，在（2，3]上是增函数；∴1≤2x+1≤2，2＜2x+1≤3，即0≤x≤，＜x≤1，即g（x）在[0，]上是减函数，在（，1]上是增函数；（3）由于g（x）＝﹣x﹣2a为减函数，故g（x）∈[﹣1﹣2a，﹣2a]，x∈[0，1]由题意，f（x）的值域为g（x）的值域的子集，从而有，解得a＝．。

荔湾区第二中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

荔湾区第二中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

荔湾区第二中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 已知a ＞b ＞0，那么下列不等式成立的是（ ）A ．﹣a ＞﹣bB ．a+c ＜b+cC ．（﹣a ）2＞（﹣b ）2D ．2． （理）已知tan α=2，则=（ ）A ．B ．C ．D ．3． 某棵果树前n 年的总产量S n 与n 之间的关系如图所示．从目前记录的结果看，前m 年的年平均产量最高，则m 的值为（ ）A ．5B ．7C ．9D ．114． 数列{a n }的首项a 1=1，a n+1=a n +2n ，则a 5=（ ） A ．B ．20C ．21D ．315． 已知向量(,2)a m =，(1,)b n =-（0n >），且0a b ⋅=，点(,)P m n 在圆225x y +=上，则|2|a b +=（ ）A B ． C ． D ．6． 设集合A={x|﹣2＜x ＜4}，B={﹣2，1，2，4}，则A ∩B=（ ） A ．{1，2} B ．{﹣1，4} C ．{﹣1，2} D ．{2，4}7． 已知数列{a n }中，a 1=1，a n+1=a n +n ，若利用如图所示的程序框图计算该数列的第10项，则判断框内的条件是（ ）A．n≤8？B．n≤9？C．n≤10？D．n≤11？8．为了得到函数的图象，只需把函数y=sin3x的图象（）A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度9．△ABC的三内角A，B，C所对边长分别是a，b，c，设向量，，若，则角B的大小为（）A．B．C．D．10．如图所示是一个几何体的三视图，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的表面积是（）A．B．C．+D．++111．如图所示是一样本的频率分布直方图，则由图形中的数据，可以估计众数与中位数分别为（）A ．10 13B ．12.5 12C ．12.5 13D ．10 1512．已知某市两次数学测试的成绩ξ1和ξ2分别服从正态分布ξ1：N 1（90，86）和ξ2：N 2（93，79），则以下结论正确的是（ ）A ．第一次测试的平均分比第二次测试的平均分要高，也比第二次成绩稳定B ．第一次测试的平均分比第二次测试的平均分要高，但不如第二次成绩稳定C ．第二次测试的平均分比第一次测试的平均分要高，也比第一次成绩稳定D ．第二次测试的平均分比第一次测试的平均分要高，但不如第一次成绩稳定二、填空题13x 和所支出的维修费用y （万元）的统计资料如表：根据上表数据可得y 与x 之间的线性回归方程=0.7x+，据此模型估计，该机器使用年限为14年时的维修费用约为 万元．14．函数2()2(1)2f x x a x =+-+在区间(,4]-∞上递减，则实数的取值范围是 ．15．设曲线y=x n+1（n ∈N *）在点（1，1）处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，令a n =lgx n ，则a 1+a 2+…+a 99的值为 ．16．已知,0()1,0x e x f x x ì³ï=í<ïî，则不等式2(2)()f x f x ->的解集为________．【命题意图】本题考查分段函数、一元二次不等式等基础知识，意在考查分类讨论思想和基本运算能力． 17．抽样调查表明，某校高三学生成绩（总分750分）X 近似服从正态分布，平均成绩为500分．已知P （400＜X ＜450）=0.3，则P （550＜X ＜600）= ．18．曲线在点（3，3）处的切线与轴x 的交点的坐标为 ．三、解答题19．（本题满分12分）在ABC ∆中，已知角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，边72c =，且tan tan tan 3A B A B +=-ABC ∆的面积为ABC S ∆=a b +的值．20．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()|21|f x x =-．（1）若不等式1()21(0)2f x m m +≤+>的解集为(][),22,-∞-+∞，求实数m 的值；（2）若不等式()2|23|2yyaf x x ≤+++，对任意的实数,x y R ∈恒成立，求实数a 的最小值．21．我省城乡居民社会养老保险个人年缴费分100，200，300，400，500，600，700，800，900，1000（单位：元）十个档次，某社区随机抽取了50名村民，按缴费在100：500元，600：1000元，以及年龄在20：39岁，4059（2）在缴费100：500元之间抽取的5人中，随机选取2人进行到户走访，求这2人的年龄都在40：59岁之间的概率．22．在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：x 2+y 2=4，A （，0），A 1（﹣，0），点P 为平面内一动点，以PA 为直径的圆与圆C 相切．（Ⅰ）求证：|PA 1|+|PA|为定值，并求出点P 的轨迹方程C 1；（Ⅱ）若直线PA 与曲线C 1的另一交点为Q ，求△POQ 面积的最大值．23．数列{}n a 中，18a =，42a =，且满足*2120()n n n a a a n N ++-+=∈. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设12||||||n n S a a a =++，求n S .24．设函数．（Ⅰ）求函数的最小正周期；（Ⅱ）求函数在上的最大值与最小值．荔湾区第二中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）一、选择题1．【答案】C【解析】解：∵a＞b＞0，∴﹣a＜﹣b＜0，∴（﹣a）2＞（﹣b）2，故选C．【点评】本题主要考查不等式的基本性质的应用，属于基础题．2．【答案】D【解析】解：∵tanα=2，∴===．故选D．3．【答案】C【解析】解：若果树前n年的总产量S与n在图中对应P（S，n）点则前n年的年平均产量即为直线OP的斜率由图易得当n=9时，直线OP的斜率最大即前9年的年平均产量最高，故选C4．【答案】C【解析】解：由a n+1=a n+2n，得a n+1﹣a n=2n，又a1=1，∴a5=（a5﹣a4）+（a4﹣a3）+（a3﹣a2）+（a2﹣a1）+a1=2（4+3+2+1）+1=21．故选：C．【点评】本题考查数列递推式，训练了累加法求数列的通项公式，是基础题．5．【答案】A【解析】考点：1、向量的模及平面向量数量积的运算；2、点和圆的位置关系.6．【答案】A【解析】解：集合A={x|﹣2＜x＜4}，B={﹣2，1，2，4}，则A∩B={1，2}．故选：A．【点评】本题考查交集的运算法则的应用，是基础题．7．【答案】B【解析】解：n=1，满足条件，执行循环体，S=1+1=2n=2，满足条件，执行循环体，S=1+1+2=4n=3，满足条件，执行循环体，S=1+1+2+3=7n=10，不满足条件，退出循环体，循环满足的条件为n≤9，故选B．【点评】本题主要考查了当型循环结构，算法和程序框图是新课标新增的内容，在近两年的新课标地区高考都考查到了，这启示我们要给予高度重视，属于基础题．8．【答案】A【解析】解：把函数y=sin3x的图象向右平移个单位长度，可得y=sin3（x﹣）=sin（3x﹣）的图象，故选：A．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．9．【答案】B【解析】解：若，则（a+b）（sinB﹣sinA）﹣sinC（a+c）=0，由正弦定理可得：（a+b）（b﹣a）﹣c（a+c）=0，化为a2+c2﹣b2=﹣ac，∴cosB==﹣，∵B∈（0，π），∴B=，故选：B．【点评】本题考查了正弦定理与余弦定理的应用、向量数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，是一道基础题．10．【答案】D【解析】解：由三视图可知：该几何体是如图所示的三棱锥，其中侧面PAC⊥面ABC，△PAC是边长为2的正三角形，△ABC是边AC=2，边AC上的高OB=1，PO=为底面上的高．于是此几何体的表面积S=S+S△ABC+2S△PAB=××2+×2×1+2×××=+1+．△PAC故选：D【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．11．【答案】C【解析】解：众数是频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标，∴中间的一个矩形最高，故10与15的中点是12.5，众数是12.5而中位数是把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于Y轴的直线横坐标第一个矩形的面积是0.2，第三个矩形的面积是0.3，故将第二个矩形分成3：2即可∴中位数是13故选：C．【点评】用样本估计总体，是研究统计问题的一个基本思想方法．频率分布直方图中小长方形的面积=组距×，各个矩形面积之和等于1，能根据直方图求众数和中位数，属于常规题型．12．【答案】C【解析】解：∵某市两次数学测试的成绩ξ1和ξ2分别服从正态分布ξ1：N1（90，86）和ξ2：N2（93，79），∴μ1=90，▱1=86，μ2=93，▱2=79，∴第二次测试的平均分比第一次测试的平均分要高，也比第一次成绩稳定，故选：C．【点评】本题考查正态分布曲线的特点，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．二、填空题13．【答案】 7.5【解析】解：∵由表格可知=9， =4，∴这组数据的样本中心点是（9，4），根据样本中心点在线性回归直线=0.7x+上，∴4=0.7×9+，∴=﹣2.3，∴这组数据对应的线性回归方程是=0.7x ﹣2.3，∵x=14，∴=7.5，故答案为：7.5【点评】本题考查线性回归方程，考查样本中心点，做本题时要注意本题把利用最小二乘法来求线性回归方程的系数的过程省掉，只要求a 的值，这样使得题目简化，注意运算不要出错．14．【答案】3a ≤- 【解析】试题分析：函数()f x 图象开口向上，对称轴为1x a =-，函数在区间(,4]-∞上递减，所以14,3a a -≥≤-. 考点：二次函数图象与性质．15．【答案】 ﹣2 ．【解析】解：∵曲线y=x n+1（n ∈N *），∴y ′=（n+1）x n，∴f ′（1）=n+1，∴曲线y=xn+1（n ∈N *）在（1，1）处的切线方程为y ﹣1=（n+1）（x ﹣1），该切线与x 轴的交点的横坐标为x n =，∵a n =lgx n ，∴a n =lgn ﹣lg （n+1）， ∴a 1+a 2+…+a 99=（lg1﹣lg2）+（lg2﹣lg3）+（lg3﹣lg4）+（lg4﹣lg5）+（lg5﹣lg6）+…+（lg99﹣lg100） =lg1﹣lg100=﹣2． 故答案为：﹣2．16．【答案】(【解析】函数()f x 在[0,)+?递增，当0x <时，220x ->，解得0x -<<；当0x ³时，22x x ->，解得01x ?，综上所述，不等式2(2)()f x f x ->的解集为(-．17．【答案】 0.3 ．【解析】离散型随机变量的期望与方差． 【专题】计算题；概率与统计．【分析】确定正态分布曲线的对称轴为x=500，根据对称性，可得P （550＜ξ＜600）．【解答】解：∵某校高三学生成绩（总分750分）ξ近似服从正态分布，平均成绩为500分，∴正态分布曲线的对称轴为x=500， ∵P （400＜ξ＜450）=0.3， ∴根据对称性，可得P （550＜ξ＜600）=0.3．故答案为：0.3．【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，正确运用正态分布曲线的对称性是关键．18．【答案】 （，0） ．【解析】解：y ′=﹣，∴斜率k=y ′|x=3=﹣2，∴切线方程是：y ﹣3=﹣2（x ﹣3）， 整理得：y=﹣2x+9，令y=0，解得：x=，故答案为：．【点评】本题考查了曲线的切线方程问题，考查导数的应用，是一道基础题．三、解答题19．【答案】112． 【解析】试题解析：由tan tan tan 3A B A B +=-可得tan tan 1tan tan A BA B+=-tan()A B +=∴tan()C π-=tan C -=tan C =∵(0,)C π∈，∴3C π=.又ABC ∆的面积为ABC S ∆=1sin 2ab C =，即12ab =6ab =. 又由余弦定理可得2222cos c a b ab C =+-，∴2227()2cos 23a b ab π=+-，∴22227()()32a b ab a b ab =+-=+-，∴2121()4a b +=，∵0a b +>，∴112a b +=.1 考点：解三角形问题．【方法点晴】本题主要考查了解三角形问题，其中解答中涉及到两角和与两角差的正切函数公式、三角形的面积、正弦定理和余弦定理，以及特殊角的三角函数值等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，其中熟练掌握基本公式和灵活运用公式是解答本题的关键，属于中档试题． 20．【答案】【解析】【命题意图】本题主要考查绝对值不等式的解法、三角不等式、基本不等式等基础知识，以及考查等价转化的能力、逻辑思维能力、运算能力．21．【答案】【解析】解：（1）设抽取x人，则，解得x=2，即年龄在20：39岁之间应抽取2人．（2）设在缴费100：500元之间抽取的5人中，年龄在20：39岁年龄的两人为A，B，在40：59岁之间为a，b，c，随机选取2人的情况有（A，B），（A，a），（A，b），（A，c），（B，a），（B，b），（B，c），（a，b），（a，c），（b，c），共10种，年龄都在40：59岁之间的有（a，b），（a，c），（b，c），共3种，则对应的概率P=．【点评】本题主要考查分层抽样的应用，以及古典概型的计算，利用列举法是解决本题的关键．22．【答案】【解析】（Ⅰ）证明：设点P（x，y），记线段PA的中点为M，则两圆的圆心距d=|OM|=|PA 1|=R ﹣|PA|， 所以，|PA1|+|PA|=4＞2，故点P 的轨迹是以A ，A 1为焦点，以4为长轴的椭圆，所以，点P 的轨迹方程C 1为：=1． …（Ⅱ）解：设P （x1，y 1），Q （x 2，y 2），直线PQ 的方程为：x=my+，…代入=1消去x ，整理得：（m 2+4）y 2+2my ﹣1=0，则y 1+y 2=﹣，y 1y 2=﹣，…△POQ 面积S=|OA||y1﹣y 2|=2…令t=（0，则S=2≤1（当且仅当t=时取等号）所以，△POQ 面积的最大值1． …23．【答案】（1）102n a n =-；（2）229(5)940(5)n n n n S n n n ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩．【解析】试题分析：（1）由2120n n n a a a ++-+=，所以{}n a 是等差数列且18a =，42a =，即可求解数列{}n a 的通项公式；（2）由（1）令0n a =，得5n =，当5n >时，0n a <；当5n =时，0n a =；当5n <时，0n a >，即可分类讨论求解数列n S ．当5n ≤时，12||||||n n S a a a =++2129n a a a n n =+++=-∴229(5)940(5)n n n n S n n n ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩.1考点：等差数列的通项公式；数列的求和． 24．【答案】【解析】【知识点】三角函数的图像与性质恒等变换综合 【试题解析】（Ⅰ）因为．所以函数的最小正周期为．（Ⅱ）由（Ⅰ），得．因为，所以，所以．所以．且当时，取到最大值；当时，取到最小值．。

荔湾区第二中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

荔湾区第二中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

荔湾区第二中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，则m 的值等于（ ）A ．12B ．20C ．D ．2． 有下列四个命题：①“若a 2+b 2=0，则a ，b 全为0”的逆否命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题； ③“若“q ≤1”，则x 2+2x+q=0有实根”的逆否命题；④“矩形的对角线相等”的逆命题． 其中真命题为（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．③④3． 已知函数f （x ）=a x ﹣1+log a x 在区间[1，2]上的最大值和最小值之和为a ，则实数a 为（ ）A ．B ．C ．2D ．44． 以A={2，4，6，7，8，11，12，13}中的任意两个元素分别为分子与分母构成分数，则这种分数是可约分数的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．5． 已知f （x ）=x 3﹣3x+m ，在区间[0，2]上任取三个数a ，b ，c ，均存在以f （a ），f （b ），f （c ）为边长的三角形，则m 的取值范围是（ ）A ．m ＞2B ．m ＞4C ．m ＞6D ．m ＞86． 在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A 1到截面AB 1D 1的距离是（ ）A ．B ．C ．D ．7． 函数()log 1xa f x a x =-有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）A ．()1,10B ．()1,+∞C ．()0,1D ．()10,+∞ 8． 若()f x 是定义在(),-∞+∞上的偶函数，[)()1212,0,x x x x ∀∈+∞≠，有()()21210f x f x x x -<-，则（ ）A ．()()()213f f f -<<B ．()()()123f f f <-<C ．()()()312f f f <<D ．()()()321f f f <-<9．已知一元二次不等式f（x）＜0的解集为{x|x＜﹣1或x＞}，则f（10x）＞0的解集为（）A．{x|x＜﹣1或x＞﹣lg2} B．{x|﹣1＜x＜﹣lg2}C．{x|x＞﹣lg2} D．{x|x＜﹣lg2}10．如图给出的是计算的值的一个流程图，其中判断框内应填入的条件是（）A．i≤21 B．i≤11 C．i≥21 D．i≥1111．若a＞0，b＞0，a+b=1，则y=+的最小值是（）A．2 B．3 C．4 D．512．高一新生军训时，经过两天的打靶训练，甲每射击10次可以击中9次，乙每射击9次可以击中8次．甲、乙两人射击同一目标（甲、乙两人互不影响），现各射击一次，目标被击中的概率为（）A．B．C．D．二、填空题13．若函数f（x）=log a x（其中a为常数，且a＞0，a≠1）满足f（2）＞f（3），则f（2x﹣1）＜f（2﹣x）的解集是．14．过原点的直线l与函数y=的图象交于B，C两点，A为抛物线x2=﹣8y的焦点，则|+|=．15．已知双曲线的标准方程为，则该双曲线的焦点坐标为，渐近线方程为．16．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是A1D1的中点，点P在侧面BCC1B1上运动．现有下列命题：①若点P总保持PA⊥BD1，则动点P的轨迹所在曲线是直线；②若点P到点A的距离为，则动点P的轨迹所在曲线是圆；③若P满足∠MAP=∠MAC1，则动点P的轨迹所在曲线是椭圆；④若P到直线BC与直线C1D1的距离比为1：2，则动点P的轨迹所在曲线是双曲线；⑤若P到直线AD与直线CC1的距离相等，则动点P的轨迹所在曲线是抛物丝．其中真命题是（写出所有真命题的序号）17．圆上的点（2，1）关于直线x+y=0的对称点仍在圆上，且圆与直线x﹣y+1=0相交所得的弦长为，则圆的方程为．18．一个算法的程序框图如图，若该程序输出的结果为，则判断框中的条件i＜m中的整数m的值是．三、解答题19．证明：f（x）是周期为4的周期函数；（2）若f（x）=（0＜x≤1），求x∈[﹣5，﹣4]时，函数f（x）的解析式．18．已知函数f（x）=是奇函数．20．（1）求与椭圆有相同的焦点，且经过点（4，3）的椭圆的标准方程．（2）求与双曲线有相同的渐近线，且焦距为的双曲线的标准方程．21．【无锡市2018届高三上期中基础性检测】在一块杂草地上有一条小路AB,现在小路的一边围出一个三角形（如图）区域，在三角形ABC 内种植花卉.已知AB 长为1千米，设角,C θ=AC 边长为BC 边长的()1a a >倍，三角形ABC 的面积为S （千米2）. 试用θ和a 表示S ；（2）若恰好当60θ=时，S 取得最大值，求a 的值.22．（本题满分15分）已知抛物线C 的方程为22(0)y px p =>，点(1,2)R 在抛物线C 上．（1）求抛物线C 的方程；（2）过点(1,1)Q 作直线交抛物线C 于不同于R 的两点A ，B ，若直线AR ，BR 分别交直线:22l y x =+于M ，N 两点，求MN 最小时直线AB 的方程．【命题意图】本题主要考查抛物线的标准方程及其性质以及直线与抛物线的位置关系等基础知识，意在考查运算求解能力.23．已知圆的极坐标方程为ρ2﹣4ρcos （θ﹣）+6=0．（1）将极坐标方程化为普通方程；（2）若点P 在该圆上，求线段OP 的最大值和最小值．24．（本题满分12分）如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中， E 、F 分别是棱DD 1 、C 1D 1的中点. （1）求直线BE 和平面ABB 1A 1所成角θ的正弦值；（2）证明：B1F∥平面A1BE．荔湾区第二中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）一、选择题1．【答案】A【解析】解：椭圆的焦点为（±4，0），由双曲线的焦点与椭圆的重合，可得=4，解得m=12．故选：A．2．【答案】B【解析】解：①由于“若a2+b2=0，则a，b全为0”是真命题，因此其逆否命题是真命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题为“不全等的三角形的面积不相等”，不正确；③若x2+2x+q=0有实根，则△=4﹣4q≥0，解得q≤1，因此“若“q≤1”，则x2+2x+q=0有实根”的逆否命题是真命题；④“矩形的对角线相等”的逆命题为“对角线相等的四边形是矩形”，是假命题．综上可得：真命题为：①③．故选：B．【点评】本题考查了命题之间的关系及其真假判定方法，考查了推理能力，属于基础题．3．【答案】A【解析】解：分两类讨论，过程如下：①当a＞1时，函数y=a x﹣1和y=log a x在[1，2]上都是增函数，∴f（x）=a x﹣1+log a x在[1，2]上递增，∴f（x）max+f（x）min=f（2）+f（1）=a+log a2+1=a，∴log a2=﹣1，得a=，舍去；②当0＜a＜1时，函数y=a x﹣1和y=log a x在[1，2]上都是减函数，∴f（x）=a x﹣1+log a x在[1，2]上递减，∴f（x）max+f（x）min=f（2）+f（1）=a+log a2+1=a，∴log a2=﹣1，得a=，符合题意；故选A．4．【答案】D【解析】解：因为以A={2，4，6，7，8，11，12，13}中的任意两个元素分别为分子与分母共可构成个分数，由于这种分数是可约分数的分子与分母比全为偶数，故这种分数是可约分数的共有个，则分数是可约分数的概率为P==，故答案为：D【点评】本题主要考查了等可能事件的概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．5．【答案】C【解析】解：由f′（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1）=0得到x1=1，x2=﹣1（舍去）∵函数的定义域为[0，2]∴函数在（0，1）上f′（x）＜0，（1，2）上f′（x）＞0，∴函数f（x）在区间（0，1）单调递减，在区间（1，2）单调递增，则f（x）min=f（1）=m﹣2，f（x）max=f（2）=m+2，f（0）=m由题意知，f（1）=m﹣2＞0 ①；f（1）+f（1）＞f（2），即﹣4+2m＞2+m②由①②得到m＞6为所求．故选C【点评】本题以函数为载体，考查构成三角形的条件，解题的关键是求出函数在区间[0，2]上的最小值与最大值6．【答案】C【解析】解：如图，设A1C1∩B1D1=O1，∵B1D1⊥A1O1，B1D1⊥AA1，∴B1D1⊥平面AA1O1，故平面AA1O1⊥面AB1D1，交线为AO1，在面AA1O1内过B1作B1H⊥AO1于H，则易知AH的长即是点A1到截面AB1D1的距离，在Rt△A1O1A中，A1O1=，1AO1=3，由A1O1•A1A=h•AO1，可得A1H=，故选：C．【点评】本题主要考查了点到平面的距离，同时考查空间想象能力、推理与论证的能力，属于基础题．7． 【答案】B 【解析】试题分析：函数()f x 有两个零点等价于1xy a ⎛⎫= ⎪⎝⎭与log a y x =的图象有两个交点，当01a <<时同一坐标系中做出两函数图象如图（2），由图知有一个交点，符合题意；当1a >时同一坐标系中做出两函数图象如图（1），由图知有两个交点，不符合题意,故选B.x（1） （2）考点：1、指数函数与对数函数的图象；2、函数的零点与函数交点之间的关系.【方法点睛】本题主要考查指数函数与对数函数的图象、函数的零点与函数交点之间的关系.属于难题.判断方程()y f x =零点个数的常用方法：①直接法：可利用判别式的正负直接判定一元二次方程根的个数；②转化法：函数()y fx =零点个数就是方程()0f x =根的个数，结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性、周期性、对称性） 可确定函数的零点个数；③数形结合法：一是转化为两个函数()(),y g x y h x ==的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为(),y a y g x ==的交点个数的图象的交点个数问题.本题的解答就利用了方法③. 8． 【答案】D 9． 【答案】D【解析】解：由题意可知f （x ）＞0的解集为{x|﹣1＜x ＜}，故可得f （10x ）＞0等价于﹣1＜10x＜，由指数函数的值域为（0，+∞）一定有10x＞﹣1，而10x＜可化为10x＜，即10x＜10﹣lg2，由指数函数的单调性可知：x＜﹣lg2故选：D10．【答案】D【解析】解：∵S=并由流程图中S=S+故循环的初值为1终值为10、步长为1故经过10次循环才能算出S=的值，故i≤10，应不满足条件，继续循环∴当i≥11，应满足条件，退出循环填入“i≥11”．故选D．11．【答案】C【解析】解：∵a＞0，b＞0，a+b=1，∴y=+=（a+b）=2+=4，当且仅当a=b=时取等号．∴y=+的最小值是4．故选：C．【点评】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题．12．【答案】D【解析】【解答】解：由题意可得，甲射中的概率为，乙射中的概率为，故两人都击不中的概率为（1﹣）（1﹣）=，故目标被击中的概率为1﹣=，故选：D．【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，所求的事件的概率与它的对立事件的概率之间的关系，属于基础题．二、填空题13．【答案】（1，2）．【解析】解：∵f（x）=log a x（其中a为常数且a＞0，a≠1）满足f（2）＞f（3），∴0＜a＜1，x＞0，若f（2x﹣1）＜f（2﹣x），则，解得：1＜x＜2，故答案为：（1，2）．【点评】本题考查了对数函数的性质，考查函数的单调性问题，是一道基础题．14．【答案】4．【解析】解：由题意可得点B和点C关于原点对称，∴|+|=2||，再根据A为抛物线x2=﹣8y的焦点，可得A（0，﹣2），∴2||=4，故答案为：4．【点评】本题主要考查抛物线的方程、简单性质，属于基础题，利用|+|=2||是解题的关键．15．【答案】（±，0）y=±2x．【解析】解：双曲线的a=2，b=4，c==2，可得焦点的坐标为（±，0），渐近线方程为y=±x，即为y=±2x．故答案为：（±，0），y=±2x．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是焦点的求法和渐近线方程的求法，考查运算能力，属于基础题．16．【答案】①②④【解析】解：对于①，∵BD1⊥面AB1C，∴动点P的轨迹所在曲线是直线B1C，①正确；对于②，满足到点A的距离为的点集是球，∴点P应为平面截球体所得截痕，即轨迹所在曲线为圆，②正确；对于③，满足条件∠MAP=∠MAC1的点P应为以AM为轴，以AC1为母线的圆锥，平面BB1C1C是一个与轴AM平行的平面，又点P在BB1C1C所在的平面上，故P点轨迹所在曲线是双曲线一支，③错误；对于④，P到直线C1D1的距离，即到点C1的距离与到直线BC的距离比为2：1，∴动点P的轨迹所在曲线是以C1为焦点，以直线BC为准线的双曲线，④正确；对于⑤，如图建立空间直角坐标系，作PE⊥BC，EF⊥AD，PG⊥CC1，连接PF，设点P坐标为（x，y，0），由|PF|=|PG|，得，即x2﹣y2=1，∴P点轨迹所在曲线是双曲线，⑤错误．故答案为：①②④．【点评】本题考查了命题的真假判断与应用，考查了圆锥曲线的定义和方方程，考查了学生的空间想象能力和思维能力，是中档题．17．【答案】（x﹣1）2+（y+1）2=5．【解析】解：设所求圆的圆心为（a，b），半径为r，∵点A（2，1）关于直线x+y=0的对称点A′仍在这个圆上，∴圆心（a，b）在直线x+y=0上，∴a+b=0，①且（2﹣a）2+（1﹣b）2=r2；②又直线x﹣y+1=0截圆所得的弦长为，且圆心（a，b）到直线x﹣y+1=0的距离为d==，根据垂径定理得：r2﹣d2=，即r2﹣（）2=③；由方程①②③组成方程组，解得；∴所求圆的方程为（x﹣1）2+（y+1）2=5．故答案为：（x﹣1）2+（y+1）2=5．18．【答案】6．【解析】解：第一次循环：S=0+=，i=1+1=2；第二次循环：S=+=，i=2+1=3；第三次循环：S=+=，i=3+1=4；第四次循环：S=+=，i=4+1=5；第五次循环：S=+=，i=5+1=6；输出S，不满足判断框中的条件；∴判断框中的条件为i＜6？故答案为：6．【点评】本题考查程序框图，尤其考查循环结构．对循环体每次循环需要进行分析并找出内在规律．本题属于基础题三、解答题19．【答案】【解析】（1）证明：由函数f（x）的图象关于直线x=1对称，有f（x+1）=f（1﹣x），即有f（﹣x）=f（x+2）．又函数f（x）是定义在R上的奇函数，有f（﹣x）=﹣f（x）．故f（x+2）=﹣f（x）．从而f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x）．即f（x）是周期为4的周期函数．（2）解：由函数f（x）是定义在R上的奇函数，有f（0）=0．x∈[﹣1，0）时，﹣x∈（0，1]，．故x∈[﹣1，0]时，．x∈[﹣5，﹣4]时，x+4∈[﹣1，0]，．从而，x∈[﹣5，﹣4]时，函数f（x）的解析式为．【点评】本题考查函数奇偶性的性质，函数解析式的求解常用的方法，本题解题的关键是根据函数是一个奇函数对函数式进行整理，本题是一个中档题目．20．【答案】【解析】解：（1）由所求椭圆与椭圆有相同的焦点，设椭圆方程，由（4，3）在椭圆上得，则椭圆方程为；（2）由双曲线有相同的渐近线，设所求双曲线的方程为﹣=1（λ≠0），由题意可得c 2=4|λ|+9|λ|=13，解得λ=±1．即有双曲线的方程为﹣=1或﹣=1．21．【答案】（1）21sin 212cos a S a a θθ=⋅+- （2）2a =【解析】试题解析：（1）设边BC x =，则AC ax =， 在三角形ABC 中，由余弦定理得：22212cos x ax ax θ=+-，所以22112cos x a a θ=+-， 所以211sin 2212cos a S ax x sin a a θθθ=⋅⋅=⋅+-，（2）因为()()222cos 12cos 2sin sin 1212cos a a a a a S a a θθθθθ+--⋅=+-'⋅，()()2222cos 121212cos a a aa a θθ+-=⋅+-， 令0S '=，得022cos ,1aa θ=+ 且当0θθ<时，022cos 1aa θ>+，0S '>， 当0θθ>时，022cos 1aaθ<+，0S '<， 所以当0θθ=时，面积S 最大，此时0060θ=，所以22112a a =+，解得2a = 因为1a >，则2a =点睛：解三角形的实际应用，首先转化为几何思想，将图形对应到三角形，找到已知条件，本题中对应知道一个角，一条边，及其余两边的比例关系，利用余弦定理得到函数方程；面积最值的处理过程中，若函数比较复杂，则借助导数去求解最值。

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荔湾区第二中学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 已知函数f （x ）满足f （x ）=f （π﹣x ），且当x ∈（﹣，）时，f （x ）=e x +sinx ，则（）A ．B ．C ．D ．2． 已知f （x ）是R 上的偶函数，且在（﹣∞，0）上是增函数，设，b=f （log 43），c=f （0.4﹣1.2）则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a ＜c ＜bB ．b ＜a ＜cC ．c ＜a ＜bD ．c ＜b ＜a3． 已知x ∈R ，命题“若x 2＞0，则x ＞0”的逆命题、否命题和逆否命题中，正确命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．34． 执行如图的程序框图，则输出S 的值为（）A ．2016B ．2C ．D ．﹣15． 两个随机变量x ，y 的取值表为x 0134y2.24.34.86.7若x ，y 具有线性相关关系，且＝bx ＋2.6，则下列四个结论错误的是（）y ^A ．x 与y 是正相关B ．当y 的估计值为8.3时，x ＝6C ．随机误差e 的均值为0D ．样本点（3，4.8）的残差为0.656． 若，，则不等式成立的概率为（）[]0,1b ∈221a b +≤A ．B ．C ．D ．16π12π8π4π7． 已知变量满足约束条件，则的取值范围是（ ）,x y 20170x y x x y -+≤⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩y x A ． B ．C ．D ．9[,6]59(,][6,)5-∞+∞ (,3][6,)-∞+∞ [3,6]8． 下列函数中，既是奇函数又是减函数的为（ ）A ．y=x+1B ．y=﹣x 2C ．D ．y=﹣x|x|9． 复数i ﹣1（i 是虚数单位）的虚部是（ ）A ．1B ．﹣1C ．iD ．﹣i10．直线的倾斜角是（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知向量，，若，则实数（ ）(,1)a t = (2,1)b t =+ ||||a b a b +=-t =A. B. C. D. 2-1-12【命题意图】本题考查向量的概念，向量垂直的充要条件，简单的基本运算能力．12．已知，其中i 为虚数单位，则a+b=（）A ．﹣1B ．1C ．2D ．3二、填空题13．若函数的定义域为，则函数的定义域是 ．()f x []1,2-(32)f x -14．给出下列四个命题：①函数f （x ）=1﹣2sin 2的最小正周期为2π；②“x 2﹣4x ﹣5=0”的一个必要不充分条件是“x=5”；③命题p ：∃x ∈R ，tanx=1；命题q ：∀x ∈R ，x 2﹣x+1＞0，则命题“p ∧（￢q ）”是假命题；④函数f （x ）=x 3﹣3x 2+1在点（1，f （1））处的切线方程为3x+y ﹣2=0．其中正确命题的序号是 ．　15．如图：直三棱柱ABC ﹣A ′B ′C ′的体积为V ，点P 、Q 分别在侧棱AA ′和CC ′上，AP=C ′Q ，则四棱锥B ﹣APQC 的体积为 ．16．函数y=lgx 的定义域为 ．　17．已知函数()()31,ln 4f x x mxg x x =++=-.{}min ,a b 表示,a b 中的最小值，若函数()()(){}()min ,0h x f x g x x =>恰有三个零点，则实数m 的取值范围是 ▲ ．18．某工厂产生的废气经过过虑后排放，过虑过程中废气的污染物数量（单位：毫克/升）与时间（单P t 位：小时）间的关系为（，均为正常数）．如果前5个小时消除了的污染物，为了0ektP P -=0P k 10%消除的污染物，则需要___________小时.27.1%【命题意图】本题考指数函数的简单应用，考查函数思想，方程思想的灵活运用.三、解答题19．已知数列{a n }满足a 1=，a n+1=a n +，数列{b n }满足b n =（Ⅰ）证明：b n ∈（0，1）（Ⅱ）证明：=（Ⅲ）证明：对任意正整数n 有a n．20．（本小题满分12分）一直线被两直线截得线段的中点是12:460,:3560l x y l x y ++=--=P 点, 当点为时, 求此直线方程.P ()0,021．已知圆C 经过点A （﹣2，0），B （0，2），且圆心在直线y=x 上，且，又直线l ：y=kx+1与圆C 相交于P 、Q 两点．（Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）若，求实数k 的值；（Ⅲ）过点（0，1）作直线l 1与l 垂直，且直线l 1与圆C 交于M 、N 两点，求四边形PMQN 面积的最大值．22．已知三次函数f （x ）的导函数f ′（x ）=3x 2﹣3ax ，f （0）=b ，a 、b 为实数．（1）若曲线y=f （x ）在点（a+1，f （a+1））处切线的斜率为12，求a 的值；（2）若f （x ）在区间[﹣1，1]上的最小值、最大值分别为﹣2、1，且1＜a ＜2，求函数f （x ）的解析式．　23．（本题满分14分）已知函数.x a x x f ln )(2-=（1）若在上是单调递减函数，求实数的取值范围；)(x f ]5,3[a （2）记，并设是函数的两个极值点，若，x b x a x f x g )1(2ln )2()()(--++=)(,2121x x x x <)(x g 27≥b 求的最小值.)()(21x g x g -24．已知定义域为R的函数是奇函数．（1）求f（x）；（2）判断函数f（x）的单调性（不必证明）；（3）解不等式f（|x|+1）+f（x）＜0．荔湾区第二中学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）一、选择题1．【答案】D【解析】解：由f（x）=f（π﹣x）知，∴f（）=f（π﹣）=f（），∵当x∈（﹣，）时，f（x）=e x+sinx为增函数∵＜＜＜，∴f（）＜f（）＜f（），∴f（）＜f（）＜f（），故选：D2．【答案】C【解析】解：由题意f（x）=f（|x|）．∵log43＜1，∴|log43|＜1；2＞|ln|=|ln3|＞1；∵|0.4﹣1.2|=| 1.2|＞2∴|0.4﹣1.2|＞|ln|＞|log43|．又∵f（x）在（﹣∞，0]上是增函数且为偶函数，∴f（x）在[0，+∞）上是减函数．∴c＜a＜b．故选C3．【答案】C【解析】解：命题“若x2＞0，则x＞0”的逆命题是“若x＞0，则x2＞0”，是真命题；否命题是“若x2≤0，则x≤0”，是真命题；逆否命题是“若x≤0，则x2≤0”，是假命题；综上，以上3个命题中真命题的个数是2．故选：C4．【答案】B【解析】解：模拟执行程序框图，可得s=2，k=0满足条件k＜2016，s=﹣1，k=1满足条件k＜2016，s=，k=2满足条件k＜2016，s=2．k=3满足条件k＜2016，s=﹣1，k=4满足条件k＜2016，s=，k=5…观察规律可知，s的取值以3为周期，由2015=3*671+2，有满足条件k＜2016，s=2，k=2016不满足条件k＜2016，退出循环，输出s的值为2．故选：B．【点评】本题主要考查了程序框图和算法，依次写出前几次循环得到的s，k的值，观察规律得到s的取值以3为周期是解题的关键，属于基本知识的考查．5．【答案】^【解析】选D.由数据表知A是正确的，其样本中心为（2，4.5），代入＝bx＋2.6得b＝0.95，即＝0.95x＋y^y2.6，当＝8.3时，则有8.3＝0.95x＋2.6，∴x＝6，∴B正确．根据性质，随机误差的均值为0，∴C正确．样y^e本点（3，4.8）的残差＝4.8－（0.95×3＋2.6）＝－0.65，∴D错误，故选D.e^6．【答案】D【解析】考点：几何概型．7．【答案】A【解析】试题分析：作出可行域，如图内部（含边界），表示点与原点连线的斜率，易得，ABC ∆y x (,)x y 59(,)22A ，，，所以．故选A ．(1,6)B 992552OAk ==661OB k ==965y x ≤≤考点：简单的线性规划的非线性应用．8． 【答案】D【解析】解：y=x+1不是奇函数；y=﹣x 2不是奇函数；是奇函数，但不是减函数；y=﹣x|x|既是奇函数又是减函数，故选：D ．【点评】本题考查的知识点是函数的奇偶性和函数的单调性，难度不大，属于基础题．　9． 【答案】A【解析】解：由复数虚部的定义知，i ﹣1的虚部是1，故选A ．【点评】该题考查复数的基本概念，属基础题．　10．【答案】A【解析】解：设倾斜角为α，∵直线的斜率为，∴tan α=，∵0°＜α＜180°，∴α=30°故选A ．【点评】本题考查了直线的倾斜角与斜率之间的关系，属于基础题，应当掌握．　11．【答案】B 【解析】由知，，∴，解得，故选B.||||a b a b +=- a b ⊥ (2)110a b t t ⋅=++⨯=1t =-12．【答案】B 【解析】解：由得a+2i=bi ﹣1，所以由复数相等的意义知a=﹣1，b=2，所以a+b=1另解：由得﹣ai+2=b+i （a ，b ∈R ），则﹣a=1，b=2，a+b=1．故选B ．【点评】本题考查复数相等的意义、复数的基本运算，是基础题．　二、填空题13．【答案】1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】试题分析：依题意得.11322,,22x x ⎡⎤-≤-≤∈⎢⎥⎣⎦考点：抽象函数定义域．14．【答案】　①③④　．【解析】解：①∵，∴T=2π，故①正确；②当x=5时，有x 2﹣4x ﹣5=0，但当x 2﹣4x ﹣5=0时，不能推出x 一定等于5，故“x=5”是“x 2﹣4x ﹣5=0”成立的充分不必要条件，故②错误；③易知命题p 为真，因为＞0，故命题q 为真，所以p ∧（￢q ）为假命题，故③正确；④∵f ′（x ）=3x 2﹣6x ，∴f ′（1）=﹣3，∴在点（1，f （1））的切线方程为y ﹣（﹣1）=﹣3（x ﹣1），即3x+y ﹣2=0，故④正确．综上，正确的命题为①③④．故答案为①③④．　15．【答案】V【解析】【分析】四棱锥B ﹣APQC 的体积，底面面积是侧面ACC ′A ′的一半，B 到侧面的距离是常数，求解即可．【解答】解：由于四棱锥B ﹣APQC 的底面面积是侧面ACC ′A ′的一半，不妨把P 移到A ′，Q 移到C ，所求四棱锥B ﹣APQC 的体积，转化为三棱锥A ′﹣ABC 体积，就是：故答案为：16．【答案】　{x|x ＞0}　．【解析】解：对数函数y=lgx 的定义域为：{x|x ＞0}．故答案为：{x|x ＞0}．【点评】本题考查基本函数的定义域的求法．　17．【答案】()53,44--【解析】试题分析：()23f x x m '=+，因为()10g =，所以要使()()(){}()min ,0h x f x g x x =>恰有三个零点，须满足()10,0,0f f m ><<，解得51534244m m >->⇒-<<-考点：函数零点【思路点睛】涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.18．【答案】15【解析】由条件知，所以.消除了的污染物后，废气中的污染物数量为5000.9ekP P -=5e0.9k-=27.1%，于是，∴，所以小时.00.729P 000.729e kt P P -=315e 0.7290.9e kt k --===15t =三、解答题19．【答案】【解析】证明：（Ⅰ）由b n =，且a n+1=a n +，得，∴，下面用数学归纳法证明：0＜b n ＜1．①由a 1=∈（0，1），知0＜b 1＜1，②假设0＜b k ＜1，则，∵0＜b k ＜1，∴，则0＜b k+1＜1．综上，当n ∈N *时，b n ∈（0，1）；（Ⅱ）由，可得，，∴==．故；（Ⅲ）由（Ⅱ）得：，故．由知，当n ≥2时，=．【点评】本题考查了数列递推式，考查了用数学归纳法证明与自然数有关的命题，训练了放缩法证明数列不等式，对递推式的循环运用是证明该题的关键，考查了学生的逻辑思维能力和灵活处理问题的能力，是压轴题．　20．【答案】．16y x =-【解析】试题分析：设所求直线与两直线分别交于,根据因为分别在直线12,l l ()()1122,,,A x y B x y ()()1122,,,A x y B x y 上，列出方程组，求解的值，即可求解直线的方程. 112,l l 11,x y考点：直线方程的求解.21．【答案】【解析】【分析】（I ）设圆心C （a ，a ），半径为r ，利用|AC|=|BC|=r ，建立方程，从而可求圆C 的方程；（II ）方法一：利用向量的数量积公式，求得∠POQ=120°，计算圆心到直线l ：kx ﹣y+1=0的距离，即可求得实数k 的值；方法二：设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），直线方程代入圆的方程，利用韦达定理及=x 1•x 2+y 1•y 2=，即可求得k 的值；（III ）方法一：设圆心O 到直线l ，l 1的距离分别为d ，d 1，求得，根据垂径定理和勾股定理得到，，再利用基本不等式，可求四边形PMQN 面积的最大值；方法二：当直线l 的斜率k=0时，则l 1的斜率不存在，可求面积S ；当直线l 的斜率k ≠0时，设，则，代入消元得（1+k 2）x 2+2kx ﹣3=0，求得|PQ|，|MN|，再利用基本不等式，可求四边形PMQN 面积的最大值．【解答】解：（I ）设圆心C （a ，a ），半径为r ．因为圆经过点A （﹣2，0），B （0，2），所以|AC|=|BC|=r ，所以解得a=0，r=2，…（2分）所以圆C 的方程是x 2+y 2=4．…（4分）（II ）方法一：因为，…（6分）所以，∠POQ=120°，…（7分）所以圆心到直线l：kx﹣y+1=0的距离d=1，…（8分）又，所以k=0．…（9分）方法二：设P（x1，y1），Q（x2，y2），因为，代入消元得（1+k2）x2+2kx﹣3=0．…（6分）由题意得：…（7分）因为=x1•x2+y1•y2=﹣2，又，所以x1•x2+y1•y2=，…（8分）化简得：﹣5k2﹣3+3（k2+1）=0，所以k2=0，即k=0．…（9分）（III）方法一：设圆心O到直线l，l1的距离分别为d，d1，四边形PMQN的面积为S．因为直线l，l1都经过点（0，1），且l⊥l1，根据勾股定理，有，…（10分）又根据垂径定理和勾股定理得到，，…（11分）而，即…（13分）当且仅当d1=d时，等号成立，所以S的最大值为7．…（14分）方法二：设四边形PMQN的面积为S．当直线l的斜率k=0时，则l1的斜率不存在，此时．…（10分）当直线l的斜率k≠0时，设则，代入消元得（1+k2）x2+2kx﹣3=0所以同理得到．…（11分）=…（12分）因为，所以，…（13分）当且仅当k=±1时，等号成立，所以S的最大值为7．…（14分）22．【答案】【解析】解：（1）由导数的几何意义f′（a+1）=12∴3（a+1）2﹣3a（a+1）=12∴3a=9∴a=3（2）∵f′（x）=3x2﹣3ax，f（0）=b∴由f′（x）=3x（x﹣a）=0得x1=0，x2=a∵x∈[﹣1，1]，1＜a＜2∴当x∈[﹣1，0）时，f′（x）＞0，f（x）递增；当x∈（0，1]时，f′（x）＜0，f（x）递减．∴f （x ）在区间[﹣1，1]上的最大值为f （0）∵f （0）=b ，∴b=1∵，∴f （﹣1）＜f （1）∴f （﹣1）是函数f （x ）的最小值，∴∴∴f （x ）=x 3﹣2x 2+1【点评】曲线在切点处的导数值为曲线的切线斜率；求函数的最值，一定要注意导数为0的根与定义域的关系．　23．【答案】【解析】【命题意图】本题综合考查了利用导数研究函数的单调问题，利用导数研究函数的最值，但本题对函数的构造能力及运算能力都有很高的要求，判别式的技巧性运用及换元方法也是本题的一大亮点，本题综合性很强，难度大，但有梯次感.（2）∵，x b x x x b x a x a x x g )1(2ln 2)1(2ln )2(ln )(22--+=--++-=24．【答案】【解析】解：（1）因为f（x）是R上的奇函数，所以f（0）=0，即=0，解得b=1；从而有；…经检验，符合题意；…（2）由（1）知，f（x）==﹣+；由y=2x的单调性可推知f（x）在R上为减函数；…（3）因为f（x）在R上为减函数且是奇函数，从而不等式f（1+|x|）+f（x）＜0等价于f（1+|x|）＜﹣f（x），即f（1+|x|）＜f（﹣x）；…又因f（x）是R上的减函数，由上式推得1+|x|＞﹣x，…解得x∈R．…。

荔湾区一中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

荔湾区一中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

荔湾区一中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1．已知函数f（x）=﹣log2x，在下列区间中，包含f（x）零点的区间是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，4） D．（4，+∞）2．复数=（）A．B．C．D．3．某个几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积为92＋14π，则该几何体的体积为（）A．80＋20πB．40＋20πC．60＋10πD．80＋10π4．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是，则正视图中的x的值是（）A．2 B．C．D．35．过点P（﹣2，2）作直线l，使直线l与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积为8，这样的直线l一共有（）A ．3条B ．2条C ．1条D ．0条6． 定义集合运算：A*B={z|z=xy ，x ∈A ，y ∈B}．设A={1，2}，B={0，2}，则集合A*B 的所有元素之和为（ ） A ．0B ．2C ．3D ．67． 若数列{a n }的通项公式a n =5（）2n ﹣2﹣4（）n ﹣1（n ∈N *），{a n }的最大项为第p 项，最小项为第q 项，则q ﹣p 等于（ ） A ．1B ．2C ．3D ．48． 已知函数f （x ）＝⎩⎨⎧a x －1，x ≤1log a1x ＋1，x ＞1（a ＞0且a ≠1），若f （1）＝1，f （b ）＝－3，则f （5－b ）＝（ ） A ．－14B ．－12C ．－34D ．－549． 已知x ，y 满足约束条件，使z=ax+y 取得最小值的最优解有无数个，则a 的值为（ ）A ．﹣3B ．3C ．﹣1D ．110．过抛物线y=x 2上的点的切线的倾斜角（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．135°11．函数y=2sin 2x+sin2x 的最小正周期（ ）A ．B ．C ．πD ．2π12．如图是一个多面体的三视图，则其全面积为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．定义在R上的可导函数()f x，已知()f xy e=′的图象如图所示，则()y f x=的增区间是▲．．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．15．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成的角的余弦值是．16．对于|q|＜1（q为公比）的无穷等比数列{a n}（即项数是无穷项），我们定义S n（其中S n是数列{a n}的前n项的和）为它的各项的和，记为S，即S=S n=，则循环小数0.的分数形式是．17．设数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=n+1（n∈N*），则数列{}的前10项的和为．18．定义)}(),(min{xgxf为)(xf与)(xg中值的较小者，则函数},2min{)(2xxxf-=的取值范围是三、解答题19．已知二阶矩阵M有特征值λ1=4及属于特征值4的一个特征向量=并有特征值λ2=﹣1及属于特征值﹣1的一个特征向量=，=（Ⅰ）求矩阵M；（Ⅱ）求M5．20．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinA﹣sinC（cosB+sinB）=0．（1）求角C的大小；（2）若c=2，且△ABC的面积为，求a，b的值．21．如图，在四棱锥中，等边所在的平面与正方形所在的平面互相垂直,为的中点，为的中点，且（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）在线段上是否存在点，使线段与所在平面成角．若存在，求出的长,若不存在，请说明理由．22．已知数列{a n }中，a 1=1，且a n +a n+1=2n ， （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若数列{a n }的前n 项和S n ，求S 2n ．23．如图，已知AC ，BD 为圆O 的任意两条直径，直线AE ，CF 是圆O 所在平面的两条垂线，且线段AE=CF=，AC=2．（Ⅰ）证明AD ⊥BE ；（Ⅱ）求多面体EF ﹣ABCD 体积的最大值．24．【无锡市2018届高三上期中基础性检测】已知函数()()2ln 1.f x x mx m R =--∈ （1）当1m =时，求()f x 的单调区间；（2）令()()g x xf x =，区间1522,D e e -⎛⎫= ⎪⎝⎭，e 为自然对数的底数。

2018-2019学年广东省东莞市高二(上)期末数学试卷(理科)及答案解析

2018-2019学年广东省东莞市高二(上)期末数学试卷(理科)及答案解析

2018-2019学年广东省东莞市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．不等式x2+3x﹣4＞0的解集为（）A．{x|x＞1或x＜﹣4}B．{x|x＞﹣1或x＜﹣4}C．{x|﹣4＜x＜1}D．{x|x＜﹣1或x＞4}2．已知实数a，b，c满足0＜a＜b，0＜c＜1，则下列选项一定成立的是（）A．a+c＞b+c B．ac＞bc C．ac＜b D．bc＜a3．已知等差数列{a n}的公差是3，且a6+a8＝16，则a10＝（）A．16B．17C．18D．204．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b＝，c＝，C＝60°，则角B＝（）A．45°B．30°C．45°或135°D．30°或150°5．双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，则它的渐近线为（）A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±2x D．y＝±x6．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的两焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），P（1，）是椭圆C上一点．则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．7．已知各项为正的等比数列{a n}，其公比为q，且对任意n∈N*有a n+2＝a n+1+2a n，则q＝（）A．B．C．2D．18．如图，在四面体O﹣ABC中，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG＝2GG1，若＝x+y+z，则（x，y，z）为（）A．（）B．（）C．（）D．（）9．已知x，y∈R*，xy＝2x+y，则x+y取得最小值时，x＝（）A．B．+1C．1D．﹣110．已知抛物线x2＝8y的焦点为F，点P在抛物线上，且|PF|＝6，点Q为抛物线准线与其对称轴的交点，则△PFQ的面积为（）A．B．C．D．11．设f（x）为最接近（n∈N*）的整数，如f（1）＝1，f（2）＝1，f（3）＝2，f（4）＝2，f（5）＝2，…，若正整数m满足+…+＝4034，则m＝（）A．2016×2017B．20172C．2017×2018D．2018×2019 12．如图，四边形ABCD中，CE平分∠ACD，AE＝CE＝2，DE＝，若∠ABC＝∠ACD，则四边形ABCD周长的最大值为（）A．24B．12+3C．18D．3（5+）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡中相应的位置上)13．已知向量＝（k，1，﹣1），＝（2，1，﹣2），若⊥，则实数k＝．14．实数x，y满足，则目标函数z＝2x+y的最小值是．15．已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆上一点，∠F1PF2＝120°，且△F1PF2的面积为，则椭圆的短轴为．16．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的右焦点为F（3，0），且离心率为，△ABC 的三个顶点都在椭圆C上，设△ABC三条边AB、BC、AC的中点分别为D、E、M，且三条边所在直线的斜率分别为k1，k2，k3，且k1，k2，k3均不为0．O为坐标原点，若直线OD，OE，OM的斜率之和为1，则++＝．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知命题p：实数t满足t2﹣5at+4a2＜0．q：实数t满足曲线+＝1为双曲线．（1）若a＝1，且￢p为假，求实数t的取值范围；（2）若a＞0，且q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．18．（12分）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．（1）求角C的大小；（2）若△ABC的面积为，且+＝，求c的值．19．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1＝1，S n+1﹣3S n＝1（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足：b n＝log3a n+1，{b n}的前n项和为T n，求++…+的值．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，直线P A与底面ABCD所成的角为45°，底面ABCD为梯形，且AB∥CD，∠ADC＝90°，PD＝AB＝CD＝2．（1）求证：平面PBC⊥平面PBD；（2）线段PC上是否存在一点E，使得二面角P﹣BD﹣E的余弦值为？如存在，求出的值，如果不存在，请说明理由．21．（12分）2018年10月23日习近平总书记在珠海出席港珠澳大桥开通仪式上宣布：历经5年规划，9年建设，总长约55公里，总投资约1100亿的港珠澳大桥正式开通，将给我国粤港澳大湾区经济腾飞带来积极影响，港珠澳大桥作为一项独特的工程奇观，为跨海放游线路增添新亮点，某旅游公司为了提高相关线路旅游门票的销量，准备举办一场促销会，据市场调查，当每张门票售价定为x元时，销售量可达到（15﹣0.1x）万张．现投资方为配合旅游公司的活动，决定进行门票价格改革，将每张门票的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为30元，浮动价格（单位：元）与销售量（单位：万张）成反比，并且根据调查，每张门票售价定为100元时，旅游公司获得的总利润为340万元（每张门票的销售利润＝售价﹣供货价格）（1）求出每张门票所获利润f（x）关于售价x的函数关系式，并写出定义域；（2）每张门票售价定为多少元时，每张门票所获利润最大？并求出该最大值．22．（12分）已知椭圆C1：+＝1（a＞b＞0）的左右焦点是F1，F2，且C1的离心率为，抛物线C2：y2＝2px（P＞0）的焦点为F2，过OF2的中点Q垂直于x轴的直线截C2所得的弦长为2．（1）求椭圆C1的标准方程；（2）设椭圆C1上一动点T满足：＝+2，其中A，B是椭圆C1上的点，且直线OA，OB的斜率之积为﹣，若N（λ，μ）为一动点，点P满足，试探究|NP|+|NQ|是否为定值，如果是，请求出该定值：如果不是，请说明理由．2018-2019学年广东省东莞市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．不等式x2+3x﹣4＞0的解集为（）A．{x|x＞1或x＜﹣4}B．{x|x＞﹣1或x＜﹣4}C．{x|﹣4＜x＜1}D．{x|x＜﹣1或x＞4}【分析】利用十字相乘法，将不等式进行因式分解进行求解即可．【解答】解：由x2+3x﹣4＞0得（x﹣1）（x+4）＞0得x＞1或x＜﹣4，即不等式的解集为{x|x＞1或x＜﹣4}，故选：A．【点评】本题主要考查不等式的求解，利用十字相乘法进行因式分解是解决本题的关键．2．已知实数a，b，c满足0＜a＜b，0＜c＜1，则下列选项一定成立的是（）A．a+c＞b+c B．ac＞bc C．ac＜b D．bc＜a【分析】根据不等式的基本性质可得选C【解答】解：∵0＜a＜b，0＜c＜1，∴ac＜bc＜b故选：C．【点评】本题考查了不等式的基本性质，属基础题．3．已知等差数列{a n}的公差是3，且a6+a8＝16，则a10＝（）A．16B．17C．18D．20【分析】根据等差中项的性质，得到a6+a8＝2a7＝16，从而求出a7，故可以用a7和d得到a10．【解答】解：根据题意，数列{a n}时等差数列，故a6+a8＝2a7＝16，所以a7＝8，又因为d＝3，所以a10＝a7+3d＝8+3×3＝17，故选：B．【点评】本题考查了等差数列的性质，等差中项，等差数列的通项公式，属基础题．4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b＝，c＝，C＝60°，则角B＝（）A．45°B．30°C．45°或135°D．30°或150°【分析】根据正弦定理可得sin B，再根据B为锐角可得．【解答】解：由正弦定理得＝，得＝，得sin B＝，又b＜c，∴B＜C，∴B＝45°，故选：A．【点评】本题考查了正弦定理，属基础题．5．双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，则它的渐近线为（）A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±2x D．y＝±x【分析】运用离心率公式，再由双曲线的a，b，c的关系，可得a，b的关系，再由渐近线方程即可得到．【解答】解：由双曲线的离心率为，则e＝＝，即c＝a，b＝＝＝a，由双曲线的渐近线方程为y＝x，即有y＝x．故选：B．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查离心率公式和渐近线方程的求法，属于基础题．6．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的两焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），P（1，）是椭圆C上一点．则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．【分析】由题意可得：2a＝+，解得a．即可得出e＝．【解答】解：由题意可得：2a＝+＝＝4，解得a＝2．又c＝1，∴e＝＝．故选：A．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．已知各项为正的等比数列{a n}，其公比为q，且对任意n∈N*有a n+2＝a n+1+2a n，则q＝（）A．B．C．2D．1【分析】将a n+2＝a n+1+2a n，转化为a1和q的方程，解方程即可．【解答】解：数列{a n}是等比数列，故a1•q≠0，又因为对任意n∈N*有a n+2＝a n+1+2a n，即，所以q2﹣q﹣2＝0，解得q＝2或q＝﹣1（舍）．故选：C．【点评】本题考查了等比数列的通项公式和等比数列的性质，属于基础题．8．如图，在四面体O﹣ABC中，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG＝2GG1，若＝x+y+z，则（x，y，z）为（）A．（）B．（）C．（）D．（）【分析】利用三角形重心的性质以及向量的几何运算将用，，表示，然后根据空间向量基本定理可得．【解答】解：∵＝2＝2（﹣），∴＝＝（+）＝（+）＝+×（﹣）＝+（+）﹣＝++，即＝++，根据空间向量基本定理可得x＝y＝z＝，故选：D．【点评】本题考查了空间向量基本定理，三角形重心的性质，属中档题．9．已知x，y∈R*，xy＝2x+y，则x+y取得最小值时，x＝（）A．B．+1C．1D．﹣1【分析】由重要不等式的应用得：因为x，y∈R*，xy＝2x+y，所以＝1，则x+y＝（）（x+y）＝3+＝3，（当且仅当时取等号），又xy＝2x+y，解得x＝，得解【解答】解：因为x，y∈R*，xy＝2x+y，所以＝1，则x+y＝（）（x+y）＝3+＝3，（当且仅当时取等号），又xy＝2x+y，解得x＝，故选：B．【点评】本题考查了重要不等式的应用，属中档题10．已知抛物线x2＝8y的焦点为F，点P在抛物线上，且|PF|＝6，点Q为抛物线准线与其对称轴的交点，则△PFQ的面积为（）A．B．C．D．【分析】设点P的坐标为（x0，y0），根据抛物线的定义可求出点P的坐标，即可求出三角形的面积．【解答】解：设点P的坐标为（x0，y0），抛物线x2＝8y的焦点为F（0，2），准线方程为y＝﹣2，对称轴为y轴，∴|PF|＝y0+＝y0+2＝6，Q（0，﹣2），∴y0＝6，|FQ|＝4，∴x0＝±4∴S△PFQ＝|FQ|•|x0|＝×4×4＝8，故选：D．【点评】本题考查了抛物线的简单性质和三角形的面积，属于基础题11．设f（x）为最接近（n∈N*）的整数，如f（1）＝1，f（2）＝1，f（3）＝2，f（4）＝2，f（5）＝2，…，若正整数m满足+…+＝4034，则m＝（）A．2016×2017B．20172C．2017×2018D．2018×2019【分析】写出前几项，找出规律，即可求得m的值．【解答】解：由＝1，＝1，2个＝，＝，＝，＝，4个＝，＝，＝，＝，＝，＝，6个＝，＝，…＝，8个……＝，∴+++…+＝1×2+×4+×6+…+×2n＝4034，则＝4034，则2n＝4034，则n＝2017，∴总共有2017个，则f（）＝，故m的值为2017×2018；故选：C．【点评】本题考查函数值的求法，要求学生通过观察，分析归纳发现规律的能力，考查学生分析问题及解决问题的能力，属于中档题．12．如图，四边形ABCD中，CE平分∠ACD，AE＝CE＝2，DE＝，若∠ABC＝∠ACD，则四边形ABCD周长的最大值为（）A．24B．12+3C．18D．3（5+）【分析】设∠ABC＝∠ACD＝θ，则由题意可求∠ACE＝∠ECD＝，设CD＝x，利用角平分线的性质可求AC＝2x，在△DEC中，由余弦定理可得﹣9＝x2﹣4x•cos，在△AEC中，由余弦定理可得0＝4x2﹣8x•cos，联立解得：x＝3，可得：CD＝3，AC＝6，在△ACD中，由余弦定理可得cosθ＝，在△ABC中，由余弦定理，基本不等式可求AB+BC≤12，从而可求四边形ABCD周长的最大值．【解答】解：设∠ABC＝∠ACD＝θ，则由CE平分∠ACD，可得：∠ACE＝∠ECD＝，∵AE＝CE＝2，DE＝，设CD＝x，∴由，可得：，可得：AC＝2x，∴在△DEC中，由余弦定理DE2＝CD2+CE2﹣2CD，可得：3＝x2+12﹣2××cos，可得：﹣9＝x2﹣4x•cos，①在△AEC中，由余弦定理AE2＝AC2+CE2﹣2CE•AC•cos，可得：12＝（2x）2+12﹣2××2x×cos，可得：0＝4x2﹣8x•cos，②∴由①②联立解得：x＝3，可得：CD＝3，AC＝6，∴在△ACD中，由余弦定理可得：cosθ＝＝＝，∴在△ABC中，由余弦定理AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC•cosθ，可得：36＝AB2+BC2﹣2AB •BC•＝AB2+BC2﹣AB•BC≥2AB•BC﹣AB•BC＝AB•BC，当且仅当AB＝BC时等号成立，∴（AB+BC）2＝36+3AB•BC≤36+3×36＝144，解得：AB+BC≤12，当且仅当AB＝BC 时等号成立，∴四边形ABCD周长AB+BC+CD+DA＝3+3+AB+BC≤3＝3（5+），当且仅当AB＝BC时等号成立．故选：D．【点评】本题主要考查了角平分线的性质，余弦定理，基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，考查了数形结合思想的应用，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡中相应的位置上)13．已知向量＝（k，1，﹣1），＝（2，1，﹣2），若⊥，则实数k＝﹣．【分析】直接利用向量垂直的充要条件的应用求出结果．【解答】解：向量＝（k，1，﹣1），＝（2，1，﹣2），若⊥，则：2k+1+2＝0，解得：k＝﹣，故答案为：﹣．【点评】本题考查的知识要点：向量垂直的充要条件的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．14．实数x，y满足，则目标函数z＝2x+y的最小值是1．【分析】由题意画出图形，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数z＝2x+y为y＝﹣2x+z，由图可知，当直线y＝﹣2x+z过点A（0，1）时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为1．故答案为：1．【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．15．已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆上一点，∠F1PF2＝120°，且△F1PF2的面积为，则椭圆的短轴为2．【分析】由三角形的面积可得|PF1|•|PF2|＝4．再根据椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|＝2a，再利用余弦定理求得b2．【解答】解：由∠F1PF2＝120°，△PF1F2的面积为，可得|PF1|•|PF2|•sin∠F1PF2＝|PF1|•|PF2|＝，∴|PF1|•|PF2|＝4．再根据椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|＝2a．再利用余弦定理可得4c2＝|PF1|2+|PF2|2﹣2PF1•PF2•cos120°＝（|PF1|+|PF2|）2﹣PF1•PF2＝4a2﹣4，∴b2＝1，即椭圆的短轴为2b＝2，故答案为：2．【点评】本题主要考查余弦定理，椭圆的定义、标准方程，以及简单性质的应用，属于基础题．16．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的右焦点为F（3，0），且离心率为，△ABC的三个顶点都在椭圆C上，设△ABC三条边AB、BC、AC的中点分别为D、E、M，且三条边所在直线的斜率分别为k1，k2，k3，且k1，k2，k3均不为0．O为坐标原点，若直线OD，OE，OM的斜率之和为1，则++＝﹣．【分析】如图所示，由题意可得：c＝3，e＝＝，b2＝a2﹣c2．联立解得：解得a＝5，b＝4.+＝1．设A（x1，y1），B（x2，y2）．D（x0，y0）．利用点差法即可得出．【解答】解：如图所示，由题意可得：c＝3，e＝＝，b2＝a2﹣c2．联立解得：解得a＝5，b＝4．∴+＝1．设A（x1，y1），B（x2，y2）．D（x0，y0）．由+＝1，+＝1．相减可得：+＝0，∴+＝0，可得：＝﹣k OD，同理可得：＝﹣k OE，＝﹣k OM．∴++＝﹣（k OD+k OE+k OM）＝﹣．故答案为：．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式、中点坐标公式、点差法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知命题p：实数t满足t2﹣5at+4a2＜0．q：实数t满足曲线+＝1为双曲线．（1）若a＝1，且￢p为假，求实数t的取值范围；（2）若a＞0，且q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【分析】（1）由二次不等式的解法得：当a＝1时，因为￢p为假，即命题p为真，即实数t满足t2﹣5t+4＜0．解得1＜t＜4，故实数t的取值范围为：（1，4）（2）由充分必要条件得：当命题p为真时，得命题p：a＜t＜4a，命题q：（2﹣t）（6﹣t）＜0，即命题q：2＜t＜6，又q是p的充分不必要条件，得：，解得，得解【解答】解：（1）当a＝1时，因为￢p为假，即命题p为真，即实数t满足t2﹣5t+4＜0．解得1＜t＜4，故实数t的取值范围为：（1，4）（2）当a＞0时，当命题p为真时，得命题p：a＜t＜4a，命题q：（2﹣t）（6﹣t）＜0，即命题q：2＜t＜6，又q是p的充分不必要条件，得：，解得，故实数a的取值范围：[]【点评】本题考查了二次不等式的解法及充分必要条件，属简单题18．（12分）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．（1）求角C的大小；（2）若△ABC的面积为，且+＝，求c的值．【分析】（1）根据正弦定理可得；（2）根据面积公式和余弦定理可得．【解答】解：（1）由题意知＝，根据正弦定理得＝，得sin C＝，∵C是锐角三角形的内角，∴C＝．（2）因为S△ABC＝＝ab sin C，∴ab＝4，又∵+＝＝，∴a+b＝4，由余弦定理得c2＝a2+b2﹣2ab cos C＝（a+b）2﹣3ab＝48﹣12＝36，∴c＝6．【点评】本题考查了正余弦定理，属中档题．19．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1＝1，S n+1﹣3S n＝1（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足：b n＝log3a n+1，{b n}的前n项和为T n，求++…+的值．【分析】（1）由数列的递推式，结合等比数列的定义和通项公式，可得所求通项公式；（2）求得b n＝log3a n+1＝log33n＝n，前n项和为T n＝n（n+1），＝＝2（﹣），再由裂项相消求和，化简可得所求和．【解答】解：（1）a1＝1，S n+1﹣3S n＝1（n∈N*）．可得S n﹣3S n﹣1＝1，n≥2，相减可得a n+1＝3a n，则数列{a n}为首项为1，公比为3的等比数列，可得a n＝3n﹣1；（2）b n＝log3a n+1＝log33n＝n，前n项和为T n＝n（n+1），＝＝2（﹣），可得++…+＝2（1﹣+﹣+…+﹣）＝2（1﹣）＝．【点评】本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式和等比数列的定义，考查数列的裂项相消求和，化简运算能力，属于基础题．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，直线P A与底面ABCD所成的角为45°，底面ABCD为梯形，且AB∥CD，∠ADC＝90°，PD＝AB＝CD＝2．（1）求证：平面PBC⊥平面PBD；（2）线段PC上是否存在一点E，使得二面角P﹣BD﹣E的余弦值为？如存在，求出的值，如果不存在，请说明理由．【分析】（1）推导出PD⊥BC，AD＝PD＝2，过B作CD的垂线BF，推导出BD⊥BC，从而BC⊥平面PBD，进而平面PBC⊥平面PBD．（2）以D为原点，DA，DC，DP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线段PC上存在一点E，使得二面角P﹣BD﹣E的余弦值为，＝1．【解答】证明：（1）∵PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴PD⊥BC，∵PD⊥平面ABCD，直线P A与底面ABCD所成角为45°，∴∠P AD＝45°，∴AD＝PD＝2，在Rt△BAD中，BD2＝BA2+AD2＝8，过B作CD的垂线BF，则在Rt△BFC中，BC2＝BF2+CF2＝8，在△BCD中，BD2+BC2＝CD2，∴BD⊥BC，∵BD∩PD＝D，∴BC⊥平面PBD，∵BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PBD．解：（2）∵PD⊥平面ABCD，且AD⊥DC，∴以D为原点，DA，DC，DP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则D（0，0，0），P（0，0，2），B（2，2，0），C（0，4，0），＝（2，2，﹣2），＝（2，2，0），＝（0，2，1），由（1）知平面PBD的法向量＝（﹣2，2，0），设＝（0，4λ，﹣2λ），（λ∈（0，1）），∴E（0，4λ，2﹣2λ），＝（0，4λ，2﹣2λ），＝92，2，0），令平面BDE的法向量＝（x，y，z），则，即，取z＝1，得＝（﹣，，1），∵二面角P﹣BD﹣E的余弦值为，∴|cos＜＞|＝＝＝，由λ∈（0，1），解得，此时＝1．∴线段PC上存在一点E，使得二面角P﹣BD﹣E的余弦值为，＝1．【点评】本题考查面面垂直的证明，考查满足二面角的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21．（12分）2018年10月23日习近平总书记在珠海出席港珠澳大桥开通仪式上宣布：历经5年规划，9年建设，总长约55公里，总投资约1100亿的港珠澳大桥正式开通，将给我国粤港澳大湾区经济腾飞带来积极影响，港珠澳大桥作为一项独特的工程奇观，为跨海放游线路增添新亮点，某旅游公司为了提高相关线路旅游门票的销量，准备举办一场促销会，据市场调查，当每张门票售价定为x元时，销售量可达到（15﹣0.1x）万张．现投资方为配合旅游公司的活动，决定进行门票价格改革，将每张门票的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为30元，浮动价格（单位：元）与销售量（单位：万张）成反比，并且根据调查，每张门票售价定为100元时，旅游公司获得的总利润为340万元（每张门票的销售利润＝售价﹣供货价格）（1）求出每张门票所获利润f（x）关于售价x的函数关系式，并写出定义域；（2）每张门票售价定为多少元时，每张门票所获利润最大？并求出该最大值．【分析】（1）当每张门票售价定为100元时，销售量可达到（15﹣0.1×100）＝5万张．令每张门票的浮动价格为（k＞0）元．可得每张门票供货价格为30+元．故旅游公司获得的总利润为5×＝340，解得k．即可得出f（x）．（2）由（1）可知：f（x）＝x﹣﹣30＝﹣+120，利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：（1）当每张门票售价定为100元时，销售量可达到（15﹣0.1×100）＝5万张．令每张门票的浮动价格为（k＞0）元．则每张门票供货价格为30+元．故旅游公司获得的总利润为5×＝350﹣k＝340，解得k＝10．∴f（x）＝x﹣（30+），x＜150，x∈N．（2）由（1）可知：f（x）＝x﹣﹣30＝﹣+120≤﹣2+120＝100，当且仅当150﹣x＝10，解得x＝140时取等号，因此每张门票售价定为140元时，每张门票所获利润最大，并求出该最大值为100．【点评】本题考查了函数模型、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22．（12分）已知椭圆C1：+＝1（a＞b＞0）的左右焦点是F1，F2，且C1的离心率为，抛物线C2：y2＝2px（P＞0）的焦点为F2，过OF2的中点Q垂直于x轴的直线截C2所得的弦长为2．（1）求椭圆C1的标准方程；（2）设椭圆C1上一动点T满足：＝+2，其中A，B是椭圆C1上的点，且直线OA，OB的斜率之积为﹣，若N（λ，μ）为一动点，点P满足，试探究|NP|+|NQ|是否为定值，如果是，请求出该定值：如果不是，请说明理由．【分析】（1）利用弦长可解p的值，进而得c，再结合离心率可得a．b，得方程；（2）利用点T，A，B在椭圆上和OA，OB斜率之积为﹣可得λ，μ的关系式，恰为新的椭圆方程，并求得P，Q为其焦点，由椭圆定义得出定值．【解答】解：（1）∵抛物线C2：y2＝2px（P＞0）的焦点为F2（，0），∴Q（），∵过Q垂直于x轴的直线截C2所得的弦长为2，∴，得p＝，∴，又，∴a＝2，b＝1，∴椭圆C1的方程为：；（2）设T（x，y），A（x1，y1），B（x2，y2），则由，得x＝λx1+2μx2，y＝λy1+2μy2，∵点T，A，B在椭圆C1上，∴x2+4y2＝4，，，∴x2+4y2＝（λx1+2μx2）2＝+4λμ（x1x2+4y1y2）＝4，由直线OA，OB的斜率之积为﹣可得，，即x1x2+4y1y2＝0，∴λ2+4μ2＝1，故N（λ，μ）在椭圆上，由Q，，可得P（﹣），∴P，Q为椭圆的左右焦点，由椭圆定义可知|NP|+|NQ|＝2为定值．【点评】此题考查了椭圆，抛物线方程，直线与椭圆的综合，难度较大．。

2018-2019学年广东省广州市荔湾区高二上学期期末教学质量监测理科数学试题 版

2018-2019学年广东省广州市荔湾区高二上学期期末教学质量监测理科数学试题 版

省市荔湾区2018-2019学年高二上学期期末教学质量监测理科数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、双曲线的焦距是( )32.A 4.B 34.C 8.D2、命题“若,则且”的逆否命题是( )A.若,则且B.若,则或C.若且,则D.若或,则件、既不充分也不必要条、充分必要条件、必要不充分条件、充分不必要条件）的（是则，、平面、、已知直线D C B A m l m l m l ⊥⊂⊥βαβαβα//,,,3 4、为了测试班级教学的实践效果，王老师对A 、B 两班的学生进行了阶段测试，并将所得成绩统计如图所示；记本次测试中，A 、B 两班学生的平均成绩分别为A x ，B x ，A 、B 两班学生成绩的方差分别为2A s ，2B s ，则观察茎叶图可知A ．A x <B x ， 2A s <2B s B ．A x >B x ， 2A s <2B sC ．A x <B x ， 2A s >2B sD ．A x >B x ， 2A s >2B s5、已知向量(1,2,2)=-a ,(3,6,6)=--b ,(2,1,2)=c 则它们的位置关系是( )A .b a ,a cB .⊥b a ,⊥a cC .⊥b a ,b cD .b a ,⊥b c6、某高中在校学生人．为了响应“体育运动”号召，学校举行了跑步和登山比赛活动．每人都参加而且只参与了其中一项比赛，各年级参与比赛人数情况如下表：）步的学生中应抽取（调查，则高二级参与跑个人的样本进行取一个用分层抽样方式从中抽次活动的满意程度，现为了了解学生对本总人数的全校参与登山的人数占其中100.53,5:3:2::=c b aA.6人B.12人C.18人D.24人62.52.32.22.1,0,1-3,2,17D C B A Q R x P Q P ）为（的距离与点轴对称的点点关于），则（），（、已知点 8、从名男生名女生中任选人参加演讲比赛，则所选人中恰有名女生的概率为( ) 51.A 21.B 53.C 54.D9、右面程序框图是为了求出满足321000n n ->的最小偶数n ，那么在 和 两个空白框中，可以分别填入（ ） A ．A >1000和n =n +1 B ．A >1000和n =n +2 C ．A ≤1000和n =n +1 D ．A ≤1000和n =n +2高一年级高二年级高三年级跑步bc 登山xyz10、已知椭圆的左、右焦点分别为,过且垂直于长轴的直线交椭圆于两点,则切圆的半径为( )43.A 54.B 1.C 34.D ）的距离为（与则异面直线的中点，且为侧棱内的正投影，在底面为顶点中，、正四棱锥BD PC OD SO SD P ABCD S O ABCD S ,211==-55.105.510.1010.D C B A )的离心率为（则双曲线两点，、交于轴的垂线与双曲线作的左、右焦点，过为双曲线、、已知C N MF N M x F b y a x C F F ,87cos 1:1221222221=∠=-23.A 315.B 213.C 2.D 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

广东省佛山市2018-2019学年上学期高二期末理科数学试卷(解析版)

广东省佛山市2018-2019学年上学期高二期末理科数学试卷(解析版)

广东省佛山市2018-2019学年上学期高二期末理科数学试卷（解析版）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知点，，直线AB的倾斜角为，那么m的值为A. B. 1 C. 2 D. 5【答案】B【解析】解：由点，，得，又直线AB的倾斜角为，．则，解得．故选：B．由两点坐标求出直线的斜率，进一步求得m得答案．本题考查直线的倾斜角与斜率的关系，是基础题．2.抛物线的准线与x轴的交点的坐标为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：抛物线的准线为：，所以抛物线与x轴的交点的坐标．故选：B．求出抛物线的准线方程，然后求解准线与x轴的交点的坐标．本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．3.双曲线的渐近线方程为A. B. C. D.【答案】A【解析】解：双曲线的，，可得渐近线方程为，即有．故选：A．由双曲线的方程的渐近线方程为，求得a，b，即可得到渐近线方程．本题考查双曲线的渐近线方程的求法，注意运用双曲线的性质，考查运算能力，属于基础题．4.设命题p：，则￢为A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】解：命题是特称命题，则命题的否定是全称命题，则￢：，，故选：C．根据特称命题的否定是全称命题进行判断即可．本题主要考查含有量词的命题的否定，利用特称命题的否定是全称命题是解决本题的关键比较基础．5.过两直线：，：的交点且与平行的直线方程为A. B. C. D.【答案】D【解析】解：两直线：，：的交点为，解得，即；设与平行的直线方程为，则，解得，所求的直线方程为．故选：D．求出两直线、的交点坐标，再设与平行的直线方程为，代入交点坐标求出m的值，即可写出方程．本题考查了直线方程的应用问题，是基础题．6.若曲线是焦点在x轴上的椭圆，则下列结论正确的是A. B. C. D.【答案】A【解析】解：方程即：示焦点在x轴上的椭圆，可得：，解得．故选：A．化简椭圆方程为标准方程，然后推出结果．本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．7.某几何体的三视图如图所示，则其表面积为A. B. C. D.【答案】A【解析】解：由三视图可知：该几何体由两部分组成：上面是一个圆柱；下面是一个长方体．这个几何体的表面积．故选：A．由三视图可知：该几何体由两部分组成：上面是一个圆柱；下面是一个长方体利用表面积计算公式即可得出．本题考查了圆柱与长方体的三视图、表面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8.已知命题p：“，直线都经过一定点”，命题q：“，方程表示圆”则下列命题为真的是A. B. ￢ C. ￢ D. ￢￢【答案】B【解析】解：由得，当时，，即直线过定点，则命题p是真命题，由得，则方程无法表示圆，即命题q是假命题，则￢是真命题，其余为假命题，故选：B．分别判断p，q的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可．本题主要考查复合命题真假关系的判断，结合条件判断命题p，q的真假是解决本题的关键．9.已知，且a，b为实数，则“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】解：当时，，对称轴为，此时为增函数，且，当时，，对称轴为，此时为增函数，且，综上函数为增函数，则“”是“”的充要条件，故选：C．根据条件判断函数的单调性，结合函数单调性性质进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合函数单调性的性质判断函数的单调性是解决本题的关键．10.已知圆锥的底面圆周及顶点均在球面上，若圆锥的轴截面为正三角形，则圆锥的体积与球的体积之比为A. 27：32B. 3：8C. ：16D. 9：32【答案】D【解析】解：取圆锥的轴截面如下图所示，设球的半径为R，圆锥的高为h，底面圆的半径为r，则圆锥的母线长为2r，结合图形可得，所以，，圆锥的高为，所以，圆锥的体积为，因此，圆锥的体积与球的体积之比为．故选：D．设球的半径为2R，用R表示圆锥的底面圆半径以及高，再利用锥体体积公式得出圆锥的体积的表达式，然后再结合球体的体积公式可得出答案．本题考查球体体积的计算，考查圆锥体积的计算，解决本题的关键在于利用球体的半径来表示圆锥中的几何量，考查计算能力，属于中等题．11.如图，已知椭圆C的中心为原点O，为C的左焦点，P为C上一点，满足且，则椭圆C的方程为A.B.C.D.【答案】C【解析】解：根据题意，设椭圆的右焦点为M，连接PM，则，由知，，，所以，又由知，，即．又由，，则，则，则，又由，则，则椭圆的方程为：，故选：C．设椭圆的右焦点为M，由及椭圆的对称性知，为直角三角形；由勾股定理计算可得；由椭圆的定义，可得a的值，结合椭圆的几何性质可得；然后根据椭圆标准方程的形式，直接写出椭圆的方程，即可得答案．本题考查椭圆的定义及其几何特征对于椭圆标准方程的求解，关键是根据题设或图形的几何特征，列出关于a，b，c的三个方程，这样才能确定，，属于中档题．12.如图，正方体的棱长为，动点P在对角线BD上，过点P作垂直于的平面，记这样得到的截面多边形含三角形的周长为L，则L的最大值为A.B. 6C.D.【答案】B【解析】解：正方体的棱长为，，当时，即当截面过体对角线的中点时，此时截面为正六边形，其定点为各棱的中点，如图取最大值截面周长L取最大值为．故选：B．推导出，当时，当截面过体对角线的中点时，截面为正六边形，其定点为各棱的中点，L取最大值，由此能求出截面周长L的最大值．本题考查几何体中动点问题，截面周长问题转化思想，平移平面，找到截面最大时动点位置是关键考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.过点和点的直线方程为______．【答案】【解析】解：由题意可得，过点和点的截距式方程为：，即．故答案为：．直接写出直线的截距式方程化为一般式即可．本题考查直线的截距式方程，是基础题．14.在体积为的四面体ABCD中，平面BCD，，，，则CD长度的所有值为______．【答案】【解析】解：如图，在四面体ABCD中，平面BCD，为以BCD为底面的三棱锥的高，，，由，得．又，，得，得，．当时，，则；当时，，则．长度的所有值为，．故答案为：，．由已知求得的面积，再由面积公式求得，进一步求得，再由余弦定理求得CD长度．本题考查棱锥的结构特征，考查了棱锥的体积公式，训练了余弦定理的应用，是中档题．15.在平面直角坐标系xOy中，点，若直线上存在点P使得，则实数m的取值范围是______．【答案】【解析】解：设，，，，化为，，解得，，令，，，实数m的取值范围是，故答案为设，由，可得，利用两点之间的距离公式化为：，可得：，通过三角函数代换即可得出．本题考查了两点之间的距离公式、和差化积、三角函数的求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.已知双曲线C的两条渐近线为，，过右焦点F作且交于点B，过点B作且交于点A，若轴，则双曲线C的离心率为______．【答案】【解析】解：设双曲线的方程为，渐近线方程为：，：，由题意可设，由轴，令，代入的方程可得，即有，过右焦点F作且交于点B，由FB的方程，联立直线：，解得，再由，可得，即有，化为，由，可得：，由可得．故答案为：．设双曲线的方程为，渐近线方程为：，：，由代入的方程可得A的坐标；由两直线平行的条件可得直线FB的方程，联立直线的方程可得B的坐标，再由，运用直线的斜率公式和垂直的条件：斜率之积为，结合离心率公式计算即可得到所求值．本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的渐近线方程，直线平行和垂直的条件，考查化简整理的运算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知圆C：，直线：，：若圆C上存在两点关于直线对称，求实数k的值；若，被圆C所截得的弦的长度之比为1：2，求实数k的值．【答案】解：圆C：的圆心为，圆C上存在两点关于直线：对称，则直线过圆心，，解得；由直线：，得，则圆心C到直线的距离为，被圆C所截得的弦长为；又直线、被圆C所截得的弦长之比为1：2，被圆C所截得的弦长为1，由：，得；则圆心C到直线的距离，整理得，解得．【解析】由题意知直线过圆心C，代入点的坐标求出k的值；求出圆心C到直线的距离和被圆C所截得的弦长，再求出直线被圆C所截得的弦长与圆心C到直线的距离，列方程求出k的值．本题考查了直线与圆的方程应用问题，是中档题．18.如图，正方体切掉三棱锥后形成多面体，过的截面分别交，于点E，F．证明：平面；求异面直线与EF所成角的余弦值．【答案】证明：，，，，，，四边形是平行四边形，，又平面，平面，平面．解：由得平面，又平面，平面平面，，是异面直线与EF所成的角或所成角的补角，设正方休的棱长为a，则，，，在中，，异面直线与EF所成角的余弦值为．【解析】推导出，，从而四边形是平行四边形，进而，由此能证明平面．推导出，从而是异面直线与EF所成的角或所成角的补角，由此能求出异面直线与EF所成角的余弦值．本题考查线面平行的证明，考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19.设抛物线C：的焦点为F，直线l：与抛物线交于A，B两点．求的值；能否在x轴上找到点P，使得？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】解：抛物线C：的焦点为，准线方程为，由直线l：，联立抛物线方程可得，解得，，即有，，则；假设在x轴上找到点，使得，由，，可得，即，即为，由，可得方程无解，故不存在P，使得．【解析】求得抛物线的焦点和准线方程，联立准线方程和抛物线方程，求交点，结合抛物线的定义，可得所求和；假设在x轴上找到点，使得，由两直线垂直的条件：斜率之积为，解方程可得结论．本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查直线方程和抛物线方程联立求交点，考查方程思想和运算能力，属于中档题．20.如图，在三棱柱中，，，D为BC的中点．证明：平面；求直线与平面所成角的正弦值．【答案】证明：设，则，，，，，且，，，，≌ ，，，，，，又，平面．解：由可如图建立空间直角坐标系，则0，，，0，，0，，a，，，0，，，设平面的法向量y，，则由，取，得，设直线与平面所成角为．则．直线与平面所成角的正弦值为．【解析】设，则，推导出≌ ，从而，再求出，由此能证明平面．建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线与平面所成角的正弦值．本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．21.如图，某城市有一块半径为单位：百米的圆形景观，圆心为C，有两条与圆形景观相切且互相垂直的道路最初规划在拐角处图中阴影部分只有一块绿化地，后来有众多市民建议在绿化地上建一条小路，便于市民快捷地往返两条道路规划部门采纳了此建议，决定在绿化地中增建一条与圆C相切的小道问：A，B两点应选在何处可使得小道AB最短？【答案】解：如图，分别由两条道路所在直线建立直角坐标系xOy．设，，则直线AB方程为，即．因为AB与圆C：相切，所以，化简得，即，因此，因为，，所以，于是．又，解得，或，因为，所以，所以，当且仅当时取等号，所以AB最小值为，此时．答：当A，B两点离道路的交点都为百米时，小道AB最短．【解析】分别由两条道路所在直线建立直角坐标系设，，求得直线AB的方程和圆的方程，运用直线和圆相切的条件：，求得a，b 的关系，再由两点的距离公式和基本不等式，解不等式可得AB的最小值，及此时A，B 的位置．本题考查基本不等式在最值问题中的运用，同时考查直线和圆相切的条件，考查化简整理的运算能力，属于中档题．22.已知椭圆C的两个焦点坐标分别为，，一个顶点为．求椭圆C的标准方程；点A的坐标为，，是C上的两点且，直线AM，AN关于x轴对称，求的面积S的取值范围．【答案】解：椭圆C的两个焦点坐标分别为，，一个顶点为．椭圆C的焦点在x轴上，可设标准方程为，，且，，椭圆C的标准方程为．设直线MN的方程为，，联立，整理，得，，，关于x轴对称的两条不同直线，的斜率之和为0，即，，，，解得，直线MN的方程为，直线MN过定点，又，令，则，，的面积的面积S的取值范围是【解析】椭圆C的焦点在x轴上，可设标准方程为，，且，，由此能求出椭圆C的标准方程．设直线MN的方程为，，联立，得，由此利用韦达定理、关于x轴对称的直线的性质、弦长公式、三角形面积公式，结合已知条件能求出的面积S的取值范围．本题考查椭圆标准方程的求法，考查三角形的面积的取值范围的求法，考查椭圆、直线方程、根的判别式、韦达定理、弦长公式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．。

荔湾区第二中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

荔湾区第二中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

荔湾区第二中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 函数f （x ）=Asin （ωx+φ）（A ＞0，ω＞0，）的部分图象如图所示，则函数y=f （x ）对应的解析式为（ ）A ．B ．C ．D ．2． 三个数a=0.52，b=log 20.5，c=20.5之间的大小关系是（ ） A ．b ＜a ＜c B ．a ＜c ＜b C ．a ＜b ＜c D ．b ＜c ＜a3． 一个几何体的三视图如图所示，如果该几何体的侧面面积为12π，则该几何体的体积是（ ）A ．4πB ．12πC ．16πD ．48π4． 复数=（ ）A ．B ．C ．D ．5． 已知集合23111{1,(),,}122i A i i i i -=-+-+（其中为虚数单位），2{1}B x x =<，则A B =（ ）A ．{1}-B ．{1}C ．{-D ．6． 已知复数z 满足（3+4i ）z=25，则=（ ） A ．3﹣4iB ．3+4iC ．﹣3﹣4iD ．﹣3+4i7． 数列{}n a 中，11a =，对所有的2n ≥，都有2123n a a a a n =，则35a a +等于（ ）A ．259B ．2516C ．6116D ．31158． 已知等比数列{a n }的第5项是二项式（x+）4展开式的常数项，则a 3•a 7（ ） A ．5B ．18C ．24D ．369．函数y=2|x|的定义域为[a，b]，值域为[1，16]，当a变动时，函数b=g（a）的图象可以是（）A．B．C．D．10．将y=cos（2x+φ）的图象沿x轴向右平移个单位后，得到一个奇函数的图象，则φ的一个可能值为（）A．B．﹣C．﹣D．11．过抛物线y2=﹣4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2），若x1+x2=﹣6，则|AB|为（）A．8 B．10 C．6 D．412．△ABC中，A（﹣5，0），B（5，0），点C在双曲线上，则=（）A．B．C．D．±二、填空题13．一个棱长为2的正方体，被一个平面截去一部分后，所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．14．曲线C是平面内到直线l1：x=﹣1和直线l2：y=1的距离之积等于常数k2（k＞0）的点的轨迹．给出下列四个结论：①曲线C过点（﹣1，1）；②曲线C关于点（﹣1，1）对称；③若点P在曲线C上，点A，B分别在直线l1，l2上，则|PA|+|PB|不小于2k；④设p1为曲线C上任意一点，则点P1关于直线x=﹣1、点（﹣1，1）及直线y=1对称的点分别为P1、P2、P3，则四边形P0P1P2P3的面积为定值4k2．其中，所有正确结论的序号是．15．在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2，则四面体ABCD的体积的最大值为．16．设幂函数()f x kxα=的图象经过点()4,2，则kα+= ▲．17．给出下列命题：①把函数y=sin（x﹣）图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=sin（2x﹣）；②若α，β是第一象限角且α＜β，则cosα＞cosβ；③x=﹣是函数y=cos（2x+π）的一条对称轴；④函数y=4sin（2x+）与函数y=4cos（2x﹣）相同；⑤y=2sin（2x﹣）在是增函数；则正确命题的序号．18．设有一组圆C k：（x﹣k+1）2+（y﹣3k）2=2k4（k∈N*）．下列四个命题：①存在一条定直线与所有的圆均相切；②存在一条定直线与所有的圆均相交；③存在一条定直线与所有的圆均不相交；④所有的圆均不经过原点．其中真命题的代号是（写出所有真命题的代号）．三、解答题19．已知函数f（x）=log a（1+x）﹣log a（1﹣x）（a＞0，a≠1）．（Ⅰ）判断f（x）奇偶性，并证明；（Ⅱ）当0＜a＜1时，解不等式f（x）＞0．20．（本小题满分16分）在互联网时代，网校培训已经成为青年学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量()h x （单位：千套）与销售价格（单位：元/套）满足的关系式()()()h x f x g x =+（37x <<，m 为常数），其中()f x 与()3x -成反比，()g x 与()7x -的平方成正比，已知销售价格为5元/套时，每日可售出套题21千套，销售价格为3.5元/套时，每日可售出套题69千套. （1） 求()h x 的表达式；（2） 假设网校的员工工资，办公等所有开销折合为每套题3元（只考虑销售出的套数），试确定销售价格的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大．（保留1位小数）21．（本小题满分12分）已知数列{n a }的前n 项和为n S ，且满足*)(2N n a n S n n ∈=+． （1）证明：数列}1{+n a 为等比数列，并求数列{n a }的通项公式；（2）数列{n b }满足*))(1(log 2N n a a b n n n ∈+⋅=，其前n 项和为n T ，试求满足201522>++nn T n 的 最小正整数n ．【命题意图】本题是综合考察等比数列及其前n 项和性质的问题，其中对逻辑推理的要求很高.22．如图所示，两个全等的矩形ABCD 和ABEF 所在平面相交于AB ，M AC ∈，N FB ∈，且AM FN =，求证：//MN 平面BCE ．23．设F 是抛物线G ：x 2=4y 的焦点．（1）过点P （0，﹣4）作抛物线G 的切线，求切线方程；（2）设A ，B 为抛物线上异于原点的两点，且满足FA ⊥FB ，延长AF ，BF 分别交抛物线G 于点C ，D ，求四边形ABCD 面积的最小值．24．【徐州市2018届高三上学期期中】如图，有一块半圆形空地，开发商计划建一个矩形游泳池及其矩形附属设施，并将剩余空地进行绿化，园林局要求绿化面积应最大化．其中半圆的圆心为，半径为，矩形的一边在直径上，点、、、在圆周上，、在边上，且，设．（1）记游泳池及其附属设施的占地面积为，求的表达式；（2）怎样设计才能符合园林局的要求？荔湾区第二中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）一、选择题1．【答案】A【解析】解：由函数的图象可得A=1，=•=﹣，解得ω=2，再把点（，1）代入函数的解析式可得sin（2×+φ）=1，结合，可得φ=，故有，故选：A．2．【答案】A【解析】解：∵a=0.52=0.25，b=log20.5＜log21=0，c=20.5＞20=1，∴b＜a＜c．故选：A．【点评】本题考查三个数的大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意指数函数、对数函数的单调性的合理运用．3．【答案】B【解析】解：由三视图可知几何体是底面半径为2的圆柱，∴几何体的侧面积为2π×2×h=12π，解得h=3，∴几何体的体积V=π×22×3=12π．故选B．【点评】本题考查了圆柱的三视图，结构特征，体积，表面积计算，属于基础题．4．【答案】A【解析】解：===，故选A．【点评】本题考查复数的代数形式的乘除运算，本题解题的关键是掌握除法的运算法则，本题是一个基础题．5． 【答案】D 【解析】考点：1.复数的相关概念；2.集合的运算 6． 【答案】B解析：∵（3+4i ）z=25，z===3﹣4i ．∴=3+4i ． 故选：B ．7． 【答案】C 【解析】试题分析：由2123n a a a a n =，则21231(1)n a a a a n -=-，两式作商，可得22(1)n n a n =-，所以22352235612416a a +=+=，故选C ．考点：数列的通项公式． 8． 【答案】D【解析】解：二项式（x+）4展开式的通项公式为T r+1=•x 4﹣2r ，令4﹣2r=0，解得r=2，∴展开式的常数项为6=a 5，∴a 3a 7=a 52=36，故选：D ．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．9． 【答案】B 【解析】解：根据选项可知a ≤0a 变动时，函数y=2|x|的定义域为[a ，b]，值域为[1，16]，∴2|b|=16，b=4故选B ．【点评】本题主要考查了指数函数的定义域和值域，同时考查了函数图象，属于基础题．10．【答案】D【解析】解：将y=cos（2x+φ）的图象沿x轴向右平移个单位后，得到一个奇函数y=cos=cos（2x+φ﹣）的图象，∴φ﹣=kπ+，即φ=kπ+，k∈Z，则φ的一个可能值为，故选：D．11．【答案】A【解析】解：由题意，p=2，故抛物线的准线方程是x=1，∵抛物线y2=﹣4x 的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1）B（x2，y2）两点∴|AB|=2﹣（x1+x2），又x1+x2=﹣6∴∴|AB|=2﹣（x1+x2）=8故选A12．【答案】D【解析】解：△ABC中，A（﹣5，0），B（5，0），点C在双曲线上，∴A与B为双曲线的两焦点，根据双曲线的定义得：|AC﹣BC|=2a=8，|AB|=2c=10，则==±=±．故选：D．【点评】本题考查了正弦定理的应用问题，也考查了双曲线的定义与简单性质的应用问题，是基础题目．二、填空题13．【答案】【解析】【知识点】空间几何体的三视图与直观图【试题解析】正方体中，BC中点为E，CD中点为F，则截面为即截去一个三棱锥其体积为：所以该几何体的体积为：故答案为：14．【答案】②③④．【解析】解：由题意设动点坐标为（x，y），则利用题意及点到直线间的距离公式的得：|x+1||y﹣1|=k2，对于①，将（﹣1，1）代入验证，此方程不过此点，所以①错；对于②，把方程中的x被﹣2﹣x代换，y被2﹣y 代换，方程不变，故此曲线关于（﹣1，1）对称．②正确；对于③，由题意知点P在曲线C上，点A，B分别在直线l1，l2上，则|PA|≥|x+1|，|PB|≥|y﹣1|∴|PA|+|PB|≥2=2k，③正确；对于④，由题意知点P在曲线C上，根据对称性，则四边形P0P1P2P3的面积=2|x+1|×2|y﹣1|=4|x+1||y﹣1|=4k2．所以④正确．故答案为：②③④．【点评】此题重点考查了利用直接法求出动点的轨迹方程，并化简，利用方程判断曲线的对称性，属于基础题．15．【答案】．【解析】解：过CD作平面PCD，使AB⊥平面PCD，交AB与P，设点P到CD的距离为h，则有V=×2×h××2，当球的直径通过AB 与CD 的中点时，h 最大为2，则四面体ABCD 的体积的最大值为．故答案为：．【点评】本小题主要考查棱柱、棱锥、棱台的体积、球内接多面体等基础知识，考查运算求解能力，考查空间想象力．属于基础题．16．【答案】32【解析】试题分析：由题意得11,422k αα==⇒=∴32k α+=考点：幂函数定义 17．【答案】【解析】解：对于①，把函数y=sin （x ﹣）图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=sin （2x ﹣），故①正确．对于②，当α，β是第一象限角且α＜β，如α=30°，β=390°，则此时有cos α=cos β=，故②错误．对于③，当x=﹣时，2x+π=π，函数y=cos （2x+π）=﹣1，为函数的最小值，故x=﹣是函数y=cos （2x+π）的一条对称轴，故③正确．对于④，函数y=4sin （2x+）=4cos[﹣（2x+）]=4cos （﹣2）=4cos （2x ﹣），故函数y=4sin （2x+）与函数y=4cos （2x ﹣）相同，故④正确．对于⑤，在上，2x ﹣∈，函数y=2sin （2x ﹣）在上没有单调性，故⑤错误，故答案为：①③④．18．【答案】②④【解析】解：根据题意得：圆心（k﹣1，3k），圆心在直线y=3（x+1）上，故存在直线y=3（x+1）与所有圆都相交，选项②正确；考虑两圆的位置关系，圆k：圆心（k﹣1，3k），半径为k2，圆k+1：圆心（k﹣1+1，3（k+1）），即（k，3k+3），半径为（k+1）2，两圆的圆心距d==，两圆的半径之差R﹣r=（k+1）2﹣k2=2k+，任取k=1或2时，（R﹣r＞d），C k含于C k+1之中，选项①错误；若k取无穷大，则可以认为所有直线都与圆相交，选项③错误；将（0，0）带入圆的方程，则有（﹣k+1）2+9k2=2k4，即10k2﹣2k+1=2k4（k∈N*），因为左边为奇数，右边为偶数，故不存在k使上式成立，即所有圆不过原点，选项④正确．则真命题的代号是②④．故答案为：②④【点评】本题是一道综合题，要求学生会将直线的参数方程化为普通方程，会利用反证法进行证明，会利用数形结合解决实际问题．三、解答题19．【答案】【解析】解：（Ⅰ）由，得，即﹣1＜x＜1，即定义域为（﹣1，1），则f（﹣x）=log a（1﹣x）﹣log a（1+x）=﹣[log a（1+x）﹣log a（1﹣x）]=﹣f（x），则f（x）为奇函数．（Ⅱ）当0＜a＜1时，由f（x）＞0，即log a（1+x）﹣log a（1﹣x）＞0，即log a（1+x）＞log a（1﹣x），则1+x＜1﹣x，解得﹣1＜x＜0，则不等式解集为：（﹣1，0）．【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断以及对数不等式的求解，利用定义法以及对数函数的单调性是解决本题的关键．20．【答案】（1） ()()210473h x x x =+-- （37x <<）（2） 13 4.33x =≈ 试题解析：（1） 因为()f x 与3x -成反比，()g x 与7x -的平方成正比， 所以可设：()13k f x x =-，()()227g x k x =-，12.00k k ≠≠，，则()()()()21273k h x f x g x k x x =+=+--则 ………………………………………2分 因为销售价格为5元/套时，每日可售出套题21千套，销售价格为2.5元/套时，每日可售出套题69千套所以，()()521, 3.569h h ==，即12124212492694k k k k ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得：12104k k =⎧⎨=⎩， ……………6分所以，()()210473h x x x =+-- （37x <<） ………………………………………8分 （2） 由（1）可知，套题每日的销售量()()210473h x x x =+--，答：当销售价格为4.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大.…………16分 考点：利用导数求函数最值 21．【答案】【解析】（1）当111,12n a a =+=时，解得11a =. （1分）当2n ≥时，2n n S n a +=，① 11(1)2n n S n a --+-=，②①-②得，1122n n n a a a -+=-即121n n a a -=+， （3分） 即112(1)(2)n n a a n -+=+≥，又112a +=. 所以{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列.即12n n a +=故21n n a =-（*n N ∈）.（5分）22．【答案】证明见解析．【解析】考点：直线与平面平行的判定与证明．23．【答案】【解析】解：（1）设切点．由，知抛物线在Q点处的切线斜率为，故所求切线方程为．即y=x0x﹣x02．因为点P（0，﹣4）在切线上．所以，，解得x0=±4．所求切线方程为y=±2x﹣4．（2）设A（x1，y1），C（x2，y2）．由题意知，直线AC的斜率k存在，由对称性，不妨设k＞0．因直线AC过焦点F（0，1），所以直线AC的方程为y=kx+1．点A，C的坐标满足方程组，得x2﹣4kx﹣4=0，由根与系数的关系知，|AC|==4（1+k2），因为AC⊥BD，所以BD的斜率为﹣，从而BD的方程为y=﹣x+1．同理可求得|BD|=4（1+），S ABCD=|AC||BD|==8（2+k2+）≥32．当k=1时，等号成立．所以，四边形ABCD面积的最小值为32．【点评】本题考查抛物线的方程和运用，考查直线和抛物线相切的条件，以及直线方程和抛物线的方程联立，运用韦达定理和弦长公式，考查基本不等式的运用，属于中档题．24．【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）根据直角三角形求两个矩形的长与宽，再根据矩形面积公式可得函数解析式，最后根据实际意义确定定义域（2）利用导数求函数最值，求导解得零点，列表分析导函数符号变化规律，确定函数单调性，进而得函数最值（2）要符合园林局的要求，只要最小，由（1）知，令，即，解得或（舍去），令，当时，是单调减函数，当时，是单调增函数，所以当时，取得最小值.答：当满足时，符合园林局要求.。

2019-2020学年广东省广州市荔湾区高二上学期期末数学试题（解析版

2019-2020学年广东省广州市荔湾区高二上学期期末数学试题（解析版

2019-2020学年广东省广州市荔湾区高二上学期期末数学试题一、单选题1．设集合{}2|340A x x x =+-<，{|230}B x x =+≥，则A B =（ ）A ．3(4,]2-- B ．3[,1)2-- C ．3[,1)2-D ．3[,4)2【答案】C【解析】解一元二次不等式求得集合A ，解一元一次不等式求得集合B ，由此求得两个集合的交集. 【详解】由()()234410x x x x +-=+-<解得()4,1A =-，有2+30x ≥解得3,2B ⎡⎫=-+∞⎪⎢⎣⎭，所以3,12A B ⎡⎫⋂=-⎪⎢⎣⎭. 故选：C 【点睛】本小题主要考查集合交集，考查一元二次不等式、一元一次不等式的解法，属于基础题. 2．已知向量()3,1,2a =-，()6,2,b t =-，且a b ，则t =（ ） A ．10 B ．-10C ．4D ．-4【答案】D【解析】根据两个向量平行的条件列方程，解方程求得t 的值. 【详解】 由于//a b ，所以62312t-==-，解得4t =-. 故选：D 【点睛】本小题主要考查空间向量共线的坐标表示，属于基础题.3．双曲线221169x y -=的焦距为（ ）A ．10BC ．D ．5【答案】A【解析】由方程，，则，即，则焦距为.4．设命题p ：[]0,1x ∀∈，都有210x -≤，则p ⌝为（ ）A ．[]00,1x ∃∈，使2010x -≤ B ．[]0,1x ∀∈，都有210x -≥ C ．[]00,1x ∃∈，使2010x ->D ．[]0,1x ∀∈，都有210x ->【答案】C【解析】根据全称命题的否定是特称命题的知识选出正确选项. 【详解】原命题是全称命题，其否定为特称命题，注意到要否定结论，故A 选项错误，C 选项正确. 故选：C 【点睛】本小题主要考查全称命题与特称命题，考查全称命题的否定，属于基础题.5．若a b c d ,,,为实数，则下列命题正确的是（ ） A ．若a b <，则||||a c b c < B ．若22ac bc <，则a b < C ．若a b <，c d <，则a c b d -<- D ．若a b <，c d <，则ac bd <【答案】B【解析】利用不等式的性质对选项逐一分析，由此确定正确选项. 【详解】 对于A 选项，当0c时，不符合，故A 选项错误.对于B 选项，由于22ac bc <，所以0c ≠，所以a b <，所以B 选项正确.对于C 选项，如2,3,2,3,23,23a b c d ====<<，但是a c b d -=-，所以C 选项错误.对于D 选项，由于a b c d ,,,的正负不确定，所以无法由a b <，c d <得出ac bd <，故D 选项错误. 故选：B 【点睛】本小题主要考查不等式的性质，属于基础题.6．已知n 为平面α的一个法向量，l 为一条直线，则“l n ⊥”是“//l α”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】将“l n ⊥”与“//l α”相互推导，根据能否推导的情况判断充分、必要条件. 【详解】当“l n ⊥”时，由于l 可能在平面α内，所以无法推出“//l α”. 当“//l α”时，“l n ⊥”.综上所述，“l n ⊥”是“//l α”的必要不充分条件. 故选：B 【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查线面平行和法向量，属于基础题. 7．在长方体1111ABCD A B C D -中，AB BC a ==，1AA =，则异面直线1AC 与1CD 所成角的余弦值为（ ） A ．15B．6CD．2【答案】C【解析】建立空间直角坐标系，利用向量法计算出异面直线1AC 与1CD 所成角的余弦值. 【详解】以D 为原点建立空间直角坐标系，如图所示，依题意()()()()11,0,0,0,,0,0,,A a C a C a D ，所以()()11,,3,0,AC a a a CD a =-=-，设异面直线1AC 与1CD 所成角为θ，则1111cos 5AC CD a AC CD θ⋅-===⋅. 故选：C【点睛】本小题主要考查异面直线所成角的余弦值的计算，属于基础题.8．已知各项均为正数的数列{}n a 为等比数列，n S 是它的前n 项和，若337S a =，且2a 与4a 的等差中项为5，则5S =（ ） A ．29 B ．31 C ．33 D ．35【答案】B【解析】将已知条件转化为1,a q 的形式，解方程求得q ，根据等差中项列方程，由此解得1a .进而求得5S 的值. 【详解】由337S a =，得12337a a a a ++=，所以3126()0a a a -+=，即2610q q --=，所以12q =,13q =-（舍去）．依题意得2410a a +=，即31()10a q q +=，所以116a =． 所以55116[1()]231112S -==-． 故选:B ． 【点睛】本小题主要考查等比数列通项公式的基本量计算，考查等差中项的性质，考查等比数列前n 项和，属于基础题. 9．命题“若{}n a 是等比数列，则n n k n k na aa a +-=（n k >且*,n k N ∈）的逆命题、否命题与逆否命题中，假命题的个数为（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】A【解析】先判断原命题为真命题，由此得出逆否命题是真命题；判断出原命题的逆命题为真命题，由此判断原命题的否命题也是真命题，由此确定假命题的个数. 【详解】若{}n a 是等比数列，则n a 是n k a -与n k a +的等比中项，所以原命题是真命题， 从而，逆否命题是真命题；反之，若(*)n n k n k n a a n k n k a a +-=>∈N ，,，则当1k =时，11(1*)n n n na a n n a a +-=>∈N ,， 所以{}n a 是等比数列，所以逆命题是真命题，从而，否命题是真命题． 故选:A ． 【点睛】本小题主要考查四种命题及其相互关系，考查等比数列的性质，属于基础题.10．双曲线22:13y C x -=的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若PO PF ⊥,则PFO △的面积为（ ） A．BC ．12D【答案】D【解析】先求得双曲线的渐近线方程，由此求得对应的倾斜角，解直角三角形求得三角形PFO 的边长，由此求得以PFO ∆的面积. 【详解】双曲线22:13y C x -=的渐近线方程为y =，无妨设60POF ∠=，因为PO PF ⊥，||2OF c ==，所以得||2cos 601PO ==,||2sin 603PF ==所以PFO ∆的面积为131322⨯⨯=． 故选:D ． 【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线方程，考查双曲线的几何性质，考查双曲线中的三角形的面积计算，属于基础题.11．为不断满足人民日益增长的美好生活需要，实现群众对舒适的居住条件、更优美的环境、更丰富的精神文化生活的追求，某大型广场正计划进行升级改造.改造的重点工程之一是新建一个长方形音乐喷泉综合体1111D C B A ，该项目由长方形核心喷泉区ABCD （阴影部分）和四周绿化带组成.规划核心喷泉区ABCD 的面积为21000m ，绿化带的宽分别为2m 和5m （如图所示）.当整个项目占地1111D C B A 面积最小时，则核心喷泉区BC 的长度为（ ）A ．20mB ．50mC ．1010mD ．100m【答案】B【解析】设BC x =，得到CD 的值，进而求得矩形1111D C B A 面积的表达式，利用基本不等式求得面积的最小值，，而根据基本不等式等号成立的条件求得此时BC 的长. 【详解】设BC x =，则1000CD x=，所以11111000(10)(4)A B C D S x x=++100001040(4)x x =++100001040241440x x≥+=， 当且仅当100004x x=，即50x =时，取“=”号， 所以当50x =时，1111A B C D S 最小．故选:B ． 【点睛】本小题主要考查矩形面积的最小值的计算，考查利用基本不等式求最值，属于基础题. 12．在三棱锥D ABC -中，22AB BC ==4DA DC AC ===，平面ADC ⊥平面ABC ，点M 在棱BC 上，且DC 与平面DAM AM =（ ）A ．B C ．D 【答案】A【解析】建立空间直角坐标系，设出M 点坐标，利用DC 与平面DAM 所成角的正弦值为4列方程，解方程求得M 点的坐标，进而求得AM 的长. 【详解】取AC 中点O ，易证：OD AC ⊥,OD OB ⊥,AC OB ⊥.如图，以O 为坐标原点，OB 的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系O xyz -. 由已知得()0,0,0O,()2,0,0B ,()0,2,0A -,()0,2,0C ,D ,(0,2,AD =,(0,2,DC =-.设(,2,0)(02)M a a a -<≤， 则(,4,0)AM a a =-.设平面DAM 的法向量(),,n x y z =.由0AD n ⋅=,0AM n ⋅=得20(4)0y ax a y ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩，可取(3(,)n a a =--，所以sin cos ,DC n θ=〈〉==解得4a =-（舍去），43a =，所以4||33AM ⎛== 故选:A ．【点睛】本小题主要考查根据线面角的正弦值求线段的长度，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.二、填空题13．已知实数,x y 满足约束条件1010330x x y x y -≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则2z x y =+的最大值为__________．【答案】7【解析】画出可行域，平移基准直线20x y +=到可行域边界位置，由此求得目标函数的最大值. 【详解】画出可行域如下图所示，由图可知，平移基准直线20x y +=到可行域边界点()2,3B 的位置，此时2z x y =+取得最大值为2237⨯+=. 故答案为：7【点睛】本小题主要考查线性规划求目标函数的最大值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.14．某学校启动建设一个全新的信息化“未来报告厅”，该报告厅的座位按如下规则排列：从第二排起，每一排都比前一排多出相同的座位数，且规划第7排有20个座位，则该报告厅前13排的座位总数是__________． 【答案】260【解析】将问题转化为等差数列来解决，根据已知条件以及等差数列前n 项和公式，求得所求的坐标总数. 【详解】因为从第二排起每一排都比前一排多出相同的座位数， 所以座位数n a 构成等差数列{}n a . 因为720a =，所以113713713()1321326022a a a S a +⨯====.故答案为：260 【点睛】本小题主要考查利用等差数列解决实际生活中的问题，属于基础题.15．已知1F 、2F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点，点P 为C 上一点，O为坐标原点，2POF 为正三角形，则C 的离心率为__________． 【答案】31-【解析】结合等边三角形的性质和椭圆的定义列方程，化简后求得椭圆的离心率. 【详解】如图,因为2POF 为正三角形，所以12||||||OF OP OF ==， 所以12F PF ∆是直角三角形.因为2160PF F ∠=，21||2F F c =，所以2||PF c =,1||3PF c =. 因为21||||2PF PF a +=，所以32c c a +=即3131ca ，所以31e =-.故答案为：31-【点睛】本小题主要考查椭圆离心率的求法，考查椭圆的定义，属于基础题. 16．如图，平行六面体1111ABCD A B C D -中，11AB AD AA ===,1160BAD DAA BAA ︒∠=∠=∠=,则1BD =__________．2【解析】用基底表示出1BD ，然后利用向量数量积的运算，求得1BD .【详解】因为111BD AD AB AD AA AB=-=+-， 所以2211()BD AD AA AB =+- 222111222AD AA AB AD AA AD AB AA AB =+++--1112cos602cos602cos602=+++⨯-⨯-⨯=， 所以1||2BD BD ==【点睛】本小题主要考查空间向量法计算线段的长，属于基础题.三、解答题17．记n S 为公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和，已知2219a a =，618S =. （1）求{}n a 的通项公式；（2）求n S 的最大值及对应n 的大小.【答案】（1）*(2)10n a n n ∈=-N （2）当4n =或5n =时,n S 有最大值为20．【解析】（1）将已知条件转化为1,a d 的形式列方程，由此解得1,a d ，进而求得{}n a 的通项公式.（2）根据等差数列前n 项和公式求得n S ，利用配方法，结合二次函数的性质求得n S 的最大值及对应n 的大小.【详解】（1）设{}n a 的公差为d ，且0d ≠．由2219a a =，得140a d +=，由618S =，得1532a d +=， 于是18a =,2d =-．所以{}n a 的通项公式为*(2)10n a n n ∈=-N ．（2）由（1）得(1)8(2)2n n n S n -=+⨯- 29n n =-+2981()24n =--+ 因为*n ∈N ，所以当4n =或5n =时,n S 有最大值为20．【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式和前n 项和公式基本量的计算，考查等差数列前n 项和的最值的求法，属于基础题.18．已知抛物线C 的顶点在原点，对称轴是x 轴，并且经过点()1,2-，抛物线C 的焦点为F ，准线为l .（1）求抛物线C 的方程；（2）过F 的直线h 与抛物线C 相交于两点A 、B ，过A 、B 分别作准线l 的垂线，垂足分别为D 、E ，求四边形ABED 的面积.【答案】（1）24y x =（2【解析】（1）根据抛物线上点的坐标，求得抛物线的方程.（2）设出直线h 的方程，与抛物线方程联立，解出交点,A B 的坐标，结合抛物线的定义和梯形面积公式，求得四边形ABED 的面积.【详解】（1）根据题意，设抛物线C 为22(0)y px p =>，因为点(1,2)-在抛物线上，所以2(2)2p -=，即2p =．所以抛物线C 的方程为24y x =．（2）由（1）可得焦点(1,0)F ，准线为:1l x =-．不妨设11(,)A x y ，2212(,)()B x y x x >过F h 的方程为1)y x =-．由243(1)y x y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩得231030x x -+=， 所以13x =，213x =．代入3(1)y x =-，得123y =，2233y =-．所以(3,23)A ，123(,)3B -． 所以1||42p AD x =+=， 24||23p BE x =+=， 128||||33DE y y =-=． 因为四边形ABED 是直角梯形，所以四边形ABED 的面积为1643(||||)||2AD BE DE +=． 【点睛】本小题主要考查抛物线方程的求法，考查抛物线的定义，考查直线和抛物线的交点坐标，考查梯形面积的计算，属于中档题.19．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，PB PD =.（1）证明：平面APC ⊥平面BPD ；（2）若PB PD ⊥，60DAB ∠=︒，2AP AB ==，求二面角A PD C --的余弦值.【答案】（1）见解析（2）57- 【解析】（1）通过菱形的性质证得BD AC ⊥，通过等腰三角形的性质证得BD PO ⊥，由此证得BD ⊥平面APC ，从而证得平面APC ⊥平面BPD .（2）方法一通过几何法作出二面角A PD C --的平面角，解三角形求得二面角的余弦值.方法而通过建立空间直角坐标系，利用平面APD 和平面CPD 的法向量，计算出二面角的余弦值.【详解】（1）证明：记AC BD O =，连接PO ．因为底面ABCD 是菱形，所以BD AC ⊥，O 是,BD AC 的中点．因为PB PD =，所以PO BD ⊥．因为AC PO O =，所以BD ⊥平面APC ．因为BD ⊂平面BPD ，所以平面APC ⊥平面BPD ．（2）因为底面ABCD 是菱形，60DAB ∠=，2AP AB ==，所以BAD ∆是等边三角形，即2BD AB ==．因为PB PD ⊥，所以112PO BD ==． 又sin 603AO AB ==2AP =，所以222PO AO AP +=，即PO AO ⊥．方法一：因为O 是AC 的中点，所以2CP AP ==，因为2CD AB ==，所以CP CD =，所以PAD ∆和PCD ∆都是等腰三角形．取PD 中点E ，连接,AE CE ，则AE PD ⊥，且CE PD ⊥，所以AEC ∠是二面角A PD C --的平面角． 因为PO BD ⊥，且112PO OD BD ===，所以DP ==．因为2AE CE ===，2AC AO ==，所以2225cos 27AE CE AC AEC AE CE +-∠==-． 所以二面角A PD C --的余弦值为57-．方法二：如图，以O 为坐标原点，,,OA OB OP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -， 则(3,0,0)A ，(0,1,0)D -，(0,0,1)P ，(3,0,0,)C -，所以(3,1,0)DA =，(0,1,1)DP =，(3,1,0)DC =-．设平面APD 的法向量为1(,,)n x y z =由11·0·0DA n DP n ⎧=⎪⎨=⎪⎩，得300x y y z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩， 令3y =-，得1(1,3,3)n =-.同理，可求平面PDC 的法向量2(1,3,3)n =-．所以121212cos ||||n n n n n n =, 22222211(3)33(3)1(3)313(3)⨯+-⨯+⨯-=+-+++- 57=-． 所以，二面角A PD C --的余弦值为57-．【点睛】本小题主要考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.20．数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()2*n S n n N =∈，数列{}n b 满足12b =，()*1322,n n b b n n -=+≥∈N .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求证：数列{}1n b +是等比数列；（3）设数列{}n c 满足1n n n a c b =+，其前n 项和为n T ，证明：1n T <. 【答案】（1）*21()n a n n =-∈N （2）见解析（3）见解析【解析】（1）利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求得数列{}n a 的通项公式. （2）通过证明1131n n b b -+=+，证得数列{1}n b +是等比数列，并求得首项和公比. （3）由（2）求得{}n b 的通项公式，由此求得n c 的表达式，利用错位相减求和法求得n T ，进而证得1n T <.【详解】（1）当1n =时，111a S ==．当2n ≥时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-．检验，当1n =时11211a ==⨯-符合．所以*21()n a n n =-∈N ．（2）当2n ≥时，1111113213(1)3111n n n n n n b b b b b b -----++++===+++， 而113b +=，所以数列{1}n b +是等比数列，且首项为3，公比为3．（3）由（2）得 11333-+=⋅=n n n b ，211(21)()133n n n n n a n c n b -===-+， 所以1231n n n T c c c c c -=+++++ 231111111()3()5()(23)()(21)()33333n n n n -=⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅ ① 23411111111()3()5()(23)()(21)()333333n n n T n n +=⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅ ② 由①-②得12342111111(21)()2[()()()()]3333333n n n T n +=--⋅+++++， 21111()[1()]1133(21)()21331()3n n n -+-=--⋅+-11111(21)()()3333n n n +=--⋅+- 2221()()333n n +=-， 所以11(1)()3n n T n =-+． 因为1(1)()03n n +>，所以1n T <． 【点睛】本小题主要考查已知n S 求n a ，考查等比数列的证明，考查错位相减求和法，考查运算求解能力，属于中档题.21．如图，已知圆A ：22(1)16x y ++=，点()10B ,是圆A 内一个定点，点P 是圆上任意一点，线段BP 的垂直平分线1l 和半径AP 相交于点Q .当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的方程；（2）设过点()4,0D 的直线2l 与曲线C 相交于,M N 两点（点M 在,D N 两点之间）.是否存在直线2l 使得2DN DM =？若存在，求直线2l 的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22143x y +=（2）存在，5(4)6y x =-或5(4)6y x =--． 【解析】（1）结合垂直平分线的性质和椭圆的定义，求出椭圆C 的方程.（2）设出直线2l 的方程，联立直线2l 的方程和椭圆方程，写出韦达定理，利用2DN DM =，结合向量相等的坐标表示，求得直线2l 的斜率，进而求得直线2l 的方程.方法一和方法二的主要曲边是直线2l 的方程的设法的不同.【详解】（1）因为圆A 的方程为22(1)16x y ++=，所以(1,0)A -，半径4r =．因为1l 是线段AP 的垂直平分线，所以||||QP QB =．所以||||||||||4AP AQ QP AQ QB =+=+=．因为4||AB >，所以点Q 的轨迹是以(1,0)A -，(1,0)B 为焦点，长轴长24a =的椭圆．因为2a =，1c =，2223b a c =-=，所以曲线C 的方程为22143x y +=． （2）存在直线2l 使得2DN DM =．方法一：因为点D 在曲线C 外，直线2l 与曲线C 相交，所以直线2l 的斜率存在，设直线2l 的方程为(4)y k x =-．设112212(,),(,)()M x y N x y x x >， 由22143(4)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得2222(34)32(6412)0k x k x k +-+-=． 则21223234k x x k+=+， ① 2122641234k x x k -=+， ② 由题意知2222(32)4(34)(6412)0k k k ∆=--+->，解得1122k -<<． 因为2DN DM =，所以2142(4)x x -=-，即2124x x =-． ③ 把③代入①得21241634k x k +=+，22241634k x k-+=+ ④ 把④代入②得2365k =，得k =±，满足1122k -<<． 所以直线2l的方程为：4)y x =-或4)y x =-． 方法二：因为当直线2l 的斜率为0时，(2,0)M ，(2,0)N -，(6,0)DN =-，(2,0)DM =-此时2DN DM ≠．因此设直线2l 的方程为：4x ty =+．设112212(,),(,)()M x y N x y x x >， 由221434x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得22(34)24360t y ty +++=． 由题意知22(24)436(34)0t t ∆=-⨯+>，解得2t <-或2t >， 则1222434t y y t +=-+， ① 1223634y y t =+， ② 因为2DN DM =，所以212y y =． ③把③代入①得12834t y t =-+，221634t y t =-+ ④ 把④代入②得2536t =，t =2t <-或2t >． 所以直线2l的方程为4)y x =-或4)y x =-． 【点睛】 本小题主要考查椭圆的定义和标准方程，考查直线和椭圆的位置关系，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.22．已知函数2()()(,)f x x mx m n m n =-++∈R .（1）若关于x 的不等式()0f x <的解集为()3,1-，求实数,m n 的值；（2）设2m =-，若不等式()23f x n n >-+对x R ∀∈都成立，求实数n 的取值范围； （3）若3n =且()1,x ∈+∞时，求函数()f x 的零点.【答案】（1）2m =-，1n =-．（2）(,1)(3,)-∞-+∞（3）见解析【解析】（1）根据根与系数关系列方程组，解方程组求得,m n 的值.（2）将不等式2()3f x n n >-+转化为22222x x n n +->-+，求得左边函数()222g x x x =+-的最小值，由此解一元二次不等式求得n 的取值范围.（3）利用判别式进行分类讨论，结合函数()f x 的定义域，求得函数()f x 的零点.【详解】（1）因为不等式()0f x <的解集为(3,1)-，所以-3,1为方程()0f x =的两个根， 由根与系数的关系得3131m m n -+=⎧⎨-⨯=+⎩，即2m =-，1n =-． （2）当2m =-时，2()2(2)f x x x n =++-，因为不等式2()3f x n n >-+对x R ∀∈都成立，所以不等式22222x x n n +->-+对任意实数x 都成立．令22()22(1)3g x x x x =+-=+-，所以2min ()2g x n n >-+．当1x =-时，min ()3g x =-，所以232n n ->-+，即2230n n -->，得1n <-或3n >，所以实数n 的取值范围为(,1)(3,)-∞-+∞．（3）当3n =时，()2()(3)1f x x mx m x =-++>，函数()f x 的图像是开口向上且对称轴为2m x =的抛物线， 22()4(3)412m m m m ∆=--+=--．①当∆<0，即26m -<<时，()0f x >恒成立，函数()f x 无零点．②当0∆=，即2m =-或6m =时，（ⅰ）当2m =-时，1(1,)2m x ==-∉+∞，此时函数()f x 无零点． （ⅱ）当6m =时，3(1,)2m x ==∈+∞，此时函数()f x 有零点3． ③当>0∆，即2m <-或6m >时，令2()(3)0f x x mx m =-++=，得12m x -=，22m x += (1)40f =>．（ⅰ）当2m <-时，得12(1)40m x f ⎧=<-⎪⎨⎪=>⎩，此时121x x <<，所以当(1,)x ∈+∞时，函数()f x 无零点．（ⅱ）当6m >时，得32(1)40m x f ⎧=>⎪⎨⎪=>⎩，此时121x x <<，所以当(1,)x ∈+∞时，函数()f x． 综上所述：当6m <，(1,)x ∈+∞时，函数()f x 无零点；当6m =，(1,)x ∈+∞时，函数()f x 有一个零点为3；当6m >，(1,)x ∈+∞时，函数()f x有两个零点：2m -，． 【点睛】本小题主要考查一元二次不等式解集，考查根与系数关系，考查不等式恒成立问题的求解，考查函数零点问题的研究，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.。

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2018-2019学年广东省广州市荔湾区高二（上）期末数学试卷（理
科）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1．(★)双曲线的焦距是（）
A．2B．4C．4D．8
2．(★)命题“若x 2+y 2=0，则x=0且y=0”的否命题是（）
A．若x2+y2=0，则x≠0且y≠0B．若x2+y2=0，则x≠0或y≠0
C．若x2+y2≠0，则x≠0且y≠0D．若x2+y2≠0，则x≠0或y≠0
3．(★)已知直线l、m，平面α、β，l⊥α，m?β，则α∥β是l⊥m的（）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
4．(★★)为了测试小班教学的实践效果，王老师
对A、B两班的学生进行了阶段测试，并将所得成绩统计如图所示；记本次测试中，A、B两班学生的平均成绩分别为，，A、B两班学生成绩的方差分别为S A2，S B2，则观察茎叶图可知（）
A．A＜B，S A2＜S B2B．A＞B，S A2＜S B2
C．A＜B，S A2＞S B2D．A＞B，S A2＞S B2
5．(★★)已知向量=（1，2，-2），=（-3，-6，6），=（2，1，2）则它们的位置关
系是（）
A．∥，∥B．⊥，⊥C．⊥，∥D．∥，⊥
6．(★)某高中在校学生2000人．为了响应“阳光体育运动”号召，学校举行了跑步和登山比
赛活动．每人都参加而且只参与了其中一项比赛，各年级参与比赛人数情况如表：其中a：b：c=2：3：5，全校参与登山的人数占总人数的，为了了解学生对本次活动的满意程度，现用
分层抽样方式从中抽取一个100个人的样本进行调查，则高二级参与跑步的学生中应抽取
（）
高一年级高二年级高三年级
跑步a b c
登山x y z
A．6人B．12人C．18人D．24人
7．(★)已知点P（1，2，3），Q（-1，0，1），则P点关于x轴对称的点R与点Q的距离为
（）
A．2B．2C．2D．2
8．(★★)从4名男生2名女生中任选3人参加演讲比赛，则所选3人中恰有1名女生的概率
为（）
A．B．C．D．
9．(★)如图程序框图是为了求出满足 3 n-2 n＞1000的最小偶数n，
那么在和两个空白框中，可以分别填入（）
A．A＞1000和n=n+1B．A＞1000和n=n+2
C．A≤1000和n=n+1D．A≤1000和n=n+2
10．(★★)已知椭圆的左右焦点分别为 F 1，F 2，过 F 2且垂直于长轴的直线交
椭圆于A，B两点，则△ABF 1内切圆的半径为（）
A．B．1C．D．
11．(★★)正四棱锥S-ABCD中，O为顶点S在底面ABCD内的正投影，P为侧棱SD的中点，
且SO=OD= ，则异面直线PC与BD的距离为（）
A．B．C．D．
12．(★★)F 1、F 2为双曲线的左、右焦点，过 F 1作x轴的垂线与双曲线
交于M，N两点，，则C的离心率为（）
A．B．C．D．2。

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