《应用计算方法教程》MatLab作业

6-1 试验目的 计算特征值，实现算法
试验内容：随机产生一个10阶整数矩阵，各数均在-5和5之间。

（1） 用MATLAB 函数“eig”求矩阵全部特征值。

（2） 用幂法求A 的主特征值及对应的特征向量。

（3） 用基本QR 算法求全部特征值（可用MATLAB 函数“qr ”实现矩阵的QR 分解）。

原理
幂法：设矩阵A 的特征值为12n ||>||||λλλ≥⋅⋅⋅≥并设A 有完全的特征向量系12,,,n χχχ⋅⋅⋅(它们线性无关)，则对任意一个非零向量0n V R ∈所构造的向量序列1k k V AV -=有11()lim ()k j k k j
V V λ→∞
-=，
其中()k j V 表示向量的第j 个分量。

为避免逐次迭代向量k V 不为零的分量变得很大（1||1λ> 时）或很小（1||1λ< 时），将每一步的k V 按其模最大的元素进行归一化。

具体过程如下：
选择初始向量0V ，令1max(),,,1k
k k k k k k
V m V U V AU k m +===≥，当k 充分大时1111,max()max()
k k U V χλχ+≈
≈。

QR 法求全部特征值：
111
11222
111
,1,2,3,k k k k k A A Q R R Q A Q R k R Q A Q R +++==⋅⎧⎪⋅==⋅⎪=⋅⋅⋅⎨
⋅⋅⋅⎪⎪⋅==⋅⎩ 由于此题的矩阵是10阶的，上述算法计算时间过长，考虑采用改进算法——移位加速。

迭
代格式：
1
k k k k
k k k k A q I Q R A R Q q I +-=⎧⎨
=+⎩ 计算k A 右下角的二阶矩阵()
()
1,1
1,()
(),1
,k k n
n n n k k n n n n a a a a ----⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
的特征值()()1,k k n n λλ-，当()()
1,k k n n λλ-为实数时，选k q 为()()1,k k n n λλ-中最接近(),k n n a 的。

(1)
(2)
(3)
作业七
7-1 试验目的：熟悉代数插值
试验内容：已知在f(x)在7个点的函数值如下表所示，分别使用拉格朗日插值法和牛顿插值
拉格朗日插值多项式：
01110011100()()()()()()()()()()()
()n
j j n n j
j j j j j j j j n n
n
i
j
j i j i
i j
x x x x x x x x x x L x y x x x x x x x x x x x x y x x -+=-+==≠--⋅⋅⋅--⋅⋅⋅-=--⋅⋅⋅--⋅⋅⋅--=-∑
∑∏
牛顿插值多项式：
001001201001()()[,]()[,
,
]()()[,,]()()n n n N x f x f x x x x f x x x x x x x f x x x x x x -=+-+--+⋅⋅⋅
+⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-
其中00011()
[,,]()()()()
k
j k j j j j j j j k f x f x x x x x x x x x x =-+⋅⋅⋅=-⋅⋅⋅--⋅⋅⋅-∑。

程序
界面
作业八
8-1 试验目的：熟悉最小二乘法拟合多项式 试验内容：给定数据点(
x ,y )， 用3次最小二乘多项式拟合数据，并求平方误差。

原理
要作三次最小二乘拟合，令00112233()()()()(),()j j S x a x a x a x a x x x ϕϕϕϕϕ=+++=，计算法方程
Ga d =，其中000101011101(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)n n n n n n G ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ⋅⋅⋅⎛⎫ ⎪⋅⋅⋅ ⎪=
⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪⋅⋅⋅⎝⎭，01n a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭，12n d d d d ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭
，
0(,)()()(),(,0,1,,),()1(,)()()(),(0,1,,)
m j k i j i k i i i m
k
k i
i k i
i x x x j k n x d f x f x x k n ϕϕωϕϕωϕωϕ==⎧==⋅⋅⋅⎪⎪=⎨⎪===⋅⋅⋅⎪⎩∑∑。

其平方误差为20
()[()()]m
i i i i s x S x f x ω==-∑。

程序
界面
作业九
9-1 试验目的：熟悉数值积分公式，掌握数值计算定积分的方法 试验内容：采用不同方法数值计算积分
1
0ln(1)
x dx x +⎰
编写复合梯形公式和复合Simpson 公式通用子程序，分别采用4，8，16，32，64等分区间计算。

原理
复合梯形公式：将区间[a,b]作n 等分，b a
h n
-=，结点(0)i x a ih i n =+≤≤，
1
1
101
[()()][()2()()]22n n n i i i i i h h
T f x f x f a f x f b --+===+=++∑∑
复合Simpson 公式：将区间[a,b]作2n 等分，记2b a
h n
-=
，
111
222122212001
[()4()()][()4()2()()]33n n n n i i i i i i i i h h
S f x f x f x f a f x f x f b ---+++====++=+++∑∑∑
界面
作业十
10-1 试验目的：学会用Euler 法、改进Euler 法、经典的4阶Runge-Kutta 法求解常微分方程初值问题。

试验内容：分别用
1) Euler 法（步长h=0.025） 2) 改进Euler 法（步长h=0.05） 3) 4阶Runge-Kutta （步长h=0.1） 求解下面的初值问题： (1)(3),02y y y x '=-++≤≤ 比较公共节点解的误差。

精确解为2132(1)x y e --=-++。

原理
Euler 法：令(,())()f x y x y x '=，1(,)n n n n y y hf x y +=+（b a
n h
-=
）。

改进Euler法（梯形公式）：
1
21 112
(,)
(,)
()
2
n n
n n
n n
k f x y
k f x h y hk
h
y y k k
+
⎧
⎪=
⎪
=++
⎨
⎪
⎪=++
⎩
4阶Runge-Kutta：
1
21
32
43
11234
(,)
1
(,)
22
1
(,)
22
(,)
1
(22)
6
n n
n n
n n
n n
n n
k hf x y
h
k hf x y k
h
k hf x y k
k hf x h y k
y y k k k k +
=
⎧
⎪
⎪=++
⎪
⎪⎪
=++
⎨
⎪
=++
⎪
⎪
⎪=++++
⎪⎩
程序
界面。