专题01 截长补短模型证明问题(教师版)

专题01 截长补短模型证明问题
模型：截长补短
如图①，若证明线段AB、CD、EF之间存在EF＝AB＋CD，可以考虑截长补
短法
截长法：如图②，在EF上截取EG＝AB，再证明GF＝CD即可
补短法：如图③，延长AB至H点，使BH＝CD，再证明AH＝EF即可
模型分析
截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系. 截长，指在长线端中截取一段等于已知的线段；补短，指将一条短线端延长，延长部分等于已知线段. 该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程.
模型实例
例题1 如图，已知在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2 .求证：AB＝AC＋CD.
证法一，截长法：
如图①，在AB上取一点E，使AE＝AC，连接DE.
△AE＝AC，∠1＝∠2，AD＝AD，△△ACD△△AED，△CD＝DE，∠C＝∠3 .
△∠C＝2∠B，△∠3＝2∠B＝∠4＋∠B，△∠4＝∠B，
△DE＝BE，△CD＝BE.
△AB＝AE＋BE，△AB＝AC＋CD.
证法二，补短法：
如图②，延长AC到点E，使CE＝CD，连接DE .
△CE＝CD，△∠4＝∠E.
△∠3＝∠4＋∠E，△∠3＝2∠E.
△∠3＝2∠B，△∠E＝∠B .
△∠1＝∠2，AD＝AD，
△△EAD△△BAD，△AE＝AB.
又△AE＝AC＋CE，△△AB＝AC＋CD.
例题2 如图，O D平分∠A O B，DC△O A于点C，∠A＝∠GBD . 求证：A O＋B O＝2C O .
【证明】在线段A O上取一点E，使CE＝AC，连接DE .
△CD＝CD，DC△O A，
△△ACD△△ECD，
△∠A＝∠CED .
△∠A＝∠GBD，
△∠CED＝∠GBD，
△1800－∠CED＝1800－∠GBD，
△∠O ED＝∠O BD .
∵O D平分∠A O B，
△∠A O D＝∠B O D .
△O D＝O D，
△△O ED△△O BD，
△O B＝O E，
△A O＋B O＝A O＋O E＝O E＋2CE＋O E＝O E＋CE＋O E＋CE＝2（CE＋O E）＝2C O .
课堂巩固提升
1. 如图，在△ABC中，∠BAC＝600，AD是∠BAC的平分线，且AC＝AB＋BD.求∠ABC的度数 .
证法一：补短
延长AB到点E，使BE＝BD .
在△BDE中，△BE＝BD，△∠E＝∠BDE，△∠ABC＝∠BDE＋∠E＝2∠E .
又△AC＝AB＋BD，△AC＝AB＋BE，△AC＝AE .
∵AD是∠BAC的平分线，∠BAC＝600，△∠EAD＝∠CAD＝600÷2＝300 .
△AD＝AD，△△AED△△ACD，△∠E＝∠C，又△∠ABC＝2∠E，△∠ABC＝2∠C .
△∠BAC＝600，△∠ABC＋∠C＝1800－600＝1200，△3
2
∠ABC＝1200，△∠ABC＝800 .
证法二：在AC 上取一点F ，使AF ＝AB ，连接DF . ∵AD 是∠BAC 的平分线，△∠BAD ＝∠FAD . △AD ＝AD ，△△BAD △△FAD ，△∠B ＝∠AFD ，BD ＝FD . △AC ＝AB ＋BD ，AC ＝AF ＋FC ，△FD ＝FC ，△∠FDC ＝∠C . △∠AFD ＝∠FDC ＋∠C ，△∠B ＝∠FDC ＋∠C ＝2∠C . △∠BAC ＋∠B ＋∠C ＝1800，△
3
2
∠ABC ＝1200，△∠ABC ＝800 . 2. 在△ABC 中，∠ABC ＝600，AD 、CE 分别平分∠BAC 、∠ACB . 求证：AC ＝AE ＋CD .
【解析】如图，在AC 边上取点F ，使AE ＝AF ，连接O F . △∠ABC ＝600，△∠BAC ＋∠ACB ＝1800－∠ABC ＝1200 . ∵AD 、CE 分别平分∠BAC 、∠ACB ， △∠O AC ＝∠O AB ＝
2BAC ，∠O CA ＝∠O CB ＝2
ACB
， △∠A O E ＝∠C O D ＝∠O AC ＋∠O CA ＝2BAC
ACB
＝600，
△∠A O C ＝1800－∠A O E ＝1200 .
△AE ＝AF ，∠EA O ＝∠FA O ，A O ＝A O ， △△A O E △△A O F （S A S ）， △∠A O F ＝∠A O E ＝600， △∠C O F ＝∠A O C －∠A O F ＝600， △∠C O F ＝∠C O D .
△C O ＝C O ，CE 平分∠ACB ，
△△C O D△△C O F（A S A），
△CD＝CF.
△AC＝AF＋CF，
△AC＝AE＋CD，
3. 如图，∠ABC＋∠BCD＝1800，BE、CE分别平分∠ABC、∠DCB .求证：AB＋CD＝BC .
【解析】证法一：截长
如图①，在BC上取一点F，使BF＝AB，连接EF.
△∠1＝∠ABE，BE＝BE，
△△ABE△△FBE，△∠3＝∠4 .
△∠ABC＋∠BCD＝1800，
BE、CE分别平分∠ABC、∠DCB，
△∠1＋∠2＝1
2
∠ABC＋
1
2
∠DCB＝
1
2
×1800＝900，
△∠BEC＝900，
△∠4＋∠5＝900，∠3＋∠6＝900 .△∠3＝∠4 ，△∠5＝∠6 .
△CE＝CE，∠2＝∠DCE，
△△CEF△△CED，△CF＝CD .
△BC＝BF＋CF，AB＝BF，△AB＋CD＝BC
证法二：补短
如图②，延长BA到点F，使BF＝BC，连接EF .△∠1＝∠ABE，BE＝BE，
△△BEF△△BEC，
△EF＝EC，∠BEC＝∠BEF .
△∠ABC＋∠BCD＝1800，
BE、CE分别平分∠ABC、∠DCB，
∴∠1＋∠2＝1
2
∠ABC＋
1
2
∠DCB＝
1
2
×1800＝900，
△∠BEC＝900，
△∠BEF＝∠BEC＝900，
△∠BEF＋∠BEC＝1800，△C、E、F三点共线 .
△AB∥CD，△∠F＝∠FCD.△EF＝EC，∠FEA＝∠DEC，△△AEF△△DEC，
△AF＝CD .
△BF＝AB＋AF，
△BC＝AB＋CD .
4.如图，在△ABC中，∠ABC＝900，AD平分∠BAC交BC于D，∠C＝300，BE△AD于点E.求证：AC－AB ＝2BE .
【解析】延长BE交AC于点M.
△BE△AD，△∠AEB＝∠AEM＝900.
△∠3＝900－∠1，∠4＝900－∠2，∠1＝∠2，
△∠3＝∠4，△AB＝AM.
△BE△AE，△BM＝2BE.
△∠ABC＝900，∠C＝300，
△∠BAC＝600.
△AB＝AM，△∠3＝∠4＝600，
△∠5＝900－∠3＝300，
△∠5＝∠C，△CM＝BM，
△AC－AB＝CM＝BM＝2BE .
5. 如图，R t△ACB中，A＝BC，AD平分∠BAC交BC于点D，CE△AD交AD于点F，交AB于点E.求证：AD ＝2DF＋CE.
【解析】在AD上取一点G，使AG＝CE，连接CG.
△CE△AD，
△∠AFC＝900，∠1＋∠ACF＝900.
△∠2＋∠ACF＝900，△∠1＝∠2 .
△AC＝BC，AG＝CE，
△△ACG△△CBE，△∠3＝∠B＝450，
△∠2＋∠4＝900－∠3＝450.
△∠2＝∠1＝1
2
∠BAC＝22.50，
△∠4＝450－∠2＝22.50，
△∠4＝∠2＝22.50.
又△CF＝CF，DG△CF，
△△CDF△△CGF，△DF＝GF .
△AD＝AG＋DG，△AD＝CE＋2DF.
6. 如图，五边形ABCDE中，AB＝AE，BC＋DE＝CD，∠B＋∠E＝1800.求证：AD平分∠CDE
【解析】如图，延长CB到点F，使BF＝DE，连接AF、AC
△∠1＋∠2＝1800，∠E＋∠1＝1800，△∠2＝∠E
△AB＝AE，∠2＝∠E，BF＝DE
△△ABF△△AED，△∠F＝∠4，AF＝AD
△BC＋DE＝CD，△BC＋BF＝CD，即FC＝CD
又△AC＝AC，△△ACF△△ACD
△∠F＝∠3
△∠F＝∠4
△∠3＝∠4
△AD平分∠CDE
【基础训练】
1、如图，AC平分∠BAD，CE∠AB于点E，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE.
解析：如图，在EA上取点F,使EF=BE,连接CF,
∠CE∠AB
∠CF=CB
∠CFB=∠B
∠∠AFC+∠CFB=180°，∠D+∠B=180°
∠∠D=∠AFC
∠AC平分∠BAD
即∠DAC=∠FAC
在∠ACD和∠ACF中
∠D=∠AFC
∠DAC=∠FAC
AC=AC
∠ACD∠∠ACF（AAS）
∠AD=AF
∠AE=AF+EF=AD+BE
2、如图，已知在∠ABC中，∠C=2∠B,∠1=∠2，求证：AB=AC+CD
解析：在AB上取一点E,使AE=AC,
连接DE,
∠AE=AC,∠1=∠2，AD=AD
∠∠ACD∠∠AED
∠CD=DE,∠C=∠3
∠∠C=2∠B
∠∠3=2∠B=∠4+∠B
∠∠4=∠B，∠DE=BE,CD=BE
∠AB=AE+BE
∠AB=AC+CD
3、如图，在五边形ABCDE中，AB=AE,BC+DE=CD,∠B+∠E=180°，求证：AD平分∠CDE.
解析：
延长CB至点F,使BF=DE,连接BF=DE,连接AF,AC
∠∠1+∠2=180°，∠E+∠1=180°
∠∠2=∠E
∠AB=AE,∠2=∠E,BF=DE
∠∠ABF∠∠AED
∠F=∠4，AF=AD
∠BC+BF=CD
即FC=CD
又∠AC=AC
∠∠ACF∠∠ACD
∠∠F=∠3
∠∠F=∠4
∠∠3=∠4
∠AD平分∠CDE.
4、已知四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=BC，如图，点P,Q分别在线段AD,DC上，满足PQ=AP+CQ,
∠ADC
求证：∠PBQ=90°-1
2
解析：
如图，延长DC，在上面找一点K，使得CK=AP，连接BK,
∠∠ABC+∠ADC=180°
∠∠BAD+∠BCD=180°
∠∠BCD+∠BCK=180°
∠∠BAD=∠BCK
在∠BAP 和∠BKC 中
AP=CK
∠BAP=∠BCK
AB=BC
∠∠BPA∠∠BKC （SAS ）
∠∠ABP=∠CBK,BP=BK
∠PQ=AP+CQ
∠PQ=QK
∠在∠BPQ 和∠BKQ 中
BP=BK
BQ=BQ
PQ=KQ
∠∠BPQ∠∠BKQ(SSS)
∠∠PBQ=∠KBQ
∠∠PBQ=12∠ABC ∠∠ABC+∠ADC=180°
∠∠ABC=180°-∠ADC
∠12∠ABC=90°-12∠ADC ∠∠PBQ=90°-12∠ADC
5、如图，在∠ABC 中，∠B=60°，∠ABC 的角平分线AD 、CE 相交于点O ，求证：AE+CD=AC.
解析：
由题意可得∠AOC=120°
∠∠AOE=∠DOC=180°-∠AOC=180°-120°=60°
在AC上截取AF=AE，连接OF，如图
在∠AOE和∠AOF中，
AE=AF
∠OAE=∠OAF
OA=OA
∠∠AOE∠∠AOF（SAS）
∠∠AOE=∠AOF，
∠∠AOF=60°
∠∠COF=∠AOC-∠AOF=60°
又∠COD=60°，
∠∠COD=∠COF
同理可得：∠COD∠∠COF（ASA）
∠CD=CF
又∠AF=AE
∠AC=AF+CF=AE+CD
即AE+CD=AC
6、如图所示，AB∠CD,BE,CE分别是∠ABC,∠BCD的平分线，点E在AD上，求证：BC=AB+CD.
解析：
在BC上取点F，使BF=AB
∠BE,CE分别是∠ABC,∠BCD的平分线∠∠ABE=∠FBE,∠BCE=∠DCE
∠AB∠CD
∠∠A+∠D=180°
在∠ABE和∠FBE中
AB=FB
∠ABE=∠FBE
BE=BE
∠∠ABE∠∠FBE（SAS）
∠∠A=∠BFE
∠∠BFE+∠D=180°
∠∠BFE+∠EFC=180°
∠∠EFC=∠D
在∠EFC和∠EDC中，
∠EFC=∠D
∠BCE=∠DCE
CE=CE
∠∠EFC∠∠EDC（AAS）
∠CF=CD
∠BC=BF+CF
∠BC=AB+CD
7、四边形ABCD中，BD＞AB,AD=DC,DE∠BC,BD平分∠ABC
（1）证明：∠BAD+∠BCD=180°
（2）DE=3,BE=6,求四边形ABCD的面积.
【解析】（1）过点D作BA的垂线，得∠DMA∠DEC（HL）
∠∠ABC+∠MDE=180°，∠ADC=∠MDE
∠∠ABC+∠ADC=180°
∠∠BAD+∠BCD=180°
（2）S四边形ABCD=2S∠BED=18
8、已知：在∠ABC中，AB=CD-BD,求证：∠B=2∠C.
【解析】在CD上取一点M使得DM=DB
则CD-BD=CM=AB
∠∠AMD=∠B=2∠C
9、如图，∠ABC中，BD∠AC于点D，CE∠AB于点E，且BD,CE交于点F，点G是线段CD上一点，连
接AF ，GF ，若AF=GF,BD=CD.
求∠CAF 的度数
判断线段FG 与BC 的位置关系，并说明理由.
【解析】
（1）延长AF 与BC 交于点M ，可知AF∠BC
∠BD=DC ，BD∠DC∠∠FBC=45°
∠AF=FG ，FD∠AG∠∠AFD=GFD=45°
∠AF∠GF
∠∠CAF=45°
（2）由（1）可证FG∠BC
【提升训练】
1．如图，在△ABC 中，∠A ＝60°，BD ，CE 分别平分∠ABC 和∠ACB ，BD ，CE 交于点O ，试判断BE ，CD ，BC 的数量关系，并加以证明．
证明：在BC 上截取BF ＝BE ，连接OF .
∵BD 平分∠ABC ，
∴∠EBO ＝∠FBO .
∴△EBO ≌△FBO .
∴∠EOB ＝∠FOB .
∵∠A ＝60°，BD ，CE 分别平分∠ABC 和∠ACB ，
∴∠BOC ＝180°－∠OBC －∠OCB ＝180°－12∠ABC －12∠ACB ＝180°－12
(180°－∠A )＝120°. ∴∠EOB ＝∠DOC ＝60°.
∴∠BOF ＝60°，∠FOC ＝∠DOC ＝60°.
∵CE平分∠DCB，
∴∠DCO＝∠FCO.
∴△DCO≌△FCO.
∴CD＝CF.
∴BC＝BF＋CF＝BE＋CD.
2．如图，AD//BC，DC⊥AD，AE平分∠BAD，E是DC的中点．问：AD，BC，AB之间有何关系？并说明理由．
解：AB＝AD＋BC.理由：作EF⊥AB于F，连接BE.
∵AE平分∠BAD，DC⊥AD，EF⊥AB，
∴EF＝DE.
∵DE＝CE，
∴EC＝EF.
∴Rt△BFE≌Rt△BCE(HL)．
∴BF＝BC
同理可证：AF＝AD.
∴AD＋BC＝AF＋BF＝AB，即AB＝AD＋BC.
3．如图，已知DE＝AE，点E在BC上，AE∠DE，AB∠BC，DC∠BC，请问线段AB，CD和线段BC有何大小关系？并说明理由．
解：线段AB，CD和线段BC的关系是：
BC＝AB＋CD.
理由：在∠DCE中，
∠EDC＋∠DEC＝90°，
∠∠AEB＋∠DEC＝90°，
∠∠AEB＝∠EDC，
又∠ED＝AE，∠ABE＝∠ECD＝90°，
∠∠ABE∠∠ECD(AAS)，
∠AB＝EC，BE＝CD，
∠BC＝BE＋EC＝CD＋AB.
4．如图，AB∥CD，BE，CE分别是∠ABC和∠BCD的平分线，点E在AD上．
求证：BC＝AB＋CD.
证明：在BC上取点F，使BF＝BA，连接EF，如图，
∠BE，CE分别是∠ABC和∠BCD的平分线，
∠∠ABE＝∠FBE，∠ECF＝∠ECD.
∠∠ABE∠∠FBE(SAS)，
∠∠A＝∠BFE，
∠AB∠CD，
∠∠A＋∠D＝180°，
∠∠BFE＋∠D＝180°.
∠∠BFE＋∠EFC＝180°，
∠∠EFC＝∠D.
∠∠CDE∠∠CFE(AAS)，
∠CF＝CD.
∠BC＝BF＋CF，
∠BC＝AB＋CD.
5．如图，在Rt∠ABC中，∠C＝90°，BC＝AC，∠B＝∠CAB＝45°，AD平分∠BAC交BC于D，求证：AB＝AC＋CD.
证明：如图，延长AC到E，使CE＝CD，连接DE.
则∠E＝∠CDE＝45°，
∠∠B＝∠E.
∠AD平分∠BAC，
∠∠1＝∠2，
在∠ABD和∠AED中，
∠B＝∠E，∠2＝∠1，AD＝AD，
∠∠ABD∠∠AED(AAS)．
∠AE＝AB.
∠AE＝AC＋CE＝AC＋CD，
∠AB＝AC＋CD.
6．如图，在∠ABC 中，∠ABC ＝60°，AD ，CE 分别平分∠BAC ，∠ACB ，AD ，CE 交于O .
(1)求∠AOC 的度数；
(2)求证：AC ＝AE ＋CD .
(1)解：∠∠ABC ＝60°，AD ，CE 分别平分∠BAC ，∠ACB ，
∠∠AOC ＝180°－(∠OAC ＋∠OCA )＝180°－12(∠BAC ＋∠ACB )＝180°－180°－60°2
＝120°； (2)证明：∠∠AOC ＝120°，
∠∠AOE ＝60°，
如图，在AC 上截取AF ＝AE ，连接OF ，
∠AD 平分∠BAC ，
∠∠BAD ＝∠CAD ，
∠AO ＝AO ，
∠∠AOE ∠∠AOF (SAS)，
∠∠AOE ＝∠AOF ，
∠∠AOE ＝60°，∠AOC ＝120°，
∠∠AOF ＝∠COD ＝∠COF ＝60°.
∠∠FOC ＝∠DOC ，CO ＝CO ，∠DCO ＝∠FCO ，
∠∠COF ∠∠COD (ASA)，
∠CF ＝CD ，
∠AC＝AF＋CF＝AE＋CD.。