(完整版)初中最基本的尺规作图总结

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初中尺规作图详细讲解(含图)

初中数学尺规作图讲解初等平面几何研究的对象，仅限于直线、圆以及由它们(或一部分）所组成的图形,因此作图的工具，习惯上使用没有刻度的直尺和圆规两种.限用直尺和圆规来完成的作图方法，叫做尺规作图法。

最简单的尺规作图有如下三条：⑴经过两已知点可以画一条直线;⑵已知圆心和半径可以作一圆;⑶两已知直线；一已知直线和一已知圆；或两已知圆，如果相交，可以求出交点;以上三条，叫做作图公法.用直尺可以画出第一条公法所说的直线；用圆规可以作出第二条公法所说的圆;用直尺和圆规可以求得第三条公法所说的交点.一个作图题，不管多么复杂，如果能反复应用上述三条作图公法，经过有限的次数，作出适合条件的图形,这样的作图题就叫做尺规作图可能问题；否则，就称为尺规作图不能问题。

历史上,最著名的尺规作图不能问题是：⑴三等分角问题:三等分一个任意角;⑵倍立方问题:作一个立方体,使它的体积是已知立方体的体积的两倍;⑶化圆为方问题：作一个正方形，使它的面积等于已知圆的面积.这三个问题后被称为“几何作图三大问题”。

直至1837年，万芝尔（Pierre Laurent Wantzel）首先证明三等分角问题和立方倍积问题属尺规作图不能问题；1882年，德国数学家林德曼（Ferdinand Lindemann）证明π是一个超越数（即π是一个不满足任何整系数代数方程的实数)，由此即可推得根号π(即当圆半径1r=时所求正方形的边长)不可能用尺规作出，从而也就证明了化圆为方问题是一个尺规作图不能问题.若干著名的尺规作图已知是不可能的，而当中很多不可能证明是利用了由19世纪出现的伽罗华理论.尽管如此，仍有很多业余爱好者尝试这些不可能的题目，当中以化圆为方及三等分任意角最受注意.数学家Underwood Dudley曾把一些宣告解决了这些不可能问题的错误作法结集成书。

还有另外两个著名问题：⑴正多边形作法·只使用直尺和圆规，作正五边形.·只使用直尺和圆规,作正六边形.·只使用直尺和圆规，作正七边形—-这个看上去非常简单的题目，曾经使许多著名数学家都束手无策，因为正七边形是不能由尺规作出的。

(完整版)初中最基本的尺规作图总结

尺规作图一、理解“尺规作图”的含义1.在几何中，我们把只限定用直尺（无刻度）和圆规来画图的方法，称为尺规作图．其中直尺只能用来作直线、线段、射线或延长线段；圆规用来作圆和圆弧．由此可知，尺规作图与一般的画图不同，一般画图可以动用一切画图工具，包括三角尺、量角器等，在操作过程中可以度量，但尺规作图在操作过程中是不允许度量成分的．2.基本作图：（1）用尺规作一条线段等于已知线段；（2）用尺规作一个角等于已知角. 利用这两个基本作图，可以作两条线段或两个角的和或差.二、熟练掌握尺规作图题的规范语言1.用直尺作图的几何语言：①过点×、点×作直线××；或作直线××；或作射线××；②连结两点××；或连结××；③延长××到点×；或延长（反向延长）××到点×，使××＝××；或延长××交××于点×；2.用圆规作图的几何语言：①在××上截取××＝××；②以点×为圆心，××的长为半径作圆（或弧）；③以点×为圆心，××的长为半径作弧，交××于点×；④分别以点×、点×为圆心，以××、××的长为半径作弧，两弧相交于点×、×. 三、了解尺规作图题的一般步骤尺规作图题的步骤：1.已知：当作图是文字语言叙述时，要学会根据文字语言用数学语言写出题目中的条件；2.求作：能根据题目写出要求作出的图形及此图形应满足的条件；3.作法：能根据作图的过程写出每一步的操作过程.当不要求写作法时，一般要保留作图痕迹.对于较复杂的作图，可先画出草图，使它同所要作的图大致相同，然后借助草图寻找作法.在目前，我们只要能够写出已知，求作，作法三步（另外还有第四步证明）就可以了，而且在许多中考作图题中，又往往只要求保留作图痕迹，不需要写出作法，可见在解作图题时，保留作图痕迹很重要.尺规作图的定义：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。

初中最基本的尺规作图总结

尺规作图一、熟练掌握尺规作图题的规范语言用直尺作图的几何语言：1. ①过点×、点×作直线××；或作直线××；或作射线××；②连结两点××；或连结××；③延长××到点×；或延长（反向延长）××到点×，使××＝××；或延长××交××于点×；用圆规作图的几何语言：2. ①在××上截取××＝××；；②以点×为圆心，××的长为半径作圆（或弧）③以点×为圆心，××的长为半径作弧，交××于点×；.④分别以点×、点×为圆心，以××、××的长为半径作弧，两弧相交于点×、×三、了解尺规作图题的一般步骤尺规作图题的步骤：当作图是文字语言叙述时，要学会根据文字语言用数学语言写出题目中的条件；1.已知：2.求作：能根据题目写出要求作出的图形及此图形应满足的条件；一般要保留作图当不要求写作法时，作法：能根据作图的过程写出每一步的操作过程.3.对于较复杂的作图，可先画出草图，使它同所要作的图大致相同，然后借助草图寻找.痕迹.作法在目前，我们只要能够写出已知，求作，作法三步（另外还有第四步证明）就可以了，可见在解作图题不需要写出作法，而且在许多中考作图题中，又往往只要求保留作图痕迹，. 时，保留作图痕迹很重要五种基本作图：1、作一条线段等于已知线段；2、作一个角等于已知角；3、作已知线段的垂直平分线；4、作已知角的角平分线；5、过一点作已知直线的垂线；题目一：作一条线段等于已知线段。

中考专题复习——初中最基本的尺规作图总结与典型例题

初中基本尺规作图总结与典型例题一、理解“尺规作图”的含义1.在几何中，我们把只限定用直尺（无刻度）和圆规来画图的方法，称为尺规作图．其中直尺只能用来作直线、线段、射线或延长线段；圆规用来作圆和圆弧．由此可知，尺规作图与一般的画图不同，一般画图可以动用一切画图工具，包括三角尺、量角器等，在操作过程中可以度量，但尺规作图在操作过程中是不允许度量成分的．2.基本作图：（1）用尺规作一条线段等于已知线段；（2）用尺规作一个角等于已知角. 利用这两个基本作图，可以作两条线段或两个角的和或差.二、熟练掌握尺规作图题的规范语言1.用直尺作图的几何语言：①过点×、点×作直线××；或作直线××；或作射线××；②连结两点××；或连结××；③延长××到点×；或延长（反向延长）××到点×，使××＝××；或延长××交××于点×；2.用圆规作图的几何语言：①在××上截取××＝××；②以点×为圆心，××的长为半径作圆（或弧）；③以点×为圆心，××的长为半径作弧，交××于点×；④分别以点×、点×为圆心，以××、××的长为半径作弧，两弧相交于点×、×. 三、了解尺规作图题的一般步骤尺规作图题的步骤：1.已知：当作图是文字语言叙述时，要学会根据文字语言用数学语言写出题目中的条件；2.求作：能根据题目写出要求作出的图形及此图形应满足的条件；3.作法：能根据作图的过程写出每一步的操作过程.当不要求写作法时，一般要保留作图痕迹.对于较复杂的作图，可先画出草图，使它同所要作的图大致相同，然后借助草图寻找作法.在目前，我们只要能够写出已知，求作，作法三步（另外还有第四步证明）就可以了，而且在许多中考作图题中，又往往只要求保留作图痕迹，不需要写出作法，可见在解作图题时，保留作图痕迹很重要.尺规作图的定义：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。

初中尺规作图详细讲解(含图)

初中数学尺规作图讲解初等平面几何研究的对象，仅限于直线、圆以及由它们（或一部分）所组成的图形，因此作图的工具，习惯上使用没有刻度的直尺和圆规两种.限用直尺和圆规来完成的作图方法，叫做尺规作图法. 最简单的尺规作图有如下三条：⑴ 经过两已知点可以画一条直线；⑵ 已知圆心和半径可以作一圆；⑶ 两已知直线；一已知直线和一已知圆；或两已知圆，如果相交，可以求出交点；以上三条，叫做作图公法. 用直尺可以画出第一条公法所说的直线；用圆规可以作出第二条公法所说的圆；用直尺和圆规可以求得第三条公法所说的交点. 一个作图题，不管多么复杂，如果能反复应用上述三条作图公法，经过有限的次数，作出适合条件的图形，这样的作图题就叫做尺规作图可能问题；否则，就称为尺规作图不能问题.历史上，最著名的尺规作图不能问题是：⑴ 三等分角问题：三等分一个任意角；⑵ 倍立方问题：作一个立方体，使它的体积是已知立方体的体积的两倍；⑶ 化圆为方问题：作一个正方形，使它的面积等于已知圆的面积.这三个问题后被称为“几何作图三大问题”. 直至1837 年，万芝尔（Pierre Laurent Wantzel ）首先证明三等分角问题和立方倍积问题属尺规作图不能问题；1882 年，德国数学家林德曼（Ferdinand Lindemann ）证明π是一个超越数（即π是一个不满足任何整系数代数方程的实数），由此即可推得根号π（即当圆半径r 1时所求正方形的边长）不可能用尺规作出，从而也就证明了化圆为方问题是一个尺规作图不能问题.若干著名的尺规作图已知是不可能的，而当中很多不可能证明是利用了由19 世纪出现的伽罗华理论. 尽管如此，仍有很多业余爱好者尝试这些不可能的题目，当中以化圆为方及三等分任意角最受注意. 数学家Underwood Dudley 曾把一些宣告解决了这些不可能问题的错误作法结集成书.还有另外两个著名问题：⑴ 正多边形作法·只使用直尺和圆规，作正五边形. ·只使用直尺和圆规，作正六边形. ·只使用直尺和圆规，作正七边形——这个看上去非常简单的题目，曾经使许多著名数学家都束手无策，因为正七边形是不能由尺规作出的.·只使用直尺和圆规，作正九边形，此图也不能作出来，因为单用直尺和圆规，是不足以把一个角分成三等份的.·问题的解决：高斯，大学二年级时得出正十七边形的尺规作图法，并给出了可用尺规作图的正多边形的条件：尺规作图正多边形的边数目必须是 2 的非负整数次方和不同的费马素数的积，解决了两千年来悬而未决的难题.⑵ 四等分圆周只准许使用圆规，将一个已知圆心的圆周 4 等分．这个问题传言是拿破仑·波拿巴出的，向全法国数学家的挑战.尺规作图的相关延伸：用生锈圆规（即半径固定的圆规）作图1. 只用直尺及生锈圆规作正五边形2. 生锈圆规作图，已知两点A、B ，找出一点C使得AB BC CA.3. 已知两点A、B ，只用半径固定的圆规，求作C使C是线段AB的中点.4. 尺规作图，是古希腊人按“尽可能简单”这个思想出发的，能更简洁的表达吗？顺着这思路就有了更简洁的表达. 10世纪时，有数学家提出用直尺和半径固定的圆规作图. 1672年，有人证明：如果把“作直线”解释为“作出直线上的 2 点”，那么凡是尺规能作的，单用圆规也能作出！从已知点作出新点的几种情况：两弧交点、直线与弧交点、两直线交点，在已有一个圆的情况下，那么凡是尺规能作的，单用直尺也能作出！ . 五种基本作图：初中数学的五种基本尺规作图为：1.做一线段等于已知线段2.做一角等于已知角3. 做一角的角平分线4.过一点做一已知线段的垂线5.做一线段的中垂线下面介绍几种常见的尺规作图方法： ⑴ 轨迹交点法：解作图题的一种常见方法 . 解作图题常归结到确定某一个点的位置 . 如果这两个点的位置是由两个条件确定的，先放弃其中一个条件，那么这个点的位置就不确定而形成一个轨迹；若改变放弃另一个条件，这个点就在另一条轨迹上，故此点便是两个轨迹的交点交点来解作图题的方法称为轨迹交点法，或称交轨法、轨迹交截法、轨迹法例 1】电信部门要修建一座电视信号发射塔，如下图，按照设计要求，发射塔到两个城镇相等，到两条高速公路 m 、 n 的距离也必须相等，发射塔 P 应修建在什么位置？分析】这是一道实际应用题，关键是转化成数学问题，根据题意知道，点 P 应满足两个条件，一是在线段 AB的垂直平分线上；二是在两条公路夹角的平分线上，所以点 P 应是它们的交点 .解析】 ⑴ 作两条公路夹角的平分线 OD 或 OE ；⑵ 作线段 AB 的垂直平分线 FG ；则射线 OD ， OE 与直线 FG 的交点 C 1 ， C 2 就是发射塔的位置 .例 2】在平面直角坐标系中，点 A 的坐标是（4 ， 0）， O 是坐标原点，在直线 y x 3上求一点 P ，使 AOP是等腰三角形，这样的 P 点有几个？解析】首先要清楚点 P 需满足两个条件，一是点 P 在 y x 3上；二是 AOP 必须是等腰三角形 .其次，寻找P 点要分情况讨论，也就是当 OA OP 时，以 O 点为圆心， OA 为半径画圆，与直线有两个点 P 1、 P 2；当 OA AP 时，以 A 点为圆心， OA 为半径画圆，与直线无交点；当 PO PA 时，作 OA 的垂直平分线，. 这个利用轨迹的A 、B 的距离必须C2G与直线有一交点 P 3，所以总计这样的 P 点有 3个.分析】设⊙M 是符合条件的圆，即其半径为 r ，并与 ⊙O 及⊙O '外切，显然，点 M 是由两个轨迹确定的，即M 点既在以 O 为圆心以 R r 为半径的圆上，又在以 O'为圆心以 R' r 为半径的圆上，因此所求圆的圆心的位置可确定 . 若⊙O 与⊙O'相距为 b ，当 2r b 时，该题无解，当 2r b 有唯一解；当 2r b 时，有两解 .解析】以当⊙O 与 ⊙O '相距为 b ，2r b 时为例：⑴ 作线段 OA R r ， O' B R' r .⑵ 分别以 O ， O '为圆心，以 R r ， R' r 为半径作圆，两圆交于 M 1,M 2 两点. ⑶ 连接 OM 1 ， OM 2 ，分别交以 R 为半径的 ⊙O 于 D 、C 两点. ⑷ 分别以 M 1，M 2 为圆心，以 r 为半径作圆 . ∴⊙M 1,⊙M 2 即为所求 .思考】若将例 3 改为： “设⊙O 与⊙O '相离，半径分别为 R 与 R' ，求作半径为 r (r R)的圆，使其与 ⊙O 内切，与 ⊙O'外切. ”又该怎么作图？⑵ 代数作图法：解作图题时，往往首先归纳为求出某一线段长，而这线段长的表达式能用代数方法求出，然后根据线段长的表达式设计作图步骤 . 用这种方法作图称为代数作图法 .【例 4】只用圆规，不许用直尺，四等分圆周(已知圆心).【分析】设半径为 1. 可算出其内接正方形边长为 2 ，也就是说用这个长度去等分圆周 .我们的任务就是做出这个长度 . 六等分圆周时会出现一个 3的长度 .设法构造斜边为 3 ，一直角边为 1的直角三角形， 2 的长度自然就出来了 .【解析】具体做法：⑴ 随便画一个圆 . 设半径为 1.⑵ 先六等分圆周 . 这时隔了一个等分点的两个等分点距离为例 3】设⊙O 与 ⊙O '相离，半径分别为 R 与 R'，求作半径为 r 的圆，使其与 ⊙O 及⊙O'外切 .rMDO' O R'RrCMAB⑶ 以这个距离为半径，分别以两个相对的等分点为圆心，同向作弧，交于一点 .（ “两个相对的等分点其实就是直径的两端点啦！两弧交点与 “两个相对的等分点 ”形成的是一个底为 2，腰为 3 的等腰三角形. 可算出顶点距圆心距离就是 2 .） ⑷ 以 2 的长度等分圆周就可以啦！例 5】求作一正方形，使其面积等于已知 ABC 的面积 .分析】设 ABC 的底边长为 a ，高为 h ，关键是在于求出正方形的边长 x ，使得 x 2 1 ah ，所以 x 是 1a 与h 的22 比例中项 .解析】已知：在 ABC 中，底边长为 a ，这个底边上的高为 h ，求作：正方形 DEFG ，使得： S 正方形 DEFG S ABC作法：⑴ 作线段 MD 1 a ；2⑵ 在 MD 的延长线上取一点 N ，使得 DN h ；⑶ 取 MN 中点 O ，以 O 为圆心， OM 为半径作 ⊙O ； ⑷ 过 D 作 DE MN ，交⊙O 于 E ， ⑸ 以 DE 为一边作正方形 DEFG . 正方形 DEFG 即为所求 .分析】先利用代数方法求出点 M 与圆心 O 的距离 d ，再以 O 为圆心， d 为半径作圆，此圆与直线 l 的交点即为所求 .解析】 ⑴ 作Rt OAB ，使得： A 90 ，OA r ， AB a .例 6】在已知直线 l 上求作一点 M ，使得过 M 作已知半径为 r 的 ⊙O 的切线，其切线长为a.a⑵ 以O 为圆心，OB 为半径作圆若此圆与直线l相交，此时有两个交点M1，M2.M1，M2 即为所求.若此圆与直线l相切，此时只有一个交点M.M即为所求.若此圆与直线l 相离，此时无交点.即不存在这样的M 点使得过M 作已知半径为r 的⊙O的切线，其切线长为 a.⑶ 旋转法作图：有些作图题，需要将某些几何元素或图形绕某一定点旋转适当角度，以使已知图形与所求图形发生联系，从而发现作图途径.例7】已知：直线a、b、c，且a∥b∥c.求作：正ABC ，使得A、 B 、C三点分别在直线a、b、c上.ab分析】假设ABC是正三角形，且顶点 A 、 B 、C三点分别在直线a、b、c上.作AD b于D，将ABD绕A点逆时针旋转60 后，置于ACD'的位置，此时点D' 的位置可以确定.从而点C也可以确定. 再作BAC 60 ， B 点又可以确定，故符合条件的正三角形可以作出.解析】作法：⑴ 在直线a上取一点A，过A作AD b于点 D ；⑵ 以AD 为一边作正三角形ADD ' ；⑶ 过D'作D'C AD ' ，交直线 c 于C；⑷ 以A为圆心，AC为半径作弧，交b于B（使B与D'在AC异侧）.⑸ 连接AB 、AC 、BC 得ABC .ABC 即为所求.例8】已知：如图，P 为AOB 角平分线OM 上一点.求作：PCD ，使得P 90 ，PC PD，且C在OA上，D在OB上.解析】 ⑴ 过 P 作 PE OB 于 E .⑵ 过 P 作直线 l ∥OB ;⑶ 在直线 l 上取一点 M ，使得 PM PE （或 PM ' PE ）；⑷ 过M （或M'）作MC l （或 M'C l ），交OA 于C （或C'）点；⑸ 连接PC （或PC' ），过 P 作PD PC （或PD' PC'）交OB 于D （或 D'）点. 连接 PD,CD （或 PD',C'D'）.则 PCD （或 PC'D'）即为所求 .⑷ 位似法作图：利用位似变换作图，要作出满足某些条件的图形，可以先放弃一两个条件，作出与其位似的图形，然后利用位似变换，将这个与其位似得图形放大或缩小，以满足全部条件，从而作出满足全部的条件 .【例 9】已知：一锐角 ABC .求作:一正方形 DEFG ，使得 D 、 E 在BC 边上， F 在AC 边上， G 在AB 边上.分析】先放弃一个顶点 F 在 AC 边上的条件，作出与正方形 DEFG 位似的正方形 D 'E 'F ' G' ，然后利用位似变换将正方形 D'E'F 'G '放大（或缩小）得到满足全部条件的正方形DEFG .解析】作法：⑴ 在 AB 边上任取一点 G'，过 G'作G'D' BC 于 D'⑵ 以G'D '为一边作正方形 D'E'F'G'，且使 E'在 BD '的延长线上 . ⑶ 作直线 BF'交 AC 于 F .⑷ 过F 分别作 FG ∥F'G'交 AB 于G ；作 FE ∥F'E'交BC 于E . ⑸ 过G 作GD ∥G'D'交 BC 于 D . 则四边形 DEFG 即为所求 .A⑸ 面积割补法作图：对于等积变形的作图题，通常在给定图形或某一确定图形上割下一个三角形，再借助平行线补上一个等底等高的另一个三角形，使面积不变，从而完成所作图形.【例10】如图，过ABC的底边BC上一定点，P ，求作一直线l ，使其平分ABC的面积.分析】因为中线AM 平分ABC的面积，所以首先作中线AM ，假设PQ平分ABC的面积，在AMC 中先割去AMP ，再补上ANP .只要NM ∥ AP ，则AMP 和AMP就同底等高，此时它们的面积就相等了. 所以PN 就平分了ABC的面积.解析】作法：⑴ 取BC中点M ，连接AM ,AP;⑵ 过M 作MN∥AP交AB于N；⑶ 过P、N 作直线l . 直线l 即为所求.例11】如图：五边形ABCDE 可以看成是由一个直角梯形和一个矩形构成⑴ 请你作一条直线l ，使直线l 平分五边形ABCDE 的面积；⑵ 这样的直线有多少条？请你用语言描述出这样的直线.解析】⑴ 取梯形AFDE 的中位线MN 的中点O ，再取矩形BCDF 对角线的交点O ' ，则经过点O，O'的直线l 即为所求；⑵ 这样的直线有无数条. 设⑴中的直线l 交AE于Q，交BC于R，过线段RQ中点P ，且与线段AE、BC均有交点的直线均可平分五边形ABCDE的面积.例12】（07江苏连云港）如图1，点C将线段AB分成两部分，如果AC BC，那么称点C 为线段AB的黄金分AB AC割点．某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l 将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1，S2 ，如果S1 S2，那么称直线S S1 l 为该图形的黄金分割线．⑴ 研究小组猜想：在△ABC 中，若点 D 为AB边上的黄金分割点（如图 2 ），则直线CD是△ABC 的黄金分割线．你认为对吗？为什么？⑵ 请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？⑶ 研究小组在进一步探究中发现：过点 C 任作一条直线交 AB 于点 E ，再过点 D 作直线 DF ∥CE ，交AC 于点F ，连接EF (如图3)，则直线 EF 也是△ABC 的黄金分割线．请你说明理由．⑷ 如图 4 ，点 E 是 ABCD 的边 AB 的黄金分割点，过点 E 作 EF ∥ AD ，交 DC 于点 F ，显然直线EF 是 ABCD 的黄金分割线．请你画一条 ABCD 的黄金分割线，使它不经过 ABCD 各边黄金分割点．解析】 ⑴ 直线 CD 是△ABC 的黄金分割线．理由如下：设 △ ABC 的边 AB 上的高为 h ．1112 BD h ， S △ABC 2AB h ，S △ ADC ADS △BDC BDS△ ABCABS △ ADC AD又∵点 D 为边 AB 的黄金分割点，∴AD BDS △ ADC S △ BDC ． AB ADS△ ABC S △ ADC∴直线 CD 是 △ ABC 的黄金分割线．⑵ ∵ 三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，此时 S 1 S 2 1S ，即 S1 S2 ，2 S S 1 ∴三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线．⑶ ∵ DF ∥ CE ，∴ △DEC 和 △FCE 的公共边 CE 上的高也相等，设直线 EF 与CD 交于点 G ，∴ S △ DGE S △ FGC ． ∴ S △ ADCS四边形 AFGDS △ FGCS四边形 AFGDS△ DGES△ AEF ，∴直线 EF 也是 △ ABC 的黄金分割线． ⑷ 画法不惟一，现提供两种画法；A C B图 11 S△ADC2 AD h ，S△ BDCS△ DECS△FCE又∵S△ ADC S △ BDC S△ AEFS四边形BEFCS△ ABC，∴S△ ADCS△ ABCS△ AEF图2图3图4S△ BDCS四边形 BEFC ．答案图 1) 答案图 2)画法一：如答图1，取EF中点G ，再过点G作一直线分别交AB，DC于M，N点，则直线MN 就是ABCD 的黄金分割线．画法二：如答图2，在DF上取一点N，连接EN ，再过点 F 作FM∥NE交AB于点M，连接MN ，则直线MN 就是ABCD 的黄金分割线．。

尺规作图资料(完整)

1：尺规作出正三角形2尺规作出正方形3：尺规作出正六边形4：尺规作出正十边形5：尺规作出正十六边形6:尺规作出正十七边形7：尺规作出正十五边形8：尺规作出正五边形9:单尺作出正八边形10：单尺作出正方形11：单尺作出正六边形12：单尺作出正五边形13：单规找出两点间的三等分点14：单规找出两点间的中点15:单规作出等边三角形16：单规作出正八边形17：单规作出正方形18：单规作出正六边形19：单规作出正十边形20:单规作出正十二边形21：单规作出正十六边形22：单规作出正十五边形23单规作出正五边形24：只有两个刻度的直尺作出正三角形25:只有两个刻度的直尺作出正方形初中数学尺规作图专题讲解张远波尺规作图是起源于古希腊的数学课题.只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题。

平面几何作图，限制只能用直尺、圆规.在历史上最先明确提出尺规限制的是伊诺皮迪斯.他发现以下作图法：在已知直线的已知点上作一角与已知角相等。

这件事的重要性并不在于这个角的实际作出,而是在尺规的限制下从理论上去解决这个问题.在这以前，许多作图题是不限工具的.伊诺皮迪斯以后，尺规的限制逐渐成为一种公约，最后总结在《几何原本》之中。

初等平面几何研究的对象,仅限于直线、圆以及由它们（或一部分）所组成的图形，因此作图的工具,习惯上使用没有刻度的直尺和圆规两种。

限用直尺和圆规来完成的作图方法，叫做尺规作图法。

最简单的尺规作图有如下三条:⑴经过两已知点可以画一条直线;⑵已知圆心和半径可以作一圆;⑶两已知直线；一已知直线和一已知圆；或两已知圆,如果相交，可以求出交点;以上三条，叫做作图公法.用直尺可以画出第一条公法所说的直线；用圆规可以作出第二条公法所说的圆;用直尺和圆规可以求得第三条公法所说的交点.一个作图题，不管多么复杂，如果能反复应用上述三条作图公法，经过有限的次数,作出适合条件的图形,这样的作图题就叫做尺规作图可能问题；否则,就称为尺规作图不能问题.历史上，最著名的尺规作图不能问题是：⑴三等分角问题：三等分一个任意角；⑵倍立方问题：作一个立方体，使它的体积是已知立方体的体积的两倍;⑶化圆为方问题：作一个正方形，使它的面积等于已知圆的面积。

(完整版)中考数学尺规作图专题复习(含答案)

中考尺规作图专题复习（含答案）尺规作图定义：用无刻度的直尺和圆规画图，中考中常见画的图是线段的垂线，垂直平分线，角平分线、画等长的线段，画等角。

1.直线垂线的画法：【分析】：以点C为圆心，任意长为半径画弧交直线与A，B两点，再分别以点A，B为圆心，大于12AB的长为半径画圆弧，分别交直线l两侧于点M，N，连接MN，则MN即为所求的垂线2.线段垂直平分线的画法【分析】：作法如下：分别以点A，B为圆心，大于12AB的长为半径画圆弧，分别交直线AB两侧于点C，D，连接CD，则CD即为所求的线段AB的垂直平分线.3.角平分线的画法【分析】1.选角顶点O为圆心，任意长为半径画圆，分别交角两边A，B点，再分别以A，B为圆心，大于12AB的长为半径画圆弧，交H点，连接OH，并延长，则射线OH即为所求的角平分线.4.等长的线段的画法直接用圆规量取即可。

5.等角的画法【分析】以O为圆心，任意长为半径画圆，交原角的两边为A,B两点，连接AB；画一条射线l，以上面的那个半径为半径，l的顶点K为圆心画圆，交l与L，以L为圆心，AB 为半径画圆，交以K为圆心，KL为半径的圆与M点，连接KM，则角LKM即为所求.备注：1.尺规作图时，直尺主要用作画直线，射线，圆规主要用作截取相等线段和画弧；2.求作一个三角形，其实质是依据三角形全等的基本事实或判定定理来进行的；3.当作图要满足多个要求时，应逐个满足，取公共部分.例题讲解例题1.已知线段a，求作△ABC，使AB=BC=AC=a.解：作法如下:①作线段BC=a；（先作射线BD，BD截取BC=a）.②分别以B、C为圆心，以a半径画弧，两弧交于点A；③连接AB、AC.则△ABC 要求作三角形.例2.已知线段a 和∠α，求作△ABC ，使AB=AC=a ，∠A=∠α.解：作法如下：①作∠MAN=∠α；②以点A 为圆心，a 为半径画弧，分别交射线AM ，AN 于点B ，C. ③连接B ，C.△ABC 即为所求作三角形.例3.(深圳中考)如图，已知△ABC ，AB <BC ，用尺规作图的方法在BC 上取一点P ，使得PA ＋PC ＝BC ，则下列选项中，正确的是(D )【解析】由题意知，做出AB 的垂直平分线和BC 的交点即可。

初中数学中的尺规作图

尺规作图是一种古老而神奇的工具，能够用简单的工具和技巧绘制出精确的几何图形。

在初中数学中，尺规作图是一个必修的内容，对于学生来说，掌握它是非常重要的。

本文将详细介绍尺规作图的基础知识、步骤和实践技巧。

一、什么是尺规作图？尺规作图，又称欧氏几何作图，是一种利用尺子和圆规进行的几何作图方法。

它的基本原理是：利用尺子测量长度，用圆规画出圆和弧，然后通过将这些线段和圆弧相交、平移、旋转等操作，得到所需的几何图形。

尺规作图是欧几里得几何的基础，也是很多复杂几何问题的解决方法之一。

二、尺规作图的基本步骤1. 给定图形尺规作图的第一步是给定一个几何图形，通常是已知几条线段或者角度的大小关系。

例如，给定一个直角三角形，其中两条直角边的长度分别为3cm和4cm，要求作出这个三角形。

2. 作出基础线段根据给定的条件，用尺子和圆规作出基础线段。

例如，在一个纸上画一条长度为3cm的线段AB，再画一条长度为4cm的线段AC，其中∠BAC为直角。

3. 作出辅助线段根据需要，作出一些辅助线段，以便通过相交、平移、旋转等操作得到所需的图形。

例如，可以在线段AB上取一点D，再以点C为圆心、AC为半径画一个圆，得到一个圆弧，将其与线段AB相交于点E，再连接线段AE和BE，就得到了一个直角三角形ABC。

三、尺规作图的实践技巧1. 细心测量尺规作图需要精确测量线段的长度和角度的大小，因此必须细心认真地进行测量，避免出现误差。

特别是在作大型图形时，必须使用长尺和精密测量工具，以确保准确性。

2. 多加练习尺规作图需要的是手眼协调能力和灵活性，这些技能需要通过不断地练习才能掌握。

建议初学者多做练习题，逐渐提高自己的技巧和速度。

3. 熟练运用尺规尺规作图需要灵活运用圆规和尺子，掌握不同的测量技巧和作图方法。

例如，可以利用圆规的不同刻度测量半径和角度，或者利用尺子的折叠功能作出垂线等。

四、总结归纳尺规作图是一种重要的几何工具，能够在解决复杂几何问题时提供有力的支持。

初中最基本的尺规作图总结讲解学习

初中最基本的尺规作图总结尺规作图一、熟练掌握尺规作图题的规范语言1. 用直尺作图的几何语言：①过点X、点X作直线XX;或作直线XX;或作射线XX；②连结两点XX；或连结XX；③延长XX到点X;或延长（反向延长）XX到点X,使XX = XX ;或延长XX 交XX于点X;2. 用圆规作图的几何语言：①在XX上截取XX=XX;②以点X为圆心，XX的长为半径作圆（或弧）；③以点X为圆心，XX的长为半径作弧，交XX于点X;④分别以点X、点X为圆心，以XX、XX的长为半径作弧，两弧相交于点x、x.三、了解尺规作图题的一般步骤尺规作图题的步骤：1. 已知：当作图是文字语言叙述时，要学会根据文字语言用数学语言写出题目中的条件；2. 求作：能根据题目写出要求作出的图形及此图形应满足的条件；3. 作法：能根据作图的过程写出每一步的操作过程.当不要求写作法时，一般要保留作图痕迹.对于较复杂的作图，可先画出草图，使它同所要作的图大致相同，然后借助草图寻找作法.在目前，我们只要能够写出已知，求作，作法三步（另外还有第四步证明）就可以了，而且在许多中考作图题中，又往往只要求保留作图痕迹，不需要写出作法，可见在解作图题时，保留作图痕迹很重要.五种基本作图：1、作一条线段等于已知线段；2、作一个角等于已知角；3、作已知线段的垂直平分线；4、作已知角的角平分线；5、过一点作已知直线的垂线；题目一：作一条线段等于已知线段。

已知：如图，线段a .求作：线段AB使AB = a .作法：（1）作射线AP;（2）在射线AP上截取AB=a .则线段AB就是所求作的图形。

（作线段写于已知线段）题目二：作已知线段的中点已知：如图，线段MN. 求作：作法：点0,使M0=NQ即0是MN的中点）（1）分别以M N为圆心，大于的相同线段为半径画弧，两弧相交于P, Q;（2）连接PQ交MNT O则点0就是所求作的MN的中点。

（作线段的中点）(试问：PQ 与MN 有何关系？)题目三：作已知角的角平分线。

初中尺规作图总结

2. 基本作图：（1）用尺规作一条线段等于已知线段；（2）用尺规作一个角等于已知角 .
利用这两个基本作图，可以作两条线段或两个角的和或差 . 二、熟练掌握尺规作图题的规范语言 1. 用直尺作图的几何语言： ①过点×、点×作直线××；或作直线××；或作射线××；
②连结两点××；或连结××；
③延长××到点×；或延长（反向延长）××到点×，使××＝××；或延长××交
则线段 AB就是所求作的图形。题目二：作已知线段的中点。已知：如图，线段 MN. 求作：点 O，使 MO=N（O即 O是 MN的中点） . 作法：（１）分别以 M、N为圆心，大于
的相同线段为半径画弧，两弧相交于 P，Q；（２）连接 PQ交 MN于 O．则点 O就是所求作的ＭＮ的中点。（试问： PQ与ＭＮ有何关系？）题目三：作已知角的角平分线。已知：如图，∠ AOB，求作：射线 OP, 使∠ AOP＝∠ BOP（即 OP平分∠ AOB）。作法：（1）以 O为圆心，任意长度为半径画弧，
题时，保留作图痕迹很重要 . 尺规作图的定义：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。最基本
规作图 , 通常称基本作图。一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的。五种基本作图： 1、作一条线段等于已知线段；
2 、作一个角等于已知角； 3 、作已知线段的垂直平分线； 4 、作已知角的角平分线； 5 、过一点作已知直线的垂线；题目一：作一条线段等于已知线段。已知：如图，线段 a . 求作：线段 AB，使 AB = a . 作法：（ 1）作射线 AP；（ 2）在射线 AP上截取 AB=a .
图（ 2）
图（ 3）
正解如图（ 3）．（1）作直线 PQ，在直线 PQ上任取一点 D，作 DM⊥ PQ；（2）在 DM上截取线段 DA=h；

中考数学知识点复习：尺规作图全面版

如何利用尺规作图解决最值问题？
最值问题的求解
最值问题是一类求解最优解的问题，可以利用尺规作图来解决。例如，在几何、代数等领域中，经常需要使用尺规作图来求解最值问题。
作图方法
利用尺规作图求解最值问题，需要先了解问题的具体内容，然后根据问题内容进行尺规作图。在作图过程中，需要注意图形绘制的准确性和规范性，以保证求解的准确性。
03
多边形的尺规作图
作已知线段的垂线
01
总结词：通过一个已知点，作已知线段的垂线，是尺规作图
的基础。
02
详细描述
03
04
1. 分别以线段的两个端点为圆心，以大于线段的一半为半径画圆弧，得到两个交点。
2. 连接两个交点，得到的直线即为已知线段的垂线。
已知二线段平行的垂线段的中垂线
总结词：找到一个已知的平行线段的中垂线，是尺规作图的进阶技能。
1. 以平行线段的一个端点为圆心，以适当长度为半径画圆弧，与平行线段相交于两点。
详细描述
2. 连接这两个交点得到的直线即为已知平行线段的中垂线。
作已知直线的平行线
01
总结词：通过一个已知点，作已知直线的平行线，是尺规作图的基本技能之一。
02
详细描述
03
1. 以已知点为圆心，以适当长度为半径画圆弧，与直线相交于两点。
04
2. 连接这两个交点得到的直线即为已知直线的平行线。
作已知二线段的中垂线
01 总结词：通过两个已知点，作已知二线段的中垂线，是尺规作图的高级技能。
02
详细描述
Hale Waihona Puke 031. 以两个已知点为圆心，以适当长度为半径画圆弧，得到两个交点。
04

(完整版)初中尺规作图典型例题归纳总结

初中尺规作图典型例题归纳典型例题一例已知线段a 、b ，画一条线段，使其等于b a 2+．分析所要画的线段等于b a 2+，实质上就是b b a ++．画法：1．画线段a AB =．2．在AB 的延长线上截取b BC 2=．线段AC 就是所画的线段．说明1．尺规作图要保留画图痕迹，画图时画出的所有点和线不可随意擦去．2．其它作图都可以通过画基本作图来完成，写画法时，只需用一句话来概括叙述基本作图．典型例题二例如下图，已知线段a 和b ，求作一条线段AD 使它的长度等于2a －b ．错解如图（1），（1）作射线AM ；（2）在射线AM 上截取AB =BC =a ，CD =b ，则线段AD 即为所求．错解分析主要是作图语言不严密，当在射线上两次截取时，要写清是否顺次，而在求线段差时，要交待截取的方向．图（1）图（2）正解如图（2），（1）作射线AM ；（2）在射线AM 上，顺次截取AB =BC =a ；（3）在线段CA 上截取CD =b ，则线段AD 就是所求作的线段．典型例题三例求作一个角等于已知角∠MON （如图1）．图（1）图（2）错解如图（2），（1）作射线11M O ；（2）在图（1），以O 为圆心作弧，交OM 于点A ，交ON 于点B ；（3）以1O 为圆心作弧，交11M O 于C ；（4）以C 为圆心作弧，交于点D ；（5）作射线D O 1．则∠D CO 1即为所求的角．错解分析作图过程中出现了不准确的作图语言，在作出一条弧时，应表达为：以某点为圆心，以其长为半径作弧．正解如图（2），（1）作射线11M O ；（2）在图（1）上，以O 为圆心，任意长为半径作弧，交OM 于点A ，交ON 于点B ；（3）以1O 为圆心，OA 的长为半径作弧，交11M O 于点C ；（4）以C 为圆心，以AB 的长为半径作弧，交前弧于点D ；（5）过点D 作射线D O 1．则∠D CO 1就是所要求作的角．典型例题四例如下图，已知∠α及线段a ，求作等腰三角形，使它的底角为α，底边为a ．分析先假设等腰三角形已经作好，根据等腰三角形的性质，知两底角∠B =∠C =∠α，底边BC =a ，故可以先作∠B =∠α，或先作底边BC =a ．作法如下图（1）∠MBN =∠α；（2）在射线BM 上截取BC =a ；（3）以C 为顶点作∠PCB =∠α，射线CP 交BN 于点A ．△ABC 就是所要求作的等腰三角形．说明画复杂的图形时，如一时找不到作法，一般是先画出一个符合条件的草图，再根据这个草图进行分析，逐步寻找画图步骤．典型例题五例如图（1），已知直线AB 及直线AB 外一点C ，过点C 作CD ∥AB （写出作法，画出图形）．分析根据两直线平行的性质，同位角相等或内错角相等，故作一个角∠ECD =∠EFB 即可．作法如图（2）．图（1）图（2）（1）过点C 作直线EF ，交AB 于点F ；（2）以点F 为圆心，以任意长为半径作弧，交FB 于点P ，交EF 于点Q ；（3）以点C 为圆心，以FP 为半径作弧，交CE 于M 点；（4）以点M 为圆心，以PQ 为半径作弧，交前弧于点D ；（5）过点D 作直线CD ，CD 就是所求的直线．说明作图题都应给出证明，但按照教科书的要求，一般不用写出，但要知道作图的原由．典型例题六例如下图，△ABC 中，a =5cm ，b =3cm ，c =3.5cm ，∠B =︒36，∠C =︒44，请你从中选择适当的数据，画出与△ABC 全等的三角形（把你能画的三角形全部画出来，不写画法但要在所画的三角形中标出用到的数据）．分析本题实质上是利用原题中的5个数据，列出所有与△ABC 全等的各种情况，依据是SSS 、SAS 、AAS 、ASA ．解与△ABC 全等的三角形如下图所示．典型例题七例正在修建的中山北路有一形状如下图所示的三角形空地需要绿化．拟从点A 出发，将△ABC 分成面积相等的三个三角形，以便种上三种不同的花草，请你帮助规划出图案（保留作图痕迹，不写作法）．（2003年，桂林）分析这是尺规作图在生活中的具体应用．要把△ABC 分成面积相等的三个三角形，且都是从A 点出发，说明这三个三角形的高是相等的，因而只需这三个三角形的底边也相等，所以只要作出BC 边的三等分点即可．作法如下图，找三等分点的依据是平行线等分线段定理．典型例题八例已知∠AOB ，求作∠AOB 的平分线OC ．错解如图（1）作法（1）以O 为圆心，任意长为半径作弧，分别交OA 、OB 于D 、E 两点；（2）分别以D 、E 为圆心，以大于21DE 的长为半径作弧，两弧相交于C 点；（3）连结OC ，则OC 就是∠AOB 的平分线．错解分析对角平分线的概念理解不够准确而致误．作法（3）中连结OC ，则OC 是一条线段，而角平分线应是一条射线．图（1）图（2）正解如图（2）（1）以点O 为圆心，任意长为半径作弧，分别交OA 、OB 于D 、E 两点；（2）分别以D 、E 为圆心，以大于21DE 的长为半径作弧，两弧交于C 点；（3）作射线OC ，则OC 为∠AOB 的平分线．典型例题九例如图（1）所示，已知线段a 、b 、h （h ＜b ）．求作△ABC ，使BC =a ，AB =b ， BC 边上的高AD =h ．图（1）错解如图（2），（1）作线段BC =a ；（2）作线段BA =b ，使AD ⊥BC 且AD =h ．则△ABC 就是所求作的三角形．错解分析 ①不能先作BC ；②第2步不能同时满足几个条件，完全凭感觉毫无根据；③未考虑到本题有两种情况．对于这种作图题往往都是按照由里到外的顺序依次作图，如本题先作高AD ，再作AB ，最后确定BC ．图（2）图（3）正解如图（3）．（1）作直线PQ ，在直线PQ 上任取一点D ，作DM ⊥PQ ；（2）在DM 上截取线段DA =h ；（3）以A 为圆心，以b 为半径画弧交射线DP 于B ；（4）以B 为圆心，以a 为半径画弧，分别交射线BP 和射线BQ 于1C 和2C ；（5）连结1AC 、2AC ，则△1ABC （或△2ABC ）都是所求作的三角形．典型例题十例如下图，已知线段a ，b ，求作Rt △ABC ，使∠ACB =90°，BC =a ，AC =b （用直尺和圆规作图，保留作图痕迹）．分析本题解答的关键在于作出∠ACB =90°，然后确定A 、B 两点的位置，作出△ABC ．作法如下图（1）作直线MN ：（2）在MN 上任取一点C ，过点C 作CE ⊥MN ；（3）在CE 上截取CA =b ，在CM 上截取CB =a ；（4）连结AB ，△ABC 就是所求作的直角三角形．说明利用基本作图画出所求作的几何图形的关键是要先分析清楚作图的顺序．若把握不好作图顺序，要先画出假设图形．典型例题十一例如下图，已知钝角△ABC ，∠B 是钝角．求作：（1）BC 边上的高；（2）BC 边上的中线（写出作法，画出图形）．分析（1）作BC 边上的高，就是过已知点A 作BC 边所在直线的垂线；（2）作BC 边上的中线，要先确定出BC 边的中点，即作出BC 边的垂直平分线．作法如下图（1）①在直线CB 外取一点P ，使A 、P 在直线CB 的两旁；②以点A 为圆心，AP 为半径画弧，交直线CB 于G 、H 两点；③分别以G 、H 为圆心，以大于21GH 的长为半径画弧，两弧交于E 点； ④作射线AE ，交直线CB 于D 点，则线段AD 就是所要求作的△ABC 中BC 边上的高．（2）①分别以B 、C 为圆心，以大于21BC 的长为半径画弧，两弧分别交于M 、N 两点； ②作直线MN ，交BC 于点F ；③连结AF ，则线段AF 就是所要求作的△ABC 中边BC 上的中线．说明在已知三角形中求作一边上的高线、中线、角平分线时，首先要把握好高线、中线、角平分钱是三条线段；其次，高线、中线的一个端点必须是三角形中这边所对的顶点，而关键是找出另一个端点．典型例题十二例如图（1）所示，在图中作出点C ，使得C 是∠MON 平分线上的点，且AC =OC ．图（1）图（2）分析由题意知，点C 不仅要在∠MON 的平分线上，且点C 到O 、A 两点的距离要相等，所以点C 应是∠MON 的平分线与线段OA 的垂直平分线的交点．作法如图（2）所示（1）作∠MON 的平分线OP ；（2）作线段OA 的垂直平分线EF ，交OP 于点C ，则点C 就是所要求作的点．说明（1）根据题意弄清要求作的点的特征是到各直线距离相等，还是到各端点距离相等．（2）两条直线交于一点．典型例题十三例如下图，已知线段a 、b 、∠α、∠β．求作梯形ABCD ，使AD =a ，BC =b ，AD ∥BC ，∠B =∠α；∠C =∠β．分析假定梯形已经作出，作AE ∥DC 交BC 于E ，则AE 将梯形分割为两部分，一部分是△ABE ，另一部分是AECD ．在△ABE 中，已知∠B =∠α，∠AEB =∠β，BE =b -a ，所以，可以首先把它作出来，而后作出AECD ．作法如下图．（1）作线段BC=b；（2）在BC上截取BE=b-a；（3）分别以B、E为顶点，在BE同侧作∠EBA=∠α，∠AEB=∠β，BA、EA交于A；（4）以EA、EC为邻边作AECD．四边形ABCD就是所求作的梯形．说明基本作图是作出较简单图形的基础，三角形是最简单的多边形，它是许多复杂图形的基础．因此，要作一个复杂的图形，常常先作一个比较容易作出的三角形，然后以此为基础，再作出所求作的图形．典型例题十四例如下图，在一次军事演习中，红方侦察员发现蓝方指挥部在A区内，到铁路与公路的距离相等，且离铁路与公路交叉处B点700米，如果你是红方的指挥员，请你在图示的作战图上标出蓝方指挥部的位置．（2002年，青岛）分析依据角平分线的性质可以知道，蓝方指挥部必在A区内两条路所夹角的平分线上，然后由蓝方指挥部距B点的距离，依据比例尺，计算出图上的距离为3.5cm，就可以确定出蓝方指挥部的位置．解如下图，图中C点就是蓝方指挥部的位置．典型例题十五例如图（1），已知有公共端点的线段AB、BC．求作⊙O，使它经过点A、B、C（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．（2002年，大连）图（1）图（2）分析因为A 、B 、C 三点在⊙O 上，所以OA =OB =OC =R ．根据到线段AB 、BC 各端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，故分别作线段AB 、BC 垂直平分线即可．解如图（2）说明角平分线的性质、线段垂直平分线的性质在作图题中的应用是近几年中考中的又一道风景，它往往与实际问题紧密联系在一起．典型例题十六例如图，是一块直角三角形余料，︒=∠90C ．工人师傅要把它加工成一个正方形零件，使C 为正方形的一个顶点，其余三个顶点分别在AB 、BC 、AC 边上．试协助工人师傅用尺规画出裁割线．分析要作出符合条件的正方形，可先作出有三个角为90°的四边形，并设法让相邻的一组边相等即可．作法如图．① 作ACB ∠的角平分线CD ，交AB 于点G ；②过G 点分别作AC 、BC 的垂线，垂足为E 、F ．则四边形ECFG 就是所要求作的正方形．。

初中尺规基本作图

【学习目标】1．了解什么是尺规作图．2．学会用尺规作图法完成下列五种基本作图：(1)画一条线段等于已知线段；(2)画一个角等于已知角；(3)画线段的垂直平分线；(4)过已知点画已知直线的垂线；(5)画角平分线．3．了解五种基本作图的理由．4．学会使用精练、准确的作图语言叙述画图过程．5．学会利用基本作图画三角形等较简单的图形．6．通过画图认识图形的本质，体会图形的内在美．【基础知识精讲】1．尺规作图：限定只用直尺和圆规来完成的画图，称为尺规作图．注意：这里所指的直尺是没有刻度的直尺，由于免去了度量，因此，用尺规作图法画出的图形的精确度更高，它在工程绘图等领域应用比较广泛．2．尺规作图中的最基本、最常用的作图称为基本作图．3．基本作图共有五种：(1)画一条线段等于已知线段．如图24-4-1，已知线段DE．求作：一条线段等于已知线段．作法：①先画射线AB．②然后用圆规在射线AB上截取AC＝MN．线段AC就是所要作的线段．(2)作一个角等于已知角．如图24-4-2，已知∠AOB．求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB．作法：①作射线O′A′；②以点O为圆心，以任意长为半径作弧，交OA于C，交OB于D．③以点O′为圆心，以OC长为半径作弧，交O′A′于C′．④以点C′为圆心，以CD为半径作弧，交前弧于D′．⑤经过点D′作射线O′B′，∠A′O′B′就是所求的角．(3)作线段的垂直平分线．如图24-4-3，已知线段AB．求作：线段AB的垂直平分线．作法：①分别以点A和点B为圆心，大于AB21的长为半径作弧，两弧相交于点C和D．②作直线CD．直线CD就是线段AB的垂直平分线．注意：直线CD与线段AB的交点，就是AB的中点．(4)经过一点作已知直线的垂线．a．经过已知直线上的一点作这条直线的垂线，如图24-4-4．已知：直线AB和AB上一点C，求作：AB的垂线，使它经过点C．作法：作平角ACB的平分线CF．直线CF就是所求的垂线，如图24-4-4．b．经过已知直线外一点作这条直线的垂线．如图24-4-5，已知：直线AB和AB外一点C．求作：AB的垂线，使它经过点C．作法：①任意取一点K，使K和C在AB的两旁．②以C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E．③分别以D和E为圆心，大于DE21的长为半径作弧，两弧交于点F．④作直线CF．直线CF就是所求的垂线．注意：经过已知直线上的一点，作这条直线的垂线转化成画线段垂直平分线的方法解决．(5)平分已知角．如图24-4-6，已知∠AOB．求作：射线OC，使∠AOC＝∠BOC．作法：①在OA和OB上，分别截取OD、OE．②分别以D、E为圆心，大于DE21的长为半径作弧，在∠AOB内，两弧交于点C．③作射线OC．OC就是所求的射线．注意：以上五种基本作图是尺规作图的基础，一些复杂的尺规作图，都是由基本作图组成的，同学扪要高度重视，努力把这部分内容学习好．通过这一节的学习，同学们要掌握下列作图语言：(1)过点×和点×画射线××，或画射线××．(2)在射线××上截取××＝××．(3)以点×为圆心，××为半径画弧．(4)以点×为圆心，××为半径画弧，交××于点×．(5)分别以点×，点×为圆心，以××，××为半径作弧，两弧相交于点×．(6)在射线××上依次截取××＝××＝××．(7)在∠×××的外部或内部画∠×××＝∠×××．注意：学过基本作图后，在作较复杂图时，属于基本作图的地方，不必重复作图的详细过程，只用一句话概括叙述就可以了．如：(1)画线段××＝××．(2)画∠×××＝∠×××．(3)画××平分∠×××，或画∠×××的角平分线．(4)过点×画××⊥××，垂足为点×．(5)作线段××的垂直平分线××，等等．但要注意保留全部的作图痕迹，包括基本作图的操作程序，不能因为作法的叙述省略而作图就不按程序操作，只有保留作图痕迹，才能反映出作图的操作是否合理．【经典例题精讲】例1已知两边及其夹角，求作三角形．如图24-4-7，已知：∠α，线段a、b，求作：△ABC，使∠A＝∠α，AB＝a，AC＝b．作法：①作∠MAN＝∠α．②在射线AM、AN上分别作线段AB＝a，AC＝b．③连结BC．如图24-4-8，△ABC即为所求作的三角形．注意：一般几何作图题，应有下面几个步骤：已知、求作、作法，比较复杂的作图题，在作图之前可根据需要作一些分析．例2如图24-4-9，已知底边a，底边上的高h，求作等腰三角形．已知线段a、h．求作：△ABC，使AB＝AC，且BC＝a，高AD＝h．分析：可先作出底边BC，根据等腰三角形的三线合一的性质，可再作出BC的垂直平分线，从而作出BC边上的高AD，分别连结AB和AC，即可作出等腰△ABC来．作法：(1)作线段BC＝a．(2)作线段BC的垂直平分线MN，MN与BC交于点D．(3)在MN上截取DA，使DA＝h．(4)连结AB、AC．如图24-4-10，△ABC即为所求的等腰三角形．例3已知三角形的一边及这边上的中线和高，作三角形．如图24-4-11，已知线段a，m，h(m>h)．求作：△ABC使它的一边等于a，这边上的中线和高分别等于m和h(m>h)．分析：如图24-4-12，假定△ABC已作出，其中BC＝a，中线AD＝m，高AE＝h，在△AED 中AD＝m，AE＝h，∠AED＝90°，因此这个Rt△AED可以作出来(△AED为奠基三角形)．当Rt△AED作出后，由a21DCBD==的关系可作出点B和点C，于是△ABC即可得到．作法：(1)作△AED ，使∠AED ＝90°，AE ＝h ，AD ＝m ． (2)延长ED 到B ，使a 21DB =． (3)在DE 或BE 的延长线上取a 21DC =．(4)连结AB 、AC ．则△ABC 即为所求作的三角形．注意：因为三角形中，一边上的高不能大于这边上的中线，所以如果h>m ，作图题无解；若m ＝h ，则作出的图形为等腰三角形．例4 如图24-4-13，已知线段a ．求作：菱形ABCD ，使其半周长为a ，两邻角之比为1∶2．分析：因为菱形四边相等，“半周长为a ”就是菱形边长为2a，为此首先要将线段a 等分，又因为菱形对边平行，则同旁内角互补，由“邻角之比为1∶2”可知，菱形较小内角为60°，则菱形较短对角线将菱形分成两个全等的等边三角形．所以作图时只要作出两个有公共边的等边三角形，则得到的四边形即为所求的菱形ABCD ．作法：(1)作线段a 的垂直平分线，等分线段a ．(2)作线段AC ，使2a AC =． (3)分别以A 、C 为圆心，2a为半径，在AC 的两侧画弧，两弧分别交于B ，D ．(4)分别连结AB 、BC 、CD 、DA 得到四边形ABCD ，则四边形ABCD 为所求作的菱形(如图24-4-14)．注意：这种通过先画三角形，然后再画出全部图形的方法即为“三角形奠基法”．例5 如图24-4-15，已知∠AOB 和C 、D 两点．求作一点P ，使PC ＝PD ，且使点P 到∠AOB 的两边OA 、OB 的距离相等．分析：要使PC ＝PD ，则点P 在CD 的垂直平分线上，要使点P 到∠AOB 的两边距离相等，则P 应在∠AOB 的角平分线上，那么满足题设的P 点就是垂直平分线与角平分线的交点了．作法：(1)连结CD ．(2)作线段CD 的中垂线l ．(3)作∠AOB 的角平分线OM ，交l 于点P ，P 点为所求．注意：这类定点问题应需确定两线，两直线的交点即为定点，当然这两直线应分别满足题目的不同要求．【中考考点】例6 (2000·安徽省)如图24-4-16，直线321ll l ，，表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有( )A ．一处B ．二处C ．三处D ．四处分析：到直线21l l ，距离相等的点在21l l ，相交所构成的角的平分线上，可利用作角平分线的方法找到这些点．解：分别作321ll l ，，相交所构成的角平分线，共可作出六条，三条角平分线相交的交点共有四个．答案：D ．注意：本题应用了角平分线的性质，在具体作图时，不可只作出位于中心位置的一处，而要全面考虑其他满足条件的点．例7 (2002·陕西省)如图24-4-17，△ABC 是一块直角三角形余料，∠C ＝90°，工人师傅要把它加工成—个正方形零件，使C 为正方形的—个顶点，其他三个顶点分别在AB 、BC 、AC 边上．(1)试协助工人师傅用尺规画出裁割线(不写作法，保留作图痕迹)；(2)工人师傅测得AC ＝80 cm ，BC ＝120cm ，请帮助工人师傅算出按(1)题所画裁割线加工成的正方形零件的边长．解：(1)作∠ACB 的平分线与AB 的交点E 即为正方形—顶点，作CE 线段的中垂线HK 与AC 、BC 的交点F 、D 即为所作正方形另两个顶点，如图24-4-17．(2)设这个正方形零件的边长为x cm ， ∵DE ∥AC ，∴BC BDAC DE =， ∴120x 12080x -=． ∴x ＝48．答：这个正方形零件的边长为48cm ．注意：本题是几何作图和几何计算相结合题目，要求读者对基本作图务必掌握，同时对作出图形的性质要清楚．例8 (2002·山西省)如图24-4-18①，有一破残的轮片(不小于半个轮)，现要制作一个与原轮片同样大小的圆形零件，请你根据所学的有关知识，设计两种方案，确定这个圆形零件的半径．分析：欲确定这个圆形零件的半径，可以借助三角板，T 形尺或尺规作图均可，图②中MN 21是这个零件的半径，图③中OB 是这个零件半径．解：如图24-4-18②③所示．【常见错误分析】例9 如图24-4-19，已知线段a 、b 、h ．求作△ABC，使BC＝a，AC＝b，BC边上的高AD＝h．并回答问题，你作出的三角形唯一吗？从中你可以得到什么结论呢？错解：(1)作法：①作Rt△ADC，使AD＝h，AC＝b．②在直线CD上截取CB＝a．如图24-4-20，则△ABC就是所求作的三角形．(2)作出的三角形唯一．(3)得出结论：有两边及一边上的高对应相等的两三角形全等．误区分析：本题错解在于忽略了三角形的高可能在三角形内部也可能在三角形的外部．正解：如图24-4-21，作法：①作Rt△ADC，使AD＝h，AC＝b．②在直线CD上截取CB＝a(在点C的两侧)．则△ABC，△AB′C都是所求作三角形．(2)作出的三角形不唯一．(3)得出结论有两边及—边上的高对应相等的两三角形不一定全等．注意：与三角形的高有关的题目应慎之又慎．【学习方法指导】学习本单元基本作图，主要是运用观察法，通过具体的操作，了解各种基本作图的步骤，掌握作图语言．【规律总结】画复杂的图形时，如一时找不到作法，—般是先画出一个符合所设条件的草图，再根据这个草图进行分析，逐步寻找画图步骤．有时，也可以根据已知条件和基本作图，先作局部三角形，再以此为基础，根据有关条件画出其余部分，从而完成全图，这种方法称为三角形奠基法．【同步达纲练习】1．下列画图语言表述正确的是( )A．延长线段AB至点C，使AC＝BCB．以点O为圆心作弧C．以点O为圆心，以AC长为半径画弧D．在射线OA上截取OB＝a，BC＝b，则有OC＝a＋b2．过点C画直线l的垂线的思想方法是：把这个问题转化为画_________的方法来解决．3．作线段的垂直平分线的理论根据是_________和两点确定一条直线．4．把一个角四等分的步骤是：第一步：先把这个角__________等分，第二步：把得到的两个角分别再___________等分．5．已知∠α和∠β，求作一个角，使它等于) (21β∠+α∠．6．求作三角形三条角平分线的交点．7．已知一腰和底边上的高，作等腰三角形．8．已知，三个自然村A、B、C的位置如图24-4-22所示．现计划建一所小学，使其到A、B、C三个自然村的距离相等．请你设计出学校所在的位置O(不写作法，保留作图痕迹)．9．如图24-4-23，在直线l上求作—点P，使PA＝PB(不写作法，保留作图痕迹)．10．已知．求作：的中点P．。

(完整版)中考数学尺规作图专题复习(含答案)

1.直线垂线的画法：【分析】：以点C 为圆心，任意长为半径画弧交直线与A ，B 两点，再分别以点A ，B为圆心，大于的长为半径画圆弧，分别交直线l 两侧于点M ，N ，连接MN ，则MN 即12AB为所求的垂线2.线段垂直平分线的画法【分析】：作法如下：分别以点A ，B 为圆心，大于的长为半径画圆弧，分别交12AB 直线AB 两侧于点C ，D ，连接CD ，则CD 即为所求的线段AB 的垂直平分线.3.角平分线的画法l l【分析】1.选角顶点O 为圆心，任意长为半径画圆，分别交角两边A ，B 点，再分别以A ，B 为圆心，大于的长为半径画圆弧，交H 点，连接OH ，并延长，则射线OH 即为12AB 所求的角平分线.4.等长的线段的画法直接用圆规量取即可。

5.等角的画法【分析】以O 为圆心，任意长为半径画圆，交原角的两边为A,B 两点，连接AB ；画一条射线l ，以上面的那个半径为半径，l 的顶点K 为圆心画圆，交l 与L ，以L 为圆心，AB 为半径画圆，交以K 为圆心，KL 为半径的圆与M 点，连接KM ，则角LKM 即为所求.备注：1.尺规作图时，直尺主要用作画直线，射线，圆规主要用作截取相等线段和画弧；2.求作一个三角形，其实质是依据三角形全等的基本事实或判定定理来进行的；3.当作图要满足多个要求时，应逐个满足，取公共部分.例题讲解AB=BC=AC=a.例题1.已知线段a，求作△ABC，使解：作法如下:①作线段BC=a；（先作射线BD，BD截取BC=a）.②分别以B、C为圆心，以a半径画弧，两弧交于点A；③连接AB、AC.则△ABC要求作三角形.，∠A=∠α.例2.已知线段a和∠α，求作△ABC，使AB=AC=a解：作法如下：①作∠MAN=∠α；②以点A为圆心，a为半径画弧，分别交射线AM，AN于点B，C.③连接B，C.△ABC即为所求作三角形.例3.(深圳中考)如图，已知△ABC，AB<BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA＋PC＝BC，则下列选项中，正确的是(D)【解析】由题意知，做出AB的垂直平分线和BC的交点即可。

完整版)中考数学尺规作图专题复习(含答案)

完整版)中考数学尺规作图专题复习(含答案)尺规作图是用无刻度的直尺和圆规画图的方法，常见的作图包括线段的垂线、垂直平分线、角平分线、等长线段和等角。

以下是各种作图的具体方法：1.直线垂线的画法：以点C为圆心，任意长为半径画弧交直线与A、B两点，再以点A、B为圆心，大于AB的长为半径画圆弧，分别交直线l两侧于点M、N，连接MN，即可得到所求的垂线。

2.线段垂直平分线的画法：以点A、B为圆心，大于AB的长为半径画圆弧，分别交直线AB两侧于点C、D，连接CD，即可得到线段AB的垂直平分线。

3.角平分线的画法：以角顶点O为圆心，任意长为半径画圆，分别交角两边A、B点，再以A、B为圆心，大于AB的长为半径画圆弧，交点为H，连接OH并延长，即可得到所求的角平分线。

4.等长的线段的画法：直接用圆规量取即可。

5.等角的画法：以O为圆心，任意长为半径画圆，交原角的两边为A、B两点，连接AB；画一条射线l，以上面的半径为半径，l的顶点K为圆心画圆，交l与L，以L为圆心，AB为半径画圆，交以K为圆心，KL为半径的圆与M点，连接KM，则角LKM即为所求。

需要注意的是，直尺主要用于画直线和射线，圆规主要用于截取相等线段和画弧。

在作图时，如果有多个要求，应逐个满足并取公共部分。

例如，对于要求作一个三角形的问题，可以根据三角形全等的基本事实或判定定理来进行作图。

以下是例题解析：例题1：已知线段a，求作△ABC，使AB=BC=AC=a。

作法如下：1.作线段BC=a；2.分别以B、C为圆心，以a半径画弧，两弧交于点A；3.连接AB、AC。

例题2：已知线段a和∠α，求作△ABC，使AB=AC=a，∠A=∠α。

作法如下：1.作∠XXX∠α；2.以点A为圆心，a为半径画弧，分别交射线AM、AN 于点B、C；3.连接B、C。

例题3：已知△ABC，AB<BC，用尺规作图的方法在BC 上取一点P，使得PA+PC=BC。

作法如下：作出AB的垂直平分线，与BC交于点P。