数学(七下)北师大1.5平方差公式(一)
北师大版数学七年级下册1.5《平方差公式》说课稿1
北师大版数学七年级下册1.5《平方差公式》说课稿1一. 教材分析《平方差公式》是北师大版数学七年级下册第1章第5节的内容。
这一节主要介绍平方差公式的概念、推导过程及其应用。
平方差公式是初等数学中的一个重要公式，它不仅在代数学习中占有重要地位，而且在解决实际问题中也有着广泛的应用。
本节课的内容为后续学习完全平方公式、二次方程等知识打下基础。
二. 学情分析七年级的学生已经掌握了有理数的乘法运算，对因式分解有一定的了解。
但是，对于平方差公式的推导过程和应用，他们可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，我需要从学生的实际出发，引导他们通过观察、分析、归纳等方法，自主探索并掌握平方差公式。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握平方差公式的概念和推导过程，能够运用平方差公式进行简单的计算和问题求解。
2.过程与方法目标：通过观察、分析、归纳等方法，培养学生自主探索和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养他们勇于挑战、积极进取的精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：平方差公式的推导过程和应用。
2.教学难点：平方差公式的推导过程，以及如何运用平方差公式解决实际问题。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动、启发式教学法，引导学生通过观察、分析、归纳等方法，自主探索平方差公式。
2.教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等传统教学工具，结合几何画板等软件，直观展示平方差公式的推导过程。
六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引发学生对平方差公式的思考，激发他们的学习兴趣。
2.自主探索：引导学生观察、分析实际问题，鼓励他们尝试用自己的方法解决。
3.小组讨论：学生分组讨论，分享各自的方法和思路，互相学习，共同进步。
4.讲解与示范：教师对学生的方法进行点评，并进行平方差公式的讲解和示范。
5.练习与反馈：学生进行课堂练习，教师及时给予反馈，巩固所学知识。
6.拓展与应用：引导学生运用平方差公式解决实际问题，提高他们的应用能力。
北师大版七年级下册数学教学设计：1.5.1《平方差公式》
北师大版七年级下册数学教学设计：1.5.1《平方差公式》一. 教材分析《平方差公式》是北师大版七年级下册数学的第二章第三节的内容，本节内容是在学生已经掌握了有理数的乘法、完全平方公式的基础上进行学习的。
平方差公式是代数中的一个重要公式，它不仅涉及到平方差公式的推导，还涉及到平方差公式的应用，以及在此基础上进一步推导出完全平方公式的过程。
二. 学情分析学生在学习本节内容之前，已经掌握了有理数的乘法、完全平方公式等基础知识，具备了一定的代数运算能力。
但是，对于平方差公式的推导过程，以及如何灵活运用平方差公式解决实际问题，对学生来说还是有一定的挑战性的。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，引导学生积极参与，突破重难点。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握平方差公式的推导过程，理解平方差公式的含义，能够灵活运用平方差公式解决实际问题。
2.过程与方法：通过小组合作、探究学习，培养学生的合作意识，提高学生解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自主学习能力，使学生感受到数学的乐趣。
四. 教学重难点1.重点：平方差公式的推导过程，以及平方差公式的应用。
2.难点：平方差公式的灵活运用，以及在此基础上推导出完全平方公式。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究，发现规律。
2.运用小组合作学习，培养学生的团队协作能力。
3.通过实例讲解，使学生能够将理论知识与实际问题相结合，提高学生的应用能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学PPT，包括平方差公式的推导过程、应用实例等。
2.准备一些实际问题，用于巩固和拓展学生的知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引导学生复习有理数的乘法，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）呈现平方差公式的推导过程，引导学生观察、分析，发现其中的规律。
3.操练（10分钟）让学生独立完成一些平方差公式的练习题，巩固所学知识。
北师大版七下数学1.5平方差公式教学课件(1)
n （-m）2-n2
c （a+b）2-c2
（a + b ） （ a – b ） = a2 - b2
例1、用平方差公式计算
注意
计算：（x+2y）（x-2y）
1、先把要计算的 式子与公式对照，
解：原式＝Nxo2 - （2y）2 Image
2、哪个是 a 哪个是 b
＝x2 - 4y2
例2 运用平方差公式计算： （1） （3x＋2 ）（ 3x－2 ） ； （2） （b+2a）（2a－b）; （3） （-x+2y）（-x-2y）.
解原式 （x2 y2 )( x2 y2 )（x4+y4 ）
（ x4 y）4 （x4+y4） x8 y8
灵活运用新知，解决第三层次问题
运用平方差公式计算：
（1）51×49 （2）（3x+4）（3x-4）-（2x+3）（3x-2）
a2 - b2 =（a+b）（a-b） 逆向思维训练：
（1） （ n - m ）（ n+m ）=n2-m2 （ -2x +_3_y ） （-2x-3y）=4x2-9y2 （ -5 + a ）（-5 - a ） =25-a²
多项式与多项式相乘：
先用一个多项式的每一项 乘另一个多项式的每一项 再把所得的积相加.
活动 计算下列各题，你能发现什么规律？
（1） （x＋1）（x－1） = x2 － x ＋ x － 1 = x2 － 1 （2） （m ＋ 2）（m － 2） = m2 － 2m ＋ 2m － 4 =m2 － 4 （3） （2x ＋ 1）（2x － 1）=（2x）2 － 2x ＋ 2x － 1=4x2 － 1
小结
1. 试用语言表述平方差公式 （a+b）（a−b） =a2−b两2.数和与这两数差的积，等于它们的平方差.
北师大版七年级数学下册1.5.1 平方差公式 教案设计
1.5 平方差公式（1）教学目标：1.经历探索发现平方差公式的过程，发展数形结合的思想．2.会推导平方差公式并能正确运用公式进行计算．3.会用面积法推导平方差公式，并能运用公式解决生活中的实际问题．4.培养学生观察、归纳、概括等能力．教学重点与难点：重点：平方差公式的推导和应用．难点：理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式．教法与学法指导：教法：引导探讨归纳应用变通．学法：提前预习，小组合作，探讨交流，归纳总结．课前准备：教师准备：多媒体课件、纸板教具、彩色粉笔．学生准备：预习纸板教学过程：一、创设情境，导入新课【美丽的校园】师：上学期，我们作为第一届入住新校区的初一新生，很荣幸的搬入了新建设的二十九中校园，一学期过去了，大家对于我们美丽的校园还满意吗？生：满意！师：现在，学校要规划一块新草坪，规划的方案有两种，一种是建成10米乘以10米的正方形，另一种方案是把这块正方形的草坪的一边缩减3米，相邻边增加3米，把草坪改成长方形．校长说，改成长方形草坪后，不光美观，还能节约购买草皮的成本呢？你知道这是为什么吗？生（集体）：猜测讨论．师：通过本节课的学习，你将能轻松的解决这个问题，大家说，这节课要不要认真学习啊？学生（充满好奇）：要！【设计意图】通过了解发生在校园内真实存在的事例，既能调动学生的研究兴趣，又能为说明平方差公式的几何意义做好铺垫．二、百花齐放，探索新知1．数形结合，探究公式师：解决校园草坪建设方案的问题之前，老师先提两个简单的问题来考一考大家，看看大家上节课的内容学习的怎么样了？有没有能力解决今天的新问题．计算：1．（x+1）（x-1） 2.（m+2）（m-2）生（集体）：算出来了…算出来了…师：好，老师请两位同学说一说计算的结果．生1：第一题的结果是：x2-1生2：第二题的结果是：m2-4师：正确的同学请举手（全体同学基本上都正确），看来大家学的真不错哦！师：下面大家继续观察上面两个算式，看看它们的结果，你有没有什么新发现？生3：我发现它们的结果是这两个数的平方的差．师：好，那么我们请这位同学把你看到的现象用粉笔描述出来．（生3 分别使用了蓝色粉笔和黄色粉笔区别表示，效果非常好）师：大家观察一下，这位同学描述的规律对不对？生（齐）：正确！师：哪位同学能再举个例子来验证一下？生4：（a+3）（a-3）=a2-3a+3a-9=a2-9（a+3）（a-3）=a2-32 = a2 -9师：结果一样吗？生（齐）：一样！师：那好，以后符合这个规律的习题，我们就可以直接进行计算，不要再用多项式的乘法这么麻烦了，还有谁再举例应用一下？生5（抢）：（5+x）（5-x）=52- x2 =25- x2生6（抢）：（y+6）（y-6）=y2-62 = y2-36师：谁用语言来描述一下这个规律？生（7）：等式的左边是两个两项式的乘积，这两个两项式中，其中一个因式是两数的和，另一个因式是这两个数的差，等式的右边等于这两个数的平方的差．师：那么我们能不能把这个规律用符号表示出来呢？师生合作：（a+b）（a-b）=a2-b2文字描述：两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差．*提示：这里a 、b 表示任意数，也可以表示任意的单项式、多项式．师：同学们真不简单，现在大家给我们总结的规律起一个名字吧．生（齐）：平方差公式！【设计意图】通过观察，让学生自然、直观的接触到平方差的概念，再通过习题简单的应用，便于学生总结出公式，理解和掌握公式．教师板书课题：1.5 平方差公式（1）师：看来大家预习的非常棒！接下来，我们通过拼图游戏，再从几何图形的角度来验证一下这个公式的正确性，下面大家拿出我们课下准备好的纸板，按要求计算阴影部分的面积．生8：第一个图形的面积：a 2-b 2 生9：第二个图形的面积：（a+b ）（a-b ）师：这两种方法算出来的阴影部分的面积相等吗？生（齐）：相等师：由此我们得到（a+b ）（a-b ）=a 2-b 2，从而再次验证了平方差公式的正确性，大家对这两种证明平方差公式的方法都理解了吗？生（齐）：理解了！【设计意图】利用求图形的面积，进一步理解和验证平方差公式，培养学生数形结合的思想和一题多解的观念．2．简单应用，掌握公式师：那么接下来我们就来应用一下吧，请看例题例1利用平方差公式计算：（1）（5+6x ）（5－6x ）； （2）（x －2y ）（x +2y ）（3）（ab +8）（ab －8）；我们请3位同学到黑板上来演示，其他同学在练习本上计算，愿意来展示自己的同学请主动上台表演吧！生10：解：（5+6x ）（5－6x ） 生11：解：（x －2y ）（x +2y ）= 52－（6x ）2 = x 2－（2y ）2=25－36 x 2 = x 2－4y 2生12：解：（ab +8）（ab －8）a-b=（ab ）2－82= a 2 b 2－64师：大家看看这3位同学的表现的怎么样？生（齐）：非常好！师：下面做正确的同学请举手（大约90﹪以上），不错哦！大家感觉对于今天学习的内容掌握的怎么样了？生：都掌握了，没问题了师：*注意：对于平方差的结果，要化成最简，得数中不能保留像（2y ）2 、82 、（ab ）2 的没有运算完全的算式．【设计意图】利用简单的问题加深学生对平方差概念的理解，鼓舞学生的士气，为下一步更深入的学习和理解公式奠定基础．3．乘胜追击，深入公式师：既然大家都觉得练得不错了，那么老师对习题再升升级，检验一下大家的思考能力：例2 利用平方差公式计算：（1）（－m +n ）（－m －n ）； （2）)41(y x --)41(y x +-； 师：这两道题好做吗？在这里老师先提个小建议，请大家找出算式里面的“a ”和“b ”，然后再用公式计算．（2分钟后）谁找到了，主动站起来回答一下？生13：第一个算式里面的“a ”是“－m ”, “b ”是“n ”生14：第二个算式里面的“a ”是“x 41-”, “b ”是“y ” 师：这两位同学照的对不对？生：对．师：好，下面请这两位同学到黑板上来把这两道题计算完整．生15：（－m+n ）（－m －n ）=（－m ）2－（n ）2 =m 2－ n 2生16：)41(y x --)41(y x +-=（x 41-）2－y 2=x12－y 2 生（梁森）：老师，我有一个发现，我发现我们找的“a ”是相同的数，“b”是相反的数．师：噢？！我们班的数学大王有了新发现，大家发现这个规律了吗？生：真的，还真有这样的特点啊，梁森就是聪明．师：大家为梁森同学鼓掌！我国有“两弹 一星”元勋钱学森，我们班有数学大王梁森，老师有个提议，我们把梁森同学的这个新发现命名为生（集体鼓掌）：好！师：有了“梁森定律”的发现，我们做题就变得轻松多了．以后我们大家在碰到两项式乘两项式的时候，如果这两项中有一组相同的项和另一组相反的项，我们就可以应用平方差公式进行计算了．但是老师还有一个问题需要大家进一步的明确，找出了相同的项和相反的项，最后的结果是用谁的平方减去谁的平方呢？生（齐）：相同的项的平方减去相反的项的平方．师：下面请大家观察图片，通过图片，更直观的理解平方差公式（看上图），看明白了吗？生（齐）：明白了．【设计意图】通过增加例题的难度引导学生深入的探究公式，从而总结出更加简便有效的应用平方差公式的方法．三、综合应用，延伸拓展师：考验你的时候到了，下面老师出一道难度等级为5星的题，大家有没有信心做出来？生（集体）：（摩拳擦掌，跃跃欲试）能，出吧．师：小组合作探究：计算（-a-b）（a-b）（2分钟后）谁来回答这个问题？生（巩恒）：老师，我代表我们小组来回答这个问题，在这道题中，为了便于观察，我们小组采取的方法是，交换了括号内两项的位置，交换后（-a-b）（a-b）=（-b -a）（-b +a）（学生到黑板板书），这样我们就可以很轻松的找出相同的项是“-b”，相反的项是“a”，根据“梁森定律”，用相同的项的平方减去相反的项的平方，最后的结果是：（-a-b）（a-b）=（-b -a）（-b +a）=（－b）2－ a2 = b2－a2师：同学们，这位同学讲解的好不好？生（集体鼓掌）：好！师：大家说“梁森定律”的作用体现在什么地方呢？生（争先恐后）：应用“梁森定律”，可以很方便的辨别能否用平方差公式进行多乘多的运算．师：good!那我们通过练习来应用一下这个新方法吧．下列式子可用平方差公式计算吗? 为什么? 如果能够，怎样计算?(1) (a+b)(a−b) （能）(2) (a−b)(b−a) （不能）(3) (a+2b)(2b+a) （不能）(4) (a−b)(a+b) （能）(5) (2x+y)(y−2x) （能）师：你是怎么辨别出来的？生（齐）：通过找相同项和相反项．师：你们太有才了！生（集体）：笑师：下面大家在练习本上把上面的5道题计算出来，看谁算得又对又快．（让同学们把答案落实到本子上，避免出现“笔下误”，同时老师通过巡视，发现并指出学生可能出现的错误）【设计意图】通过例题，巩固刚才学习的新规律，再通过相关练习的训练，达到巩固和强化平方差公式应用的目的．四、感悟课堂，直抒胸臆师：同学们，通过今天的学习，你掌握了哪些知识，谁来总结一下？生17：我们通过多种方法学习了平方差公式；生18：我印象最深的是通过找相同项和相反项来应用平方差公式；生19：我感觉平方差公式简化了多乘多的运算，是人类智慧的体现；生20：我觉得这节课过得轻松愉快；生21：我认为还有很多的困难在等待着我们去克服；【设计意图】及时完美的总结是一节课精华的体现，让学生从他们的视角去总结一节课的所得所感，更能发现学生对知识接受和理解的程度．好的老师，要善于倾听，适时点拨，让学生在轻松愉快中实现对知识的梦想．五、实战演练，各尽其能【我当老师】1.下列各式的计算是否正确？如不正确，应怎样改正？1) (x+4)(x-4)=x2-4; （）2) (a+2b)(a-2b)=a2-4b; （）3) (-2y+3)(2y+3)=4y2–9. （）（通过纠错，发现问题，避免自己在做题中出现类似的错误）【小试牛刀】2.计算下列习题，看谁做的又快又准确，并注意观察习题的结构特点．（1）(x+2y)(x-2y) （2）(2a-b)(b+2a)（3）(4a+3b)(4a-3b) （4）(-3m+2n)(3m+2n)（5）（a+b）（-b+a）（6）（-a-b）（a-b）（应用公式，巩固本节课的劳动成果，老师通过巡视找出同学们的易错点）【思维拓展】运用平方差公式计算：（平方差公式的灵活应用）（1）（a+2b+2c）（a+2b-2c）（2）（a-b）（a+b）（a2+b2）（有点难度哦，小组之间讨论讨论吧，集体的智慧是无穷的）【实际应用】同学们，下面我们回过头来解决上课前我们提出的建设草坪的问题：问题回顾：一块边长为10米的正方形的Array草坪．把这块草坪的一边减少3米，相邻的另一边增加3米，整改前后的草坪的面积变化了吗?分析：原方案（正方形草坪）：10×10=100(m2)整改后（长方形草坪）：（10+3）×（10-3）=102 -32=91(m2)改成长方形后，草坪的面积变小了，当然节约购买草皮的成本了．（利用所学知识解决生活中的实际问题，让同学体会生活中处处有数学）【设计意图】由浅入深，由简到繁，逐步深入，各个击破，通过不同层次的习题设置，让更多的同学学到更深入的知识，提升他们的信心和勇气．六、分层作业，各显所长必做题：习题1.9 第1题．选做题：习题1.9 第2题．【设计意图】必做题是本节课的基础题，要求全体学生掌握的；选做题为综合性题，题量很小，但要求的能力较强，喜欢的同学可以选做，上交后让老师对其解题思路提出合理化建议，分层作业的主要目的是因材施教，让不同层次的学生实现他们同样的梦想．板书设计：1.5 平方差公式（1）1.复习回顾：2.规律总结：3.平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2例1：4.数形结合，理解公式例2：5.找相同项相反项理解公式拓展训练：达标检测：教学反思：这节课我尝试用三种方法逐层深入的给同学们讲解和应用平方差公式，第一种是让孩子们直接感受公式，直接应用公式进行计算，初步了解平方差公式的用法；接着通过例题增加一点习题的难度，进而引导学生找出两个相乘的二项式中的“a”和“b”，更深一步的理解平方差公式的应用；最关键的是第三步，通过老师进一步的引导，让学生观察到“a”和“b”的特点，即“a”是两项式中的相同项，“b”是两项式中的相反项，进而得出平方差公式是用相同项的平方减去相反项的平方，最终让学生彻底的理解和掌握了平方差公式．总体来讲，当学生们在老师的带领下，一步一步笑到最后的时候，我本人感到非常的欣慰，因为这节课没有让学生感到枯燥和乏味，反而是在欢声笑语中度过的，从而我也感到了备好一节课对学生包括对我自己的重要性．市优案的评选，让我获益多多，通过做市优案和应用市优案，我收获了很多教学的方法和技巧，它完善了我们的教学，体现了教学相长和老师们的经验共享，它对我们的教学有着积极和长远的影响．。
北师大版数学七年级下册 1.5 平方差公式 ppt（2课时打包）
新课讲解
练一练 3 计算下列式子： (3) (-2a2+5b)(-2a2-5b) ;
1
1
(4)( 4 x+y)(-4 x+y) .
解：(3) (-2a2+5b)(-2a2-5b)= (-2a2)2-(5b)2=4a2-25b2 ;
(4) ( 1 x+y)(-1 x+y)=y2-( 1 x)2=y2- 1 x2 .
第一章 整式的乘除
5 平方差公式 课时1 平方差公式的认识
学习目标
1.了解并掌握平方差公式.（重点） 2.理解平方差公式的推导过程，并会应用平方差公式进行 计算.(难点）
新课导入
思 考 观察下列多项式的积，你能发现什么规律？
(1) (x+1)(x-1)=x·x-x+x-1=x2 -12 ;
(2) (m+2)(m-2)=m·m-2m+2m-4=m2 -4=m2 -22 ;
当堂小练
计算下列式子： (1)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5) ;
(2)102×98.
解：(1) (2)
(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)=y2-22-(y2+4y-5)=4y+1 ; 102×98=(100+2)(100-2)=1002-22=9996.
当堂小练
为了运用平方差公式计算(x+2y-1)(x-2y+1)，以下变形正确的是（ B ）
=(2a+1)×1 =2a+1.
布置作业
请完成对应习题
(3) (2x+1)(2x+1)=2x·2x-2x+2x-1=(2x)2 -1=(2x)2 -12 .
2024北师大版数学七年级下册1.5.1《平方差公式》教案1
2024北师大版数学七年级下册1.5.1《平方差公式》教案1一. 教材分析《平方差公式》是北师大版数学七年级下册第1章第5节的内容，本节课主要让学生掌握平方差公式的推导过程和应用。
平方差公式是初中学历阶段非常重要的一个公式，它不仅在数学计算中有着广泛的应用，而且为学生以后学习更高深的数学知识打下基础。
二. 学情分析七年级的学生已经具备了一定的代数基础，对因式分解、有理数运算等概念有一定的了解。
但学生在学习新知识时，往往还依赖于死记硬背，对于公式的推导和证明过程缺乏理解。
因此，在教学过程中，需要引导学生主动探索，理解平方差公式的推导过程，提高学生的逻辑思维能力。
三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握平方差公式的推导过程，理解并熟练运用平方差公式进行计算。
2.过程与方法目标：通过合作交流、探究学习，培养学生的团队协作能力和问题解决能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自主学习能力。
四. 教学重难点1.教学重点：平方差公式的推导过程和运用。
2.教学难点：平方差公式的灵活运用，以及理解公式背后的数学思想。
五. 教学方法采用问题驱动法、合作交流法、探究学习法等，引导学生主动探索，提高学生的逻辑思维能力和团队协作能力。
六. 教学准备1.教具准备：多媒体课件、黑板、粉笔。
2.学具准备：笔记本、笔。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体课件展示生活中的一些实际问题，引导学生思考如何用数学知识解决这些问题。
例如，一块正方形的土地，如果每边减少3米，新的土地面积是多少？让学生感受数学与生活的紧密联系，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）引导学生列出正方形土地面积的计算公式，然后展示平方差公式的推导过程。
通过示例，让学生理解平方差公式的含义，并学会如何运用。
3.操练（10分钟）让学生独立完成一些关于平方差公式的练习题，巩固所学知识。
教师及时给予解答和指导，帮助学生掌握平方差公式的运用。
北师大版七年级下册数学教案设计：1.5.1 《平方差公式》
生的主体作用，增强学生学数学、用数学的兴趣。
同时，让学生在公式的运用中积累解题的经验，体会成功的喜悦。
四、教学策略选择与信息技术融合的设计1.多媒体辅助；合作探究；自主学习；师生互动。
2. 特例──归纳──猜想──验证──用数学符号表示——练习反馈——评析校正五、教学过程教师活动预设学生活动设计意图（一）创设情境，引出课题问题１：计算下列多项式的积，你能发现什么规律？（1）（x+2）（x-2）= ；（2）（1+3a）（1-3a）= ；（3）（x+5y）（x-5y）= ；（4）（2y+z）（2y-z）= 。
4名学生板演计算，其他学生独立计算，然后学习小组讨论4个算式与计算结果间存在的关联。
【设计意图】通过对特殊的多项式与多项式相乘的计算，既复习了旧知，又为下面学习平方差公式作了铺垫，让学生感受从一般到特殊的认识规律，引出乘法公式----平方差公式。
（二）探索新知，尝试发现问题２：依照以上三道题的计算回答下列问题：①式子的左边具有什么共同特征？②它们的结果有什么特征？③能不能用字母表示你的发现？学生通过自主探究、合作交流，发现规律，式子左边是两个数的和与这两个数的差的积，右边是这两个数的平方差，并猜想出：。
（a+b）(a-b)=a2-b2【设计意图】根据“最近发展区”理论，在学生已掌握的多项乘法法则的基础上,探索具有特殊形式的多项式乘法──平方差公式，这样更加自然、合理。
（三）数形结合，几何说理问题3：活动探究：将长为（a+b），宽为（a－b）的长方形，剪下宽为b的长方形条，拼成有空缺的正方形，并请用等式表示你剪拼前后的图形的面积关系。
学生拿出已准备好的长方形纸条动手操作，经历、体验，推论，计算、验证。
【设计意图】通过学生小组合作，完成剪拼游戏活动,利用这些图形面积的相等关系,进一步从几何角度验证了平方差公式的正确性,渗透了数形结合的思想，让学生体会到代数与几何的内在联系．引导学生学会从多角度、多方面来思考问题．对于任意的a、b，由学生运用多项式乘法计算：，验证了其公式的正确性。
2024年北师大版七下数学1.5平方差公式第1课时平方差公式的认识教学设计
2024年北师大版七下数学1.5平方差公式第1课时平方差公式的认识教学设计一. 教材分析平方差公式是初中数学中的重要内容，对于学生来说，掌握平方差公式对于理解和掌握后续的代数知识有着重要的意义。
本节课的内容是在学生已经掌握了有理数的乘法、平方的知识基础上进行讲解的，通过平方差公式的学习，使学生能够掌握两个数的平方差可以表示为它们的和与差的乘积的两倍，并能够运用平方差公式解决实际问题。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了有理数的乘法、平方的知识，对于新的知识有一定的接受能力。
但部分学生在理解上可能还存在一定的困难，因此，在教学过程中，需要关注这部分学生的学习情况，引导他们理解和掌握平方差公式。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解和掌握平方差公式，能够运用平方差公式解决实际问题。
2.过程与方法：通过小组合作、探究的学习方式，培养学生的合作意识和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养他们积极思考、勇于探索的精神。
四. 教学重难点1.重点：平方差公式的理解和运用。
2.难点：理解平方差公式的推导过程和背后的数学思想。
五. 教学方法采用问题驱动法、小组合作学习法、引导发现法等，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探究，培养学生的合作意识和解决问题的能力。
六. 教学准备1.准备相关课件和教学素材。
2.准备平方差公式的推导过程的动画或视频。
3.准备一些实际问题，用于引导学生运用平方差公式解决。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用问题驱动法，引导学生回顾有理数的乘法和平方的知识，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）利用课件呈现平方差公式，引导学生观察和思考，引导学生发现平方差公式的规律。
3.操练（10分钟）利用平方差公式的推导过程的动画或视频，引导学生直观地理解平方差公式的推导过程，使学生能够理解和掌握平方差公式。
4.巩固（10分钟）设计一些练习题，让学生运用平方差公式进行计算，巩固所学知识。
1.5平方差公式-2023-2024学年七年级数学下册同步课件(北师大版)
相反项的平方.举例略.
二、新知探究
知识归纳
平方差公式：
(a+b)(a−b)=a2−b2
两数和与这两数差的积,等于这两数的平方差.
平方差公式的结构特征:
（1）左边是两个二项式的乘积,并且这两个二项式有一项完全相同,
另一项互为相反项；
（2）右边是这两项的平方差,即相同项的平方减去相反项的平方.
+
)(
+
+
−
2 2
= b- a.
+
);
(2)(-4x2-3y3)(4x2-3y3).
-
(2) (-4x2-3y3)(4x2-
-
3y3)=(-3y3)2-
(4x2)2=9y6-16x4.
四、当堂练习
10.计算:(1)a(1-2a)+2(a+1)(a-1);
(2)(2x-3y)(3y+2x)-(4y-3x)(3x+4y);
解:(1)原式=(10-0.2)×(10+0.2)
(2)20242-20162;
(2)20242-20162
=102-0.22
=(2024+2016)(2024-2016)
=100-0.04
=4040×8
=99.96.
=32320.
三、典例精析
例2 计算:20242-2023×2025.
解:20242-2023×2025
=1002-32
=1202-22
北师大版七年级数学下册1.5平方差公式课件
（2）9.9 ×10.1 解：9.9×10.1
=(10-0.1)(10+0.1) =102－0.12 = 99.99
随堂练习
4. 利用乘法公式计算： (1)计算：(2+1)·(22+1)·(24+1)·(28+1)； (2)计算：(3+1)·(32+1)·(34+1)·(38+1)； (3)计算：1002﹣992+982﹣972+…+22﹣12．
79×81= 6399 80×80= 6400
1、从以上过程中，你发现了什么规律？ 一个自然数的平方比它相邻两数的积大1.
2、你能用字母表示这一规律吗？
设这个自然数为a，与它相邻的两个自然数为a－1，a+1， 则有(a+1)(a－1)=a2－1．
例1、用平方差公式进行计算：
（1） 103×97；
（2） 118×122．
1.5 平方差公式
学习目标
1.探索平方差公式的几何背景，培养数形结合的数学思想； 2.会运用平方差公式进行简单的简便运算，培养运算技能.
导入新课 1、设这个自然数为a，与它相邻的两个自然数为a－1，a+1， 则有(a+1)(a－1)=a2－1．
2、应用平方差公式的注意事项： 1）注意平方差公式的适用范围（前同号，后异号）
解：（1）原式＝(2﹣1)·(2+1)·(22+1)·(24+1)·(28+1) ＝(22﹣1)·(22+1)·(24+1)·(28+1) ＝(24﹣1)·(24+1)·(28+1) ＝(28﹣1)·(28+1) ＝216﹣1
1.5.1平方差公式
注意
= x2 − ( 2y ) 2 = x2 −4y2 ;
(3) (−m+n)(−m−n ) = ( −m )2 − n2 = m2 −n2 .
阅读
p30例2.
平方差公式
相同为a 适当交换
2 2 (a+b)(a-b)=(a) -(b)
相反为b
合理加括号
注：这里的两数可以是两个单项式也可以是两 个多项式等等．
平方差公式
相同为a 适当交换
2 2 (a+b)(a-b)=(a) -(b)
相反为b
合理加括号
注：这里的两数可以是两个单项式也可以是两 个多项式等等．
2 2 (a+b)(a-b)=a -b
特征:
相反数
2 2 (a+b)(a-b)=a -b
特征:
平方差
2 2 (a+b)(a-b)=a -b
特征:
原来
5米
现在
(a+5)米
a米
2 a
5米
(a-5)
(a+5)(a-5)
相等吗？
做一做、议一议 下面你动手计算试试看，思考
1. 以下题目有哪些特征?
2.它们的运算结果都有怎样的相同的特点?
（1）
22 2 x 2 x 2 x 4 xx 4 2
2
2
2
( 3a ) 9a 1 3a 3a 9a 1 2 2 2 （ 3） 2 ( m 1)( m 1) 2 2 m 1 ( m ) m m 1 ( m) 1 =(－m) －1
(4) (a−b)(a+b) ;
(5) (2x+y)(y−2x).
北师大版初中数学七年级下册1.5平方差公式(教案)
3.培养学生的数学建模素养：通过解决实际问题，让学生学会运用数学知识建立模型，提高解决实际问题的能力，体会数学在生活中的应用价值。
本节课将紧密围绕核心素养目标，注重培养学生的逻辑推理、数学运算和数学建模能力，使学生在掌握知识的同时，提升学科素养。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-核心知识：平方差公式（a+b）（a-b）=a²-b²的推导与应用。
北师大版初中数学七年级下册1.5平方差公式（教案）
一、教学内容
本节课选自北师大版初中数学七年级下册第一章第五节《平方差公式》。教学内容主要包括以下两个方面：
1.平方差公式的推导与应用：通过实际问题和具体例子的分析，引导学生发现并理解平方差公式：（a+b）（a-b）=a²-b²。
2.运用平方差公式进行简便计算：培养学生运用平方差公式解决实际问题的能力，提高计算速度和准确性，并能解决一些简单的实际问题。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“平方差公式在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
五、教学反思
今天在教授平方差公式这一部分内容时，我发现学生们对公式的推导和应用过程产生了浓厚的兴趣。在导入新课环节，通过日常生活中的实际问题，成功引起了学生的好奇心，这为后续的教学奠定了良好的基础。
初中数学北师大版七年级下册第一章 整式的乘除1.5平方差公式-章节测试习题
章节测试题1.【题文】通过学习同学们已经体会到灵活运用整式乘法公式给计算和化简带来的方便、快捷．相信通过下面材料的学习、探究，会使你大开眼界，并获得成功的喜悦．例：用简便方法计算195×205.解：195×205＝(200－5)(200＋5)①＝2002－52②＝39975.(1)例题求解过程中，第②步变形是利用____________(填乘法公式的名称)；(2)用简便方法计算：①9×11×101×10 001；②(2＋1)(22＋1)(24＋1)…(232＋1)＋1.【答案】（1）平方差公式；（2）①999999；②264【分析】(1)、根据平方差公式可以进行简便计算；(2)、①、利用平方差公式来进行简便计算，将99转化成(100-1)，将101转化成(100+1)，从而得出答案；②、在式子的前面加上(2-1)，然后分别利用平方差公式进行简便计算．【解答】解：(1)、平方差公式；(2)①原式=99×101×10001=(100-1)×(100+1)×10001=9999×10001=(10000-1)×(10000+1)=10002-1=999999．②原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)⋯(232+1)+1=(22-1)(22+1)(24+1)⋯(232+1)+1=(24-1)(24+1)⋯(232+1)+1=⋯=264-1+1=264．2.【题文】用简便方法计算：20152－2014×2016【答案】1【分析】利用平方差公式将后面的进行简便计算，从而得出答案．【解答】解：原式．3.【题文】用简便方法计算：1002－992＋982－972＋…22－12【答案】5050【分析】分别将相邻的两个利用平方差公式进行简便计算，从而将原式转化为1到100的加法计算，从而得出答案．【解答】解：原式=(100+99)×(100-99)+(98+97)×(98-97)+…(2+1)×(2-1)=100+99+98+97+…2+1＝5050．4.【题文】小红家有一块L形菜地，要把L形菜地按如图所示分成面积相等的两个梯形种上不同的蔬菜．已知这两个梯形的上底都是a米，下底都是b米，高都是(b－a)米．(1)请你算一算，小红家的菜地面积共有多少平方米？(2)当a＝10，b＝30时，面积是多少平方米？【答案】（1）(b2－a2)平方米；（2）800平方米.【分析】（1）根据梯形的面积公式列出代数式，然后根据整式的乘法公式进行计算；（2）只需把字母的值代入（1），计算即可．【解答】解：(1)小红家的菜地面积共有：2××(a＋b)(b－a)＝(b2－a2)(平方米)．(2)当a＝10，b＝30时，面积为900－100＝800(平方米)．5.【题文】乘法公式的探究及应用．（1）如图1，可以求出阴影部分的面积是________（写成两数平方差的形式）；（2）如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，它的宽是________，长是________，面积是________（写成多项式乘法的形式）；（3）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式________（用式子表达）．【答案】（1）a2﹣b2；（2）a﹣b；a+b；（a﹣b）（a+b）；（3）（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2 .【分析】（1）利用面积公式：大正方形的面积-小正方形的面积=阴影面积；（2）利用矩形公式即可求解；（3）利用面积相等列出等式即可；【解答】解：（1）利用正方形的面积公式可知：阴影部分的面积=a2﹣b2；故答案为：a2﹣b2；（2）由图可知矩形的宽是a﹣b，长是a+b，所以面积是（a+b）（a﹣b），故答案为：a﹣b，a+b，（a+b）（a﹣b）；（3）（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2（等式两边交换位置也可）；故答案为：（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2.6.【题文】计算：．【答案】【分析】本题考查了多项式乘多项式及平方差公式. 与可用平方差公式相乘，然后再根据多项式的乘法法则把得到的结果与相乘即可.【解答】解：原式===．7.【题文】如图，郑某把一块边长为a m的正方形的土地租给李某种植，他对李某说：“我把你这块地的一边减少5 m，另一边增加5 m，继续租给你，你也没有吃亏，你看如何”.李某一听，觉得自己好像没有吃亏，就答应了.同学们，你们觉得李某有没有吃亏？请说明理由.【答案】李某吃亏了，理由见解析.【分析】计算阴影部分面积和原正方形面积作比较.【解答】解：李某吃亏了.理由如下：∵（a+5）（a-5）=a2-25＜a2，∴李某少种了25 m2地，李某吃亏了.8.【题文】先化简，再求值：（x+y）（x﹣y）﹣x（x+y）+2xy，其中x=（3﹣π）0，y=2．【答案】原式=xy﹣y2=-2.【分析】先把原多项式化简，再求得x=1，然后代入计算.【解答】解：（x+y）（x﹣y）﹣x（x+y）+2xy=x2﹣y2﹣x2﹣xy+2xy=xy﹣y2，∵x=（3﹣π）0=1，y=2，∴原式=2﹣4=﹣2．9.【题文】已知一个长方体的长为2a，宽也是2a，高为h.(1)用a 、h的代数式表示该长方体的体积与表面积.(2)当a=3，h=时，求相应长方体的体积与表面积.(3)在(2)的基础上，把长增加x，宽减少x，其中0＜x＜6，问长方体的体积是否发生变化，并说明理由.【答案】(1) 体积=4a h；表面积=8a+8ah ；(2)体积是18，表面积是84；(3)18-x＜18，体积缩小了.【分析】（1）根据长方体的体积与表面积公式进行计算即可；（2）把a，h代入（1）的关系式进行计算；（3）根据长方体的体积与表面积公式进行计算即可；【解答】解：（1）长方体体积=2a×2a×h=4a2h，长方体表面积=2×2a×2a+4×2ah=8a2+8ah；（2）当a=3，h=时，长方体体积=4×32×=18；长方体表面积=8×32+8×3×=84．（3）当长增加x，宽减少x时，长方体体积=×（6+x）（6-x）= ＜18，故长方体体积减小了．10.【题文】求30 ×29的值.【答案】899【分析】把原式变成（a-b）（a+b）的形式，符合平方差公式的结构，再利用平方差公式进行计算即可．【解答】解：原式==．11.【题文】计算9x-4y，当x=1，y=1时的结果【答案】5【分析】先逆用平方差公式，然后代入求值即可．【解答】解：9x-4y=（3x+2y）（3x-2y）当x=1，y=1时，原式=5×1=5．12.【题文】计算：【答案】【分析】两次运用平方差公式计算即可.【解答】解：13.【题文】小明化简（2x+1）（2x﹣1）﹣x（x+5）的过程如图，请指出他化简过程中的错误，写出对应的序号，并写出正确的化简过程．解：原式=2x2﹣1﹣x（x+5）…①=2x2﹣1﹣x2+5x…②=x2+5x﹣1 …③【答案】见解析.【分析】利用平方差公式和单项式乘多项式的计算法则去括号，然后合并同类项．【解答】解：①：4x2﹣1﹣x（x+5）．②：4x2﹣1﹣x2﹣5x．③：3x2﹣5x﹣1．14.【题文】利用公式计算：①103×97 ② 20152﹣2014×2016．【答案】①9991．②1.【分析】（1）把103看成是100+3，把97看成是100-3，根据平方差公式即可得出结果；（2）把2014看成是2015-1，把2016看成是2015+1，根据平方差公式计算后合并即可得出结果.【解答】解：原式 =（100+3）×（100﹣3）=1002﹣32=10000﹣9=9991② 20152﹣2014×2016．解:原式 =20152﹣（2015﹣1）×（2015+1）=20152﹣（20152﹣1）=20152﹣20152+1=115.【答题】如果（2a＋2b＋1）（2a＋2b－1）＝63，那么a＋b的值为______．【答案】±4【分析】根据平方差公式解答即可.【解答】∵（2a＋2b＋1）（2a＋2b－1）＝63，∴(2a+2b)2-1=63,∴(2a+2b)2=64,∴2a+2b=±8,∴a+b=±4.故答案为：±4.16.【答题】已知实数a，b满足a2－b2＝10，则(a＋b)3·(a－b)3的值是______．【答案】1000【分析】根据平方差公式解答即可.【解答】因为a2－b2＝10 ，所以(a＋b)3·(a－b)3=（a2－b2）3=1000.17.【答题】已知a+b=3,a-b=5,则代数式a2-b2的值是______【答案】15【分析】根据平方差公式解答即可.【解答】解：=（a+b）（a-b）=3×5=15．故答案为：15．18.【答题】计算：1.222×9－1.332×4＝______．【答案】6.32【分析】根据平方差公式解答即可.【解答】原式=（1.22×3）2-（1.33×2）2=3.662－2.662=（3.66+2.66）（3.66-2.66）=6.32．故答案是：6.32．19.【答题】已知x＋y＝5，x－y＝1，则代数式x2－y2的值是______．【答案】5【分析】根据平方差公式解答即可.【解答】x2− y2=(x+y)(x-y)，∵x+y=5，x－y＝1，∴x2− y2=(x+y)(x-y)=5×1=5，故答案为：5.20.【答题】计算：2017×1983______．【答案】3999711【分析】根据平方差公式解答即可. 【解答】解：2017×1983=。
北师大版七下数学1.5.2平方差公式教学设计
北师大版七下数学1.5.2平方差公式教学设计一. 教材分析平方差公式是北师大版七下数学1.5.2的内容，它是代数学习的重要基础，也是解决实际问题的重要工具。
本节内容通过平方差公式的学习，使学生能够理解和掌握平方差公式的推导过程和应用，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了有理数的乘法、完全平方公式等基础知识，但对于平方差公式的推导和应用还不够熟练。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，针对学生的实际情况进行教学设计和调整。
三. 教学目标1.理解平方差公式的推导过程。
2.掌握平方差公式的应用。
3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.平方差公式的推导过程。
2.平方差公式的应用。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究平方差公式的推导过程。
2.通过实例讲解，让学生理解平方差公式的应用。
3.采用小组合作学习的方式，培养学生的团队合作能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学PPT。
2.准备一些实际问题，用于引导学生应用平方差公式。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引导学生思考如何求解两个数的平方差。
例如：已知一个数的平方是16，另一个数的平方是25，求这两个数的平方差。
2.呈现（15分钟）呈现平方差公式的推导过程，引导学生理解平方差公式的由来。
通过讲解和示例，让学生掌握平方差公式的表达式。
3.操练（15分钟）让学生分组进行练习，运用平方差公式解决实际问题。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）针对学生的练习情况，进行讲解和巩固。
通过一些变式题目，让学生熟练掌握平方差公式的应用。
5.拓展（10分钟）引导学生思考平方差公式的推广和应用。
例如：已知两个数的和与差，如何求解这两个数的平方和与平方差。
6.小结（5分钟）对本节课的内容进行小结，强调平方差公式的推导过程和应用。
7.家庭作业（5分钟）布置一些有关平方差公式的练习题目，让学生巩固所学知识。
2022-2023学年北师大版七年级数学下册1
2022-2023学年北师大版七年级数学下册《1.5平方差公式》自主达标测试题（附答案）一．选择题（共7小题，满分35分）1．下列能用平方差公式计算的是（）A．（﹣x+y）（x+y）B．（﹣x+y）（x﹣y）C．（x+2）（2+x）D．（2x+3）（3x﹣2）2．（5a2+4b2）（）＝25a4﹣16b4，括号内应填（）A．5a2+4b2B．5a2﹣4b2C．﹣5a2﹣4b2D．﹣5a2+4b2 3．已知a+b＝10，a﹣b＝6，则a2﹣b2的值是（）A．12B．60C．﹣60D．﹣124．已知a﹣b＝2，则a2﹣b2﹣4b的值为（）A．4B．5C．6D．75．（﹣a+1）（a+1）（a2﹣1）等于（）A．a4﹣1B．﹣a4+1C．﹣a4+2a2﹣1D．1﹣a46．若，则下列a，b，c 的大小关系正确的是（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．a＜c＜b D．c＜b＜a7．如图，边长为（m+n）的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后余下部分又剪开拼成个长方形（不重叠无缝隙），若拼成的长方形一边长为n，则长方形的面积是（）A．2m+2n B．m+2n C．2m2+n D．2mn+n2二．填空题（共7小题，满分35分）8．已知m2﹣n2＝20，m+n＝5，则m﹣n＝．9．如果（x+y+1）（x+y﹣1）＝8，那么x+y的值为．10．计算：（1+2a）（1﹣2a）（1+4a2）＝．11．计算：20222﹣2021×2023＝．12．（3+2a）（﹣3+2a）＝．13．（1+2）（1+22）（1+24）（1+28）+1的结果是．14．如图，从边长为（a+b）的正方形纸片中剪去一个边长为（a﹣b）的正方形（a＞b＞0），剩余部分又沿虚线剪开拼成一个长方形（无重叠无缝隙），则此长方形的周长为．三．解答题（共6小题，满分50分）15．运用平方差公式计算：（a+3b）（a﹣3b）．16．计算：（﹣2+y）（y+2）﹣（y﹣1）（y+5）．17．计算：（x﹣2）（x+2）﹣6x（x﹣3）．18．探究与应用我们学习过（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1，那么（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）计算结果呢？完成下面的探究：（1）（x﹣1）（x2+x+1）＝；（2）（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝；……（3）（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）＝；应用：计算2+22+23+24+ (22022)19．探究如图①，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形（如图②所示），通过观察比较图②与图①中的阴影部分面积，可以得到乘法公式．（用含a，b的等式表示）应用：请应用这个公式完成下列各题：（1）已知4m2＝12+n2，2m+n＝4，则2m﹣n的值为．（2）计算：20222﹣2023×2021．拓展：（3）计算：1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12．20．从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．（1）上述操作能验证的等式是（请选择正确的一个）．A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）C．a2+ab＝a（a+b）（2）若x2﹣9y2＝12，x+3y＝4，求x﹣3y的值；（3）计算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）．参考答案一．选择题（共7小题，满分35分）1．解：∵（﹣x+y）（x+y）＝﹣（x+y）（x﹣y）；∴选项A符合题意；∵（﹣x+y）（x﹣y）＝﹣（x﹣y）（x﹣y）＝﹣（x﹣y）2，∴选项B不符合题意；∵（x+2）（2+x）＝（x+2）2，∴选项C不符合题意；∵（2x+3）（3x﹣2）不是（a+b）（a﹣b）的形式，∴选项D不符合题意，故选：A．2．解：∵（5a2+4b2）（5a2﹣4b2）＝25a4﹣16b4，∴括号内应填5a2﹣4b2，故选：B．3．解：∵（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，a+b＝10，a﹣b＝6，∴a2﹣b2＝10×6＝60，故选：B．4．解：∵a﹣b＝2，∴a2﹣b2﹣4b＝（a+b）（a﹣b）﹣4b＝2（a+b）﹣4b＝2a+2b﹣4b＝2（a﹣b）＝2×2＝4．故选：A．5．解：（﹣a+1）（a+1）（a2﹣1）＝﹣（a﹣1）（a+1）（a2﹣1）＝﹣（a2﹣1）2＝﹣（a4﹣2a2+1）＝﹣a4+2a2﹣1，故选：C．6．解：∵a＝20220＝1，b＝（2022+1）×（2022﹣1）﹣20222＝20222﹣1﹣20222＝﹣1，c＝（﹣×）2022×＝（﹣1）2022×＝，∴b＜a＜c，故选：A．7．解：由题意得，拼成的长方形的面积为：S大正方形﹣S小正方形＝（m+n）2﹣m2＝2mn+n2，故选：D．二．填空题（共7小题，满分35分）8．解：∵m2﹣n2＝20，∴（m+n）（m﹣n）＝20，∵m+n＝5，∴5（m﹣n）＝20，∴m﹣n＝4，故答案为：4．9．解：设x+y＝m，原方程变形为（m+1）（m﹣1）＝8，m2﹣1＝8，m2＝9，m＝±3，x+y±3，故答案为：±3．10．解：（1+2a）（1﹣2a）（1+4a2）＝（1﹣4a2）（1+4a2）＝1﹣16a4．故答案为：1﹣16a4．11．解：原式＝20222﹣（2022﹣1）×（2022+1）＝20222﹣20222+1＝1，故答案为：1．12．解：原式＝（2a）2﹣32＝4a2﹣9．故答案为：4a2﹣9．13．解：原式＝﹣（1﹣2）（1+2）（1+22）（1+24）（1+28）+1＝﹣（1﹣22）（1+22）（1+24）（1+28）+1＝﹣（1﹣24）（1+24）（1+28）+1＝﹣（1﹣28）（1+28）+1＝﹣（1﹣216）+1＝﹣1+216+1＝216．故答案为：216．14．解：由拼图可知，所拼成的长方形的长为a+b+（a﹣b）＝2a，宽为a+b﹣（a﹣b）＝2b，所以长方形的周长为（2a+2b）×2＝4a+4b，故答案为：4a+4b．三．解答题（共6小题，满分50分）15．解：（a+3b）（a﹣3b）＝a2﹣（3b）2＝a2﹣9b2．16．解：原式＝y2﹣4﹣（y2+5y﹣y﹣5）＝y2﹣4﹣y2﹣5y+y+5＝﹣4y+1．17．解：（x﹣2）（x+2）﹣6x（x﹣3）＝x2﹣4﹣6x2+18x＝﹣5x2+18x﹣4．18．解：（1）（x﹣1）（x2+x+1）＝x3+x2+x﹣x2﹣x﹣1＝x3﹣1，故答案为：x3﹣1；（2）（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4+x3+x2+x﹣x3﹣x2﹣x﹣1＝x4﹣1，故答案为：x4﹣1；（3）（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）＝x7+x6+x5+x4+x3+x2+x﹣x6﹣x5﹣x4﹣x3﹣x2﹣x﹣1＝x7﹣1，故答案为：x7﹣1；应用：∵（2﹣1）×（22022+22021+22020+ (1)＝22023﹣1，∴2+22+23+24+……+22022＝22023﹣2．19．解：【探究】图1中阴影部分面积a2﹣b2，图2中阴影部分面积（a+b）（a﹣b），所以，得到乘法公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2故答案为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．【应用】（1）由4m2＝12+n2得，4m2﹣n2＝12，∵（2m+n）•（2m﹣n）＝4m2﹣n2，∴2m﹣n＝3．故答案为：3．（2）20222﹣2023×2021．＝20222﹣（2022+1）×（2022﹣1）＝20222﹣（20222﹣1）＝20222﹣20222+1＝1；【拓展】1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12＝（100+99）×（100﹣99）+（98+97）×（98﹣97）+…+（4+3）×（4﹣3）+（2+1）×（2﹣1）＝199+195+…+7+3＝5050．20．解：（1）根据题意，由图1可得，阴影部分的面积为：a2﹣b2，由图2可得，拼成的长方形长为a+b，宽为a﹣b，面积为（a+b）（a﹣b），所以a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．故选：B．（2）∵x2﹣9y2＝（x+3y）（x﹣3y）＝12，∵x+3y＝4∴x﹣3y＝3（3）＝＝＝．。
北师大数学七年级下册第一单元1.5平方差公式
乘法公式一平方差公式知识点1 平方差公式22+-=-a b a b a b()()平方差公式的特点：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.在利用平方差公式进行计算时，先判断式子能否利用平方差公式计算，如果可以，再根据22+-=-进行乘法计算．a b a b a b()()【典例】例1下列各式，不能用平方差公式计算的是（）A．（a+b﹣1）（a﹣b+1）B．（﹣a﹣b）（﹣a+b）C．（a+b2）（b2﹣a）D．（2x+y）（﹣2x﹣y）【方法总结】本题考查了平方差公式，能熟记平方差公式是解题的关键，注意：平方差公式是（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．例2若a2﹣b2＝10，a﹣b＝2，则a+b的值为（）A．5B．2C．10D．无法计算【方法总结】本题考查了平方差公式，运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．例3计算：（3x+2）（3x﹣2）+x（x﹣2）．【方法总结】本题考查平方差公式、单项式乘多项式，掌握运算法则和公式是解题的关键．例4课堂上，老师让同学们计算（3a﹣b）（3a+b）﹣a（4a﹣1）．（3a﹣b）（3a+b）﹣a（4a﹣1）＝3a2﹣b2﹣4a2﹣a＝﹣a2﹣b2﹣a左边是小朱的解题过程．请你判断其是否正确？如果有错误，请写出正确的解题过程．【方法总结】本题考查平方差公式，单项式乘多项式，以及整式的加减，掌握平方差公式的结构特征以及去括号、合并同类项是得出正确答案的前提．【随堂练习】1．下列各式中，能用平方差公式计算的是（）A．（a+b）（﹣a﹣b）B．（a+b）（a﹣b）C．（a+b）（a﹣d）D．（a+b）（2a﹣b）2．若a2﹣b2＝﹣，a+b＝﹣，则a﹣b的值为．3．化简：（1﹣2m）（2m+1）﹣（3+4m）（6﹣m）．知识点2 利用平方差公式进行数的运算在一些计算中，有时利用平方差公式，会使计算量大大减少；例如98×102，可以利用平方差公式化成98×102=（100-2）×（100+2）=100²-2²=9996．【典例】例1用乘法公式计算：100×99．【方法总结】本题主要考查平方差公式，熟练掌握平方差公式是解决本题的关键．例2计算：20092﹣2010×2008；【方法总结】本题考查了多项式乘多项式、平方差公式，熟记多项式乘多项式的运算法则、平方差公式是解题的关键．【随堂练习】1．利用公式计算：101×99﹣9722．用乘法公式简算：（1）199×201；（2）20132﹣2014×2012．知识点3 平方差公式—几何背景平方差公式的证明方法有很多种，其中几何法证明是最常见的一种，也是初中阶段最容易理解的一种．【典例】例1为庆祝中国共产党的百年华诞，某校要进行美化校园，各班同学设计热爱祖国的板报．八年一班学生在设计板报时，在黑板中间画一个半径为R的大圆，然后挖去半径为r的四个小圆，分别作为热爱中国共产党、热爱人民、认同中华文化和继承革命传统四个学习区域．请计算当R＝7.8cm，r＝1.1cm时剩余部分的面积．（结果保留π）【方法总结】此题考查了利用平方差公式几何背景解决实际问题的能力，关键是能根据图形准确列式并运用平方差公式进行解决．例2将边长为a的正方形的左上角剪掉一个边长为b的正方形（如图1），将剩下部分按照虚线分割成①和②两部分，将①和②两部分拼成一个长方形（如图2），解答下列问题：（1）设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2，请用含a，b的式子表示：S1＝，S2＝；（不必化简）（2）由（1）中的结果可以验证的乘法公式是；（3）利用（2）中得到的公式，计算：20212﹣2020×2022．【方法总结】此题考查了平方差公式几何背景的应用能力，关键是能根据图形准确列式验证平方差公式，并能利用所验证公式解决相关问题．【随堂练习】1．如图所示，有一个狡猾的地主，把一块边长为a米的正方形土地租给马老汉栽种．过了一年，他对马老汉说：“我把你这块地的一边减少5米，另一边增加5米，继续租给你，你也没吃亏，你看如何？”马老汉一听，觉得好像没吃亏，就答应了．同学们，你们觉得马老汉有没有吃亏？请说明理由．2．学校有一块边长为（2a+b）米的正方形草坪，经统一规化后，南北方向要缩短2b米，而东西方向要加长2b米，请回答下列问题：（1）改造后的长方形草坪的面积是多少平方米？（2）改造后的长方形草坪的面积比改造前的面积增加了还是减少了？增加或减少了多少平方米？3．（1）如图1所示，若大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，则阴影部分的面积是；若将图1中的阴影部分裁剪下来，重新拼成如图2所示的一个长方形，则它的面积是；（2）由（1）可以得到一个公式：；（3）利用你得到的公式计算：20212﹣2022×2020．综合运用1．下列算式中不能利用平方差公式计算的是（）A．（x+y）（x﹣y）B．（x﹣y）（﹣x﹣y）C．（x﹣y）（﹣x+y）D．（x+y）（y﹣x）2．计算：（x﹣2）（x+2）﹣6x（x﹣3）+5x2．3．用乘法公式计算：99×101．4．利用公式计算：20152﹣2014×2016．5．利用乘法公式计算：①计算：（2+1）•（22+1）•（24+1）•（28+1）；②计算：（3+1）•（32+1）•（34+1）•（38+1）；③计算：1002﹣992+982﹣972+…+22﹣12．6．探究下面的问题：（1）如图甲，在边长为a的正方形中去掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成如图乙的一个长方形，通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，这个等式是（用式子表示），即乘法公式中的公式．（2）运用你所得到的公式计算：①10.3×9.7；②（x+2y﹣3z）（x﹣2y﹣3z）．7．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．（1）上述操作能验证的等式是．（请选择正确的一个）A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B．a2+ab＝a（a+b）C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）（2）运用你从（1）中选出的等式，完成下列各题：①已知9x2﹣4y2＝18，3x﹣2y＝3．求3x+2y的值．②计算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）。
北师大数学七下《平方差公式》同课异构教案 (7)
《1.5 平方差公式（一）》 三维目标：1. 知识与技能目标：经历探索平方差公式的过程．会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算．2. 数学思考目标：经历平方差公式的探索过程，进一步发展学生的符号感和推理能力、归纳能力.3. 问题解决目标：掌握平方差公式的结构特征，能运用公式进行简单的运算.4. 情感态度目标：通过自主探究与合作交流的学习方式，让学生经历探索新知、巩固新知和拓展新知这一过程，发挥学生的主体作用，增强学生学数学、用数学的兴趣.批 注 重点难点：教学重点：经历探索平方差公式的全过程，并能运用公式进行简单的运算.教学难点：理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式.教具准备：教学方法：教 学 过 程教学环节设计：一、做一做，探索平方差公式计算下列各题：（1）( x + 2 ) ( x - 2 )； （2）( 1 + 3 a ) ( 1 - 3 a )；（3）( x + 5 y ) ( x - 5 y )； （4）( 2 y + z ) ( 2 y - z )．1、学生独立完成，再集体订正答案.2、观察以上算式及其运算结果，你有什么发现？再举两例验证你的发现．学生思考，小组讨论；鼓励学生归纳发现的规律，用算式表示，并用自己的语言进行描述.3、教师明晰平方差公式：( a + b ) ( a - b ) = a 2 - b 2．即：两数和与这两数差的积，等于它们的平方差．二、例题教学例1、利用平方差公式计算：（1）( 5 + 6 x ) ( 5 - 6 x )； （2）( x - 2 y ) ( x + 2 y )；（3）( - m + n ) ( - m - n )．例2、利用平方差公式计算：（1）( - 41x - y ) ( -41x + y )； （2）( ab + 8 ) ( a b - 8 )． 例题教学时，注意公式的正确运用.三、想一想( a - b ) ( - a - b ) = ？你是怎样做的？学生讨论、交流，进一步明确公式中的a 、b 分别表示什么.四、练一练教材：随堂练习五、课堂小结1、平方差公式是什么?2、运用公式进行计算时应该注意:①公式的字母a、b可以表示数，也可以表示单项式、多项式；②要符合公式的结构特征才能运用平方差公式；六、作业布置教材：习题1.9教学反思：本资源的初衷，是希望通过网络分享，能够为广大读者提供更好的服务，为您水平的提高提供坚强的动力和保证。
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整式的乘除
5 平方差公式（第1课时）
知识回顾
1、多项式乘多项式法则 多项式与多项式相乘，先用一个多项式 的每一项乘另一个多项式的每一项，再 把所得的积相加
（m+b)(n+a)=mn+ma+bn+ba
2、两项式乘以两项式，结果可能是两项吗？ 请你举例说明。
探究规律
计算下列各题：
（1）(x+2)(x－2)
（2）(1+3a)(1－3a)
（3）(x+5y)(x－5y)
（4）(2y+z)(2y－z)
观察以上算式及其运算结果， 平方差公式： (a+b)(a−b)＝a2 你有什么发现？ −b2 再举两例验证你的发现。 两数和与这两数差的积，
等于它们的平方差。
练一练
判断下面计算是否正确
× （1） ( x 1)( x 1) = x 1 （ ）
2
1
1
1
2
2
2
× （2）(3x－y)(－3x+y)=9x2－y2 （ ） （3）(m+n)(－m－n)=m2－n2 × （ )
例1
利用平方差公式计算： （1）(5+6x)(5－6x)
（2）(x－2y)(x+2y)
（3）(－m+n)(－m－n)
练一练
利用平方差公式计算：
（1） (a+2)(a－2)
分享你的收获， 交流你的困惑。
作业
1. 必做题：教材习题1.9 2. 选做题： 你能用图形来验证平方差公式吗？
想一想
(a−b)(−a−b)=？你是怎样做的？
计算 1、 (5m－n)(－5m－n)
2、 (a+b)(a－b)(a2+b2)
自我检测
利用平方差公式计算：
（1）(－x－1)(1－x)
（2）(0.3x+2y)(0.3x－2y) （3）( x ) ( x ) ( x )
2
1
1
1
2
2
4
课堂小结
（2）(3a+2b)(3a－2b)
例2
利用平方差公式计算： （1） ( x y ) ( x y )
4 4 1 1
（2）(ab+8)(ab－8)
练一练
利用平方差公式计算： （1） ( x 1 y )( x 1 y )
3பைடு நூலகம்3
（2）(－mn+3)(－mn－3)
（3） （－4k+3)(－ 4k － 3)