第8讲 分式方程(测)(解析版)
分式方程篇(解析版)--中考数学必考考点总结+题型专训
知识回顾微专题分式方程--中考数学必考考点总结+题型专训考点一：分式方程之分式方程的解与解分式方程1.分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
2.分式方程的解：使分式方程成立的未知数的值叫做分式方程的解。
3.解分式方程。
具体步骤：①去分母——分式方程的两边同时乘上分母的最简公分母。
把分式方程化成整式方程。
②解整式方程。
③检验——把解出来的未知数的值带入公分母中检验公分母是否为0。
若公分母不为0，则未知数的值即是原分式方程的解。
若公分母为0，则未知数的值是原分式方程的曾根，原分式方程无解。
1．（2022•营口）分式方程3=x 的解是（）A ．x ＝2B ．x ＝﹣6C ．x ＝6D ．x ＝﹣2【分析】方程两边都乘x （x ﹣2）得出3（x ﹣2）＝2x ，求出方程的解，再进行检验即可．【解答】解：＝，方程两边都乘x （x ﹣2），得3（x ﹣2）＝2x ，解得：x ＝6，检验：当x ＝6时，x （x ﹣2）≠0，所以x ＝6是原方程的解，即原方程的解是x ＝6，故选：C ．2．（2022•海南）分式方程12-x ﹣1＝0的解是（）A ．x ＝1B ．x ＝﹣2C ．x ＝3D ．x ＝﹣3【分析】方程两边同时乘以（x ﹣1），把分式方程化成整式方程，解整式方程检验后，即可得出分式方程的解．【解答】解：去分母得：2﹣（x ﹣1）＝0，解得：x ＝3，当x ＝3时，x ﹣1≠0，∴x ＝3是分式方程的根，故选：C ．3．（2022•毕节市）小明解分式方程33211+=+x xx ﹣1的过程如下．解：去分母，得3＝2x ﹣（3x +3）．①去括号，得3＝2x ﹣3x +3．②移项、合并同类项，得﹣x ＝6．③化系数为1，得x ＝﹣6．④以上步骤中，开始出错的一步是（）A ．①B ．②C ．③D ．④【分析】按照解分式方程的一般步骤进行检查，即可得出答案．【解答】解：去分母得：3＝2x ﹣（3x +3）①，去括号得：3＝2x ﹣3x ﹣3②，∴开始出错的一步是②，故选：B ．4．（2022•无锡）分式方程xx 132=-的解是（）A ．x ＝1B ．x ＝﹣1C ．x ＝3D ．x ＝﹣3【分析】将分式方程转化为整式方程，求出x 的值，检验即可得出答案．【解答】解：＝，方程两边都乘x （x ﹣3）得：2x ＝x ﹣3，解得：x ＝﹣3，检验：当x ＝﹣3时，x （x ﹣3）≠0，∴x ＝﹣3是原方程的解．故选：D ．5．（2022•济南）代数式23+x 与代数式12-x 的值相等，则x ＝．【分析】根据题意列方程，再根据解分式方程的步骤和方法进行计算即可．【解答】解：由题意得，＝，去分母得，3（x ﹣1）＝2（x +2），去括号得，3x ﹣3＝2x +4，移项得，3x ﹣2x ＝4+3，解得x ＝7，经检验x ＝7是原方程的解，所以原方程的解为x ＝7，故答案为：7．6．（2022•绵阳）方程113-+=-x x x x 的解是．【分析】先在方程两边乘最简公分母（x ﹣3）（x ﹣1）去分母，然后解整式方程即可．【解答】解：＝，方程两边同乘（x ﹣3）（x ﹣1），得x （x ﹣1）＝（x +1）（x ﹣3），解得x ＝﹣3，检验：当x ＝﹣3时，（x ﹣3）（x ﹣1）≠0，∴方程的解为x ＝﹣3．故答案为：x ＝﹣3．7．（2022•盐城）分式方程121-+x x ＝1的解为．【分析】先把分式方程转化为整式方程，再求解即可．【解答】解：方程的两边都乘以（2x ﹣1），得x +1＝2x ﹣1，解得x ＝2．经检验，x ＝2是原方程的解．故答案为：x ＝2．8．（2022•内江）对于非零实数a ，b ，规定a ⊕b ＝a 1﹣b1．若（2x ﹣1）⊕2＝1，则x 的值为．【分析】利用新规定对计算的式子变形，解分式方程即可求得结论．【解答】解：由题意得：＝1，解得：x ＝．经检验，x ＝是原方程的根，∴x ＝．故答案为：．9．（2022•永州）解分式方程112+-x x ＝0去分母时，方程两边同乘的最简公分母是．【分析】根据最简公分母的定义即可得出答案．【解答】解：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是x （x +1）．故答案为：x （x +1）．10．（2022•常德）方程()xx x x 25212=-+的解为．【分析】方程两边同乘2x （x ﹣2），得到整式方程，解整式方程求出x 的值，检验后得到答案．【解答】解：方程两边同乘2x （x ﹣2），得4x ﹣8+2＝5x ﹣10，解得：x ＝4，检验：当x ＝4时，2x （x ﹣2）＝16≠0，∴x ＝4是原方程的解，∴原方程的解为x ＝4．11．（2022•宁波）定义一种新运算：对于任意的非零实数a ，b ，a ⊗b ＝a 1+b 1．若（x +1）⊗x ＝xx 12+，则x 的值为．【分析】根据新定义列出分式方程，解方程即可得出答案．【解答】解：根据题意得：+＝，化为整式方程得：x +x +1＝（2x +1）（x +1），解得：x ＝﹣，检验：当x ＝﹣时，x （x +1）≠0，∴原方程的解为：x ＝﹣．故答案为：﹣．12．（2022•成都）分式方程xx x -+--4143＝1的解为．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：3﹣x ﹣1＝x ﹣4，解得：x ＝3，经检验x ＝3是分式方程的解，故答案为：x ＝3．13．（2022•牡丹江）若关于x 的方程11--x mx ＝3无解，则m 的值为（）A ．1B ．1或3C ．1或2D ．2或3【分析】先去分母，再根据条件求m ．【解答】解：两边同乘以（x ﹣1）得：mx ﹣1＝3x ﹣3，∴（m ﹣3）x ＝﹣2．当m ﹣3＝0时，即m ＝3时，原方程无解，符合题意．当m ﹣3≠0时，x ＝，∵方程无解，∴x ﹣1＝0，∴x ＝1，∴m ﹣3＝﹣2，∴m ＝1，综上：当m ＝1或3时，原方程无解．故选：B ．14．（2022•通辽）若关于x 的分式方程：2﹣221--x k ＝x-21的解为正数，则k 的取值范围为（）A ．k ＜2B ．k ＜2且k ≠0C ．k ＞﹣1D ．k ＞﹣1且k ≠0【分析】先解分式方程可得x ＝2﹣k ，再由题意可得2﹣k ＞0且2﹣k ≠2，从而求出k 的取值范围．【解答】解：2﹣＝，2（x ﹣2）﹣（1﹣2k ）＝﹣1，2x ﹣4﹣1+2k ＝﹣1，2x ＝4﹣2k ，x ＝2﹣k ，∵方程的解为正数，∴2﹣k ＞0，∴k ＜2，∵x ≠2，∴2﹣k ≠2，∴k ≠0，∴k ＜2且k ≠0，故选：B ．15．（2022•黑龙江）已知关于x 的分式方程xx m x ----1312＝1的解是正数，则m 的取值范围是（）A ．m ＞4B ．m ＜4C ．m ＞4且m ≠5D ．m ＜4且m ≠1【分析】先利用m 表示出x 的值，再由x 为正数求出m 的取值范围即可．【解答】解：方程两边同时乘以x ﹣1得，2x ﹣m +3＝x ﹣1，解得x ＝m ﹣4．∵x 为正数，∴m ﹣4＞0，解得m ＞4，∵x ≠1，∴m ﹣4≠1，即m ≠5，∴m 的取值范围是m ＞4且m ≠5．故选：C ．16．（2022•德阳）如果关于x 的方程12-+x mx ＝1的解是正数，那么m 的取值范围是（）A ．m ＞﹣1B ．m ＞﹣1且m ≠0C ．m ＜﹣1D ．m ＜﹣1且m ≠﹣2【分析】先去分母将分式方程化成整式方程，再求出方程的解x ＝﹣1﹣m ，利用x ＞0和x ≠1得出不等式组，解不等式组即可求出m 的范围．【解答】解：两边同时乘（x ﹣1）得，2x +m ＝x ﹣1，解得：x ＝﹣1﹣m ，又∵方程的解是正数，且x ≠1，∴，即，解得：，∴m 的取值范围为：m ＜﹣1且m ≠﹣2．故答案为：D ．17．（2022•重庆）关于x 的分式方程x x x a x -++--3133＝1的解为正数，且关于y 的不等式组()⎪⎩⎪⎨⎧-+≤+132229a y y y 的解集为y ≥5，则所有满足条件的整数a 的值之和是（）A ．13B ．15C ．18D ．20【分析】解分式方程得得出x ＝a ﹣2，结合题意及分式方程的意义求出a ＞2且a ≠5，解不等式组得出，结合题意得出a ＜7，进而得出2＜a ＜7且a ≠5，继而得出所有满足条件的整数a 的值之和，即可得出答案．【解答】解：解分式方程得：x ＝a ﹣2，∵x ＞0且x ≠3，∴a ﹣2＞0且a ﹣2≠3，∴a ＞2且a ≠5，解不等式组得：，∵不等式组的解集为y ≥5，∴＜5，∴a ＜7，∴2＜a ＜7且a ≠5，∴所有满足条件的整数a 的值之和为3+4+6＝13，故选：A ．18．（2022•重庆）若关于x 的一元一次不等式组⎪⎩⎪⎨⎧--≥-a x x x ＜153141的解集为x ≤﹣2，且关于y 的分式方程111+=+-y ay y ﹣2的解是负整数，则所有满足条件的整数a 的值之和是（）A ．﹣26B ．﹣24C ．﹣15D ．﹣13【分析】解不等式组得出，结合题意得出a ＞﹣11，解分式方程得出y ＝，结合题意得出a ＝﹣8或﹣5，进而得出所有满足条件的整数a 的值之和是﹣8﹣5＝﹣13，即可得出答案．【解答】解：解不等式组得：，∵不等式组的解集为x ≤﹣2，∴＞﹣2，∴a ＞﹣11，解分式方程＝﹣2得：y＝，∵y 是负整数且y ≠﹣1，∴是负整数且≠﹣1，∴a ＝﹣8或﹣5，∴所有满足条件的整数a 的值之和是﹣8﹣5＝﹣13，故选：D ．19．（2022•遂宁）若关于x 的方程122+=x mx 无解，则m 的值为（）A ．0B ．4或6C ．6D ．0或4【分析】解分式方程可得（4﹣m ）x ＝﹣2，根据题意可知，4﹣m ＝0或2x +1＝0，求出m 的值即可．【解答】解：＝，2（2x +1）＝mx ，4x +2＝mx ，（4﹣m ）x ＝﹣2，∵方程无解，∴4﹣m ＝0或2x +1＝0，即4﹣m ＝0或x ＝﹣＝﹣，∴m ＝4或m ＝0，故选：D ．20．（2022•黄石）已知关于x 的方程()1111++=++x x ax x x 的解为负数，则a 的取值范围是．【分析】先求整式方程的解，然后再解不等式组即可，需要注意分式方程的分母不为0．【解答】解：去分母得：x +1+x ＝x +a ，解得：x ＝a ﹣1，∵分式方程的解为负数，∴a ﹣1＜0且a ﹣1≠0且a ﹣1≠﹣1，∴a ＜1且a ≠0，∴a 的取值范围是a ＜1且a ≠0，故答案为：a ＜1且a ≠0．21．（2022•齐齐哈尔）若关于x 的分式方程4222212-+=++-x mx x x 的解大于1，则m 的取值范围是．【解答】解：，给分式方程两边同时乘以最简公分母（x +2）（x ﹣2），得（x +2）+2（x ﹣2）＝x +2m ，去括号，得x +2+2x ﹣4＝x +2m ，解方程，得x ＝m +1，检验：当m +1≠2，m +1≠﹣2，即m ≠1且m ≠﹣3时，x ＝m +1是原分式方程的解，根据题意可得，m +1＞1，∴m ＞0且m ≠1．知识回顾故答案为：m ＞0且m ≠1．22．（2022•泸州）若方程xx x -=+--23123的解使关于x 的不等式（2﹣a ）x ﹣3＞0成立，则实数a 的取值范围是．【分析】先解分式方程，再将x 代入不等式中即可求解．【解答】解：+1＝，+＝，＝0，解得：x ＝1，∵x ﹣2≠0，2﹣x ≠0，∴x ＝1是分式方程的解，将x ＝1代入不等式（2﹣a ）x ﹣3＞0，得：2﹣a ﹣3＞0，解得：a ＜﹣1，∴实数a 的取值范围是a ＜﹣1，故答案为：a ＜﹣1．考点二：分式方程之分式方程的应用1.列分式方程解实际应用题的步骤：①审题——仔细审题，找出题目中的等量关系。
方程应用--分式方程(解析版)-中考数学重难点题型专题汇总
方程应用-中考数学重难点题型专题汇总分式方程（专题训练）1．（2022·云南）某地开展建设绿色家园活动，活动期间，计划每天种植相同数量的树木，该活动开始后、实际每天比原计划每天多植树50棵，实际植树400棵所需时间与原计划植树300棵所需时间相同．设实际每天植树x棵．则下列方程正确的是（）A．40030050x x=-B．30040050x x=-C．40030050x x=+D．30040050x x=+【答案】B【分析】设实际平均每天植树x棵，则原计划每天植树（x-50）棵，根据：实际植树400棵所需时间=原计划植树300棵所需时间，这一等量关系列出分式方程即可．【详解】解：设现在平均每天植树x棵，则原计划每天植树（x-50）棵，根据题意，可列方程：30040050x x=-，故选：B．【点睛】此题考查了由实际问题列分式方程，关键在寻找相等关系，列出方程．2．（2022·山东泰安）某工程需要在规定时间内完成，如果甲工程队单独做，恰好如期完成；如果乙工程队单独做，则多用3天，现在甲、乙两队合做2天，剩下的由乙队单独做，恰好如期完成，求规定时间．如果设规定日期为x天，下面所列方程中错误的是（）A．2x1x x3+=+B．23x x3=+C．11x221x x3x3-⎛⎫+⨯+=⎪++⎝⎭D．1x1x x3+=+【答案】D【分析】设总工程量为1，因为甲工程队单独去做，恰好能如期完成，所以甲的工作效率为1x；因为乙工程队单独去做，要超过规定日期3天，所以乙的工作效率为1x3+，根据甲、乙两队合做2天，剩下的由乙队独做，恰好在规定日期完成，列方程即可．【详解】解：设规定日期为x天，由题意可得，11x221 x x3x3-⎛⎫+⨯+=++⎝⎭，整理得2x1x x3+=+，或2x1x x3=-+或23x x3=+．则ABC选项均正确，故选：D．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．3．（2022·浙江丽水）某校购买了一批篮球和足球．已知购买足球的数量是篮球的2倍，购买足球用了5000元，购买篮球用了4000元，篮球单价比足球贵30元．根据题意可列方程50004000302x x=-，则方程中x 表示（）A ．足球的单价B ．篮球的单价C ．足球的数量D ．篮球的数量【答案】D 【分析】由50004000302x x=-的含义表示的是篮球单价比足球贵30元，从而可以确定x 的含义．【详解】解：由50004000302x x=-可得：由50002x 表示的是足球的单价，而4000x表示的是篮球的单价，x \表示的是购买篮球的数量，故选D【点睛】本题考查的是分式方程的应用，理解题意，理解方程中代数式的含义是解本题的关键．4.（2021·内蒙古鄂尔多斯市·中考真题）2020年疫情防控期间，鄂尔多斯市某电信公司为了满足全体员工的需要，花1万元购买了一批口罩，随着2021年疫情的缓解，以及各种抗疫物资充足的供应，每包口罩下降10元，电信公司又花6000元购买了一批口罩，购买的数量比2020年购买的数量还多100包，设2020年每包口罩为x 元，可列方程为（）A ．1600010010x x +=-B ．10000600010010x x -=+C ．10000600010010x x =--D ．10000600010010x x -=-【答案】C 【分析】根据题中等量关系“2021年购买的口罩数量比2020年购买的口罩数量多100包”即可列出方程．【详解】解：设2020年每包口罩x 元，则2021年每包口罩（x -10）元．根据题意，得，60001000010010x x-=-．即：100006000=10010x x --．故选：C【点睛】本题考查了列分式方程的知识点，寻找已知量和未知量之间的等量关系是列出方程的关键．5．（山东省淄博市2021年中考数学试题）甲、乙两人沿着总长度为10km的“健身步道”健步走，甲的速度是乙的1.2倍，甲比乙提前12分钟走完全程．设乙的速度为km/hx，则下列方程中正确的是（）A．1010121.2x x-=B．10100.21.2x x-=C．1010121.2x x-=D．10100.21.2x x-=【答案】D【分析】根据题意可直接进行求解．【详解】解：由题意得：10100.21.2x x-=；故选D．【点睛】本题主要考查分式方程的应用，熟练掌握分式方程的应用是解题的关键．6.（2020•长沙）随着5G网络技术的发展，市场对5G产品的需求越来越大，为满足市场需求，某大型5G产品生产厂家更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产30万件产品，现在生产500400万件产品所需时间相同．设更新技术前每天生产x万件产品，依题意得（）A．400K30=500B．400=500r30C．400=500K30D．400r30=500【分析】设更新技术前每天生产x万件产品，则更新技术后每天生产（x+30）万件产品，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合现在生产500万件产品所需时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同，即可得出关于x的分式方程，此题得解．【解析】设更新技术前每天生产x万件产品，则更新技术后每天生产（x+30）万件产品，依题意，得：400=500r30．故选：B．7.（2020•福建）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（）A．3（x﹣1）=6210B．6210K1=3C．3x﹣1=6210D．6210=3【分析】根据单价＝总价÷数量结合少拿一株椽后剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，即可得出关于x的分式方程，此题得解．【解析】依题意，得：3（x﹣1）=6210．故选：A．8.（2020•辽阳）随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3000件提高到4200件，平均每人每周比原来多投递80件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件x件，根据题意可列方程为（）A．3000=4200K80B．3000+80=4200 C．4200=3000−80D．3000=4200r80x件，则现在平均每人每周投递快件（x+80）件，根据人数＝投递快递总数量÷人均投递数量结合快递公司的快递员人数不变，即可得出关于x 的分式方程，此题得解．【解析】设原来平均每人每周投递快件x件，则现在平均每人每周投递快件（x+80）件，依题意，得：3000=4200r80．故选：D．9.（2020•自贡）某工程队承接了80万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了35%，结果提前40天完成了这一任务．设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则下面所列方程中正确的是（）A．80(1+35%)−80=40B．80(1+35%)−80=40 C．80−80(1+35%)=40D．80−80(1+35%)=40【分析】设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则原计划每天绿化的面积为1+35%万平方米，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合实际比原计划提前40天完成了这一任务，即可得出关于x 的分式方程，此题得解．【解析】设实际工作时每天绿化的面积为x 万平方米，则原计划每天绿化的面积为1+35%万平方米，依题意，得：801+35%−80=40，即80(1+35%)−80=40．故选：A ．10.（2020•襄阳）在襄阳市创建全国文明城市的工作中，市政部门绿化队改进了对某块绿地的灌浇方式．改进后，现在每天用水量是原来每天用水量的45，这样120吨水可多用3天，求现在每天用水量是多少吨？【分析】设原来每天用水量是x 吨，则现在每天用水量是45吨，根据现在120吨水比以前可多用3天，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论．【解析】设原来每天用水量是x 吨，则现在每天用水量是45x 吨，依题意，得：12045−120=3，解得：x ＝10，经检验，x ＝10∴45x ＝8．答：现在每天用水量是8吨．11.（2021·山东东营市·中考真题）某地积极响应“把绿水青山变成金山银山，用绿色杠杆撬动经济转型”发展理念，开展荒山绿化，打造美好家园，促进旅游发展．某工程队承接了90万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了任务．设原计划每天绿化的面积为x 万平方米，则所列方程为________．【答案】()909030125%x x-=+【分析】原计划每天绿化的面积为x 万平方米，则实际每天绿化的面积为()125%x +万平方米，根据工作时间=工作总量÷工作效率，结合实际比原计划提前30天完成了这一任务，即可列出关于x 的分式方程．【详解】设原计划每天绿化的面积为x 万平方米，则实际每天绿化的面积为()125%x +万平方米，依据题意：()909030125%x x-=+故答案为：()909030125%x x-=+【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．12.（2021·辽宁本溪市·中考真题）为了弘扬我国书法艺术，培养学生良好的书写能力，某校举办了书法比赛，学校准备为获奖同学颁奖．在购买奖品时发现，A 种奖品的单价比B 种奖品的单价多10元，用300元购买A 种奖品的数量与用240元购买B 种奖品的数量相同．设B 种奖品的单价是x 元，则可列分式方程为________．【答案】30024010x x=+【分析】设B 种奖品的单价为x 元，则A 种奖品的单价为（x+10）元，利用数量=总价÷单价，结合用300元购买A 种奖品的件数与用240元购买B 种奖品的件数相同，即可得出关于x 的分式方程．【详解】解：设B 种奖品的单价为x 元，则A 种奖品的单价为（x+10）元，依题意得：30024010x x =+，故答案为：30024010x x=+【点睛】本题考查了根据实际问题列分式方程，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程．13．（2022·江西）甲、乙两人在社区进行核酸采样，甲每小时比乙每小时多采样10人，甲采样160人所用时间与乙采样140人所用时间相等，甲、乙两人每小时分别采样多少人？设甲每小时采样x人，则可列分式方程为__________．【答案】16014010 x x=-【分析】先表示乙每小时采样（x-10）人，进而得出甲采样160人和乙采样140人所用的时间，再根据时间相等列出方程即可．【详解】根据题意可知乙每小时采样（x-10）人，根据题意，得16014010x x=-．故答案为：16014010x x=-．【点睛】本题主要考查了列分式方程，确定等量关系是列方程的关键．14.（2022·四川乐山）第十四届四川省运动会定于2022年8月8日在乐山市举办，为保证省运会期间各场馆用电设施的正常运行，市供电局为此进行了电力抢修演练．现抽调区县电力维修工人到20千米远的市体育馆进行电力抢修．维修工人骑摩托车先行出发，10分钟后，抢修车装载完所需材料再出发，结果他们同时到达体育馆，已知抢修车是摩托车速度的1.5倍，求摩托车的速度．【答案】摩托车的速度为40千米/时【分析】设摩托车的速度为x千米/时，则抢修车的速度为1.5x千米/时，根据抢修车比摩托车少用10分钟，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．【详解】解：设摩托车的速度为x千米/时，则抢修车的速度为1.5x千米/时，依题意，得：2020101.560x x-=，解得：x=40，经检验，x=40是所列方程的根，且符合题意，答：摩托车的速度为40千米/时．【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．15.（2022·重庆）在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐，甲、乙两骑行爱好者约定从A 地沿相同路线骑行去距A地30千米的B地，已知甲骑行的速度是乙的1.2倍．(1)若乙先骑行2千米，甲才开始从A地出发，则甲出发半小时恰好追上乙，求甲骑行的速度；(2)若乙先骑行20分钟，甲才开始从A地出发，则甲、乙恰好同时到达B地，求甲骑行的速度．【答案】(1)24/千米时(2)18千米/时【分析】（1）设乙的速度为x千米/时，则甲的速度为1.2x千米/时，根据甲出发半小时恰好追上乙列方程求解即可；（2）设乙的速度为x 千米/时，则甲的速度为1.2x 千米/时，根据甲、乙恰好同时到达B 地列方程求解即可．(1)解：设乙的速度为x 千米/时，则甲的速度为1.2x 千米/时，由题意得：0.5 1.20.52x x ⨯=+，解得：20x =，则1.224x =（千米/时），答：甲骑行的速度为24千米/时；(2)设乙的速度为x 千米/时，则甲的速度为1.2x 千米/时，由题意得：301303 1.2x x-=，解得15x =，经检验15x =是分式方程的解，则1.218x =（千米/时），答：甲骑行的速度为18千米/时．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用和分式方程的应用，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键．16.（2022·四川自贡）学校师生去距学校45千米的吴玉章故居开展研学活动，骑行爱好者张老师骑自行车先行2小时后，其余师生乘汽车出发，结果同时到达；已知汽车速度是自行车速度的3倍，求张老师骑车的速度．【答案】张老师骑车的速度为15千米/小时【分析】实际应用题的解题步骤“”，根据问题设未知数，找到题中等量关系张老师先走2小时，结果同时达到列分式方程，求解即可．【详解】解：设张老师骑车的速度为x 千米/小时，则汽车速度是3x 千米/小时，根据题意得：454523x x=+，解之得15x =，经检验15x =是分式方程的解，答：张老师骑车的速度为15千米/小时．【点睛】本题考查分式方程解实际应用题，根据问题设未知数，读懂题意，找到等量关系列出分式方程是解决问题的关键．17.（2022·江苏扬州）某中学为准备十四岁青春仪式，原计划由八年级（1）班的4个小组制作360面彩旗，后因1个小组另有任务，其余3个小组的每名学生要比原计划多做3面彩旗才能完成任务．如果这4个小组的人数相等，那么每个小组有学生多少名？【答案】每个小组有学生10名．【分析】设每个小组有学生x名，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果．【详解】解：设每个小组有学生x名，根据题意，得3603603 34-=x x，解这个方程，得x＝10，经检验，x＝10是原方程的根，∴每个小组有学生10名．【点睛】此题考查了分式方程的应用，弄清题意是解本题的关键．18.（2021·辽宁丹东市·中考真题）为落实“乡村振兴计划”的工作要求，某区政府计划对乡镇道路进行改造，安排甲、乙两个工程队完成，已知乙队比甲队每天少改造20米，甲队改造400米的道路与乙队改造300米的道路所用时间相同，求甲、乙两个工程队每天改造的道路长度分别是多少米？【答案】甲工程队每天改造的道路长度是80米，乙工程队每天改造的道路长度是60米．【分析】根据题意列出方程求解即可．【详解】解：设甲工程队每天改造的道路长度是x米，列方程得：40030020 x x=-，解得：x=80．80-20=60．答：甲工程队每天改造的道路长度是80米，乙工程队每天改造的道路长度是60米．【点睛】此题考查了分式方程应用题的解法，解题的关键是根据题意找到等量关系并列出方程．19．（2021·江苏徐州市·中考真题）某网店开展促销活动，其商品一律按8折销售，促销期间用400元在该网店购得某商品的数量较打折前多出2件．问：该商品打折前每件多少元？【答案】50【分析】该商品打折卖出x件，找到等量关系即可．【详解】解：该商品打折卖出x件4008400102x x ⋅=+解得x =8经检验：8x =是原方程的解，且符合题意∴商品打折前每件400=508元答：该商品打折前每件50元．【点睛】此题考查分式方程实际问题中的销售问题，找到等量关系是解题的关键．20.（2021·江苏常州市·中考真题）为落实节约用水的政策，某旅游景点进行设施改造，将手拧水龙头全部更换成感应水龙头．已知该景点在设施改造后，平均每天用水量是原来的一半，20吨水可以比原来多用5天，该景点在设施改造后平均每天用水多少吨？【答案】该景点在设施改造后平均每天用水2吨．【分析】设该景点在设施改造后平均每天用水x 吨，则原来平均每天用水2x 吨，列出分式方程，即可求解．【详解】解：设该景点在设施改造后平均每天用水x 吨，则原来平均每天用水2x 吨，由题意得：202052x x-=，解得：x =2，经检验：x =2是方程的解，且符合题意，答：该景点在设施改造后平均每天用水2吨．【点睛】本题主要考查分式方程的实际应用，找出等量关系，列出方程，是解题的关键．21.（2021·吉林长春市·中考真题）为助力乡村发展，某购物平台推出有机大米促销活动，其中每千克有机大米的售价仅比普通大米多2元，用420元购买的有机大米与用300元购买的普通大米的重量相同，求每千克有机大米的售价为多少元？【答案】每千克有机大米的售价为7元．【分析】设每千克有机大米的售价为x 元，则每千克普通大米的售价为（x -2）元，根据“用420元购买的有机大米与用300元购买的普通大米的重量相同”，列出分式方程，即可求解．【详解】解：设每千克有机大米的售价为x元，则每千克普通大米的售价为（x-2）元，根据题意得：4203002x x=-，解得：x=7，经检验：x=7是方程的解，且符合题意，答：每千克有机大米的售价为7元．【点睛】本题主要考查分式方程的实际应用，找准等量关系，列出分式方程，是解题的关键．22.（2021·辽宁营口市·中考真题）为增加学生阅读量，某校购买了“科普类”和“文学类”两种书籍，购买“科普类”图书花费了3600元，购买“文学类”图书花费了2700元，其中“科普类”图书的单价比“文学类”图书的单价多20%，购买“科普类”图书的数量比“文学类”图书的数量多20本．（1）求这两种图书的单价分别是多少元？（2）学校决定再次购买这两种图书共100本，且总费用不超过1600元，求最多能购买“科普类”图书多少本？【答案】（1）“文学类”图书的单价为15元，则“科普类”图书的单价为18元；（2）最多能购买“科普类”图书33本．【分析】（1）设“文学类”图书的单价为x元，则“科普类”图书的单价为1.2x元，根据数量＝总价÷单价，结合购买“科普类”“文学类”图书的数量多20本，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设能购买“科普类”图书m本，根据总价＝单价×数量，列出不等式，即可求解．【详解】解：（1）设“文学类”图书的单价为x元，则“科普类”图书的单价为1.2x元，依题意，得：3600270020 1.2x x-=，解得：x＝15，经检验，x＝15是所列分式方程的解，且符合题意，∴1.2x＝18．答：“文学类”图书的单价为15元，则“科普类”图书的单价为18元；（2）设能购买“科普类”图书m本，根据题意得：18m+15(100-m)≤1600，解得：1003m≤，∵m为整数，∴最多能购买“科普类”图书33本．【点睛】本题考查了分式方程的应用以及不等式的应用，找准数量关系，正确列出分式方程和一元一次不等式是解题的关键．23.（2021·山东济宁市·中考真题）某商场购进甲、乙两种商品共100箱，全部售完后，甲商品共盈利900元，乙商品共盈利400元，甲商品比乙商品每箱多盈利5元．（1）求甲、乙两种商品每箱各盈利多少元？（2）甲、乙两种商品全部售完后，该商场又购进一批甲商品，在原每箱盈利不变的前提下，平均每天可卖出100箱．如调整价格，每降价1元，平均每天可以多卖出20箱，那么当降价多少元时，该商场利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）甲种商品每箱盈利15元，则乙种商品每箱盈利10元；（2）当降价5元时，该商场利润最大，最大利润是2000元．【分析】（1）设甲种商品每箱盈利x元，则乙种商品每箱盈利（x-5）元，根据题意列出方程，解方程即可得出结论；（2）设甲种商品降价a20a箱，利润为w元，根据题意列出函数解析式，根据二次函数的性质求出函数的最值．【详解】解：（1）设甲种商品每箱盈利x元，则乙种商品每箱盈利（x-5）元，根据题意得：9004001005x x+=-，整理得：x2-18x+45=0，解得：x=15或x=3（舍去），经检验，x=15是原分式方程的解，符合实际，∴x-5=15-5=10（元），答：甲种商品每箱盈利15元，则乙种商品每箱盈利10元；（2）设甲种商品降价a元，则每天可多卖出20a箱，利润为w元，由题意得：w=（15-a）（100+20a）=-20a2+200a+1500=-20（a-5）2+2000，∵a=-20，当a=5时，函数有最大值，最大值是2000元，答：当降价5元时，该商场利润最大，最大利润是2000元．【点睛】本题考查了分式方程及二次函数的应用，解题的关键是理解题意，找出等量关系，准确列出分式方程及函数关系式．24.（2021·内蒙古中考真题）小刚家到学校的距离是1800米．某天早上，小刚到学校后发现作业本忘在家中，此时离上课还有20分钟，于是他立即按原路跑步回家，拿到作业本后骑自行车按原路返回学校．已知小刚骑自行车时间比跑步时间少用了4.5分钟，且骑自行车的平均速度是跑步的平均速度的1.6倍．（1）求小刚跑步的平均速度；（2）如果小刚在家取作业本和取自行车共用了3分钟，他能否在上课前赶回学校？请说明理由．【答案】（1）小刚跑步的平均速度为150米/分；（2）小刚不能在上课前赶回学校，见解析【分析】（1）根据题意，列出分式方程即可求得小刚的跑步平均速度；（2）先求出小刚跑步和骑自行车的时间，加上取作业本和取自行车的时间，与上课时间20分钟作比较即可．【详解】解：（1）设小刚跑步的平均速度为x米/分，则小刚骑自行车的平均速度为1.6x米/分，根据题意，得180018004.51.6x x+=，解这个方程，得150x=，经检验，150x=是所列方程的根，所以小刚跑步的平均速度为150米/分．（2）由（1）得小刚跑步的平均速度为150米/分，则小刚跑步所用时间为180012150=（分），骑自行车所用时间为12 4.57.5-=（分），在家取作业本和取自行车共用了3分，++=（分）．所以小刚从开始跑步回家到赶回学校需要127.5322.5>，因为22.520所以小刚不能在上课前赶回学校．【点睛】本题考查路程问题的分式方程，解题关键是明确题意，列出分式方程求解．25.（2020•广东）某社区拟建A，B两类摊位以搞活“地摊经济”，每个A类摊位的占地面积比每个B类摊位的占地面积多2平方米．建A类摊位每平方米的费用为40元，建B类摊位每平方米的费用为30元．用60平方米建A类摊位的个数恰好是用同样面积建B类摊位个数的35．（1）求每个A，B类摊位占地面积各为多少平方米？（2）该社区拟建A，B两类摊位共90个，且B类摊位的数量不少于A类摊位数量的3倍．求建造这90个摊位的最大费用．【分析】（1）设每个B类摊位的占地面积为x平方米，则每个A类摊位占地面积为（x+2）平方米，根据用60平方米建A类摊位的个数恰好是用同样面积建B类摊位个数的35这个等量关系列出方程即可．（2）设建A摊位a个，则建B90﹣a）个，结合“B类摊位的数量不少于A类摊位数量的3倍”列出不等式并解答．【解析】（1）设每个B类摊位的占地面积为x平方米，则每个A类摊位占地面积为（x+2）平方米，根据题意得：60r2=60⋅35，解得：x＝3，经检验x＝3是原方程的解，所以3+2＝5，答：每个A类摊位占地面积为5平方米，每个B类摊位的占地面积为3平方米；（2）设建A摊位a个，则建B摊位（90﹣a）个，由题意得：90﹣a≥3a，解得a≤22.5，∵建A类摊位每平方米的费用为40元，建B类摊位每平方米的费用为30元，∴要想使建造这90个摊位有最大费用，所以要多建造A类摊位，即a取最大值22时，费用最大，此时最大费用为：22×40×5+30×（90﹣22）×3＝10520，答：建造这90个摊位的最大费用是10520元．26.（2020•牡丹江）某商场准备购进A，B两种书包，每个A种书包比B种书包的进价少20元，用700元购进A种书包的个数是用450元购进B种书包个数的2倍，A种书包每个标价是90元，B种书包每个标价是130元．请解答下列问题：（1）A，B两种书包每个进价各是多少元？（2）若该商场购进B种书包的个数比A种书包的2倍还多5个，且A种书包不少于18个，购进A，B两种书包的总费用不超过5450元，则该商场有哪几种进货方案？（3）该商场按（2）中获利最大的方案购进书包，在销售前，拿出5个书包赠送给某希望小学，剩余的书包全部售出，其中两种书包共有4个样品，每种样品都打五折，商场仍获利1370元．请直接写出赠送的书包和样品中，B种书包各有几个？【分析】（1）设每个A种书包的进价为x元，则每个B种书包的进价为（x+20）元，根据数量＝总价÷单价结合用700元购进A种书包的个数是用450元购进B种书包个数的2倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设该商场购进m个A种书包，则购进（2m+5）个B种书包，根据购进A，B两种书包的总费用不超过5450元且A种书包不少于18个，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数即可得出各进货方案；（3）设销售利润为w元，根据总利润＝销售每个书包的利润×销售数量，即可得出w关于m的函数关系式，利用一次函数的性质可得出获得利润最大的进货方案，设赠送的书包中B 种书包有a个，样品中B种书包有b个，则赠送的书包中A种书包有（5﹣a）个，样品中A 种书包有（4﹣b）个，根据利润＝销售收入﹣成本，即可得出关于a，b的二元一次方程，结合a，b，（5﹣a），（4﹣b）均为正整数，即可求出结论．【解析】（1）设每个A种书包的进价为x元，则每个B种书包的进价为（x+20）元，依题意，得：700=2×450r20，。
中考数学专题复习4分式、分式方程及一元二次方程(解析版)
分式、分式方程及一元二次方程复习考点攻略考点01 一元一次方程相关概念1．等式的性质：（1）等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式.所得的结果仍是等式． （2）等式两边都乘以（或除以）同一个不等于零的数.所得的结果仍是等式．2．一元一次方程：只含有一个未知数.并且未知数的次数为1.这样的整式方程叫做一元一次方程．它的一般形式为0(0)ax b a +=≠． 【注意】x 前面的系数不为0．3．一元一次方程的解:使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解． 4. 一元一次方程的求解步骤：步骤 解释去分母 在方程两边都乘以各分母的最小公倍数 去括号 先去小括号.再去中括号.最后去大括号移项 把含有未知数的项都移到方程的一边.其他项都移到方程的另一边 合并同类项 把方程化成ax b =-的形式系数化成1在方程两边都除以未知数的系数a .得到方程的解为bx a=-【注意】解方程时移项容易忘记改变符号而出错.要注意解方程的依据是等式的性质.在等式两边同时加上或减去一个代数式时.等式仍然成立.这也是“移项”的依据．移项本质上就是在方程两边同时减去这一项.此时该项在方程一边是0.而另一边是它改变符号后的项.所以移项必须变号． 【例 1】若()2316m m x --=是一元一次方程,则m 等于（ ）A ．1B ．2C ．1或2D ．任何数【答案】B【解析】根据一元一次方程最高次为一次项.得│2m −3│=1.解得m =2或m =1. 根据一元一次方程一次项的系数不为0,得m −1≠0,解得m ≠1.所以m =2. 故选B.【例 2】关于x 的方程211-20m mx m x +﹣（﹣）＝如果是一元一次方程.则其解为_____．【答案】2x ＝或2x =-或x =-3．【解析】解：关于x 的方程21120m mx m x +﹣（﹣）﹣＝如果是一元一次方程.211m ∴﹣＝.即1m ＝或0m ＝.方程为20x ﹣＝或20x --＝.解得：2x ＝或2x =-.当2m -1=0.即m =12时.方程为112022x --=解得：x =-3. 故答案为x =2或x =-2或x =-3． 【例 3】解方程：221123x x x ---=- 【答案】27x =【解析】解： 221123x x x ---=-()()6326221x x x --=-- 636642x x x -+=-+ 634662x x x -+=-+ 72x = 27x =考点02 二元一次方程组相关概念1．二元一次方程：含有2个未知数.并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程．2．二元一次方程的解：使二元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做二元一次方程的解． 3．二元一次方程组：由两个二元一次方程组成的方程组叫二元一次方程组．方程组中同一个字母代表同一个量.其一般形式为111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩．4．二元一次方程组的解法：（1）代入消元法：将方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来.并代入另一个方程中.消去一个未知数.化二元一次方程组为一元一次方程．（2）加减消元法：将方程组中两个方程通过适当变形后相加（或相减）消去其中一个未知数.化二元一次方程组为一元一次方程．5. 列方程（组）解应用题的一般步骤：（1）审题；（2）设出未知数；（3）列出含未知数的等式——方程；（4）解方程（组）；（5）检验结果；（6）作答（不要忽略未知数的单位名称）6. 一元一次方程（组）的应用：（1）销售打折问题：利润=售价-成本价；利润率=利润成本×100％；售价=标价×折扣；销售额=售价×数量．（2）储蓄利息问题：利息=本金×利率×期数；本息和=本金+利息=本金×(1+利率×期数)；贷款利息=贷款额×利率×期数．（3）工程问题：工作量=工作效率×工作时间． （4）行程问题：路程=速度×时间．（5）相遇问题：全路程=甲走的路程+乙走的路程．（6）追及问题一（同地不同时出发）：前者走的路程=追者走的路程．（7）追及问题二（同时不同地出发）：前者走的路程+两地间距离=追者走的路程． （8）水中航行问题：顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度． （9）飞机航行问题：顺风速度=静风速度+风速度；逆风速度=静风速度-风速度． 【例 4】已知－2x m －1y 3与12x n y m ＋n 是同类项.那么(n －m )2 012＝______【答案】1【解析】由于－2x m －1y 3与12x n y m ＋n 是同类项.所以有由m －1＝n .得－1＝n －m .所以(n －m )2 012＝(－1)2 012＝1.【例5】如图X2－1－1.直线l 1：y ＝x ＋1与直线l 2：y ＝mx ＋n 相交于点P (1.b )．(1)求b 的值．(2)不解关于x .y 的方程组请你直接写出它的解．(3)直线l 3：y ＝nx ＋m 是否也经过点P ？请说明理由．【答案】（1）2.（2）⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.（3）见解析【解析】解：(1)当x ＝1时.y ＝1＋1＝2.∴b ＝2.(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2. (3)∵直线l 1：y ＝x ＋1与直线l 2：y ＝mx ＋n 相交于点P (1.b ).∴当x ＝1时.y ＝m＋n ＝b ＝2.∴ 当x ＝1时.y ＝n ＋m ＝2.∴直线l 3：y ＝nx ＋m 也经过点P .【例6】家电下乡是我国应对当前国际金融危机.惠农强农.带动工业生产.促进消费.拉动内需的一项重要举措。
最新2019-2020年度人教版八年级数学上册《分式方程应用题》综合测试卷及解析-精品试题
15.3 分式方程一、解答题1．某工厂一台机器的工作效率相当于一个工人工作效率的12倍，用这台机器生产60个零件比8个工人生产这些零件少用2小时，则这台机器每小时生产多少个零件？2．列分式方程解应用题：为绿化环境，某校在3月12日组织七、八年级学生植树．在植树过程中，八年级学生比七年级学生每小时多植10棵树，八年级学生植120棵树与七年级学生植100棵树所用时间相等，七年级学生和八年级学生每小时分别植多少棵树？3．某水果店老板用400元购进一批葡萄，由于葡萄新鲜，很快售完，老板又用500元购进第二批葡萄，所购数量与第一批相同，但每千克比第一批多了2元．（1）求：第一批葡萄进价每千克多少元？（请列方程求解）（2）若水果店老板以每千克11元的价格将两批葡萄全部售出，可以盈利多少元？4．为了进一步落实“节能减排”措施，冬季供暖来临前，某单位决定对7200平方米的“外墙保温”工程进行招标，现有甲、乙两个工程队参与投标，比较这两个工程队的标书发现：乙队每天完成的工程量是甲队的1.5倍，这样乙队单独干比甲队单独干能提前15天完成任务．问甲队每天完成多少平方米？5．某超市用3000元购进某种干果销售，由于销售状况良好，超市又调拨9000元资金购进该种干果，但这次的进价比第一次的进价提高了20%，购进干果数量是第一次的2倍还多300千克，如果超市按每千克9元的价格出售，当大部分干果售出后，余下的600千克按售价的8折售完．（1）该种干果的第一次进价是每千克多少元？（2）超市销售这种干果共盈利多少元？6．某文具厂计划加工3000套画图工具，为了尽快完成任务，实际每天加工画图工具的数量是原计划的1.2倍，结果提前4天完成任务，求该文具厂原计划每天加工这种画图工具的数量．7．济宁市“五城同创”活动中，一项绿化工程由甲、乙两工程队承担．已知甲工程队单独完成这项工作需120天，甲工程队单独工作30天后，乙工程队参与合做，两队又共同工作了36天完成．（1）求乙工程队单独完成这项工作需要多少天？（2）因工期的需要，将此项工程分成两部分，甲做其中一部分用了x天完成，乙做另一部分用了y 天完成，其中x、y均为正整数，且x＜46，y＜52，求甲、乙两队各做了多少天？8．某校为美化校园，计划对面积为1800m2的区域进行绿化，安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的2倍，并且在独立完成面积为400m2区域的绿化时，甲队比乙队少用4天．（1）求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少m2？（2）若学校每天需付给甲队的绿化费用为0.4万元，乙队为0.25万元，要使这次的绿化总费用不超过8万元，至少应安排甲队工作多少天？9．荣庆公司计划从商店购买同一品牌的台灯和手电筒，已知购买一个台灯比购买一个手电筒多用20元，若用400元购买台灯和用160元购买手电筒，则购买台灯的个数是购买手电筒个数的一半．（1）求购买该品牌一个台灯、一个手电筒各需要多少元？（2）经商谈，商店给予荣庆公司购买一个该品牌台灯赠送一个该品牌手电筒的优惠，如果荣庆公司需要手电筒的个数是台灯个数的2倍还多8个，且该公司购买台灯和手电筒的总费用不超过670元，那么荣庆公司最多可购买多少个该品牌台灯？10．某漆器厂接到制作480件漆器的订单，为了尽快完成任务，该厂实际每天制作的件数比原来每天多50%，结果提前10天完成任务．原来每天制作多少件？11．学校计划选购甲、乙两种图书作为“校园读书节”的奖品．已知甲图书的单价是乙图书单价的1.5倍；用600元单独购买甲种图书比单独购买乙种图书要少10本．（1）甲、乙两种图书的单价分别为多少元？（2）若学校计划购买这两种图书共40本，且投入的经费不超过1050元，要使购买的甲种图书数量不少于乙种图书的数量，则共有几种购买方案？12．某汽车销售公司经销某品牌A款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降．今年5月份A 款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的A款汽车，去年销售额为100万元，今年销售额只有90万元．（1）今年5月份A款汽车每辆售价多少万元？（2）为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的B款汽车，已知A款汽车每辆进价为7.5万元，B款汽车每辆进价为6万元，公司预计用不多于105万元且不少于99万元的资金购进这两款汽车共15辆，有几种进货方案？（3）如果B款汽车每辆售价为8万元，为打开B款汽车的销路，公司决定每售出一辆B款汽车，返还顾客现金a万元，要使（2）中所有的方案获利相同，a值应是多少？此时，哪种方案对公司更有利？13．某商场销售的一款空调机每台的标价是1635元，在一次促销活动中，按标价的八折销售，仍可盈利9%．（1）求这款空调每台的进价（利润率==）．（2）在这次促销活动中，商场销售了这款空调机100台，问盈利多少元？14．甲、乙两座城市的中心火车站A，B两站相距360km．一列动车与一列特快列车分别从A，B 两站同时出发相向而行，动车的平均速度比特快列车快54km/h，当动车到达B站时，特快列车恰好到达距离A站135km处的C站．求动车和特快列车的平均速度各是多少？15．几个小伙伴打算去音乐厅观看演出，他们准备用360元钱购买门票．下面是两个小伙伴的对话：根据对话的内容，请你求出小伙伴们的人数．16．从广州到某市，可乘坐普通列车或高铁，已知高铁的行驶路程是400千米，普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的1.3倍．（1）求普通列车的行驶路程；（2）若高铁的平均速度（千米/时）是普通列车平均速度（千米/时）的2.5倍，且乘坐高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3小时，求高铁的平均速度．17．马小虎的家距离学校1800米，一天马小虎从家去上学，出发10分钟后，爸爸发现他的数学课本忘记拿了，立即带上课本去追他，在距离学校200米的地方追上了他，已知爸爸的速度是马小虎速度的2倍，求马小虎的速度．18．某服装商预测一种应季衬衫能畅销市场，就用8000元购进一批衬衫，面市后果然供不应求，服装商又用17600元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进数量的2倍，但单价贵了8元．商家销售这种衬衫时每件定价都是100元，最后剩下10件按8折销售，很快售完．在这两笔生意中，商家共盈利多少元？19．端午节期间，某食堂根据职工食用习惯，用700元购进甲、乙两种粽子260个，其中甲粽子比乙种粽子少用100元，已知甲种粽子单价比乙种粽子单价高20%，乙种粽子的单价是多少元？甲、乙两种粽子各购买了多少个？20．某校枇杷基地的枇杷成熟了，准备请专业摘果队帮忙摘果，现有甲、乙两支专业摘果队，若由甲队单独摘果，预计6天才能完成，为了减少枇杷因气候变化等原因带来的损失，现决定由甲、乙两队同时摘果，则2天可以完成，请问：（1）若单独由乙队摘果，需要几天才能完成？（2）若有三种摘果方案，方案1：单独请甲队；方案2：同时请甲、乙两队；方案3：单独请乙队．甲队每摘果一天，需支付给甲队1000元工资，乙队每摘果一天，须支付给乙队1600元工资，你认为用哪种方案完成所有摘果任务需支付给摘果队的总工资最低？最低总工资是多少元？21．某市区一条主要街道的改造工程有甲、乙两个工程队投标．经测算：若由两个工程队合做，12天恰好完成；若两个队合做9天后，剩下的由甲队单独完成，还需5天时间，现需从这两个工程队中选出一个队单独完成，从缩短工期角度考虑，你认为应该选择哪个队？为什么？22．杨梅是漳州的特色时令水果，杨梅一上市，水果店的老板用1200元购进一批杨梅，很快售完；老板又用2500元购进第二批杨梅，所购件数是第一批的2倍，但进价比第一批每件多了5元．（1）第一批杨梅每件进价多少元？（2）老板以每件150元的价格销售第二批杨梅，售出80%后，为了尽快售完，决定打折促销，要使第二批杨梅的销售利润不少于320元，剩余的杨梅每件售价至少打几折？（利润=售价﹣进价）23．某校选派一部分学生参加“六盘水市马拉松比赛”，要为每位参赛学生购买一顶帽子．商场规定：凡一次性购买200顶或200顶以上，可按批发价付款；购买200顶以下只能按零售价付款．如果为每位参赛学生购买1顶，那么只能按零售价付款，需用900元；如果多购买45顶，那么可以按批发价付款，同样需用900元．问：（1）参赛学生人数x在什么范围内？（2）若按批发价购买15顶与按零售价购买12顶的款相同，那么参赛学生人数x是多少？24．某“爱心义卖”活动中，购进甲、乙两种文具，甲每个进货价高于乙进货价10元，90元买乙的数量与150元买甲的数量相同．（1）求甲、乙进货价；（2）甲、乙共100件，将进价提高20%进行销售，进货价少于2080元，销售额要大于2460元，求有几种方案？25．甲、乙两人准备整理一批新到的图书，甲单独整理需要40分钟完工；若甲、乙共同整理20分钟后，乙需再单独整理30分钟才能完工．问乙单独整理这批图书需要多少分钟完工？26．2014年12月26日，西南真正意义上的第一条高铁﹣贵阳至广州高速铁路将开始试运行，从贵阳到广州，乘特快列车的行程约为1800km，高铁开通后，高铁列车的行程约为860km，运行时间比特快列车所用的时间减少了16h．若高铁列车的平均速度是特快列车平均速度的2.5倍，求特快列车的平均速度．27．为弘扬中华民族传统文化，某校举办了“古诗文大赛”，并为获奖同学购买签字笔和笔记本作为奖品．1支签字笔和2个笔记本共8.5元，2支签字笔和3个笔记本共13.5元．（1）求签字笔和笔记本的单价分别是多少元？（2）为了激发学生的学习热情，学校决定给每名获奖同学再购买一本文学类图书，如果给每名获奖同学都买一本图书，需要花费720元；书店出台如下促销方案：购买图书总数超过50本可以享受8折优惠．学校如果多买12本，则可以享受优惠且所花钱数与原来相同．问学校获奖的同学有多少人？28．国家实施高效节能电器的财政补贴政策，某款空调在政策实施后．每购买一台，客户每购买一台可获得补贴500元．若同样用11万元所购买此款空调，补贴后可购买的台数比补贴前前多20%，则该款空调补贴前的售价为每台多少元？29．为了保护环境，某开发区综合治理指挥部决定购买A，B两种型号的污水处理设备共10台．已知用90万元购买A型号的污水处理设备的台数与用75万元购买B型号的污水处理设备的台数相同，每台设备价格及月处理污水量如下表所示：污水处理设备A型B型价格（万元/台）m m﹣3月处理污水量（吨/台）220 180（1）求m的值；（2）由于受资金限制，指挥部用于购买污水处理设备的资金不超过165万元，问有多少种购买方案？并求出每月最多处理污水量的吨数．30．列方程或方程组解应用题：小马自驾私家车从A地到B地，驾驶原来的燃油汽车所需油费108元，驾驶新购买的纯电动车所需电费27元，已知每行驶1千米，原来的燃油汽车所需的油费比新购买的纯电动汽车所需的电费多0.54元，求新购买的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费．15.3 分式方程参考答案一、解答题1．某工厂一台机器的工作效率相当于一个工人工作效率的12倍，用这台机器生产60个零件比8个工人生产这些零件少用2小时，则这台机器每小时生产多少个零件？【解答】解：设一个工人每小时生产零件x个，则机器一个小时生产零件12x个，由题意得，﹣=2，解得：x=1.25，经检验：x=1.25是原分式方程的解，且符合题意，则12x=12×1.25=15．即这台机器每小时生产15个零件．故答案为：15．2．列分式方程解应用题：为绿化环境，某校在3月12日组织七、八年级学生植树．在植树过程中，八年级学生比七年级学生每小时多植10棵树，八年级学生植120棵树与七年级学生植100棵树所用时间相等，七年级学生和八年级学生每小时分别植多少棵树？【解答】解：设七年级学生每小时植x棵，则八年级每小时植（x+10）棵，由题意得：=，解得：x=50，经检验：x=50是原分式方程的解，则x+10=50+10=60，答：七年级学生每小时植50棵，则八年级每小时植60棵．3．某水果店老板用400元购进一批葡萄，由于葡萄新鲜，很快售完，老板又用500元购进第二批葡萄，所购数量与第一批相同，但每千克比第一批多了2元．（1）求：第一批葡萄进价每千克多少元？（请列方程求解）（2）若水果店老板以每千克11元的价格将两批葡萄全部售出，可以盈利多少元？【解答】解：（1）设第一批葡萄进价每千克x元，则第二批葡萄的进价为（x+2）元，依题意得，，解得：x=8，经检验，x=8是原方程的解，且符合题意．答：第一批葡萄进价每千克8元．（2）由题意，得第一批的数量为：，50×2×11﹣（400+500）=200答：可盈利200元．4．为了进一步落实“节能减排”措施，冬季供暖来临前，某单位决定对7200平方米的“外墙保温”工程进行招标，现有甲、乙两个工程队参与投标，比较这两个工程队的标书发现：乙队每天完成的工程量是甲队的1.5倍，这样乙队单独干比甲队单独干能提前15天完成任务．问甲队每天完成多少平方米？【解答】解：设甲队每天完成x米2，乙队每天完成1.5 x米2，根据题意得．﹣=15，解得x=160，经检验，x=160，是所列方程的解．答：甲队每天完成160米2．5．某超市用3000元购进某种干果销售，由于销售状况良好，超市又调拨9000元资金购进该种干果，但这次的进价比第一次的进价提高了20%，购进干果数量是第一次的2倍还多300千克，如果超市按每千克9元的价格出售，当大部分干果售出后，余下的600千克按售价的8折售完．（1）该种干果的第一次进价是每千克多少元？（2）超市销售这种干果共盈利多少元？【解答】解：（1）设该种干果的第一次进价是每千克x元，则第二次进价是每千克（1+20%）x元，由题意，得=2×+300，解得x=5，经检验x=5是方程的解．答：该种干果的第一次进价是每千克5元；（2）[+﹣600]×9+600×9×80%﹣（3000+9000）=（600+1500﹣600）×9+4320﹣12000=1500×9+4320﹣12000=13500+4320﹣12000=5820（元）．答：超市销售这种干果共盈利5820元．6．某文具厂计划加工3000套画图工具，为了尽快完成任务，实际每天加工画图工具的数量是原计划的1.2倍，结果提前4天完成任务，求该文具厂原计划每天加工这种画图工具的数量．【解答】解：设文具厂原计划每天加工x套这种画图工具．根据题意，得﹣=4．解得x=125．经检验，x=125是原方程的解，且符合题意．答：文具厂原计划每天加工125套这种画图工具．7．济宁市“五城同创”活动中，一项绿化工程由甲、乙两工程队承担．已知甲工程队单独完成这项工作需120天，甲工程队单独工作30天后，乙工程队参与合做，两队又共同工作了36天完成．（1）求乙工程队单独完成这项工作需要多少天？（2）因工期的需要，将此项工程分成两部分，甲做其中一部分用了x天完成，乙做另一部分用了y 天完成，其中x、y均为正整数，且x＜46，y＜52，求甲、乙两队各做了多少天？【解答】解：（1）设乙工程队单独完成这项工作需要a天，由题意得+36（）=1，解之得a=80，经检验a=80是原方程的解．答：乙工程队单独做需要80天完成；（2）∵甲队做其中一部分用了x天，乙队做另一部分用了y天，∴=1即y=80﹣x，又∵x＜46，y＜52，∴，解得42＜x＜46，∵x、y均为正整数，∴x=45，y=50，答：甲队做了45天，乙队做了50天．8．某校为美化校园，计划对面积为1800m2的区域进行绿化，安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的2倍，并且在独立完成面积为400m2区域的绿化时，甲队比乙队少用4天．（1）求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少m2？（2）若学校每天需付给甲队的绿化费用为0.4万元，乙队为0.25万元，要使这次的绿化总费用不超过8万元，至少应安排甲队工作多少天？【解答】解：（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是x（m2），根据题意得：﹣=4，解得：x=50，经检验x=50是原方程的解，则甲工程队每天能完成绿化的面积是50×2=100（m2），答：甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是100m2、50m2；（2）设应安排甲队工作y天，根据题意得：0.4y+×0.25≤8，解得：y≥10，答：至少应安排甲队工作10天．9．荣庆公司计划从商店购买同一品牌的台灯和手电筒，已知购买一个台灯比购买一个手电筒多用20元，若用400元购买台灯和用160元购买手电筒，则购买台灯的个数是购买手电筒个数的一半．（1）求购买该品牌一个台灯、一个手电筒各需要多少元？（2）经商谈，商店给予荣庆公司购买一个该品牌台灯赠送一个该品牌手电筒的优惠，如果荣庆公司需要手电筒的个数是台灯个数的2倍还多8个，且该公司购买台灯和手电筒的总费用不超过670元，那么荣庆公司最多可购买多少个该品牌台灯？【解答】解：（1）设购买该品牌一个手电筒需要x元，则购买一个台灯需要（x+20）元．根据题意得=×解得x=5经检验，x=5是原方程的解．所以x+20=25．答：购买一个台灯需要25元，购买一个手电筒需要5元；（2）设公司购买台灯的个数为a，则还需要购买手电筒的个数是（2a+8﹣a）由题意得25a+5（2a+8﹣a）≤670解得a≤21∴荣庆公司最多可购买21个该品牌的台灯．10．某漆器厂接到制作480件漆器的订单，为了尽快完成任务，该厂实际每天制作的件数比原来每天多50%，结果提前10天完成任务．原来每天制作多少件？【解答】解：设原来每天制作x件，根据题意得：﹣=10，解得：x=16，经检验x=16是原方程的解，答：原来每天制作16件．11．学校计划选购甲、乙两种图书作为“校园读书节”的奖品．已知甲图书的单价是乙图书单价的1.5倍；用600元单独购买甲种图书比单独购买乙种图书要少10本．（1）甲、乙两种图书的单价分别为多少元？（2）若学校计划购买这两种图书共40本，且投入的经费不超过1050元，要使购买的甲种图书数量不少于乙种图书的数量，则共有几种购买方案？【解答】解：（1）设乙种图书的单价为x元，则甲种图书的单价为1.5x元，由题意得﹣=10解得：x=20则1.5x=30，经检验得出：x=20是原方程的根，答：甲种图书的单价为30元，乙种图书的单价为20元；（2）设购进甲种图书a本，则购进乙种图书（40﹣a）本，根据题意得解得：20≤a≤25，所以a=20、21、22、23、24、25，则40﹣a=20、19、18、17、16、15∴共有6种方案．12．某汽车销售公司经销某品牌A款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降．今年5月份A 款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的A款汽车，去年销售额为100万元，今年销售额只有90万元．（1）今年5月份A款汽车每辆售价多少万元？（2）为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的B款汽车，已知A款汽车每辆进价为7.5万元，B款汽车每辆进价为6万元，公司预计用不多于105万元且不少于99万元的资金购进这两款汽车共15辆，有几种进货方案？（3）如果B款汽车每辆售价为8万元，为打开B款汽车的销路，公司决定每售出一辆B款汽车，返还顾客现金a万元，要使（2）中所有的方案获利相同，a值应是多少？此时，哪种方案对公司更有利？【解答】解：（1）设今年5月份A款汽车每辆售价m万元．则：，解得：m=9．经检验，m=9是原方程的根且符合题意．答：今年5月份A款汽车每辆售价9万元；（2）设购进A款汽车x辆．则：99≤7.5x+6（15﹣x）≤105．解得：6≤x≤10．∵x的正整数解为6，7，8，9，10，∴共有5种进货方案；（3）设总获利为W万元，购进A款汽车x辆，则：W=（9﹣7.5）x+（8﹣6﹣a）（15﹣x）=（a﹣0.5）x+30﹣15a．当a=0.5时，（2）中所有方案获利相同．此时，购买A款汽车6辆，B款汽车9辆时对公司更有利．13．某商场销售的一款空调机每台的标价是1635元，在一次促销活动中，按标价的八折销售，仍可盈利9%．（1）求这款空调每台的进价（利润率==）．（2）在这次促销活动中，商场销售了这款空调机100台，问盈利多少元？【解答】解：（1）设这款空调每台的进价为x元，根据题意得：=9%，解得：x=1200，经检验：x=1200是原方程的解．答：这款空调每台的进价为1200元；（2）商场销售这款空调机100台的盈利为：100×1200×9%=10800元．14．甲、乙两座城市的中心火车站A，B两站相距360km．一列动车与一列特快列车分别从A，B 两站同时出发相向而行，动车的平均速度比特快列车快54km/h，当动车到达B站时，特快列车恰好到达距离A站135km处的C站．求动车和特快列车的平均速度各是多少？【解答】解：设特快列车的平均速度为xkm/h，则动车的速度为（x+54）km/h，由题意，得：=，解得：x=90，经检验得：x=90是这个分式方程的解．x+54=144．答：特快列车的平均速度为90km/h，动车的速度为144km/h．15．几个小伙伴打算去音乐厅观看演出，他们准备用360元钱购买门票．下面是两个小伙伴的对话：根据对话的内容，请你求出小伙伴们的人数．【解答】解：设票价为x元，由题意得，=+2，解得：x=60，经检验，x=60是原分式方程的解．则小伙伴的人数为：=8．答：小伙伴们的人数为8人．16．从广州到某市，可乘坐普通列车或高铁，已知高铁的行驶路程是400千米，普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的1.3倍．（1）求普通列车的行驶路程；（2）若高铁的平均速度（千米/时）是普通列车平均速度（千米/时）的2.5倍，且乘坐高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3小时，求高铁的平均速度．【解答】解：（1）根据题意得：400×1.3=520（千米），答：普通列车的行驶路程是520千米；（2）设普通列车平均速度是x千米/时，则高铁平均速度是2.5x千米/时，根据题意得：﹣=3，解得：x=120，经检验x=120是原方程的解，则高铁的平均速度是120×2.5=300（千米/时），答：高铁的平均速度是300千米/时．17．马小虎的家距离学校1800米，一天马小虎从家去上学，出发10分钟后，爸爸发现他的数学课本忘记拿了，立即带上课本去追他，在距离学校200米的地方追上了他，已知爸爸的速度是马小虎速度的2倍，求马小虎的速度．【解答】解：设马小虎的速度为x米/分，则爸爸的速度是2x米/分，依题意得=+10，解得x=80．经检验，x=80是原方程的根．答：马小虎的速度是80米/分．18．某服装商预测一种应季衬衫能畅销市场，就用8000元购进一批衬衫，面市后果然供不应求，服装商又用17600元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进数量的2倍，但单价贵了8元．商家销售这种衬衫时每件定价都是100元，最后剩下10件按8折销售，很快售完．在这两笔生意中，商家共盈利多少元？【解答】解：设第一批进货的单价为x元，则第二批进货的单价为（x+8）元，由题意得，×2=，解得：x=80，经检验；x=80是原分式方程的解，且符合题意，则第一次进货100件，第二次进货的单价为88元，第二次进货200件，总盈利为：（100﹣80）×100+（100﹣88）×（200﹣10）+10×（100×0.8﹣88）=4200（元）．答：在这两笔生意中，商家共盈利4200元．19．端午节期间，某食堂根据职工食用习惯，用700元购进甲、乙两种粽子260个，其中甲粽子比乙种粽子少用100元，已知甲种粽子单价比乙种粽子单价高20%，乙种粽子的单价是多少元？甲、乙两种粽子各购买了多少个？【解答】解：设乙种粽子的单价是x元，则甲种粽子的单价为（1+20%）x元，由题意得，+=260，解得：x=2.5，经检验：x=2.5是原分式方程的解，（1+20%）x=3，则买甲粽子为：=100个，乙粽子为：=160个．答：乙种粽子的单价是2.5元，甲、乙两种粽子各购买100个、160个．20．（2014•永州）某校枇杷基地的枇杷成熟了，准备请专业摘果队帮忙摘果，现有甲、乙两支专业摘果队，若由甲队单独摘果，预计6天才能完成，为了减少枇杷因气候变化等原因带来的损失，现决定由甲、乙两队同时摘果，则2天可以完成，请问：（1）若单独由乙队摘果，需要几天才能完成？（2）若有三种摘果方案，方案1：单独请甲队；方案2：同时请甲、乙两队；方案3：单独请乙队．甲队每摘果一天，需支付给甲队1000元工资，乙队每摘果一天，须支付给乙队1600元工资，你认为用哪种方案完成所有摘果任务需支付给摘果队的总工资最低？最低总工资是多少元？【解答】解：（1）设单独由乙队摘果，需要x天才能完成，根据题意得：2（+）=1，解得：x=3，经检验x=3是分式方程的解，且符合题意，则单独由乙队完成需要3天才能完成；。
第8讲 等式性质与不等式性质6种题型(解析版)高一数学同步教学题型(人教A版2019必修第一册)
第8讲等式性质与不等式性质6种题型【考点分析】考点一：两个实数的加、乘运算结果的符号的性质：①两个同号实数相加，和的符号不变，即：0,00a b a b >>⇒+>；0,00a b a b <<⇒+<②两个同号实数相乘，积是正数，即：0,00a b ab >>⇒>；0,00a b ab <<⇒>③两个异号实数相乘，积是负数，即：0,00a b ab ><⇒<④任何实数的平方为非负数，0的平方为0，即：20x R x ∈⇒≥，200x x =⇔=.考点二：比较两个实数大小的方法①作差法：对任意两个实数a ,b1.0b a b a ->⇔>；2.0b a b a -<⇔<；3.0b a b a -=⇔=.②作商法：任意两个值为正的代数式a 、b ，可以作商a b ÷后比较ab与1的关系，进一步比较a 与b 的大小.1.1a a b b >⇔>；2.1a a b b <⇔<；3.1aa b b=⇔=.③中间量法：若a b >且b c >，则a c >，一般选择0或1为中间量.考点三：不等式的性质①基本性质有：1.对称性：a b b a >⇔<2.传递性：, a b b c a c >>⇒>3.可加性：a b a c b c >⇔+>+(c ∈R )4.可乘性：a >b ，000c ac bc c ac bcc ac bc >⇒>⎧⎪=⇒=⎨⎪<⇒<⎩②运算性质1.可加法则：,.a b c d a c b d >>⇒+>+2.可乘法则：0,00a b c d a c b d >>>>⇒⋅>⋅>3.可乘方性：*0,0n n a b n N a b >>∈⇒>>【题型目录】题型一：作差法比较两数(式)的大小题型二：作商法比较两数(式)的大小题型三：利用不等式的性质判断命题真假题型四：利用不等式的性质证明不等式题型五：利用不等式的性质比较大小题型六：利用不等式的基本性质求代数式的取值范围【典型例题】题型一：作差法比较两数(式)的大小【例1】（2022·安徽·高一期中）已知a b <，3x a b =-，2y a b a =-，则,x y 的大小关系为（）A ．x y >B ．x y <C ．x y=D ．无法确定【答案】B 【解析】【分析】作差可得x-y 的表达式，根据题意，分析可得x-y 的正负，即可得答案.【详解】()()3221x y a b a b a a b a -=--+=-+，因为a b <，所以0a b -<，又210a +>，所以2()(1)0a b a -+<，即x y <.故选：B【例2】（2022·全国·高一课时练习）若0a b >>，则下列不等式中一定成立的是（）A ．11b b a a +>+B ．11a b a b+>+C ．11a b b a+>+D ．22a b aa b b+>+【答案】C 【解析】【分析】根据不等式的性质，对选项逐一判断【详解】对于A ，11(1)b b b a a a a a +--=++，因为0a b >>，故101(1)b b b a a a a a +--=<++，即11b b a a +<+，故A错；对于B ，111()()(1)a b a b a b ab +-+=--不确定符号，取11,2a b ==则11a b a b +<+，故B 错误；对于C ，111(()(1a b a b b a ab+-+=-+，因为0a b >>，故111()()(1)0a b a b b a ab +-+=-+>，即11a b b a+>+，故C 正确；对于D ，2()()2(2)a b a b a b a a b b a b b++--=++，因为0a b >>，故2()()02(2)a b a b a b a a b b a b b ++--=<++，即22a b a a b b+<+，故D 错误．故选：C【例2】（2023·全国·高三专题练习）已知a =b =c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c >>B ．a c b>>C ．c a b>>D ．c b a>>【答案】B 【解析】【分析】通过作差法，a b -D 选项；通过作差法，a c -=，确定符号，排除C 选项；通过作差法，b c -=-，确定符号，排除A 选项；【详解】由a b -=257=+>，故a b >；由a c -=286=>，故a c >；b c -=-且299=++，故c b >.所以a c b >>，故选：B .【题型专练】1.（2021·河南·濮阳市油田第二高级中学高二阶段练习（文））设21P a =+，2Q a =，a R ∈，则P 、Q 的大小为（）A ．P Q ≥B ．P Q>C ．P Q<D ．P Q≤【答案】A 【解析】【分析】利用作差法计算可得；【详解】解：因为21P a =+，2Q a =，所以()221210P Q a a a -=+-=-≥，所以P Q ≥；故选：A2.（2022·新疆克孜勒苏·高一期中）已知21P x =-，22Q x x =-，则P _______Q ．（填“>”或“<”）【答案】<【解析】【分析】作差判断正负即可比较.【详解】因为()222213121024P Q x x x x x x ⎛⎫-=---=-+-=---< ⎪⎝⎭，所以P Q <.故答案为：<.3.（2022·广西·高一阶段练习）（1）比较231x x -+与221x x +-的大小；（2）已知0c a b >>>，求证：a bc a c b>--．【答案】（1）223121x x x x -+>+-；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）求差法进行大小比较即可；（2）求差法去证明即可解决.【详解】（1）由()()222312122x x x x x x -+-+-=-+()2110x =-+>，可得223121x x x x -+>+-．（2）()()()()()()()a cb bc a a b c a bc a c b c a c b c a c b -----==------，∵0c a b >>>，∴0a b ->，0c a ->，0c b ->，∴()()()0a b c c a c b ->--，∴a bc a c b>--．4.（2022·全国·高一课时练习）已知,,R ,a b c a b c +∈≠≠且，试比较()()()6ab a b bc b c ac a c abc +++++与的大小.【答案】()()()6ab a b bc b c ac a c abc +++++>【解析】【分析】应用作差法：()()()6ab a b bc b c ac a c abc +++++-222()()()b a c a b c c b a =-+-+-，结合已知条件，即可确定大小关系.【详解】()()()6ab a b bc b c ac a c abc +++++-2222226a b ab b c bc a c ac abc=+++++-222222(2)(2)(2)a b bc abc ab ac abc b c a c abc =+-++-++-222()()()b a c a b c c b a =-+-+-∵,,R ,a b c a b c+∈≠≠且∴222()()()0b a c a b c c b a -+-+->，即()()()6ab a b bc b c ac a c abc +++++>.5.（2021·江苏·高一单元测试）证明不等式：（1）设0,0a b >>，求证：3322a b ab a b +≥+；（2）设,x y R ∈，求证：2252(2)x y x y ++≥+.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）利用作差法运算即可得证；（2）利用作差法运算即可得证.【详解】证明：（1）因为()3322a b ab a b +-+3322a b ab a b =+--3232a ab b a b=-+-()()2222a a b b b a =-+-()()()()222a b a b a b a b =--=+-，因为00a b >>，，所以()()20a b a b +-≥，所以()33220a b ab a b +-+≥，所以3322a b ab a b +≥+；（2）因为()22522x y x y ++-+22542x y x y =++--22425x x y y =-+-+()()22210x y =-+-≥，所以()22522x y x y ++≥+.题型二：作商法比较两数(式)的大小【例1】（2021·全国·高一专题练习）2211,,()1P a a Q a R a a =++=∈-+，则,P Q 的大小关系为_______．【答案】≥【分析】用作商法比较,P Q 的大小关系，化简即可得结果.【例2】（2017·上海市宝山区海滨中学高一期中）如果0x <，01y <<，那么x，x ，x 从小到大的顺序是___________【例3】（2023·全国·高三专题练习）设0a b >>，比较22a b -+与a b +的大小【点睛】比较两个数的大小主要有四种方法：（1）作差法；（2）作商法；【题型专练】1.（2022·全国·高一专题练习）已知：a 、b R +∈，且a b ¹，比较a b b a a b a b 与的大小.>3.（2021·全国·高一课时练习）已知0a >，0b >题型三：利用不等式的性质判断命题真假【例1】（2023·全国·高三专题练习）如果0a b <<，那么下列不等式成立的是（）A ．11a b<B ．2ab b <C ．2ab a -<-D ．11a b-<-【答案】D 【解析】【分析】由于0a b <<，不妨令2a =-，1b =-，代入各个选项检验，只有D 正确，从而得出结论．【详解】解：由于0a b <<，不妨令2a =-，1b =-，可得111,12a b =-=-，∴11a b>，故A 不正确．可得2ab =，21b =，2ab b ∴>，故B 不正确．可得2ab -=-，24a -=-，2ab a ∴->-，故C 不正确．故选：D ．【例2】（2022·青海西宁·高一期末）如果,,,R a b c d ∈，则正确的是（）A ．若a >b ，则11a b<B ．若a >b ，则22ac bc >C ．若a >b ，c >d ，则a +c >b +d D ．若a >b ，c >d ，则ac >bd【答案】C 【解析】【分析】根据不等式的性质即可逐一求解.【详解】对于A:取2,1a b ==-则11a b>，故A 错，对于B:若0c =，则22=ac bc ，故B 错误，对于C:由同号可加性可知：a >b ，c >d ，则a +c >b +d ，故C 正确，对于D:若2,1,2,3a b c d ===-=-，则4,3ac bd =-=-，ac bd <，故D 错误.故选：C【例3】（2022·四川成都·高一期末（理））已知实数a ，b ，c 满足c b a <<，0ac <，那么下列选项中一定成立的是（）A ．()0ac a c ->B ．22cb ca <C ．ab ac >D ．()0c b a -<【答案】C 【解析】【分析】由已知可得0,0a c ><，然后利用不等式的性质逐个分析判断即可【详解】因为实数a ，b ，c 满足c b a <<，0ac <，所以0,0a c ><，对于A ，因为a c >，所以0a c ->，因为0ac <，所以()0ac a c -<，所以A 错误，对于B ，若0a b >>，则22a b >，因为0c <，所以22ca cb <，所以B 错误，对于C ，因为,0b c a >>，所以ab ac >，所以C 正确，对于D ，因为b a <，所以0b a -<，因为0c <，所以()0c b a ->，所以D 错误，故选：C【例4】（2022·四川成都·高一期末（文））若a ，b 为实数，下列命题正确的是（）A ．若a b >，则22a b >B ．若a b >，则22a b >C ．若22a b >，则a b >D ．若a b >，则22a b >【答案】D 【解析】【分析】据特值可说明ABC 不正确；根据不等式的性质可得D 正确.【详解】对于A ，当1,2a b =-=-时，满足a b >，不满足22a b >，故A 不正确；对于B ，当1,2a b =-=-时，满足||a b >，不满足22a b >，故B 不正确；对于C ，当2,1a b =-=-时，满足22a b >，不满足a b >，故C 不正确；对于D ，若a b >0≥，则222||a b b >=，故D 正确.故选：D.【例5】（2022·江苏·镇江市实验高级中学高二期末多选题）若a ，b ，c ∈R ，则下列命题正确的是（）A ．若0ab ≠且a b <，则11a b>B ．若01a <<，则2a a<C ．若0a b >>且0c >，则b c ba c a+>+D ．()221222a b a b ++≥--【答案】BCD 【解析】【分析】由不等式的性质逐一判断即可.【详解】解：对于A ，当0a b <<时，结论不成立，故A 错误；对于B ，2a a <等价于()10a a -<，又01a <<，故成立，故B 正确；对于C ，因为0a b >>且0c >，所以b c ba c a+>+等价于ab ac ab bc +>+，即()0a b c ->，成立，故C 正确；对于D ，()221222a b a b ++≥--等价于()()22120a b -++≥，成立，故D 正确.故选：BCD.【题型专练】1.（2021·湖北黄石·高一期中）若,R a b ∈，下列命题正确的是（）A ．若a b >，则22a b >B ．R c ∈，若a b >，则22ac bc >C ．若33a b ->-，则a b <D ．0a ≠，0b ≠，若a b >，则11a b<【答案】C 【解析】【分析】利用特值法可判断ABD ，利用不等式的性质可判断C.【详解】对于A ，当12a b =>=-时，2214a b =<=，故A 错误；对于B ，当0c =时，22ac bc =，故B 错误；对于C ，若33a b ->-，则a b <，故C 正确；对于D ，当12a b =>=-时，11112a b =>=-，故D 错误，故选：C.2.（2022·贵州·高二学业考试）已知a b >，则下列不等关系中一定成立的是（）A ．0a b ->B ．2ab b <C ．22a b <D ．11a b>【答案】A 【解析】【分析】利用不等式的性质判断A ，利用特殊值判断B 、C 、D ；【详解】解：因为a b >，所以0a b ->，故A 正确；对于B ：当0b =时20ab b ==，故B 错误；对于C ：当2a =，0b =，显然满足a b >，但是22a b >，故C 错误；对于D ：当2a =，1b =，显然满足a b >，但是11a b<，故D 错误；故选：A3.（2022·河南驻马店·高二期末（理））若,,a b c ∈R ，且a b >，则下列不等式一定成立的是（）A ．11a b<B ．ac bc >C ．()2a b c -≥D ．b c ba c a+>+【答案】C 【解析】【分析】对于ABD ，举例判断，对于C ，利用不等式的性质判断即可【详解】对于A ，若2,1a b ==-，则满足a b >，此时11112a b=>=-，所以A 错误，对于B ，若2,1a b ==-，则满足a b >，而当1c =-时，则21ac bc =-<=，所以B 错误，对于C ，因为a b >，所以0a b ->，因为2c ≥0，所以()20a b c -≥，所以C 正确，对于D ，若2,1a b ==-，则满足a b >，而当1c =-时，则21212b c b a c a +--==-<=+，所以D 错误，故选：C4.（2022·北京昌平·高二期末）已知01,0a b <<<，则下列大小关系正确的是（）A ．21ab a b <<B ．21ab a b <<C ．21ab a b <<D ．21a b ab <<【答案】C 【解析】【分析】结合不等式的性质以及差比较法确定正确答案.【详解】a 为正数，b 为负数，所以0ab <，20,10a b a <->，()2210,ab a b ab a ab a b -=-<<，所以21ab a b <<.故选：C5.（2022·北京海淀·高二期末）如果0a b <<，那么下列不等式成立的是（）A ．11a b<B ．22a b <C ．1a b<D ．2ab b >【答案】D 【解析】【分析】根据不等式的性质即可逐一判断.【详解】由0a b <<可得：110a b >>，()()2222-=0a b a b a b a b +->⇒>,1ab>，故A ，B ，C 错误,()220ab b b a b ab b -=->⇒>，故D 正确.故选：D6.（2022·湖北·测试·编辑教研五高一阶段练习（多选题））下列命题为真命题的是（）A ．若23,12a b -<<<<，则42a b -<-<B ．若22ac bc >，则a b >C ．若0,0b a m <<<，则m ma b>D ．若,a b c d >>，则ac bd >【答案】ABC 【解析】【分析】对于A ：利用同向不等式相加，即可证明；对于B 、C ：利用不等式的可乘性可以证明；对于D ：取特殊值2,1;2,3a b c d ===-=-即可否定结论.【详解】对于A ：因为12b <<，所以21b -<-<-.因为23a -<<，利用同向不等式相加，则有42a b -<-<.故A 正确；对于B ：因为22ac bc >，所以20c ≠，所以210c >，对22ac bc >两边同乘以21c ，则有a b >.故B 正确；对于C ：因为0b a <<，所以110a b<<.因为0m <，所以0m ->.对11a b <两边同乘以m -，有m m a b --<，所以m m a b>.故C 正确；对于D ：取2,1;2,3a b c d ===-=-，满足,a b c d >>，但是4,3ac bd =-=-，所以ac bd >不成立.故D 错误.故选：ABC7.（2023·全国·高三专题练习多选题）下列命题为真命题的是（）A ．若a b >，c d >，则a c b d +>+B ．若a b >，c d >，则ac bd >C ．若a b >，则22ac bc >D ．若0a b <<，0c <，则c ca b<【答案】AD 【解析】【分析】A ．由不等式的性质判断；B.举例判断；C.由0c =判断；D.作差判断.【详解】A ．由不等式的性质可知同向不等式相加，不等式方向不变，故正确；B.当1, 2.2,1=-=-==a b c d 时，ac bd =，故错误；C.当0c =时，22ac bc =故错误；D.()c b a c c a b ab--=，因为0b a ->，0c <，0ab >，所以0c c a b -<，故正确；故选：AD8.（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）下列命题正确的是（）A ．若c ca b>，则a b <B ．若a b <且0ab >，则11a b>C ．若0a b <<，则22a ab b <<D ．若0,0a b c d >><<，则ac bd<【答案】BD 【解析】【分析】A 选项可举出反例；BCD 选项，可通过不等式的基本性质进行证明.【详解】对选项A ：可取3a =，2b =，1c =-，则满足c ca b>，但此时a b >，所以选项A 错误；对选项B ：因为0ab >，所以若0b a >>，则11a b >；若0a b <<，则11a b>；所以选项B 正确；对选项C ：若0a b <<，则2a ab >，所以选项C 错误；对选项D ：若0c d <<，所以0c d ->->；又因为0a b >>，所以由同向同正可乘性得：ac bd ->-，所以ac bd <，所以选项D 正确，故选：BD ．题型四：利用不等式的性质证明不等式【例1】（2022·全国·高一课时练习）a ，b ，c ，d R +∈，设a b c dS a b d b c a c d b d a c=++++++++++，证明：21<<S(1)11a cb d<--；(2)m ma cb d>--.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）根据不等式的性质证明即可；（2）结合（1）和不等式的性质求解.【例3】（2022·全国·高一课时练习）已知下列三个不等式：①0ab >，②a b>，③bc ad >，以其中两个作为条件，余下一个作为结论，可组成几个真命题？请证明你的结论.【答案】3个，证明见解析.【解析】【分析】先写出组成的命题，然后结合不等式的性质进行证明.【详解】可以组成3个真命题.（1）若0ab >，c da b>，则bc ad >.证明：因为0ab >，0bc adab->，所以0bc ad ->，即bc ad >.（2）若0ab >，bc ad >，则c d a b>.证明：因为0ab >，0bc ad ->，所以0bc adab ->，即c d a b>.（3）若bc ad >，c da b>，则0ab >.证明：因为0bc ad ->，0bc adab->，所以0ab >.【题型专练】1.（2022·湖南·高一课时练习）求证：(1)若0a b >>，且0c d <<，则ac bd <；(2)若a b >，且，b 同号，0c >，则c ca b <；(3)若0a b >>，且0c d >>>．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)证明见解析【解析】【分析】（1）将0c d <<变为0c d ->->，利用不等式同向正值的可乘性，即可证明结论；（2）由a b >以及0c >，可得ac bc >，再根据，b 同号，得1ab>，利用不等式同向正值的可乘性证明结论；（3）由0c d >>可得110d c >>，继而可得0a bd c>>,利用不等式的性质可得结论.(1)证明：因为0c d <<，所以0c d ->->，又0a b >>，故()()0a c b d ->->，即ac bd <；(2)证明：因为a b >，0c >，所以ac bc >，因为，b 同号，所以0ab >，10ab>，故11ac bc ab ab⨯>⨯，即c c b a >，所以c c a b <；(3)证明：因为0c d >>，所以110d c>>，又0a b >>，所以0a bd c>>，>.2.（2022·全国·高一专题练习）若0a b >>，0c d <<，0e <，求证：22()()e ea cb d >--3.（2021·江苏·高一专题练习）（1）设0b a >>，0m >，证明：b b m<+；（2）设0x >，0y >，0z >，证明：12x y zx y y z z x<++<+++.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）根据作差法证明即可；4.（2022·全国·高一课时练习）若()0,a b ∈+∞，则223a b a b +≤++.(1)若存在常数M ，使得不等式2222a b a bM a b a b a b a b+++≤≤+++对任意正数，b 恒成立，试求常数M 的值，并证明不等式：22a bM a b a b++≤+；(2)证明不等式：32232332a b a ba b a b a b a b ≤++++++.【答案】(1)23M =，证明见解析；(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)令a b =即可求解M ，利用不等式性质即可证明不等式；(2)从原不等式入手，对原不等式变形，通过分类讨论与b 之间的大小关系即可证明.【详解】证明：(1)当a b =时，2233M ≤≤，故23M =，由(2)2(2)222(222222a b a b b a b a b a a b a b a b a b a b a b +-+-+=+=-+++++++，且2223a b a b a b +≤++，利用不等式性质可得，2322a ba b a b≤+++；(2)欲证32232332a b a ba b a b a b a b≤++++++，只需证明32322323a b a ba b a b a b a b≤--++++，即3223a b a b a b a b --≤++，①当a b =时，显然不等式3223a b a ba b a b--≤++成立，②当a b ¹时，不妨令a b >，即0a b ->，故32233223a b a ba b a b a b a b--≤⇔+≥+++，由于a b >，显然3223a b a b +≥+成立，故原不等式32232332a b a ba b a b a b a b≤++++++成立；同理，当a b <时，原不等式32232332a b a ba b a b a b a b≤++++++也成立.综上所述，对于任意，()0b ∈+∞，32232332a b a ba b a b a b a b≤++++++均成立.题型五：利用不等式的性质比较大小【例1】（2022·内蒙古·赤峰二中高一阶段练习（理））下列命题正确的是（）A ．若ac bc >，则a b >B ．若ac bc =，则a b=C ．若a b >，则11a b<D ．若22ac bc >，则a b >【答案】D 【解析】【分析】由不等式性质依次判断各个选项即可.【详解】对于A ，若0c <，由ac bc >可得：a b <，A 错误；对于B ，若0c =，则0ac bc ==，此时a b =未必成立，B 错误；对于C ，当0a b >>时，110a b>>，C 错误；对于D ，当22ac bc >时，由不等式性质知：a b >，D 正确.故选：D.【例2】（2022·江苏·扬州大学附属中学高一期中（多选题））已知1a b >>，R c ∈，下列不等式中正确的是（）A ．a c b c ->-B ．c ca b<C ．c c a b >D ．1111a b <--【答案】AD【分析】根据不等式性质及特殊值判断即可.【详解】对于A ，由不等式性质，a b >可得a c b c ->-，正确；对于B ，0c =时，c ca b<显然不成立，故错误；对于C ，0c =时，c c a b =，故错误；对于D ，由1a b >>可得110a b ->->，所以11(1)(1)(1)(1)(1)(1)a b a b a b -⋅>-⋅----，即1111a b <--，故正确.故选：AD【例3】（2022·北京海淀·高二期末）如果0a b <<，那么下列不等式成立的是（）A ．11a b<B ．22a b <C ．1a b<D ．2ab b >【答案】D 【解析】【分析】根据不等式的性质即可逐一判断.【详解】由0a b <<可得：110a b >>，()()2222-=0a b a b a b a b +->⇒>,1a b>，故A ，B ，C 错误,()220ab b b a b ab b -=->⇒>，故D 正确.故选：D 【题型专练】1.（2022·广东·小榄中学高一阶段练习（多选题））对于实数,,a b c ，下列命题正确的是（）A ．若a b >，则ac bc <B ．若0a b <<，则22a ab b >>C ．若0c a b >>>，则a bc a c b<--D ．若a b >，11a b>，则0,0<>b a 【答案】BD 【解析】【分析】A 特殊值法0c =判断；B 由||||0a b >>结合不等式性质判断；C 作差法判断；D 由0a b >>或0a b <<时11,a b的大小情况判断.A ：当0c =时，ac bc <不成立，错误；B ：由0a b <<，有||||0a b >>，则22a ab b >>，正确；C ：由()0()()a b c a b c a c b c a c b --=>----，则a b c a c b>--，错误；D ：若0a b >>或0a b <<，有11a b>，与题设矛盾，故0,0a b ><，正确.故选：BD2.（2022·贵州贵阳·高一期末（多选题））下列说法正确的有（）A ．若,a b c d ><，则a c b d ->-B ．若0,0a b c d >><<，则ac bd <C ．若0a b c >>>，则c ca b >D ．若0a b c >>>，则a a cb b c+<+【答案】AB 【解析】【分析】对于A ：利用同向不等式相加可以证明；对于B ：利用同向不等式相乘可以证明；对于C ：利用不等式的可乘性可以判断；对于D ：取特殊值3,2,1a b c ===可以判断.【详解】对于A ：因为c d <，所以c d ->-，利用同向不等式相加可以得到：a c b d ->-.故A 正确；对于B ：因为0c d <<，所以0c d ->->，又因为0a b >>，利用同向不等式相乘可以得到：ac bd ->-，所以ac bd <.故B 正确；对于C ：因为0a b c >>>，所以11a b <.因为0c >，所以c ca b<.故C 错误；对于D ：取特殊值3,2,1a b c ===满足0a b c >>>，但是32a b =，43a c b c +=+，所以a a cb b c+>+.故D 错误.故选：AB3.（2022·内蒙古·赤峰市元宝山区第一中学高一期中）若0a b <<，则下列不等式不能成立的是（）A ．22a b >B ．11a b>C ．a b >D ．11a b a>-【答案】D 【解析】【分析】根据条件，结合结合不等式性质判断A ，B ，C 正确，再举例说明D 错误..【详解】因为0a b <<，所以0a b +<，0a b -<，0ab >，0b a ->，又22()()a b a b a b -=-+，所以220a b ->，所以22a b >成立，110b a a b ab --=>，所以11a b>，0a b a b -=-+>，所以a b >，取2,1a b =-=-可得11=121a b =---+，112a =-，11a b a <-，所以11a b a>-不成立，故选：D.4.（2022·广东·深圳科学高中高一期中（多选题））下列说法正确的是（）A ．若0a b >>，则11a b<B ．若0a b >>，0m >，则b m ba m a+>+C ．0a b >>，则3322a b a b ab ->-D ．若0a b >>，则22ac bc >【答案】ABC 【解析】【分析】根据不等式的性质判断AD ，结合作差法比较大小判断BC.【详解】解：对于A 选项，因为0a b >>，故10ab>，故110a b <<，正确；对于B 选项，由于0a b >>，0m >，故0a b ->，0a m +>，故()()()()()0a b m b a m m a b b m b a m a a a m a a m +-+-+-==>+++，即b m ba m a+>+，正确；对于C 选项，由于0a b >>，故0a b ->，故()()()()332222220a b a b ab a a b b a b a b a b --+=-+-=-+>，即3322a b a b ab ->-，正确；对于D 选项，当0c =时，220ac bc ==，故错误.故选：ABC题型六：利用不等式的基本性质求代数式的取值范围【例1】（2022·全国·高一专题练习）设27a <<，12b <<，求3a b +，2a b -，ab的范围.则（）A ．x 的取值范围为(1,2)-B ．y 的取值范围为(2,1)-C ．x y +的取值范围为()3,3-D ．x y -的取值范围为(1,3)-则t 的取值范围为______．18(4x y ⋅的取值范围是（）A ．[]4,128B ．[]8,256C ．[]4,256D ．[]32,1024【例5】（2021·全国·高一课时练习）已知x ，y 为实数，满足223xy ≤≤，34y ≤≤，则5y的最大值是______，此时x y +=______.1.（2022·吉林延边·高一期末）已知12a ≤≤，14b -≤≤，则2a b -的取值范围是（）A ．724a b -≤-≤B ．629a b -≤-≤C ．629a b ≤-≤D ．228a b -≤-≤【答案】A 【解析】【分析】先求2b -的范围，再根据不等式的性质，求2a b -的范围.【详解】因为14b -≤≤，所以822b -≤-≤，由12a ≤≤，得724a b -≤-≤.故选：A.2.（2020·浙江台州·高一期中）已知a b c <<且230a b c ++=，则ba的取值范围是【答案】115b a-<<【解析】【分析】由已知条件推导出0a <，0b >，再由230a b c ++=得出23a bc +=-，由a b c <<得出23a ba b +<<-，结合不等式的基本性质可求得b a 的取值范围.【详解】a b c << ，230a b c ++=，则606a c <<，0a ∴<，0c >，则23a bc +=-，由b c <得23a b b +<-，则5b a <-，即51b a>-，即15b a >-，又a b <，1ba ∴<，因此，b a 的取值范围是115b a-<<.3.（2021·河北·大名县第一中学高一阶段练习）若实数,αβ满足11αβ-≤+≤，123αβ≤+≤，则3αβ+的取值范围为________．【答案】[]1,7【分析】设()3(2)αβλαβμαβ+++=+，解得1λ=-，2μ=，再由不等式的性质即可求解.【详解】设()3(2)αβλαβμαβ+++=+，解得1λ=-，2μ=所以()(322)αβαβαβ++-+=+．又11αβ-≤+≤，123αβ≤+≤，()11αβ∴-≤-+≤，()2226αβ≤+≤所以137αβ≤+≤.故答案为：[]1,7．【点睛】关键点点睛：本题考查利用不等式的性质求取值范围，变形()(322)αβαβαβ++-+=+是解题的关键，考查学生的运算求解能力，属于基础题.4.（2021·全国·高一课时练习）已知14a b ≤+≤，12a b -≤-≤，求42a b -的取值范围___________.【答案】[]2,10-【分析】利用待定系数法可得()()423a b a b a b -=++-，利用不等式的基本性质可求得42a b -的取值范围.【详解】设()()()()42a b x a b y a b x y a x y -=++-=++-，所以42x y x y +=⎧⎨-=-⎩，解得13x y =⎧⎨=⎩，因为14a b ≤+≤，12a b -≤-≤，则()336a b -≤-≤，因此，24210a b -≤-≤.故答案为：[]2,10-.5．（2021·全国·高一课时练习）已知实数x 、y 满足41x y -≤-≤-，145x y -≤-≤，则3x y +的最大值为___________.6.（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））已知,a b ∈R 且满足11a b ⎧⎨-≤-≤⎩，则42a b +的取值范围是【答案】24210a b ≤+≤【解析】【分析】设()()42+=++-a b A a b B a b ，求出A B ，结合条件可得结果.【详解】设()()42+=++-a b A a b B a b ，可得42+=⎧⎨-=⎩A B A B ，解得31=⎧⎨=⎩A B ，()423+=++-a b a b a b ，因为1311a b a b ≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩可得()33911⎧≤+≤⎨-≤-≤⎩a b a b ，所以24210a b ≤+≤.7.（2022·湖北·车城高中高一阶段练习）（1）已知23x <<，23y <<，求x y -和xy的取值范围；（2）已知24<+≤x y ，13x y -<-<，求3x y +的取值范围.【答案】（1）11x y -<-<，2332x y <<；（2）3311x y <+<.【解析】【分析】（1）根据不等式的性质求解（2）由待定系数法配凑后求解【详解】（1）23y << ，32∴-<-<-y 又23x << ，11∴-<-<x y 23y << ，11132y <<又23x << ，2332∴<<x y （2）设3()()x y a x y b x y +=++-，得3211a b a a b b +==⎧⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩即32()()+=++-x y x y x y 而42()8<+≤x y ，13x y -<-<3311∴<+<x y。
第8讲 抽象函数7种导函数构造(解析版)
第8讲 抽象函数7种导函数构造【知识点梳理】类型一 导数和差，构造和差型函数：()[()]f x c f x cx ''+=+；()()[()()]f x g x f x g x '''+=+；()()[()()]f x g x f x g x '''-=-；和与积联系，构造乘积型函数； 差与商联系，构造分式型函数： ()()()()[()()]f x g x f x g x f x g x '''+=；2()()()()()[]()()f xg x f x g x f x g x g x ''-'=．类型二 幂函数及其抽象构造定理1 ()()0[()]0xf x f x xf x ''+>⇔>；()()()0[]0f x xf x f x x''->⇔> 证明：因为()()[()]xf x f x xf x ''+=；2()()()[]xf x f x f x x x'-'=，所以()()0xf x f x '+>，则函数()y xf x =单调递增；()()0xf x f x '->，则()f x y x=单调递增． 定理2 当0x >时，()()0[()]0n xf x nf x x f x ''+>⇔>；()()()0[]0n f x xf x nf x x''->⇔> 证明 因为1()()[()]nn nx f x nxf x x f x -''+=；12()()()[]n n n nx f x nx f x f x x x -'-'=，所以()()0xf x nf x '+>，则函数()n y x f x =单调递增；()()0xf x nf x '->，则()nf x y x =单调递减． 类型三 指数函数与抽象构造定理3 ()()0[()]0x f x f x e f x ''+>⇔>；()()0[()]0x f x f x e f x ''+<⇔<()()()0[]0x f x f x f x e ''->⇔>；()()()0[]0xf x f x f x e''-<⇔< 证明： 因为[]()()+()x xf x e e f x f x ''=⎡⎤⎣⎦，()()()[]xx f x f x ef x e '-'=，所以()()0f x f x '+>，则()x y f x e =单调递增；反之()x y f x e =单调递减；()()0f x f x '->，则()xf x y e =单调递增；反之()x f x y e=单调递减． 定理4 ()()[(())]0x f x f x a e f x a ''+>⇔->；(())()()[]0xf x a f x f x a e+''->⇔>． 证明： 因为[(())]()()x xe f x a f x f x a e '-'+-=；2(())()()[]x xf x a f x f x a e e +''--=，所以()()f x f x a '+>，则(())x y e f x a =-单调递增；()()f x f x a '+<，(())x y e f x a =-单调递减；若()()f x f x a '->，则()xf x a y e +=单调递增，若()()f x f x a '-<，则()xf x a y e +=单调递减．定理5 正弦同号，余弦反号定理()sin ()cos 0[()sin ]0f x x f x x f x x ''+>⇔>，当()22x ππ∈-，，()tan ()0[()sin ]0f x x f x f x x ''+>⇔>； ()()sin ()cos 0[]0sin f x f x x f x x x ''->⇔>， 当()22x ππ∈-，，()()tan ()0[]0sin f x f x x f x x''->⇔>；cos ()()sin 0[()cos ]0xf x f x x f x x ''->⇔>，当(,)22x ππ∈-，()()tan 0[()cos ]0f x f x x f x x ''->⇔>；()()cos ()sin 0[]0cos f x f x x f x x x ''+>⇔>， 当()22x ππ∈-，，()()()tan 0[]0cos f x f x f x x x''+>⇔>．遇正切时化切为弦，请自己证明相关结论．【典例例题】题型一：具体函数抽象化解不等式【例1】（2022·广东·南海中学高二阶段练习）已知()2cos ,R f x x x x =+∈，若()()1120f t f t ---≥成立，则实数t 的取值范围是（ ）A ．20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．()2,0,3∞∞⎛⎫-⋃+ ⎪⎝⎭D ．()20,,03⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】B 【解析】 【分析】由奇偶性的定义得出函数()y f x =为偶函数，利用导数知函数()y f x =在区间[)0,∞+上为增函数，由偶函数的性质将不等式()()1120f t f t ---≥变形为()()112f t f t -≥-，利用单调性得出112t t -≥-，从而可解出实数t 的取值范围. 【详解】解：函数()y f x =的定义域为R ，关于原点对称，()()()2cos 2cos f x x x x x f x -=-+-=+=，∴函数()y f x =为偶函数，当0x ≥时，()2cos f x x x =+，()2sin 0f x x '=->， 则函数()y f x =在[)0,∞+上为增函数， 由()()1120f t f t ---≥得()()112f t f t -≥-，由偶函数的性质得()()112f t f t -≥-，由于函数()y f x =在[)0,∞+上为增函数，则112t t -≥-，即()()22112t t -≥-，整理得2320t t -≤，解得203t ≤≤，因此，实数t 的取值范围是20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故选：B. 【题型专练】1．（2022·贵州遵义·高二期末（理））已知函数()ln e xxf x x =-，设()3log 2a f =，()0.2log 0.5b f =，()ln 4c f =，则a ，b ，c 的大小为（ ） A ．c a b >> B ．a c b >>C ．b c a >>D ．c b a >>【答案】A 【解析】 【分析】利用函数解析式求导数，判断导数大于零恒成立，故确定函数单调性，比较自变量大小确定函数值a ，b ，c 的大小即可. 【详解】解：因为()ln ex x f x x =-，则,()0x ∈+∞，所以()2211e 11e e e ()4e 2x x x x x xf x x x x x x x +--+-'==-=- 又,()0x ∈+∞时，21111,()24e 4xx >--≥-，所以()0f x '>恒成立所以()ln e xxf x x =-在,()0x ∈+∞上单调递增； 又30log 21<<，0.215351log 0.5log log 2log 22==<，ln 41> 所以30.2ln 4log 2log 0.5>>，则c a b >>. 故选：A.2．（2022·上海·复旦附中高二期末）设()2sin f x x x =+，若()()20221120210f x f x ++-≥，则x 的取值范围是___________. 【答案】2x ≥- 【解析】 【分析】奇偶性定义判断()f x 奇偶性，利用导数研究()f x 的单调性，再应用奇偶、单调性求x 的范围. 【详解】由()2sin (2sin )()f x x x x x f x -=--=-+=-且R x ∈，易知：()f x 为奇函数，所以(20221)(20211)f x f x +≥-，又()2cos 0f x x =+>'，故()f x 在R x ∈上递增， 所以2022120211x x +≥-，可得2x ≥-. 故答案为：2x ≥-题型二：构造幂函数型解不等式【例1】（2022·黑龙江·哈师大附中高二期末）已知定义在（0，+∞）上的函数()f x 满足()()0xf x f x '-<，其中()f x '是函数()f x 的导函数，若()()()202220221f m m f ->-，则实数m 的取值范围为（ ） A ．（0，2022） B ．（2022，+∞）C ．（2023，+∞）D ．（2022，2023）【答案】D 【解析】 【分析】构造函数()g x ，使得()()2()0xf x f x g x x'-=<，然后根据函数()g x 的单调性解不等式即可. 【详解】 由题设()()2()()()0xf x f x f x g x g x x x '-'=⇒=<，所以()g x 在()0,∞+上单调递减，又()()()()()2022120222022120221f m f f m m f m -->-⇒>-，即(2022)(1)202212023g m g m m ->⇒-<⇒<，又函数()f x 的定义域为()0,∞+，所以202202022m m ->⇒>，综上可得：20222023m <<.故选：D.【例2】（2022·四川雅安·高二期末（理））设奇函数()()0f x x ≠的导函数是()f x '，且()20f -=，当0x >时，()()20xf x f x '-<，则不等式()0f x <的解集为______．【答案】()()2,02,-+∞【解析】 【分析】 设()()2f xg x x =，利用导数求得()g x 在(0,)+∞为单调递减函数，进而得到函数()g x 为奇函数，且()g x 在(,0)-∞为单调递减函数，结合函数()g x 的单调性，即可求解. 【详解】 设()()2f x g x x =，可得()()()32xf x f x g x x'-'=，因为当0x >时，()()20xf x f x '-<，可得()0g x '<， 所以()g x 在(0,)+∞为单调递减函数，又因为函数()f x 为奇函数，且()20f -=，可得()20f =， 则满足()()()()22()f x f x g x g x x x --==-=--，所以函数()g x 也为奇函数， 所以()g x 在(,0)-∞为单调递减函数，且()()220g g -==，当0x >时，由()0f x <，即()0g x <，即()()2g x g <，可得2x >； 当0x <时，由()0f x <，即()0g x <，即()()2g x g <-，可得20x -<<； 所以不等式()0f x <的解集为()()2,02,-+∞.故答案为：()()2,02,-+∞.【例3】（2022·河南信阳·高二期中（理））已知定义域为R 的函数()f x 满足()()1f x xf x '+>（()f x '为函数()f x 的导函数），则不等式()()()2111x f x f x x +->-+的解集为（ ）A ．()0,∞+B ．(]0,1C ．(],1-∞D ．()[),01,-∞⋃+∞【答案】A 【解析】 【分析】构造函数()()g x xf x x =-，由题意可知()g x 在R 上单调递增，再对x 分情况讨论，利用函数()g x 的单调性即可求出不等式的解集. 【详解】由2(1)(1)(1)x f x f x x +->-+，（1）当1x <时，可得2(1)(1)(1)(1)(1)(1)x x f x x f x x x -+->--+-， 即222(1)(1)(1)(1)x f x x f x x x -->--+-， 即222(1)(1)(1)(1)(1)(1)x f x x x f x x ---->----， 构造函数()(),()()()10g x xf x x g x f x xf x ''=-=+->， 所以函数()g x 单调递增，则211x x ->-，此时01x <<，即01x <<满足；（2）当1x >时，可得222(1)(1)(1)(1)(1)(1)x f x x x f x x ----<----， 由函数()g x 递增，则211x x -<-，此时0x <或1x >，即1x >满足； （3）当1x =时，2(0)(0)1f f >+，即(0)1f >满足()()1f x x f x '+⋅>. 综上，,()0x ∈+∞. 故选：A.【例4】已知定义在R 上的奇函数()f x ，其导函数为()'f x ，当0x ≥时，恒有())03(xf f x x '+>．则不等式33()(12)(12)0x f x x f x -++<的解集为（ ）． A ．{|31}x x -<<- B ．1{|1}3x x -<<-C ．{|3x x <-或1}x >-D ．{|1x x <-或1}3x >-【答案】D 【解析】先通过())03(x f f x x '+>得到原函数()()33x f x g x =为增函数且为偶函数，再利用到y 轴距离求解不等式即可. 【详解】构造函数()()33x f x g x =，则()()()()()322'''33x x g x x f x f x x f x f x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭由题可知())03(x f f x x '+>，所以()()33x f x g x =在0x ≥时为增函数；由3x 为奇函数，()f x 为奇函数，所以()()33x f x g x =为偶函数；又33()(12)(12)0x f x x f x -++<，即33()(12)(12)x f x x f x <++ 即()()12g x g x <+又()g x 为开口向上的偶函数所以|||12|x x <+，解得1x <-或13x >-故选：D 【点睛】此题考查根据导函数构造原函数，偶函数解不等式等知识点，属于较难题目. 【例5】函数()f x 是定义在区间()0,∞+上的可导函数，其导函数为()f x '，且满足()()20xf x f x '+>，则不等式(2020)(2020)3(3)32020x f x f x ++<+的解集为A ．{}|2017x x >-B ．{}|2017x x <-C ．{}|20200x x -<<D ．{}|20202017x x -<<-【答案】D【解析】设函数()()()2,0g x x f x x =>，根据导数的运算和题设条件，求得函数()g x 在()0,∞+上为增函数，把不等式转化为22(2020)(2020)3(3)x f x f ++<，即()()20203g x g +<，利用单调性，即可求解. 【详解】由题意，设函数()()()20g x x f x x =>，则()()()()()222()2g x x f x x f x x f x xf x ''''=⋅+⋅=+，因为()f x 是定义在区间()0,∞+上的可导函数，且满足()()20xf x f x '+>， 所以()0g x '>，所以函数()g x 在()0,∞+上为增函数， 又由(2020)(2020)3(3)32020x f x f x ++<+，即22(2020)(2020)3(3)x f x f ++<，即()()20203g x g +<，所以020203x <+<，解得20202017x -<<-， 即不等式的解集为{}|20202017x x -<<-. 故选：D . 【点睛】本题主要考查了函数的导数与函数的单调性的关系及应用，其中解答中根据题设条件，构造新函数()()()20g x x f x x =>是解答的关键，着重考查了构造思想，以及推理与计算能力.【题型专练】1．（2021·新疆维吾尔自治区喀什第二中学高三阶段练习（理））定义在R 上的偶函数()f x 的导函数为()f x '，且当0x >时，()()20xf x f x '+<.则（ ） A ．()()2e 24ef f > B ．()()931f f >C ．()()2e 39ef f -<D ．()()2e 39ef f ->【答案】D 【解析】 【分析】由题构造函数()()2g x x f x =，利用导函数可得函数()()2g x x f x =在(0，+∞)上为减函数，且为偶函数，再利用函数的单调性即得. 【详解】设()()2g x x f x =，则()()()()()222g x xf x x f x x f x xf x ⎡⎤=+='+'⎣'⎦，又当0x >时，()()20xf x f x '+<，∴()()()()()2220g x xf x x f x x f x xf x '''=+=+<⎡⎤⎣⎦，则函数()()2g x x f x =在(0，+∞)上为减函数，∴()f x 是定义在R 上的偶函数， ∴()()()()()22g x x f x x f x g x -=--==， 即g (x )为偶函数， 所以()()e 2g g <，即()()2e 24e f f <，故A 错误；()()31g g <，即()()931f f <，故B 错误；()()e 3g g >，即()()2e 39ef f >因为()f x 为偶函数，所以()()33f f -=， 所以()()2e 39ef f ->，故C 错误，D 正确. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是构造函数()()2g x x f x =，结合条件可判断函数的单调性及奇偶性，即得.2．（2022·黑龙江·哈尔滨市阿城区第一中学校高二期末）已知()f x 是定义在()(),00,∞-+∞上的奇函数，当0x >时，()()0f x xf x '+>且()122f =，则不等式()1f x x>的解集是______． 【答案】()()2,02,-+∞【解析】 【分析】根据已知条件构造函数()()g x xf x =并得出函数()g x 为偶函数，利用导数与单调性的关系得出函数()g x 的单调性进而可以即可求解. 【详解】设()()g x xf x =，则()()()g x f x xf x ''=+ 因为()f x 是定义在()(),00,∞-+∞上的奇函数，所以()()()()g x xf x xf x g x -=--==， 所以()g x 是()(),00,∞-+∞上的偶函数，当0x >时，()()()0g x f x xf x ''=+>，所以()g x 在()0,+∞上单调递增， 所以()g x 在(),0-∞上单调递减．因为()122f =，所以()()1222212g f ==⨯=， 所以()()221g g -==． 对于不等式()1f x x>， 当0x >时，()1xf x >，即()()2g x g >，解得2x >； 当0x <时，()1xf x <，即()()2g x g <-，解得20x -<<， 所以不等式()1f x x>的解集是()()2,02,-+∞．故答案为：()()2,02,-+∞【点睛】解决此题的关键是构造函数，进而讨论新函数的单调性与奇偶性，根据函数的性质即可求解不等式的解集.3.设函数()f x 是定义在(,0)-∞上的可导函数，其导函数为()'f x ，且有()()22'f x xf x x +>则不等式()()()220192019420x f x f ++--<的解集为（ ）A ．()20192017--，B ．20211()209--， C ．()20192018--， D ．(2020,2019)--【答案】B 【解析】 【分析】令()()2F x x f x =，确定()F x 在(,0)-∞上是减函数，不等式等价为()()201920F x F +--<，根据单调性解得答案. 【详解】由()()()22',0f x xf x x x +><，得()()232'xf x x f x x +<， 即()23'0x f x x ⎡⎤⎣⎦<<，令()()2F x x f x =， 则当0x <时，得()F'0x <，即()F x 在(,0)-∞上是减函数，()()()2201920192019f F x x x +∴+=+，()()242F f -=-， 即不等式等价为()()201920F x F +--<，()F x 在(),0-∞是减函数，∴由()()20192F x F +<-得20192x +>-，即2021x >-，又20190x +<，解得2019x <-，故 20212019x -<<-. 故选:：B .【点睛】本题考查了利用函数单调性解不等式，构造函数()()2F x x f x =，确定其单调性是解题的关键.4.已知()f x 是定义在()(),00,-∞+∞上的奇函数，且0x >时，()()20f x f x x'+<，又()10f =，则()0f x >的解集为（ ）A ．()()1,00,1-⋃B ．()(),11,-∞-⋃+∞C ．()(),10,1-∞-D ．()()1,01,-⋃+∞【答案】C 【解析】 【分析】令2()()g x x f x =，则()[()2()]g x x xf x f x ''=+，由题设易知0x >上()2()0xf x f x '+<，且()g x 在()(),00,-∞+∞上是奇函数，即()g x 在0x >、0x <都单调递减，同时可知(1)(1)0=-=g g ，利用单调性求()0>g x 的解集，即为()0f x >的解集. 【详解】令2()()g x x f x =，则2()()2()[()2()]g x x f x xf x x xf x f x '''=+=+， 由0x >时，()()20f x f x x'+<知：()2()0xf x f x '+<， ∴在0x >上，()0g x '<，()g x 单调递减，又()(),00,-∞+∞上()f x 为奇函数，∴22()()()()()g x x f x x f x g x -=--=-=-，故()g x 也是奇函数， ∴()g x 在0x <上单调递减，又()10f =，即有(1)(1)0=-=g g ， ∴()0f x >的解集，即()0>g x 的解集为(,1)(0,1)-∞-. 故选：C5.设函数()f x '是奇函数()()f x x ∈R 的导函数，()10f -=，当0x >时，()()0xf x f x '-<，则使得()0f x <成立的x 的取值范围是（ ） A ．()(),10,1-∞-⋃ B ．()()1,01,-⋃+∞ C ．()(),11,0-∞-- D ．()()0,11,+∞【答案】B 【解析】 【分析】 设()()f x F x x=，求其导数结合条件得出()F x 单调性，再结合()F x 的奇偶性，得出()F x 的函数值的符号情况，从而得出答案. 【详解】 设()()f x F x x =，则()()()2xf x f x F x x '-'=， ∵ 当0x >时，()()0xf x f x '-<，当0x >时，()0F x '<，即()F x 在()0,∞+上单调递减. 由于()f x 是奇函数，所以()()()()f x f x F x F x x x--===-,()F x 是偶函数，所以()F x 在(),0∞-上单调递增.又()()110f f =-=，所以当1x <-或1x >时，()()0=<f x F x x； 当10x -<<或01x <<时，()()0f x F x x=>. 所以当10x -<<或1x >时，()0f x <. 故选：B.题型三：构造指数函数型解不等式【例1】（2022·四川省资阳中学高二期末（理））已知定义域为R 的函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()()(),41f x f x f '>=，则不等式()224e xf x ->的解集为___________.【答案】()2,2- 【解析】 【分析】 令()()xf xg x =e，利用导数说明函数的单调性，则原不等式等价于()()24g x g >，再根据函数的单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可； 【详解】 解：令()()x f x g x =e ，R x ∈，则()()()exf x f xg x '-'=，因为()()f x f x '>，即()()0f x f x '-<， 所以()0g x '<，即()g x 在R 上单调递减，又()41f =，所以()()4444e ef g -==，所以不等式()224ex f x->，即()242eex f x ->，即()()24g xg >，即24x <，解得22x -<<，所以原不等式的解集为()2,2-. 故答案为：()2,2-【例2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数()f x 的导函数为()f x '，若对任意的R x ∈，都有()()2f x f x >'+，且()12022f =，则不等式()12020e 2x f x --<的解集为（ ）A ．()0,∞+B ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．()1,+∞D ．(),1-∞【答案】C 【解析】 【分析】 设函数()()2e xf xg x -=，根据题意可判断()g x 在R 上单调递减，再求出()01202eg =，不等式()12020e 2x f x --<整理得()22020eexf x -<，所以()()1g x g <，利用()g x 单调性解抽象不等式即可. 【详解】 设函数()()2e xf xg x -=，所以()()()()()2e 2e2eex xxxf x f x f x f xg x '⎡⎤⨯--⨯'-+⎣⎦'==，因为()()2f x f x >'+，所以()()20f x f x '-+<，即()0g x '<，所以()g x 在R 上单调递减，因为()12022f =， 所以()()122020e1e f g -==，因为()12020e 2x f x --<，整理得()22020e ex f x -<， 所以()()1g x g <，因为()g x 在R 上单调递减，所以1x >. 故选：C. 【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.【例3】（2023·全国·高三专题练习）已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为()'f x ，满足()()f x f x '<且()3f x +为偶函数，(1)f x +为奇函数，若(9)(8)1f f +=，则不等式()exf x <的解集为（ ） A ．()3,-+∞ B ．()1,+∞C ．(0,)+∞D ．()6,+∞【答案】C 【解析】先证明出()f x 为周期为8的周期函数，把(9)(8)1f f +=转化为(0)1f =.记()()xf xg x =e ，利用导数判断出()g x 在R 上单调递减，把原不等式转化为()()0g x g <，即可求解. 【详解】因为()3f x +为偶函数，(1)f x +为奇函数， 所以()()33f x f x +=-+，(1)(1)0f x f x ++-+=.所以()()6f x f x =-+，()(2)0f x f x +-+=，所以(6)(2)0f x f x -++-+=. 令2t x =-+，则(4)()0f t f t ++=.令上式中t 取t -4，则()(4)0f t f t +-=，所以(4)(4)f t f t +=-. 令t 取t +4，则()(8)f t f t =+，所以()(8)f x f x =+. 所以()f x 为周期为8的周期函数.因为(1)f x +为奇函数，所以(1)(1)0f x f x ++-+=，令0x =，得：(1)(1)0f f +=，所以(1)0f =，所以(9)(8)1f f +=，即为(1)(0)1f f +=，所以(0)1f =.记()()x f x g x =e ，所以()()()e xf x f xg x '-'=. 因为()()f x f x '<，所以()0g x '<，所以()()xf xg x =e 在R 上单调递减. 不等式()xf x e <可化为()1exf x <，即为()()0g x g <. 所以0x >. 故选：C 【点睛】解不等式的常见类型：(1)一元二次不等式用因式分解法或图像法；(2)指对数型不等式化为同底的结构，利用单调性解不等式； (3)解抽象函数型不等式利用函数的单调性.【例4】（2022·山西省长治市第二中学校高二期末）已知可导函数f （x ）的导函数为()'f x ，f （0）=2022，若对任意的x ∈R ，都有()()f x f x '<，则不等式()2022e x f x <的解集为（ ）A ．()0,∞+B ．22022,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．22022,e ∞⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．(),0∞-【答案】D 【解析】根据题意，构造函数()()xf xg x =e ，求导可知()g x 在x ∈R 上单调递增，利用单调性求解即可. 【详解】 令()(),e xf xg x =对任意的x ∈R ，都有()()()()(),0e xf x f x f x f xg x -<∴=''>'，()g x ∴在x ∈R 上单调递增，又()()()()()02022,02022,2022e 0xf g f x g x g =∴=∴<⇔<，0,x ∴<∴不等式()2022e x f x <的解集(),0∞-，故选：D.【例5】（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知奇函数()f x 的定义域为R ，当0x >讨，()()20f x f x '+>，且()20f =，则不等式()0f x >的解集为___________.【答案】()(2,02,)-⋃+∞ 【解析】 【分析】构造函数2()e ()=x g x f x ,利用导函数判断出当x >0时, ()g x 单调递增，得到当x >2时()0g x >，从而()0f x >；当02x <<时，()0g x <，从而()0f x <.由()f x 为奇函数得到不等式()0f x >的解集.【详解】构造函数2()e ()=x g x f x ，则当0x >时，[]2()e 2()()0xg x f x f x ''=+>，所以当x >0时()g x 单调递增.因为f (2)=0，所以()()42e 20g f ==，所以当x >2时()0g x >，从而()0f x >.当02x <<时，()0g x <，从而()0f x <.又奇函数()f x 的图像关于原点中心对称，所以()0f x >的解集为()(2,02,)-⋃+∞. 故答案为: ()(2,02,)-⋃+∞.【题型专练】1.（2022·陕西榆林·三模（理））已知()f x 是定义在R 上的函数，()'f x 是()f x 的导函数，且()()1f x f x '+>，(1)2f =，则下列结论一定成立的是（ ）A ．12(2)f +<eeB ．1(2)f +<eeC ．12(2)f +>eeD ．1(2)f +>ee【答案】D 【解析】 【分析】构造()()e e x xg x f x =-利用导数研究其单调性，即可得()()21g g >，进而可得答案.【详解】令()()e e x xg x f x =-，则()()()e 10x g x f x f x ⎡⎤=+->⎣⎦''，则()g x 是增函数，故()()21g g >，即22e (2)e e (1)e e f f >--=，可得()1e2ef +>. 故选：D2.（2022·江西·萍乡市上栗中学高二阶段练习（理））定义在R 上的函数()f x 满足()()e 0x f x f x '-+<（e 为自然对数的底数），其中()'f x 为()f x 的导函数，若3(3)3e f =，则()e x f x x >的解集为（ ）A ．(,2)-∞B ．(2,)+∞C ．(3),-∞D ．(3,)+∞【答案】D 【解析】 【分析】构造新函数，并利用函数单调性把抽象不等式()e x f x x >转化为整式不等式即可解决. 【详解】 设()()e x f x g x x =-，则3(3)(3)30ef g =-=，所以()e x f x x >等价于()0(3)g x g >=， 由()()e 0x f x f x '-+<，可得()()e 0x f x f x '->> 则()()()10exf x f xg x '-'=->， 所以()g x 在R 上单调递增，所以由()(3)g x g >，得3x >． 故选：D3.（2022·安徽省蚌埠第三中学高二开学考试）已知可导函数()f x 的导函数为()f x '，若对任意的x ∈R ，都有()()1f x f x '-<，且()02021f =，则不等式()12022e xf x +>的解集为（ ） A ．(),0∞- B ．()0,∞+ C ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．(),1-∞【解析】 【分析】 构造函数()()1exf x F x +=，通过导函数研究其单调性，利用单调性解不等式. 【详解】构造函数()()1e x f x F x +=，则()()()()()2e 1e 1e e x x x xf x f x f x f x F x '⋅-+⋅⎡⎤'--⎣⎦'==，因为()()1f x f x '-<，所以()0F x '<恒成立，故()()1e xf x F x +=单调递减，()12022e xf x +>变形为()12022e x f x +>，又()02021f =，所以()()00102022e f F +==，所以()()0F x F >，解得：0x <，故答案为：(),0∞-. 故选：A4.若()f x 在R 上可导且()00f =，其导函数()f x '满足()()0f x f x '+<，则()0f x <的解集是_________________ 【答案】()0,∞+ 【解析】 【分析】由题意构造函数()()e xg x f x =，利用导数判断出()g x 单调递减，利用单调性解不等式.【详解】设()()e xg x f x =，则()()()()()()e e e x x x g x f x f x f x f x '''=+=+，因为()()0f x f x '+<，所以()0g x '<在R 上恒成立，所以()g x 单调递减， 又()00f =得()00g =，由()0f x <等价于()0g x <， 所以0x >，即()0f x <的解集是()0,∞+. 故答案为：()0,∞+5.若定义在R 上的函数()f x 满足()()1f x f x '+>，()04f =，则不等式()31xf x e >+(e 为自然对数的底数)的解集为（ ） A ．(0,)+∞ B ．(,0)(3,)-∞⋃+∞ C ．(,0)(0,)-∞+∞ D ．(3,)+∞【答案】A 【解析】把不等式()31x f x e>+化为()3x x e f x e >+，构造函数令()()3x x F x e f x e =--，利用导数求得函数()F x 的单调性，结合单调性，即可求解. 【详解】由题意，不等式()31x f x e>+，即()3x x e f x e >+， 令()()3x x F x e f x e =--，可得()()()()()[1]x x x xF x e f x e f x e e f x f x '''=+-=+-，因为()()1f x f x '+>且0x e >，可知()0F x '>，所以()F x 在R 上单调递增，又因为()()()00003040F e f e f =--=-=，所以()0F x >的解集为(0,)+∞. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及其应用，以及导数的四则运算的逆用，其中解答中结合题意构造新函数，利用导数求得新函数的单调性是解答的关键，着重考查构造思想，以及推理与运算能力.题型四：构造对数函数型解不等式【例1】（2022·江西·赣州市赣县第三中学高二阶段练习（文））定义在（0，+∞）的函数f（x ）满足()10xf x '-<，()10f =，则不等式()e 0xf x -<的解集为（ ）A ．（－∞，0）B ．（－∞，1）C ．（0，+∞）D ．（1，+∞）【答案】C 【解析】 【分析】根据题干条件构造函数()()ln F x f x x =-，0x >，得到其单调递减，从而求解不等式. 【详解】设()()ln F x f x x =-，0x > 则()()()110xf x F x f x x x-=-=''<'， 所以()()ln F x f x x =-在()0,∞+上单调递减， 因为()10f =，所以()()11ln10F f =-=， 且()()ee xxF f x =-，所以由()e 0xf x -<得：()()e 1x F F <结合单调性可得：e 1x >，解得：0x >， 故选：C【例2】已知函数()f x 的定义域为R ，图象关于原点对称，其导函数为()f x '，若当0x >时()()ln 0x x f x f x +⋅'<，则不等式()()44x f x f x ⋅>的解集为______．【答案】()(),10,1-∞-⋃ 【解析】 【分析】依据函数单调性和奇偶性把抽象不等式转化为整式不等式去求解即可. 【详解】当0x >时，()()()()()ln 0ln 0ln 0f x f x x x f x x f x x f x x'''+⋅<⇔+⋅<⇔⋅<⎡⎤⎣⎦， 故函数()()ln g x x f x =⋅在()0,∞+上单调递减，易知()10g =， 故当()0,1x ∈时，()0g x >，()0f x <， 当()1,x ∈+∞时，()0g x <，()0f x <；而()()()44440x xf x f x f x ⎡⎤⋅>⇔⋅->⎣⎦， 而()()44xh x f x ⎡⎤=⋅-⎣⎦为奇函数，则当0x >时，当()440xf x ⎡⎤⋅->⎣⎦的解为01x <<， 故当x ∈R 时，()440xf x ⎡⎤⋅->⎣⎦的解为1x <-或01x <<，故不等式()()44xf x f x ⋅>的解集为()(),10,1-∞-⋃．故答案为：()(),10,1-∞-⋃【例3】已知()f x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞上的奇函数，()'f x 是()f x 的导函数，(1)0,f ≠且满足:()()ln 0,f x f x x x⋅+<'则不等式(1)()0x f x -⋅<的解集为（ ） A ．(1,)+∞ B ．(,1)(0,1)-∞-C ．(),1-∞D ．()(,01),-∞⋃+∞【答案】D 【解析】 【分析】根据给定含导数的不等式构造函数()()ln g x f x x =，由此探求出()f x 在(0,)+∞上恒负，在(,0)-∞上恒正，再解给定不等式即可.【详解】令()()ln g x f x x =，0x >，则()()()ln 0f x g x f x x x''=+<，()g x 在(0,)+∞上单调递减，而(1)0g =，因此，由()0>g x 得01x <<，而ln 0x <，则()0f x <，由()0g x <得1x >，而ln 0x >，则()0f x <，又(1)0f <，于是得在(0,)+∞上，()0f x <，而()f x 是(,0)(0,)-∞+∞上的奇函数，则在(,0)-∞上，()0f x >，由(1)()0x f x -⋅<得：10()0x f x ->⎧⎨<⎩或10()0x f x -<⎧⎨>⎩，即10x x >⎧⎨>⎩或10x x <⎧⎨<⎩，解得0x <或1x >，所以不等式(1)()0x f x -⋅<的解集为(,0)(1,)-∞⋃+∞. 故选：D 【题型专练】1.（2022·陕西汉中·高二期末（文））定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足()()110,2ln 2f x f x '+>=，则不等式()e 0x f x +>的解集为___________. 【答案】(ln2,)+∞ 【解析】 【分析】令()()ln (0)g x f x x x =+>，根据题意得到函数()g x 在(0,)+∞上为单调递增，把不等式()e 0xf x +>，可得()()e 2x g g >，结合函数()g x 的单调性，即可求解.【详解】由题意，函数()f x 满足()()110,2ln 2f x f x '+>=， 令()()ln (0)g x f x x x =+>，可得()()10g x f x x''=+> 所以函数()g x 在(0,)+∞上为单调递增，且()()22ln 20g f =+=，又由不等式()e 0x f x +>，可得()()e 2xg g >，所以e 2x >，解得ln 2x >，即不等式()e 0xf x +>的解集为(ln2,)+∞.故答案为：(ln2,)+∞.2.（2022·河北·石家庄二中高二期末）已知定义域为R 的函数()f x 满足()()114f x f x ++-=，且当1x >时()0f x '≥，则不等式()()2ln 10f x x ⎡⎤-->⎣⎦的解集为（ ） A ．()2,+∞ B ．()1,+∞C ．()1,2D ．()22,e【答案】A 【解析】【分析】由条件得出()f x 关于()1,2成中心对称，进一步得出函数的单调性，然后再根据题意可得()()ln 102x f x ⎧->⎪⎨>⎪⎩，或()()ln 102x f x ⎧-<⎪⎨<⎪⎩，从而可得出答案. 【详解】由()()114f x f x ++-=得()f x 关于()1,2成中心对称． 令0x =，可得()12f =当1x >时()0f x '≥，则()f x 在[)1,∞+上单调递增.由()f x 关于()1,2成中心对称且()12f =，故()f x 在R 上单调递增 由()()2ln 10f x x ⎡⎤-->⎣⎦，则()()ln 102x f x ⎧->⎪⎨>⎪⎩，或()()ln 102x f x ⎧-<⎪⎨<⎪⎩解得21x x >⎧⎨>⎩，或121x x <<⎧⎨<⎩，故2x >故选：A3.（多选）已知函数()f x 的定义域是()0,∞+，其导函数是()f x ' ，且满足()()1ln 0x f x f x x'⋅+⋅>，则下列说法正确的是（ ）A ．10e f ⎛⎫> ⎪⎝⎭B ．10e f ⎛⎫< ⎪⎝⎭C ．()e 0f >D ．()e 0f <【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意，构造()()ln g x f x x =⋅，由题意，得到()g x 单调递增，进而利用()g x 的单调性，得到1(1)()eg g >，再整理即可求解【详解】设()()ln g x f x x =⋅，可得()()1'()ln 0g x x f x f x x'=⋅+⋅>，()g x 单调递增，又因为(e)(e)ln e (e)g f f =⋅=，1111()()ln ()e e e e g f f =⋅=-，(1)(1)ln10g f =⋅=，且1e 1e>>，1(e)(1)()e g g g ∴>>，得(e)0f >，110()()e eg f >=-，整理得1()0e f >，AC 正确；故选：AC题型五：构造三角函数型解不等式【例1】已知偶函数()f x 的定义域为,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，其导函数为()'f x ，当02x π<<时，有()cos ()sin 0f x x f x x '+<成立，则关于x的不等式()cos 4f x x π⎛⎫<⋅ ⎪⎝⎭的解集为（ ）A ．,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．,,2442ππππ⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．,00,44ππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．,0,442πππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】 由题意，设()()cos f x g x x =，利用导数求得()g x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，且为偶函数，再把不等式()cos 4f x x π⎛⎫< ⎪⎝⎭，转化为()()4g x g π<，结合单调性，即可求解.【详解】 由题意，设()()cos f x g x x =，则2()cos ()sin ()cos f x x f x xg x x'+'=， 当02x π<<时，因为()cos ()sin 0f x x f x x '+<，则有()0g x '<，所以()g x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，又因为()f x 在,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上是偶函数，可得()()()()cos()cos f x f x g x g x x x --===-， 所以()g x 是偶函数，由()cos 4f x x π⎛⎫< ⎪⎝⎭，可得()()cos 4f x x π<，即()()4cos cos 4ππ<f f x x ，即()()4g x g π< 又由()g x 为偶函数，且在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数，且定义域为,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则有||4x π>，解得24x ππ-<<-或42x ππ<<，即不等式的解集为,,2442ππππ⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：B. 【点睛】本题主要考查了导数在函数中的综合应用，其中解答中构造新函数，求得函数的奇偶性和利用题设条件和导数求得新函数的单调性，结合函数的单调性求解是解答的关键，着重考查构造思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.【例2】已知函数()f x 的定义域为,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，其导函数是()'f x .有()cos ()sin 0f x x f x x '+<，则关于x()2cos 6x f x π⎛⎫< ⎪⎝⎭的解集为（ ）A ．,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．,63ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．,26ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】 令()()cos f x F x x=，根据题设条件，求得()F'0x <，得到函数()()cos f x F x x=在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内的单调递减函数，再把不等式化为()6cos cos 6f f x x ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭<，结合单调性和定义域，即可求解.【详解】由题意，函数()f x 满足()()'cos sin 0f x x f x x +<， 令()()cos f x F x x=，则()()()2'cos sin '0cos f x x f x xF x x+=< 函数()()cos f x F x x=是定义域,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内的单调递减函数，由于cos 0x >，关于x()2cos 6x f x π⎛⎫< ⎪⎝⎭可化为()6cos cos 6f f x x ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭<，即()6F x F π⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以22x ππ-<<且6x π>，解得26x ππ>>，()2cos 6x f x π⎛⎫< ⎪⎝⎭的解集为,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：B 【点睛】方法点睛：构造法求解()f x 与()f x '共存问题的求解策略：对于不给出具体函数的解析式，只给出函数()f x 和()f x '满足的条件，需要根据题设条件构造抽象函数，再根据条件得出构造函数的单调性，应用单调性解决问题，常见类型：（1）()()()()f x g x f x g x ''±型；（2）()()xf x nf x '+型；（3）()()(f x f x λλ±为常数)型.【题型专练】1.已知可导函数()f x 是定义在ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上的奇函数．当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()tan 0f x f x x '+>，则不等式()πcos sin 02x f x x f x ⎛⎫⋅++⋅-> ⎪⎝⎭的解集为（ ）A ．ππ,26⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．ππ,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．π,04⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】构造函数()sin xf x ，并依据函数()sin xf x 的单调性去求解不等式()πcos sin 02x f x x f x ⎛⎫⋅++⋅-> ⎪⎝⎭的解集.【详解】当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()tan 0f x f x x '+>，则()()cos sin 0xf x f x x '+>则函数()sin xf x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，又可导函数()f x 是定义在ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上的奇函数则()sin xf x 是ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上的偶函数，且在π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递减，由πππ222ππ22x x ⎧-<+<⎪⎪⎨⎪-<-<⎪⎩，可得π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则ππ0,22x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，π0,2x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭则π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，不等式()πcos sin 02x f x x f x ⎛⎫⋅++⋅-> ⎪⎝⎭可化为()()ππsin sin 22x f x x f x ⎛⎫⎛⎫+⋅+>-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又由函数()sin xf x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，且π0,2x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，ππ0,22x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则有ππ022x x >+>->，解之得π04x -<<故选：D2.已知函数()f x 是定义在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的奇函数.当0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()'()tan 0f x f x x +>，则不等式cos sin ()02x f x x f x π⎛⎫⋅++⋅-> ⎪⎝⎭的解集为（ ）A ．,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭B ．,42ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．,24ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】构造函数()()sin g x f x x =，则经变形后得[]'()()'()tan cos g x f x f x x x =+⋅，进而得到()g x 在0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时单增，结合()f x 单调性证出()g x 是定义在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的偶函数，再去“f ”，即可求解 【详解】令()()sin g x f x x =，[]'()()cos '()sin ()'()tan cos g x f x x f x x f x f x x x =+=+⋅， 当0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()'()tan 0f x f x x +>，'()0g x ∴>，即函数()g x 单调递增．又(0)0g =，0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭∴时，()()sin 0g x f x x =>，()f x 是定义在,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上的奇函数，()g x ∴是定义在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的偶函数． 不等式cos sin ()02x f x x f x π⎛⎫⋅++⋅-> ⎪⎝⎭，即sin sin ()22x f x xf x ππ⎛⎫⎛⎫++> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即()2g x g x π⎛⎫+> ⎪⎝⎭，||2x x π∴+>，4x π∴>-①，又222x πππ-<+<，故0x π-<<②，由①②得不等式的解集是,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭．故选：C 【点睛】本题考查利用构造函数法解不等式，导数研究函数的增减性的应用，一般形如()()()()0f a g a f b g b ±>的式子，先构造函数()()()h x f x g x =⋅，再设法证明()h x 的奇偶性与增减性，进而去“f ”解不等式 3.奇函数()f x 定义域为()(),00,ππ-，其导函数是()f x '，当0πx <<时，有。
人教版八年级数学上册专题03 分式方程及零指数幂、负指数幂运算(专题测试)(解析版)
专题03 分式方程及零指数幂、负指数幂运算专题测试一、单选题1．（2020·淮阴区开明中学八年级月考）下列式子①11125m π-=，②413x x=-，③2x y -中，分式方程有（ ）个 A ．1 B ．2C ．3D ．0【答案】A①11125m π-=分母中不含未知数，所以不是分式方程，故错误；②413x x=-，符合分式方程的概念，故正确； ③2x y-，不是方程，故错误； 所以分式方程只有1个， 故选：A ．2．（2020·湖北八年级期末）在显微镜下测得“新冠”病毒的直径为0.00000000205米，用科学记数法表示为（ ） A ．0.205×10﹣8米 B ．2.05×109米 C ．20.5×10﹣10米 D ．2.05×10﹣9米【答案】D解：0.00000000205米，该数据用科学记数法表示为2.05×10-9米． 故选：D ．3．（2020·江西八年级期末）若分式方程1512x x a=--的解为2x =，则a 的值是（ ） A ．1 B ．2C ．-1D ．-2【答案】C解：将2x =代入分式方程中，得152122a=-⨯- 解得：1a =-，经检验a=-1是方程的解，故选C ．4．（2020·安仁县思源实验学校八年级期中）如果（a ﹣1）0=1成立，则（ ） A ．a≠0 B ．a≠1C ．a=1D ．a=0或a=1【答案】B∵2(1)1a -=成立， ∴10a -≠， ∴1a ≠， 故选：B ．5．（2020·广西七年级期末）如果方程1101ax x +-=-无解，那么a 的值为 （ ）． A ．±1 B ．－1 C ．0D ．1【答案】A 对原方程进行化简：()1101ax x x +--=-，()1201a xx --=-，若此方程无解： （1）转换成整式方程，()120a x-+=此方程无解，∴10a -=即1a =时，原方程无解； （2）()120a x-+=此方程的解为1x =是原方程的增根，此时1a =-则原方程也无解；故答案选A ．6．（2020·四川九年级）“某市为处理污水，需要铺设一条长为4000米的管道，为了尽量减少施工对交通所造成的影响，实际施工时×××××．设原计划每天铺设管道x 米，则可得方程400040002010x x -=+．”根据此情境，题中用“×××××”表示得缺失的条件，应补为( ) A ．每天比原计划多铺设10米，结果延期20天才完成任务 B ．每天比原计划少铺设10米，结果延期20天才完成任务 C ．每天比原计划多铺设10米，结果提前20天完成任务 D ．每天比原计划少铺设10米，结果提前20天完成任务 【答案】C解：原计划每天铺设管道x 米，那么x+10就应该是实际每天比原计划多铺了10米，而用400040002010x x -=+则表示用原计划的时间﹣实际用的时间=20天， 那么就说明每天比原计划多铺设10米，结果提前20天完成任务． 故选：C ．7．（2020·江阴市长寿中学八年级月考）已知关于x 的方程22x mx +-=3的解是正数，那么m 的取值范围为（ ）A ．m ＞-6且m≠-2B ．m ＜6C ．m ＞-6且m≠-4D ．m ＜6且m≠-2【答案】C将分式方程转化为整式方程得：2x+m=3x-6 解得：x=m+6．∵方程得解为正数，所以m+6＞0，解得：m ＞-6． ∵分式的分母不能为0， ∴x-2≠0，∴x≠2，即m+6≠2． ∴m≠-4．故m ＞-6且m≠-4． 故选C ．8．（2019·邯郸市凌云中学九年级）把0.00258写成10n a ⨯（110a ≤<，n 为整数）的形式，则a n +为（ ） A ．2.58 B ．5.58C ．0.58-D ．0.42-【答案】D解：将0.00258用科学记数法表示为：2.58×10-3． 故a=2.58，n=-3， 则a+n=-0.42． 故选：D ．9．（2020·海南中考真题）分式方程312x =-的解是（ ） A ．1x =- B ．1x = C ．5x =D ．2x =【答案】C 解：312x =- 3=x-2 x=5经检验x=5是分式方程的解 所以该分式方程的解为x=5． 故选：C ．10．（2019·全国八年级课时练习）一项工程，甲、乙二人合做2天完成，已知乙单独完成此项工程比甲单独完成此项工程需多用3天，那么甲单独完成此项工程需（ ） A ．2天 B ．3天C ．4天D ．5天【答案】B 【解析】设甲单独完成此项工程需用x 天, 乙单独完成此项工程需用(x+3)天，根据题意得，解得，， ，经检验，，是原方程的根，但不符合题意，舍去.∴x=3,故甲单独完成此项工程需用3天. 故选B.二、填空题11．（2019·上海市浦东新区进才实验中学七年级月考）0.000621-用科学计数法表示为_____________ 【答案】46.2110--⨯由科学计数法的定义得：40.000621 6.2110--=-⨯.12．（2019·四川七年级期中）-21=2（）__________． 【答案】4 【解析】解：221=2 4.2-⎛⎫= ⎪⎝⎭故答案为：4.13．（2019·四川八年级期中）若关于x 的方程222x mx x-+--＝﹣2有增根，则m 的值是_____． 【答案】0解：去分母得2﹣（x ﹣m ）＝﹣2（x ﹣2）， 解得x ＝2﹣m ，当x ＝2时，原方程有增根，即2﹣m ＝2，解得m ＝0． 故答案为0．14．（2020·江苏南通第一初中八年级月考）已知关于x 的分式方程211a x +=+的解是负数，则a 的取值范围_____________． 【答案】1a <-且2a ≠- 解：211a x +=+ a+2=x+1 x=a+1，∵方程的解是负数，x≠-1 ∴a+1<0，且a+2≠0， 解得a<-1，且a ≠-2， 故答案为：1a <-且2a ≠-．15．（2019·上海市闵行区七宝第三中学七年级月考）比较大小：412-⎛⎫- ⎪⎝⎭______413-⎛⎫- ⎪⎝⎭.（在横线上填“>”或“<”） 【答案】<444111121116221====16-⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 444111131181331====81-⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 因为16＜81所以412-⎛⎫- ⎪⎝⎭＜413-⎛⎫- ⎪⎝⎭三、解答题16．（2019·湖北十堰市北京路中学九年级月考）计算：()1212|2|4π2-⎛⎫-+-+--- ⎪⎝⎭【答案】5--解：()1212|2|4π2-⎛⎫-+-+--- ⎪⎝⎭=1242-+--=5-17．（2020·浙江杭州市·七年级期中）解方程：（1）11322x x x --=-- （2）25231x x x x +=++ 【答案】（1）x=3；（2）无解 解：（1）去分母得： 1-3（x-2）=-（x-1）， 解得：x=3，经检验：x=3是原方程的解， 即原方程的解为x=3； （2）去分母得：5x+2=3x ， 解得：x=-1，经检验x=-1是分式方程的增根， 即原方程无解．18．（2020·浙江七年级期末）某商场经销A ，B 两款商品，若买20件A 商品和10件B 商品用了360元；买30件A 商品和5件B 商品用了500元． （1）求A 、B 两款商品的单价；（2）若对A 、B 两款商品按相同折扣进行销售，某顾客发现用640元购买A 商品的数量比用224元购买B 商品的数量少20件，求对A 、B 两款商品进行了几折销售？（3）若对A 商品进行5折销售，B 商品进行8折销售，某顾客同时购买A 、B 两种商品若干件，正好用完49.6元，问该顾客同时购买A 、B 两款商品各几件？【答案】（1）A 商品的单价是16元，B 商品的单价是4元；（2）8折；（3）顾客购买A 商品1件，B 商品13件；或A 商品3件，B 商品8件；A 商品5件，B 商品3件 解：（1）设A 商品单价为x 元，B 商品单价为y 元.根据题意，得：2010360 305500x yx y+=⎧⎨+=⎩解得164 xy=⎧⎨=⎩所以A商品的单价是16元，B商品的单价是4元.（2）设打折后A、B两款商品进的价格分别为16a和4a，则6402242016a4a=-解得a=0.8经检验，a=0.8为原方程的解且符合题意所以A、B两款商品进行了8折销售（3）设顾客购买A商品m件，B商品n件.则8m 3.2n49.6+=m 6.20.4n=-∵m、n都为正整数∴①m=1,n=13②m=3,n=8③m=5,n=3所以顾客购买A商品1件，B商品13件；或A商品3件，B商品8件；A商品5件，B商品3件.。
分式与分式方程(3大考点)(解析版)三年(2022-2024)中考数学真题分类汇编(全国通用)
专题07分式与分式方程（3大考点）（解析版）三年（2022-2024）中考数学真题分类汇编（全国通用）【考点归纳】一、考点01解分式方程----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1二、考点02分式方程的解-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------11三、考点03分式方程的应用-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------16考点01解分式方程一、考点01解分式方程1．（2024·山东济宁·中考真题）解分式方程1513126x x-=---时，去分母变形正确的是（）A ．2625x -+=-B ．6225x --=-C ．2615x --=D ．6215x -+=2．（2024·四川泸州·中考真题）分式方程322x x-=--的解是（）A ．73x =-B ．=1x -C ．53x =D ．3x =1362x -+=-，39x -=-，3x =，经检验3x =是该方程的解，故选：D ．3．（2024·四川德阳·中考真题）分式方程153x x =+的解是（）A ．3B ．2C ．32D ．344．（2023·辽宁大连·中考真题）解方程311x x x+=--去分母，两边同乘(1)x -后的式子为（）A ．133(1)x x +=-B ．13(1)3x x +-=-C ．133x x -+=-D ．13(1)3x x+-=【答案】B【分析】本题考查了解分式方程时去分母，找到分式方程的公分母是解题的关键．根据分式方程的解法，两侧同乘(1)x -化简分式方程即可．【详解】解：分式方程的两侧同乘(1)x -得：13(1)3x x +-=-．故选：B ．5．（2023·海南·中考真题）分式方程115x =-的解是（）A ．6x =B ．6x =-C ．5x =D ．5x =-【答案】A【分析】先去分母将分式方程化为整式方程，解方程得到x 的值，再检验即可得到答案．【详解】解：去分母得：15x =-，解得：6x =，检验，当6x =时，510x -=≠，∴原分式方程的解是6x =，故选：A ．【点睛】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤，注意要检验．6．（2023·黑龙江哈尔滨·中考真题）方程231x x =+的解为（）A ．1x =B ．=1x -C ．2x =D ．2x =-7．（2023·湖南·中考真题）将关于x 的分式方程21x x =-去分母可得（）A ．332x x -=B ．312x x -=C ．31x x -=D ．33x x-=8．（2023·甘肃兰州·中考真题）方程213x =+的解是（）A ．1x =B ．=1x -C ．5x =D ．5x =-【答案】B【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得解．【详解】解：去分母得：23x =+，解得=1x -，经检验=1x -是分式方程的解．故选：B ．【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键．9．（2023·上海·中考真题）在分式方程2221521x x x x -+=-中，设221x y x -=，可得到关于y 的整式方程为（）A ．2550y y ++=B ．2550y y -+=C ．2510y y ++=D ．2510y y -+=10．（2024·浙江·中考真题）若11x =-，则x =【答案】3【分析】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】解：去分母得：21x =-，移项合并得：3x -=-，解得：3x =，经检验，3x =是分式方程的解，故答案为：311．（2024·北京·中考真题）方程11023x x+=的解为.12．（2024·四川宜宾·中考真题）分式方程301x x +-=的解为．13．（2023·江苏·中考真题）方程1121x -=+的解是．故答案为：2x =-【点睛】此题考查了分式方程的求解，解题的关键是掌握分式方程的求解方法．14．（2023·北京·中考真题）方程31512x x=+的解为．【答案】1x =【分析】方程两边同时乘以()251x x +化为整式方程，解整式方程即可，最后要检验．【详解】解：方程两边同时乘以()251x x +，得651x x =+，解得：1x =，经检验，1x =是原方程的解，故答案为：1x =．【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．15．（2023·江苏苏州·中考真题）分式方程123x x +=的解为x =．【答案】3-【分析】方程两边同时乘以3x ，化为整式方程，解方程验根即可求解．【详解】解：方程两边同时乘以3x ，()312x x +=解得：3x =-，经检验，3x =-是原方程的解，故答案为：3-．【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．16．（2023·重庆·中考真题）若关于x 的一元一次不等式组+34222x x a ⎧≤⎪⎨⎪-≥⎩，至少有2个整数解，且关于y 的分式方程14222a y y-+=--有非负整数解，则所有满足条件的整数a 的值之和是．17．（2022·山东威海·中考真题）按照如图所示的程序计算，若输出y的值是2，则输入x的值是．18．（2022·四川成都·中考真题）分式方程144x x x-+=的解是．19．（2024·福建·中考真题）解方程：122x x +=+-．20．（2024·陕西·中考真题）解方程：2111x x +=--．【答案】3x =-【分析】本题主要考查了解分式方程，先去分母变分式方程为整式方程，然后再解整式方程，最后对方程的解进行检验即可．21．（2024·广东广州·中考真题）解方程：x x=．2522．（2023·西藏·中考真题）解分式方程：1-=．11x x23．（2023·山西·中考真题）解方程：1122x x +=．24．（2022·青海西宁·中考真题）解方程：220x x x x-=+-．【答案】7x =【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】解：方程两边同乘()()11x x x +-，得()()41310x x --+=，解得7x =，检验：当7x =时，()()110x x x +-≠，所以，原分式方程的解为7x =．【点睛】本题主要考查了解分式方程，掌握求解的方法是解题的关键，注意解分式方程一定要验根．25．（2022·江苏苏州·中考真题）解方程：311x x x+=．二、考点02分式方程的解26．（2024·四川遂宁·中考真题）分式方程2111m x x =---的解为正数，则m 的取值范围（）A ．3m >-B ．3m >-且2m ≠-C ．3m <D ．3m <且2m ≠-27．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如果关于x 的分式方程01m x x -=+的解是负数，那么实数m 的取值范围是（）A ．1m <且0m ≠B ．1m <C ．1m >D ．1m <且1m ≠-【答案】A【分析】本题考查了根据分式方程的解的情况求参数，解分式方程求出分式方程的解，再根据分式方程的28．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）已知关于x 的分式方程233x x -=--无解，则k 的值为（）A ．2k =或1k =-B ．2k =-C ．2k =或1k =D ．1k =-29．（2023·山东淄博·中考真题）已知1x =是方程322x x -=--的解，那么实数m 的值为（）A ．2-B ．2C ．4-D ．430．（2023·黑龙江·中考真题）已知关于x 的分式方程122x x +=--的解是非负数，则m 的取值范围是（）A ．2m ≤B ．2m ≥C ．2m ≤且2m ≠-D ．2m <且2m ≠-31．（2022·重庆·中考真题）若关于x 的一元一次不等式组1351x x a-⎧-≥⎪⎨⎪-⎩＜的解集为2x ≤-，且关于y 的分式方程1211y a y y -=-++的解是负整数，则所有满足条件的整数a 的值之和是（）A ．－26B ．－24C ．－15D ．－1332．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）若分式方程311x mx x x =-的解为正整数，则整数m 的值为．33．（2024·重庆·中考真题）若关于x 的一元一次不等式组2133423x x x a+⎧≤⎪⎨⎪-<+⎩的解集为4x ≤，且关于y 的分式方程8122a y y y --=++的解均为负整数，则所有满足条件的整数a 的值之和是．34．（2024·四川达州·中考真题）若关于x 的方程122x x --=无解，则k 的值为．35．（2023·四川巴中·中考真题）关于x 的分式方程322x x ++=有增根，则m =．三、考点03分式方程的应用36．（2024·山东·中考真题）为提高生产效率，某工厂将生产线进行升级改造，改造后比改造前每天多生产100件，改造后生产600件的时间与改造前生产400件的时间相同，则改造后每天生产的产品件数为（）A ．200B ．300C ．400D ．50037．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）A，B两种机器人都被用来搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每小时多搬运30千克，A型机器人搬运900千克所用时间与B型机器人搬运600千克所用时间相等．A，B 两种机器人每小时分别搬运多少干克化工原料？（）A．60，30B．90，120C．60，90D．90，6038．（2024·四川达州·中考真题）甲乙两人各自加工120个零件，甲由于个人原因没有和乙同时进行，乙先加工30分钟后，甲开始加工．甲为了追赶上乙的进度，加工的速度是乙的1.2倍，最后两人同时完成．求乙每小时加工零件多少个？设乙每小时加工x个零件．可列方程为（）A．120120301.2x x-=B．120120301.2x x-=C．120120301.260x x-=D．120120301.260x x-=39．（2024·甘肃临夏·中考真题）端午节期间，某商家推出“优惠酬宾”活动，决定每袋粽子降价2元销售．细心的小夏发现，降价后用240元可以比降价前多购买10袋，求：每袋粽子的原价是多少元？设每袋粽子的原价是x元，所得方程正确的是（）A．240240102x x-=+B．240240102x x-=-C．240240102x x-=D．240240102x x-=40．（2023·山东青岛·中考真题）某校组织学生进行劳动实践活动，用1000元购进甲种劳动工具，用2400元购进乙种劳动工具，乙种劳动工具购买数量是甲种的2倍，但单价贵了4元．设甲种劳动工具单价为x 元，则x满足的分式方程为．41．（2023·内蒙古呼和浩特·中考真题）甲、乙两船从相距150km的A，B两地同时匀速沿江出发相向而行，甲船从A地顺流航行90km时与从B地逆流航行的乙船相遇．甲、乙两船在静水中的航速均为30km/h，则江水的流速为km/h．42．（2023·湖北武汉·中考真题）我国古代数学经典著作《九章算术》记载：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”如图是善行者与不善行者行走路程s（单位：步）关于善行者的行走时间t的函数图象，则两图象交点P的纵坐标是．43．（2022·江西·中考真题）甲、乙两人在社区进行核酸采样，甲每小时比乙每小时多采样10人，甲采样160人所用时间与乙采样140人所用时间相等，甲、乙两人每小时分别采样多少人？设甲每小时采样x人，则可列分式方程为．44．（2024·云南·中考真题）某旅行社组织游客从A地到B地的航天科技馆参观，已知A地到B地的路程为300千米，乘坐C型车比乘坐D型车少用2小时，C型车的平均速度是D型车的平均速度的3倍，求D型车的平均速度．答：D型车的平均速度为100km/h．45．（2024·江苏扬州·中考真题）为了提高垃圾处理效率，某垃圾处理厂购进A、B两种机器，A型机器比B 型机器每天多处理40吨垃圾，A型机器处理500吨垃圾所用天数与B型机器处理300吨垃圾所用天数相等．B 型机器每天处理多少吨垃圾？46．（2024·广西·中考真题）综合与实践在综合与实践课上，数学兴趣小组通过洗一套夏季校服，探索清洗衣物的节约用水策略．【洗衣过程】步骤一：将校服放进清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后拧干；步骤二：将拧干后的校服放进清水中，充分漂洗后拧干．重复操作步骤二，直至校服上残留洗衣液浓度达到洗衣目标．假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为0.2%，每次拧干后校服上都残留0.5kg水．浓度关系式：0.50.5ddw=+前后．其中d前、d后分别为单次漂洗前、后校服上残留洗衣液浓度；w为单次漂洗所加清水量（单位：kg）【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于0.01%【动手操作】请按要求完成下列任务：(1)如果只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为0.01%，需要多少清水？(2)如果把4kg清水均分，进行两次漂洗，是否能达到洗衣目标？(3)比较（1）和（2）的漂洗结果，从洗衣用水策略方面，说说你的想法．【答案】(1)只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为0.01%，需要9.5kg清水．(2)进行两次漂洗，能达到洗衣目标；(3)两次漂洗的方法值得推广学习47．（2024·重庆·中考真题）为促进新质生产力的发展，某企业决定投入一笔资金对现有甲、乙两类共30条生产线的设备进行更新换代．(1)为鼓励企业进行生产线的设备更新，某市出台了相应的补贴政策．根据相关政策，更新1条甲类生产线的设备可获得3万元的补贴，更新1条乙类生产线的设备可获得2万元的补贴．这样更新完这30条生产线的设备，该企业可获得70万元的补贴．该企业甲、乙两类生产线各有多少条？(2)经测算，购买更新1条甲类生产线的设备比购买更新1条乙类生产线的设备需多投入5万元，用200万元购买更新甲类生产线的设备数量和用180万元购买更新乙类生产线的设备数量相同，那么该企业在获得70万元的补贴后，还需投入多少资金更新生产线的设备？48．（2023·山东济南·中考真题）某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模型．A 型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同．(1)求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元?(2)学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少?最少花费是多少元?49．（2023·辽宁沈阳·中考真题）甲、乙两人加工同一种零件，每小时甲比乙多加工2个这种零件，甲加工25个这种零件所用的时间与乙加工20个这种零件所用的时间相等，求乙每小时加工多少个这种零件．【答案】乙每小时加工8个这种零件．50．（2023·宁夏·中考真题）“人间烟火味，最抚凡人心”，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源．某经营者购进了A型和B型两种玩具，已知用520元购进A型玩具的数量比用175元购进B型玩具的数量多30个，且A型玩具单价是B型玩具单价的1.6倍．(1)求两种型号玩具的单价各是多少元？根据题意，甲、乙两名同学分别列出如下方程：甲：520175301.6x x=+，解得5x=，经检验5x=是原方程的解．乙：5201751.630x x=⨯-，解得65x=，经检验65x=是原方程的解．则甲所列方程中的x表示_______，乙所列方程中的x表示_______；(2)该经营者准备用1350元以原单价再次购进这两种型号的玩具共200个，则最多可购进A型玩具多少个？51．（2023·山东·中考真题）某校组织学生去郭永怀纪念馆进行研学活动．纪念馆距学校72千米，部分学生乘坐大型客车先行，出发12分钟后，另一部分学生乘坐小型客车前往，结果同时到达．已知小型客车的速度是大型客车速度的1.2倍，求大型客车的速度．52．（2023·贵州·中考真题）为推动乡村振兴，政府大力扶持小型企业．根据市场需求，某小型企业为加快生产速度，需要更新生产设备，更新设备后生产效率比更新前提高了25%，设更新设备前每天生产x件产品．解答下列问题：(1)更新设备后每天生产_______件产品（用含x的式子表示）；(2)更新设备前生产5000件产品比更新设备后生产6000件产品多用2天，求更新设备后每天生产多少件产品．53．（2023·广东·中考真题）某学校开展了社会实践活动，活动地点距离学校12km，甲、乙两同学骑自行车同时从学校出发，甲的速度是乙的1.2倍，结果甲比乙早到10min，求乙同学骑自行车的速度．54．（2023·重庆·中考真题）某公司不定期为员工购买某预制食品厂生产的杂酱面、牛肉面两种食品．(1)该公司花费3000元一次性购买了杂酱面、牛肉面共170份，此时杂酱面、牛肉面的价格分别为15元、20元，求购买两种食品各多少份？(2)由于公司员工人数和食品价格有所调整，现该公司分别花费1260元、1200元一次性购买杂酱面、牛肉面两种食品，已知购买杂酱面的份数比牛肉面的份数多50％，每份杂酱面比每份牛肉面的价格少6元，求购买牛肉面多少份？。
2023年中考数学一轮复习 第8讲 分式方程 专题训练(浙江专用)(含解析)
第8讲分式方程 2023年中考数学一轮复习专题训练（浙江专用）一、单选题1．（2022·杭州）照相机成像应用了一个重要原理，用公式1f=1μ+1ν(v≠f)表示，其中f表示照相机镜头的焦距，μ表示物体到镜头的距离，v表示胶片(像)到镜头的距离．已知f，v，则μ=()A．fvf−v B．f−vfv C．fvv−f D．v−ffv2．（2022·金东模拟）众志成城，抗击疫情，某医护用品集团计划生产口罩1500万只，实际每天比原计划多生产2000只，结果提前5天完成任务，则原计划每天生产多少万只口罩？设原计划每天生产x万只口罩，根据题意可列方程为（）A．1500x+0.2−1500x=5B．1500x=1500x+2000+5C．1500x+2000=1500x+5D．1500x−1500x+0.2=53．（2022·丽水）某校购买了一批篮球和足球，已知购买足球的数量是篮球的2倍，购买足球用了5000元，购买篮球用了4000元，篮球单价比足球贵30元.根据题意可列方程50002x=4000x﹣30，则方程中x表示（）A．足球的单价B．篮球的单价C．足球的数量D．篮球的数量4．（2022·萧山模拟）师徒两人每小时共加工35个电器零件，徒弟做了120个时，师傅恰好做了160个.设徒弟每小时做x个电器零件，则根据题意可列方程为（）A．120x=16035−x B．12035−x=160xC．120x=16035+x D．12035+x=160x5．（2022·椒江模拟）北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”引爆购买潮，导致“一墩难求”，某工厂承接了60万只冰墩墩的生产任务，实际每天的生产效率比原计划提高了25%，提前10天完成任务.设原计划每天生产x万只冰墩墩，则下面所列方程正确的是（）A．60x−60×(1+25%)x=10B．60(1+25%)x−60x=10C．60×(1+25%)x−60x=10D．60x−60(1+25%)x=106．（2022·舟山模拟）“五•一”江北水城文化旅游节期间，几名同学包租一辆面包车前去旅游，面包车的租价为180元，出发时又增加了两名同学，结果每个同学比原来少摊了3元钱车费，设原来参加游览的同学共x 人，则所列方程为（ ） A ．180x−2 ﹣ 180x ＝3B ．180x+2 ﹣ 180x ＝3C ．180x ﹣ 180x−2＝3 D ．180x −180x+2=3 7．（2022·吴兴模拟）某书店分别用500元和700元两次购进一本小说，第二次数量比第一次多4套，且两次进价相同.若设该书店第一次购进x 套，根据题意，列方程正确的是（ ） A ．500x =700x−4B ．500x−4=700xC ．500x =700x+4D ．500x+4=700x8．（2022·衢州模拟）若关于x 的一元一次不等式组{3x −2≥2(x +2)a −2x <−5的解集为x ≥6，且关于y 的分式方程y+2a y−1+3y−81−y =2的解是正整数，则所有满足条件的整数a 的值之和是（ ） A ．5B ．8C ．12D ．159．（2022·宁海模拟）分式方程1x−1=x 1−x +2的解为（ ） A ．x =−1 B ．x =1 C ．x =3D ．x 1=1，x 2=310．（2022·温州模拟）同学聚餐预定的酒席价格为2400元，但有两位同学因时间冲突缺席，若总费用由实际参加的人平均分摊，则每人比原来多支付40元，设原来有x 人参加聚餐，由题意可列方程（ ）A ．2400x+2=2400x +40B ．2400x+40+40=2400xC ．2400x =2400x−2+40 D ．2400x +40=2400x−2二、填空题11．（2022·台州）如图的解题过程中，第①步出现错误，但最后所求的值是正确的，则图中被污染的x 的值是 ．先化简，再求值： 3−x x−4+1 ，其中 x =解：原式 =3−xx−4⋅(x −4)+(x −4)…①12．（2022·宁波）定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，a ⊗b= 1a+1b．若(x+1) ⊗x= 2x+1x，则x的值为13．（2022·秀洲模拟）某班同学到距学校12千米的森林公园植树，一部分同学骑自行车先行，半小时后，其余同学乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是自行车速度的3倍，求自行车和汽车的速度。
【解析版】中考数学常考易错点：2.2《分式方程》(原创)
分式方程易错清单1. 解分式方程时为什么容易出错?【例1】(2018·新疆)解分式方程:+=1.【解析】先将分式方程转换为整式方程,再求出整式方程的解,最后检验后判定分式方程解的情况.【答案】方程两边都乘以(x+3)(x-3),得3+x(x+3)=x2-9,去括号,得3+x2+3x=x2-9,解得x=-4.检验:把x=-4代入(x+3)(x-3)≠0,∴x=-4是原分式方程的解.【误区纠错】最简公分母找错,加重计算负担,导致出错;在计算中,注意常数项要乘以最简公分母,不要漏乘. 【例2】(2018·内蒙古呼和浩特)解方程:-=0.【解析】先去分母,化为整式方程求解即可.本题最简公分母是x(x+2)(x-2).【答案】去分母,得3x-6-x-2=0,解得x=4,经检验,x=4是原方程的根,故x=4是原方程的解.【误区纠错】解分式方程产生增根,忘记验根.【例3】(2018·贵州黔西南州)解方程:=.【解析】将分式方程转化为整式方程时易产生增根,所以要检验,检验时只要代入最简公分母中即可.【答案】方程两边都乘以(x+2)(x-2),得x+2=4,解得x=2,经检验,x=2不是分式方程的解,故原分式方程无解.【误区纠错】增根不是分式方程的根,本题学生常犯错误是,漏写最后一句话:“原分式方程无解”.2. 运用分式方程解决实际问题时,关键是找出等量关系.【例4】(2018·云南)“母亲节”前夕,某商店根据市场调查,用3000元购进第一批盒装花,上市后很快售完,接着又用5000元购进第二批这种盒装花.已知第二批所购花的盒数是第一批所购花盒数的2倍,且每盒花的进价比第一批的进价少5元.求第一批盒装花每盒的进价是多少元?【解析】设第一批盒装花的进价是x元/盒,则第一批进的数量是,第二批进的数量是,再根据等量关系:第二批进的数量=第一批进的数量×2,可得方程.【答案】设第一批盒装花的进价是x元/盒,由题意,得2×=,解得x=30.经检验,x=30是原方程的根.故第一批盒装花每盒的进价是30元.【误区纠错】题目中的相等关系不明显,倍数关系易出错,学生找不到相等关系而无法得到对应的分式方程.运用分式方程解决实际问题的关键是确定问题中的相等关系.名师点拨1. 会利用分式方程的定义判断分式方程.2. 能利用最简公分母将分式方程化为整式方程,会利用换元思想解分式方程.3. 会利用检验思想判断分式是否存在增根.4. 会利用分式方程解决实际问题,并且注意求出的方程的解是否存在实际意义.提分策略1. 分式方程的解法.解分式方程常见的误区:(1)忘记验根;(2)去分母时漏乘整式的项;(3)去分母时,没有注意符号的变化.【例1】解方程:+=1.【解析】根据解分式方程的一般步骤,将分式方程化为整式方程求解,最后再验根即可.【答案】方程两边都乘以(x+2)(x-2),得2+x(x+2)=x2-4,去括号,得2+x2+2x=x2-4,解得x=-3.检验:把x=-3代入(x+2)(x-2)≠0,∴x=-3是原分式方程的解.2. 利用分式方程解决实际问题.列分式方程解决实际问题,是近几年中考的热点问题.在列方程之前,应先弄清问题中的已知数与未知数,以及它们之间的数量关系,用含未知数的式子表示相关量,然后再用题中的主要相等关系列出方程.求出解后,必须进行检验,既要检验是否为所列方程的解,又要检验是否符号题意.【例2】几个小伙伴打算去音乐厅观看演出,他们准备用360元购买门票.下面是两个小伙伴的对话:根据对话的内容,请你求出小伙伴们的人数.【解析】设票价为x元,根据图中所给的信息可得小伙伴的人数为,根据小伙伴的人数不变,列方程求解. 【答案】设票价为x元,由题意,得=+2,解得x=60,经检验,x=60是原方程的根,则小伙伴的人数为=8.故小伙伴们的人数为8人.专项训练一、选择题1. (2018·四川简阳模拟)全民健身活动中,组委会组织了长跑队和自行车队进行宣传,全程共10千米,自行车队的速度是长跑队速度的2.5倍,自行车队出发半小时后,长跑队才出发,结果长跑队比自行车队晚到了2小时,如果设长跑队跑步的速度为x千米/时,那么根据题意可列方程为( ).A. +2=+0.5B. -=2-0.5C. -=2-0.5D. -=2+0.52. (2018·广西钦州四模)将分式方程1-=去分母,整理后得( ).A. 8x+1=0B. 8x-3=0C. x2-7x+2=0D. x2-7x-2=0二、填空题3. (2018·四川峨眉山二模)已知某项工程由甲、乙两队合做12天可以完成,乙队单独完成这项工程所需时间是甲队单独完成这项工程所需时间的2倍少10天.甲、乙两队单独完成这项工程分别需要多少天?设甲队单独完成需x天,根据题意列出的方程是.4. (2018·北京平谷区模拟)A,B两种机器人都被用来搬运化工原料,A型机器人比B型机器人每小时多搬运20千克,A型机器人搬运1000千克所用时间与B型机器人搬运800千克所用时间相等,则A型机器人每小时搬运千克化工原料.5. (2018·甘肃天水模拟)已知分式值为0,那么x的值为.6. (2018·广东珠海一模)方程=的解是.7. (2018·浙江锦绣·育才教育集团一模)已知关于x的方程=5的解是正数,则m的取值范围为.三、解答题8. (2018·宁夏银川外国语学校模拟)解方程:-1=.9. (2018·安徽安庆一模)甲、乙两个工程队都有能力承包一项筑路工程,乙队单独完成的时间比甲队单独完成多5天,若先由甲、乙两队合作4天后,余下的工程再由乙队单独完成,一共所用时间和甲队单独完成的时间恰好相等.则甲、乙两队单独完成此项任务各需要多少天?10. (2018·江苏南京二模)某学校准备组织部分学生到少年宫参加活动,刘老师从少年宫带回来两条信息:信息一:按原来报名参加的人数,共需要交费用320元,如果参加的人数能够增加到原来人数的2倍,就可以享受优惠,此时只需交费用480元;信息二:如果能享受优惠,那么参加活动的每位同学平均分摊的费用比原来少4元.根据以上信息,原来报名参加的学生有多少人?11. (2018·浙江湖州模拟)解方程:+=2.12. (2018·上海长宁区二模)解方程:-=.13. (2018·广东惠州惠城区模拟)小红家星期六到惠东巽寮湾游玩,从家到目的地全程80km,由于周末车流量较大,实际行驶速度是原计划的,结果实际比原计划多用了15分钟,求原计划的行驶速度是多少.14. (2018·安徽芜湖一模)2019年3月25日央视《每周质量播报》报道“毒胶囊”的事件后,全国各大药店的销售都受到不同程度的影响,4月初某种药品的价格大幅度下调,下调后每盒价格是原价格的,原来用60元买到的药品下调后可多买2盒.4月中旬,各部门加大了对胶囊生产监管力度,因此,药品价格4月底开始回升,经过两个月后,药品上调为每盒14.4元.(1)问该药品的原价格是多少,下调后的价格是多少?(2)问5,6月份药品价格的月平均增长率是多少?参考答案与解析1. C [解析]自行车队的时间减去长跑队的时间=(2-0.5)小时.2. D [解析]去分母,得x(x+1)-(5x+2)=3x,去括号,得x2+x-5x-2=3x,整理,得x2-7x-2=0.3. += [解析]若甲队单独完成需x天,则乙队单独完成需(2x-10)天,根据两人合作的工作效率等于,可列出方程.4. 100 [解析]设 A型机器人每小时搬运化工原料x千克,则B型机器人每小时搬运(x-20)千克.依题意,得=,解得 x=100.经检验,x=100是方程的解且符合实际意义.5. -1 [解析]根据题意,得x2+3x+2=0,解得x1=-1,x2=-2(使分母等于零,所以舍去).6. x= [解析]化为整式方程,得5(2-x)=3(x+2),解得x=. 经检验,x=是原方程的根.7. m>-10且m≠-4 [解析]原方程化为整式方程,得2x+m=5x-10,解得x=(10+m),因为解为正数,所以(10+m)>0,解得m>-10. 同时要保证分母不为零,所以m≠-4.8. 去分母,得x(x+2)-(x-1)(x+2)=2x(x-1),整理,得2x2-3x-2=0,解得x1=-,x2=2.检验:把x1=-,x2=2代入(x-1)(x+2)≠0,∴原方程的根是x1=-,x2=2.9. (1)设甲队单独完成此项任务需要x天,则乙队单独完成此项任务需要(x+5)天.根据题意,得4+=1,去分母,得4(x+5)+4x+x(x-4)=x(x+5).解得x=20.经检验,x=20是原方程的解,则x+5=25(天).所以甲队单独完成此项任务需要20天,乙队单独完成此项任务需要25天.10. 设原来报名参加的学生有x人,依题意,得-=4.解得x=20.经检验,x=20是原方程的解且符合题意.故原来报名参加的学生有20人.11. 去分母,得x-1=2(x-3),去括号,得x-1=2x-6,解得x=5.经检验,x=5是原方程的根.12. 去分母,得3(x+1)-(x-1)=x(x+5),整理,得 x2+3x-4=0,解得x1=1,x2=-4.经检验,x1=1是原方程的增根,x2=-4是原方程的根,∴x=-4是原方程的根.13. 设原计划的行驶速度为x千米/小时.根据题意,得-=.解得x=80.经检验,x=80是原方程的解.故原计划的行驶速度为80千米/小时.14. (1)设该药品的原价格是x元/盒,则下调后每盒价格是x元/盒. 根据题意,得=+2,解得x=15.经检验,x=15是原方程的解.∴x=15,x=10.故该药品的原价格是15元/盒,则下调后每盒价格是10元/盒. (2)设5,6月份药品价格的月平均增长率是a.根据题意,得10(1+a)2=14.4,解得a1=0.2=20%,a2=-2.2(不合题意,舍去).故5,6月份药品价格的月平均增长率是20%.。
(专题精选)初中数学方程与不等式之分式方程经典测试题及解析
（专题精选）初中数学方程与不等式之分式方程经典测试题及解析一、选择题1．如图，在平面直角坐标系中，以O 为圆心，适当长为半径画弧，交x 轴于点M ，交y 轴于点N ，再分别一点M N 、为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P . 若点P 的坐标为11,423a a ⎛⎫⎪-+⎝⎭，则a 的值为( )A ．1a =-B ．7a =-C ．1a =D ．13a =【答案】D 【解析】 【分析】根据作图过程可得P 在第二象限角平分线上，有角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得11=423a a -+，再根据P 点所在象限可得横纵坐标的和为0，进而得到a 的数量关系． 【详解】根据作图方法可得点P 在第二象限角平分线上， 则P 点横纵坐标的和为0， 故11+423a a -+=0， 解得：a=13. 故答案选：D. 【点睛】本题考查的知识点是作图—基本作图, 坐标与图形性质, 角平分线的性质，解题的关键是熟练的掌握作图—基本作图, 坐标与图形性质, 角平分线的性质作图—基本作图, 坐标与图形性质, 角平分线的性质.2．某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨13，小丽家去年12月份的水费是15元，而今年5月的水费则是30元，已知小丽家今年5月的用水量比去年12月的用水量多35m．求该市今年居民用水的价格．设去年居民用水价格为x元/3m，根据题意列方程，正确的是（）A．30155113xx-=⎛⎫+⎪⎝⎭B．30155113xx-=⎛⎫-⎪⎝⎭C．15305113xx-=⎛⎫+⎪⎝⎭D．15305113xx-=⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】A【解析】【分析】利用总水费÷单价＝用水量，结合小丽家今年5月的用水量比去年12月的用水量多5m3得出方程即可．【详解】解：设去年居民用水价格为x元/3m，根据题意得：30155113xx-=⎛⎫+⎪⎝⎭，故选：A．【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确表示出用水量是解题关键．3．某服装店用10000元购进一批某品牌夏季衬衫若干件，很快售完；该店又用14700元钱购进第二批这种衬衫，所进件数比第一批多40%，每件衬衫的进价比第一批每件衬衫的进价多10元，求第一批购进多少件衬衫？设第一批购进x件衬衫，则所列方程为（）A．10000x﹣10=14700(140)0x+B．10000x+10=14700(140)0x+C．10000(140)0x-﹣10=14700xD．10000(140)0x-+10=14700x【答案】B【解析】【分析】根据题意表示出衬衫的价格，利用进价的变化得出等式即可．【详解】解：设第一批购进x件衬衫，则所列方程为：10000x +10=()1470001400x +．故选B ． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确找出等量关系是解题关键．4．方程24222x x x x =-+-- 的解为（ ） A ．2 B ．2或4C ．4D ．无解【答案】C 【解析】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】去分母得：2x=（x ﹣2）2+4，分解因式得：（x ﹣2）[2﹣（x ﹣2）]=0， 解得：x=2或x=4，经检验x=2是增根，分式方程的解为x=4， 故选C ． 【点睛】此题考查了解分式方程，以及分式方程的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．5．若 x=3 是分式方程2102a x x --=- 的根，则 a 的值是A ．5B ．-5C ．3D ．-3【答案】A 【解析】把x=3代入原分式方程得，210332a --=-，解得，a=5，经检验a=5适合原方程. 故选A.6．体育测试中，小进和小俊进行800米跑测试，小进的速度是小俊的1.25倍，小进比小俊少用了40秒，设小俊的速度是x 米/秒，则所列方程正确的是（ ） A ．4 1.2540800x x ⨯-=B ．800800402.25x x -= C ．800800401.25x x -= D ．800800401.25x x-= 【答案】C【分析】先分别表示出小进和小俊跑800米的时间，再根据小进比小俊少用了40秒列出方程即可． 【详解】小进跑800米用的时间为8001.25x 秒，小俊跑800米用的时间为800x秒， ∵小进比小俊少用了40秒，方程是800800401.25x x-=， 故选C ． 【点睛】本题考查了列分式方程解应用题，能找出题目中的相等关系式是解此题的关键．7．如果关于x 的分式方程11222a x x-+=--有整数解，且关于x 的不等式组43(1)211(1)22x x x x a ≥-⎧⎪⎨-+<-⎪⎩有且只有四个整数解，那么符合条件的所有整数a 的和是（ ） A ．4 B ．-2C ．-3D ．2【答案】A 【解析】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整数方程的解，不等式组整理后，由解只有四个整数解，确定出a 的值，求出之和即可． 【详解】解：分式方程去分母得：1-a+2x-4=-1， 解得：22a x +=，且222a +≠，a 为偶数， 即2a ≠，a 为偶数，不等式组整理得：34x a x ≥-⎧⎪⎨⎪⎩＜，由不等式组只有四个整数解，得到x=-3，-2，-1，0，可得0＜4a≤1，即0＜a≤4，即a=1，2，3，4， 经检验a=4， 则和为4， 故选：A ．此题考查了分式方程的解，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．8．某医疗器械公司接到400件医疗器械的订单，由于生产线系统升级，实际每月生产能力比原计划提高了30%，结果比原计划提前4个月完成交货．设每月原计划生产的医疗器械有x 件，则下列方程正确的是（ ）A ．400400(130%)x x -+＝4 B ．400400(130%)x x -+＝4C ．400400(130%)x x--＝4 D ．4004004(130%)x x-=- 【答案】A 【解析】 【分析】根据“原计划所用时间-实际所用时间=4”可得方程． 【详解】设每月原计划生产的医疗器械有x 件，根据题意，得：()4004004130%x x -=+ 故选A ． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．9．某市在旧城改造过程中，需要整修一段全长2400m 的道路．为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际工作效率比原计划提高了20%，结果提前8小时完成任务．求原计划每小时修路的长度．若设原计划每小时修路xm ，则根据题意可得方程( ) A ．240024008(120%)x x -=+ B ．240024008(120%)x x -=+C ．240024008(120%)x x-=-D ．240024008(120%)x x-=- 【答案】A 【解析】 【分析】求的是原计划的工效，工作总量为2400，根据工作时间来列等量关系．本题的关键描述语是：“提前8小时完成任务”；等量关系为：原计划用的时间-实际用的时间=8． 【详解】原计划用的时间为：2400x，实际用的时间为：()2400120%x+．所列方程为：2400 x -()2400120%x+=8．故选A【点睛】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．本题应用的等量关系为：工作时间=工作总量÷工效．10．若关于x的分式方程233x mx x-=--有增根，则m的值是（）A．1-B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】【分析】根据分式方程的增根的定义得出x-3=0，再进行判断即可．【详解】去分母得：x-2=m，∴x=2+m∵分式方程233x mx x-=--有增根，∴x-3=0，∴x= 3，∴2+m=3，所以m=1，故选：B．【点睛】本题考查了对分式方程的增根的定义的理解和运用，能根据题意得出方程x-3=0是解此题的关键，题目比较典型，难度不大．11．甲、乙两船从相距300km的A、B两地同时出发相向而行，甲船从A地顺流航行180km时与从B地逆流航行的乙船相遇，水流的速度为6km/h，若甲、乙两船在静水中的速度均为xkm/h，则求两船在静水中的速度可列方程为（）A．1806x+=1206x-B．1806x-=1206x+C．1806x+=120xD．180x=1206x-【答案】A 【解析】分析：直接利用两船的行驶距离除以速度=时间，得出等式求出答案．详解：设甲、乙两船在静水中的速度均为xkm/h ，则求两船在静水中的速度可列方程为：1806x +=1206x -． 故选A ．点睛：此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确表示出行驶的时间和速度是解题关键．12．在阳明山国家森林公园举行中国·阳明山“和”文化旅游节暨杜鹃花会期间,几名同学包租一辆车前去游览,该车的租价为180元,出发时,又增加了两名同学,结果每名同学比原来少分摊了3元车费.设参加游览的学生共有x 人,则可列方程为（ ）A ．18018032x x +=- B ．18018032x x -=- C ．18018032x x +=- D ．18018032x x -=- 【答案】D 【解析】 【分析】设参加游览的同学共x 人，则原有的几名同学每人分担的车费为：1802x -元，出发时每名同学分担的车费为：180x元，根据每个同学比原来少摊了3元钱车费即可得到等量关系． 【详解】设参加游览的同学共x 人，根据题意得：1801802x x -=-3． 故选：D ． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是首先弄清题意，根据关键描述语，找到合适的等量关系；易错点是得到出发前后的人数．13．解分式方程221112x x x x --=--时，去分母后所得的方程正确的是（ ） A ．220x x -+= B ．4241x x x -+=- C ．4241x x x +-=- D ．221x x x +-=-【答案】C 【解析】 【分析】根据等式的性质，方程两边同时乘以最简公分母2（x-1），整理即可得答案． 【详解】∵221112x x x x --=--， ∴221112x x x x -+=--， 方程两边同时乘以最简公分母2（x-1）得：4x+2(x-2)=x-1， 去括号得：4x+2x-4=x-1， 故选：C ． 【点睛】本题考查解分式方程，正确得出最简公分母是解题关键．14．如果关于x 的分式方程2ax 423x x 3++=--有正整数解，且关于y 的不等式组()3y 34yy a⎧-⎨≥⎩＞无解，那么符合条件的所有整数a 的和是（ ） A ．﹣16 B ．﹣15C ．﹣6D ．﹣4【答案】D 【解析】 【分析】先根据分式方程有正整数解确定出a 的值，再由不等式组无解确定出满足题意的a 的值，求出之和即可． 【详解】解：分式方程去分母得：2+ax ﹣2x+6＝﹣4， 整理得：(a ﹣2)x ＝﹣12(a ﹣2≠0)， 解得：x 12a 2=--， 由分式方程有正整数解，得到a ＝1，0，﹣1，﹣2，﹣4，﹣10， 当a ＝﹣2时，x ＝3，原分式方程无解， 所以a ＝1，0，﹣1，﹣4，﹣10， 不等式组整理得：y<9y a-⎧⎨≥⎩，由不等式组无解，即a≥﹣9，∴符合条件的所有整数a 有1，0，﹣1，﹣4， ∴a ＝1，0，﹣1，﹣4，之和为﹣4， 故选：D ． 【点睛】此题考查了分式方程的解，解一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．15．已知甲车行驶35千米与乙车行驶45千米所用时间相同，且乙车每小时比甲车多行驶15 千米，设甲车的速度为x千米/小时，依据题意列方程正确的是A．354515x x=-B．3545+15x x=C．3545-15x x=D．3545+15x x=【答案】D【解析】【分析】首先根据甲车的速度为x千米/小时，表示出乙车的速度为（x+15）千米/小时，再根据关键是语句“甲车行驶35千米与乙车行驶45千米所用时间相同”列出方程即可．【详解】解：设甲车的速度为x千米/小时，则乙车的速度为（x+15）千米/小时，由题意得：3545+15x x=，故选D．【点睛】此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，表示出甲乙两车的速度，再根据关键是语句列出方程即可．此题用到的公式是：路程÷速度=时间．16．某单位向一所希望小学赠送1080本课外书，现用A、B两种不同的包装箱进行包装，单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用6个；已知每个B型包装箱比每个A型包装箱可多装15本课外书．若设每个A型包装箱可以装书x本，则根据题意列得方程为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设每个A型包装箱可以装书x本，则每个B型包装箱可以装书（x+15）本，根据单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用6个，列方程得：，故选C. 17．衡阳市某生态示范园计划种植一批梨树，原计划总产值30万千克，为了满足市场需求，现决定改良梨树品种，改良后平均每亩产量是原来的1.5倍，总产量比原计划增加了6万千克，种植亩数减少了10亩，则原来平均每亩产量是多少万千克？设原来平均每亩产量为x万千克，根据题意，列方程为()A．3036101.5x x-=B．3030101.5x x-=C．3630101.5x x-=D．3036101.5x x+=【答案】A【解析】【分析】根据题意可得等量关系：原计划种植的亩数-改良后种植的亩数10=亩，根据等量关系列出方程即可．【详解】设原计划每亩平均产量x万千克，则改良后平均每亩产量为1.5x万千克，根据题意列方程为：3036101.5x x-=．故选：A．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．18．若整数a使得关于x的方程3222ax x-=--的解为非负数，且使得关于y的不等式组3221223y yy a--⎧+>⎪⎪⎨-⎪≤⎪⎩至少有四个整数解，则所有符合条件的整数a的和为（）．A．17 B．18 C．22 D．25【答案】C【解析】【分析】表示出不等式组的解集，由不等式至少有四个整数解确定出a的值，再由分式方程的解为非负数以及分式有意义的条件求出满足题意整数a的值，进而求出之和．【详解】解：3221223y yy a--⎧+>⎪⎪⎨-⎪⎪⎩„，不等式组整理得：1 yy a>-⎧⎨⎩„，由不等式组至少有四个整数解，得到－1＜y≤a，解得：a≥3，即整数a＝3，4，5，6，…，2－322ax x=--，去分母得：2（x－2）－3＝－a，解得：x＝72a -，∵72a-≥0，且72a-≠2，∴a≤7，且a≠3，由分式方程的解为非负数以及分式有意义的条件，得到a为4，5，6，7，之和为22．故选：C．【点睛】此题考查了解分式方程，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．19．2017年，全国部分省市实施了“免费校车工程”．小明原来骑自行车上学，现在乘校车上学可以从家晚10分钟出发，结果与原来到校时间相同．已知小明家距学校5千米，若校车速度是他骑车速度的2倍，设小明骑车的速度为x千米/时，则下面所列方程正确的为()A．5x＋16＝52xB．5x＝52x＋16C．5x＋10＝52xD．5x－10＝52x【答案】B【解析】【分析】设小明骑车的速度为x千米/小时，校车速度为2x千米/小时，等量关系为：小明骑车所走的时间减去校车所走的时间=10分钟，据此列方程．【详解】设小明骑车的速度为x千米/小时，校车速度为2x千米/小时，由题意得, 5x＝52x＋16所以答案为B.【点睛】本题考查了分式方程，解题的关键是根据实际问题列出分式方程.20．如果关于x的不等式（a+1）x>2的解集为x<-1，则a的值是（）．A．a=3 B．a≤-3 C．a=-3 D．a>3【答案】C【解析】【分析】根据不等式的解集得出关于a的方程，解方程即可．【详解】解：因为关于x的不等式（a+1）x>2的解集为x<-1，所以a+1＜0，即a＜-1，且21a+=-1，解得：a=-3．经检验a=-3是原方程的根故选：C．【点睛】此题主要考查了不等式的解集，当题中有两个未知字母时，应把关于某个字母的不等式中的字母当成未知数，求得解集，再根据解集进行判断，求得另一个字母的值．。
中考数学复习专题8分式、分式方程及其应用试题(B卷,含解析)
分式、分式方程及其应用一、选择题1. （ 安徽，5，4分）方程3112=-+x x 的解是（ ） A.-54 B.54C.-4D.4 【答案】D.【逐步提示】先把方程两边同乘以x-1，化分式方程为整式方程，然后解这个整式，检验整式方程的解后直接选择.【详细解答】解：方程两边同乘以x-1,得2x+1=3(x-1),解得x=4,经检验m=4是原方程的解，故选择D.【解后反思】解分式方程的一般方法是把分式方程化成整式方程来解，并且一定要检验方程的根，把增根舍去.本题也可以把各选项的值代入方程找出正确的选项. 【关键词】 分式方程、分式方程的解法2. （ 甘肃省武威市、白银市、定西市、平凉市、酒泉市、临夏州、张掖市等9市，8，3分）某工厂现在平均每天比原计划每天多生产50台机 器，现在生产800台机器所需时间与原计划生产600台机器所需时间相同，设原计划平均每天生产x 台机器，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）A ．90060050x x =+ B ．90060050x x =- C ．90060050x x =+ D ．90060050x x =-【答案】A【逐步提示】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是将题中的相等关系用含有未知数的 代数式表示，用含有x 的代数式表示现在平均每天生产的机器数量，再根据题中关于时间 的相等关系列方程即可．【详细解答】解：设原计划平均每天生产x 台机器，则现在平均每天生产（x +50）台机器， 现在生产800台机器所需时间可表示为90050x +，原计划生产600台机器所需时间可表示为 600x ，根据这两者时间相等，得方程90060050x x=+，故选择A ． 【解后反思】列分式方程与列整式方程一样，先分析题意，准确找出应用题中包含的等量关 系，恰当地设出未知数，列出方程． 【关键词】分式方程的应用；3. （ 甘肃省天水市，7，4分）已知分式2(1)(2)1x x x -+-的值为0．那么x 的值是（ ）A ．－1B ．－2C ．1D ．1或－2【答案】B 【逐步提示】本题考查了分式的值为0的条件，求解关键是根据这个条件列出方程和不等式．本题涉及到的知识：分式有意义的条件是分母不为0；分式的值为0的条件是分子为0，且分母不为0．【详细解答】解：根据题意，得()()212010x x x ⎧-+=⎪⎨-≠⎪⎩，解之得x ＝－2，故选择B ．【解后反思】实际求解中，学生易忽视分母不等于0的条件而错误地选择D ．【关键词】分式；一元二次方程的解法——因式分解法；一元二次方程的解法——直接开平方法． 4. （广东省广州市，14，3分）方程x 21=32-x 的解是 ． 【答案】x =－1【逐步提示】利用解分式方程的一般步骤直接解分式方程即得其解．【详细解答】解：去分母，得x －3=4x ．移项合并同类项，得－3x =3．∴x =－1．检验：当x =－1时，2x (x －3)=8≠0．∴x =－1是原分式方程的解．故答案为x =－1． 【解后反思】（1）解分式方程的基本思想是转化思想，即通过去分母把分式方程转化成整式方程来解．（2）解分式方程去分母时，首先要找准最简公分母，注意最简公分母要包含各分式所有分母的因式，分母是多项式的，应先分解因式，再从系数、相同字母、不同字母三个方面考虑，其中系数取最小公倍数，相同字母或因式取最高次幂，互为相反数的因式，注意通过符号变化取其中一个作为最简公分母的因式即可；其次，依据等式的基本性质，分式方程的每一项都要乘以最简公分母，特别不要漏乘没有分母的项，还要注意不要去掉括号以及避免符号变形错误．（3）解分式方程必须验根，一般方法为把所解得的未知数的值代入最简公分母，若为零则为増根，不为零则为原分式方程的解． 【关键词】解分式方程5. （贵州省毕节市，13，3分）为加快“最美毕节”环境建设，某园林公司增加了人力进行大型树木移植，现在平均每天比原计划多植树30棵，现在植树400棵所需时间与原计划植树300棵所需时间相同，设现在平均每天植树x 棵，则列出的方程为（ ）A.30300400-=x x B.x x 30030400=- C.x x 30030400=+ D.30300400+=x x 【答案】A【逐步提示】本题考查分式方程的应用，解题的关键是找出题中的等量关系．①题中的等量关系是：现在植树400棵所需时间与原计划植树300棵所需时间相同；②现在植树400棵所需时间为：400现在每天植树棵数；原计划植树300棵所需时间为：300原计划每天植树棵数；③现在平均每天植树x 棵，原计划每天植树(x －30)棵．【详细解答】解：由题意，得方程组30300400-=x x ，故选择A. 【解后反思】本题的易错点是容易误认为x 是原计划每天植树棵数，从而误选C ．通常我们假设未知数时，一般设较小的一个量为x ，用和或倍数表示另一个量，但这并非原则和规定，设较大的量为x 也可以． 【关键词】 分式方程的应用；6.（ 河北省，4，3分）下列运算结果为x -1的是（ ）A ．11x -B ．211x x x x -⋅+C ．111x x x +÷- D ．2211x x x +++ 【答案】B【逐步提示】分别计算（或化简）每个式子，看其结果是否为x-1.【详细解答】解：1111x x x x x x--=-=，()()2111111x x x xx x x x x x +--⋅=⋅=-++，2+11+11111x x x x x x x x --÷=⋅=-，()22+1+2+11+1+1x x x x x x ==+，故运算结果为x －1的是选项B .【解后反思】分式的运算法则如下：运算法则数学表达式加减法同分母相加减：分母不变，分子相加减． a c ±b c ＝a b c±． 异分母相加减：先通分，同乘以各分母的最小公倍数，再按同分母相加减法则运算．a cb d ±=ad bcbd+． 乘法 两分式相乘：分子与分子相乘，分母与分母相乘．a c acb d bd⨯=． 除法分式A÷B 则A·1B，然后用分式乘法进行运算．a c a d adb d bc bc÷=⋅=．【关键词】 分式的乘除；分式的加减；分式的约分7. （ 河北省，12，2分）在求3x 的倒数的值时，嘉淇同学将3x 看成了8x ，她求得的值比正确答案小5.依上述情形，所列关系式成立的是（ ） A ．11538x x =- B ．11538x x =+ C ．1853x x =- D ．1853x x =+【答案】C【逐步提示】本题考查了倒数的表示及列分式方程，找到题目中的等量关系是解题的关键. 【详细解答】解：3x 、8x 的倒数分别为13x ，18x ，根据“她求得的值比正确答案小5” 可知“18x 比13x小5”，故可列方程为18x =13x－5，答案为选项C. 【解后反思】1.a （a ≠0）的倒数的1a，注意不要将其与相反数，绝对值等相混淆；2.列方程的关键是找对等量关系，如本题要弄清两个倒数的大小关系. 【关键词】 倒数；列分式方程8. （ 湖北省十堰市，7，3分）用换元法解方程31241222=---x x x x 时，设y xx =-122，则原方程可化为（ ） A. 031=--y y B.y-y 4-3=0 C.y-031=+y D.y-y4+3=0. 【答案】B【逐步提示】本题主要考查分式方程的换元方法，解题的关键是理解x x 122-和122-x x是一对互为倒数的关系；解题的思路：设y x x =-122，那么yx x 141242⨯=-. 【详细解答】解：因为y x x =-122 ，所以y x x 141242⨯=-，原方程可以变形为y-y4-3=0故选择B .【解后反思】分式方程求解的方法主要有两个，一是直接在方程的两边同乘以最简公分母，把分式方程转化为整式方程来解；另一个是换元后，再转化为整式方程求解.思维拓展：换元法不仅可以解部分分式方程，也可以解部分一元高次方程或无理方程，有时因式分解也需要用到换元法. 【关键词】分式方程和无理方程; 分式方程的解法9.（湖南省衡阳市，2，3分）如果分式13-x 有意义，则x 的取值范围是（ ） A. 全体实数 B. 1≠x C. 1=x D. 1>x【答案】B【逐步提示】本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是理解分式有意义的条件．第一步：根据分式有意义的条件是分母的值不等于0，列出不等式；第二步：解不等式，即可求得答案。
分式方程及应用压轴(解析版)
分式方程及应用压轴考点一：解分式方程考点二：已知分式方程的解，求字母参数的值考点三：分式方程的特殊解问题考点四：分式方程的无解（增根）问题考点五：分式方程的应用问题【考点一：解分式方程】【典例1】（2023春•万源市校级期末）解方程：（1）1﹣＝（2）﹣＝．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）去分母得：x2﹣25﹣x﹣5＝x2﹣5x，解得：x＝，经检验x＝是分式方程的解；（2）去分母得：3x+3﹣2x+2＝1，解得：x＝﹣4，经检验x＝﹣4是分式方程的解．【变式1-1】（2023•青秀区校级模拟）解方程：+＝．【答案】见试题解答内容【解答】解：去分母得：2（x+1）+2x＝5x，去括号得：2x+2+2x＝5x，解得：x＝2，经检验x＝2是分式方程的解．【变式1-2】（2023秋•高邮市期末）解方程：（1）（2）﹣＝1．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）去分母得：x﹣5＝2x﹣5，移项合并得：x＝0，经检验x＝0是分式方程的解；（2）去分母得：（x+1）2﹣4＝x2﹣1，去括号得：x2+2x+1﹣4＝x2﹣1，解得：x＝1，经检验x＝1是增根，分式方程无解．【变式1-3】（2023秋•石河子校级期末）解方程：（1）；（2）．【答案】（1）x＝2；（2）无解．【解答】解：（1）去分母得：2＝5x﹣5，解得：x＝2，经检验x＝2是分式方程的解；（2）去分母得：16+x2﹣4＝x2+4x+4，解得：x＝2，经检验x＝2是增根，分式方程无解．【变式1-4】（2023秋•铁岭县期末）解方程：（1）（2）．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）去分母得：15x﹣12+x﹣3＝6x+5，移项合并得：10x＝20，解得：x＝2，经检验x＝2是分式方程的解；（2）去分母得：（x+1）2﹣4＝x2﹣1，去括号得：x2+2x+1﹣4＝x2﹣1，移项合并得：2x＝2，解得：x＝1，经检验x＝1是增根，分式方程无解．【考点二：已知分式方程的解，求字母参数的值】（2023秋•绥中县期末）已知关于x的方程的解是x＝1，则a的值为（）【典例2】A．2B．1C．﹣1D．﹣2【答案】C【解答】解：∵关于x的方程的解是x＝1，∴＝，解得a＝﹣1，经检验a＝﹣1是方程的解．故选：C．【变式2-1】（2023秋•常德期末）已知关于x的分式方程的解为x＝4，则a的值为（）A．4B．3C．0D．﹣6【答案】D【解答】解：将x＝4代入方程，得：，解得a＝﹣6，故选：D．（2023•武侯区校级模拟）已知x＝1是分式方程的解，则a的值为（）【变式2-2】A．﹣1B．1C．3D．﹣3【答案】D【解答】解：把x＝1代入分式方程得：＝，去分母得：8a+12＝3a﹣3，解得：a＝﹣3，∵a﹣1＝﹣4≠0，∴a的值为﹣3．故选：D．【变式2-3】（2023秋•平舆县期末）若分式方程的解为x＝2，则a的值是（）A．1B．2C．﹣1D．﹣2【答案】C【解答】解：∵分式方程的解为x＝2，∴＝，即＝1，解得a＝﹣1，经检验a＝﹣1是方程的解，所以原方程的解为a＝﹣1，故选：C．【变式2-4】（2023秋•绵阳期末）已知x＝2是关于x的分式方程的解，则a ＝．【答案】．【解答】解：把x＝2代入关于x的分式方程得：，，4a＝1，，检验：当时，2a≠0，∴是分式方程的解，故答案为：【考点三：分式方程的特殊解问题】【典例3】（2023秋•南陵县期末）若关于x的分式方程的解是正数，则m的取值范围是（）A．m＜4且m≠3B．m＜4C．m≠3D．m＞4且m≠3【答案】A【解答】解：方程两边同时乘以x﹣1得，1﹣m﹣（x﹣1）+2＝0，解得x＝4﹣m．∵x为正数，∴4﹣m＞0，解得m＜4．∵x≠1，∴4﹣m≠1，即m≠3．∴m的取值范围是m＜4且m≠3．故选：A．【变式3-1】（2023秋•陵城区期末）若关于x的分式方程的解为非负数，则a的取值范围是（）A．a＞1且a≠2B．a＜1C．a≥1且a≠2D．a≤1且a≠﹣2【答案】C【解答】解：，方程两边同时乘2（x﹣2）得：2（x﹣a）＝x﹣2，2x﹣2a＝x﹣2，2x﹣x＝2a﹣2，x＝2a﹣2，∵关于x的分式方程的解为非负数，∴2a﹣2≥0，2a≥2，a≥1，∵分式的分母x﹣2≠0，∴x≠2，即2a﹣2≠2，解得：a≠2，∴a≥1且a≠2，故选：C．【变式3-2】（2023秋•重庆期末）若关于x的不等式组的解集为x≥3，且关于y的分式方程有非负数解，则满足条件的所有整数a的和为．【答案】5．【解答】解：，解不等式①，得x≥3，解不等式②，得x＞a﹣2，∵原不等式组的解集为x≥3，∴a﹣2＜3，∴a＜5；解分式方程，得y＝，∵y＝1是原分式方程的增根，∴a≠4，∵≥0，∴a≥2；综上，2≤a＜5，且a≠4，∴满足条件的整数a为2或3，2+3＝5，故答案为：5．【考点四：分式方程的无解（增根）问题】（2023秋•滨州期末）若关于x的分式方程＝1无解，则a的值为（）【典例4】A．0B．1C．1或5D．5【答案】B【解答】解：+＝1，方程两边同时乘以x﹣5得：2﹣（a+1）＝x﹣5，去括号得，2﹣a﹣1＝x﹣5，解得x＝6﹣a，∵原分式方程无解，∴x＝5，∴m＝1，故选：B．【变式4-1】（2023秋•安顺期末）若关于x的分式方程无解，则k的取值是（）A．﹣3B．﹣3或﹣5C．1D．1或﹣5【答案】B【解答】解：，去分母，得6x＝x+3﹣k（x﹣1），∴（5+k）x＝3+k，∵关于x的分式方程无解，∴分两种情况：当5+k＝0时，k＝﹣5，当x（x﹣1）＝0时，x＝0或1，当x＝0时，0＝3+k，∴k＝﹣3，当x＝1时，5+k＝3+k，∴k不存在，故不符合题意，综上所述：k的值为：﹣3或﹣5．故选：B．【变式4-2】（2023秋•凉州区期末）若分式方程无解，则k的值为（）A．±1B．2C．1或2D．﹣1或2【答案】C【解答】解：，去分母得：2（x﹣2）+1﹣kx＝﹣1，2x﹣4+1﹣kx＝﹣1，2x﹣kx＝2，（2﹣k）x＝2，∵分式方程无解，∴x﹣2＝0，x＝2，2﹣k＝0，k＝2，当k＝1时，原方程为：，2（x﹣2）+1﹣x＝﹣1，2x﹣4+1﹣x+1＝0，x＝2，检验：当x＝2时，x﹣2＝0，∴k＝1时，原方程无解；综上可知：分式方程无解时，k的值为1或2，故选：C．【变式4-3】（2023秋•江汉区期末）若关于x的分式方程﹣＝1无解，则m的值为．【答案】见试题解答内容【解答】解：去分母得：x2﹣mx﹣3x+3＝x2﹣x，解得：（2+m）x＝3，由分式方程无解，得到2+m＝0，即m＝﹣2或x＝＝1，即m＝1，综上，m的值为﹣2或1．故答案为：﹣2或1【考点五：分式方程的应用问题】【典例5】（2023秋•信州区期末）某县为了落实中央的“强基惠民工程”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的3倍．如果由甲、乙队先合做15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需10天．（1）这项工程的规定时间是多少天？（2）已知甲队每天的施工费用为6500元，乙队每天的施工费用为3500元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合做来完成．则该工程施工费用是多少？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设这项工程的规定时间是x天，根据题意得：（+）×15+＝1．解得：x＝30．经检验x＝30是原分式方程的解．答：这项工程的规定时间是30天．（2）该工程由甲、乙队合做完成，所需时间为：1÷（+）＝22.5（天），则该工程施工费用是：22.5×（6500+3500）＝225000（元）．答：该工程的费用为225000元．【变式5-1】（2023秋•藁城区期末）甲、乙两同学的家与学校的距离均为3000米．甲同学先步行600米，然后乘公交车去学校，乙同学骑自行车去学校．已知甲步行速度是乙骑自行车速度的，公交车的速度是乙骑自行车速度的2倍．甲、乙两同学同时从家里出发去学校，结果甲同学比乙同学早到2分钟．（1）求乙骑自行车的速度；（2）当甲到达学校时，乙同学离学校还有多远？【答案】（1）300米/分钟；（2）600米．【解答】解：（1）设乙骑自行车的速度为x米/分钟，则甲步行速度是x米/分钟，公交车的速度是2x米/分钟，根据题意得+＝﹣2，解得：x＝300米/分钟，经检验x＝300是方程的根，答：乙骑自行车的速度为300米/分钟；（2）∵300×2＝600米，答：当甲到达学校时，乙同学离学校还有600米．【变式5-2】（2023秋•商丘期末）某文具店老板第一次用1000元购进一批文具，很快销售完毕；第二次购进时发现每件文具进价比第一次上涨了2.5元．老板用2500元购进了第二批文具，所购进文具的数量是第一次购进数量的2倍，同样很快销售完毕，两批文具的售价为每件15元．（1）问第二次购进了多少件文具？（2）文具店老板第一次购进的文具有30元的损耗，第二次购进的文具有125元的损耗，问文具店老板在这两笔生意中是盈利还是亏本？请说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设第一次购进x件文具，第二次就购进2x件文具，由题意得＝﹣2.5，解得：x＝100，经检验，x＝100是原方程的解，且符合题意，则2x＝2×100＝200．答：第二次购进200件文具；（2）第一次购进100件文具，利润为：（15﹣10）×100﹣30＝470（元）；第二次购进200件文具，利润为：（15﹣12.5）×200﹣125＝375（元），两笔生意是盈利：利润为470+375＝845元．【变式5-3】（2023秋•恩施市期末）某单位为美化环境，计划对面积为1200平方米的区域进行绿化，现安排甲、乙两个工程队来完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的1.5倍，并且在独立完成面积为360平方米区域的绿化时，甲队比乙队少用3天．（1）甲、乙两工程队每天能绿化的面积分别是多少平方米？（2）若该单位每天需付给甲队的绿化费用为700元，付给乙队的费用为500元，要使这次的绿化总费用不超过14500元，至少安排甲队工作多少天？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是x平方米，则甲工程队每天能完成绿化的面积是1.5x平方米，依题意，得：﹣＝3，解得：x＝40，经检验，x＝40是原方程的解，且符合题意，∴1.5x＝60．答：甲工程队每天能完成绿化的面积是60平方米，乙工程队每天能完成绿化的面积是40平方米．（2）设安排甲队工作m天，则需安排乙队工作天，依题意，得：700m+500×≤14500，解得：m≥10．所以m最小值是10．答：至少应安排甲队工作10天．1．（2023秋•交口县期末）解方程，去分母后正确的是（）A．3（x+1）＝1﹣x（x﹣1）B．3（x+1）＝（x+1）（x﹣1）﹣x（x﹣1）C．3（x+1）＝（x+1）（x﹣1）﹣x（x+1）D．3（x﹣1）＝1﹣x（x+1）【答案】B【解答】解：去分母得：3（x+1）＝（x+1）（x﹣1）﹣x（x﹣1）．故选：B．2．（2023秋•阳新县期末）已知一艘轮船顺水航行46千米和逆水航行34千米共用的时间，正好等于船在静水中航行80千米所用的时间，并且水流的速度是2千米/小时，求设轮船在静水中的速度为x千米/小时，是下列方程正确的是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：设船在静水中航行的速度为x千米/时（1分）则+＝故选：B．3．（2023秋•广平县期末）甲、乙两人分别从相距目的地6km和10km的两地同时出发，甲、乙的速度比是3：4，结果甲比乙提前20min到达目的地，设甲的速度为3x km/h．依题意，下面所列方程正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：设甲的速度为3x/时，则乙的速度为4x千米/时．根据题意，得﹣＝．故选：D．4．（2023秋•秦皇岛期末）已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是（）A．m＞2B．m≥2C．m≥2且m≠3D．m＞2且m≠3【答案】C【解答】解：分式方程去分母得：m﹣3＝x﹣1，解得：x＝m﹣2，由分式方程的解是非负数，得到m﹣2≥0，且m﹣2≠1，解得：m≥2且m≠3，故选：C．5．（2023秋•冠县期末）若解分式方程＝﹣3产生增根，则k的值为（）A．2B．1C．0D．任何数【答案】B【解答】解：＝﹣3，去分母，得k＝x﹣k﹣3（x﹣2）．去括号，得k＝x﹣k﹣3x+6．移项，得﹣x+3x＝﹣k+6﹣k．合并同类项，得2x＝6﹣2k．x的系数化为1，得x＝3﹣k．∵分式方程＝﹣3产生增根，∴3﹣k＝2．∴k＝1．故选：B．6．（2023秋•宜春期末）现定义一种新的运算：，例如：，若关于x的方程x⊕（2x﹣m）＝3的解为非负数，则m的取值范围为（）A．m≤8B．m≤8且m≠7C．m≥﹣2且m≠7D．m≥﹣2【答案】B【解答】解：∵x⊕（2x﹣m）＝3，∴，解方程得：x＝8﹣m；由于方程有解，则8﹣m≠1，即m≠7；由题意得：8﹣m≥0，解得：m≤8；综合起来，m的取值范围为m≤8且m≠7；故选：B．7．（2023秋•兰陵县期末）对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号min{a，b}表示a，b 中较小的值，如min{2，4}＝2，按照这个规定，方程min{，﹣}＝的解为（）A．﹣1或2B．2C．﹣1D．无解【答案】D【解答】解：①当x＞0时，有＞﹣，∴min{，﹣}＝﹣，即﹣＝，解得x＝﹣1（不合题意舍去）；②当x＜0时，有＜﹣，∴min{，﹣}＝，即＝，解得x＝2（不合题意舍去）；综上所述，方程min{，﹣}＝无解，故选：D．8．（2023秋•崆峒区期末）分式与互为相反数，则x的值为（）A．1B．﹣1C．﹣2D．﹣3【答案】C【解答】解：由题意得，去分母3x+2（1﹣x）＝0，解得x＝﹣2．经检验得x＝﹣2是原方程的解．故选：C．9．（2023秋•罗山县期末）定义运算“※”：a※b＝，若5※x＝2，则x的值为（）A．B．C．10D．或10【答案】D【解答】解：当5＞x时，∵5※x＝2，∴＝2，解得x＝．经检验，x＝符合题意，是分式方程的解．当5＜x时，∵5※x＝2，∴＝2．解得x＝10．经检验，x＝10符合题意，是分式方程的解．故选：D．10．（2023秋•开州区期末）若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程3﹣的解为正数，则所有满足条件的整数a的值的和为．【答案】13．【解答】解：，由①得，x≥﹣1，由②得，x＜﹣a，∵不等式组无解，∴﹣a≤﹣1，即a≥1，3﹣，3（y﹣2）+a＝y，3y﹣6+a＝y，解得y＝3﹣a，∵分式方程的解为正数，∴3﹣a＞0且3﹣a≠2，解得a＜6且a≠2，∴a的取值为1≤a＜6且a≠2，∴所有满足条件的整数a的值的和为1+3+4+5＝13，故答案为：13．11．（2023秋•虹口区校级期末）若关于x的方程的解为负数，则a 的取值范围是．【答案】a＜﹣13或﹣13＜a＜﹣10．【解答】解：+＝，去分母，得（x﹣1）（x+1）+（3﹣x）（x﹣3）＝3x+a，去括号、合并同类项，得3x＝a+10，等号两边同除以3，得x＝（x≠3，且x≠﹣1），∵x＝3或x＝﹣1是原分式方程的增根，∴a≠﹣1，且a≠﹣13，∵＜0，∴a＜﹣10，∴a＜﹣13或﹣13＜a＜﹣10，故答案为：a＜﹣13或﹣13＜a＜﹣10．12．（2022秋•宁远县期末）若关于x的方程＝+1无解，则a的值是3或1．【答案】见试题解答内容【解答】解：去分母，得：ax＝3+x﹣1，整理，得：（a﹣1）x＝2，当x＝1时，分式方程无解，则a﹣1＝2，解得：a＝3；当整式方程无解时，a＝1，故答案为：3或1．13.（2023秋•应城市期末）解下列分式方程．（1）；（2）．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）原方程变形得：，方程两边同乘以最简公分母（x﹣3）得：1＝2（x﹣3）﹣x，整理的：1＝2x﹣6﹣x，移项得：x＝7，检验：当x＝7时，x﹣3＝7﹣3＝4≠0，所以，x＝7，是原方程的根，（2）方程两边同乘以最简公分母（x﹣1）（x+2）得：x（x+2）﹣（x﹣1）（x+2）＝3，整理得：x2+2x﹣x2﹣x+2＝3，合并同类项得：x＝1，检验：当x＝1时，（x﹣1）（x+2）＝（1﹣1）（1+2）＝0，所以，x＝1是原方程的增根，所以，原分式方程无解．14．（2023秋•南宁期末）为提高快递包裹分拣效率，物流公司引进了快递自动分拣流水线．一条某型号的自动分拣流水线的工作效率是一名工人工作效率的4倍，用这条自动分拣流水线分拣3000件包裹比一名工人分拣这些包裹要少用3小时．（1）这条自动分拣流水线每小时能分拣多少件包裹？（215000件，则至少应购买多少条该型号的自动分拣流水线，才能完成分拣任务？【答案】（1）条自动分拣流水线每小时能分拣3000件包裹；（2）至少应购买5条该型号的自动分拣流水线，才能完成分拣任务．【解答】解：（1）设一名工人每小时能分拣x件包裹，则这条自动分拣流水线每小时能分拣4x件包裹，由题意得：﹣＝3，解得：x＝750，经检验，x＝750是原方程的解，且符合题意，∴4x＝4×750＝3000，答：这条自动分拣流水线每小时能分拣3000件包裹；（2）应购买m条该型号的自动分拣流水线，才能完成分拣任务，由题意得：3000m≥15000，解得：m≥5，答：至少应购买5条该型号的自动分拣流水线，才能完成分拣任务．15．（2022秋•洪山区校级期末）春节前夕，某超市用6000元购进了一批箱装饮料，上市后很快售完，接着又用8800元购进第二批这种箱装饮料．已知第二批所购箱装饮料的进价比第一批每箱多20元，且数量是第一批箱数的倍．（1）求第一批箱装饮料每箱的进价是多少元；（2）若两批箱装饮料按相同的标价出售，为加快销售，商家决定最后的10箱饮料按八折出售，如果两批箱装饮料全部售完利润率不低于36%（不考虑其他因素），那么每箱饮料的标价至少多少元？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）该第一批箱装饮料每箱的进价是x元，则第二批购进（x+20）元，根据题意，得解得：x＝200经检验，x＝200是原方程的解，且符合题意，∴第一批箱装饮料每箱的进价是200元．（2）设每箱饮料的标价为y元，根据题意，得（30+40﹣10）y×10y≥（1+36%）（6000+8800）解得：y≥296答：至少标价296元．。
第08讲 氧化还原反应的基本概念和规律(讲义)(解析版)
第8讲 氧化还原反应的基本概念和规律（一）氧化还原反应的基本概念 1.本质和特征2.有关概念与联系对于反应C ＋2H 2SO 4(浓) =====△,2SO 2↑＋CO 2↑＋2H 2O(1)氧化剂是浓硫酸，发生还原反应，被还原，生成还原产物SO 2。
(2)还原剂是C ，发生氧化反应，被氧化，生成氧化产物CO 2。
(3)C 和浓硫酸在反应中分别表现还原性和氧化性。
(4)反应生成1 mol CO 2，浓硫酸得4_mol 电子，C 失去4_mol 电子，反应转移4_mol 电子。
强调：1.有机物中碳的化合价制定方法：有机物中氧元素的化合价为－2，氢元素的化合价为＋1。
利用元素化合价代数和为零的规则确定碳元素的化合价。
乙酸(C 2H 4O 2)中满足2x ＋(＋1)×4＋(－2)×2＝0，则x ＝0。
2.特殊物质中元素化合价判定：Cu ＋2Fe ＋2S 2－2、K 2Fe ＋6O 4、Li 2N －3H 、AlN －3、Na 2S 2＋2O 3、C 2＋3O 2－4、HC ＋2N －3、Cu ＋1H －1。
课堂检测011.下列变化中，气体被还原的是( )A ．二氧化碳使Na 2O 2固体变白B ．氯气使KBr 溶液变黄C ．乙烯使Br 2的四氯化碳溶液褪色D ．氨气使AlCl 3溶液产生白色沉淀 答案：B【解析】CO 2和Na 2O 2反应生成Na 2CO 3和O 2，该反应中Na 2O 2发生自身的氧化还原反应，CO2中碳元素和氧元素的化合价均没有发生变化，故CO2没有被还原，A不符合题意；Cl2和KBr发生反应生成KCl和Br2，Cl2→Cl－，氯元素化合价降低，Cl2被还原，B符合题意；CH2===CH2和Br2发生加成反应生成CH2BrCH2Br，乙烯没有被还原，C不符合题意；NH3与AlCl3反应生成Al(OH)3和NH4Cl，NH3中氮元素和氢元素的化合价均没有发生变化，NH3没有被还原，D不符合题意。
八年级数学人教版上册同步练习分式方程(解析版)
15.3分式方程一、单选题1．已知关于x 的不等式组62176324()13(21)x x x a x -+⎧+≤⎪⎨⎪++<+⎩无解，关于y 的分式方程22822a y y y y -=--有整数解，则满足条件的所有整数a 的和为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．13【答案】D2．石家庄某活动小组到教育基地游学，租用面包车的车费为180元．出发时又增加了2名同学，结果每名同学比原来少摊了3元车费．若设该活动小组原有x 人，则所列方程为（ ） A ．18018032x x -=- B ．18018032x x -=+ C ．18018032x x -=+ D ．18018032x x -=- 【答案】B 【分析】根据总费用÷总人数为人均分摊费用，计算两次的分摊费用，后根据题意列出方程即可【详解】设该活动小组原有x 人，则出发后的人数为（x +2）人，根据题意，得18018032x x -=+， 故选B【点评】本题考查了分式方程解应用题，熟练掌握列分式方程的基本要领是解题的关键．3．暑假期间，某科幻小说的销售量急剧上升．某书店分别用600元和800元两次购进该小说，第二次购进的数量比第一次多40套，且两次购书时，每套书的进价相同．若设书店第一次购进该科幻小说x 套，由题意列方程正确的是（ ）A ．60080040=-xx B ．60080040=-x x C ．60080040=+x x D ．60080040=+x x 【答案】C 【分析】根据第一次进书的总钱数÷第一次购进套数＝第二次进书的总钱数÷第二次购进套数列方程可得．【详解】若设书店第一次购进该科幻小说x 套， 由题意列方程正确的是60080040x x =+，故选：C ．【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的相等关系． 4．已知关于x 的方程22x m x +-＝3的解是正数，那么m 的取值范围为（ ） A ．m ＞﹣6且m ≠2B ．m ＜6且m ≠2C ．m ＞﹣6且m ≠﹣4D ．m ＜6且m ≠﹣2 【答案】C【分析】先求得分式方程的解（含m 的式子），然后根据解是正数可知m +6＞0，从而可求得m ＞-6，然后根据分式的分母不为0，可知x ≠2，即m +6≠2，由此即可求解．【详解】将分式方程转化为整式方程得：2x +m =3x -6解得：x =m +6．∵方程得解为正数，所以m +6＞0，解得：m ＞-6．∵分式的分母不能为0，∴x -2≠0，∴x ≠2，即m +6≠2．∴m ≠-4．故m ＞-6且m ≠-4．故选C ．【点评】本题主要考查的是解分式方程和一元一次不等式的应用，求得方程的解，从而得到关于m 的不等式是解题的关键．5．有一段全长为800米的公路，路面需整改，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时，每天的功效比原计划增加10%， 结果提前3天完成这一任务，设原计划每天整改x 米，则下列方程正确的是（ ）A ．()800800-3x 110%x =+B ．()800800-3x1-10%x = C ．()800800-3x 110%x=+ D ．()800800-3x 1-10%x= 【答案】C 【分析】用x 表示出计划和实际完成的时间，再结合实际比计划提前3天完成任务作为等量关系列方程即可．【详解】实际每天整改()1+10%x 米，则实际完成时间()8001+10%x 天，计划完成时间800x 天， ∵实际比计划提前3天完成任务 ∴得方程()8008003110%x x-=+． 故选C ． 【点评】本题考查了分式方程的应用．列分式方程解应用题与所有列方程解应用题一样，重点在于准确地找出相等关系，这是列方程的依据．而难点则在于对题目已知条件的分析，找出等量关系，因此需围绕题中关键词进行分析．6．若关于x 的方程221933m x x x +=-+-有增根，则m 的值为（ ） A ．不存在B ．6C ．12D ．6或12 【答案】D【分析】根据增根的定义确定x 的值，把分式方程去分母后，代入即可求m 的值． 【详解】221933m x x x +=-+-， 去分母得，2(3)3m x x +-=+ ∵方程221933m x x x +=-+-有增根， 当3x =时，336m =+=；当3x =-时，2(33)0m +--=，12m =；故选：D ．【点评】本题考查了分式方程的增根，解题关键是明确增根的意义，确定未知数的值．7．已知关于x 的一元一次不等式组4(3)222x x x a -+<-⎧⎨+≥⎩的解集为x ＞7，且关于y 的分式方程53ay y +-﹣1＝43y-的解为正整效，则满足条件的所有整数a 的和为（ ） A ．﹣3B ．﹣6C ．﹣8D ．﹣11【答案】C【分析】不等式组整理后，根据已知解集确定出a 的范围，分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有正整数解，确定出a 的值，求出之和即可．【详解】不等式组整理得：72xx a>⎧⎨≥-⎩，由解集为x＞7，得到2﹣a≤7，解得a≥﹣5，分式方程去分母得：ay+5﹣y +3＝﹣4，解得：y＝121a -，∵y为正整数解，且y≠3，∴a＝0，﹣1，﹣2，﹣5，﹣11，又∵a≥﹣5，∴a＝0，﹣1，﹣2，﹣5，∴满足条件的整数a的和为﹣8．故选：C．【点评】此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．8．已知关于x的不等式组251333xxx a+⎧>+⎪⎨⎪≥-⎩有解，且关于y的分式方程9433y a ay y+-=---有正整数解，则所有满足条件的整数a的值的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A【分析】根据分式方程的解为正整数即可得出a＞32-，且a≠3，根据不等式组有解，即可得a＜9，找出所有符合条件的正整数，a的个数为2．【详解】解方程9433y a ay y+-=---得：233ay+=，∵分式方程的解为正整数，∴2a＋3＞0，即a＞－32，又y≠3，∴233a+≠3，即a≠3，则a＞32-，且a≠3，251333x x x a +⎧>+⎪⎨⎪≥-⎩①②， 解不等式①，得x ＜2，解不等式②，得x ≥33a -， ∵此不等式组有解， ∴33a -＜2， 解得a ＜9， 综上，a 的取值范围是32-＜a ＜9，且a ≠3， 则符合题意的整数a 的值有0，6共2个，故选：A ．【点评】本题考查了分式方程的解以及解一元一次不等式组，根据分式方程的解为正整数结合不等式组有解，找出32-＜a ＜9，且a ≠3是解题的关键．二、填空题目9．某班在植树节时需完成一批植树任务，若由全班学生一起完成每人需植树8棵；若由女生单独完成每人需植树12棵，则由男生单独完成每人需植树_____棵．【答案】24．【分析】要求单独由男生完成，每人应植树多少棵，就要先设出未知数，根据题中的等量关系，列方程求解即可．【详解】设单独由男生完成，每人应植树x 棵．那么根据题意可得出方程：111128x +=， 解得：x ＝24．检验得x ＝24是方程的解．因此单独由男生完成，每人应植树24棵．故答案为：24．【点评】本题考查了分式方程的应用，为工作效率问题，可根据题意列出方程，判断所求的解是否符合题意即可．10．若关于x 的分式方程221111a x x x -=-+-无解，则a 的值是______． 【答案】2或-4 【分析】按照解分式方程的步骤，把方程两边乘最简公分母，化为关于x 的一元一次方程，把增根代入一元一次方程中，可求得a 的值．【详解】方程两边同乘(x +1)(x -1)，得a -2(x -1)=x +1由于分式方程在增根x =1和x =-1把x =1代入a -2(x -1)=x +1中，得a =2把x =-1代入a -2(x -1)=x +1中，得a =-4所以a 的取值为2或-4故答案为：2或-4【点评】本题考查了分式方程有增根时参数的取值问题，关键要根据分式方程的分母确定方程的增根． 11．若关于x 的分式方程2111a x x =+--有增根，则a ＝__________． 【答案】2【分析】先将分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程有增根求出x 的值，代入整式方程计算即可求出a 的值． 【详解】2111a x x =+--， 去分母，得 a ＝2＋x −1，∵分式方程有增根，∴x −1＝0，解得x ＝1，将x ＝1代入整式方程，得a ＝2，故答案为：2．【点评】此题考查了分式方程无解问题，解答此类问题可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②确定增根；③把增根代入整式方程，计算后即可求得相关字母的值．12．已知方程232a a a -+=，且关于x 的不等式组x a x b ≥⎧⎨≤⎩只有3个整数解，那么b 的取值范围是_______． 【答案】3≤b ＜4【分析】首先解分式方程求得a 的值，然后根据不等式组的解集确定x 的范围，再根据只有3个整数解，确定b的范围．【详解】解方程232aa a-+=，两边同时乘以a得：2-a＋2a=3，解得：a=1，∴关于x的不等式组x a x b≥⎧⎨≤⎩，则解集是1≤x≤b，∵不等式组只有3个整数解，则整数解是1，2，3，∴3≤b＜4．故答案是：3≤b＜4．【点评】此题考查的是一元一次不等式组的解法和解分式方程，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．三、解答题13．某班13位同学参加每周一次的卫生大扫除，按学校的卫生要求需要完成总面积为280m的三个项目的任务，三个项目的面积比例和每人每分钟完成各项目的工作量如下图所示：（1）从上述统计图中可知：①每人每分钟擦课桌椅______2m；②擦玻璃、擦课桌椅、扫地拖地的面积分别是________2m，_______2m，________2m；（2）他们一起完成扫地和拖地的任务后，把这13人分成两组，一组去擦玻璃，一组去擦课桌椅，如果你是卫生委员，该如何分配这两组的人数，才能同时地完成任务．【答案】（1）①12；②16；20；44；（2）8人擦玻璃，5人擦课桌椅【分析】（1）①②观察统计图，直接计算；（2）把这13人分成两组，一组去擦玻璃，一组去擦课桌椅，设有x 人擦玻璃，则有（13-x ）人擦课桌椅，擦玻璃的面积是16m 2，擦课桌椅的面积是20m 2，据此列出方程，解之即可．【详解】（1）①由统计图可得， 每人每分钟能擦课桌椅12m 2； ②擦玻璃的面积是80×20%=16m 2，擦课桌椅的面积是80×25%=20m 2，扫地拖地的面积是80×55%=44m 2；（2）设有x 人擦玻璃，则有（13-x ）人擦课桌椅，由题意得： ()16200.250.513x x =-， 解得x =8，经检验：x =8是方程的解，∴13-x =13-8=5（人），所以派8人擦玻璃，5人擦课桌椅，能同时完成任务．【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、分式方程的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．14．已知关于x 的方程233x mx x 的解为非负数，求m 的取值范围．【答案】6m ≤且3m ≠【分析】先解分式方程，因为解为负数，解不等式，要注意解不能为增根．【详解】233x m x x 移项：233x m x x =+-- 去分母：2(3)x x m =-+解得：6x m =-方程的解为非负数∴0x ≥∴60m -≥∴6m ≤又3x ≠∴63m -≠∴3m ≠∴m 的取值范围为：63m m ≤≠且【点评】本题考查了，分式方程的解，解分式方程，一元一次不等式的解法；注意分式方程要检验，本题检验是解题的关键．15．2020年春，湖北省武汉市爆发新冠疫情，我校师生积极捐款，已知第一天捐款4800元，第二天捐款6000元，第二天捐款人数比第一天捐款人数多50人，且两天人均捐款数相等，那么两天共参加捐款的人数是多少？【答案】450人【分析】设第一天有x 人参加捐款，根据已知第一天捐款4800元，第二天捐款6000元，第二天捐款人数比第一天捐款人数多50人，且两天人均捐款数相等，可列出方程求解．【详解】设第一天有x 人参加捐款，则第二天有(50)x +人参加捐款 依题意得：4800600050x x =+， 解得：200x =，检验：200x =时，(50)0x x +≠ ，即200x =是原方程的解，故第一天有200人捐款，第二天有250人捐款，两天一共有450人捐款，答：两天参加捐款的人一共有450人．【点评】本题考查了分式方程的应用，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键，再列分式方程解应用题时，设间接未知数，有时可使解答变得简捷．16．解下列方程：（1）23111x x x+=--； （2）11322x x x-+=-- 【答案】（1）2x =；（2）原方程无解【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】（1）23111x x x+=-- 去分母，得：231x x -=-解得，2x =检验：当2x =时，10x -≠2x ∴=是原方程的解；（2）11322x x x-+=-- 去分母得，13(2)(1)x x +-=--解得，2x =检验，当2x =时，20x -=，2x ∴=是原方程的增根∴原方程无解．【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．17．某公司购买了A 、B 两种不同型号的口罩，已知A 型口罩的单价比B 型口罩的单价多4.5元，且用12000元购买A 型口罩的数量与用3000元购买B 型口罩的数量相同．（1）A 、B 两种型号口罩的单价各是多少元？（2）该公司还需要增加购买一些口罩，增加购买B 型口罩数量是A 型口罩数量的4倍，若总费用不超过6000元，则增加购买A 型口罩的数量最多是多少个？【答案】（1）A 型口罩的单价为6元，则B 型口罩的单价为1.5元；（2）增加购买A 型口罩的数量最多是500个【分析】（1）设A 型口罩的单价为x 元，则B 型口罩的单价为（x ﹣4.5）元，根据数量=总价÷单价，结合用12000元购买A 型口罩的数量与用3000元购买B 型口罩的数量相同，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设增加购买A 型口罩的数量是m 个，则增加购买B 型口罩数量是4m 个，根据总价=单价×数量，结合总价不超过6000元，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．【详解】（1）设A 型口罩的单价为x 元，则B 型口罩的单价为（x ﹣4.5）元， 根据题意，得：1200030004.5x x =-．解方程，得：x＝6．经检验：x＝6是原方程的根，且符合题意．所以x﹣4.5＝1.5．答：A型口罩的单价为6元，则B型口罩的单价为1.5元；（2）设增加购买A型口罩的数量是m个，根据题意，得：1.5×4m+6m≤6000．解不等式，得：m≤500．正整数m的最大值为500．答：增加购买A型口罩的数量最多是500个．【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．18．用电脑程序控制小型赛车进行50m比赛，“畅想号”和“和谐号”两辆赛车进入了决赛，比赛前的练习中，两辆车从起点同时出发，“畅想号”到达终点时，“和谐号”离终点还差5m，已知“畅想号”的平均速度为2.5m/s．（1）求“和谐号”的平均速度；（2）如果两车重新开始比赛，“畅想号”从起点后退5m，两车同时出发，两车能否同时到达终点？若能，求出两车到达终点的时间；若不能，在此种情况下，请重新调整一辆车的平均速度，使两车能同时到达终点．【答案】（1）2.25m/s；（2）“畅想号”的平均速度降低140m/s或“和谐号”的平均速度增加144m/s，可使两车能同时到达终点．【分析】（1）设“和谐号”的平均速度为x，根据，“畅想号”运动50m与“和谐号”运动45m所用时间相等，可得方程，解出即可．（2）分别算出两车到达终点的时间可判断不能同时到达，再设“畅想号”的平均速度降低x m/s和“和谐号”的平均速度增加x m/s，根据时间相等，得出方程求解即可．【详解】（1）设“和谐号”的平均速度为x m/s，由题意得，50505 2.5x-=，解得：x=2.25，经检验x=2.25是原方程的解．答：“和谐号”的平均速度2.25m/s ．（2）“畅想号”到达终点的时间是5052.5+=22s ， “和谐号”到达终点的时间是502222.259=s ， ∴两车不能同时到达，“畅想号”先到．方案一：设“畅想号”的平均速度降低x m/s 时能使两车同时到达终点， 则505502.5 2.25x +=-， 解得：x =140，经检验x =140是原方程的解， 方案二：设“和谐号”的平均速度增加x m/s 时能使两车同时到达终点， 则50552.25 2.5x =+， 解得：x =144，经检验x =144是原方程的解， 答：“畅想号”的平均速度降低140m/s 或“和谐号”的平均速度增加144m/s ，可使两车能同时到达终点． 【点评】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是仔细审题，找到等量关系，建立方程，难度一般． 19．3月12日是植树节，重庆市第一实验中学开展了“我与自然——一实农场”的活动：初一、初二年级以班级为单位，各自开辟了一块菜园种植蔬菜．初二某班学生经商量计划购买番茄苗和茄子苗共100株，经了解茄子苗的单价是番茄苗单价的18018032x x -=+，若花80元购进番茄苗，则购买茄子苗需要90元．（1）求番茄苗和茄子苗的单价；（2）班长在购买菜苗时了解到，在当前种植条件下，番茄的成活率为75%，一株番茄苗大约能结8个番茄，茄子的存活率为90%，一株茄子苗大约能结5个茄子，班长决定再多购买番茄和茄子苗共20株，但是不能超过预算210元，且番茄苗的总数量不低于茄子苗总数量的18018032x x -=+，班长最终应该如何购买，才能使所结的果实数量最多．【答案】（1）番茄苗单价2元，茄子苗单价为1.5元；（2）当番茄苗20珠，茄子苗0珠0时，最多 20．已知关于x 的分式方程311(1)(2)x k x x x -+=++-的解为非负数，求k 的取值范围． 【答案】8k ≥-且0k ≠．【分析】先解分式方程，再建立不等式求解即可．【详解】解分式方程，得84k x +=， 根据题意，得：804k +≥且881,244k k ++≠-≠， 解得：8k ≥-且0k ≠．【点评】本题考查了分式方程与不等式，熟练掌握分式方程及不等式的解法是解题的关键，注意不要遗漏条件：最简公分母不能为0．祝福语祝你考试成功!。
初中数学：分式方程应用题专题练习附详解(精)
（1）实际购买时，该农产品多少元每千克？
（2）据预测，该农产品的市场价格在实际购买价的基础上每天每千克上涨0.5元，已知冷库存放这批农产品，每天需要支出各种费用合计为280元，同时，平均每天将有8千克损坏不能出售．则将这批农产品存放多少天后一次性全部出售，该公司可获得利润19600元？
（1）求每盒口罩和每盒水银体温计的价格各是多少元？
（2）如果给每位学生发放2只口罩和1支水银体温计，且口罩和水银体温计均整盒购买．设购买口罩m盒（m为正整数），则购买水银体温计多少盒能和口罩刚好配套？请用含m的代数式表示．
（3）在健康大药房累计购医用品超过1800元后，超出1800元的部分可享受8折优惠．该校按（2）中的配套方案购买，共支付w元，求w关于m的函数关系式．若该校九年级有1000名学生，需要购买口罩和水银体温计各多少盒？所需总费用为多少元？
经检验，x=40原方程的解，
∴x+8=48．
答：每件乙种商品的价格为40元，每件甲种商品的价格为48元．
（2）
解：设购买y件甲种商品，则购买（80-y）件乙种商品，
根据题意得：48y+40（80-y）≤3600，
解得：y≤50．
答：最多可购买50件甲种商品．
【点睛】
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据数量=总价÷单价，列出关于x的分式方程；（2）根据总价=单价×购买数量，列出关于y的一元一次不等式．
3．第十一届江苏书展在苏州国际博览中心设有400个展台，并在全省多地线上、线下同步举行．本届书展设置了“读经典、学四史、童心向党和百年辉煌”等活动．为保障书展的准备工作比原计划提前2天完成，每天准备展台的个数需比原计划增加 ．
人教版五年级数学下册第8讲分数与除法的关系及运用专题精讲练习试题及答案
【专题讲义】人教版五年级数学下册第8讲分数与除法的关系及运用专题精讲（学生版）知识要点梳理页1考点1 分数与除法的关系除法的关系可以表示为：a÷b=a（b≠0）b求甲数是乙数的几分之几，是把乙数看作单位“1”，用甲数÷乙数得出的。
记住：是谁的几分之几，谁就是单位“1”，作除数或分母。
（一）分数与除法的关系例1．把3米长的绳子平均分成4份，每份的长度是多少米？【随堂演练一】【A类】页2页 31. 把1个蛋糕平均分给4个小朋友,每人分得多少块?2.把3块饼平均分给5个小朋友，每人分得多少块？3.把相等的除法算式和分数用线连接起来。
3÷7 2315 176 3÷10 15÷23179 103 90÷38 9÷1773 389 6÷17 4.一个长方形，长10厘米，宽3厘米，长是宽的）（）（............... ，宽是长的）（）（...............。
【随堂演练一】【B 类】 1.用分数表示除法的商。
3÷5=())( 12÷13=)()( 23÷56=)()(1÷37=)()( 2.把下面的分数用除法表示。
43＝( )÷( ) 127＝( )÷( ) 4916＝( )÷( ) 99＝( )÷( )页 43.把低级单位改成高级单位(大单位改成小单位)，要除以进率。
3分米＝(3÷10)=103米 23分＝(23÷60)=6023时 59分米²＝( ÷ ) ＝( )米² 12分＝( ÷ ) ＝( )时 9cm ＝( )m 23kg ＝( )T 16秒＝( )分 （二）分数与除法意义上的区别例2．把9米长的绳子平均分成6段，每段长( )米，每段占全长页 5【随堂演练二】【A 类】 1．54米既可表示1米的（ ），也可表示4米的（ ）. 2．把一根长5米的绳子平均分成8段，每段绳子占这根绳子的)()(，其中2段长（ ）米.1.除法的关系可以表示为：a ÷b =ab（b ≠0） 求甲数是乙数的几分之几，是把乙数看作单位“1”，用甲数÷乙数得出的。
苏科版八年级下学期数学《分式》章节测试题(含解析)
苏科版八年级下学期数学《分式》章节测试题（含解析）一．选择题（共10小题）1．若分式的值为0，则（）A．x=﹣2 B．x=0 C．x=1 D．x=1或﹣22．若分式，则分式的值等于（）A．﹣B．C．﹣D．3．若关于x的分式方程无解，则m的值为（）A．0 B．2 C．0或2 D．±24．已知a2+b2=6ab，则的值为（）A．B．C．2 D．±25．分式，，的最简公分母是（）A．（a2﹣1）2B．（a2﹣1）（a2+1）C．a2+1 D．（a﹣1）46．在，，，，中分式的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个7．若分式的值为0，则x的值为（）A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．2或38．某次列车平均提速vkm/h，用相同的时间，列车提速前行驶skm，提速后比提速前多行驶50km．设提速前列车的平均速度为xkm/h，则列方程是（）A．=B．= C．=D．=9．已知关于x的分式方程﹣=1的解为负数，则k的取值范围是（）A．k＞或k≠1 B．k＞且k≠1 C．k＜且k≠1 D．k＜或k≠110．如果a、b、c是非零实数，且a+b+c=0，那么的所有可能的值为（）A．0 B．1或﹣1 C．2或﹣2 D．0或﹣2二．填空题（共8小题）11．计算：﹣=．12．分式方程的解是．13．某快递公司的分拣工小王和小李，在分拣同一类物件时，小王分拣60个物件所用的时间与小李分拣45个物件所用的时间相同．已知小王每小时比小李多分拣8个物件，设小李每小时分拣x个物件，根据题意列出的方程是．14．已知a＞b＞0，a2+b2=3ab，则的值为．15．当a=2016时，分式的值是．16．已知关于x的方程的解是负数，则m的取值范围为．17．若分式方程的解为x=0，则a的值为．18．一个容器装有1升水，按照如下要求把水倒出：第1次倒出升水，第2次倒出的水量是升的，第3次倒出的水量是升的，第4次倒出的水量是升的，…按照这种倒水的方法，倒了10次后容器内剩余的水量是．三．解答题（共9小题）19．先化简，再求值：﹣÷，其中x=﹣1．20．化简：（a+1﹣）•．21．先化简，再求值：（﹣）+，其中a=2，b=．22．A、B两地相距200千米，甲车从A地出发匀速开往B地，乙车同时从B地出发匀速开往A地，两车相遇时距A地80千米．已知乙车每小时比甲车多行驶30千米，求甲、乙两车的速度．23．某商店用1050元购进第一批某种文具盒，很快卖完．又用1440元购进第二批该种文具盒，但第二批每只文具盒的进价是第一批进价的1.2倍，数量比第一批多了10只．（1）求第一批每只文具盒的进价是多少元？（2）卖完第一批后，第二批按24元/只的价格销售，恰好销售完一半时，根据市场情况，商店决定对剩余的文具盒全部按同一标准一次性打折销售，但要求这批文具盒利润不得少于288元，问最低可打几折？24．“五一”期间，我市某商场举行促销活动，活动期间规定：商场内所有商品按标价的80%出售；同时，当顾客在该商场消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：消费金额p（元）的范围200≤p＜400400≤p＜500500≤p＜700700≤p＜900…获得奖券金额（元）3060100130…根据促销方法，顾客在该商场购物可获得双重优惠．例如，购买标价为450元的商品，则消费金额为450×0.8=360（元），获得优惠额为：450×0.2+30=120（元）．设购买商品的优惠率=．试问：（1）购买一件标价为800元的商品，顾客得到的优惠率是多少？（2）若一顾客购买了一套西装，得到的优惠率为，已知该套西装的标价高于700元，低于850元，该套西装的标价是多少元？25．甲车从A地驶往B地，同时乙车从B地驶往A地，两车相向而行，匀速行驶，甲车距B地的距离y （km）与行驶时间x（h）之间的函数关系如图所示，乙车的速度是60km/h（1）求甲车的速度；（2）当甲乙两车相遇后，乙车速度变为a（km/h），并保持匀速行驶，甲车速度保持不变，结果乙车比甲车晚38分钟到达终点，求a的值．26．某服装店购进一批甲、乙两种款型时尚T恤衫，甲种款型共用了7800元，乙种款型共用了6400元，甲种款型的件数是乙种款型件数的1.5倍，甲种款型每件的进价比乙种款型每件的进价少30元．（1）甲、乙两种款型的T恤衫各购进多少件？（2）商店进价提高60%标价销售，销售一段时间后，甲款型全部售完，乙款型剩余一半，商店决定对乙款型按标价的五折降价销售，很快全部售完，求售完这批T恤衫商店共获利多少元？27．某汽车销售公司经销某品牌A款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降．今年5月份A款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的A款汽车，去年销售额为100万元，今年销售额只有90万元．（1）今年5月份A款汽车每辆售价多少万元？（2）为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的B款汽车，已知A款汽车每辆进价为7.5万元，B款汽车每辆进价为6万元，公司预计用不多于105万元且不少于99万元的资金购进这两款汽车共15辆，有几种进货方案？（3）如果B款汽车每辆售价为8万元，为打开B款汽车的销路，公司决定每售出一辆B款汽车，返还顾客现金a万元，要使（2）中所有的方案获利相同，a值应是多少？此时，哪种方案对公司更有利？参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．若分式的值为0，则（）A．x=﹣2 B．x=0 C．x=1 D．x=1或﹣2【分析】根据分式的值为0的条件列出关于x的不等式组，求出x的值即可．【解答】解：∵分式的值为0，∴，解得x=1．故选：C．【点评】本题考查的是分式的值为0的条件，即分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零，根据此条件列出关于x的不等式组是解答此题的关键．2．若分式，则分式的值等于（）A．﹣ B．C．﹣ D．【分析】根据已知条件，将分式整理为y﹣x=2xy，再代入则分式中求值即可．【解答】解：整理已知条件得y﹣x=2xy；∴x﹣y=﹣2xy将x﹣y=﹣2xy整体代入分式得====．故答案为B．【点评】由题干条件找出x﹣y之间的关系，然后将其整体代入求出答案即可．3．若关于x的分式方程无解，则m的值为（）A．0 B．2 C．0或2 D．±2【分析】根据解分式方程的方法和关于x的分式方程无解，可以求得相应的m的值，本题得以解决．【解答】解：方程两边同乘以x，得x﹣m=mx﹣x解得，x=∵关于x的分式方程无解，∴x=0或2﹣m=0，解得m=0或m=2，故选C．【点评】本题考查分式方程的解，解题的关键是明确分式方程什么时候无解．4．已知a2+b2=6ab，则的值为（）A．B．C．2 D．±2【分析】首先由a2+b2=6ab，即可求得：（a+b）2=8ab，（a﹣b）2=4ab，然后代入即可求得答案．【解答】解：∵a2+b2=6ab，∴a2+b2+2ab=8ab，a2+b2﹣2ab=4ab，即：（a+b）2=8ab，（a﹣b）2=4ab，a+b=±2，a﹣b=±2，∴当a+b=2，a﹣b=2时，=；当a+b=2，a﹣b=﹣2时，=﹣；当a+b=﹣2，a﹣b=2时，=﹣；当a+b=﹣2，a﹣b=﹣2时，=．故选：B．【点评】本题主要考查完全平方公式．注意熟记公式的几个变形公式，还要注意整体思想的应用．5．分式，，的最简公分母是（）A．（a2﹣1）2B．（a2﹣1）（a2+1）C．a2+1 D．（a﹣1）4【分析】利用最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母或整式的最高次幂，所有不同字母或整式都写在积里求解即可．【解答】解：=，，=，所以分式，，的最简公分母是（a﹣1）2（a+1）2．即（a2﹣1）2故选：A．【点评】本题主要考查了最简公分母，解题的关键是熟记最简公分母的定义．6．在，，，，中分式的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．【解答】解：分母不含字母，不是分式；是分式；是分式；π是数字不是字母，不是分式，是分式．故选C．【点评】本题主要考查的是分式的定义，掌握分式的定义是解题的关键．7．若分式的值为0，则x的值为（）A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．2或3【分析】分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．【解答】解：∵分式的值为0，∴|x|﹣2=0．解得：x=±2．当x=2时，x2﹣4x+4=0，分式无意义，当x=﹣2时，x2﹣4x+4=16≠00，分式有意义．∴x的值为﹣2．故选：B．【点评】本题主要考查的是分式值为零的条件，掌握分式值为零的条件是解题的关键．8．某次列车平均提速vkm/h，用相同的时间，列车提速前行驶skm，提速后比提速前多行驶50km．设提速前列车的平均速度为xkm/h，则列方程是（）A．=B．=C．=D．=【分析】首先根据行程问题中速度、时间、路程的关系：时间=路程÷速度，用列车提速前行驶的路程除以提速前的速度，求出列车提速前行驶skm用的时间是多少；然后用列车提速后行驶的路程除以提速后的速度，求出列车提速后行驶s+50km用的时间是多少；最后根据列车提速前行驶skm和列车提速后行驶s+50km时间相同，列出方程即可．【解答】解：列车提速前行驶skm用的时间是小时，列车提速后行驶s+50km用的时间是小时，因为列车提速前行驶skm和列车提速后行驶s+50km时间相同，所以列方程是=．故选：A．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程问题，解答此类问题的关键是分析题意找出相等关系，（1）在确定相等关系时，一是要理解一些常用的数量关系和一些基本做法，如行程问题中的相遇问题和追击问题，最重要的是相遇的时间相等、追击的时间相等．（2）列分式方程解应用题要多思、细想、深思，寻求多种解法思路．9．已知关于x的分式方程﹣=1的解为负数，则k的取值范围是（）A．k＞或k≠1 B．k＞且k≠1 C．k＜且k≠1 D．k＜或k≠1【分析】首先根据解分式方程的步骤，求出关于x的分式方程﹣=1的解是多少；然后根据分式方程的解为负数，求出k的取值范围即可．【解答】解：由﹣=1，可得（x+k）（x﹣1）﹣k（x+1）=x2﹣1，解得x=1﹣2k，∵1﹣2k＜0，且1﹣2k≠1，1﹣2k≠﹣1，∴k＞且k≠1．故选：B．【点评】此题主要考查了分式方程的解，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．10．如果a、b、c是非零实数，且a+b+c=0，那么的所有可能的值为（）A．0 B．1或﹣1 C．2或﹣2 D．0或﹣2【分析】根据a、b、c是非零实数，且a+b+c=0可知a，b，c为两正一负或两负一正，按两种情况分别讨论代数式的可能的取值，再求所有可能的值即可．【解答】解：由已知可得：a，b，c为两正一负或两负一正．①当a，b，c为两正一负时：；②当a，b，c为两负一正时：．由①②知所有可能的值为0．应选A．【点评】本题考查了分式的化简求值，涉及到绝对值、非零实数的性质等知识点，注意分情况讨论未知数的取值，不要漏解．二．填空题（共8小题）11．计算：﹣=．【分析】同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；再分解因式约分计算即可求解．【解答】解：﹣===．故答案为：．【点评】考查了分式的加减法，注意通分是和约分是相反的一种变换．约分是把分子和分母的所有公因式约去，将分式化为较简单的形式；通分是分别把每一个分式的分子分母同乘以相同的因式，使几个较简单的分式变成分母相同的较复杂的形式．12．分式方程的解是x=﹣1．【分析】根据解分式方程的方法可以求得分式方程的解，记住最后要进行检验，本题得以解决．【解答】解：方程两边同乘以2x（x﹣3），得x﹣3=4x解得，x=﹣1，检验：当x=﹣1时，2x（x﹣3）≠0，故原分式方程的解是x=﹣1，故答案为：x=﹣1．【点评】本题考查分式方程的解，解题的关键是明确解分式方程的解得方法，注意最后要进行检验．13．某快递公司的分拣工小王和小李，在分拣同一类物件时，小王分拣60个物件所用的时间与小李分拣45个物件所用的时间相同．已知小王每小时比小李多分拣8个物件，设小李每小时分拣x个物件，根据题意列出的方程是．【分析】先求得小王每小时分拣的件数，然后根据小王分拣60个物件所用的时间与小李分拣45个物件所用的时间相同列方程即可．【解答】解：小李每小时分拣x个物件，则小王每小时分拣（x+8）个物件．根据题意得：．故答案为：．【点评】本题主要考查的是分式方程的应用，根据找出题目的相等关系是解题的关键．14．已知a＞b＞0，a2+b2=3ab，则的值为．【分析】先依据完全平方公式得到（a+b）2=5ab，（a﹣b）2=ab，然后由=求解即可．【解答】解：∵a2+b2=3ab，∴（a+b）2=5ab，（a﹣b）2=ab．∵a＞b＞0，∴＞0．∴===．故答案为：．【点评】本题主要考查的是求分式的值，依据完全平方公式求得=是解题的关键．15．当a=2016时，分式的值是2017．【分析】首先化简分式，然后把a=2016代入化简后的算式，求出算式的值是多少即可．【解答】解：当a=2016时，=﹣===a+1=2016+1=2017．故答案为：2017．【点评】此题主要考查了分式求值问题，要熟练掌握，求分式的值可以直接代入、计算．如果给出的分式可以化简，要先化简再求值．16．已知关于x的方程的解是负数，则m的取值范围为m＞﹣8且m≠﹣4．【分析】求出分式方程的解x=﹣，得出﹣＜0，求出m的范围，根据分式方程得出﹣≠﹣2，求出m，即可得出答案．【解答】解：，2x﹣m=4x+8，﹣2x=8+m，x=﹣，∵关于x的方程的解是负数，∴﹣＜0，解得：m＞﹣8，∵方程，∴x+2≠0，即﹣≠﹣2，∴m≠﹣4，故答案为：m＞﹣8且m≠﹣4．【点评】本题考查了分式方程的解和解一元一次不等式，关键是得出﹣＜0和﹣≠﹣2，题目具有一定的代表性，但是有一定的难度．17．若分式方程的解为x=0，则a的值为5．【分析】根据方程的解的定义，把x=0代入方程即可得到一个关于a的方程，从而求得a的值．【解答】解：把x=0代入方程得：=1，解得：a=5，故答案是：5．【点评】解题关键是要掌握方程的解的定义，由已知解代入原方程得到新方程，然后解答．18．一个容器装有1升水，按照如下要求把水倒出：第1次倒出升水，第2次倒出的水量是升的，第3次倒出的水量是升的，第4次倒出的水量是升的，…按照这种倒水的方法，倒了10次后容器内剩余的水量是．【分析】根据题意，易知倒出的水的规律，第n次倒出的水=，然后从1升水中逐次减去每一次倒的水，再进行计算即可．【解答】解：根据题意可知第一次倒出：，第二次倒出：，第三次倒出：，…第n次倒出：，∴第10次倒出：，∴倒了10次后容器内剩余的水量=1﹣（++…+）=1﹣（+﹣+﹣+…+﹣）=1﹣（1﹣）=．故答案是．【点评】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是注意寻找规律，如：第n次倒出：；以及=﹣．三．解答题（共9小题）19．先化简，再求值：﹣÷，其中x=﹣1．【分析】先化简分式，再把x=﹣1代入求解即可．【解答】解：﹣÷=﹣•，=﹣，=，当x=﹣1时原式=．【点评】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是正确的化简．20．化简：（a+1﹣）•．【分析】先对括号内的式子进行化简，再根据分式的乘法进行化简即可解答本题．【解答】解：（a+1﹣）•====2a﹣4．【点评】本题考查分式的混合运算，解题的关键是明确分式的混合运算的计算方法．21．先化简，再求值：（﹣）+，其中a=2，b=．【分析】先对所求式子进行化简，然后根据a=2，b=可以求得化简后式子的值，本题得以解决．【解答】解：（﹣）+===，当a=2，b=时，原式=．【点评】本题考查分式的化简求值，解题的关键是会对所求的式子化简并求值．22．A、B两地相距200千米，甲车从A地出发匀速开往B地，乙车同时从B地出发匀速开往A地，两车相遇时距A地80千米．已知乙车每小时比甲车多行驶30千米，求甲、乙两车的速度．【分析】根据题意，可以设出甲、乙的速度，然后根据题目中的关系，列出相应的方程，本题得以解决．【解答】解：设甲车的速度是x千米/时，乙车的速度为（x+30）千米/时，解得，x=60，经检验，x=60是分式方程的根，则x+30=90，即甲车的速度是60千米/时，乙车的速度是90千米/时．【点评】本题考查分式方程的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，发现题目中的数量关系，列出相应的方程．23．某商店用1050元购进第一批某种文具盒，很快卖完．又用1440元购进第二批该种文具盒，但第二批每只文具盒的进价是第一批进价的1.2倍，数量比第一批多了10只．（1）求第一批每只文具盒的进价是多少元？（2）卖完第一批后，第二批按24元/只的价格销售，恰好销售完一半时，根据市场情况，商店决定对剩余的文具盒全部按同一标准一次性打折销售，但要求这批文具盒利润不得少于288元，问最低可打几折？【分析】（1）设第一批文具盒的进价是x元，则第二批的进价是每只1.2x元，根据两次购买的数量关系建立方程求出其解即可；（2）设最低可以打m折，根据这批文具盒利润不得少于288元列出一元一次不等式求解．【解答】解：（1）设第一批每只文具盒的进价是x元．根据题意得：，解之得x=15，经检验，x=15是方程的根答：第一批文具盒的进价是15元/只．（2）设最低可打m折（24﹣15×1.2）××+（24×﹣15×1.2）××≥288，m≥8，答：最低可打8折．【点评】本题考查了列分式方程解实际问题的运用，列一元一次不等式解实际问题的运用，解答时找到题意中的等量关系及不相等关系建立方程及不等式是解答的关键．24．“五一”期间，我市某商场举行促销活动，活动期间规定：商场内所有商品按标价的80%出售；同时，当顾客在该商场消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：消费金额p（元）的范围200≤p＜400400≤p＜500500≤p＜700700≤p＜900…获得奖券金额（元）3060100130…根据促销方法，顾客在该商场购物可获得双重优惠．例如，购买标价为450元的商品，则消费金额为450×0.8=360（元），获得优惠额为：450×0.2+30=120（元）．设购买商品的优惠率=．试问：（1）购买一件标价为800元的商品，顾客得到的优惠率是多少？（2）若一顾客购买了一套西装，得到的优惠率为，已知该套西装的标价高于700元，低于850元，该套西装的标价是多少元？【分析】（1）由800元×80%得出消费金额，再根据表中规定应享受100元优惠．则根据题目提供的优惠计算方法即可求出优惠额，从而得到优惠率；（2）因为西服标价低于850，所以其消费额最大为850×0.8=680（元），低于700元，因此获得的奖券金额为100元，设西服标价x元，根据题意可列出方程=，解方程即可．【解答】解：（1）消费金额为800×0.8=640（元），获得优惠额为：800×0.2+100=260（元），所以优惠率为=0.325=32.5%；（2）设西服标价x元，根据题意得=，解之得x=750经检验，x=750是原方程的根．答：该套西装的标价为750元．【点评】本题考查了分式方程的应用，列分式方程解应用题与所有列方程解应用题一样，重点在于准确地找出相等关系，这是列方程的依据．要注意题中给出的判断条件．此题关键是套用优惠率的公式．25．甲车从A地驶往B地，同时乙车从B地驶往A地，两车相向而行，匀速行驶，甲车距B地的距离y （km）与行驶时间x（h）之间的函数关系如图所示，乙车的速度是60km/h（1）求甲车的速度；（2）当甲乙两车相遇后，乙车速度变为a（km/h），并保持匀速行驶，甲车速度保持不变，结果乙车比甲车晚38分钟到达终点，求a的值．【分析】（1）根据函数图象可知甲2小时行驶的路程是（280﹣120）km，从而可以求得甲的速度；（2）根据第（1）问中的甲的速度和甲乙两车相遇后，乙车速度变为a（km/h），并保持匀速行驶，甲车速度保持不变，结果乙车比甲车晚38分钟到达终点，可以列出分式方程，从而可以求得a的值．【解答】解：（1）由图象可得，甲车的速度为：=80km/h，即甲车的速度是80km/h；（2）相遇时间为：=2h，由题意可得，=，解得，a=75，经检验，a=75是原分式方程的解，即a的值是75．【点评】本题考查分式方程的应用、函数图象，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．26．某服装店购进一批甲、乙两种款型时尚T恤衫，甲种款型共用了7800元，乙种款型共用了6400元，甲种款型的件数是乙种款型件数的1.5倍，甲种款型每件的进价比乙种款型每件的进价少30元．（1）甲、乙两种款型的T恤衫各购进多少件？（2）商店进价提高60%标价销售，销售一段时间后，甲款型全部售完，乙款型剩余一半，商店决定对乙款型按标价的五折降价销售，很快全部售完，求售完这批T恤衫商店共获利多少元？【分析】（1）可设乙种款型的T恤衫购进x件，则甲种款型的T恤衫购进1.5x件，根据甲种款型每件的进价比乙种款型每件的进价少30元，列出方程即可求解；（2）先求出甲款型的利润，乙款型前面销售一半的利润，后面销售一半的亏损，再相加即可求解．【解答】解：（1）设乙种款型的T恤衫购进x件，则甲种款型的T恤衫购进1.5x件，依题意有+30=，解得x=40，经检验，x=40是原方程组的解，且符合题意，1.5x=60．答：甲种款型的T恤衫购进60件，乙种款型的T恤衫购进40件；（2）=160，160﹣30=130（元），130×60%×60+160×60%×（40÷2）﹣160×[1﹣（1+60%）×0.5]×（40÷2）=4680+1920﹣640=5960（元）答：售完这批T恤衫商店共获利5960元．【点评】本题考查了列分式方程解实际问题的运用，分式方程的解法的运用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．27．某汽车销售公司经销某品牌A款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降．今年5月份A款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的A款汽车，去年销售额为100万元，今年销售额只有90万元．（1）今年5月份A款汽车每辆售价多少万元？（2）为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的B款汽车，已知A款汽车每辆进价为7.5万元，B款汽车每辆进价为6万元，公司预计用不多于105万元且不少于99万元的资金购进这两款汽车共15辆，有几种进货方案？（3）如果B款汽车每辆售价为8万元，为打开B款汽车的销路，公司决定每售出一辆B款汽车，返还顾客现金a万元，要使（2）中所有的方案获利相同，a值应是多少？此时，哪种方案对公司更有利？【分析】（1）求单价，总价明显，应根据数量来列等量关系．等量关系为：今年的销售数量=去年的销售数量．（2）关系式为：99≤A款汽车总价+B款汽车总价≤105．（3）方案获利相同，说明与所设的未知数无关，让未知数x的系数为0即可；多进B款汽车对公司更有利，因为A款汽车每辆进价为7.5万元，B款汽车每辆进价为6万元，所以要多进B款．【解答】解：（1）设今年5月份A款汽车每辆售价m万元．则：，解得：m=9．经检验，m=9是原方程的根且符合题意．答：今年5月份A款汽车每辆售价9万元；（2）设购进A款汽车x辆．则：99≤7.5x+6（15﹣x）≤105．解得：6≤x≤10．∵x的正整数解为6，7，8，9，10，∴共有5种进货方案；（3）设总获利为W万元，购进A款汽车x辆，则：W=（9﹣7.5）x+（8﹣6﹣a）（15﹣x）=（a﹣0.5）x+30﹣15a．当a=0.5时，（2）中所有方案获利相同．此时，购买A款汽车6辆，B款汽车9辆时对公司更有利．【点评】本题考查分式方程和一元一次不等式组的综合应用，找到合适的等量关系及不等关系是解决问题的关键．。
专题20 分式方程(解析版)
专题20 分式方程(解析版)专题20 分式方程(解析版)分式方程（Rational equations）是由含有分式（Rational expressions）的方程组成的等式。
在解决分式方程时，我们需要找到使得方程成立的变量值，这些变量值通常称为方程的根（Roots）或解（Solution）。
本文将介绍解决分式方程的方法，并举例说明其应用。
一、基础概念分式方程由两个或多个分式组成，通常形式如下：```math\frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{R(x)}{S(x)}```其中，`P(x)`、`Q(x)`、`R(x)` 和 `S(x)` 是多项式，它们的系数可以为整数、小数或变量。
求解这个方程的目标是找到使得等式成立的 `x` 值。
二、求解分式方程的一般步骤1. 将分式方程转化为多项式方程：通过将两边乘以公共分母来消除分式，将分式方程转化为多项式方程。
2. 化简方程：将多项式方程进行合并、整理，化简为一个标准形式。
3. 求解方程：将化简后的方程解析求解，得到方程的根。
三、分式方程的例子下面通过一些例子来说明解决分式方程的方法：例1：求解方程 `2/x - 3/(x+1) = 1/3`。
解：首先，将分式方程转化为多项式方程：```math\frac{2}{x} - \frac{3}{x+1} = \frac{1}{3}```通过求最小公倍数等方法，将方程的分母消除得到：```math6(x+1) - 6x = x(x+1)6x + 6 - 6x = x^2 + xx^2 + x - 6 = 0```化简方程得到 `x^2 + x - 6 = 0`。
通过因式分解或者配方法求解这个二次方程，得到 `x = -3` 或 `x = 2`。
所以，方程的解为 `x = -3` 或 `x = 2`。
例2：求解方程 `(x-1)/(x+2) = (x+5)/(x-3)`。
解：将分式方程转化为多项式方程得到：```math\frac{x-1}{x+2} = \frac{x+5}{x-3}```通过求最小公倍数等方法，得到：```math(x-1)(x-3) = (x+2)(x+5)x^2 - 4x + 3 = x^2 + 7x + 10-4x + 3 = 7x + 1011x = 7x = \frac{7}{11}```所以，方程的解为 `x = \frac{7}{11}`。
最新初中数学方程与不等式之分式方程经典测试题附解析(2)
最新初中数学方程与不等式之分式方程经典测试题附解析(2)一、选择题1．“绿水青山就是金山银山”某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原来计划提高了25%，结果提前30天完成了这任务，设原计划工作时每天绿化面积为x 万平方米，则下面所到方程中正确的是（ ）A ．()006060-30x 125x =+ B ．()6060-30125%x x =+ C ．()60125%60-30x x⨯+=D ．()60125%60-30x x⨯+= 【答案】A 【解析】 【分析】根据实际工作时每天的工作效率比原来计划提高了25%，结果提前30天完成了这任务，可列出方程． 【详解】解：设原计划工作时每天绿化面积为x 万平方米，则根据题意可得：()00606030125x x-=+， 故答案为：A ． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是读懂题意，找出题目中的等量关系，列出方程．2．体育测试中，小进和小俊进行800米跑测试，小进的速度是小俊的1.25倍，小进比小俊少用了40秒，设小俊的速度是x 米/秒，则所列方程正确的是（ ） A ．4 1.2540800x x ⨯-=B ．800800402.25x x -= C ．800800401.25x x -= D ．800800401.25x x-= 【答案】C 【解析】 【分析】先分别表示出小进和小俊跑800米的时间，再根据小进比小俊少用了40秒列出方程即可． 【详解】小进跑800米用的时间为8001.25x 秒，小俊跑800米用的时间为800x秒，∵小进比小俊少用了40秒，方程是800800401.25x x-=， 故选C ． 【点睛】本题考查了列分式方程解应用题，能找出题目中的相等关系式是解此题的关键．3．已知关于x 的分式方程12111m x x--=--的解是正数，则m 的取值范围是( ) A ．m ＜4且m ≠3 B ．m ＜4C ．m ≤4且m ≠3D ．m ＞5且m ≠6【答案】A 【解析】 【详解】方程两边同时乘以x -1得， 1-m -（x -1）+2=0， 解得x =4-m ． ∵x 为正数，∴4-m ＞0，解得m ＜4． ∵x ≠1，∴4-m ≠1，即m ≠3．∴m 的取值范围是m ＜4且m ≠3． 故选A ．4．若关于x 的分式方程2xx -﹣12m x--=3的解为正整数，且关于y 的不等式组2()522126m y y y ⎧-≤⎪⎪⎨+⎪+>⎪⎩至多有六个整数解，则符合条件的所有整数m 的取值之和为（ ） A ．1 B ．0C ．5D ．6【答案】A 【解析】 【分析】先求出一元一次不等式组的解集，根据“不等式组的解至多有六个整数解”确定m 的取值范围，再解分式方程，依据“解为正整数”进一步确定m 的值，最后求和即可． 【详解】解：化简不等式组为25632y m y y -≤⎧⎨+>+⎩，解得：﹣2＜y≤52m+，∵不等式组至多有六个整数解，∴52m+≤4，∴m≤3，将分式方程的两边同时乘以x﹣2，得x+m﹣1=3（x﹣2），解得：x=52m+，∵分式方程的解为正整数，∴m+5是2的倍数，∵m≤3，∴m=﹣3或m=﹣1或m=1或m=3，∵x≠2，∴52m+≠2，∴m≠﹣1，∴m=﹣3或m=1或m=3，∴符合条件的所有整数m的取值之和为1，故选：A．【点睛】本题考查分式方程的解法、解一元一次不等式组；熟练掌握分式方程的解法、一元一次不等式组的解法，是解题关键，分式方程切勿遗漏增根的情况是本题易错点．5．如果关于x的不等式（a+1）x>2的解集为x<-1，则a的值是（）．A．a=3 B．a≤-3 C．a=-3 D．a>3【答案】C【解析】【分析】根据不等式的解集得出关于a的方程，解方程即可．【详解】解：因为关于x的不等式（a+1）x>2的解集为x<-1，所以a+1＜0，即a＜-1，且21a+=-1，解得：a=-3．经检验a=-3是原方程的根故选：C．【点睛】此题主要考查了不等式的解集，当题中有两个未知字母时，应把关于某个字母的不等式中的字母当成未知数，求得解集，再根据解集进行判断，求得另一个字母的值．6．风筝会期间,几名同学租一辆面包车前去观看开幕式,面包车的租价为180元,出发时又增加两名同学,结果每人比原来少摊了3元钱车费，设前去观看开幕式的同学共x人，则所列方程为（）A．18018032x x-=+B．18018032x x-=+C．18018032x x-=-D．18018032x x-=-【答案】D【解析】【分析】先用x表示出增加2名同学前和增加后每人分摊的车费钱，再根据增加后每人比原来少摊了3元钱车费列出方程即可.【详解】解：设前去观看开幕式的同学共x人，根据题意，得：18018032x x-= -.故选：D.【点睛】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是弄清题意、找准等量关系，易错点是容易弄错增加前后的人数.7．新能源汽车环保节能，越来越受到消费者的喜爱.各种品牌相继投放市场.一汽贸公司经销某品牌新能源汽车.去年销售总额为5000万元，今年1~5月份，每辆车的销售价格比去年降低1万元.销售数量与去年一整年的相同.销售总额比去年一整年的少20%，今年1~5月份每辆车的销售价格是多少万元?设今年1~5月份每辆车的销售价格为x万元.根据题意，列方程正确的是( )A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】首先根据所设今年每辆车的价格，可表示出去年的价格，同样根据销售总额的关系可表示出今年的销售总额，然后再根据去年和今年1~5月份销售汽车的数量相同建立方程即可得解.【详解】∵今年1~5月份每辆车的销售价格为x万元，∴去年每辆车的销售价格为（x+1）万元，则有故选A. 【点睛】此题主要考查分式方程的应用，解题的关键是找出题中去年和今年的关系.8．关于x 的分式方程230+=-x x a解为4x =，则常数a 的值为( ) A ．1a = B ．2a =C ．4a =D ．10a =【答案】D 【解析】 【分析】根据分式方程的解的定义把x=4代入原分式方程得到关于a 的一次方程，解得a 的值即可． 【详解】解：把x=4代入方程230+=-x x a，得 23044a +=-， 解得a=10．经检验，a=10是原方程的解 故选D ．点睛：此题考查了分式方程的解，分式方程注意分母不能为0．9．某一景点改造工程要限期完成，甲工程队独做可提前一天完成，乙工程队独做要误期6天，现由两工程队合做4天后，余下的由乙工程队独做，正好如期完成，若设工程期限为x 天，则下面所列方程正确的是( ) A ．4116x x x +=+- B ．416x x x =-+ C ．4116x x x +=-- D ．4116x x x +=-+ 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据工程期限为x 天，结合题意得出甲每天完成总工程的11x -，而乙每天完成总工程的16x +，据此根据题意最终如期完成了工程进一步列出方程即可. 【详解】∵工程期限为x 天， ∴甲每天完成总工程的11x -，乙每天完成总工程的16x +， ∵由两工程队合做4天后，余下的由乙工程队独做，正好如期完成， ∴可列方程为：4116x x x +=-+， 故选：D. 【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用，根据题意正确找出等量关系是解题关键.10．在阳明山国家森林公园举行中国·阳明山“和”文化旅游节暨杜鹃花会期间,几名同学包租一辆车前去游览,该车的租价为180元,出发时,又增加了两名同学,结果每名同学比原来少分摊了3元车费.设参加游览的学生共有x 人,则可列方程为（ ）A ．18018032x x +=- B ．18018032x x -=- C ．18018032x x +=- D ．18018032x x -=- 【答案】D 【解析】 【分析】设参加游览的同学共x 人，则原有的几名同学每人分担的车费为：1802x -元，出发时每名同学分担的车费为：180x元，根据每个同学比原来少摊了3元钱车费即可得到等量关系． 【详解】设参加游览的同学共x 人，根据题意得：1801802x x -=-3． 故选：D ． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是首先弄清题意，根据关键描述语，找到合适的等量关系；易错点是得到出发前后的人数．11．甲、乙二人做某种机械零件，已知每小时甲比乙少做8个，甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，设甲每小时做x 个零件，下列方程正确的是（ ）A ．1201508x x =- B ．1201508x x=+ C ．1201508x x=- D ．1201508x x =+ 【答案】D 【解析】 【分析】首先用x 表示甲和乙每小时做的零件个数，再根据甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等即可列出一元一次方程. 【详解】解：∵甲每小时做x 个零件，∴乙每小时做（x+8）个零件， ∵甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，∴1201508x x =+， 故选D. 【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，熟练掌握是解题的关键.12．如果关于x 的方程2430ax x +-=有两个实数根，且关于x 的分式方程233x a a x x -+=--有整数解，则 符合条件的整数a 有（ ）个． A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】B 【解析】 【分析】由一元二次方程根的判别式求得a 的取值范围，再解分式方程，利用解为整数分析得出答案． 【详解】解：因为：关于x 的方程2430ax x +-=有两个实数根， 所以：244(3)0a -⨯-≥，且0a ≠， 解得：43a ≥-且0a ≠，因为：233x a a x x-+=--， 所以：23x a ax a -+=-， 所以：(1)22a x a -=+，当1a =时，方程无解， 当1a ≠时，方程的解为224211a x a a +==+--， 因为x 为整数且3x ≠，所以1a -是4的约数，所以11,12,14,a a a -=±-=±-=± 所以a 的值为：3,1,0,2,3,5--， 又因为：43a ≥-且0a ≠，1,a ≠ 3x ≠，所以3,0,5a a a =-==不合题意舍掉， 所以a 的值为：1,2,3,-． 故选B ．【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，分式方程的解的情况，掌握知识点并能注意到分式方程的增根是解题关键．13．若数k 使关于x 的不等式组301132x k x x +≤⎧⎪-⎨-≤⎪⎩只有4个整数解，且使关于y 的分式方程1k y -+1＝1y ky ++的解为正数，则符合条件的所有整数k 的积为（ ）A ．2B ．0C ．﹣3D ．﹣6【答案】A 【解析】 【分析】解不等式组求得其解集，根据不等式组只有4个整数解得出k 的取值范围，解分式方程得出y=-2k+1，由方程的解为整数且分式有意义得出k 的取值范围，综合两者所求最终确定k 的范围，据此可得答案． 【详解】解：解不等式组301132x k x x +≤⎧⎪-⎨-≤⎪⎩得：﹣3≤x ≤﹣3k ，∵不等式组只有4个整数解， ∴0≤﹣3k＜1， 解得：﹣3＜k ≤0， 解分式方程1k y -+1＝1y k y ++得：y ＝﹣2k +1，∵分式方程的解为正数， ∴﹣2k +1＞0且﹣2k +1≠1， 解得：k ＜12且k ≠0， 综上，k 的取值范围为﹣3＜k ＜0，则符合条件的所有整数k 的积为﹣2×（﹣1）＝2， 故选A ． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组、分式方程的解，有难度，注意分式方程中的解要满足分母不为0的情况．14．如果解关于x 的分式方程2122m xx x-=--时出现增根，那么m 的值为A ．-2B ．2C ．4D ．-4【答案】D 【解析】 【详解】2122m xx x-=--，去分母，方程两边同时乘以(x ﹣2)，得： m +2x =x ﹣2，由分母可知，分式方程的增根可能是2． 当x =2时，m +4=2﹣2，m =﹣4， 故选D ．15．若关于x 的方程333x m mx x++--=3的解为正数，则m 的取值范围是（ ） A ．m ＜92 B ．m ＜92且m≠32C ．m ＞﹣94D ．m ＞﹣94且m≠﹣34【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】解：去分母得：x+m ﹣3m=3x ﹣9， 整理得：2x=﹣2m+9，解得：x=292m -+， 已知关于x 的方程333x m mx x++--=3的解为正数， 所以﹣2m+9＞0，解得m ＜92， 当x=3时，x=292m -+=3，解得：m=32， 所以m 的取值范围是：m ＜92且m≠32．故答案选B ．16．若分式方程2+1kx x 2--＝12x-有增根，则k 的值为（ ） A ．﹣2 B ．﹣1C ．1D ．2【答案】C 【解析】 【分析】根据分式方程有增根得到x=2，将其代入化简后的整式方程中求出k 即可. 【详解】解：分式方程去分母得：2（x ﹣2）+1﹣kx ＝﹣1， 由题意将x ＝2代入得：1﹣2k ＝﹣1， 解得：k ＝1． 故选：C ． 【点睛】此题考查分式方程的增根，由增根求方程中其他未知数的值，根据增根的定义得到方程的解是解题的关键.17．某单位向一所希望小学赠送1080本课外书，现用A 、B 两种不同的包装箱进行包装，单独使用B 型包装箱比单独使用A 型包装箱可少用6个；已知每个B 型包装箱比每个A 型包装箱可多装15本课外书．若设每个A 型包装箱可以装书x 本，则根据题意列得方程为（ ） A ． B ． C ．D ．【答案】C 【解析】设每个A 型包装箱可以装书x 本，则每个B 型包装箱可以装书（x+15）本，根据单独使用B 型包装箱比单独使用A 型包装箱可少用6个，列方程得：，故选C.18．已知关于x 的分式方程21m x -+=1的解是负数，则m 的取值范围是（ ） A ．m≤3 B ．m≤3且m≠2C ．m ＜3D ．m ＜3且m≠2【答案】D 【解析】 【分析】解方程得到方程的解，再根据解为负数得到关于m 的不等式结合分式的分母不为零，即可求得m 的取值范围. 【详解】21m x -+=1， 解得：x=m ﹣3， ∵关于x 的分式方程21m x -+=1的解是负数， ∴m ﹣3＜0， 解得：m ＜3，当x=m ﹣3=﹣1时，方程无解，则m≠2，故m 的取值范围是：m ＜3且m≠2，故选D ．【点睛】本题考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法以及分式方程的分母不为零是解题关键．19．关于x 的方程2111ax x x -=++的解为非正数，且关于x 的不等式组22533a x x +⎧⎪+⎨⎪⎩„…无解，那么满足条件的所有整数a 的和是（ ）A ．﹣19B ．﹣15C ．﹣13D ．﹣9 【答案】C【解析】解：分式方程去分母得：ax ﹣x ﹣1=2，整理得：（a ﹣1）x =3，由分式方程的解为非正数，得到 31a -≤0，且 31a -≠﹣1，解得：a ＜1且a ≠﹣2． 不等式组整理得：224a x x -⎧≤⎪⎨⎪≥⎩，由不等式组无解，得到22a -＜4，解得：a ＞﹣6，∴满足题意a 的范围为﹣6＜a ＜1，且a ≠﹣2，即整数a 的值为﹣5，﹣4，﹣3，﹣1，0，则满足条件的所有整数a 的和是﹣13，故选C ．点睛：此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．已知关于x 的分式方程13222mx x x -+=--有解,则m 应满足的条件是（ ） A ． 1 2m m ≠≠且B ．2m ≠C ．1m =或2m =D ．1m ≠或2m ≠ 【答案】A【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程(m-2)x=-2，由分式方程有解可知m-2≠0，最简公分母x-2≠0，求出x 的值，进一步求出m 的取值即可.【详解】 13222mx x x-+=--， 去分母得，1-（3-mx ）=2(x-2)整理得，（m-2）x=-2∵分式方程13222mx x x-+=--有解， ∴m-2≠0，即m≠2， ∴22x m -=- ∵分式方程13222mx x x-+=--有解， ∴x-2≠0，即x≠2， ∴222m -≠-，解得，m≠1， 所以，m 的取值为： 1 m ≠且2m ≠故选：A.【点睛】 此题主要考查了分式方程的求解，关键是会解出方程的解，注意隐含条件.。
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第二单元 方程（组）与不等式（组）第8讲 分式方程一、单选题1．已知3x =是分式方程31kx =-的解， 那么实数k 的值为( ) A ． 1 B ．32C ． 6D ． 9【解答】解： 将3x =代入方程， 得：32k=，解得：6k =， 故选：C ． 2．把分式方程22242x xx x +=--化为整式方程，得( ) A ．22(2)x x x +=+ B ．22(4)2(2)x x x x +-=+C ．2(2)2(2)x x x x +-=-D ．22(4)2(2)x x x x +-=-【解答】解：去分母得：22(4)2(2)x x x x +-=+． 故选：B ．3．（2019•南岗区校级模拟）方程23055x x x--=--的解为( ) A ．2-B ．2C ．5D ．无解【解答】解：两边都乘以5x -，得：230x -+=， 解得：5x =，检验：当5x =时，50x -=， 所以方程无解． 故选：D ．4．当使用换元法解方程2()2()3011x x x x --=++时，若设1xy x =+，则原方程可变形为 ( )A ．2230y y ++=B ．2230y y -+=C ．2230y y +-=D ．2230y y --=【解答】解：把1xy x =+代入原方程得：2230y y --=． 故选：D ．5．（2019秋•勃利县期末）已知关于x 的方程33kx x=-的解是正整数，且k 为整数，则k 的值是( )A ．0B ．2-C ．0或6D ．2-或6【解答】解：方程33kx x=-去分母，得93x kx -=， 即39kx x +=， 93x k ∴=+ 因为原分式方程的解为正整数，且3x ≠． 所以913x k ==+、2、4、5、6、7、8、9， 又因为k 为整数， 所以2k =-或6． 故选：D ．6．（2019秋•西城区期中）关于x 的分式方程231x mx -=+的解是负数，则字母m 的取值范围是( ) A ．3m < B ．3m <且2m ≠C ．3m >-D ．3m >-且2m ≠-【解答】解：231x mx -=+， 方程两边同时乘以1x +得：23(1)x m x -=+， 解得：3x m =--， 10x +≠， 1x ∴≠-即31m --≠-， 解得：2m ≠-， 又方程的解是负数， 30m ∴--<，解不等式得：3m >-， 综上可知：3m >-且2m ≠-， 故选：D ． 7．若分式方程222a xx x -=--有增根，则a 的值是( )A．3B．0C．4D．2【解答】解：方程两边都乘(2)x-，得2a x=-原方程有增根，∴最简公分母(2)0x-=，解得2x=，当2x=时，4a=．故选：C．8．文文借了一本书共280页，要在两周借期内读完．当她读了一半时，发现平均每天要多读21页才能在借期内读完．她在读前一半时，平均每天读多少页？如果设读前一半时，平均每天读x页，则下列方程中，正确的是()A．2802801421x x+=-B．2802801421x x+=+C．1401401421x x+=-D．1401401421x x+=+【解答】解：根据题意得：1401401421x x+=+，故选：D．9．（2020秋•西城区期末）在学校组织的秋季登山活动中，某班分成甲、乙两个小组同时开始攀登一座450m高的山，乙组的攀登速度是甲组的1.2倍，乙组到达顶峰所用时间比甲组少15min．如果设甲组的攀登速度为x/m min，那么下面所列方程中正确的是()A．4504501.215x x=++B．450450151.2x x=-C．4504501.215x x=⨯+D．450450151.2x x=+【解答】解：设甲组的攀登速度为x/m min，则乙组的攀登速度为1.2x/m min，依题意得：450450151.2x x-=．故选：B．10．（2020秋•丰台区期末）2020年5月1日，北京市正式实施《北京市生活垃圾管理条例》，生活垃圾按照厨余垃圾，可回收物，有害垃圾，其他垃圾进行分类．小红所住小区5月和12月的厨余垃圾分出量和其他三种垃圾的总量的相关信息如下表所示：类别厨余垃圾分出量（千克） 6608400 其他三种垃圾的总量（千克） x710x 如果厨余垃圾分出率100%=⨯厨余垃圾分出量生活垃圾总量（生活垃圾总量=厨余垃圾分出量+其他三种垃圾的总量），且该小区12月的厨余垃圾分出率约是5月的厨余垃圾分出率的14倍，那么下面列式正确的是( ) A ．660840014710x x ⨯=B ．6608400147660840010x x ⨯=++C ．6608400147660840010x x=⨯++D ．7840066010146608400x x++⨯= 【解答】解：根据题意知，6608400147660840010x x ⨯=++．故选：B ．二、填空题11．（2020秋•门头沟区期末）如图是小华对“分式运算与解分式方程”这部分知识的梳理：其中，图中（①）“通分”的依据是 ，图中（②）“将分式方程转化为整式方程”的具体方法是 ．【解答】解：如图是小华对“分式运算与解分式方程”这部分知识的梳理：其中，图中（①）“通分”的依据是分式的基本性质，图中（②）“将分式方程转化为整式方程”的具体方法是方程左右两边都乘以各分母的最简公分母．故答案为：分式的基本性质；方程左右两边都乘以各分母的最简公分母． 12．（2020秋•海淀区校级月考）若方程244x ax x =+--无解，则此时a = ．【解答】解：方程两边同乘以4x -得2(4)x x a =-+， 方程244x ax x =+--无解， 40x ∴-=，解得4x =， 42(44)a ∴=-+，解得4a =． 故答案为4． 13．若分式方程11322a x x ++=--有增根，则a 的值是 ． 【解答】解：去分母转化成整式方程，得13(2)1x a +-=+． 化简，得36a x =-． 分式方程的增根是2x =，把2x =代入方程，得3260a =⨯-=， 故答案为：0．14．（2019秋•大兴区期中）对于两个非零的实数a ，b ，规定32@a b b a=-，若(1)@(1)0x x +-=，则x 的值是 ．【解答】解：根据题中的新定义得：32011x x -=-+， 去分母得：33220x x +-+=， 解得：5x =-，经检验5x =-是分式方程的解， 则x 的值为5-， 故答案为：5-三、解答题15．（2020秋•海淀区校级月考）（1）23241123x x x x ---=-+； （2）22162242x x x x x -+-=+--； （3）解关于x 的方程：2(0)a b b aa b x a b+--=+≠． 【解答】解：（1）去分母得：2224926423x x x x x --+-=+-，解得：2x =，经检验2x =是分式方程的解；（2）去分母得：22441644x x x x -+-=++， 解得：2x =-，经检验2x =-是增根，分式方程无解；（3）去分母得：22()2ab a b b x a x abx +--=，即2()()a b x ab a b +=+， 解得：abx a b=+， 经检验abx a b=+是分式方程的解． 16．（2020秋•海淀区校级月考）关于x 的方程225111mx x x +=+--去分母转化为整式方程后产生增根，求m 的值．【解答】解：方程两边同乘以21x -，得2(1)5(1)x x m --+=， 当210x -=时，1x =±，∴关于x 的方程225111mx x x +=+--的增根为1±， 当1x =时，2(11)5(11)10m =--+=-； 当1x =-时，2(11)5(11)4m =----+=-， 故m 的值为10-或4-．17．（2020春•海淀区期末）国家实施高效节能电器的财政补贴政策，某款空调在政策实施后，客户每购买一台可获得补贴500元，若同样用6万元购买此款空调，补贴后可购买的台数比补贴前多20%．该款空调补贴前的售价为每台多少元？ 【解答】解：设该款空调补贴前的售价为每台x 元， 由题意，得：6000060000(120%)500x x ⨯+=-， 解得：3000x =，经检验得：3000x =是原方程的根， 答：该款空调补贴前的售价为每台3000元．18．（2019秋•密云区期末）数学课堂上，老师提出问题：可以通过通分将两个分式的和表示成一个分式的形式，是否也可以将一个分式31(1)(1)x x x ++-表示成两个分式和的形式？其中这两个分式的分母分别为1x +和1x -．小明通过观察、思考，发现可以用待定系数法解决上面问题．具体过程如下： 设31(1)(1)11x A Bx x x x +=++-+- 则有31(1)(1)()(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)x A x B x A B x B Ax x x x x x x x +-+++-=+=+-+-+-+- 故此31A B B A +=⎧⎨-=⎩解得12A B =⎧⎨=⎩所以3112(1)(1)11x x x x x +=++-+- 问题解决： （1）设1(1)1x A Bx x x x -=+++，求A 、B ． （2）直接写出方程111(1)(1)(2)2x x x x x x x --+=++++的解． 【解答】解：（1）(1)1(1)(1)A B A x Bxx x x x x x ++=++++ ()1(1)(1)A B x A xx x x x ++-==++ 1A B ∴+=-，1A = 2B ∴=-（2）由（1）可得112(1)1x x x x x --=+++， 同理可得123(1)(2)12x x x x x --=+++++ 所以原方程可变形为：122311122x x x x x --+++=++++， ∴142x x =+ 解得23x =经检验，23x =是原方程的解． 所以原方程的解为：23x =。