高考数学考点通关练第五章不等式推理与证明算法初步与复数40算法初步试题理05230176
高考数学 考点通关练 第五章 不等式、推理与证明、算
总的费用 y＝80x0＋x8≥2
80x0·8x＝20，
当且仅当800＝ x 时取等号，得 x8
x＝80(件)，故选
B.
11．设 a>b>c>0，则 2a2＋a1b＋aa1－b－10ac＋25c2 的
最小值是(
)
A．2
B．4
C．2 5
D．5
解析 2a2＋a1b＋aa1－b－10ac＋25c2 ＝2a2＋aab－ab－ ＋bb－10ac＋25c2
其全程的平均时速为 v，则(
)
A．a<v< ab a＋b
C. ab<v< 2
B．v＝ ab D．v＝a＋ 2 b
解析 设甲乙两地相距为 s，
则
v＝s＋ 2s s ab
＝1＋2 1 ab
.
由于 a<b，∴1a＋1b<2a，∴v>a.
又1a＋1b>2
1， ab
∴v< ab.故 a<v< ab，故选 A.
B．(1，－2)
C．(1,1)
D．(0,2)
解析 y＝x＋x＋ 121＋1＝(x＋1)＋x＋1 1≥2，当 x＝0 时取
最小值．
5．设 0<a<b，则下列不等式中正确的是(
)
A．a<b<
a＋b ab< 2
B．a<
a＋b ab< 2 <b
C．a<
a＋b ab<b< 2
a＋b D. ab<a< 2 <b
M＝1a－11b－11c
－1，且
a＋b＋c＝1，a，b，c
∈(0，＋∞)，则 M 的取值范围是_[_8_， __＋__∞ __)_．
高考数学考点通关练第五章不等式推理与证明算法初步与复数34一元二次不等式及其解法课件理2017052301164
11．设函数 f(x)＝ x2－ax＋a＋3，g(x)＝ax－2a，若存在 x0∈R ， 使得 f(x0 )<0 和 g(x0)<0 同时成立， 则实数 a 的取值范 围为( ) B．(－∞，－2)∪(6，＋∞) A． (7，＋∞ )
C．(－∞，－2) D．(－∞，－2)∪(7，＋∞) 解析 由 f(x)＝ x2－ ax＋ a＋ 3 知 f(0)＝ a＋3，f(1)＝ 4， 又
1 ∵－ 2， 是方程 ax2＋bx－ 2＝ 0 的两根， 4
a＝ 4， ∴ b＝ 7，
－ 2 1 1 ＝－2× ＝－ ， a 4 2 ∴ b 7 － ＝－ ， 4 a
∴ ab＝28.
x ，x≥0， 3． 已知 f(x)＝ 2 2 － x ＋3 x，x<0，
－2，x>0， 5． 设函数 f(x)＝ 2 x ＋bx＋c， x≤0，
若 f(－4)＝f(0)， f(－ )
2)＝0，则关于 x 的不等式 f(x)≤1 的解集为( A． (－∞，－3]∪[－1，＋∞ ) B．[－3，－1] C．[－3，－1]∪(0，＋∞ ) D．[－3，＋∞)
6．不等式 |x2－ x|<2 的解集为( A． (－1,2) C．(－2,1)
解析
)
B．(－1,1) D．(－2,2)
由 |x2－ x|<2，得－2<x2－ x<2， ① 由①，得－ 1<x<2.由②，得 x∈ R. ②
2 x － x<2， 即 2 x － x>－ 2.
所以解集为 (－1,2)，故选 A.
则不等式 f(x)<f(4)的解
集为(
) B．{x|x<4} D．{x|x<－3}
2021届高考数学一轮复习第一部分考点通关练第五章不等式推理与证明算法初步与复数考点测试40算法初步
考点测试40 算法初步高考概览本考点是高考必考知识点，常考题型为选择题、填空题，分值5分，中、低等难度考纲研读1.了解算法的含义，了解算法的思想2．理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件、循环3．了解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义一、基础小题1．图中所示的程序的作用是( )INPUT A，BX＝AA＝BB＝XPRINT A，BENDA．输出两个变量A和B的值B．把变量A的值赋给变量B，并输出A和B的值C．把变量B的值赋给变量A，并输出A和B的值D．交换两个变量A和B的值，并输出交换后的值答案 D解析模拟程序的运行，可得该程序的作用是交换两个变量A和B的值，并输出交换后的值．故选D.2．为了计算S＝1－12＋13－14＋…＋12019－12020，设计如图所示的程序框图，则在空白框中应填入( )A ．i ＝i ＋1B ．i ＝i ＋2C ．i ＝i ＋3D ．i ＝i ＋4答案 B解析 由模拟程序的运行过程知，该程序运行后输出的是S ＝N －T ＝1＋13＋ (12019)12－14－…－12020＝1－12＋13－14＋…＋12019－12020；累加步长是2，则在空白框中应填入i ＝i ＋2.故选B.3．执行如图所示的程序框图，则输出的S ＝( )A ．25B ．9C ．17D ．20答案 C解析 初始条件为S ＝1，T ＝0，n ＝0，按照程序框图依次执行，可得S ＝9，n ＝2，T ＝0＋4＝4；S ＝17，n ＝4，T ＝4＋16＝20>S ，退出循环，输出S ＝17.故选C.4．执行下边的程序框图，如果输出的y 值为1，则输入的x 值为( )A ．0B ．eC ．0或eD ．0或1答案 C解析 程序对应的函数为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≤0，2－ln x ，x >0.若x ≤0，由y ＝1，得e x＝1，得x ＝0，满足条件；若x ＞0，由y ＝2－ln x ＝1，得ln x ＝1，即x ＝e ，满足条件．综上，输入的x 值为0或e ，故选C.5．下面的程序框图，如果输入三个实数a ，b ，c ，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的( )A ．c >x?B ．x >c?C ．c >b?D ．b >c?答案 A解析 由流程图可知a ，b ，c 中的最大数用变量x 表示并输出，先将a 的值赋给变量x . 第一个判断框是判断x 与b 的大小关系，若b >x ，则将b 的值赋给变量x ，得到x 的值是a ，b 中的较大者．∴第二个判断框一定是判断a ，b 中的较大者x 与c 的大小关系，并将最大数赋给变量x ，故第二个判断框内应填入c ＞x ？.6．执行如图所示的程序框图，则输出的x等于( )A．16 B．8C．4 D．2答案 B解析执行一次循环体y＝－2，x＝2；执行两次循环体y＝3，x＝4；执行三次循环体y ＝1，x＝8，此时输出x＝8.故选B.7．根据如图算法语句，当输入x的值为60时，输出y的值为( )A．25 B．30C．31 D．61答案 C解析当x＝60时，y＝25＋0.6×10＝31.故选C.8．执行如图所示的程序框图，若输入x的值为3，则输出的x的值是( )A．6 B．21C．156 D．231答案 D解析执行一次循环体x＝6＜100，执行二次循环体x＝21＜100，执行三次循环体x＝231＞100，此时输出231，故选D.9．阅读如图所示的程序框图，该算法的功能是( )A．计算(1＋20)＋(2＋21)＋(3＋22)＋…＋(n＋1＋2n)的值B．计算(1＋21)＋(2＋22)＋(3＋23)＋…＋(n＋2n)的值C．计算(1＋2＋3＋…＋n)＋(20＋21＋22＋…＋2n－1)的值D．计算[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＋(20＋21＋22＋…＋2n)的值答案 C解析初始值k＝1，S＝0，第1次进入循环体时，S＝1＋20，k＝2；第2次进入循环体时，S＝1＋20＋2＋21，k＝3；第3次进入循环体时，S＝1＋20＋2＋21＋3＋22，k＝4；…；给定正整数n，当k＝n时，最后一次进入循环体，则有S＝1＋20＋2＋21＋…＋n＋2n－1，k＝n＋1，终止循环体，输出S＝(1＋2＋3＋…＋n)＋(20＋21＋22＋…＋2n－1)．10．如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的n是( )A ．168B ．169C ．337D ．338答案 C解析 初始值n ＝0，k ＝1，开始循环，sin π6＝12，n ＝1，k ＝2；sin 2π6＝32，n ＝1，k＝3；sin 3π6＝1，n ＝1，k ＝4；sin 4π6＝32，n ＝1，k ＝5；sin 5π6＝12，n ＝2，k ＝6；sin6π6＝0，n ＝2，k ＝7；sin 7π6＝－12，n ＝2，k ＝8；sin 8π6＝－32，n ＝2，k ＝9；sin 9π6＝－1，n ＝2，k ＝10；sin10π6＝－32，n ＝2，k ＝11；sin 11π6＝－12，n ＝2，k ＝12；sin 12π6＝0，n ＝2，k ＝13；…；由此可知sink π6的值是以12为周期出现的，又2019＝12×168＋3，所以输出的n 的值为168×2＋1＝337，故选C.11.计算机在处理数据时使用的是二进制，例如十进制数1,2,3,4的二进制数分别表示为1,10,11,100，二进制数…dcba 化为十进制数的公式为…dcba ＝a ·20＋b ·21＋c ·22＋d ·23＋…，例如二进制数11等于十进制数1·20＋1·21＝3，又如二进制数101等于十进制数1·2＋0·21＋1·22＝5，如图是某同学设计的将二进制数11111化为十进制数的程序框图，则判断框内应填入的条件是( )A ．i ≤5?B ．i >5?C ．i ≤4?D ．i >4?答案 D解析 11111(2)＝1×24＋1×23＋1×22＋1×2＋1＝16＋8＋4＋2＋1＝31(10)．初始条件S ＝1，i ＝1，执行循环体，可得S ＝3，i ＝2，判断否；S ＝7，i ＝3，判断否；S ＝15，i ＝4，判断否；S ＝31，i ＝5，判断是，输出S ＝31，故填i >4？，故选D.12．《九章算术》是我国古代数学文化的优秀遗产，数学家刘徽在注解《九章算术》时，发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形的面积可无限逼近圆的面积，为此他创立了割圆术，利用割圆术，刘徽得到了圆周率精确到小数点后四位3.1416，后人称3.14为徽率．如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，若结束程序，则输出的n为(3≈1.732，sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305)()A．6 B．12C．24 D．48答案 C解析模拟执行程序，可得n＝3，S＝12×3×sin120°＝334，不满足条件S＞3；执行循环体，n＝6，S＝12×6×sin60°＝332，不满足条件S＞3；执行循环体，n＝12，S＝12×12×sin30°＝3，不满足条件S＞3；执行循环体，n＝24，S＝12×24×sin15°≈12×0.2588＝3.1056，满足条件S＞3，退出循环．输出n的值为24.故选C.二、高考小题13．(2019·全国卷Ⅰ)如图是求12＋12＋12的程序框图，图中空白框中应填入( )A．A＝12＋AB．A＝2＋1AC．A＝11＋2AD．A＝1＋12A答案 A解析对于选项A，第一次循环，A＝12＋12；第二次循环，A＝12＋12＋12，此时k＝3，不满足k≤2，输出A＝12＋12＋12的值．故A正确；经验证选项B，C，D均不符合题意．故选A.14．(2019·全国卷Ⅲ)执行如图所示的程序框图，如果输入的为0.01，则输出s的值等于( )A．2－124B．2－125C．2－126D．2－127答案 C解析＝0.01，x＝1，s＝0，s＝0＋1＝1，x＝12，x<不成立；s＝1＋12，x＝14，x<不成立；s ＝1＋12＋14，x ＝18，x <不成立； s ＝1＋12＋14＋18，x ＝116，x <不成立； s ＝1＋12＋14＋18＋116，x ＝132，x <不成立； s ＝1＋12＋14＋18＋116＋132，x ＝164，x <不成立； s ＝1＋12＋14＋18＋116＋132＋164，x ＝1128，x <成立， 此时输出s ＝2－126.故选C.15．(2019·天津高考)阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出S 的值为( )A ．5B ．8C ．24D ．29答案 B解析 i ＝1，S ＝0，i 不是偶数；第一次循环：S ＝1，i ＝2<4；第二次循环：i 是偶数，j ＝1，S ＝5，i ＝3<4；第三次循环：i 不是偶数，S ＝8，i ＝4，满足i ≥4，输出S ，结果为8.故选B.16．(2019·北京高考)执行如图所示的程序框图，输出的s 值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 B解析 k ＝1，s ＝1；第一次循环：s ＝2，判断k <3，k ＝2；第二次循环：s ＝2，判断k <3，k ＝3；第三次循环：s ＝2，判断k ＝3，故输出2.故选B.17．(2019·江苏高考)如图是一个算法流程图，则输出的S 的值是________．答案 5解析 第一次循环，S ＝12，x ＝2；第二次循环，S ＝12＋22＝32，x ＝3；第三次循环，S ＝32＋32＝3，x ＝4；第四次循环，S ＝3＋42＝5，满足x ≥4，结束循环．故输出的S 的值是5. 三、模拟小题18．(2019·咸阳一模)执行如图所示的程序框图，则输出的结果为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 D解析 执行程序框图，可得a ＝32，b ＝1，i ＝1不满足条件i ≥3，i ＝2；a ＝52，b ＝32，i＝2不满足条件i ≥3，i ＝3；a ＝4，b ＝52，i ＝3满足条件i ≥3，退出循环，输出a 的值为4.故选D.19．(2019·贵阳模拟)执行如图所示的程序框图，输出的S 值为( )A ．0B ．12 C ．1 D ．－1答案 A解析 第一次循环，k ＝1，S ＝cos0＝1，k ＝1＋1＝2，k ＞4不成立； 第二次循环，k ＝2，S ＝1＋cos π3＝1＋12＝32，k ＝2＋1＝3，k ＞4不成立；第三次循环，k ＝3，S ＝32＋cos 2π3＝32－12＝1，k ＝3＋1＝4，k ＞4不成立；第四次循环，k＝4，S＝1＋cosπ＝1－1＝0，k＝4＋1＝5，k＞4成立．此时退出循环，输出S＝0，故选A.20．(2019·南昌一模)执行如图所示的算法框图，当输入的x为1时，输出的结果为( )A．3 B．4C．5 D．6答案 C解析执行程序框图，i＝0，输入的x为1时，y＝1＋1＝2，i＝1，y＝2<20，则x＝2；y＝4，i＝2，y＝4<20，则x＝4；y＝8，i＝3，y＝8<20，则x＝8；y＝16，i＝4，y＝16<20，则x＝16；y＝32，i＝5，y＝32>20，退出循环．故输出的结果为5，选C.21．(2019·开封一模)已知数列{a n}中，a1＝12，a n＋1＝1－1a n，利用下面程序框图计算该数列的项时，若输出的是2，则判断框内的条件不可能是( )A．n≤2012 B．n≤2015C．n≤2017 D．n≤2018答案 C解析通过分析，本程序框图为“当型”循环结构，判断框内为满足循环的条件，循环前，A ＝12，n ＝1；第1次循环，A ＝1－2＝－1，n ＝1＋1＝2；第2次循环，A ＝1＋1＝2，n ＝2＋1＝3；第3次循环，A ＝1－12＝12，n ＝3＋1＝4；…所以，程序运行时计算A 的值是以3为周期的函数，当程序运行后输出A ＝2时，n 能被3整除，此时不满足循环条件．分析选项中的条件，可知应选C.本考点在近三年高考中未涉及此题型．附：什么样的考试心态最好大部分学生都不敢掉以轻心，因此会出现很多过度焦虑。
高考数学一轮复习 第一部分 考点通关练 第五章 不等式、推理与证明、算法初步与复数 考点测试32 不
第五章 不等式、推理与证明、算法初步与复数考点测试32 不等关系与不等式高考概览高考在本考点的常考题型为选择题，分值5分，中、低等难度 考纲研读1.了解现实世界和日常生活中的不等关系2．了解不等式(组)的实际背景 3．掌握不等式的性质及应用一、基础小题1．设a ，b ∈[0，＋∞)，A ＝a ＋b ，B ＝a ＋b ，则A ，B 的大小关系是( ) A ．A ≤B B ．A ≥B C ．A <B D ．A >B答案 B解析 由题意，得B 2－A 2＝－2ab ≤0，且A ≥0，B ≥0，可得A ≥B .故选B. 2．若1a <1b<0，则下列结论不正确的是( )A ．a 2<b 2B ．ab <b 2C ．a ＋b <0D ．|a |＋|b |>|a ＋b |答案 D解析 ∵1a <1b<0，∴b <a <0，∴b 2>a 2，ab <b 2，a ＋b <0，∴A ，B ，C 均正确，∵b <a <0，∴|a |＋|b |＝|a ＋b |，D 错误，故选D.3．设a <b <0，c >0，则下列不等式中不成立的是( ) A.c a >cbB ．ca －b >c aC ．|a |c >－bcD ．－ac>－bc答案 B解析 由题设得a <a －b <0，所以有1a －b <1a ，又因为c >0，所以c a －b <c a，所以B 中式子不成立．4．已知a ，b ∈R ，若a >b ，1a <1b同时成立，则()A ．ab >0B ．ab <0C ．a ＋b >0D ．a ＋b <0答案 A解析 因为1a <1b ，所以1a －1b ＝b －aab<0，又a >b ，所以b －a <0，所以ab >0.5．若m <0，n >0且m ＋n <0，则下列不等式中成立的是() A ．－n <m <n <－m B ．－n <m <－m <n C ．m <－n <－m <n D ．m <－n <n <－m答案 D解析 解法一：(取特殊值法)令m ＝－3，n ＝2分别代入各选项检验，可知D 正确． 解法二：m ＋n <0⇒m <－n ⇒n <－m ，又由于m <0<n ，故m <－n <n <－m 成立．故选D. 6．已知a <b <|a |，则以下不等式中恒成立的是( ) A ．|b |<－a B ．ab >0 C ．ab <0 D ．|a |<|b |答案 A解析 解法一：由a <b <|a |，可知a <0，但b 不能确定，当b ＝0时，|b |＝0<－a 成立；当b >0时，|b |＝b <|a |＝－a ，|b |<－a 成立；当b <0时，－b <－a ，则|b |<－a 成立．综上，|b |<－a .解法二：因为a <b <|a |，令a ＝－2，b ＝0，代入各选项验证，可排除B ，C ，D ，故选A. 7．已知a <b <c 且a ＋b ＋c ＝0，则下列不等式恒成立的是( ) A ．a 2<b 2<c 2B ．a |b |<c |b |C ．ba <caD ．ca <cb答案 D解析 因为a <b <c 且a ＋b ＋c ＝0，所以a <0，c >0，b 的符号不确定，对于a <b ，两边同时乘以正数c ，不等号方向不变．故选D.8．已知a ，b ，c ∈R ＋，若ca ＋b <ab ＋c <ba ＋c，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c <a <bB ．b <c <aC ．a <b <cD ．c <b <a答案 A解析 因为a ，b ，c ∈R ＋，由ca ＋b <ab ＋c，得cb ＋c 2<a 2＋ab ，整理得(c －a )(a ＋b ＋c )<0，因为a ＋b ＋c >0，所以c －a <0，所以c <a ，同理，由ab ＋c <ba ＋c，得a <b ，所以c <a <b .9．若6<a <10，a2≤b ≤2a ，c ＝a ＋b ，则c 的取值X 围是( )A ．[9,18]B ．(15,30)C ．[9,30]D ．(9,30)答案 D解析 ∵a 2≤b ≤2a ，∴3a 2≤a ＋b ≤3a ，即3a2≤c ≤3a .∵6<a <10，∴9<c <30.故选D.10．设a ，b ∈R ，定义运算“⊗”和“⊕”如下：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b ，a ⊕b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a ≤b ，a ，a >b .若m ⊗n ≥2，p ⊕q ≤2，则( )A ．mn ≥4且p ＋q ≤4B ．m ＋n ≥4且pq ≤4C ．mn ≤4且p ＋q ≥4D ．m ＋n ≤4且pq ≤4答案 A解析 结合定义及m ⊗n ≥2可得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2，m ≤n 或⎩⎪⎨⎪⎧n ≥2，m >n ，即n ≥m ≥2或m >n ≥2，所以mn ≥4；结合定义及p ⊕q ≤2可得⎩⎪⎨⎪⎧p ≤2，p >q 或⎩⎪⎨⎪⎧q ≤2，p ≤q ，即q <p ≤2或p ≤q ≤2，所以p ＋q ≤4.故选A.11．有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积(单位：m 2)分别为x ，y ，z ，且x <y <z ，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m 2)分别为a ，b ，c ，且a <b <c .在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是( )A ．ax ＋by ＋czB ．az ＋by ＋cxC ．ay ＋bz ＋cxD ．ay ＋bx ＋cz答案 B解析 因为x <y <z ，a <b <c ，所以ax ＋by ＋cz －(az ＋by ＋cx )＝a (x －z )＋c (z －x )＝(x －z )(a －c )>0，故ax ＋by ＋cz >az ＋by ＋cx ；同理，ay ＋bz ＋cx －(ay ＋bx ＋cz )＝b (z －x )＋c (x －z )＝(x －z )(c －b )<0，故ay ＋bz ＋cx <ay ＋bx ＋cz .因为az ＋by ＋cx －(ay ＋bz ＋cx )＝a (z －y )＋b (y －z )＝(a －b )(z －y )<0，故az ＋by ＋cx <ay ＋bz ＋cx .故最低费用为az ＋by ＋cx .故选B.12．已知－1<x <4,2<y <3，则x －y 的取值X 围是________，3x ＋2y 的取值X 围是________． 答案 (－4,2) (1,18)解析 ∵－1<x <4,2<y <3，∴－3<－y <－2，∴－4<x －y <2.由－1<x <4,2<y <3，得－3<3x <12，4<2y <6，∴1<3x ＋2y <18.二、高考小题13．(2019·全国卷Ⅱ)若a >b ，则( ) A ．ln (a －b )>0 B ．3a <3bC ．a 3－b 3>0 D ．|a |>|b |答案 C解析 解法一：不妨设a ＝－1，b ＝－2，则a >b ，可验证A ，B ，D 错误，只有C 正确． 解法二：由a >b ，得a －b >0.但a －b >1不一定成立，则ln (a －b )>0 不一定成立，故A 不一定成立．因为y ＝3x 在R 上是增函数，当a >b 时，3a >3b ，故B 不成立．因为y ＝x 3在R 上是增函数，当a >b 时，a 3>b 3，即a 3－b 3>0，故C 成立．因为当a ＝3，b ＝－6时，a >b ，但|a |<|b |，所以D 不一定成立．故选C.14．(2018·全国卷Ⅲ)设a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，则( ) A ．a ＋b <ab <0 B ．ab <a ＋b <0 C ．a ＋b <0<ab D ．ab <0<a ＋b答案 B解析 ∵a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，∴1a ＝log 0.30.2，1b ＝log 0.32，∴1a ＋1b＝log 0.30.4，∴0<1a ＋1b <1，即0<a ＋b ab<1，又a >0，b <0，∴ab <0，∴ab <a ＋b <0.故选B.15．(2018·高考)设集合A ＝{(x ，y )|x －y ≥1，ax ＋y >4，x －ay ≤2}，则( ) A ．对任意实数a ，(2,1)∈A B ．对任意实数a ，(2,1)∉A C ．当且仅当a <0时，(2,1)∉A D ．当且仅当a ≤32时，(2,1)∉A答案 D解析 若(2,1)∈A ，则有⎩⎪⎨⎪⎧2－1≥1，2a ＋1>4，2－a ≤2，解得a >32.结合四个选项，只有D 说法正确．故选D.16．(2017·某某高考)若a ＞b ＞0，且ab ＝1，则下列不等式成立的是( ) A ．a ＋1b ＜b2a ＜log 2(a ＋b )B.b 2a ＜log 2(a ＋b )＜a ＋1bC ．a ＋1b ＜log 2(a ＋b )＜b 2aD ．log 2(a ＋b )＜a ＋1b ＜b 2a答案 B解析 (特殊值法)令a ＝2，b ＝12，可排除A ，C ，D.故选B.17．(2016·高考)已知x ，y ∈R ，且x >y >0，则( ) A.1x －1y>0B ．sin x －sin y >0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12y<0 D ．ln x ＋ln y >0答案 C解析 ∵函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在(0，＋∞)上为减函数，∴当x >y >0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <⎝ ⎛⎭⎪⎫12y ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12y<0，故C 正确；函数y ＝1x 在(0，＋∞)上为减函数，∴由x >y >0⇒1x <1y ⇒1x －1y<0，故A 错误；函数y＝sin x 在(0，＋∞)上不单调，∴当x >y >0时，不能比较sin x 与sin y 的大小，故B 错误；令x ＝1,0<y <1，则x >y >0，而ln x ＋ln y ＝ln y <0，故D 错误．18．(2016·某某高考)已知实数a ，b ，c .( ) A ．若|a 2＋b ＋c |＋|a ＋b 2＋c |≤1，则a 2＋b 2＋c 2<100 B ．若|a 2＋b ＋c |＋|a 2＋b －c |≤1，则a 2＋b 2＋c 2<100 C ．若|a ＋b ＋c 2|＋|a ＋b －c 2|≤1，则a 2＋b 2＋c 2<100 D ．若|a 2＋b ＋c |＋|a ＋b 2－c |≤1，则a 2＋b 2＋c 2<100 答案 D解析 利用特殊值法验证．令a ＝3，b ＝3，c ＝－11.5，排除A ；令a ＝4，b ＝－15.5，c ＝0，排除B ；令a ＝11，b ＝－10.5，c ＝0，排除C.由1≥|a 2＋b ＋c |＋|a ＋b 2－c |≥|a 2＋a＋b 2＋b |得－1≤a 2＋a ＋b 2＋b ≤1，即－12≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋122≤32，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122≤32，－2<－12－62≤a ≤－12＋62<1.同理－2<b <1.再由1≥|a ＋b 2－c |≥|c |－|a |－|b 2|>|c |－2－4，得|c |<7.所以a 2＋b 2＋c 2<4＋4＋49＝57<100.故选D.19．(2015·某某高考)设x ∈R ，[x ]表示不超过x 的最大整数．若存在实数t ，使得[t ]＝1，[t 2]＝2，…，[t n]＝n 同时成立，则正整数n 的最大值是( )A ．3B ．4C ．5D ．6答案 B解析 若n ＝3，则⎩⎪⎨⎪⎧1≤t <2，2≤t 2<3，3≤t 3<4，即⎩⎪⎨⎪⎧1≤t 6<64，8≤t 6<27，9≤t 6<16，得9≤t 6<16，即当33≤t <34时，有[t ]＝1，[t 2]＝2，[t 3]＝3，∴n ＝3符合题意．若n ＝4，则⎩⎪⎨⎪⎧ 33≤t <34，4≤t 4<5，即⎩⎪⎨⎪⎧34≤t 12<44，43≤t 12<53，得34≤t 12<53，即当33≤t <45时，有[t ]＝1，[t 2]＝2，[t 3]＝3，[t 4]＝4，故n ＝4符合题意．若n ＝5，则⎩⎪⎨⎪⎧33≤t <45，5≤t 5<6，即⎩⎨⎧33≤t <45，55≤t <56，①∵63<35，∴56<33，故①式无解，即n ＝5不符合题意，则正整数n 的最大值为4. 三、模拟小题20．(2019·某某省某某市高三上学期期末)若a <b <0，则下列不等式一定成立的是( ) A.1a <1bB ．1a －b >1bC.⎝ ⎛⎭⎪⎫12a >⎝ ⎛⎭⎪⎫12b D ．a 3>b 3答案 C解析 若a <b <0，则1a >1b，A 错误；因为a －b <0，则a －b 与b 大小关系不确定，B 错误；⎝ ⎛⎭⎪⎫12a >⎝ ⎛⎭⎪⎫12b 成立，C 正确；a 3<b 3，D 错误．故选C. 21．(2019·某某百校联盟模拟)设a ，b ∈R ，则“(a －b )a 2≥0”是“a ≥b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 由(a －b )a 2≥0，解得a ≥b 或a ＝0，b ∈R .因为a 2≥0，a ≥b ，所以(a －b )a 2≥0，故“(a －b )a 2≥0”是“a ≥b ”的必要不充分条件．故选B.22．(2019·某某某某一中模拟)若a <b <0，给出下列不等式：①a 2＋1>b 2；②|1－a |>|b－1|；③1a ＋b >1a >1b.其中正确的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案 D解析 由于a <b <0，所以|a |>|b |>0，a 2>b 2，故a 2＋1>b 2，①正确；－a >－b >0，－a ＋1>－b ＋1>1，故|1－a |>|b －1|，②正确；因为a ＋b <a <b <0，所以1a ＋b >1a >1b，③正确．故选D. 23．(2019·某某模拟)已知a ＝2，b ＝55，c ＝77，则( ) A ．a >b >c B ．a >c >b C ．b >a >c D ．b >c >a答案 A解析 a ＝2，b ＝55，c ＝77，则a 70＝235＝(25)7＝327＝(27)5＝1285，b 70＝514＝(52)7＝257，c 70＝710＝(72)5＝495，∴a >b >c ，故选A.24．(2019·某某期末)已知a ，b ，c >0，则b a ，c b ，ac的值( ) A ．都大于1B ．都小于1C ．至多有一个不小于1D ．至少有一个不小于1答案 D解析 令a ＝b ＝c ，则b a ＝c b ＝a c ＝1，排除A ，B ；令a ＝1，b ＝2，c ＝4，则b a ＝c b ＝2，a c＝14，排除C ；对于D ，假设b a <1，c b <1，ac <1，则b <a ，c <b ，a <c ，相加得a ＋b ＋c <a ＋b ＋c ，矛盾，故选D.25．(2019·某某第一中学月考)已知△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且满足b ＋c ≤3a ，则c a的取值X 围为( )A ．(1，＋∞)B ．(0,2)C ．(1,3)D ．(0,3) 答案 B解析 由已知及三角形的三边关系得⎩⎪⎨⎪⎧a <b ＋c ≤3a ，a ＋b >c ，a ＋c >b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1<b a ＋c a≤3，1＋b a >c a ，1＋c a >b a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1<b a ＋ca ≤3，－1<c a －ba <1，两式相加得，0<2×ca <4，∴c a的取值X 围为(0,2)．26．(2019·某某某某模拟)已知m ＝a －a －2，n ＝a －1－a －3，其中a ≥3，则m ，n 的大小关系为( )A ．m >nB ．m ＝nC ．m <nD ．大小不确定答案 C解析 ∵a ≥3，m ＝a －a －2＝2a ＋a －2，n ＝a －1－a －3＝2a －1＋a －3，又0<a －1＋a －3<a ＋a －2，∴2a ＋a －2<2a －1＋a －3，∴m <n .27．(2019·某某二模)设a ≥b ≥c ，且1是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个实根，则ca的取值X 围为( ) A ．[－2,0] B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，0C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－12 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12 答案 C解析 ∵1是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个实根，∴a ＋b ＋c ＝0，得b ＝－a －c ，∵a ≥b ≥c ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≥－a －c ，－a －c ≥c ，得⎩⎪⎨⎪⎧2a ≥－c ，－a ≥2c .若a >0，则不等式等价为⎩⎪⎨⎪⎧ 2≥－ca，－1≥2ca ，即⎩⎪⎨⎪⎧ c a ≥－2，c a ≤－12，得－2≤c a ≤－12；若a <0，则不等式等价为⎩⎪⎨⎪⎧2≤－c a，－1≤2ca，即⎩⎪⎨⎪⎧c a ≤－2，c a ≥－12，此时不等式无解．综上，c a 的取值X 围为－2≤c a ≤－12，故选C.28．(2019·某某二中检测)若a >b >0，给出以下几个不等式： ①b a <b ＋5a ＋5；②lg a ＋b 2<lg a ＋lg b 2；③a ＋1b >b ＋1a；④a －b >a －b . 其中正确的是________(请填写所有正确的序号)． 答案 ①③ 解析 对于①，b a －b ＋5a ＋5＝b a ＋5－a b ＋5a a ＋5＝5b －a a a ＋5<0，所以b a <b ＋5a ＋5，①正确；对于②，因为a ＋b2>ab ，所以lga ＋b2>lg ab ＝12(lg a ＋lg b )，故②错误；对于③，因为a >b >0，所以0<1a <1b ，所以a ＋1a <a ＋1b ，b ＋1a <a ＋1a ，所以a ＋1b >b ＋1a ，故③正确；对于④，取a ＝4，b ＝1，而a －b ＝1，a －b ＝3，所以a －b >a －b 不成立，故④错误．一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型． 二、模拟大题1．(2020·某某一中高三月考)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ≤0，3x －1，0<x <12，－x ＋1，x ≥12.记f (x )>－1的解集为M .(1)求集合M ；(2)已知a ∈M ，比较a 2－a ＋1与1a的大小．解 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ≤0，3x －1，0<x <12，－x ＋1，x ≥12.由f (x )>－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x －1>－1或⎩⎪⎨⎪⎧0<x <12，3x －1>－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12，－x ＋1>－1，解得0<x <2，故M ＝{x |0<x <2}． (2)由(1)知0<a <2，因为a 2－a ＋1－1a ＝a 3－a 2＋a －1a＝a －1a 2＋1a，当0<a <1时，a －1a 2＋1a<0，所以a 2－a ＋1<1a；当a ＝1时，a －1a 2＋1a ＝0，所以a 2－a ＋1＝1a；当1<a <2时，a －1a 2＋1a>0，所以a 2－a ＋1>1a.综上所述，当0<a <1时，a 2－a ＋1<1a；当a ＝1时，a 2－a ＋1＝1a ；当1<a <2时，a 2－a ＋1>1a.2．(2020·某某中学月考)(1)已知－3<a <b <1，－2<c <－1，求证：－16<(a －b )c 2<0； (2)已知a ≠b ，试比较a 4－b 4与4a 3(a －b )的大小．解 (1)证明：因为－3<a <b <1，所以－1<－b <3，－3<a <1，所以－4<a －b <4， 又a <b ，所以a －b <0，所以－4<a －b <0， 所以0<b －a <4，又－2<c <－1，所以1<c 2<4，所以0<(b －a )c 2<16，所以－16<(a －b )c 2<0. (2)a 4－b 4－4a 3(a －b )＝(a －b )(a ＋b )(a 2＋b 2)－4a 3·(a －b ) ＝(a －b )(a 3＋a 2b ＋ab 2＋b 3－4a 3)＝(a －b )[(a 2b －a 3)＋(ab 2－a 3)＋(b 3－a 3)] ＝－(a －b )2(3a 2＋2ab ＋b 2) ＝－(a －b )2[2a 2＋(a ＋b )2]，因为2a 2＋(a ＋b )2≥0(当且仅当a ＝b ＝0时取等号)，且a ≠b ， 所以(a －b )2>0,2a 2＋(a ＋b )2>0， 所以－(a －b )2[2a 2＋(a ＋b )2]<0， 故a 4－b 4<4a 3(a －b )．。
【最新】-2018年高考考点完全题数学(理)考点通关练课件 第五章 不等式、推理与证明、算法初步与复
D．若 z 是纯虚数，则 z2<0
10．关于复数 z＝11＋ －ii2，下列说法中正确的是(
)
A．在复平面内复数 z 对应的点在第一象限
B．复数 z 的共轭复数 z ＝1－i
C．若复数 z1＝z＋b(b∈R)为纯虚数，则 b＝1 D．设 a，b 为复数 z 的实部和虚部，则点(a，b)在以原
点为圆心，半径为 1 的圆上 解析 由题可知 z＝11＋ －ii2＝12－i i＝－1＋i，若 z＋b(b∈
)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析 因为 z＝1＋ i i＝1＋ 2 i，所以对应点12，12，故在第
一象限，选 A.
6．复数i2＋1－ i3＋i i4＝(
)
A．－12－12i
B．－12＋12i
C.12－12i
D.12＋12i
解析
i2＋ i3＋ 1－i
i4＝－1＋ 1－－i i＋1＝1－－ii
－3i|＝ 42＋－32＝5.
4．若复数 z 满足1＋z 2i＝i(i 为虚数单位)，则 z 的虚部为
(
)
A．－2
B．2
C．1
D．－1
解析 由1＋z 2i＝i，可得 z＝1＋i 2i＝i＋i22i2＝－－2＋ 1 i＝2－ i，所以 z 的虚部为－1，故选 D.
5．复数 z＝1＋ i i在复平面上对应的点位于(
B．(－1,3)
C．(1，＋∞) D．(－∞，－3)
解析
由
已
知
可
得
m＋3>0， m－1<0
3<m<1.故选 A.
⇒
m>－3，
m<1
⇒－
高考数学考点通关练第五章不等式、推理与证明、算法初步与复数考点测试39复数高三全册数学
D．
2 5
1－i 1－i3－4i －1－7i 解法一：因为 z＝3＋4i＝3＋4i3－4i＝ 25 ，所以|z|＝
－2152＋－2752＝ 52.故选 D.
解法二：因为
1－i
1－i |1－i|
z＝3＋4i，所以|z|＝|3＋4i|＝|3＋4i|＝
52.故选
D.
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解析 答案
4．已知复数 z＝(1＋ai)(1－2i)(a∈R)为纯虚数，则实数 a＝( )
A. 3
B． 5
C．3
D．5
解析 ∵z＝2＋i，∴－z ＝2－i.∴z·－z ＝(2＋i)(2－i)＝5.故选 D.
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解析 答案
1－i 17．(2018·全国卷Ⅰ)设 z＝1＋i＋2i，则|z|＝( )
A．0
B．12
C．1
D． 2
1－i
1－i2
－2i
解析 因为 z＝ 1＋i＋2i＝ 1＋i1－i＋2i＝ 2 ＋2i＝ i， 所以|z|＝
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第1步 基础练 狂刷小题 · (xiǎo tí)
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一、基础小题
1．(－1＋i)(2i＋1)＝( )
A．1－i
B．1＋i
C．－3－i
D．－3＋i
解析 由题意，得(－1＋i)(2i＋1)＝－2i－1－2＋i＝－3－i，故选 C.
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解析 答案
2．已知 m 为实数，i 为虚数单位，若 m＋(m2－4)i>0，则m2－＋22ii＝(
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解析 答案
二、高考小题
13．(2019·全国卷Ⅰ)设复数 z 满足|z－i|＝1，z 在复平面内对应的点为(x，
高考考点完全题数学(文)考点通关练习题 第五章 不等式、推理与证明、算法初步与复数 33 Word版含答案
考点测试33 一元二次不等式及其解法一、基础小题1．不等式(x －1)(3－x )<0的解集是( ) A ．(1,3)B ．C ．(－∞，1)∪(3，＋∞)D ．{x |x ≠1且x ≠3}答案 C解析 根据题意，(x －1)(3－x )<0⇔(x －1)(x －3)>0，所以其解集为(－∞，1)∪(3，＋∞)．故选C.2．若不等式ax 2＋bx －2<0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－2<x <14，则ab ＝( ) A ．－28 B ．－26 C ．28 D ．26答案 C解析 ∵－2，14是方程ax 2＋bx －2＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＝－2×14＝－12，－b a ＝－74，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝7，∴ab ＝28.3．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2＋3x ，x <0，则不等式f (x )<f (4)的解集为( )A ．{x |x ≥4}B ．{x |x <4}C ．{x |－3<x <0}D ．{x |x <－3}答案 B解析 f (4)＝42＝2，不等式即为f (x )<2.当x ≥0时，由x2<2，得0≤x <4；当x <0时，由－x 2＋3x <2，得x <1或x >2，因此x <0.综上，x <4.故f (x )<f (4)的解集为{x |x <4}．4．不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是( ) A ．B ．(－4,4)C ．(－∞，－4]∪∪ C ．∪(0，＋∞)D ．∪(0，＋∞)．6．不等式|x 2－x |<2的解集为( ) A ．(－1,2) B ．(－1,1) C ．(－2,1) D ．(－2,2)答案 A解析 由|x 2－x |<2，得－2<x 2－x <2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x <2， ①x 2－x >－2. ②由①，得－1<x <2.由②，得x ∈R .所以解集为(－1,2)，故选A.7．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的两个交点分别为(－2，0)，(2，0)，则ax 2＋bx ＋c >0的解的情况是( )A ．{x |－2<x <2}B ．{x |x >2或x <－2}C ．{x |x ≠±2}D ．不确定，与a 的符号有关答案 D解析 当a >0时，解集为{x |x >2或x <－2}；当a <0时，解集为{x |－2<x <2}，故选D.8．如果二次函数y ＝3x 2＋2(a －1)x ＋b 在区间(－∞，1]上是减函数，那么a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－2]D ．上是减函数，∴－a －2×3≥1，解得a ≤－2.故选C.9．设a ∈R ，关于x 的不等式ax 2＋(1－2a )x －2>0的解集有下列四个命题：①原不等式的解集不可能为∅；②若a ＝0，则原不等式的解集为(2，＋∞)；③若a <－12，则原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，2；④若a >0，则原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1a ∪(2，＋∞)．其中正确命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案 C解析 原不等式等价于(ax ＋1)(x －2)>0.当a ＝0时，不等式化为x －2>0，得x >2.当a ≠0时，方程(ax ＋1)(x －2)＝0的两根分别是2和－1a ，若a <－12，解不等式得－1a<x <2；若a ＝－12，不等式的解集为∅；若－12<a <0，解不等式得2<x <－1a ；若a >0，解不等式得x <－1a或x >2.故①为假命题，②③④为真命题．10．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1的定义域为R ，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－2,2) B ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C ．(－∞，－2]∪ 答案 D解析 由题意知，对于任意x ∈R ，x 2＋ax ＋1≥0恒成立，则Δ＝a 2－4×1×1＝a 2－4≤0，解得－2≤a ≤2，故选D.11．设函数f (x )＝x 2－ax ＋a ＋3，g (x )＝ax －2a ，若存在x 0∈R ，使得f (x 0)<0和g (x 0)<0同时成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(7，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(6，＋∞)C ．(－∞，－2)D ．(－∞，－2)∪(7，＋∞)答案 A解析 由f (x )＝x 2－ax ＋a ＋3知f (0)＝a ＋3，f (1)＝4，又存在x 0∈R ，使得f (x 0)<0，知Δ＝a 2－4(a ＋3)>0，即a <－2或a >6.又g (x )＝ax －2a 的图象恒过(2,0)，故当a >6时，作出函数f (x )和g (x )的图象如图1所示，当a <－2时，作出函数f (x )和g (x )的图象如图2所示．由函数的图象知，当a >6时，g (x 0)<0⇔x 0<2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >6，f，∴a >7.当a <－2时，g (x 0)<0⇔x 0>2，此时函数f (x )＝x 2－ax ＋a ＋3的图象的对称轴x ＝a2<0，故函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，＋∞上为增函数，又f (1)＝4，∴f (x 0)<0不成立．综上，实数a 的取值范围为a >7，故选A.12．已知函数f (x )对任意的x ∈R ，都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ，函数f (x ＋1)是奇函数，当－12≤x ≤12时，f (x )＝2x ，则方程f (x )＝－12在区间内的所有零点之和等于________．答案 4解析 因为函数f (x ＋1)是奇函数，所以函数f (x ＋1)的图象关于点(0,0)对称，把函数f (x ＋1)的图象向右平移1个单位可得函数f (x )的图象，所以函数f (x )的图象关于点(1,0)对称，可得－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ，又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ，所以－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ，再令x 取x ＋1可得－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ，所以有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ，可得f (x )＝f (x ＋2)，所以函数f (x )的周期为2，图象如图所示，故方程f (x )＝－12在区间内的所有零点之和为12×2×4＝4.二、高考小题13．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，且0<f (－1)＝f (－2)＝f (－3)≤3，则( ) A ．c ≤3 B ．3<c ≤6 C ．6<c ≤9 D ．c >9答案 C解析 由⎩⎪⎨⎪⎧f－＝f －，f －＝f －，得⎩⎪⎨⎪⎧3a －b ＝7，4a －b ＝13，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝11.则有f (－1)＝c －6，由0<f (－1)≤3，得6<c ≤9.14．设集合M ＝{x |x 2－3x －4<0}，N ＝{x |0≤x ≤5}，则M ∩N ＝( ) A ．(0,4] B ．答案 B解析 由题意可得M ＝{x |－1<x <4}，所以M ∩N ＝{x |0≤x <4}．15．关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝( ) A ．52 B ．72 C ．154D ．152答案 A解析 解法一：∵由x 2－2ax －8a 2<0(a >0)， 得(x －4a )(x ＋2a )<0，即－2a <x <4a ， ∴x 1＝－2a ，x 2＝4a .∵x 2－x 1＝4a －(－2a )＝6a ＝15， ∴a ＝52.故选A.解法二：由条件知x 1，x 2为方程x 2－2ax －8a 2＝0的两根，则x 1＋x 2＝2a ，x 1x 2＝－8a 2， 故(x 2－x 1)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(2a )2－4×(－8a 2)＝36a 2＝152，得a ＝52，故选A.16．不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为________(用区间表示)．答案 (－4,1)解析 不等式－x 2－3x ＋4>0等价于x 2＋3x －4<0，解得－4<x <1.17．已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈，都有f (x )<0，则实数m 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0 解析 由题可得f (x )<0对于x ∈恒成立，即⎩⎪⎨⎪⎧f m ＝2m 2－1<0，fm ＋＝2m 2＋3m <0，解得－22<m <0.18．已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x .那么，不等式f (x ＋2)<5的解集是________．答案 (－7,3)解析 当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x <5的解集为x <2是x 2－3x ＋2<0成立的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 由x 2－3x ＋2<0，解得1<x <2，再根据已知条件易知选A. 20．关于x 的不等式x －a x －bx －c≥0的解为－1≤x <2或x ≥3，则点P (a ＋b ，c )位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 A解析 由不等式的解集可知－1,3是方程(x －a )(x －b )＝0的两个根，且c ＝2，不妨设a ＝－1，b ＝3，∴a ＋b ＝2，即点P (a ＋b ，c )的坐标为(2,2)，位于第一象限．21．对于任意实数x ，不等式(a －2)x 2－2(a －2)x －4<0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，2)B ．(－∞，2]C ．(－2,2)D ．(－2,2]答案 D解析 当a －2＝0，即a ＝2时，－4<0，恒成立；当a －2≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，a －2＋a －，解得－2<a <2，∴－2<a ≤2.故选D.22．“已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为(1,2)，解关于x 的不等式cx 2＋bx＋a >0.”给出如下的一种解法：解：由ax 2＋bx ＋c >0的解集为(1,2)，得a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋b ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋c >0的解集为⎝⎛⎭⎪⎫12，1，即关于x的不等式cx 2＋bx ＋a >0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.参考上述解法：若关于x 的不等式bx ＋a ＋x ＋b x ＋c <0的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－1，－13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，则关于x 的不等式b x －a －x －bx －c>0的解集为( )A ．(－1,1)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞ 答案 B 解析 由bx ＋a ＋x ＋b x ＋c <0的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－1，－13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，得b －x ＋a ＋－x ＋b －x ＋c <0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1，即b x －a －x －b x －c >0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1.故选B.23．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤0，x 2－6x ＋2，x >0，则关于x 的不等式f (3－x 2)<f (2x )的解集为( )A ．(－3，－3)B ．(－3,1)C ．(－∞，2－3)∪(2＋3，＋∞)D ．(－3,1)∪(2＋3，＋∞) 答案 D解析 画出函数f (x )的图象如图所示，可知函数f (x )在(－∞，3)上是减函数，在(3，＋∞)上是增函数．∵3－x 2≤3，故分以下几种情形：(1)若3－x 2≤0且2x ≤0，即x ≤－3，则2－(3－x 2)<2－2x .解得－3<x <1，∴－3<x ≤－ 3.(2)若－3<x ≤0，则0<3－x 2≤3,2x ≤0，观察图象知f (3－x 2)<f (2x )恒成立． (3)若0<x ≤3，则2x <3－x 2或3－(3－x 2)<2x －3(3－x 2离对称轴直线x ＝3比2x 离对称轴近)，解得0<x <1.(4)若x >3，则3－x 2<0,2x >0，要求2－(3－x 2)<(2x )2－6×2x ＋2，解得x >2＋ 3. 综上，得关于x 的不等式f (3－x 2)<f (2x )的解集为(－3,1)∪(2＋3，＋∞)． 24．已知函数f (x )＝2x 2＋bx ＋c (b ，c ∈R )的值域为已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6. (1)解关于a 的不等式f (1)>0；(2)若不等式f (x )>b 的解集为(－1,3)，求实数a 、b 的值． 解 (1)∵f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6， ∴f (1)＝－3＋a (6－a )＋6＝－a 2＋6a ＋3，∴原不等式可化为a 2－6a －3<0，解得3－23<a <3＋2 3. ∴原不等式的解集为{a |3－23<a <3＋23}．(2)f (x )>b 的解集为(－1,3)等价于方程－3x 2＋a (6－a )x ＋6－b ＝0的两根为－1,3， 等价于⎩⎪⎨⎪⎧－1＋3＝a－a3，－1×3＝－6－b3，解得⎩⎨⎧a ＝3±3，b ＝－3.2．已知函数f (x )＝mx 2－mx －1.(1)若对于x ∈R ，f (x )<0恒成立，求实数m 的取值范围； (2)若对于x ∈，f (x )<5－m 恒成立，求实数m 的取值范围．解 (1)由题意可得m ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝m 2＋4m <0⇒m ＝0或－4<m <0⇒－4<m ≤0.故m 的取值范围是(－4,0]． (2)∵f (x )<－m ＋5⇒m (x 2－x ＋1)<6， ∵x 2－x ＋1>0， ∴m <6x 2－x ＋1对于x ∈恒成立，只需求6x 2－x ＋1的最小值，记g (x )＝6x 2－x ＋1，x ∈，记h (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34，h (x )在x ∈上为增函数．则g (x )在上为减函数， ∴min ＝g (3)＝67，∴m <67.∴m 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，67.3．已知抛物线y ＝(m －1)x 2＋(m －2)x －1(x ∈R )． (1)当m 为何值时，抛物线与x 轴有两个交点？(2)若关于x 的方程(m －1)x 2＋(m －2)x －1＝0的两个不等实根的倒数平方和不大于2，求m 的取值范围．解 (1)根据题意，m ≠1且Δ>0，即Δ＝(m －2)2－4(m －1)(－1)>0，得m 2>0， 所以m ≠1且m ≠0.(2)在m ≠0且m ≠1的条件下，⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝m －21－m，x 1·x 2＝11－m，因为1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝m －2，所以1x 21＋1x 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＋1x 22－2x 1x 2＝(m －2)2＋2(m －1)≤2. 得m 2－2m ≤0，所以0≤m ≤2.所以m 的取值范围是{m |0<m <1或1<m ≤2}． 4．已知函数f (x )＝ax 2＋x －a ，a ∈R . (1)若函数f (x )有最大值178，求实数a 的值；(2)解不等式f (x )>1(a ∈R )．解 (1)当a ≥0时不合题意，f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12a 2－1＋4a 24a ，当a <0时，f (x )有最大值，且－1＋4a 24a ＝178，解得a ＝－2或－18.(2)f (x )>1，即ax 2＋x －a >1，(x －1)(ax ＋a ＋1)>0， ①当a ＝0时，{x |x >1}；②当a >0时，(x －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1＋1a >0，即⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x >1或x <－1－1a ；③当a ＝－12时，(x －1)2<0，解集为∅；④当－12<a <0时，(x －1)·⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1＋1a <0， 即⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫1<x <－1－1a ；⑤当a <－12时，(x －1)·⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1＋1a <0， 即⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－1－1a<x <1.。
高考数学一轮复习第一部分考点通关练第五章不等式推理与证明算法初步与复数考点测试基本不等式含解析苏教版
考点测试35 根本不等式高考概览高考在本考点的常考题型为选择题、填空题，分值5分，中等难度 考纲研读1.了解根本不等式的证明过程2．会用根本不等式解决简单的最大(小)值问题一、根底小题1．以下说法正确的选项是( ) A ．假设a ，b ∈R ，那么b a ＋a b≥2 B ．假设x <0，那么x ＋4x≥－2x ·4x＝－4 C ．假设ab ≠0，那么b 2a ＋a 2b≥a ＋bD ．假设x <0，那么2x＋2－x>2 答案 D解析 对于A ，当ab <0时不成立；对于B ，假设x <0，那么x ＋4x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋4－x ≤－2－x ·4－x＝－4，当且仅当x ＝－2时，等号成立，因此B 项不成立；对于C ，取a ＝－1，b ＝－2，b 2a ＋a 2b ＝－92<a ＋b ＝－3，所以C 项不成立；对于D ，假设x <0，那么2x ＋2－x>2成立．应选D.2．不等式x 2＋x <a b ＋ba对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，那么实数x 的取值范围是( ) A ．(－2,0) B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞) C ．(－2,1) D ．(－∞，－4)∪(2，＋∞)答案 C解析 根据题意，由于不等式x 2＋x <a b ＋b a对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，那么x 2＋x <⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋b a min ，因为a b ＋b a ≥2a b ·b a＝2，当且仅当a ＝b 时等号成立，所以x 2＋x <2，求解此一元二次不等式可知－2<x <1，所以x 的取值范围是(－2,1)．3．m >0，n >0,2m ＋n ＝1，那么14m ＋2n 的最小值为( )A ．4B ．2 2C ．92D ．16答案 C解析 由于m >0，n >0,2m ＋n ＝1，那么14m ＋2n ＝(2m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫14m ＋2n ＝52＋n 4m ＋4m n ≥52＋2n 4m ·4m n ＝92，当且仅当n ＝23，m ＝16时取等号．应选C. 4．设x ＞0，那么函数y ＝x ＋22x ＋1－32的最小值为( ) A ．0 B ．12 C ．1 D ．32答案 A解析 y ＝x ＋22x ＋1－32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋1x ＋12－2≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12·1x ＋12－2＝0，当且仅当x ＋12＝1x ＋12，即x ＝12时等号成立．所以函数的最小值为0.应选A. 5．x ＞0，y ＞0，且4x ＋y ＝xy ，那么x ＋y 的最小值为( ) A ．8 B ．9 C ．12 D ．16答案 B解析 由4x ＋y ＝xy ，得4y ＋1x＝1，那么x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫4y ＋1x ＝4x y ＋yx＋1＋4≥24＋5＝9，当且仅当4x y ＝yx，即x ＝3，y ＝6时取“＝〞，应选B.6．假设3x ＋2y ＝2，那么8x ＋4y的最小值为( ) A ．4 B ．4 2 C ．2 D ．2 2答案 A解析 ∵3x ＋2y ＝2，∴8x＋4y＝23x＋22y≥223x·22y＝223x ＋2y＝4，当且仅当3x ＝2y ，即x ＝13，y ＝12时等号成立，∴8x ＋4y 的最小值为4.应选A.7．向量a ＝(1，x －1)，b ＝(y,2)，其中x >0，y >0.假设a ⊥b ，那么xy 的最大值为( ) A.14 B ．12 C ．1D ．2。
高考考点完全题数学(理)考点通关练课件 第五章 不等式、推理与证明、算法初步与复数 40ppt版本
(
)
A．3
B．6
C．2
D．m
解析 当 a＝3，b＝6，c＝2 时，依据算法设计，执行 后，m＝a＝3<b＝6，c＝2<a＝3＝m，∴c＝2＝m，即输出 m 的值为 2，故选 C.
4．如图所示的程序框图中，循环体执行的次数是(
)
A．50
B．49
C．100
D．99
解析 从程序框图反映的算法是 S＝2＋4＋6＋8＋…，i
一个实例，若输入 n，x 的值分别为 3,2，则输出 v 的值为(
)
A．9 C．20
B．18 D．35
解析 执行程序框图，n＝3，x＝2，v＝1，i＝2≥0；v ＝1×2＋2＝4，i＝1≥0；v＝4×2＋1＝9，i＝0≥0；v＝9×2 ＋0＝18，i＝－1<0，结束循环，输出 v＝18.故选 B.
C.34
D.45
解析 分别计算 i 与相应的 m，n 取值依次为 i＝2，m＝
1，n＝12；i＝3，m＝2，n＝23；i＝4, m＝3，n＝34，此时由判 断框可知程序结束，故输出 n＝34，故选 C.
11．为了求满足 1＋2＋3＋…＋n<2013 的最大的自然数
n，程序框图如图所示，则输出框中应填输出(
24．[2017·河南三市联考]执行如图所示的程序框图，如
果输入 m＝30，n＝18，则输出的 m 的值为(
)
A．0
B．6
C．12
D．18
解析 如果输入 m＝30，n＝18，第一次执行循环体后，
r＝12，m＝18，n＝12，不满足输出条件；第二次执行循环
体后，r＝6，m＝12，n＝6，不满足输出条件；第三次执行
所以应该输出 62，即 i－2.故选 A.
高考数学 考点通关练 第五章 不等式、推理与证明、算法初步与复数单元质量测试 理-人教版高三全册数学
单元质量测试(五)时间：120分钟满分：150分第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．[2017·某某某某质检]设i 是虚数单位，如果复数a ＋i2－i 的实部与虚部相等，那么实数a 的值为( )A.13 B ．－13C ．3D ．－3答案 C 解析a ＋i 2－i＝2a －1＋a ＋2i5，由题意知2a －1＝a ＋2，解之得a ＝3.2．[2016·某某测试]若z ＝(a －2)＋a i 为纯虚数，其中a ∈R ，则a ＋i 71＋a i＝( )A ．iB ．1C ．－iD ．－1答案 C解析 ∵z 为纯虚数，∴a ＝2，∴a ＋i 71＋a i ＝2－i 1＋2i ＝2－i 1－2i 1＋2i1－2i＝－3i3＝－i.3．设0<b <a <1，则下列不等式成立的是( ) A ．ab <b 2<1B ．log 12 b <log 12 a <0C ．2b<2a <2 D ．a 2<ab <1答案 C解析 ∵y ＝2x是单调递增函数，且0<b <a <1， ∴2b<2a<21，即2b <2a<2.4．命题p ：∃α、β∈R ，sin(α＋β)＝sin α＋sin β；命题q ：∀m ∈R ，m ＋1m≥2，则下列结论正确的是()A ．p 是假命题B ．q 是真命题C ．p ∧q 是假命题D ．(綈p )∨q 是真命题答案 C解析 存在α、β满足题意，例如α＝0，β＝0时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．而m ＋1m≥2必须在m >0时才能成立，所以p 真q 假．所以选C.5．不等式4x －2≤x －2的解集是( ) A ．(－∞，0]∪(2,4] B ．[0,2)∪[4，＋∞) C ．[2,4) D ．(－∞，2]∪(4，＋∞)答案 B解析 ①当x －2>0，即x >2时，原不等式可化为(x －2)2≥4，∴x ≥4；②当x －2<0，即x <2时，原不等式可化为(x －2)2≤4，∴0≤x <2.6．[2016·某某某某调研]已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤2，x －y ≤2，若不等式ax －y ≤3恒成立，则实数a 的取值X 围为( )A ．(－∞，4]B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，32C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，2D ．[2,4]答案 B解析 不等式组表示的平面区域如图所示，不等式ax －y ≤3恒成立，即y ≥ax －3恒成立，平面区域ABC 在直线y ＝ax －3上及上方，由图可知得A (1,1)，B (2,0)，C (1，－1)三点在直线上及上方，满足⎩⎪⎨⎪⎧a －1≤4，2a ≤3，a ＋1≤3，得a ≤32，故答案为B.7．[2017·某某调研]按下图所示的程序框图，若输入a ＝110011，则输出的b ＝( )A ．51B ．49C ．47D ．45答案 A解析 由题意知b ＝1×20＋1×21＋0×22＋0×23＋1×24＋1×25＝51.故选A.8．[2017·某某调研]若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x ≤y ，x ＋y ≤4，则1x ＋2y的最大值为( )A.53 B ．2C.32D ．3答案 D解析 要求1x ＋2y的最大值，只要使x ，y 同时取得最小值即可，作出约束条件表示的平面区域如图中阴影部分所示，由图知x ，y 在点B 处同时取得最小值，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝0，x ＝y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2y max ＝11＋21＝3，故选D. 9．不等式x 2＋2x <a b ＋16ba对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，则实数x 的取值X 围是( ) A ．(－2,0) B ．(－∞，－2)∪(0，＋∞) C ．(－4,2) D ．(－∞，－4)∪(2，＋∞)答案 C解析 不等式x 2＋2x <a b ＋16b a 对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，等价于x 2＋2x <⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋16b a min ，由于a b＋16ba ≥2a b ·16b a＝8(当a ＝4b 时等号成立)，∴x 2＋2x <8，解得－4<x <2，故选C. 10．[2016·某某黄冈检测]在程序框图中，输入N ＝8，按程序运行后输出的结果是( )A ．6B ．7C ．10D ．12答案 C解析 由于程序中根据k 的取值不同，产生的T 值也不同，故可将程序中的k 值从小到大，每四个分为一组，即(1,2,3,4)，(5,6,7,8)．∵当k 为偶数时，T ＝k 2；当k ＋12为偶数，即k ＝4n ＋3，n ∈Z 时，T ＝k ＋14；否则，即k ＝4n ＋1，n ∈Z 时，T ＝－k ＋34.故可知：每组的4个数中，偶数值乘以12累加至S ，但两个奇数对应的T 值相互抵消，即S ＝12(2＋4＋6＋8)＝10，故选C.11．在平面几何中有如下结论：正三角形ABC 的内切圆面积为S 1，外接圆面积为S 2，则S 1S 2＝14.推广到空间可以得到类似结论，已知正四面体P －ABC 的内切球体积为V 1，外接球体积为V 2，则V 1V 2＝( )A.18B.19C.127D.164答案 C解析 从平面图形类比空间图形，从二维类比三维，如图，设正四面体的棱长为a ，E 为等边三角形ABC 的中心，O 为内切球与外接球球心．则AE ＝33a ，DE ＝63a ， 设OA ＝R ，OE ＝r ， 则OA 2＝AE 2＋OE 2， 即R 2＝⎝⎛⎭⎪⎫63a －R 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫33a 2，∴R ＝64a ，r ＝612a .∴正四面体的外接球和内切球的半径之比是3∶1.故正四面体P －ABC 的内切球体积V 1与外接球体积V 2之比等于127，故选C.12．[2017·某某调研]若正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，则4a －1＋16b －1的最小值为( )A ．16B ．25C ．36D ．49答案 A解析 因为a ，b >0，1a ＋1b ＝1，所以a ＋b ＝ab ，所以4a －1＋16b －1＝4b －1＋16a －1a －1b －1＝4b ＋16a －20ab －a ＋b ＋1＝4b ＋16a －20.又4b ＋16a ＝4(b ＋4a )＝4(b ＋4a )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝20＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋4a b ≥20＋4×2b a ·4a b ＝36，当且仅当b a ＝4a b 且1a ＋1b ＝1，即a ＝32，b ＝3时取等号． 所以4a －1＋16b －1≥36－20＝16. 第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．[2016·某某名校联考]观察下列等式：13＝12,13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第n 个等式为________．答案 13＋23＋33＋43＋…＋n 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤n n ＋122解析 由第一个等式13＝12，得13＝(1＋0)2；第二个等式13＋23＝32，得13＋23＝(1＋2)2；第三个等式13＋23＋33＝62，得13＋23＋33＝(1＋2＋3)2；第四个等式13＋23＋33＋43＝102，得13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，由此可猜想第n 个等式为13＋23＋33＋43＋…＋n 3＝(1＋2＋3＋…＋n )2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤n n ＋122.14．[2016·某某某某摸底]已知某程序框图如图所示．若a ＝0.62，b ＝30.5，c ＝log 0.55，则输出的数是________．答案 3解析 由程序框图可知，程序的功能是求三个数中的最大值，a ＝0.62＝0.36<1，b ＝30.5>1，c ＝log 0.55<0，故c <a <b ，所以输出的数为b ＝ 3.15．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位：万元)与机器运转时间x (单位：年)的关系为y ＝－x 2＋18x －25(x ∈N *)，则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元．答案 5 8解析 每台机器运转x 年的年平均利润为y x＝18－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋25x ，而x >0，故y x≤18－225＝8，当且仅当x ＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元．16．已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是________． 答案 4解析 依题意，得(x ＋1)(2y ＋1)＝9， ∴(x ＋1)＋(2y ＋1)≥2x ＋12y ＋1＝6，即x ＋2y ≥4.当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝2y ＋1，x ＋2y ＋2xy ＝8，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1时等号成立．∴x ＋2y 的最小值是4.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i (i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，求z 2.解 由(z 1－2)(1＋i)＝1－i ，得z 1－2＝1－i1＋i ，即z 1＝1－i 1＋i ＋2＝1－i21＋i 1－i ＋2＝2－i.设z 2＝a ＋2i(a ∈R )，则z 1·z 2＝(2－i)(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a )i. 又z 1·z 2是实数，∴4－a ＝0，∴a ＝4.∴z 2＝4＋2i.18．(本小题满分12分)已知x >0，y >0，且2x ＋5y ＝20. (1)求u ＝lg x ＋lg y 的最大值；(2)求1x ＋1y的最小值．解 (1)∵x >0，y >0，∴由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy .∵2x ＋5y ＝20，∴210xy ≤20，xy ≤10，当且仅当2x ＝5y 时，等号成立．因此有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，此时xy 有最大值10.∴u ＝lg x ＋lg y ＝lg (xy )≤lg 10＝1. ∴当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1. (2)∵x >0，y >0，∴1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ·2x ＋5y20＝120⎝⎛⎭⎪⎫7＋5y x ＋2x y ≥120⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋25y x ·2x y ＝7＋21020，当且仅当5y x ＝2x y 时，等号成立． 由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，5yx ＝2xy，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1010－203，y ＝20－4103.∴1x ＋1y 的最小值为7＋21020. 19．(本小题满分12分)设a 、b 、c 都是正数，求证：bc a ＋ac b ＋abc≥a ＋b ＋c . 证明 ∵a 、b 、c 都是正数， ∴bc a ，ca b ，abc 都是正数．∴bc a ＋ca b≥2c ，当且仅当a ＝b 时等号成立，ca b ＋abc≥2a ，当且仅当b ＝c 时等号成立， ab c ＋bca≥2b ，当且仅当a ＝c 时等号成立． 三式相加，得2⎝⎛⎭⎪⎫bc a ＋ca b ＋abc ≥2(a ＋b ＋c )，即bca＋cab＋abc≥a＋b＋c.当且仅当a＝b＝c时等号成立．20．[2016·苏锡常镇调研](本小题满分12分)记f n(x，y)＝(x＋y)n－(x n＋y n)，其中x，y为正实数，n∈N*.给定正实数a，b满足a＝bb－1.用数学归纳法证明：对于任意正整数n，f n(a，b)≥f n(2,2)．证明欲证不等式为(a＋b)n－a n－b n≥22n－2n＋1.(*)(1)当n＝1时，不等式(*)左边＝0，右边＝0，不等式(*)成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时，不等式(*)成立，即(a＋b)k－a k－b k≥22k－2k＋1.由a>0，b>0及a＝bb－1，得a＋b＝ab.∵a>0，b>0，∴a＋b≥2ab，从而ab≥4，a＋b＝ab≥4.进而a k b＋ab k≥2ab k＋1≥24k＋1＝2k＋2，则当n＝k＋1(k∈N*)时，不等式(*)左边＝(a＋b)k＋1－a k＋1－b k＋1＝(a＋b)[(a＋b)k－a k－b k]＋a k b＋ab k≥4[(a＋b)k－a k－b k]＋2k＋2≥4×(22k－2k＋1)＋2k＋2＝22(k＋1)－2(k＋1)＋1＝不等式(*)右边，∴当n＝k＋1时，不等式(*)成立．由(1)(2)知，对n∈N*，不等式(*)成立，即原不等式成立．21．(本小题满分12分)已知不等式mx2－2x－m＋1<0.(1)是否存在m对所有的实数x不等式恒成立？若存在，求出m的取值X围；若不存在，请说明理由；(2)设不等式对于满足|m|≤2的一切m的值都成立，求x的取值X围．解(1)不等式mx2－2x－m＋1<0恒成立，即函数f(x)＝mx2－2x－m＋1的图象全部在x轴下方．当m ＝0时，f (x )＝1－2x ，不满足f (x )<0恒成立；当m ≠0时，f (x )＝mx 2－2x －m ＋1，要使f (x )<0恒成立，需⎩⎪⎨⎪⎧ m <0，Δ＝4－4m 1－m <0，则m 无解．综上可知，不存在这样的m .(2)设g (m )＝(x 2－1)m ＋(1－2x )，则g (m )为一个以m 为自变量的一次函数，其图象是直线．由题意知，当－2≤m ≤2时，g (m )的图象为在x 轴下方的线段，∴⎩⎪⎨⎪⎧ g －2<0，g 2<0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ －2x 2－2x ＋3<0， ①2x 2－2x －1<0， ②解①得x <－1－72或x >－1＋72， 解②得1－32<x <1＋32. 由①②，得－1＋72<x <1＋32. ∴x 的取值X 围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ －1＋72<x <1＋32. 22．(本小题满分12分)首届世界低碳经济大会在某某召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为y ＝12x 2－200x ＋80000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？解 (1)由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为y x ＝12x ＋80000x －200≥212x ·80000x －200＝200(400≤x ≤600)，当且仅当12x ＝80000x，即x ＝400时等号成立．故该单位每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元．(2)不获利．设该单位每月获利为S ，则S ＝100x －y＝100x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－200x ＋80000 ＝－12x 2＋300x －80000 ＝－12(x －300)2－35000. ∵400≤x ≤600，∴S max ＝－12(400－300)2－35000＝－40000. 故该单位每月不获利，需要国家每月至少补贴40000元才能不亏损.。
高考考点完全题数学(理)考点通关练习题 第五章 不等式、推理与证明、算法初步与复数 38 Word版含答案
考点测试38 直接证明与间接证明一、基础小题1．命题“对于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos2θ”的证明：“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ”过程应用了( ) A．分析法B．综合法C．综合法、分析法综合使用D．间接证明法答案 B解析因为证明过程是“从左往右”，即由条件⇒结论．2．用反证法证明结论“三角形内角至少有一个不大于60°”，应假设( )A．三个内角至多有一个大于60°B．三个内角都不大于60°C．三个内角都大于60°D．三个内角至多有两个大于60°答案 C解析“三角形内角至少有一个不大于60°”即“三个内角至少有一个小于等于60°”，其否定为“三角形内角都大于60°”．故选C.3．若a，b，c是不全相等的实数，求证：a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ca.证明过程如下：∵a、b、c∈R，∴a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac.又∵a，b，c不全相等，∴以上三式至少有一个“＝”不成立．∴将以上三式相加得2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ac)．∴a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ca.此证法是( )A．分析法B．综合法C．分析法与综合法并用D．反证法答案 B解析由已知条件入手证明结论成立，满足综合法的定义．4．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证b2－ac <3a”索的因应是( )A．a－b>0 B．a－c>0C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0答案 C解析b2－ac<3a⇔b2－ac<3a2⇔(a＋c)2－ac<3a2⇔a2＋2ac＋c2－ac－3a2<0⇔－2a2＋ac＋c2<0⇔2a2－ac－c2>0⇔(a－c)(2a＋c)>0⇔(a－c)(a－b)>0.5．若P＝a＋a＋7，Q＝a＋3＋a＋4，a≥0，则P、Q的大小关系是( )A．P>Q B．P＝QC．P<Q D．由a的取值确定答案 C解析令a＝0，则P＝7≈2.6，Q＝3＋4≈3.7，∴P<Q.据此猜想a≥0时P<Q.证明如下：要证P<Q，只要证P2<Q2，只要证2a＋7＋2a a＋<2a＋7＋2a＋a＋，只要证a2＋7a<a2＋7a＋12，只要证0<12，∵0<12成立，∴P <Q 成立．故选C.6．两旅客坐火车外出旅游，希望座位连在一起，且有一个靠窗，已知火车上的座位如图所示，则下列座位号码符合要求的应当是( )C ．75,76D ．84,85答案 D解析 由已知图形中座位的排序规律可知，被5除余1的数和能被5整除的座位号靠窗，由于两旅客希望座位连在一起，且有一个靠窗，分析答案中的4组座位号知，只有D 符合条件．7．已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，有下列命题： ①α∥β⇒l ⊥m ；②α⊥β⇒l ∥m ； ③l ∥m ⇒α⊥β；④l ⊥m ⇒α∥β. 其中正确命题的序号是________． 答案 ①③ 解析 ①⎭⎪⎬⎪⎫l ⊥αα∥β⇒l ⊥β，又∵m ⊂β，∴l ⊥m ，①正确； ②l ⊥α，当l ⊂β且m 不垂直α时， 则l 必与m 相交，故②错误； ③⎭⎪⎬⎪⎫l ∥m l ⊥α⇒m ⊥α，又m ⊂β，∴β⊥α，故③正确； ④若α∩β＝n ，且m ∥n 时，l ⊥α⇒l ⊥n ⇒l ⊥m ，故④错误．8．记S ＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1，则S 与1的大小关系是________．答案 S <1解析 ∵1210＋1<1210，1210＋2<1210，…，1211－1＝1210＋210－1<1210， ∴S ＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1<1210＋1210＋…＋1210＝1.二、高考小题9．用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A ．方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根 B ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有一个实根 C ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有两个实根 D ．方程x 3＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根 答案 A解析 “方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”的否定是“方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根”．三、模拟小题10．用反证法证明：若整系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有有理数根，那么a ，b ，c 中至少有一个是偶数．用反证法证明时，下列假设正确的是( )A ．假设a ，b ，c 都是偶数B ．假设a ，b ，c 都不是偶数C ．假设a ，b ，c 至多有一个偶数D ．假设a ，b ，c 至多有两个偶数 答案 B解析 “至少有一个”的否定为“都不是”，故选B. 11．设a ，b ，c 是不全相等的正数，给出下列判断： ①(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≠0； ②a >b ，a <b 及a ＝b 中至少有一个成立； ③a ≠c ，b ≠c ，a ≠b 不能同时成立， 其中正确判断的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案 C解析 ①②正确；③中，a ≠b ，b ≠c ，a ≠c 可以同时成立，如a ＝1，b ＝2，c ＝3，故正确的判断有2个．12．设a ，b ，c 都是正数，则a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a三个数( )A ．都大于2B ．都小于2C ．至少有一个不大于2D ．至少有一个不小于2答案 D解析 假设a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a 都小于2，则有a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a<6.因为a ，b ，c 都是正数， 所以a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a＝⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋⎝⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1c ≥2a ·1a ＋2b ·1b＋2c ·1c＝6与a ＋1b＋b ＋1c＋c ＋1a<6矛盾．故假设不成立，所以a ＋1a ，b ＋1b ，c ＋1a至少有一个不小于2，故选D.13．设a >b >0，m ＝a －b ，n ＝a －b ，则m ，n 的大小关系是________． 答案 n >m解析 解法一(取特殊值法)：取a ＝2，b ＝1，则m <n .解法二(分析法)：a －b <a －b ⇐b ＋a －b >a ⇐a <b ＋2b ·a －b ＋a －b ⇐2b ·a －b >0，显然成立．一、高考大题1．设数列A ：a 1，a 2，…，a N (N ≥2)．如果对小于n (2≤n ≤N )的每个正整数k 都有a k <a n ，则称n 是数列A 的一个“G 时刻”．记G (A )是数列A 的所有“G 时刻”组成的集合．(1)对数列A ：－2,2，－1,1,3，写出G (A )的所有元素； (2)证明：若数列A 中存在a n 使得a n >a 1，则G (A )≠∅；(3)证明：若数列A 满足a n －a n －1≤1(n ＝2,3，…，N )，则G (A )的元素个数不小于a N －a 1.解 (1)G (A )的元素为2和5. (2)证明：因为存在a n 使得a n >a 1， 所以{i ∈N *|2≤i ≤N ，a i >a 1}≠∅. 记m ＝min{i ∈N *|2≤i ≤N ，a i >a 1}，则m ≥2，且对任意正整数k <m ，a k ≤a 1<a m . 因此m ∈G (A )．从而G (A )≠∅. (3)证明：当a N ≤a 1时，结论成立． 以下设a N >a 1. 由(2)知G (A )≠∅.设G (A )＝{n 1，n 2，…，n p }，n 1<n 2<…<n p .记n 0＝1，则a n 0<a n 1<a n 2<…<a n p . 对i ＝0,1，…，p ，记G i ＝{k ∈N *|n i <k ≤N ，a k >a n i }． 如果G i ≠∅，取m i ＝min G i ，则对任意1≤k <m i ，a k ≤a n i <a m i . 从而m i ∈G (A )且m i ＝n i ＋1.又因为n p 是G (A )中的最大元素，所以G p ＝∅. 从而对任意n p ≤k ≤N ，a k ≤a n p ，特别地，a N ≤a n p . 对i ＝0,1，…，p －1，a n i ＋1－1≤a n i .因此a n i ＋1＝a n i ＋1－1＋(a n i ＋1－a n i ＋1－1)≤a n i ＋1.所以a N －a 1≤a n p －a 1＝∑pi ＝1 (a n i －a n i －1)≤p .因此G (A )的元素个数p 不小于a N －a 1. 2．设数列{a n }满足⎪⎪⎪⎪⎪⎪a n －a n ＋12≤1，n ∈N *. (1)证明：|a n |≥2n －1(|a 1|－2)，n ∈N *；(2)若|a n |≤⎝ ⎛⎭⎪⎫32n ，n ∈N *，证明：|a n |≤2，n ∈N *.证明 (1)由⎪⎪⎪⎪⎪⎪a n －a n ＋12≤1，得|a n |－12|a n ＋1|≤1，故 |a n |2n －|a n ＋1|2n ＋1≤12n ，n ∈N *， 所以|a 1|21－|a n |2n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|a 1|21－|a 2|22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|a 2|22－|a 3|23＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|a n－1|2n －1－|a n |2n ≤121＋122＋…＋12n －1<1，因此|a n |≥2n －1(|a 1|－2)．(2)任取n ∈N *，由(1)知，对于任意m >n ，|a n |2n －|a m |2m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|a n |2n －|a n ＋1|2n ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|a n ＋1|2n ＋1－|a n ＋2|2n ＋2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|a m －1|2m －1－|a m |2m ≤12n ＋12n ＋1＋…＋12m －1<12n －1，故|a n |<⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋|a m |2m ·2n ≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤12n －1＋12m ·⎝ ⎛⎭⎪⎫32m ·2n＝2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫34m ·2n.从而对于任意m >n ，均有|a n |<2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫34m ·2n. ①由m 的任意性得|a n |≤2.否则，存在n 0∈N *，有|a n 0|>2，取正整数m 0>log 34|a n 0|－22n且m 0>n 0，则2 n0·⎝ ⎛⎭⎪⎫34m 0<2n 0·⎝ ⎛⎭⎪⎫34log 34 |a n 0|－22n0 ＝|a n 0|－2，与①式矛盾，综上，对于任意n ∈N *，均有|a n |≤2. 二、模拟大题3．已知函数f (x )＝3x －2x ，求证：对于任意的x 1，x 2∈R ，均有f x 1＋f x 22≥f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22.证明 要证明f x 1＋f x 22≥f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，即证明x1－2x 1＋x 2－2x 22≥3x 1＋x 22－2·x 1＋x 22，因此只要证明3 x1＋3 x22－(x 1＋x 2)≥3x 1＋x 22－(x 1＋x 2)，即证明3 x1＋3 x22≥3x 1＋x 22 ，因此只要证明3 x1＋3 x22≥3 x 1·3 x2，由于x 1，x 2∈R 时，3 x1>0,3 x2>0，由基本不等式知3 x1＋3 x 22≥3 x 1·3 x2显然成立，故原结论成立．4．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋S n ＝2. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求证：数列{a n }中不存在三项按原来顺序成等差数列． 解 (1)当n ＝1时，a 1＋S 1＝2a 1＝2，则a 1＝1. 又a n ＋S n ＝2，所以a n ＋1＋S n ＋1＝2， 两式相减得a n ＋1＝12a n ，所以{a n }是首项为1，公比为12的等比数列，所以a n ＝12n －1.(2)证明(反证法)：假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为a p ＋1，a q ＋1，a r ＋1(p <q <r ，且p ，q ，r ∈N *)，则2·12q ＝12p ＋12r ，所以2·2r －q ＝2r －p＋1.①又因为p <q <r ，所以r －q ，r －p ∈N *.所以①式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立． 所以假设不成立，原命题得证．。
高考考点完全题数学(理)考点通关练习题 第五章 不等式、推理与证明、算法初步与复数 39 Word版含答案
考点测试39 数学归纳法一、基础小题1．在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线为12n (n －3)条时，第一步检验第一个值n 0等于( )A ．1B ．2C ．3D ．0答案 C解析 边数最少的凸n 边形是三角形．2．用数学归纳法证明“1＋a ＋a 2＋…＋a n＝1－a n ＋11－a，a ≠1，n ∈N *”，在验证n ＝1时，左边是( )A ．1B ．1＋aC ．1＋a ＋a 2D ．1＋a ＋a 2＋a 3答案 B解析 当n ＝1时，代入原式有左边＝1＋a .故选B.3．对于不等式n 2＋n ≤n ＋1(n ∈N *)，某学生的证明过程如下： (1)当n ＝1时， 12＋1≤1＋1，不等式成立．(2)假设n ＝k (k ∈N *)时，不等式成立，即k 2＋k <k ＋1，则n ＝k ＋1时，k ＋2＋k ＋＝k 2＋3k ＋2<k 2＋3k ＋＋k ＋＝k ＋2＝(k ＋1)＋1.∴当n ＝k ＋1时，不等式成立． 上述证法( )A ．过程全都正确B ．n ＝1检验不正确C ．归纳假设不正确D ．从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理不正确 答案 D解析 n ＝1的验证及归纳假设都正确，但从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理中没有使用归纳假设，而通过不等式的放缩法直接证明，不符合数学归纳法的证题要求，故应选D.4．利用数学归纳法证明不等式1＋12＋13＋…＋12n －1<f (n )(n ≥2，n ∈N *)的过程，由n＝k 到n ＝k ＋1时，左边增加了( )A ．1项B ．k 项C ．2k －1项D ．2k项答案 D解析 1＋12＋13＋…＋12k ＋1－1－⎝ ⎛1＋12＋13＋…＋⎭⎪⎫12k－1＝12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1，共增加了2k项． 5．某个命题与自然数n 有关，若n ＝k (k ∈N *)时命题成立，那么可推得当n ＝k ＋1时该命题也成立，现已知n ＝5时，该命题不成立，那么可以推得( )A ．n ＝6时该命题不成立B ．n ＝6时该命题成立C ．n ＝4时该命题不成立D ．n ＝4时该命题成立答案 C解析 假设n ＝4时该命题成立，由题意可得n ＝5时，该命题成立，而n ＝5时，该命题不成立，所以n ＝4时，该命题不成立，而n ＝5，该命题不成立，不能推得n ＝6该命题是否成立，故选C.6．用数学归纳法证明1＋12＋14＋…＋12n －1>12764(n ∈N *)成立，其初始值至少应取( )A ．7B ．8C ．9D ．10答案 B解析 左边＝1＋12＋14＋…＋12n －1＝1－12n1－12＝2－12n －1，代入验证可知n 的最小值是8. 故选B.7．下列代数式(其中k ∈N *)能被9整除的是( ) A ．6＋6·7kB ．2＋7k －1C ．2(2＋7k ＋1) D ．3(2＋7k)答案 D解析 (1)当k ＝1时，显然只有3(2＋7k)能被9整除． (2)假设当k ＝n (n ∈N *)时，命题成立，即3(2＋7n)能被9整除， 那么3(2＋7n ＋1)＝21(2＋7n)－36，这就是说，k ＝n ＋1时命题也成立．由(1)(2)可知，命题对任何k ∈N *都成立．故选D. 8．设f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n，n ∈N ＋，那么f (n ＋1)－f (n )＝( ) A.12n ＋1B.12n ＋2 C.12n ＋1＋12n ＋2D.12n ＋1－12n ＋2答案 D解析 f (n ＋1)－f (n )＝1n ＋＋1＋1n ＋＋2＋…＋1n ＋＋n＋1n ＋＋n ＋－1n ＋1－1n ＋2－…－1n ＋n ＝12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1＝12n ＋1－12n ＋2. 9．用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n＋y n能被x ＋y 整除”的第二步是( ) A ．假使n ＝2k ＋1时正确，再推n ＝2k ＋3正确(k ∈N ＋) B ．假使n ＝2k －1时正确，再推n ＝2k ＋1正确(k ∈N ＋) C ．假使n ＝k 时正确，再推n ＝k ＋1正确(k ∈N ＋) D ．假使n ≤k (k ≥1)时正确，再推n ＝k ＋2时正确(k ∈N ＋) 答案 B解析 因为n 为正奇数，根据数学归纳法证题的步骤，第二步应先假设第k 个正奇数也成立，本题即假设n ＝2k －1正确，再推第k ＋1个正奇数，即n ＝2k ＋1正确．10．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n ×3n －1＝3n (na －b )＋c 对一切n ∈N *都成立，则a 、b 、c 的值为( )A ．a ＝12，b ＝c ＝14B ．a ＝b ＝c ＝14C ．a ＝0，b ＝c ＝14D ．不存在这样的a 、b 、c答案 A解析 ∵等式对一切n ∈N *均成立，∴n ＝1,2,3时等式成立，即⎩⎪⎨⎪⎧1＝a －b ＋c ，1＋2×3＝32a －b ＋c ，1＋2×3＋3×32＝33a －b ＋c ，整理得⎩⎪⎨⎪⎧3a －3b ＋c ＝1，18a －9b ＋c ＝7，81a －27b ＋c ＝34，解得a ＝12，b ＝c ＝14.11．在数列{a n }中，a 1＝13且S n ＝n (2n －1)a n ，通过计算a 2，a 3，a 4，猜想a n 的表达式是________．答案 a n ＝1n －n ＋解析 因为S n ＝n (2n －1)a n ，当n ＝2,3,4时，得出a 2＝115，a 3＝135，a 4＝163.a 1＝13＝11×3， a 2＝115＝13×5， a 3＝135＝15×7， a 4＝163＝17×9. ∴a n ＝12n －12n ＋1.12．已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，用数学归纳法证明f (2n)>n 2时，f (2k ＋1)－f (2k )＝________.答案12k＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋1 解析 ∵f (2k ＋1)＝1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋1，f (2k)＝1＋12＋13＋…＋12k ， ∴f (2k ＋1)－f (2k)＝12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋1.二、高考小题本考点在近三年高考中未涉及此题型． 三、模拟小题13．设f (x )是定义在正整数集上的函数，且f (x )满足：当f (k )≥k ＋1成立时，总能推出f (k ＋1)≥k ＋2成立，那么下列命题总成立的是( )A ．若f (1)<2成立，则f (10)<11成立B ．若f (3)≥4成立，则当k ≥1时，均有f (k )≥k ＋1成立C ．若f (2)<3成立，则f (1)≥2成立D ．若f (4)≥5成立，则当k ≥4时，均有f (k )≥k ＋1成立 答案 D解析 当f (k )≥k ＋1成立时，总能推出f (k ＋1)≥k ＋2成立，说明如果当k ＝n 时，f (n )≥n ＋1成立，那么当k ＝n ＋1时，f (n ＋1)≥n ＋2也成立，所以如果当k ＝4时，f (4)≥5成立，那么当k ≥4时，f (k )≥k ＋1也成立．一、高考大题1．已知集合X ＝{1,2,3}，Y n ＝{1,2,3，…，n }(n ∈N *)，设S n ＝{(a ，b )|a 整除b 或b 整除a ，a ∈X ，b ∈Y n }．令f (n )表示集合S n 所含元素的个数．(1)写出f (6)的值；(2)当n ≥6时，写出f (n )的表达式，并用数学归纳法证明． 解 (1)f (6)＝13. (2)当n ≥6时，f (n )＝⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2＋n 3，n ＝6t ，n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12＋n －13，n ＝6t ＋1，n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2＋n －23，n ＝6t ＋2，n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12＋n 3，n ＝6t ＋3，n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2＋n －13，n ＝6t ＋4，n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12＋n －23，n ＝6t ＋5(t ∈N *)．下面用数学归纳法证明：①当n ＝6时，f (6)＝6＋2＋62＋63＝13，结论成立；②假设n ＝k (k ≥6)时结论成立，那么n ＝k ＋1时，S k ＋1在S k 的基础上新增加的元素在(1，k ＋1)，(2，k ＋1)，(3，k ＋1)中产生，分以下情形讨论：a ．若k ＋1＝6t ，则k ＝6(t －1)＋5，此时有f (k ＋1)＝f (k )＋3＝k ＋2＋k －12＋k －23＋3＝(k ＋1)＋2＋k ＋12＋k ＋13，结论成立；b ．若k ＋1＝6t ＋1，则k ＝6t ，此时有f (k ＋1)＝f (k )＋1＝k ＋2＋k 2＋k 3＋1＝(k ＋1)＋2＋k ＋－12＋k ＋－13，结论成立；c ．若k ＋1＝6t ＋2，则k ＝6t ＋1，此时有f (k ＋1)＝f (k )＋2＝k ＋2＋k －12＋k －13＋2＝(k ＋1)＋2＋k ＋12＋k ＋－23，结论成立；d ．若k ＋1＝6t ＋3，则k ＝6t ＋2，此时有f (k ＋1)＝f (k )＋2 ＝k ＋2＋k 2＋k －23＋2＝(k ＋1)＋2＋k ＋－12＋k ＋13，结论成立；e ．若k ＋1＝6t ＋4，则k ＝6t ＋3，此时有f (k ＋1)＝f (k )＋2＝k ＋2＋k －12＋k3＋2 ＝(k ＋1)＋2＋k ＋12＋k ＋－13，结论成立；f ．若k ＋1＝6t ＋5，则k ＝6t ＋4，此时有f (k ＋1)＝f (k )＋1＝k ＋2＋k 2＋k －13＋1＝(k ＋1)＋2＋k ＋－12＋k ＋－23，结论成立．综上所述，结论对满足n ≥6的自然数n 均成立．2．设函数f (x )＝ln (1＋x )，g (x )＝xf ′(x )，x ≥0，其中f ′(x )是f (x )的导函数． (1)令g 1(x )＝g (x )，g n ＋1(x )＝g (g n (x ))，n ∈N ＋，求g n (x )的表达式； (2)若f (x )≥ag (x )恒成立，求实数a 的取值范围；(3)设n ∈N ＋，比较g (1)＋g (2)＋…＋g (n )与n －f (n )的大小，并加以证明． 解 由题设得，g (x )＝x1＋x(x ≥0)．(1)由已知得，g 1(x )＝x 1＋x ，g 2(x )＝g (g 1(x ))＝x1＋x 1＋x 1＋x＝x1＋2x，g 3(x )＝x1＋3x，…，可得g n (x )＝x1＋nx. 下面用数学归纳法证明．①当n ＝1时，g 1(x )＝x1＋x ，结论成立．②假设n ＝k 时结论成立，即g k (x )＝x1＋kx .那么，当n ＝k ＋1时，g k ＋1(x )＝g (g k (x ))＝g k x1＋g kx＝x1＋kx1＋x 1＋kx ＝x 1＋k ＋x，即结论成立．由①②可知，结论对n ∈N ＋成立．(2)已知f (x )≥ag (x )恒成立，即ln (1＋x )≥ax1＋x 恒成立．设φ(x )＝ln (1＋x )－ax1＋x(x ≥0)， 即φ′(x )＝11＋x－a＋x2＝x ＋1－a＋x2， 当a ≤1时，φ′(x )≥0(仅当x ＝0，a ＝1时等号成立)， ∴φ(x )在有φ′(x )<0， ∴φ(x )在(0，a －1]上单调递减， ∴φ(a －1)<φ(0)＝0.即a >1时，存在x >0，使φ(x )<0，故知ln (1＋x )≥ax1＋x 不恒成立，综上可知，a 的取值范围是(－∞，1]．(3)由题设知g (1)＋g (2)＋…＋g (n )＝12＋23＋…＋nn ＋1，n －f (n )＝n －ln (n ＋1)，比较结果为g (1)＋g (2)＋…＋g (n )>n －ln (n ＋1)．证明如下：证法一：上述不等式等价于12＋13＋…＋1n ＋1<ln (n ＋1)，在(2)中取a ＝1，可得ln (1＋x )>x1＋x ，x >0.令x ＝1n ，n ∈N ＋，则1n ＋1<ln n ＋1n .下面用数学归纳法证明．①当n ＝1时，12<ln 2，结论成立．②假设当n ＝k 时结论成立，即12＋13＋…＋1k ＋1<ln (k ＋1)．那么，当n ＝k ＋1时，12＋13＋…＋1k ＋1＋1k ＋2<ln (k ＋1)＋1k ＋2<ln (k ＋1)＋ln k ＋2k ＋1＝ln (k ＋2)， 即结论成立．由①②可知，结论对n ∈N ＋成立．证法二：上述不等式等价于12＋13＋…＋1n ＋1<ln (n ＋1)，在(2)中取a ＝1，可得ln (1＋x )>x1＋x ，x >0.令x ＝1n ，n ∈N ＋，则ln n ＋1n >1n ＋1.故有ln 2－ln 1>12，ln 3－ln 2>13，……ln (n ＋1)－ln n >1n ＋1， 上述各式相加可得ln (n ＋1)>12＋13＋…＋1n ＋1.结论得证．证法三：如图，⎠⎛0n x x ＋1d x 是由曲线y ＝xx ＋1，x ＝n 及x 轴所围成的曲边梯形的面积，而12＋23＋…＋nn ＋1是图中所示各矩形的面积和，∴12＋23＋…＋n n ＋1>⎠⎛0n x x ＋1d x ＝⎠⎛0n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x ＋1dx ＝n －ln (n ＋1)， 结论得证． 二、模拟大题3．已知等差数列{a n }的公差d 大于0，且a 2，a 5是方程x 2－12x ＋27＝0的两根，数列{b n }的前n 项和为T n ，且T n ＝1－12b n (n ∈N *)．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)设数列{a n }的前n 项和为S n ，试比较1b n与S n ＋1的大小，并给出证明．解 (1)由(x －9)(x －3)＝0，且d >0，可得a 2＝3，a 5＝9， 从而公差d ＝a 5－a 23＝2，a 1＝1，∴a n ＝2n －1(n ∈N *)．∵T n ＝1－12b n ，∴令n ＝1，可得b 1＝T 1＝1－12b 1，解得b 1＝23.当n ≥2时，b n ＝T n －T n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12b n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12b n －1 ＝12b n －1－12b n ，得b n b n －1＝13(n ≥2)， ∴数列{b n }是以23为首项，13为公比的等比数列．∴b n ＝23·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝23n (n ∈N *)．(2)∵S n ＝n [1＋n －2＝n 2，∴S n ＋1＝(n ＋1)2，1b n ＝3n2.当n ＝1时，1b 1＝32，S 2＝4，∴1b 1<S 2；当n ＝2时，1b 2＝92，S 3＝9，∴1b 2<S 3；当n ＝3时，1b 3＝272，S 4＝16，∴1b 3<S 4；当n ＝4时，1b 4＝812，S 5＝25，∴1b 4>S 5；…猜想：n ≥4时，1b n>S n ＋1.以下用数学归纳法证明： ①n ＝4时，不等式成立．②假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥4)时，不等式成立， 即3k2>(k ＋1)2， 则当n ＝k ＋1时，∵1b k ＋1＝3·3k2>3(k ＋1)2＝3k 2＋6k ＋3 ＝(k 2＋4k ＋4)＋(2k 2＋2k －1) >k 2＋4k ＋4＝(k ＋2)2＝S k ＋2， ∴当n ＝k ＋1时，不等式也成立．由①②可知，当n ∈N *，n ≥4时，1b n>S n ＋1成立．综上所述，当n ＝1,2,3时，1b n<S n ＋1；当n ≥4时，1b n>S n ＋1.4．已知函数f (x )＝a ln x ＋2x ＋1(a ∈R )． (1)当a ＝1时，求f (x )在x ∈[1，＋∞)内的最小值； (2)若f (x )存在单调递减区间，求a 的取值范围； (3)求证ln (n ＋1)>13＋15＋17＋…＋12n ＋1(n ∈N *)．解 (1)当a ＝1时，f (x )＝ln x ＋2x ＋1，定义域为(0，＋∞)． 因为f ′(x )＝1x－2x ＋2＝x 2＋1x x ＋2>0，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数，所以f (x )在x ∈[1，＋∞)内的最小值为f (1)＝1.(2)f ′(x )＝a x －2x ＋2＝ax 2＋a －x ＋a x x ＋2，因为f (x )存在单调递减区间，所以f ′(x )<0有正数解，即ax 2＋2(a －1)x ＋a <0有正数解．①当a ＝0时，明显成立．②当a <0时，h (x )＝ax 2＋2(a －1)x ＋a 是开口向下的抛物线，所以ax 2＋2(a －1)x ＋a <0有正数解．③当a >0时，h (x )＝ax 2＋2(a －1)x ＋a 是开口向上的抛物线，即方程ax 2＋2(a －1)x ＋a ＝0有正根．因为x 1x 2＝1>0，所以方程ax 2＋2(a －1)x ＋a ＝0有两正根，所以⎩⎪⎨⎪⎧ Δ>0，x 1＋x 2>0，解得0<a <12. 综合①②③知，a <12. (3)证明：当n ＝1时，ln (n ＋1)＝ln 2，∵3ln 2＝ln 8>1，∴ln 2>13，即当n ＝1时，不等式成立． 设当n ＝k 时，ln (k ＋1)>13＋15＋…＋12k ＋1成立． 当n ＝k ＋1时，ln (n ＋1)＝ln (k ＋2)＝ln (k ＋1)＋ln k ＋2k ＋1>13＋15＋…＋12k ＋1＋ln k ＋2k ＋1. 根据(1)的结论可知，当x >1时，ln x ＋2x ＋1>1，即ln x >x －1x ＋1. 令x ＝k ＋2k ＋1，所以ln k ＋2k ＋1>12k ＋3，则有ln (k ＋2)>13＋15＋…＋12k ＋1＋12k ＋3，即当n ＝k ＋1时，不等式也成立．综上可知不等式成立．。
[精品]2018年高考数学理科考点过关习题第五章不等式推理与证明算法初步与复数40和答案
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考点测试40 算法初步一、基础小题1．给出如下图程序框图，其功能是( )A．求a－b的值B．求b－a的值C ．求|a －b |的值D ．以上都不对答案 C解析 求|a －b |的值．2．执行如图所示的程序框图．若输出y ＝－3，则输入角θ＝( )A.π6 B ．－π6C.π3 D ．－π3答案 D解析 由输出y ＝－3<0，排除A ，C ，又当θ＝－π3时，输出y ＝－3，故选D.3．已知一个算法： ①m ＝a ；②如果b <m ，则m ＝b ，输出m ，结束算法；否则执行第3步； ③如果c <m ，则m ＝c ，输出m .如果a＝3，b＝6，c＝2，那么执行这个算法的结果是( )A．3 B．6C．2 D．m答案 C解析当a＝3，b＝6，c＝2时，依据算法设计，执行后，m＝a ＝3<b＝6，c＝2<a＝3＝m，∴c＝2＝m，即输出m的值为2，故选C.4．如图所示的程序框图中，循环体执行的次数是( )A．50 B．49C．100 D．99答案 B解析从程序框图反映的算法是S＝2＋4＋6＋8＋…，i的初始值为2，由i＝i＋2知，执行了49次时，i＝100，满足i≥100，退出循环．5．程序：若输入a ＝10，则输出的结果是( ) A ．20 B ．10 C ．100 D ．200答案 C解析 程序所表示的函数表达式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2aa ，a 2a，∴当a ＝10时，y ＝102＝100.6．如图所示程序框图的功能是：给出以下十个数：5,9,80,43,95,73,28,17,60,36，把大于60的数找出来，则框图中的①②应分别填入的是( )A．x>60？，i＝i－1 B．x<60？，i＝i＋1C．x>60？，i＝i＋1 D．x<60？，i＝i－1答案 C解析对于A，D，由于i＝i－1，则会进入死循环，而对于B，选出的数小于60，故选C.7．在十进制中，2004＝4×100＋0×101＋0×102＋2×103，那么在5进制中数码2004折合成十进制为( )A．29 B．254C．602 D．2004答案 B解析2004＝4×50＋0×51＋0×52＋2×53＝254，故选B.8．当x＝0.2时，用秦九韶算法计算多项式f(x)＝3x6＋4x5＋5x4＋6x3＋7x2＋8x＋1的值时，需要做乘法和加法的次数分别是( ) A．6,6 B．5,6C．5,5 D．6,5答案 A解析由f(x)＝(((a6x＋a5)x＋a4)x＋…＋a1)x＋a0，所以共需要6次加法和6次乘法，故选A.9．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入x的值为－4，则输出y的值为( )A．0.5 B．1C．2 D．4答案 C解析当x＝－4时，|－4|>3，所以x＝|－4－3|＝7.又|7|>3，所以x＝|7－3|＝4.又|4|>3，所以x＝|4－3|＝1.又|1|<3，所以输出y＝21＝2.故选C.10．如图，程序框图中的算法输出的结果为( )A.12B.23C.34D.45答案 C解析 分别计算i 与相应的m ，n 取值依次为i ＝2，m ＝1，n ＝12；i ＝3，m ＝2，n ＝23；i ＝4, m ＝3，n ＝34，此时由判断框可知程序结束，故输出n ＝34，故选C.11．为了求满足1＋2＋3＋…＋n <2013的最大的自然数n ，程序框图如图所示，则输出框中应填输出( )A．i－2 B．i－1C．i D．i＋1答案 A解析依次执行程序框图：S＝0＋1，i＝2；S＝0＋1＋2，i＝3；S＝0＋1＋2＋3，i＝4；……由此可得S＝1＋2＋3＋…＋n时，i＝n＋1；经检验知当S＝1＋2＋3＋…＋62＝1953时，i＝63，满足条件进入循环；S＝1＋2＋3＋…＋62＋63＝2016时，i＝64，不满足条件，退出循环．所以应该输出62，即i－2.故选A.12．下图是用模拟方法估计圆周率π值的程序框图，P 表示估计结果，则图中空白框内应填入( )A ．P ＝N 1000B ．P ＝4N1000C ．P ＝M1000D ．P ＝4M 1000答案 D解析 利用几何概型，构造一个边长为1的正方形及其内一个半径为1、圆心角为90°的扇形，易知扇形的面积S ≈M1000，又由面积公式得S ＝14π×12≈M 1000，解得π≈4M 1000，所以选D.二、高考小题13．下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为14,18，则输出的a＝( )A．0 B．2C．4 D．14答案 B解析开始：a＝14，b＝18，第一次循环：a＝14，b＝4；第二次循环：a＝10，b＝4；第三次循环：a＝6，b＝4；第四次循环：a＝2，b＝4；第五次循环：a＝2，b＝2.此时，a＝b，退出循环，输出a＝2.14．执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k 值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 B解析 k ＝0，b ＝1.a ＝－12，k ＝1；a ＝－11－12＝－2，k ＝2；a ＝－11－2＝1，满足a ＝b ，故输出k ＝2，故选B.15．阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为( )A．2 B．4C．6 D．8答案 B解析S＝4，n＝1；S＝8，n＝2；S＝2，n＝3；S＝4，n＝4，结束循环，输出S＝4，故选B.16．执行下面的程序框图，如果输入的a＝4，b＝6，那么输出的n＝( )A．3 B．4C．5 D．6答案 B解析第一次循环：a＝2，b＝4，a＝6，s＝6，n＝1；第二次循环：a＝－2，b＝6，a＝4，s＝10，n＝2；第三次循环：a＝2，b＝4，a＝6，s＝16，n＝3；第四次循环：a＝－2，b＝6，a＝4，s＝20，n＝4.结束循环，输出n的值为4，故选B.17．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3,2，则输出v的值为( )A．9 B．18C．20 D．35答案 B解析执行程序框图，n＝3，x＝2，v＝1，i＝2≥0；v＝1×2＋2＝4，i＝1≥0；v＝4×2＋1＝9，i＝0≥0；v＝9×2＋0＝18，i ＝－1<0，结束循环，输出v＝18.故选B.18．中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，下图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x＝2，n＝2，依次输入的a为2,2,5，则输出的s＝( )A．7 B．12C．17 D．34答案 C解析k＝0，s＝0，输入a＝2，s＝0×2＋2＝2，k＝1；输入a ＝2，s＝2×2＋2＝6，k＝2；输入a＝5，s＝6×2＋5＝17，k＝3>2，输出s＝17.故选C.19．执行下面的程序框图，如果输入的x＝0，y＝1，n＝1，则输出x，y的值满足( )A．y＝2x B．y＝3x C．y＝4x D．y＝5x答案 C解析x＝0，y＝1，n＝1；x＝0，y＝1，n＝2；x＝12，y＝2，n＝3；x＝32，y＝6，此时x2＋y2>36，输出x＝32，y＝6，满足y＝4x.故选C.20．设a是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数，将组成a的3个数字按从小到大排成的三位数记为I(a)，按从大到小排成的三位数记为D(a)(例如a＝815，则I(a)＝158，D(a)＝851)．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a，输出的结果b＝________.答案495解析设组成数a的三个数字是m、n、p，其中1≤m<n<p≤9，∴b＝D(a)－I(a)＝100p＋10n＋m－100m－10n－p＝99(p－m)＝100(p－m)－(p－m)＝100(p－m－1)＋90＋(10－p＋m)，即数b的十位数字一定是9.由题意可知，程序循环到最后一次，a的十位数字就是9，设a 的另两个数字是x、y，其中1≤y<x≤8，此时，D(a)＝900＋10x＋y，I(a)＝100y＋10x＋9，b＝891－99y，若891－99y＝100x＋90＋y，则801＝100(x＋y)，无解．若891－99y＝100y＋90＋x，则801＝199y ＋x，解得x＝5，y＝4.所以b＝495.三、模拟小题21．如图，若f(x)＝log3x，g(x)＝log2x，输入x＝0.25，则输出的h(x)＝( )A．0.25 B．2log32C．－12log23 D．－2答案 D解析当x＝0.25时，f(x)＝log314∈(－2，－1)，g(x)＝log214＝－2，∴f(x)>g(x)，故选D.22．如图所示程序框图(算法流程图)的输出结果是( )A ．3B ．11C ．38D ．123答案 D解析 第一步：a ＝12＋2＝3<12；第二步：a ＝32＋2＝11<12；第三步：a ＝112＋2＝123>12，跳出循环，输出a ＝123.故选D.23．运行如图所示的程序框图，则输出的结果S 为( )A ．2016B ．2015C ．1008D ．1007答案 C解析 根据题意，该程序运行的是当k <2016时，计算S ＝0＋1－2＋3－4＋…＋(－1)k －1·k .∴该程序运行后输出的是S ＝0＋1－2＋3－4＋…＋(－1)2014·2015＝12×(2015＋1)＝1008.故选C.24．执行如图所示的程序框图，如果输入m ＝30，n ＝18，则输出的m 的值为( )A．0 B．6C．12 D．18答案 B解析如果输入m＝30，n＝18，第一次执行循环体后，r＝12，m＝18，n＝12，不满足输出条件；第二次执行循环体后，r＝6，m＝12，n＝6，不满足输出条件；第三次执行循环体后，r＝0，m＝6，n ＝0，满足输出条件，故输出的m值为6.故选B.25．如图是计算12＋14＋16＋…＋120的值的一个程序框图，其中在判断框内可填入的条件是( )A．i<10 B．i>10C．i<20 D．i>20答案 B解析要实现所求算法，框图中最后一次执行循环体时i的值应为10，结合不满足条件时执行循环体知当i＝11>10时就会终止循环，所以判断框内的条件可为i>10.故选B.26．如图甲所示的茎叶图为高三某班60名学生某次数学模拟考试的成绩，算法框图(图乙)中输入的a i为茎叶图中学生的成绩，则输出的m，n，k分别是( )图甲图乙A．m＝18，n＝31，k＝11 B．m＝18，n＝33，k＝9C．m＝20，n＝30，k＝9 D．m＝20，n＝29，k＝11答案 B解析根据程序框图，可知m表示数学成绩a i<90的学生人数，则m＝18；n表示数学成绩90≤a i≤120的学生人数，则n＝33；k表示数学成绩a i>120的学生人数，则k＝9.故选B.本考点在近三年高考中未涉及此题型．。
2019年高考数学(理)考点通关训练第五章不等式、推理与证明、算法初步与复数 41及答案
考点测试41 复一、基础小题1．若复z 满足z (2－i)＝11＋7i(i 为虚单位)，则z 为( ) A ．3＋5i B ．3－5i C ．－3＋5i D ．－3－5i答案 A解析 z ＝11＋7i2－i＝11＋7i 2＋i 2－i2＋i ＝15＋25i5＝3＋5i.2.如图，在复平面内，点A 表示复z ，由图中表示z 的共轭复的点是( )A ．AB ．BC ．CD ．D答案 B解析 表示复z 的点A 与表示z 的共轭复的点关于x 轴对称，∴B 点表示z .选B.3．若i(x ＋y i)＝3＋4i ，x ，y ∈R ，则复x ＋y i 的模是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5答案 D解析 由题意知x ＋y i ＝3＋4i i ＝4－3i ，所以|x ＋y i|＝|4－3i|＝42＋－2＝5.4．若复z 满足1＋2iz＝i(i 为虚单位)，则z 的虚部为( )A ．－2B ．2C ．1D ．－1答案 D解析 由1＋2i z ＝i ，可得z ＝1＋2i i ＝i ＋2i 2i 2＝－2＋i －1＝2－i ，所以z 的虚部为－1，故选D.5．复z ＝i1＋i 在复平面上对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 A解析 因为z ＝i 1＋i ＝1＋i2，所以对应点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，故在第一象限，选A.6．复i 2＋i 3＋i 41－i ＝( )A ．－12－12iB ．－12＋12iC.12－12iD.12＋12i 答案 C解析 i 2＋i 3＋i 41－i ＝－＋－＋11－i＝－i 1－i ＝－＋－＋＝1－i 2＝12－12i.7．设i 是虚单位，复1＋a i2－i 为纯虚，则实a 为( )A ．2B ．－2C ．－12D.12答案 A解析 解法一：因为1＋a i2－i ＝＋a ＋－＋＝2－a ＋a ＋5为纯虚，所以2－a ＝0，a ＝2.解法二：令1＋a i2－i ＝m i(m ≠0)，∴1＋a i ＝(2－i)m i ＝m ＋2m i.∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，a ＝2m ，∴a ＝2.8．在复平面内，向量AB →对应的复是2＋i ，向量CB →对应的复是－1－3i ，则向量CA →对应的复为( )A ．1－2iB ．－1＋2iC ．3＋4iD ．－3－4i答案 D解析 CA →＝CB →－AB →＝－1－3i －2－i ＝－3－4i ，故选D. 9．设z 是复，则下列命题中的假命题是( ) A ．若z 2≥0，则z 是实 B ．若z 2<0，则z 是虚 C ．若z 是虚，则z 2≥0 D ．若z 是纯虚，则z 2<0答案 C解析 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，z 2＝a 2－b 2＋2ab i ，由z 2≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝0，a 2≥b 2，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，|a |≥|b |或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝0，|a |≥|b |.所以a ＝0时b ＝0，b ＝0时a ∈R .故z 是实，所以A 为真命题；由于实的平方不小于0，所以当z 2<0时，z 一定是虚，故B 为真命题；由于i 2＝－1<0，故C 为假命题，D 为真命题．10．关于复z ＝＋21－i，下列说法中正确的是( )A ．在复平面内复z 对应的点在第一象限B ．复z 的共轭复z ＝1－iC ．若复z 1＝z ＋b (b ∈R )为纯虚，则b ＝1D ．设a ，b 为复z 的实部和虚部，则点(a ，b )在以原点为圆心，半径为1的圆上答案 C解析 由题可知z ＝＋21－i＝2i 1－i＝－1＋i ，若z ＋b (b ∈R )为纯虚，则b ＝1，故选C.11．如图，在复平面内，已知复z 1，z 2，z 3对应的向量分别是OA →，OB →，OC →，i 是虚单位，若复z ＝z 1·z 2z 3，则|z ＋112i|＝( )A ．3 B.10＋11 C.6＋11 D.32答案 A解析 由题图可知，z 1＝3＋i ，z 2＝1－2i ，z 3＝－2＋2i ，则z ＝z 1·z 2z 3＝＋－－2＋2i ＝－52，∴z ＋112i ＝－52＋112i ，|z＋112i|＝⎝⎛⎭⎪⎫－522＋⎝⎛⎭⎪⎪⎫1122＝3，故选A.12．已知复z＝x＋y i，且|z－2|＝3，则yx的最大值为________．答案 3解析|z－2|＝x－2＋y2＝3，∴(x－2)2＋y2＝3，⎝⎛⎭⎪⎫yx max＝31＝ 3.二、高考小题13．若z＝1＋2i，则4iz z－1＝( )A．1 B．－1C．i D．－i答案 C解析∵z z＝(1＋2i)(1－2i)＝5，∴4iz z－1＝4i4＝i.故选C. 14．设(1＋i)x＝1＋y i，其中x，y是实，则|x＋y i|＝( ) A．1 B. 2C. 3 D．2答案 B解析 ∵x ，y ∈R ，(1＋i)x ＝1＋y i ，∴x ＋x i ＝1＋y i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，∴|x ＋y i|＝|1＋i|＝12＋12＝ 2.故选B.15．已知z ＝(m ＋3)＋(m －1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实m 的取值范围是( )A ．(－3,1)B ．(－1,3)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－3)答案 A解析 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋3>0，m －1<0⇒⎩⎪⎨⎪⎧m >－3，m <1⇒－3<m <1.故选A.16．若复z 满足2z ＋z ＝3－2i ，其中i 为虚单位，则z ＝( ) A ．1＋2i B ．1－2i C ．－1＋2i D ．－1－2i答案 B解析 设z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )，则2z ＋z ＝2(a ＋b i)＋a －b i ＝3a ＋b i ＝3－2i ，∴a ＝1，b ＝－2，∴z ＝1－2i ，故选B.17．设i 为虚单位，则(x ＋i)6的展开式中含x 4的项为( ) A ．－15x 4 B ．15x 4 C ．－20i x 4 D ．20i x 4答案 A解析 T 3＝C 26x 4i 2＝－15x 4，故选A.18．设复z 满足1＋z 1－z ＝i ，则|z |＝( )A ．1B. 2C. 3 D ．2答案 A解析 由已知1＋z 1－z ＝i ，可得z ＝i －1i ＋1＝－2＋－＝－2i－2＝i ，∴|z |＝|i|＝1，故选A.19．i 为虚单位，i 607的共轭复为( ) A ．i B ．－i C ．1 D ．－1答案 A解析 ∵i 607＝i 4×151＋3＝(i 4)151·i 3＝－i ， ∴i 607的共轭复为i.20．已知a ，b ∈R ，i 是虚单位．若(1＋i)·(1－b i)＝a ，则ab的值为________．答案 2解析 由(1＋i)(1－b i)＝a ，得1＋b ＋(1－b )i ＝a ，则⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1＝a ，1－b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，所以ab＝2.21．设a ∈R .若复(1＋i)(a ＋i)在复平面内对应的点位于实轴上，则a ＝________.答案 －1解析 (1＋i)(a ＋i)＝(a －1)＋(a ＋1)i ， ∵a ∈R ，该复在复平面内对应的点位于实轴上， ∴a ＋1＝0，∴a ＝－1.22．复z ＝(1＋2i)(3－i)，其中i 为虚单位，则z 的实部是________．答案 5解析 (1＋2i)(3－i)＝3＋5i －2i 2＝5＋5i ，所以z 的实部为5. 23．i 是虚单位，若复(1－2i)(a ＋i)是纯虚，则实a 的值为________．答案 －2解析 ∵(1－2i)(a ＋i)＝2＋a ＋(1－2a )i 为纯虚，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－2a ≠0，2＋a ＝0，解得a ＝－2.三、模拟小题24．已知i 是虚单位，则i 20151＋i ＝( )A.1－i 2B.1＋i 2C.－1－i 2D.－1＋i 2答案 C解析 i 20151＋i ＝－i 1＋i＝－－2＝－1－i 2，故选C.25．在复平面内，复3－i1－i 对应的点的坐标为( )A ．(2,1)B ．(1，－2)C ．(1,2)D ．(2，－1)答案 A 解析 z ＝3－i1－i＝－＋－＋＝4＋2i 2＝2＋i ，所对应的点的坐标是(2,1)，故选A.26．复z 满足：(3－4i)z ＝1＋2i ，则z ＝( )A ．－15＋25iB.15－25i C ．－15－25iD.15＋25i 答案 A解析 由(3－4i)z ＝1＋2i ，得z ＝1＋2i3－4i ＝＋＋－＋＝3＋4i ＋6i －825＝－5＋10i 25＝－15＋25i ，故选A.27．已知复z 满足z i ＝2i ＋x (x ∈R )，若z 的虚部为2，则|z |＝( )A ．2B ．2 2 C. 5 D. 3答案 B解析 由z i ＝2i ＋x ，得z ＝2i ＋xi＝＋x i×i＝－2＋x i－1＝2－x i ，又z 的虚部为2，得x ＝－2，得z ＝2＋2i ，所以|z |＝22＋22＝22，故选B.28．已知a ，b ∈R ，i 是虚单位，若a －i 与2＋b i 互为共轭复，则(a ＋b i)2＝( )A ．5－4iB ．5＋4iC ．3－4iD ．3＋4i答案 D解析 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，所以(a ＋b i)2＝(2＋i)2＝3＋4i.故选D.29．设复z 1＝3＋2i ，z 2＝1－i ，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1＋2z 2＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5答案 D解析 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1＋2z 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3＋2i ＋21－i ＝|3＋2i ＋(1＋i)|＝|4＋3i|＝5.30．已知z 为复，(1－i)2z ＝(1＋i)3(i 为虚单位)，则z ＝( ) A ．1＋i B ．－1＋i C ．1－i D ．－1－i答案 B解析 由题意，得z ＝＋3－2＝＋－2i＝－1－i ，则z ＝－1＋i.31．设i 为虚单位，已知z 1＝1－i 1＋i ，z 2＝－12＋32i ，则|z 1|，|z 2|的大小关系是( )A ．|z 1|<|z 2|B ．|z 1|＝|z 2|C ．|z 1|>|z 2|D ．无法比较答案 B解析 ∵|z 1|＝|1－i||1＋i|＝22＝1，|z 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12＋32i ＝1，∴|z 1|＝|z 2|.32．已知a ，b ∈R ，i 是虚单位，若a ＋i ＝3－b i ，则a ＋b i1－i＝( )A ．2－iB ．2＋iC．1－2i D．1＋i 答案 B解析∵a＋i＝3－b i，∴a＝3，b＝－1，则a＋b i1－i＝3－i1－i＝2＋i，故选B.33．复z＝a＋b i(a，b∈R)，i是虚单位，z是z的共轭复，则下列判断正确的是( )A．z＋z是纯虚B．z2≥0C.z的虚部为－b i D．若z2＝－1，则z＝±i答案 D解析z＋z＝2a是实，排除A；z的平方不一定是实，则z2≥0错误，排除B；z的虚部为－b，排除C；若z2＝－1，则z＝±i，D 正确，故选D.34．若复(2＋a i)2(a∈R)是实，则a＝________.答案0解析因为(2＋a i)2(a∈R)＝4＋4a i＋a2i2＝4－a2＋4a i为实，∴a＝0，故答案为0.本考点在近三年高考中未涉及此题型．。
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考点测试40 算法初步一、基础小题1．给出如下图程序框图，其功能是( )A．求a－b的值B．求b－a的值C．求|a－b|的值D．以上都不对答案 C解析求|a－b|的值．2．执行如图所示的程序框图．若输出y＝－3，则输入角θ＝( )A.π6 B ．－π6C.π3 D ．－π3答案 D解析 由输出y ＝－3<0，排除A ，C ，又当θ＝－π3时，输出y ＝－3，故选D.3．已知一个算法： ①m ＝a ；②如果b <m ，则m ＝b ，输出m ，结束算法；否则执行第3步； ③如果c <m ，则m ＝c ，输出m .如果a ＝3，b ＝6，c ＝2，那么执行这个算法的结果是( ) A ．3 B ．6 C ．2 D ．m 答案 C解析 当a ＝3，b ＝6，c ＝2时，依据算法设计，执行后，m ＝a ＝3<b ＝6，c ＝2<a ＝3＝m ，∴c ＝2＝m ，即输出m 的值为2，故选C.4．如图所示的程序框图中，循环体执行的次数是( )A ．50B ．49C ．100D ．99答案 B解析 从程序框图反映的算法是S ＝2＋4＋6＋8＋…，i 的初始值为2，由i ＝i ＋2知，执行了49次时，i ＝100，满足i ≥100，退出循环．5．程序：若输入a ＝10，则输出的结果是( ) A ．20 B ．10 C ．100 D ．200答案 C解析 程序所表示的函数表达式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2aa ，a 2a，∴当a＝10时，y＝102＝100.6．如图所示程序框图的功能是：给出以下十个数：5,9,80,43,95,73,28,17,60,36，把大于60的数找出来，则框图中的①②应分别填入的是( )A．x>60？，i＝i－1 B．x<60？，i＝i＋1C．x>60？，i＝i＋1 D．x<60？，i＝i－1答案 C解析对于A，D，由于i＝i－1，则会进入死循环，而对于B，选出的数小于60，故选C.7．在十进制中，2004＝4×100＋0×101＋0×102＋2×103，那么在5进制中数码2004折合成十进制为( )A．29 B．254C．602 D．2004答案 B解析2004＝4×50＋0×51＋0×52＋2×53＝254，故选B.8．当x＝0.2时，用秦九韶算法计算多项式f(x)＝3x6＋4x5＋5x4＋6x3＋7x2＋8x＋1的值时，需要做乘法和加法的次数分别是( )A．6,6 B．5,6C．5,5 D．6,5答案 A解析由f(x)＝(((a6x＋a5)x＋a4)x＋…＋a1)x＋a0，所以共需要6次加法和6次乘法，故选A.9．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入x的值为－4，则输出y的值为( )A．0.5 B．1 C．2 D．4答案 C解析当x＝－4时，|－4|>3，所以x＝|－4－3|＝7.又|7|>3，所以x＝|7－3|＝4.又|4|>3，所以x＝|4－3|＝1.又|1|<3，所以输出y＝21＝2.故选C.10．如图，程序框图中的算法输出的结果为( )A.12B.23 C.34 D.45答案 C解析 分别计算i 与相应的m ，n 取值依次为i ＝2，m ＝1，n ＝12；i ＝3，m ＝2，n ＝23；i＝4, m ＝3，n ＝34，此时由判断框可知程序结束，故输出n ＝34，故选C.11．为了求满足1＋2＋3＋…＋n <2013的最大的自然数n ，程序框图如图所示，则输出框中应填输出( )A．i－2 B．i－1C．i D．i＋1答案 A解析依次执行程序框图：S＝0＋1，i＝2；S＝0＋1＋2，i＝3；S＝0＋1＋2＋3，i＝4；……由此可得S＝1＋2＋3＋…＋n时，i＝n＋1；经检验知当S＝1＋2＋3＋…＋62＝1953时，i＝63，满足条件进入循环；S＝1＋2＋3＋…＋62＋63＝2016时，i＝64，不满足条件，退出循环．所以应该输出62，即i－2.故选A.12．下图是用模拟方法估计圆周率π值的程序框图，P表示估计结果，则图中空白框内应填入( )A．P＝N1000B．P＝4N1000C．P＝M1000D．P＝4M1000答案 D解析利用几何概型，构造一个边长为1的正方形及其内一个半径为1、圆心角为90°的扇形，易知扇形的面积S≈M1000，又由面积公式得S＝14π×12≈M1000，解得π≈4M1000，所以选D.二、高考小题13．[2015·全国卷Ⅱ]下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为14,18，则输出的a＝( )A．0 B．2C．4 D．14答案 B解析开始：a＝14，b＝18，第一次循环：a＝14，b＝4；第二次循环：a＝10，b＝4；第三次循环：a＝6，b＝4；第四次循环：a＝2，b＝4；第五次循环：a＝2，b＝2.此时，a＝b，退出循环，输出a＝2.14．[2016·北京高考]执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 B解析 k ＝0，b ＝1.a ＝－12，k ＝1；a ＝－11－12＝－2，k ＝2；a ＝－11－2＝1，满足a ＝b ，故输出k ＝2，故选B.15．[2016·天津高考]阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为( )A．2 B．4C．6 D．8答案 B解析S＝4，n＝1；S＝8，n＝2；S＝2，n＝3；S＝4，n＝4，结束循环，输出S＝4，故选B.16．[2016·全国卷Ⅲ]执行下面的程序框图，如果输入的a＝4，b＝6，那么输出的n＝( )A．3 B．4C．5 D．6答案 B解析第一次循环：a＝2，b＝4，a＝6，s＝6，n＝1；第二次循环：a＝－2，b＝6，a＝4，s＝10，n＝2；第三次循环：a＝2，b＝4，a＝6，s＝16，n＝3；第四次循环：a＝－2，b＝6，a＝4，s＝20，n＝4.结束循环，输出n的值为4，故选B.17．[2016·四川高考]秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3,2，则输出v的值为( )A．9 B．18C．20 D．35答案 B解析执行程序框图，n＝3，x＝2，v＝1，i＝2≥0；v＝1×2＋2＝4，i＝1≥0；v＝4×2＋1＝9，i＝0≥0；v＝9×2＋0＝18，i＝－1<0，结束循环，输出v＝18.故选B.18．[2016·全国卷Ⅱ]中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，下图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x＝2，n＝2，依次输入的a为2,2,5，则输出的s＝( )A．7 B．12C．17 D．34答案 C解析k＝0，s＝0，输入a＝2，s＝0×2＋2＝2，k＝1；输入a＝2，s＝2×2＋2＝6，k ＝2；输入a＝5，s＝6×2＋5＝17，k＝3>2，输出s＝17.故选C.19．[2016·全国卷Ⅰ]执行下面的程序框图，如果输入的x＝0，y＝1，n＝1，则输出x，y的值满足( )A ．y ＝2xB ．y ＝3xC ．y ＝4xD ．y ＝5x答案 C解析 x ＝0，y ＝1，n ＝1；x ＝0，y ＝1，n ＝2； x ＝12，y ＝2，n ＝3；x ＝32，y ＝6，此时x 2＋y 2>36，输出x ＝32，y ＝6，满足y ＝4x .故选C.20．[2014·湖北高考]设a 是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数，将组成a 的3个数字按从小到大排成的三位数记为I (a )，按从大到小排成的三位数记为D (a )(例如a＝815，则I (a )＝158，D (a )＝851)．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a ，输出的结果b ＝________.答案495解析设组成数a的三个数字是m、n、p，其中1≤m<n<p≤9，∴b＝D(a)－I(a)＝100p ＋10n＋m－100m－10n－p＝99(p－m)＝100(p－m)－(p－m)＝100(p－m－1)＋90＋(10－p＋m)，即数b的十位数字一定是9.由题意可知，程序循环到最后一次，a的十位数字就是9，设a的另两个数字是x、y，其中1≤y<x≤8，此时，D(a)＝900＋10x＋y，I(a)＝100y＋10x＋9，b＝891－99y，若891－99y＝100x＋90＋y，则801＝100(x＋y)，无解．若891－99y＝100y＋90＋x，则801＝199y ＋x，解得x＝5，y＝4.所以b＝495.三、模拟小题21．[2016·辽宁五校联考]如图，若f(x)＝log3x，g(x)＝log2x，输入x＝0.25，则输出的h(x)＝( )A ．0.25B ．2log 32C ．－12log 23D ．－2答案 D解析 当x ＝0.25时，f (x )＝log 3 14∈(－2，－1)，g (x )＝log 2 14＝－2，∴f (x )>g (x )，故选D.22．[2017·安徽示范高中联考]如图所示程序框图(算法流程图)的输出结果是( )A ．3B ．11C ．38D ．123答案 D解析 第一步：a ＝12＋2＝3<12；第二步：a ＝32＋2＝11<12；第三步：a ＝112＋2＝123>12，跳出循环，输出a ＝123.故选D.23．[2016·安徽合肥模拟]运行如图所示的程序框图，则输出的结果S 为( )A．2016 B．2015C．1008 D．1007答案 C解析根据题意，该程序运行的是当k<2016时，计算S＝0＋1－2＋3－4＋…＋(－1)k－1·k.∴该程序运行后输出的是S＝0＋1－2＋3－4＋…＋(－1)2014·2015＝12×(2015＋1)＝1008.故选C.24．[2017·河南三市联考]执行如图所示的程序框图，如果输入m＝30，n＝18，则输出的m的值为( )A ．0B ．6C ．12D ．18答案 B解析 如果输入m ＝30，n ＝18，第一次执行循环体后，r ＝12，m ＝18，n ＝12，不满足输出条件；第二次执行循环体后，r ＝6，m ＝12，n ＝6，不满足输出条件；第三次执行循环体后，r ＝0，m ＝6，n ＝0，满足输出条件，故输出的m 值为6.故选B.25．[2016·广东肇庆三模]如图是计算12＋14＋16＋…＋120的值的一个程序框图，其中在判断框内可填入的条件是( )A ．i <10B ．i >10C ．i <20D ．i >20答案 B解析 要实现所求算法，框图中最后一次执行循环体时i 的值应为10，结合不满足条件时执行循环体知当i ＝11>10时就会终止循环，所以判断框内的条件可为i >10.故选B.26．[2017·广西南宁质检]如图甲所示的茎叶图为高三某班60名学生某次数学模拟考试的成绩，算法框图(图乙)中输入的a i 为茎叶图中学生的成绩，则输出的m ，n ，k 分别是( )图甲图乙A．m＝18，n＝31，k＝11 B．m＝18，n＝33，k＝9C．m＝20，n＝30，k＝9 D．m＝20，n＝29，k＝11答案 B解析根据程序框图，可知m表示数学成绩a i<90的学生人数，则m＝18；n表示数学成绩90≤a i≤120的学生人数，则n＝33；k表示数学成绩a i>120的学生人数，则k＝9.故选B.本考点在近三年高考中未涉及此题型．。