2014中考复习备战策略_数学PPT_第8讲_分式方程
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《分式方程》_课件-完美版
小结：工程问题，若没有告诉总工作量，通常设总工作量为1；工程问题的等量关系通 常根据“各分工作量之和等于总工作量”来确定。
【获奖课件ppt】《分式方程》_课件- 完美版 1-课件 分析下 载
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巩固新知
1．解分式方程 x 2 3 ，去分母后的结果是( )
运用新知
例4 两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一， 这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成.哪个队的施工速度快？ 追问1：工程问题中有哪几个基本量，其关系是什么？通常把工作总量看作多少？ 追问2：由题意可知，甲队的工作效率是多少？若设乙队独做x天完成，则乙队的工作 效率是多少？ 追问3：此题中的等量关系是什么？你能用题中的一句话或一个等式来表示吗？ 追问4：工程类问题常用的等量关系是什么？
x2
x2
A．x＝2＋3
B．x＝2(x－2)＋3
C．x(x－2)＝2＋3(x－2) D．x＝3(x－2)＋2
答案：B
2．解下列方程：(1)
x
1 5
10 x2 25
7
1
6
；(2)
x2
x x2
x x2
x。
答案：(1)无解；(2)x＝3。
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此方程中含有分式，即方程的分母中含有未知数，而整式方程的左右两边都是整式。 归纳：分式方程的概念：像这样 分母中含有未知数的方程 叫分式方程。
追问：分式方程与整式方程有何区别？
小结：分式方程中含有分式，即分母中含有未知数的方程；整式方程是指方程的左右 两边都是整式，不含有分式。
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巩固新知
1．解分式方程 x 2 3 ，去分母后的结果是( )
运用新知
例4 两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一， 这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成.哪个队的施工速度快？ 追问1：工程问题中有哪几个基本量，其关系是什么？通常把工作总量看作多少？ 追问2：由题意可知，甲队的工作效率是多少？若设乙队独做x天完成，则乙队的工作 效率是多少？ 追问3：此题中的等量关系是什么？你能用题中的一句话或一个等式来表示吗？ 追问4：工程类问题常用的等量关系是什么？
x2
x2
A．x＝2＋3
B．x＝2(x－2)＋3
C．x(x－2)＝2＋3(x－2) D．x＝3(x－2)＋2
答案：B
2．解下列方程：(1)
x
1 5
10 x2 25
7
1
6
；(2)
x2
x x2
x x2
x。
答案：(1)无解；(2)x＝3。
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此方程中含有分式，即方程的分母中含有未知数，而整式方程的左右两边都是整式。 归纳：分式方程的概念：像这样 分母中含有未知数的方程 叫分式方程。
追问：分式方程与整式方程有何区别？
小结：分式方程中含有分式，即分母中含有未知数的方程；整式方程是指方程的左右 两边都是整式，不含有分式。
《分式方程》分式PPT课件 图文
③ 检验:把x1= -3,代入最简公分母,
x(x-2)=-3(-3-2)= 15 ≠0;
把x2= 2 ,代入最简公分母, x(x-2)= 2(2-2) =0
∴x= 2 是增根,舍去. ∴原方程的根是x= -3 .
练
(填空)1、解方程:
x1 6 0 x2 x22x
7
一 解:·方·程·两·边·同·乘·以·最·简·公·分·母 x(x-2),
左边= 331112
,
右边=
1 2
.
∵ 左边=右边
∴ 原方程的根是 x=3.
检验
例2
解分式方程
x15x9 x1 x21
解 方程两边同乘以最简公分母(x＋1)(x－1),
得 （x-1)2 =5x+9 解整式方程,得 x1=－1, x2=8
x2-2x+1=5x+9 X2-7x-8=0 (x+1)(x-8)=0
一元二次方程
1、2(x－1)=x＋1; x2＋x-20=0; x+2y=1…
整式方程: 方程两边都是整式的方程.
2、 x 1 1 x 0 ;x x 1 1 1 2 ;x 1 1 1 y 1 ;x x 1 1 5 x x 2 1 9
分式方程：方分程母中 含只 有含 未有 知分 数式 的或 方整程式. ,且
你总该记得，有一个黄昏，白马湖上的 黄昏， 在你那 间天花 板要压 到头上 来的， 一颗骰 子似的 客厅里 ，你和 我读着 竹久梦 二的漫 画集。 你告诉 我那篇 序做得 有趣， 并将其 大意译 给我听 。我对 于画， 你最明 白，彻 头彻尾 是一条 门外汉 。但对 于漫画 ，却常 常要像 煞有介 事地点 头或摇 头；而 点头的 时候总 比摇头 的时候 多—— 虽没有 统计， 我肚里 有数。 那一天 我自然 也乱点 了一回 头。 点头之余，我想起初看到一本漫画，也 是日本 人画的 。里面 有一幅 ，题目 似乎是 《aa子 爵b泪》 （上两 字已忘 记）， 画着一 个微侧 的半身 像：他 严肃的 脸上戴 着眼镜 ，有三 五颗双 钩的泪 珠儿， 滴滴答 答历历 落落地 从眼睛 里掉下 来。我 同时感 到伟大 的压迫 和轻松 的愉悦 ，一个 奇怪 的矛盾 ！梦二 的画有 一幅— —大约 就是那 画集里 的第一 幅—— 也使我 有类似 的感觉 。那幅 的题目 和内容 ，我的 记性真 不争气 ，已经 模糊得 很。只 记得画 幅下方 的左角 或右角 里，并 排地画 着极粗 极肥又 极短的 一个“ ！”和 一个“ ？”。 可惜我 不记得 他们哥 儿俩谁 站在上 风，谁 站在下 风。我 明白（ 自己要 脸）他 们俩就 是整个 儿的人 生的谜 ；同时 又觉着 像是那 儿常常 见着的 两个胖 孩子。 我心眼 里又是 糖浆， 又是姜 汁，说 不上是 什么味 儿。无 论如何 ，我总 得惊异 ；涂呀 抹的几 笔，便 造起个 小世界 ，使你 又要叹 气又要 笑。叹 气虽是 轻轻的 ，笑虽 是微微 的，似 一把锋 利的裁 纸刀， 戳到喉 咙里去 ，便可 要你的 命。而 且同时 要笑又 要叹气 ，真是 不当人 子，闹 着玩儿 ！
2014中考复习备战策略_数学PPT_第8讲_分式方程
第8讲
分式方程
考点知识梳理
中考典例精析
基础巩固训练
考点训练
考点一
分式方程及其解法
1．分式方程 分母里含有未知数 的方程叫做分式方程． 2．解分式方程的基本思想 把分式方程转化为整式方程，即 分式方程― ― →整式方程． 转化
去分母
考点知识梳理
中考典例精析
基础巩固训练
考点训练
3．解分式方程的步骤 (1)去分母(不能忘记乘没有分母的项)， 转化为整式 方程；(2)解整式方程，得根；(3)验根． 4．验根 解分式方程时，有可能产生增根，因此解分式方 程要验根，其方法是将根代入最简公分母中，使最简 公分母为 0 的根是增根，应舍去．
考点知识梳理 中考典例精析 基础巩固训练 考点训练
方法总结 分式方程无解的原因有两个： 一是去分母后的整式 方程无解；二是整式方程的解使得最简公分母为 0.
考点知识梳理
中考典例精析
基础巩固训练
考点训练
考点三 分式方程的应用 例 3 (2013· 扬州)某校九(1)、 九(2)两班的班长交流 为四川雅安地震灾区捐款的情况： (Ⅰ)九(1)班的班长说：“我们班捐款总额为 1 200 元， 我们班人数比你们班多 8 人．” (Ⅱ) 九 (2) 班 的班长说 ： “ 我 们班捐款 总额也为 1 200 元， 我们班人均捐款比你们班人均捐款多 20%.”
考点知识梳理都乘 x(x－3)，得(2m＋x)x－x(x－ 3)＝2(x－3)，即(2m＋1)x＝－6①.(1)当 2m＋1＝0 时， 2m＋x 此方程无解， 此时 m＝－0.5； (2)关于 x 的分式方程 x－3 2 －1＝ ，当 x＝0 或 x－3＝0，即 x＝0 或 x＝3 时分式无 x 意义，当 x＝0 时，代入①，得(2m＋1)×0＝－6，此方 程无解；当 x＝3 时，代入①，得(2m＋1)×3＝－6，解 得 m＝－1.5.∴m 的值是－0.5 或－1.5.故选 D.
分式方程
考点知识梳理
中考典例精析
基础巩固训练
考点训练
考点一
分式方程及其解法
1．分式方程 分母里含有未知数 的方程叫做分式方程． 2．解分式方程的基本思想 把分式方程转化为整式方程，即 分式方程― ― →整式方程． 转化
去分母
考点知识梳理
中考典例精析
基础巩固训练
考点训练
3．解分式方程的步骤 (1)去分母(不能忘记乘没有分母的项)， 转化为整式 方程；(2)解整式方程，得根；(3)验根． 4．验根 解分式方程时，有可能产生增根，因此解分式方 程要验根，其方法是将根代入最简公分母中，使最简 公分母为 0 的根是增根，应舍去．
考点知识梳理 中考典例精析 基础巩固训练 考点训练
方法总结 分式方程无解的原因有两个： 一是去分母后的整式 方程无解；二是整式方程的解使得最简公分母为 0.
考点知识梳理
中考典例精析
基础巩固训练
考点训练
考点三 分式方程的应用 例 3 (2013· 扬州)某校九(1)、 九(2)两班的班长交流 为四川雅安地震灾区捐款的情况： (Ⅰ)九(1)班的班长说：“我们班捐款总额为 1 200 元， 我们班人数比你们班多 8 人．” (Ⅱ) 九 (2) 班 的班长说 ： “ 我 们班捐款 总额也为 1 200 元， 我们班人均捐款比你们班人均捐款多 20%.”
考点知识梳理都乘 x(x－3)，得(2m＋x)x－x(x－ 3)＝2(x－3)，即(2m＋1)x＝－6①.(1)当 2m＋1＝0 时， 2m＋x 此方程无解， 此时 m＝－0.5； (2)关于 x 的分式方程 x－3 2 －1＝ ，当 x＝0 或 x－3＝0，即 x＝0 或 x＝3 时分式无 x 意义，当 x＝0 时，代入①，得(2m＋1)×0＝－6，此方 程无解；当 x＝3 时，代入①，得(2m＋1)×3＝－6，解 得 m＝－1.5.∴m 的值是－0.5 或－1.5.故选 D.
中考数学分式方程专题复习全面版.ppt
【答案】16
11．(2010 中考变式题)当 x＝________时，分式xx＋－31的值等
于 2.
【解析】xx＋ －31＝2，x＋3＝2(x－1)，x＋3＝2x－2，x＝5， 经检验 x＝5 是原方程的根．
【答案】5
12．(2010中考变式题)某市为治理污水，需要铺设一段全长为300 m的污水排放管道．铺设120 m后，为了尽量减少施工对城市交通所造成 的影响，后来每天的工效比原计划增加20%，结果共用30天完成这一任
25 千米与小车行驶 35 千米所用的时间相同，得2x5＝x＋3520. 【答案】C
6．(2011·苏州)下列四个结论中，正确的是( ) A．方程 x＋1x＝－2 有两个不相等的实数根 B．方程 x＋1x＝1 有两个不相等的实数根 C．方程 x＋1x＝2 有两个不相等的实数根 D．方程 x＋1x＝a(其中 a 为常数，且|a|＞2)有两个不相等的实数根
务，求原计划每天铺设管道的长度．如果设原计划每天铺设x m管道，
那么根据题意，可得方程________________________．
【解析】题目中的等量关系为：原计划铺设120 m用的天数＋后来 180 m新工效所用的天数＝30.
13．(2011·青岛)某车间加工120个零件后，采用了新工艺，工效 是原来的1.5倍，这样加工同样多的零件就少用1 小时．采用新工艺前
每小时加工多少个零件？若设采用新工艺前每小时加工x个零件，则根
据题意可列方程为________________________． 【解析】本题存在两个等量关系：(1)采用新工艺每小时加工零件
数＝1.5×采用新工艺前每小时加工零件数；(2)采用旧工艺用的时间— 采用新工艺用的时间＝1.
【答案】1x20－11.250x＝1
11．(2010 中考变式题)当 x＝________时，分式xx＋－31的值等
于 2.
【解析】xx＋ －31＝2，x＋3＝2(x－1)，x＋3＝2x－2，x＝5， 经检验 x＝5 是原方程的根．
【答案】5
12．(2010中考变式题)某市为治理污水，需要铺设一段全长为300 m的污水排放管道．铺设120 m后，为了尽量减少施工对城市交通所造成 的影响，后来每天的工效比原计划增加20%，结果共用30天完成这一任
25 千米与小车行驶 35 千米所用的时间相同，得2x5＝x＋3520. 【答案】C
6．(2011·苏州)下列四个结论中，正确的是( ) A．方程 x＋1x＝－2 有两个不相等的实数根 B．方程 x＋1x＝1 有两个不相等的实数根 C．方程 x＋1x＝2 有两个不相等的实数根 D．方程 x＋1x＝a(其中 a 为常数，且|a|＞2)有两个不相等的实数根
务，求原计划每天铺设管道的长度．如果设原计划每天铺设x m管道，
那么根据题意，可得方程________________________．
【解析】题目中的等量关系为：原计划铺设120 m用的天数＋后来 180 m新工效所用的天数＝30.
13．(2011·青岛)某车间加工120个零件后，采用了新工艺，工效 是原来的1.5倍，这样加工同样多的零件就少用1 小时．采用新工艺前
每小时加工多少个零件？若设采用新工艺前每小时加工x个零件，则根
据题意可列方程为________________________． 【解析】本题存在两个等量关系：(1)采用新工艺每小时加工零件
数＝1.5×采用新工艺前每小时加工零件数；(2)采用旧工艺用的时间— 采用新工艺用的时间＝1.
【答案】1x20－11.250x＝1
《分式方程复习》课件
详细描述
在金融和经济领域，分式方程可以用来描述和预测市场行为、投资回报和成本效益分析等。在交通领 域，分式方程可以用来解决交通流量和路线规划问题。在工程领域，分式方程可以用来描述机械运动 、热传导和电路等问题。
04 分式方程的解题 技巧
转化思想
总结词
转化思想是将复杂问题转化为简单问 题，将未知问题转化为已知问题的一 种解题策略。
详细描述
分式方程与整式方程的主要区别在于分母中是否含有未知数。分式方程的分母中 含有未知数，而整式方程的分母中不含有未知数。此外，分式方程的解法通常需 要更多的技巧和注意事项，例如需要处理分母为零的情法
01
02
03
04
直接求解法
通过对方程进行化简，直接求 出方程的解。
详细描述
在解分式方程时，通过对方程进行适 当的变形和转化，可以将分式方程转 化为整式方程或更容易解决的形式， 从而简化解题过程。
整体思想
总结词
整体思想是从整体角度出发，将 问题看作一个整体，从而简化问 题的一种解题策略。
详细描述
在解分式方程时，可以将方程中 的某些项看作一个整体，通过对 方程进行整体变形和运算，从而 简化解题过程。
代数方法
总结词
代数方法是利用代数性质和定理，对方 程进行变形和求解的一种解题策略。
VS
详细描述
在解分式方程时，可以利用代数性质和定 理，如乘法分配律、合并同类项等，对方 程进行变形和简化，从而找到方程的解。
05 分式方程的易错 点分析
概念理解不清
总结词
概念理解不清晰
详细描述
分式方程的基本概念和定义是解题的基础，如果对分式方程的概念理解不清晰，会导致 解题思路出现偏差，甚至无法正确列出方程。
在金融和经济领域，分式方程可以用来描述和预测市场行为、投资回报和成本效益分析等。在交通领 域，分式方程可以用来解决交通流量和路线规划问题。在工程领域，分式方程可以用来描述机械运动 、热传导和电路等问题。
04 分式方程的解题 技巧
转化思想
总结词
转化思想是将复杂问题转化为简单问 题，将未知问题转化为已知问题的一 种解题策略。
详细描述
分式方程与整式方程的主要区别在于分母中是否含有未知数。分式方程的分母中 含有未知数，而整式方程的分母中不含有未知数。此外，分式方程的解法通常需 要更多的技巧和注意事项，例如需要处理分母为零的情法
01
02
03
04
直接求解法
通过对方程进行化简，直接求 出方程的解。
详细描述
在解分式方程时，通过对方程进行适 当的变形和转化，可以将分式方程转 化为整式方程或更容易解决的形式， 从而简化解题过程。
整体思想
总结词
整体思想是从整体角度出发，将 问题看作一个整体，从而简化问 题的一种解题策略。
详细描述
在解分式方程时，可以将方程中 的某些项看作一个整体，通过对 方程进行整体变形和运算，从而 简化解题过程。
代数方法
总结词
代数方法是利用代数性质和定理，对方 程进行变形和求解的一种解题策略。
VS
详细描述
在解分式方程时，可以利用代数性质和定 理，如乘法分配律、合并同类项等，对方 程进行变形和简化，从而找到方程的解。
05 分式方程的易错 点分析
概念理解不清
总结词
概念理解不清晰
详细描述
分式方程的基本概念和定义是解题的基础，如果对分式方程的概念理解不清晰，会导致 解题思路出现偏差，甚至无法正确列出方程。
中考复习 分式方程及其应用课件
• (2)分式方程
x 1 x 1 x
3
(x 1)( x 2)
的解是
（C）
A．x=1 B.x=-1 C.无解 D.x=-2
•
（3）解方程：
x2
3 3x
1 x 3
1
原方程的解为x=-1
2020/3/2
例题讲解
•
例1、（1）若分式方程
2
1 kx x2
2
1
x
有增根，则k＝___k_=_1___.
2020/3/2
二、题型、方法
• 考点1 分式方程的概念
热身练手：1、指出下列关于x的方程中，是分式方程的是（4）、（5（）只 填序号）.
(1) x y 5 ；(2)
x
5
2
2
y 3
z
；(3) 1 ；
x
(4)
x
y
5
0
；
(5)
1 2x 5 x
3/2
考点2 分式方程的解法
变式1、若关于x分式方程
x
x
2
2
m 2
x
的解为正数，
求满足条件的正整数m的值？
m的值为1、3
变式2、若关于x的方程 m 1 x 0无解，求m的值？
x4 4x
m=3
2020/3/2
考点3 分式方程的应用 • 热身练手：某校甲、乙两组同学同时出发去距离学校4 km的植物园参观，
热身练手：2、解方程：
2 x
x 3
3
1
x
1
解：去分母,两边同时乘以（x-3），得 2-x-1=x-3， 解得x＝2， 检验：当x＝2时x-3 ≠0，
分式方程ppt
分式方程ppt
xx年xx月xx日
目 录
• 分式方程概述 • 分式方程的解法 • 分式方程的应用 • 分式方程的注意事项 • 分式方程的优化建议 • 分式方程的发展趋势
01
分式方程概述
分式方程定义
定义
分式方程是方程的一种，是指含有分母的方程式。它只适用 于解决某些特定的问题，如分数计算、应用题等。
度。
采用迭代法
02
使用牛顿迭代法或二分法等迭代方法，能够更快速地求解分式
方程。
选用合适的多项式
03
使用多项式逼近法进行求解时，选择适当的多项式，可以提高
求解精度和速度。
减少计算误差
控制舍入误差
合理控制舍入误差，避免误差累积导致求解结果 失真。
采用误差控制函数
使用误差控制函数，限制计算过程中产生的误差 ，确保求解结果的精度。
数学领域的发展
分式方程在数学领域中得到了进一步的发展，研究者们不断探索新的理论和 方法，例如分形几何、分数阶微积分等，为解决实际问题提供了更为复杂和 深刻的数学工具。
其他领域的发展
分式方程在其他领域中也得到了不断的发展和完善，例如经济学、生态学、 社会学等，为解决实际问题提供了更为广泛的应用前景。
THANKS
06
分式方程的发展趋势
理论研究
分式方程基本理论和研究方法的发展
分式方程理论的发展经历了多个阶段，研究者们不断探索新的理论和方法，例如微分方程、差分方程等，为解 决实际问题提供了更为精确和高效的工具。
分式方程算法的改进和优化
为了提高计算效率，研究者们不断尝试改进和优化算法，例如迭代法、牛顿法等，使得求解分式方程的速度和 精度不断提高。
有多个解的情况
检查分式方程是否有多个解
xx年xx月xx日
目 录
• 分式方程概述 • 分式方程的解法 • 分式方程的应用 • 分式方程的注意事项 • 分式方程的优化建议 • 分式方程的发展趋势
01
分式方程概述
分式方程定义
定义
分式方程是方程的一种，是指含有分母的方程式。它只适用 于解决某些特定的问题，如分数计算、应用题等。
度。
采用迭代法
02
使用牛顿迭代法或二分法等迭代方法，能够更快速地求解分式
方程。
选用合适的多项式
03
使用多项式逼近法进行求解时，选择适当的多项式，可以提高
求解精度和速度。
减少计算误差
控制舍入误差
合理控制舍入误差，避免误差累积导致求解结果 失真。
采用误差控制函数
使用误差控制函数，限制计算过程中产生的误差 ，确保求解结果的精度。
数学领域的发展
分式方程在数学领域中得到了进一步的发展，研究者们不断探索新的理论和 方法，例如分形几何、分数阶微积分等，为解决实际问题提供了更为复杂和 深刻的数学工具。
其他领域的发展
分式方程在其他领域中也得到了不断的发展和完善，例如经济学、生态学、 社会学等，为解决实际问题提供了更为广泛的应用前景。
THANKS
06
分式方程的发展趋势
理论研究
分式方程基本理论和研究方法的发展
分式方程理论的发展经历了多个阶段，研究者们不断探索新的理论和方法，例如微分方程、差分方程等，为解 决实际问题提供了更为精确和高效的工具。
分式方程算法的改进和优化
为了提高计算效率，研究者们不断尝试改进和优化算法，例如迭代法、牛顿法等，使得求解分式方程的速度和 精度不断提高。
有多个解的情况
检查分式方程是否有多个解
《分式方程》分式PPT优秀课件
90 60 30 v 30 v
v6
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
思考 某次列车平均提速v km/h.用相同的时间，列车提速前行驶 s km，提速后比提速前多行驶50 km，提速前列车的平均
速度为多少? 路程= 速度·时间
路程
提速前 s
提速后 s+50
表达问题时，用字 母不仅可以表示未 知数(量) ，也可以 表示已知数(量).
找相等关系.
1
1
3
6
甲队施工1个月的工程量+甲队施工半个月的工程量
+乙队施工半个月的工程量=总工程量(记为1).
1 2x
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
典型例题
两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成
总工程的 1 ，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总 3
15.3 分式方程
学习目标
1.会列分式方程解决实际问题；
分 式
2.能根据题意找出正确的等量关系，列出分式方程并求解，会根据实
方
际意义验证结果是否合理；
程 的
3.通过分式方程的应用学习，培养学生的数学应用意识，提高分析问
应
题解决问题的能力；
用
4.通过解决实际问题，使学生感受到数学知识能够解决生活中的问题，
提升学生对数学的热爱.
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
回顾
一艘轮船在静水中的最大航速为30 km/h，它以最大航速 沿江顺流航行90 km所用的时间，与以最大航速逆流航行 60 km所用的时间相等，则江水的流速为多少？
V顺水= V船速+ V水速 V逆水= V船速 – V水速 路程= 速度·时间 S= v·t
分式方程ppt课件
0时，分式方程无实根。
适用于分子、分母均为二次多项式的分 式方程。
因式分解法
将分式方程的分子或分母进行因式分解，从而简化方程。 因式分解法可以方便地找到分式方程的解，特别是当分子或分母含有公因式时。
适用于分子、分母均可因式分解的分式方程。
03
分式方程应用举例
工程问题
工作总量 = 工作时间 × 工作 效率
工作时间 = 工作总量 ÷ 工作 效率
工作效率 = 工作总量 ÷ 工作 时间
举例：一项工程，甲单独做需 要20天完成，乙单独做需要30 天完成。如果两人合作，需要 多少天完成？
行程问题
速度 = 路程 ÷ 时间
举例：甲、乙两地相距360千米，一辆汽车从甲地开 往乙地，每小时行驶60千米。问这辆汽车需要多少小
方程的解。
04
对于第三个练习题，找到公共分母$x^2-1$，两边乘 以公共分母，得到整式方程$(x+1)(x-1)-4=x^2-1$， 解得$x=3$，经检验$x=3$是原方程的解。
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分式方程ppt课件
目 录
• 分式方程基本概念 • 分式方程解法 • 分式方程应用举例 • 分式方程与实际问题结合 • 分式方程求解技巧与注意事项 • 分式方程练习题与答案解析
01
分式方程基本概念
分式方程定义
分式方程是指分母里含有未知数 的有理方程。
分式方程是方程中的一种，且分 母里含有未知数的（有理）方程
之几？
经济问题
利润 = 售价 - 进价
利润率 = 利润 ÷ 进 价 × 100%
售价 = 进价 × (1 + 利润率)
进价 = 售价 ÷ (1 + 利润率)
适用于分子、分母均为二次多项式的分 式方程。
因式分解法
将分式方程的分子或分母进行因式分解，从而简化方程。 因式分解法可以方便地找到分式方程的解，特别是当分子或分母含有公因式时。
适用于分子、分母均可因式分解的分式方程。
03
分式方程应用举例
工程问题
工作总量 = 工作时间 × 工作 效率
工作时间 = 工作总量 ÷ 工作 效率
工作效率 = 工作总量 ÷ 工作 时间
举例：一项工程，甲单独做需 要20天完成，乙单独做需要30 天完成。如果两人合作，需要 多少天完成？
行程问题
速度 = 路程 ÷ 时间
举例：甲、乙两地相距360千米，一辆汽车从甲地开 往乙地，每小时行驶60千米。问这辆汽车需要多少小
方程的解。
04
对于第三个练习题，找到公共分母$x^2-1$，两边乘 以公共分母，得到整式方程$(x+1)(x-1)-4=x^2-1$， 解得$x=3$，经检验$x=3$是原方程的解。
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• 分式方程基本概念 • 分式方程解法 • 分式方程应用举例 • 分式方程与实际问题结合 • 分式方程求解技巧与注意事项 • 分式方程练习题与答案解析
01
分式方程基本概念
分式方程定义
分式方程是指分母里含有未知数 的有理方程。
分式方程是方程中的一种，且分 母里含有未知数的（有理）方程
之几？
经济问题
利润 = 售价 - 进价
利润率 = 利润 ÷ 进 价 × 100%
售价 = 进价 × (1 + 利润率)
进价 = 售价 ÷ (1 + 利润率)
分式-完整版课件
分式方程（复习）
一、分式方程的概念
二、解分式方程
三、分式方程解的情况
复习回顾一:
一、什么是分式方程？
方程中只含有分式和整式，且分母中 含有未知数的方程。
复习回顾(1)下x 2列2方程3x中，分式4x 方 程3y有（7 ５
）个
一(2) 1 3
x2 x
(4) x(x1) 1 x
(3) 3 x x （6）2xx110
1应.若是方X=程-2 2x.34xa21 有增根，则增根
2 ax 3
2.解关于x的方程
x2x2
4 x2
产生增根，则常数a= -4或6 。
3.当m为何值时，方程
x 2 x3
m x3
解
为非负数？
一、分式方程的概念 二、解分式方程
解分式方程必须检验有无增根。
三、分式方程解的情况
a
x2 1产生增根，
则增根可能是X=1或x=-1 ;a的值
是 2或0 .
变式 3
已知关于ｘ的方程
a 1 2x x1 x2 1
①
去分母，得 a(x1)(x21)2x
②
当方程②的根不是方程①的根时，a为多少？
分析：∵方程②的根不是方程①的根 ∴分式方程①有增根，增根可能为x=1，-1。 而增根x=1，-1是整式方程的解
把x=1代入方程② 即2a=2,解得a=1 把x=-1代入方程②即a·0=0+(-2)∴此方程无解
综上所述，a的值是1
问题：若方程①有增根，则增根必为 X=1 。
变式4、当a为何值时,方程
x 1 a x1 x2 1
的解是正数?
若解是负数呢？
变式5、当a为何值时,方程
x 1 x1
一、分式方程的概念
二、解分式方程
三、分式方程解的情况
复习回顾一:
一、什么是分式方程？
方程中只含有分式和整式，且分母中 含有未知数的方程。
复习回顾(1)下x 2列2方程3x中，分式4x 方 程3y有（7 ５
）个
一(2) 1 3
x2 x
(4) x(x1) 1 x
(3) 3 x x （6）2xx110
1应.若是方X=程-2 2x.34xa21 有增根，则增根
2 ax 3
2.解关于x的方程
x2x2
4 x2
产生增根，则常数a= -4或6 。
3.当m为何值时，方程
x 2 x3
m x3
解
为非负数？
一、分式方程的概念 二、解分式方程
解分式方程必须检验有无增根。
三、分式方程解的情况
a
x2 1产生增根，
则增根可能是X=1或x=-1 ;a的值
是 2或0 .
变式 3
已知关于ｘ的方程
a 1 2x x1 x2 1
①
去分母，得 a(x1)(x21)2x
②
当方程②的根不是方程①的根时，a为多少？
分析：∵方程②的根不是方程①的根 ∴分式方程①有增根，增根可能为x=1，-1。 而增根x=1，-1是整式方程的解
把x=1代入方程② 即2a=2,解得a=1 把x=-1代入方程②即a·0=0+(-2)∴此方程无解
综上所述，a的值是1
问题：若方程①有增根，则增根必为 X=1 。
变式4、当a为何值时,方程
x 1 a x1 x2 1
的解是正数?
若解是负数呢？
变式5、当a为何值时,方程
x 1 x1
2014届中考复习课件 §2.2 分式方程
8、(2013•呼和浩特)某工厂现在平均每天比原 计划多生产50台机器, 现在生产600台机器所 需时间比原计划生产450台机器所需时间相同, 200 现在平均每天生产_____台机器． 9、(2012•连云港)今年6月1日起, 国家实施了 中央财政补贴条例支持高效节能电器的推广 使用, 某款定速空调在条例实施后, 每购买一 台, 客户可获财政补贴200元, 若同样用11万 元所购买的此款空调台数, 条例实施后比实 施前多10%, 则条例实施前此款空调的售价 2200 为 元.
解分式方程的思路是：
分式 方程 去分母
整式 方程
解分式方程的一般步骤
1、 在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母， 化成整式方程. 2、解这个整式方程. 3、 把整式方程的解代入最简公分母，如果最简 公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的 解；否则，这个解不是原分式方程的解，必须舍去. 4、写出原方程的根.
7、(2012•铁岭)某城市进行道路改造，若甲、 乙两工程队合作施工20天可完成;若甲、乙两 工程队合作施工5天后, 乙工程队再单独施工45 天可完成. 求乙工程队单独完成此工程需要多 少天?设乙工程队单独完成此工程需要x天, 可 列方程为_______________. 5 45知识点回顾:
1.分式方程： 分母中 含 有未知数的方程叫做分式 方程。
指出下列方程中的分式方程：
2 3 (1) x 1 x 3
x x 1 ( 4) 1 3 2 1 ( 5) x 2 x 4 1 ( 6) 0 2 2 1 4x x 2x
x2 ( 2) 4x 3
2 ( 3) 30 x 1
15 15 解分式方程 1 : 解方程： 0.5 的一般步骤? x 1.5 x 解： 方程两边同乘以1.5x，得
《分式方程》分式PPT课件 (共18张PPT)
X(x―3)
X2-1=0
时,
3 x2 3、分式 2( x 3)与 x 2 3x 的最简公分母 是 2X(x―3) .
解分式方程
例1 解分式方程
x11 x1 2
分式方程
解: 方程的两边同乘以最简公分母2(x＋1), 转 ● ● ● ● ● 化 x 1 1 得 2(x＋1) · x1 2 · 2(x＋1) 整式方程 ① 化简,得整式方程 2(x－1)=x＋1
增根的定义
增根:在去分母,将分式方程转化为整 式方程的过程中出现的不适合于原方 · · · · · · 程的根. · · · 使分母值为零的根 产生的原因:分式方程两边同乘以一个 零因式后,所得的根是整式方程的根, · · · · 而不是分式方程的根. · · · ·
练 x(x 2) 解 : 方程两边同乘以最简公分母 , 一 2+ x -6=0 或x(x+1)-6=0 x 化简 , 得 . 练① ② 解得 x1= -3 , x2= 2 . ③ 检验:把x1= -3,代入最简公分母,
概 念 观察下列方程： 一元一次方程
1、2(x－1)=x＋1;
一元二次方程
x2＋x-20=0;
x+2y=1…
整式方程: 方程两边都是整式的方程.
1 x 1 1 1 1 x 1 5 x 9 x 0 ; ; 1 ; 2、 y 2 x 1 x 1 2 x 1 x 1 x 1
· · · · · · · · · x(x-2)=-3(-3-2)= 15 ≠0; 把x2= 2 ,代入最简公分母,
x 1 6 0 (填空)1、解方程: x 2 2 x 2 x
7
x(x-2)= 2(2-2) =0
X2-1=0
时,
3 x2 3、分式 2( x 3)与 x 2 3x 的最简公分母 是 2X(x―3) .
解分式方程
例1 解分式方程
x11 x1 2
分式方程
解: 方程的两边同乘以最简公分母2(x＋1), 转 ● ● ● ● ● 化 x 1 1 得 2(x＋1) · x1 2 · 2(x＋1) 整式方程 ① 化简,得整式方程 2(x－1)=x＋1
增根的定义
增根:在去分母,将分式方程转化为整 式方程的过程中出现的不适合于原方 · · · · · · 程的根. · · · 使分母值为零的根 产生的原因:分式方程两边同乘以一个 零因式后,所得的根是整式方程的根, · · · · 而不是分式方程的根. · · · ·
练 x(x 2) 解 : 方程两边同乘以最简公分母 , 一 2+ x -6=0 或x(x+1)-6=0 x 化简 , 得 . 练① ② 解得 x1= -3 , x2= 2 . ③ 检验:把x1= -3,代入最简公分母,
概 念 观察下列方程： 一元一次方程
1、2(x－1)=x＋1;
一元二次方程
x2＋x-20=0;
x+2y=1…
整式方程: 方程两边都是整式的方程.
1 x 1 1 1 1 x 1 5 x 9 x 0 ; ; 1 ; 2、 y 2 x 1 x 1 2 x 1 x 1 x 1
· · · · · · · · · x(x-2)=-3(-3-2)= 15 ≠0; 把x2= 2 ,代入最简公分母,
x 1 6 0 (填空)1、解方程: x 2 2 x 2 x
7
x(x-2)= 2(2-2) =0
2014中考复习备战策略_数学PPT专题一_数学思想方法问题
考点知识梳理
中考典例精析
考点训练
考点三 例3
方程与函数思想
(2012· 河南)某中学计划购买 A 型和 B 型课桌
凳共 200 套． 经招标， 购买一套 A 型课桌凳比购买一套 B 型课桌凳少用 40 元，且购买 4 套 A 型和 5 套 B 型课 桌凳共需 1 820 元． (1)求购买一套 A 型课桌凳和一套 B 型课桌凳各需 多少元？
考点知识梳理
中考典例精析
考点训练
2．(2013· 济南)如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆 底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到 距离旗杆 8 m 处，发现此时绳子末端距离地面 2 m．则 旗杆的高度(滑轮上方的部分忽略不计)为( D A．12 m C．16 m B．13 m D．17 m )
考点知识梳理
中考典例精析
考点训练
解析：如图，过点 C 作 CD⊥x 轴，垂足为 D， ∵点 C 的坐标为(3,4)，∴OD＝3，CD＝4，∴OC＝OD2 ＋CD ＝ 3 ＋4 ＝5，∴OC＝BC＝5，∴点 B 的坐标为 k (8,4) ， ∵ 反比例函数 y ＝ (x ＞ 0) 的图象经过顶点 B, x ∴k＝32.故选 D.
考点知识梳理
中考典例精析
考点训练
解析：根据函数值在函数图象上的意义可知，当正 比例函数图象在反比例函数图象的上方时，y1>y2.故由 交点为 E(－1,2)可知，若 y1>y2>0，则 x 的取值范围为 x<－1，在数轴上表示为：开口向左，在－1 点处是空 心圆圈．故选 A.
考点知识梳理
中考典例精析
点为(－2， 0)． 将(0,4)， (－2,0)分别代入 y＝－x－3＋m，
考点知识梳理
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考点知识梳理 中考典例精析 基础巩固训练 考点训练
考点二
增根在含参数的分式方程中的应用
由增根求参数的值，解答思路为： (1)将原分式方 程化为整式方程；(2)确定增根；(3)将增根代入变形后 的整式方程，求出参数的值．
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考点三
列分式方程解应用题
列分式方程解应用题与列整式方程解应用题的一 般步骤基本相同，都分为：审题、设未知数、找等量 关系、列方程、解方程、检验、作答．但与整式方程 不同的是求得方程的解后，要进行两次检验，(1)检验 所求的解是否是所列分式方程的解； (2)检验所求的解 是否符合实际意义.
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1 1 4．对于非零的两个实数 a，b，规定 a b＝b－a， 若 2 (2 x－1)＝1，则 x 的值为( A 5 A. 6 3 C. 2 5 B. 4 1 D. － 6 )
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1 1 5 解析： 根据题意，得 － ＝ 1 ，解得 x ＝ . 6 2x－1 2 5 经检验，x＝ 是原分式方程的根．故选 A. 6
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x 6 1 6．解方程： ＋ 2 ＝ . x＋3 x －9 x－3 解：方程两边都乘 (x＋ 3)(x－ 3)，得 x(x－ 3)＋ 6＝ x＋ 3. 化简整理，得 x2－ 4x＋ 3＝ 0.
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解得 x＝ 1 或 3. 经检验，当 x＝ 3 时， x－ 3＝ 0. 所以 x＝ 3 是分式方程的增根． 所以原分式方程的解是 x＝ 1.
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解析：方程两边都乘 x(x－3)，得(2m＋x)x－x(x－ 3)＝2(x－3)，即(2m＋1)x＝－6①.(1)当 2m＋1＝0 时， 2m＋x 此方程无解， 此时 m＝－0.5； (2)关于 x 的分式方程 x－3 2 －1＝ ，当 x＝0 或 x－3＝0，即 x＝0 或 x＝3 时分式无 x 意义，当 x＝0 时，代入①，得(2m＋1)×0＝－6，此方 程无解；当 x＝3 时，代入①，得(2m＋1)×3＝－6，解 得 m＝－1.5.∴m 的值是－0.5 或－1.5.故选 D.
解析：去分母，得 x＝3(x－5)－a.整理，得 2x＝15 ＋a.∵x＝5 是分式方程的增根，∴把 x＝5 代入 2x＝15 ＋a，得 a＝－5.故选 B.
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2x 1 5．(2013· 宿迁)方程 ＝1＋ 的解是( B x－1 x－1 A．x＝－1 C．x＝1 B．x＝0 D．x＝2
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x 2 2．下面是四位同学解方程 ＋ ＝1 过程中 x－1 1－x 去分母的一步，其中正确的是( D A．2＋x＝x－1 C．2＋x＝1－x ) B．2－x＝1 D．2－x＝x－1
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x2－4 3．(2013· 莱芜)方程 ＝0 的解为( A x－2 A．－2 C．± 2
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温馨提示 分式方程的应用题主要涉及工程问题、行程问题 等，每个问题中涉及到三个量，如：工作总量＝工作 效率 ×工作时间，路程＝速度 ×时间 .在工作总量或路 程是已知条件时，一般建立分式方程解决问题 .
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(2)已知甲队每天的施工费用为 6 500 元，乙队每 天的施工费用为 3 500 元． 为了缩短工期以减少对居民 用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙两 队合作完成，则该工程的施工费用是多少？
考点知识梳理
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基础巩固训练
考点训练
解：(1)设这项工程的规定时间是 x 天，根据题意， 1 1 5 得 (x＋ )×15＋x＝1. 1.5x 解这个方程，得 x＝30. 经检验，x＝30 是原分式方程的解． 答：这项工程的规定时间是 30 天．
第8讲
分式方程
考点知识梳理
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考点训练
考点一
分式方程及其解法
1．分式方程 分母里含有未知数 的方程叫做分式方程． 2．解分式方程的基本思想 把分式方程转化为整式方程，即 分式方程― ― →整式方程． 转化
去分母
考点知识梳理
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考点训练
3．解分式方程的步骤 (1)去分母(不能忘记乘没有分母的项)， 转化为整式 方程；(2)解整式方程，得根；(3)验根． 4．验根 解分式方程时，有可能产生增根，因此解分式方 程要验根，其方法是将根代入最简公分母中，使最简 公分母为 0 的根是增根，应舍去．
)
考点知识梳理
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考点训练
x m 2．若分式方程 －1＝ 有增根，则 x－ 1 x－1x＋2 m 的值为( D A．0 和 3 ) B．1 C．1 和－2 D．3
考点知识梳理
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考点训练
x m 解析： 将分式方程 －1＝ 两边同乘 x－1 x－1x＋2 (x－1)(x＋2)化为整式方程，得 x(x＋2)－(x－1)(x＋2) ＝m，化简，得 x＋2＝m.∵x＝1 和－2 都是原分式方 程的增根，∴分别将 x＝1 和－2 代入 x＋2＝m 中，得 m＝3 或 0.当 m＝0 时，原分式方程无解，不符合题意． ∴m＝3.故选 D.
考点知识梳理 中考典例精析 基础巩固训练 考点训练
2
)
B．2 1 D．－ 2
2
解析：去分母，得 x －4＝0，即 x ＝4，∴x1＝2， x2＝－2.当 x＝2 时，x－2＝0，∴x＝2 不是原分式方程 的解，∴原分式方程的解是 x＝－2.故选 A.
考点知识梳理
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考点训练
x a 4．已知方程 ＝3－ 有增根，则 a 的值为 x－5 x－5 ( B ) A．5 C．6 B．－5 D．4
中考典例精析 基础巩固训练 考点训练
600 450 A. ＝ x x＋50 600 450 C. ＝ x＋50 x
考点知识梳理
解析：原计划平均每天生产 x 台机器，则现在平 均每天生产 (x＋ 50)台机器，由题中等量关系：现在生 产 600 台机器所需时间与原计划生产 450 台机器所需 600 450 时间相同，得 ＝ .故选 C. x＋ 50 x
)
解析： 方程两边都乘(x－1)， 得 2x＝x－1＋1.移项、 合并同类项，得 x＝0.经检验，x＝0 是原分式方程的 解．故选 B.
考点知识梳理
中考典例精析
基础巩固训练
考点训练
2m＋x 2 6．若关于 x 的分式方程 －1＝ 无解，则 m x x－3 的值为( D A．－1.5 C．－1.5 或 2 ) B．1 D．－0.5 或－1.5
中考典例精析
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考点训练
考点训练
考点知识梳理
中考典例精析
基础巩固训练
考点训练
一、选择题(每小题 3 分，共 30 分) 1 1．分式方程 ＝1 的解为( A 2x－3 A．x＝2 C．x＝－1 B．x＝1 D．x＝－2 )
解析：去分母，得 1＝2x－3.解得 x＝2.经检验， x＝2 是原分式方程的解．故选 A.
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方法总结 分式方程无解的原因有两个： 一是去分母后的整式 方程无解；二是整式方程的解使得最简公分母为 0.
考点知识梳理
中考典例精析
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考点训练
考点三 分式方程的应用 例 3 (2013· 扬州)某校九(1)、 九(2)两班的班长交流 为四川雅安地震灾区捐款的情况： (Ⅰ)九(1)班的班长说：“我们班捐款总额为 1 200 元， 我们班人数比你们班多 8 人．” (Ⅱ) 九 (2) 班 的班长说 ： “ 我 们班捐款 总额也为 1 200 元， 我们班人均捐款比你们班人均捐款多 20%.”
中考典例精析
基础巩固训练
考点训练
考点一
分式方程的解法
2x＋2 x＋2 x2－2 例 1 (2013· 泰州)解方程： x － ＝ 2 . x－2 x －2x 【点拨】本题考查分式方程的解法，关键是去分 母化为整式方程．
考点知识梳理
中考典例精析
基础巩固训练
考点训练
解：去分母，得 (x－2)(2x＋ 2)－x(x＋2)＝ x2－2. 去括号，得 2x ＋2x－ 4x－4－x － 2x＝x － 2. 移项，合并同类项，得－4x＝ 2. 1 系数化为 1，得 x＝－ . 2 1 经检验， x＝－ 是原分式方程的解． 2
考点知识梳理
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基础巩固训练
考点训练
(2) 该工程由甲、乙两队合作完成，所需时间为 1 1 1÷( ＋ )＝18(天)； 30 1.5×30 该 工 程 施 工 费 用 是 18×(6 500 ＋ 3 500) ＝ 180 000(元)． 答：该工程的施工费用是 180 000 元．
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3． 某工厂现在平均每天比原计划多生产 50 台机器， 现在生产 600 台机器所需时间与原计划生产 450 台机器 所需时间相同．设原计划平均每天生产 x 台机器，则可 列方程为( C ) 600 450 B. ＝ x x－50 600 450 D. ＝ x－50 x
考点二
增根在含参数的分式方程中的应用
由增根求参数的值，解答思路为： (1)将原分式方 程化为整式方程；(2)确定增根；(3)将增根代入变形后 的整式方程，求出参数的值．
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考点三
列分式方程解应用题
列分式方程解应用题与列整式方程解应用题的一 般步骤基本相同，都分为：审题、设未知数、找等量 关系、列方程、解方程、检验、作答．但与整式方程 不同的是求得方程的解后，要进行两次检验，(1)检验 所求的解是否是所列分式方程的解； (2)检验所求的解 是否符合实际意义.
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1 1 4．对于非零的两个实数 a，b，规定 a b＝b－a， 若 2 (2 x－1)＝1，则 x 的值为( A 5 A. 6 3 C. 2 5 B. 4 1 D. － 6 )
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1 1 5 解析： 根据题意，得 － ＝ 1 ，解得 x ＝ . 6 2x－1 2 5 经检验，x＝ 是原分式方程的根．故选 A. 6
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x 6 1 6．解方程： ＋ 2 ＝ . x＋3 x －9 x－3 解：方程两边都乘 (x＋ 3)(x－ 3)，得 x(x－ 3)＋ 6＝ x＋ 3. 化简整理，得 x2－ 4x＋ 3＝ 0.
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解得 x＝ 1 或 3. 经检验，当 x＝ 3 时， x－ 3＝ 0. 所以 x＝ 3 是分式方程的增根． 所以原分式方程的解是 x＝ 1.
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解析：方程两边都乘 x(x－3)，得(2m＋x)x－x(x－ 3)＝2(x－3)，即(2m＋1)x＝－6①.(1)当 2m＋1＝0 时， 2m＋x 此方程无解， 此时 m＝－0.5； (2)关于 x 的分式方程 x－3 2 －1＝ ，当 x＝0 或 x－3＝0，即 x＝0 或 x＝3 时分式无 x 意义，当 x＝0 时，代入①，得(2m＋1)×0＝－6，此方 程无解；当 x＝3 时，代入①，得(2m＋1)×3＝－6，解 得 m＝－1.5.∴m 的值是－0.5 或－1.5.故选 D.
解析：去分母，得 x＝3(x－5)－a.整理，得 2x＝15 ＋a.∵x＝5 是分式方程的增根，∴把 x＝5 代入 2x＝15 ＋a，得 a＝－5.故选 B.
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2x 1 5．(2013· 宿迁)方程 ＝1＋ 的解是( B x－1 x－1 A．x＝－1 C．x＝1 B．x＝0 D．x＝2
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x 2 2．下面是四位同学解方程 ＋ ＝1 过程中 x－1 1－x 去分母的一步，其中正确的是( D A．2＋x＝x－1 C．2＋x＝1－x ) B．2－x＝1 D．2－x＝x－1
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x2－4 3．(2013· 莱芜)方程 ＝0 的解为( A x－2 A．－2 C．± 2
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温馨提示 分式方程的应用题主要涉及工程问题、行程问题 等，每个问题中涉及到三个量，如：工作总量＝工作 效率 ×工作时间，路程＝速度 ×时间 .在工作总量或路 程是已知条件时，一般建立分式方程解决问题 .
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(2)已知甲队每天的施工费用为 6 500 元，乙队每 天的施工费用为 3 500 元． 为了缩短工期以减少对居民 用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙两 队合作完成，则该工程的施工费用是多少？
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解：(1)设这项工程的规定时间是 x 天，根据题意， 1 1 5 得 (x＋ )×15＋x＝1. 1.5x 解这个方程，得 x＝30. 经检验，x＝30 是原分式方程的解． 答：这项工程的规定时间是 30 天．
第8讲
分式方程
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考点一
分式方程及其解法
1．分式方程 分母里含有未知数 的方程叫做分式方程． 2．解分式方程的基本思想 把分式方程转化为整式方程，即 分式方程― ― →整式方程． 转化
去分母
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3．解分式方程的步骤 (1)去分母(不能忘记乘没有分母的项)， 转化为整式 方程；(2)解整式方程，得根；(3)验根． 4．验根 解分式方程时，有可能产生增根，因此解分式方 程要验根，其方法是将根代入最简公分母中，使最简 公分母为 0 的根是增根，应舍去．
)
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x m 2．若分式方程 －1＝ 有增根，则 x－ 1 x－1x＋2 m 的值为( D A．0 和 3 ) B．1 C．1 和－2 D．3
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x m 解析： 将分式方程 －1＝ 两边同乘 x－1 x－1x＋2 (x－1)(x＋2)化为整式方程，得 x(x＋2)－(x－1)(x＋2) ＝m，化简，得 x＋2＝m.∵x＝1 和－2 都是原分式方 程的增根，∴分别将 x＝1 和－2 代入 x＋2＝m 中，得 m＝3 或 0.当 m＝0 时，原分式方程无解，不符合题意． ∴m＝3.故选 D.
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2
)
B．2 1 D．－ 2
2
解析：去分母，得 x －4＝0，即 x ＝4，∴x1＝2， x2＝－2.当 x＝2 时，x－2＝0，∴x＝2 不是原分式方程 的解，∴原分式方程的解是 x＝－2.故选 A.
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x a 4．已知方程 ＝3－ 有增根，则 a 的值为 x－5 x－5 ( B ) A．5 C．6 B．－5 D．4
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600 450 A. ＝ x x＋50 600 450 C. ＝ x＋50 x
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解析：原计划平均每天生产 x 台机器，则现在平 均每天生产 (x＋ 50)台机器，由题中等量关系：现在生 产 600 台机器所需时间与原计划生产 450 台机器所需 600 450 时间相同，得 ＝ .故选 C. x＋ 50 x
)
解析： 方程两边都乘(x－1)， 得 2x＝x－1＋1.移项、 合并同类项，得 x＝0.经检验，x＝0 是原分式方程的 解．故选 B.
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2m＋x 2 6．若关于 x 的分式方程 －1＝ 无解，则 m x x－3 的值为( D A．－1.5 C．－1.5 或 2 ) B．1 D．－0.5 或－1.5
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一、选择题(每小题 3 分，共 30 分) 1 1．分式方程 ＝1 的解为( A 2x－3 A．x＝2 C．x＝－1 B．x＝1 D．x＝－2 )
解析：去分母，得 1＝2x－3.解得 x＝2.经检验， x＝2 是原分式方程的解．故选 A.
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方法总结 分式方程无解的原因有两个： 一是去分母后的整式 方程无解；二是整式方程的解使得最简公分母为 0.
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考点三 分式方程的应用 例 3 (2013· 扬州)某校九(1)、 九(2)两班的班长交流 为四川雅安地震灾区捐款的情况： (Ⅰ)九(1)班的班长说：“我们班捐款总额为 1 200 元， 我们班人数比你们班多 8 人．” (Ⅱ) 九 (2) 班 的班长说 ： “ 我 们班捐款 总额也为 1 200 元， 我们班人均捐款比你们班人均捐款多 20%.”
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考点一
分式方程的解法
2x＋2 x＋2 x2－2 例 1 (2013· 泰州)解方程： x － ＝ 2 . x－2 x －2x 【点拨】本题考查分式方程的解法，关键是去分 母化为整式方程．
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解：去分母，得 (x－2)(2x＋ 2)－x(x＋2)＝ x2－2. 去括号，得 2x ＋2x－ 4x－4－x － 2x＝x － 2. 移项，合并同类项，得－4x＝ 2. 1 系数化为 1，得 x＝－ . 2 1 经检验， x＝－ 是原分式方程的解． 2
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(2) 该工程由甲、乙两队合作完成，所需时间为 1 1 1÷( ＋ )＝18(天)； 30 1.5×30 该 工 程 施 工 费 用 是 18×(6 500 ＋ 3 500) ＝ 180 000(元)． 答：该工程的施工费用是 180 000 元．
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3． 某工厂现在平均每天比原计划多生产 50 台机器， 现在生产 600 台机器所需时间与原计划生产 450 台机器 所需时间相同．设原计划平均每天生产 x 台机器，则可 列方程为( C ) 600 450 B. ＝ x x－50 600 450 D. ＝ x－50 x