圆的动点问题--经典模拟题及答案
2024 河北数学中考备考重难专题：圆的综合题动点问题(课后练)
2024河北数学中考备考重难专题：圆的综合题动点问题考情分析年份题号题型分值考查内容设问形式202022解答题9(1)①圆上的点到圆心的距离都相等（即为半径），全等三角形的判定（SAS）②全等三角形的对应角相等，三角形内外角关系(2)切线性质，扇形面积计算(1)①求证三角形全等②写出三个角间的数量关系，并证明(2)指出线段与半圆的位置关系，求扇形面积20222510(1)弧长公式，锐角三角函数，平行线的性质(2)点圆最值，直线与圆的位置关系，勾股定理(3)分类讨论思想，勾股定理，锐角三角函数(1)求角度数及x的值(2)求x最小值，指出直线与圆的位置关系(3)求x的值例(2022河北预测卷)如图，点A是⊙O外一点，连接AO交⊙O于点B，点P从点B出发，在⊙O上按顺时针方向运动一周，过点P且垂直于AO的射线PM也随之运动，PM交AO于点C，交⊙O于点Q.连接AQ，OP，AP.例题图(1)求证：AP＝AQ；(2)若AO＝2PO＝6.最大时，求AQ的值；①当S△APO②当AP与⊙O相切时，求点P运动路径的长．练习(2022河北定心卷)如图，∠AOC＝90°，OA＝OC＝3，以点O为圆心，OA为半径作⊙O，分别过点A，C，作⊙O的切线AB，CB，两切线交于点B，点M是线段OA上一点(不与点A，O重合)，连接CM并延长交⊙O于点D，OE平分∠AOD交DC于点E.练习题图(1)求证：四边形OABC为正方形；(2)连接AC，若OD∥AC，求∠ODC的度数；(3)随着点M位置的改变，直接写出点E所经过的路径l的取值范围．练习(2022河北定制卷)如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，动点M 从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B运动，同时动点N从点C出发，以3cm/s的速度沿CA向点A运动，当一点停止运动时，另一点也随即停止运动．以AM为直径作⊙O，连接MN，设运动时间为t(s)(t>0).练习题图(1)试用含t的代数式表示出AM及AN的长度，并直接写出t的取值范围；(2)当t为何值时，MN与⊙O相切？(3)若线段MN与⊙O有两个交点，求t的取值范围．答案典例精讲例(1)证明：∵PQ⊥AO于点C，OB为⊙O的半径，∴PC＝QC，∠ACP＝∠ACQ＝90°，在△ACP和△ACQ中，A＝A∠A＝∠AA＝A，∴△ACP≌△ACQ(SAS),∴AP＝AQ；(2)解：①如解图①，∵S△APO＝12×AO·PC，且AO＝6，＝3PC，∴当PC最大时，S△APO最大，∴S△APO最大，∴当点C与点O重合时，PC最大，即S△APO∵AO＝2PO＝6，∴PO＝3，在Rt△AOP中，AP＝B2＋B2＝62＋32＝35，由(1)得AP＝AQ，∴AQ＝35；解图①②当AP与⊙O相切时，则AP⊥PO，即∠APO＝90°，当点P在AO上方时，如解图②，∵AO＝2PO＝6，∠APO＝90°，∴PO＝3，∴cos∠AOP＝B B＝12，∴∠AOP＝60°，∴点P运动路径的长为60H3180＝π；解图②解图③例题图当点P在AO下方时，如解图③，根据圆的轴对称性可得点P运动路径的长为300H3180＝5π.综上所述，点P的运动路径长为π或5π.课堂练兵练习(1)证明：∵BA，BC是⊙O的切线，∴∠BAO＝∠BCO＝90°.又∵∠AOC＝90°，∴四边形OABC为矩形.∵OA＝OC，∴四边形OABC为正方形；(2)解：如解图，连接AC，∵在Rt△AOC中，∠AOC＝90°，OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝45°.又∵OD∥AC，∴∠DOC＝180°－∠OCA＝135°.∵OD＝OC，∴∠ODC＝180°－135°2＝22.5°；解图(3)在⊙O中，已知∠AOD=2∠DCA，∵OE平分∠AOD，∴∠EOA=∠DCA∴A、C、O、E四点共圆∵∠AOC＝90°，∴AC为直径如解图，连接AC ，取AC 的中点Q ，AQ 为半径∴点E 在以AC 的中点Q 为圆心，AQ 为半径的圆弧OA 上运动．连接QO ，∵OA ＝OC ＝3，Q 为AC 的中点，∴∠OQA ＝90°，AC ＝32，∴QA ＝322，∴OA ︵的长为90×π×322180＝32π4.∴点E 所经过的路径l 的取值范围为0＜l ＜32π4.例题解图课后小练练习解：(1)由题意得，AM ＝2t ，CN ＝3t ，在Rt △ABC 中，AC ＝B 2＋A 2＝62＋82＝10，∴AN ＝AC －CN ＝10－3t ，∵AB ＝6cm ，动点M 速度为2cm /s ，∴动点M 的最长运动时间为62＝3s ，∵AC ＝10cm ，动点N 的速度为3cm /s ，∴动点N 的最长运动时间为103s ，∴t 的取值范围为0＜t ≤3；(2)若MN 与⊙O 相切，则AB ⊥MN ，即∠AMN ＝90°，∵∠ABC ＝90°，∴∠AMN ＝∠ABC ，∵∠MAN ＝∠BAC ，∴△AMN ∽△ABC ，A B ＝A A ，即26＝10－310，解得t ＝3019，∴当t ＝3019时，MN 与⊙O 相切；(3)由(2)得，当t＞3019时，直线MN与⊙O有两个交点，如解图，当点N恰好在⊙O上时，线段MN与⊙O的两个交点恰好为M，N，∵AM为⊙O的直径，∴∠ANM＝90°＝∠B，∵∠MAN＝∠CAB，∴△AMN∽△ACB，A A＝A B，即210＝10－36，解得t＝5021，∴若线段MN与⊙O有两个交点，则t的取值范围为3019<t≤5021.解图。
初二动点题经典例题
初二动点题经典例题篇一：标题：初二动点题经典例题正文:在初中数学中，动点问题是一个较为重要的知识点。
特别是在初二阶段，同学们需要掌握动点问题的基本概念、解题方法和技巧。
今天，我们将分享一些初二动点题的经典例题，希望能够帮助同学们更好地理解和掌握动点问题的解题方法。
例题 1: 已知圆心为 O、半径为 2 的圆与 x 轴正半轴交于 A，与 y 轴负半轴交于 B，点 C 在 x 轴正半轴上，点 D 在 y 轴正半轴上，CD⊥AB，问 CD 长度是否等于圆心角 AOB 的平分线弧长？解析：本题是一道圆与轴的交点问题。
根据圆的性质可知，圆心 O 是线段 AB 的中点，因此 CD 长度等于半径 2 的一半，即 CD=1。
此外，圆心角 AOB 的平分线弧长即为半径 2，因此 CD 长度等于圆心角 AOB 的平分线弧长。
拓展：在本题中，如果我们将 CD 的长度设为 x，则可以列出方程:x2 = 4(12 - x2)。
通过解方程，我们可以得到 x = 1，即 CD 的长度等于 1。
此外，在本题中，我们还利用了圆的性质，即圆心 O 是线段 AB 的中点，因此 CD 是线段 AB 的一半。
这种利用圆的性质求解动点问题的方法，在初中数学中是非常常见的。
例题 2: 已知点 P(x,y) 是圆 C:x2 + y2 = 4 圆上任意一点，圆 C 与 x 轴正半轴交于 A，与 y 轴负半轴交于 B，点 C 在 x 轴正半轴上，点 D 在 y 轴正半轴上，CD⊥AB，问 CD 长度是否等于圆 C 的半径？解析：本题是一道圆与轴的交点问题。
根据圆的性质可知，圆 C 的圆心 O 是线段 AB 的中点，因此 CD 长度等于半径 2 的一半，即 CD=1/2。
此外，圆 C 与x 轴正半轴交于 A，与 y 轴负半轴交于 B，因此 CD 的长度等于圆 C 所对的圆心角 AOB 的平分线弧长。
拓展：在本题中，如果我们将 CD 的长度设为 x，则可以列出方程:x2 = 4(12 - x2)。
圆中的动点问题
1.如图，A、B是半圆O的两点，MN是直径，OB⊥MN.若AB=4，OB=5，P是MN上的一动点，则PA+PB的最小值为_____.
5，C为⊙O内一动点，且∠ACB=90°，则△ABC 2.图，⊙O的半径为5，弦AB的长为2
的周长的最大值为____.
3.如图，在半圆O中，点C是半圆弧AB的中点，点D是弧BC上离B点较近的一个三等分点，点P是直径AB上一点，若AB=10，则PC+PD的最小值为____.
4.图如图，已知P是⊙O外一点，Q是⊙O上的动点，线段PQ的中点为M，连接OP，OM．若⊙O的半径为2，OP=4，则线段OM的最小值是（）
A.0
B.1
C.2
D.3
5.如图，P为⊙O内一个定点，A为⊙O上的一个动点，射线AP、AO分别与⊙O 交于B、C两点.若⊙O的半径长为3，OP=3，则弦BC的最大值为( )
3
A.23
B.3
C.6
D.2
6.如图，AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB=8，CD=6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，则PA+PC的最小值为_____.
8.如图，A、B、C、D四个点均在⊙O上，∠AOD=70°，AO∥DC，则∠B=____.
9.如图，已知⊙O的半径为5，锐角△ABC内接于⊙O，BD⊥AC于点D，AB=8，则tan∠CB D的=_____.
10.如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠CAD=35°，则∠B+∠E=_____.。
2023年中考数学高频考点训练——圆-动点问题
2023年中考数学高频考点训练——圆-动点问题一、综合题1．如图，四边形OBCD 中的三个顶点在⊙O 上，A 是优弧BD 上的一个动点（不与点B 、D 重合）．（1）当圆心O 在BAD ∠内部，∠ABO ＋∠ADO=70°时，求∠BOD 的度数；（2）当点A 在优弧BD 上运动，四边形OBCD 为平行四边形时，探究ABO ∠与ADO ∠的数量关系．2．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，ABO 的顶点A ，B ，O 均落在格点上，OB 为⊙O 的半径．（1）AOB ∠的大小等于（度）；（2）将ABO 绕点O 顺时针旋转，得A B O '' ，点A ，B 旋转后的对应点为A '，B '．连接AB '，设线段AB '的中点为M ，连接A M '．当A M '取得最大值时，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺画出点B '，并简要说明点B '的位置是如何找到的（不要求证明）．3．如图，AB 是O 的直径，CD 是O 的切线，切点为C ，过B 作BE CD ⊥，垂足为点E ，直线BE 交O 于点F.（1）判断ABC ∠与EBC ∠的数量关系，并说明理由.（2）若点C 在直径AB 上方半圆弧上运动，O 的半径为4，则①当CB 的长为时，以B 、O 、E 、C 为顶点的四边形是正方形；②当BE 的长为时，以B 、O 、F 、C 为顶点的四边形是菱形.4．先阅读材料，再解答问题：已知点00(:)P x y 和直线y kx b =+，则点P 到直线y kx b =+的距离d 可用公式d =计算．例如：求点(2,1)P -到直线23y x =+的距离．解：由直线23y x =+可知：2,3k b ==．所以点(2,1)P -到直线23y x =+的距离为255d ==．求：（1）求点P （2，-1）到直线y=x+1的距离．（2）已知直线21y x =+与25y x =-平行，求这两条平行线之间的距离；（3）如图已知直线443y x =--分别交,x y 轴于,A B 两点，☉C 是以(2,2)C 为圆心，2为半径的圆，P 为☉C 上的动点，试求PAB ∆面积的最大值．5．如图，⊙O 的半径为1，点A 是⊙O 的直径BD 延长线上的一点，C 为⊙O 上的一点，AD ＝CD ，∠A ＝30°.（1）求证：直线AC 是⊙O 的切线；（2）求△ABC 的面积；（3）点E 在 BND 上运动（不与B 、D 重合），过点C 作CE 的垂线，与EB 的延长线交于点F.①当点E 运动到与点C 关于直径BD 对称时，求CF 的长；②当点E 运动到什么位置时，CF 取到最大值，并求出此时CF 的长.6．一块含有30︒角的三角板ABC 如图所示，其中90C ∠=︒，30A ∠=︒，3BC cm =.将此三角板在平面内绕顶点A 旋转一周.（1）画出边BC 旋转一周所形成的图形；（2）求出该图形的面积.7．如图，在ABE 中，BE AE >，延长BE 到点D ，使DE BE =，延长AE 到点C ，使CE AE =．以点E 为圆心，分别以BE 、AE 为半径作大小两个半圆，连结CD ．（1）求证：AB CD =；（2）设小半圆与BD 相交于点M ，24BE AE ==．①当ABE S 取得最大值时，求其最大值以及CD 的长；②当AB 恰好与小半圆相切时，求弧AM 的长．8．如图，A 是半径为12cm 的O 上的定点，动点P 从A 出发，以2πcm /s 的速度沿圆周逆时针运动，当点P 回到A 地立即停止运动．（1）如果90POA ∠= ，求点P 运动的时间；（2）如果点B 是OA 延长线上的一点，AB OA =，那么当点P 运动的时间为2s 时，判断直线BP 与O 的位置关系，并说明理由．9．古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”。
动点问题圆含答案初三数学
2.如图7，梯形中，，，,，，点为线段上一动点（不与点重合），关于的轴对称图形为，连接，设，的面积为，的面积为．（1）当点落在梯形的中位线上时，求的值；(全等)（2）试用表示，并写出的取值范围；（相似）（3）当的外接圆与相切时，求的值．（垂径定理+中线+等面积+相似）【答案】解：（1）如图1，为梯形的中位线，则，过点作于点，则有：在中，有在中，又解得：（2）如图2，交于点，与关于对称，则有：，又又与关于对称，（3）如图3，当的外接圆与相切时，则为切点.的圆心落在的中点，设为则有，过点作，连接，得则又解得：（舍去）①②③3.已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，以P（1，1）为圆心的⊙P与x轴，y轴分别相切于点M和点N，点F从点M出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，连接PF，过点PE⊥PF交y轴于点E，设点F运动的时间是t秒（t＞0）（1）若点E在y轴的负半轴上（如图所示），求证：PE=PF；（全等）（2）在点F运动过程中，设OE=a，OF=b，试用含a的代数式表示b；（全等+分类讨论）（3）作点F关于点M的对称点F′，经过M、E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q，连接QE．在点F运动过程中，是否存在某一时刻，使得以点Q、O、E为顶点的三角形与以点P、M、F为顶点的三角形相似？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．（讨论对称轴+全等+相似）【分析】：（1）连接PM，PN，运用△PMF≌△PNE证明，（2）分两种情况①当t＞1时，点E在y轴的负半轴上，0＜t≤1时，点E在y轴的正半轴或原点上，再根据（1）求解，（3）分两种情况，当1＜t＜2时，当t＞2时，三角形相似时还各有两种情况，根据比例式求出时间t．【解答】：证明：（1）如图，连接PM，PN，∵⊙P与x轴，y轴分别相切于点M和点N，∴PM⊥MF，PN⊥ON且PM=PN，∴∠PMF=∠PNE=90°且∠NPM=90°，∵PE⊥PF，∠NPE=∠MPF=90°﹣∠MPE，在△PMF和△PNE中，，∴△PMF≌△PNE（ASA），∴PE=PF，（2）解：①当t＞1时，点E在y轴的负半轴上，如图，由（1）得△PMF≌△PNE，∴NE=MF=t，PM=PN=1，∴b=OF=OM+MF=1+t，a=NE﹣ON=t﹣1，∴b﹣a=1+t﹣（t﹣1）=2，∴b=2+a，②0＜t≤1时，如图2，点E在y轴的正半轴或原点上，同理可证△PMF≌△PNE，∴b=OF=OM+MF=1+t，a=ON﹣NE=1﹣t，∴b+a=1+t+1﹣t=2，∴b=2﹣a，（3）如图3，（Ⅰ）当1＜t＜2时，∵F（1+t，0），F和F′关于点M对称，∴F′（1﹣t，0）∵经过M、E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q，∴Q（1﹣t，0）∴OQ=1﹣t，由（1）得△PMF≌△PNE [来源:学,科,网]∴NE=MF=t，∴OE=t﹣1当△OEQ∽△MPF∴=∴=，解得，t=，当△OEQ∽△MFP时，∴=，=，解得，t=，（Ⅱ）如图4，当t＞2时，∵F（1+t，0），F和F′关于点M对称，∴F′（1﹣t，0）∵经过M、E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q，∴Q（1﹣t，0）∴OQ=t﹣1，由（1）得△PMF≌△PNE∴NE=MF=t，∴OE=t﹣1当△OEQ∽△MPF∴=∴=，无解，当△OEQ∽△MFP时，∴=，=，解得，t=2±，所以当t=，t=，t=2±时，使得以点Q、O、E为顶点的三角形与以点P、M、F 为顶点的三角形相似．【点评】：本题主要考查了圆的综合题，解题的关键是把圆的知识与全等三角形与相似三角形相结合找出线段关系．3.木匠黄师傅用长AB=3，宽BC=2的矩形木板做一个尽可能大的圆形桌面，他设计了四种方案：方案一：直接锯一个半径最大的圆；方案二：圆心O1、O2分别在CD、AB上，半径分别是O1C、O2A，锯两个外切的半圆拼成一个圆；（圆心距+勾股）方案三：沿对角线AC将矩形锯成两个三角形，适当平移三角形并锯一个最大的圆；（相似+设半径）方案四：锯一块小矩形BCEF拼到矩形AFED下面，利用拼成的木板锯一个尽可能大的圆．（1）写出方案一中圆的半径；（2）通过计算说明方案二和方案三中，哪个圆的半径较大？（3）在方案四中，设CE=x（0＜x＜1），圆的半径为y．（分类讨论）①求y关于x的函数解析式；②当x取何值时圆的半径最大，最大半径为多少？并说明四种方案中哪一个圆形桌面的半径最大．【考点】：圆的综合题【分析】：（1）观察图易知，截圆的直径需不超过长方形长、宽中最短的边，由已知长宽分别为3，2，那么直接取圆直径最大为2，则半径最大为1．（2）方案二、方案三中求圆的半径是常规的利用勾股定理或三角形相似中对应边长成比例等性质解直角三角形求边长的题目．一般都先设出所＜，∴方案四时可取的圆桌面积最大．【点评】：本题考查了圆的基本性质及通过勾股定理、三角形相似等性质求解边长及分段函数的表示与性质讨论等内容，题目虽看似新颖不易找到思路，但仔细观察每一小问都是常规的基础考点，所以总体来说是一道质量很高的题目，值得认真练习．4.如图，已知l1⊥l2，⊙O与l1，l2都相切，⊙O的半径为2cm，矩形ABCD的边AD、AB分别与l1，l2重合，AB=4cm，AD=4cm，若⊙O与矩形ABCD沿l1同时向右移动，⊙O的移动速度为3cm，矩形ABCD的移动速度为4cm/s，设移动时间为t（s）（1）如图①，连接OA、AC，则∠OAC的度数为105°；（2）如图②，两个图形移动一段时间后，⊙O到达⊙O1的位置，矩形ABCD到达A1B1C1D1的位置，此时点O1，A1，C1恰好在同一直线上，求圆心O移动的距离（即OO1的长）；（相似）（3）在移动过程中，圆心O到矩形对角线AC所在直线的距离在不断变化，设该距离为d （cm），当d＜2时，求t的取值范围（解答时可以利用备用图画出相关示意图）．（相似+切线）（数形结合+分类讨论）【考点】：圆的综合题．【分析】：（1）利用切线的性质以及锐角三角函数关系分别求出∠OAD=45°，∠DAC=60°，进而得出答案；（2）首先得出，∠C1A1D1=60°，再利用A1E=AA1﹣OO1﹣2=t﹣2，求出t的值，进而得出OO1=3t得出答案即可；（3）①当直线AC与⊙O第一次相切时，设移动时间为t1，②当直线AC与⊙O第二次相切时，设移动时间为t2，分别求出即可．【解答】：解：（1）∵l1⊥l2，⊙O与l1，l2都相切，∴∠OAD=45°，∵AB=4cm，AD=4cm，∴CD=4cm，AD=4cm，∴tan∠DAC===，∴∠DAC=60°，[来源:学科网ZXXK]∴∠OAC的度数为：∠OAD+∠DAC=105°，故答案为：105；（2）如图位置二，当O1，A1，C1恰好在同一直线上时，设⊙O1与l1的切点为E，连接O1E，可得O1E=2，O1E⊥l1，在Rt△A1D1C1中，∵A1D1=4，C1D1=4，∴tan∠C1A1D1=，∴∠C1A1D1=60°，在Rt△A1O1E中，∠O1A1E=∠C1A1D1=60°，∴A1E==，∵A1E=AA1﹣OO1﹣2=t﹣2，∴t﹣2=，∴t=+2，∴OO1=3t=2+6；（3）①当直线AC与⊙O第一次相切时，设移动时间为t1，如图，此时⊙O移动到⊙O2的位置，矩形ABCD移动到A2B2C2D2的位置，设⊙O2与直线l1，A2C2分别相切于点F，G，连接O2F，O2G，O2A2，∴O2F⊥l1，O2G⊥A2G2，由（2）得，∠C2A2D2=60°，∴∠GA2F=120°，∴∠O2A2F=60°，在Rt△A2O2F中，O2F=2，∴A2F=，∵OO2=3t，AF=AA2+A2F=4t1+，∴4t1+﹣3t1=2，∴t1=2﹣，②当直线AC与⊙O第二次相切时，设移动时间为t2，记第一次相切时为位置一，点O1，A1，C1共线时位置二，第二次相切时为位置三，由题意知，从位置一到位置二所用时间与位置二到位置三所用时间相等，∴+2﹣（2﹣）=t2﹣（+2），解得：t2=2+2，综上所述，当d＜2时，t的取值范围是：2﹣＜t＜2+2．【点评】：此题主要考查了切线的性质以及锐角三角函数关系等知识，利用分类讨论以及数形结合t的值是解题关键．5.如图，平面直角坐标系xOy中，一次函数y=﹣x+b（b为常数，b＞0）的图象与x轴、y 轴分别相交于点A、B，半径为4的⊙O与x轴正半轴相交于点C，与y轴相交于点D、E，点D在点E上方．（1）若直线AB与有两个交点F、G．①求∠CFE的度数；②用含b的代数式表示FG2，并直接写出b的取值范围；（垂径定理+直线方程）（2）设b≥5，在线段AB上是否存在点P，使∠CPE=45°？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由．（相切+圆周角）【考点】：圆的综合题【分析】：（1）连接CD，EA，利用同一条弦所对的圆周角相等求行∠CFE=45°，（2）作OM⊥AB点M，连接OF，利用两条直线垂直相交求出交点M的坐标，利用勾股定理求出FM2，再求出FG2，再根据式子写出b的范围，（3）当b=5时，直线与圆相切，存在点P，使∠CPE=45°，再利用两条直线垂直相交求出交点P的坐标，【解答】：解：（1）连接CD，EA，∵DE是直径，∴∠DCE=90°，∵CO⊥DE，且DO=EO，∴∠ODC=OEC=45°，∴∠CFE=∠ODC=45°，（2）①如图，作OM⊥AB点M，连接OF，∵OM⊥AB，直线的函数式为：y=﹣x+b，∴OM所在的直线函数式为：y=x，∴交点M（b，b）∴OM2=（b）2+（b）2，∵OF=4，∴FM2=OF2﹣OM2=42﹣（b）2﹣（b）2，∵FM=FG，∴FG2=4FM2=4×[42﹣（b）2﹣（b）2]=64﹣b2=64×（1﹣b2），∵直线AB与有两个交点F、G．∴4≤b＜5，（3）如图，当b=5时，直线与圆相切，∵DE是直径，[来源:学科网]∴∠DCE=90°，∵CO⊥DE，且DO=EO，∴∠ODC=OEC=45°，∴∠CFE=∠ODC=45°，∴存在点P，使∠CPE=45°，连接OP，∵P是切点，∴OP⊥AB，∴OP所在的直线为：y=x，又∵AB所在的直线为：y=﹣x+5，∴P（，）．【点评】：本题主要考查了圆与一次函数的知识，解题的关键是作出辅助线，明确两条直线垂直时K的关系．6.如图，矩形ABCD的边AB=3cm，AD=4cm，点E从点A出发，沿射线AD移动，以CE为直径作圆O，点F为圆O与射线BD的公共点，连接EF、CF，过点E作EG⊥EF，EG与圆O相交于点G，连接CG．（1）试说明四边形EFCG是矩形；（2）当圆O与射线BD相切时，点E停止移动，在点E移动的过程中，①矩形EFCG的面积是否存在最大值或最小值？若存在，求出这个最大值或最小值；若不存在，说明理由；②求点G移动路线的长．【考点】：圆的综合题；垂线段最短；直角三角形斜边上的中线；矩形的判定与性质；圆周角定理；切线的性质；相似三角形的判定与性质．【分析】：（1）只要证到三个内角等于90°即可．。
专题41 几何问题(1)之动点问题【热点专题】
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数学
题型精讲
题型一：圆背景下的动态探究题 【例 1】（2020•连云港）筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，唐代陈廷章在《水 轮赋）中写道：“水能利物，轮乃曲成”．如图，半径为 3m 的筒车⊙O 按逆时针方向
每分钟转 圈，筒车与水面分别交于点 A、B 筒车的轴心 O 距离水面的高度 OC 长为 2.2m，筒车上均匀分布着若干个盛水筒．若以某个盛水筒 P 刚浮出水面时开始计算时 间．
PQ PQ2．在
Rt△POQ 中，PQ2＝OP2+OQ2＝（8﹣t）2+t2．由四边形 OPCQ 的面积 S＝S△POQ+S△PCQ
可得出答案．
题型二：四边形动点探究 【例 3】（2021·山东中考真题）如图，已知正方形 ABCD，点 E 是 BC 边上一点，将 △ABE 沿直线 AE 折叠，点 B 落在 F 处，连接 BF 并延长，与∠DAF 的平分线相交 于点 H，与 AE，CD 分别相交于点 G，M，连接 HC （1）求证：AG＝GH； （2）若 AB＝3，BE＝1，求点 D 到直线 BH 的距离； （3）当点 E 在 BC 边上（端点除外）运动时，∠BHC 的大小是否变化？为什么？
【分析】（1）如图 1 中，连接 OA．求出∠AOC 的度数，以及旋转速度即可解决问 题． （2）如图 2 中，盛水筒 P 浮出水面 3.4 秒后，此时∠AOP＝3.4×5°＝17°，过点 P 作 PD⊥OC 于 D，解直角三角形求出 CD 即可． （3）如图 3 中，连接 OP，解直角三角形求出∠POM，∠COM，可得∠POH 的度 数即可解决问题．
【例 2】（2020•苏州）如图，已知∠MON＝90°，OT 是∠MON 的平分线，A 是射线 OM 上一点，OA＝8cm．动点 P 从点 A 出发，以 1cm/s 的速度沿 AO 水平向左作匀速 运动，与此同时，动点 Q 从点 O 出发，也以 1cm/s 的速度沿 ON 竖直向上作匀速运 动．连接 PQ，交 OT 于点 B．经过 O、P、Q 三点作圆，交 OT 于点 C，连接 PC、 QC．设运动时间为 t（s），其中 0＜t＜8． （1）求 OP+OQ 的值； （2）是否存在实数 t，使得线段 OB 的长度最大？若存在，求出 t 的值；若不存在， 说明理由． （3）求四边形 OPCQ 的面积．
与圆有关的动点问题.doc题
动点问题（4）------与圆有关的动点直线与圆相切1.如图,⊙O 的半径为1,圆心O 在正三角形的边AB 上沿图示方向移动,当⊙O 移动到与AC 边相切时,OA 的长是 .2.如图，已知⊙O 的半径为6cm ，射线PM 经过点O ，10cm OP ，射线PN 与⊙O 相切于点Q ．A B ，两点同时从点P 出发，点A 以5cm/s 的速度沿射线PM 方向运动，点B 以4cm/s 的速度沿射线PN 方向运动．设运动时间为t s ．（1）求PQ 的长； （2）当t 为何值时，直线AB 与⊙O 相切？3如图，ABC ∆中，090C ∠=，4AC =，3BC =.半径为1的圆的圆心P 以1个单位/s 的速度由点A 沿AC 方向在AC 上移动，设移动时间为t （单位：s ）. （1）当t 为何值时，⊙P 与AB 相切；（2）作PD AC ⊥交AB 于点D ，如果⊙P 和线段BC 交于点E ，证明：当165t s=时，四边形PDBE 为平行四边形.4.（2012河北中考25）如图14，(50)(30).A B --，，，点C 在y 轴的正半轴上，CBO∠=45，CD AB ∥，90CDA = ∠.点P 从点(40)Q ，出发，沿x 轴向左以每秒1个单位长的速度运动，运动时间为t 秒.（1） 求点C 的坐标；（2） 当15BCP =∠时，求t 的值；（3） 以点P 为圆心，PC 为半径的P ⊙随点P 的运动而变化，当P ⊙与四边形ABCD 的边（或边所在的直线）相切时，求t 的值．5.如图，形如量角器的半圆O的直径DE=12cm，形如三角板的⊿ABC中，∠ACB=90°，∠ABC= 30°，BC=12cm。
半圆O以2cm/s的速度从左向右运动，在运动过程中，点D、E始终在直线BC 上。
设运动时间为t (s)，当t=0s时，半圆O在⊿ABC的左侧，OC=8cm。
（1）当t为何值时，⊿ABC的一边所在直线与半圆O所在的圆相切？(2)当⊿ABC的一边所在直线与半圆O所在的圆相切时，如果半圆O与直线DE围成的区域与⊿ABC 三边围成的区域有重叠部分，求重叠部分的面积。
与圆有关的动点问题
与圆有关得动点问题1、如图，⊙O得直径AB=4，C为圆周上一点，AC=2，过点C作⊙O得切线DC，P点为优弧CBA上一动点（不与A．C重合）．（1）求∠APC与∠ACD得度数；（2）当点P移动到CB弧得中点时，求证：四边形OBPC就是菱形．（3）P点移动到什么位置时，△APC与△ABC全等，请说明理由．2、如图，在菱形ABCD中，AB＝23，∠A＝60º，以点D为圆心得⊙D与边AB相切于点E．(1)求证：⊙D与边BC也相切；(2)设⊙D与BD相交于点H，与边CD相交于点F，连接HF，求图中阴影部分得面积(结果保留π)；(3)⊙D上一动点M从点F出发，按逆时针方向运动半周，当S△HDF＝3 S△MDF时，求动点M经过得弧长(结果保留π)．3、半径为2cm得与⊙O边长为2cm得正方形ABCD在水平直线l得同侧，⊙O与l相切于点F，DC在l上．（1）过点B作得一条切线BE，E为切点．①填空：如图1，当点A在⊙O上时，∠EBA得度数就是；②如图2，当E，A，D三点在同一直线上时，求线段OA得长；（2）以正方形ABCD得边AD与OF重合得位置为初始位置，向左移动正方形（图3），至边BC与OF重合时结束移动，M，N分别就是边BC，AD与⊙O得公共点，求扇形MON得面积得范围．4、如图，Rt△ABC得内切圆⊙O与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，且∠ACB=90°，AB=5，BC=3，点P在射线AC上运动，过点P作PH⊥AB，垂足为H．（1）直接写出线段AC、AD及⊙O半径得长；（2）设PH=x，PC=y，求y关于x得函数关系式；（3）当PH与⊙O相切时，求相应得y值．5、如图1，正方形ABCD得边长为2，点M就是BC得中点，P就是线段MC上得一个动点（不与M、C重合），以AB为直径作⊙O，过点P作⊙O得切线，交AD于点F，切点为E．（1）求证：OF∥BE；（2）设BP=x，AF=y，求y关于x得函数解析式，并写出自变量x得取值范围；（3）延长DC、FP交于点G，连接OE并延长交直线DC与H（图2），问就是否存在点P，使△EFO∽△EHG（E、F、O与E、H、G为对应点）？如果存在，试求（2）中x与y得值；如果不存在，请说明理由．6、如图，⊙O得半径为1，直线CD经过圆心O，交⊙O于C、D两点，直径AB⊥CD，点M就是直线CD上异于点C、O、D得一个动点，AM所在得直线交于⊙O于点N，点P就是直线CD上另一点，且PM=PN．（1）当点M在⊙O内部，如图一，试判断PN与⊙O得关系，并写出证明过程；（2）当点M在⊙O外部，如图二，其它条件不变时，（1）得结论就是否还成立？请说明理由；（3）当点M在⊙O外部，如图三，∠AMO=15°，求图中阴影部分得面积．答案：1、解：（1）连接AC，如图所示：∵AB=4，∴OA=OB=OC=12AB=2。
中考数学专题复习试题-和圆有关的动点问题(精品含答案解析)
1 2、 如图，在⊙ O 上位于直径 AB 的异侧有定点 C 和动点 P，AC= AB ，点 P 在半圆弧 AB
2 上运动（不与 A 、B 两点重合），过点 C 作直线 PB 的垂线 CD 交 PB 于 D 点．
（1）如图 1，求证：△ PCD∽△ ABC ； （2）当点 P 运动到什么位置时，△ PCD≌△ ABC ？请在图 2 中画出△ PCD 并说明理由； （3）如图 3，当点 P 运动到 CP⊥AB 时，求∠ BCD 的度数．
10、如图，在⊙ O 中，直径 AB ⊥ CD，垂足为 E，点 M 为 OC 上动点， AM 的延长线交⊙ O 于点 G，交过 C 的直线于 F，∠ 1= ∠ 2，连结 CB 与 DG 交于点 N ． （1）求证： CF 是⊙ O 的切线； （2）点 M 在 OC 上移动时（点 M 不与 O、 C 点重合），探究 △ ACM 与△ DCN 之间关系，
5、 如图，在菱形 ABCD中， AB＝2 3，∠ A＝60o，以点 D 为圆心的⊙Ｄ 与边 AB相切于点 E． (1) 求证：⊙Ｄ 与边 BC也相切； (2) 设⊙Ｄ与 BD相交于点 H，与边 CD相交于点 F，连接 HF，求图中阴影部分的面积 ( 结 果保留 ) ； (3) ⊙Ｄ上一动点 M从点 F 出发， 按逆时针方向运动半周， 当 S△HDF＝ 3S△MDF时，求动点 M 经过的弧长 ( 结果保留 )．
动点问题圆(含答案)初三数学(2020年整理).pptx
∵OO2=3t，AF=AA2+A2F=4t1+ ，
∴4t1+ ﹣3t1=2，
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∴t1=2﹣ ，
②当直线 AC 与⊙O 第二次相切时，设移动时间为 t2， 记第一次相切时为位置一，点 O1，A1，C1 共线时位置二，第二次相切时为位置 三，
由题意知，从位置一到位置二所用时间与位置二到位置三所用时间相等， ∴ +2﹣（2﹣ ）=t2﹣（ +2），
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分析如下： 因为长方形的长宽分别为 3，2，那么直接取圆直径最大为 2，则半径最 大为 1．
（2） 如图 1，方案二中连接 O1，O2，过 O1 作 O1E⊥AB 于 E， 方案三中，过点 O 分别作 AB，BF 的垂线，交于 M，N，此时 M，N 恰 为⊙O 与 AB，BF 的切点． 方案二： 设半径为 r， 在 Rt△O1O2E 中， ∵O1O2=2r，O1E=BC=2，O2E=AB﹣AO1﹣CO2=3﹣2r， ∴（2r）2=22+（3﹣2r）2， 解得 r= ．
由（1）得△PMF≌△PNE ∴NE=MF=t，∴OE=t﹣1
当△OEQ∽△MPF∴ = ∴ =
，无解，
当△OEQ∽△MFP 时，∴ = ， =
，解得，t=2± ，
所以当 t=
，t= ，t=2± 时，使得以点 Q、O、E 为顶点的三角形与以点 P、M、F
为顶点的三角形相似． 【点评】：本题主要考查了圆的综合题，解题的关键是把圆的知识与全等三角形与相似三角 形相结合找出线段关系．
分别相切于点 M 和点 N，点 F 从点 M 出发，沿 x 轴正方向以每秒 1 个单位长度的速度运动，
连接 PF，过点 PE⊥PF 交 y 轴于点 E，设点 F 运动的时间是 t 秒（t＞0）
2017武汉元调与圆有关的动点问题(答案)
1.【答案】D 【解析】如解图，点D 运动的路径是以AO 中点M 为圆心，AO 一半的长为半径的圆，∵AB 为⊙O 的直径，AB ＝8，∴AO ＝12AB ＝4，∴点D 运动的路径长为：π×4＝4π．2.【答案】B 【解析】如解图，过A 作⊙O 的直径AE ，连接ED ，AD ，∴∠ADE ＝90°，∵∠E ＝∠B ＝30°，∴∠EAD ＝60°．在Rt △ADE 中，AD ＝12AE ＝6，∵AC 是⊙O 的切线，∴OA ⊥AC ，∴∠OAC ＝90°，∴∠CAD ＝90°－60°＝30°，过点D 作AC 的垂线，垂足为C ＇，在Rt △DA C ＇中，∵∠DAC ＇＝30°，∴DC ＇＝12AD ＝3，∴当点C 在C ＇点时，CD 有最小值，最小值为3．3.【答案】D 【解析】如解图，连接OA ，OB ，∵∠ACB ＝30°，∴∠AOB ＝60°．∵OA ＝OB ，∴△AOB 是等边三角形，∴AB ＝6．当GH 为⊙O 的直径时，GE ＋FH 有最大值．∵当GH 为直径时，E 点与O 点重合，∴AC 也是直径，AC ＝12．∵∠ABC 是直径所对的圆周角，∴∠ABC ＝90°，∠C ＝30°，∴AB ＝12AC ＝6．∵点E 、F 分别为AC 、BC 的中点，∴EF ＝12AB ＝3．∴GE ＋FH ＝GH －EF ＝12－3＝9． 4.【答案】D 【解析】∵AB ＝15，AC ＝9，BC ＝9，∴2AB ＝2AC ＋2BC ，∴△ABC 为直角三角形，∠ACB ＝90°，点C 在圆上，所以EF 为圆的直径，若求线段EF 的最值，即要使圆最小，圆与AB 的切点为D ，如解图，连接CD ，当CD 垂直于AB 时，即CD 是圆的直径时，EF 长度最小，即最小值是斜边AB 上的高CD ，利用三角形面积可得：12AB ·CD ＝12AC ·BC ＝12×15×CD ＝12×12×9，解得CD ＝365． 5.【答案】C 【解析】当点C 为劣弧AB 的中点时，△ABC 内切圆半径r 最大，如解图，连接OC 交AB 于D 点，⊙M 为△ABC 内切圆，作ME ⊥AC 于E 点，∵点C 为劣弧AB 的中点，∴OC ⊥AB ，AD ＝BD ＝12AB ＝3，AC ＝BC ，∴点M 在CD 上，∴ME 和MD 都为⊙M 的半径，设ME ＝MD ＝r ，∵∠ACB ＝120°，∴∠A ＝30°，∠ACD ＝60°，在Rt △ACD 中，CD在Rt △CEM 中，∠ECM ＝60°，∠CME ＝30°，CEEM，∴CM ＝2CE，CM ＋DM ＝CD＋rr ＝6－第1题解图B第2题解图第3题图D第4题解图AF E CB6.【答案】C 【解析】由题可知=ABC ACD ABCD S S S + 四边形，过点D 作DE ⊥AC 于点E ，过点B 作BF ⊥AC 于点F ，如解图，则1=2ABCD S AC BF ∙四边形＋12AC DE ∙＝12＋12DE，当点D 为劣弧 AC 的中点时，DE 取得最大值，此时∠DAC ＝∠ACD ＝∠ABD ＝12∠ABC ＝30°，在Rt △ADE 中，AE ＝12AC，DE ＝12AD ，由勾股定理可得DE ＝12，∴此时12ABCD S 四边形7.【答案】B 【解析】如解图，作直径BD ，连接CD ，OC ，BM ，CM ，OM ，则∠BCD ＝90°，则∠BAC ＝∠D ，∵BC ＝BD ＝2OB ＝4，∴CD2，∴CD ＝12BD ，∴∠DBC ＝30°，∴∠BAC ＝∠D ＝60°，∴∠BOC ＝2∠BAC ＝120°，∠ABC ＋∠ACB ＝120°，∵P 点是△ABC 的内心，∴∠PBC ＋∠PCB ＝12（∠ABC ＋∠ACB ）＝60°，∴∠BPC ＝120°＝∠BOC ，∴点O 在⊙M 上，∴OM ＝CM ，∵BM ＝CM ，∴ BM＝ CM ，∴∠BOM ＝∠COM ＝60°，∴△OCM 是等边三角形，∴CM ＝OC ＝2，即⊙M 的半径不变等于2．故选B ． 8.【答案】B 【解析】如解图，连接OA 、OB ，∵∠ACB ＝45°，∴∠AOB ＝90°，又∵OA =OB ，∴△AOB 是等腰直角三角形，∵AB ＝6，∴OA =OB =6M 、N 分别是AB 、BC 的中点，∴MN 是△ABC 的中位线，∴MN =12AC ，要使MN 最大，即AC 最大，而AC 是⊙O 的弦，故AC 是⊙O 的直径时，值最大，此时AC=2OA MN 长的最大值是12AC =12⨯9.【答案】B 【解析】如解图，将⊙O 补全，延长BO 交⊙O 于点C ，连接AC 交MO 于点P ，连接BP ，∵CB ⊥MN ，OB =OC ，∴BP =CP ，∴PA +PB =PA +PC ，根据两点之间线段最短可知所作点P 即为所求，此时PA +PC =AC ．∵CB 为⊙O 的直径，∴∠BAC ＝90°，在Rt △ABC中，AB =4，BC =2OB=10，∴AC10.【答案】C 【解析】如解图，∵AC 为其直径，∠ACB ＝30°，∴∠A ＝60°，∵点A ＇在AC第5题解图A第6题解图第7题解图第8题解图上运动，∴∠A ＇＝∠A ＝60°，∵C ＇B ⊥A ＇B ，∴∠C ＇＝90°－60°＝30°，∵∠C ＇是定值，∴点C ＇的运动路径是一个圆，当点C ＇运动到C ''时，C C ''＝2BC ，∵⊙O 的半径为7，∴AC ＝14，AB ＝7 ，∴BC ＝C C ''＝C ＇以在C C ''中点M 为圆心，BC ＇的最大值为11.【答案】A 【解析】连接AE ，如解图①，∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，BC ＝AB ＝AC ＝4，∵AD 为直径，∴∠AED ＝90°，∴∠AEB ＝90°，∴点E 在以AB 为直径的⊙O 的上，∵⊙O 的半径为2，∴当点E 为线段OC 与⊙O 的交点时，CE 最小．如解图②，在Rt △AOC 中，∵OA ＝2，AC ＝4，∴OCCE ＝OC －OE＝－2．即线段CE长度最小值为2．当点E 为射线CO 与⊙O 的交点时，CE 最大，最大值为+2，∴－2≤CE ≤＋2．12.【答案】A 【解析】如解图，连接OQ ，∵MN ＝OP （矩形对角线相等），⊙O 的半径为2，OQ ＝12MN ＝12OP ＝1，可得点Q 的运动轨迹是以O 为圆心，1为半径的圆．当点P 沿着圆周转过45°时，点Q 也是转过45°．∴Q 运动过的长度为45360︒︒×2π＝4π．故选A ． 13.【答案】C 【解析】如解图，连接CE ，∵点E 是AD 的中点，A ＇E ＝AE ＝12AD ，点F 为动点，则随着F 的运动，A ＇的运动轨迹是以点E 为圆心，AE 为半径在矩形ABCD 内的圆弧，则C A ＇、A ＇E 和CE 围成三角形，根据三角形的三边关系，即A ＇E + C A ＇＞CE ，当E 、A ＇、C 在同一直线上时，则A ＇E + C A ＇＝CE ，此时C A ＇最小．在Rt △CDE 中，CD ＝3，DE ＝1，则CEC A ＇1．14.【答案】A 【解析】过点A 、B 作圆P ，且使OA 、OB 交⊙P 于A 、B 两点，如解图，连接第9题解 图第10题解图②图B①图第12题解图CF第13题解图第14题解图第15题解图AP ，BP ，∵OA ＝OB ＝AB ＝4，∴△OAB 是等边三角形，∴∠AOB ＝60°，∴∠ACB ＝12∠AOB ＝30°，∵BD ⊥BC ，∴∠D ＝60°，∵AB ＝4，是一个定值，∴点D 在圆P 上，要使△ABD 面积的最大，∴点D 到AB 的距离要最大时，此时D 为圆P 优弧AB 的中点，此时△ABD 为等边三角形，D 到AB 的距离为ABD S ∆＝12△ABD 面积的最大值为15.【答案】B 【解析】当点C 运动到A 点处时，点D 在如解图D ＇的位置处，当点C 运动到B 点处时，点D 与点B 重合，∵△BCD 是等边三角形，∴∠CDB ＝60°，又∵CO ＝BO ，∴△CDO ≌△BDO ，∴∠ODB ＝30°，∴点C 在半圆AB 上运动时，点D 在以BD ＇为直径的圆上运动，当点O ，D 与BD ＇的中点M 共线时，线段OD 最长，为⊙M 的直径，∴OD 的长随点C 的运动而变化，最大值为16.【答案】B 【解析】如解图，连接OA 、OB ，∵∠AMB ＝45°，∴∠AOB ＝90°，∴△AOB 是等腰直角三角形，∵⊙O 的半径是2，∴AB＝＝，∵A M BA NM A N B S S S ∆∆=+四边形,∴要使四边形MANB 面积最大，则需两个三角形的高的和最大，当MN 为直径时，NM 最大，∴由垂径定理可知MN ⊥AB 时，四边形MANB 面积有最大值，∴MANB S 四边形＝12·AB ·MN ＝1217.【答案】C 【解析】如解图，取劣弧 CB的中点D ，连接AD ，BD ，∵∠BCA ＝90°，AB ＝2AC ＝4，∴CA ＝2，则∠ABC ＝30°，∴∠BAC ＝60°，∵D 为劣弧 CB的中点，∴BD ＝CD ，∴∠BAD ＝30°，∴BD ＝12AB ＝2，∠BPC ＝60°，∴∠BDC ＝120°，∵I 为△PBC 的内心，∴∠PBI ＝∠IBC ，∵BD ＝CD ，∴∠BPD ＝∠DBC ，∴∠PBI +∠BPD ＝∠IBC +∠DBC ，即∠BID ＝∠IBD ，∴ID ＝BD ，∵BD ＝CA ＝2，∴ID ＝2，∴动点I 到定点D 的距离为2，即点I 的轨迹是以点D 为圆心，2为半径的弧 CIB （不含C 、B ），弧 CIB的长为1202180π⨯＝43π，则l 的取值范围是：0＜l ＜43π18.【答案】A 【解析】如解图，分别作∠A 与∠B 的角平分线，交点为P ，∵△ACD 和△BCE第16题解图第17题解图第18题解图B第19题解图都是等边三角形，∴AP 与BP 为CD 、CE 的垂直平分线．又∵圆心O 在CD 、CE 垂直平分线上，则交点P 与圆心O 重合，即圆心O 是一个定点，连接OC ，若半径OC 最短，则OC ⊥AB ．又∵∠OAC ＝∠OBC ＝30°，AB ＝4，∴OA ＝OB ＝2OC ，∴AC ＝BC ＝2，∴在Rt△AOC 中，2OC =2AO －2AC ，即2OC =42OC －4，解得OC19.【答案】C 【解析】如解图，连接OP ，∵PM ⊥CD ，PN ⊥AB ，∴∠PMO ＝∠PNO ＝90°，∴点M 、N 在以OP 为直径的圆上，∴∠MPN ＝90°，MN 有最大值2．20.【答案】B 【解析】如解图，连接DO 并延长，交⊙O 于点P ′，由圆的性质知，当点P运动到点P ′时，DP 的值最大．∵△ABC 为等腰直角三角形，且AB＝∴BC＝根据勾股定理得8AC ==，∵点D 、O 分别为AB 、AC 的中点，∴DO为△ABC的中位线，∴12DO BC ==DP ′＝DO ＋OP ′＝4，故DP 的最大值为4．第20题解图第22题解图第23题解图 21.C 【解析】如解图，点P 运动的路径是以G 为圆心的劣弧，在⊙G 上取一点H ，连接EH 、FH ，∵四边形AOCB 是正方形，∴∠AOC ＝90°，∵∠CEA ＝12∠COA ＝45°，∴∠AFP ＝45°，∵EF 是⊙O 的直径，∴∠AFP ＝45°，∵EF 是⊙O 的直径，∴∠EAF ＝90°，∴∠APF ＝∠AFP ＝45°，∴∠H ＝∠APF ＝45°，∴∠EGF ＝2∠H ＝90°，∵EF ＝4，GE ＝GF ，∴GE ＝GF＝ EF=22.A 【解析】作DH ⊥BC 于H ，如解图，∵四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，∴AB ⊥AD ，AB ⊥BC ，∴四边形ABHD 为矩形，∴AB 为直径，∴AD 和BC 为⊙O 的切线，∵CD 和MN 为⊙O 切线，∴DE ＝DA ，CE ＝CB ，NE ＝NF ，MB ＝MF ，∵四边形ABHD 为矩形，∴BH ＝AD ＝2，DH ＝AB ＝6，设BC ＝x ，则CH ＝x －2，CD ＝x ＋2，在Rt △DCH 中，∵222CH DH DC +=，∴222(2)6(2)x x -+=+,解得x ＝92，∴CB ＝CE ＝92，∴△MCN 的周长＝CN ＋CM ＋MN ＝CN ＋CM ＋NF ＋MF ＝CE ＋CB ＝923.A 【解析】如解图，当点D 在⊙O 上运动时，点E 在以AO 为直径的圆上，当点D 运动C到点C 处时，AE ′＝12AC ；当点D 运动到点B 处时，AE ′′＝12AB ，∴E ′E ′′为△ABC 的中位线，∴E ′E ′′＝12BC ＝2，∵∠A ＝45°，∴ E E '''所对的圆心角为90°，点E 所在圆的半径rD 在优弧 BAC上运动，∴点E=．24.A 【解析】如解图，当点D 在⊙O 上运动时，点E 在⊙M 上，点D 运动到D ′处时，D ′、O 、B 、M 共线，此时D ′B 为⊙O 的直径，∵BE ＝12BD ，∴BM ＝12BO ，在Rt △ABC 中，∵BC ＝AB ＝4，∴AC＝BO ＝AO＝BMD 与点A 重合时，点E 运动到E ′′处，∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠C ＝45°，∴∠BOA ＝90，∴∠E ′′MB ＝90°，∴当点D 从点A 运动至点B 时，点E的运动路径长为901802=．第24题解图第25题解图25.C 【解析】如解图，过点P 作PF ⊥OM ，交直线l 同侧的⊙O 于点F ，连接OF ，记OF 的中点为G ，∵CM ⊥直线l ，∴∠MCO ＝∠OPF ＝90°，在Rt △CMO 和Rt △POF ，∴∠POF ＝∠CMO ，OF ⊥直线l ，∵点G 是OF 的中点，∴OG =GP =GF ，∴点P 在以点G 或G ′为圆心，OG 或OG ′长为半径的圆上，当点M 运动一周时，点P 的运动路程是⊙G 周长的2倍，∵OF ＝OM ＝10，∴点P 运动路程为2×10π＝20π．。
中考数学动点问题专题练习(含答案)
动点专题一、应用勾股定理建立函数解析式例1(2000年·上海)如图1，在半径为6，圆心角为90°的扇形OAB 的弧ＡB 上,有一个动点P,ＰH ⊥O Ａ,垂足为H,△OPH 的重心为G ．（1)当点Ｐ在弧AB 上运动时，线段ＧO 、GP 、GH 中,有无长度保持不变的线段？如果有，请指出这样的线段，并求出相应的长度．(２)设P Ｈx =,GP y =，求y 关于x 的函数解析式,并写出函数的定义域(即自变量x 的取值范围)．(3）如果△PG Ｈ是等腰三角形,试求出线段PH 的长．二、应用比例式建立函数解析式例2(2006年·山东)如图2,在△ＡBC 中,ＡＢ=AC ＝1,点D,Ｅ在直线B Ｃ上运动.设BD=,x ＣＥ=y . (1)如果∠B ＡC=3０°,∠DA Ｅ=105°,试确定y 与x 之间的函数解析式;(２)如果∠B ＡＣ的度数为α,∠DAE 的度数为β,当α，β满足怎样的关系式时,（1)中y 与x 之间的函数解析式还成立?试说明理由.AEDCB 图2H M NG PO A B 图1 x yC三、应用求图形面积的方法建立函数关系式例4(２0０4年·上海）如图,在△A ＢＣ中,∠BAC ＝９0°,AB=AC ＝22,⊙A 的半径为1.若点Ｏ在BC 边上运动(与点B 、C 不重合)，设ＢO=x ,△AOC 的面积为y .（1）求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域．(2)以点O 为圆心,BO 长为半径作圆Ｏ，求当⊙O 与⊙Ａ相切时， △AO Ｃ的面积．一、以动态几何为主线的压轴题 （一）点动问题．１.(09年徐汇区)如图，ABC ∆中，10==AC AB ,12=BC ，点D 在边BC 上,且4=BD ,以点D 为顶点作B EDF ∠=∠,分别交边AB 于点E ，交射线CA 于点F . (1)当6=AE 时，求AF 的长；（２)当以点C 为圆心CF 长为半径的⊙C 和以点A 为圆心AE 长为半径的⊙A 相切时,求BE 的长; （3）当以边AC 为直径的⊙O 与线段DE 相切时,求BE的长．AB C O 图8HAB CDEOlA ′(二）线动问题2,在矩形A ＢＣD 中,AB ＝3,点O 在对角线A Ｃ上，直线ｌ过点O ，且与AC 垂直交ＡＤ于点E ．（1)若直线l 过点B,把△ABE 沿直线l 翻折,点A 与矩形A ＢＣＤ的对称中心A ＇重合，求BC 的长; （2)若直线l 与AB 相交于点F,且ＡＯ=41AC,设AD 的长为x ,五边形ＢＣDEF 的面积为S.①求S 关于x 的函数关系式，并指出x 的取值范围;②探索:是否存在这样的x ,以A 为圆心,以-x 43长为半径的圆与直线l 相切,若存在，请求出x 的值;若不存在,请说明理由．(三)面动问题３.如图，在ABC ∆中,6,5===BC AC AB ,D 、E 分别是边AB 、AC 上的两个动点（D 不与A 、B 重合),且保持BC DE ∥,以DE 为边,在点A 的异侧作正方形DEFG .(１）试求ABC ∆的面积；(２)当边FG 与BC 重合时,求正方形DEFG 的边长; (3)设x AD =，ABC ∆与正方形DEFG 重叠部分的面积为y ,试求y 关于x 的函数关系式,并写出定义域;(4）当BDG ∆是等腰三角形时,请直接写出AD 的长.解决动态几何问题的常见方法有:C一、 特殊探路,一般推证例２:（２00４年广州市中考题第11题)如图,⊙O １和⊙Ｏ2内切于A,⊙O1的半径为３，⊙O2的半径为2，点Ｐ为⊙O1上的任一点（与点A 不重合)，直线ＰA 交⊙O2于点Ｃ,PB 切⊙O2于点B ，则PCBP的值为(A)2 (Ｂ）3 （C)23（Ｄ)26二、 动手实践,操作确认例４(２003年广州市中考试题）在⊙Ｏ中，C 为弧AB 的中点,D 为弧A Ｃ上任一点(与A 、C 不重合）,则(A)A Ｃ+CB=AD+ＤB (B) A Ｃ＋C Ｂ<AD+DB（Ｃ） AC+CB ＞A Ｄ＋D Ｂ （D) ＡＣ+C Ｂ与AD+ＤB 的大小关系不确定例５:如图，过两同心圆的小圆上任一点C 分别作小圆的直径CA 和非直径的弦CD ，延长CA 和C Ｄ与大圆分别交于点B 、Ｅ，则下列结论中正确的是( ＊ ) （A)AB DE = (B ）AB DE >(Ｃ）AB DE <(D ）AB DE ,的大小不确定三、 建立联系，计算说明例6:如图,正方形ABCD 的边长为4,点Ｍ在边DC 上,且ＤM=１,Ｎ为对角线A Ｃ上任意一点,则ＤN ＋ＭN 的最小值为 .BMND CBA以圆为载体的动点问题中,AC＝５，ＢC=12，∠ＡCＢ＝90°,P是ＡB边上的动点（与点A、B不重例1．在Rt ABC合）,Q是BC边上的动点（与点B、C不重合),当PQ与ＡＣ不平行时，△CPＱ可能为直角三角形吗?若有可能，请求出线段CＱ的长的取值范围；若不可能,请说明理由。
中考数学专题复习：与圆有关的动点问题(精品含答案)
2014年中考数学专题复习：与圆有关的动点问题1、如图，⊙O的直径AB=4，C为圆周上一点，AC=2，过点C作⊙O的切线DC，P点为优弧CBA上一动点（不与A．C重合）．（1）求∠APC与∠ACD的度数；（2）当点P移动到CB弧的中点时，求证：四边形OBPC是菱形．（3）P点移动到什么位置时，△APC与△ABC全等，请说明理由．2、如图，在⊙O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，AC=12AB，点P在半圆弧AB上运动（不与A、B两点重合），过点C作直线PB的垂线CD交PB于D点．（1）如图1，求证：△PCD∽△ABC；（2）当点P运动到什么位置时，△PCD≌△ABC？请在图2中画出△PCD并说明理由；（3）如图3，当点P运动到CP⊥AB时，求∠BCD的度数．3、如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E．（1）当BC=1时，求线段OD的长；（2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由；（3）设BD=x，△DOE的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域．4、如图，菱形ABCD的边长为2cm，∠DAB=60°．点P从A点出发，以cm/s的速度，沿AC向C作匀速运动；与此同时，点Q也从A点出发，以1cm/s的速度，沿射线AB作匀速运动．当P运动到C点时，P、Q都停止运动．设点P运动的时间为ts．（1）当P异于A．C时，请说明PQ∥BC；（2）以P为圆心、PQ长为半径作圆，请问：在整个运动过程中，t为怎样的值时，⊙P与边BC分别有1个公共点和2个公共点？5、如图，在菱形ABCD中，AB＝23，∠A＝60º，以点D为圆心的⊙D与边AB相切于点E．(1)求证：⊙D与边BC也相切；(2)设⊙D与BD相交于点H，与边CD相交于点F，连接HF，求图中阴影部分的面积(结果保留π)；(3)⊙D上一动点M从点F出发，按逆时针方向运动半周，当S△HDF＝3S△MDF时，求动点M经过的弧长(结果保留π)．6、半径为2cm的与⊙O边长为2cm的正方形ABCD在水平直线l的同侧，⊙O与l相切于点F，DC在l上．（1）过点B作的一条切线BE，E为切点．①填空：如图1，当点A在⊙O上时，∠EBA的度数是；②如图2，当E，A，D三点在同一直线上时，求线段OA的长；（2）以正方形ABCD的边AD与OF重合的位置为初始位置，向左移动正方形（图3），至边BC与OF重合时结束移动，M，N分别是边BC，AD与⊙O的公共点，求扇形MON的面积的范围．7、如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，且∠ACB=90°，AB=5，BC=3，点P在射线AC上运动，过点P作PH⊥AB，垂足为H．（1）直接写出线段AC、AD及⊙O半径的长；（2）设PH=x，PC=y，求y关于x的函数关系式；（3）当PH与⊙O相切时，求相应的y值．8、如图1，正方形ABCD的边长为2，点M是BC的中点，P是线段MC上的一个动点（不与M、C重合），以AB为直径作⊙O，过点P作⊙O的切线，交AD于点F，切点为E．（1）求证：OF∥BE；（2）设BP=x，AF=y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（3）延长DC、FP交于点G，连接OE并延长交直线DC与H（图2），问是否存在点P，使△EFO∽△EHG（E、F、O与E、H、G为对应点）？如果存在，试求（2）中x和y的值；如果不存在，请说明理由．9、如图，⊙O 的半径为1，直线CD 经过圆心O ，交⊙O 于C 、D 两点，直径AB ⊥CD ，点M 是直线CD 上异于点C 、O 、D 的一个动点，AM 所在的直线交于⊙O 于点N ，点P 是直线CD 上另一点，且PM=PN ．（1）当点M 在⊙O 内部，如图一，试判断PN 与⊙O 的关系，并写出证明过程； （2）当点M 在⊙O 外部，如图二，其它条件不变时，（1）的结论是否还成立？请说明理由； （3）当点M 在⊙O 外部，如图三，∠AMO=15°，求图中阴影部分的面积．10、如图，在⊙O 中，直径AB ⊥CD ，垂足为E ，点M 为OC 上动点，AM 的延长线交⊙O 于点G ，交过C 的直线于F ，∠1=∠2，连结CB 与DG 交于点N ． （1）求证：CF 是⊙O 的切线；（2）点M 在OC 上移动时（点M 不与O 、C 点重合），探究△ACM 与△DCN 之间关系，并证明 （3）若点M 移动到CO 的中点时，⊙O 的半径为4，cos ∠BOC=41，求BN 的长．11、如图，已知AB 是圆O 的直径，BC 是圆O 的弦，弦ED ⊥AB 于点F,交BC于点G，过点C作圆O的切线与ED的延长线交于点P．(1）求证：PC＝PG；（2）点C在劣弧AD上运动时，其他条件不变，若点G是BC的中点，试探究CG、BF、BO三者之间的数量关系，并写出证明过程；（3）在满足（2）的条件下，已知圆为O的半径为5,若点O到BC时，求弦ED的长．12、如图1，已知⊙O的半径长为3，点A是⊙O上一定点，点P为⊙O上不同于点A的动点．（1）当1A=时，求AP的长；tan2（2）如果⊙Q过点P、O，且点Q在直线AP上（如图2），设AP＝x，QP＝y，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；（3）在（2）的条件下，当4A=时（如图3），存在⊙M与⊙O相内切，同时与⊙Qtan3相外切，且OM⊥OQ，试求⊙M的半径的长．图1 图2 图3答案：1、解：（1）连接AC ，如图所示：∵AB=4，∴OA=OB=OC=12AB=2。
2020中考复习专题之圆中的动点问题练习(含答案解析)
圆中的动点问题练习一、单选题（共3题；共6分）1.如图，半径为3的⊙O内有一点A，OA= √3，点P在⊙O上，当∠OPA最大时，PA的长等于（）A. √3B. √6C. 3D. 2 √3【答案】B【解析】【解答】如图所示：∵OA、OP是定值，∴在△OPA中，当∠OPA取最大值时，PA取最小值，∴PA⊥OA时，PA取最小值；在直角三角形OPA中,OA=3√，OP=3，∴PA= √OP2−OA2=√6故答案为：B.【分析】要想让∠OPA最大，在PO和OA的长一定的情况下，只有当PA最短时，∠OPA 才会最大，所以利用垂线段最短的原理，当PA⊥OA时，∠OPA最大，用勾股定理即可求出PA的值.2.如图，一个半径为r的圆形纸片在边长为a（a≥2√3r）的等边三角形内任意运动，则在该等边三角形内，这个圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是（）A. π3r2 B. (3√3−π)3r2 C. (3√3−π)r2 D. πr2【答案】C【解析】【解答】如图，当圆形纸片运动到与∠A 的两边相切的位置时，过圆形纸片的圆心O 1作两边的垂线，垂足分别为D ，E ，连接AO 1 ， 则Rt ∆ADO 1中，∠O 1AD=30° ， O 1D=r ，AD=√3r ， ∴S ∆ADO 1=12O 1D ·AD=√32r 2 ， 由此S 四边形ADO 1E=2S ∆ADO 1=√3r 2 ， ∵由题意，∠DO 1E=120° ， 得S 扇形O 1DE=π3r 2 ， ∴圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是3（√3r 2-π3r 2）=（3√3−π）r 2 . 故答案为：C.【分析】本题考查了面积的计算，等边三角形的性质和切线的性质. 注意所求面积等于四边形ADO 1E 面积减去扇形O 1DE 面积的三倍.3.如图，菱形ABCD 的边AB=20，面积为320，∠BAD ＜90°，⊙O 与边AB ，AD 都相切，AO=10，则⊙O 的半径长等于（ ）A. 5B. 6C. 2 √5D. 3 √2【答案】C【解析】【解答】解：如图作DH ⊥AB 于H ，连接BD ，延长AO 交BD 于E ．∵菱形ABCD 的边AB=20，面积为320，∴AB•DH=32O ，∴DH=16，在Rt △ADH 中，AH= √AD 2−DH 2 =12，∴HB=AB ﹣AH=8，在Rt △BDH 中，BD= √DH 2+BH 2 =8 √5 ，设⊙O 与AB 相切于F ，连接AF ．∵AD=AB ，OA 平分∠DAB ，∴AE ⊥BD ，∵∠OAF+∠ABE=90°，∠ABE+∠BDH=90°，∴∠OAF=∠BDH ，∵∠AFO=∠DHB=90°，∴△AOF ∽△DBH ，∴ OA BD = OF BH ，∴ 8√5 = OF 8 ，∴OF=2 √5 ．故选C ．【分析】如图作DH ⊥AB 于H ，连接BD ，延长AO 交BD 于E ．利用菱形的面积公式求出DH ，再利用勾股定理求出AH ，BD ，由△AOF ∽△DBH ，可得 OA BD = OFBH ，延长即可解决问题． 二、填空题（共5题；共5分）4.如图，正三角形ABC 的边长为2，点A ，B 在半径为√2的圆上，点C 在圆内，将正三角形ABC 绕点A 逆时针旋转，当点C 第一次落在圆上时，点C 运动的路线长是 ________．【答案】π3【解析】【解答】解：如图，分别连接OA 、OB 、OD ；∵OA=OB=√2 ， AB=2，∴△OAB 是等腰直角三角形，∴∠OAB=45°；同理可证：∠OAD=45°，∴∠DAB=90°；∵∠CAB=60°，∴∠DAC=90°﹣60°=30°，∴当点C 第一次落在圆上时，点C 运动的路线长为：30π×2180=π3． 故答案为：π3．【分析】作辅助线，首先求出∠DAC的大小，进而求出旋转的角度，利用弧长公式问题即可解决．5.如图，点C在以AB为直径的半圆上，AB=4 √5，AC=4，点D在线段AB上运动，点E 与点D关于AC对称，DF⊥DE，DF交EC的延长线于点F，当点D从点A运动到点B时，线段EF扫过的面积是________．【答案】32【解析】【解答】解：∵点C在以AB为直径的半圆上，∴∠ACB=90°，∴△ABC是直角三角形，∵AB=4 √5，AC=4，∴BC= √(4√5)2−42=8，∴S△ABC=8×4÷2=16，∴线段EF扫过的面积是：16×2=32．故答案为：32．【分析】当点D从点A运动到点B时，线段EF扫过的面积是△ABC面积的2倍，据此求出线段EF扫过的面积是多少即可．6.如图，在平面直角坐标系中，A(4，0)、B(0，-3)，以点B为圆心、2 为半径的⊙B上有一动点P.连接AP，若点C为AP的中点，连接OC，则OC的最小值为________．【答案】32【解析】【解答】解：作A关于y轴的对称点A′，则A′（－4，0），∴OC是△AA′P的中位线，当A′P取最小值时，OC取最小值．连接A′B交⊙B于点P，此时A′P最小．在Rt△OA′B中，OA′=4，OB=3，∴A′B=5，∴A′P=5-2=3，∴OC= 3，2∴OC的最小值3．2故答案为：3．2【分析】作A关于y轴的对称点A′，可得出点A′的坐标，可证得OC是△AA′P的中位线，因此当A′P取最小值时，OC取最小值．连接A′B交⊙B于点P，此时A′P最小，再利用勾股定理求出A′B，再根据圆的半径求出A′P的长，利用三角形的中位线定理，即可求出OC的最小值。
圆的动点周长练习题
圆的动点周长练习题一、选择题1. 在半径为5cm的圆中，一动点从A点出发沿圆周逆时针运动，经过2π/3弧长后到达B点，则AB弧的长度为（）。
A. 10π cmB. 10 cmC. 5π cmD. 5 cm2. 一个动点在半径为R的圆周上运动，其速度为v，则该动点经过半个圆周的时间为（）。
A. πR/vB. R/vC. 2πR/vD. π/2v3. 在半径为r的圆中，一动点从圆心出发沿圆周顺时针运动，速度为v，经过t时间后回到圆心，则t等于（）。
A. 2πr/vB. πr/vC. r/vD. 2r/v二、填空题1. 在半径为10cm的圆中，一动点从A点出发沿圆周逆时针运动，经过π/3弧长后，该动点所对应的圆心角为（）度。
2. 一个动点在半径为R的圆周上运动，速度为v，经过T时间回到起点，则该动点运动的周长为（）。
3. 在半径为r的圆中，一动点从圆心出发沿圆周顺时针运动，速度为v，经过t时间后，该动点所运动的弧长为（）。
三、解答题1. 在半径为3cm的圆中，一动点从A点出发沿圆周顺时针运动，速度为2cm/s。
求该动点运动5秒后所经过的弧长。
2. 一个动点在半径为4cm的圆周上运动，速度为3cm/s。
求该动点经过半个圆周所需的时间。
3. 在半径为5cm的圆中，一动点从圆心出发沿圆周逆时针运动，速度为4cm/s。
求该动点运动10秒后所对应的圆心角。
4. 一个动点在半径为6cm的圆周上运动，速度为5cm/s。
求该动点运动15秒后所经过的弧长。
5. 在半径为8cm的圆中，一动点从A点出发沿圆周顺时针运动，速度为6cm/s。
求该动点运动20秒后回到A点所对应的圆心角。
四、应用题1. 一个圆形跑道的半径为50米，小明以3米/秒的速度沿着跑道跑步。
计算小明跑完一圈所需的时间。
2. 一个钟表的分针长度为10厘米，每分钟分针走过的弧长是多少厘米？3. 一个车轮的半径为60厘米，车轮每秒转动一周，求车轮每秒行驶的距离。
圆中的动点问题方法汇总培优卷
1、（8分）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =6㎝，BC =8㎝，P 为BC 的中点．动点Q 从点P 出发，沿射线PC 方向以2㎝/s 的速度运动，以P 为圆心，PQ 长为半径作圆．设点Q 运动的时间为t s ．⑴当t =1.2时，判断直线AB 与⊙P 的位置关系，并说明理由；⑵已知⊙O 为△ABC 的外接圆，若⊙P 与⊙O 相切，求t 的值．解⑴直线AB 与⊙P 相切．如图，过点P 作PD ⊥AB , 垂足为D ．在Rt △A BC 中，∠ACB ＝90°，∵AC =6cm ，BC =8cm ， ∴2210AB AC BC cm +=．∵P 为BC 的中点，∴PB =4cm ．∵∠P DB ＝∠ACB ＝90°，∠PBD ＝∠ABC ．∴△PBD ∽△ABC ． ∴PD PB AC AB =,即4610PD =，∴PD =2.4(cm) ． 当 1.2t =时，2 2.4PQ t ==(cm)∴PD PQ =，即圆心P 到直线AB 的距离等于⊙P 的半径．∴直线AB 与⊙P 相切．⑵ ∠ACB ＝90°，∴AB 为△ABC 的外切圆的直径．∴152OB AB cm ==． 连接OP ．∵P 为BC 的中点，∴132OP AC cm ==． ∵点P 在⊙O 内部，∴⊙P 与⊙O 只能内切．∴523t -=或253t -=，∴t =1或4．∴⊙P 与⊙O 相切时，t 的值为1或4．AB C PQ O(第26题)2、如图：AB 是 ⊙O 的直径，弦BC=2㎝, ∠ABC=60°。
（1）若D 是AB 延长线上一点，连接CD ，当BD 长为多少时，CD 与⊙O 相切。
（2）若动点E 以2㎝/s 的速度从A 点出发沿着AB 方向运动，同时动点F 以1㎝/s 的速度从B 点出发沿BC 方向运动，设运动时间为t(0＜t ＜2），连接EF ，当t 为何值时，△BEF 为直角三角形。
圆的动点问题--经典模拟题及答案
圆的动点问题25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分） 已知：在Rt ABC △中，∠ACB =90°，BC =6，AC =8，过点A 作直线MN ⊥AC ，点E 是直线MN 上的一个动点，（1）如图1，如果点E 是射线AM 上的一个动点(不与点A 重合)，联结CE 交AB 于点P ．若AE 为x ，AP 为y ，求y 关于x 的函数解读式，并写出它的定义域；(2) 在射线AM 上是否存在一点E ，使以点E 、A 、P 组成的三角形与△ABC 相似，若存在求AE 的长，若不存在，请说明理由；（3）如图2，过点B 作BD ⊥MN ，垂足为D ，以点C 为圆心，若以AC 为半径的⊙C 与以ED为半径的⊙E 相切，求⊙E 的半径．25．（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题2分，第（3）小题6分）在半径为4的⊙O 中，点C 是以AB 为直径的半圆的中点，OD ⊥AC ，垂足为D ，点E 是射线AB 上的任意一点，DF //AB ，DF 与CE 相交于点F ，设EF =x ，DF =y ． （1） 如图1，当点E 在射线OB 上时，求y 关于x 的函数解读式，并写出函数定义域；（2） 如图2，当点F 在⊙O 上时，求线段DF 的长； （3） 如果以点E 为圆心、EF 为半径的圆与⊙O 相切，求线段DF 的长．25．如图，在半径为5的⊙O 中，点A 、B 在⊙O 上，∠AOB=90°，点C 是弧AB 上的一个动点，AC 与OB 的延长线相交于点D ，设AC=x ，BD=y ．（1）求y 关于x 的函数解读式，并写出它的定义域；（2）如果⊙O 1与⊙O 相交于点A 、C ，且⊙O 1与⊙O 的圆心距为2，当BD=OB 时，求⊙O 1的半径；（3）是否存在点C ，使得△DCB ∽△DOC ？如果存在，请证明；如果不存在，请简要说明理由．A B E F CD O A BE F CDOA B C PE M第25题图1 DAB CM 第25题图2 N25.（本题满分14分，第（1）题4分，第（2）题4分，第（2）题6分）在梯形ABCD 中，AD//BC ，AB ⊥AD ，AB=4，AD=5，CD=5．E 为底边BC 上一点，以点E 为圆心，BE 为半径画⊙E 交直线DE 于点F ． (1) 如图，当点F 在线段DE 上时，设BE x =，DF y =，试建立y 关于x 的函数关系式， 并写出自变量x 的取值范围；(2) 当以CD 直径的⊙O 与⊙E 与相切时，求x 的值；(3) 联接AF 、BF ，当△ABF 是以AF 为腰的等腰三角形时，求x 的值。
圆中动点与最值问题集锦
lQPNM C A D BQPABCFEC B AOG D OABDCP圆中动点最值问题1. 如图，已知直线l 与⊙O 相离，OA ⊥l 于点A ，OA=5，OA 与⊙O 相交于点P ，AB 与⊙O 相切于点B ，BP 的延长线交直线l 于点C ，若在⊙O 上存在点Q ，使△QAC 是以AC 为底边的等腰三角形，则⊙O 的半径r 的取值范围为_________．第1题图 第2题图2．已知：如图，Rt ΔABC 中，∠B=90º，∠A=30º，BC=6cm ，点O 从A 点出发，沿AB 以每秒3cm 的速度向B 点方向运动，当点O 运动了t 秒(t ＞0)时，以O 点为圆心的圆与边AC相切于点D ，与边AB 相交于E 、F 两点，过E 作EG ⊥DE 交射线BC 于G. （1）若点G 在线段BC 上，则t 的取值范围是_________． （2）若点G 在线段BC 的延长线上，则t 的取值范围是_________．※3．如图，⊙M ，⊙N 的半径分别为2cm ，4cm ，圆心距MN=10cm ．P 为⊙M 上的任意一点，Q 为⊙N 上的任意一点，直线PQ 与连心线l 所夹的锐角度数为α，当P 、Q 在两圆上任意运动时，tan α∠的最大值为_________．第3题图 第4题图 第5题图4．如图，在矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，O 为矩形ABCD 的中心，以D 为圆心1为半径作⊙D ，P 为⊙D 上的一个动点，连接AP 、OP ，则△AOP 面积的最大值为_________．5．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=8，BC=6，经过点C 且与边AB 相切的动圆与CA 、CB 分别相交于点P 、Q ，则线段PQ 长度的最小值是_________．AQC PBO AEFO A xyP6．如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=AB=4，D 是BC 的中点，点E 在AB 边上运动（点E 不与点A 重合），过A 、D 、E 三点作⊙O ，⊙O 交AC 于另一点F ，在此运动变化的过程中，线段EF 长度的最小值为_________． 第6题图 第7题图 第8题图 7．如图，A 、B 两点的坐标分别为(2，0)、(0，2)，⊙C 的圆心的坐标为(-1，0)，半径为1，若D 是⊙C 上的一个动点，线段DA 与y 轴交于点E ，则△ABE 面积的最小值是_________．8．如图，等腰Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=4，⊙C 的半径为1，点P 在斜边AB 上，PQ切⊙O 于点Q ，则切线长PQ 长度的最小值为_________．9．在直角坐标系中，点A 的坐标为（3，0），点P （m n ，）是第一象限内一点，且AP=2，则m n 的范围为_________．10．在平面直角坐标系中，M （3，4），P 是以M 为圆心，2为半径的⊙M 上一动点，A （-1，0）、B （1，0），连接PA 、PB ，则PA 2+PB 2最大值是_________．圆中与最值有关的问题专题研究1.如图，在边长为1的等边△OAB 中，以边AB 为直径作⊙D ，以O 为圆心OA 长为半径作⊙O ，C 为半圆弧AB 上的一个动点（不与A 、B 两点重合），射线AC 交⊙O 于点E ，BC=a ，AC=b ，求a b+的最大值.第1题图 第2题图 第3题图 2.如图，∠BAC=60°，半径长为1的圆O 与∠BAC 的两边相切，P 为圆O 上一动点， 以P 为圆心，PA 长为半径的圆P 交射线AB 、AC 于D 、E 两点，连接DE ， 则线段DE 长度的最大值为_________．3.如图，在△ABC 中，120A ∠=︒，6BC =．若△ABC 的内切圆半径为r ，则r 的最大值为_________．4.边长为2的等边△ABC 的顶点A 在x 轴的正半轴上移动，顶点B 在射线OD 上移动，∠AOD=45°，则顶点C 到原点O 的最大距离为_________．O C BA第4题图 第5题图5.如图，⊙O 的直径为4，C 为⊙O 上一个定点，∠ABC=30°，动点P 从A 点出发沿半圆弧AB 向B 点运动（点P 与点C 在直径AB 的异侧)，当P 点到达B 点时运动停止，在运动过程中，过点C 作CP 的垂线CD 交PB 的延长线于D 点．（1）在点P 的运动过程中，线段CD 长度的取值范围为_________； （2）在点P 的运动过程中，线段AD 长度的最大值为_________．6.如图，定长弦CD在以AB为直径的⊙O上滑动（点C、D与点A、B不重合），M是CD的中点，过点C 作CP⊥AB于点P，若CD=3，AB=8，则PM长度的最大值是_________．7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点D是平面内的一个动点，且AD=2，M 为BD的中点，在D点运动过程中，线段CM长度的取值范围是_________．AMD8.如图，已知AB是⊙O的弦，C是⊙O上的一个动点，连接AC、BC，∠C=60°，⊙O的半径为2，则△ABC面积的最大值是_________．9.如图，已知直线MN经过⊙O上的点A，点B在MN上，连OB交⊙O于C点，且点C是OB 的中点，AC=OB，若点P是⊙O上的一个动点，当AB=时，△APC的面积的最大值为_________．10.如图，若Rt△ABC的斜边AB=2，内切圆的半径为r，则r的最大值为_________．第10题图第11题图第12题图11.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB经过点A（﹣4，0）、B（0，4），⊙O的半径为1（O为坐标原点），点P在直线AB上，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为_________．12.如图所示，在直角坐标系中，A点坐标为（﹣3，﹣2），⊙A的半径为1，P为x轴上一动点，PQ切⊙A于点Q，则当PQ最小时，P点的坐标为_________．13.如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=2，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连接EF．（1）探究线段EF长度为最小值时，点D的位置，请画出图形；（2）求出该最小值．※14.如图，在△ABC中，已知AB=5，BC=8，AC=7，动点P、Q分别在边AB、AC上，使△APQ 的外接圆与BC相切，则线段PQ的最小值等于_________．15.如图，点C在以AB为直径的⊙O上，CD⊥AB于P，设AP=a，PB=b．（1）求弦CD的长；（2）如果a+b=10，求ab的最大值，并求出此时a，b的值．第15题图第16题图第17题图16.如图，⊙O的半径为2，点P是⊙O内一点，且OP=，过P作互相垂直的两条弦AC、BD，则四※边形ABCD面积的最大值为_________．※17.如图，以O为圆心，1为半径的圆内有一定点A，过A引互相垂直的弦PQ，RS．求PQ+RS 取值范围．18如图，线段AB=4，C为线段AB上的一个动点，以AC、BC为边作等边△ACD和等边△BCE，⊙O外接于△CDE，则⊙O半径的最小值为 .ODCEA B19在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心，2为半径画⊙O，P是⊙O上一动点，且P 在第一象限内，过点P作⊙O的切线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，线段AB长度的最小值是 .O BCOABxyPBOy A xP BOy A xPBO yAxP20.如图，已知A 、B 两点的坐标分别为(-2，0)、(0，1)，⊙C 的圆心坐标为(0，-1)，半径为1，D 是⊙C 上的一个动点，射线AD 与y 轴交于点E ，则△ABE 面积的最大值是_________．第20题图 第21题图 第22题 图 21.如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4，以AC 上的一点O 为圆心OA 为半径作⊙O ，若⊙O 与边BC 始终有交点（包括B 、C 两点），则线段AO 的取值范围是 .22如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8，D 为AB 边上一点，过点D 作CD 的垂线交直线BC 于点E ，则线段CE 长度的最小值是 .23.在坐标系中，点A 的坐标为（3，0），点P 是y 轴右侧一点，且AP=2，点B 上直线y=x+1上一动点，且PB ⊥AP 于点P ，当APm BP=时，则m 的取值范围是 .※24.如图，A 点的坐标为（-2，1），以A 为圆心的⊙A 切x 轴于点B ，P ()a b ，为⊙A 上的一个动点，请分别探索：①b a +的最大值；②b a +的最小值；③b a -的最大值；④b a -的最小值；E BOD25.如图，CD是⊙O的直径，点A是半圆上的三等分点，B是弧AD的中点，P点为直线CD上的一个动点，当CD=4时，求：（1）AP+BP的最小值．（2）AP﹣BP的最大值．第25题图第26题图26.如图，已知圆O的面积为3π，AB为直径，弧AC的度数为80°，弧BD的度数为20°，点P为直径AB上任一点，则PC+PD的最小值为_________．27.如图，AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB=8，CD=6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN 于点F，P为EF上的任意一点，则PA+PC的最小值为_________．第27题图第28题图第29题图28.如图，AB是⊙O的直径，弦BC=2cm，F是弦BC的中点，∠ABC=60°．若动点E在直径AB上运动，连接EF、CE，当CE+EF最小，其最小值是_________．29.四边形ABCD内接于圆，已知∠ADC=90°，CD=4，AC=8，AB=BC．设O是AC的中点．（1）设P是AB上的动点，求OP+PC的最小值；（2）设Q，R分别是AB，AD上的动点，求△CQR的周长的最小值．。
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圆的动点问题25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分） 已知：在Rt ABC △中，∠ACB =90°，BC =6，AC =8，过点A 作直线MN ⊥AC ，点E 是直线MN 上的一个动点，（1）如图1，如果点E 是射线AM 上的一个动点(不与点A 重合)，联结CE 交AB 于点P ．若AE 为x ，AP 为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；(2) 在射线AM 上是否存在一点E ，使以点E 、A 、P 组成的三角形与△ABC 相似，若存在求AE 的长，若不存在，请说明理由；（3）如图2，过点B 作BD ⊥MN ，垂足为D ，以点C 为圆心，若以AC 为半径的⊙C 与以ED为半径的⊙E 相切，求⊙E 的半径．25．（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题2分，第（3）小题6分）在半径为4的⊙O 中，点C 是以AB 为直径的半圆的中点，OD ⊥AC ，垂足为D ，点E 是射线AB 上的任意一点，DF //AB ，DF 与CE 相交于点F ，设EF =x ，DF =y ． （1） 如图1，当点E 在射线OB 上时，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数定义域；（2） 如图2，当点F 在⊙O 上时，求线段DF 的长； （3） 如果以点E 为圆心、EF 为半径的圆与⊙O 相切，求线段DF 的长．25．如图，在半径为5的⊙O 中，点A 、B 在⊙O 上，∠AOB=90°，点C 是弧AB 上的一个动点，AC 与OB 的延长线相交于点D ，设AC=x ，BD=y ．（1）求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（2）如果⊙O 1与⊙O 相交于点A 、C ，且⊙O 1与⊙O 的圆心距为2，当BD=OB 时，求⊙O 1的半径；（3）是否存在点C ，使得△DCB ∽△DOC ？如果存在，请证明；如果不存在，请简要说明理由．A B E F CD O A BE F CDOA B C PE M第25题图1 D AB CM 第25题图2 N25.（本题满分14分，第（1）题4分，第（2）题4分，第（2）题6分）在梯形ABCD 中，AD//BC ，AB ⊥AD ，AB=4，AD=5，CD=5．E 为底边BC 上一点，以点E 为圆心，BE 为半径画⊙E 交直线DE 于点F ． (1) 如图，当点F 在线段DE 上时，设BE x =，DF y =，试建立y 关于x 的函数关系式， 并写出自变量x 的取值范围；(2) 当以CD 直径的⊙O 与⊙E 与相切时，求x 的值；(3) 联接AF 、BF ，当△ABF 是以AF 为腰的等腰三角形时，求x 的值。
25．(本题满分14分，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分5分，第(3)小题满分5分)证明：（1）∵AM ⊥AC ，∠ACB =90°∴AM ∥BC∴BPAPBC AE =--------------------------------------(1分)∵BC =6，AC =8，∴AB=10-------------------------------------------------------------------------------------(1分) ∵AE =x ，AP =y ∴yy x -=106 ()0610>+=x xx y ----------------------------------------------------------------------------------(2分)（2）假设在射线AM 上存在一点E ，使以点E 、A 、P 组成的三角形与△ABC 相似 ∵AM ∥BC ∴∠B =∠BAE ∵∠ACB =90° ∠AE P ≠90°∴△ABC ∽△EAP ----------------------------------------------------------------------------------（2分）APAE BC AB =-----------------------------------------------------------------------------------------------（1分） ∴xx x+=610610 解得：0,33221==x x （舍去）-----------------------------------------（1分） ∴当AE 的长为332时，△ABC ∽△EAP （3）∵⊙C 与⊙E 相切，AE =xFADCBE①当点E 在射线AD 上，⊙C 与⊙E 外切时，ED=6-x ， EC=286+=+-x x 在直角三角形AEC 中，222EC AE AC =+ ∴222)2(8+=+x x 解得：15=x∴⊙E 的半径为9. ----------------------------------（2分）②当点E 在线段AD 上，⊙C 与⊙E 外切时，ED=x -6， EC=x x -=+-1486 在直角三角形AEC 中，222EC AE AC =+ ∴222)14(8x x -=+ 解得：733=x ∴⊙E 的半径为79.---------------------------------（2分） ③当点E 在射线DA 上，⊙C 与⊙E 内切时，ED=6+x ， EC=286-=-+x x 在直角三角形AEC 中，222EC AE AC =+∴222)2(8-=+x x 解得：15-=x （舍去）---------------------------------------（1分） ∴当⊙C 与⊙E 相切时，⊙E 的半径为9或79。
25．解：（1）联结OC ，∵AC 是⊙O 的弦，OD ⊥AC ，∴OD =AD ．……………………（1分）∵DF //AB ，∴CF =EF ，∴DF =AE 21=)(21OE AO +．…………………………（1分）∵点C 是以AB 为直径的半圆的中点，∴CO ⊥AB ．……………………………（1分）∵EF =x ，AO =CO =4,∴CE =2x ,OE =421642222-=-=-x x OC CE .（1分）∴42)424(2122-+=-+=x x y . 定义域为2≥x ．…………………（1+1分） （2）当点F 在⊙O 上时，联结OC 、OF ，EF =421==OF CE ∴OC =OB =21AB =4．∴DF =2+442-=2+23．…………………………………………………（1分）（3）当⊙E 与⊙O 外切于点B 时，BE =FE ．∵222CO OE CE =-， ∴,4)4()2(222=+-x x 032832=--x x ，∴=1x 3744+，=2x 舍去(3744-）．………………………………………（1分）∴DF =37214)37448(21)(21+=++=+BE AB ．…………………………（1分）当⊙E 与⊙O 内切于点B 时，BE =FE ．∵222CO OE CE =-，∴,4)4()2(222=--x x 032832=-+x x ，∴=1x 3744+-，=2x 舍去(3744--）．…………………………………（1分）∴DF =37214)37448(21)(21-=+--=-BE AB ．…………………………（1分）当⊙E 与⊙O 内切于点A 时，AE =FE ．∵222CO OE CE =-，∴,4)4()2(222=--x x 032832=-+x x ，∴=1x 3744+-，=2x 舍去(3744--）．………………………………（1分）∴DF =327221-=AE ．……………………………………………………（1分）25题：解：（1）过⊙O 的圆心作OE ⊥AC ，垂足为E ，∴AE=，OE=．∵∠DEO=∠AOB=90°，∴∠D=90°﹣∠EOD=∠AOE ，∴△ODE ∽△AOE ． ∴，∵OD=y+5，∴．∴y 关于x 的函数解析式为：．定义域为：．（1分） （2）当BD=OB 时，，．∴x=6． ∴AE=，OE=．当点O 1在线段OE 上时，O 1E=OE ﹣OO 1=2，．当点O 1在线段EO 的延长线上时，O 1E=OE+OO 1=6，．⊙O 1的半径为或．（3）存在，当点C 为的中点时，△DCB ∽△DOC ．证明如下：∵当点C 为的中点时，∠BOC=∠AOC=∠AOB=45°，又∵OA=OC=OB ，∴∠OCA=∠OCB=，∴∠DCB=180°﹣∠OCA ﹣∠OCB=45°．∴∠DCB=∠BOC ．又∵∠D=∠D ，∴△DCB ∽△DOC ． ∴存在点C ，使得△DCB ∽△DOC ．25．(1) 过点D 作BC DG ⊥于点G ．可得8,3,,4=====BC GC AD BG AB DG ，x EG -=5； ……2分 在Rt △DEG 中，∴222DG EG DE +=，即222)5(4)(x y x -+=+∴x x y -+-=16)5(2(负值舍去)…………………………………………1分定义域：x <0＜ 4.1≤ ……………………………………………1分 （2）设EF 的中点O ，联结OE ，过点O 作BC OH ⊥于点H ．,23225===HC OH OC ，，238--=x EH ；︒1⊙O 与⊙E 外切时，25+=x OE在OEH Rt ∆中，222EH OH OE +=， ∴222)25()238(2+=--+x x 化简并解得 920=x ……………2分︒2⊙O 与⊙D 内切时， 25-=x OE 在OEH Rt ∆中，222EH OH OE +=，∴222)25()238(2-=--+x x ，化简并解得 5x = ……………2分综上所述，当⊙O 与⊙D 相切时，5x =或920． （3） 当4==AB AF 时， 由BE=EF ，AE=AE ，有△ABE 和△AEF 全等，1分∴90=∠=∠ABE AFE ，即DE AF ⊥在AFD Rt ∆中，22AF AD DF -==34522=- ………1分由x x y -+-=16)5(2=3，解得2=x ； ……………1分当FB FA =时，过点F 作AB QF ⊥于点Q ，有AQ=BQ ，且AD ∥BC ∥FQ …1分∴EF DF =，x x y -+-=16)5(2=x ，33725±-=x （负值舍去）；综上所述，当△ABF 是以AF 为腰的等腰三角形时时，2=x 或33725+-=x 。