基于导数巧解不等式证明问题
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
ａｎ ｂ） ｂｎ ａ ＜ ｌ（ 一 ｉ ） ０
问 题 ， 而 利 用 导 数 求 出 函数 最 值 ， 决 不 等 式恒 成 立 问 题 。 进 解
例３１ 令ｆｘ＝ 兰 ＋ ／ｘ）， ．： （ ） （ 、 如果对任意 的 自变量ｘ ０ 恒 ＞，
三 、 用 导 数 巧 解 不 等 式 恒成 立 利 不 等 式 恒 成 立 问题 一 般 会 涉 及 求 某 个 参 数 ａ 范 围 。 这 的 解 类 题 目的 一 般 思 路 是 把 参 数 分 离 出 来 转 化 为ａ ｈ ｘ 或 ａ ＞ （） ＜ ｈ ｘ 恒 成 立 ， 而 把 不 等 式 恒 成 立 问 题 转 化 为 求 函 数 最 值 的 （） 从
、
Ｉ （ ） 二 ≤０ ｎ ｘ一 另 外 ， 注 意 到
ｎ
０上ｌ 、
ａ ｂ ， ｇ ａ＋ （ ） ２ （ ＜ 时 有 （ ） ｇ ｂ 一 ｇ
）０ ＞．
ｌ ＋
— —
＞ ￣ ｌ ｎ ≠ｅ １ ＋ ，所 以 有 ｌ （ ｎ
一
） ＜
ｎ ｅ
ｎ
证 明 ： Ｆ（ ） ｇ ａ ＋ （ ） ２ （ ） 令 ｘ ＝ （ ）ｇ ｘ一 ｇ 兰 ｘ ＿ 则 简单 计 算 可得 Ｆ，ｘ） ｌ （ ） ｌ ＿ ｘ） ： ｎ ｘ 一ｎ（ ＋ ａ
例１ ： 证： ．求 ２ 不等 式 ｂ ａ ， 中ｅ ａ ｂ ｅ 自然 对 数 的 底数 ． 其 ＜ ＜ ＜ ．为 证 明 ：对 不 等 式 ｂ＜ ａ 两边 做 对 数 变 换 ．并 简 单 计 算 可 得 ａｎ（ 一 ｌ（ ） Ｏ ｌ ｂ） ｂｎ ａ ＜ ． 另 外 。 自然 对 数 函数 为 单 调 增 函 数 可 知 ， 证 该 小 题 ， 由 为 只 需 证
，
ｅ
数 在 解 决 不 等 式 证 明 问题 中 的 巧妙 应 用 。 利用 导 数 并 结 合 函数 单 调 性 证 明 函数 不 等 式 例 １１ 已 知 函数ｆｘ＝ｎ １ｘ 一 ，（ ）ｘｎ Ｘ ， 证 ： ０ ．： （ ）ｌ（ ＋ ） ｘｇ ｘ ＝ｌ （）求 当 ＜
一
当 ｌ ｘ ｅ ， ｘ ＞ 所 以 函数 Ｆ（ ） （ ， ） 单 调 递 增 ． 且 ＜ ＜ 时 Ｆ （ ） ０， Ｘ 在 １ｅ 上 而 当ｘ ｅ ， ｘ ＜ 所 以 函 数 在 （ ， ） ＞ 时 Ｆ （ ） ０， ｅ ＋ 上单 调 递 减 ． 此 当ｘ ｅ 因 ＝ 时 ， （ ） 到最 大值 ． 而 ， 任 意 的Ｘ １ ＋ 。 ， 有 Ｆ ｘ ≤Ｆ Ｆ ｘ取 进 对 ∈（ ， ｏ ） 恒 （） （ ） Ｏ， ｅ ： 即
考 试 周 ２ １－１ｔ 刊 ０ ＃￣２１ １ ， ９
基 于 导 数 巧 解 不 等 式 证 明 问 题
赵培信 叶 琦
５ ６０ ４ ３ ０）
（ 池学 院 数 学 系 ， 西 宜 州 河 广 摘 要 ：导 数 已 经 成 为 中学 数 学 的 重 要 组 成 部 分 ， 数 导 的 引入 拓 展 了数 学 解 题 方 法 的 研 究领 域 。 本 文 通 过 对 导 数 在 不 等 式证 明 中 的 应 用 进 行 分 析 ．开 辟 了证 明 不 等 式 的 许 多新 途 径 ． 不 等 式 的 证 明 问题 注入 新 的 生机 和 活 力 ． 深 了 学生 给 加 对 不等 式 的理 解 和 直 观 认 识 关 键 词 ：导 数 不 等 式 证 明 问 题 应 用 充 分 利 用 导 数 解 决 不 等式 证 明 的 问 题 ．可 以加 强 对 学 生 的辩 证 思 维 教 育 ， 学 生 能 以导 数 为 工 具 研 究 不 等 式 ， 使 为解 决 不 等 式 证 明 问题 提 供 更 有 效 的途 径 、 简 洁 的 手 段 ， 深 对 不 更 加 等 式 的 理 解 和 直 观 认 识 。本 文 通 过 一 些 具 体 的 实 例 来 说 明导
进 而可 得 ａ （ ） ｂｎ ａ ， ｌ ｂ ＜ ｌ （ ） 因此 有 不 等 式 ｂ＜ ｂ 立 ｎ ａ 成
ｌ ＋“
．
二 、 过 利 用 导 数 求 出 函 数 的 最值 进行 证 明不 等 式 通
例 ２１求 证 ： 等式 （ ．： 不
ｎ
） ｅ 恒成 立． ＜
证 明 ： Ｆ（ ＝ｎ（ 一一 ｘ １ 则 由Ｆ ） ０， 得 ｘ ｅ并 且 令 ｘ） ｌ ｘ） Ｘ ＞ ， ，ｘ ： 可 ：．
Ｈ．＞ 可 得 Ｆ（ ＞ 即ｇ ａ ＋ （ 一 ｇ 旦 ） ０ ｂ ａ， ｂ） ０， （ ） ｇ ｂ） ２ （ ＞
．
本 题 虽 是 数 列 不 等 式 ，但 是 我 们 通 过 巧妙 地 将 其 转 化 为 函数 不 等式 ， 后 利 用 导 数 证 明该 函 数 不 等 式 ， 后再 将 函 数 然 最 不 等 式 转 化 为 数 列 不 等式 ， 而达 到证 明 数 列 不 等 式 的 目的 。 从 这 也 体 现 了化 归 思 维 方 法 在 证 明不 等 式 中的 应 用 。
２
．
再 进 行 简 单 化 简 可 得
） ＜
ｎ ｎ
，
ｎ
Ｉ（ ｎ
当Ｏ ｘ ａ ， Ｆ （ ） ０， Ｆ ｘ 在 （ ， ） 为 减 函 数 ． ＜ ＜ 时 有 ｘ ＜ 故 （ ） ０ ａ 上 当ｘ ａ ， ｘ ＞ 故 Ｆ（ ） （ ＋ 。 上 为 增 函数 ． ＞ 时 有Ｆ （ ） ０， ｘ 在 ａ， 。 ） 从 而 ， ＝ 时 ， ｘ 有 极 小 值 Ｆ（ ）进 而 注 意 到 Ｆ（ ） ０ 当ｘ ａ Ｆ（ ） ａ． ａ ＝ 并
一
Ｚ
本 题 通 过 巧 妙 地 构造 辅 助 函 数 ，然 后 利 用 导 数 证 明 该 函 数 的增 减 性 来 证 明 函数 不 等 式 。 另外 ， 些 题 目却 需 要 把 不 等 有 式 变 形 后 再 构 造 辅 助 函数 ．然 后 利 用 导 数 证 明该 函数 的 单 调 性 ， 而 达 到证 明不 等式 的 目的 。 从
问 题 ， 而 利 用 导 数 求 出 函数 最 值 ， 决 不 等 式恒 成 立 问 题 。 进 解
例３１ 令ｆｘ＝ 兰 ＋ ／ｘ）， ．： （ ） （ 、 如果对任意 的 自变量ｘ ０ 恒 ＞，
三 、 用 导 数 巧 解 不 等 式 恒成 立 利 不 等 式 恒 成 立 问题 一 般 会 涉 及 求 某 个 参 数 ａ 范 围 。 这 的 解 类 题 目的 一 般 思 路 是 把 参 数 分 离 出 来 转 化 为ａ ｈ ｘ 或 ａ ＞ （） ＜ ｈ ｘ 恒 成 立 ， 而 把 不 等 式 恒 成 立 问 题 转 化 为 求 函 数 最 值 的 （） 从
、
Ｉ （ ） 二 ≤０ ｎ ｘ一 另 外 ， 注 意 到
ｎ
０上ｌ 、
ａ ｂ ， ｇ ａ＋ （ ） ２ （ ＜ 时 有 （ ） ｇ ｂ 一 ｇ
）０ ＞．
ｌ ＋
— —
＞ ￣ ｌ ｎ ≠ｅ １ ＋ ，所 以 有 ｌ （ ｎ
一
） ＜
ｎ ｅ
ｎ
证 明 ： Ｆ（ ） ｇ ａ ＋ （ ） ２ （ ） 令 ｘ ＝ （ ）ｇ ｘ一 ｇ 兰 ｘ ＿ 则 简单 计 算 可得 Ｆ，ｘ） ｌ （ ） ｌ ＿ ｘ） ： ｎ ｘ 一ｎ（ ＋ ａ
例１ ： 证： ．求 ２ 不等 式 ｂ ａ ， 中ｅ ａ ｂ ｅ 自然 对 数 的 底数 ． 其 ＜ ＜ ＜ ．为 证 明 ：对 不 等 式 ｂ＜ ａ 两边 做 对 数 变 换 ．并 简 单 计 算 可 得 ａｎ（ 一 ｌ（ ） Ｏ ｌ ｂ） ｂｎ ａ ＜ ． 另 外 。 自然 对 数 函数 为 单 调 增 函 数 可 知 ， 证 该 小 题 ， 由 为 只 需 证
，
ｅ
数 在 解 决 不 等 式 证 明 问题 中 的 巧妙 应 用 。 利用 导 数 并 结 合 函数 单 调 性 证 明 函数 不 等 式 例 １１ 已 知 函数ｆｘ＝ｎ １ｘ 一 ，（ ）ｘｎ Ｘ ， 证 ： ０ ．： （ ）ｌ（ ＋ ） ｘｇ ｘ ＝ｌ （）求 当 ＜
一
当 ｌ ｘ ｅ ， ｘ ＞ 所 以 函数 Ｆ（ ） （ ， ） 单 调 递 增 ． 且 ＜ ＜ 时 Ｆ （ ） ０， Ｘ 在 １ｅ 上 而 当ｘ ｅ ， ｘ ＜ 所 以 函 数 在 （ ， ） ＞ 时 Ｆ （ ） ０， ｅ ＋ 上单 调 递 减 ． 此 当ｘ ｅ 因 ＝ 时 ， （ ） 到最 大值 ． 而 ， 任 意 的Ｘ １ ＋ 。 ， 有 Ｆ ｘ ≤Ｆ Ｆ ｘ取 进 对 ∈（ ， ｏ ） 恒 （） （ ） Ｏ， ｅ ： 即
考 试 周 ２ １－１ｔ 刊 ０ ＃￣２１ １ ， ９
基 于 导 数 巧 解 不 等 式 证 明 问 题
赵培信 叶 琦
５ ６０ ４ ３ ０）
（ 池学 院 数 学 系 ， 西 宜 州 河 广 摘 要 ：导 数 已 经 成 为 中学 数 学 的 重 要 组 成 部 分 ， 数 导 的 引入 拓 展 了数 学 解 题 方 法 的 研 究领 域 。 本 文 通 过 对 导 数 在 不 等 式证 明 中 的 应 用 进 行 分 析 ．开 辟 了证 明 不 等 式 的 许 多新 途 径 ． 不 等 式 的 证 明 问题 注入 新 的 生机 和 活 力 ． 深 了 学生 给 加 对 不等 式 的理 解 和 直 观 认 识 关 键 词 ：导 数 不 等 式 证 明 问 题 应 用 充 分 利 用 导 数 解 决 不 等式 证 明 的 问 题 ．可 以加 强 对 学 生 的辩 证 思 维 教 育 ， 学 生 能 以导 数 为 工 具 研 究 不 等 式 ， 使 为解 决 不 等 式 证 明 问题 提 供 更 有 效 的途 径 、 简 洁 的 手 段 ， 深 对 不 更 加 等 式 的 理 解 和 直 观 认 识 。本 文 通 过 一 些 具 体 的 实 例 来 说 明导
进 而可 得 ａ （ ） ｂｎ ａ ， ｌ ｂ ＜ ｌ （ ） 因此 有 不 等 式 ｂ＜ ｂ 立 ｎ ａ 成
ｌ ＋“
．
二 、 过 利 用 导 数 求 出 函 数 的 最值 进行 证 明不 等 式 通
例 ２１求 证 ： 等式 （ ．： 不
ｎ
） ｅ 恒成 立． ＜
证 明 ： Ｆ（ ＝ｎ（ 一一 ｘ １ 则 由Ｆ ） ０， 得 ｘ ｅ并 且 令 ｘ） ｌ ｘ） Ｘ ＞ ， ，ｘ ： 可 ：．
Ｈ．＞ 可 得 Ｆ（ ＞ 即ｇ ａ ＋ （ 一 ｇ 旦 ） ０ ｂ ａ， ｂ） ０， （ ） ｇ ｂ） ２ （ ＞
．
本 题 虽 是 数 列 不 等 式 ，但 是 我 们 通 过 巧妙 地 将 其 转 化 为 函数 不 等式 ， 后 利 用 导 数 证 明该 函 数 不 等 式 ， 后再 将 函 数 然 最 不 等 式 转 化 为 数 列 不 等式 ， 而达 到证 明 数 列 不 等 式 的 目的 。 从 这 也 体 现 了化 归 思 维 方 法 在 证 明不 等 式 中的 应 用 。
２
．
再 进 行 简 单 化 简 可 得
） ＜
ｎ ｎ
，
ｎ
Ｉ（ ｎ
当Ｏ ｘ ａ ， Ｆ （ ） ０， Ｆ ｘ 在 （ ， ） 为 减 函 数 ． ＜ ＜ 时 有 ｘ ＜ 故 （ ） ０ ａ 上 当ｘ ａ ， ｘ ＞ 故 Ｆ（ ） （ ＋ 。 上 为 增 函数 ． ＞ 时 有Ｆ （ ） ０， ｘ 在 ａ， 。 ） 从 而 ， ＝ 时 ， ｘ 有 极 小 值 Ｆ（ ）进 而 注 意 到 Ｆ（ ） ０ 当ｘ ａ Ｆ（ ） ａ． ａ ＝ 并
一
Ｚ
本 题 通 过 巧 妙 地 构造 辅 助 函 数 ，然 后 利 用 导 数 证 明 该 函 数 的增 减 性 来 证 明 函数 不 等 式 。 另外 ， 些 题 目却 需 要 把 不 等 有 式 变 形 后 再 构 造 辅 助 函数 ．然 后 利 用 导 数 证 明该 函数 的 单 调 性 ， 而 达 到证 明不 等式 的 目的 。 从