人教版 八年级数学 13.3 等腰三角形 培优训练(含答案)
人教版八年级上册数学《等腰三角形》同步训练含答案
八年级数学上册《13.3等腰三角形》同步达标测评一．选择题（共8小题，满分32分）1．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是36°，则此等腰三角形的两个相等底角的度数大小是（）A．54°B．63°C．27°D．27°或63°2．已知等腰三角形的一个外角等于140°，则这个三角形的三个内角的度数分别是（）A．20°、20°、140°B．40°、40°、100°C．70°、70°、40°D．40°、40°、100°或70°、70°、40°3．如图，△ABC中，DE∥BC，FB，FC分别平分∠ABC和∠ACB，已知BC＝20，AB＝18，AC＝16，则△ADE的周长是（）A．30B．32C．34D．364．如图钢架BAC中，焊上等长的钢条来加固钢架，若P1A＝P1P2，量得∠BP5P4＝100°，则∠A＝（）度．A．10B．20C．15D．255．如图，为了加固屋顶的钢架，焊上等长的钢条（P1P2、P2P3等）．若∠A＝15°，AP1＝P1P2，则这样的钢条最多只能焊上（）条．A．4B．5C．6D．76．如图，AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FG，则∠A的范围是（）A．0°＜∠A＜15°B．0°＜∠A＜18°C．0°＜∠A＜20°D．0°＜∠A＜22.5°7．如图，已知∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM 上；△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形．若OA1＝1，则△A2021B2021A2022的边长为（）A．4044B．4046C．22020D．220218．如图，直线AB⊥CD，垂足为O，点P在∠BOC的平分线上，点E在直线AB上，且△EOP是等腰三角形，则这样的点P有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共7小题，满分28分）9．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．则下列结论：①AD＝BE；②PQ∥AE；③AP＝BQ；④DE＝DP．其中正确的是．10．如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且CE＝1，∠E＝30°，则BC＝．11．如图，在第1个△A1BC中，∠B＝30°，A1B＝CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E，…按此做法继续下去，则第n个三角形中以A n为顶点的底角度数是．12．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAD＝30°，AE＝AD，则∠EDC的度数是．13．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则这个等腰三角形顶角为°．14．如图，线段OP的一个端点O在直线a上，以OP为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在直线a上，这样的等腰三角形能有个．15．如果△ABM和△ACN分别是以△ABC的边AB、AC为边的形外等边三角形，MC交BN 于P，连P A，则∠APN＝．三．解答题（共9小题，满分60分）16．如图，在△ABC中，已知AD平分∠BAC，过AD上一点P作EF⊥AD，交AB于E、交AC于F，交BC延长线于M，则有正确结论：∠M＝（∠ACB﹣∠B）．请说明理由．17．如图，在△ABC中，∠B＝60°，延长BC到D，延长BA到E，使AE＝BD，连接CE、DE，使EC＝DE，求证：△ABC是等边三角形．18．如图，已知△ABC中，AB＝AC，DE⊥AB，DF⊥AC，BG⊥AC．求证：DE+DF＝BG．19．如图，已知∠EAC是△ABC的外角，AD平分∠EAC，AD∥BC，点F为BC中点．求证：AF⊥BC．20．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，BD为∠ABC平分线，延长BC到点E，使CE＝CD，作DH⊥BE于H，求证：H为BE的中点．21．已知：如图，在等边三角形ABC的三边上，分别取点D，E，F，使AD＝BE＝CF．求证：△DEF是等边三角形．22．如图，已知△ABC是等边三角形，E是AC延长线上一点，选择一点D，使得△CDE是等边三角形，如果M是线段AD的中点，N是线段BE的中点，求证：△CMN是等边三角形．23．如图，等边△ABC的边长为12cm，D为AC边上一动点，E为AB延长线上一动点，DE 交CB于点P，点P为DE中点（1）求证：CD＝BE；（2）若DE⊥AC，求BP的长．24．如图，过等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，且P A＝CQ，连PQ交AC边于D．（1）求证：PD＝DQ；（2）若△ABC的边长为1，求DE的长．参考答案一．选择题（共8小题，满分32分）1．解：在三角形ABC中，设AB＝AC，BD⊥AC于D．①若是锐角三角形，∠A＝90°﹣36°＝54°，底角＝（180°﹣54°）÷2＝63°；②若三角形是钝角三角形，∠BAC＝36°+90°＝126°，此时底角＝（180°﹣126°）÷2＝27°．所以等腰三角形底角的度数是63°或27°．故选：D．2．解：（1）当40°角是顶角时，另两个底角度数为70°，70°；（2）当40°角是底角时，另两个角度数为40°，100°．故选：D．3．解：∵DE∥BC，∴∠BFD＝∠FBC，∠EFC＝∠BCF，∵FC分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠DBF＝∠FBC，∠ECF＝∠BCF，∴∠BFD＝∠DBF，∠EFC＝∠ECF，∴DF＝DB，EF＝EC，∵△ADE的周长＝AD+AE+DE，DE＝DF+EF，∴△ADE的周长＝AD+BD+AE+EC＝AB+AC，∵AB＝18，AC＝16，∴△ADE的周长＝34．故选：C．4．解：∵AP1＝P1P2，P1P2＝P2P3，P3P4＝P2P3，P3P4＝P4P5，∴∠A＝∠P1P2A，∠P2P1P3＝∠P2P3P1，∠P3P2P4＝∠P3P4P2，∠P4P3P5＝∠P4P5P3，∴∠P3P5P4＝4∠A，∵∠P3P5P4+∠BP5P4＝180°，∠BP5P4＝100°，∴∠P3P5P4＝80°，∴∠A＝20°．故选：B．5．解：∵∠A＝∠P1P2A＝15°∴∠P2P1P3＝30°，∠P1P3P2＝30°∴∠P1P2P3＝120°∴∠P3P2P4＝45°∴∠P3P2P4＝45°∴∠P2P3P4＝90°∴∠P4P3P5＝60°∴∠P3P5P4＝60°∴∠P3P4P5＝60°∴∠P5P4P6＝75°∴∠P4P6P5＝75°∴∠P4P5P6＝30°∴∠P6P5P7＝90°，此时就不能在往上焊接了，综上所述总共可焊上5条．故选：B．6．解：采用排除法：①∵AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FG，当∠A＝15°，∴∠BCA＝∠A＝15°，∴∠CBD＝∠BDC＝∠BCA+∠A＝15°+15°＝30°，∴∠BCD＝180°﹣（∠CBD+∠BDC）＝180°﹣60°＝120°，∴∠ECD＝∠CED＝180°﹣∠BCD﹣∠BCA＝180°﹣120°﹣15°＝45°，∴∠CDE＝180°﹣（∠ECD+∠CED）＝180°﹣90°＝90°，∴∠EDF＝∠EFD＝180°﹣∠CDE﹣∠BDC＝180°﹣90°﹣30°＝60°，∴∠FGE＝∠GEF＝∠EFD+∠A＝60°+15°＝75°，即此时符合；①当∠A＝18°时，同法求出∠FEG＝∠FGE＝90°，此时△FEG不存在，此时不符合，同样，当∠A取大于18°的角都不符合，当∠A＝小于18°的数时，△FEG存在，即选项A、C、D错误，只有选项B正确；故选：B．7．解：∵△A1B1A2是等边三角形，∴A1B1＝A2B1，∵∠MON＝30°，∴OA1＝A1B1＝1，∴A2B1＝1，∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，∴A2B2＝2B1A2，B3A3＝2B2A3，∴A3B3＝4B1A2＝4，A4B4＝8B1A2＝8，A5B5＝16B1A2＝16，以此类推：△A2021B2021A2022的边长为22020．故选：C．8．解：如图，①当OP＝OE时，这样的点E由2个，②当PE＝OE时，这样的点E由1个，③当OP＝PE时，这样的点E由1个，∴这样的点P有4个，故选：D．二．填空题（共7小题，满分28分）9．解：∵等边△ABC和等边△CDE，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠ECD＝60°，∴180°﹣∠ECD＝180°﹣∠ACB，即∠ACD＝∠BCE，在△ACD与△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE，故①小题正确；∵△ACD≌△BCE（已证），∴∠CAD＝∠CBE，∵∠ACB＝∠ECD＝60°（已证），∴∠BCQ＝180°﹣60°×2＝60°，∴∠ACB＝∠BCQ＝60°，在△ACP与△BCQ中，，∴△ACP≌△BCQ（ASA），∴AP＝BQ，故③小题正确；PC＝QC，∴△PCQ是等边三角形，∴∠CPQ＝60°，∴∠ACB＝∠CPQ，∴PQ∥AE，故②小题正确；∵AD＝BE，AP＝BQ，∴AD﹣AP＝BE﹣BQ，即DP＝QE，∠DQE＝∠ECQ+∠CEQ＝60°+∠CEQ，∠CDE＝60°，∴∠DQE≠∠CDE，故④小题错误．综上所述，正确的是①②③．故答案为：①②③．10．解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，BA＝BC，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠E＝30°，BD⊥AC，∴∠BDC＝90°，∴BC＝2DC，∵∠ACB＝∠E+∠CDE，∴∠CDE＝∠E＝30°，∴CD＝CE＝1，∴BC＝2CD＝2，故答案为211．解：∵在△CBA1中，∠B＝30°，A1B＝CB，∴∠BA1C＝＝75°，∵A1A2＝A1D，∠BA1C是△A1A2D的外角，∴∠DA2A1＝∠BA1C＝×75°；同理可得∠EA3A2＝（）2×75°，∠F A4A3＝（）3×75°，∴第n个三角形中以A n为顶点的内角度数是（）n﹣1×75°．故答案为：（）n﹣1×75°．12．解：设∠EDC＝x，∠B＝∠C＝y，∠AED＝∠EDC+∠C＝x+y，又因为AD＝AE，所以∠ADE＝∠AED＝x+y，则∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝2x+y，又因为∠ADC＝∠B+∠BAD，所以2x+y＝y+30，解得x＝15，所以∠EDC的度数是15°．故答案是：15°．13．解：当高在三角形内部时（如图1），顶角是60°；当高在三角形外部时（如图2），顶角是120°．故答案为：60或120．14．解：△AOP，△BOP，△COP，△DOP就是所求的三角形．15．解：∵△ABM和△ACN都是等边三角形，∴AB＝AM，AN＝AC，∠BAM＝∠CAN＝60°，∴∠BAM+∠BAC＝∠CAN+∠BAC，即∠CAM＝∠BAN，在△ABN与△AMC中，，∴△ABN≌△AMC（SAS），∴∠ANP＝∠ACP，又∵∠AEN＝∠PEC（对顶角相等），∵∠AEP＝∠NEC（对顶角相等），∴∠APN＝∠ACN＝60°．故答案为：60°．三．解答题（共9小题，满分60分）16．证明：∵EF⊥AD，AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2，∠APE＝∠APF＝90°，又∵∠AEF＝180°﹣∠1﹣∠APE，∠AFE＝180°﹣∠2﹣∠APF，∴∠AEF＝∠AFE，∵∠CFM＝∠AFE，∴∠AEF＝∠AFE＝∠CFM，∵∠AEF＝∠B+∠M，∠MFC＝∠ACB﹣∠M，∴∠B+∠M＝∠ACB﹣∠M，即：∠M＝（∠ACB﹣∠B）．17．证明：延长BD至F，使DF＝BC，连接EF，∵EC＝ED，∴∠ECD＝∠EDC，∴∠ECB＝∠EDF，∴△ECB≌△EDF（SAS），∴BE＝EF，∠B＝60°，∴△BEF为等边三角形，∴BE＝BF，∵AE＝BD，∴DF＝AB，BC＝DF，∴AB＝BC，∴△ABC是等边三角形．18．证明：连接AD．则△ABC的面积＝△ABD的面积+△ACD的面积，AB•DE+AC•DF＝AC•BG，∵AB＝AC，∴DE+DF＝BG．19．证明：∵AD∥BC，∴∠EAD＝∠B，∠DAC＝∠C，∵AD平分∠EAC，∴∠EAD＝∠DAC，∴∠B＝∠C，∴AB＝AC，∵点F为BC中点，∴AF⊥BC．20．证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠SCB，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵CE＝CD，∴∠CDE＝∠E，∵∠ACB＝∠E+∠CDE＝2∠DBC，∴∠DBC＝∠E，∴△BDE为等腰三角形，BD＝ED，∵DH垂直于BE，∴H为BE中点（三线合一）．21．证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∵AD＝BE＝CF，∴AF＝BD，在△ADF和△BED中，，∴△ADF≌△BED（SAS），∴DF＝DE，同理DE＝EF，∴DE＝DF＝EF．∴△DEF是等边三角形．22．证明：∵△ABC是等边三角形，△CDE是等边三角形，M是线段AD的中点，N是线段BE的中点，∴∠ACB＝∠ECD＝60°，∴∠ACB+∠BCD＝∠ECD+∠BCD，即∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE，∴AD＝BE，AM＝BN；∴AC＝BC，∠CAD＝∠CBE，AM＝BN，∴△AMC≌△BNC（SAS），∴CM＝CN，∠ACM＝∠BCN；又∵∠NCM＝∠BCN﹣∠BCM，∠ACB＝∠ACM﹣∠BCM，∴∠NCM＝∠ACB＝60°，∴△CMN是等边三角形．23．（1）证明：作DF∥AB交BC于F，如图所示：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠ABC＝∠C＝60°，∵DF∥AB，∴∠CDF＝∠A＝60°，∠DFC＝∠ABC＝60°，∠DFP＝∠EBP，∴△CDF是等边三角形，∴CD＝DF，∵点P为DE中点，∴PD＝PE，在△PDF和△PEB中，，∴△PDF≌△PEB（AAS），∴DF＝BE，∴CD＝BE；（2）解：∵DE⊥AC，∴∠ADE＝90°，∴∠E＝90°﹣∠A＝30°，∴AD＝AE，∠BPE＝∠ACB﹣∠E＝30°＝∠E，∴BP＝BE，由（1）得：CD＝BE，∴BP＝BE＝CD，设BP＝x，则BE＝CD＝x，AD＝12﹣x，∵AE＝2AD，∴12+x＝2（12﹣x），解得：x＝4，即BP的长为4．24．（1）证明：如图，过P做PF∥BC交AC于点F，∴∠AFP＝∠ACB，∠FPD＝∠Q，∠PFD＝∠QCD ∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝∠ACB＝60°，∴∠A＝∠AFP＝60°，∴△APF是等边三角形；∵AP＝PF，AP＝CQ，∴PF＝CQ∴△PFD≌△QCD，∴PD＝DQ．（2）△APF是等边三角形，∵PE⊥AC，∴AE＝EF，△PFD≌△QCD，∴CD＝DF，DE＝EF+DF＝AC，∵AC＝1，DE＝．。
人教版八年级上册《13.3等腰三角形》同步测试题(含答案解析)
等腰三角形测试题时间：90分钟总分：100一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.如图，在▱ABCD中，，，的平分线交BA的延长线于点E，则AE的长为A. 3B.C. 2D.2.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，于H，连接OH，，则的度数是A. B. C. D.3.已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为，那么这个等腰三角形的顶角等于A. 或B.C.D. 或4.已知等腰三角形的一边长5cm，另一边长8cm，则它的周长是A. 18cmB. 21cmC. 18cm或21cmD. 无法确定5.如图，是由绕点O顺时针旋转后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且的度数为，则的度数是A. B. C. D.6.如果一个等腰三角形的一个角为，则这个三角形的顶角为A. B. C. D. 或7.如图，中，，AC的垂直平分线分别交AB、AC于点D和E，则的周长是A. 6B. 8C. 10D. 无法确定8.已知a、b、c是的三条边，且满足，则是A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 等腰三角形D. 等边三角形9.如图，下列条件不能推出是等腰三角形的是A.B. ，C. ，D. ，10.如图，四边形ABCD是边长为6的正方形，点E在边AB上，，过点E作，分别交BD，CD于G，F两点若M，N分别是DG，CE的中点，则MN的长为A. 3B.C.D. 4二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）11.如图，在中，，，，AD平分，交BC于点D，于E，则______ ．12.如图，，OC平分，如果射线OA上的点E满足是等腰三角形，那么的度数为______．13.如图，在中，，，，点P从点B开始以的速度向点C移动，当要以AB为腰的等腰三角形时，则运动的时间为______．14.平行四边形ABCD中，的角平分线BE将边AD分成长度为5cm和6cm的两部分，则平行四边形ABCD的周长为______cm．15.如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是12，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E、F，若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则的周长的最小值为______．16.如图，等腰中，，AD是底边上的高，若，，则______cm．17.如果等腰三角形的两边长分别为3和7，那么它的周长为______．18.如图，中，点D在边BC上，若，，则______度19.如图，在中，，AB的垂直平分线MN交AC于D点若BD平分，则______20.如图，在中，，，D是AB的中点，过点D作于点E，则DE的长是______．三、计算题（本大题共4小题，共24.0分）21.如图，中，，D，E，F分别为AB，BC，CA上的点，且，求证： ≌ ；若，求的度数．22.如图，在中，，E在CA延长线上，，AD是高，试判断EF与BC的位置关系，并说明理由．23.如图，在▱ABCD中，AE平分交DC于点E，，，求EC的长．24.在中，，，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且．求证： ≌ ；若，求度数．四、解答题（本大题共2小题，共16.0分）25.如图1，在中，于E，，D是AE上的一点，且，连接BD，CD．试判断BD与AC的位置关系和数量关系，并说明理由；如图2，若将绕点E旋转一定的角度后，试判断BD与AC的位置关系和数量关系是否发生变化，并说明理由；如图3，若将中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变．试猜想BD与AC的数量关系，请直接写出结论；你能求出BD与AC的夹角度数吗？如果能，请直接写出夹角度数；如果不能，请说明理由．26.如图，中，，，于点E，于点D，BE与AD相交于F．求证：；若，求AF的长．答案和解析【答案】1. C2. A3. D4. C5. B6. D7. C8. C9. C10. C11. 312. 或或13. 或6s14. 32或3415. 816. 417. 1718. 2019. 3620.21. 证明：，，．，．又，≌ ．解： ≌．所以是等腰三角形．又，中，，，已知．22. 解：，理由为：证明：，，，，，，，，，，则EF与BC的位置关系是垂直．23. 解：在平行四边形ABCD中，则，，又AE平分，即，，即，又，，．故EC的长为3cm．24. 证明：，，在和中，，≌ ；，，，，，≌ ，，．25. 解：，，理由是：延长BD交AC于F．，，在和中≌ ，，，，，，，，；不发生变化．理由：，，，在和中≌ ，，，，，，，；能．和是等边三角形，，，，，，，在和中≌ ，，，即BD与AC所成的角的度数为或26. 解：，，，，，，，在和中，，≌ ，；连接CF，≌ ，，是等腰直角三角形．，，，，，BE是AC的垂直平分线．，．【解析】1. 【分析】此题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定与性质能证得是等腰三角形是解此题的关键由平行四边形ABCD中，CE平分，可证得是等腰三角形，继而利用，求得答案．【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，，，，，，，；故选C．2. 【分析】此题考查了菱形的性质、直角三角形的性质以及等腰三角形的判定与性质注意证得是等腰三角形是关键由四边形ABCD是菱形，可得，，又由，，可求得的度数，然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，证得是等腰三角形，继而求得的度数，然后求得的度数．【解答】解：四边形ABCD是菱形，，，，，，，，．故选A．3. 解：当为锐角三角形时可以画图，高与右边腰成夹角，由三角形内角和为可得，顶角为；当为钝角三角形时可画图，此时垂足落到三角形外面，因为三角形内角和为，由图可以看出等腰三角形的顶角的补角为，三角形的顶角为．故选D．首先想到等腰三角形分为锐角、直角、钝角等腰三角形，当为等腰直角三角形时不可能出现题中所说情况所以舍去不计，我们可以通过画图来讨论剩余两种情况．本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，解答此题时考虑问题要全面，必要的时候可以做出模型帮助解答，进行分类讨论是正确解答本题的关键，难度适中．4. 解：当腰是5cm时，三角形的三边是：5cm，5cm，8cm，能构成三角形，则等腰三角形的周长；当腰是8cm时，三角形的三边是：5cm，8cm，8cm，能构成三角形，则等腰三角形的周长．因此这个等腰三角形的周长为18或21cm．故选：C．题目给出等腰三角形有两条边长为5cm和8cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．5. 解：是绕点O顺时针旋转后得到的图形，，，，，，由三角形的外角性质得，．故选B．根据旋转的性质可得，，再求出，，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．6. 解：当角是顶角时，顶角；当角是底角时，顶角；故选D．题中没有指明这个角是底角还是顶角，故应该分情况进行分析，从而求解．本题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用．7. 解：是AC的垂直平分线，，的周长故选C．垂直平分线可确定两条边相等，然后再利用线段之间的转化进行求解．本题主要考查垂直平分线性质和等腰三角形的知识点，熟练掌握等腰三角形的性质．8. 解：已知等式变形得：，即，，，即，则为等腰三角形．故选：C．已知等式左边分解因式后，利用两数相乘积为0两因式中至少有一个为0得到，即可确定出三角形形状．此题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．9. 解：由可得，则为等腰三角形，故A可以；由且，可得 ≌ ，则可得，即为等腰三角形，故B可以；由，，无法求得或，故C不可以；由，，可得AD为线段BC的垂直平分线，可得，故D可以；故选C．根据等腰三角形的判定逐项判断即可．本题主要考查等腰三角形的判定，掌握等角对等边是解题的关键．10. 解：解法一：如图1，过M作于K，过N作于P，过M作于H，则，，四边形MHPK是矩形，，，，N是EC的中点，，，，，同理得：，四边形ABCD为正方形，，是等腰直角三角形，，，，在中，由勾股定理得：；解法二：如图2，连接FM、EM、CM，四边形ABCD为正方形，，，，，，，，是等腰直角三角形，是DG的中点，，，，≌ ，，过M作于H，由勾股定理得：，，，是等腰直角三角形，，，，，，，，是EC的中点，；故选C．方法三：连EM，延长EM于H，使，连DH，CH，可证 ≌HDM，再证 ≌ ，利用中位线可证．故选：C．解法一：作辅助线，构建矩形MHPK和直角三角形NMH，利用平行线分线段成比例定理或中位线定理得：，，，利用勾股定理可得MN的长；解法二：作辅助线，构建全等三角形，证明 ≌ ，则，利用勾股定理得：，，可得是等腰直角三角形，分别求的长，利用勾股定理的逆定理可得是等腰直角三角形，根据直角三角形斜边中线的性质得MN的长．本题考查了正方形的性质、三角形全等的性质和判定、等腰直角三角形的性质和判定、直角三角形斜边中线的性质、勾股定理的逆定理，属于基础题，本题的关键是证明是直角三角形．11. 解：延长CE交AB于F，，，平分，，在与中，，≌ ，，，，，，，，，，，，．故答案为：3．延长CE交AB于F，根据垂直的定义得到，根据角平分线的定义得到，推出 ≌ ，根据全等三角形的性质得到，，，求得，由三角形的外角的性质得到，等量代换得到，得到，根据等腰三角形的性质即可得到结论．本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．12.解：，OC平分，，当E在时，，，；当E在点时，，则；当E在时，，则；故答案为：或或．求出，根据等腰得出三种情况，，，，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出即可．本题考查了角平分线定义，等腰三角形性质，三角形的内角和定理的应用，用了分类讨论思想．13. 解：当时，点P与点C重合，如图1所示，过点A作于点D，，，，，即运动的时间6s；当时，，，运动的时间故答案为：或6s．由于等腰三角形的另一腰不确定，故应分与两种情况进行讨论．本题考查的是等腰三角形的判定，在解答此题时要进行分类讨论，不要漏解．14. 解：四边形ABCD是平行四边形，，，，，平分，，，，当时，，平行四边形ABCD的周长是；当时，，平行四边形ABCD的周长是；故答案为：32或34．由平行四边形ABCD推出，由已知得到，推出，分两种情况当时，求出AB的长；当时，求出AB的长，进一步求出平行四边形的周长．本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定，三角形的角平分线等知识点，解此题的关键是求出用的数学思想是分类讨论思想．15. 解：连接AD交EF与点，连结AM．是等腰三角形，点D是BC边的中点，，，解得，是线段AB的垂直平分线，．．当点M位于点处时，有最小值，最小值6．的周长的最小值为．连接AD交EF与点，连结AM，由线段垂直平分线的性质可知，则，故此当A、M、D在一条直线上时，有最小值，然后依据要三角形三线合一的性质可证明AD为底边上的高线，依据三角形的面积为12可求得AD的长．本题考查的是轴对称最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．16. 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和勾股定理关键要熟知等腰三角形的三线合一可得先根据等腰三角形的性质求出BD的长，再根据勾股定理解答即可．【解答】解：根据等腰三角形的三线合一可得：，在直角中，由勾股定理得：，所以，．故答案为4．17. 解：若3为腰长，7为底边长，由于，则三角形不存在；若7为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边．所以这个三角形的周长为．故答案为：17．求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长；题目给出等腰三角形有两条边长为3和7，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．18. 解：若，，，又在等腰三角形ADC中，是三角形ADC的外角，，又，，故答案为：20．根据题意可知的度数，然后再利用是三角形ADC的一个外角即可求得答案．本题考查等腰三角形的性质，等腰三角形的两底角相等，以及三角形的内角和为的知识点，此题难度不大．19. 解：，，的垂直平分线MN交AC于D点．，平分，，，设为x，可得：，解得：，故答案为：36根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得，根据等边对等角可得，然后表示出，再根据等腰三角形两底角相等可得，然后根据三角形的内角和定理列出方程求解即可．此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质注意垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．20. 解：过A作于F，连接CD．中，，，．在中，由勾股定理，得，，，，，．故答案为：．过A作BC的垂线，由勾股定理易求得此垂线的长，即可求出的面积；连接CD，由于，则、等底同高，它们的面积相等，由此可得到的面积；进而可根据的面积求出DE的长．此题主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理、三角形面积的求法等知识的综合应用能力．21. 由已知已知，，，可证 ≌ ；由可得，即是等腰三角形，又由，中，，可求出，即，从而求出的度数．本题考查了等腰三角形的性质和判定、三角形的外角与内角的关系及全等三角形的判定及性质；证得三角形全等是正确解答本题的关键．22. EF与BC垂直，理由为：由三角形ABC为等腰三角形且AD为底边上的高，利用三线合一得到AD为角平分线，再由，利用等边对等角得到一对角相等，利用外角性质得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行得到EF与AD平行，进而确定出EF与BC垂直．此题考查了等腰三角形的性质，外角性质，以及平行线的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解本题的关键．23. 本题主要考查了平行四边形的性质及角平分线的性质，应熟练掌握在平行四边形中，由于AE平分，所以不难得出，进而由AD及AB的长代入数据求解即可．24. 根据HL证明 ≌ ；因为是等腰直角三角形，所以，得，由中的全等得：，从而得出结论．本题考查了等腰直角三角形的性质和直角三角形全等的性质和判定，知道等腰直角三角形的两个锐角是，除了熟知三角形一般的全等判定方法外，还要掌握直角三角形的全等判定HL：即有一直角边和斜边对应相等的两直角三角形全等．25. 延长BD交AC于F，求出，证出 ≌ ，推出，，根据推出，求出即可；求出，证出 ≌ ，推出，，根据求出，求出即可；求出，证出 ≌ ，推出，根据三角形内角和定理求出即可本题考查了等边三角形性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查了学生的推理能力．26. 根据等腰三角形腰长相等性质可得，即可求证 ≌ ，即可解题；连接CF，根据全等三角形的性质得到，得到是等腰直角三角形推出，BE是AC的垂直平分线于是得到结论．本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，考查了等腰三角形底边三线合一的性质，本题中求证 ≌ 是解题的关键．。
等腰三角形 培优训练2022-2023学年人教版八年级数学上册
13.3 等腰三角形 培优训练一、单选题1．如图，B 在AC 上，D 在CE 上， AD =BD =BC ， ∠ACE =25° ， ∠ADE 的度数为（ ）A ．50°B ．65°C ．75°D ．80°2．如图，平面直角坐标系中，已知定点A （3，0）和B （0，4），若动点C 在y 轴上运动，则使△ABC 为等腰三角形的点C 有（ ）个．A ．3B ．4C ．5D ．63．如图， △ABC 中， BD 是角平分线， DE ∥BC 交 AB 于 E ，交 AC 于 D ，若 DE =7 ， AE =5 ，则 AB = （ ）A ．10B ．12C ．14D ．164．如图是正五边形ABCDE ， DG 平分正五边形的外角△EDF ，连接AD ，则△ADG= （ ）A ．54°B ．60°C ．72°D ．88°5．如图，在△ABC 中，运用尺规作图的方法在BC 边上取一点P ，使PA +PB =BC ，下列作法正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．6．如图， △ABC 是等边三角形， BD 是中线，延长 BC 至E ，使 CE =CD ，则下列结论错误．．的是（ ）A ．∠CED =30°B ．∠BDE =120°C ．DE =BD D ．DE =AB7．下列命题是真命题的是（ ）A ．等腰三角形的角平分线、中线、高线互相重合B ．一个三角形被截成两个三角形，每个三角形的内角和是90度C ．有两个角是60°的三角形是等边三角形D ．在 △ ABC 中， ∠A =∠B =2∠C ，则 △ ABC 为直角三角形8．如图，在Rt△ABC 中，△ACB ＝90°，AC ＝5，BC ＝12，将△ABC 绕点B 顺时针旋转60°，得到△BDE ，连接DC 交AB 于点F ，则△ACF 与△BDF 的周长之和为（ ）A ．44B ．43C ．42D ．419．如图，△ABC 是等边三角形，点E 是AC 的中点，过点E 作EF△AB 于点F，延长BC交EF 的反向延长线于点D ，若EF=1，则DF 的长为（ ）A ．2B ．2.5C ．3D ．3.5二、填空题10．等腰三角形腰AB =10，底边BC =12，则△ABC 的周长为 ．11．规定：在直角三角形中，如果直角边是斜边的一半，那么它所对的锐角为30°．等腰三角形ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，若AD =12BC ，则△ABC 底角的度数为 ．12．如图，在等边三角形ABC 中，AB =2，BD 是AC 边的高线，延长BC 至点E ，使CE =CD ，则BE 的长为 ．13．如图，在 ΔABC 中， ∠ACB =120° ， CD 平分 ∠ACB ，作 AE//DC ，交 BC 的延长线于点 E ，则ΔACE 是 三角形.14．已知射线OM.以O 为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM 交于点A ，再以点A 为圆心，AO 长为半径画弧，两弧交于点B ，画射线OB ，如图所示，则△AOB= (度)15．如图，在△ABC 中，△ACB=90°，△B =30°，CD 是高．若AD=2，则BD= ．三、作图题16．如图，在9×4的方格纸ABCD 中，每个小正方形的边长均为1，点E 为格点（注：小正方形顶点称为格点）.请仅用无刻度直尺按要求画图.△在CD 边上找一点P ，连结AP ，使△AEP 是等腰三角形； △在AB 边上找一点Q ，使EQ△AP ，画出线段EQ.四、解答题17．如图， △ABC 中， AB=AC ，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，且 △ABE=△ACD ，BE 、CD 交于点O ，求证： △OBC 是等腰三角形.18．已知a ，b ，c 是△ABC 的三边，a ＝4，b ＝6，若三角形的周长是小于16的偶数，判断△ABC 的形状．19．如图，在△ABC 中，D ，E 分别是边AC ，AB 的中点，连接ED ，BD ．若BD 平分∠ABC ，求证：BD ⊥AC ．20．如图， △ABC 是等边三角形， BD 是中线，延长 BC 至E ，使CE=CD．求证：DB =DE ．21．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为AB 边的中点，DE△AC 于点E ，DF△BC 于点F ，DE ＝DF ．求证：△ABC 是等边三角形．22．如图，在△ABC 中，AB =AC ，D 、E 是△ABC 内的两点，AD 平分△BAC ，∠EBC =∠E =60°．若BE =6cm ，DE =2cm ，求BC 的长．23．如图，在△ABC 中，△ACB=90°，CD 是高，△A=30°，求证：BD =14AB .24．阅读下列材料：小明遇到一个问题：已知：如图1，在△ABC 中，△BAC=120°,△ABC=40°，试过△ABC 的一个顶点画一条直线，将此三角形分割成两个等腰三角形.他的做法是：如图2，首先保留最小角△C ，然后过三角形顶点A 画直线交BC 于点D ．将△BAC 分成两个角，使△DAC=20°，△ABC 即可被分割成两个等腰三角形.喜欢动脑筋的小明又继续探究：当三角形内角中的两个角满足怎样的数量关系时，此三角形一定可以被过顶点的一条直线分割成两个等腰三角形. 他的做法是：如图3，先画△ADC ，使DA=DC ，延长AD 到点B ，使△BCD 也是等腰三角形，如果DC=BC ，那么△CDB =△ABC ，因为△CDB=2△A ，所以△ABC= 2△A ．于是小明得到了一个结论：当三角形中有一个角是最小角的2倍时，则此三角形一定可以被过顶点的一条直线分割成两个等腰三角形．请你参考小明的做法继续探究：当三角形内角中的两个角满足怎样的数量关系时，此三角形一定可以被过顶点的一条直线分割成两个等腰三角形.请直接写出你所探究出的另外两条结论（不必写出探究过程或理由）．25．如图[感知]如图①，△ABC 是等边三角形，点D 、E 分别在AB 、BC 边上，且AD=BE ，易知：△ADC△△BEA （1）[探究]如图②，△ABC 是等边三角形，点D 、E 分别在边BA 、CB 的延长线上，且AD=BE ，△ADC与△BEA 还全等吗？如果全等，请证明：如果不全等，请说明理由．（2）[拓展]如图③，在△ABC 中，AB=AC ，△1=△2，点D 、E 分别在BA 、FB 的延长线上，且AD=BE=CF ，若AF=2AD ，S△ABF=6，则S△BCD的大小为答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：∵BD=BC，∠ACE=25°，∴∠BDC=∠C=25°，∴∠ABD=50°，∵AD=BD，∴∠A=∠ABD=50°，∴∠ADE=∠A+∠C=75°.故答案为：C.【分析】由等边对等角得∠BDC=∠C=25°，利用三角形外角的性质求出∠ABD=50°，由等边对等角得∠A=∠ABD=50°，根据三角形外角的性质求出∠ADE=∠A+∠C=75°.2．【答案】B【解析】【解答】解：如图所示：当BC＝BA时，使△ABC为等腰三角形的点C有2个；当AB＝AC时，使△ABC为等腰三角形的点C有1个；当CA＝CB时，使△ABC为等腰三角形的点C有1个；综上所述，若动点C在y轴上运动，使△ABC为等腰三角形的点C有4个；故答案为：B．【分析】利用等腰三角形的判定方法求解即可。
人教版 八年级数学 13.3 等腰三角形 培优训练(含答案)
人教版八年级数学13.3 等腰三角形培优训练一、选择题（本大题共10道小题）1. 如图，已知P A＝PB，在证明∠A＝∠B时，需要添加辅助线，下面有甲、乙两种辅助线的作法：甲：作底边AB的中线PC；乙：作PC平分∠APB交AB于点C.则()A．甲、乙两种作法都正确B．甲的作法正确，乙的作法不正确C．甲的作法不正确，乙的作法正确D．甲、乙两种作法都不正确2. 已知实数x、y满足|x－4|＋y－8＝0，则以x、y的值为两边长的等腰三角形的周长是()A. 20或16B. 20C. 16D. 以上答案均不对3. 如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为()A. 5B. 6C. 8D. 104. 如图，∠AOB＝50°，OM平分∠AOB，MA⊥OA于点A，MB⊥OB于点B，则∠MAB等于()A．50°B．40°C．25°5. 如图，下列条件不能推出△ABC是等腰三角形的是()A．∠B＝∠C B．AD⊥BC，∠BAD＝∠CADC．AD⊥BC，BD＝CD D．AD⊥BC，∠BAD＝∠ACD6. 如图所示，△ABC是等边三角形，D为AB的中点，DE⊥AC，垂足为E. 若AE=1，则△ABC的边长为()A. 2B. 4C. 6D. 87. 如图，在五边形ABCDE中，AB＝AC＝AD＝AE，且AB∥ED，∠EAB＝120°，则∠BCD的度数为()A．150°B．160°C．130°D．60°8. 如图，在△ABC中，∠BAC＝72°，∠C＝36°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，则图中有等腰三角形()A．0个B．1个C．2个D．3个9. 如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点. 已知A，B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形．．．．．，那么符合题意的点C的个数是()A. 6B. 7C. 8D. 910. “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在点O相连并可绕点O转动，点C固定，OC＝CD＝DE，点D，E可在槽中滑动．若∠BDE＝75°，则∠CDE的度数是()A．60°B．65°C．75°D．80°二、填空题（本大题共6道小题）11. 如图，在等边三角形ABC中，点D在边AB上，点E在边AC上，将△ADE 折叠，使点A落在BC边上的点F处，则∠BDF＋∠CEF＝________°.12. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D是AC上一点，且BC＝BD.若∠CBD＝46°，则∠A＝________°.13. 在△ABC中，若∠A＝100°，∠B＝40°，AC＝5，则AB＝________．14. 如图，BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，MN过点O且MN∥BC，设AB＝12，AC＝18，则△AMN的周长为________．15. 如图，在△ABC中，若AB＝AC＝8，∠A＝30°，则S△ABC＝________．16. 一个等腰三角形的一边长是2，一个外角是120°，则它的周长是________．三、解答题（本大题共4道小题）17. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC 于点F.求证：DE＝DF.18. 如图，在等边三角形ABC中，D为AC上一点，E为AB延长线上一点，DE ⊥AC交BC于点F，且DF＝EF.(1)求证：CD＝BE；(2)若AB＝12，求BF的长．19. 如图，将一张长方形的纸条ABCD沿EF折叠，若折叠后∠AGC′＝48°，AD交EC′于点G.(1)求∠CEF的度数；(2)求证：△EFG是等腰三角形．20. 如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F.求证：DF＝2DC.人教版八年级数学13.3 等腰三角形培优训练-答案一、选择题（本大题共10道小题）1. 【答案】A2. 【答案】B【解析】∵|x －4|＋y －8＝0，∴x －4＝0，y －8＝0，解得x ＝4，y ＝8.分两种情况讨论：①当4为腰时，根据三角形三边关系知4＋4＝8，∴这样的等腰三角形不存在；②当8为腰时，则有4＋8>8，这样能够组成等腰三角形，∴此三角形的周长是8＋8＋4＝20.3. 【答案】C 【解析】∵AB ＝AC ，AD 平分∠BAC ，∴根据等腰三角形三线合一性质可知AD ⊥BC ，BD ＝CD ，在Rt △ABD 中，AB ＝5，AD ＝3，由勾股定理得BD ＝4，∴BC ＝2BD ＝8.4. 【答案】C[解析] ∵OM 平分∠AOB ，MA ⊥OA 于点A ，MB ⊥OB 于点B ，∴∠AOM ＝∠BOM ＝25°，MA ＝MB.∴∠OMA ＝∠OMB ＝65°.∴∠AMB ＝130°.∴∠MAB ＝12×(180°－130°)＝25°.故选C.5. 【答案】D[解析] 选项A 由等角对等边可得△ABC 是等腰三角形；选项B 由所给条件可得△ADB ≌△ADC ，由全等三角形的性质可得AB ＝AC ；选项C 由垂直平分线的性质可得AB ＝AC ；选项D 不可以得到AB ＝AC. 6. 【答案】B7. 【答案】A[解析] ∵AB ∥ED ，∴∠E ＝180°－∠EAB ＝180°－120°＝60°. 又∵AD ＝AE ，∴△ADE 是等边三角形．∴∠EAD ＝60°.∴∠BAD ＝∠EAB －∠EAD ＝120°－60°＝60°.∵AB ＝AC ＝AD ，∴∠B ＝∠ACB ，∠ACD ＝∠ADC.在四边形ABCD 中，∠BCD ＝∠B ＋∠ADC ＝12(360°－∠BAD)＝12×(360°－60°)＝150°. 故选A.8. 【答案】D[解析] ∵∠BAC ＝72°，∠C ＝36°，∴∠ABC ＝72°.∴∠BAC ＝∠ABC. ∴CA ＝CB.∴△ABC 是等腰三角形．∵∠BAC 的平分线AD 交BC 于点D ，∴∠DAB＝∠CAD＝36°.∴∠CAD＝∠C.∴CD＝AD，∴△ACD是等腰三角形．∵∠ADB＝∠CAD＋∠C＝72°，∴∠ADB＝∠B.∴AD＝AB.∴△ADB是等腰三角形．9. 【答案】C10. 【答案】D[解析] ∵OC＝CD＝DE，∴∠O＝∠ODC，∠DCE＝∠DEC.∴∠DCE＝∠O＋∠ODC＝2∠ODC.∵∠O＋∠OED＝3∠ODC＝∠BDE＝75°，∴∠ODC＝25°.∵∠CDE＋∠ODC＝180°－∠BDE＝105°，∴∠CDE＝105°－∠ODC＝80°.二、填空题（本大题共6道小题）11. 【答案】120[解析] 由于△ABC是等边三角形，所以∠A＝60°.所以∠ADE＋∠AED＝120°.因为将△ADE折叠，使点A落在BC边上的点F处，所以∠ADE＝∠EDF，∠AED＝∠DEF.所以∠ADF＋∠AEF＝2(∠ADE＋∠AED)＝240°.所以∠BDF＋∠CEF＝360°－(∠ADF＋∠AEF)＝120°.12. 【答案】46[解析] ∵BC＝BD，∠CBD＝46°，∴∠C＝∠BDC＝12(180°－46°)＝67°.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝67°.∴∠A＝46°.13. 【答案】514. 【答案】30[解析] ∵MN∥BC，∴∠MOB＝∠OBC. ∵∠OBM＝∠OBC，∴∠MOB＝∠OBM.∴MO＝MB.同理NO＝NC.∴△AMN的周长＝AM＋MO＋AN＋NO＝AM＋MB＋AN＋NC＝AB＋AC＝30.15. 【答案】16[解析] 如图，过点C作CD⊥AB，垂足为D，则△ADC是含30°角的直角三角形，那么DC＝12AC＝4，∴S△ABC＝12AB·DC＝12×8×4＝16.16. 【答案】6[解析] 已知三角形的一外角为120°，则相邻内角度数为60°，那么含有60°角的等腰三角形是等边三角形．已知等边三角形的一边长为2，则其周长为6.三、解答题（本大题共4道小题）17. 【答案】证明：连接AD.∵AB＝AC，D为BC的中点，∴AD平分∠BAC.又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF.18. 【答案】解：(1)证明：如图，过点D作DM∥AB，交CF于点M，则∠MDF＝∠E.∵△ABC是等边三角形，∴∠CAB＝∠CBA＝∠C＝60°.∵DM∥AB，∴∠CDM＝∠CAB＝60°，∠CMD＝∠CBA＝60°.∴△CDM是等边三角形．∴CM＝CD＝DM.在△DMF 和△EBF 中，⎩⎨⎧∠MDF ＝∠E ，DF ＝EF ，∠DFM ＝∠EFB ，∴△DMF ≌△EBF(ASA)．∴DM ＝BE. ∴CD ＝BE.(2)∵ED ⊥AC ，∠CAB ＝∠CBA ＝60°， ∴∠E ＝∠FDM ＝30°. ∴∠BFE ＝∠DFM ＝30°. ∴BE ＝BF ，DM ＝MF.∵△DMF ≌△EBF ，∴MF ＝BF. ∴CM ＝MF ＝BF.又∵BC ＝AB ＝12，∴BF ＝13BC ＝4.19. 【答案】解：(1)∵四边形ABCD 是长方形， ∴AD ∥BC.∴∠BEG ＝∠AGC′＝48°. 由折叠的性质得∠CEF ＝∠C′EF ， ∴∠CEF ＝12(180°－48°)＝66°. (2)证明：∵四边形ABCD 是长方形， ∴AD ∥BC.∴∠GFE ＝∠CEF. 由折叠的性质得∠CEF ＝∠C′EF ， ∴∠GFE ＝∠C′EF.∴GE ＝GF ，即△EFG 是等腰三角形．20. 【答案】证明：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A ＝∠B ＝∠ACB ＝60°. ∵DE ∥AB ，∴∠EDC ＝∠B ＝60°，∠DEC ＝∠A ＝60°. ∵EF ⊥DE ，∴∠DEF ＝90°. ∴∠F ＝90°－∠EDC ＝30°.∵∠ACB＝∠EDC＝∠DEC＝60°，∴△EDC是等边三角形．∴DE＝DC. ∵∠DEF＝90°，∠F＝30°，∴DF＝2DE＝2DC.。
人教版 八年级数学上册 13.3 等腰三角形 课时训练(含答案)
人教版八年级数学上册13.3 等腰三角形课时训练一、选择题1. 以下列各组数据为边长，可以构成等腰三角形的是()A．1，1，2 B．1，1，3C．2，2，1 D．2，2，52. 如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB，垂足为D，则AD 与BD的长度之比为()A．2∶1 B．3∶1 C．4∶1 D．5∶13. 如图，在等腰三角形中，若∠1＝110°，则∠2的度数为()A．35°B．70°C．110°D．35°或55°4. 如图，已知直线l垂直平分线段AB，P是l上一点，已知P A＝1，则PB()A．等于1 B．小于1C．大于1 D．最小为15. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝3，P是BC边上的动点，则AP的长可能是()A．2 B．5.2 C．7.8 D．86. 具备下列条件的三角形为等腰三角形的是链接听P27例1归纳总结() A．有两个角分别为20°，120°B．有两个角分别为40°，80°C．有两个角分别为30°，60°D．有两个角分别为50°，80°7. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若∠CAD＝20°，则∠ACE的度数是()A．20°B．35°C．40°D．70°8. 如图，AC＝AD，BC＝BD，则有()A．CD垂直平分ABB．AB垂直平分CDC．AB与CD互相垂直平分D．CD平分∠ACB9. 下列条件不能得到等边三角形的是()A．有两个内角是60°的三角形B．有一个角是60°的等腰三角形C．腰和底相等的等腰三角形D．有两个角相等的等腰三角形10. 如图，在△ABC中，∠BAC＝72°，∠C＝36°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，则图中有等腰三角形()A．0个B．1个C．2个D．3个二、填空题11. 如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC＝12，∠A＝30°，则△ABC的面积等于________．12. 等腰三角形的两边长分别为6 cm，13 cm，其周长为________ cm.13. 如图，在△ABC中，AB＝AC，E为BC的中点，BD⊥AC，垂足为D.若∠EAD ＝20°，则∠ABD＝________°.14. 如图所示，OP平分∠AOB，∠AOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA于点D，PC ＝4，则PD＝________.15. 如图所示，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=5 cm，△ABD的周长为18 cm，则△ABC的周长为.三、解答题16. 如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F.求证：DF＝2DC.17. 如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠BAC的平分线分别交BC，CD于点E，F.求证：△CEF是等腰三角形．18. 如图，上午8时，一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北方向航行，上午10时到达海岛B处，从A，B望灯塔C，测得∠NAC＝30°，∠NBC＝60°.(1)求海岛B到灯塔C的距离；(2)这条船继续向正北方向航行，在什么时间小船与灯塔C的距离最短？19. 已知:如图所示，锐角三角形ABC 的两条高BD ，CE 相交于点O ，且OB=OC.(1)求证:△ABC 是等腰三角形;(2)判断点O 是否在∠BAC 的平分线上，并说明理由.20. 如图①，在△ABC 中，AB ＝AC ，P 为底边BC 上一点，PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，CH ⊥AB ，垂足分别为E ，F ，H .易证PE ＋PF ＝CH .证明过程如下： 连接AP .∵PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，CH ⊥AB ，∴S △ABP ＝12AB ·PE ，S △ACP ＝12AC ·PF ，S △ABC ＝12AB ·CH . 又∵S △ABP ＋S △ACP ＝S △ABC ， ∴12AB ·PE ＋12AC ·PF ＝12AB ·CH . ∵AB ＝AC ，∴PE ＋PF ＝CH .如图②，若P 为BC 延长线上的点，其他条件不变，PE ，PF ，CH 之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．人教版八年级数学上册13.3 等腰三角形课时训练-答案一、选择题1. 【答案】C2. 【答案】B[解析] ∵在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB，∴2BD＝BC，2BC＝AB.∴AB＝4BD.∴AD∶BD＝3∶1.3. 【答案】A4. 【答案】A5. 【答案】B[解析] 根据垂线段最短，可知AP的长不能小于3.∵在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝3，∴AB＝6.∴AP的长不能大于6.6. 【答案】D7. 【答案】B8. 【答案】B9. 【答案】D[解析] 有两个内角是60°的三角形，有一个角是60°的等腰三角形，腰和底相等的等腰三角形均可以得到等边三角形，而有两个角相等的等腰三角形不能得到等边三角形．10. 【答案】D[解析] ∵∠BAC＝72°，∠C＝36°，∴∠ABC＝72°.∴∠BAC＝∠ABC.∴CA＝CB.∴△ABC是等腰三角形．∵∠BAC的平分线AD交BC于点D，∴∠DAB＝∠CAD＝36°.∴△ACD 是等腰三角形．∵∠ADB ＝∠CAD ＋∠C ＝72°，∴∠ADB ＝∠B.∴AD ＝AB. ∴△ADB 是等腰三角形．二、填空题11. 【答案】36[解析] 过点B 作BD ⊥AC 于点D.∵∠A ＝30°，AB ＝12，∴在Rt △ABD 中，BD ＝12AB ＝12×12＝6. ∴S △ABC ＝12AC·BD ＝12×12×6＝36.12. 【答案】32[解析] 由题意知，应分两种情况：(1)当腰长为6 cm 时，三角形的三边长为6 cm ，6 cm ，13 cm ，6＋6＜13，不能构成三角形；(2)当腰长为13 cm 时，三角形的三边长为6 cm ，13 cm ，13 cm ，能构成三角形，周长＝2×13＋6＝32(cm)．13. 【答案】50[解析] ∵AB ＝AC ，E 为BC 的中点，∴∠BAE ＝∠EAD ＝20°.∴∠BAD ＝40°，又∵BD ⊥AC ，∴∠ABD ＝90°－∠BAD ＝90°－40°＝50°.14. 【答案】2[解析] 过点P 作PE ⊥OB 于点E.∵∠AOP ＝∠BOP ，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ， ∴PE ＝PD.∵∠BOP ＝∠AOP ＝15°，∴∠AOB ＝30°. ∵PC ∥OA ，∴∠BCP ＝∠AOB ＝30°. ∴在Rt △PCE 中，PE ＝12PC ＝12×4＝2. ∴PD ＝PE ＝2.故答案是2.15. 【答案】28 cm三、解答题16. 【答案】证明：∵△ABC 是等边三角形，∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠B＝60°，∠DEC＝∠A＝60°.∵EF⊥DE，∴∠DEF＝90°.∴∠F＝90°－∠EDC＝30°.∵∠ACB＝∠EDC＝∠DEC＝60°，∴△EDC是等边三角形．∴DE＝DC.∵∠DEF＝90°，∠F＝30°，∴DF＝2DE＝2DC.17. 【答案】证明：∵∠ACB＝90°，∴∠B＋∠BAC＝90°.∵CD⊥AB，∴∠CAD＋∠ACD＝90°.∴∠ACD＝∠B.∵AE是∠BAC的平分线，∴∠CAE＝∠EAB.∵∠EAB＋∠B＝∠CEF，∠CAE＋∠ACD＝∠CFE，∴∠CFE＝∠CEF. ∴CF＝CE.∴△CEF是等腰三角形．18. 【答案】解：(1)∵∠NBC＝60°，∠NAC＝30°，∴∠ACB＝30°.∴AB＝BC.∵AB＝15×2＝30(海里)，∴BC＝30 海里，即从海岛B到灯塔C的距离为30海里．(2)过点C作CP⊥AB于点P，则线段CP的长为小船与灯塔C的最短距离．∵∠NBC＝60°，∠BPC＝90°，∴∠PCB＝90°－60°＝30°.∴PB＝12BC＝15海里．∵15÷15＝1(时)，∴这条船继续向正北方向航行，在上午11时小船与灯塔C 的距离最短．19. 【答案】解:(1)证明:∵OB=OC ， ∴∠OBC=∠OCB.∵锐角三角形ABC 的两条高BD ，CE 相交于点O ， ∴∠BEC=∠CDB=90°.∵∠BEC+∠BCE+∠ABC=∠CDB+∠DBC+∠ACB=180°， ∴180°-∠BEC-∠BCE=180°-∠CDB-∠DBC ， ∴∠ABC=∠ACB ，∴AB=AC ，∴△ABC 是等腰三角形. (2)点O 在∠BAC 的平分线上.理由:连接AO 并延长交BC 于点F .在△AOB 和△AOC 中，∴△AOB ≌△AOC (SSS)，∴∠BAF=∠CAF ， ∴点O 在∠BAC 的平分线上.20. 【答案】解：PE ＝PF ＋CH.证明如下： 连接AP.∵PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，CH ⊥AB ，∴S △ABP ＝12AB·PE ，S △ACP ＝12AC·PF ，S △ABC ＝12AB·CH.∵S △ABP ＝S △ACP ＋S △ABC ， ∴12AB·PE ＝12AC·PF ＋12AB·CH. ∵AB ＝AC ，∴PE ＝PF ＋CH.。
第13章13.3等腰三角形(课堂练习)人教版数学八年级上册试题试卷含答案
1．一个等腰三角形的两边长分别为2，4，则它的周长为（ ）A ．8B ．10C ．9D ．8或102．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30︒，则底角的度数为（ ）A ．60︒B ．120︒C ．60︒或120︒D ．60︒或30︒3．若等腰三角形的一个内角是另一个内角的2倍，则满足条件的形状不同的三角形有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．等腰三角形补充下列条件后，一定不会成为等边三角形的是（ ）A ．有一个内角是60︒B ．有一个外角是120︒C ．其中一个角是另一个角的3倍D ．腰与底边相等5．如图所示，在等边三角形ABC 中，AD BC ⊥，E 为AD 上一点，50CED ∠=︒，则ABE∠等于（ ）A ．10︒B ．15︒C ．20︒D ．25︒6．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，点D 在线段BC 上，且30B ∠=︒，60ADC ∠=︒，BC =则BD 的长度为__________．课堂练习：基础版题量: 10题 时间: 20min13.3等腰三角形7．如图，60AOB ∠=︒，OC 平分AOB ∠，如果射线OA 上的点E 满足OCE ∆是等腰三角形，那么OEC ∠的度数为__________．8．在ABC ∆中，40A ∠=︒，当C ∠=__________时，ABC ∆为等腰三角形．9．等腰三角形的腰长为17，底长为16，则其底边上的高为__________．10．如图，四边形ABCD 中，4AD =，1BC =，30A ∠=︒，90B ∠=︒，120ADC ∠=︒，求CD的长．【错误题号】【错因自查】 基础不牢 审题不清思路不清 计算错误 粗心大意【正确解答】【错误题号】【错因自查】 基础不牢 审题不清思路不清 计算错误 粗心大意【正确解答】1．B2．D3．B4．C5．C6．7．120︒或75︒或30︒．8．40︒或70︒或100︒．9．1510．延长AD 、BC 交于E ，30A ∠=︒ ，90B ∠=︒，60E ∴∠=︒，120ADC ∠=︒ ，60EDC ∴∠=︒，EDC ∴∆是等边三角形，设CD CE DE x ===，4AD = ，1BC =，2(1)4x x ∴+=+，解得2x =，2CD ∴=．1．一个等腰三角形的两边长分别为2，4，则它的周长为（ ）A ．8B ．10C ．9D ．8或102．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30︒，则底角的度数为（ ）A ．60︒B ．120︒C ．60︒或120︒D ．60︒或30︒3．若等腰三角形的一个内角是另一个内角的2倍，则满足条件的形状不同的三角形有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．等腰三角形补充下列条件后，一定不会成为等边三角形的是（ ）A ．有一个内角是60︒B ．有一个外角是120︒C ．其中一个角是另一个角的3倍D ．腰与底边相等5．如图所示，在等边三角形ABC 中，AD BC ⊥，E 为AD 上一点，50CED ∠=︒，则ABE∠等于（ ）A ．10︒B ．15︒C ．20︒D ．25︒6．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，点D 在线段BC 上，且30B ∠=︒，60ADC ∠=︒，BC =则BD 的长度为__________．课堂练习：提升版题量: 10题 时间: 20min13.3等腰三角形7．（★）下列三角形：①有两个角等于60︒的三角形；②有一个角等于60︒的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（ ）A ．①②③④B ．①②④C ．①③D ．②③④8．（★）如图，在ABC ∆中，AB AC =，BD ，CE 分别是ABC ∠，ACB ∠的平分线，且DE BC ，36A ∠=︒，则图中等腰三角形共有__________个．9．（★）如图，ABC ∆是等边三角形，沿图中的虚线剪去B ∠，则12∠+∠的度数等于__________．10．（★）求证：在直角三角形中，如果一个锐角等于30︒，那么它所对的直角边等于斜边的一半．【错误题号】【错因自查】 基础不牢 审题不清思路不清 计算错误 粗心大意【正确解答】1．B2．D 3．B 4．C5．C6．7．A 8．129．240︒10．已知，在Rt ABC ∆中，30A ∠=︒，90ACB ∠=︒．求证：12BC AB =．证明：证法一：如图所示，延长BC 到D ，使CD BC =，连接AD ，易证AD AB =，60BAD ∠=︒．ABD ∴∆为等边三角形，AB BD ∴=，12BC CD AB ∴==，即12BC AB =．证法二：如图所示，取AB 的中点D ，连接DC ，有12CD AB AD DB ===，30DCA A ∴∠=∠=︒，60BDC DCA A ∠=∠+∠=︒．DBC ∴∆为等边三角形，12BC DB AB ∴==，即12BC AB =．证法三：如图所示，在AB 上取一点D ，使BD BC =，60B ∠=︒ ，BDC ∴∆为等边三角形，60DCB ∴∠=︒，90906030ACD DCB A ∠=︒-∠=︒-︒=︒=∠．DC DA ∴=，即有12BC BD DA AB ===，12BC AB ∴=．证法四：如图所示，作ABC ∆的外接圆D ，90C ∠=︒，AB 为O 的直径，连DC 有DB DC =，223060BDC A ∠=∠=⨯︒=︒，DBC ∴∆为等边三角形，12BC DB DA AB ∴===，即12BC AB =．1．一个等腰三角形的两边长分别为2，4，则它的周长为（ ）A ．8B ．10C ．9D ．8或102．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30︒，则底角的度数为（ ）A ．60︒B ．120︒C ．60︒或120︒D ．60︒或30︒3．若等腰三角形的一个内角是另一个内角的2倍，则满足条件的形状不同的三角形有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．等腰三角形补充下列条件后，一定不会成为等边三角形的是（ ）A ．有一个内角是60︒B ．有一个外角是120︒C ．其中一个角是另一个角的3倍D ．腰与底边相等5．如图所示，在等边三角形ABC 中，AD BC ⊥，E 为AD 上一点，50CED ∠=︒，则ABE∠等于（ ）A ．10︒B ．15︒C ．20︒D ．25︒6．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，点D 在线段BC 上，且30B ∠=︒，60ADC ∠=︒，BC =则BD 的长度为__________．课堂练习：培优版题量: 10题 时间: 20min13.3等腰三角形7．（★★）如图，已知：30MON ∠=︒，点1A ，2A ，3A ⋯⋯在射线ON 上，点1B ，2B ，3B ⋯⋯在射线OM 上，△112A B A ，△223A B A ，△334A B A ⋯⋯均为等边三角形，若11OA =，则△778A B A 的边长为（ ）A ．64B ．32C ．16D ．1288．（★★）如图，在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，点D 在BC 上，AB AC =，BD BA =，点E 在BC的延长线上，CA CE =，连接AE ，则DAE ∠=__________．9．（★★）如图，在1ABA ∆中，28B ∠=︒，1AB A B =，在1A B 上取一点C ，延长1AA 到2A ，使得121A A A C =，连接2A C ．完成下列问题：（1）12A A C ∠的度数等于__________度；（2）如果继续在2A C 上取一点D ，延长12A A 到3A ，使得232A A A D =，连接3A D ，⋯，依此进行下去，那么以n A 为顶点的锐角的度数等于__________度．10．（★★）如图，ABC ∆为等边三角形，AE CD =，AD 、BE 相交于点P ， BQ AD ⊥于点Q ，3PQ =，1PE =．（1）求证：AD BE =；（2）求AD 的长．【错误题号】【错因自查】 基础不牢 审题不清思路不清 计算错误 粗心大意【正确解答】【错误题号】【错因自查】 基础不牢 审题不清思路不清 计算错误 粗心大意【正确解答】1．B2．D 3．B 4．C5．C6．7．A8．45︒9．（1）38；（2）1762n -．10．（1）证明：ABC ∆ 为等边三角形，AB CA BC ∴==，60BAE ACD ∠=∠=︒；在ABE ∆和CAD ∆中，60AB CA BAE ACD AE CD =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，(SAS)ABE CAD ∴∆≅∆，AD BE ∴=；（2）解：ABE CAD ∆≅∆ ，CAD ABE ∴∠=∠，60BPQ ABE BAD BAD CAD BAE ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒；BQ AD ⊥ ，90AQB ∴∠=︒，906030PBQ ∴∠=︒-︒=︒，3PQ = ，∴在Rt BPQ ∆中，26BP PQ ==，又1PE = ，617AD BE BP PE ∴==+=+=．。
2022-2023学年人教版八年级数学上册《13-3等腰三角形》同步达标测试题(附答案)
2022-2023学年人教版八年级数学上册《13.3等腰三角形》同步达标测试题（附答案）一．选择题（共10小题，满分40分）1．已知等腰三角形三边的长分别为4，x，10，则x的值是（）A．4B．10C．4 或10D．6 或102．已知等腰三角形ABC的周长为20cm，BC＝8cm，则AB的长度是（）A．8cm B．6cmC．8cm或6cm D．8cm或6cm或4cm3．已知等腰三角形的一个底角为70°，则其顶角为（）A．50°B．60°C．30°D．40°4．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为25°，则顶角的度数为（）A．65°B．105°C．55°或105°D．65°或115°5．如图，在△ABC中，D、E是两边AB、AC上的点，DE∥BC，DE＝BE，若∠DBC＝20°，∠C＝65°，则∠A的度数是（）A．60°B．65°C．70°D．75°6．如图，已知点B，C，D，E在同一直线上，△ABC是等边三角形，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝（）A．35°B．30°C．25°D．15°7．三个等边三角形的摆放位置如图，若∠3＝60°，则∠1+∠2的度数为（）°A．150B．120C．90D．808．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD于点D．∠ABD＝∠A，若BD＝1，BC＝3，则AC的长为（）A．2B．3C．4D．59．如图，已知S△ABC＝12，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，则S△ADC的值是（）A．10B．8C．6D．410．如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠EDC＝∠BAC，且D为BC中点，DE＝CE，则AE：AB的值为（）A．B．C．D．无法确定二．填空题（共6小题，满分30分）11．等腰三角形一边长等于4，一边长等于9，它的周长是．12．已知△ABC中有一个内角是30°，AB＝AC，AB边上的中垂线交直线BC于点D，连结AD，则∠DAC＝．13．如图，AD是△ABC的高，且AB+BD＝DC，∠BAD＝40°，则∠C的度数为．14．如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E是△ABC内两点，AD平分∠BAC，∠EBC＝∠E ＝60°，若BE＝4cm，DE＝3cm，则BC＝cm．15．如图，∠ABC的平分线BF与△ABC的相邻外角∠ACG的平分线CF相交于F，过F 作DF∥BC，交AB于D，交AC于E，若BD＝8cm，CE＝5cm，则DE的长为．16．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB 于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D，下列四个结论：①EF＝BE+CF；②∠BOC＝90°+∠A；③点O到△ABC各边的距离相等；④设OD＝m，AE+AF＝n，则S△AEF＝mn．其中正确的结论是．（填序号）三．解答题（共5小题，满分50分）17．已知：如图，E为△ABC的外角平分线上的一点，AE∥BC，BF＝AE，求证：（1）△ABC是等腰三角形；（2）AF＝CE．18．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．（1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）求证：∠B＝∠DEF；（3）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．19．如图，点C是线段AB上除点A、B外的任意一点，分别以AC、BC为边在线段AB的同旁作等边△ACD和等边△BCE，连接AE交DC于M，连接BD交CE于N，连接MN．（1）求证：AE＝BD；（2）求证：MN∥AB．20．已知：在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD．（1）如图①，若∠AOB＝∠COD＝60°，求证：①AC＝BD②∠APB＝60°．（2）如图②，若∠AOB＝∠COD＝α，则AC与BD间的等量关系式为，∠APB 的大小为（直接写出结果，不证明）21．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E．（1）当∠BDA＝115°时，∠EDC＝°，∠DEC＝°；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变（填“大”或“小”）；（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数．若不可以，请说明理由．参考答案一．选择题（共10小题，满分40分）1．解：当x＝4时，4+4＜10，不符合三角形三边关系，舍去；当x＝10时，4+10＞10，符合三角形三边关系．故选：B．2．解：（1）当BC＝8cm为底边时，AB为腰，由等腰三角形的性质，得AB＝（20﹣BC）＝6cm；（2）当BC＝8cm为腰时，①若AB为腰，则BC＝AB＝8cm；②若AB为底，则AB＝20﹣2BC＝4cm，故选：D．3．解：∵等腰三角形的一个底角为70°，∴顶角＝180°﹣70°×2＝40°．故选：D．4．解：①如图1，当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在外部．根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得顶角是90°+25°＝115°；②如图2，当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部，故顶角是90°﹣25°＝65°．故选：D．5．解：∵DE＝BE，∴∠EBD＝∠EDB，∵DE∥BC，∴∠EDB＝∠DBC＝20°，∴∠DBE＝∠BDE＝20°，∴∠ABC＝40°，∵∠C＝65°，∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝180°﹣40°﹣65°＝75°，故选：D．6．解：如图所示，∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠1＝60°，∵CD＝CG，∴∠CGD＝∠2，∴∠1＝2∠2，同理有∠2＝2∠E，∴4∠E＝60°，∴∠E＝15°．故选：D．7．解：∵图中是三个等边三角形，∠3＝60°，∴∠ABC＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∠ACB＝180°﹣60°﹣∠2＝120°﹣∠2，∠BAC＝180°﹣60°﹣∠1＝120°﹣∠1，∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，∴60°+（120°﹣∠2）+（120°﹣∠1）＝180°，∴∠1+∠2＝120°．故选：B．8．解：延长BD交AC于E，如图，∵CD平分∠ACB，BD⊥CD，∴△BCE为等腰三角形，∴DE＝BD＝1，CE＝CB＝3，∵∠A＝∠ABD，∴EA＝EB＝2，∴AC＝AE+CE＝2+3＝5．故选：D．9．解：如图，延长BD交AC于点E，∵AD平分∠BAE，AD⊥BD，∴∠BAD＝∠EAD，∠ADB＝∠ADE，在△ABD和△AED中，，∴△ABD≌△AED（ASA），∴BD＝DE，∴S△ABD＝S△ADE，S△BDC＝S△CDE，∴S△ABD+S△BDC＝S△ADE+S△CDE＝S△ADC，∴S△ADC＝S△ABC＝×12＝6，故选：C．10．解：∵DE＝CE∴∠EDC＝∠C，∵∠EDC＝∠BAC，∴∠EDC＝∠BAC＝∠C，∵∠B＝60°，∴△ABC及△DCE是等边三角形，∵D为BC中点，∴DE是△ABC的中位线，∴AE：AB＝1：2．故选：A．二．填空题（共6小题，满分30分）11．解：∵4+4＝8＜9，0＜4＜9+9＝18∴腰的不应为4，而应为9∴等腰三角形的周长＝4+9+9＝22故填：22．12．解：∠B＝30°是底角，如图1：∵AB＝AC，∠B＝30°，∴∠C＝30°，∵AB边上的中垂线交直线BC于点D，∴∠BAD＝∠B＝30°，∴∠ADC＝30°+30°＝60°，∴∠DAC＝180°﹣30°﹣60°＝90°；∠BAC＝30°的角是顶角，如图2：∵AB＝AC，∠BAC＝30°，∴∠B＝∠ACB＝（180°﹣30°）÷2＝75°，∵AB边上的中垂线交直线BC于点D，∴∠BED＝∠AED＝90°﹣75°＝15°，∴∠ADC＝15°+15°＝30°，∴∠DAC＝75°﹣30°＝45°．故∠DAC＝90°或45°．故答案为：90°或45°．13．解：在线段DC上取一点E，使DE＝DB，连接AE，∵AD是△ABC的高，∴AD⊥BC，∴AD垂直平分BE，∴AB＝AE，∴∠EAD＝∠BAD＝40°，∠AEB＝∠B＝90°﹣∠BAD＝50°，∵AB+BD＝DC，DE+CE＝DC，∴AB＝CE，∴AE＝CE，∴∠EAC＝∠C，∵∠AEB＝∠EAC+∠C＝2∠C，∴∠C＝∠AEB＝25°，故答案为：25°．14．解：延长ED交BC于M，延长AD交BC于N，作DF∥BC，∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AN⊥BC，BN＝CN，∵∠EBC＝∠E＝60°，∴△BEM为等边三角形，∴△EFD为等边三角形，∵BE＝4cm，DE＝3cm，∴DM＝1cm，∵△BEM为等边三角形，∴∠EMB＝60°，∵AN⊥BC，∴∠DNM＝90°，∴∠NDM＝30°，∴NM＝cm，∴BN＝cm，∴BC＝2BN＝7cm，故答案为7．15．解：∵BF、CF分别平分∠ABC、∠ACB的外角，∴∠DBF＝∠CBF，∠FCE＝∠FCG，∵DE∥BC，∴∠DFB＝∠CBF，∠EFC＝∠FCG，∴∠DBF＝∠DFB，∠FCE＝∠EFC，∴BD＝FD＝8cm，EF＝CE＝5cm，∴BD﹣CE＝FD﹣EF＝DE＝8﹣5＝3（cm），故答案为：3cm．16．解：∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠OBC+∠OCB＝90°﹣∠A，∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝90°+∠A；故②正确；∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴∠OBC＝∠OBE，∠OCB＝∠OCF，∵EF∥BC，∴∠OBC＝∠EOB，∠OCB＝∠FOC，∴∠EOB＝∠OBE，∠FOC＝∠OCF，∴BE＝OE，CF＝OF，∴EF＝OE+OF＝BE+CF，故①正确；过点O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，连接OA，∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴ON＝OD＝OM＝m，∴S△AEF＝S△AOE+S△AOF＝AE•OM+AF•OD＝OD•（AE+AF）＝mn；故④错误；∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴点O到△ABC各边的距离相等，故③正确．故答案是：①②③三．解答题（共5小题，满分50分）17．证明：（1）∵AE∥BC，∴∠DAE＝∠B，∠EAC＝∠ACB，∵E为△ABC的外角平分线上的一点，∴∠DAE＝∠EAC，∴∠B＝∠ACB，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形；（2）在△ABF和△CAE中，，∴△ABF≌△CAE（SAS），∴AF＝CE．18．（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，在△DBE和△ECF中，，∴△DBE≌△ECF，∴DE＝FE，∴△DEF是等腰三角形；（2）∵△BDE≌△CEF，∴∠FEC＝∠BDE，∴∠DEF＝180°﹣∠BED﹣∠FEC＝180°﹣∠DEB﹣∠EDB＝∠B （3）∵由（2）知△BDE≌△CEF，∴∠BDE＝∠CEF，∴∠CEF+∠DEF＝∠BDE+∠B，∴∠DEF＝∠B，∴AB＝AC，∠A＝40°，∴∠DEF＝∠B＝＝70°．19．证明：（1）∵△ACD和△BCE是等边三角形，∴AC＝DC，CE＝CB，∠DCA＝60°，∠ECB＝60°，∵∠DCA＝∠ECB＝60°，∴∠DCA+∠DCE＝∠ECB+∠DCE，∠ACE＝∠DCB，在△ACE与△DCB中，∵，∴△ACE≌△DCB，∴AE＝BD；（2）∵由（1）得，△ACE≌△DCB，∴∠CAM＝∠CDN，∵∠ACD＝∠ECB＝60°，而A、C、B三点共线，∴∠DCN＝60°，在△ACM与△DCN中，∵，∴△ACM≌△DCN（ASA），∴MC＝NC，∵∠MCN＝60°，∴△MCN为等边三角形，∴∠NMC＝∠DCN＝60°，∴∠NMC＝∠DCA，∴MN∥AB．20．解：（1）①证明：∵∠AOB＝∠COD＝60°，∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC，∴∠AOC＝∠BOD．在△AOC和△BOD中，，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴AC＝BD；②证明：∵△AOC≌△BOD，∴∠OAC＝∠OBD，∴∠OAC+∠AOB＝∠OBD+∠APB，∴∠OAC+60°＝∠OBD+∠APB，∴∠APB＝60°；（2）AC＝BD，∠APB＝α．21．解：（1）∠EDC＝180°﹣∠ADB﹣∠ADE＝180°﹣115°﹣40°＝25°，∠DEC＝180°﹣∠EDC﹣∠C＝180°﹣40°﹣25°＝115°，∠BDA逐渐变小；故答案为：25°，115°，小；（2）当DC＝2时，△ABD≌△DCE，理由：∵∠C＝40°，∴∠DEC+∠EDC＝140°，又∵∠ADE＝40°，∴∠ADB+∠EDC＝140°，∴∠ADB＝∠DEC，又∵AB＝DC＝2，∴△ABD≌△DCE（AAS），（3）当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角形，理由：∵∠BDA＝110°时，∴∠ADC＝70°，∵∠C＝40°，∴∠DAC＝70°，∠AED＝∠C+∠EDC＝30°+40°＝70°，∴∠DAC＝∠AED，∴△ADE的形状是等腰三角形；∵当∠BDA的度数为80°时，∴∠ADC＝100°，∵∠C＝40°，∴∠DAC＝40°，∴∠DAC＝∠ADE，∴△ADE的形状是等腰三角形．。
人教版八年级上册数学《等腰三角形》同步训练附答案
人教版八年级数学上册《13.3等腰三角形》同步训练1．如图，△ABC是等边三角形，△BCD是等腰三角形，且BD＝CD，过点D作AB的平行线交AC于点E，若AB＝8，DE＝6，则BD的长为（）A．6B．C．D．2．求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．已知：如图，∠CAE是△ABC的外角，∠1＝∠2，AD∥BC．求证AB＝AC．以下是排乱的证明过程：①又∠1＝∠2，②∴∠B＝∠C，③∵AD∥BC，④∴∠1＝∠B，∠2＝∠C，⑤∴AB＝AC．证明步骤正确的顺序是（）A．③→②→①→④→⑤B．③→④→①→②→⑤C．．①→②→④→③→⑤D．①→④→③→②→⑤3．如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，点E在AD上，且DE＝BC，则∠AFE＝（）A．100°B．105°C．110°D．115°4．如图，已知△ABC是等边三角形，D是BC边上的一个动点（异于点B、C），过点D作DE⊥AB，垂足为E，DE的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，连接FD，FE．当点D在BC边上移动时，有下列三个结论：①△DEF一定为等腰三角形；②△CFG一定为等边三角形；③△FDC可能为等腰三角形．其中正确的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个5．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC 交AC于点N，且MN平分∠AMC，若AN＝2，则BC的长为（）A．12B．16C．20D．86．如图，AB∥CD，CB平分∠ACD，点E在AB上，DE⊥CB，垂足为F，连接AF则下列结论中错误的是（）A．AB＝AC B．∠AFC＝∠DC．∠AEF+∠D＝180°D．∠AFC＞∠FCD7．如果一个等腰三角形的两边长为2和5，那么这个三角形的周长是（）A．9B．12C．9或12D．不确定8．若等腰三角形的一个内角比另一个内角大30°，则这个等腰三角形的底角度数是（）A．50°B．80°C．50°或70°D．80°或40°9．若等腰三角形一边长9cm，另一边长4cm，则它的周长为（）A．22cm B．17cm C．22cm或17cm D．22cm或19cm 10．等腰三角形一边长9cm，另一边长4cm，它的第三边是（）cm．A．4 B．9 C．4或9 D．大于5且小于1311．下列对△ABC的判断，错误的是（）A．若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC是直角三角形B．若AB＝BC，∠C＝50°，则∠B＝50°C．若AB＝BC，∠A＝60°，则△ABC是等边三角形D．若∠A＝20°，∠C＝80°，则△ABC是等腰三角形12．已知等腰三角形的周长为19，一边长为8，则此等腰三角形的底边长为（）A．3B．8C．3或8D．8或5.513．若等腰三角形的顶角是大于60°的锐角，则底角度数的取值范围是（）A．x＜60°B．x≤60°C．45°＜x＜60°D．45°≤x＜60°14．△ABC中，∠BAC＝∠BCA，AD平分∠BAC，DE∥AC，下列说法正确的是（）A．∠B＝36°B．∠ADB＝108°C．∠ADB＝3∠EDA D．∠AED＝3∠B 15．等腰三角形的两边长为3和8，则这个等腰三角形的周长是（）A．14B．19C．14或19D．2016．如图，在△ABC中，AB＝AC，尺规作图：（1）分别以B，C为圆心，BC长为半径作弧，两弧交于点D；（2）作射线AD，连接BD，CD．则下列结论中错误的是（）A．∠BAD＝∠CAD B．△BCD是等边三角形C．AD垂直平分BC D．S四边形ABDC＝AD⋅BC17．如图，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线l交BC于点D．若∠BAD＝78°，则∠B的度数是（）A．34°B．30°C．28°D．26°18．如图，在△ABC中，AB＝AC，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交AB于点B和点D，再分别以点B，D为圆心，大于BD长为半径画弧，两弧相交于点M，作射线CM 交AB于点E．若AE＝5，BE＝1，则EC的长度是（）A．B．C．9D．19．如图，在等腰△ABD中，∠A＝32°，取大于AB的长为半径，分别以点A，B为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交AD边于点E（作图痕迹如图所示），连接BE，BD，则∠EBD的度数为．20．如图，在△ABC中，AB＝AC，以点B为圆心，BC长为半径画弧交AC于点C和点D，再分别以点C和点D为圆心，大于DC长为半径画弧，两弧相交于点F，作射线BF交AC于点E．若∠A＝40°，则∠EBC＝度．21．如图，在边长为2的等边三角形ABC中，D，E分别为AB，BC的中点，EF⊥AC于点F，G为EF的中点，连接DG，则DG的长为．22．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝35°，D是BC边上的动点，连接AD，若△ABD 为直角三角形，则∠DAC的度数为．23．已知等腰三角形的一个内角为110°，则等腰三角形的底角的度数为．24．用三根木棒首尾相连围成一个等腰三角形，其中两根木棒的长度分别为3cm和6cm，则第三根木棒长为cm．25．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC交BC于点D，BC＝16cm，则BD＝cm．26．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（4，0），在y轴上取一点C使△ABC为等腰三角形，符合条件的C点有个．27．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝108°，AC的中垂线交BC于点D，交AC于点E，连接AD，则图中等腰三角形有个．28．如图，在△ABC中，以点B为圆心，BA长为半径画弧，交BC边于点D，连接AD．若∠B＝40°，∠C＝32°，求∠DAC的度数．29．如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠ABC、∠ACB的平分线交于点E，直线AE交BC于点D，说明AD⊥BC的理由．30．若关于x，y的二元一次方程组的解都是正数．（1）求a的取值范围；（2）若此方程组的解是一个等腰三角形的一条腰和底边的长，且这个等腰三角形的周长为12，求a的值．31．如图，在△ABC中，D是三角形内一点，连接DA、DB、DC，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：AB＝AC．参考答案1．解：连接AD交BC于点O，取AC中点N，连接ON，如图，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC＝8，∠ABC＝60°，∵△BCD是等腰三角形，∴BD＝DC，∴AD垂直平分BC，∴BO＝CO＝4，∵AN＝CN，∴ON＝AB＝4，ON∥AB，∵AB∥DE，∴ON∥DE，∴OD＝AO，∴AO＝4，∴OD＝2，在Rt△BOD中，BD＝＝2．故选：B．2．解：∵③AD∥BC，∴④∠1＝∠B，∠2＝∠C，∵①∠1＝∠2，∴②∠B＝∠C，∴⑤AB＝AC，故证明步骤正确的顺序是③→④→①→②→⑤，3．解：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵AD是BC边上的中线，∴∠BAD＝BAC＝30°，AD⊥BC，BD＝CD＝BC，∴∠CDE＝90°，∵DE＝BC，∴DE＝DC，∴∠DEC＝∠DCE＝45°，∴∠AEF＝∠DEC＝45°，∴∠AFE＝180°﹣∠BAD﹣∠AEF＝180°﹣30°﹣45°＝105°，故选：B．4．解：∵DE的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，∴FE＝FD，∴△DEF一定为等腰三角形，故①正确；∵DE⊥AB，DE⊥FG，∴AB∥FG，∴∠FGC＝∠B＝60°，又∵△ABC是等边三角形，∴∠C＝60°，∴△CFG中，∠C＝∠CFG＝∠CGF，∴△CFG一定为等边三角形；故②正确；∵∠FDC＞∠FGC＝60°，∠C＝60°，∠CFD＜∠CFG＝60°，∴△FDC不可能为等腰三角形．故③错误；5．解：∵CM平分∠ACB交AB于点M，∴∠NCM＝∠BCM，∵MN∥BC∴∠NCM＝∠BCM＝∠NMC，∵MN平分∠AMC，∴∠AMN＝∠NMC＝∠B，∴∠ACB＝2∠B，NM＝NC，∴∠B＝30°；∵AN＝2，∠AMN＝∠B＝30°，∴MN＝2AN＝4，∴NM＝NC＝4，∴AC＝AN+NC＝6，∴BC＝2AC＝12，故选：A．6．解：∵AB∥CD，∴∠B＝∠BCD，∠AEF+∠D＝180°，故C选项正确；∵CB平分∠ACD，∴∠ACB＝∠BCD，∴∠ACB＝∠B，∴AC＝AB，故A选项正确；∵DE⊥CB，∴∠CFD＝90°，∴∠D+∠BCD＝90°，假如∠AFC＝∠D，则∠CAF＝∠CFD＝90°，而∠CAF不一定是90°，∴∠AFC与∠D不一定相等，故B选项错误；∵∠AFC是△ABF的外角，∴∠AFC＞∠B，∵∠B＝∠FCD，∴∠AFC＞∠FCD，故D选项正确，故选：B．7．解：∵2+2＝4＜5，∴腰的长不能为2，只能为5，∴等腰三角形的周长＝2×5+2＝12，故选：B．8．解：在△ABC中，设∠A＝x，∠B＝x+30°，分情况讨论：当∠A＝∠C为底角时，2x+（x+30°）＝180°，解得x＝50°，底角∠A＝50°；当∠B＝∠C为底角时，2（x+30°）+x＝180°，解得x＝40°，底角∠B＝70°．故这个等腰三角形的底角的度数为50°或70°．故选：C．9．解：①当腰为4cm时，三边为4cm，4cm，9cm，∵4+4＜9，∴不符合三角形的三边关系定理，此种情况舍去；②当腰为9cm时，三边为4cm，9cm，9cm，此时符合三角形的三边关系定理，此时等腰三角形的周长是4cm+9cm+9cm＝22cm，故选：A．10．解：①当腰为4cm时，三边为4cm，4cm，9cm，∵4+4＜9，∴不符合三角形的三边关系定理，此种情况舍去；②当腰为9cm时，三边为4cm，9cm，9cm，此时符合三角形的三边关系定理，所以三角形的第三边为9cm，故选：B．11．解：A．若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°，所以△ABC是直角三角形，故此选项正确，不符合题意；B．若AB＝BC，∠C＝50°，则∠A＝∠C＝50°，∠B＝100°，故此选项错误，符合题意；C．若AB＝BC，∠A＝60°，则∠A＝∠C＝60°，∠B＝60°，所以△ABC是等边三角形，故此选项正确，不符合题意；D．若∠A＝20°，∠C＝80°，则∠B＝80°，∠C＝∠B＝80°，所以△ABC是等腰三角形，故此选项正确，不符合题意．故选：B．12．解：本题可分两种情况：①当腰长为8时，底边长＝19﹣2×8＝3；经检验，符合三角形三边关系；②底边长为8，此时腰长＝（19﹣8）÷2＝5.5，经检验，符合三角形三边关系；因此该等腰三角形的底边长为3或8．故选：C．13．解：设等腰三角形的底角为x°，则顶角为（180°﹣2x），由题意可得：60°＜180°﹣2x＜90°，∴45°＜x＜60°，∴底角度数的取值范围是45°＜x＜60°，故选：C．14．解：设∠CAD＝x°，∵AD平分∠BAC，∠BAC＝∠BCA，∴∠BCA＝∠BAC＝2x°，∵DE∥AC，∴∠BDE＝∠BCA＝2x°，∠ADE＝∠CAD＝x°，∴∠ADB＝∠BDE+∠ADE＝2x°+x°＝3x°，即∠ADB＝3∠EDA，故选：C．15．解：①若3是腰，则另一腰也是3，底是8，但是3+3＜8，故不构成三角形，舍去．②若3是底，则腰是8，8．3+8＞8，符合条件．成立．故周长为：3+8+8＝19．故选：B．16．解：根据作图方法可得BC＝BD＝CD，∵BD＝CD，∴点D在BC的垂直平分线上，∵AB＝AC，∴点A在BC的垂直平分线上，∴AD是BC的垂直平分线，故C结论正确；∴O为BC中点，∴AO是△BAC的中线，∵AB＝AC，∴∠BAD＝∠CAD，故A结论正确；∵BC＝BD＝CD，∴△BCD是等边三角形，故B结论正确；∵四边形ABDC的面积＝S△BCD+S△ABC＝BC•DO+BC•AO＝BC•AD，故D选项错误，故选：D．17．解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵AC的垂直平分线l交BC于点D，∴AD＝DC，∴∠DAC＝∠C，∵∠ADB＝∠DAC+∠C＝2∠C，∴∠ADB＝2∠B，∵∠BAD＝78°，∴∠B+∠ADB+∠BAD＝∠B+2∠B+78°＝180°，∴∠B＝34°，故选：A．18．解：由作法得CE⊥AB，则∠AEC＝90°，AC＝AB＝BE+AE＝5+1＝6，在Rt△ACE中，CE＝＝，故选：A．19．解：∵AD＝AB，∠A＝32°，∴∠ABD＝∠ADB＝（180°﹣∠A）＝74°，由作图可知，EA＝EB，∴∠ABE＝∠A＝32°，∴∠EBD＝∠ABD﹣∠ABE＝74°﹣32°＝42°，故答案为：42°．20．解：∵AB＝AC，∠A＝40°，∴∠ACB＝（180°﹣40°）÷2＝70°，由题意可知，BC＝BD，∴∠BDC＝∠ACB＝70°，∴∠CBD＝180°﹣70°×2＝40°，由题意可知，BF平分∠DBC，∴∠EBC＝∠CBD＝20°．故答案为：20．21．解：连接DE，∵在边长为2的等边△ABC中，D，E分别为AB，BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝1，且DE∥AC，BD＝BE＝EC＝1，∵EF⊥AC于点F，∠C＝60°，∴∠FEC＝30°，∠DEF＝∠EFC＝90°，∴FC＝EC＝，故EF＝＝＝，∵G为EF的中点，∴EG＝，∴DG＝＝，故答案为：．22．解：如图，∵AB＝AC，∠B＝35°，∴∠B＝∠C＝35°，∴∠BAC＝110°，当∠BAD＝90°时，∠DAC＝110°﹣90°＝20°；当∠ADB＝90°时，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠DAC＝∠BAD＝55°．故答案为：20°或55°．23．解：∵等腰三角形的一个内角是110°，∴等腰三角形的顶角为110°，∴等腰三角形的底角为35°，故答案为：35°．24．解：组成等腰三角形的两根木棒的长度分别为3cm和6cm，根据三角形三边关系可得，组成等腰三角形的第三根木棒长为6cm，故答案为：6．25．解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC交BC于点D，∴BD＝DC＝BC，∵BC＝16cm，故答案为：8．26．解：观察图形可知，若以点A为圆心，以AB为半径画弧，与y轴有2个交点，但其中一个与B点重合，故此时符合条件的点由1个；若以点B为圆心，以AB为半径画弧，与y轴有2个交点；线段AB的垂直平分线与y轴有1个交点；∴符合条件的C点有：1+2+1＝4（个），故答案为：4．27．解：∵AB＝AC，∠BAC＝108°，∴△ABC是等腰三角形，∠B＝∠C＝（180°﹣∠BAC）÷2＝36°，∵AC的中垂线交BC于点D，交AC于点E，∴AD＝CD，∴△ADC是等腰三角形，∠DAC＝∠C＝36°，∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝72°，∠ADB＝∠DAC+∠C＝72°，∴∠BAD＝∠ADB，∴△BAD是等腰三角形．故图中等腰三角形有3个．故答案为：3．28．解：∵∠B＝40°，∠C＝32°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝108°，由作图可知：BA＝BD，∴∠BAD＝∠BDA＝（180°﹣∠B）÷2＝70°，∴∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝38°．29．证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，∴∠EBC＝，，∴∠EBC＝∠ECB，∴EB＝EC，∴AE垂直平分BC，∴AD⊥BC．30．解：（1）解得，∵若关于x、y的二元一次方程组的解都为正数，∴，解得：a＞1；（2）∵二元一次方程组的解是一个等腰三角形的一条腰和一条底边的长，这个等腰三角形的周长为12，∴2（a﹣1）+a+2＝12，解得：a＝4，∴x＝3，y＝6，故3，3，6不能组成三角形，∴2（a+2）+a﹣1＝12，解得：a＝3，∴x＝2，y＝5，故2，5，5能组成等腰三角形，∴a的值是3．31．证明：∵∠1＝∠2，∴DB＝CD，在△ABD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD（SAS），∴AB＝AC．。
人教版八年级数学13.3《等腰三角形》同步提高测试(有答案)
八年级数学人教版13.3《等腰三角形》同步提高测试一、选择题：1、如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD，CE是角平分线，则图中的等腰三角形共有（）A．8个B．7个C．6个D．5个2、如图，在△ABC中，AB=AC，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，交AC于点E．若∠CDE=35°，则∠A的度数为（）．A.30°B.40°C.44°D.60°3、（2019天水）如图，等边△OAB的边长为2，则点B的坐标为（）A．（1，1）B．（1，）C．（，1）D．（，）4、如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN=11，则线段MN的长为( )．A．11 B．9 C．8 D．125、如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，ED∥BC，若AB=4，AD=2，则△AED的周长是（）A．6 B．7 C．8 D．106、如图，取两根等宽的纸条折叠穿插，拉紧，可得边长为2的正六边形。
则原来的纸带宽为（）A. 1B.C.D. 27、如图，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，那么下列结论：①△BDF，△CEF都是等腰三角形；②DE=BD+CE；③△ADE的周长为AB+AC；④BD=CE．其中正确的是( )．A.①②③B. ①②④C. ④②③D.①④③8、已知：如图，△ABC中，BO，CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，过O点的直线分别交AB、AC于点D、E，且DE∥BC．若AB=6cm，AC=8cm，则△ADE的周长为( )cm．A．14 B．17 C．18 D．109、如图，△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD平分∠ABC，下列结论错误的是（）A．∠C=2∠A B．BD=BCC．△ABD是等腰三角形D．点D为线段AC的中点10、如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC边上一点，EF垂直平分CD，交AC于点E，交BC于点F，连结DE，∠B=55°,则∠DEF=( )．A.40°B.50°C.35°D.55°11、（2019衢州）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的。
人教版 八年级数学 13.3 等腰三角形 针对训练 (含答案)
人教版八年级数学13.3 等腰三角形针对训练一、选择题1. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝3，P是BC边上的动点，则AP的长可能是()A．2 B．5.2 C．7.8 D．82. 已知等腰三角形的一个角等于42°，则它的底角为()A．42°B．69°C．69°或84°D．42°或69°3. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，下列结论不正确的是()A．∠B＝∠C B．BD＝CDC．AB＝2BD D．AD平分∠BAC4. 下列条件不能得到等边三角形的是()A．有两个内角是60°的三角形B．有一个角是60°的等腰三角形C．腰和底相等的等腰三角形D．有两个角相等的等腰三角形5. 如图，AD是△ABC的中线，下列条件中不能推出△ABC是等腰三角形的是()A．∠BAD＋∠B＝∠CAD＋∠C B．AB－BD＝AC－CDC．AB＋BD＝AC＋CD D．AD＝BC6. 如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为()A. 5B. 6C. 8D. 107. 如图，在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，AD＝6，过点D作DE ∥BC交AB于点E.若△AED的周长为16，则边AB的长为()A．6 B．8 C．10 D．128. 如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC.若AB＝10，BD＝6，则△ADE的周长为()A．4 B．12 C．18 D．309. 如图，在△ABC中，过顶点A的直线DE∥BC，∠ABC，∠ACB的平分线分别交DE于点E，D.若AC＝3，AB＝4，则DE的长为()A．6 B．7 C．8 D．910. 如图所示，在三角形纸片ABC中，∠B=2∠C，把三角形纸片沿直线AD折叠，点B落在AC边上的点E处，那么下列等式成立的是()A. AC=AD+BDB. AC=AB+CDC. AC=AD+CDD. AC=AB+BD二、填空题11. 如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC＝12，∠A＝30°，则△ABC的面积等于________．12. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，AD是中线，BE是高，AD与BE交于点F，则∠BFD＝________°.13. 如图，BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，MN过点O且MN∥BC，设AB＝12，AC＝18，则△AMN的周长为________．14. 定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰三角形ABC中，∠A＝80°，则它的特征值k＝________．15. 如图，在△ABC中，∠B＝20°，∠A＝105°，点P在△ABC的三边上运动，当△P AC为等腰三角形时，顶角的度数是__________．三、解答题16. 如图所示，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD，BE相交于点P，BQ⊥AD 于点Q，PQ＝3，PE＝1，求AD的长．17. 如图所示，点E在△ABC中AC边的延长线上，点D在AB边上，DE交BC 于点F，DF＝EF，BD＝CE.求证：△ABC是等腰三角形.18. 如图①，在△ABC 中，∠ABC ，∠ACB 的平分线交于点O ，过点O 作EF ∥BC 分别交AB ，AC 于点E ，F.探究一：猜想图①中线段EF 与BE ，CF 间的数量关系，并证明． 探究二：设AB ＝8，AC ＝6，求△AEF 的周长．探究三：如图②，在△ABC 中，∠ABC 的平分线BO 与△ABC 的外角平分线CO 交于点O ，过点O 作EF ∥BC 交AB 于点E ，交AC 于点F.猜想这时EF 与BE ，CF 间又是什么数量关系，并证明．19. 如图①，在△ABC 中，AB ＝AC ，P 为底边BC 上一点，PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，CH ⊥AB ，垂足分别为E ，F ，H .易证PE ＋PF ＝CH .证明过程如下： 连接AP .∵PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，CH ⊥AB ，∴S △ABP ＝12AB ·PE ，S △ACP ＝12AC ·PF ，S △ABC ＝12AB ·CH . 又∵S △ABP ＋S △ACP ＝S △ABC ， ∴12AB ·PE ＋12AC ·PF ＝12AB ·CH . ∵AB ＝AC ，∴PE ＋PF ＝CH .如图②，若P 为BC 延长线上的点，其他条件不变，PE ，PF ，CH 之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．20. 已知△ABC中，AB＝AC，D是△ABC外一点(点A，D在直线BC的两侧)，且DB＝DC，过点D作DE∥AC，交射线AB于点E，连接AD交BC于点F.(1)求证：AD⊥BC；(2)如图①，当点E在线段AB上且不与点B重合时，求证：DE＝AE；(3)如图②，当点E在线段AB的延长线上时，请直接写出线段DE，AC，BE的数量关系．人教版八年级数学13.3 等腰三角形针对训练-答案一、选择题1. 【答案】B[解析] 根据垂线段最短，可知AP的长不能小于3.∵在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝3，∴AB＝6.∴AP的长不能大于 6.2. 【答案】D[解析] 在等腰三角形中，当一个锐角在未指明为顶角还是底角时，一定要分类讨论．①42°的角为等腰三角形的底角；②42°的角为等腰三角形的顶角，则底角为(180°－42°)÷2＝69°.所以底角为42°或69°.3. 【答案】C4. 【答案】D[解析] 有两个内角是60°的三角形，有一个角是60°的等腰三角形，腰和底相等的等腰三角形均可以得到等边三角形，而有两个角相等的等腰三角形不能得到等边三角形．5. 【答案】D[解析] 由∠BAD＋∠B＝∠CAD＋∠C可得∠ADB＝∠ADC，又∠ADB＋∠ADC＝180°，所以∠ADB＝∠ADC＝90°，又BD＝DC，由垂直平分线的性质可得AB＝AC.由等式的性质，根据AB－BD＝AC－CD，AB＋BD＝AC＋CD，又BD＝CD，均可得AB＝AC.选项D不能得到AB＝AC.6. 【答案】C【解析】∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴根据等腰三角形三线合一性质可知AD⊥BC，BD＝CD，在Rt△ABD中，AB＝5，AD＝3，由勾股定理得BD＝4，∴BC＝2BD＝8.7. 【答案】C[解析] ∵BD平分∠ABC，∴∠EBD＝∠CBD.∵DE∥BC，∴∠EDB＝∠CBD.∴∠EBD＝∠EDB.∴BE＝DE.∵△AED的周长为16，∴AE＋DE＋AD＝AE＋BE＋AD＝AB＋AD＝16.∵AD＝6，∴AB＝10.8. 【答案】B[解析] ∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°.∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B＝60°，∠AED＝∠C＝60°.∴△ADE为等边三角形．∵AB ＝10，BD＝6，∴AD＝AB－BD＝10－6＝4.∴△ADE的周长为4×3＝12.9. 【答案】B[解析] 由题意得∠EBC＝∠ABE，∠ACD＝∠DCB.根据平行线的性质得∠DCB＝∠ADC，∠EBC＝∠AEB，所以∠ADC＝∠ACD，∠ABE＝∠AEB.所以AD＝AC，AB＝AE.所以DE＝AD＋AE＝AC＋AB＝3＋4＝7.10. 【答案】D二、填空题11. 【答案】36[解析] 过点B作BD⊥AC于点D.∵∠A＝30°，AB＝12，∴在Rt△ABD中，BD＝12AB＝12×12＝6.∴S △ABC ＝12AC·BD ＝12×12×6＝36.12. 【答案】7013. 【答案】30[解析] ∵MN ∥BC ，∴∠MOB ＝∠OBC.∵∠OBM ＝∠OBC ， ∴∠MOB ＝∠OBM. ∴MO ＝MB.同理NO ＝NC.∴△AMN 的周长＝AM ＋MO ＋AN ＋NO ＝AM ＋MB ＋AN ＋NC ＝AB ＋AC ＝30.14. 【答案】85或14 [解析] ①当∠A 为顶角时，等腰三角形两底角的度数为180°－80°2＝50°， ∴特征值k ＝80°50°＝85.②当∠A 为底角时，顶角的度数为180°－80°－80°＝20°， ∴特征值k ＝20°80°＝14. 综上所述，特征值k 为85或14.15. 【答案】105°或55°或70° [解析] (1)如图①，点P 在AB 上时，AP ＝AC ，顶角∠A ＝105°.(2)∵∠B ＝20°，∠BAC ＝105°， ∴∠ACB ＝180°－20°－105°＝55°.点P 在BC 上时，如图②，若AC ＝PC ，则顶角∠C ＝55°.如图③，若AC ＝AP ，则顶角∠CAP ＝180°－2∠C ＝180°－2×55°＝70°. 综上所述，顶角为105°或55°或70°.三、解答题16. 【答案】[解析] 由已知条件易知△ABE ≌△CAD ，从而BE ＝AD ，只需求PB 的长即可，由BQ ⊥AD 知，若在Rt △BPQ 中有∠PBQ ＝30°就可以求出BP 的长，于是求证∠BPQ ＝60°是解决问题的突破口． 解：∵△ABC 为等边三角形， ∴∠BAC ＝∠C ＝60°，AB ＝CA. 又AE ＝CD ，∴△ABE ≌△CAD. ∴∠ABE ＝∠CAD ，BE ＝AD.∴∠BPQ ＝∠BAP ＋∠ABE ＝∠BAP ＋∠CAD ＝∠BAC ＝60°. 又BQ ⊥AD ，∴∠PBQ ＝30°. ∴PB ＝2PQ ＝6.∴BE ＝PB ＋PE ＝7.∴AD ＝BE ＝7.17. 【答案】证明：如图所示，过点D 作DG ∥AC 交BC 于点G ，则∠GDF ＝∠E ，∠DGB ＝∠ACB. 在△DFG 和△EFC 中，⎩⎨⎧∠DFG ＝∠EFC ，DF ＝EF ，∠GDF ＝∠E ，∴△DFG ≌△EFC(ASA)．∴GD ＝CE.∵BD ＝CE ，∴BD ＝GD.∴∠B ＝∠DGB.∴∠B ＝∠ACB.∴AB ＝AC ，即△ABC 是等腰三角形．18. 【答案】解：探究一：猜想：EF ＝BE ＋CF.证明如下： ∵BO 平分∠ABC ，∴∠ABO ＝∠CBO. ∵EF ∥BC ，∴∠EOB ＝∠CBO. ∴∠ABO ＝∠EOB.∴BE ＝OE.同理：OF ＝CF ，∴EF ＝OE ＋OF ＝BE ＋CF.探究二：C △AEF ＝AE ＋EF ＋AF ＝AE ＋(OE ＋OF)＋AF ＝(AE ＋BE)＋(AF ＋CF)＝AB ＋AC ＝8＋6＝14. 探究三：猜想：EF ＝BE －CF.证明如下：∵BO 平分∠ABC ， ∴∠EBO ＝∠CBO.∵EF ∥BC ，∴∠EOB ＝∠CBO. ∴∠EBO ＝∠EOB.∴BE ＝OE. 同理：OF ＝CF ，∴EF ＝OE －OF ＝BE －CF.19. 【答案】解：PE ＝PF ＋CH.证明如下： 连接AP.∵PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，CH ⊥AB ，∴S △ABP ＝12AB·PE ，S △ACP ＝12AC·PF ，S △ABC ＝12AB·CH.∵S △ABP ＝S △ACP ＋S △ABC ， ∴12AB·PE ＝12AC·PF ＋12AB·CH. ∵AB ＝AC ，∴PE ＝PF ＋CH.20. 【答案】解：(1)证明：∵AB ＝AC ， ∴点A 在BC 的垂直平分线上．∵DB ＝DC ，∴点D 在BC 的垂直平分线上． ∴直线AD 是BC 的垂直平分线．∴AD ⊥BC. (2)证明：∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ， ∴∠BAD ＝∠CAD.∵DE ∥AC ，∴∠EDA ＝∠CAD. ∴∠BAD ＝∠EDA.∴DE ＝AE. (3)DE ＝AC ＋BE.理由：同(2)得∠BAD ＝∠CAD.∵DE∥AC，∴∠EDA＝∠CAD.∴∠BAD＝∠EDA.∴DE＝AE.∵AB＝AC，∴DE＝AB＋BE＝AC＋BE.。
人教版八年级数学上册13.3等腰三角形(包含答案 )
13.3等腰三角形知识要点：1.等腰三角形的性质（1）等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）．2.等腰三角形的判定（1）有两边相等的三角形是等腰三角形；（2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．3.等边三角形的概念：三边都相等的三角形是等边三角形．4.一在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半一、单选题1．将一张正方形纸片按如图1，图2所示的方向对折，然后沿图3中的虚线剪裁得到图4，将图4的纸片展开铺平，再得到的图案是（）A．B．C．D．【答案】B2．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，AF△BC，垂足为点F，△ADE ＝30°，DF＝2，则△ABF的周长为（）A．B．C．D．【答案】D3．如图，△ABC中△ACB＝90°,CD是AB边上的高，△BAC的角平分线AF交CD于E，则△CEF必为（）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形【答案】A4．如图，梯形ABCD中，AD△BC，△B＝30°，△BCD＝60°，AD＝2，AC平分△BCD，则BC长为( )．A．4B．6C．D．【答案】B5．如果过三角形重心的一条直线将该三角形分成两个直角三角形，则该三角形一定是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．等边三角形【答案】C6．如图，有一底角为35°的等腰三角形纸片，现过底边上一点，沿与腰垂直的方向将其剪开，分成三角形和四边形两部分，则四边形中，最大角的度数是（）A．110°B．125°C．140°D．160°【答案】B7．如图,矩形ABCD中,AB=7,BC=4,按以下步骤作图：以点B为圆心,适当长为半径画弧,交AB,BC于点E,F;再分别以点E,F为圆心,大于12EF的长为半径画弧,两弧在△ABC内部相交于点H,作射线BH,交DC于点G,则DG的长为( )A．1B．112C．3D．212【答案】C8．如图，已知AB△CD，BC平分△ABE，△C=32°，则△BED的度数是（）A．32°B．16°C．49°D．64°【答案】D9．若等腰三角形的周长为18cm，其中一边长为4cm，则该等腰三角形的底边长为（）A．10B．7或10C．4D．7或4【答案】C10．如图，在Rt△ABC中，△C＝90°，D是AB的中点，E在边AC上，若D与C关于BE成轴对称，则下列结论：△△A＝30°；△△ABE是等腰三角形；△点B到△CED 的两边距离相等．其中正确的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】D11．等腰三角形的顶角为150°,则它的底角为( )A．30°B．15°C．30°或15°D．50°【答案】B12．下列说法错误的是( )A．等腰三角形底边上的高所在直线是它的对称轴；B．等腰三角形底边上的中线所在直线是它的对称轴；C．等腰三角形顶角的平分线所在直线是它的对称轴；D．等腰三角形的一内角平分线所在直线是它的对称轴.【答案】D二、填空题13．如图，等边△ABC中，AD是中线，AD=AE，则△EDC = ______________【答案】15°14．如图，△ABC中，AB =AC，DE是AB的中垂线，△BCD的周长是14，BC = 5，那么AB =_________.【答案】915．等腰三角形周长为40，以一腰为边作等边三角形，其周长为45，则等腰三角形的底边长为_________【答案】1016．等边三角形的周长是30厘米，则边长为_______.【答案】10厘米17．等腰三角形的腰长为10,则底边长m的取值范围是_____.【答案】0＜m＜2018．等腰三角形的一个角是50°,则它的底角为__________°.【答案】50或65．19．等腰三角形的周长为13cm,其中一边长为3cm,则该等腰三角形的腰长为_____cm.【答案】5三、解答题20．如图所示，在△ABC中，△B＝90°，AB＝BC，BD＝CE，M是AC边的中点，求证△DEM 是等腰三角形．证明：连接BM ，∵AB ＝BC ，AM ＝MC ，∵BM∵AC ，且∵ABM ＝∵CBM ＝12∵ABC ＝45°， ∵AB ＝BC ，所以∵A ＝∵C ＝1802ABC ︒-∠＝45°， ∵∵A ＝∵ABM ，所以AM ＝BM ，∵BD ＝CE ，AB ＝BC ，∵AB －BD ＝BC －CE ，即AD ＝BE ，在∵ADM 和∵BEM 中，,45,,AD BE A EBM AM BM =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∵∵ADM∵∵BEM （SAS ），∵DM ＝EM ，∵∵DEM 是等腰三角形．21．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的点，DE△AB，DF△AC，垂足分别为点E、F，△BAC＝120°．求证：12DE DF BC+=．证明：∵AB=AC，∵BAC=120°，∵∵B=∵C=30°，∵DE∵AB，DF∵AC，垂足为E，F，∵DE=12BD，DF=12DC，∵DE+DF=12BD+12DC=12（BD+DC）=12BC．∵DE+DF=12 BC．22．如图:已知在△ABC中,AB=AC,AE△BC,试说明AE平分△DAC.证明：∵AB=AC，∵∵B=∵C，∵AE∵BC，∵∵DAE=∵B，∵CAE=∵C，∵∵DAE=∵EAC，∵AE平分∵DAC．23．如图，已知AB=AC，D是AB上一点，DE△BC于E，ED的延长线交CA的延长线于F，那么△ADF是等腰三角形吗?为什么?【答案】∵ADF是等腰三角形，理由见解析.∵ADF是等腰三角形，理由如下：∵AB=AC，∵∵B=∵C（等边对等角），∵DE∵BC于E，∵∵FEB=∵FEC=90°，∵∵B+∵EDB=∵C+∵EFC=90°，∵∵EFC=∵EDB（等角的余角相等），∵∵EDB=∵ADF（对顶角相等），∵∵EFC=∵ADF，∵∵ADF是等腰三角形．24．如图，在△ABC中，AB=AC，△ABC和△ACB的平分线交于点O.(1) 结合图形，请你写出你认为正确的结论；(2) 过O作EF△BC交AB于E，交AC于F. 请你写出图中所有等腰三角形，并探究EF、BE、FC之间的关系；(3) 若AB≠AC，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗？若有，请写出所有的等腰三角形，若没有，请说明理由；线段EF、BE、FC之间，上面探究的结论是否还成立？【答案】（1）结论：∵ABO=∵CBO=∵ACO=∵BCO，理由如下：∵AB=AC，∵∵ABC=∵ACB．∵OB平分∵ABC，OC平分∵ACB，∵∵ABO=∵CBO=∵ACO=∵BCO．（2）等腰三角形有：∵ABC、∵AEF，∵BEO，∵COF，∵BOC；EF、BE、FC之间的关系EF=BE+CF，理由如下：由（1）可得，∵ABC、∵BOC是等腰三角形；∵EF∵BC，∵∵ABC=∵AEF，∵AFE=∵ACB,∵∵ABC=∵ACB，∵∵AEF=∵AFE，∵AE=AF,即∵AEF是等腰三角形；∵BO平分∵ABC，∵∵EBO=∵OBC；∵EF∵BC，∵∵OBC=∵EOB，∵∵EBO=∵EOB；∵EO=BE，∵∵BEO是等腰三角形；同理可得OF=FC，∵∵COF是等腰三角形；∵EO+OF=BE+FC，即EF=BE+CF．（3）图中的等腰三角形有：∵BEO，∵COF ；结论仍然成立，理由如下：∵BO平分∵ABC，∵∵EBO=∵OBC；∵EF∵BC，∵∵OBC=∵EOB，∵∵EBO=∵EOB；∵EO=BE，人教版八年级数学上册13.3等腰三角形（包含答案）∵∵BEO是等腰三角形；同理可得OF=FC，∵∵COF是等腰三角形；∵EO+OF=BE+FC，即EF=BE+CF．11/ 11。
人教版 八年级数学上册 13.3 等腰三角形 同步训练(含答案)
人教版八年级数学上册13.3 等腰三角形同步训练一、选择题1. 如图，等腰三角形的对称轴是()A．直线l1B．直线l2C．直线l3D．直线l42. 如图，AC＝AD，BC＝BD，则有()A．CD垂直平分ABB．AB垂直平分CDC．AB与CD互相垂直平分D．CD平分∠ACB3. 已知等腰三角形的一个角等于42°，则它的底角为()A．42°B．69°C．69°或84°D．42°或69°4. 已知实数x、y满足|x－4|＋y－8＝0，则以x、y的值为两边长的等腰三角形的周长是()A. 20或16B. 20C. 16D. 以上答案均不对5. 如图，AD是△ABC的中线，下列条件中不能推出△ABC是等腰三角形的是()A．∠BAD＋∠B＝∠CAD＋∠C B．AB－BD＝AC－CDC．AB＋BD＝AC＋CD D．AD＝BC6. 如图，∠AOB＝50°，OM平分∠AOB，MA⊥OA于点A，MB⊥OB于点B，则∠MAB等于()A．50°B．40°C．25°7. 如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC.若AB＝10，BD＝6，则△ADE的周长为()A．4 B．12 C．18 D．308. 如图，在五边形ABCDE中，AB＝AC＝AD＝AE，且AB∥ED，∠EAB＝120°，则∠BCD的度数为()A．150°B．160°C．130°D．60°9. 如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点. 已知A，B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形．．．．．，那么符合题意的点C的个数是()A. 6B. 7C. 8D. 910. “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在点O相连并可绕点O转动，点C固定，OC＝CD＝DE，点D，E可在槽中滑动．若∠BDE＝75°，则∠CDE的度数是()A．60°B．65°C．75°D．80°二、填空题11. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D是AC上一点，且BC＝BD.若∠CBD＝46°，则∠A＝________°.12. 如图，直线a∥b，△ABC的顶点C在直线b上，边AB与直线b相交于点D.若△BCD是等边三角形，∠A＝20°，则∠1＝________．13. 一个等腰三角形的一边长是2，一个外角是120°，则它的周长是________．14. 如图所示，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=5 cm，△ABD的周长为18 cm，则△ABC的周长为.15. 如图，BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，MN过点O且MN∥BC，设AB＝12，AC＝18，则△AMN的周长为________．16. 如图，在△ABC中，若AB＝AC＝8，∠A＝30°，则S△ABC＝________．三、解答题17. 如图，在△ABC中，AB＝BD，根据图中的数据，求∠BAC的度数．18. 如图，在△ABC中，O是边AC上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交△ABC的外角平分线于点F.探究线段OE与OF的数量关系，并说明理由．19. 如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠BAC的平分线分别交BC，CD于点E，F.求证：△CEF是等腰三角形．人教版八年级数学上册13.3 等腰三角形同步训练-答案一、选择题1. 【答案】A2. 【答案】B3. 【答案】D[解析] 在等腰三角形中，当一个锐角在未指明为顶角还是底角时，一定要分类讨论．①42°的角为等腰三角形的底角；②42°的角为等腰三角形的顶角，则底角为(180°－42°)÷2＝69°.所以底角为42°或69°.4. 【答案】B【解析】∵|x－4|＋y－8＝0，∴x－4＝0，y－8＝0，解得x＝4，y＝8.分两种情况讨论：①当4为腰时，根据三角形三边关系知4＋4＝8，∴这样的等腰三角形不存在；②当8为腰时，则有4＋8>8，这样能够组成等腰三角形，∴此三角形的周长是8＋8＋4＝20.5. 【答案】D[解析] 由∠BAD＋∠B＝∠CAD＋∠C可得∠ADB＝∠ADC，又∠ADB＋∠ADC＝180°，所以∠ADB＝∠ADC＝90°，又BD＝DC，由垂直平分线的性质可得AB ＝AC.由等式的性质，根据AB －BD ＝AC －CD ，AB ＋BD ＝AC ＋CD ，又BD ＝CD ，均可得AB ＝AC.选项D 不能得到AB ＝AC.6. 【答案】C[解析] ∵OM 平分∠AOB ，MA ⊥OA 于点A ，MB ⊥OB 于点B ，∴∠AOM ＝∠BOM ＝25°，MA ＝MB.∴∠OMA ＝∠OMB ＝65°.∴∠AMB ＝130°.∴∠MAB ＝12×(180°－130°)＝25°.故选C.7. 【答案】B[解析] ∵△ABC 为等边三角形，∴∠A ＝∠B ＝∠C ＝60°.∵DE ∥BC ，∴∠ADE ＝∠B ＝60°，∠AED ＝∠C ＝60°.∴△ADE 为等边三角形．∵AB ＝10，BD ＝6，∴AD ＝AB －BD ＝10－6＝4.∴△ADE 的周长为4×3＝12.8. 【答案】A[解析] ∵AB ∥ED ，∴∠E ＝180°－∠EAB ＝180°－120°＝60°. 又∵AD ＝AE ，∴△ADE 是等边三角形．∴∠EAD ＝60°.∴∠BAD ＝∠EAB －∠EAD ＝120°－60°＝60°.∵AB ＝AC ＝AD ，∴∠B ＝∠ACB ，∠ACD ＝∠ADC.在四边形ABCD 中，∠BCD ＝∠B ＋∠ADC ＝12(360°－∠BAD)＝12×(360°－60°)＝150°. 故选A. 9. 【答案】C10. 【答案】D[解析] ∵OC ＝CD ＝DE ，∴∠O ＝∠ODC ，∠DCE ＝∠DEC. ∴∠DCE ＝∠O ＋∠ODC ＝2∠ODC. ∵∠O ＋∠OED ＝3∠ODC ＝∠BDE ＝75°， ∴∠ODC ＝25°.∵∠CDE ＋∠ODC ＝180°－∠BDE ＝105°， ∴∠CDE ＝105°－∠ODC ＝80°.二、填空题11. 【答案】46[解析] ∵BC＝BD，∠CBD＝46°，∴∠C＝∠BDC＝12(180°－46°)＝67°.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝67°.∴∠A＝46°.12. 【答案】40°[解析] 如图．∵△BCD是等边三角形，∴∠BDC＝60°.∵a∥b，∴∠2＝∠BDC＝60°.由三角形的外角性质和对顶角的性质可知，∠1＝∠2－∠A＝40°.13. 【答案】6[解析] 已知三角形的一外角为120°，则相邻内角度数为60°，那么含有60°角的等腰三角形是等边三角形．已知等边三角形的一边长为2，则其周长为6.14. 【答案】28 cm15. 【答案】30[解析] ∵MN∥BC，∴∠MOB＝∠OBC.∵∠OBM＝∠OBC，∴∠MOB＝∠OBM.∴MO＝MB.同理NO＝NC.∴△AMN的周长＝AM＋MO＋AN＋NO＝AM＋MB＋AN＋NC＝AB＋AC＝30.16. 【答案】16[解析] 如图，过点C作CD⊥AB，垂足为D，则△ADC是含30°角的直角三角形，那么DC＝12AC＝4，∴S△ABC＝12AB·DC＝12×8×4＝16.三、解答题17. 【答案】解：∵∠ADB＝30°＋40°＝70°，AB＝BD，∴∠BAD＝∠ADB＝70°.∴∠BAC＝∠BAD＋∠CAD＝100°.18. 【答案】解：OE＝OF.理由：∵MN∥BC，∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠DCF.∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠DCF.∴∠OEC＝∠OCE，∠OFC＝∠OCF.∴OE＝OC，OC＝OF.∴OE＝OF.19. 【答案】证明：∵∠ACB＝90°，∴∠B＋∠BAC＝90°.∵CD⊥AB，∴∠CAD＋∠ACD＝90°.∴∠ACD＝∠B.∵AE是∠BAC的平分线，∴∠CAE＝∠EAB.∵∠EAB＋∠B＝∠CEF，∠CAE＋∠ACD＝∠CFE，∴∠CFE＝∠CEF. ∴CF＝CE.∴△CEF是等腰三角形．。
人教版八年级数学上册 13.3 等腰三角形 同步练习卷 含答案
13.3 等腰三角形一．选择题（共10小题）1．如果等腰三角形的一个角是80°，那么它的底角是（）A．80°或50°B．50°或20°C．80°或20°D．50°2．已知等腰三角形的周长是20，其中一边长为6，则其它两边的长度分别是（）A．6和8 B．7和7 C．6和8或7和7 D．3和113．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD，CE分别是∠ABC、∠BCD的平分线，则图中的等腰三角形有（）A．3个B．4个C．5个D．2个4．如图，在△ABD中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥AB交AB于N，交AC于N，若BM+CN＝8，则线段MN的长为（）A．5 B．6 C．7 D．85．如图，在Rt△ABC中，D，E为斜边AB上的两个点，且BD＝BC，AE＝AC，则∠DCE的度数为（）A．30°B．36°C．45°D．48°6．如图，等腰△ABC的面积为S，AB＝AC＝m，点D为BC边上任意一点，DE⊥AB于E，DF ⊥AC于F，则DE+DF＝（）A．B．C．D．7．如图，在△ABC中，AB＝3cm、AC＝4cm、BC＝5cm，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画的条数为（）A．3 B．4 C．5 D．68．如图，已知每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的格点（顶点）上，请在图中找一个格点C，使△ABC是以AB为腰的等腰三角形，这样的格点C有（）A．3个B．4个C．5个D．6个9．如果等腰三角形的周长20cm，那么这个等腰三角形腰长x的取值范围是（）A．x≥5cm B．5cm≤x＜10cm C．x＜10cm D．5cm＜x＜10cm 10．如图，∠AOB＝120°，OP平分∠AOB，且OP＝2．若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN 为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有（）A．2个B．3个C．4个D．无数个二．填空题（共11小题）11．在等腰△ABC中，一腰上的高与另一腰的夹角为26°，则底角的度数为．12．如图，在△ABC中，AC＝BC，点D在BC边上，∠BAD+∠C＝90°，点E在AC边上，∠AED＝2∠BAD，若BD＝16，CE＝7，则DE的长为．13．在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，AB的垂直平分线与AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，且DE＝4，则AD+AE的值为．14．等腰三角形周长为17cm，一腰上的中线将三角形分为两个三角形，这两个三角形的周长差为4cm，则此等腰三角形的底边长为．15．等腰三角形的一个外角等于100°，则这个等腰三角形顶角的度数为．16．△ABC中，AB＝AC＝5，S△ABC＝7.5，则BC的长为．17．我们知道，经过三角形一顶点和此顶点所对边上的任意一点的直线，均能把三角形分割成两个三角形，（1）如图，在△ABC中，∠A＝25°，∠ABC＝105°，过B作一直线交AC于D，若BD把△ABC分割成两个等腰三角形，则∠BDA的度数是．（2）已知在△ABC中，AB＝AC，过顶点和顶点对边上一点的直线，把△ABC分割成两个等腰三角形，则∠A的最小度数为．18．如图，线段AB＝a，点P是AB中垂线MN上的一动点，过点P作直线CD∥AB．若在直线CD上存在点Q使得△ABQ为等腰三角形，且满足条件的点Q有且只有3个，则PM的长为．19．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝100°，点D在线段AB上运动（D不与A，B重合），连接CD，作∠CDE＝40°，DE交BC于点E．若△CDE是等腰三角形，则∠ADC的度数是．20．已知如图等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC，下面的结论：①∠APO+∠DCO＝30°；②∠APO＝∠DCO；③△OPC是等边三角形；④AB＝AO+AP．其中正确的序号是．三．解答题（共5小题）21．（1）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于D．请说明△BDC 是等腰三角形；（2）在（1）的条件下请设计四个不同的方案，将△ABC分割成三个等腰三角形，请直接画出示意图并标出每个等腰三角形顶角度数；（3）若有一个内角为36°的三角形被分割成两个等腰三角形，则原三角形中最大内角的所有可能值为．22．数学课上，张老师举了下面的例题：例1：等腰△ABC中，∠A＝110°，求∠B的度数；例2：等腰△ABC中，∠A＝40°，求∠B的度数．爱思考的小敏发现，∠A的度数不同，得到∠B的度数的个数也可能不同．如果在等腰△ABC中，设∠A＝x°，当∠B有三个不同的度数时，请你探索x的取值范围．参考答案一．选择题（共10小题）1．解：根据题意，一个等腰三角形的一个角等于80°，①当这个角是底角时，即该等腰三角形的底角的度数是80°，②当这个角80°是顶角，设等腰三角形的底角是x°，则2x+80°＝180°，解可得，x＝50°，即该等腰三角形的底角的度数是50°；故选：A．2．解：当腰为6时，另一腰也为6，则底为20﹣2×6＝8，∵6+6＝12＞8，∴三边能构成三角形．当底为6时，腰为（20﹣6）÷2＝7，∵7+7＞6，∴三边能构成三角形．故选：C．3．解：共有5个．∵AB＝AC∴△ABC是等腰三角形；∵BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线∴∠EBC＝∠ABC，∠ECB＝∠BCD，∵△ABC是等腰三角形，∴∠EBC＝∠ECB，∴△BCE是等腰三角形；∵∠A＝36°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣36°）＝72°，又BD是∠ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠ABC＝36°＝∠A，∴△ABD是等腰三角形；同理可证△CDE和△BCD是等腰三角形．故选：C．4．解：∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E，∴∠MBE＝∠EBC，∠ECN＝∠ECB，∵MN∥BC，∴∠EBC＝∠MEB，∠NEC＝∠ECB，∴∠MBE＝∠MEB，∠NEC＝∠ECN，∴BM＝ME，EN＝CN，∴MN＝ME+EN，即MN＝BM+CN．∵BM+CN＝8，∴MN＝8，故选：D．5．解：设∠DCE＝x，∠ACD＝y，则∠ACE＝x+y，∠BCE＝90°﹣∠ACE＝90°﹣x﹣y．∵AE＝AC，∴∠ACE＝∠AEC＝x+y，∵BD＝BC，∴∠BDC＝∠BCD＝∠BCE+∠DCE＝90°﹣x﹣y+x＝90°﹣y．在△DCE中，∵∠DCE+∠CDE+∠DEC＝180°，∴x+（90°﹣y）+（x+y）＝180°，解得x＝45°，∴∠DCE＝45°．故选：C．6．解：如图所示：连接AD，∵AB＝AC＝m，△ABC的面积是S，∴AB•DE+AC•DF＝S，∵AB＝AC＝m，∴DE+DF＝，故选：B．7．解：如图所示：BC＝3，AC＝4，AB＝5，∵32+42＝52，∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°．当CD1＝AC＝4，CD3＝AD3，BA＝BD4＝3，AB＝AD2＝3，D5A＝AB，BD6＝CD，故能得到符合题意的等腰三角形6个．故选：D．8．解：当AB为腰时，分别以A、B点为顶点，以AB为半径作圆，可找出格点点C的个数有6个；故使△ABC是以AB为腰的等腰三角形的格点C有6个．故选：D．9．解：∵等腰三角形的腰长为xcm，周长20cm，∴底边为（20﹣2x）cm，∴20﹣2x＞0且2x＞20﹣2x，解得x＜10且x＞5．∴腰长x的取值范围是 5cm＜x＜10cm．故选：D．10．解：如图在OA、OB上截取OE＝OF＝OP，作∠MPN＝60°．∵OP平分∠AOB，∴∠EOP＝∠POF＝60°，∵OP＝OE＝OF，∴△OPE，△OPF是等边三角形，∴EP＝OP，∠EPO＝∠OEP＝∠PON＝∠MPN＝60°，∴∠EPM＝∠OPN，在△PEM和△PON中，，∴△PEM≌△PON（ASA）．∴PM＝PN，∵∠MPN＝60°，∴△PNM是等边三角形，∴只要∠MPN＝60°，△PMN就是等边三角形，故这样的三角形有无数个．故选：D．二．填空题（共11小题）11．解：①∵AB＝AC，∠ABD＝26°，BD⊥AC，∴∠A＝64°，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣64°）÷2＝58°．②∵AB＝AC，∠ABD＝26°，BD⊥AC，∴∠BAC＝26°+90°＝116°∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣116°）÷2＝32°．故答案为：58°或32°．12．解：设∠C＝2α，∵∠BAD+∠C＝90°，∴∠BAD＝90°﹣2α，∵AC＝BC，∴∠B＝∠BAC＝90°﹣α，∴∠CAD＝α，作∠ADF＝∠DAE＝α交AE于F，∴∠DFE＝2α，AF＝DF，∵∠AED＝2∠BAD＝180°﹣4α，∴∠EDF＝2α，∴∠EFD＝∠EDF＝∠C，∴EF＝DE，DF＝CD，∴AF＝CD，∴CF＝BD＝16，∵CE＝7，∴EF＝DE＝9，故答案为：9．13．解：∵AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，∴AD＝BD，AE＝CE，∴AD+AE＝BD+CE，∵BC＝10，DE＝4，当BD与CE无重合时，如图1，AD+AE＝BD+CE＝BC﹣DE＝10﹣4＝6，当BD与CE有重合时，如图2，AD+AE＝BD+CE＝BC+DE＝10+4＝14，综上所述，AD+AE＝6或14．故答案为：6或14．14．解：如图所示，等腰△ABC中，AB＝AC，点D为AC的中点，设AB＝AC＝x，∵点D为AC的中点，∴AD＝CD＝AB，BC＝17﹣（AB+AC）＝17﹣2x．①当△ABD的周长大于△BCD的周长时，∵AB+AD+BD﹣（BC+CD+BD）＝4，∴AB﹣BC＝4，即x﹣（17﹣2x）＝4，解得x＝7，17﹣2x＝3，7，7，3能够组成三角形，符合题意；②当△BCD的周长大于△ABD的周长时，∵BC+CD+BD﹣（AB+AD+BD）＝4，∴BC﹣AB＝4，即17﹣2x﹣x＝4，解得x＝，17﹣2x＝，，，能够组成三角形，符合题意．综上所述，这个等腰三角形的底边长为3或，故答案为：3或，15．解：当100°的角是顶角的外角时，顶角的度数为180°﹣100°＝80°；当100°的角是底角的外角时，底角的度数为180°﹣100°＝80°，所以顶角的度数为180°﹣2×80°＝20°；所以这个等腰三角形顶角的度数为80°或20°．故答案为80°或20°．16．解：若△ABC是锐角三角形时，过点C作CD⊥AB于点D，过点A作AE⊥BC于点E，∵AB•CD＝，∴CD＝3，∴由勾股定理可知：AD＝4，∴BD＝1，∴BC＝，若△ABC是钝角三角形时，同理可求出得BC＝3，故答案为：或317．解：（1）根据题意得DA＝DB，∴∠ABD＝∠A＝25°，∴∠BDA＝180°﹣25°×2＝130°．故答案为：130°；（2）如图所示：AB＝AC，AD＝BD，BC＝CD，∵AD＝BD，∴∠ABD＝∠A，∵BC＝CD，∴∠CBD＝∠CDB＝2∠A，∴∠ABC＝∠ABD+∠CBD＝3∠A，∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC＝3∠A，∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，∴∠A＝．故答案为：．18．解：如图所示，分别以A，B为圆心，AB长为半径画弧，①当直线CD经过两弧的交点时，直线CD与两弧共有3个交点G1，G2，G3，此时满足△GAB是等腰三角形的点G有且只有3个，△PAB是等边三角形，∴PM＝a；②当直线CD与两弧均相切时，直线CD与两弧、直线MN共有3个交点G1，G2，G3，此时满足△GAB是等腰三角形的点G有且只有3个，∴PM＝AG1＝AB＝a，故答案为：a或a．19．解：分三种情况：①当CD＝DE时，∴∠DCE＝∠DEC＝70°，∴∠ADC＝∠B+∠DCE＝110°，②当DE＝CE时，∵∠CDE＝40°，∴∠DCE＝∠CDE＝40°，∴∠ADC＝∠DCE+∠B＝80°．③当EC＝CD时，∠BCD＝180°﹣∠CED﹣∠CDE＝180°﹣40°﹣40°＝100°，∵∠ACB＝100°，∴此时，点D与点A重合，不合题意．综上所述，若△ADC是等腰三角形，则∠ADC的度数为80°或110°．故答案为：80°或110°．20．解：①如图1，连接OB，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，∠BAD＝∠BAC＝×120°＝60°，∴OB＝OC，∠ABC＝90°﹣∠BAD＝30°∵OP＝OC，∴OB＝OC＝OP，∴∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，∴∠APO+∠DCO＝∠ABO+∠DBO＝∠ABD＝30°；故①正确；②由①知：∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，∵点O是线段AD上一点，∴∠ABO与∠DBO不一定相等，则∠APO与∠DCO不一定相等，故②不正确；③∵∠APC+∠DCP+∠PBC＝180°，∴∠APC+∠DCP＝150°，∵∠APO+∠DCO＝30°，∴∠OPC+∠OCP＝120°，∴∠POC＝180°﹣（∠OPC+∠OCP）＝60°，∵OP＝OC，∴△OPC是等边三角形；故③正确；④如图2，在AC上截取AE＝PA，连接PB，∵∠PAE＝180°﹣∠BAC＝60°，∴△APE是等边三角形，∴∠PEA＝∠APE＝60°，PE＝PA，∴∠APO+∠OPE＝60°，∵∠OPE+∠CPE＝∠CPO＝60°，∴∠APO＝∠CPE，∵OP＝CP，在△OPA和△CPE中，，∴△OPA≌△CPE（SAS），∴AO＝CE，∴AB＝AC＝AE+CE＝AO+AP；故④正确；本题正确的结论有：①③④，故答案为①③④．三．解答题（共5小题）21．解：（1）∵AB＝AC，∵∠A＝36°，∴∠C＝∠ABC＝72°．∵BD平分∠ABC交AC于D，∴∠ABD＝∠DBC＝36°，∵∠A＝∠ABD＝36°，∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝36°+36°＝72°＝∠C，∴△BDC是等腰三角形；（2）如图方案1，做∠B的角平分线BD交AC于点D，作∠BDC得角平分线DE交BC于点E，∵∠A＝36°，∴∠C＝∠ABC＝72°，∴∠DBC＝36°，∠BDC＝72°，∴∠EDG＝∠BDE＝36°，∴△ABD，△BDE，△DEC为等腰三角形；如图方案2，做∠B的角平分线BF交AC于点F，作∠C得角平分线CM交BF于点M，∵∠A＝36°，∴∠ACB＝∠ABC＝72°，∴∠FBC＝∠ABF＝36°，∠FCM＝∠MCB＝72°，∴∠CFM＝∠CMF＝72°，∴△ABF，△BMC，△CMF为等腰三角形；如图方案3，做∠C的角平分线CN交AB于点N，作∠BNC得角平分线NP交BC于点P，∵∠A＝36°，∴∠ACB＝∠ABC＝72°，∴∠BCN＝∠ACN＝36°，∠BNC＝∠B＝72°，∴∠BNP＝∠PNC＝36°，∠NPB＝72°，∴△ANC，△NPC，△BNP为等腰三角形；如图方案4，作∠B的角平分线BD交AC于点D，作∠BDE＝∠BDC交AB于点E，∵∠A＝36°，∴∠ACB＝∠ABC＝72°，∴∠BCD＝∠BDE＝∠BED＝72°，∠AED＝108°，∴∠A＝∠ADE＝36°，∴△AED，△BDE，△BCD为等腰三角形；（3）①原三角形是锐角三角形，最大角是72°的情况如图所示：∠ABC＝∠ACB＝72°，∠A＝36°，AD＝BD＝BC；②原三角形是直角三角形，最大角是90°的情况如图所示：∠ABC＝90°，∠A＝36°，AD＝CD＝BD；③原三角形是钝角三角形，最大角是108°的情况如图所示：④原三角形是钝角三角形，最大角是126°的情况如图所示：∠ABC＝126°，∠C＝36°，AD＝BD＝BC；⑤原三角形是钝角三角形，最大角是132°的情况如图所示：∠C＝132°，∠ABC＝36°，AD＝BD，CD＝CB．综上，原三角形最大内角的所有可能值为72°，90°，108°，132°，126°．故答案为：72°，90°，108°，132°，126°．22．解：例题1：根据三角形内角和定理，∵∠A＝110°＞90°，∠B＝∠C＝35°；例题2：若∠A为顶角，则∠B＝（180°﹣∠A）÷2＝70°；若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B＝180°﹣2×40°＝100°；若∠A为底角，∠B为底角，则∠B＝40°；故∠B＝50°或20°或80°；问题：分两种情况：①当90≤x＜180时，∠A只能为顶角，∴∠B的度数只有一个；②当0＜x＜90时，若∠A为顶角，则∠B＝（）°；若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B＝（180﹣2x）°；若∠A为底角，∠B为底角，则∠B＝x°．当≠180﹣2x且180﹣2x≠x且≠x，即x≠60时，∠B有三个不同的度数．综上所述，可知当0＜x＜90且x≠60时，∠B有三个不同的度数．。
人教版八年级数学上册 13.3等腰三角形 同步练习(包含答案)
13.3等腰三角形知识要点：1.应用“三线合一”性质的前提条件是在等腰三角形中，且必须是底边上的中线、底边上的高和顶角平分线，若是一腰上的高与中线就不一定重合．2.等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线（或底边上的高、底边上的中线）所在的直线是它的对称轴．3.等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°4.一在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．一、单选题1．已知等腰三角形的周长为10，一边长为4，则此等腰三角形的腰长为( )A．2B．3C．4D．3或4【答案】D2．如图，在△ABC中，AB=AC，△A=36°，BE平分△ABC，CD平分△ACB，CD交BE 于点F，那么图中的等腰三角形共有( )个.A．6B．7C．8D．9【答案】C3．如果一个三角形的一内角平分线垂直于对边，那么这个三角形是( )A．等腰三角形B．等边三角形C．锐角三角形D．不能确定【答案】A4．在Rt△ABC中，△C=90°，△B=30°，则( )A．AB=2AC B．AC=2AB C．AB=AC D．AB=3AC【答案】A5．已知一个等腰三角形的一边长为5,另一边长为7,则这个等腰三角形的周长为( ) A．12 B．17 C．17或19 D．19【答案】C6．如图,在△ABC中,AB=AC,AD是△ABC的角平分线,DE△AB,DF△AC,垂足分别为E,F.则下列结论:△AD上任意一点到点C,B的距离相等;△AD上任意一点到边AB,AC的距离相等;△BD=CD,AD△BC;△△BDE=△CDF.其中正确的个数为（）A．4B．3C．2D．1【答案】A7．下列能判定△ABC为等腰三角形的是( )A．△A＝30°，△B＝60° B．△A＝50°，△B＝80°C．△A＝2△B＝80° D．AB＝3，BC＝6，周长为13【答案】B8．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点.若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为()A．6 B．8 C．10 D．12【答案】C9．如图，AD△BC，D是BC的中点，那么下列结论错误的是()A．△ABD△△ACD B．△B＝△C C．△ABC是等腰三角形D．△ABC是等边三角形【答案】D10．如图，在△ABC中，△ACB=90°，BE平分△ABC，ED△AB与点D，△A=30°，AE=6cm，那么CE等于（）A．4cm B．2cm C．3cm D．1cm【答案】C11．如图，在△ABC中，△A＝45°，△B＝30°，CD△AB，垂足为D，AD＝1，则BD的长为()A．√2B．2 C．√3D．3【答案】C12．等边三角形的边长为2，则该三角形的面积为（）A．4√3B．2√3C．√3D．3【答案】C13．如图，AB＝AC，△BAC＝120°，AB的垂直平分线交BC于点D，那么△ADC的度数为（）A．120° B．30° C．60° D．80°【答案】C14．已知A和B两点在线段EF的中垂线上，且△EBF＝100°，△EAF＝70°，则△AEB等于( )A．95° B．15° C．95°或15° D．170°或30°【答案】C二、填空题15．等腰△ABC中，若△A=30°，则△B=________．【答案】30°或75°或120°16．已知等腰△ABC的腰AB=AC=10cm，底边BC=12cm，则△A的平分线的长是______cm．【答案】817．已知等腰三角形的周长为13，其中一边长为3，其它两边的长为____________【答案】5，518．在直角三角形中，最长边为10 cm，最短边为5 cm，则这个三角形中最小的内角为__________度.【答案】3019．如图，在Rt△ABC中，△C=90°，△A=30°，AB的垂直平分线交AC于点E，垂足为D，BE平分△ABC，若AE=2，则CE的长为______．【答案】120．已知等腰△ABC的两边长a、b满足（a-2）2+|b-4|=0，则等腰△ABC的周长为______ ．【答案】10三、解答题21．如图，等边三角形ABC的边长是10cm，求：（1）高AD的长（2）S△ABC（结果保留根号）【答案】2∵等边三角形三线合一的性质，∵D 为BC 中点，BD=DC=5cm ，∵AD∵BC ，=，∵∵ABC 的面积为211•10cm 22S BC AD ==⨯⨯=22．如图,在△ABC 中,△A=30°,AC=2√3,△B=60°，求点C 到AB 的距离和△ABC 的面积.【答案】√3，2√3.过点C 作CD∵AB,则∵ADC=90°,因为∵A=30°,AC=2√3,所以CD=√3,在∵ABC 中,因为∵A=30°,∵B=60°,所以∵ACB=90°,在Rt∵ABC 中,设BC=x,则AB=2x,因为AB 2=BC 2+AC 2,所以(2x)2=x 2+(2√3)2,x=2,所以S ∵ABC =12AC·BC=12×2√3×2=2√3.23．已知：如图，在△ABC 中，△A=30°，△ACB=90°，M 、D 分别为AB 、MB 的中点. 求证：CD△AB.∵∵ACB =90°，M 为AB 中点，∵CM 12=AB =BM ． ∵∵ACB =90°，∵A =30°，∵CB 12=AB =BM ，∵CM =CB ．∵D为MB的中点，∵CD∵BM，即CD∵AB．24．如图，在△ABC中，△ACB＝90°，CD△AB于点D，AF平分△CAB，交CD于点E，交BC于点F，若AF＝BF，求证：△CEF是等边三角形．证明：如图，∵AF是∵BAC的平分线，∵∵CAB=2∵1=2∵2，∵AF=BF，∵∵2=∵B，∵∵ACB=90°，∵∵B+∵CAB=90°，即∵B+2∵1=∵B+2∵2=90°，∵∵B=∵1=∵2=30°，∵∵4是∵ABF的外角，∵∵4=∵2+∵B=60°，∵CD是AB边上的高，∵∵2+∵3=90°，∵∵3=60°，∵∵5=∵3，∵∵4=∵5=60°，∵∵CEF是等边三角形．。
人教版数学八年级上册《13.3等腰三角形》专项练习(含答案).doc
八年级上册13.3等腰三角形专项练习（含答案）（满分： 100 分）班级： ______ 姓名： ______ 学号： ____ 成绩： ____一、选择题（每题 3 分，共 36 分）1、如右图所示，在△ ABC 中， AB=AC ，D 是 BC 的中点，以下结论中不正确的选项是（）A、AB ＝2BDB、AD ⊥ BCC、AD 均分∠BAC D 、∠B＝∠C2、如图，等腰△ ABC 的周长为 21 ，底边 BC B 于点 D ，交 AC 于点 E，则△BEC 的周长为（＝ 5，AB）的垂直均分线DE交AA．13 B．14 C．15 D．163、如图，在正三角形，A．1∶3B．2∶3中，，，分别是，则的面积与C．∶2D．，，上的点，的面积之比等于（∶3），4、如图：∠EAF=15 °，AB=BC=CD=DE=EF ，则∠DEF 等于（）A：90°B：75 °C：70 ° D ：60 °5、若等腰三角形腰上的高是腰长的一半,则这个等腰三角形的底角是（）A：75°或15 °B：75 ° C：15 ° D：75°和30 °6、如图，在中，，是的垂直均分线，交于点，交于点．已知，则的度数为（）A．B．C．D．7、某小区现有一块等腰直角三角形形状的绿地，腰长为 100 米，直角极点为A ．小区物业管委会准备把它切割成面积相等的两块，有以下的切割方法：方法一：在底边 BC 上找一点 D ，连结 AD 作为切割线；方法二：在腰 AC 上找一点 D，连结 BD 作为切割线；方法三：在腰 AB 上找一点 D ，作 DE∥BC，交 AC 于点 E，DE 作为切割线；方法四：以极点 A 为圆心， AD 为半径作弧，交 AB 于点 D，交 AC 于点 E，弧 DE 作为切割线．这些切割方法中切割线最短的是 ( )A.方法一B.方法二C.方法三D. 方法四8、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数为（）Ａ． 30 °Ｂ． 30 °或150 °Ｃ．Ｄ．9、以下图， BE⊥ AC 于点 D ，且 AD ＝CD ，BD ＝ED，若∠ABC ＝54 °，则∠E＝（）A.25 °B.27 °C.30 °D.45 °10 、等腰直角三角形的一个底角的度数是（）A．B．C． D ．11、已知ABC 是等边三角形，点D、E 分别在AC、 BC 边上，且AD=CE,AE 与BD 交于点F,则∠AFD 的度数为( )A.60 °B.45 °C.75 °D. 70°12 、如图，中，，，垂直均分，则的度数为（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．二、填空题13 、如图，以等腰直角三角形AOB 的斜边为直角边向外作第 2 个等腰直角三角形 ABA 1，再以等腰直角三角形 ABA 1的斜边为直角边向外作第 3 个等腰直角三角形 A 1 BB1，这样作下去。
等腰三角形的性质(限时满分培优训练)-八年级数学上册尖子生培优必刷题(原卷版)【人教版】
【拔尖特训】2023-2024学年八年级数学上册尖子生培优必刷题（人教版）专题13.3等腰三角形的性质（限时满分培优训练）班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________注意事项：本试卷满分100分，试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2023•慈溪市校级开学）等腰三角形的两条边长分别为15和7，则它的周长等于（）A．22B．29C．37D．29或372．（2022秋•婺城区期末）等腰三角形的底角为50°，则它的顶角度数是（）A．50°B．80°C．65°或80°D．50°或80°3．（2023•余杭区校级模拟）如图，点D是△ABC的BC边上一点，AB＝AD＝DC．若∠BAD＝80°，则∠C＝（）A．50°B．40°C．20°D．25°4．（2020秋•永嘉县校级期中）如图，△ABC中，以B为圆心，BC长为半径画弧，分别交AC、AB于D、E两点，并连接BD、DE．若∠A＝30°，AB＝AC，则∠BDE的度数为（）A．67.5°B．52.5°C．45°D．75°．5．（2022秋•平湖市期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝108°，现将三角形的一个角沿AD折叠，使得点C 落在边AB上的点C′处，若△BC′D是等腰三角形，则∠C的度数为（）A ．36°B ．38°C ．48°D ．84°6．（2022秋•金东区期末）如图，在等腰三角形ABC 中，AD 是底边BC 上的中线，DE 是△ABD 高线．图中与∠BAD 一定相等的角有（不含本身）（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．（易错题）（2023•西湖区校级三模）有一道题目：“在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝40°，分别以B 、C 为圆心，以BC 长为半径的两条弧相交于D 点，求∠ABD 的度数”．嘉嘉的求解结果是∠ABD ＝10°．淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，∠ABD 还应有另一个不同的值．”下列判断正确的是（ ）A ．淇淇说得对，且∠ABD 的另一个值是130°B ．淇淇说的不对，∠ABD 就得10°C ．嘉嘉求的结果不对，∠ABD 应得20°D ．两人都不对，∠ABD 应有3个不同值8．（易错题）（2023•海曙区校级开学）△ABC 中，AB ＝AC ，CD 为AB 上的高，且△ADC 为等腰三角形，则∠BCD 等于（ ）A ．67.5°或45°B ．22.5°或45°C ．36°或72°D ．67.5°或22.5° 9．（培优题）（2020秋•西湖区校级期中）如图，在△ABC 中，∠BAC ＝α，点D 在BC 上，且BD ＝BA ，点E 在BC 的延长线上，且CE ＝CA ，则∠DAE 的大小为（ ）A ．αB ．34αC ．23αD ．12α 10．（压轴题）（2023•威海模拟）如图，在第1个△ABA 1中，∠B ＝30°，AB ＝A 1B ，在A 1B 上取一点C ，延长AA 1到A 2，使得A 1A 2＝A 1C ；在A 2C 上取一点D ，延长A 1A 2到A 3，使得A 2A 3＝A 2D ；…按此作法进行下去，第n 个三角形的以A n 为顶点的内角的度数为（ ）A．30°2n+1B．75°2n−1C．75°2n+1D．30°2n−1二．填空题（共6小题）11．（诸暨市期中）等腰三角形一个角等于100°，则它的一个底角是°．12．（西湖区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝BD＝BC，那么∠A＝度．13．（易错题）（2023•金华开学）在△ABC中，AB＝AC，且过△ABC某一顶点的直线可将△ABC分成两个等腰三角形，则∠BAC的度数为．14．（易错题）（2023•慈溪市校级开学）如图，点O是△ABC内的一点，OA＝OB＝OC，∠BAC＝45°，则∠BOC＝．15．（易错题）如图，在△ABC中，AB＝AC，P是BC边上的一点，PE⊥AB，PF⊥AC，BD是AC边上的高，若PE＝5cm，PF＝3cm，则BD＝．16．（培优题）（2023•滨江区校级开学）如图，∠BOC＝9°，点A在OB上，且OA＝1，按以下要求画图：以点A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第一条线段AA1；再以A1为圆心、1为半径向右画弧交OB于点A2，得第二条线段A1A2；再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第三条线段A2A3……这样一直画下去，最多能画条线段．三．解答题（共7小题）17．（2022秋•金东区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB 于点E．（1）若∠A＝40°，求∠DBC的度数；（2）若AE＝5，△CBD的周长为17，求△ABC的周长．18．（易错题）（2019•杭州）如图，在△ABC中，AC＜AB＜BC．（1）已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，连接AP，求证：∠APC＝2∠B．（2）以点B为圆心，线段AB的长为半径画弧，与BC边交于点Q，连接AQ．若∠AQC＝3∠B，求∠B 的度数．19．（易错题）（2023春•武功县期末）【问题背景】如图，在△ABC中，点D、E分别在AC、BC上，连接BD，DE．已知∠ABC＝2∠C，BD＝CD．【问题探究】（1）若∠A＝∠DEC，试说明AB＝EC；（2）若AB＝BD，求∠A的度数．20．（培优题）（2022秋•永城市校级期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB 于点F，D为线段CE的中点，BE＝AC．（1）求证：AD⊥BC．（2）若∠BAC＝75°，求∠B的度数．21．（培优题）（2021秋•东台市期中）如图，等腰△ABC中，AB＝AC，∠ACB＝72°，（1）若BD⊥AC于D，求∠ABD的度数；（2）若CE平分∠ACB，求证：AE＝BC．22．（培优题）（2022秋•和平区校级期末）如图所示，△ABC中，AB＝BC，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点D，交AC于F．（1）若∠AFD＝155°，求∠EDF的度数；（2）若点F是AC的中点，求证：∠CFD=12∠B．23．（压轴题）（2022秋•莲池区校级期末）探究与发现：如图①，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在底边BC上，AE＝AD，连接DE．（1）当∠BAD＝60°时，求∠CDE的度数；（2）当点D在BC（点B、C除外）上运动时，试猜想并探究∠BAD与∠CDE的数量关系；（3）深入探究：若∠BAC≠90°，试就图②探究∠BAD与∠CDE的数量关系．。
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人教版八年级数学13.3 等腰三角形培优训练一、选择题（本大题共10道小题）1. 如图，已知P A＝PB，在证明∠A＝∠B时，需要添加辅助线，下面有甲、乙两种辅助线的作法：甲：作底边AB的中线PC；乙：作PC平分∠APB交AB于点C.则()A．甲、乙两种作法都正确B．甲的作法正确，乙的作法不正确C．甲的作法不正确，乙的作法正确D．甲、乙两种作法都不正确2. 已知实数x、y满足|x－4|＋y－8＝0，则以x、y的值为两边长的等腰三角形的周长是()A. 20或16B. 20C. 16D. 以上答案均不对3. 如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为()A. 5B. 6C. 8D. 104. 如图，∠AOB＝50°，OM平分∠AOB，MA⊥OA于点A，MB⊥OB于点B，则∠MAB等于()A．50°B．40°C．25°5. 如图，下列条件不能推出△ABC是等腰三角形的是()A．∠B＝∠C B．AD⊥BC，∠BAD＝∠CADC．AD⊥BC，BD＝CD D．AD⊥BC，∠BAD＝∠ACD6. 如图所示，△ABC是等边三角形，D为AB的中点，DE⊥AC，垂足为E. 若AE=1，则△ABC的边长为()A. 2B. 4C. 6D. 87. 如图，在五边形ABCDE中，AB＝AC＝AD＝AE，且AB∥ED，∠EAB＝120°，则∠BCD的度数为()A．150°B．160°C．130°D．60°8. 如图，在△ABC中，∠BAC＝72°，∠C＝36°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，则图中有等腰三角形()A．0个B．1个C．2个D．3个9. 如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点. 已知A，B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形．．．．．，那么符合题意的点C的个数是()A. 6B. 7C. 8D. 910. “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在点O相连并可绕点O转动，点C固定，OC＝CD＝DE，点D，E可在槽中滑动．若∠BDE＝75°，则∠CDE的度数是()A．60°B．65°C．75°D．80°二、填空题（本大题共6道小题）11. 如图，在等边三角形ABC中，点D在边AB上，点E在边AC上，将△ADE 折叠，使点A落在BC边上的点F处，则∠BDF＋∠CEF＝________°.12. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D是AC上一点，且BC＝BD.若∠CBD＝46°，则∠A＝________°.13. 在△ABC中，若∠A＝100°，∠B＝40°，AC＝5，则AB＝________．14. 如图，BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，MN过点O且MN∥BC，设AB＝12，AC＝18，则△AMN的周长为________．15. 如图，在△ABC中，若AB＝AC＝8，∠A＝30°，则S△ABC＝________．16. 一个等腰三角形的一边长是2，一个外角是120°，则它的周长是________．三、解答题（本大题共4道小题）17. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC 于点F.求证：DE＝DF.18. 如图，在等边三角形ABC中，D为AC上一点，E为AB延长线上一点，DE ⊥AC交BC于点F，且DF＝EF.(1)求证：CD＝BE；(2)若AB＝12，求BF的长．19. 如图，将一张长方形的纸条ABCD沿EF折叠，若折叠后∠AGC′＝48°，AD交EC′于点G.(1)求∠CEF的度数；(2)求证：△EFG是等腰三角形．20. 如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F.求证：DF＝2DC.人教版八年级数学13.3 等腰三角形培优训练-答案一、选择题（本大题共10道小题）1. 【答案】A2. 【答案】B【解析】∵|x －4|＋y －8＝0，∴x －4＝0，y －8＝0，解得x ＝4，y ＝8.分两种情况讨论：①当4为腰时，根据三角形三边关系知4＋4＝8，∴这样的等腰三角形不存在；②当8为腰时，则有4＋8>8，这样能够组成等腰三角形，∴此三角形的周长是8＋8＋4＝20.3. 【答案】C 【解析】∵AB ＝AC ，AD 平分∠BAC ，∴根据等腰三角形三线合一性质可知AD ⊥BC ，BD ＝CD ，在Rt △ABD 中，AB ＝5，AD ＝3，由勾股定理得BD ＝4，∴BC ＝2BD ＝8.4. 【答案】C[解析] ∵OM 平分∠AOB ，MA ⊥OA 于点A ，MB ⊥OB 于点B ，∴∠AOM ＝∠BOM ＝25°，MA ＝MB.∴∠OMA ＝∠OMB ＝65°.∴∠AMB ＝130°.∴∠MAB ＝12×(180°－130°)＝25°.故选C.5. 【答案】D[解析] 选项A 由等角对等边可得△ABC 是等腰三角形；选项B 由所给条件可得△ADB ≌△ADC ，由全等三角形的性质可得AB ＝AC ；选项C 由垂直平分线的性质可得AB ＝AC ；选项D 不可以得到AB ＝AC. 6. 【答案】B7. 【答案】A[解析] ∵AB ∥ED ，∴∠E ＝180°－∠EAB ＝180°－120°＝60°. 又∵AD ＝AE ，∴△ADE 是等边三角形．∴∠EAD ＝60°.∴∠BAD ＝∠EAB －∠EAD ＝120°－60°＝60°.∵AB ＝AC ＝AD ，∴∠B ＝∠ACB ，∠ACD ＝∠ADC.在四边形ABCD 中，∠BCD ＝∠B ＋∠ADC ＝12(360°－∠BAD)＝12×(360°－60°)＝150°. 故选A.8. 【答案】D[解析] ∵∠BAC ＝72°，∠C ＝36°，∴∠ABC ＝72°.∴∠BAC ＝∠ABC. ∴CA ＝CB.∴△ABC 是等腰三角形．∵∠BAC 的平分线AD 交BC 于点D ，∴∠DAB＝∠CAD＝36°.∴∠CAD＝∠C.∴CD＝AD，∴△ACD是等腰三角形．∵∠ADB＝∠CAD＋∠C＝72°，∴∠ADB＝∠B.∴AD＝AB.∴△ADB是等腰三角形．9. 【答案】C10. 【答案】D[解析] ∵OC＝CD＝DE，∴∠O＝∠ODC，∠DCE＝∠DEC.∴∠DCE＝∠O＋∠ODC＝2∠ODC.∵∠O＋∠OED＝3∠ODC＝∠BDE＝75°，∴∠ODC＝25°.∵∠CDE＋∠ODC＝180°－∠BDE＝105°，∴∠CDE＝105°－∠ODC＝80°.二、填空题（本大题共6道小题）11. 【答案】120[解析] 由于△ABC是等边三角形，所以∠A＝60°.所以∠ADE＋∠AED＝120°.因为将△ADE折叠，使点A落在BC边上的点F处，所以∠ADE＝∠EDF，∠AED＝∠DEF.所以∠ADF＋∠AEF＝2(∠ADE＋∠AED)＝240°.所以∠BDF＋∠CEF＝360°－(∠ADF＋∠AEF)＝120°.12. 【答案】46[解析] ∵BC＝BD，∠CBD＝46°，∴∠C＝∠BDC＝12(180°－46°)＝67°.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝67°.∴∠A＝46°.13. 【答案】514. 【答案】30[解析] ∵MN∥BC，∴∠MOB＝∠OBC. ∵∠OBM＝∠OBC，∴∠MOB＝∠OBM.∴MO＝MB.同理NO＝NC.∴△AMN的周长＝AM＋MO＋AN＋NO＝AM＋MB＋AN＋NC＝AB＋AC＝30.15. 【答案】16[解析] 如图，过点C作CD⊥AB，垂足为D，则△ADC是含30°角的直角三角形，那么DC＝12AC＝4，∴S△ABC＝12AB·DC＝12×8×4＝16.16. 【答案】6[解析] 已知三角形的一外角为120°，则相邻内角度数为60°，那么含有60°角的等腰三角形是等边三角形．已知等边三角形的一边长为2，则其周长为6.三、解答题（本大题共4道小题）17. 【答案】证明：连接AD.∵AB＝AC，D为BC的中点，∴AD平分∠BAC.又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF.18. 【答案】解：(1)证明：如图，过点D作DM∥AB，交CF于点M，则∠MDF＝∠E.∵△ABC是等边三角形，∴∠CAB＝∠CBA＝∠C＝60°.∵DM∥AB，∴∠CDM＝∠CAB＝60°，∠CMD＝∠CBA＝60°.∴△CDM是等边三角形．∴CM＝CD＝DM.在△DMF 和△EBF 中，⎩⎨⎧∠MDF ＝∠E ，DF ＝EF ，∠DFM ＝∠EFB ，∴△DMF ≌△EBF(ASA)．∴DM ＝BE. ∴CD ＝BE.(2)∵ED ⊥AC ，∠CAB ＝∠CBA ＝60°， ∴∠E ＝∠FDM ＝30°. ∴∠BFE ＝∠DFM ＝30°. ∴BE ＝BF ，DM ＝MF.∵△DMF ≌△EBF ，∴MF ＝BF. ∴CM ＝MF ＝BF.又∵BC ＝AB ＝12，∴BF ＝13BC ＝4.19. 【答案】解：(1)∵四边形ABCD 是长方形， ∴AD ∥BC.∴∠BEG ＝∠AGC′＝48°. 由折叠的性质得∠CEF ＝∠C′EF ， ∴∠CEF ＝12(180°－48°)＝66°. (2)证明：∵四边形ABCD 是长方形， ∴AD ∥BC.∴∠GFE ＝∠CEF. 由折叠的性质得∠CEF ＝∠C′EF ， ∴∠GFE ＝∠C′EF.∴GE ＝GF ，即△EFG 是等腰三角形．20. 【答案】证明：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A ＝∠B ＝∠ACB ＝60°. ∵DE ∥AB ，∴∠EDC ＝∠B ＝60°，∠DEC ＝∠A ＝60°. ∵EF ⊥DE ，∴∠DEF ＝90°. ∴∠F ＝90°－∠EDC ＝30°.∵∠ACB＝∠EDC＝∠DEC＝60°，∴△EDC是等边三角形．∴DE＝DC. ∵∠DEF＝90°，∠F＝30°，∴DF＝2DE＝2DC.。