初中尺规作图详细讲解(含图)

初中数学尺规作图讲解

初等平面几何研究的对象，仅限于直线、圆以及由它们（或一部分）所组成的图形，因此作图的工具，习惯上使用没有刻度的直尺和圆规两种.限用直尺和圆规来完成的作图方法，叫做尺规作图法.最简单的尺规作图有如下三条：

⑴ 经过两已知点可以画一条直线；

⑵ 已知圆心和半径可以作一圆；

⑶ 两已知直线；一已知直线和一已知圆；或两已知圆，如果相交，可以求出交点；

以上三条，叫做作图公法.用直尺可以画出第一条公法所说的直线；用圆规可以作出第二条公法所说的圆；用直尺和圆规可以求得第三条公法所说的交点.一个作图题，不管多么复杂，如果能反复应用上述三条作图公法，经过有限的次数，作出适合条件的图形，这样的作图题就叫做尺规作图可能问题；否则，就称为尺规作图不能问题.

历史上，最著名的尺规作图不能问题是：

⑴ 三等分角问题：三等分一个任意角；

⑵ 倍立方问题：作一个立方体，使它的体积是已知立方体的体积的两倍；

⑶ 化圆为方问题：作一个正方形，使它的面积等于已知圆的面积.

这三个问题后被称为“几何作图三大问题”.直至1837年，万芝尔（Pierre Laurent Wantzel）首先证明三等分角问题和立方倍积问题属尺规作图不能问题；1882年，德国数学家林德曼（Ferdinand Lindemann）证明π是一个超越数（即π是一个不满足任何整系数代数方程的实数），由此即可推得根号π(即当圆半径1

r=时所求正方形的边长）不可能用尺规作出，从而也就证明了化圆为方问题是一个尺规作图不能问题.

若干著名的尺规作图已知是不可能的，而当中很多不可能证明是利用了由19世纪出现的伽罗华理论.尽管如此，仍有很多业余爱好者尝试这些不可能的题目，当中以化圆为方及三等分任意角最受注意.数学家Underwood Dudley曾把一些宣告解决了这些不可能问题的错误作法结集成书.

还有另外两个著名问题：

⑴ 正多边形作法

·只使用直尺和圆规，作正五边形.

·只使用直尺和圆规，作正六边形.

·只使用直尺和圆规，作正七边形——这个看上去非常简单的题目，曾经使许多著名数学家都束手无策，因为正七边形是不能由尺规作出的.

·只使用直尺和圆规，作正九边形，此图也不能作出来，因为单用直尺和圆规，是不足以把一个角分成三等份的.

·问题的解决：高斯，大学二年级时得出正十七边形的尺规作图法，并给出了可用尺规作图的正多边形的条件：尺规作图正多边形的边数目必须是2的非负整数次方和不同的费马素数的积，解

决了两千年来悬而未决的难题.

⑵ 四等分圆周

只准许使用圆规，将一个已知圆心的圆周4等分．这个问题传言是拿破仑·波拿巴出的，向全法国数学家的挑战.

尺规作图的相关延伸：

用生锈圆规(即半径固定的圆规)作图

1.只用直尺及生锈圆规作正五边形

2.生锈圆规作图，已知两点A、B，找出一点C使得AB BC CA

==.

3.已知两点A、B，只用半径固定的圆规，求作C使C是线段AB的中点.

4.尺规作图，是古希腊人按“尽可能简单”这个思想出发的，能更简洁的表达吗？顺着这思路就有了更简洁的

表达.10世纪时，有数学家提出用直尺和半径固定的圆规作图. 1672年，有人证明：如果把“作直线”解释

为“作出直线上的2点”，那么凡是尺规能作的，单用圆规也能作出！从已知点作出新点的几种情况：两弧交点、直线与弧交点、两直线交点，在已有一个圆的情况下，那么凡是尺规能作的，单用直尺也能作出！

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五种基本作图：

初中数学的五种基本尺规作图为：1.做一线段等于已知线段 2.做一角等于已知角 3.做一角的角平分线 4.过一点做一已知线段的垂线5.做一线段的中垂线

下面介绍几种常见的尺规作图方法：

⑴ 轨迹交点法：解作图题的一种常见方法.解作图题常归结到确定某一个点的位置.如果这两个点的位置是由

两个条件确定的，先放弃其中一个条件，那么这个点的位置就不确定而形成一个轨迹；若改变放弃另一个条件，这个点就在另一条轨迹上，故此点便是两个轨迹的交点.这个利用轨迹的交点来解作图题的方法称为轨迹交点法，或称交轨法、轨迹交截法、轨迹法.

【例1】 电信部门要修建一座电视信号发射塔，如下图，按照设计要求，发射塔到两个城镇A 、B 的距离必须

相等，到两条高速公路m 、n 的距离也必须相等，发射塔P 应修建在什么位置？

【分析】 这是一道实际应用题，关键是转化成数学问题，根据题意知道，点P 应满足两个条件，一是在线段AB

的垂直平分线上；二是在两条公路夹角的平分线上，所以点P 应是它们的交点.

【解析】 ⑴ 作两条公路夹角的平分线OD 或OE ；

⑵ 作线段AB 的垂直平分线FG ；则射线OD ，OE 与直线FG 的交点1C ，2C 就是发射塔的位置.

【例2】 在平面直角坐标系中，点A 的坐标是(4，0)，O 是坐标原点，在直线3y x =+上求一点P ，使AOP

∆是等腰三角形，这样的P 点有几个？

【解析】 首先要清楚点P 需满足两个条件，一是点P 在3y x =+上；二是AOP ∆必须是等腰三角形.其次，寻找

P 点要分情况讨论，也就是当

OA OP =时，以O 点为圆心，OA 为半径画圆，与直线有两个点1P 、2P ；当OA AP =时，以A 点为圆

心，OA 为半径画圆，与直线无交点；当PO PA =时，作OA 的垂直平分线，与直线有一交点3P ，所以总计这样的P 点有3个.

【例3】 设O ⊙与'O ⊙相离，半径分别为R 与'R ，求作半径为r 的圆，使其与O ⊙及'O ⊙外切.

r

r

【分析】 设M ⊙是符合条件的圆，即其半径为r ，并与O ⊙及'O ⊙外切，显然，点M 是由两个轨迹确定的，即

M 点既在以O 为圆心以R r +为半径的圆上，又在以'O 为圆心以'R r +为半径的圆上，因此所求圆的圆心的位置可确定.若O ⊙与'O ⊙相距为b ，当2r b <时，该题无解，当2r b =有唯一解；当2r b >时，有两解.

【解析】 以当O ⊙与'O ⊙相距为b ，2r b >时为例：

⑴ 作线段OA R r =+，''O B R r =+.

⑵ 分别以O ，'O 为圆心，以R r +，'R r +为半径作圆，两圆交于12,M M 两点. ⑶ 连接1OM ，2OM ，分别交以R 为半径的O ⊙于D 、C 两点. ⑷ 分别以12M M ，为圆心，以r 为半径作圆. ∴12,M M ⊙⊙即为所求.

【思考】若将例3改为：“设O ⊙与'O ⊙相离，半径分别为R 与'R ，求作半径为r ()r R >的圆，使其与O ⊙ 内

切，与'O

⊙外切.”又该怎么作图？

⑵ 代数作图法：解作图题时，往往首先归纳为求出某一线段长，而这线段长的表达式能用代数方法求出，然

后根据线段长的表达式设计作图步骤.用这种方法作图称为代数作图法.

【例4】 只用圆规，不许用直尺，四等分圆周（已知圆心）.

【分析】

设半径为1.

.我们的任务就是做出这

个长度..1长度自然就出来了