多元函数积分的分部积分法

多元函数积分的分部积分法
宁荣健;周玲
【摘要】给出了曲线积分,曲面积分,二重积分以及三重积分的分部积分法,丰富了分部积分法的理论和方法.
【期刊名称】《大学数学》
【年(卷),期】2018(034)003
【总页数】9页(P59-67)
【关键词】曲线积分;曲面积分;二重积分;三重积分;分部积分法
【作者】宁荣健;周玲
【作者单位】合肥工业大学数学学院,合肥230009;合肥工业大学数学学院,合肥230009
【正文语种】中文
【中图分类】O13;O172.2
1 问题的提出
在定积分中，有
定理1(定积分分部积分法) 设函数u=u(x)与v=v(x)在[a，b]上均具有连续导数，则
u(x)v′(x)dx=u(x)v(x)-u′(x)v(x)dx，
或
u(x)dv(x)=u(x)v(x)-v(x)du(x)，
简记为udv=uv-vdu.
对于多元函数的曲线积分，曲面积分，二重积分以及三重积分，是否也有分部积分法？本文对此作出初步的探讨.
2 主要结论
定理2(对坐标的平面曲线积分分部积分法) 设L为平面有向光滑曲线，起点为A，终点为B.函数u=u(x，y)，v=v(x，y)在L上具有一阶连续偏导数，则
即
(1)
特别地，如果L为封闭曲线，则
∮Luv′xdx+uv′ydy=-∮Lvu′xdx+vu′ydy，
即
∮Ludv=-∮Lvdu.
(2)
证由于
d(uv)=vdu+udv=v(u′xdx+u′ydy)+u(v′xdx+v′ydy)，
故
u(v′xdx+v′ydy)=duv-v(u′xdx+u′ydy)，
两边同时在L上积分，得
特别地，如果L为封闭曲线，则起点A与终点B重叠，有uv=0，故∮Ludv=-
∮Lvdu.
同理可得
定理3(对坐标的空间曲线积分分部积分法) 设Γ为空间有向光滑曲线，起点为A，终点为B.函数u=u(x，y，z)，v=v(x，y，z)在Γ上具有一阶连续偏导数，则
即
(3)
特别地，如果Γ为封闭曲线，则
∮Γuv′xdx+uv′ydy+uv′zdz=-∮Γvu′xdx+vu′ydy+vu′zdz，
即
∮Γudv=-∮Γvdu.
(4)
例1 计算曲线积分其中L为y=(x-2)2上从点A(2，0)到点B(1，1)的一段有向曲线.
解法一
解法二取代入⑴式得
从而有
例1的解法一中运用了定积分的分部积分法，解法二中运用了对坐标的平面曲线积分分部积分法，解题思想相通，后者略显简洁.
例2 设Γ为以点A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)为顶点的三角形区域的有向边界曲线函数f(t)具有一阶连续导数，证明
∮Γf′(xyz)(xyzdx+x2zdy+x2ydz)=0.
证记I=∮Γf′(xyz)(xyzdx+x2zdy+x2ydz)，则有
I=∮Γxf′(xyz)(yzdx+xzdy+xydz)=∮Γxdf(xyz).
由定理3中的⑷式，I=-∮Γf(xyz)dx.再有轮换对称性知I=-∮Γf(xyz)dy=-
∮Γf(xyz)dz，所以
由于Γ位于平面x+y+z=1上，故I=0，即
∮Γf′(xyz)(xyzdx+x2zdy+x2ydz)=0.
定理4(对坐标的空间曲面积分第一分部积分法) 设Σ为有向光滑曲面，其边界曲线为Γ，且Σ的侧和Γ的方向符合右手法则，函数u=u(x，y，z)，v=v(x，y，z)在Σ连同Γ上具有一阶连续偏导数，则
即
(5)
即
(6)
即
(7)
特别地，如果Σ为有向光滑封闭曲面，则
即
(8)
(9)
即
(10)
证此处只证明⑸和⑻，同理可证(6)，(7)，(9)和(10).由斯托克斯公式得
故
利用外微分的性质知dx∧dx=0，dy∧dx=-dx∧dy，故
dv∧dx=(v′xdx+v′ydy+v′zdz)∧dx=v′ydy∧dx+v′zdz∧dx=v′zdz∧dx-v′ydx∧dy，即为
dvdx=v′zdzdx-v′ydxdy.
同理有dudx=u′zdzdx-u′ydxdy，因此(5)也可记为
如果Σ为有向光滑封闭曲面，则Γ退化为一点，故∮Γuvdx=0，所以
例3 设曲面Σ：z=1-x2-y2(z≥0)，取上侧，f具有一阶连续导数，证明
证Σ的边界曲线为从z轴正向向原点看去，Γ取逆时针方向.
取u=f(x3)，v=z，并注意到∮Γzf(x3)dy=0，代入(6)式得
又由z=1-x2-y2得故
所以
定理5(对坐标的空间曲面积分第二分部积分法) 设Σ为有向光滑曲面，其边界曲线为Γ，且Σ的侧和Γ的方向符合右手法则，函数u=u(x，y，z)，v=v(x，y，z)在Σ连同Γ上具有一阶连续偏导数，则
即
(11)
特别地，如果Σ为有向光滑封闭曲面，则
(12)
证令w=udv，利用外微分运算得
dw=du∧dv=(u′yv′z-u′zv′y)dydz+(u′zv′x-u′xv′z)dzdx+(u′xv′y-u′yv′x)dxdy.
再由斯托克斯公式
∮Γudv=∮Γuv′xdx+uv′ydy+uv′zdz
即得
如果Σ为有向光滑封闭曲面，则Γ退化为一点，故∮Γudv=0，所以
若利用定理3中的结论∮Γudv=-∮Γvdu，(11)式也可表示为
例4(1996年全国研究生入学考试试题改编) 计算曲面积分其中Σ：z=x2+y2 (0≤z≤1)，取上侧.
解法一补Σ1：z=1，x2+y2≤1，取下侧，记Ω为Σ与Σ1所围空间区域.
由高斯公式及三重积分的柱面坐标计算公式得
又
所以
解法二Σ的边界曲线Γ为从z轴正向向原点看去，Γ取逆时针方向，其参数方程为
x=cosθ，y=sinθ，z=1，θ:0→2π.
取u=y，v=2xz，代入(11)式得
所以
在定理4和定理5中，令z=0，Σ取上侧，记Σ为D，Γ取逆时针方向，记Γ为L.并将u=u(x，y，z)，v=v(x，y，z)分别替换为u=u(x，y)，v=v(x，y)，则即得下列定理6和定理7.
定理6(二重积分第一分部积分法) 设D为平面有界闭区域，其边界为分段光滑曲线L，且L取逆时针方向，函数u=u(x，y)，v=v(x，y)在D连同L上具有一阶连续偏导数，则
(13)
(14)
定理7(二重积分第二分部积分法) 设D为平面有界闭区域，其边界为分段光滑曲线L，且L取逆时针方向，函数u=u(x，y)，v=v(x，y)在D连同L上具有一阶连续偏导数，则
(15)
由于∮Ludv=-∮Lvdu，上式也可以写为
例5(2011年全国研究生入学考试试题) 已知函数f(x,y)具有二阶连续偏导数，且
其中D={(x,y)|0≤x≤1, 0≤y≤1}，计算二重积分
解法一
注意到在积分xyf″xy(x,y)dy中要把x看成常数，所以
xyf″xy(x，y)dy =xydf′x(x，y)=xyf′x(x，y)-xf′x(x，y)dy
=-xf′x(x，y)dy，
得
同理在积分xf′x(x，y)dx中要把y看成常数，所以
故
解法二令u=xy，v=f′x(x，y)，记L为D的边界曲线，取逆时针方向，故由(13)式得
由于L由L1：y=0，x:0→1; L2：x=1， y：0→1;L3:y=1，x:1→0和L4:x=0，y:1→0组成，且f′x(x，1)=0，可得进而∮Lxyf′x(x，y)dx=0，故
再令u=x，v=f(x，y)，由(14)式得
注意到f(1，y)=0，同理可得∮Lxf(x，y)dy=0，所以
例6 计算二重积分其中D:x2+y2≤1.
解法一令则且将D:x2+y2≤1变换为D′:u2+v2≤1.
利用二重积分的换元法及二重积分与其积分变量的符合表示无关的性质得
所以I=0.
解法二D的边界为L:x2+y2=1，取逆时针方向.令由(15)式得
由轮换对称性知
又∮Lln(x2+y2+1)dey-x=ln2∮Ldey-x=0，所以I=0.
定理8(三重积分第一分部积分法) 设Ω为空间有界闭区域，其边界为分片光滑曲面Σ，且Σ取外侧，函数u=u(x，y，z)，v=v(x，y，z)，w=w(x，y，z)在Ω连同Σ上具有一阶连续偏导数，则
(16)
(17)
(18)
证由高斯公式知
即得(16)，同理可得(17)和(18).
例7 计算三重积分其中
解Ω的边界Σ由Σ1，Σ2和Σ3三部分组成，其中Σ1:z=0(x2+y2≤1)，取下侧，Σ2:x2+y2=1 (0≤z≤1)，取外侧；取上侧.
取则令有v′z=1，将上述表达式代入(18)式得
的体积.其中
Ω的体积
所以
定理9(三重积分第二分部积分法) 设Ω为空间有界闭区域，其边界为分片光滑曲面Σ，且Σ取外侧，函数u=u(x，y，z)，v=v(x，y，z)，w=w(x，y，z)在Ω连同Σ上具有一阶连续偏导数，则
(19)
证利用外微分的运算
再利用高斯公式，得
所以
注由于故(19)式还有其它表示形式.
例8 计算其中Ω是由球面x2+y2+z2=1和三个坐标面平面所围成的位于第一卦限中的空间区域.
解法一利用球面坐标计算得
其中
所以
解法二在(19)中令u=x，v=y，w=e(x2+y2+z2)z2，得其中Σ为Ω的边界曲面，并取外侧.将Σ分为下列四个部分：
Σ1：x=0，y2+z2≤1，y≥0，z≥0，取后侧；Σ2：y=0，x2+z2≤1，x≥0，z≥0，取左侧；
Σ3：z=0，x2+y2≤1，x≥0，y≥0，取下侧；Σ4：x2+y2+z2=1，x≥0，y≥0，
z≥0，取上侧.
故其中
所以
[参考文献]
【相关文献】
[1] 宋国柱，任福贤，许绍溥，姜东平.数学分析教程(下册)[M].南京：南京大学出版社，1992:331-345.
[2] 朱士信，唐烁，宁荣健，任蓓，殷志强.高等数学(上)[M].北京：高等教育出版社，2015:212-219.
[3] 朱士信，唐烁，宁荣健，任蓓，郑靖波.高等数学(下)[M].北京：高等教育出版社，2015:127-252.。