《应用计算方法教程》MatLab作业

6-1 试验目的 计算特征值，实现算法

试验内容：随机产生一个10阶整数矩阵，各数均在-5和5之间。 （1） 用MATLAB 函数“eig”求矩阵全部特征值。 （2） 用幂法求A 的主特征值及对应的特征向量。

（3） 用基本QR 算法求全部特征值（可用MATLAB 函数“qr ”实现矩阵的QR 分解）。 原理

幂法：设矩阵A 的特征值为12n ||>||||λλλ≥⋅⋅⋅≥并设A 有完全的特征向量系12,,,n χχχ⋅⋅⋅(它们线性无关)，则对任意一个非零向量0n V R ∈所构造的向量序列1k k V AV -=有11()lim ()k j k k j

V V λ→∞

-=，

其中()k j V 表示向量的第j 个分量。

为避免逐次迭代向量k V 不为零的分量变得很大（1||1λ> 时）或很小（1||1λ< 时），将每一步的k V 按其模最大的元素进行归一化。具体过程如下：

选择初始向量0V ，令1max(),,,1k

k k k k k k

V m V U V AU k m +===≥，当k 充分大时1111,max()max()

k k U V χλχ+≈

≈。

QR 法求全部特征值：

111

11222

111

,1,2,3,k k k k k A A Q R R Q A Q R k R Q A Q R +++==⋅⎧⎪⋅==⋅⎪=⋅⋅⋅⎨

⋅⋅⋅⎪⎪⋅==⋅⎩ 由于此题的矩阵是10阶的，上述算法计算时间过长，考虑采用改进算法——移位加速。迭

代格式：

1

k k k k

k k k k A q I Q R A R Q q I +-=⎧⎨

=+⎩ 计算k A 右下角的二阶矩阵()

()

1,1

1,()

(),1

,k k n

n n n k k n n n n a a a a ----⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭

的特征值()()1,k k n n λλ-，当()()

1,k k n n λλ-为实数时，选k q 为()()1,k k n n λλ-中最接近(),k n n a 的。

(1)

(2)

(3)

作业七

7-1 试验目的：熟悉代数插值

试验内容：已知在f(x)在7个点的函数值如下表所示，分别使用拉格朗日插值法和牛顿插值

拉格朗日插值多项式：

01110011100()()()()()()()()()()()

()n

j j n n j

j j j j j j j j n n

n

i

j

j i j i

i j

x x x x x x x x x x L x y x x x x x x x x x x x x y x x -+=-+==≠--⋅⋅⋅--⋅⋅⋅-=--⋅⋅⋅--⋅⋅⋅--=-∑

∑∏

牛顿插值多项式：

001001201001()()[,]()[,

,

]()()[,,]()()n n n N x f x f x x x x f x x x x x x x f x x x x x x -=+-+--+⋅⋅⋅

+⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-

其中00011()

[,,]()()()()

k

j k j j j j j j j k f x f x x x x x x x x x x =-+⋅⋅⋅=-⋅⋅⋅--⋅⋅⋅-∑

。

程序

界面

作业八

8-1 试验目的：熟悉最小二乘法拟合多项式 试验内容：给定数据点(

x ,y )， 用3次最小二乘多项式拟合数据，并求平方误差。 原理

要作三次最小二乘拟合，令00112233()()()()(),()j j S x a x a x a x a x x x ϕϕϕϕϕ=+++=，计算法方程

Ga d =，其中000101011101(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)n n n n n n G ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ⋅⋅⋅⎛⎫ ⎪⋅⋅⋅ ⎪=

⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪⋅⋅⋅⎝⎭，01n a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭，12n d d d d ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭

，

0(,)()()(),(,0,1,,),()1(,)()()(),(0,1,,)

m j k i j i k i i i m

k

k i

i k i

i x x x j k n x d f x f x x k n ϕϕωϕϕωϕωϕ==⎧==⋅⋅⋅⎪⎪=⎨⎪===⋅⋅⋅⎪⎩∑∑。 其平方误差为20

()[()()]m

i i i i s x S x f x ω==-∑。

程序

界面

作业九

9-1 试验目的：熟悉数值积分公式，掌握数值计算定积分的方法 试验内容：采用不同方法数值计算积分

1

0ln(1)

x dx x +⎰

编写复合梯形公式和复合Simpson 公式通用子程序，分别采用4，8，16，32，64等分区间计算。 原理

复合梯形公式：将区间[a,b]作n 等分，b a

h n

-=，结点(0)i x a ih i n =+≤≤，

1

1

101

[()()][()2()()]22n n n i i i i i h h

T f x f x f a f x f b --+===+=++∑∑

复合Simpson 公式：将区间[a,b]作2n 等分，记2b a

h n

-=

，