高中数学北师大版必修5同步精练：3.2一元二次不等式 Word版含答案

2．1 一元二次不等式的解法基础巩固1不等式－6x 2－x ＋2≤0的解集是( )A ．{x |－23≤x ≤12}B ．{x |x ≤－23或x ≥12}C ．{x |x ≥12}D ．{x |x ≤－23}2不等式9x 2＋6x ＋1≤0的解集是( )A ．{x |x ≠－13}B ．{x |－13≤x ≤13}C ．∅D ．{－13}3函数y ＝x (x －1)＋x 的定义域为( ) A ．{x |x ≥0} B ．{x |x ≥1} C ．{x |x ≥1}∪{0} D ．{x |0≤x ≤1} 4二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (x ∈R )的部分对应值如下表：5解不等式：0≤x 2－x －2≤4.6已知关于x 的不等式ax 2－x －c ＞0的解集为{x |－2＜x ＜1}，试求实数a 与c 的值． 7解关于x 的不等式(a ∈R )：2x 2＋ax ＋2＞0.8已知关于x 的不等式(a 2－4)x 2＋(a ＋2)x －1≥0的解集是空集，求实数a 的取值范围． 综合过关9设集合M ＝{x |x 2＋3x ＋2＜0}，集合N ＝{x |(12)x ≤4}，则M ∪N 等于( )A ．{x |x ≥－2}B ．{x |x ＞－1}C ．{x |x ＜－1}D ．{x |x ≤－2}10设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6，x ＜0，则不等式f (x )＞f (1)的解集是… ( )A ．(－3,1)∪(3，＋∞)B ．(－3,1)∪(2，＋∞)C ．(－1,1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1,3)11关于x 的方程2x ＝a 2＋a 在(－∞，1]上有解，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－2，－1)∪(0,1] B ．[－2，－1]∪(0,1]C ．[－2，－1)∪(0,2]D ．[－2，－1)∪[0,2]12设A 为关于x 的不等式ax (x －1)≥1的解集．若2∉A ，3∈A ，则实数a 的取值范围为________．能力提升13不等式f (x )＝ax 2－x －c ＞0的解集为{x |－2＜x ＜1}，则函数y ＝f (－x )的图像为( )参考答案1解析：原不等式等价于6x 2＋x －2≥0，方程6x 2＋x －2＝0的两根为－23，12.画简图，可得x ≤－23或x ≥12.答案：B2解析：Δ＝0，则方程9x 2＋6x ＋1＝0的根为x 1＝x 2＝－13，原不等式的解集为{－13}．答案：D3解析：解不等式⎩⎪⎨⎪⎧x (x －1)≥0，x ≥0，得x ≥1或x ＝0.答案：C4解析：根据表格可以画出二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (x ∈R )的图像草图如下图所示．由图像得不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集是x ＜－2或x ＞3.答案：{x |x ＜－2或x ＞3}5分析：上述不等式含有两部分x 2－x －2≥0和x 2－x －2≤4，因此原不等式的解集是这两部分解集的交集．解：原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2≥0，x 2－x －2≤4，解x 2－x －2≥0，得x ≤－1或x ≥2； 解x 2－x －2≤4，得－2≤x ≤3.所以原不等式的解集为{x |x ≤－1或x ≥2}∩{x |－2≤x ≤3}＝{x |－2≤x ≤－1或2≤x ≤3}．6分析：－2和1是对应的一元二次方程的解．由一元二次方程根与系数的关系列方程解得a 、c .解：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a <0，－2＋1＝1a ，－2×1＝－c a，解得a ＝－1，c ＝－2. 7解：∵Δ＝a 2－16，∴①当Δ＜0，即－4＜a ＜4时，不等式解集为R ；②Δ≥0时，即a ≥4或a ≤－4，方程2x 2＋ax ＋2＝0的两根为x 1＝14(－a －a 2－16)，x 2＝14(－a ＋a 2－16)．当a ＝4或－4时，不等式解集为{x |x ≠±1，且x ∈R }； 当a ＞4或a ＜－4时，不等式的解集为{x |x ＜14(－a －a 2＋16)或x ＞14(－a ＋a 2－16)}．8分析：分二次项系数a 2－4＝0和a 2－4≠0两种情况讨论，在a 2－4≠0时，结合二次函数的图像进行求解．解：当a 2－4＝0时，a ＝±2，当a ＝－2时，解集为∅；当a 2－4≠0时，要使解集为∅，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4＜0，Δ＜0，解得－2＜a ＜65.综上，－2≤a ＜65.9解析：M ＝{x |x 2＋3x ＋2＜0}＝{x |－2＜x ＜－1}，N ＝{x |(12)x ≤4}＝{x |x ≥－2}，则M ∪N＝{x |x ≥－2}．答案：A10解析：f (1)＝1－4＋6＝3，则有⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，x 2－4x ＋6＞3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＜0，x ＋6＞3，解得0≤x ＜1或x ＞3或－3＜x ＜0，即－3＜x ＜1或x ＞3.答案：A11解析：函数y ＝2x(x ∈(－∞，1])的值域是(0,2]，解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a ＞0，a 2＋a ≤2，得－2≤x ＜－1或0＜x ≤1.答案：A12解析：设f (x )＝ax (x －1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧f (2)＜1，f (3)≥1，即⎩⎪⎨⎪⎧2a (2－1)＜1，3a (3－1)≥1，解得16≤a ＜12，则实数a 的取值范围为[16，12)．答案：[16，12)13解析：思路一：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a <0，－2＋1＝1a ，－2×1＝－c a，解得a ＝－1，c ＝－2，则函数y ＝f (－x )＝－x 2＋x ＋2＝－(x －2)(x ＋1)． 与x 轴的交点坐标为(－1,0)，(2,0)，开口向下．思路二：由于f (x )＞0的解集为{x |－2＜x ＜1}，则f (－x )＞0的解集为{x |－2＜－x ＜1}， 即{x |－1＜x ＜2}，且开口向下． 答案：C2.2 一元二次不等式的应用基础巩固1若集合A ＝{x |x 2－x ＜0}，B ＝{x |0＜x ＜3}，则A ∩B 等于( ) A ．{x |0＜x ＜1} B ．{x |0＜x ＜3} C ．{x |1＜x ＜3} D ．∅2不等式x －2x ＋1≤0的解集是( )A ．(－∞，－1)∪(－1,2]B ．[－1,2]C ．(－∞，－1)∪[2，＋∞)D ．(－1,2] 3不等式(x ＋3)(x －7)(x －8)＜0的解集是________．4关于x 的方程x 2－(m ＋3)x ＋m 2＝0有两个不相等的正根，则m 的取值范围是__________．5某小型服装厂生产一种风衣，日销货量x 件与货价p (元/件)之间的关系为p ＝160－2x ，生产x 件所需成本为C ＝500＋30x 元，问该厂日产量多大时，日获利不少于1 300元？6一个车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x (辆)与创造的价值y (元)之间有如下的关系：y ＝－2x 2＋220x .若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6 000元以上，那么它在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？7设a ∈R ，关于x 的一元二次方程7x 2－(a ＋13)·x ＋a 2－a －2＝0有两根x 1、x 2，且0＜x 1＜1＜x 2＜2，求a 的取值范围．8若关于x 的不等式4x ＋m x 2－2x ＋3＜2对任意的x 恒成立，求实数m 的取值范围．综合过关9设集合A ＝{x |x 2－1＜0}，B ＝{x |x 2－3x ＜0}，则A ∩B 等于( ) A ．{x |－1＜x ＜1} B ．{x |0＜x ＜3} C ．{x |0＜x ＜1} D ．{x |－1＜x ＜3}10已知集合A ＝{x |x 2＋3x －18＞0}，B ＝{x |(x －k )·(x －k －1)≤0}，若A ∩B ≠∅，求k 的取值范围．11求下列函数的定义域．(1)y ＝6－x －x 2；(2)y ＝log 2(3x 2－2x －1)． 12设a ≠0，对于函数f (x )＝log 3(ax 2－x ＋a )， (1)若定义域为R ，求实数a 的取值范围； (2)若f (x )的值域为R ，求实数a 的取值范围． 能力提升13甲、乙两公司同时开发同一种新产品，经测算，对于函数f (x )和g (x )，当甲公司投入x 万元作宣传时，若乙公司投入的宣传费小于f (x )万元，则乙公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败的风险；当乙公司投入x 万元作宣传时，若甲公司投入的宣传费小于g (x )万元，则甲公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败的风险．(1)试解释f (0)＝10，g (0)＝20的实际意义；(2)设f (x )＝14x ＋10，g (x )＝x ＋20，甲、乙两公司为了避免恶性竞争，经过协商，同意在双方均无失败风险的情况下尽可能少地投入宣传费用，问甲、乙两公司应投入多少宣传费？参考答案1解析：A ＝{x |x 2－x ＜0}＝{x |0＜x ＜1}，则A ∩B ＝{x |0＜x ＜1}． 答案：A2解析：x －2x ＋1≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，(x －2)(x ＋1)≤0，则－1＜x ≤2.答案：D3解析：利用穿针引线法可得x ＜－3或7＜x ＜8. 答案：{x |x ＜－3或7＜x ＜8}4解析：设x 1，x 2是方程的两根，则由题意知x 1≠x 2，且x 1＞0，x 2＞0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ＞0，x 1＋x 2＞0，x 1·x 2＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧(m ＋3)2－4m 2＞0，m ＋3＞0，m 2＞0，解得－1＜x ＜0或0＜x ＜3. 答案：(－1,0)∪(0,3) 5解：由题意，得(160－2x )x －(500＋30x )≥1 300， 化简得x 2－65x ＋900≤0， 解之，得20≤x ≤45.因此，该厂日产量在20件至45件时，日获利不少于1 300元． 6解：设在一个星期内大约应该生产x 辆摩托车，根据题意得到 －2x 2＋220x ＞6 000.移项整理，得x 2－110x ＋3 000＜0.因为Δ＝100＞0，所以方程x 2－110x ＋3 000＝0有两个实数根x 1＝50，x 2＝60. 所以50＜x ＜60.因为x 只能取整数值，所以，当这条摩托车整车装配流水线在一周内生产的摩托车数量在51～59辆之间时，这家工厂能够获得6 000元以上的收益．7分析：若把方程左边看作是一个二次函数f (x )，则它的图像是开口向上的抛物线，它在区间(0,1)和(1,2)内与x 轴相交等价于f (0)＞0，f (1)＜0，f (2)＞0，根据以上可列关于a 的不等式组求a 的范围．解：设f (x )＝7x 2－(a ＋13)x ＋a 2－a －2.∵x 1，x 2是方程f (x )＝0的两个实根，且0＜x 1＜1,1＜x 2＜2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＞0，f (1)＜0，f (2)＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2＞0，7－(a ＋13)＋a 2－a －2＜0，28－2(a ＋13)＋a 2－a －2＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2＞0，a 2－2a －8＜0，a 2－3a ＞0.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＜－1或a ＞2，－2＜a ＜4，a ＜0或a ＞3.∴－2＜a ＜－1或3＜a ＜4.∴a 的范围是{a |－2＜a ＜－1或3＜a ＜4}．8分析：本题是一个参数的分式不等式恒成立问题，由于分母恒大于零，因此可将此分式不等式转化为一个整式不等式，再研究恒成立问题．解法一：∵x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2＞0， ∴4x ＋mx 2－2x ＋3＜2等价于2x 2－8x ＋6－m ＞0，要使2x 2－8x ＋6－m ＞0恒成立，则只需要Δ＜0，即64－8(6－m )＜0，∴m ＜－2. ∴m 的取值范围是m ＜－2.解法二：不等式2x 2－8x ＋6－m ＞0对任意的x 恒成立，则 只需m ＜2x 2－8x ＋6对任意的x 恒成立． ∵2x 2－8x ＋6＝2(x －2)2－2≥－2， ∴2x 2－8x ＋6在x ∈R 上的最小值为－2. ∴m ＜－2.9解析：由x 2－1＜0得－1＜x ＜1，∴A ＝{x |－1＜x ＜1}．由x 2－3x ＜0得0＜x ＜3，即B ＝{x |0＜x ＜3}，∴A ∩B ＝{x |－1＜x ＜1}∩{x |0＜x ＜3}＝{x |0＜x ＜1}．答案：C10分析：求出A 、B ，即解出一元二次不等式后，根据A ∩B ≠∅来研究集合端点值的关系，列不等式组求得k 的范围．解法一：由x 2＋3x －18＞0，得x ＞3或x ＜－6. ∴A ＝{x |x ＞3或x ＜－6}．由(x －k )(x －k －1)≤0可得，k ≤x ≤k ＋1， ∴B ＝{k |k ≤x ≤k ＋1}，∵A ∩B ≠∅，作出图形(如图所示)．欲使A ∩B ≠∅，则k 应满足：k ＋1＞3或k ＜－6，即{k |k ＜－6或k ＞2}． 解法二：先求A ∩B ＝∅时k 的范围．由解法一得，A ＝{x |x ＜－6或x ＞3}，B ＝{x |k ≤x ≤k ＋1}．若A ∩B ＝∅，则⎩⎪⎨⎪⎧k ＋1≤3，k ≥－6，∴－6≤k ≤2.∴A ∩B ≠∅的k 的范围是{k |k ＜－6或k ＞2}．11分析：根据函数的定义，求函数的定义域即求函数有意义时自变量的取值范围，将定义域问题转化为不等式问题．解：(1)要使函数有意义，只需使6－x －x 2≥0，即x 2＋x －6≤0.设方程x 2＋x －6＝0，两根是x 1＝－3，x 2＝2.∴不等式x 2＋x －6≤0的解集为{x |－3≤x ≤2}． ∴函数y ＝6－x －x 2的定义域为{x |－3≤x ≤2}．(2)要使函数有意义，只需使3x 2－2x －1＞0，设方程3x 2－2x －1＝0， 则两根为x 1＝－13，x 2＝1.∴不等式3x 2－2x －1＞0的解集为{x |x ＜－13或x ＞1}．∴函数y ＝log 2(3x 2－2x －1)的定义域为{x |x ＜－13或x ＞1}．12分析：f (x )的定义域是R ，等价于ax 2－x ＋a ＞0对一切实数都成立．而f (x )的值域为R ，等价于ax 2－x ＋a 能取遍大于0的所有实数值．(1)与(2)虽只有一字之差，但解法大不相同．解：(1)f (x )的定义域为R ，则ax 2－x ＋a ＞0恒成立，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝1－4a 2＜0， 解得a ＞12.(2)f (x )的值域为R ，则真数ax 2－x ＋a 能取遍大于0的所有值，⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝1－4a 2≥0， 解得0＜a ≤12.13分析：(1)根据函数f (x )和g (x )表达的含义；(2)通过解不等式得x ，y 的最小值． 解：(1)f (0)＝10表示当甲公司不投入宣传费时，乙公司要避免新产品的开发有失败风险，至少要投入10万元宣传费；g (0)＝20表示当乙公司不投入宣传费时，甲公司要避免新产品的开发有失败的风险，至少要投入20万元宣传费．(2)设甲公司投入宣传费x 万元，乙公司投入宣传费y 万元，依题意，当且仅当 ⎩⎪⎨⎪⎧y ≥f (x )＝14x ＋10， ①x ≥g (y )＝y ＋20 ②成立，双方均无失败的风险． 由①②，得y ≥14(y ＋20)＋10⇒4y －y －60≥0，∴(y －4)(4y ＋15)≥0. ∵4y ＋15＞0， ∴y ≥4. ∴y ≥16.∴x ≥y ＋20≥4＋20＝24. ∴x min ＝24，y min ＝16，即要使双方均无失败风险，甲公司至少要投入24万元，乙公司至少要投入16万元．。