第二章第三节曲面的切平面和法线计算例题

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第二章第三曲面的切平面和法线计算例题

第二章曲面的表示与曲面论第三节曲面的切平面和法线、光滑曲面1、平面曲线的切线与法线设平面曲线的方程为 0),(=y x F ,),(0y x P 是其上一定点。

在该点的切线斜率为),(),()(00000y x F y x F x y y x ''-='. 从而曲线过点),(000y x P 的切线方程为)(),(),(000000x x y x F y x F y y y x -''-=-,即0(,)()(,)()0xyF x y x x F x y y y ''-+-= ，(1) 法线方程为(,)()(,)()0yxF x y x x F x y y y ''---=，(2)例1、求笛卡尔叶形线09)(233=-+xy y x 在点)1,2(处的切线与法线.解 xy y x y x F 9)(2),(33-+=, y x F x 962-=',x y F y962-='. 12)1,2(,15)1,2(-='='yx F F , 得到切线方程 0)1(4)2(5=---y x ,即645=-y x ; 法线方程 0)1(5)2(4=-+-y x ,即1354=+y x .如图(1)所示.图(1)2、空间曲线的切线与法平面设空间曲线L 的方程为)(),(),(t z z t y y t x x ===,βα≤≤t . 定点L z y x P ∈),,(0, )(),(),(0t z z t y y t x x ===,动点L z z y y x x P z y x P ∈∆+∆+∆+=),,(),,(0. 动割线P P 0的方程为tz z z t y y y t x x x ∆∆-=∆∆-=∆∆-000,当0→∆t 时,动点P 沿曲线无限接近定点0P , 达到动割线P P 0的极限位置l : 0()()()x x y y z z x t y t z t ---==''' ，(3) 称之为曲线L 在点0P 的切线.其方向向量为 0{(),(),()}x t y t z t τ'''=r。

曲面的切平面与法线方程

曲面的切平面与法线方程设中曲面Σ的方程为F (x , y , z) = 0，函数F (x , y , z)在曲面Σ上点处可微，且，过点任意引一条位于曲面Σ上的曲线Γ。

设其方程为，且对应于点；不全为零。

由于曲线Γ在Σ上，则有及。

该方程表示了曲面上任意一条过点的曲线在该点的切线都与向量垂直，并且这些切线都位于同一平面上，这个平面就称为曲面Σ在点处的切平面. 点称为切点. 向量称为曲面Σ在点处的一个法向量。

记为。

基本方法：1、设点在曲面F(x, y, z)=0上，而F(x, y, z)在点处存在连续偏导数，且三个偏导数不同时为零，则曲面F(x, y, z)=0在点处的切平面方程为.法线方程为.2、设点在曲面z = f (x, y)上，且z = f (x, y) 在点M0 (x0, y0) 处存在连续偏导数，则该曲面在点处的切平面方程为.过X0的法线方程为.注：方法2实际上是方法1中取的情形.3、若曲面∑由参数方程x = x(u, v) , y = y(u, v) , z = z(u, v)给出，∑上的点与uv平面上的点（u0 , v0）对应，而x(u , v) , y(u , v) , z(u , v)在（u0 , v0）处可微.曲面∑在点X0处的切平面方程及法线方程分别为和三、答疑解惑问题：曲面∑的参数方程为x = x(u , v) , y = y(u , v) , z = z(u , v)，∑上的点与u , v平面上的点（u0 , v0）对应，怎样确定∑在点X0处的法向量？注释：设x(u , v) , y(u , v) , z(u , v) 在（u0 , v0）处可微，考虑在∑上过点X0的两条曲线.Γ1：x = x(u , v0) , y = y(u , v0) , z = z(u , v0);Γ2：x = x(u0, v) , y = y(u0 , v) , z = z(u0 , v).它们在点X0处的切向量分别为当时，得∑在点X0处的法向量为则∑在点X0处的法向量为.四、典型例题例1 求椭球面x2+2y2+3z2 = 6在（1, 1, 1）处的切平面方程与法线方程.解设F(x, y, z) = x2+2y2+3z2－6，由于在全平面上处处连续，在（1, 1, 1）处，椭球面在点(1, 1, 1)处的法向量为(2, 4, 6). 则所求切平面方程为，即x + 2y + 3z = 6.所求法线方程为，即.例2求曲面平行于z = 2x+2y的切平面方程.解设切点为. 曲面，因此.则曲面在处的法向量为.曲面在点X0处的切平面方程为又切平面与已知平面z = 2x+2y平行，因此解得切点坐标为，所求切平面方程为，即.例3求曲面在点处的切平面方程和法线方程.解点对应曲面上的点其中.则曲面在点处的法向量为.所求曲面在点X0处的切平面方程为即.所求的法线方程为即.例4求过直线，且与曲面相切之切平面方程.解过直线的平面方程可设为，即，其法向量为.记，则设所求的切平面的切点为，则曲面上处的法向量为.且有由(1)、(3)解得,代入(2)得.解得t1 = 1, t2 = 3，故λ1 = 3 , λ2=7.则所求切平面方程为，或.即6x + y + 2z = 5 或10x + 5y + 6z = 5.例5试证曲面上任一点处的切平面都过原点，其中f(x)为可微函数.证明，.故曲面上点处的法向量为.则过曲面上点的切平面方程为，整理后得. 注意到，从上述方程得切平面方程为.可知其必定过原点.。

曲面的切平面与法线方程

曲面的切平面与法线方程设上中曲面Σ的方程为F (X , y , Z) = 0 ,函数F (X , y , Z)在曲面Σ上点'一J∣.∙.'一'.∣处可微，W t) =且1加卽龛丿，过点血任意引一条位于曲面Σ上的曲线Γ°设其∖=Λ(∕)y=y⅛)方程为A邛,且对应于点不全为零。

由于曲线Γ在Σ上，则有⅛ g(x吨)+卩(血吨)+叭(⅜F(⅛)及朮LF 。

该方程表示了曲面上任意一条过点「厂的曲线在该点的切线都与向量WO) 垂直，并且这些切线都位于同一平面上，这个平面就称为曲面Σ在点：处的切平面.点.称为切点.向量二心 2 -l称为曲面Σ在点-处的一个法向量。

记为G。

基本方法：1、设点l l- ■' ■" 1■■在曲面F(x, y, z)=0上，而F(x, y, Z)在点一∣处存在连续偏导数，且三个偏导数不同时为零，则曲面F(x, y, z)=0在点处的切平面方程为F：g )(r-r,>+ 兀厲XJ-Λ)÷Eg(H-^) = D法线方程为⅞ _ y~y ti_X(Jf O)=X^) =2、设点''■' ' l∙' ' ■'在曲面Z = f (x, y)上，且Z = f (x, y)在点M o (χo, y o)处存在连续偏导数，则该曲面在点Al∙, "-" - -■处的切平面方程为-f E j Ja-心)-力(心小Xy-几)2-齢MDX = x(u, V) , y = y(u, V) , Z = z(u, V)给出，∑上的点禺臨片九与UV平面上的点(U o , V0)对应，而X(U , V) , y(u , V) , Z(U , V)在( u o , v o)处可微.曲面∑在点X o处的切平面方程及法线方程分别为三、答疑解惑问题：曲面∑的参数方程为X = X(U , V) , y = y(u , V) , Z = Z(U , V)，∑±的点：'I- ■ -,'ι■ •与u , V平面上的点(U o , VO)对应，怎样确定∑在点X o处的法向量？注释：设X(U , V) , y(U , V) , Z(U , V)在(U o , VO)处可微，考虑在∑上过点X o的两条曲线.Γ i: X = X(U , V o) , y = y(U , V o) , Z = Z(U , V o);Γ 2 : X = X(U o , V) , y = y(U o , V) , Z = Z(UO, V).它们在点X o处的切向量分别为ξ=C⅛冲"⅛(⅜, ⅛(¾,⅛))E■(兀(知岭h H(M e Mh 久(％%))过X o的法线方程为注：方法2实际上是方法1 中取..'l--λ.'<-的情形3、若曲面∑由参数方程当＜ 'I -时，得∑在点Xo 处的法向量为则∑在点Xo 处的法向量为<‰v)r ^f V),页陽叭四、典型例题例1求椭球面x 2+2y 2+3z 2 = 6在（1, 1, 1 ）处的切平面方程与法线方程解设F （x, y, Z ） = x 2+2y 2+3z 2 - 6,由于「八 FJ- •二在全平面上处处连续，在（1,1,1 ）处'一儿一「'■ 一"，椭球面在点（1,1,1）处的法向量为（2, 4, 6）.则所求切平面方程为2(z-l) + 4(y-1) ÷6(z-l) ■ 0即 X + 2y + 3z = 6.Λ- 1 _ y- I _1所求法线方程为---X-1 y-L Z-1 即 I-J ^ -.* i Z=—卡 y例2求曲面- 平行于Z = 2x+2y 的切平面方程则曲面在一1'^l 处的法向量为 'l ,' 曲面在点X 0处的切平面方程为解设切点为兀馆％殆.曲面"J 」 j2,因此舐瀚(Λ-心)十 2⅛O- M)- (Z -2o)-0又切平面与已知平面 Z = 2x+2y 平行，因此解得切点坐标为- ■■■■'■',所求切平面方程为2(^-3)+2(y-l)-(z-3)-0例 3 求曲面■ ^ 11■： 1.∙ ^ ■ ■ - ■ ：.「「’「 -^- - ^ 在点1 >. ^.：处的切平面方程和法线方程.解点^∙l ∙,'^∙厂…对应曲面上的点11 1■■ 1 '其中Λ⅛ =^Sin⅞¾ COE ⅛J I y o sm⅛r ¾ = L 7COS ⅞⅞^^COS ⅛=^5m¼.os⅛u<A. j-i SC0SξK⅛ cos⅛ 5⅛≤9∣4 QCOS⅞⅛si∩¾则曲面在点"-处的法向量为 V’ 4,亠」5 所求曲面在点X o 处的切平面方程为‰⅛I JS αcos⅝⅞ GOS ⅞Sm ς⅛ sin ⅛ ^Sill 2 ≠¾ sin ⅛-<jsifl ⅛ sin ⅛ -*2sιn sm ⅞2 」2≡t? Sm 处 c□≡φ¾护 tin 贏 COS ⅛(X ^ΛSIH ‰ cos¾) + asm J ⅞¾ sm¾ sm ξ≡⅛ s πι ¾) + O lSln 砂 CaS3^ DiJS 妬)■ 0,即 Q .一 -i ∣ J ■: , ； J I ς, • ■ I ■] _ _ ∙fΛ- asuι⅞⅛ cos6⅛ _ y- ^Sin⅛⅛ sin 6⅛所求的法线方程为「一一 .,J -IJ - -J . L - -I - .'■ J -■-■.Λ- sm⅛ J -ΛCCS ⅞¾SIn ⅞J ¾COS ⅛SHl ⅞¾ sin ⅛cos⅛¾解过直线的平面方程可设为即］:"：l "1'''其法向量为-■ 一且有J3Λ -2y-Z ~ 5例4求过直线',且与曲面L相切之切平面方程Q i Fm 2 ⅞⅛ cosg⅛3χ-2y- ∑ - 5^ Λ(Λ + y+ z) - QFgFQ =加- 2y 2 + 2z -设所求的切平面的切点为■ ■,则曲面上；=2处的法向量为（％γ用②.8,则(3 + Λχ÷(Λ-2)j b ÷(Z-l¼-5 = 03 + ∕⅛ 2-2 Λ-l由⑴、(3)解得代入(2)得e -⅛÷3-o则所求切平面方程为3x - 2I y-Z- 5 + 3(j ÷ιy +z) ■ O或…'--,.■-- I -即 6x + y + 2 Z = 5 或 10x + 5y + 6 Z = 5.例5试证曲面IT 丿上任一点处的切平面都过原点，其中 f(x)为可微函数(1)2÷⅛ 2t -1 15解得 t ι = 1, t 2 = 3 ,故λ 2=7.1 1■- ,''∙ 处的法向量为故曲面上点则过曲面上点--'-.' - ,.∙-的切平面方程为f-⅛∕∙卜fy-⅞∕"ι"^o ∕f -注意到<r <> ,从上述方程得切平面方程为■/ X ( ∖^∣( \f 西-—f 地也 y-^-Ok⅞∕ Jf O ∖λ(]√^J∖⅞∕可知其必定过原点.(X-X o )4 ∕{⅛-Λ)整理后得。

3曲面的切平面与法线

有： T ⊥ n
曲面 ∑ 在点M的法向量
n = {Fx (x0 , y0 , z0 ), Fy (x0 , y0 , z0 ), Fz (x0 , y0 , z0 )}
切平面方程：
Fx (x0 , y0 , z0 )(x − x0 )+ Fy (x0 , y0 , z0 )(y − y0 )+ Fz (x0 , y0 , z0 )(z − z0 ) = 0
F (x(t), y(t), z(t)) = 0
两边在 t = t0 处求导,得
Fx (x0 , y0 , z0 )x′(t0 )+ Fy (x0 , y0 , z0 )y′(t0 )+ Fz (x0 , y0 , z0 )z′(t0 ) = 0
令：
T = {x′(t0 ), y′(t0 ), z′(t0 )}, n = {Fx (x0 , y0 , z0 ), Fy (x0 , y0 , z0 ), Fz (x0 , y0 , z0 )}
过M点且垂直于切平面的称为曲面 ∑ 在点 M 的法线.
法线方程：
x − x0
Fx (x0 , y0 ,
z0 )
=
y − y0
Fy (x0 , y0 ,
z0 )
=
z − z0
Fz (x0 , y0 ,
z0 )
例.求球面 x2 + y2 + z2 =14 在点(1,2,3)处的切平面
及法线方程.
解:令
曲面的切平面与法线
设有光滑曲面 Σ : F(x, y, z) = 0
通过其上定点 M (x0, y0, z0 ) 任意引一条光滑曲线 Γ : x = x(t), y = y(t), z = z(t),t ∈[α , β ] 设 t = t0 对应点 M,

曲面的切平面与法线

对 t 求导,在 M0 点(设此时对应于 t t0 )有
(Fx )M0 x'(t0 ) (Fy )M0 y'(t0 ) (Fz )M0 z'(t0 ) 0
l 前已知道,向量 (x'(t0 ), y'(t0 ), z'(t0 )) 正是曲线在
在 M0 点的切向量. 上式说明向量 n((Fx )M0 ,(Fy )M0 ,(Fz )M0 )
对于曲面方程为显示表示及参数表示时,同样可
写出它们在 M 0点的法线方向余弦,请读者写出.
例1 求曲面 z x2 y2 1在点 (2,1,4) 的切平面及法线方程.
通常两曲线在交点的夹角,是指交点外两个切向量的夹角;两曲面在交线上一点的夹角,是指两曲面在交点的法线的夹角.如果两曲面在交线的每一点都正交,则称这两曲面为正交曲面.
过 M0 点并与切平面垂直的直线,称为曲面在 M0点的法线,它的方程是
X x0 Y y0 Z z0 (Fx )M0 (Fy )M0 (Fz )M0
设 ,,
分别为曲面在
M
的法线与
0
x,
y,
z
轴正向之间
的夹角,那么在 M0(x0, y0, z0 ) 点的法线方向余弦为
cos
与切向量正交.由于 l 的任意性,可见曲面上过M0 的任
一条曲线在该点的切线都与 n 正交,因此这些切线应
在同一平面上,这个平面就称为曲面在 M0 点的切平面,
而 n 就是切平面的法向量.从而即可写出曲面在 M0点
的切平面方程为
(Fx )M0 (Fy )M0 (Y y0 ) (Fx )M0 (Z z0 ) 0
如果由 x x(u,v), y y(u,v) 决定了两个函数

第二章第三节曲面的切平面和法线计算例题范文

第二章曲面的表示与曲面论第三节曲面的切平面和法线、光滑曲面1、平面曲线的切线与法线设平面曲线的方程为 0),(=y x F ,),(0y x P 是其上一定点。

在该点的切线斜率为),(),()(00000y x F y x F x y y x ''-='. 从而曲线过点),(000y x P 的切线方程为)(),(),(000000x x y x F y x F y y y x -''-=-,即0(,)()(,)()0xyF x y x x F x y y y ''-+-= ，(1) 法线方程为(,)()(,)()0yxF x y x x F x y y y ''---=，(2)例1、求笛卡尔叶形线09)(233=-+xy y x 在点)1,2(处的切线与法线.解 xy y x y x F 9)(2),(33-+=, y x F x 962-=',x y F y962-='. 12)1,2(,15)1,2(-='='yx F F , 得到切线方程 0)1(4)2(5=---y x ,即645=-y x ; 法线方程 0)1(5)2(4=-+-y x ,即1354=+y x .如图(1)所示.图(1)2、空间曲线的切线与法平面设空间曲线L 的方程为 )(),(),(t z z t y y t x x ===,βα≤≤t . 定点L z y x P ∈),,(0, )(),(),(0t z z t y y t x x ===,动点L z z y y x x P z y x P ∈∆+∆+∆+=),,(),,(0. 动割线P P 0的方程为tz z z t y y y t x x x ∆∆-=∆∆-=∆∆-000,当0→∆t 时,动点P 沿曲线无限接近定点0P , 达到动割线P P 0的极限位置l : 0()()()x x y y z zx t y t z t ---==''' ，(3) 称之为曲线L 在点0P 的切线.其方向向量为 0{(),(),()}x t y t z t τ'''= 。

曲面的切平面与法线方程

曲面的切平面与法线方程设*「中曲面工的方程为F（x ,z) = 0，函数F ( x , y , Z）在曲面工上点益-氐丹，环）Wo）= 处可微，且酬（血）前（血）萌（血）# o，过点」任意引一条位于曲面工上的曲线r。

设其方程为X ■戎\* y = XOmW），且f ■冷对应于点-'■ 不全为零。

由于曲线『在工上，则有＜ -「及□化（孟）确,）+匚僦）HG+胃（兀玄如。

该方程表示了曲面上任意一条过点的曲线在该点的切线都与向量垂直，并且这些切线都位于同一平面上, 这个平面就称为曲面工在点■'处的切平面.点1 .称为切点.向量」丁 J _1称为曲面工在点］.处的一个法向量。

记为厂：基本方法:1、设点?-1'■•"在曲面F（x, y, z）=0上，而F（x, y, z）在点‘丨处存在连续偏导数，且三个偏导数不同时为零，则曲面F（x, y, z）=0在点丄1处的切平面方程为忙（局）（“忌）4 兀（EXF -刃）+ £（兀-x,）-o法线方程为尺％，厂£3■厂£（兀）2、设点f-' 1' -1'■-在曲面z = f （x, y）上，且z = f （x, y）在点M（x。

，y。

）处存在连续偏导数,则该曲面在点上处的切平面方程为过X的法线方程为-工外片)-工知片)】注：方法2实际上是方法1中取■'■ ■1■ ' '■'- ■■' I的情形.3、若曲面刀由参数方程x = x(u, v) , y = y(u, v) , z = z(u, v)给出，刀上的点''''■'-与uv平面上的点(LP, v。

)对应，而x(u , v) , y( u , v) , z( u , v)在(u。

, v o)处可微.曲面刀在点X)处的切平面方程及法线方程分别为三、答疑解惑问题：曲面刀的参数方程为x = x(u , v) , y = y( u , v) , z = z( u , v)，刀上的点'：_i 1与u , v平面上的点(u o, v o)对应，怎样确定刀在点X)处的法向量?注释: :设x( u ,v),y(u , v),z(u ,v)在(s, v o)处可微，考虑在刀上过点X o的两条曲线『1: x = x(u ,v o),y = y(u ,v o),z = z( u , v o)；『2：x = x(u o,v),y = y(u o ,v),z = z( u o , v).它们在点X。

多元微分学应用曲面的切平面与法线

则 n T , 由 M 于曲线是曲面上通过的任意一条 M n 曲线，它们在的切线都与同一向量垂直，故 M M 曲面上通过的一切曲线在点的切线都在同一 M 平面上，这个平面称为曲面在点的切平面 .
小结
曲面的切平面与法线
（求法向量的方向余弦时注意符号）
思考题
3 x y z 16 相切，求 .
2 2 2
3 x y 3 z 16 0 如果平面与椭球面
思考题解答
x ,y ,z ), 设切点 ( 0 0 0
n { 6 x , 2 y , 2 z }, 0 0 0
{ F ( x , y , z ), F ( x , y , z ), F ( x , y , z ) 令n x 0 0 0 y 0 0 0 z 0 0 0
切平面方程为
F ( x , y , z )( x x ) F ( x , y , z )( y y ) x 0 0 0 0 y 0 0 0 0 F ( x , y , z )( z z ) 0 z 0 0 0 0
1 f f 1 cos . 2 2 1 fx fy
2 x 2 y
cos
fy
,
其中
f f ( x , y ) x x 0 0
f f ( x ,y ) y y 0 0
2 2 ( 2 , 1 , 4 ) z x y 1 例 3求旋转抛物面在点
处的切平面及法线方程 .
1、曲线 x
线平行于平面 x 2 y z 4. 三、求球面 x 2 y2 z2 6与抛物面 z x2 y2 的交线在 ( 1 ,1 , 2 ) 处的切线方程 .

求切平面方程和法线方程

求切平面方程和法线方程
在数学和物理学中，切平面和法线方程是研究曲面和曲线的重要工具。

切平面是与曲面相切的平面，而法线是与曲面在切点处垂直的直线。

在本文中，我们将讨论如何求解曲面的切平面方程和法线方程。

首先，让我们考虑一个曲面S的切平面。

设P(x0, y0, z0)是曲面S上的一点，我们希望找到通过点P的切平面方程。

切平面的一般方程可以表示为Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B、C是平面的法向量的分量，D是一个常数。

为了找到切平面的方程，我们需要确定平面的法向量。

在点P 处，曲面的法向量就是曲面的梯度向量。

我们可以通过对曲面的方程进行偏导数运算来找到这个梯度向量。

假设曲面的方程是z =
f(x, y)，那么曲面在点P处的法向量可以表示为(∂f/∂x,
∂f/∂y, -1)。

然后我们可以利用点P和法向量来确定切平面的方程。

接下来，让我们考虑曲面S的法线方程。

法线方程可以表示为从曲面上的一点P(x0, y0, z0)出发，沿着曲面的法向量方向的直
线。

法线方程的一般形式可以表示为x = x0 + At, y = y0 + Bt, z = z0 + Ct，其中A、B、C是曲面在点P处的法向量的分量。

通过求解切平面方程和法线方程，我们可以更好地理解曲面的性质和特征。

这些方程也在物理学和工程学中有着广泛的应用，例如在光学、机械和流体力学等领域。

因此，对于研究曲面和曲线的性质和行为来说，求解切平面方程和法线方程是非常重要的。

空间曲线的切线与法平面曲面的切平面与法线

切平面方程为
Fx ( x0 , y0 , z0 )( x x0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 )( y y0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )(z z0 ) 0
通过点M ( x0 , y0 , z0 )而垂直于切平面的直线
称为曲面在该点的法线.
法线方程为
x x0 y y0 z z0 Fx ( x0 , y0 , z0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )
切平面方程(1)
2( x 1) 8( y 2) 12(z 2) 0
切平面方程
4( x 1) 2( y 2) 0 (z 0) 0,
2x y 4 0,
法线方程
x 1 y 2 z 0.
2
1
0
例 5 求曲面 x2 2 y2 3z2 21 平行于平面 x 4 y 6z 0的各切平面方程. 解设 ( x0 , y0为,曲z0面)上的切点,
第六节微分在几何中的应用
空间曲线的切线和法平面方程空间曲面的切平面和法线方程小结思考题
一、空间曲线的切线与法平面
设空间曲线的方程
x (t)
y
(t
)
z (t )
(1)式中的三个函数均可导.
设 M ( x0 , y0 , z0 ), 对应于 t t0;
M( x0 x, y0 y, z0 z)
Fx ( x0 , y0 , z0 )(x x0 )
Fy ( x0 , y0 , z0 )( y y0 )
Fz ( x0 , y0 , z0 )(z z0 ) 0
令 n {Fx ( x0 , y0 , z0 ), Fy ( x0 , y0 , z0 ), Fz ( x0 , y0 , z0 )} 条则曲线n，T它, 们由在于M曲的线切是线曲都面与上同通一过向M量的n任垂意直一，故曲面上通过M 的一切曲线在点M 的切线都在同一平面上，这个平面称为曲面在点M 的切平面.

高中数学-曲面及曲面的切平面与法线方程.doc

高中数学-曲面及曲面的切平面与法线方程
一、曲面及曲面的切平面与法线方程历年考点分析
2016年上半年高中，在选择题的第3题考查了二次曲面的方程;
2017年上半年高中，在选择题的第3题考查了柱面方程，简答题第9题考查了椭球面切平面方程;
2017年下半年高中，在解答题考查了旋转曲面方程的求解;
2018年上半年高中，在选择题的第6题、简答题的第10题考查了抛物柱面与平面的交线、二次曲面的切平面和法向量.
从这几套历年真题可以分析出，教师资格证数学曲面的考点主要是两大考点，曲面的方程及曲面的切平面与法线方程.
考生在高中数学教师资格证考试的备考中应注意复习曲面及曲面的切平面与法线方程部分知识点.
二、曲面及曲面的切平面与法线方程历年真题及详细解析。

求曲面的切平面方程和法线方程

求曲面的切平面方程和法线方程大家好，今天我们来聊聊一个听起来有点儿复杂，但其实只要理清思路就会发现它也挺简单有趣的数学概念，那就是曲面的切平面和法线方程。

听起来是不是有点儿高深莫测？别担心，让我们一起来揭开这个神秘的面纱，顺便加点儿幽默感，轻松一下！1. 什么是曲面？首先，咱们得搞清楚什么是曲面。

你可以想象一下，曲面就像是一块柔软的橡皮泥，随便捏捏就能变出各种形状。

数学上，曲面可以用一个方程来表示，比如说z = f(x, y)。

这里的 f(x, y) 就像是你在烘焙时的配方，决定了曲面的“口味”。

有些曲面像球体那样光滑，有些则像马鞍一样凹凸不平。

1.1 曲面的切平面好，曲面搞清楚了，接下来我们来聊聊切平面。

简单来说，切平面就是在某一点“切”到这个曲面，像是在一块蛋糕上切出一片。

想象一下，你在生日聚会上切蛋糕，那一刀下去的瞬间，你就得到了一个平面，这就是你的切平面。

数学上，切平面的方程可以用来描述这一瞬间。

要找切平面，首先你得找到那个点的坐标，比如(x₀, y₀, z₀)。

1.2 如何求切平面方程那么，如何求这个切平面方程呢？其实很简单！我们可以用到偏导数的知识。

对了，你没听错，就是那个在微积分中出现的偏导数。

咱们得先计算出在点 (x₀, y₀) 处的偏导数，分别是 fx(x₀, y₀) 和 fy(x₀, y₀)。

接下来，根据切平面的公式 z z₀ = fx(x₀,y₀)(x x₀) + fy(x₀, y₀)(y y₀)，就能轻松得到切平面的方程啦！是不是觉得像是打开了新世界的大门？2. 法线方程接下来，我们再来聊聊法线。

法线是什么呢？简单说，它就像是一个“直立”的小杆子，垂直于切平面。

想象一下，如果你在切蛋糕的时候，切刀和桌面的角度就是法线的方向。

法线方程则是描述这根“小杆子”的方程。

2.1 如何求法线方程求法线的步骤其实和求切平面有些相似。

我们仍然需要用到那两个偏导数。

法线的方向就是这两个偏导数的反方向，具体来说就是 (fx(x₀, y₀), fy(x₀, y₀), 1)。

空间曲面的切平面与法线学习计算空间曲面的切平面与法线的方法

空间曲面的切平面与法线学习计算空间曲面的切平面与法线的方法空间曲面是三维空间中的曲面，它由平面或非平面的曲线组成。

对于一个给定的空间曲面，计算其切平面与法线是非常重要的。

切平面是曲面上某点处与曲面相切的平面，而法线是切平面上的垂直于曲面的线段或矢量。

本文将介绍如何计算空间曲面的切平面与法线的方法。

1. 曲面的方程要计算曲面的切平面与法线，首先需要知道曲面的方程。

根据曲面的类型，可以使用不同的方程表示。

例如，对于二次曲面，可以使用二次方程表示；对于参数曲面，可以使用参数方程表示。

在此文章中，我们将以二次曲面为例进行讨论。

2. 二次曲面的切平面对于二次曲面，其方程通常可以表示为：F(x, y, z) = Ax^2 + By^2 + Cz^2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0其中，A、B、C、D、E、F、G、H、I和J为常数。

为了计算曲面上某一点处的切平面，我们需要找到该点的切线方向。

切线方向可以通过计算曲面方程的偏导数得到。

对于曲面方程F(x, y, z) = 0，设该点为P(x0, y0, z0)，则切线方向为向量：∇F(x0, y0, z0) = (∂F/∂x, ∂F/∂y, ∂F/∂z) |(x0, y0, z0)其中∂F/∂x，∂F/∂y和∂F/∂z分别表示对于x、y和z的偏导数。

有了切线方向后，我们可以得到切平面的法向量。

切平面的法向量与切线方向垂直，因此可以取切线方向的相反数作为法向量。

3. 二次曲面的法线与切平面类似，曲面的法线也可以通过计算曲面方程的偏导数得到。

对于曲面方程F(x, y, z) = 0，设该点为P(x0, y0, z0)，则法线方向为向量：N = (∂F/∂x, ∂F/∂y, ∂F/∂z) |(x0, y0, z0)法线方向是垂直于曲面的方向，因此可以通过对法线向量进行单位化（即将其长度归一化为1）得到单位法线。

4. 示例计算为了更好地理解如何计算切平面与法线，我们将通过一个示例进行演示。

空间曲面的切平面及法线案例分析研究

空间曲面的切平面及法线案例分析研究作者：余小飞
来源：《知识文库》2017年第05期
设曲面在点处的法向量为，该点处的切平面方程为
；
曲面在该点的法线方程为
.
如果曲面方程为标准形式：，即，则在点处的法向量为.
例1 求曲面的平行于平面
的各切平面.
解析根据题意，有
，
设
，，，
从中可以解得，
，，，
将它们带入方程，可得，故切点坐标为.于是所求的切平面方程为
，
即.
例2 在椭球面
上什么样的点，椭球面的法线与坐标轴成等角？
解析根据题意，有
，
并且
（其中）
即，
将上式带入椭球面方程，得.
于是，所求的点为
，，（其中）.
例3 证明锥面
的切平面经过其顶点.
解析因为
，.
于是，锥面在任一点的切平面方程为
，
化简整理得，
，
它显然通过锥面的顶点.
例4 求椭球面
在坐标面上的射影.
解析先考虑椭球面在坐标面上的射影.该射影即通过所给曲面上的每一点向坐标面作垂线所得到的垂足的全体，它是坐标面上的一个区域，这个区域的边界由曲面上这样的点的投影构成：这一点向坐标面所作的垂线在它的切面内，即该点的法线与坐标面平行.因该点的法向量为.因此该点的坐标满足
，
这些点的投影为
，
它即椭球面在坐标面上射影的边界.
同理，可以得到其在坐标面、坐标面的边界方程为
，.
于是，椭球面在坐标面上的射影为圆：，；在坐标面上的射影为椭圆：，；在坐标面上的射影为椭圆：，.
（作者单位：河南工业职业技术学院）。

2-25 空间曲面的切平面与法线

空间曲面的切平面与法线设曲面方程为),,(=z y x F 一、曲面的切平面与法线n τM M.θ),cos(lim 00=∑∈→n MM M M MnM .C),(),(),(:t z z t y y t x x C ===的参数方程设曲线))(),(),((000t z t y t x '''=→τ0)](),(),([≡t z t y t x F 0)(),,()(),,()(),,(000000000000='+'+'t z z y x F t y z y x F t x z y x F z y x )},,(),,,(),,,({000000000z y x F z y x F z y x F n z y x =记0=⋅τ n 则板书上，在曲面曲线∑C ，对应的参数上任一点曲线0t M C 点处的切向量0M τ)},,(),,,(),,,({000000000z y x F z y x F z y x F n z y x =令则,T n⊥ 由于曲线是曲面上通过0M 的任意一条曲线，它们在0M 的切线都与同一向量n垂直，故曲面上通过0M 的一切曲线在点0M 的切线都在同一平面上，这个平面称为曲面在点0M 的切平面.切平面方程为))(,,())(,,())(,,(000000000000=-+-+-z z z y x F y y z y x F x x z y x F z y x通过点),,(0000z y x M 而垂直于切平面的直线称为曲面在该点的法线.法线方程为),,(),,(),,(000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z y x -=-=-)},,(),,,(),,,({000000000z y x F z y x F z y x F n z y x =曲面在M 0处的法向量即垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量.特殊地：空间曲面方程形为),(y x f z =曲面在M 0处的切平面方程为,))(,())(,(0000000z z y y y x f x x y x f y x -=-+-曲面在M 0处的法线方程为.1),(),(0000000--=-=-z z y x f y y y x f x x y x ,),(),,(z y x f z y x F -=令}),,(),,({0000-1y x f y x f n y x =特殊地：空间曲面方程形为),(x z f y =曲面在M 0处的切平面方程为,))(,())(,(0000000y y z z x z f x x x z f z x -=-+-曲面在M 0处的法线方程为.),(1),(0000000x z f z z y y x z f x x z x -=--=-,),(),,(y x z f z y x F -=令)},(,1),,({0000x z f x z f n z x -=特殊地：空间曲面方程形为),(z y f x =曲面在M 0处的切平面方程为,))(,())(,(0000000x x z z z y f y y z y f z y -=-+-曲面在M 0处的法线方程为.),(),(10000000z y f z z z y f y y x x z y -=-=--,),(),,(x z y f z y x F -=令)},(),,(,1{0000z y f z y f n z y -=))(,())(,(0000000y y y x f x x y x f z z y x -+-=-切平面上点的竖坐标的增量的全微分在点函数),(),(00y x y x f z =因为曲面在M 0处的切平面方程为),(y x f z =在),(00y x 的全微分，表示曲面),(y x f z =在点),,(000z y x 处的切平面上的点的竖坐标的增量.二、全微分的几何意义若α、β、γ表示曲面的法向量的方向角，并假定法向量的方向是向上的，即使得它与z 轴的正向所成的角γ是锐角，则法向量的方向余弦为,1cos 22yx xf f f ++-=α,1cos 22yxyf f f ++-=β.11cos 22yx f f ++=γ),(00y x f f x x =),(00y x f f y y =其中例求曲面2132222=++z y x 平行于平面064=++z y x 的各切平面方程. 解设为曲面上的切点,),,(000z y x 切平面方程为0)(6)(4)(2000000=-+-+-z z z y y y x x x 依题意，切平面方程平行于已知平面，得,664412000z y x ==.2000z y x ==⇒因为是曲面上的切点，),,(000z y x ,10±=∴x 所求切点为满足方程),2,2,1(),2,2,1(---0)2(12)2(8)1(2=-+-+-z y x 2164=++⇒z y x 0)2(12)2(8)1(2=+-+-+-z y x 2164-=++⇒z y x 切平面方程(1)切平面方程(2)三、小结曲面的切平面与法线（求法向量的方向余弦时注意符号）。

曲面的切平面与法线方程

曲面的切平面与法线方程仙(血)酥(览)巩坷叩、负，卽，鬼丿过点广.任意引一条位于曲面工上的曲线r 。

设其该曲面在点曲面的切平面与法线方程设上中曲面工的方程为F (x , y , z) = 0，函数F (x , y , z)在曲面工上点?u _ 1.■ J i ■■处可微,x-戎0 F=刃)方程为 m ,且对应于点不全为零。

由于曲线r 在工上，则有呀尹厲感)+卩(兀吨)+罠区池)T： ■ ■■.'： ■ ■' ■ '：■：：'-「及'任意一条过点一的曲线在该点的切线都与向量垂直，并且这些切线都位于同一平面上，这个平面就称为曲面工在点丁.处的切平面.点、•称为切点.向量「" 称为曲面工在点、■处的一个法向量。

记为基本方法:1、设点 1 丿在曲面F(x, y, z)=0上，而F(x, y, z)在点「处存在连续偏导数，且三个偏导数不同时为零，则曲面F(x, y, z)=0在点’•处的切平面方程为麻不Xr-r.)+ 押;-片)亠 Eea -心)■ 0法线方程为xr _ y —旳 _ %2、设点'' ■'在曲面z = f (x, y)上，且z = f (x, y)在点M Q (x o , y o )处存在连续偏导数，则处的切平面方程为过X o的法线方程为注：方法2实际上是方法〔昭儿)("心)-力(心小X?-几)2-齢齐_ %__________ _石_石-饷矶)-/(兀必)11 中取’1■-?■-■'- ..■ .-.L 的情形3、若曲面刀由参数方程x = x(u, v) , y = y(u , v) , z = z(u, v)给出，刀上的点劣臨沧知与uv平面上的点(u o , v o)对应，而x(u , v) , y(u , v) , z(u , v)在( u o , v o)处可微.曲面刀在点X o处的切平面方程及法线方程分别为y-n畑)d(u,v)三、答疑解惑问题：曲面刀的参数方程为x = x(u , v) , y = y(u , v) , z = z(u , v),E上的点•'1与u , v平面上的点(u o , v o)对应，怎样确定刀在点X o处的法向量？注释：设x(u , v) , y(u , v) , z(u , v)在(u o , v o)处可微，考虑在刀上过点X o的两条曲线.r 1 : x= x(u , v o) , y = y (u , v o) , z = z(u , v o)；r2: x = x(u o , v) , y = y(u o , v) , z = z(u o , v).它们在点X o处的切向量分别为当■■■时，得刀在点X o处的法向量为昭卩）Jt3J则刀在点X o处的法向量为四、典型例题1 求椭球面x2+2y2+3z2= 6 （1,1,1 ）处的切平面方程与法线方程设F(x, y , z) = x2+2y 2 2+3z -6,由于?■■ ■■■'…’…亠在全平面上处处连续，在（1, 1, 1 ）-行，椭球面在点（1,1,1）处的法向量为（2, 4, 6）.则所求切平面方程为2(z-l) + 4(y-1)■x + 2y + 3z = 6.A-1所求法线方程为- y-1 z-\ 4A-1 y-1 Z'1E=a血評我和出诞皿））£ ■（才（如卩j 认心分包止））2求曲面- 平行于z = 2x+2y的切平面方程.设切点为一L, T' ■■■■ 一 .曲面”牛2 舟=匚善=2 丁2 ，因此无谢[acos^ cos^j-t?sm g sin 第u\A. j- i tSCOS^ COS^j ◎(牯叭L acos^sin^-<7sm sin-^sm sin2- 2MLJ sin 处cos^则曲面在丄I…处的法向量为-I曲面在点Xo处的切平面方程为奄仗一冏）十2加（/-并）-（広-^）-0又切平面与已知平面z = 2x+2y平行，因此解得切点坐标为■ ■■■ _1；■'：，所求切平面方程为2(j-3) = 0例3 求曲面■■- 11 / 1- ' :. 1 1■ J ' ■'二•—在点■. 1：■. ^.：处的切平面方程和法线方程.解点'，，1- .对应曲面上的点禺三£?sin関cosi%, y0•处in犁睛mg「迓口匚则曲面在点岛（向局）处的法向量为(a2sin7刑cosS^.a2sir?仰血务/ sin2轨cossin^cos^ sui sin CuS^j例4求过直线3A- 2jr -z - 5A+J+ z = 02/- 2/a+ 2^ =-，且与曲面^ ;-相切之切平面方程解过直线的平面方程可设为3x-2y - 1 - 5+几(X + y + z) - 0即匚.：.」二L八1- ：■■其法向量为 _' *…一… ■-.记=2兀？_ 十2z ~ —S，则所求曲面在点Xo处的切平面方程为/ sin 职% cos^) -b a sin1伽sm^ (y- <7sin 处sui 境)+ a1sin 0(j cos ^(z-a1cos 伽)■ □即xsin cos+ .ysui sin + 7cos恥"jr- tisincosft y- asm sin z-a匚皿仙所求的法线方程为'+■. 1订■ '' ■'. :"■-. '■ 一i，；,y-^sui^ sm6()设所求的切平面的切点为偏皿知，则曲面上氐弘久）处的法向量为（如-4用Q .且有15解得 t i = 1, t 2 = 3，故入=7.3 + /t 2-2由⑴、(3)解得2t -1代入(2)得则所求切平面方程为3x-2y -z-5-^3(J +丿 +z) ■03TL -2y-z-5 +7(A : + y + Z )-06x + y + 2z = 5 或 10x + 5y + 6z = 5.(3—)可 + 以-2)兀 K^-lkq-5-O(1)试证曲面上任一点处的切平面都过原点，其中 f(x)为可微函数.证明f—■=/--rI K\ J ：咼地］(厂儿)整理后得则过曲面上点-的切平面方程为卜f y-^ff1窃^0 "^0 /f—注意到<r<>，从上述方程得切平面方程为■/ X( \~| ( \f西-—f地e f 也y-^-o% 丿」x^o /可知其必定过原点.。

曲面的切平面与法线方程

曲面的切平面与法线方程处可微，且z)在曲面Σ上点(x , y , , 设中曲面Σ的方程为F (xy , z) = 0，函数FΓ。

设其方程为任意引一条位于曲面Σ上的曲线，过点Γ则有由于曲线不全为零。

在Σ上，，且对应于点；的曲线在该点的切。

该方程表示了曲面上任意一条过点及点线都与向量处的切平面垂直，并且这些切线都位于同一平面上，这个平面就称为曲面Σ在点. 称处的一个法向量。

记为。

称为曲面Σ在点. 为切点向量基本方法：且三个偏导数不同时为零，, ()=0, 在曲面F(x1、设点y, z上，而Fx, yz)在点处存在连续偏导数，处的切平面方程为x(, 在点zy, )=0F则曲面.法线方程为.处存在连续偏导数，则该曲面在点(= 上，且yxf z 在曲面、2设点= (, )z f x) x () y, 在点M, y 0 00处的切平面方程为.的法线方程为过X0．..的情形2实际上是方法1中取注：方法若曲面∑由参数方程3、)vz(u, y(u, v) , z = x = x(u, v) , y =曲面∑在v）处可微. , v)在（u, ) , x(u , v) , y(u , vz(u, 给出，∑上的点与uv平面上的点（uv）对应，而0 0 0 0处的切平面方程及法线方程分别为X点0和三、答疑解惑）v平面上的点（u, vu = z( , v)，∑上的点与u , uu 问题：曲面∑的参数方程为x = x(, v) , y = y( , v) , z00处的法向量？对应，怎样确定∑在点X0.的两条曲线）处可微，考虑在∑上过点, v) 在（u, vXux注释：设(u , v) , y( , v) , z(u000Γ);z(uv , v) , u , vy = y(u , ) , z = (：x = x0001Γ). , ) , z = z(uv , yvux ：= x( , ) , y = (uv0200处的切向量分别为它们在点X0处的法向量为当时，得∑在点X0处的法向量为X则∑在点0.四、典型例题222.）处的切平面方程与法线方程1, 1, 1在（= 6z+3y+2x求椭球面1 例222）处在全平面上处处连续，在（1, 1, 1－) = x6+2y，由于+3z, 解设F(xy, z则所求切平面方程为(1, 1, 1)处的法向量为(2, 4, 6). ，椭球面在点，= 6.z + 2即x y + 3，所求法线方程为. 即.的切平面方程y 例2求曲面平行于z = 2x+2.，因此. 解设切点为曲面.则曲面在处的法向量为处的切平面方程为曲面在点X0平行，因此x+2y = 2又切平面与已知平面z，解得切点坐标为所求切平面方程为，.即在点求曲面例3处的切平面方.程和法线方程其中点解对应曲面上的点..则曲面在点处的法向量为处的切平面方程为所求曲面在点X0. 即所求的法线方程为. 即.，且与曲面例4求过直线相切之切平面方程过直线的平面方程可设为解，，即.其法向量为，则记.设所求的切平面的切点为，则曲面上处的法向量为且有．解得(3)、由(1),得代入(2).=7. = 3t，故λλ= 3 , 解得t = 1, 2112则所求切平面方程为，. 或= 5.+ 5 10x y + 6z或y 即6x + + 2z = 5.)为可微函数f 例5试证曲面上任一点处的切平面都过原点，其中(x，证明..处的法向量为故曲面上点的切平面方程为则过曲面上点，整理后得．.，从上述方程得切平面方程为注意到..可知其必定过原点．。

曲面切除练习题

曲面切除练习题在解析几何中，曲面切除是一个重要的概念。

它是指通过一条曲线将一个曲面分为两个部分，其中一个部分是通过将曲面上的点与曲线相连而得到的封闭曲面。

曲面切除问题对于数学学习者来说是一项基本练习。

在本篇文章中，我们将通过一些练习题来加深对曲面切除的理解。

练习题一：曲面切除已知曲面S的方程为：\[f(x, y, z) = 0\]其中，f(x, y, z)为连续函数。

设曲线C的参数方程为：\[\begin{cases}x = x(t)\\y = y(t)\\z = z(t)\end{cases}\]其中，t的取值范围为[a, b]。

试证明：通过曲线C将曲面S切除的两个部分是封闭曲面。

解答：我们首先需要证明通过曲线C将曲面S切除的两个部分是曲面。

设曲线C上任意一点的参数为t，其对应的坐标为(x, y, z)。

由曲线C的参数方程可知，曲线C上的点满足方程组：\[\begin{cases}x = x(t)\\y = y(t)\\z = z(t)\end{cases}\]在曲线C上，将方程f(x, y, z) = 0代入上述方程组中，得到：\[f(x(t), y(t), z(t)) = 0\]因此，曲线C上的点也满足曲面S的方程。

由此可知，通过曲线C将曲面S切除的两个部分分别满足曲面S的方程，因此它们都是曲面。

其次，我们需要证明通过曲线C将曲面S切除的两个部分是封闭曲面。

设曲线C有两个参数方程：\[\begin{cases}x = x_1(t)\\y = y_1(t)\\z = z_1(t)\end{cases}\]\[\begin{cases}x = x_2(t)\\y = y_2(t)\\z = z_2(t)\end{cases}\]其中，t的取值范围分别为[a, b]和[c, d]。

我们分别考虑曲线C上两个参数方程对应的点序列{x_1(t), y_1(t), z_1(t)}和{x_2(t), y_2(t), z_2(t)}。