初中最基本的尺规作图总结_1628671026
初中最基本的尺规作图总结
尺规作图一、熟练掌握尺规作图题的规范语言用直尺作图的几何语言：1. ①过点×、点×作直线××；或作直线××；或作射线××；②连结两点××；或连结××；③延长××到点×；或延长（反向延长）××到点×，使××＝××；或延长××交××于点×；用圆规作图的几何语言：2. ①在××上截取××＝××；；②以点×为圆心，××的长为半径作圆（或弧）③以点×为圆心，××的长为半径作弧，交××于点×；.④分别以点×、点×为圆心，以××、××的长为半径作弧，两弧相交于点×、×三、了解尺规作图题的一般步骤尺规作图题的步骤：当作图是文字语言叙述时，要学会根据文字语言用数学语言写出题目中的条件；1.已知：2.求作：能根据题目写出要求作出的图形及此图形应满足的条件；一般要保留作图当不要求写作法时，作法：能根据作图的过程写出每一步的操作过程.3.对于较复杂的作图，可先画出草图，使它同所要作的图大致相同，然后借助草图寻找.痕迹.作法在目前，我们只要能够写出已知，求作，作法三步（另外还有第四步证明）就可以了，可见在解作图题不需要写出作法，而且在许多中考作图题中，又往往只要求保留作图痕迹，. 时，保留作图痕迹很重要五种基本作图：1、作一条线段等于已知线段；2、作一个角等于已知角；3、作已知线段的垂直平分线；4、作已知角的角平分线；5、过一点作已知直线的垂线；题目一：作一条线段等于已知线段。
中考专题复习——初中最基本的尺规作图总结与典型例题
初中基本尺规作图总结与典型例题一、理解“尺规作图”的含义1.在几何中，我们把只限定用直尺（无刻度）和圆规来画图的方法，称为尺规作图．其中直尺只能用来作直线、线段、射线或延长线段；圆规用来作圆和圆弧．由此可知，尺规作图与一般的画图不同，一般画图可以动用一切画图工具，包括三角尺、量角器等，在操作过程中可以度量，但尺规作图在操作过程中是不允许度量成分的．2.基本作图：（1）用尺规作一条线段等于已知线段；（2）用尺规作一个角等于已知角. 利用这两个基本作图，可以作两条线段或两个角的和或差.二、熟练掌握尺规作图题的规范语言1.用直尺作图的几何语言：①过点×、点×作直线××；或作直线××；或作射线××；②连结两点××；或连结××；③延长××到点×；或延长（反向延长）××到点×，使××＝××；或延长××交××于点×；2.用圆规作图的几何语言：①在××上截取××＝××；②以点×为圆心，××的长为半径作圆（或弧）；③以点×为圆心，××的长为半径作弧，交××于点×；④分别以点×、点×为圆心，以××、××的长为半径作弧，两弧相交于点×、×. 三、了解尺规作图题的一般步骤尺规作图题的步骤：1.已知：当作图是文字语言叙述时，要学会根据文字语言用数学语言写出题目中的条件；2.求作：能根据题目写出要求作出的图形及此图形应满足的条件；3.作法：能根据作图的过程写出每一步的操作过程.当不要求写作法时，一般要保留作图痕迹.对于较复杂的作图，可先画出草图，使它同所要作的图大致相同，然后借助草图寻找作法.在目前，我们只要能够写出已知，求作，作法三步（另外还有第四步证明）就可以了，而且在许多中考作图题中，又往往只要求保留作图痕迹，不需要写出作法，可见在解作图题时，保留作图痕迹很重要.尺规作图的定义：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。
尺规作图资料(完整)
1：尺规作出正三角形2尺规作出正方形3：尺规作出正六边形4：尺规作出正十边形5：尺规作出正十六边形6：尺规作出正十七边形7：尺规作出正十五边形8：尺规作出正五边形9：单尺作出正八边形10:单尺作出正方形11:单尺作出正六边形12:单尺作出正五边形13：单规找出两点间的三等分点14：单规找出两点间的中点15：单规作出等边三角形16：单规作出正八边形17：单规作出正方形18:单规作出正六边形19：单规作出正十边形20：单规作出正十二边形21：单规作出正十六边形22:单规作出正十五边形23单规作出正五边形24：只有两个刻度的直尺作出正三角形25：只有两个刻度的直尺作出正方形初中数学尺规作图专题讲解张远波尺规作图是起源于古希腊的数学课题.只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题。
平面几何作图,限制只能用直尺、圆规.在历史上最先明确提出尺规限制的是伊诺皮迪斯。
他发现以下作图法：在已知直线的已知点上作一角与已知角相等。
这件事的重要性并不在于这个角的实际作出,而是在尺规的限制下从理论上去解决这个问题.在这以前，许多作图题是不限工具的.伊诺皮迪斯以后，尺规的限制逐渐成为一种公约,最后总结在《几何原本》之中.初等平面几何研究的对象,仅限于直线、圆以及由它们（或一部分）所组成的图形，因此作图的工具，习惯上使用没有刻度的直尺和圆规两种。
限用直尺和圆规来完成的作图方法，叫做尺规作图法.最简单的尺规作图有如下三条：⑴经过两已知点可以画一条直线；⑵已知圆心和半径可以作一圆；⑶两已知直线；一已知直线和一已知圆；或两已知圆，如果相交，可以求出交点；以上三条，叫做作图公法。
用直尺可以画出第一条公法所说的直线;用圆规可以作出第二条公法所说的圆；用直尺和圆规可以求得第三条公法所说的交点。
一个作图题,不管多么复杂,如果能反复应用上述三条作图公法，经过有限的次数，作出适合条件的图形，这样的作图题就叫做尺规作图可能问题；否则，就称为尺规作图不能问题。
(完整版)初中最基本的尺规作图总结
尺规作图一、理解“尺规作图”的含义1.在几何中，我们把只限定用直尺（无刻度）和圆规来画图的方法，称为尺规作图．其中直尺只能用来作直线、线段、射线或延长线段；圆规用来作圆和圆弧．由此可知，尺规作图与一般的画图不同，一般画图可以动用一切画图工具，包括三角尺、量角器等，在操作过程中可以度量，但尺规作图在操作过程中是不允许度量成分的．2.基本作图：（1）用尺规作一条线段等于已知线段；（2）用尺规作一个角等于已知角. 利用这两个基本作图，可以作两条线段或两个角的和或差.二、熟练掌握尺规作图题的规范语言1.用直尺作图的几何语言：①过点×、点×作直线××；或作直线××；或作射线××；②连结两点××；或连结××；③延长××到点×；或延长（反向延长）××到点×，使××＝××；或延长××交××于点×；2.用圆规作图的几何语言：①在××上截取××＝××；②以点×为圆心，××的长为半径作圆（或弧）；③以点×为圆心，××的长为半径作弧，交××于点×；④分别以点×、点×为圆心，以××、××的长为半径作弧，两弧相交于点×、×. 三、了解尺规作图题的一般步骤尺规作图题的步骤：1.已知：当作图是文字语言叙述时，要学会根据文字语言用数学语言写出题目中的条件；2.求作：能根据题目写出要求作出的图形及此图形应满足的条件；3.作法：能根据作图的过程写出每一步的操作过程.当不要求写作法时，一般要保留作图痕迹.对于较复杂的作图，可先画出草图，使它同所要作的图大致相同，然后借助草图寻找作法.在目前，我们只要能够写出已知，求作，作法三步（另外还有第四步证明）就可以了，而且在许多中考作图题中，又往往只要求保留作图痕迹，不需要写出作法，可见在解作图题时，保留作图痕迹很重要.尺规作图的定义：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。
尺规作图资料(完整)
1：尺规作出正三角形2尺规作出正方形3：尺规作出正六边形4：尺规作出正十边形5：尺规作出正十六边形6:尺规作出正十七边形7：尺规作出正十五边形8：尺规作出正五边形9:单尺作出正八边形10：单尺作出正方形11：单尺作出正六边形12：单尺作出正五边形13：单规找出两点间的三等分点14：单规找出两点间的中点15:单规作出等边三角形16：单规作出正八边形17：单规作出正方形18：单规作出正六边形19：单规作出正十边形20:单规作出正十二边形21：单规作出正十六边形22：单规作出正十五边形23单规作出正五边形24：只有两个刻度的直尺作出正三角形25:只有两个刻度的直尺作出正方形初中数学尺规作图专题讲解张远波尺规作图是起源于古希腊的数学课题.只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题。
平面几何作图，限制只能用直尺、圆规.在历史上最先明确提出尺规限制的是伊诺皮迪斯.他发现以下作图法：在已知直线的已知点上作一角与已知角相等。
这件事的重要性并不在于这个角的实际作出,而是在尺规的限制下从理论上去解决这个问题.在这以前，许多作图题是不限工具的.伊诺皮迪斯以后，尺规的限制逐渐成为一种公约，最后总结在《几何原本》之中。
初等平面几何研究的对象,仅限于直线、圆以及由它们（或一部分）所组成的图形，因此作图的工具,习惯上使用没有刻度的直尺和圆规两种。
限用直尺和圆规来完成的作图方法，叫做尺规作图法。
最简单的尺规作图有如下三条:⑴经过两已知点可以画一条直线;⑵已知圆心和半径可以作一圆;⑶两已知直线；一已知直线和一已知圆；或两已知圆,如果相交，可以求出交点;以上三条，叫做作图公法.用直尺可以画出第一条公法所说的直线；用圆规可以作出第二条公法所说的圆;用直尺和圆规可以求得第三条公法所说的交点.一个作图题，不管多么复杂，如果能反复应用上述三条作图公法，经过有限的次数,作出适合条件的图形,这样的作图题就叫做尺规作图可能问题；否则,就称为尺规作图不能问题.历史上，最著名的尺规作图不能问题是：⑴三等分角问题：三等分一个任意角；⑵倍立方问题：作一个立方体，使它的体积是已知立方体的体积的两倍;⑶化圆为方问题：作一个正方形，使它的面积等于已知圆的面积。
初中数学中的尺规作图
尺规作图是一种古老而神奇的工具，能够用简单的工具和技巧绘制出精确的几何图形。
在初中数学中，尺规作图是一个必修的内容，对于学生来说，掌握它是非常重要的。
本文将详细介绍尺规作图的基础知识、步骤和实践技巧。
一、什么是尺规作图？尺规作图，又称欧氏几何作图，是一种利用尺子和圆规进行的几何作图方法。
它的基本原理是：利用尺子测量长度，用圆规画出圆和弧，然后通过将这些线段和圆弧相交、平移、旋转等操作，得到所需的几何图形。
尺规作图是欧几里得几何的基础，也是很多复杂几何问题的解决方法之一。
二、尺规作图的基本步骤1. 给定图形尺规作图的第一步是给定一个几何图形，通常是已知几条线段或者角度的大小关系。
例如，给定一个直角三角形，其中两条直角边的长度分别为3cm和4cm，要求作出这个三角形。
2. 作出基础线段根据给定的条件，用尺子和圆规作出基础线段。
例如，在一个纸上画一条长度为3cm的线段AB，再画一条长度为4cm的线段AC，其中∠BAC为直角。
3. 作出辅助线段根据需要，作出一些辅助线段，以便通过相交、平移、旋转等操作得到所需的图形。
例如，可以在线段AB上取一点D，再以点C为圆心、AC为半径画一个圆，得到一个圆弧，将其与线段AB相交于点E，再连接线段AE和BE，就得到了一个直角三角形ABC。
三、尺规作图的实践技巧1. 细心测量尺规作图需要精确测量线段的长度和角度的大小，因此必须细心认真地进行测量，避免出现误差。
特别是在作大型图形时，必须使用长尺和精密测量工具，以确保准确性。
2. 多加练习尺规作图需要的是手眼协调能力和灵活性，这些技能需要通过不断地练习才能掌握。
建议初学者多做练习题，逐渐提高自己的技巧和速度。
3. 熟练运用尺规尺规作图需要灵活运用圆规和尺子，掌握不同的测量技巧和作图方法。
例如，可以利用圆规的不同刻度测量半径和角度，或者利用尺子的折叠功能作出垂线等。
四、总结归纳尺规作图是一种重要的几何工具，能够在解决复杂几何问题时提供有力的支持。
初中最基本的尺规作图总结讲解学习
初中最基本的尺规作图总结尺规作图一、熟练掌握尺规作图题的规范语言1. 用直尺作图的几何语言：①过点X、点X作直线XX;或作直线XX;或作射线XX；②连结两点XX；或连结XX；③延长XX到点X;或延长（反向延长）XX到点X,使XX = XX ;或延长XX 交XX于点X;2. 用圆规作图的几何语言：①在XX上截取XX=XX;②以点X为圆心，XX的长为半径作圆（或弧）；③以点X为圆心，XX的长为半径作弧，交XX于点X;④分别以点X、点X为圆心，以XX、XX的长为半径作弧，两弧相交于点x、x.三、了解尺规作图题的一般步骤尺规作图题的步骤：1. 已知：当作图是文字语言叙述时，要学会根据文字语言用数学语言写出题目中的条件；2. 求作：能根据题目写出要求作出的图形及此图形应满足的条件；3. 作法：能根据作图的过程写出每一步的操作过程.当不要求写作法时，一般要保留作图痕迹.对于较复杂的作图，可先画出草图，使它同所要作的图大致相同，然后借助草图寻找作法.在目前，我们只要能够写出已知，求作，作法三步（另外还有第四步证明）就可以了，而且在许多中考作图题中，又往往只要求保留作图痕迹，不需要写出作法，可见在解作图题时，保留作图痕迹很重要.五种基本作图：1、作一条线段等于已知线段；2、作一个角等于已知角；3、作已知线段的垂直平分线；4、作已知角的角平分线；5、过一点作已知直线的垂线；题目一：作一条线段等于已知线段。
已知：如图，线段a .求作：线段AB使AB = a .作法：（1）作射线AP;（2）在射线AP上截取AB=a .则线段AB就是所求作的图形。
（作线段写于已知线段）题目二：作已知线段的中点已知：如图，线段MN. 求作：作法：点0,使M0=NQ即0是MN的中点）（1）分别以M N为圆心，大于的相同线段为半径画弧，两弧相交于P, Q;（2）连接PQ交MNT O则点0就是所求作的MN的中点。
（作线段的中点）(试问：PQ 与MN 有何关系？)题目三：作已知角的角平分线。
初中数学尺规作图重要知识点及典型题解析
初中数学尺规作图重要知识点及典型题解析1、尺规作图规范用语第一、、用直尺作图的几何语言有三种，分别为：1、过点x、点x作直线xx;或作直线xx;或作射线xx；2、过两点xx做线段xx;或连结xx:3、延长xx到点x;或延长(反向延长)xx到点x，使xx=xx;或延长xx交xx于点x;第二、用圆规作图的几何语言可总结为四种，分别为：1、在xx上截取xx=xx:2、以点x为圆心，xx的长为半径作圆(或弧);3、以点x为圆心，xx的长为半径作弧，交xx于点x:4、分别以点x、点x为圆心，以xxxx的长为半径作弧，两弧相交于点x、x.2、尺规作图基本步骤当发现作图是文字语言叙述时，要学会根据文字语言用数学语言写出题目中的条件:2能根据题目可以画出要求作出的图形，以及可以列出该图形应满足的条件有哪些:3能根据作图的过程写出每一步的操作过程当不要求写作法时，一般会保留作图痕迹应该注意的是，对于较复杂的作图，可先画出草图，使它同所要作的图大致相同，然后借助草图寻找作法。
3、尺规作图典型题分析典型题1：难度★如图（a），已知∠AOB和点C、D.求作一点M，使点M到∠AOB两边的距离相等，且与C、D组成以CD为底边的等腰三角形.【答案解析】因为到一个角两边距离相等的点在这个角的平分线上；而根据题意，点M应满足条件MC＝MD，所以点M又在连结CD所得线段的垂直平分线上.（1）作∠AOB的平分线OG；（2）连结CD，作CD的垂直平分线，交OG于点M，如图（b），M就是所要求作的点.典型题2：难度★如图，桌面上有黑白两球P、Q，试用尺规在边AD上找出一点，使黑球射向这点后反弹，正好击中白球.【答案解析】（1）以P为圆心，适当长为半径作弧，交AD于两点E、F；（2）分别以E、F为圆心，以同样长（即PE）为半径作弧，在AD的另一侧交于点R（即P关于AD的对称点）；（3）连结RQ，交AD于点M，M就是所求作的点.典型题3：难度★★如图（a），A、B、C三个城市准备共建一个飞机场，希望机场到B、C两市的距离相等，到较大城市A的距离最近，试确定飞机场的位置.【答案解析】机场到B、C两市的距离相等，则应在线段BC的垂直平分线上；而这条垂直平分线上的点到A的最短距离是点A到这条直线的垂线段的长.（1）连结BC，作线段BC的垂直平分线l；（2）过点A作直线⊥的垂线，垂足P，如图（b），点P就是飞机场的位置典型题4：难度★★如图（a），已知线段a、b和∠AOB，C是边OB上一点，求作点M，使M到OA的距离为a，到点C的距离为b.【答案解析】（1）在OA上任取一点D，过D作OA的垂线l；（2）在⊥上截取DE＝DF＝a，过E、F作l的垂线l1、l2；（3）以C为圆心，b为半径作弧，与直线l2相交于点M1、M2，如图（b），则点M1、M2都是所要求作的点.典型题5：难度★★如图（a），已知线段a、b，求作△ABC，使BC＝a，AB＝b，∠C＝90°.【答案解析】（1）作线段BC＝a；（2）过点C作CD⊥BC；（3）以B为圆心，b为半径作弧，交CD于点A；（4）连结BA，如图（b），△ABC就是所求作的三角形.典型题6：难度★★如图（a），已知线段a，∠a，求作△ABC，使∠C＝90°，∠A＝∠a，AB＝a.【答案解析】（1）作∠DAE＝∠a；（2）在AD上截取AB＝a；（3）过点B作BC⊥AE于C，如图（b），△ABC即所求作的三角形.典型题7：难度★★已知等腰三角形的底角及底边上的中线，求作这个等腰三角形。
初中尺规作图总结
2. 基本作图：（1）用尺规作一条线段等于已知线段； （2）用尺规作一个角等于已知角 .
利用这两个基本作图，可以作两条线段或两个角的和或差 . 二、熟练掌握尺规作图题的规范语言 1. 用直尺作图的几何语言： ①过点×、点×作直线××；或作直线××；或作射线××；
②连结两点××；或连结××；
③延长××到点×；或延长（反向延长）××到点×，使××＝××；或延长××交
则线段 AB就是所求作的图形。 题目二：作已知线段的中点。 已知：如图，线段 MN. 求作：点 O，使 MO=N（O即 O是 MN的中点） . 作法： （１）分别以 M、N为圆心，大于
的相同线段为半径画弧， 两弧相交于 P，Q； （２）连接 PQ交 MN于 O． 则点 O就是所求作的ＭＮ的中点。 （试问： PQ与ＭＮ有何关系？） 题目三：作已知角的角平分线。 已知：如图，∠ AOB， 求作：射线 OP, 使∠ AOP＝∠ BOP（即 OP平分∠ AOB）。 作法： （1）以 O为圆心，任意长度为半径画弧，
题时，保留作图痕迹很重要 . 尺规作图的定义： 尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。最基本
规作图 , 通常称 基本作图 。一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的。 五种基本作图： 1、 作一条线段等于已知线段；
2 、作一个角等于已知角； 3 、作已知线段的垂直平分线； 4 、作已知角的角平分线； 5 、过一点作已知直线的垂线； 题目一：作一条线段等于已知线段。 已知：如图，线段 a . 求作：线段 AB，使 AB = a . 作法： （ 1）作射线 AP； （ 2）在射线 AP上截取 AB=a .
图（ 2）
图（ 3）
正解 如图（ 3）． （1）作直线 PQ，在直线 PQ上任取一点 D，作 DM⊥ PQ； （2）在 DM上截取线段 DA=h；
中考数学知识点复习：尺规作图全面版
如何利用尺规作图解决最值问题？
最值问题的求解
最值问题是一类求解最优解的问题，可以利用尺规作图来解决。例如，在几何、代数等领域中，经常需要使用尺规作 图来求解最值问题。
作图方法
利用尺规作图求解最值问题，需要先了解问题的具体内容，然后根据问题内容进行尺规作图。在作图过程中，需要注 意图形绘制的准确性和规范性，以保证求解的准确性。
03
多边形的尺规作图
作已知线段的垂线
01
总结词：通过一个已知点，作 已知线段的垂线，是尺规作图
的基础。
02
详细描述
03
04
1. 分别以线段的两个端点为 圆心，以大于线段的一半为半 径画圆弧，得到两个交点。
2. 连接两个交点，得到的直 线即为已知线段的垂线。
已知二线段平行的垂线段的中垂线
总结词：找到一个已知的平行线段的中垂线，是尺规作 图的进阶技能。
1. 以平行线段的一个端点为圆心，以适当长度为半径画 圆弧，与平行线段相交于两点。
详细描述
2. 连接这两个交点得到的直线即为已知平行线段的中垂 线。
作已知直线的平行线
01
总结词：通过一个已知点，作已知直线的平行线，是尺规作图的基本 技能之一。
02
详细描述
03
1. 以已知点为圆心，以适当长度为半径画圆弧，与直线相交于两点。
04
2. 连接这两个交点得到的直线即为已知直线的平行线。
作已知二线段的中垂线
01 总结词：通过两个已知点，作已知二线段 的中垂线，是尺规作图的高级技能。
02
详细描述
Hale Waihona Puke 031. 以两个已知点为圆心，以适当长度为半 径画圆弧，得到两个交点。
04
初中数学八年级下册几何尺规作图基本类型总结(共五种)
八年级数学几何尺规作图基本类型一、作一条线段等于线段已知线段AB，作线段A’B’，使A’B’＝AB.【作法】(1) 作射线A’C’(2) 以点A’为圆心，以AB的长为半径画弧，交射线A’ C’于点B’，A’B’ 就是所求作的线段。
二、作一个角等于角已知∠AOB，作∠A’O’B’ 使∠A’O’B’=∠AOB【作法】(1) 作射线O’A’;(2) 以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D;(3) 以点O’为圆心，同样(OC)长为半径画弧，交O’A’于点C’;(4) 以点C’为圆心，CD长为半径画弧，交前面的弧于点D’ ，(5) 过点D’作射线O’B’.∠A’O’B’为所作的角.三、作角平分线【作法】（1）以点O为圆心，以任意长为半径画弧，两弧交角AOB两边于点M，N。
（2）分别以点M，N为圆心，以大于1/2MN的长度为半径画弧，两弧交于点P。
（3）作射线OP。
射线OP即为所求。
四、经过一点作直线的垂线1、点C在直线l上，试过点C画出直线l的垂线．【作法】(1)以点C为圆心，任一线段的长为半径画弧，交直线l于点A、B；(2)以点A 、B为圆心,以大于CB长为半径在直线一侧画弧，两弧交于点D；(3)经过点C、D作直线CD．直线CD即为所求．2、过直线外一点C画出直线l的垂线．【作法】(1)以点C为圆心，以适当长为半径画弧，交直线l于点A、B；(2)分别以点A、 B为圆心，以CB长为半径在直线另一侧画弧，两弧于点D．(3)经过点C、D作直线CD．直线CD即为所求．五、作线段的垂直平分线【作法】（1）分别以点A，B为圆心，以大于1/2AB的长为半径作弧，两弧交于C，D两点. （2）作直线CD.CD即为所求.。
初中数学尺规作图大汇总(原创绝对经典)
线段垂直平分线的作法 角平分线的作法 作一个角等于已知角 用尺规作一个三角形
太原维刚实验学校 2020年5月6日 一线数学教师何彦峰
尺规作图作线段的垂直平分线
尺规作图
已知：线段AB. 求作：线段AB的垂直平分线.
C
作法：（1）分别以点A，B 为圆心，以大于 1AB
A
的长为半径作弧，2 两
a
c
A
α
α
B
C
二 已知三角形的两角及其夹边作三角形
已知:∠α,∠β和线段c,如图所示.
求作:△ABC,使∠A=∠α,∠B=∠β,AB=c.
ED
α
C
β c
A
BF
用尺规作三角形
三 已知三角形的三条边，求作这个三角形
已知:线段a,b,c如图所示.
求作:△ABC,使AB=c,AC=b,BC=a.
a
b
A
B D
弧交于C，D两点.
（2）连接CD.直线CD即为所求.
如图，A，B是路边两个新建小区，要 在公路边增设一个公共汽车站.使两个 小区到车站的路程一样长，该公共汽 车站应建在什么地方？
B A
【提示】连接AB，作AB的垂直平分线，则与公路的 交点就是要建的公共汽车站.
2. 有A，B，C三个村庄，现准备要建一 所学校，要求学校到三个村庄的距离相 等，请你确定学校的位置.
3、作射线_O_E___；__O_E__即为所求。
如图,直线l1、l2、l3表示三条相 交叉的公路,现要建一个货物中
转站,要求它到三条公路的距离
相等,则可供选择的地址有__处。
l1
l3
l2
l1
D
l3
A
尺规作图资料(完整)
1：尺规作出正三角形2尺规作出正方形3：尺规作出正六边形4：尺规作出正十边形5：尺规作出正十六边形6：尺规作出正十七边形7：尺规作出正十五边形8：尺规作出正五边形9：单尺作出正八边形10：单尺作出正方形11：单尺作出正六边形12：单尺作出正五边形13：单规找出两点间的三等分点14：单规找出两点间的中点15：单规作出等边三角形16：单规作出正八边形17：单规作出正方形18：单规作出正六边形19：单规作出正十边形20：单规作出正十二边形21：单规作出正十六边形22：单规作出正十五边形23单规作出正五边形24：只有两个刻度的直尺作出正三角形25：只有两个刻度的直尺作出正方形初中数学尺规作图专题讲解张远波尺规作图是起源于古希腊的数学课题.只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题.平面几何作图，限制只能用直尺、圆规.在历史上最先明确提出尺规限制的是伊诺皮迪斯.他发现以下作图法：在已知直线的已知点上作一角与已知角相等.这件事的重要性并不在于这个角的实际作出，而是在尺规的限制下从理论上去解决这个问题.在这以前，许多作图题是不限工具的.伊诺皮迪斯以后，尺规的限制逐渐成为一种公约，最后总结在《几何原本》之中.初等平面几何研究的对象，仅限于直线、圆以及由它们（或一部分）所组成的图形，因此作图的工具，习惯上使用没有刻度的直尺和圆规两种.限用直尺和圆规来完成的作图方法，叫做尺规作图法.最简单的尺规作图有如下三条：⑴经过两已知点可以画一条直线；⑵已知圆心和半径可以作一圆；⑶两已知直线；一已知直线和一已知圆；或两已知圆，如果相交，可以求出交点；以上三条，叫做作图公法.用直尺可以画出第一条公法所说的直线；用圆规可以作出第二条公法所说的圆；用直尺和圆规可以求得第三条公法所说的交点.一个作图题，不管多么复杂，如果能反复应用上述三条作图公法，经过有限的次数，作出适合条件的图形，这样的作图题就叫做尺规作图可能问题；否则，就称为尺规作图不能问题.历史上，最著名的尺规作图不能问题是：⑴三等分角问题：三等分一个任意角；⑵倍立方问题：作一个立方体，使它的体积是已知立方体的体积的两倍；⑶化圆为方问题：作一个正方形，使它的面积等于已知圆的面积.这三个问题后被称为“几何作图三大问题”.直至1837年，万芝尔（Pierre Laurent Wantzel）首先证明三等分角问题和立方倍积问题属尺规作图不能问题；1882年，德国数学家林德曼（Ferdinand Lindemann）证明π是一个超越数（即π是一个不满足任何整系数代数方程的实数），由此即可推得根号π(即当圆半径1r=时所求正方形的边长）不可能用尺规作出，从而也就证明了化圆为方问题是一个尺规作图不能问题.若干著名的尺规作图已知是不可能的，而当中很多不可能证明是利用了由19世纪出现的伽罗华理论.尽管如此，仍有很多业余爱好者尝试这些不可能的题目，当中以化圆为方及三等分任意角最受注意.数学家Underwood Dudley曾把一些宣告解决了这些不可能问题的错误作法结集成书.还有另外两个著名问题：⑴正多边形作法·只使用直尺和圆规，作正五边形.·只使用直尺和圆规，作正六边形.·只使用直尺和圆规，作正七边形——这个看上去非常简单的题目，曾经使许多著名数学家都束手无策，因为正七边形是不能由尺规作出的.·只使用直尺和圆规，作正九边形，此图也不能作出来，因为单用直尺和圆规，是不足以把一个角分成三等份的.·问题的解决：高斯，大学二年级时得出正十七边形的尺规作图法，并给出了可用尺规作图的正多边形的条件：尺规作图正多边形的边数目必须是2的非负整数次方和不同的费马素数的积，解决了两千年来悬而未决的难题.⑵四等分圆周只准许使用圆规，将一个已知圆心的圆周4等分．这个问题传言是拿破仑·波拿巴出的，向全法国数学家的挑战.尺规作图的相关延伸：用生锈圆规(即半径固定的圆规)作图1.只用直尺及生锈圆规作正五边形2.生锈圆规作图，已知两点A、B，找出一点C使得AB BC CA==.3.已知两点A、B，只用半径固定的圆规，求作C使C是线段AB的中点.4.尺规作图，是古希腊人按“尽可能简单”这个思想出发的，能更简洁的表达吗？顺着这思路就有了更简洁的表达.10世纪时，有数学家提出用直尺和半径固定的圆规作图.1672年，有人证明：如果把“作直线”解释为“作出直线上的2点”，那么凡是尺规能作的，单用圆规也能作出！从已知点作出新点的几种情况：两弧交点、直线与弧交点、两直线交点，在已有一个圆的情况下，那么凡是尺规能作的，单用直尺也能作出！. 五种基本作图：初中数学的五种基本尺规作图为： 1.做一线段等于已知线段 2.做一角等于已知角 3.做一角的角平分线4.过一点做一已知线段的垂线5.做一线段的中垂线下面介绍几种常见的尺规作图方法：⑴ 轨迹交点法：解作图题的一种常见方法.解作图题常归结到确定某一个点的位置.如果这两个点的位置是由两个条件确定的，先放弃其中一个条件，那么这个点的位置就不确定而形成一个轨迹；若改变放弃另一个条件，这个点就在另一条轨迹上，故此点便是两个轨迹的交点.这个利用轨迹的交点来解作图题的方法称为轨迹交点法，或称交轨法、轨迹交截法、轨迹法.【例1】 电信部门要修建一座电视信号发射塔，如下图，按照设计要求，发射塔到两个城镇A 、B 的距离必须相等，到两条高速公路m 、n 的距离也必须相等，发射塔P 应修建在什么位置？m【分析】 这是一道实际应用题，关键是转化成数学问题，根据题意知道，点P 应满足两个条件，一是在线段AB 的垂直平分线上；二是在两条公路夹角的平分线上，所以点P 应是它们的交点.【解析】 ⑴ 作两条公路夹角的平分线OD 或OE ；⑵ 作线段AB 的垂直平分线FG ；则射线OD ，OE 与直线FG 的交点1C ，2C 就是发射塔的位置.【例2】 在平面直角坐标系中，点A 的坐标是(4，0)，O 是坐标原点，在直线3y x =+上求一点P ，使AOP ∆是等腰三角形，这样的P 点有几个？【解析】 首先要清楚点P 需满足两个条件，一是点P 在3y x =+上；二是AOP ∆必须是等腰三角形.其次，寻找P 点要分情况讨论，也就是当OA OP =时，以O 点为圆心，OA 为半径画圆，与直线有两个点1P 、2P ；当OA AP =时，以A 点为圆心，OA 为半径画圆，与直线无交点；当PO PA =时，作OA 的垂直平分线，与直线有一交点3P ，所以总计这样的P 点有3个.【例3】 设O ⊙与'O ⊙相离，半径分别为R 与'R ，求作半径为r 的圆，使其与O⊙及'O ⊙外切.rr【分析】 设M ⊙是符合条件的圆，即其半径为r ，并与O ⊙及'O ⊙外切，显然，点M 是由两个轨迹确定的，即M 点既在以O 为圆心以R r +为半径的圆上，又在以'O 为圆心以'R r +为半径的圆上，因此所求圆的圆心的位置可确定.若O ⊙与'O ⊙相距为b ，当2r b <时，该题无解，当2r b =有唯一解；当2r b >时，有两解.【解析】 以当O ⊙与'O ⊙相距为b ，2r b >时为例：⑴ 作线段OA R r =+，''O B R r =+.⑵ 分别以O ，'O 为圆心，以R r +，'R r +为半径作圆，两圆交于12,M M 两点.⑶ 连接1OM ，2OM ，分别交以R 为半径的O ⊙于D 、C 两点. ⑷ 分别以12M M ，为圆心，以r 为半径作圆. ∴12,M M ⊙⊙即为所求.【思考】若将例3改为：“设O ⊙与'O ⊙相离，半径分别为R 与'R ，求作半径为r ()r R >的圆，使其与O ⊙内切，与'O ⊙外切.”又该怎么作图？⑵ 代数作图法：解作图题时，往往首先归纳为求出某一线段长，而这线段长的表达式能用代数方法求出，然后根据线段长的表达式设计作图步骤.用这种方法作图称为代数作图法.【例4】 只用圆规，不许用直尺，四等分圆周（已知圆心）.【分析】 设半径为1.，也就是说用这个长度去等分圆周.我们的任务就是做出这个长度..1的直角三角.【解析】 具体做法：⑴ 随便画一个圆.设半径为1.⑵ 先六等分圆周.⑶ 以这个距离为半径，分别以两个相对的等分点为圆心，同向作弧，交于一点.（“两个相对的等分点”其实就是直径的两端点啦！两弧交点与“两个相对的等分点”形成的是一个底为2，腰.）⑷【例5】 求作一正方形，使其面积等于已知ABC ∆的面积.【分析】 设ABC ∆的底边长为a ，高为h ，关键是在于求出正方形的边长x ，使得212x ah =，所以x 是12a 与h 的比例中项.【解析】 已知：在ABC ∆中，底边长为a ，这个底边上的高为h ，求作：正方形DEFG ，使得：ABC DEFG S S ∆=正方形haDCBANM作法：⑴ 作线段12MD a =；⑵ 在MD 的延长线上取一点N ，使得DN h =； ⑶ 取MN 中点O ，以O 为圆心，OM 为半径作O ⊙； ⑷ 过D 作DE MN ⊥，交O ⊙于E ， ⑸ 以DE 为一边作正方形DEFG . 正方形DEFG 即为所求.【例6】 在已知直线l 上求作一点M ，使得过M 作已知半径为r 的O ⊙的切线，其切线长为a .al【分析】 先利用代数方法求出点M 与圆心O 的距离d ，再以O 为圆心，d 为半径作圆，此圆与直线l 的交点即为所求.【解析】 ⑴ 作Rt OAB ∆，使得：90A ∠=︒，OA r =，AB a =.⑵ 以O 为圆心，OB 为半径作圆.若此圆与直线l 相交，此时有两个交点1M ，2M . 1M ，2M 即为所求.若此圆与直线l 相切，此时只有一个交点M .M 即为所求.若此圆与直线l 相离，此时无交点.即不存在这样的M 点使得过M 作已知半径为r 的O ⊙的切线，其切线长为a .⑶ 旋转法作图：有些作图题，需要将某些几何元素或图形绕某一定点旋转适当角度，以使已知图形与所求图形发生联系，从而发现作图途径.【例7】 已知：直线a 、b 、c ，且a b c ∥∥.求作：正ABC ∆，使得A 、B 、C 三点分别在直线a 、b 、c 上.c ba D'DCB Acba【分析】 假设ABC ∆是正三角形，且顶点A 、B 、C 三点分别在直线a 、b 、c 上.作AD b ⊥于D ，将ABD∆绕A 点逆时针旋转60︒后，置于'ACD ∆的位置，此时点'D 的位置可以确定.从而点C 也可以确定.再作60BAC ∠=︒，B 点又可以确定，故符合条件的正三角形可以作出.【解析】 作法：⑴ 在直线a 上取一点A ，过A 作AD b ⊥于点D ； ⑵ 以AD 为一边作正三角形'ADD ； ⑶ 过'D 作''D C AD ⊥，交直线c 于C ；⑷ 以A 为圆心，AC 为半径作弧，交b 于B (使B 与'D 在AC 异侧). ⑸ 连接AB 、AC 、BC 得ABC ∆.ABC ∆即为所求.【例8】 已知：如图，P 为AOB ∠角平分线OM 上一点.求作：PCD ∆，使得90P ∠=︒，PC PD =，且C 在OA 上，D 在OB 上.OD'O【解析】 ⑴ 过P 作PE OB ⊥于E .⑵ 过P 作直线l OB ∥;⑶ 在直线l 上取一点M ，使得PM PE =(或'PM PE =)； ⑷ 过M (或'M )作MC l ⊥（或'M C l ⊥），交OA 于C (或'C )点；⑸ 连接PC (或'PC )，过P 作PD PC ⊥(或''PD PC ⊥)交OB 于D （或'D ）点. 连接,PD CD (或',''PD C D ). 则PCD ∆(或''PC D ∆)即为所求.⑷ 位似法作图：利用位似变换作图，要作出满足某些条件的图形，可以先放弃一两个条件，作出与其位似的图形，然后利用位似变换，将这个与其位似得图形放大或缩小，以满足全部条件，从而作出满足全部的条件.【例9】 已知：一锐角ABC ∆.求作:一正方形DEFG ，使得D 、E 在BC 边上，F 在AC 边上，G 在AB 边上.C BAG'F'E'D'G FED CBA【分析】 先放弃一个顶点F 在AC 边上的条件，作出与正方形DEFG 位似的正方形''''D E F G ，然后利用位似变换将正方形''''D E F G 放大（或缩小）得到满足全部条件的正方形DEFG .【解析】 作法：⑴ 在AB 边上任取一点'G ，过'G 作''G D BC ⊥于'D⑵ 以''G D 为一边作正方形''''D E F G ，且使'E 在'BD 的延长线上. ⑶ 作直线'BF 交AC 于F .⑷ 过F 分别作''FG F G ∥交AB 于G ；作''FE F E ∥交BC 于E . ⑸ 过G 作''GD G D ∥交BC 于D . 则四边形DEFG 即为所求.⑸ 面积割补法作图：对于等积变形的作图题，通常在给定图形或某一确定图形上割下一个三角形，再借助平行线补上一个等底等高的另一个三角形，使面积不变，从而完成所作图形.【例10】 如图，过ABC ∆的底边BC 上一定点，P ，求作一直线l ，使其平分ABC ∆的面积.【分析】 因为中线AM 平分ABC ∆的面积，所以首先作中线AM ，假设PQ 平分ABC ∆的面积，在AMC∆中先割去AMP ∆，再补上ANP ∆.只要NM AP ∥，则AMP ∆和AMP ∆就同底等高，此时它们的面积就相等了.所以PN 就平分了ABC ∆的面积.【解析】 作法：⑴ 取BC 中点M ，连接,AM AP ; ⑵ 过M 作MN AP ∥交AB 于N ； ⑶ 过P 、N 作直线l . 直线l 即为所求.NM P CB Al【例11】 如图：五边形ABCDE 可以看成是由一个直角梯形和一个矩形构成.⑴ 请你作一条直线l ，使直线l 平分五边形ABCDE 的面积； ⑵ 这样的直线有多少条？请你用语言描述出这样的直线.FED CBAMFDCBFD CB【解析】 ⑴ 取梯形AFDE 的中位线MN 的中点O ，再取矩形BCDF 对角线的交点'O ，则经过点O ，'O 的直线l 即为所求；⑵ 这样的直线有无数条.设⑴中的直线l 交AE 于Q ，交BC 于R ，过线段RQ 中点P ，且与线段AE 、BC 均有交点的直线均可平分五边形ABCDE 的面积.【例12】 (07江苏连云港)如图1，点C 将线段AB 分成两部分，如果AC BCAB AC=，那么称点C 为线段AB 的黄金分割点．某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l 将一个面积为S 的图形分成两部分，这两部分的面积分别为1S ，2S ，如果121S SS S =，那么称直线l 为该图形的黄金分割线．⑴ 研究小组猜想：在ABC △中，若点D 为AB 边上的黄金分割点(如图2)，则直线CD 是ABC △的黄金分割线．你认为对吗？为什么？⑵ 请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？⑶ 研究小组在进一步探究中发现：过点C 任作一条直线交AB 于点E ，再过点D 作直线DF CE ∥，交AC 于点F ，连接EF (如图3)，则直线EF 也是ABC △的黄金分割线．请你说明理由．⑷ 如图4，点E 是ABCD 的边AB 的黄金分割点，过点E 作EF AD ∥，交DC 于点F ，显然直线EF 是ABCD 的黄金分割线．请你画一条ABCD 的黄金分割线，使它不经过ABCD 各边黄金分割点．【解析】 ⑴ 直线CD 是ABC △的黄金分割线．理由如下：设ABC △的边AB 上的高为h ．ACB图1A DB 图2C AD B图3C F E E图412ADC S AD h =△，12BDC S BD h =△，12ABC S AB h =△， ∴ADC ABC S AD S AB =△△，BDC ADC S BD S AD =△△． 又∵点D 为边AB 的黄金分割点， ∴AD BDAB AD=．∴ADC BDC ABC ADC S S S S =△△△△． ∴直线CD 是ABC △的黄金分割线．⑵ ∵三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，此时1212S S S ==，即121S S S S ≠，∴三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线． ⑶ ∵DF CE ∥，∴DEC △和FCE △的公共边CE 上的高也相等， ∴DEC FCE S S =△△．设直线EF 与CD 交于点G ，∴DGE FGC S S =△△． ∴ADC FGC AFGD S S S =+△△四边形DGE AEF AFGD S S S =+=△△四边形， BDC BEFC S S =△四边形．又∵ADC BDCABC ADCS S S S =△△△△，∴BEFC AEF ABC AEF S S S S =四边形△△△． ∴直线EF 也是ABC △的黄金分割线． ⑷ 画法不惟一，现提供两种画法；画法一：如答图1，取EF 中点G ，再过点G 作一直线分别交AB ，DC 于M ，N 点，则直线MN 就是ABCD 的黄金分割线．画法二：如答图2，在DF 上取一点N ，连接EN ，再过点F 作FM NE ∥交AB 于点M ，连接MN ，则直线MN 就是ABCD 的黄金分割线．M （答案图1）M （答案图2）。
七年级下尺规作图知识点
七年级下尺规作图知识点尺规作图是数学中一个实用且重要的分支，也是中学数学教育中的核心内容之一。
在尺规作图的学习过程中，规范的步骤和正确的方法都非常重要。
本文将介绍七年级下尺规作图的知识点和注意事项。
1.尺规作图的基本概念尺规作图是通过使用尺子和圆规两种工具，按照一定的步骤和规律，画出平面几何图形的过程。
在做尺规作图时，需要先掌握以下几个基本概念：（1）尺规：是构成尺规作图的两种主要工具，尺子用来测量线段的长度，圆规用来画圆弧和测量长度。
（2）定点：在作图时，需要先指定一定数量的定点，这些定点是连接线条或画圆弧的基础。
（3）定线：在作图过程中，需要按照固定的步骤连接已有的定点来形成一条固定的线段。
（4）定圆：在作图过程中，需要按照固定的步骤使用圆规来画出一定半径和直径的圆。
2.尺规作图的基本步骤在学习尺规作图时，需要掌握正确的作图步骤和方法，才能在不出错的情况下完成指定的作图任务。
尺规作图的基本步骤如下：（1）首先画一个参考线段；（2）在参考线段上取若干等分点，以确定所需的点；（3）连接这些点，形成所需的线段；（4）在所需的点上画出所需的圆弧或线段。
3.尺规作图的注意事项在尺规作图的学习过程中，需要注意以下事项：（1）必须按照规定的步骤完成作图任务，不能随意发挥；（2）尺规作图需要细心仔细，每一步都要认真执行；（3）在尺规作图过程中，需要注意尺子和圆规的正确使用方法；（4）在作图完成后，需要检查作图的正确性，确保作图结果准确无误。
总之，在学习尺规作图的过程中，需要掌握基本概念、正确的步骤和方法，以及注意事项。
只有在掌握这些方面后，才能顺利完成各种尺规作图任务，也可以更好地理解数学中的各种几何概念和定理。
初中数学总复习总结尺规作图
初中数学中的尺规作图尺规作图的定义：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。
五种基本作图：1、作一条线段等于已知线段；2、作一个角等于已知角；3、作已知线段的垂直平分线；4、作已知角的角平分线；5、过一点作已知直线的垂线；题目一：作一条线段等于已知线段。
已知：如图，线段a .求作：线段AB，使AB = a .作法：①作射线AP；②在射线AP上截取AB=a .则线段AB就是所求作的图形。
题目二：作已知线段的中点。
已知：如图，线段MN.求作：点O，使MO=NO（即O是MN的中点）.作法：①分别以M、N为圆心，大于1/2MN的相同线段为半径画弧，两弧相交于P，Q；②连接PQ交MN于O．则点O就是所求作的ＭＮ的中点。
（试问：PQ与ＭＮ有何关系？）题目三：作已知角的角平分线。
已知：如图，∠AOB，求作：射线OP, 使∠AOP＝∠BOP（即OP平分∠AOB）。
作法：①以O为圆心，任意长度为半径画弧，分别交OA，OB于M，N；②分别以M、Ｎ为圆心，大于1/2MN的相同线段为半径画弧，两弧交∠AOB内于Ｐ；③作射线OP。
则射线OP就是∠AOB的角平分线。
题目四：作一个角等于已知角。
（请自己写出“已知”“求作”并作出图形，不写作法）题目五：已知三边作三角形。
已知：如图，线段a，b，c.求作：△ABC，使AB = c，AC = b，BC = a.作法：①作线段AB = c；②以A为圆心b为半径作弧，以B为圆心a为半径作弧与前弧相交于C；③连接AC，BC。
则△ABC就是所求作的三角形。
题目六：已知两边及夹角作三角形。
已知：如图，线段m，n, ∠α.求作：△ABC，使∠A=∠α，AB=m，AC=n.作法：①作∠A=∠α；②在AB上截取AB=m ,AC=n；③连接BC。
则△ABC就是所求作的三角形。
题目七：已知两角及夹边作三角形。
已知：如图，∠α，∠β，线段m .求作：△ABC，使∠A=∠α，∠B=∠β,AB=m. 作法：①作线段AB=m；②在AB的同旁作∠A=∠α，作∠B=∠β，∠A与∠B的另一边相交于C。
尺规作图知识梳理
尺柜作图知识梳理尺规作图是指用无刻度的直尺和圆规作图.尺规作图是起源于古希腊的数学课题.只使用圆规和直尺,并且只准许使用有限次,来解决不同的平面几何作图题.尺规作图使用的直尺和圆规带有想像性质,跟现实中的并非完全相同：1、直尺必须没有刻度,无限长,且只能使用直尺的固定一侧.只可以用它来将两个点连在一起,不可以在上画刻度；2、圆规可以开至无限宽,但上面亦不能有刻度.它只可以拉开成之前构造过的长度.1,每次的操作只能是公认允许的五项根本操作(称为五项作图公法)之"o2,每次操作之前,操作者为决定是否操作和进行哪种操作可以进行的逻辑判断,也只能是几何学中公认允许的几种.基于作图公法〞的定义如下：成认以下五项前提,有限次运用以下五项公法而完成的作图方法,就是合法的尺规作图：五项前提是：(1)允许在平面上、直线上、圆弧线上已确定的范围内任意选定一点(所谓确定范围：依下面四条的规那么).(2)可以判断同一直线上不同点的位置次序.(3)可以判断同一圆弧线上不同点的位置次序.(4)可以判断平面上一点在直线的哪一侧.(5)可以判断平面上一点在圆的内部还是外部.五项公法是：(1)根据两个已经确定的点作出经过这两个点的直线.(2)以一个已经确定的点为圆心,以两个已经确定的点之间的距离为半径作圆.(3)确定两个已经做出的相交直线的交点.(4)确定已经做出的相交的圆和直线的交点.(5)确定已经做出的相交的两个圆的交点.也有些资料上给出的五项公法的后两条中的交点'改为公共点〞.这两种表达差异在于后者多包括了切点〞.但是,由于确定切点即使不算根本操作,也是可以用其它根本操作组合实现的.所以,两种表达的定义并无本质不同.中国古代规〞就是圆规,是用来画圆的工具,在我国古代甲骨文中就有规〞这个字. 矩〞就像木工使用的角尺, 由长短两尺相交成直角而成,两者间用木杠连接以使其牢固,其中短尺叫勾,长尺叫股.矩的使用是我国古代的一个创造,山东历城武梁祠石室造像中就有伏羲氏手执矩,女蜗氏手执规〞之图形.矩不仅可以画直线、直角,加上刻度可以测量,还可以代替圆规.甲骨文中也有矩字,这可追溯到大禹治水〔公元前2000年〕前.?史记?卷二记载大禹治水时左准绳,右规矩〞赵爽注?周髀算经?中有禹治洪水,……望山川之形,定高低之势,……乃勾股之所由生也.意即禹治洪水,要先测量地势的上下,就必定要用勾股的道理.这也说明矩起源于很远的中国古代.春秋时代也有不少著作涉及规矩的论述,?墨子?卷七中说轮匠〔制造车子的工匠〕执其规矩,以度天下之方圆.〞?孟子?卷四中说离娄〔传说中目力非常强的人〕之明,公输子〔即鲁班,传说木匠的祖师〕之巧,不以规矩,不能成方圆.可见,在春秋战国时期,规矩已被广泛地用于作图、制作器具了.由于我国古代的矩上已有刻度,因此使用范围较广,具有较大的实用性.古希腊古代希腊人较重视规、矩在数学中练习思维和智力的作用,而无视规矩的实用价值.因此,在作图中对规、矩的使用方法加以很多限制,提出了尺规作图问题.所谓尺规作图,就是只有限次地使用没有刻度的直尺和圆规进行作图.古希腊的安那萨哥拉斯首先提出作图要有尺寸限制.他因政治上的纠葛,被关进监狱,并被判处死刑.在监狱里,他思考改圆成方以及其他有关问题, 用来打发令人苦恼的无所事事的生活 .他不可能有标准的作图工具,只能用一根绳子画圆,用随便找来的破木棍作直尺,当然这些尺子上不可能有刻度.另外,对他来说,时间是不多了,因此他很自然地想到要有限次地使用尺规解决问题.后来以理论形式具体明确这个规定的是欧几里德的?几何原本?.格•W尚甲由于?几何原本?的巨大影响,希腊人所崇尚的尺规作图也一直被遵守并流传下来.近代西方由于对尺规作图的限制,使得一些貌似简单的几何作图问题无法解决.最著名的是被称为几何三大问题的三个古希腊古典作图难题：立方倍积问题、三等分任意角问题和化圆为方问题.当时很多有名的希腊数学家,都曾着力于研究这三大问题,虽然借助于其他工具或曲线,这三大难题都可以解决,但由于尺规作图的限制,却一直未能如愿以偿.以后两千年来,无数数学家为之绞尽脑汁,都以失败而告终.直到1637年笛卡尔创立了解析几何,关于尺规作图的可能性问题才有了准那么 .到了1837年万芝尔首先证实立方倍积问题和三等分任意角问题都属于尺规作图不可能问题.1882年林德曼证实了兀是超越数,化圆为方问题不可能用尺规作图解决,这才结束了历时两千年的数学难题公案.几何三大问题如果不限制作图工具,便很容易解决.从历史上看,好些数学结果是为解决三大问题而得出的副产品,特别是开创了对圆锥曲线的研究,发现了一批著名的曲线,等等 .不仅如此,三大问题还和近代的方程论、群论等数学分支发生了关系.1 .尺规作图著名问题尺规作图不能问题就是不可能用尺规作图完成的作图问题.其中最著名的是被称为几何三大问题的古典难题：■倍立方问题：作一个立方体,使它的体积是立方体的体积的两倍；■化圆为方问题：作一个正方形,使它的面积等于圆的面积.■三等分角：作一个角,将其分为三个相等的局部.以上三个问题在2400年前的古希腊已提出这些问题,但在欧几里得几何学的限制下,以上三个问题都不可能解决的.直至1837年,法国数学家万芝尔才首先证实“三等分角〞和“倍立方〞为尺规作图不能问题.而后在1882年德国数学家林德曼证实兀是超越数后,“化圆为方〞也被证实为尺规作图不能问题.还有另外两个著名问题:■〔乍正多边形只使用直尺和圆规,作正七边形一一这个看上去非常只使用直尺和圆规,作正五边形.只使用直尺和圆规,作正六边形.简单的题目,曾经使许多著名数学家都束手无策,由于正七边形是不能由尺规作出的.只使用直尺和圆规,作正九边形,此图也不能作出来,由于单用直尺和圆规,是缺乏以把一个角分成三等份的.问题的解决：高斯,大学二年级时得出正十七边形的尺规作图法,并给出了可用尺规作图的正多边形的条件：尺规作图正多边形的边数目必须是2的非负整数次方和不同的费马素数的积,解决了两千年来悬而未决的难题.■四等分圆周只准许使用圆规,将一个圆心的圆周4等分.这个问题传言是拿破仑波拿巴出的,向全法国数学家的挑战.尺规作图知识拓展在建筑工程图中,任何图形都可以分解为一些根本图形元素,如点、线、矩形、圆等.任何复杂几何图形都是有最根本的尺规作图为根底,掌握最基本的尺规作图的技能和技巧也是一切图学的根底.能独立完成线段等分、圆周等分、四心法椭圆、和圆弧连接等根本作图.2.1.1尺规作图根本方法尺规作图中可用的根本方法,也称为作图公法,任何尺规作图的步骤均可分解为以下五种方法：1、通过两个点可作一直线.2、圆心和半径可作一个圆.3、假设两直线相交,可求其交点.4、假设直线和一圆相交,可求其交点.5、假设两圆相交,可求其交点.2.2.2八种根本作图1、作一条线段等于线段2、作一个鱼等于角3、作线段的垂直平分线4、作角的角平分线5、过一点作直线的垂线6、三边作三角形7、两角、一边作三角形8、一角、两边作三角形(1)任意等分线段以最根本的尺规作图为根底等分线段.【例2.1-1］等分线段常采用辅助线法,图的作图方法.2.1-1为三等分线段ABC(c)连工耳艮分别由点八1 愧战早杼%与战交用等分点I, 2tb)过点』作位■-宜物& 触―勾।图2.1-1等分线段(2)等分两平行线间的距离以最根本的尺规作图为根底三等分平行线间的距离【例2.1-2 ] 绘制图2.1-2 , 开始一张新图.tc位置裁尺和用刷上的0点券在CD鳗上.龄动rue,更亢尺上的］出落在/!脚上.取等分立M NCb)出A N点分别作比期段必,门」前平行城图2.1-2等分两平行线间的距离(c)调理里面,加谭留拨,即得所求的：等分疝f灯UU上何的和甫拘平打线(3)等分圆周工程中在不考虑精度的前提下,还有一些近似作图的方法. 【例2.1-3 ］外接圆作圆内接正五边形.作图过程如图2.1-3所示【例2.1-4 ］外接圆作圆内接正七边形.作图过程如图2.1-4所示iI 二十、图 2.1-4方法2: 方法3:(略) 图2.1-3作正五边形【例2.1-5】外接圆作圆内接正九边形.作图过程如图2.1-5所示图 2.1-5敬再奔等好点.法精备等分点以K 点为阳心同阳半褥画孤交削 于上百,过A 作半程酬的承拨交 OHJ Q,胭即为七边席的边隹.以八点内圈心.炖为半径而狐交 圃用丁日、G.队以上为起分戒次画菰即可以用匕 等分回冏.(4)圆弧连接在零件上,经常会遇到由一外表(平面或曲面)光滑地过渡到另一外表的情况,这种过渡称为面面相切,而反映到投影图上,一般为线段(曲线与直线、曲线与曲线)相切.在制图中将这种相切称为连接,常见的连接形式有：一圆弧与直线连接、圆弧与圆弧连接,如图2.1-5所示.从图形可以看出,圆弧连接的实质是几何要素间相切的关系.圆弧连接的实质：就是要使连接圆弧与相邻线段相切,以到达光滑连接的目的.圆弧连接的根本原理(轨迹法)为保证连接光滑,必须准确地求出连接弧的圆心和切点的位置.圆弧连接的作图方法.由图2.1-5可知,圆弧连接的作图步骤一般为:(1)求连接圆弧的圆心；(2)找出连接点即切点的位置；(3)在两连接点之间作出连接圆弧.各种圆弧连接的作图方法举例如下;【例2.1-4 ］用半径为作图步骤：R的圆弧连接两直线AB和CD如图2.1-6所示.图2.1-5 扳手的连接图&知以挂接贝华如为间距. 分别柞两百线的平疗黑交于.点. 2汹口点作,在线的重线. 圣足E. F点即为切点,以 .为国心,口力半径,过艮即为所求.M直域8、逢接弧半径图2.1-6圆弧连接两直线也可以看作是用圆弧连接锐角的两边,当用圆弧连接钝角的两边或用圆弧连接直角的两边时,作法如下列图所示.【例2.1-5 ］用半径为R的圆弧连接直线AB和圆弧〔半径R1〕,如图2-7所示作图步骤：〔略〕「5匕如fOMfi,卡科有营的璘8.崖椎鼻gw?力阿距叶纯食糊的¥ir■与口Q为■心,史io,.即为祈求法耀式的・心,F如畦足,以.为■心,R为幸依比耳F点作■»所求.图2.1-9 圆弧连接直线和圆弧〔连接弧与圆内切〕〔5圆孤连接钟例的两边⑹圆弧连接直苑的两边图2.1-7圆弧连接两直线【例2.1-6 ］用圆弧连接直线和圆弧的方法和步骤如图2.1-8和2.1-9所示.圆弧与圆弧外切连接的方法和步骤如图2.1-10所示.俗以府力何和.快苴线的平行竣后以口力圆心, 启+马力半it所作的弧史于O H 0即为所求连接遍留心. 〔邙或8L交圆于F点.过口作O垂直比那么.F为垂足+以口为阙心,/?为半桂,过& F柞弧.印为所求.as网.,d. T•铳分别内图2.1-10圆弧连接圆弧和圆弧连接«a分别以白' 口划网心.慰知即用为半柱件芥空千点口,.即为市辖飒回心.姐选整ocv 8r4两国的财峨.立国心-启力骨捶,自因用知那交于E,F点,切点E、F柞・,即内斯聿.尻F点即角0点.图2.1-8圆弧连接直线和圆弧〔连接弧与圆外切〕作图实例5、过一点作直线的垂线7、两角、一边作三角形6、三边作三角形8、一角、两边作三角形姓名过三点作圆【】不共线的A、B、C三点【求作】过该三点之圆过三点作【作法】① 连接AB,连接AC;②分别作出线段AB、AC的中点D、E;③过D作AB的垂线,过E作AC的垂线,两垂线相交于O;④以O为圆心OA长为半径作圆, 即为求作之圆.作顶点分别在三平行线上的正三角形【】平行直线L1、L2、L3o【求作】正ABC ,使三个顶点分别落在三条平行线上.【作法一】① L1上任取一点D为顶点,作正三角形ADBE ,使B、E落在L2三顶点在三平行上〔图中虚线为正三角形简易作法〕；② 作过D、E直线交L3于C;③以B线的正三角形作为圆心BC为半径作弧交L1于A,连接A、B、C成MBC【作法二】① L2上任取一点B作三平行线公垂线交L1于E, L3于D;②作线段EB的垂直平分线L4 ;③过D作直线DG使/ EDG = 30° ,并交L4于G;④过B、G作直线交L1于A;⑤以B 为圆心BA为半径作弧交L3于C,连接A、B、C成MBC.注：可将第⑤步改为,过G作AB的垂线交L3于点C.这样G,B,D,C四点显然共圆.于是可证得/ B CG=/EDG = 30°.这样可以很快证得公BC为等边三角形.。