高中数学选修44坐标系
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标,并标出点D(2,),E(4,5),F(3.5, 5 )
Baidu Nhomakorabea
所在的位置.
4
6
3
a
30
例2:下图是某校园的平面示意图,点 A,B,C,D,E分别表示教学楼,体育馆,图 书馆,实验楼,办公楼的位置,建立适当的 极坐标系,写出各点的极坐标。
D
C
E
120m
50m45o 60o A O 60m B
A(0,0) B(60,0)
a
xxz1
a
2
a
3
a
4
a
5
a
6
a
7
a
8
根据几何特点选择适当的直角坐标系的一些规则: (1)如果图形有对称中心,可以选择对称中心为坐标原点; (2)如果图形有对称轴,可以选择对称轴为坐标轴; (3)使图形上的特殊点尽可能地在坐标轴上。
a
9
二.平面直角坐标系中的伸缩变换
思考: (1)怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=sin2x?
坐标对应关系为:
2
x
1
x
2
1
y y
通常把 1 叫做平面直角坐标系中的一个压缩变换。
a
11
(2)怎样由正弦曲线y=sinx得到曲 线y=3sinx?写出其坐标变换。
y
y=3sinx
y=sinx
O
2 x
a
12
(2)怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sinx?写出 其坐标变换。
在正弦曲线上任取一点P(x,y),保持横坐标x不变, 将纵坐标伸长为原来的3倍,就得到曲线y=3sinx。
x
极化 x直 co ,: y ssin
a
33
例3:互化下列直角坐标与极坐标
(2 3,2)
(4, )
6
(0,1)
(1, ) 2
(3,0)
(3,)
(3, 3) ( 3,1) (5,0)
5
(2 3, )
(2, 7 )
6
6
(5,0)
a
34
探索?
1、极坐标系中点的对称关系?
注 (1) 0,0
(2)把图形看成点的运动轨迹,平面图形 的伸缩变换可以用坐标伸缩变换得到;
(3)在伸缩变换下,平面直角坐标系不变, 在同一直角坐标系下进行伸缩变换。
a
16
例2:在直角坐标系中,求下列方程所对应的图形经过
伸缩变换 x 2 x
y
3y
后的图形。(1)2x+3y=0; (2)x2+y2=1
设点P(x,y)经变换得到点为 p x, y
x x
y
3y
2
通常把 2 叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸 长变换。
a
13
(3)怎样由正弦曲线y=sinx得到曲 线y=3sin2x? 写出其坐标变换。
y
y=3sin2x
y=sinx
2
O
x
a
14
(3)怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线 在y正=3弦sin曲2线x?y=写si出nx其上坐任标取变一换点。P(x,y),保持纵坐 标将不纵变坐,标将变横为坐原标来x的缩3为倍原,来就的得到12 正,弦在曲此线基础上,
再选定一个长度单位和角度单位(通
常取弧度)及它的正方向(通常取逆
时针方向),
O
X
这样就建立了一个极坐标系。
a
26
想一想?
如图:极坐标系OX,对比直角坐标 系想一想平面上任意一点M的极 坐标该如何表示?
M.
记:M(,)
O
X
a
27
表示线段OM的长度,叫做点M的极径;
表示以OX为始边,射线OM为终边的 角,叫做点M的极角;
y=3sin2x.
设点P(x,y)经变换得到点为
x 1 x
2 y 3 y
3
通常把 3 叫做平面直角坐标系中
的一个坐标伸缩变换。
a
15
定义:设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点,
在变换:xy''xy
(0) (0)
4
的作用下,点P(x,y)对应 px, y 称
为平面直角坐标系中的伸缩变换。
a
19
课堂小结:
(1)体会坐标法的思想,应用坐标 法解决几何问题;
(2)掌握平面直角坐标系中的伸缩 变换。
a
20
a
21
a
22
从这里向东北走 500米就到了
请问:去车 站怎么走?
好心人
问路人
a
23
请认真分析好心人的回答:“从这里 向东北走500米就到了”,他是从哪 些方面确定车站位置的?
出发点、方向、距离
解: 1由伸缩变换xy23xy 得
代入2x+3y=0 得x+y=0
x
y
1 x 2 1 y 3
2由伸缩变换xy 23xy得xy 1213 xy
x2
代入x2+y2=1得4a
+
y 2 9
=1
17
1.在同一直角坐标系下,求满足下列图形的伸缩变换:
曲线4x2+9y2=36变为曲线 x2 y2 1
1解 : 设 伸 缩 变 换 x y xy, 0
C(120, )
D(60 3, )
3
2
3
E(50, )
4
X
a
31
思考?
平面内一点P的直角坐标是( 3 ,1), 其极坐标如何表示?点Q的极坐标 为( 5 , 2 ),其直角坐标如何表示?
3
答案:P ( 2, ) Q( 5 , 5 3 ),
6
22
a
32
三、极坐标与直角坐标的互化 公式
直化 2x 极 2y2,t: a ny(x0 )
有序数对(,)就M叫. 做点M的极坐标.
O
X
强调:不做特殊说明时,≥0,∈R
当=0时,表示极a 点。
28
思考?
1.在极坐标平面上点与坐标的对应 关系是怎样的?
2.极坐标平面上一个定点M(,)的 极坐标是否可以写出统一的表达 式?
3.若使极坐标平面上点与坐标也为 一一对应关系需增加什么条件?
a
29
例1:说出图中点A、B、C的极 坐
在我们日常生活中人们经常用方
向和距离来确定一点的位置,这种用 方向和距离确定平面上一点位置的思 想,就是极坐标的基本思想。
a
24
试一试?
请大家回忆直角坐标系的建立过 程,试着建立一个用距离与角度 确定平面上一点位置的坐标系.
a
25
一、极坐标系的建立:
在平面内取一个定点 O,叫做极点;
引一条射线 OX ,叫做极轴;
代入x2+y2=1得2x22y2 1
又4x29y236 则
1 3 1 2
得
x
1 3
x
y
1 2
y
a
18
2.在同一直角坐标系下经过伸缩变换
x y
3x y
后,
曲线C变为 x2 9y2 9,求曲线C的方程并画出
图形。
2.解:将xy3yx代入 x2-9y2=9
得9x2-9y2=9 即x2-y2=1
y=sin2x
2
O
x
a
y=sinx 10
在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y),保持纵坐标不变, 将横坐标x缩为原来的 ,就1 得到正弦曲线y=sin2x.
2
上述的变换实质上就是一个坐标的压缩变换,即:
设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点,保持纵坐标
不变,将横坐标x缩为原来 1 ,得到点 px, y