上机教学二 线性代数综合实例
线性代数应用案例
线性代数应用案例线性代数是数学中的一个重要分支，它研究向量空间和线性映射的理论。
线性代数的应用非常广泛，涉及到物理学、工程学、计算机科学等多个领域。
本文将介绍线性代数在实际应用中的一些案例，以帮助读者更好地理解和应用线性代数知识。
1. 机器学习中的特征空间转换。
在机器学习领域，特征空间转换是一种常见的数据预处理方法。
通过线性代数中的矩阵运算，可以将原始的高维特征空间转换为新的低维特征空间，从而实现对数据的降维处理。
这种方法不仅可以减少数据的维度，还可以保留数据的主要特征，提高机器学习模型的训练效果。
2. 图像处理中的矩阵变换。
在图像处理领域，矩阵变换是一种常用的技术。
通过线性代数中矩阵的旋转、缩放、平移等运算，可以实现对图像的各种变换操作，如图像的旋转、放大缩小、平移等。
这些操作可以帮助我们实现图像的处理和增强，提高图像的质量和美观度。
3. 电路分析中的矩阵方程。
在电路分析中，线性代数的矩阵方程是一种常用的建模和求解方法。
通过建立电路元件的电压电流关系，并转化为矩阵方程组，可以利用线性代数的方法求解电路中各个节点的电压和电流。
这种方法不仅简化了电路分析的复杂度，还可以有效地分析和设计各种复杂电路。
4. 控制系统中的状态空间模型。
在控制系统领域，线性代数的状态空间模型是一种常用的描述和分析方法。
通过线性代数的矩阵运算，可以将控制系统的动态方程转化为状态空间模型，从而实现对控制系统的建模和分析。
这种方法不仅可以方便地进行系统的稳定性和性能分析，还可以实现对控制系统的设计和优化。
5. 金融工程中的投资组合优化。
在金融工程领域，线性代数的投资组合优化是一种常见的方法。
通过建立投资组合的收益和风险之间的线性关系，并利用线性代数的优化方法，可以实现对投资组合的优化配置。
这种方法不仅可以帮助投资者实现收益和风险的平衡，还可以提高投资组合的收益率和稳定性。
总结。
线性代数作为一门重要的数学学科，其在实际应用中发挥着重要的作用。
线性代数应用案例[精华]
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行列式的应用案例1 大学生在饮食方面存在很多问题，多数大学生不重视吃早餐，日常饮食也没有规律，为了身体的健康就需要注意日常饮食中的营养。
大学生每天的配餐中需要摄入一定的蛋白质、脂肪和碳水化合物，下表给出了这三种食物提供的营养以及大学生的正常所需营养（它们的质量以适当的单位计量）。
种食物的量。
解：设123,,x x x 分别为三种食物的摄入量，则由表中的数据可以列出下列方程组12323123365113337 1.1352347445x x x x x x x x ++=⎧⎪+=⎨⎪++=⎩ 利用matlab 可以求得x =0.27722318361443 0.39192086163701 0.23323088049177案例2 一个土建师、一个电气师、一个机械师组成一个技术服务社。
假设在一段时间内，每个人收入1元人民币需要支付给其他两人的服务费用以及每个人的实际收入如下表所示，问这段时间内，每人的总收入是多少？（总收入=实际收入+支付服务费）解：设土建师、电气师、机械师的总收入分别是123,,x x x 元，根据题意，建立方程组1232133120.20.35000.10.47000.30.4600x x x x x x x x x --=⎧⎪--=⎨⎪--=⎩ 利用matlab 可以求得x =1.0e+003 *1.256484149855911.44812680115274 1.55619596541787案例3医院营养师为病人配制的一份菜肴由蔬菜、鱼和肉松组成，这份菜肴需含1200cal热量，30g 蛋白质和300mg 维生素c ，已知三种食物每100g 中的有关营养的含量如下表，试求所配菜肴中每种食物的数量。
解：设所配菜肴中蔬菜、鱼和肉松的数量分别为123,,x x x 百克，根据题意，建立方程组12312312360300600120039630906030300x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩利用matlab 可以求得x =1.521739130434782.39130434782609 0.65217391304348矩阵的应用案例1 矩阵概念的引入（1）线性方程组11112211211222221122n n n n n n nn n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ 的系数(,1,2,,),(1,2,,)i j j a i j n b j n == 按原来的位置构成一数表11121121222212n n n n nnn a a a b a a a b a a a b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦该数表决定着上述方程组是否有解，以及如果有解，解是什么等问题，因而研究这个数表就很重要。
【精品】线性代数的应用案例
【精品】线性代数的应用案例
线性代数是数学中研究线性方程和线性变换的一个分支，它的发展极其广泛，应用场
景也非常多，各行各业的许多领域都应用了线性代数的方法。
在工业自动控制领域，线性代数可以用于研究影响工厂设备运行效率的各种参数，比
如温度、湿度等。
通过对矩阵的处理，可以发现某些参数对效率的影响，从而更好地进行
设备的智能优化。
在智能机器人领域，线性代数也可以用于智能机器人的机器人运动控制。
机器人运动
是机器人系统最基本的要素之一，需要依赖多维刚体线性变换理论来实现。
利用矩阵的运算，可以根据机器人的实时情况来计算转换后的坐标，实现机器人的姿态控制和运动控制。
在控制论领域，线性代数也可以用于研究和分析系统性能及稳定性。
可以利用矩阵等
数学工具来分析复杂的系统性能，并得出正确的结论。
此外，线性代数也可以用于数据
挖掘。
利用数学知识和矩阵运算，可以快速筛选大量数据，挖掘出具有学习价值的模型，
从而在机器学习等方面发挥重要作用。
此外，线性代数也应用于市场营销领域。
商家或企业可以利用矩阵运算，根据业绩和
消费者的口碑，筛选出最有竞争力的产品，决定最合理的营销策略，从而将营销成功率提
升到最高水平。
以上就是线性代数的应用案例，可见它的使用范围不仅仅是数学和计算机领域，已经
渗透到多方经济文化活动中，为各行各业提供了应用方法，现代社会发展得到了极大促进。
线性代数应用案例
行列式的应用案例1大学生在饮食方面存在很多问题，多数大学生不重视吃早餐，日常饮食也没有规律，为了身体的健康就需要注意日常饮食中的营养。
大学生每天的配餐中需要摄入一定的蛋白质、脂肪和碳水化合物，下表给出了这三种食物提供的营养以及大学生的正常所需营养（它们的质量以适当的单位计量）。
营养单位食物所含的营养所需营养食物1食物2食物3蛋白质36511333脂肪07 1.13碳水化合物52347445试根据这个问题建立一个线性方程组，并通过求解方程组来确定每天需要摄入的上述三种食物的量。
解：设123,,x x x 分别为三种食物的摄入量，则由表中的数据可以列出下列方程组12323123365113337 1.1352347445x x x x x x x x ++=⎧⎪+=⎨⎪++=⎩利用matlab 可以求得x =0.277223183614430.391920861637010.23323088049177案例2一个土建师、一个电气师、一个机械师组成一个技术服务社。
假设在一段时间内，每个人收入1元人民币需要支付给其他两人的服务费用以及每个人的实际收入如下表所示，问这段时间内，每人的总收入是多少？（总收入=实际收入+支付服务费）服务者被服务者实际收入土建师电气师机械师土建师00.20.3500电气师0.100.4700机械师0.30.4600解：设土建师、电气师、机械师的总收入分别是123,,x x x 元，根据题意，建立方程组1232133120.20.35000.10.47000.30.4600x x x x x x x x x --=⎧⎪--=⎨⎪--=⎩利用matlab 可以求得x =1.0e+003*1.256484149855911.448126801152741.55619596541787案例3医院营养师为病人配制的一份菜肴由蔬菜、鱼和肉松组成，这份菜肴需含1200cal热量，30g 蛋白质和300mg 维生素c ，已知三种食物每100g 中的有关营养的含量如下表，试求所配菜肴中每种食物的数量。
线性代数应用案例
线性代数应用案例案例1、指派问题某所大学打算在暑假期间对三幢教学大楼进行维修，该校让三个建筑公司对每幢大楼的修理费用进行报价承包，见下列表格（以1万元人民币为单位）报价数目（万元）教学1楼教学2楼教学3楼建一公司 13 24 10建二公司 17 19 15建三公司 20 22 21在暑假期间每个建筑公司只能修理一幢教学大楼，因此该大学必须把各教学大楼指派给不同的建筑公司，为了使报价的总和最小，应指定建筑公司承包哪一幢教学大楼？解这个问题的效率矩阵为这里有3！＝6种可能指派，我们计算每种指派(方案)的费用。
下面对6种指派所对应矩阵的元素打方框，并计算它们的和。
由上面分析可见报价数的范围是从最小值49万元到最大值62万元。
由于从两种指派方案（4）与（6）得到最小报价总数49万元，因此，该大学应在下列两种方案中选定一种为建筑公司承包的项目：或案例2、交通问题设有A,B,C三国，它们的城市,之间的交通联接情况（不考虑国内交通）如图：根据上图，A国和B国城市之间交通联接情况可用矩阵表示，其中同样，B国和C国城市之间的交通情况可用矩阵用P来表示矩阵M与N的乘积，那么可算出案例3、圆锥曲线方程平面上圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）的一般方程为这方程含有六个待定系数，用它们之中不为零的任意一个系数去除其它系数，实际上此方程只有五个独立的待定系数。
用与上面类似的方法，通过五个不同点：的一般圆锥曲线方程为：（9）例一天文学家要确定一颗小行星绕太阳运行的轨道，他在轨道平面内建立一个以太阳为原点的直角坐标系，在两坐标轴上取天文测量单位（1天文单位为地球到太阳的平均距离：9300万里）。
他五个不同时间对小行星作五次观测，得到轨道上五个点的坐标分别为（5.764,0.648）（6.286,1.202）（6.759,1.823）（7.168,2.562）与（7.408，3.360）。
由开普勒第一定律知小行星轨道为一椭圆，试建立它的方程。
线性代数应用案例
线性代数应用案例线性代数是数学中的一个重要分支，它的应用涵盖了各个领域，如物理、工程、计算机科学等。
在现实生活中，我们经常会遇到很多与线性代数相关的问题，下面将介绍一些线性代数在实际应用中的案例。
1. 图像处理。
图像处理是线性代数的一个重要应用领域。
在图像处理中，我们常常需要对图像进行旋转、缩放、平移等操作。
这些操作都可以通过矩阵运算来实现。
例如，对一个二维图像进行旋转操作，可以通过矩阵乘法来实现。
另外，图像的压缩和解压缩也离不开线性代数的知识，通过矩阵的奇异值分解等方法可以实现图像的压缩和还原。
2. 机器学习。
机器学习是近年来发展迅猛的领域，而线性代数在机器学习中起着至关重要的作用。
在机器学习中，我们通常会遇到大量的数据，而这些数据往往可以表示为矩阵的形式。
通过对这些矩阵进行运算，可以实现对数据的分析、分类、预测等操作。
例如，在线性回归模型中，我们通常会使用矩阵的转置、逆等运算来求解模型的参数。
3. 电路分析。
在电路分析中，线性代数也有着重要的应用。
电路可以表示为一个由电阻、电容、电感等元件组成的网络，而这些元件之间的关系可以通过线性方程组来描述。
通过对这些线性方程组进行求解，可以得到电路中电流、电压等参数的值，从而实现对电路的分析和设计。
4. 三维动画。
在三维动画的制作过程中，线性代数也扮演着重要的角色。
在三维空间中，我们需要对物体进行平移、旋转、缩放等操作，而这些操作都可以通过矩阵来实现。
另外，在三维动画中，我们还需要对光照、阴影等效果进行处理，而这些效果的计算也离不开线性代数的知识。
5. 数据压缩。
数据压缩是线性代数的又一重要应用领域。
在现实生活中，我们经常会遇到大量的数据，而这些数据往往会占用大量的存储空间。
通过线性代数的方法，我们可以对这些数据进行压缩，从而节省存储空间。
例如，通过矩阵的奇异值分解等方法，可以实现对数据的压缩和还原，从而达到节省存储空间的目的。
总之，线性代数在各个领域都有着重要的应用，它不仅为我们解决了许多实际问题，也为我们提供了丰富的数学工具和方法。
线性代数应用案例
土建师
电气师
机械师
土建师
0
0.2
0.3
500
电气师
0.1
0
0.4
700
机械师
0.3
0.4
0
600
解：设土建师、电气师、机械师的总收入分别是 元，根据题意，建立方程组
利用matlab可以求得
x =
1.0e+003 *
1.25648414985591
1.44812680115274
1.55619596541787
（1）乙读的最后一本书是甲读的第二本书；
（2）丙读的第一本书是丁读的最后一本书。
问四人的阅读顺序是怎样的？
解：设甲、乙、丙、丁最后读的书的代号依次为A,B,C,D,则根据题设条件可以列出初始矩阵
下面我们来分析矩阵中各位置的书名代号。已知每个人都读完了所有的书，所以并第二次读的书不可能是C,D。又甲第二次读的书是B，所以丙第二次读的书也不可能是B，从而丙第二次读的书是A，同理可依次推出丙第三次读的书是B，丁第二次读的书是C，丁第三次读的书是A，丁第一次读的书是B，乙第二次读的书是D，甲第一次读的书是C，乙第一次读的书是A，乙第三次读的书是C，甲第三次读的书是D。故四人阅读的顺序可用矩阵表示如下：
0.39192086163701
0.23323088049177
案例2一个土建师、一个电气师、一个机械师组成一个技术服务社。假设在一段时间内，每个人收入1元人民币需要支付给其他两人的服务费用以及每个人的实际收入如下表所示，问这段时间内，每人的总收入是多少？（总收入=实际收入+支付服务费）
服务者
被服务者
解：各企业产出一元钱的产品所需费用为
线性代数应用案例
线性代数应用案例之一：传球游戏（难度指数：**）
5个小朋友玩传球游戏。游戏规则：任何两个人之间都可以相互传球，但自己不能
给自己传。请用Matlab完成如下操作：
（1）把5个小朋友看成5个节点，构造这5个节点的邻接矩阵A；
（2）假设从第一个小朋友开始传球，经过四次传球后，球又回到第一个小朋友手
5
35
5
35
55
50
G
9
4
17
25
2
39
25
H
6
5
16
10
10
35
10
I
8
2
12
0
0
6
20
线性代数应用案例之六：药方配制问题
（1）某医院要买这7种特效药，但药厂的第3号药和第6号特效药已经卖完，请问能
否用其他特效药配制出这两种脱销的药品；
（2）现在该医院想用这9种草药配制三种新的特效药，表2中给出新药所需的成分
（1）根据数据矩阵画出字母的形状；
（2）取 =
1 0.25
作为变换矩阵对进行变换，并画出变换后的图形，和（1）
0
1
做个比较。
线性代数应用案例之四：交通流量分析（难度指数：***）
某城市有如图所示的9节点交通图，每一条道路都是单行道，图中数字表示某一个时段
该路段的机动车流量。若针对每一个十字路口，进入和离开的车辆数相等。请计算每两
每年有5%的市区居民搬到郊区，而有15%的郊区居民搬到市区。若开始有
700000人口居住在市区，300000人口居住在郊区，请分析：
（1）10年后市区和郊区的人口各是多少？
（2）30年后、50年后市区和郊区的人口各是多少？
“线性代数”课程实例教学实践
“线性代数”课程实例教学实践【摘要】大学数学利用实例教学是很有效的教学方法，研究线性代数利用实力教学的问题，对深化大学数学教育改革有积极的作用。
本文在对线性代数教学模式的利弊进行分析和归纳的同时，也提出一些应对措施，以优化线性代数教学形式，提高教学质量.【关键词】线性代数；实例教学“线性代数”是高校理工类及经管类专业最重要的公共基础课之一，目的在于培养学生严谨的抽象思维及逻辑思维。
使学生初步具有理解逻辑关系、研究抽象事物、认识并利用数形解决问题的能力。
因此，国内高校所有理工类和经管类专业均开设了不同水平不同层次的“线性代数”课程.数学作为理工及经管各学科共同使用的一门科学语言，其教学效果的好坏直接影响到其它后继课程的学习，甚至影响到学生一生的学习和工作，虽然“线性代数”在对学生进行素质教育的过程中起着十分重要作用，但是在各个高校内被普遍认为是一门“学习兴趣不高、学习效果不好”的课程。
在三本独立学院里，这种状况更是明显.传统的以教师“课堂讲授”为主的教学模式，已经远远不能适应社会对综合型、创新性人才的要求.所以，必须通过教学改革努力提高“线性代数”的教学质量.联合国科教文组织曾进行过一次广泛的调研，对课堂讲授、实例教学、视频教学等多种模式的教学方法进行效果对比，经过统计分析发现：在学生分析问题和解决问题能力提高及观念培养上，实例教学的效果排名第一；在传授知识和学生所得知识的留存度上，实例教学排名第二，可见，实例教学对当今培养应用技术型人才起着至关重要的作用，尤其是对于“高等数学”，“线性代数”，“概率论与数理统计”等重要的基础课程.下面我以“线性代数”教学为例，提出对“线性代数”教学的几点思考和认识.1.以实例引入概念增强学生的记忆留存度数学概念是数学思维的基本单位。
学生只有深刻理解数学概念，才能真正掌握线性代数的基本思想方法。
矩阵作为线性代数中最重要的概念之一。
对它教学形式不容忽视，下面笔者就以矩阵概念的引入为例，通过一个非常著名的“格尼斯堡七桥问题”来引起学生兴趣，18世纪在哥尼斯堡城（今俄罗斯加里宁格勒）的普莱格尔河上有7座桥，将河中的两个岛和河岸连结。
线性代数上机试验
例一、求向量组的最大无关组 • 例1 求下列矩Matlab中输入： a=[1,-2,-1,0,2;-2,4,2,6,-6;2,-1,0,2,3;3,3,3,3,4]; b=rref(a) 求得: b =
1.0000 0 0.3333 0 1.7778 0 1.0000 0.6667 0 -0.1111 0 0 0 1.0000 -0.3333 0 0 0 0 0
《线性代数》 —上机教学
上机界面
变量及数组输入
a=[1,2,3;4,5,6;7,8,0] %矩阵输入 （a为3阶方阵） b=[366;804;351] %列矩阵输入 c=[366;804;351]’ %行矩阵（转置）输入
特殊矩阵
随机矩阵rand、单位阵eye、全1阵ones、零矩阵zeros 对角阵diag、魔方阵magic
上机作业
验证：对于一般的方阵A,B,C,D，
A B A DB C C D
若A,C均为对角矩阵，则
A B A DB C C D
第二次上机作业
上机作业
随机生成4个5维向量，并进行正交化
上机作业
1、随机生成5阶矩阵 ，求其特征值及对应特征向量 2、随机生成5维列向量x，求矩阵
xx '
的特征值并观察结果，尝试得出一般性结论
• 所以
是一个极大无关组,且
3
解： 在Matlab中输入：
故 b1
2 2 4 2 a1 a2 a3 , b1 a1 a2 a3 . 3 3 3 3
4
例二、解线性方程组
• 直接解法 • 利用左除运算符的直接解法 • 对于线性方程组Ax=b，可以利用左除运 算符“\”求解： x=A\b
对于一般的方阵abcd上机作业abadbccd?若若ac均为对角矩阵则abadbccd?第二次上机作业上机作业随机生成4个5维向量并进行正交化上机作业1随机生成5阶矩阵求其特征值及对应特征向量2随机生成5维列向量x求矩阵xx的特征值并观察结果尝试得出一般性结论上机作业化简下列二次型并判断正定性222123112223332fxxxxxxxxxx?2212312132344fxxxxxxxxx??上机作业某城市共30万人从事农业工业商业工作假定此人数不变另外社会调查表明
计算机应用数学(线性代数二)
1 ( 3) 2
计算机应用数学
Applied mathematics
逆矩阵的求法
利用行初等变换求矩阵 A 的逆矩阵方法： 1、构造 n 2n 矩阵 [ A
E]
２、对 A 连续施以行变换，把 A 化为 E ，同时对 E 施以 完全相同的初等行变换，把 E 化为 A 的逆矩阵 A1
[ A E ] [ E A ]
x1 175 x 2 125
宁波职业技术学院数学教研室
计算机应用数学
Applied mathematics
思考：
上述解方程过程中，归结起来有以下三种变换： （1）对换矩阵两行的位置．
（2）用一个非零数遍乘矩阵的某一行． （3）将矩阵某一行乘以数 k 加到另一行．
宁波职业技术学院数学教研室
实数运算：
ac b
b 若 a 0，则c ＝ba 1 或 a
c＝a b
1
矩阵运算呢？
如何由
AC B
? C BA-1 或 C＝A1B
这两种形式都对还是某一种对？ 哪一种形式对？
宁波职业技术学院数学教研室
计算机应用数学
Applied mathematics
定义
设 A 为 n 阶方阵，如果存在 n 阶方阵，满足:
Applied mathematics
注意：
（ 1 ）A和B可逆，A B不一定可逆
1 （ 2 ）A B可逆时，（A B） A 1 B 1
宁波职业技术学院数学教研室
计算机应用数学
Applied mathematics
引例
用含盐5%与53%的两种盐水，混合配制成含盐25%的 盐水300千克，需要这两种盐水各多少千克？
线性代数应用案例
线性代数应用案例
线性代数在各个领域都有广泛的应用，其中学习的概念和编程技术为许多各行各业的专业人士所借鉴。
一个经典的案例就是货物调配问题，利用线性代数可以实现该目标。
货物调配问题是将商品从源地A销售到目标地B，需要实现最高的经济效益，从而达到尽可能多地赚取利润。
让我们先从一个简单场景开始，其中只有两个货物，假定每件货物一次最多只能装入三千公斤，此外，A 和B 地还拥有不同的价格标准。
这就是一个课程中讨论的典型问题，它被归类为线性规划或最优化问题，由目标函数和约束函数组成。
课程中讲到，我们可以使用矩阵相乘来解决这个问题，计算最优解，从而实现最大经济效益。
具体来说，我们首先通过线性规划问题来表达变量的关系，首先使用矩阵的乘法在一起，这里使用具有两个行两个列的矩阵A来代表货物A和B的单价，使用同样大小的矩阵X来代表这两种货物的数量，此外，使用具有一个行两列的矩阵 B 来代表容量的限制。
之后，根据乘法规则，可以将这些矩阵相乘，即，AX = B ，最终得到最优解，也就是最大经济效益的解决方案。
从上面这个例子中可以看出，线性代数在实际应用中非常有用，它可以帮助我们快速解决货物调配问题，从而达到最大经济效益。
对于其他类似的线性优化问题，也可以利用矩阵相乘来便捷地解决，从而为企业提升经济收入水平。
《线性代数》上机教学一 线性代数中的基本运算
23
三、上机作业（一） 上机作业（
1. 试分别生成 4 阶的单位阵和 阶均匀分布的随机矩阵； 阶的单位阵和5 阶均匀分布的随机矩阵； 2. 生成列向量 x=[1, 3, 5, 7, 9, … , 15]； ； 3. 设A=[2 1 2 4; 1 2 0 2; 4 5 2 0; 0 1 1 7]; B=[12 1 2 4; 11 2 0 2; 14 5 2 0; 10 1 1 7]; 求A+B，A-B，A*B，A\B，5*B，A^5，A.*B， A.^5及 ， ， ， ， ， ， ， 及 矩阵A的行列式 特征值，特征向量，秩和行最简形. 的行列式， 矩阵 的行列式，特征值，特征向量，秩和行最简形 4. 试分别生成 阶矩阵 和4阶矩阵 ；求A+B，A-B，A*B， 试分别生成4阶矩阵 阶矩阵A和 阶矩阵 阶矩阵B； ， ， ， A\B，5*B，A^2， A.*B， A.^2及矩阵 的行列式，特征 及矩阵A的行列式 ， ， ， ， 及矩阵 的行列式， 特征向量，秩和行最简形. 值，特征向量，秩和行最简形 注意：（ 题和4题选做 ：（3题和 题选做1题 注意：（ 题和 题选做 题）
22
14、矩阵的迹和模 、
求迹 trace(A)：主对角线元素和； ：主对角线元素和； 求模norm(A)：特征值的最大绝对值； 求模 ：特征值的最大绝对值； 例：>> A=[4 1 2 4; 1 2 0 2; 10 5 2 0; 0 1 1 7] >> tr= trace(A) >> n= norm(A)
4
二、向量与矩阵运算
1、矩阵的生成 、
（1） 直接输入 ）
例：>> A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]
线性代数应用举例16816-37页文档资料
0
5
14
0
7
9
25
5
15 47 35
0
1
2
25
5
33
6
25
5
35
5
35 55 50
9
4
17 25
2
39 25
6
5
16 10 10 35 10
8
2
12
0
0
6
20
问题及分析思路
• （1）某医院要购买这 7 种特效药，但药厂的第 3号 和第 6 号特效药已经卖完，请问能否用其它特效药 配制出这两种脱销的药品。
A
0
0
1
1
0 0 0 0
1
1
0
0
转机航线的数学模型
其中，第 i 行描述从城市 i 出发，可以到达各个城市的 情况，若能到达第 j 个城市，记 A(i,j)=1，否则 A(i,j)=0， 规定 A(i,i)=0 (其中 i=1,2,3,4)。如第 2 行表示：从城市 2 出发可以到达城市 3 和城市 4 而不能到达城市 1 和 2。
At2=A+A^2+A^3
例 4 行列式的几何应用
二阶行列式的几何意义是两个二维向量构成的平行 四边形的面积，三阶行列式的几何意义是三个 3 维 向量构成的平行六面体的体积。如下图所示，用 MATLAB 软件来实现面积和体积的运算。
y u
v
v
x
O
w u
平行四边形面积计算
• 由向量 ua1,b1和va2,b2所构成的平行四
0 0 0 0
2
2
《线性代数》一些生活例子教学资料
（２）若BC路段封闭，那么各路段的车 流量是多少呢？
BC段封闭将导致x6=t3=0,所以各路段 的车流量是：
其中t1,t2 非负整数
且 t1 350,t2 1500例２Fra bibliotek课堂练习：
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解（１）如图所示，设沿这些道路每小时车流 量分x1,x2,x3,x4,x5,x6,
鉴于出入每一个路口 的车流量是相等的， 于是有
这就给出6个未知量4个方程构成的线性方程组：
所提的问题就归结为求解上述线性方程组。
解
对应于系数矩阵的秩，即 秩（A）＝3
对应于增广矩阵的秩， 即秩（A）＝3
又由题意知，各个变量取值必须是 非负整数，于是t1,t2,t3必须是非负整数， 且满足条件：
《线性代数》一些生活例子
例１：如下图是某城市某区域单行道路网.据统 计进入交叉路口A 每小时车流量为500辆，而从 路 口 B 和 C 出 来 的 车 流 量 分 别 为 每 小 时 350 辆 和 150辆.（１）求出沿每一个道路每小时的车流量.
（２）若BC路段封闭，那么各路段的车流量是多少呢？
Matlab 使用之线性代数综合实例
一、上机目的1、培养学生运用线性代数的知识解决实际问题的意识、兴趣和能力；2、掌握常用计算方法和处理问题的方法;二、上机内容1、求向量组的最大无关组；2、解线性方程组；三、上机作业1、设A=[2 1 2 4; 1 2 0 2; 4 5 2 0; 0 1 1 7]；求矩阵A列向量组的一个最大无关组.>> A=[2 1 2 4;1 2 0 2;4 5 2 0;0 1 1 7]A =2 1 2 41 2 0 24 5 2 00 1 1 7>> rref(A)ans =1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1所以矩阵A的列向量组的一个最大无关组就是它本身；2、用Matlab解线性方程组（1）>> A=[2 4 -6;1 5 3;1 3 2]A =2 4 -61 5 31 3 2>> b=[-4;10;5]b =-4105>> x=inv(A)*bx =-3.00002.00001.0000>> B=[3 41 -62;4 50 3;11 38 25]B =3 41 -624 50 311 38 25>> c=[-41;100;50]c =-4110050>> x=inv(B)*cx =-8.82212.58901.94653、（选作）减肥配方的实现设三种食物每100克中蛋白质、碳水化合物和脂肪的含量如下表，表中还给出了20世纪80年代美国流行的剑桥大学医学院的简捷营养处方。
现在的问题是：如果用这三种食物作为每天的主要食物，那么它们的用量应各取多少才能全面准确地实现这个营养要求？四、上机心得体会通过此次上机实验，我进一步的认识到了Matlab软件的功能。
Matlab 操作简单、功能强大，它使一些复杂的线性代数问题的计算变得更加简单，有效地提高了人们计算的效率。
而且把一些复杂的实际问题转化为矩阵后再利用Matlab求解既简单有快捷。
线性代数应用举例1
例3 求解下列线性方程组，并画出三维图形来表示解 的情况。
x1 5 x 2 x3 1 （1） 3x1 3x2 x3 2 ； 2 x 0 .5 x x 3 2 3 1
8 x1 x 2 x3 0 （2） 2 x1 x 2 x3 0 ； 3 x x x 0 1 2 3 5 x 2 x3 8 （4） 7 x 2 x3 10 x3 15
化简为标准的矩阵形式如下：
4 1 1 0
1 1 0 T1 30 4 0 1 T2 50 0 4 1 T3 60 1 1 4 T4 80
在MATLAB命令窗口输入： A=[4,-1,-1,0; -1,4,0,-1; -1,0,4,-1; 0,-1,-1,4]; b=[30; 50; 60; 80]; U=rref([A,b])
线性代数中的几何背景
• • • • • • 一、方程及方程组的几何意义 二、行列式的几何意义 三、平面上线性变换的几何意义 四、二维矩阵特征值的几何意义 五、向量组的线性相关性的几何意义 六、二次型的正定性及其所对应的 二次曲面 f f x1 , x2
一、方程及方程组的几何意义
二元一次方程在几何上表示的是一根直线，则两个二元一次方 程组在几何上则表示两根直线的位置关系：
5 x1 7 x 2 x3 5 （3） x1 4 x 2 x3 12 ； x 4 x x 25 2 3 1
利用MATLAB的M文件编辑器绘图可得：
图3 三元非齐次线性方程组解的几何意义
从图3中可以看出： 方程组（1）的解为三个平面的交点，故该方程组有 唯一解； 方程组（2）的三个平面刚好相交于同一条直线，这 个齐次线性方程组有无穷多解，即解空间是一维的。 方程组（3）的三个平面没有共同的交点。即方程组 无解。 方程组（4）也无解。
线性代数的应用案例
已知不同商店三种水果的价格、D 「10|(4 5迅10卫.10.152.303.050.20 =」1.652.100.10 」 -此结果说明，人员A 在商店A 购买水果的费用为 2.30，人员A 在商店B 购买水果的费用为3.50，人员B 在商店A 购买水果的费用为 此结果说明，城镇案例一不同人员需要水果的数量以及不同城镇不同人员的数目的矩阵:商店A 商店B苹果- 0.10 0.15] 橘子 0.15 0.20梨' 0.10 0.10一苹果橘子梨人员A 5 10 3 人员B ||45 5人员A 人员B城镇 1 1000 500 城镇 2 1(2000 1000第一个矩阵为A ，第二个矩阵为 B ,而第三个矩阵为 C 。
(1) 求出一个矩阵，它能给出在每个商店每个人购买水果的费用是多少?(2) 求出一个矩阵，它能确定在每个城镇每种水果的购买量是多少？解：(1 )设该矩阵为D ，则D=BA ，即:1.65，人员B 在商店B 购买水果的费用为2.10。
(2)设该矩阵为E ，贝U E=CB ，即:1000 500 5 10 3七000 1000_|〔4 5 5- 7000 12500 5500 *4000 25000 11000一1苹果的购买量为7000，城镇1橘子的购买量为12500，城镇1梨的购 买量为5500 ;城镇2苹果的购买量为14000，城镇2橘子的购买量为 25000，城镇2梨的 购买量为11000。
题后说明：这是一个矩阵的具体应用问题。
其实很显然在没有矩阵的知识前，我们也可以解出这一简单的问题。
此题的一般提法是：现有两个城镇（城镇1和城镇2）;城镇1中有人员A（1000人）和人员B（500人），城镇2中有人员A（2000人）和人员B（1000人）；人员A需苹果、橘子和梨分别5、10和3，而人员B需苹果、橘子和梨分别4、5和5;现不妨假设每个城镇中都有两个商店（商店A和商店B），每个商店内的苹果、橘子和梨的价格均不相同。
上机实习二
上机实习二例1已知 ⎪⎩⎪⎨⎧=+--=-+-=--131581079321321321x x x x x x x x x方程组的准确解为x *= [1，1，1]T，试用迭代法产生向量序列逐步逼近准确解。
解：（1）雅可比（Jacobi ）迭代A=[9 -1 -1;-1 10 -1;-1 -1 15];b=[7;8;13]; x=[0;0;0];y=x; for k=1:4for i=1:3s=0;t=x(i);x(i)=0; for j=1:3s=s+A(i,j)*x(j); end x(i)=t;y(i)=(b(i)-s)/A(i,i); ender=norm(x-y ,1);x=y end（2）塞德尔（Seidel ）迭代A=[9 -1 -1;-1 10 -1;-1 -1 15]; b=[7;8;13];x=[0;0;0]; er=1;k=0; while er>0.01er=0;k=k+1; for i=1:3s=0;t=x(i);x(i)=0; for j=1:3s=s+A(i,j)*x(j); endx(i)=(b(i)-s)/A(i,i); er=max(abs(x(i)-t),er); end xend例2 平面温度场的计算问题。
设有一矩形均匀薄板，它的两面是绝热的，如果四条边界线上温度为已知，它们分别为 10℃、15℃、20℃、18℃（左、上、右、下）.经过一段时间后，板内的各点温度达到平衡状态而不再变化，求板内平衡温度的分布。
解 设矩形域上温度函数为 u x y (,).记矩形域为G = {( x ，y ) | 0 ≤ x ≤3，0≤ x ≤2}首先，取 h = 0.5，令 x 0 = 0，y 0 = 0 .x i = x 0 + i h ，i = 0，1，…，6 y j = y 0 + j h ，j = 0，1，…，4两组相互垂直的直线将矩形区域剖分成正方形网格。
直线簇的交点（x i ，y j ）称为网格点或结点。
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例2 用LU分解求解例1中的线性方程组. 命令如下： A=[2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4]; b=[13,-9,6,0]'; [L,U]=lu(A); x=U\(L\b) 或采用LU分解的第2种格式，命令如下： [L,U ,P]=lu(A); x=U\(L\P*b)
2．利用矩阵的分解求解线性方程组
矩阵分解是指：根据一定的原理用某种算法将一 个矩阵分解成若干个矩阵的乘积.常见的矩阵分解有 LU分解、QR分解、Cholesky分解，以及Schur分 解、Hessenberg分解、奇异分解等.
6
(1)、LU分解
(i)、矩阵的LU分解就是将一个矩阵表示为一个交换下三角 矩阵和一个上三角矩阵的乘积形式.线性代数中已经证明， 只要方阵A是非奇异的，LU分解总是可以进行的. (ii)、 MATLAB提供的lu函数用于对矩阵进行LU分解，其调 用格式为： [L,U]=lu(X)：产生一个上三角阵U和一个变换形式的下三角 阵L(行交换)，使之满足X=LU.注意，这里的矩阵X必须是 方阵. [L,U,P]=lu(X)：产生一个上三角阵U和一个下三角阵L以及 一个置换矩阵P，使之满足PX=LU.当然矩阵X同样必须是方 阵. (iii)、实现LU分解后，线性方程组Ax=b的解x=U\(L\b)或 x=U\(L\Pb)，这样可以大大提高运算速度.
理学院
Science College
《线性代数》 —上机教学
西南石油大学 Southwest Petroleum University
二
《线性代数》综合实例
1
上机目的：
一、培养学生运用线性代数的知识解决实际 问题的意识、兴趣和能力 ；
二、掌握常用计算方法和处理问题的方法.
上机内容：
一、求向量组的最大无关组；
二、解线性方程组；
三、解决实际问题举例.
上机软件：Matlab
2
一、求向量组的最大无关组 • 例1 求下列矩阵列向量组的一个最大无关组.
• • • •
解：在Matlab中输入： a=[1,-2,-1,0,2;-2,4,2,6,-6;2,-1,0,2,3;3,3,3,3,4]; b=rref(a) 求得: b =
3、请同学们自己找一个实际问题，建立线性方程组，然后 用Matlab求解. 注意：（3题选做） 祖建 2007-10-15
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1.0000 0 0.3333 0 1.7778 0 1.0000 0.6667 0 -0.1111 0 0 0 1.0000 -0.3333 0 0 0 0 0
• 所以
是一个极大无关组,且
3
解： 在Matlab中输入：
故 b1
2 3
a1
2 3
a 2 a 3 , b1
4 3
a1 a 2
x1 x 2 x 3 23 8 x1 10 x 2 5 x 3 149 2 x 0 . 6 x 1 . 4 x 30 1 2 3
x1 , x 2 , x 3
用Matlab解方程组: A=[1 1 1;8 10 5;2 0.6 1.4];b=[23;149;30];
解得： x= -66.5556 25.6667 -18.7778 26.5556
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(2) QR分解 对矩阵X进行QR分解，就是把X分解为一个正交 矩阵Q和一个上三角矩阵R的乘积形式.QR分解只 能对方阵进行.MATLAB的函数qr可用于对矩阵 进行QR分解，其调用格式为： [Q,R]=qr(X)：产生一个一个正交矩阵Q和一个上 三角矩阵R，使之满足X=QR. [Q,R,E]=qr(X)：产生一个一个正交矩阵Q、一个 上三角矩阵R以及一个置换矩阵E，使之满足 XE=QR. 实现QR分解后，线性方程组Ax=b的解: x=R\(Q\b)或x=E(R\(Q\b)).
X=inv(A)*b （X=A\b）
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X= 3.0000 5.0000 15.0000
结果分析: 方程组的解为: x1 3 , x 2 5 , x 3 15 , 即甲、乙、丙三种化肥分别需3kg、5kg、15kg.
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四、上机作业
1、设A=[2 1 2 4; 1 2 0 2; 4 5 2 0; 0 1 1 7]; 求矩阵A列向量组的一个最大无关组. 2、用Matlab解线性方程组
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例3 用QR分解求解例1中的线性方程组. 命令如下： A=[2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4]; b=[13,-9,6,0]'; [Q,R]=qr(A); x=R\(Q\b) 或采用QR分解的第2种格式，命令如下： [Q,R,E]=qr(A); x=E*(R\(Q\b))
2 3
a3 .
4
二、解线性方程组
• 一、直接解法 • 利用左除运算符的直接解法 • 对于线性方程组Ax=b，可以利用左除运 算符“\”求解： x=A\b
例1 用直接解法求解下列线性方程组. 命令如下： A=[2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4]; b=[13,-9,6,0]'; x=A\b
2 x1 4 x 2 6 x 3 4 x 1 5 x 2 3 x 3 10 x 3x 2x 5 2 3 1
3 x1 4 1 x 2 6 2 x 3 4 1 4 x1 5 0 x 2 3 x 3 1 0 0 1 1 x 3 8 x 2 5 x 5 0 1 2 3
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三、解决实际问题举例
例1 有甲、乙、丙三种化肥,甲种化肥 每千克含氮70g、磷8g、钾2g;乙种化肥每千克含
氮64g、磷10g、钾0.6g; 丙种化肥每千克含氮70g 磷5g、钾1.4g.若把此三种化肥混合,要求总重量
23kg且含磷149g、钾30g,问三种化肥各需多少千克?
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解: 设甲、乙、丙三种化肥分别需 千克,依题意得方程组: