高中数学选修44坐标系

坐标对应关系为：
2
x
1xLeabharlann 21y y
通常把 1 叫做平面直角坐标系中的一个压缩变换。
a
11
（2）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲 线y=3sinx?写出其坐标变换。
y
y=3sinx
y=sinx
O
2 x
a
12
（2）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sinx?写出 其坐标变换。
在正弦曲线上任取一点P（x,y），保持横坐标x不变， 将纵坐标伸长为原来的3倍，就得到曲线y=3sinx。
代入x2+y2=1得2x22y2 1
又4x29y236 则
1 3 1 2
得
x
1 3
x
y
1 2
y
a
18
2.在同一直角坐标系下经过伸缩变换
x y
3x y
后，
曲线C变为 x2 9y2 9，求曲线C的方程并画出
图形。
2.解：将xy3yx代入 x2-9y2=9
得9x2-9y2=9 即x2-y2=1
y=sin2x
2
O
x
a
y=sinx 10
在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y)，保持纵坐标不变， 将横坐标x缩为原来的 ，就1 得到正弦曲线y=sin2x.
2
上述的变换实质上就是一个坐标的压缩变换，即：
设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，保持纵坐标
不变，将横坐标x缩为原来 1 ，得到点 px, y
解： 1由伸缩变换xy23xy 得
代入2x+3y=0 得x+y=0
x
y
1 x 2 1 y 3
2由伸缩变换xy 23xy得xy 1213 xy
x2
代入x2+y2=1得4a
+
y 2 9
=1
17
1.在同一直角坐标系下，求满足下列图形的伸缩变换：
曲线4x2+9y2=36变为曲线 x2 y2 1
1解 ： 设 伸 缩 变 换 x y xy， 0
a
xxz1
a
2
a
3
a
4
a
5
a
6
a
7
a
8
根据几何特点选择适当的直角坐标系的一些规则： （1）如果图形有对称中心，可以选择对称中心为坐标原点； （2）如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴； （3）使图形上的特殊点尽可能地在坐标轴上。
a
9
二.平面直角坐标系中的伸缩变换
思考： （1）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=sin2x?
再选定一个长度单位和角度单位（通
常取弧度）及它的正方向（通常取逆
时针方向），
O
X
这样就建立了一个极坐标系。
a
26
想一想？
如图:极坐标系OX,对比直角坐标 系想一想平面上任意一点M的极 坐标该如何表示？
M.
记:M(,)
O
X
a
27
表示线段OM的长度，叫做点M的极径;
表示以OX为始边，射线OM为终边的 角,叫做点M的极角;
y=3sin2x.
设点P（x,y）经变换得到点为
x 1 x
2 y 3 y
3
通常把 3 叫做平面直角坐标系中
的一个坐标伸缩变换。
a
15
定义：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，
在变换:xy''xy
(0) (0)
4
的作用下，点P(x,y)对应 px, y 称
为平面直角坐标系中的伸缩变换。
标，并标出点D(2,),E(4,5),F(3.5, 5 )
所在的位置.
4
6
3
a
30
例2：下图是某校园的平面示意图，点 A,B,C,D,E分别表示教学楼,体育馆,图 书馆,实验楼,办公楼的位置,建立适当的 极坐标系,写出各点的极坐标。
D
C
E
120m
50m45o 60o A O 60m B
A(0,0) B(60,0)
有序数对(,)就M叫. 做点M的极坐标.
O
X
强调：不做特殊说明时,≥0,∈R
当=0时，表示极a 点。
28
思考？
1.在极坐标平面上点与坐标的对应 关系是怎样的？
2.极坐标平面上一个定点M(,)的 极坐标是否可以写出统一的表达 式？
3.若使极坐标平面上点与坐标也为 一一对应关系需增加什么条件？
a
29
例1：说出图中点A、B、C的极 坐
C(120, )
D(60 3, )
3
2
3
E(50, )
4
X
a
31
思考？
平面内一点P的直角坐标是( 3 ,1)， 其极坐标如何表示?点Q的极坐标 为( 5 , 2 )，其直角坐标如何表示？
3
答案：P ( 2, ) Q( 5 , 5 3 ),
6
22
a
32
三、极坐标与直角坐标的互化 公式
直化 2x 极 2y2,t： a ny(x0 )
a
19
课堂小结：
（1）体会坐标法的思想，应用坐标 法解决几何问题；
（2）掌握平面直角坐标系中的伸缩 变换。
a
20
a
21
a
22
从这里向东北走 500米就到了
请问：去车 站怎么走？
好心人
问路人
a
23
请认真分析好心人的回答：“从这里 向东北走500米就到了”，他是从哪 些方面确定车站位置的？
出发点、方向、距离
注 （1） 0,0
（2）把图形看成点的运动轨迹，平面图形 的伸缩变换可以用坐标伸缩变换得到；
（3）在伸缩变换下，平面直角坐标系不变， 在同一直角坐标系下进行伸缩变换。
a
16
例2：在直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过
伸缩变换 x 2 x
y
3y
后的图形。（1）2x+3y=0; (2)x2+y2=1
在我们日常生活中人们经常用方
向和距离来确定一点的位置，这种用 方向和距离确定平面上一点位置的思 想，就是极坐标的基本思想。
a
24
试一试？
请大家回忆直角坐标系的建立过 程，试着建立一个用距离与角度 确定平面上一点位置的坐标系.
a
25
一、极坐标系的建立：
在平面内取一个定点 O,叫做极点；
引一条射线 OX ,叫做极轴；
设点P（x,y）经变换得到点为 p x, y
x x
y
3y
2
通常把 2 叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸 长变换。
a
13
（3）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲 线y=3sin2x? 写出其坐标变换。
y
y=3sin2x
y=sinx
2
O
x
a
14
（3）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线 在y正=3弦sin曲2线x?y=写si出nx其上坐任标取变一换点。P(x,y)，保持纵坐 标将不纵变坐，标将变横为坐原标来x的缩3为倍原，来就的得到12 正，弦在曲此线基础上，
x
极化 x直 co ,： y ssin
a
33
例3：互化下列直角坐标与极坐标
(2 3,2)
(4, )
6
(0,1)
(1, ) 2
(3,0)
(3,)
(3, 3) ( 3,1) (5,0)
5
(2 3, )
(2, 7 )
6
6
(5,0)
a
34
探索？
1、极坐标系中点的对称关系?