§8-5--微分方程应用举例

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常微分方程的常见解法

# 定义网格密度
arrows=LINE,
# 定义线段类型
axes=NORMAL);
# 定义坐标系类型
在MATLAB的向量场命令为 quiver(x,y,px,py)
回车后Maple就在1 1 的网格点上画出了向量场
44
的图形，并给出了过点(-2, 2) (-2 ,1) (-2,2) 的三
条积分曲线，见下图
M (x,y)co x s2xye , y
N (x,y)co x s2xye x
M(x,y)N(x,y)
y
x
所以方程为全微分方程。
由公式F (x ,y ) 0M (s ,y )d s 0N (0 ,s )d s
x(yc o ss 2 se y)d sy2 d s
0
0
ysinxx2ey2y
或
x
y
F (x ,y )x 0M (s ,y ) d s y 0N (x 0 ,s ) d
s
例：验证方程
( y c o s x 2 x e y ) d x ( s i n x x 2 e y 2 ) d y 0
是全微分方程，并求它的通解。解：由于 M (x ,y ) y c o sx 2 x e yN (x ,y ) s in x x 2 e y 2
dx
令 zy1n,则 dz(1n)yndy
dx
dx
d z (1 n )P (x )z (1 n )Q (x )
d x
求出此方程通解后, 换回原变量即得伯努利方程的通解。
例湖泊的污染
设一个化工厂每立方米的废水中含有3.08kg盐酸，这些废水流入一个湖泊中，废水流入的速率20 立方米每小时. 开始湖中有水400000立方米. 河水中流入不含盐酸的水是1000立方米每小时, 湖泊中混合均匀的水的流出的速率是1000立方米每小时,求该厂排污1年时, 湖泊水中盐酸的含量。解: 设t时刻湖泊中所含盐酸的数量为 x ( t )

第6章-微分方程

kt
dQ dt
kQ .
解得
Q t Ce .
把t = 0代入其中求得C= Q0. 由条件得Q(240) = 0.9Q0,代入得 0.9 Q0 = Q0 e240k，解得 k = ( ln 0.9)/240 -0.000439. 因此,所求特解为 Q(t) = Q0e-0.000439t.
例5（陨石的挥发）
陨石挥发的速度与陨石的表
面积成正比. 若假设陨石是质量均匀的球体,试求出陨石的质量m关于时间t的函数表达式.
解设t时刻陨石的半径为r(t),质量为m(t),表面积为s(t). 由题意得
s t 4 r
d m (t ) dt
2
ks t 其中 k 0 .
u
2
x
2

u
2
y
2
0.
把常微分方程称为微分方程或简称为方程.
微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数,叫做该方程的阶 ,例如
x2y + 2xy - y + 5y = e x 和 y(5) + 3y(4) -5xy - y = 0 分别是3阶和5阶微分方程. n阶微分方程的一般形式是 F(x, y, y,…,y(n)) = 0，
利息,同时每个月获得的利息存在银行也可生利息).
如果存款时间很长,可把资金看成时间的连续函数. 假定该款存入后在时刻t的资本总额(连本带利)为
s(t). 于是,资金函数s(t)就是如下初值问题的解:
r s '( t ) 1 0 0 s ( t ) . s |t 0 s 0
例7（Logistic模型）设对某种传染病,某个居民区有
y
x0

WJF8-5线性微分方程的性质与解的结构

如果y1 ( x ), y2 ( x )中的任意一个都不是另一个的常数倍,
y1 ( x ) 即不恒等于非零常数, 则称y1 ( x )与y2 ( x )线性无关, y2 ( x ) 否则称y1 ( x )与y2 ( x )线性相关。
定理8.2 如果y1 ( x ), y2 ( x )是方程(1)的两个线性无关的解, 则 y C1 y1 C 2 y2 就是方程(1)的通解. 如 y1 cos x和y2 sin x是方程 y y 0的两个线性无关解.
方程(1)的任何两个线性无关的特解称为基解组.
三、线性非齐次微分方程解的结构
定理8.3 设 y1 ( x ) 是二阶非齐次线性方程 y P ( x ) y Q( x ) y f ( x ) ( 2) 的一个特解, y2 ( x ) 是对应的齐次方程(1)的通解, 那么 Y y1 ( x ) y2 ( x ) 是方程(2)的通解. 证因为 y1 P ( x ) y1 Q( x ) y1 f ( x ) 且 y P ( x ) y Q( x ) y2 0 2 2 则 Y P ( x )Y Q( x )Y ( y1 y2 ) P ( x )( y1 y2 ) Q( x )( y1 y2 ) [ y1 P ( x ) y1 Q( x ) y1 ] [ y P ( x ) y Q( x ) y2 ] f ( x ) 2 2
y P ( x ) y Q( x ) y f 2 ( x ) 和的解, 则 y1 ( x ) y2 ( x ) 是方程 y P ( x ) y Q( x ) y f1 ( x ) f( x ) y Q( x ) y 0 (1)
二、线性齐次微分方程解的结构

常微分方程的求解

18—1 常微分方程数值解法2§1 引言§2 Euler 方法§3 Runge －Kutta 方法§4 单步法的收敛性与稳定性§5 线性多步法§6 方程组与高阶方程的情况§7 边值问题的数值解法3§1 引言微分方程：关于一个未知函数的方程，方程中含有未知函数的（偏）导数，以及自变量等，其中关于未知函数导数的最高次数称为微分方程的阶数.例如：0)()(')()(''=++−x c y x b y x a x y4实际中，很多问题的数学模型都是微分方程. 常微分方程作为微分方程的基本类型之一，在理论研究与工程实际上应用很广泛. 很多问题的数学模型都可以归结为常微分方程. 很多偏微分方程问题，也可以化为常微分方程问题来近似求解.微分方程的应用情况5对于一个常微分方程：'(,) ,[,]dy y f x y x a b dx==∈为了使解存在，一般要对函数f 施加限制条件，例如要求f 对y 满足Lipschitz 条件：1212(,)(,)f x y f x y L y y −≤−6同时，一个有解的微分方程通常会有无穷多个解例如cos() sin(),dyx y x a a R dx=⇒=+∀∈为了使解唯一，需要加入一个限定条件. 通常会在端点出给出，如下面的初值问题：(,),[,]()dyf x y x a b dx y a y ⎧=∈⎪⎨⎪=⎩7常微分方程的解是一个函数，但是，只有极少数特殊的方程才能求解出来，绝大多数是不可解的.并且计算机没有办法对函数进行运算. 一般考虑其近似解法，一种是近似解析法，如逼近法、级数解法等，另一种是本章介绍的数值解法.8§2 Euler 方法92－1 Euler 公式对常微分方程初值问题：⎩⎨⎧==00')(),(y x y y x f y 数值求解的关键在于消除其中的导数项——称为离散化. 利用差商近似逼近微分是离散化的一个基本途径.10现在假设求解节点为),,1,0(m i ih a x i "=+=，其中ma b h −=为步长，这些节点相应的函数值为)(,),(1m x y x y ". 在点n x 处，已知))(,()('n n n x y x f x y =用n x 的向前差商nn n n x x x y x y −−++11)()(近似代替)('n x y ，如§1，则得到所谓的Euler 公式1(,)n n n n y y hf x y +=+——单步、显式格式11Euler 公式的局部截断误差：假设)(n n x y y =情况下，11)(++−n n y x y 称为局部截断误差.'''2311''23()()()()()2()(,()(()))2n n n n n n n n n y x y x y y x hy x h O h y x h y x f x y x h O h ++−=+++−−=+故有)(2)(''211n n n x y h y x y ≈−++. 122－2 后退的Euler 公式同样对常微分方程初值问题，在1+n x 点，已知))(,()(111'+++=n n n x y x f x y ，如果用向后差商hx y x y n n )()(1−+代替)(1'+n x y ，则得到后退的Euler 公式：111(,)n n n n y y hf x y +++=+——单步、隐式格式13相对于以上可以直接计算1+n y 的Euler 公式（显式），上式是隐式公式. 一般来讲，显式容易计算，而隐式具有更好的稳定性.求解上述公式，通常使用迭代法：对于给定的初值)0(1+n y，计算(1)()111(,)(0,1,)k k n n n n y y f x y k ++++=+="，如果)(1lim k n k y +∞→收敛，则其极限必满足上述后退Euler 公式.14局部截断误差：假设)(n n x y y =，则),()(111++++=n n n n y x hf x y y .由于)]()[,())(,(),(1111111+++++++−+=n n n y n n n n x y y x f x y x f y x f η且''''2111(,())()()()()n n n n n f x y x y x y x hy x O h +++==++15则有'2''31111(,)[()]()()()()n y n n n n n n y hf x y y x y x hy x h y x O h η++++=−++++将此式减去式2'''31()()()()()2n n n n h y x y x hy x y x O h +=+++ 可得，2''311111()(,)[()]()()2n n y n n n n h y x y hf x y x y y x O h η+++++−=−−+16考虑到21111(,)()1(,)y n y n hf x O h hf x ηη++=++−，则有22''3''11()()()()22n n n n h h y x y y x O h y x ++−=−+≈−172－3 梯形公式由于上述两个公式的局部截断误差绝对值相等，符号相反，故求其算术平均得到梯形公式：111[(,)(,)]2n n n n n n hy y f x y f x y +++=++——单步、隐式格式18梯形法同样是隐式公式，可用下列迭代公式求解：(0)1(1)()111(,)[(,)(,)]2n n n n k k n n n n n n y y hf x y h y y f x y f x y +++++⎧=+⎪⎨=++⎪⎩局部截断误差：类似于后退Euler ，可计算出)(12)('''311n n n x y h y x y −≈−++192－4 改进的Euler 公式上述用迭代法求解梯形公式虽然提高了精度，但计算量也很大. 实际上常采用的方法是，用Euler 公式求得初始值（预测），然后迭代法仅施行一次（校正）——改进的Euler 公式：1111(,)[(,)(,)]2n n n n n n n n n n y y f x y hy y f x y f x y ++++⎧=+⎪⎨=++⎪⎩20估计上式中第二式当1+n y 为准确值时的局部截断误差：''11113(3)()()(()[()()])2()12n n n n n n n hy x y y x y x y x y x hy x ++++−=−++≈−212－5 Euler 两步公式如果用中心差商hx y x y n n 2)()(11−+−代替)('n x y ，则得Euler 两步公式112(,)n n n n y y hf x y +−=+——两步、显式格式22假设1−n y 及n y 均为准确值，利用Taylor 展式容易计算Euler 两步公式的局部截断误差为：11113(3)()()(()2(,()))()3n n n n n n n y x y y x y x hf x y x h y x +++−−=−+≈23此式与梯形公式相结合，得到如下的预测－校正公式：111112(,)[(,)(,)]2n n n n n n n n n n y y hf x y hy y f x y f x y −++++⎧=+⎪⎨=++⎪⎩假设第一式中的1−n y 及n y ，以及第二式中的n y 及1+n y 均是准确值，则有，2441)()(1111−≈−−++++n n n n y x y y x y 从而可得以下的事后估计式，111111114()()51()()5n n n n n n n n y x y y y y x y y y ++++++++⎧−≈−−⎪⎪⎨⎪−≈−⎪⎩25可以期望，以上式估计的误差作为计算结果的补偿，可以提高计算精度.以n p 及n c 分别表示第n 步的预测值和校正值，则有以下的“预测－改进－校正－改进”方案（其中在1+n p 与1+n c 尚未计算出来的前提下，以n n c p −代替11++−n n c p ：26预测：'112n n n hy y p +=−+预测的改进：)(5411n n n n c p p m −−=++计算：),(11'1+++=n n n m x f m校正：)(2'1'1++++=n n n n m y hy c校正的改进：)(511111++++−+=n n n n c p c y计算：),(11'1+++=n n n y x f y27例用Euler 方法求解初值问题2'[0,0.6](0)1y y xy x y ⎧=−−∈⎨=⎩取0.2h =，要求保留六位小数. 解：Euler 迭代格式为2210.2()0.80.2k k k k k k k k y y y x y y x y +=+−−=−因此2821000(0.2)0.80.20.8y y y x y ≈=−= 22111(0.4)0.80.20.6144y y y x y ≈=−=23222(0.6)0.80.20.461321y y y x y ≈=−=29例用改进的Euler 方法求解初值问题2'sin 0[0,0.6](0)1y y y x x y ⎧++=∈⎨=⎩取0.2h =，求(0.2),(0.4)y y 的近似值，要求保留六位小数.解：改进的Euler 格式为212211110.2(sin )0.2(sin sin )2k k k k k k k k k k k k k y y y y x y y y y x y y x +++++⎧=+−−⎪⎨=+−−−−⎪⎩30即，222110.820.08sin 0.1(0.80.2sin )sin k k k k k k k k y y y x y y x x ++=−−−则有1(0.2)0.807285y y ≈=，2(0.4)0.636650y y ≈=31§3 Runge －Kutta 方法Def.1如果一种方法的局部截断误差为)(1+p h O ，则称该方法具有p 阶精度. 323－2 Runge —Kutta 方法的基本思想上述的Taylor 级数法虽然可得到较高精度的近似公式，但计算导数比较麻烦. 这里介绍不用计算导数的方法.))(,()()()('1h x y h x f h x y hx y x y n n n n n θθθ++=+=−+——平均斜率.33如果粗略地以),(n n y x f 作为平均斜率，则得Euler 公式；如果以221K K +作为平均斜率，其中),(1n n y x f K =，),(112hK y x f K n n +=+，则得改进的Euler 公式.343－3 二阶的Runge －Kutta 方法对点n x 和)10(≤<+=+p ph x x n p n ，用这两点斜率的线性组合近似代替平均斜率，则得计算公式：11122121()(,)(,)n n n n n p n y y h K K K f x y K f x y phK λλ++⎧=++⎪=⎨⎪=+⎩35现确定系数p ,,21λλ，使得公式具有二阶精度. 因为，取n y 为()n y x ，则'1(,)(,())'()n n n n n nK f x y f x y x y x y === 再把2K 在),(n n y x 处展开，有36'21(,)(,)n p n n n n K f x y phK f x ph y phy +=+=++代入可得，'2''31122()()n n n n y y hy ph y O h λλλ+=++++'2(,)(,)(,)()n n x n n y n n n f x y f x y ph f x y phy O h =+⋅+⋅+'2(')(,)()n x y n n y ph f f y x y O h =+⋅+⋅+'''2()n n y ph y O h =+⋅+37相比较二阶Taylor 展开''2'12n n n n y h hy y y ++=+，有，⎪⎩⎪⎨⎧==+211221p λλλ满足此条件的公式称为二阶Runge －Kutta 公式.38可以验证改进的Euler 公式属于二阶Runge －Kutta 公式. 下列变形的Euler 公式也是二阶Runge －Kutta 公式：12121(,)(,)22n n n n n n y y hK K f x y h h K f x y K +⎧⎪=+⎪=⎨⎪⎪=++⎩393－4 三阶Runge －Kutta 公式同二阶Runge －Kutta 公式，考虑三点,,(01)n n p n q x x x p q ++≤≤≤试图用它们的斜率321,,K K K 的线性组合近似代替平均斜率，即有如下形式的公式：1112233121312()(,)(,)(,())n n n n n n n n y y h K K K K f x y K f x ph y phK K f x qh y qh rK sK λλλ+=+++⎧⎪=⎪⎨=++⎪⎪=+++⎩40把32,K K 在),(n n y x 处展开，通过与)(1+n x y 在n x 的直接Taylor 展式比较，可确定系数s r q p ,,,,,,321λλλ，满足下式，从而使得上述公式具有三阶精度，41特别地，2,1,1,21,32,61231=−======s r q p λλλ是其一特例.123232223311213161p q p q pqs r s λλλλλλλλ++=⎧⎪⎪+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=⎪⎪+=⎪⎩423－5 四阶Runge －Kutta 公式相同的方法，可以导出下列经典的四阶Runge －Kutta 公式：112341213243(22)6(,)(,)22(,)22(,)n n n n n n n n n n h y y K K K K K f x y h h K f x y K h h K f x y K K f x h y hK +⎧=++++⎪⎪=⎪⎪⎪=++⎨⎪⎪=++⎪⎪=++⎪⎩43例用经典四阶Runge —Kutta 方法求解初值问题'83[0,0.4](0)1y y x y =−⎧∈⎨=⎩，取0.2h =，求(0.4)y 的近似值，要求保留六位小数.解：四阶Runge —Kutta 格式为44112341211123122241330.2(22)6(,)830.2(,)83(0.1) 5.6 2.120.2(,)83(0.1) 6.32 2.372(,0.2)83(0.2) 4.208 1.578k k k k k k k k k k k kk k k k ky y K K K K K f x y y K f x y K y K yK f x y K y K y K f x y K y K y ++++⎧=++++⎪⎪==−⎪⎪⎪=+=−+=−⎨⎪⎪=+=−+=−⎪⎪⎪=+=−+=−⎩则10.5494 1.2016k k y y +=+，45故12(0.2) 2.3004,(0.4) 2.4654y y y y ≈=≈=.注：由准确解382()33xy x e −=−可得(0.2) 2.300792,(0.4) 2.465871y y ==46§5 线性多步法基本思想：在计算1+i y 之前，已计算出一系列的近似值i y y ,,1"，如果充分利用这些已知信息，可以期望会获得更高精度的)(1+i x y 的近似值1+i y .基本方法：基于数值积分与基于Taylor 展开的构造方法.475－1 基于数值积分的构造方法对方程),('y x f y =两边从i x 到1+i x 积分，则得∫++=+1),()()(1i ix x i i dxy x f x y x y 设)(x P r 是f (x , y )的插值多项式，由此可得以下的一般形式的计算公式：∫++=+1)(1i ix x r i i dxx P y y 48例取线性插值))(,())(,()(11111+++++−−+−−=i i i i ii i i i i r x y x f x x x x x y x f x x x x x P ，则得到梯形法：)],(),([2111+++++=i i i i i i y x f y x f hy y495－2 Adams 显式公式在区间],[1+i i x x 上利用r ＋1个数据点),(,),,(),,(11r i r i i i i i f x f x f x −−−−"构造插值多项式)(x P r ，由牛顿后插公式（注意到：j i j i j f f −Δ=∇）j i jrj j i r f j t th x P −=Δ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=+∑0)1()(其中!)1()1(j j s s s j s +−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛". 50可得10rj i i rj i jj y y h f αΔ+−==+∑——Adams 显式公式其中1(1)j j t dt j α−⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠∫，它可写成：∑=−++=rj ji rj i i f h y y 01β515－3 Adams 隐式公式在区间],[1+i i x x 上利用r ＋1个数据点),(,),,(),,(1111+−+−++r i r i i i i i f x f x f x "构造插值多项式)(x P r ，由牛顿后插公式101)1()(+−=+Δ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=+∑j i jrj ji r f j t th x P 可得*11rj i i rj i j j y y h f α+−+==+Δ∑——Adams 隐式公式52其中01(1)jj t dt j −−⎛⎞α=−⎜⎟⎝⎠∫，它又可写成： *11ri i rj i j j y y h f β+−+==+∑535－4 Adams 预测－校正公式以r ＝3时的Adams 显式与隐式公式为例. 此时，显式公式为)9375955(243211−−−+−+−+=i i i i i i f f f f hy y 利用Taylor 展式，容易计算局部截断误差为)(720251)5(5i x y h . 54)5199(242111−−+++−++=i i i i i i f f f f hy y 同样利用Taylor 展开可得，其局部截断误差为5(5)19()720i h y x −. 隐式公式为55⎪⎩⎪⎨⎧+−++=−+−+=−−+++−−−+)519),(9(24)9375955(24211113211i i i i i i i i i i i i i f f f y x f hy y f f f f h y y 注利用2－5节的相同作法同样可以构造更精确的计算过程.可构造利用显式预测，隐式校正的计算公式：56§6 方程组与高阶方程的情形6－1 一阶方程组常微分方程初值问题为⎩⎨⎧==00)(),('y x y y x f y 此时T m y y y ),,(1"=，Tm f f f ),,(1"=. 此时上述的一切方法均可使用，只是注意y 与f 此时为向量.576－2 化高阶方程为一阶方程组解下列的m 阶方程()(1)'(1)(1)000000(,,',,)(),'(),,()m m m m y f x y y y y x y y x y yx y −−−⎧=⎨===⎩""令)1(21,,',−===m m y y y y y y "，则有58'12'23'1'12(,,,,)m m m m y y y y y yy f x y y y −⎧=⎪=⎪⎪⎨⎪=⎪⎪=⎩#"初始条件为：)1(00'002001)(,,)(,)(−===m m y x y y x y y x y "。

常微分方程的常见解法

曲线（称为积分曲线），且 fx,x就是该曲线上
的点 x,x处的切线斜率，特别在 x0, y0切线斜率就是 f x0,y0 尽管我们不一定能求出方程 1.3.1 的解，但我们知道它的解曲线在区域D中任意点 x, y
的切线斜率是 f x, y。如果我们在区域D内每一点 x, y 处，都画上一个
可化为齐次方程的方程
形如
dyf(a xb yc) dx a1b1yc1
的方程可化为齐次方程.
其中 a,b,c,a1,b1,c1都是常数.
1. 当 cc10时, 此方程就是齐次方程.
2. 当 c2c120 时, 并且
ab
(1)
a1
0 b1
此时二元方程组 axbyc0 a1xb1yc0
有惟一解 x,y.
例，且融化过程中它始终为球体，该雪球在
开始时的半径为6cm ，经过2小时后，其半径缩
小为3cm。求雪球的体积随时间变化的关系。
解:设t时刻雪球的体积为 V ( t ) ，表面积为 S ( t ) ，
由题得
dV(t) kS(t)
dt
12 2
球体与表面积的关系为 S(t)(4)333V3
12
引入新常数r (4)333k 再利用题中的条件得
或
x
y
F (x ,y )x 0M (s ,y ) d s y 0N (x 0 ,s ) d
s
例：验证方程
( y c o s x 2 x e y ) d x ( s i n x x 2 e y 2 ) d y 0
是全微分方程，并求它的通解。解：由于 M (x ,y ) y c o sx 2 x e yN (x ,y ) s in x x 2 e y 2

5-8-用常微分方程求解实际问题

解此初值问题得故令
Q = 3(1 − e
)
− 1 C (t ) = (1 − e 20
10 − 4 t 3
)
C ( t ) = 0.1% ，代入上式得 t = −30000 ln 0.08 = 606(min) = 10h6 min
即从开始抽烟，经过 10 小时 6 分钟后，房间内空气中的一氧化碳含量达到 0.1% 的浓度.
《微积分 A》习题解答
习题 5.8(P338)
1. 一圆柱形水桶内有 40 L 盐溶液，每升溶液中含盐 1kg . 现有质量浓度为 1.5kg / L 的盐溶液以 4 L / min 的流速注入桶内，搅拌均匀后以 4 L / min 的速度流出. 求任意时刻桶内溶液所含盐的质量. 解：设 m = m ( t ) 为时刻 t 的含盐量，则时刻 t 流出的溶液的浓度为
积分得
−
2 b2
当 t = 0 时， y = H ， u = a − b H 代入 ( 3) 得
C=
2 b2
[a − b H − a ln( a − b H )]
代入 ( 3) 得
t=
2R 2 ⎡ a−b H ⎤ u − a + b H + a ln ⎢ ⎥ u b2 ⎣ ⎦ 2R 2 ( H− b R2 cr22 y)+ 2R 2 b
《微积分 A》习题解答
因而得初值问题
⎧ dW = 0.05W − 2 ⎪ ⎨ dt ⎪ ⎩W t = 0 = W 0
W ( t ) = 40 + (W 0 − 40)e 0.05 t
0.05 t
解此初值问题得
当 W 0 = 30 时， W = 40 − 10e 即此时净资产为 0 ；

微分方程建模个例

A1
C
C1
分析：1.追击开始后，大家将进入正方 A 形里面，距离将变小，由于追击的规则及四个人速度和方向的假定，四人还是在某个正方形的顶点上。 2.会不会出现四个人绕一个圆循环追？不会！距离会不断缩小最后到一点，就是正方形的中心。追击曲线是四条指向 D1 中心的螺旋线（可能绕中心几周） 3.坐标架怎么建？ D O点在中心，直角坐标架。
2H g
2.二氧化碳的吸收
空气通过盛有CO2的吸收剂的圆柱形器皿，已知它吸收CO2的量与 CO2的浓度及吸收层的厚度成正比，今有含CO28%的空气通过厚度为10cm的吸收层后浓度为2%，求：（1）若吸收层变为30cm厚，出口浓度是多少？（2）要使出口浓度为1%，应该设多厚的吸收层？解：记吸收层厚度为d，等分n份，每小层d/n厘米。入口浓度为8%，在每小层看吸收量，第一层后被吸收量为： kd k8%d/n，含量变为： 8%(1)
v0t y x(0) 0 y , 就是曲线的切向量， 1 x y (0) 0
Q(1,v0t) 模型里y(t)，x(t)都是t的函数，但是三个变量不好处理，注意我们要求的是y(x)。 P(x,y) O 1 x
(1 x) y y v0t实现了变量t的分离
再建立一个y(t)，x(t)，t的关系：t时间里导弹已飞行的距离是可求的。 x 1 y2 dx 5v0t (1 x) y y v0t , x0 0, y0 0
v r (0) 2 2 , (2r cos dx cos dr r sin d dx r sin cos d , , y r sin dy sin dr r cos d dy r cos sin dr d 1 sin cos dx dr r r cos r sin dy

常微分方程及其应用

第5章常微分方程及其应用习题5.21．求下列各微分方程的通解：（1）02=+ydy dx x ；（2）0ln =-'y y y x ；（3）0)()(22=-++dy y x y dx x xy ；（4）03=-'xy y ；（5）xe y y =-'2；（6）x x y y cos tan +='．2．求下列各微分方程满足所给初始条件的特解：（1）yx ey -='2，0)0(=y ；（2）011=+-+dy xy dx y x ，1)0(=y ；（3）x y y cos =-'，0)0(=y ；（4）x x y y sec tan =-'，0)0(=y ；（5）xx x y y sin =+'，1)(=πy ；（6）()0122=+-+dx x xy dy x ，0)1(=y ． 5.3 可降阶微分方程及二阶常系数线性微分方程案例引入求微分方程x y 6=''的通解．解两边积分，得1236C x xdx y +=='⎰两边再积分，得 ()213123C x C x dx C xy ++=+=⎰所以，原方程的通解为213C x C x y ++=，其中21C C 、为任意常数．5.3.1 可降阶微分方程 1. 形如)()(x f yn =的微分方程特点：方程右端为已知函数)(x f ．解法：对)()(x f yn =连续积分n 次，即可得含有n 个任意常数的通解．2. 形如),(y x f y '=''的微分方程特点：方程右端不显含未知函数y ．解法：令)(x p y ='，则)(x p y '=''．于是，原方程可化为),(p x f p ='．这是关于p p ',的一阶微分方程．设其通解为),()(1C x x p ϕ=，即),(1C x y ϕ='．两边积分，即可得原方程通解21),(C dx C x y +=⎰ϕ，其中21C C 、为任意常数．3. 形如),(y y f y '=''的微分方程特点：方程右端不显含自变量x ．解法：令)(y p y ='，则dydp p dy dp y dx dy dy dp y ='=⋅=''．于是，原方程可化为 ),(p y f p p ='．这是关于p p ',的一阶微分方程．设其通解为),()(1C y y p ψ=，即 ),(1C y dx dyψ=．分离变量，得dx C y dy =),(1ψ．然后两边积分，即可得原方程通解 21),(C x C y dy+=⎰ψ，其中21C C 、为任意常数．例5-7 求微分方程x x y cos sin -='''的通解．解两边积分，得12sin cos )cos (sin C x x dx x x y +--=-=''⎰两边再积分，得()2112cos sin 2sin cos Cx C x x dx C x x y +++-=+--=⎰第三次积分，得()322121sin cos 2cos sin C x C x C x x dx C x C x x y ++++=+++-=⎰所以，原方程的通解为3221sin cos C x C x C x x y ++++=，其中321C C C 、、为常数．例5-8 求微分方程0='-''y y x 的通解．解令)(x p y ='，则)(x p y '=''．原方程可化为0=-'p p x ，即01=-'p xp ．这是关于p p ',的一阶线性齐次微分方程．其通解为：x C e C eC x p x dxx 1ln 111222)(==⎰=，即x C y 12='．两边积分，即得原方程通解22112C x C dx x C y +==⎰，其中21C C 、为任意常数．例5-9 求微分方程x xe y xy -='-''1的通解．解令)(x p y ='，则)(x p y '=''．于是，原方程可化为x xe p xp -=-'1．这是关于p p ',的一阶线性非齐次微分方程．其通解为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰=⎰--1112)(C dx e xe e x p dx xx dx x ()1ln ln 2C dx e xee x xx +=⎰--()12C dx exx+=⎰-()12C e x x +-=-即()12C ex y x+-='-．两边积分，即得原方程通解()()⎰⎰+-=+-=--dx x C xedx C e x y xx 1122()21x C e xd x +=⎰-21x C dx e xe x x +-=⎰--221)1(C x C e x x +++=-其中21C C 、为任意常数．例5-10 求微分方程()02='-''y y y 的通解．解令)(y p y ='，则)(y p p y '=''．于是，原方程可化为02=-'p p yp ，即01=-'p yp ．这是关于p p ',的一阶线性齐次微分方程．其通解为 y C e C eC y p y dyy 1ln 111)(==⎰=，即y C y 1='．所以原方程通解为x C dxC e C e C y 1122=⎰=，其中21C C 、为任意常数．5.3.2 二阶常系数齐次线性微分方程定义5.4 形如常数 0为、，q p qy y p y =+'+'' （5-5）的微分方程，称为二阶常系数齐次线性微分方程．1. 二阶常系数齐次线性微分方程解的结构定理5.1 如果函数)(1x y 和)(2x y 是方程（5-5）的两个解，那么为任意常数)()(212211C C x y C x y C y 、，+= （5-6）也是方程（5-5）的解．（证明略）定理 5.1表明，二阶常系数齐次线性微分方程的解具有叠加性．那么叠加起来的解)()(2211x y C x y C y +=就是通解吗？不一定．例如，设函数)(1x y 是方程（5-5）的一个解，则函数)(2)(12x y x y =也是方程（5-5）的一个解．由定理5.1可知，)()2()(2)(1211211x y C C x y C x y C y +=+=是方程（5-5）的解．但C C C =+212仍是一个任意常数，所以)()()2(1121x Cy x y C C y =+=不是方程（5-5）的通解．那么在什么条件下才能保证)()(2211x y C x y C y +=就是通解呢？定义5.5 设)(1x y 和)(2x y 是定义在某区间I 上的两个函数，如果存在两个不全为零的常数1k 和2k ，使0)()(2211=+x y k x y k 在区间I 上恒成立，则称函数)(1x y 与)(2x y 在区间I 上线性相关，否则称线性无关．由定义5.5可知，判断函数)(1x y 与)(2x y 线性相关或线性无关的方法：当=-=2112)()(k k x y x y 常数时，)(1x y 与)(2x y 线性相关．当≠)()(12x y x y 常数时，)(1x y 与)(2x y 线性无关．定理 5.2 如果函数)(1x y 和)(2x y 是方程（5-5）的两个线性无关的特解，那么（5-6）是方程（5-5）的通解．（证明略）2. 二阶常系数齐次线性微分方程的解法由上述关于解的结构分析可知，欲求方程（5-5）的通解，首先需讨论如何求出方程（5-5）的两个线性无关的特解．猜想方程（5-5）有形如rx e y =的解，其中r 为待定常数．将rxe y =代入该方程，得0)()()()(22=++=++=+'+''rx rx rx rx rx rx rx e q pr r qe pre e r e q e p e ，由于0≠rx e ，所以只要r 满足方程为常数、，q p q pr r 02=++ （5-7）即当r 是方程（5-7）的根时，函数rxe y =就是方程（5-5）的解．定义5.6 方程（5-7）称为方程（5-5）的特征方程．特征方程的根称为特征根．设21r r 、为特征方程（5-7）的两个特征根．根据特征根的不同情形，确定方程（5-5）的通解有以下三种情况：（1）若方程（5-7）有两个不相等的实根21r r ≠，则xr e y 11=和xr ey 22=是方程（5-5）的两个线性无关的特解，故方程（5-5）的通解为x r xr e C e C y 2121+=，其中21C C 、为任意常数．（2）若方程（5-7）有两个相等实根221p r r r -===，则仅得到一个特解rxe y =1，利用常数变易法可得到与rxe y =1线性无关的另一个特解rxxe y =2，故方程（5-5）的通解为x r xr xe C eC y 21+=，其中21C C 、为任意常数．（3）若方程（5-7）有一对共轭复根βαi r +=1与βαi r -=2，则xi ey )(1βα+=和x i e y )(2βα-=是方程（5-5）的两个复数特解．为便于在实数范围内讨论问题，在此基础上可找到两个线性无关的实数特解x exβαcos 和x e x βαsin ．故方程（5-5）的通解为)s in cos (21x C x C e y x ββα+=，其中21C C 、为任意常数．由定理5.1可知，以上两个函数x e xβαcos 和x e x βαsin 均为方程（5-5）的解，且它们线性无关．上述依据特征根的不同情形来求二阶常系数齐次线性微分方程通解的方法，称为特征根法．一般步骤：第一步写出所给微分方程的特征方程；第二步求出特征根；第三步根据特征根的三种不同情形，写出通解．（特征根与通解的关系参见表5-1）表5-1 特征根与通解的关系特征方程02=++q pr r 的两个根21r r ，微分方程0=+'+''qy y p y 的通解一两个不相等实根21r r ≠ x r x r e C e C y 2121+=二两个相等实根221pr r r -=== x r e x C C y )(21+=三一对共轭复根βαi r +=1，βαi r -=2)sin cos (21x C x C e y x ββα+=例5-11 求微分方程032=-'-''y y y 的通解．解该方程的特征方程0322=--r r 的特征根为11-=r ，32=r （21r r ≠）．所以，方程的通解为x xe C eC y 321+=-．例5-12 求微分方程02=+'+''y y y 满足初始条件0)0(=y ，1)0(='y 的特解．解该方程的特征方程0122=++r r 的特征根为121-==r r ．所以方程的通解为x e x C C y -+=)(21上式对x 求导，得： x xe x C C eC y --+-=')(212将0)0(=y ，1)0(='y 代入上两式，解得01=C ，12=C ．因此，所求特解为xxey -=．例5-13 求微分方程052=+'-''y y y 的通解．解该方程的特征方程0522=+-r r 的特征根为i r 211+=，i r 212-=．所以，方程的通解为)2sin 2cos (21x C x C e y x+=．5.3.3 二阶常系数非齐次线性微分方程定义5.7 形如常数 )(为、，q p x f qy y p y =+'+'' （5-8）的微分方程，称为二阶常系数非齐次线性微分方程．1. 二阶常系数非齐次线性微分方程解的结构定理5.3 如果函数)(x y *是方程（5-8）的一个特解，)(x Y 是该方程所对应的线性齐次方程（5-5）的通解，那么)()(x y x Y y *+= （5-9）是方程（5-8）的通解．定理5.4 如果函数)(1x y *是方程)(1x f qy y p y =+'+''的特解，函数)(2x y *是方程)(2x f qy y p y =+'+''的特解，那么)()(21x y x y y ***+= （5-10）就是方程)()(21x f x f qy y p y +=+'+''的特解．2. 二阶常系数非齐次线性微分方程的解法二阶常系数齐次线性微分方程的通解问题已经解决，根据定理 5.3，求二阶常系数非齐次线性微分方程的通解的关键在于求其自身的一个特解．以下介绍当自由项)(x f 为几类特殊函数时求特解的方法：（1）xn e x P x f λ)()(=，)(x P n 是x 的n 次多项式，λ是常数微分方程的特解可设为⎪⎩⎪⎨⎧====*2,1,0,)(k k k e x Q x y x n k 是二重特征根时是单特征根时不是特征根时，λλλλ其中)(x Q n 是与)(x P n 同次待定多项式．（2）x x P x f n ωcos )()(=（或x x P n ωsin )(），)(x P n 是x 的n 次多项式，ω是常数微分方程的特解可设为⎩⎨⎧==+=*10]sin )(cos )([k i k i x x R x x Q x y n n k是特征根时，非特征根时，，ωωωω 其中)(x Q n 和)(x R n 是与)(x P n 同次待定多项式．（3）x ex f xωλcos )(=（或x e x ωλsin ），λ与ω均为常数微分方程的特解可设为⎩⎨⎧=+=++=*1]sin cos [k i k i x B x A e x y x k 是特征根时，非特征根时，，ωλωλωωλ （4）当)(x f 为上述任意两类函数之和时，根据定理5.4处理即可．例5-14 求微分方程132+='-''x y y 的通解．解方程02='-''y y 的特征方程022=-r r 的特征根为21=r ，02=r ．于是方程02='-''y y 的通解为221C e C y x +=又因为13)(+=x x P n ，0=λ是单特征根，所以原方程的特解可设为)()(B Ax x x xQ y n +==*代入原方程，解得43-=A ，45-=B ．故原方程的通解为 x x C e C y x 45432221--+=．例5-15 求微分方程xe y y y 23=+'+''的一个特解．解方程0=+'+''y y y 的特征方程012=++r r 的特征根为i r 23211+-=，i r 23212--=．x e x f 23)(=，2=λ非特征根，所以原方程的特解可设为 x Ae y 2=*代入原方程，解得73=A ．故所求特解为x e y 273=*．例5-16 求微分方程xxey y y 223-=+'+''的一个特解．解方程023=+'+''y y y 的特征方程0232=++r r 的特征根为21-=r ，12-=r ．x xe x f 2)(-=，x x P n =)(，2-=λ是单特征根，所以原方程的特解可设为x e B Ax x y 2)(-*+=代入原方程，解得21-=A ，1-=B ．故所求特解为xe x x y 2)12(-*--=．例5-17 求微分方程x y y sin =+''的通解．解方程0=+''y y 的特征方程012=+r 的特征根为i r =1，i r -=2．于是方程0=+''y y 的通解为x C x C y sin cos 21+=又因为x x f sin )(=，i i =+ωλ是特征根，所以原方程的特解可设为)sin cos (x B x A x y +=*代入原方程，解得21-=A ，0=B ．故原方程的通解为 x x x C x C y cos 21sin cos 21-+=．例5-18 求微分方程x x y y 2cos =+''的一个特解．解方程0=+''y y 的特征方程012=+r 的特征根为i r =1，i r -=2．x x x f 2cos )(=，i i 2=+ωλ不是特征根，所以原方程的特解可设为x D Cx x B Ax y 2sin )(2cos )(+++=*代入原方程，解得31-=A ，0=B ，0=C ，94=D ．故所求特解为x x x y 2sin 942cos 31+-=*．例5-19 求微分方程x e y y y x2cos 3=-'+''的一个特解．解方程03=-'+''y y y 的特征方程0132=-+r r 的特征根为213231+-=r ，213232--=r ．x e x f x2cos )(=，i i 21+=+ωλ不是特征根，所以原方程的特解可设为)2sin 2cos (x B x A e y x +=*代入原方程，解得1011-=A ，10110=B ．故所求特解为 )2sin 101102cos 1011(x x e y x +-=*．例5-20 求微分方程x e y y y xsin 212+=+'-''的一个特解．解方程02=+'-''y y y 的特征方程0122=+-r r 的特征根为121==r r ．xe xf 21)(1=，x x f sin )(2=，1=λ是二重特征根，i i =ω不是特征根，所以两个分解方程的特解可分别设为x e Ax y 21=*与x C x B y sin cos 2+=*分别代入两个分解方程，解得41=A ，21=B ，0=C ．故所求特解为x e x y x cos 21412+=*．习题5.31．求下列各微分方程的通解：（1）x x y sin +=''；（2）xxe y ='''；（3）0='+''y y x ；（4）x xe y xy ='-''1；（5）2)(1y y '+=''；（6）0)(122='-+''y yy ． 2．求下列各微分方程满足所给初始条件的特解：（1）x e y 2='''，0)1()1()1(=''='=y y y ；（2）0)(32='-''y y ，0)0(=y ，1)0(-='y ．3．判断下列各函数组是线性相关还是线性无关：（1）x 与2x ；（2）x e 2与x e 26；（3）x 与x xe ；（4）x e x cos 与x e xsin ． 4．求下列各微分方程的通解：（1）0='-''y y ；（2）04=+''y y ；（3）02510=+'-''y y y ；（4）0=+'+''y y y ．5．求下列各微分方程满足所给初始条件的特解：（1）034=+'-''y y y ，6)0(=y ，10)0(='y ；（2）044=+'-''y y y ，1)0(=y ，4)0(='y ．6．求下列各微分方程的一个特解：（1）1332+=-'-''x y y y ；（2）x ey y y 244=+'-''；（3）x e y y y x sin 22-=+'-''；（4）x x y y sin 14++=+''．7．求下列各微分方程的通解：（1）22x y y y =+'-''；（2）xe y y y =-'+''32；（3）x e y y x cos +=+''；（4）x x y y y 2cos 2+=-'-''．8．求下列各微分方程满足所给初始条件的特解：（1）523=+'-''y y y ，1)0(=y ，2)0(='y ；（2）x xe y y 4=-''，0)0(=y ，1)0(='y ．5.4 微分方程应用举例微分方程在实践中有着广泛的应用．在实际应用中，常常需要应用微分方程寻求实际问题中的未知函数．而要建立微分方程，除了需要数学知识外，往往还需要许多专业方面的知识．本节通过举例来介绍微分方程在几何学、电工学及力学方面的一些简单应用．例5-21 曲线L 上点),(y x M 处的法线与x 轴的交点为N ，且线段MN 被y 轴平分．求曲线L 的方程．解如图5-2，设曲线的方程为)(x y y =．先建立法线MN 的方程．设法线上的动点坐标为),(Y X ，由于法线MN 的的斜率为y k '-=1法，于是法线MN 的方程为 )(1x X yy Y -'-=- 又因为线段MN 被y 轴平分，从而MN 与y 轴交点坐标为)2,0(yP ，代入上式，得 )0(12x y y y -'-=-，即x y y 2-=' 用分离变量法解得C y x =+222，其中C 为任意正数．yy M （x ，y ）L xN O x图5—2例5-22 设有一C R 电路如图5-3所示，电阻Ω10=R ，电容F C 1.0=，电源电压)(sin 10V t u =，开关K 闭合前，电容电压0=C u ，求开关K 闭合后电容电压随时间而变化的规律)(t u C ．KuCiR图5-3解设开关K 闭合后电路中的电流为)(t i ，电容极板上的电荷为)(t q ，则有C Cu q =，dtdu C dt Cu d dt dq i C C ===)(，根据回路电压定律：电容电压与电阻电压之和等于电源电压，即u Ri u C =+，于是有u dtdu RC u C C =+．将10=R ，1.0=C ，t u sin 10=代入，得t u u C C sin 10=+'．又因为开关K 闭合前，电容电压0=C u ，即0)0(=C u ．从而问题转化为初值问题：⎩⎨⎧==+'0)0(sin 10CC C u t u u 用通解公式求得通解)c o s (s i n5t t Ae u t C -+=- 将初始条件0)0(=C u 代入通解，求得5=A ．所以，所求特解为)cos (sin 55t t e u t C -+=-此即为所求规律)(t u C 的表达式．例5-23 设跳伞员开始跳伞后所受的空气阻力与其下落的速度成正比（比例系数为常数0>k ），起跳时的速度为0．求跳伞员下落的速度与时间之间的函数关系．解这是一个运动问题，可利用牛顿第二定律ma F =建立微分方程．设跳伞员下落的速度与时间之间的函数关系为)(t v v =，则加速度)(t v a '=．由于跳伞员在下落过程中所受外力只有重力和空气阻力，于是有kv mg F -=，由牛顿第二定律ma F =可得速度)(t v v =应满足的微分方程为v m kv mg '=-．又因为起跳时的速度为0，即其初始条件为0)0(=v ．所以，这个运动问题可化为初值问题：⎩⎨⎧='=-0)0(v v m kv mg 用分离变量法求出通解为t m k Ce kv mg -=-．将初始条件为0)0(=v 代入通解，解得mg C =．因此，所求特解为)1(t m k e kmg v --=，T t ≤≤0（T 为降落伞着地时间），此即为所求函数关系．例5-24 物体冷却过程．将某高温物体置于空气中冷却，假定空气温度恒为C ︒24，在时刻0=t 时，测得其温度为C ︒150，10分钟后测得温度为C ︒100．已知牛顿冷却定律：物体冷却速率与物体和介质的温差成正比．求物体的温度与时间的函数关系，并计算20分钟后该物体的温度．解设物体的温度与时间的函数关系为)(t T T =．因为热量总是从温度高的物体向温度低的物体传导，从而物体随时间增加而逐渐冷却，所以冷却速率（温度的变化速度）0)(<'t T ，而物体和空气的温差恒为正．所以，根据牛顿冷却定律可得)24(--=T k dtdT ．又因为在时刻0=t 时，测得其温度为C ︒150，即有150)0(=T ．从而问题转化为初值问题：⎪⎩⎪⎨⎧=--=150)0()24(T T k dt dT ，其中0>k 为比例常数．用分离变量法或通解公式解得t k e T -+=12624．将100)10(=T 代入，求得051.076126ln 101≈=k ．故物体的温度与时间的函数关系为t e T 051.012624-+=．将20=t 代入，得)(6412624)20(20051.0C e T ︒≈+=⨯-．例5-25 弹簧振动问题．设有一弹簧上端固定，下端挂着一个质量为m 的物体．当弹簧处于平衡位置时，物体所受的重力与弹簧恢复力大小相等，方向相反．设给物体一个初始位移0x ，初速度0v ，则物体便在其平衡位置附近上下振动．已知阻力与其速度成正比，求振动过程中位移x 的变化规律．Ox图5-4解建立坐标系如图5-4所示，平衡位置为原点．位移x 是时间t 的函数)(t x x =．物体在振动过程中受到弹簧恢复力f 与阻力R 的作用．由虎克定律，有kx f -=，其中0>k 为弹性系数，负号表示弹簧恢复力与位移方向相反；v R μ-=，其中0>μ为比例系数（或称阻尼系数），负号表示阻力与速度方向相反．根据牛顿第二定律ma F =，可得v kx ma μ--=．又因为)(t x a ''=，)(t x v '=，记m n μ=2，mk =2ω，0>n ，0>ω，所以上述弹簧振动问题化为初值问题：⎪⎩⎪⎨⎧='==++0022)0(,)0(02v x x x x dt dx n dt x d ω 这是一个二阶常系数齐次线性方程，其特征方程为0222=++ωnr r ，特征根为222,1ω-±-=n n r ．具体情况讨论如下：（1）大阻尼情形，即ω>n ．这时，特征根是两个不相等实根，所以方程的通解为t n n t n n e C e C x )(2)(12222ωω-+----+=．（2）临界阻力情形，即ω=n ．这时，特征根n r r -==21，所以方程的通解为nt e t C C x -+=)(21．（3）大阻尼情形，即ω>n ．这时，特征根是一对共轭复根i n n r 222,1-±-=ω，所以方程的通解为)sin cos (222221t n C t n C e x nt -+-=-ωω．上述三种情形中的任意常数均可由初始条件确定．这类振动问题均会因阻尼的作用而停止，称为弹簧的阻尼自由振动．习题5.41．设过点)1,1(的曲线L 上任意点),(y x M 处的切线分别与x 轴、y 轴交于点A 、B ，且线段AB 被点M 平分．求曲线L 的方程．2．在如图5-5所示的C R 电路中，已知开关S 闭合前，电容上没有电荷，电容两端电压为零，电阻为R ，电容为C ，电源电压为E ．把开关S 合上，电源对电容充电，电容电压C u 逐渐升高．求电容电压C u 随时间t 变化的规律．SECiR图5-53．将温度为C ︒100的沸水注入杯中，放在室温为C ︒20的环境中自然冷却，min 5后测得温度为C ︒60．求水温与时间的函数关系，并计算水温自C ︒100降至C ︒30所需时间．4．设有一弹簧上端固定，下端挂着一个质量为kg 025.0的物体．先将物体用手拉到离平衡位置m 04.0处，然后放手，让物体自由振动．若物体所受的阻力大小与运动速度成正比，方向相反，弹簧的弹性系数m N k /625.0=，阻尼系数m s N /2.0⋅=μ．求物体的运动规律．知识拓展：马尔萨斯（Malthus ）模型马尔萨斯（Malthus ）模型是最简单的生态学模型．给定一个种群，我们的目的是确定种群的数量是如何随着时间发展变化的．为此，我们作出如下假设：模型假设：1.初始种群规模已知0)0(x x =，种群数量非常大，世代互相重叠，因此种群的数量可以看作是连续变化的；2.种群在空间分布均匀，没有迁入和迁出（或迁入和迁出平衡）；3.种群的出生率和死亡率为常数，即不区分种群个体的大小、年龄、性别等；4.环境资源是无限的．确定变量和参数：为把问题转化为数学问题，我们首先确定建模中所需变量和参数：t ：时间（自变量），)(t x ：t 时刻的种群密度，b ：瞬时出生率，d ：瞬时死亡率．模型的建立与求解：考察时间段],[t t t ∆+（不失一般性，设0>t ∆），由物质平衡原理，在此时间段内种群的数量满足：t t ∆+时刻种群数量t -时刻种群数量t ∆=内新出生个体数t ∆-内死亡个体数，即t t dx t t bx t x t t x ∆∆∆)()()()(-=-+亦即)()()()(t x d b tt x t t x -=-+∆∆ 令0→t ∆，可得 )(:)()()(t x t x d b dtt dx λ=-= 满足初始条件0)0(x x =的解为t t d b e x e x t x λ0)(0)(==-于是有0>λ时，即d b >，则有+∞=∞→)(lim t x t ， 0=λ时，即d b =，则有0)(lim x t x t =∞→， 0<λ时，即d b <，则有0)(lim =∞→t x t ．马尔萨斯（Malthus ）模型的积分曲线)(t x 呈“J ”字型，因而种群的指数增长又称为“J ”型增长．人也是一种生物种群，人口预测问题就是在马尔萨斯（Malthus ）模型的基础上通过修改而得以解决。

(整理)微分方程的例题分析及解法

微分方程的例题分析及解法本单元的基本内容是常微分方程的概念，一阶常微分方程的解法，二阶常微分方程的解法，微分方程的应用。

一、常微分方程的概念本单元介绍了微分方程、常微分方程、微分方程的阶、解、通解、特解、初始条件等基本概念，要正确理解这些概念；要学会判别微分方程的类型，理解线性微分方程解的结构定理。

二、一阶常微分方程的解法本单元介绍了三种类型的一阶微分方程的求解方法：变量可分离型，齐次型，线性方程。

对于一阶微分方程，首先要看是否可以经过恒等变形将它的变量分离；对于一阶线性微分方程，先用分离变量法求解其相应的齐次方程，再用常数变易法求解非齐次方程；当然也可直接代下列通解公式：()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰=⎰-C dx e x q e y dx x p dx x p )( 齐次型微分方程)(xy f y =' 令xy u =，则方程化为关于未知数u 与自变量x 的变量可分离的微分方程。

三、二阶微分方程的解法1．特殊类型的二阶常微分方程本章介绍了三种特殊类型的二阶方程的求解方法：（1）)(x f y =''，直接积分；（2）),(y x f y '=''，令p y ='，（3）),(y y f y '=''，令p y ='，则p dydp y ='' 这三种方法都是为了“降价”，即降成一阶方程。

2．二阶线性常系数微分方程二阶线性常系数微分方程求解的关键是：（1）特征方程对于相应的齐次方程，利用特征方程02=++q p λλ求通解：（2）对于非齐次方程，根据下列形式自由项的特点)()(x P e x f m x μ=和 []x x p x x P e x f n l ax ββsin )(~cos )()(+= 设置特解*y 的形式，然后使用待定系数法。

四、微分方程的应用求解应用问题时，首先需要列微分方程，这可根据有关科学知识，分析所研究的变量应该遵循的规律，找出各量之间的等量关系，列出微分方程，然后根据微分方程的类型的用相应的方法求解，还应注意，有的应用问题还含有初始条件。

经济数学第8章常微分方程

1
8.1 微分方程的基本概念定义8.1 含有未知函数的导数(或微分)的方程，叫做微分方程．定义8.2 微分方程中未知函数的最高阶导数( 或微分)的阶数，叫做微分方程的阶．
定义8.3 如果将某个已知函数代入微分方程中，能使该方程成为恒等式，则称此函数为该微分方程的解．
2
定义8.4 如果n阶微分方程的解中含有n个独立的任意常数，则称这样的解为微分方程的通解．而确定了通解中任意常数的值的解，则被称为方程的特解．通常，为了确定微分方程的某个特解，先要求出其通解后再代入确定任意常数的条件(称为初始条件)，从而求出满足初始条件的特解．
第8章常微分方程
微分方程是微积分学联系实际的重要渠道之一，因为用数学工具来解决实际问题或研究各种自然现象时，第一步就是要寻求函数关系．但在很多情况下，我们不能直接得到所需要的函数关系，而是由实际问题所提供的信息及相关学科的知识可得到关于所求函数的导数或微分的关系式，这样的关系式就是微分方程．建立了微分方程后，再通过求解微分方程可得到我们寻找的所需要的函数关系．
21
例8.13 某公司2008年招聘新员工100名，预计从现在开始，第t年招聘人员增加速度为t的2倍，求到2018 . 例8.14 已知某厂的纯利润L对广告费x的变化率dLdx与常数A和纯利润L之差成正比．当x=0时， L=L0，试求纯利润L与广告费x之间的函数关系
22
③将所设的解及其导数代入非齐次线性微分方程，解出
然后写出非齐次线性微分方程的通解
13
8.3 二阶常系数线性齐次微分方程
8.3.1
二阶常系数线性齐次微分方程的概念
定义8.7 方程：y″+py′+qy=f(x)
称为二阶常系数线性齐次微分方程，其中p,q 为常数，f(x)是x的连续函数. 当f(x)≡0时，方程：y″+py′+qy=0称为二阶常系数线性齐次微分方程.当f(x)≠0时，方程称为二阶常系数线性非齐次微分方程.

微分方程1

代回 u x y , 得 arctan( x y ) x C ,
原方程的通解为 y tan( x C ) x .
2、齐次方程
dy y 形如 f ( ) 的微分方程称为齐次方程. dx x
例如：方程
( xy y 2 )dx ( x 2 2 xy)dy 0
第九章
常微分方程及其应用
1、微分方程的基本概念
2、一阶微分方程
3、二阶线性微分方程
4、微分方程应用举例
背景
函数是反映客观世界运动过程中量与量之间的一种关系，寻求函数关系在实践中具有重要意义。许多实际问题，往往不能直接找出需要的
函数关系，却比较容易列出表示未知函数及其导数(或微分)与自变量之
间关系的等式．这样的等式就是微分方程．1676年詹姆士．贝努利致牛顿的信中第一次提出微分方程，直到十八世纪中期，微分方程才成为一门独立的学科.微分方程建立后，立即成为研究、了解和知晓现实世界的重要工具．1846年,数学家与天文学家合作，通过求解微分方程，发现了一颗有名的新星—-—-海王星．1991年，科学家在阿尔卑斯山发 - 现一个肌肉丰满的冰人，据躯体所含碳原子消失的程度，通过求解微分方程，推断这个冰人大约遇难于5000年以前，类似的实例还有很多．在微分方程的发展史中，数学家牛顿、莱布尼兹、贝努利家族、拉格朗日、欧拉、拉普拉斯等等都做出了卓越的贡献．
向全欧洲数学家挑战，提出一个很艰难的问题：“设在垂直平面内有
任意两点，一个质点受地心引力的作用，自较高点下滑至较低点，不计摩擦，问沿着什么曲线下滑，时间最短？”
这就是著名的“最速降线”问题。它的难处在于和普通的极大极
小值求法不同，它是要求出一个未知函数（曲线），来满足所给的条件。这问题的新颖和别出心裁引起了很大兴趣，罗比塔、伯努利兄弟、

微分方程数学模型应用举例

微分方程数学模型应用举例
1. 生物学模型：微分方程可以用于描述生物系统中的各种动态过程。

例如，Lotka-Volterra模型是一种描述捕食者和被捕食者之间相互作用的微分方程模型，可以用于研究食物链中物种的数量和相互关系。

2. 经济学模型：微分方程可以用于描述经济系统中的各种变化和趋势。

例如，Solow增长模型是一种描述经济增长和资本积累的微分方程模型，可以用于分析国家经济发展的长期趋势。

3. 物理学模型：微分方程可以用于描述物理系统中的各种动态过程。

例如，带有阻尼和驱动力的简谐振动可以用二阶线性常微分方程来描述，可以用于研究机械系统中的振动现象。

4. 化学反应动力学模型：微分方程可以用于描述化学反应中物质浓度随时间变化的关系。

例如，化学反应速率方程可以用一阶或二阶线性微分方程来描述，可以用于研究化学反应速率的变化规律。

5. 环境科学模型：微分方程可以用于描述环境系统中的各种变化和相互作用。

例如，Black-Scholes模型是一种描述金融市场中期权价格变化的微分方程模型，可以用于分析金融市场的波动和风险。

6. 工程科学模型：微分方程可以用于描述工程系统中的各种动态过程。

例如，控制系统中的传递函数可以用微分方程表示，可以用于研究系统的稳定性和响应特性。

这些只是微分方程在数学模型中的一些应用举例，实际上微分方程在各个学科领域中都有广泛的应用。

2.6微分方程应用举例

而
.

2
时，正交轨线满足的微分方程是 :
1 y . y' x
求解上的微分方程得通积分 — —正交轨线 x2 y 2 C.
5
x2 y2 例2：试求曲线族 2 2 =1的正交轨线 a a C (其中a为已知常数，C为参数）。
例3：（人口模型）某国的人口增长与全国人口成
正比，如果连年后人口增加一倍，三年之后人口总数为20，000，试估计该国最初人口数量。
400
300
200
100
0
MATLAB命令求解:
Y0=[100,20]; [t,Y]=ode23('fox',[0,20],Y0); x=Y(:,1);y=Y(:,2); figure(1),plot(t,x,'b',t,y,'r') figure(2),plot(x,y)
0
5
10
15
20
----y1
从而可求出等角轨线l：y1 = y1(x)满足的微分方程 y1/ k F ( x, y1 , ) 0. ( ) / 1 y1 k 2
时，正交轨线满足的微分方程是 1 F ( x, y1 , / ) 0. y1
而

2
为简单起见，常用y来取代y1。
4
例１求直线束y Cx的等角轨线和正交轨线.
14
dw 令w(t)为t时刻的含水量（单位：千克），则 dt 是t时刻的蒸发速度。题设空气饱和湿度 = 0.12千克/米 3，开始时室内湿度 = 0.12×25% = 0.03千克/米 3，故t时刻的差值为 3-w(t) 1 0.12 （0.03+ ）= ( w 6). 100 100

理论力学哈工大第八版答案

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本书内容包括静力学（含静力学公理和物体的受力分析、平面力系、空间力系、摩擦），运动学（含点的运动学、刚体的简单运动、点的合成运动、刚体的平面运动），动力学（含质点动力学的基本方程、动量定理、动量矩定理、动能定理、达朗贝尔原理、虚位移原理）。

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理论力学（I）第8版哈尔滨工业大学理论力学教研室课后答案前辅文静力学引言第一章静力学公理和物体的受力分析第二章平面力系第三章空间力系第四章摩擦理论力学（I）第8版哈尔滨工业大学理论力学教研室习题答案§4-4 滚动摩阻的概念运动学引言第五章点的运动学*§5-5 点的速度和加速度在球坐标中的投影思考题习题第六章刚体的简单运动§6-1 刚体的平行移动§6-2 刚体绕定轴的转动§6-3 转动刚体内各点的速度和加速度§6-4 轮系的传动比§6-5 以矢量表示角速度和角加速度·以矢积表示点的速度和加速度思考题习题第七章点的合成运动第八章刚体的平面运动动力学引言第九章质点动力学的基本方程第十章动量定理第十一章动量矩定理第十二章动能定理第十三章达朗贝尔原理第十四章虚位移原理参考文献习题答案索引Synopsis哈尔滨工业大学理论力学教研室理论力学（I）第8版课后答案第十四章虚位移原理。

(整理)微分方程的例题分析与解法

微分方程的例题分析及解法本单元的基本内容是常微分方程的概念，一阶常微分方程的解法，二阶常微分方程的解法，微分方程的应用。

二、一阶常微分方程的解法本单元介绍了三种类型的一阶微分方程的求解方法：变量可分离型，齐次型，线性方程。

对于一阶微分方程，首先要看是否可以经过恒等变形将它的变量分离；对于一阶线性微分方程，先用分离变量法求解其相应的齐次方程，再用常数变易法求解非齐次方程；当然也可直接代下列通解公式：pxdxq(x)e pxdxye dxC齐次型微分方程yyf()y x令u u与自变量x的变量可分离的微分方程。

，则方程化为关于未知数x三、二阶微分方程的解法1．特殊类型的二阶常微分方程本章介绍了三种特殊类型的二阶方程的求解方法：（1）y f(x)，直接积分；（2）y f(x,y)，令y p，（3）y f(y,y)，令y p，则y dp pdy这三种方法都是为了“降价”，即降成一阶方程。

2．二阶线性常系数微分方程二阶线性常系数微分方程求解的关键是：（1）特征方程对于相应的齐次方程，利用特征方程2p q0求通解：（2）对于非齐次方程，根据下列形式自由项的特点f(x)e x P m(x)和f(x)e axP l(~xx)cosxp n(x)sin设置特解y的形式，然后使用待定系数法。

一、疑难解析（一）一阶微分方程1．关于可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程是一阶微分方程中的一种最简单的方程，形如f1(x)g1(y)dxf2(x)g2(y)dy0（1）的微分方程称为变量可分离的微分方程，或称可分离变量的微分方程，若f2(x)g1(y) 0，则方程（1）可化为变量已分离的方程g2(y)dy f1(x)dxg1(y)f2(x)两端积分，即得（1）的通解：G(y)F(x)C（2）（2）式是方程（1）的通解（含有一个任意常数），但不是全部解，用分离变量法可求出其通解为y sin(x c)，但显然y1也是该方程的解，却未包含在通解中，从这个例子也可以理解通解并不是微分方程的全部解，本课程不要求求全部解。

第八章微分方程本章主要通过几个具体的例子，说明微分方程的应用问题

221第八章微分方程本章主要通过几个具体的例子，说明微分方程的应用问题，并介绍一些基本概念及几种常用的微分方程的解法．第一节微分方程的基本概念例1 自由落体运动自由落体运动是指物体在仅受到地球引力的作用下，初速度为零的运动．根据牛顿第二定律：ma F =，它的运动路程)(t s s =大小的变化规律可表示为：m g dtsd m =22．且还满足0)0(,0)0(='=s s ，即⎪⎩⎪⎨⎧='==(2) 0)0(,0)0((1) 22s s g dt sd对（1）两边积分，得 1C gt dtds+=，（３）对（３）两边积分，得21221C t C gt s ++=，（４）这里21,C C 都是任意常数．将（2）代入（４），得0,012==C C ．故自由落体运动路程的规律为221gt s =．（５）这是微分方程应用的最早一个例子．例２ Malthus 人口模型英国人口学家马尔萨斯（Malthus T R 1766-1834）根据百余年的人口统计资料，于18世纪末提出著名的人口模型．该模型假设人口的净相对增长率（出生率减去死亡率）是常数，即单位时间内人口的增长量与当时的人口数成正比．设时刻t 的人口为)(t x ，净相对增长率为r ，我们将)(t x 当作连续变量考虑，开始时（0=t ）的人口数量为0x ，即0)0(x x =．按照Malthus 理论，于是)(t x 满足如下方程为：⎪⎩⎪⎨⎧==(7).)0((6), 0x x rx dt dx其中r 为常数．（6）称为Malthus 人口模型．对（6）整理，得r d t xdx=．（8）对（8）两边积分，得rt Ce t x =)(，（9）222将（7）代入（9），得0x C =，故人口增长规律为rt e x t x 0)(=．（10）如果0>r ，（10）表明人口将以指数规律无限增长．特别地，当∞→t 时，+∞→)(t x ，这似乎不可能．这个模型可以与19世纪以前欧洲一些地区的人口统计数据很好地吻合，但是当后来人们用它与19世纪的人口资料比较时，误差较大．例３ Logistic 模型荷兰生物数学家V erhulst 引入常数m x 表示自然资源和环境条件所能容许的最大人口，并假定净相对增长率等于⎪⎪⎭⎫⎝⎛-m x t x r )(1，即净相对增长率随着)(t x 增加而减少．因为随着人口的增加，自然资源，环境条件等因素对人口继续增长的阻滞作用越来越显著．如果人口较少时（相对于资源而言）人口增长率还可以看作常数．当人口增加到一定数量后，增长率就会随着人口的继续增加而逐渐减少．这正是对Malthus 人口模型中人口的固定净相对增长率的修正．这样，Malthus 人口模型（6）变为：⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=(12). )0((11), )()(10x x t x x t x r dt dx m该模型的解为()rtm me x x x t x -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=110，（13）易看出，当+∞→t 时，m x t x →)(．这个模型称为Logistic 模型，其结果经计算与实际情况比较吻合．此模型在很多领域有着较广泛的应用．例４广告模型在当今这个信息社会中，广告在商品推销中起着极其重要的作用．当生产者生产出一批产品后，便会考虑到广告的大众性和快捷性，利用广告促销作用更快更多地卖出产品．那么，广告与促销到底有何关系？广告在不同时期的效果如何？下面建立独家销售的广告模型来研究．该模型假设：商品的销售速度会因做广告而增加，但当商品在市场趋于饱和时，销售速度将趋于极限值，这时，销售速度将开始下降；自然衰减是销售速度的一种性质，商品销售速度的变化率随商品的销售率的增加而减少．设)(t s 为t 时刻商品的销售速度，M 表示销售速度的上限；0>λ为衰减因子常数，即广告作用随时间增加，而自然衰减的速度；)(t A 为t 时刻的广告水平（以费用表示）．建立方程为：⎪⎩⎪⎨⎧=-⎪⎭⎫⎝⎛-⋅⋅=(15) )0((14) )()(1)(0s s t s M t s t A p dtds λ 其中p 为响应函数，即)(t A 对)(t s 的影响力，p 为常数．223由假设知，当销售进行到某个时刻时，无论怎样作广告，都无法阻止销售速度的下降，故选择如下广告策略：⎩⎨⎧>≤≤=ττt t A t A 00)(，其中A 为常数．在[]τ,0时间内，设用于广告的花费为a ，则τaA =，代入（14），有ττλa p s a M p dt ds ⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅++，令τλa M p b ⋅+=； τpac =．则有c bs dtds=+．（16）解（16），得bcke t s bt+=-)( ，（17）其中k 为任意常数．将（15）代入（17），得()bt bt e s e bct s --+-=01)(，（18）当τ>t 时，由)(t A 的表达式，则（14）为s dtdsλ-=．（19）其解为()t e t s t s -=τλ)()(．（20）这样，联合（18）与（20），得到()()⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤+-=---τττττλt e s t e s e bct s btbt )(01)(0．（21）其图形如图8-1．224图8-1上述四个例子中的关系式(1)、（6）、（11）和（14）都含有未知函数的导数，它们都是微分方程．一般地，凡是含有自变量、自变量的未知函数以及未知函数的导数（或微分）的方程，都叫做微分方程．如果微分方程中，自变量的个数只有一个，则称之为常微分方程；自变量的个数为两个或两个以上，则称之为偏微分方程．本章只讨论常微分方程.微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，叫做微分方程的阶．例如方程（6）、（11）和（14）是一阶微分方程；方程（1）是二阶微分方程．一般地，n 阶微分方程的形式是,,(y x F )(,,n y y ')=0 (22)其中2+n F 是个变量的函数．这里必须指出，在方程（22）中，)(n y 必须出现的，而)1(,,,,-'n y y y x 等变量则可以不出现．例如n 阶微分方程01)(=+n y中，除)(n y 外，其他变量都没有出现．如果能从方程（22）中解出最高阶导数，得微分方程),,,,()1()(-'=n n y y y x f y (23)以后我们讨论的微分方程都是这种已解出最高阶导数的方程或能解出最高阶导数的方程，且（23）式右端的函数在所讨论的范围内连续．由前面的例子我们看到，在研究某些实际问题时，首先要建立微分方程，然后找出满足微分方程的函数（解微分方程），就是说，找出这样的函数，把这函数代入微分方程能使该方程成为恒等式．这个函数就叫做该微分方程的解．确切地说，设函数)(x y ϕ=在区间I 上有n 阶连续导数，如果在区间I 上，0)](,),(),(,[)(≡'x x x x F n ϕϕϕ那么函数)(x y ϕ=就叫做微分方程（22）在区间I 的解．由前面的例子，可知函数（4）和（5）都是微分方程（1）的解；函数（9）和（10）都是微分方程（6）的解；函数（13）是微分方程（11）的解；函数（21）是微分方程（14）的解．如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解．例如，函数（9）是微分方程（6）的解，它含有一个任意常数，而方程（6）是一阶的，所以函数（9）是微分方程（6）的通解；函数(4)是方程（1）的解，它含有两个任意常数，而方程（1）是二阶的，所以函数（４）是方程（1）的通解．在利用微分方程求解实际问题时，所得到的含有任意常数的通解因其具有不确定性而不能满足需要，通常还要根据问题的实际背景，加上某些特定的条件，确定通解中的任意常数．用来确定通解中任意常数值的条件叫做初始条件．例1中的条件（2），例2中的条件（7）等,便是初始条件．一般地，设微分方程中的未知函数为)(x y y =，如果微分方程是一阶的，通常用来确定任意常数的初始条件是,00y y x x ==时，或写成 00y yx x ==．225其中0x 、0y 都是给定的值；如果微分方程是二阶的，通常用来确定任意常数的初始条件是：,00y y x x ==时，0y y '='，或写成 00y yx x ==,0y y x x '='=．其中00,y x 和0y '都是给定的值．由初始条件确定了通解中的任意常数的解，就叫做微分方程的特解．例如（5）式是方程（1）满足条件（2）的特解；（10）式是方程（6）满足条件（7）的特解．微分方程的解所对应的几何图形叫做微分方程的积分曲线．通解的几何图形是一族积分曲线，特解所对应的几何图形是一族积分曲线中的一条．第二节变量分离方程从本节开始，我们将在微分方程基本概念的基础上，从求解最简单的微分方程—可分离变量的微分方程入手，从易到难地介绍一些微分方程的解法．形如)()(y x f dxdyϕ= （1）的方程，称为变量分离方程．其中)(x f 和)(y ϕ分别是x 和y 的连续函数．下面说明方程（１）的求解方法．如果0)(≠y ϕ，我们可将方程（１）改写成dx x f y dy)()(=ϕ 这样，变量就“分离”开来了，两边积分，得到方程（1）的通解C dx x f y dy+=⎰⎰)()(ϕ （2）这里我们把积分常数C 明确写出来，而把)(y dy ϕ⎰，dx x f )(⎰分别理解为)(1y ϕ，)(x f 的某一个原函数．如果存在0y ，使0)(0=y ϕ，直接代入方程（1），可知0y y =也是（1）的解．如果它不包含在方程的通解（2）中．必须予以补上．例1 求微分方程xy dxdy2= (3) 的通解．226解方程（3)是变量分离方程，变量分离后得xdx ydy2=，两端积分⎰⎰=xdx y dy2，得 12ln C x y +=，从而 2112x C C x e e e y ±=±=+，因1Ce ±仍是任意常数，把它记作C ，得到2x Ce y =．（4）此外，0=y 显然也是方程（3）的解，如果在（4）中允许0=C ，则0=y 也就包含在（4）中，因此，（3）的通解便是方程（4），其中C 是任意常数．例２解方程0)1(=++dy x xydx ．（5）解变量分离，得 dx x xy dy 1+-=，两边积分，得dx x xy dy 1+-=⎰⎰， ⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+-+-=dx x dx x x y 111111ln ， 1ln 1ln ln C x x y +-=+-， 1ln 1lnC x x y+-=+， x Ce x y-=+1（1C C ±=），故所求方程的通解为x e x C y -+=)1(．（6）此外，0=y 显然也是方程（５）的解，而0=y 包含在（６）中，因此，方程（6）是（5）的通解，其中C 是任意常数．例３解Malthus 人口模型：227rx dtdx=， 0)0(x x =．解变量分离，得rdt xdx=，两边积分，得C rt x ln ln +=，rt Ce t x =)(，因初始条件()00x x =，所以0x c =，故满足初始条件的解为rt e x t x 0)(= ．第三节齐次方程形如)(xydx dy ϕ= （１）的方程，称为齐次方程．这里)(u ϕ是u 的连续函数．例如：0)2()(22=---dy xy x dx y xy ，是齐次方程，因为)(21)(2222xy x yxy xyx y xy dx dy --=--=．下面说明方程（１）的求解方法．作变量变换，令xyu =，（２）即ux y =，于是dxdu x u dx dy +=，（３）将（２）和（３）代入方程（1），则原方程变为)(u dxduxu ϕ=+，即 u u dxdux -=)(ϕ．变量分离，得xdxu u du =-)(ϕ，两边积分，得228⎰⎰=-x dxu u du )(ϕ．求出积分后，再用xy代替u ，便得所给齐次方程的通解．例1 解方程dxdyxydx dy x y =+22．解原方程可写成1)(222-=-=xy x y xxy y dx dy ，因此是齐次方程．令,u xy=则 dxdu x u dx dy ux y +==,，于是原方程变为12-=+u u dx du x u ，即 1-=u u dx du x ．变量分离，得xdx du u =-)11(，两端积分，得x C u u ln ln =+-，或写为 C u xu +=ln ．以xy代入上式中的u ，便得所给方程的通解为 C xyy +=ln ．例2 求解方程y xy dxdyx=+2 )0(<x ．解将方程改写为xy x y dx dy +=2 )0(<x ，这是齐次方程．以u xy =及u dx duu dx dy +=代入，则原方程变为 u dxdux 2=，（4）分离变量，得到xdxudu =2，229两边积分，得到（4）的通解C x u +-=)l n (，即()[]2ln C x u +-=． )0)(l n (>+-C x 这里C 是任意常数．（5）此外，方程（4）还有解 0=u ，注意，此解并不包括在通解（5）中．代回原来的变量，即得原方程的通解[]2)l n (C x x y +-= )0)(l n (>+-C x 及解0=y ．第四节一阶线性微分方程一、一阶线性微分方程形如)()(x Q y x P dxdy=+ （1）的方程，叫做一阶线性微分方程，因为它对于未知函数y 及其导数是一次方程．如果0)(≡x Q 则方程（1）称为齐次的；如果)(x Q 不恒等于零，则方程（1）称为非齐次的．当0)(≡x Q 时，（１）可写成0)(=+y x P dxdy（2）方程（2）叫做对应于非齐次线性方程（1）的齐次线性方程．（2）是变量分离方程，变量分离后得dx x P ydy)(-=，两边积分，得⎰+-=1ln )(ln C dx x P y ，由此得)(,1)(C C Ce y dxx P ±=⎰=- （３）式（３）是所求的齐次线性方程（2）的通解．这里C 是任意常数．下面我们来讨论求非齐次线性方程（1）的通解的方法．不难看出，（2）是（3）的特殊情形，两者既有联系又有差异．因此可以设想它们的解也应该有一定的联系．我们试图利用方程（2）的通解（3）的形式去求出方程（1）的通解．显然，如果（3）中C 恒保持常数，它必不可能是（1）的解．我们设想：在（2）中，将常数C 换成x 的待定函数)(x u ，使它满足方程（１），从而求出)(x u ．该方法称为常数变易法．为此，令⎰=-dx x P ue y )( ，（４）于是 ⎰-⎰'=--dx x P dx x P e x uP e u dxdy)()()(．（５）将（４）和（５）代入方程（1）得230)()()()()()(x Q ue x P e x uP e u dx x P dx x P dx x P =⎰+⎰-⎰'---，即 )()(x Q e u dx x P =⎰'-，⎰='dxx P e x Q u )()(．两边积分，得 ⎰+⎰=C dx e x Q u dxx P )()(．把上式代入（４），便得非齐次线性方程（1）的通解⎪⎭⎫⎝⎛+⎰⎰=⎰-C dx e x Q e y dxx P dx x P )()()(．（６）将（６）式改写成两项之和⎰⎰⎰+⎰=--dx e x Q e Ce y dx x P dx x P dx x P )()()()(．上式右端第一项是对应的齐次线性方程（2）的通解，第二项是非齐次线性方程（1）的一个特解．由此可知，一阶非齐次线性方程通解等于对应的齐次方程的通解与非齐次方程的一个特解之和．例 1 求方程25)1(12+=+-x x y dx dy 的通解．解这是一个一阶非齐次线性方程．先求对应的齐次方程的通解．012=+-y x dx dy ，变量分离，得12+=x dxy dy ，两边积分，得 1ln 1ln 2ln C x y ++=，即 2)1(+=x C y （1C C ±=）．用常数变易法，把()x u C 换成，即令2)1(+=x u y ，（7）那么 )1(2)1(2+++'=x u x u dxdy，代入所给非齐次方程，得21)1(+='x u ．两边积分，得 C x u ++=231(32）．在把上式代入（７）式，即得所求方程的通解为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=C x x y 232)1(32)1(．231例2 求方程1)1()1(++=-+n x x e ny dxdyx 的通解，这里n 为常数．解：将方程改写为 n x x e y x ndx dy )1(1+=+-，（8）首先，求齐线性方程 01=+-y x ndx dy 的通解，从dx x n y dy 1+=得到齐线性方程的通解为 n x C y )1(+=．其次，应用常数变易法求非齐线性方程的通解．为此，在上式中把C 看成为x 的待定函数)(x u ，即n x x u y )1)((+=，（9）微分之，得到)()1()1()(1x u n n x dxx du dx dy n n -+++=．（10）以（9）及（10）代入（8），得到x e dx x du =)(，积分之，求得 C e x u x ~)(+=，因此，以所求的)(x C 代入（9），即得原方程的通解)~()1(C e x y x n ++=．这里C ~是任意常数二、伯努利方程形如n y x Q y x P dxdy)()(=+ )1,0(≠n （11）的方程叫做伯努利方程．当0=n 或1=n 时，这是线性微分方程．当1,0≠≠n n 时，这方程不是线性的，但是通过变量的代换，便可把它化为线性的．事实上，以n y 除方程（10）的两边，得)()(1x Q y x P dxdyyn n=+--．（12）容易看出，上式左端第一项与)(1ny dxd -只差一个常数因子n -1，因此，我们令 n y z -=1，那么dxdy y n dx dz n --=)1(．用)1(n -乘方程（12）的两端，再通过上述变换便得线性方程)()1()()1(x Q n z x P n dxdz-=-+．232求出这方程的通解后，以z y n 代-1，便可得到伯努利方程（11）的通解．此外，当0>n 时，方程还有解0=y ．例3 求方程2)(ln y x a xydx dy =+，的通解．解以2y 除方程的两边，得x a y xdx dy y ln 112=+--．即 x a y xdx y d ln 1)(11=+---．令1-=y z ，则上述方程成为x a z xdx dz ln 1-=-，这是一个线性方程，它的通解为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=2)(ln 2x a C x z ．以1-y 代z ，故得所求方程的通解为1)(ln 22=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-x a C yx ．此外，方程还有解0=y ．在上节中，对于齐次方程⎪⎭⎫⎝⎛='x y y ϕ，我们通过变量变换xu y =，把它化为变量可分离的方程，然后分离变量，经积分求得通解．在本节中，对于一阶非齐次线性方程)()(x Q y x P y =+'，我们通过解对应的齐次线性方程找到变量变换⎰=-dxx P ue y )(，利用这一代换，把非齐次线性方程化为变量可分离的方程，然后经积分求得通解．对于伯努利方程n y x Q y x P y )()(=+'，我们通过变量变换z yn=-1，把它化为线性方程，然后按线性方程的解法求得通解，可见，以上方程都是通过变量变换化为可求解方程来求解的，该方法适合很多特殊方程求解．233第五节可降阶的高阶微分方程从这一节起，我们讨论二阶及二阶以上的微分方程，即所谓的高阶微分方程，对于有些高阶微分方程，我们可以通过变量变换将它化成较低阶的方程来求解．下面以二阶微分方程为例来介绍：二阶微分方程的一般形式为0),,,(='''y y y x F或者),,(y y x f y '=''一般来说，二阶微分方程要比一阶微分方程的求解复杂一些．但是对于某些二阶微分方程来说，如果我们能设法作变量代换把它从二阶降至一阶，那么就有可能应用前面几节中所讲的方法来求出它的解了．下面介绍三种容易降阶的二阶微分方程的求解方法．一、()x f y =''型的微分方程形如)(x f y ='' （１）的方程，右端仅含有自变量x ．两端同时积分一次，就化为一阶方程1)(C dx x f y +='⎰再积分一次，得到通解21])([C dx C dx x f y ++=⎰⎰一般地对())(x f y n =求解，只需对方程两端积分n 次．例1 求解方程x e x y -+=''2s i n ．解对所给的方程连续积分两次，得12cos 21C e x y x +--='-， 212sin 41C x C e x y x +++-=-所求的通解为212s i n 41C x C e x y x +++-=-．例2 求微分方程x ey xc o s 2-='''．的通解．解对所给方程连续积分三次，得C x e y x+-=''sin 212， 22cos 41C Cx x e y x+++='，23432212sin 81C x C x C x e y x ++++= ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21C C ．所求的通解为32212sin 81C x C x C x e y x ++++=．二、),(y x f y '=''型的微分方程形如),(y x f y '='' （２）的方程，右端不显含未知函数y ．这时，只要令,p y ='那么p dxdpy '=='' 而方程（２）就化为),(p x f p ='．这是一个关于变量p x 、的一阶微分方程，再按一阶方程求解．设其通解为),(1C x p ϕ=．但是dxdyp =，因此又得到一个一阶微分方程 ),(1C x dxdyϕ=．对它进行积分，便得方程（２）的通解为⎰+=21),(C dx C x y ϕ．例3 求微分方程y x y x '=''+2)1(2，满足初始条件,10==x y 30='=x y的特解．解所给方程是),(y x f y '=''型的．令,p y ='代入方程并分离变量后，有dx x x p dp 212+=．两边积分，得C x p ++=)1ln(ln 2,235即 )1(21x C y p +='=． ()C e C ±=1 由条件30='=x y ，得31=C ，所以 )1(32x y +='．两边再积分得 233C x x y ++=．又由条件,10==x y 得12=C ，于是所求的特解为133++=x x y ．三、),(y y f y '=''型的微分方程形如),(y y f y '='' (３)的方程，其中不明显地含自变量x ．这时，只要令p y ='，并利用复合函数的求导法则把y ''化为对y 的导数，即dydppdx dy dy dp dx dp y =⋅=='' 这样方程(３)就成为),(p y f dydpp=．这是一个关于变量p y ,的一阶微分方程，再按一阶微分方程求解．设它的通解为 ),(1C y p y ϕ=='，分离变量并积分，便得方程（３）的通解为⎰+=21),(C x C y dyϕ．例4 求微分方程02='-''y y y的通解．解所给方程是),(y y f y '=''型的．令 p y ='，则236dydp p y =''，代入原方程，得02=-p dydpyp．在0≠y 、0≠p 时，约去p 并分离变量，得ydyp dp =．两边积分，得C y p +=ln ln ，即 y C p 1=，或y C y 1'= )(1C e C ±=．再分离变量并两端积分，便得所求方程的通解为2'1ln C x C y +=，或ｘＣ１e C y 2= )２＇＝（２C e C ±．第六节二阶线性微分方程一、二阶常系数齐次线性微分方程二阶齐次线性微分方程的形式为0)()(=+'+''y x Q y x P y ．（1）如果)()(x Q x P y y 、的系数、'均为常数，则（1）式为0=+'+''qy y p y ，（2）其中q p 、是常数，则称（2）为二阶常系数齐次线性微分方程．如果q p 、不全为常数，称（1）为二阶变系数齐次线性微分方程．下面我们主要研究二阶常系数齐次线性微分方程的解法．关于方程（２），我们不加证明地给出二阶常系数齐次线性微分方程的有关定理：定理1 （解的叠加定理）如果21y y 、是方程（２）的两个解，那么2211y C y C y +=也是（2）的解，其中21,C C 是任意常数．237定理2 如果21y y 、是方程（２）的两个不成比例的特解（即常数≡/21y y ），则2211y C y C y +=就是方程（２）的通解，其中21,C C 是任意常数．在这里我们之所以要求21,y y 不成比例，是因为如果有21Cy y =，那么就可推出()2212211y C C C y C y C y +=+=，即通解2211y C y C y +=中的两个任意常数变成一个．根据定理2，要求（２）的通解，只要设法先求出它的两个解21,y y ，且常数≡/21y y ，则2211y C y C y +=就是方程（２）的通解．仔细观察方程（2）可知，它的解应该具有各阶导数都只相差一个常数因子的性质，因此我们推测方程（2）的解是指数函数．取rx e y =（r 为常数），选取适当的r ，使它满足方程（２），则rx e y =就是方程（2）的解．将rx e y =代入方程（2），得到0)(2=++rx e q pr r ．由于0≠rxe，所以02=++q pr r ．（3）由此可见，只要r 满足代数方程（3），函数rx e y =就是微分方程（2）的解．我们把代数方程（3）叫做微分方程（2）的特征方程．特征方程（3）是一个二次代数方程，其中r r 、2的系数及常数项恰好依次是微分方程（2）中y y '''、及y 的系数．特征方程（3）的两个根21r r 、可以用公式2422,1qp p r -±-=求出．它们有三种不同的形式：（i ）当042>-q p 时，21,r r 是两个不相等的实根：2421q p p r -+-=，2422q p p r ---=（ii ）当042=-q p 时，21,r r 是两个相等的实根：221pr r -==238（iii ）当042<-q p 时，21,r r 是一对共轭复根：,1βαi r += ,2βαi r -=其中 ,2p-=α 242p q -=β．相应地，微分方程（2）的通解也就有三种不同的情形．分别讨论如下：（ⅰ）特征方程有两个不相等的实根：21r r ≠．微分方程（2）有两个解x r x r e y e y 2121==、，并且12y y 不是常数，因此微分方程（2）的通解为 x r x r e C e C y 2121+=．（ⅱ）特征方程有两个相等的实根：21r r =．这时，微分方程（2）有一个解.11x r e y =下面求出微分方程（2）的另一个解2y ，并且要求12y y 不是常数．设)(12x u y y =，)(12x u e y x r =即，代入微分方程（2），可得 0)(=''x u因为这里只要得到一个不为常数的解，所以不妨选取x u =，由此得到微分方程（2）的另一个解.21x r xe y =从而微分方程（2）的通解为x r x r xe C e C y 1121+=即 ()xr e x C C y 121+=（ⅲ）特征方程有一对共轭复根：)0(,21≠-=+=ββαβαi r i r ．这时，微分方程（2）有两个解()()x i xi e y ey βαβα-+==21, ，并且12y y 不是常数．但它们是复值函数形式．为了得出实值函数形式，我们先利用欧拉公式θθθsin cos i ei +=，21,y y 把改写为()),sin (cos 1x i x e e e e y x x i x x i ββαβαβα+=⋅==+ ())sin (cos 2x i x e e e e y x x i x x i ββαβαβα-=⋅==--．239由于复值函数21y y 与之间成共轭关系，因此，取它们的和除以2就得到它们的实部；取它们的差除以2i 就得到它们的虚部．根据方程（2）有关解的定理，所以实值函数,cos )(21211x e y y y x βα=+=x e y y i y x βαsin )(21212=-=还是微分方程（2）的解，且x xe xe y y x x βββααcot sin cos 21==不是常数，所以微分方程（2）的通解为)sin cos (21x C x C e y x ββα+=．综上所述，求二阶常系数齐次线性微分方程0=+'+''qy y p y ，的通解的步骤如下：第一步写出微分方程（2）的特征方程02=++q pr r ．第二步求出特征方程（3）的两个根21,r r ．第三步根据特征方程（3）的两个根的不同情形，按照下列表格写出微分方程（2）的通解：例1 求微分方程032=-'-''y y y 的通解．解所给微分方程的特征方程为0322=--r r ，其根3,121=-=r r 是两个不相等的实根，因此所求通解为x x e C e C y 321+=-．例2 求方程0222=++s dt dsdts d 满足初始条件2400-='===t t s s 、的特解．解所给微分方程的特征方程为2400122=++r r ，其根121-==r r 是两个相等的实根，因此所求微分方程的通解为t e t C C s -+=)(21，将初始条件2400-='===t t s s、代入通解，得41=C ，22=C于是所求特解为t e t s -+=)24(．例３求微分方程052=+'-''y y y 的通解．解所给方程的特征方程为,0522=+-r r其根i r 212,1±=为一对共轭复根．因此所求通解为)2sin 2cos (21x C x C e y x +=．二、二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式是),(x f qy y p y =+'+'' （4）其中q p 、是常数，0)(≠x f ．当0)(=x f 时，（4）可写为0=+'+''qy y p y ．（5）叫作方程（4）对应的二阶常系数齐次线性微分方程．关于方程（4）的通解，我们不加证明地给出如下定理：定理3 如果*y 是方程（4）的一个特解，Y 是方程（4）对应的齐次方程（5）的通解，则方程（4）的通解为*+=y Y y ．由上述定理3可知，求二阶常系数非齐次线性微分方程（4）的通解，归结为求对应的齐次线性方程（5）的通解和非齐次方程（4）本身的一个特解．由于二阶常系数齐次线性微分方程的通解的求法已得到解决，所以这里只需讨论求二阶常系数非齐次线性微分方程的一个特解*y 的方法．本节介绍当方程（4）中的()x f 取两种常见形式时求*y 的方法．这种方法的特点是不用积分就可以求出*y 来，这种方法叫做待定系数法．)(x f 的两种形式是241（1）x m e x P x f λ)()(=，其中λ是常数，)(x P m 是x 的一个m 次多项式：m m m m m a x a x a x a x P ++⋅⋅⋅++=--1110)(．（2）]sin )(cos )([)(x x P x x P e x f n l x ωωλ+=，其中ωλ、是常数，)()(x P x P n l 、分别是x 的l 次、n 次多项式，其中有一个可为零．下面分别介绍)(x f 为上述两种形式时*y 的求法．1．)()(x P e x f m x λ=型我们知道，方程（4）的特解*y 是使（4）成为恒等式的函数．怎样的函数能使（4）成为恒等式呢？因为（4）式右端)(x f 是多项式)(x P m 与指数函数x e λ的乘积，而多项式与指数函数乘积的导数仍然是同一类型，因此，我们推测x e x Q y λ)(=*(其中)(x Q 是某个多项式)可能是方程（4）的特解．把"'***y y y 及、代入方程（4），然后考虑能否选取适当的多项式)(x Q ，使x e x Q y λ)(=*满足方程（4）．为此将,)(x e x Q y λ=*[])()(x Q x Q e yx '+='*λλ， [])()(2)(2x Q x Q x Q e yx ''+'+="*λλλ 代入方程（4）并消去x e λ，得 )()()()()2()(2x P x Q q p x Q p x Q m =+++'++''λλλ．（6）推导可知如下结论：如果x m e x P x f λ)()(=，则二阶常系数非齐次线性微分方程（4）具有形如x m k e x Q x y λ)(=* （7）的特解，其中)(x Q m 是与)(x P m 同次m (次）的多项式，而k 按λ不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取为10、或2．上述结论可推广到n 阶常系数非齐次线性微分方程，但要注意（7）式中的k 是特征方程含根λ的重复次数（即若λ不是特征方程的根，k 取为0；若λ是特征方程的s 重根，k 取为s ）．例1 求微分方程1332+=-'-''x y y y 的一个特解．解这是二阶常系数非齐次线性微分方程，且函数)(x f 是x m e x P λ)(型（其中0,13)(=+=λx x P m ）．与所给原方程对应的齐次线性微分方程为032=-'-''y y y ,242它的特征方程为0322=--r r ．有两个实根3,121=-=r r ，由于这里0=λ不是特征方程的根，所以应设特解为10b x b y +=*．把它代入原方程，得13323100+=---x b b x b ,比较两端x 同次幂的系数，得⎩⎨⎧=--=-13233100b b b 由此求得31,110=-=b b ．于是求得一个特解为 31+-=*x y ．例2 求微分方程x xe y y y 265=+'-''的通解．解所给方程也是二阶常系数非齐次线性微分方程，且型是x m e x P x f λ)()(（其中）2,)(==λx x P m ．与所给原方程对应的齐次线性微分方程为065=+'-''y y y ，它的特征方程为0652=+-r r ，有两个实根3,221==r r ，于是与所给方程对应的齐次方程的通解为x x e C e C Y 3221+=．由于2=λ是特征方程的单根，所以应设*y 为x e b x b x y 210)(+=*，把它代入所给原方程，得x b b x b =-+-10022，比较等式两端同次幂的系数，得⎩⎨⎧=-=-0212100b b b ，解得1,2110-=-=b b ．因此求得一个特解为243x e x x y 2)121(--=*．从而所求的通解为 x x x e x x e C e C y 223221)2(21+-+=． 2．[]x x P x x P e x f n l x ωωλsin )(cos )()(+=型应用欧拉公式和方程（4）有关解的定理，不加证明地可得如下结论：如果[]x x P x x P e x f n l x ωωλsin )(cos )()(+=，则二阶常系数非齐次线性微分方程（4）的特解可设为]s i n c o s )([)2()1(x R x x R e x y m m x k ωωλ+=* （8）其中)(),()2()1(x R x R m m 是m 次多项式，},max{n l m =，而ωλi k +按（或ωλi -）不是特征方程的根、或是特征方程的单根依次取为10或．上述结论可推广到n 阶常系数非齐次线性微分方程，但要注意（8）式中的k 是特征方程中含根ωλi +（或ωλi -）的重复次数．例3 求微分方程x x y y 2cos =+''的一个特解．解所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程，且属于[]x x P x x P e x f n l x ωωλsin )(cos )()(+=型（其中0)(,)(,2,0====x P x x P n l ωλ）．与所给方程对应的齐次方程为0=+''y y ，它的特征方程为012=+r ，有两个复根i r i r -==21,，由于这里i i 2=+ωλ不是特征方程的根，所以应设特解为x d cx x b ax y 2sin )(2cos )(+++=*．把它代入所给方程，得x x x a d cx x c b ax 2cos 2sin )433(2cos )433=++-+--（．比较两端同类项的系数，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=-=+-=-0430304313a d c c b a ，由此解得 94,0,0,31===-=d c b a ．于是求得原方程的一个特解为244 x x x y 2sin 942cos 31+-=*．以上我们主要介绍了二阶线性微分方程的解法，该方法可以推广到高阶线性微分方程．。

“微积分”在经济中的一些应用举例

“微积分”在经济中的一些应用举例◎李萍【摘要】【摘要】现如今，微积分已经被应用于各个学科之中，特别是在经济学中.下面列举微积分在经济中的一些应用：(1)导数在边际和弹性理论中的应用；(2)导数在利润最大化问题中的应用；(3)积分在利润最大化问题中的应用；(4)微分方程在经济中的应用.【期刊名称】数学学习与研究：教研版【年(卷),期】2016(000)017【总页数】2【关键词】【关键词】微积分；经济；应用数学是各个学科得以发展的基础，也是各个学科进行理性、抽象和科学分析问题的重要工具.由于数学高度的抽象性、严谨的逻辑性，造成学生学习的困难.久而久之，就产生了“学数学有什么用”的困惑，所以有必要经过训练和熏陶，使他们建立学习数学的兴趣，树立学习数学的信心[1].微积分是高等数学的一个重要分支，是进行数学分析的重要基础理论.现如今，微积分已经被应用于各个学科之中，特别是在经济学中，微积分思想的引入给经济问题的分析和解决带来了诸多便利.一、导数在边际和弹性理论中的应用1.函数变化率——边际函数设函数y=f(x)可导，则导函数f′(x)称为边际函数，它的含义是：当x=x0时，当自变量x产生一个单位的改变时，y近似改变f′(x0)个单位.在西方经济学中，有边际成本、边际收入、边际利润等.例1 设某产品成本函数C=C(Q)(C为总成本，Q为产量)，其变化率C′=C′(Q)称为边际成本，C′(Q0)称为当产量为Q0时的边际成本.西方经济学家对它的解释是：当产量达到为Q0时，生产Q0前最后一个单位产品所增添的成本.例2 设销售某种商品Q单位时的总收入函数为R=R(Q)，则R′=R′(Q)称为销售量为Q单位时的边际收入.其经济含义是：在销售量为Q单位时，再增加一单位产品销售总收入所增量.例3 设销售某种商品Q单位时的利润函数为L=L(Q)，则L′=L′(Q)称为销售量为Q单位时的边际利润.2.导数与弹性函数我们先来看一个例子：经济学中常需研究一个变量对另一个变量的相对变化情况,因此先引入下面定义：定义1[2] 设函数y=f(x)可导,函数的相对改变量与自变量的相对改变量之比,称为函数f(x)从x到x+Δx两点间的弹性(或相对变化率).而极限称为函数f(x)在点x的弹性(或相对变化率),记为.注:函数f(x)在点x的弹性反映随x的变化f(x)变化幅度的大小,即f(x)对x变化反映的强烈程度或灵敏度.数值上,f(x)表示f(x)在点x处,当x产生1%的改变时,函数f(x)近似地改变f(x)%,在应用问题中解释弹性的具体意义时,通常略去“近似”二字.定义2[2] 设需求函数Q=f(P),这里P表示产品的价格，于是,可具体定义该产品在价格为P时的需求弹性如下:.注:一般地,需求函数是单调减少函数,需求量随价格的提高而减少(当ΔP>0时,ΔQ<0),故需求弹性一般是负值,它反映产品需求量对价格变动反映的强烈程度(灵敏度).用需求弹性分析总收益的变化：总收益R是商品价格P与销售量Q的乘积,即R=P·Q=P·Q(P),由=Q(p)(1+η)=Q(p)(1-|η|).知：(1)若|η|<1,需求变动的幅度小于价格变动的幅度.R′>0,R递增.即价格上涨,总收益增加;价格下跌,总收益减少.(2)若|η|>1,需求变动的幅度大于价格变动的幅度.R′<0,R递减.即价格上涨,总收益减少;价格下跌,总收益增加.(3)若|η|=1,需求变动的幅度等于价格变动的幅度.R′=0,R取得最大值.综上所述,总收益的变化受需求弹性的制约,随商品需求弹性的变化而变化.二、导数在利润最大化问题中的应用在微分学中，通过对已知的函数进行求导后，就可以得到原函数的导数，即边际函数.而在经济学之中，边际概念通常表示经济变量的变化率.在经济领域中，企业家经常会遇到如何才能使产品成本最低化、利润最大等问题.这些问题都可以转化为最大值和最小值进而用微积分的方法来解决.例4 一个企业的总收益函数是R=4000Q-33Q2，总成本函数是C=2Q3-3Q2+400Q+500，求最大利润L.解利润函数为L=R-C=4000Q-33Q2-(2Q3-3Q2+400Q+500)=-2Q3-30Q2+3600Q-500.对L求一阶导数，并令其等于零，即L′=-6Q2-60Q+3600=-6(Q+30)(Q-20)=0.得驻点为Q1=20,Q2=-30(舍去).对L求二阶导数，L″=-12Q-60，L″(20)=-12×20-60=-300<0，所以当Q=20时，利润有最大值，其值为L(20)=-2×(20)3-30×(20)2+3600×20-500=43500.故当产量为20时，利润最大为43500.三、积分在利润最大化问题中的应用例5 设某种商品明天生产x单位时固定成本为20元，边际成本函数为C′(x)=0.4x+2(元/单位)，求总成本函数C(x).如果这种商品规定的销售单价为18元，且产品可以全部售出，求总利润函数L(x)，并问每天生产多少单位时才能获得最大利润.解因为变上线的定积分是被积函数的一个原函数，因此可变成本就是边际成本函数在[0,x]上的定积分，又已知固定成本为20元，即C(0)=20，所以每天生产x多少单位时总成本函数为.设销售x单位商品得到的总收益为R(x)，根据题意有R(x)=18x,所以总利润函数L(x)=R(x)-C(x)=18x-(0.2x2+2x+20)=-0.2x2+16x-20.由L′(x)=-0.4x+16=0，得x=40，而L″(40)=-0.4<0，所以每天生产40单位时才能获最大利润，最大利润为L(40)=300(元).四、微分方程在经济中的应用例6 某商品的需求量Q对价格P的弹性为-Pln3，已知该商品的最大需求量为1200(即当P=0时，Q=1200)，求需求量Q对价格P的函数关系.解根据弹性公式得，，化简得，两边积分得.Q=e-Pln3+C1=eln3-P+C1=eC1eln3-P=eC13-P=C3-P.其中，C=eC1，由初始条件P=0时，Q=1200，得C=1200，所以，需求量Q对价格P的函数关系Q=1200×3-P.结语在当今学科交叉研究越来越深入的趋势下，微积分思想与经济学的研究也更加紧密地结合了起来，通过本文可以看出，利用微积分知识可以简捷、方便地解决许多经济问题.希望通过本文的研究能够帮助人们了解微积分思想在经济中的重要作用.【参考文献】[1]张柳霞，朱志辉，方小萍.数学建模思想在高等数学教学改革中的作用[J].中华女子学院学报，2011(3)：124-128.[2]曾令武,刘晓燕.经济应用数学简明教程[M].广州：华南理工大学出版社，2012:67-74.。

常微分方程应用举例

常微分方程应用举例摘要根据几何学和其他学科的实际问题及相关知识建立微分方程。

讨论该方程的性质，并由所得解或解的性质反过来解释该实际过程，关键词：常微分方程，导数，解题，方法。

1，引言：微分方程是数学学科联系实际的主要桥梁之一，是数学专业的一门重要基础课，也是理，工科高等数学的重要组成部分。

在自然科学和技术科学的其他领域中，例如化学，生物，物理学，自动控制，电子技术等等，都提出了大量的微分方程问题。

同样在社会科学的一些领域里也存在着微分方程的问题，因此社会的生产实践是常微分方程理论的取之不尽的基本源泉。

此外，常微分方程与数学的其他分支的关系也是非常密切的，它们往往互相联系，互相促进。

例如几何学就是常微分方程理论的丰富的源泉之一和有力工具。

考虑到常微分方程是一门与实际联系比较密切的数学课程，我们自然应该注意它的实际背景与应用。

2：在其他学科应用的方面有些完全无关的，本质上不同的物理现象有时可以由同类型的微分方程来描述。

例如，反映物体冷却过程的方程。

dy=﹣k(u-ｕa)dx和反映R-L电路中电流变化规律的方程。

dI dt＋ＲI L =E L都可以写成dydt＋K ²y=B 这里K,B 是常数，而R-L-C 电路的方程22d I dt+R L dI dt +I LC =1()de t L dt和数学摆的强迫微小振动的方22d dtϕ+m μd dt ϕ+g l ϕ=1ml F(t)都具有同一形式：22d Idt +bdydt+cy=f(t) 这里b,c 是常数，又L-C 电路方程22d dtϕ+ILC =0和阻力系数u=0的数学摆的自由微小振动方程22d dtϕ+gl ϕ=0属于同样的数学模型22d ydt+2k y=0这里k 是常数。

不同的物理现象可以具有相同的数学模型这一事实，正是现代许多应用数学工作者和工程人员应用模拟方法解决物理或工程问题的理论根据。

应用常微分方程解决实际问题，一般有三个步骤：（1）建立微分方程。

8-5微分方程应用举例

§8-5 微分方程应用举例在前面几节，已经举了一些力学、运动学方面应用微分方程的实例，本节将再集中学习几个在其他方面的应用实例，说明微分方程在许多实际领域中都有着广泛的应用．应用微分方程解决实际问题通常按下列步骤进行：(1)建立模型：分析实际问题，建立微分方程，确定初始条件；(2)求解方程：求出所列微分方程的通解，并根据初始条件确定出符合实际情况的特解； (3)解释问题：从微分方程的解，解释、分析实际问题，预计变化趋势．例1 有一个30⨯30⨯12(m 3)的车间，空气中CO 2的容积浓度为0.12%．为降低CO 2的含量，用一台风量为1500(m 3/min )的进风鼓风机通入CO 2浓度为0.04%的新鲜空气，假定通入的新鲜空气与车间内原有空气能很快混合均匀，用另一台风量为1500(m 3/min )的排风鼓风机排出，问两台鼓风机同时开动10min 后，车间中CO 2的容积浓度为多少？解车间体积为10800m 3．设鼓风机开动t （min ）后，车间空气中CO 2的含量为x =x (t )，那么容积浓度为10800x．记在t 到t +dt 这段时间内，车间CO 2含量的改变量为dx ，则 dx =该时间段内CO 2通入量-该时间段内CO 2排出量=单位时间进风量⨯进风CO 2的浓度⨯时间-单位时间排风量⨯排风CO 2浓度⨯时间 =1500⨯0.04%⨯dt -1500⨯10800x⨯dt ，于是有dtdx=1500⨯0.04% -1500⨯10800x即dt dx =365(4.32-x ) 初始条件x (0)=10800⨯0.12%=12.96．方程为可分离变量的方程，其通解为 x (t )=4.32+C t e365-．将初始条件代入上式，得C =8.64．于是在t 时刻车间内空气中CO 2的含量为 x (t )=4.32(1+2t e365-)．所以鼓风机打开10min 后，车间中CO 2浓度为1080047.610800)10(=x =0.06%．例2 (马尔萨斯人口方程)英国人口学家马尔萨斯在1798年提出了人口指数增长模型：人口的增长率与当时的人口总数成正比．若已知t =t 0时人口总数为x 0，试根据马尔萨斯模型，确定时间t 与人口总数x (t )之间的函数关系．据我国有关人口统计的资料数据，1990年我国人口总数为11.6亿，在以后的8年中，年人口平均增长率为14.8‰，假定年增长率一直保持不变，试用马尔萨斯方程预测2005年我国的人口总数．解记t 时的人口总数为x =x (t )，则人口的增长率为dtdx，据人口指数增长模型为dtdx=rx (t ),(r 为比例系数，即马尔萨斯增长指数) (1) 并附初始条件：x (t 0)=x ．方程是可分离变量方程，易得它的通解为x =C e rt ．将初始条件x (t 0)=0x 代入，得C =x 00rt e -．于是时间t 与人口总数x (t )之间的函数关系为x (t )=x 0)(0t t r e -．将t =2005, t 0= 1990, x 0=11.6, r =0.0148代入，可预测出2005年我国的人口总数为 x |t =2005=11.6e 0.0148⨯(2005-1990) ≈14.5(亿)．例3 有一由电阻、电感串接而成的电路,如图8-6所示，其中电源电动势E =E 0sin ωt ,(E 0,ω为常量），电阻R 和电感L 为常量，在t =0时合上开关S ，其时电流为零，求此电路中电流i 与时间t 的函数关系．解由电学知识，电感L 上的感应电动势为Ldtdi，根据回路电压定律，有 E =R i+Ldtdi ，即LE i L Rdt di 0=+sin ωt ， (1) 初始条件为i (0)=0．方程是一阶非齐次线性微分方程，它的通解为 i (t )=C t LR e-+2220LR E ω+ (R sin ωt -ωL cos ωt )．将初始条件i (0)=0代入上式，得C =2220LR LE ωω+．于是所求电流为 i (t )=2220L R E ω+(ωL t LR e-+ R sin ωt -ωL cos ωt ), (t ≥0)．例4 轻质油料滴入静水中后会迅速扩散，在水面形成一层圆形油膜．设油膜半径的增加速度与油膜厚度成正比，滴入油料的体积为V 0，油料在水中扩散过程中的形状近似看做圆柱体，初始t =0时圆柱高度为h 0，求油膜半径与时间t 的关系．解设圆柱体油料半径r =r (t )，厚度h =h (t )，则在任何时刻t 有 πr 2(t )⋅h (t )=V 0． (1) 两边对t 求导，得 2πr (t )dt dr h (t )+πr 2(t )dtdh =0，据油膜半径的增加速度与油膜厚度成正比,)(t kh dtdr=,得图8-6LS图8-72kh 2(t )+)(0t h V πdt dh =0，即 dt dh =-2k 25h V π(t )．分离变量后成为 )(25t h-dh =-2kV πdt ，两边积分得31)(23t h -=k 0V πt +C ，或h (t )=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+C t V k 0(31π．代入(1)，得 r （t ）=31003⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅C t V k V ππ （2）由初始条件πr 2(0)h (0)=πr 2(0)h 0=V 0，得r (0)=00h V π；代入(2)得C =23)3(10kh ．回代到(2)，最终得油膜半径与时间t 的关系为 r (t )= 312300])(3[h V t kV ππ+．例5 一边长为3m 的立方体形状的木材浮于水面上处于平衡位置，然后向水里按下x 0(m )后松手，物体会在上面上下沉浮振动(图8-8)．已知振动的周期为2s ，水的密度为1，试求物体的质量及物体沉浮振动的规律．解设物体的质量为m ，物体在时刻t 相对于平衡位置的位移为x ，振动规律为x =x (t )．因为x 是相对于平衡位置的位移，物体所受重力已经被抵消，故物体在振动过程中只要考虑浮力的作用．假设x 以向下为正向．由阿基米德原理，当物体位移为x 时所受浮力F (x )与x 的符号相反，大小为：F (x )=-3⨯3⨯x ⨯1000g=-9000x g, (g=9.8m/s 2为重力加速度)．由牛顿第二定律得 m22dt x d =-9000g x ，即 m 22dtxd +9000g x =0 这是一个二阶常系数齐次方程，满足初始条件x (0)=x 0, x '(0)=0．其特征方程为r 2+m9000=0，特征根为r 1,2=±m g 9000i ，通解为x (t )=C 1cosm g 9000t +C 2sin mg9000t ．图8-8由周期T =mg 90002π=2，解得π=m g 9000，m =29000πg ≈8937(kg)．所以x (t )=C 1cos πt +C 2sin πt ．由初始条件，得C 1=x (0)=x 0，C 2=π)0(x '=0，所以物体的位移规律为x (t )=x 0cos πt ．例6 在例3的电路上，若再串接一个的电容C ，且R 2-CL4<0, (电路中电阻较小或电容较小)．求合上开关后电路上电流的变化的一般形式．解以Q (t )表示电路上流动的电量，则由电学知识，电容两端的电动势为E C =C 1Q ；电感两端的电动势E L = L dt di= L 22dtQ d ；电阻两端的电动势E R =Ri =RdtdQ．据回路电压定律，有 L 22dt Q d + R dt dQ +C 1Q=E 0sin ωt ，或22dt Q d +L R dt dQ +CL1Q =L E 0sin ωt ， (3) 方程(3)是二阶线性常系数的，对应的特征方程为 r 2+L R r +CL 1=0，特征根r 1 =L 21(-R -C L R 42-), r 2=L21(-R +C L R 42-)．因为R 2-CL4<0，所以(3)对应的齐次方程的通解为 Q *(t )=tL R e2-(C 1sin2)2(1L R CL -t +C 2cos 2)2(1LR CL -t )．设Q **(t )为(3)的一个特解，据公式可得 Q **(t )=t r e 1⎰⎰--⋅dt dt e t LE e t r t r r ]sin [2120)(ω．应用积分公式Cbx b bx a b a e bxdx e axax+-+=⎰)cos sin (sin 22C bx a bx b b a e bxdx eaxax+++=⎰)cos sin (cos 22，可得 Q **(t )=-)(2220r L E +ωtr e 1⎰+-dt t t r e t r )cos sin ([21ωωω =-))((212222r r L E ++ωω[r 2(-r 1sin ωt -ωcos ωt )+ω(ωsin ωt -r 1cos ωt )]图8-7=-))((2122220r r L E ++ωω[(ω2-r 1r 2)sin ωt -ω(r 1+r 2)cos ωt ] =-))((2122220r r L E ++ωω[(ω2-CL 1)sin ωt +ωLRcos ωt ] =-])()[(22120L R CL L E ωω+-[(ω2-CL 1)sin ωt +L R ωcos ωt ] 即 Q **(t )=-21])()[(2212LR CLL E ωω+-sin (ωt +ϕ), tan ϕ=CLLR12-ωω． (4)所以方程(3)的通解为 Q (t )=tL R e 2-(C 1sin2)2(1L R CL -t +C 2cos 2)2(1LR CL -t ) -21])()[(2212LR CLL E ωω+-sin (ωt +ϕ)．根据i =dtdQ，即得电路上电流变化的一般形式为 i (t )= tL R e 2-(23)2(1sinLR CL C - +C 4cos 2)2(1L R CL -t )-21])()[(22120L R CL L E ωωω+-cos (ωt +ϕ)，其中ϕ由(3)确定．且21242213)2(12,)2(12LRCL C L RC C L R CL C L RC C -+-=---= 习题8-51. 一曲线过点(1,1)，且曲线上任意点M (x ,y )处的切线与过原点的直线OM 垂直，求此曲线方程．2. 设质量为m 的降落伞从飞机上下落后，所受空气阻力与速度成正比，并设降落伞离开飞机时(t =0)速度为零．求降落伞下落的速度与时间的函数关系．3. 设火车在平直的轨道上以16m/s 的速度行驶．当司机发现前方约200m 处铁轨上有异物时，立即以加速度-0.8m/s 2制动(刹车)．试问： (1)自刹车后需经多长时间火车才能停车？ (2)自开始刹车到停车，火车行驶了多少路程？4 太阳能热水器加热水时，在某时间段水温度升高的速度与水温成反比．现设某型号的太阳能热水器的比例系数为0.1．试求把水从10︒C 加热到80︒C 需要多少时间？ 5. 如图是一个由电阻R ，电容C 及直流电源E 串联而成的电路．当开关S 闭合时，电路中有电流i 通过，电容器逐渐充电，电容器的电压U C 逐渐升高，求电容器上电压U C 随时间t 变化的规律．(提示：由电学知识知，U C =CQ，于是有i =dtdQ，再利用回路定律E =U C +Ri ．)。

§8-5--微分方程应用举例

常微分方程的常见解法

第6章-微分方程

WJF8-5线性微分方程的性质与解的结构

常微分方程的求解

常微分方程的常见解法

5-8-用常微分方程求解实际问题

微分方程建模 个例

常微分方程及其应用

(整理)微分方程的例题分析及解法

经济数学第8章 常微分方程

微分方程1

微分方程数学模型应用举例

2.6微分方程应用举例

理论力学哈工大第八版答案

(整理)微分方程的例题分析与解法

第八章微分方程本章主要通过几个具体的例子，说明微分方程的应用问题

“微积分”在经济中的一些应用举例

常微分方程应用举例

8-5微分方程应用举例

微分方程建模个例

经济数学第8章常微分方程