尺规作图初中数学中考题汇总

(2)若在公路边建一游乐场P,使游乐场到两校距离之各最小,通过作图在图中找出建游乐场的位置,并求出它的坐标.
【答案】(1)存在满足条件的点C: 作出图形，如图所示，作图略；
（2）作出点A关于x轴的对称点A/(2,-2), 连接A/B，与x轴的交点即为所求的点P.
设A/B所在的直线的解析式为： y=kx+b, 把A/(2,-2), B(7,3)分别代入得：
（1）以AB边上一点O为圆心，过A，D两点作⊙O（不写作法，保留作图痕迹），再判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若（1）中的⊙O与AB边的另一个交点为E，AB=6，BD= ,求线段BD、BE与劣弧DE所围成的图形面积。（结果保留根号和 ）
【答案】（1）如图，作AD的垂直平分线交AB于点O，O为圆心，OA为半径作圆。
【答案】（1）作出BC的垂直平分线 ……………………3分
答：线段DE即为所求 ……………………4分
（2）3，5 ……………………6分
8.(2011重庆綦江，19，6分)为了推进农村新型合作医疗制度改革,准备在某镇新建一个医疗点P，使P到该镇所属A村、B村、C村的村委会所在地的距离都相等(A、B、C不在同一直线上，地理位置如下图），请你用尺规作图的方法确定点P的位置.
（1）求AE的长度；
（2）分别以点A、E为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点F（F与C在AB两侧），连接AF、EF，设EF交弧DE所在的圆于点G，连接AG，试猜想∠EAG的大小，并说明理由．
解：（1）在Rt△ABC中，由AB＝1，BC＝ 得AC＝ ＝
∵BC＝CD，AE＝AD
∴AE＝AC－AD＝ ．
（2）∠EAG＝36°，理由如下：
要求: 写出已知、求作；不写作法，保留作图痕迹．
解：已知：
求作：
【答案】：解：已知：A、B、C三点不在同一直线上.
求作：一点P，使PA＝PB＝PC.
(或经过A、B、C三点的外接圆圆心P)
正确作出任意两条线段的垂直平分线，并标出交点P
24、（2011?毕节地区）已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD（如图所示），∠BAD的平分线AE交BC于点E，连接DE．
在边AB上找出所需要的点D，则直线CD即为所求………………6分
②猜想：∠B=3∠A………………8分
③验证：如在△ABC中，∠A=32°，∠B=96，有∠B=3∠A，此时就能找到一条把△ABC恰好分割成两个等腰三角形的直线。………………9分
3.（2011山东威海，20，8分）我们学习过：在平面内，将一个图形绕一个定点沿着某一个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转，这个定点叫旋转中心．
∴CD2+CE2=25=DE2
∴∠DCE=90°即CE⊥CD
∴CE与⊙D相切。
7.（ 2011重庆江津， 23，10分）A、B两所学校在一条东西走向公路的同旁,以公路所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系,且点A的坐标是(2,2),点B的坐标是(7,3).
(1)一辆汽车由西向行驶,在行驶过程中是否存在一点C,使C点到A、B两校的距离相等,如果有请用尺规作图找出该点,保留作图痕迹,不求该点坐标.
∵∠OAE＝∠CAD∠AEO＝∠ADC
∴△AEO∽△ADC
∴ ＝ ………………8分
（1）如图①，△ABC≌△DEF，△DEF能否由△ABC通过一次旋转得到若能，请用直尺和圆规画出旋转中心，若不能，试简要说明理由．图①
（2）如图②，△ABC≌△MNK，△MNK能否由△ABC通过一次旋转得到若能，请用直尺和圆规画出旋转中心，若不能，试简要说明理由．
（保留必要的作图痕迹）
图① 图②
【答案】解：（1）能，点 就是所求作的旋转中心．
∴△DEபைடு நூலகம்是直角三角形，
∴ED⊥DC．
点评：本题考查了尺规作图及菱形、直角三角形的性质及判定，综合性较强，锻炼了学生的动手、动脑的能力．
22．（2011·来宾）（本题满分8分）
如图，在△ABC中，∠ABC＝80o，∠BAC＝40o，AB的垂直平分线分别与AC、AB交于点D、E．
（1）用圆规和直尺在图中作 出AB的垂直平分线DE，并连结BD；
（2）请在（1）的基础上，完成下列问题：
①写出点的坐标：C、D；
②⊙D的半径=（结果保留根号）；
③若扇形ADC是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面面积为（结果保留π）；
④若E（7，0），试判断直线EC与⊙D的位置关系并说明你的理由。
【答案】（1）
（2）
① C（6，2），D（2，0）
②
③
④相切。
理由：∵CD= ，CE= ，DE=5
（2011?重庆市潼南县）19.（6分）画△ABC,使其两边为已知线段a、b，夹角为 .
（要求：用尺规作图，写出已知、求作；保留作图痕迹；不在已知的线、角上作图；不
写作法）.
已知：
求作：
19. 已知：线段a、b、角 -------------1分
求作：△ABC使边BC=a，AC=b，∠C= ------------2分
(2)四条线段中任取三条共有四种等可性结果：（a，b，c），（a，b，d），（a，c，d），（b，c，d），其中能组成三角形的只有（b，c，d），所以以它们为边能作出三角形的概率是 ．
5.（2011四川重庆，20，6分）为进一步打造“宜居重庆”，某区拟在新竣工的矩形广场的内部修建一个音乐喷泉，要求音乐喷泉M到广场的两个入口A、B的距离相等，且到广场管理处C的距离等于A和B之间距离的一半，A、B、C的位置如图所示．请在答题卷的原图上利用尺规作出音乐喷泉M、位置．(要求：不写已知、求作、作法和结论，保留作图痕迹，必须用铅笔作图)
（1）在下图中，用尺规作∠BAD的平分线AE（保留作图痕迹不写作法），并证明四边形ABED是菱形．
（2）若∠ABC=60°，EC=2BE．求证：ED⊥DC．
考点：梯形；菱形的判定与性质；作图—基本作图。
专题：作图题；证明题。
分析：（1）根据尺规作图：角的平分线的基本做法，可得到∠BAD的平分线AE；利用菱形的判定定理，即可证得；
⑴求证：①DE=DG；
②DE⊥DG；
⑵尺规作图：以线段DE，DG为边作出正方形DEFG（要求：只保留作图痕迹，不写作法和证明）；
⑶连接⑵中的KF，猜想并写出四边形CEFK是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想；
⑷当 时，衣直接写出 的值.
25．（2011·钦州）（本题满分9分）
如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D．
（1）如图①△ABC中，∠C=90°，∠A=24°
①作图：
②猜想：
③验证：
（2）如图②△ABC中，∠C=84°，∠A=24°.
①作图：
②猜想：
③验证：
【答案】
(1)①作图：痕迹能体现作线段AB(或AC、或BC)的垂直平分线，或作∠ACD=∠A(或∠BCD=∠B)两类方法均可，
在边AB上找出所需要的点D，则直线CD即为所求………………2分
图① 图②
（1）能，点 就是所求作的旋转中心．
4.（2011浙江杭州，18，6）四条线段a，b，c，d如图，a：b：c：d＝1：2：3：4．
(1)选择其中的三条线段为边作一个三角形(尺规作图，要求保留作图痕迹，不必写出作法)；
(2)任取三条线段，求以它们为边能作出三角形的概率．
【答案】(1)只能取b,c,d三条线段，作图略
②猜想：∠A+∠B=90°，………………4分
③验证：如在△ABC中，∠A=30°，∠B=60°时，有∠A+∠B=90°，此时就能找到一条把△ABC恰好分割成两个等腰三角形的直线。………………5分
（2）答：①作图：痕迹能体现作线段AB(或AC、或BC)的垂直平分线，或作∠ACD=∠A或在线段CA上截取CD=CB三种方法均可。
判断结果：BC是⊙O的切线。连结OD。
∵AD平分∠BAC ∴∠DAC=∠DAB
∵OA=OD ∴∠ODA=∠DAB
∴∠DAC=∠ODA ∴OD∥AC ∴∠ODB=∠C
∵∠C=90o ∴∠ODB=90o 即：OD⊥BC
∵OD是⊙O的半径∴BC是⊙O的切线。
(2) 如图，连结DE。
设⊙O的半径为r，则OB=6-r，
画图（保留作图痕迹图略）--------------6分
（2011?佛山）22、如图，一张纸上有线段 ；
（1）请用尺规作图，作出线段 的垂直平分线（保留作图痕迹，不写作法和证明）；
（2）若不用尺规作图，你还有其它作法吗请说明作法（不作图）；
（2011?宿迁市）28．（本题满分12分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝1，BC＝ ，以点C为圆心，CB为半径的弧交CA于点D；以点A为圆心，AD为半径的弧交AB于点E．
∴OC⊥CD
又∵AD⊥CD
∴OC∥AD
∴∠OCA＝∠DAC
∵OC＝OA
∴∠OCA＝∠OAC
∴∠OAC＝∠DAC
∴AC平分∠DAB………………3分
（2）解：点O作线段AC的垂线OE如图所示
（3）解：在Rt△ACD中，CD＝4，AC＝4 ，
∴AD＝ ＝ ＝8………………6分
∵OE⊥AC
∴AE＝ AC＝2 ………………7分
在Rt△ODB中，∠ODB=90o，
∴ 0B2=OD2+BD2即：(6-r)2= r2+( )2
∴r=2 ∴OB=4 ∴∠OBD=30o，∠DOB=60o
∵△ODB的面积为 ，扇形ODE的面积为
∴阴影部分的面积为 — 。
2.（2011山东滨州，23，9分）根据给出的下列两种情况，请用直尺和圆规找到一条直线，把△ABC恰好分割成两个等腰三角形（不写做法，但需保留作图痕迹）；并根据每种情况分别猜想：∠A与∠B有怎样的数量关系时才能完成以上作图并举例验证猜想所得结论。
（2）根据直角三角形的性质定理，可得△EDC是直角三角形，即可得ED⊥DC；
解答：证明：（1）梯形ABCD中，AD∥BC，
∴四边形ABED是平行四边形，
又AB=AD，
∴四边形ABED是菱形；
（2）∵四边形ABED是菱形，∠ABC=60°，
∴∠DEC=60°，AB=ED，
又EC=2BE，
∴EC=2DE，
（2）证明：△ABC∽△BDC．
【答案】（1）略
（2）证明:∵DE是AB的垂直平分线
∴BD＝AD
∴∠ABD＝∠A＝40°
∴∠DBC＝∠ABC＝80°
∵∠C＝∠C
∴△ABC∽△BDC
(2011●河北省)23．（本小题满分9分）
如图12，四边形ABCD是正方形，点E，K分别在BC，AB上，点G在BA的延长线上，且CE=BK=AG.
解得： ·
所以： y=x-4·
当y=0时，x=4,所以交点P为（4，0）·
13．（2011·珠海）（本题满分6分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．
（1）求作：△ABC的一条中位线，与AB交于D点，与BC交于E点．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）若AC＝6，AB＝10，连结CD，则DE＝_ ▲，CD＝_ ▲．
∵FA＝FE＝AB＝1，AE＝
∴ ＝
∴△FAE是黄金三角形
∴∠F＝36°，∠AEF＝72°
∵AE＝AG，FA＝FE
∴∠FAE＝∠FEA＝∠AGE
∴△AEG∽△FEA
∴∠EAG＝∠F＝36°．
1.（2011江苏扬州，26,10分）已知，如图，在Rt△ABC中，∠C=90o，∠BAC的角平分线AD交BC边于D。
锐角∠DAB的平分线AC交⊙O于点C，作CD⊥AD，垂足为D，直线CD与AB的延长线交于点E．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）过点O作线段AC的垂线OE，垂足为E（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（3）若CD＝4，AC＝4 ，求垂线段OE的长．
【答案】解：(1)连接OC
∵CD切⊙O于点C，
选择题（每小题x分，共y分）
（2011?长春）8．如图，直线l1 （2011浙江绍兴，8，4分）如图，在 中，分别以点 和点 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧相交于点 ，作直线 ，交 于点 ，连接 .若 的周长为10， ，则 的周长为（ ）
【答案】C
二、填空题（每小题x分，共y分）
〔2011?南京市〕11．如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，则cos∠AOB的值等于_______ ____．
【答案】
6.（2011甘肃兰州，25，9分）如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过网格的交点A、B、C。
（1）请完成如下操作：
①以点O为原点、竖直和水平方向所在的直线为坐标轴、网格边长为单位长，建立平面直角坐标系；②用直尺和圆规画出该圆弧所在圆的圆心D的位置（不用写作法，保留作图痕迹），并连结AD、CD。