工程力学平面力偶
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工程力学(静力学与材料力学)第三章力偶系详解
FB
r M2 0 ∑ M = 0 ， FA sin
M 2 2r FA
M2 = 4M1 = 8kNm
2M 1 FO FB FA 8kN r
• 作业3-1,3-4,3-8
考虑CB部分为二力构件，得：
FC FA FB FC
例3-4
图示机构自重不记。圆轮上的销子 A 放在 摇杆 BC上的光滑导槽内。M 1 = 2kNm，OA = r = 0.5m 。图示位置OA⊥OB，α = 30°，且系统平衡。 求作用于摇杆 BC 上力偶的矩 M 2 及 O、B 支座的反 力。 解：受力分析
M1
R
F1
M
F2
2
M1 + M2 = rBA×F1 + rBA×F2 = rBA×( F1 + F2 ) = rBA×R = M
如有n个力偶，按上法依次合成, 最后得一力偶,合力偶矩矢为 M = M1 +M2 + … +Mn = ∑M I
B
rBA
A
F2
F1
任意个力偶可以合成为一个 合力偶，这个合力偶矩矢等于各 分力偶矩矢的矢量和。 M = M 1+ M 2+ … + M n = ∑M i
性质三
证：
力偶没有合力
仍用反证法，即假定力偶有合力，那么总可 找到一个与此力大小相等，方向相反而作用线 共线的力与此力平衡，即力与力偶相平衡。与 性质二矛盾。
性质一、二和三告诉我们力偶只能与力偶等 效而不能与单个力等效。
•力偶只能与力偶相平衡 力偶只能与力偶相平衡
§3-4 力偶系的合成
设有两个力偶，由性质一,将 力偶中两力分别移到两力偶作用面 交线上的两点 A 和 B,可得到两个 汇交力系，其合力分别为R 、 R ’ 。
工程力学I-第3章 力矩与平面力偶系
D
x
§3-2 关于力偶的概念
力偶：一对等值、反向而不共线的平行力，用 符号（F ,F′）表示。
力偶臂：两个力作用
线之间的垂直距离d。
F’
F
力偶的作用面：两个 力作用线所决定的平 面
§3-2 关于力偶的概念
F F
d
d
F
d
F
F
F
转动游戏方向盘
拧水龙头
扳手拧螺母
§3-2 关于力偶的概念
Q AABD AABC 显然， 并注意到力偶矩的转向也相同， 则有M ( F , F ) M ( P, P) P
M (P 1, P 1 ) M ( P, P ) 显然， 1, P 1) 从而有M ，( F , F ) M ( P
P1
力偶等效
M ( F , F ) M ( P 1, P 1)
（1）力对点之矩，不仅取决于力的大小，还与矩心的位置有关。
（2）力对任一点之矩，不因该力的作用点沿其作用线移动而改变。 *（3）力的大小等于零或其作用线通过矩心时，力矩等于零。 （4）互成平衡的两个力对同一点之矩的代数和为零。
Mo(F)＝±Fd
§3-1 关于力矩的概念及其计算
合力矩定理：
y Fy
(3)将力P和P’沿各自的作用 线移至任意点A’，B’，根 据力的可传性原理，有 (P,P’) =(P1,P1’) 。
§3-2 关于力偶的概念
(4) A′
P1′ b F′ A A F B Q′ D P′ B′ C
M (F , F ) AB BD 2 AABD ,
M（P, P'） AB BC 2 AABC
工程力学-2-3平面力偶系
状态。
平衡方程的建立
根据力的平衡条件，列出所有力的 力矩，然后求和，得到平衡方程。
平衡方程的应用
通过平衡方程可以求解未知力的大 小和方向，或者判断物体是否处于 平衡状态。
平面力矩系平衡问题的应用
机械系统
01
在机械系统中，许多问题涉及到力矩平衡，如转轴的支承、旋
转体的平衡等。
建筑结构
02
在建筑结构中，需要分析各种力的力矩作用，以确保结构的稳
指的是两个力和一个力偶同时作 用在一个刚体上，其中两个力相 互平行且垂直于第三个力偶。
学习目标
1
理解平面力偶系的基本概念和性质。
2
掌握如何分析2-3平面力偶系中的力和力矩平衡。
3
了解如何应用平面力偶系解决实际工程问题。
02
平面力偶系的基本概念
力偶的定义与表示
定义
力偶是大小相等、方向相反且作用线平行但不重合的一对大 小相等之力。
表示
用实线和虚线分别表示力的大小和方向，中间用圆点隔开。
力偶的性质
力偶无合力
力偶中的两个力无法合成为一个力， 因为它们作用在两个不同的点上。
力偶无转向轴
力偶不能通过一个单一的刚性转动来 消除，因为力的方向和作用线是唯一 的。
力偶系的合成
合成原则
当多个力偶作用于同一刚体时，其合力矩为各力偶矩的代数和。
建筑结构中的力偶平衡
总结词
在建筑结构设计中，力偶平衡用于确保结构的稳定性和安全性。
详细描述
在建筑设计过程中，通过合理布置支撑结构，形成稳定的力偶系统，以抵抗外部载荷和地震等自然灾害的影响。 力偶平衡的运用能够显著提高建筑的安全性和稳定性。
其他工程领域中的力偶平衡实例
平衡方程的建立
根据力的平衡条件，列出所有力的 力矩，然后求和，得到平衡方程。
平衡方程的应用
通过平衡方程可以求解未知力的大 小和方向，或者判断物体是否处于 平衡状态。
平面力矩系平衡问题的应用
机械系统
01
在机械系统中，许多问题涉及到力矩平衡，如转轴的支承、旋
转体的平衡等。
建筑结构
02
在建筑结构中，需要分析各种力的力矩作用，以确保结构的稳
指的是两个力和一个力偶同时作 用在一个刚体上，其中两个力相 互平行且垂直于第三个力偶。
学习目标
1
理解平面力偶系的基本概念和性质。
2
掌握如何分析2-3平面力偶系中的力和力矩平衡。
3
了解如何应用平面力偶系解决实际工程问题。
02
平面力偶系的基本概念
力偶的定义与表示
定义
力偶是大小相等、方向相反且作用线平行但不重合的一对大 小相等之力。
表示
用实线和虚线分别表示力的大小和方向，中间用圆点隔开。
力偶的性质
力偶无合力
力偶中的两个力无法合成为一个力， 因为它们作用在两个不同的点上。
力偶无转向轴
力偶不能通过一个单一的刚性转动来 消除，因为力的方向和作用线是唯一 的。
力偶系的合成
合成原则
当多个力偶作用于同一刚体时，其合力矩为各力偶矩的代数和。
建筑结构中的力偶平衡
总结词
在建筑结构设计中，力偶平衡用于确保结构的稳定性和安全性。
详细描述
在建筑设计过程中，通过合理布置支撑结构，形成稳定的力偶系统，以抵抗外部载荷和地震等自然灾害的影响。 力偶平衡的运用能够显著提高建筑的安全性和稳定性。
其他工程领域中的力偶平衡实例
工程力学第三章力矩与平面力偶系_图文
反力也必须组成一个同平面的力偶 （ ， ）与 之平衡。
例题讲解
【解】作 AB 梁的受力图，如图（ b ）所示。AB梁上作用 有二个力偶组成的平面力偶系，在 A 、B 处的约束
反力也必须组成一个同平面的力偶 （ ， ） 与之平衡。 由平衡方程
() RA 、RB为正值，说明图中所示RA 、RB 的指向正确。
力臂d
=
1m
×
sinα
=
1m
×
。 sin45 =
m
MB(F)=+F×d= +15kN×0.5 m = +7.5 kN ·m
注意：负号必须标注，正号可标也可不标。一般不标注。
§3-1力矩的概念和计算
（二）合力矩定理
表达式： 证明： 由图得
而 则
Fy
F
A
Fx
()
§3-1力矩的概念和计算
()
若作用在 A 点上的是一个汇交力系（ 、 、 ），则可将每个力对 o 点之矩相加，有
2. 力偶的三要素 （2）力偶的方向； （3）力偶的作用面。
3. 力偶的性质 （1）力偶在任何坐标轴上的投影等于零；
（2）力偶不能合成为一力，或者说力 偶没有合 力，即它不能与一个力等效， y
因而也不能被一个力平衡；
（3）力偶对物体不产生移动效应，只 产生转动 效应，既它可以也只能改变物
体的转动状 态。
例题讲解
【例题5】在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等 直径的孔,每个钻头的力偶矩为 求工件的总切削力偶矩和A 、B端水平反力?
解: 各力偶的合力偶距为
根据平面力偶系平衡方程有:
由力偶只能与力偶平衡的性质 ，力NA与力NB组成一力偶。
例题讲解
例题讲解
【解】作 AB 梁的受力图，如图（ b ）所示。AB梁上作用 有二个力偶组成的平面力偶系，在 A 、B 处的约束
反力也必须组成一个同平面的力偶 （ ， ） 与之平衡。 由平衡方程
() RA 、RB为正值，说明图中所示RA 、RB 的指向正确。
力臂d
=
1m
×
sinα
=
1m
×
。 sin45 =
m
MB(F)=+F×d= +15kN×0.5 m = +7.5 kN ·m
注意：负号必须标注，正号可标也可不标。一般不标注。
§3-1力矩的概念和计算
（二）合力矩定理
表达式： 证明： 由图得
而 则
Fy
F
A
Fx
()
§3-1力矩的概念和计算
()
若作用在 A 点上的是一个汇交力系（ 、 、 ），则可将每个力对 o 点之矩相加，有
2. 力偶的三要素 （2）力偶的方向； （3）力偶的作用面。
3. 力偶的性质 （1）力偶在任何坐标轴上的投影等于零；
（2）力偶不能合成为一力，或者说力 偶没有合 力，即它不能与一个力等效， y
因而也不能被一个力平衡；
（3）力偶对物体不产生移动效应，只 产生转动 效应，既它可以也只能改变物
体的转动状 态。
例题讲解
【例题5】在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等 直径的孔,每个钻头的力偶矩为 求工件的总切削力偶矩和A 、B端水平反力?
解: 各力偶的合力偶距为
根据平面力偶系平衡方程有:
由力偶只能与力偶平衡的性质 ，力NA与力NB组成一力偶。
例题讲解
工程力学第3章(力偶系)
工程力学
Engineering Mechanics
中南大学土木建筑学院力学系
Department of Mechanics of School of Civil Engineering and Architecture of Central South University
第三章 力偶系 §3-1 力对点之矩矢
力偶臂d 力偶臂 1=200mm， ，
，力偶臂d ， F2 = F2' = 120N，力偶臂 2=300mm ， F3 = F3' = 80 N，
M 1 = 100 × 0.2 = 20
N.m N.m
M 2 = 120 × 0.3 = 36
M 3 = 80 × 0.18 = 14.4 N.m
M Rx M Ry = ∑ M y = M 1 = 20 N.m
二、力对轴之矩的 解析表达式
M x ( F ) = M x ( Fy ) + M x ( Fz ) = -zFy + yFz M y ( F ) = M y ( Fz ) + M y ( Fx ) = -xFz + zFx M z ( F ) = M z ( Fx ) + M z ( Fy ) = -yFx + xFy
M R = M1 + M 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + M n = ∑ M
M R = M1 + M 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + M n = ∑ M
合力偶矩矢的大小 M R = ( ∑ M x ) 2 + ( ∑ M y )2 + ( ∑ M z )2 合力偶矩矢的方向
R
∑M cos( M ，i ) =
cos( M R，j ) = MR
Engineering Mechanics
中南大学土木建筑学院力学系
Department of Mechanics of School of Civil Engineering and Architecture of Central South University
第三章 力偶系 §3-1 力对点之矩矢
力偶臂d 力偶臂 1=200mm， ，
，力偶臂d ， F2 = F2' = 120N，力偶臂 2=300mm ， F3 = F3' = 80 N，
M 1 = 100 × 0.2 = 20
N.m N.m
M 2 = 120 × 0.3 = 36
M 3 = 80 × 0.18 = 14.4 N.m
M Rx M Ry = ∑ M y = M 1 = 20 N.m
二、力对轴之矩的 解析表达式
M x ( F ) = M x ( Fy ) + M x ( Fz ) = -zFy + yFz M y ( F ) = M y ( Fz ) + M y ( Fx ) = -xFz + zFx M z ( F ) = M z ( Fx ) + M z ( Fy ) = -yFx + xFy
M R = M1 + M 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + M n = ∑ M
M R = M1 + M 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + M n = ∑ M
合力偶矩矢的大小 M R = ( ∑ M x ) 2 + ( ∑ M y )2 + ( ∑ M z )2 合力偶矩矢的方向
R
∑M cos( M ，i ) =
cos( M R，j ) = MR
工程力学03-力矩 平面力偶系
力偶只能与力偶平衡！
例 题 1
FA
M1 M3 M2
M1=M2=10 N.m， M3=20 N.m；固定螺柱 A 和 B 的距离 l=200 mm 。求两个光滑螺 柱所受的水平力。
A
解：选工件为研究对象，因为力偶只能与
力偶平衡，所以，力FA与FB构成一力 偶，故FA= FB 。列写平衡方程 FB
B
由∑M = 0， F l M M M 0 A 1 2 3
A FA M B
FB
例 题 2
A l D
M B A
FA
M B
45
FB
列平衡方程：
M 0,
M FA l cos 45 0
M 2M 解得： FA FB l cos 45 l
例 题 3 如图所示的铰接四连杆机构，杆重不计，已知
OA=r，DB=2r，α=30°，试求平衡时力偶M1和M2 关系。
§3-2 力偶与力偶矩
2. 平面力偶的性质 性质1：力偶既没有合力，本身又不平衡，是一个基 本力学量。
力和力偶是静力学的两个基本要素
性质2：力偶对其所在平面内任一点的矩恒等于力偶
矩，而与矩心的位置无关，因此力偶对刚体 的效应用力偶矩度量。
力偶矩的三个要素： 力偶矩的大小、力偶的转向、力偶的作用平面
A F
M Mi
平衡条件：
d
B
Mi 0
§3-4 平面力偶系的合成与平衡
§3-4 平面力偶系的合成与平衡
平面力偶系的合成
的代数和。
M Mi
平面力偶系合成结果还是一个力偶,其力偶矩为各力偶矩
平面力偶系的平衡条件
于零。
Mi 0
工程力学(人民交通出版社)第3章 第2节力偶系
Fy
F
C
B D
b
Fx x
a
MA( F ) MA( Fx ) MA( Fy ) Fx b Fy a F cos b F sin a Fa sin Fb cos
F Fx Fy
Fx F cos Fy F sin
Mo (F , F ' ) Mo (F ) Mo (F ' ) F (d x ) F ' x F d
⑦正负规定：逆时针为正 ⑧单位量纲：N m 或 kN m
二、力偶与力偶矩
2、力偶的特点 ⑨力偶的三要素： 力偶矩的大小、力偶的转向、力偶的作用面 ⑩力偶矩矢 用一个矢量表达三要素：力偶矩矢。
§3-2
力矩与力偶理论
一、力对点之矩 二、力偶与力偶矩 三、力偶系的合成与平衡
一、力对点之矩
1、平面中力矩的概念
力对物体可产生运动效应，在一般情况下，既可能产生移动（平动）效应， 也可能产生转动效应，或者同时产生这两种运动效应。力的移动效应取决于 力的大小和方向，而力使物体绕某点的转动效应，则用力对该点的矩来度量， 简称力矩。
2）合力矩定理 将力Fn分解为切由合力矩定理得：
M o (Fn ) M o (Ft ) M o (Fr ) Fn r cos 0 Fn r cos
小结力偶和力偶矩
1. 力矩是力学中的一个基本概念。度量力对物体的转动 效应：
即有： Mx mx My my Mz mz 同理： M Mx 2 My 2 Mz 2
( Mx ) ( My ) ( Mz )
2 2 2
z
MZ
土木工程力学21-平面力偶系的合成与平衡
写出杆OA的平衡方程： ∑M = 0
M1 FA • OA 0
FA
M1 OA
2 0.5
4
N
2020/2/29
30
学习探究
解： 分析：因为AB杆为二力杆，故其两端受到
的约束力FA和FB只能沿A，B的连线方向，即水
平方向。
A
B
F'A
F'B
再取杆 O1B 为研究对象。画受力图。
FB B
同样因为力偶只能与力偶平衡，所以支座O1的约 束力FO1必须和FB 平行，且与其方向相反。
力。
M1
A
B
。
4 m M2 45
注意 M1 16KN • m M2 4KN • m
2020/2/29
26
学习探究
解：作 AB梁的受力图。
AB梁上作用有二个力偶组成的平面力偶系，但M1和M2明 显不能平衡，这样在 A 、B 处的约束反力也必须组成一个
力偶才能与之平衡。
M1
A
FA
B
M2
FB
FB
d
900
d l • sin 600
FA 、FB为正值，说明图中所示FA 、FB 的指向正确。
2020/2/29
28
学习探究
例题4： 如图所示的铰接三连杆机构在图示位置处于平衡。
已知OA=50cm，O1B=40cm，在杆OA上作用着的力偶矩 M1=2牛米，不计杆重，试求M2。
课本35页例题8
圆盘半径为r。
m 图示圆盘 O 为何能在力偶 m 和力 G
的作用下保持平衡 ？
r
O
平衡条件是什么 ？
G
2020/2/29
M1 FA • OA 0
FA
M1 OA
2 0.5
4
N
2020/2/29
30
学习探究
解： 分析：因为AB杆为二力杆，故其两端受到
的约束力FA和FB只能沿A，B的连线方向，即水
平方向。
A
B
F'A
F'B
再取杆 O1B 为研究对象。画受力图。
FB B
同样因为力偶只能与力偶平衡，所以支座O1的约 束力FO1必须和FB 平行，且与其方向相反。
力。
M1
A
B
。
4 m M2 45
注意 M1 16KN • m M2 4KN • m
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26
学习探究
解：作 AB梁的受力图。
AB梁上作用有二个力偶组成的平面力偶系，但M1和M2明 显不能平衡，这样在 A 、B 处的约束反力也必须组成一个
力偶才能与之平衡。
M1
A
FA
B
M2
FB
FB
d
900
d l • sin 600
FA 、FB为正值，说明图中所示FA 、FB 的指向正确。
2020/2/29
28
学习探究
例题4： 如图所示的铰接三连杆机构在图示位置处于平衡。
已知OA=50cm，O1B=40cm，在杆OA上作用着的力偶矩 M1=2牛米，不计杆重，试求M2。
课本35页例题8
圆盘半径为r。
m 图示圆盘 O 为何能在力偶 m 和力 G
的作用下保持平衡 ？
r
O
平衡条件是什么 ？
G
2020/2/29
平面力偶的性质解析
平面力偶的性质解析摘要:全面解析平面力偶的基本性质,为更好地理解学习平面力偶奠定坚实的理论基础。
关键词:平面力偶基本性质理论基础平面力偶是工程力学中常见到的一种力系,也是工程力学学习中新接触到的难点之一。
在学生的学习中,常见到对其理解不透彻并伴随着对其误解滥用。
教材对此讲解甚少,本文采取理论推导与实例分析全面解析平面力偶的基本性质,为准确深入地处理平面力偶问题奠定基础。
1 平面力偶的性质解析性质1:作用在同一平面内的两个力偶,只要其力偶矩的大小相等,转向相同,则该两个力偶彼此等效(如图1)。
证:设物体的某一平面上作用一力偶M(F,F’),现沿力偶臂AB方向在该平面内加一对平衡力(Q,Q’)。
将Q,F合成R,Q’,F’合成R’,得到新力偶M(R,R’),如图1所示。
将合力R,R’分别移到A’,B’点,则新力偶M(R,R’)取代了原力偶M(F,F’),根据增减平衡力系原理知新力偶与原力偶等效。
实例分析:如下图2,一个刚体上面作用有三个力偶M(F1,F1’),M(F2,F2’),M3。
已知M(F1,F1’)=F1*d1=M(F2,F2’)=F2*d2=M3。
在刚体面上这三个力偶的转向均是逆时针。
则该三个力偶的三要素是一致的,不管形式上如何不同,这三个力偶在作用效果上是一样的等效的(如图2)。
性质2:力偶没有合力,本身又不平衡,是又一个基本力学量,一个力偶不能同一个力等效。
证:现有力偶M(F,F’),则F’=F。
方向:平行于F’、F且与较大的相同合力的大小:R=F’-F=0,则力偶没有合力。
作用点的确定:假定在C处。
由合力矩定理对B点取矩得:由点C的任意性可知:力偶对刚体的作用效果是转动,跟矩心的位置无关,与引起刚体平动的集中力是不同的,二者不可等效。
实例分析:在刚体上面作用有力偶M,该力引起刚体围绕质心C转动。
刚体上面作用有力P,该力引起刚体沿着过质心C的竖向线(即力的作用线)平动,若力P作用线与质心有偏移会引起刚体沿着力的作用线平动的同时围绕刚体质心转动。
工程力学 力偶系
例题.在梁AB上作用一个力偶,其矩为m,梁 长为l.自重不计.试求支座A和B的约束反力.
A
B
m
45o
l
解:取梁AB为研究对象 A
RA = RB = R m(RA , RB) = Rlcos 45o
m
RA
l
mi = 0
Rlcos 45o- m = 0
R = RA = RB =
2m l
B 45o
4455oo
求: MO F.
解:直接按定义
r
MO F F h F r cos θ
78.93N m
按合力矩定理
r
r
r
M O F M O Ft M O Fr
F cos θ r 78.93N m
例 已知：q,l；
求：合力及合力作用线位置.
解：取微元如图
q x q l
P
l
r r rr MO(F) r F
r rr r r r r r
r xi yj zk
r r rr
F
r
Fxi
r
r
Fy
j
r
Fzk
r
r
MO(F) (r F) (xi yj zk )(Fxi Fy j Fzk )
r
r
r
(yFz zFy )i (zFx xFz ) j (xFy yFx )k
0
x l
q
dx
1 2
ql
由合力矩定理
得 h 2l 3
Ph
l
q dx x
0
l
0
x2 l
q dx
例 已知： M1 M 2 10N m, M3 20N m, l 200mm;
平面汇交力系与平面力偶系(工程力学课件)
F
sin
cos
F1 F cot
A
yFAB F'AB
x FDA
F
B F1 C
B F1 FCB
力对点之矩、合力矩定理
力对点之矩、合力矩定理
一、力对点之矩
M O (F ) Fd
说明：
＋
－
① 平面内力对点之矩是代数量，不仅与力的大小有关，且 与矩心位置有关。 ② 当F=0或d=0时，MO (F ) 0
C
h A
d
l Fy
F 解：1.求MA(F)
D
Fx
F力对A点力臂d的几何关系较复杂不宜确定， 用合力矩定理。
B
M A (F ) M A (Fx ) M A (Fy )
F cos h F sin l
F (cos h sin l)
力对点之矩、合力矩定理
例：图示刚架ABCD, 在D点作用F力,已知力F的方向角为。 求：1.F力对A点的力矩, 2. B点约束力对A点的力矩。
F'
d
aO
＝ MO(F，F')
F
力偶、力偶系的合成与平衡 力偶的性质
③力偶可在其作用平面内任意搬移，而不改变它对物体的转动效应。 ④只要保持力偶矩的大小和力偶的转向不变，可以同时改变力偶中力 的大小和力臂的长短，而不会改变力偶对物体的转动外效应。
25kN 4m
25kN
力偶、力偶系的合成与平衡
力偶的等效
Fy 0 : FBC sin 30 G 0
A
30° B FAB G 30°
B
C
FCB G
x
FBC
G sin 30
2G
210
20kN
工程力学-力矩与平面力偶
RA
RB
2 Pa RB R A l cos α
[练习2]
在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等
直径的孔,每个钻头的力偶矩为 m1 m 2 m3 m 4 15 N m 求工件的总切削力偶矩和A 、B端水平反力? 解:
NA NB
各力偶的合力偶距为
M m1 m 2 m 3 m 4 4 ( 15 ) 60 N m
mo ( F ) F ( h x )
mo ( F ) F x
mo ( F , F ) F ( h x ) F x F h
性质3：力偶等效定理 作用在同一平面的两个力偶，只要它的力偶矩相等，则该两个力偶彼此等 效。
包含以下内容： ①力偶可以在其作用面内任意移动，而不影响它对刚体的
l d Q 0 l
2、研究曲柄ACD
l2 d2 m 0 N AB l d M 0 l2 d2 M Q N AB l d
思考题： 1、m可否又BC上移至AC上？
a
m
结构视为一体时，m 可移动，若分开考虑，则 m不能从一体移至另一体。
2.既然一个力不能与力偶平衡，为什么下图的圆轮能平衡？
M O ( F ) 2 S ABC
① 说明： M O (F ) 是代数量。
② F↑,h↑转动效应明显。
③ M O (F ) 是影响转动的独立因素。当F=0 或 h=0时，M O ( F ) 0 ④国际单位Nm。
2、解析式 y
Fy
F
Fx
M O ( F ) F h Fr sin
解： 1、研究对象二力杆：AD
RC
工程力学——力矩和平面
力偶矩的大小也可以通过力与力偶臂组成的三角
形面积的2倍来表示，如图3.5所表示。即 M=±2△OAB
图3.5
力偶对物体的转动效应，取决于下列三要素： ① 力偶矩的大小； ② 力偶的转向； ③ 力偶作用面的方位。
3.3 力偶的性质
一、力偶无合力，力偶不能用一个力来代替 由于组成力偶的两个力是等值、反向的，它们在任 一坐标轴上的投影的代数和恒等于零(如图3.6所示)，因此， 力偶对物体只有转动效应而没有移动效应。
力偶不能合成一个力， 它不能用一个力来平衡而只能 和力偶相平衡。所以力偶和力 是组成力系的两个基本物理量。 或者说，力偶和力是静力学的 两个基本要素。
图3.6
二、力偶对其作用面上任意点之矩，恒等于力偶 矩，而与矩心的位置无关
证明：设有一力偶(F，F′)作用在物体上其力偶矩 M= F·d (见图3.7)。在力偶的作用平面内任取一点O为矩 心，设O点至F′的垂直距离为a。显然，力偶使物体绕O 点转动的效应，等于组成力偶的两个力使物体绕O点转 动的效应之和，即
从式(3-1)可知： (1) 力沿作用线移动时，不会改变力对某一矩心的力 矩，因为此时并未改变力、力臂的大小及力矩的转向。 (2) 当力的作用线通过矩心时，力矩为零。 合力矩定理 平面汇交力系的合力对平面内任一点之矩，等于力 系中各力对同一点力矩的代数和。即：
MO(F)= MO(F1)+ MO(F2)+…+MO(Fn)= MO(Fi) (3-3) 合力矩定理不仅适用于平面汇交力系，也同样适用于任 何力系。
各分力偶矩的代数和。
3.4.2 平面力偶系的平衡
由于平面力偶系合成的结果为一合力偶，当其合 力偶矩等于零时，表明使物体顺时针方向转动的力偶矩 与使物体逆时针方向转动的力偶矩相等，作用效果相互 抵消，物体保持平衡状态。即平面力偶系的平衡条件为
形面积的2倍来表示，如图3.5所表示。即 M=±2△OAB
图3.5
力偶对物体的转动效应，取决于下列三要素： ① 力偶矩的大小； ② 力偶的转向； ③ 力偶作用面的方位。
3.3 力偶的性质
一、力偶无合力，力偶不能用一个力来代替 由于组成力偶的两个力是等值、反向的，它们在任 一坐标轴上的投影的代数和恒等于零(如图3.6所示)，因此， 力偶对物体只有转动效应而没有移动效应。
力偶不能合成一个力， 它不能用一个力来平衡而只能 和力偶相平衡。所以力偶和力 是组成力系的两个基本物理量。 或者说，力偶和力是静力学的 两个基本要素。
图3.6
二、力偶对其作用面上任意点之矩，恒等于力偶 矩，而与矩心的位置无关
证明：设有一力偶(F，F′)作用在物体上其力偶矩 M= F·d (见图3.7)。在力偶的作用平面内任取一点O为矩 心，设O点至F′的垂直距离为a。显然，力偶使物体绕O 点转动的效应，等于组成力偶的两个力使物体绕O点转 动的效应之和，即
从式(3-1)可知： (1) 力沿作用线移动时，不会改变力对某一矩心的力 矩，因为此时并未改变力、力臂的大小及力矩的转向。 (2) 当力的作用线通过矩心时，力矩为零。 合力矩定理 平面汇交力系的合力对平面内任一点之矩，等于力 系中各力对同一点力矩的代数和。即：
MO(F)= MO(F1)+ MO(F2)+…+MO(Fn)= MO(Fi) (3-3) 合力矩定理不仅适用于平面汇交力系，也同样适用于任 何力系。
各分力偶矩的代数和。
3.4.2 平面力偶系的平衡
由于平面力偶系合成的结果为一合力偶，当其合 力偶矩等于零时，表明使物体顺时针方向转动的力偶矩 与使物体逆时针方向转动的力偶矩相等，作用效果相互 抵消，物体保持平衡状态。即平面力偶系的平衡条件为
土木工程力学21-平面力偶系的合成与平衡
偶中力的大小和力偶臂的长短，而不会改变力偶的作用效果。
F
F2=2F
F2
d
==
d2 =d/2 ==
==
M
2F'
d2
F'
力偶矩一样，效果就一样
F'2
2020/8/2
8
学习探究
一、平面力偶系的合成
2020/8/2
9
学习探究
一、平面力偶系的合成
作用在物体上同一平面内的多个力偶组成平 面力偶系。
m1
m2
M
第四节 力偶及其基本性质
2020/8/2
4
学习探究
一、知识回顾
1、力偶的性质 2、平面力偶的等效定理
2020/8/2
5
学习探究
一、知识回顾
一、力偶的性质
❖性质1：力偶不能合成为一个力，或者说力偶没有合力。 ❖要点：力偶只能和力偶平衡。 ❖性质2：力偶在任何坐标轴上的投影等于零。 ❖性质3：力偶对其所在平面内任一点的矩都等于力偶矩， 而与矩心的位置无关。 ❖性质4：平面力偶等效定理。
Gm r
22
学习探究
例题2：已知梁长 l 5 m，Mm 100kN m ；若不计梁的自
重，试求支座 A 、B 的约束力。
m
A
B
l
M 24KN • m
A
B
课本35页例题7
6m
2020/8/2
23
学习探究
例题2：已知梁长 l 5 m，Mm 100kN m ；若不计梁的自
重，试求支座 A 、B 的约束力。
就是一个合力偶。
M M1 M2 M3 M 200 250 150 300N m M1 F1d1 200N 1m 200N m M2 F2d2 500N 0.5 250N m M3 m 150N m
工程力学力偶和平面力偶系
力偶臂
力偶和平面力偶系
1）力偶矩的大小
力偶对物体作用 效果的决定因素
2）力偶在作用平面
内的转向
影响力偶作用效果的因素与距心的位置无关
力偶和平面力偶系
2.力偶的等效条件
同平面内的力偶等效条件：力偶距大小相等，力偶转向相同
力偶和平面力偶系
由此可得出以下两个重要推论
（1）只要不改变力偶矩的大小和力偶的转向，力偶就可以 在它的作用平面内任意移动或转动，而不改变它对物体的作用效 果。
复习
力偶和平面力偶系
力偶和平面力偶系
力偶和平面力偶系
一、力偶的概念和性质
1.力偶与力偶矩
力偶：由大小相等、方向相反且不共线的 两个平行力组成 力偶的作用面：两力作用线所决定的平面 力偶臂：力作用线间的垂直距离
力偶和平面力偶系
力偶距：力与力偶臂的乘积 M=F· d 方向：逆时针为正，顺时针为负
2.力偶没有合力，因此力偶不能与一个力平衡，它必须 用力偶来平衡。 3.力偶对物体的作用效应取决于力偶的三要素，而与矩 心位置无关。
n
4.平面力偶系的平衡方程 Mi 0 i 1, 2,..., n i 1
力偶和平面力偶系
作业
在一钻床上水平放置工件，在工件上同时钻4个等直径的孔， 每个钻头的力偶矩M1= M2= M3= M4=15N·m，求工件的总切削力偶 矩和A、B端水平约束力。
力偶对于作用面内任一点之矩为一常量并等于其力偶矩。
力偶和平面力偶系
二、平面力偶系的合成与平衡
1.平面力偶系的合成
在物体上同时作用有两个或两个以上的力偶时，这些力偶组 成力偶系。在同一个平面内的力偶系叫作平面力偶系。
n
M Mi i 1, 2,..., n i 1
力偶和平面力偶系
1）力偶矩的大小
力偶对物体作用 效果的决定因素
2）力偶在作用平面
内的转向
影响力偶作用效果的因素与距心的位置无关
力偶和平面力偶系
2.力偶的等效条件
同平面内的力偶等效条件：力偶距大小相等，力偶转向相同
力偶和平面力偶系
由此可得出以下两个重要推论
（1）只要不改变力偶矩的大小和力偶的转向，力偶就可以 在它的作用平面内任意移动或转动，而不改变它对物体的作用效 果。
复习
力偶和平面力偶系
力偶和平面力偶系
力偶和平面力偶系
一、力偶的概念和性质
1.力偶与力偶矩
力偶：由大小相等、方向相反且不共线的 两个平行力组成 力偶的作用面：两力作用线所决定的平面 力偶臂：力作用线间的垂直距离
力偶和平面力偶系
力偶距：力与力偶臂的乘积 M=F· d 方向：逆时针为正，顺时针为负
2.力偶没有合力，因此力偶不能与一个力平衡，它必须 用力偶来平衡。 3.力偶对物体的作用效应取决于力偶的三要素，而与矩 心位置无关。
n
4.平面力偶系的平衡方程 Mi 0 i 1, 2,..., n i 1
力偶和平面力偶系
作业
在一钻床上水平放置工件，在工件上同时钻4个等直径的孔， 每个钻头的力偶矩M1= M2= M3= M4=15N·m，求工件的总切削力偶 矩和A、B端水平约束力。
力偶对于作用面内任一点之矩为一常量并等于其力偶矩。
力偶和平面力偶系
二、平面力偶系的合成与平衡
1.平面力偶系的合成
在物体上同时作用有两个或两个以上的力偶时，这些力偶组 成力偶系。在同一个平面内的力偶系叫作平面力偶系。
n
M Mi i 1, 2,..., n i 1
(精品)工程力学——2-3平面力偶系
关于力偶性质的推论
F
F´
F
F´
只要保持力偶矩矢量不变，力偶可在作用面内 任意移动，其对刚体的作用效果不变。
关于力偶性质的推论
F
F´
F/2
F´/ 2
保持力偶矩矢量不变，分别改变力和 力偶臂大小，其作用效果不变。
关于力偶性质的推论
M=Fdk
只要保持力偶矩矢量大小和方向不变 , 力偶可在与其作用面平行的平面内移动。
0.4m
MA(F)
= - 10 0.6 cos300
6 3 3 3 2
= MA(Fx) + MA(Fy)
Fx = Fcos300 MA(Fx) 3 3 Fy = - Fsin300
MA(Fy) = 0
例5.图示F=5kN, sin=0.8试求力F对A点的矩.
F B
A 20
解:(1)
BC 1518.75 0.8
= P1•d+P2•d－P3•d
=F 1•d1+F2•d2－F3•d3
所以
M＝m1＋m2＋m3
若作用在同一平面内有个力偶，则上 式可以推广为
M m 1m 2 m n nm i
i1 由此可得到如下结论：
平面力偶系可以合成为一合力偶，此合力偶的力
偶矩等于力偶系中各力偶的力偶矩的代数和。
2.平面力偶系的平衡条件 平面力偶系中可以用它的合力偶等效代替，因此，
RA
RA
A
MC
M C
RC
M
B RB
MC
M
B
RC
M
RB
静
[例力] 在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等直径
的孔学,每个钻头的力偶矩为
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例题4
C
M2
Ar O
M1
B
如图所示机构的自重不计。 M1=2 kN·m ， OA = r =0.5 m。图 示 位 置 时 OA 与 OB 垂 直 ， 角 α=30o , 且系统平衡。求M2 及铰 链O，B处的约束反力。
17
§3-4 平面力偶的合成与平衡
例题4
FA
解： 先取圆轮为研究对象，因为力偶只能与
A
O
M1
FO
C
M2
力偶平衡，所以，力FA 与FO 构成一力偶， 故 FA= –FO。
M 0, M1 FAr sin 0
解得
FA
r
M1 sin 30
再取摇杆BC为研究对象。
A
M 0,
M2
FA
r
sin
0
其中 FA FA
FA’
FB
解得 M2 4M1 8 kN m
15
§3-4 平面力偶的合成与平衡
例题3
解：
选 梁 AB 为 研 究 对 象 。 梁
A
M
B 所受的主动力为一力偶，AD
l
D
45
是二力杆。梁AB受力如图：
FA A
M B
列平衡方程：
M 0, M FA l cos 45 0
FB
解得：
FA
FB
M l cos 45
2M l
16
§3-4 平面力偶的合成与平衡
5
§3-2 平面力偶与力偶矩
一、平面力偶及其性质
1、力偶：等值反向不共线的两个力叫力偶。
6
§3-2 平面力偶与力偶矩
力偶实例
7
§3-2 平面力偶与力偶矩
2、力偶的性质 性质1：力偶既没有合力，本身又不平衡，是一个基
本力学量。 性质2：力偶对其所在平面内任一点的矩恒等于力
偶矩，而与矩心的位置无关，因此力偶对 刚体的效应用力偶矩度量。
FO
FB
FA
M1 r sin 30
8
kN
18
B
§3-4 平面力偶的合成与平衡
例题5
机构在图示位置处于平衡。已知OA=r，DB=2r， α=30°，不计杆重，试求此时 M1和M2间的关系。
B
Aα
M1
O
M2
D
19
§3-4 平面力偶的合成与平衡
例题5
Aα
M1
O
B
M2
D
FBA
解：
因为杆AB为二力杆，故其反力FAB 和
第三章 力矩 平面力偶系
1
§3-1 平面力对点之矩
力对物体可以产生 移动效应--取决于力的大小、方向 转动效应--取决于力矩的大小、方向
一、力对点的矩
MO (F )Fd
+
-
2
§3-1 平面力对点之矩
二、合力矩定理
定理：平面汇交力系的合力对平 面内任一点的矩，等于所有各分力 对同一点的矩的代数和,即：
i1
平面力偶系合成结果还是一个力偶,其力偶矩为各
力偶矩的代数和。
2、平面力偶系的平衡
平面力偶系平衡的充要条件是:所有各力偶矩的
代数和等于零。
n
即 mi 0
i1
12
力偶只能与力偶平衡！
13
§3-4 平面力偶的合成与平衡
例题2
FA
A
M1 M3
M2
B
如图所示的工件上作用有三个力偶。
已 知 三 个 力 偶 的 矩 分 别 为 ： M1=M2=10 N.m， M3=20 N.m；固定螺柱 A 和 B 的距 离 l=200 mm 。求两个光滑螺柱所受的水
两个推论：
① 力偶可以在其作用面内任意移动，而不影响它对 刚体的作用效应。 ② 只要保持力偶矩大小和转向不变，可以任意改 变力偶中力的大小和相应力偶臂的长短，而不改变 它对刚体的作用效应。
10
§3-4 平面力偶的合成与平衡
11
§3-4 平面力偶的合成与平衡
结论:
M
m1
m2
mn
n
mi
平力。
解： 选工件为研究对象，因为力偶只能
与力偶平衡，所以，力FA与FB构成一
FB
力偶，故FA= FB 。列写平衡方程
由∑M = 0， FAl M1 M 2 M3 0
解得
FA
M1 M2 l
M3
200N
14
§3-4 平面力偶的合成与平衡
例题3
M
A
B
l
D
45
已知M、l，不计梁和 支杆的自重，求A和B 端的约束力。
例题1
解：
计算力Fn对轴心O的矩，按力矩的定义得
r O
MO (Fn ) Fn h Fnr cos
h
78.93 N mm
或根据合力矩定理，
r O
将力Fn分解为圆周力
F和径向力Fr ,
F
则力Fn对轴心O的矩
Fn Fr
MO Fn MO (F) MO (Fr ) MO (F) Fnr cos
n
mO (FR ) mO (Fi )
i 1
3
§3-1 平面力对点之矩
例题1
r O
h
如图所示圆柱直齿轮，受到 啮合力Fn的作用。设Fn=1400 N。 压力角α=20o ，齿轮的节圆（啮
合圆）的半径 r = 60 mm，试计 算力 Fn 对于轴心O的力矩。
4
§3-1 平面力对点之矩
FBA 只能沿A、B的连线方向。
分别取杆OA和DB为研究对象。因为力偶只
能与力偶平衡，所以支座O和D的约束力FO 和FD 只能分别平行于FAB 和FBA ，且与其方向相反。
写出杆OA和DB的平衡方程： ∑M = 0
B
M1 FAB rcos 0
Байду номын сангаас
M 2 2FBArcos 0
A
FAB
M2
因为 FAB FBA
M1
所以求得
M2 2M1
FO
O
D
FD
20
mO (F ) mO (F ' ) F (x d ) F 'x Fd d 由于O点是任取的
m F d + — 8
§3-3 平面力偶的等效 平面力偶等效定理
作用在同一平面内的两个力偶，只要它的力偶矩 的大小相等，转向相同，则该两个力偶彼此等效。
9
§3-3 平面力偶的等效
C
M2
Ar O
M1
B
如图所示机构的自重不计。 M1=2 kN·m ， OA = r =0.5 m。图 示 位 置 时 OA 与 OB 垂 直 ， 角 α=30o , 且系统平衡。求M2 及铰 链O，B处的约束反力。
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§3-4 平面力偶的合成与平衡
例题4
FA
解： 先取圆轮为研究对象，因为力偶只能与
A
O
M1
FO
C
M2
力偶平衡，所以，力FA 与FO 构成一力偶， 故 FA= –FO。
M 0, M1 FAr sin 0
解得
FA
r
M1 sin 30
再取摇杆BC为研究对象。
A
M 0,
M2
FA
r
sin
0
其中 FA FA
FA’
FB
解得 M2 4M1 8 kN m
15
§3-4 平面力偶的合成与平衡
例题3
解：
选 梁 AB 为 研 究 对 象 。 梁
A
M
B 所受的主动力为一力偶，AD
l
D
45
是二力杆。梁AB受力如图：
FA A
M B
列平衡方程：
M 0, M FA l cos 45 0
FB
解得：
FA
FB
M l cos 45
2M l
16
§3-4 平面力偶的合成与平衡
5
§3-2 平面力偶与力偶矩
一、平面力偶及其性质
1、力偶：等值反向不共线的两个力叫力偶。
6
§3-2 平面力偶与力偶矩
力偶实例
7
§3-2 平面力偶与力偶矩
2、力偶的性质 性质1：力偶既没有合力，本身又不平衡，是一个基
本力学量。 性质2：力偶对其所在平面内任一点的矩恒等于力
偶矩，而与矩心的位置无关，因此力偶对 刚体的效应用力偶矩度量。
FO
FB
FA
M1 r sin 30
8
kN
18
B
§3-4 平面力偶的合成与平衡
例题5
机构在图示位置处于平衡。已知OA=r，DB=2r， α=30°，不计杆重，试求此时 M1和M2间的关系。
B
Aα
M1
O
M2
D
19
§3-4 平面力偶的合成与平衡
例题5
Aα
M1
O
B
M2
D
FBA
解：
因为杆AB为二力杆，故其反力FAB 和
第三章 力矩 平面力偶系
1
§3-1 平面力对点之矩
力对物体可以产生 移动效应--取决于力的大小、方向 转动效应--取决于力矩的大小、方向
一、力对点的矩
MO (F )Fd
+
-
2
§3-1 平面力对点之矩
二、合力矩定理
定理：平面汇交力系的合力对平 面内任一点的矩，等于所有各分力 对同一点的矩的代数和,即：
i1
平面力偶系合成结果还是一个力偶,其力偶矩为各
力偶矩的代数和。
2、平面力偶系的平衡
平面力偶系平衡的充要条件是:所有各力偶矩的
代数和等于零。
n
即 mi 0
i1
12
力偶只能与力偶平衡！
13
§3-4 平面力偶的合成与平衡
例题2
FA
A
M1 M3
M2
B
如图所示的工件上作用有三个力偶。
已 知 三 个 力 偶 的 矩 分 别 为 ： M1=M2=10 N.m， M3=20 N.m；固定螺柱 A 和 B 的距 离 l=200 mm 。求两个光滑螺柱所受的水
两个推论：
① 力偶可以在其作用面内任意移动，而不影响它对 刚体的作用效应。 ② 只要保持力偶矩大小和转向不变，可以任意改 变力偶中力的大小和相应力偶臂的长短，而不改变 它对刚体的作用效应。
10
§3-4 平面力偶的合成与平衡
11
§3-4 平面力偶的合成与平衡
结论:
M
m1
m2
mn
n
mi
平力。
解： 选工件为研究对象，因为力偶只能
与力偶平衡，所以，力FA与FB构成一
FB
力偶，故FA= FB 。列写平衡方程
由∑M = 0， FAl M1 M 2 M3 0
解得
FA
M1 M2 l
M3
200N
14
§3-4 平面力偶的合成与平衡
例题3
M
A
B
l
D
45
已知M、l，不计梁和 支杆的自重，求A和B 端的约束力。
例题1
解：
计算力Fn对轴心O的矩，按力矩的定义得
r O
MO (Fn ) Fn h Fnr cos
h
78.93 N mm
或根据合力矩定理，
r O
将力Fn分解为圆周力
F和径向力Fr ,
F
则力Fn对轴心O的矩
Fn Fr
MO Fn MO (F) MO (Fr ) MO (F) Fnr cos
n
mO (FR ) mO (Fi )
i 1
3
§3-1 平面力对点之矩
例题1
r O
h
如图所示圆柱直齿轮，受到 啮合力Fn的作用。设Fn=1400 N。 压力角α=20o ，齿轮的节圆（啮
合圆）的半径 r = 60 mm，试计 算力 Fn 对于轴心O的力矩。
4
§3-1 平面力对点之矩
FBA 只能沿A、B的连线方向。
分别取杆OA和DB为研究对象。因为力偶只
能与力偶平衡，所以支座O和D的约束力FO 和FD 只能分别平行于FAB 和FBA ，且与其方向相反。
写出杆OA和DB的平衡方程： ∑M = 0
B
M1 FAB rcos 0
Байду номын сангаас
M 2 2FBArcos 0
A
FAB
M2
因为 FAB FBA
M1
所以求得
M2 2M1
FO
O
D
FD
20
mO (F ) mO (F ' ) F (x d ) F 'x Fd d 由于O点是任取的
m F d + — 8
§3-3 平面力偶的等效 平面力偶等效定理
作用在同一平面内的两个力偶，只要它的力偶矩 的大小相等，转向相同，则该两个力偶彼此等效。
9
§3-3 平面力偶的等效