正交各向异性单向板强准则
06 构造正交异性桥面板分析
y
b
/
2
0
w( x,
y)
m1
Am
ch
my
l
Bm
my sh my
l
l
Cm
s
h
my
l
Dm
my
l
ch
my
l
fm ( y)sin
mx
l
正交材料异性板理论
取与各向同性板相同的坐标系，坐标轴x y、 平行于弹性主
方向，材料各方向的物理常数用带坐标下标表示，则其弯曲平衡微
E b
2w x 2
h0
(z
zx0 )2 b0dz
Dx
2w x 2
Dx1
2w y 2
Dx
2 i 1
D0i
E1ti
z
2 xi
E b
Ib0
Ab0
z
2 x0
2
2
D
x1
E1
i 1
I0i ti zxi z yi
各向同性板理论
(1)基本理论
同
性
薄
板
D Et3
12(1 2 )
众所周知的各向同 性薄板弯曲平衡微分方
4w 2
4w
4w q(x, y) / D
程为[1]（图）
x4 x2y 2 x4
M x
D
2w x 2
2w y 2
弯矩、剪力
t2 (z z x2 ) (z z y2 ) (z z y2 )dz
压型钢板等效为正交各向异性板的有限元分析
０ ． ８ １ ２ Ｅ· Ｅ ｆ ｔ·熿 Ｉ １－ ５ ｔ ２ ＝ １＋ ｄ ２ ８ ｄ 燀
（ ）燅
（ ） ２ ｂ
２
燄
３ ｄ· Ｅ · ｄ · Ｅ ·ｔ （ ） Ｉ ２ ｃ １ ＝ ｓ １－μ ｓ １－μ １ ２ 式中 ： Ｅ、 ｔ为 μ 分别 为 薄 板 的 弹 性 模 量 和 泊 松 比 ； 薄板的厚度 ； ｄ 和ｓ 分别为正 ｆ 为正弦曲线的高度 ；
压型钢板 受 力 蒙 皮 作 用 的 研 究 随 着 轻 钢 目前 ， 结构在我国的广泛应用 ， 日益受到国内学者的重视 。 由于压型钢板是由平板压制而成 ， 压制后 ， 板的两个 方向的弹性模量和泊松比有很大差别 。 在对其进行 可以将压型钢板的每个波都离散为 有限元分析时 ， 足够小的各向同性 单 元 ， 这是比较传统的有限元分 析方法 。 但该方 法 在 进 行 有 限 元 建 模 时 相 当 麻 烦 ， 划分的单元相对也 多 ， 势必在实际的工程分析中费 费力 ， 所需要的计算机内存也大 ， 因此 ， 不少学者 时、 开始研究更加有效和方便的方法 。 其中将压型钢板 等效为正交各向异性平板的方法就克服了因划分单 元太多而带来的弊端 。 本文对压型钢板的正交各向 异性等效板进行分 析 ， 并对真实压型钢板和等效后 的正交异性板 进 行 ＡＮ 研究 Ｓ Ｙ Ｓ 有 限 元 分 析 比 较， 压型钢板等效为正交各向异性板的可行性 。 １ 压型钢板的正交异性等效 简化后的等效正交各向异性平板单元的弹性矩
பைடு நூலகம்
Ｆ Ｉ Ｎ Ｉ Ｔ Ｅ Ｅ Ｌ ＥＭＥ Ｎ Ｔ Ａ Ｎ Ａ Ｌ Ｙ Ｓ Ｉ Ｓ Ｏ Ｆ Ｔ Ｈ Ｅ Ｃ Ｏ Ｒ Ｒ Ｕ Ｇ Ａ Ｔ Ｅ Ｄ Ｓ Ｔ Ｅ Ｅ Ｌ Ｓ Ｈ Ｅ Ｅ Ｔ Ｅ Ｕ Ａ Ｔ Ｅ Ｄ Ｔ Ｏ Ｏ Ｒ Ｔ Ｈ Ｏ Ｔ Ｒ Ｏ Ｐ Ｉ Ｃ Ｐ Ｌ Ａ Ｔ Ｅ Ｑ
各向同性、各向异性
各向同性、各向异性理解1、orthotropic和anis otrop ic的区别isotro pic各向同性orthot ropic正交各向异性的anisot ropic各向异性的uniaxi al单轴的我只说一下o rthotropic和anis otropi c的区别:orthot ropic主要是材料在不同垂直方向上有着不同的物理性质和参数,意思就是如果处在同一个角度的平面上,那么同平面的材料是具有着相同的物理性质的.anisot ropic则是完全有方向角度决定的物理参数,只要方向有不同,物理性质则完全不同.2、各向同性和各向异性物理性质可以在不同的方向进行测量。
如果各个方向的测量结果是相同的,说明其物理性质与取向无关,就称为各向同性。
如果物理性质和取向密切相关，不同取向的测量结果迥异，就称为各向异性。
造成这种差别的内在因素是材料结构的对称性。
在气体、液体或非晶态固体中，原子排列是混乱的,因而就各个方向而言,统计结果是等同的，所以其物理性质必然是各向同性的。
而晶体中原子具有规则排列，结构上等同的方向只限于晶体对称性所决定的某些特定方向。
所以一般而言，物理性质是各向异性的。
例如，α－铁的磁化难易方向如图所示。
铁的弹性模量沿[111]最大(7700kgf/mm),沿[100]最小(6400kg f/mm)。
对称性较低的晶体（如水晶、方解石）沿空间不同方向有不同的折射率。
而非晶体(过冷液体)，其折射率和弹性模量则是各向同性的。
晶体的对称性很高时，某些物理性质(例如电导率等)会转变成各向同性。
当物体是由许多位向紊乱无章的小单晶组成时，其表观物理性质是各向同性的。
一般合金的强度就利用了这一点。
倘若由于特殊加工使多晶体中的小单晶沿特定位向排列（例如金属的形变“织构”、定向生长的两相晶体混合物等），则虽然是多晶体其性能也会呈现各向异性。
复合材料结构与力学设计复结习题(本科生)
《复合材料结构设计》习题§1 绪论1.1 什么是复合材料？1.2 复合材料如何分类？1.3 复合材料中主要的增强材料有哪些？1.4 复合材料中主要的基体材料有哪些？1.5 纤维复合材料力学性能的特点哪些？1.6 复合材料结构设计有何特点？1.7 根据复合材料力学性能的特点在复合材料结构设计时应特别注意到哪些问题?§2 纤维、树脂的基本力学性能2.1 玻璃纤维的主要种类及其它们的主要成分的特点是什么？2.2 玻璃纤维的主要制品有哪些？玻璃纤维纱和织物规格的表示单位是什么？2.3 有一玻璃纤维纱的规格为2400tex，求该纱的横截面积（取玻璃纤维的密度为2.54g/cm3）？2.4 有一玻璃纤维短切毡其规格为450 g/m2，求该毡的厚度（取玻璃纤维的密度为2.54g/cm3）？2.5 无碱玻璃纤维（E-glass）的拉伸弹性模量、拉伸强度及断裂伸长率的大致值是多少？2.6 碳纤维T-300的拉伸弹性模量、拉伸强度及断裂伸长率的大致值是多少？密度为多少？2.7 芳纶纤维（kevlar纤维）的拉伸弹性模量、拉伸强度及断裂伸长率的大致值是多少？密度为多少？2.8 常用热固性树脂有哪几种？它们的拉伸弹性模量、拉伸强度的大致值是多少？密度为多少？热变形温度值大致值多少？2.9 简述单向纤维复合材料抗拉弹性模量、抗拉强度的估算方法。
2.10 试比较玻璃纤维、碳纤维单向复合材料顺纤维方向拉压弹性模量和强度值，指出其特点。
2.11 简述温度、湿度、大气、腐蚀质对复合材料性能的影响。
2.12 如何确定复合材料的线膨胀系数？2.13已知玻璃纤维密度为ρf=2.54g/cm3，树脂密度为ρR=1.20g/cm3，采用规格为450 g/m2的玻璃纤维短切毡制作内衬时，其树脂含量为70％，这样制作一层其GFRP的厚度为多少?2.14 采用2400Tex的玻璃纤维（ρf=2.54g/cm3）制造管道，其树脂含量为35％（ρR=1.20g/cm3），缠绕密度为3股/10 mm，试求缠绕层单层厚度?2.15 试估算上题中单层板顺纤维方向和垂直纤维方向的抗拉弹性模量和抗拉强度。
正交各向异性孔板的材料参数识别
二维正交各向异性材料及其结构 材料参数识别的算法
如果正交各向异性材料平面结构的材料主轴
能从中切出一个试件，进行参数测定。随着计算机 技术的飞速发展，采用数值—实验反分析方法进行 正交各向异性材料性能参数的识别引起人们的广 泛关注。由于参数识别问题是非线性的，在迭代求 解时，导致计算工作量很大。边界元法有其独到的 长处： (1) 整个问题降维，网格划分仅在边界上。 象孔板这样几何形状发生突变的结构，会出现应力 集中现象，用边界元法计算分析，计算工作量小的 优势比较明显； (2) 精度高； (3) 域内点的位移和应 力可按需计算。因此，对于仅需布置若干个测点和 需要迭代计算的参数识别问题，边界元法是很有利 的。 本文以优化技术和边界元分析为基础，识别正 交各向异性孔板的材料参数。选择孔板结构的位移 为目标变量，以测量位移与边界元计算相应的位移 之 差 的 平 方 和 作 为 目 标 函 数 。 采 用 Levenberg-Marquardt 方法极小化目标函数，迭代计 算得出材料参数。优化计算中，基于离散的边界元 代数矩阵方程对识别的材料参数求导，计算得出灵 敏度。算例表明本文提出的方法是有效的。
∂hij ∂s m = ˆ ∂h = ij kl ∂x m
∗ ∂t kl
b
i, j = 1,2, L , n
(11)
用 Levenberg-Marquardt 方法可以得到一系列 的迭代步。当给定的某种收敛准则满足时，迭代即 终止。第 k 次迭代的材料参数值可以由下列方程计 算 [ J ( s ( k ) ) T J ( s ( k ) ) + µ ( k ) I ]ä ( k ) = − J ( s ( k ) ) T f ( s ( k ) ) (17)
正交各向异性薄板理论的新正交关系及其变分原理
中国科学G辑物理学力学天文学 2005, 35(1): 79~86 79正交各向异性薄板理论的新正交关系及其变分原理*罗建辉①**龙驭球②刘光栋①(①湖南大学土木工程学院, 长沙 410082; ②清华大学土木系, 北京 100084)摘要利用平面弹性问题与板弯曲问题的相似性理论, 将弹性力学新正交关系中构造对偶向量的思路推广到正交各向异性薄板弹性弯曲问题. 由混合变量求解法直接得到对偶微分方程. 所导出的对偶微分矩阵具有主对角子矩阵为零矩阵的特点. 发现了2个独立的、对称的正交关系. 利用正交各向异性薄板弹性弯曲理论的积分形式证明了这种正交关系. 在恰当选择对偶向量后, 弹性力学的新正交关系可以推广到正交各向异性薄板弹性弯曲理论. 利用积分形式导出了与微分形式对应的变分原理并提出了一个完整的泛函表达式.关键词弹性力学薄板理论对偶向量正交关系正交各向异性变分原理将Hamilton体系导入弹性力学求解, 钟万勰建立了弹性力学求解辛体系并提出了辛正交关系[1,2]. 对于二维弹性力学问题, 罗建辉等将原来的对偶向量[1]进行重新排序后, 提出了一种新的对偶向量和对偶微分矩阵[3]. 对于各向同性材料, 发现辛正交关系可以分解为2个独立的、对称的子正交关系, 新的正交关系包含辛正交关系[3]. 罗建辉等将新正交关系推广到各向同性三维弹性力学[4]和有一个方向材料正交的各向异性三维弹性力学[5]. 在弹性力学的求解体系中, 薄板和厚板弯曲理论的求解体系的研究也一直受到关注. 姚伟岸等研究了Reissner板弯曲的辛求解体系并提出了辛正交关系[6]. 罗建辉等采用与文献[6]排序不同的对偶变量, 导出了厚板弯曲的对偶求解体系[7]. 新正交关系被推广到厚板弯曲理论, 并从厚板势能原理出发, 采用换元乘子法导出了厚板Hamilton变分原理的能量泛2004-07-01收稿, 2004-12-20收修改稿*国家自然科学基金(批准号: 10272063)、教育部高等学校博士点基金(批准号: 20020003044)、清华大学基础研究基金(批准号: JC2002003)、高等学校全国优秀博士论文作者专项基金(批准号: 200242)资助项目** E-mali: luojianhui@80 中国科学 G 辑 物理学 力学 天文学 第35卷函.按照一般的思路, 厚板理论的子正交关系退化到薄板理论, 可以导出薄板理论的新正交关系. 但经过我们的研究发现, 直接退化的薄板理论正交关系并不成立. 产生这个结论的原因是显而易见的. 因为当厚板理论的对偶向量退化到薄板理论后, 对偶向量中的横向剪力不是独立的变量. 所以有必要对薄板理论对偶向量的选择和正交关系等问题进行研究. 钟万勰等提出了弯矩函数的概念, 建立了平面弹性问题与板弯曲问题的相似性理论, 构造了与传统对偶变量不同的对偶向量, 研究了各向同性薄板弯曲的求解辛体系并提出了辛正交关系[8]. 岑松等采用与文献[8]不同的对偶变量, 避免了相似性原理, 建立了薄板弯曲的对偶微分方程以及相应的变分原理泛函表达式[9]. 姚伟岸等基于相似性原理, 研究了正交各向异性薄板弯曲求解辛体系并提出了辛正交关系[10]. 但文献[10]建立的泛函表达式不完整, 没有包含与边界条件有关的项. 利用平面弹性问题与板弯曲问题的相似性理论, 罗建辉等将弹性力学的新正交关系推广到各向同性薄板弹性弯曲理论[11], 薄板弯曲的辛正交关系[8]分解为2个独立的、对称的子正交关系.本文将文献[3]构造对偶向量的思路应用于正交各向异性薄板弹性弯曲问题, 对文献[8]提出的对偶向量重新排序后, 提出了新的对偶向量, 建立了对应的对偶微分方程. 对偶微分矩阵的主对角子矩阵是零矩阵. 由于对偶微分矩阵的这一特点, 发现了辛正交关系[10]可以分解为2个独立的、对称的子正交关系. 文中从弹性力学求解体系的积分形式[12]出发, 证明了新正交关系的成立. 利用一种建立变分原理的新方法[12], 基于对偶微分方程和边界条件, 推导了对应的变分原理, 提出了一个包含边界条件的完整泛函表达式. 本文的研究表明, 在恰当选择对偶向量后, 弹性力学的新正交关系可以推广到正交各向异性薄板弹性弯曲理论.1 对偶向量和对偶微分方程矩形薄板的坐标如图1所示. 为了便于与文献[10]进行对比, 下文中有关的符号定义见文献[10, 13].曲率——挠度的关系是22222, ,.x y xy w w w x y x y∂∂∂===−∂∂∂∂κκκ (1)平衡微分方程为2222220xy y x M M M q x yxy∂∂∂−++=∂∂∂∂. (2)横向荷载q 的作用可以通过特解得到处理. 所以这里只考虑当q = 0时图1 矩形薄板第1期 罗建辉等: 正交各向异性薄板理论的新正交关系及其变分原理 81(2)式的齐次方程.正交各向异性板的物理方程为1112122266,,2y y x x y x xy xy M D D M D D M D =+=+=κκκκκ.(3)引用弯矩函数[10] ψx 和ψy , 弯矩与弯矩函数的关系为,,2y yx x y x xy M M M x y y x∂∂∂∂===+∂∂∂∂ψψψψ. (4) 容易看出(2)式的齐次方程已被满足. 若以对偶变量[10]T []x y y xy =νψψκκ (5)为基本变量, 则要由(1)式消去w 得变形协调方程为0,0y xy xy xxyxy∂∂∂∂+=+=∂∂∂∂κκκκ. (6) 将(4)代入(3)式可得 2121211662222,y y x x y xy D D D D x D y D x y∂∂⎛⎞∂∂=+−+=⎜⎟⎜⎟∂∂∂∂⎝⎠ψψψψκκ, (7)1222221y x y D D y D ∂=−∂ψκκ. (8)按文献[3]选取对偶向量的原则, 令新的对偶向量为 TT T[],b d =ννν (9)T T [],[].b x xy d y y ==ψκκψνν (10)由(6), (7)式得对偶微分方程为,=v Lv (11)式中,x⎡⎤∂==⎢⎥∂⎣⎦0B νL νD 0&, (12)2121211222221266222220,1D D D D D y y D D y D yD y ⎡⎤∂∂⎡⎤−−⎢⎥⎢⎥∂∂⎢⎥⎢⎥==⎢⎥∂⎢⎥∂∂−⎢⎥−⎢⎥∂∂⎣⎦∂⎢⎥⎣⎦B D . (13) 其他变量可由(1), (4)和(8)式得到. v b , v b 的分量以混合形式出现. 与文献[10]的H 矩阵比较, 由新对偶向量导出的L 矩阵的特点是其主对角子矩阵为零矩阵. 利用L 矩阵的这一特点, (11)式可以表示为,b d d b ==&&v Bv vDv . (14) 采用分离变量法求解, 设82 中国科学 G 辑 物理学 力学 天文学 第35卷()exp()y x =λv ψ, (15)式中λ是特征值, ψ是特征函数向量. 对应于新对偶向量, T T T[]b d =ψψψ. 由(14)式得,d b b d ==λλB ψψD ψψ. (16)2 一种新的正交关系定义11001⎡⎤=⎢⎥−⎣⎦J . (17) 对于任意的对偶变量v 和v *, 可以验证(18)~(21)式为恒等式.T1()*y***x d byxy xy y x x x∂∂∂=+−∂∂∂ψψκκκψv J v &, (18)2T1212111112222221+ 1 (),*y y ***d dy y y y *y y *x y D D D D D D y y D y y y⎛⎞∂∂⎛⎞⎜⎟=−+⎜⎟⎜⎟⎜⎟∂∂⎝⎠⎝⎠∂∂∂−+∂∂∂ψψκκκκψψκψv J Bv(19)T 1()*y ***xb dy xy y x x x x∂∂∂=−−+∂∂∂ψψκκκψv J v &, (20)T166()*****xx b bxyxy xy xy xy x D y y y∂∂∂=+−−∂∂∂ψψκκκκκψv J Dv . (21) 考虑图1所示矩形薄板, 在边界y = 0和y = b 处, 满足下列边界条件0x =κ或0y =ψ, (22)=0xy κ或0x =ψ. (23)由(19)和(21)式得T T 11()()****d d d d x y x y y y ∂∂−=−∂∂κψκψv J Bv v J Bv , (24)T T 11()+()****b b b b xy x xy x y y∂∂−=−∂∂κψκψv J Dv v J Dv . (25) 对(24)和(25)式积分得T T 110()()()bb b****d d d d x y x y dy −=−∫κψκψv J Bv v J Bv , (26)T T 11000()()()bb b****b b b b xy x xy x dy −=−∫κψκψv J Dv v J Dv . (27)第1期 罗建辉等: 正交各向异性薄板理论的新正交关系及其变分原理 83利用(14)和(22), (23)式, 由(26), (27)式分别得T T 11,,,,**d b d b 〈〉=〈〉v J v v J v &&, (28)T T 11,,,,**b d b d 〈〉=〈〉v J v v J v &&. (29)其中定义了运算110,,d by 〈〉=∫v J u vJ u . (30)由(15)式得,b b d d ==λλ&&vv vv , (31)******,b b d d ==λλ&&v v v v .(32)将(31), (32)式代入(28), (29)式得 T T11, , , , 0***d b d b 〈〉−〈〉=λλv J v v J v , (33)T T 11, , , , 0***d b d b −〈〉+〈〉=λλv J v v J v . (34)对于特征根λ和λ*, 若λ2−λ∗2 ⎯0, 由(33)和(34)式得T T11, , 0,, , 0**d b d b 〈〉=〈〉=v J v v J v . (35)以(15)代入(35)式得()T()T11e , ,0,e , ,0**x*x*d b d b λλλλ++〈〉=〈〉=ψJ ψψJ ψ. (36)由()e 0*x+≠λλ得新的正交关系TT11, ,0,, , 0**d b d b 〈〉=〈〉=ψJ ψψJ ψ. (37)由(37)式可得辛正交关系[10]T T11, , , , **d b d b J J 〈〉=〈〉ψψψψ. (38)对于正交各向异性薄板弯曲问题, 新的正交关系(37)式包含辛正交关系(38)式.3 混合变分原理对于对偶微分方程(14), 建立相应的变分原理是必要的. 下面将从微分形式出发, 利用积分形式[12]导出了与微分形式对应的变分原理.对于一般的曲线边界S , 边界条件为=0, 0s s n n −−=ψψψψ(在边界S ψ上), (39)=0, 0ns ns s s −−=κκκκ(在边界S κ上).(40)设对偶变量v *为任意对偶变量, 若对偶变量v 满足对偶微分方程(14)和边界条件(39), (40), 则()0*F ,=v v , (41)84 中国科学 G 辑 物理学 力学 天文学 第35卷T T11()[()()]d d [()()]d [()()]d .***d b d b d b A**n n s s s ns S **s ns ns n s s S F ,x y s s =−−−−−+−−−+−∫∫∫∫ψκψψκψψκψκκψκκv v v J v Bv v J v Dv &&(42)将(18)~(21)式代入(42)式得211121122122222()[ 1(+)21 +2**y y *****x xy y xy xy y y y y A***y yy y y y*y yD D F ,x x x x D D D D y y D y y y y ψψψψκκκκκκκκψψψψψψκκ∂∂⎛⎞∂∂=+++−−⎜⎟⎜⎟∂∂∂∂⎝⎠⎛⎞⎛⎞∂∂∂∂∂∂⎜⎟⎜⎟−++⎜⎟⎜⎟∂∂∂∂∂∂⎝⎠⎝⎠∫∫v v66()2()()]d d [()()]d [()()]d .****x xxy xy xy xy xy xy ****xy y y x x y xy x **n n ss s ns S **s ns ns n s s S D y y x yx y ss ψκψψκκκκκκκψκψκψκψψψκψψκψκκψκκ∂∂−+++∂∂∂∂−+−+∂∂−−+−−−+−∫∫ (43)为简单起见, 限定边界为直线段. 利用Green 公式, 得()+()d d [()()]d()d .****xy y y x x y xy x A ****xy y y x x y xy x S**n s s ns Sx y x y l m ss κψκψκψκψκψκψκψκψψκψκ⎡⎤∂∂++⎢⎥∂∂⎣⎦=+++=+∫∫∫∫(44)利用(44), (43)式化为12222661112112222()[+1(+)()221]2***y y y y ****x x y y xy xy y yA ****y y y y xy xy xy xy ***y y y y *x xxy xy D F ,x x x x D y y D D D D D D y yy y y y ψψψψψψκκκκκκκκκκκκκκψψψψψψκκ⎛⎞∂∂∂∂∂∂⎜⎟=+++−⎜⎟∂∂∂∂∂∂⎝⎠⎛⎞−−−+⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎛⎞∂∂∂∂∂∂⎜⎟++++⎜⎟∂∂∂∂∂∂⎝⎠∫∫v v d d [()()]d ******n s n s n s s ns s ns s ns S x y s ψψκψκψκψκψκψκ−+−++−∫第1期 罗建辉等: 正交各向异性薄板理论的新正交关系及其变分原理 85()d .**s ns n s S s κψκψκ−+∫(45) 因为v 也包含在v *之中, 由(41)式得()0.F ,=v v (46)引入变分δ v = v *−v , 由(41)减(46)式得()()0*F ,F ,−=v v v v ,即21112121122226622 1(+)+21 ()22y y x x y y xy xy A y y y y y y y y y y y yxy xy xy xy x x x x D D D D D D y y D D y yy y ψδψψδψδκκδκκψδψδκκκδκδκκδψψψδψδκκκδκ∂∂∂∂⎡+++⎢∂∂∂∂⎣∂∂⎛⎞⎛⎞−−−⎜⎟⎜⎟⎜⎟∂∂⎝⎠⎝⎠∂∂∂∂⎛⎞++−+⎜⎟∂∂∂∂⎝⎠∫∫d d ()d [()()]d 0.x x xyxys ns n s Sn s n s n s s ns s ns s ns S x y s y y s κψψδψδκκδψκδψκδψκψδκψδκδψκψδκψδκ∂∂⎤++−+⎥∂∂⎦−+−++−=∫∫(47)对(47)式进行变分的逆运算, 得混合变分原理的变分表达式为0,=δΠ (48)22111211222266122222121 d d 22 ()d [()()]d ,y x xy y y Ay y x y xy xy s ns n s s n n ns s s S S D D D D D D x yD y D y y s s κψΠκψκψκψψψκκκψκψκκψψκψψ⎛⎞⎡=+−−⎜⎟⎣⎜⎟⎝⎠∂⎛⎞∂⎤−+−+⎜⎟⎥∂∂∂⎦⎝⎠−+−−+−∫∫∫∫&&(49)式中Π 的表达式包含文献[8, 10]的泛函表达式. 文献[8]对于各向同性薄板提出了一个完整的泛函表达式. 文献[10]的泛函表达式未包含有关边界条件的项. 本文提出了正交各向异性薄板完整的泛函表达式. 本文建立变分原理的方法是一种理性方法. 对(49)式进行变分, 可以推导出对偶微分方程(14)和边界条件(39)，(40).4 结论对于基于新对偶变量的正交各向异性薄板求解体系, 本文得出了3点结果:(ⅰ) 建立了正交各向异性薄板对偶微分方程; (ⅱ) 导出了相应的薄板能量泛函;86 中国科学 G 辑 物理学 力学 天文学 第35卷(ⅲ) 提出了薄板两个子正交关系, 弹性力学的新正交关系已推广到正交各向异性薄板的弯曲问题.新的正交关系不但包含辛正交关系, 而且比其简洁. 新的正交关系成立的条件是220*−≠λλ. 这个条件的物理意义是对偶微分方程的基本解系关于x 坐标对称性. 对于一般的各向异性材料, 这一对称性将不成立, 所以新正交关系也不成立. 可以推测, 辛正交关系对于最一般的各向异性材料仍成立. 薄板求解体系的研究成果将为研究薄板的解析解和有限元解提供新的有效工具. 希望本文的工作对正交各向异性薄板弯曲问题特征函数展开直接解法的研究有所帮助.参 考 文 献1 钟万勰. 弹性力学求解新体系. 大连: 大连理工大学出版社, 19952 钟万勰. 互等定理与共轭辛正交关系. 力学学报, 1992, 24(4): 432~4373 罗建辉, 刘光栋. 各向同性平面弹性力学求解新体系正交关系的研究. 计算力学学报, 2003, 20(2): 199~2034 罗建辉, 刘光栋, 尚守平. 各向同性弹性力学求解新体系正交关系的研究. 固体力学学报, 2004, 25(1): 98~1005 罗建辉, 刘光栋. 弹性力学的一种正交关系. 力学学报, 2003, 35(4): 489~4936 姚伟岸, 隋永枫. Reissner 板弯曲的辛求解体系. 应用数学和力学, 2004, 25(2): 159~1657 罗建辉, 岑松, 龙志飞, 等. 厚板Hamilton 求解体系及其变分原理与正交关系. 工程力学, 2004, 31(2): 34~398 钟万勰, 姚伟岸. 板弯曲求解新体系及其应用. 力学学报, 1999, 31(2): 173~1849 岑松, 龙志飞, 罗建辉, 等. 薄板Hamilton 求解体系及其变分原理. 工程力学, 2004, 21(3): 1~6 10 姚伟岸, 苏滨, 钟万勰. 基于相似性原理的正交各向异性板弯曲 Hamilton 体系. 中国科学, E 辑, 2001, 31(4): 342~34711 罗建辉, 龙驭球, 刘光栋. 薄板理论的正交关系及其变分原理. 力学学报, 2004, 36(5): 527~532 12 Luo J H, Liu G D, Shang S P. Research on a systematic methodology for theory of elasticity. Applied Mathematics and Mechanics, 2003, 24(7): 853~86213姚伟岸, 钟万勰. 辛弹性力学. 北京: 高等教育出版社, 2002。
层合板的刚度及强度 (1)
第五章层合板的刚度5.1 引言层合板(Laminate)是由多层单向板按某种次序叠放并粘结在一起而制成整体的结构板。
每一层单向板(Unidirectional lamina)称为层合板的一个铺层。
各个铺层的材料不一定相同，也可能材料相同但材料主方向不同，因而层合板在厚度方向上具有非均匀性。
层合板的性能与各铺层的材料性能有关，还与各铺层的材料主方向及铺层的叠放次序有关。
因而，可以不改变铺层的材料，通过改变各铺层的材料主方向及叠放顺设计出所需力学性能的层合板。
与单向板相比，层合板有如下特征：(1) 由于各个铺层的材料主方向不尽相同，因而层合板一般没有确定的材料主方向。
(2) 层合板的结构刚度取决于铺层的性能和铺层的叠放次序，对于确定的铺层和叠放次序，可以推算出层合板的结构刚度。
(3) 层合板有耦合效应，即面内拉压、剪切载荷可产生弯曲、扭转变形，反之，在弯、扭载荷下可产生拉压、剪切变形。
(4) 一层或数层铺层破坏后，其余各层尚可继续承载，层合板不一定失效。
因而，对层合板的强度分析要复杂很多。
(5) 在固化过程中，由于各单层板的热胀冷缩不一致，在层合板中要引起温度应力，这是层合板的初应力。
(6) 层合板由不同的单层粘结在一起，在变形时要满足变形协调条件，故各层之间存在层间应力。
5.2 层合板的标记层合板标记是表征层合板铺层铺设参数(层数、铺层材料主方向、铺层纤维种类、铺层次序)的符号。
如图所示，层合板总厚度为h，有N 个铺层。
通常将层合板中面(平分板厚的面)设置为xy 坐标面，z 轴垂直板面。
沿z 轴正方向将各铺层依次编号为1～N ，第k 层的厚度为t k 铺设角(纤维与x 轴的夹角)为θk ，其上下面坐标为z k 和z k -1。
z -k z z k z N z -N z z如果各铺层的材料和厚度相同，沿z轴正方向依次标出各层的铺设角θk (k=1,2,…,N)，便可表示整个层合板。
如•[0/45/90]T，表示有三个铺层的层合板，各层厚度相同，铺设角依次为0o、45o、90o，下标“T”表示已列出全部铺层。
现浇混凝土空心板的正交各向异性和等效各向同性板计算方法
现浇混凝土空心板的正交各向异性和等效各向同性板计算方法＊尚仁杰 吴转琴 李佩勋(中冶集团建筑研究总院,北京 100088) 摘 要:通过分析得到了现浇混凝土空心板正交各向异性主刚度存在着D 3=D 1D 2的关系;从正交各向异性板挠曲面的偏微分方程出发,保持一个主方向尺寸不变x 1=x ,将另一主方向的尺寸做线性缩放y 1=k -14y ,并保持弹性模量与第一主方向相同E =E 1,泊松比μ=μ1μ2,将原来的正交各向异性板等效为一块各向同性板,通过分析得到:各向同性板任意点的挠度就是原正交各向异性板对应点的挠度,各对应点内力存在简单的对应关系:M x =M x 1、M y =k12M y 1、M xy =k 14M x 1y 1。
最后,通过算例验证了该方法的正确性。
关键词:空心板;正交各向异性板;各向同性板;等效ORTHOTROPIC CHA RACTERS OF A CAST -IN -SITU C ONCRETE HOLLOW PLATEAND THE CA LCULATION METHOD OF AN EQUIVALENT ISOTROPIC PLATEShang Renjie Wu Zhuanq in Li Peixun(Central Research Institute of Building and Construction of MCC Group ,Beijing 100088,China )Abstract :The orthotropic character of D 3=D 1D 2of a cast -in -situ concrete hollow slab is deduced .Based on thedifferential equation of the deformed surface of the orthotropic plate ,one principal direction size is kept invariably ,then another principal direction size is transformed linearly ,maintains elasticity coefficient is kept the same as that of the first principal direction E =E 1,Poisson ratio μ=μ1μ2,thus the original orthogonal plate can be equivalent to an isotropicplate .Results are obtained through analysis :the deflection of the equivalent isotropic plate is the same as that of the original orthotropic plate at the corresponding point ,whose internal forces have the simple relations M x =M x 1,M y =k 12M y 1and M xy =k 14M x 1y 1.Keywords :hollow slab ;orthotropic plate ;isotropic plate ;equivalent＊北京市科技计划项目(H020*********)资助。
正交各向异性单层板
正交各向异性单层板对于复合材料，由于复合材料是由基体和增强纤维组成的多相非均质材料，因此复合材料具有明显的各向异性性质。
一般来说，确定复合材料力学性能有两种方法：物理机理的力学分析方法和唯象理论方法。
物理机理的力学分析方法是通过细观或微观力学理论建立描述复合材料物理力学性能的各参数之间关系表达的方法，唯象理论方法是将非均质多相复合材料作为均ABC电子质连续介质(以非均质多相复合材料与均质连续介质单相材料建立宏观上物理力学性能的等效模型)，在实验的基础上建立复合材料以总体宏观强度性能为特征的破坏准则(强度条件)。
两种方法的主要区别在于；物理机理的力学分析方法通过分折复合材料破坏过程的物理机理，从而给出复合材料物理力学性能的各参数之间关系表达式；唯象理论方法则是通过实验，以实验为基础，从而给出复合材料以总体宏观强度性能为特征的破坏准则(强度条件)。
显然，唯象理论方法虽然能够在各种载荷条件下给出复合材料的破坏准则强度条件，但其所给出的复合材料的破坏准则(强度条件)不能解释复合材料破坏过程的物理机理。
尽管唯象理论方法不能解释复合材料何时从何处开始破坏，以及从局部开始破坏到最终整体破坏的复杂过程，但唯象理论方法能够提供各种载荷(各种复杂应力状态)下的强度破坏指标，且该指标正是工程设计个保证所设计构件(或罗部件)安全的基本指标。
因此，基于唯象理论方法的破坏准则研究仍然是复合材料强度理论研究的一个重要方向。
本章关于复合材料强度理论的分析属于唯象理论方法范畴。
正夹各庙异性单层扳强魔理论的路本IC现货商概念各向同性线弹性体的一个显著特点是：各向同性线弹性体内同一点各个方向强度等同，且强度与方向无关。
如所示各向同性(均质)线弹性体，在各向同性(均质)线弹性体内两个不同方向取和舶试件进行试验。
实验结果表明和两试件所呈现的力学性能在宏观统计学意义上完全相同，即各向同性(均质)线弹性体内任意点、任意方向上具有完全相同的力学性能(包括完全相同的强度)。
复合材料力学
二、单层板强度理论的基本概念
特点二
各向异性线弹性体材料强度指标，分两种情况： 2）拉伸与压缩强度不同时，材料强度指标为（五个）： Xt——轴向或纵向拉伸极限应力（沿x方向）； Xc——轴向或纵向压缩极限应力（沿x方向）； Yt——横向拉伸极限应力（沿y方向）； Yc——横向压缩极限应力（沿y方向）； S——剪切极限应力（在xoy平面内）。
Thank you
破坏准则为： 最大切应力τmax达到极限值时，各向同性线弹 性体达到临界（破坏）状态。
max
0
用主应力表示：
1 3 t
0
一、线弹性体破坏准则的唯象理论
4.最大形状改变比能理论
破坏准则为： 最大形状改变比能μφ达到极限值时，各向同 性线弹性体达到临界（破坏）状态。
0
2 2
2
4 L 23 M 13 N 12 1 0
2 2 2
四、正交各向异性单层板强度理论
3.蔡-希尔（Tsai-Hill）理论
蔡为伦将希尔的强度条件式应用到纤维增强复 合材料单层板中，得出弹性主向蔡-希尔理论的强 度条件。
X
2 1 2
1 2
X
2
Y
2 2 2
用主应力表示：
1 2
1
2 2 3 3 1
2 2
2
0 t
主要内容
一、线弹性体破坏准则的唯象理论 二、正交各向异性单层板强度理论的基本 概念 三、正交各向异性单层板强度和刚度的实 验确定 四、正交各向异性单层板强度理论
二、单层板强度理论的基本概念
各向异性
各向异性科技名词定义中文名称：各向异性英文名称：anisotropy定义：材料在各方向的力学和物理性能呈现差异的特性。
简介晶体的各向异性即沿晶格的不同方向，原子排列的周期性和疏密程度不尽相同，由此导致晶体在不同方向的物理化学特性也不同，这就是晶体的各向异性。
晶体的各向异性具体表现在晶体不同方向上的弹性模量、硬度、断裂抗力、屈服强度、热膨胀系数、导热性、电阻率、电位移矢量、电极化强度、磁化率和折射率等都是不同的。
各向异性作为晶体的一个重要特性具有相当重要的研究价值。
常用密勒指数来标志晶体的不同取向。
木材各向异性木材因含水量减少引起体积收缩之现象叫作干缩，干缩也叫作“木材各向异性”例如从纤维饱和点降到含水率0%时，顺纹干缩甚小，为0.1~0.3%，横纹径向干缩为3.66%，弦向干缩最大竟达9.63%，体积干缩为13.8%，所以当木材纹理不直不匀，表面和内部水分蒸发速度不一致，各部分干缩程度不同时，就出现弯、扭等不规则变形、干缩不匀就会出现裂缝。
形态特点质地不均匀，各方面强度不一致。
木材沿树干方(习惯叫顺纹)之强度较垂直树干之横向(横纹)大得多。
例图为松木与杂木三方向之抗压强度。
各方面强度之大小，可以从管形细胞之构造、排列之方面找到原因。
木纤维纵向联结最强，故顺纹抗拉强度最高。
木材顺纹受压，每个细胞都好像一根管柱，压力大到一定程度细胞壁向内翘曲然后破坏。
故顺纹抗压强度比顺纹抗拉强度小。
横纹受压，管形细胞容易被压扁，所以强度仅为顺纹抗压强度之1/8左右，弯曲强度介于抗拉，抗压之间。
性质表现各向异性，亦称“非均质性”。
物体的全部或部分物理、化学等性质随方向的不同而各自表现出一定的差异的特性。
即在不同的方向所测得的性能数值不同。
地球物理学中的各向异性anisotropy物理性质随测量方向而变化的特性。
地球物理应用各向异性有时仅限于“视各向异性”，以与品体历具有的点各向异性相区别。
A、在各向异性介质中应力与应变的弹性张量包含21个独立常数。
第四章 单复合材料的强度
第四章 单层复合材料的强度4.1 复合材料的强度特征材料强度是材料承载时抵抗破坏的能力。
破坏是与结构的技术要求相关的，多数情况下，宏观强度理论将(塑性)材料的屈服和(脆性材料的)断裂视为破坏或失效。
对于各向同性材料，强度在各个方向上均相同，没有方向性。
常用的强度理论有：1. 最大应力理论材料破坏是由于最大应力(拉伸应力1σ、压缩应力3σ或剪切应力m ax τ)达到极限值(屈服极限或强度极限)，tm σσ≤1，cm σσ≤3，m ττ≤max式中tm σ、cm σ和m τ分别为材料单向拉伸、单向压缩和纯剪切时的极限应力。
2. 最大应变理论材料破坏是由于最大应变(拉伸应变1ε、压缩应变3ε或剪切应变m ax γ)达到极限值，tm εε≤1，cm εε≤3，m γγ≤max式中tm ε、cm ε和m γ分别为材料单向拉伸、单向压缩和纯剪切时的极限应变。
3. 最大歪形能理论材料破坏是由于歪形能达到一定极限值，ym y U U ≤式中)(31133221232221σσσσσσσσσν---+++=EU y ，231tm ymEU σν+=，tm σ为单向拉伸时的极限应力，因而得 2133221232221tm σσσσσσσσσσ≤---++对于复合材料，其强度的特点是具有方向性。
对于正交各向异性材料，存在三个材料主方向，不同主方向的强度是不同的。
例如，纤维增强复合材料单向板，沿纤维方向强度通常为沿着垂直纤维方向强度的几十倍。
与各向同性材料不同，正交各向异性单向板有如下强度特征：1．对于各向同性材料，主应力与主应变是与材料主方向无关的应力应变极值，对各向异性材料，由于强度的方向性，最大作用应力不一定对应材料的危险状态，而材料主方向的应力比最大作用应力更重要。
2．对正交各向异性单向板，沿材料的主方向的强度极限值称为基本强度，它们是：X－沿纤维方向(材料主方向1)的强度；Y－垂直于纤维方向(材料主方向2)的强度；S－(1－2平面内)剪切强度。
06_构造正交异性桥面板分析
正交材料异性板理论
刚 度 参 数
内力
应力
2w M x D x x 2 y 2w M y D y y 2 x 2 w M 2 D k xy xy
2w 2 y 2w 2 x
各向同性板理论
(1)基本理论
同 性 薄 板
Et 3 D 12(1 2 )
众所周知的各向同 性薄板弯曲平衡微分方 程为[1]（图）
4w 4w 4w 2 2 2 4 q( x, y ) / D 4 x x y x
2w 2w M x D x 2 y 2 2w 2w M D y 2 x 2 y 弯矩、剪力 3w 3w Q x D x 3 xy 2 3 3 w w Q D y 3 2 y x y E Ez 2 w 2w 2 2 ( x y ) x 2 2 1 1 x y E Ez 2 w 2w 2 2 ( y x ) y 应力 2 2 1 1 y x 2 G Ez w yx xy xy 1 xy
Dk Gxyt 3 / 12
2w z 2w Ex 2 x E y 2 x 1 x y x y 2w z 2w E y 2 y Ex 2 y 1 y x x y 2 xy 2G xy z w xy
Hale Waihona Puke 根据基本假定[1]，其余应力可略去不计
现浇混凝土空心板的正交各向异性和等效各向同性板计算方法
现浇混凝土空心板的正交各向异性和等效各向同性板计算方法＊尚仁杰 吴转琴 李佩勋(中冶集团建筑研究总院,北京 100088) 摘 要:通过分析得到了现浇混凝土空心板正交各向异性主刚度存在着D 3=D 1D 2的关系;从正交各向异性板挠曲面的偏微分方程出发,保持一个主方向尺寸不变x 1=x ,将另一主方向的尺寸做线性缩放y 1=k -14y ,并保持弹性模量与第一主方向相同E =E 1,泊松比μ=μ1μ2,将原来的正交各向异性板等效为一块各向同性板,通过分析得到:各向同性板任意点的挠度就是原正交各向异性板对应点的挠度,各对应点内力存在简单的对应关系:M x =M x 1、M y =k12M y 1、M xy =k 14M x 1y 1。
最后,通过算例验证了该方法的正确性。
关键词:空心板;正交各向异性板;各向同性板;等效ORTHOTROPIC CHA RACTERS OF A CAST -IN -SITU C ONCRETE HOLLOW PLATEAND THE CA LCULATION METHOD OF AN EQUIVALENT ISOTROPIC PLATEShang Renjie Wu Zhuanq in Li Peixun(Central Research Institute of Building and Construction of MCC Group ,Beijing 100088,China )Abstract :The orthotropic character of D 3=D 1D 2of a cast -in -situ concrete hollow slab is deduced .Based on thedifferential equation of the deformed surface of the orthotropic plate ,one principal direction size is kept invariably ,then another principal direction size is transformed linearly ,maintains elasticity coefficient is kept the same as that of the first principal direction E =E 1,Poisson ratio μ=μ1μ2,thus the original orthogonal plate can be equivalent to an isotropicplate .Results are obtained through analysis :the deflection of the equivalent isotropic plate is the same as that of the original orthotropic plate at the corresponding point ,whose internal forces have the simple relations M x =M x 1,M y =k 12M y 1and M xy =k 14M x 1y 1.Keywords :hollow slab ;orthotropic plate ;isotropic plate ;equivalent＊北京市科技计划项目(H020*********)资助。
正交异性板
１前言正交异性板，是由纵、横加劲肋和盖板共同承受荷载的桥面结构。
该结构最早始于二十世纪五十年代的德国，后来被很多国家广泛应用。
目前已成为世界上大、中跨度钢桥所普遍采用的一种桥面结构形式。
由于纵肋和横肋的刚度不同，所以在这两个主要方向的弹性性能也不同，故正交异性板除了具有桥面板和桥面系的作用外，还作为主梁的一部分发挥作用，它的盖板既形成纵肋、横肋的翼缘部分，同时又作为主梁的上翼缘部分共同受力。
因此在分析正交异性钢桥面板在荷载作用下的应力状态时，通常将上述盖板分成三种结构体系来研究。
第一体系：即主梁体系，由盖板及纵、横肋组成的正交异性板作为主梁上翼缘参与全桥受力。
第二体系：即桥面体系，由盖板及纵、横肋组成的结构，承受桥面车轮荷载。
第三体系，即盖板体系，指支承在纵、横加劲肋上的盖板，仅承受车轮局部荷载，并把荷载传递给纵、横加劲肋。
实际应用中，第二体系作为较接近板的实际受力状态，它的应力状态按正交异性板理论来计算。
２正交异性板构造作为桥面系重要组成部分的钢桥面板，其加工精度要求高，焊接工作量大。
它的构造优劣对整个桥梁的经济性影响很大。
钢桥面板的构造细节，必须根据每个桥梁的不同特点来决定，下面介绍钢桥面板的一些基本原则。
钢桥面的纵肋一般采用图１（ａ）所示的开口截面和图１（ｂ）闭口截面肋。
２．１开口截面纵肋开口截面纵肋的截面形式如图１（ａ）所示，开口截面纵肋在构造方面有如下优点：勘察、设计正交异性板设计尹书军正交异性板设计尹书军（铁道第四勘察设计院桥梁处武汉４３００６３）［摘要］以南京长江隧道工程右汊桥梁－独塔自锚式悬索桥为背景，介绍正交异性板的构造、受力特点和简要计算方法。
［关键词］正交异性板Ｐ－Ｅ法构造设计（ｂ）闭口截面（ａ）开口截面图１纵肋的种类铁道勘测与设计（１）与闭口截面相比，开口截面纵肋其截面形式简单，工厂制作和工地焊接都比较容易。
（２）易于按不同的截面内力来改变纵肋截面，因而纵肋截面可得到充分利用。
第3章正交各向异性单向板的强度准则
最大应变理论
X Y S 1 2 12 拉伸时 c c
1 2
G
1 2 1 2
2
E 1 E 1
2
(
1
2
2 1
1
) )
1
(
1
1 2
2
压缩时
1 122 Xt (Xc ) 2 211 Yt (Yc ) 12 S
• 单层板在平面应力状态下，主方向的任意 一个分量达到极限应力时，就发生破坏或 失效
– 失效准则有3个相互不影响，各自独立的表达 式组成的，实际上有三个分准则 – 必须转换成材料主方向上的应力 – 理论预报与材料试验值温和的不好
最大应力理论
2 2 c os sin 1 x 2 x
则有：
1 2
No Image
代入已知量：
如果：2F12=-F11: 与霍夫曼准则相同 如果：拉压强度相同，2F12=-1/X2，与蔡-希尔准则相同
蔡-胡张量理论（Tsai-Wu)
• 一次项部分，描述不同拉压强度是有用的 • 二次项部分，描述应力空间的椭球 • F12描述1方向和2方向的正应力之间的相互作用， 不同于剪切强度 • 在旋转或重新定义坐标系下具有不变性 • 可由已知的张量变换规则进行变换 • 类似刚度和柔度，具有对称性 • 适合于理论分析
单向板刚度与强度的细观力学分析
m/2 f
4.2.3 表观弹性模量E2的确定
E2的确定：
f 2 Ef m 2 Em
串联模型 2 2 基体 纤维 基体
1
2 W Vf W f Vm W m 2 Vf 2 Vm 2 Ef Em
2 2 2 E 2 2 E 2 Vf Vm Em Ef Ef Em E2 Vm Ef Vf Em E2 1 Em Vm Vf (Em / Ef )
U
1 x x y y z z xy xy xz xz yz yz dV 2 V
U Uo
对于单向载荷试件，满足该载荷和应力平衡方程的内应 力场为：
o o o o o o x y z xy yz zx 0
Vm Vd 1
Vm 1 :
E Em
Vd 1 :
E Ed
满足上述条件最简单的关系是： E Ed Vd EmVm
假设复合材料组分对复合材料刚度起的作用正比于它们 的刚度和体积含量 m d 时，混合率得出复合材料模量的上限
从复合材料的柔度1/E必须附和Vm=1时为基体的柔度 1/Em 和Vd=1时为弥散材料的柔度得到柔度的混合率
x xy G xy E xy 2(1 ) E E ( x y z ) x (1 )(1 2 ) (1 )
不一定满足位移 连续条件和位移 边界条件
和应变能表达关系式 o o o o o 得出的在 o x , y , z , xy , yz , zx 下的应变能，而且由规定载荷 引起的物体的实际应变能U不超过Uo
并联模型
第三章单层板的强度理论
正交各向异性单层板强度和刚度的实验测定
4. 面内剪切实验（续）
x S11 S12 S16x x T T S T S S S y 12 22 26y y S S S xy xy 16 26 66 xy
复合材料力学
2016年秋季 西安交通大学航天航空学院 刘益伦 教一楼东405 yilunliu@ 2016年11-1月
强度是材料承受外载时抵抗破坏的能力
本节要解决的问题是，当已知承载单层板各 处的应力应变等量，如何确定该单层板在该 载荷下足够结实（或安全）
单层板的强度理论
12
E1
21
E2
否则说明：
（1）测量的数据不准确 （2）进行的计算有误 （3）材料不能用线弹性应力-应变关系式描述
正交各向异性单层板强度和刚度的实验测定
3.压缩实验 可以测定如下量
Xc
Yc
E1
E2
与拉伸试件相比有何不同? 为什么?
正交各向异性单层板强度和刚度的实验测定
剪切试样和尺寸（国家标准GB3355-82)
3
0 c
单向拉伸和压缩的危险应力
各向同性材料强度理论简要回顾
2. 最大正（线）应变理论
假说：最大伸长线应变是引起材料脆性破坏的因素，即不论 在材料处于什么应力状态下，只要构件一点处的 最大线应变 达到材料的极限值，材料就会发生脆性断裂。
强度条件
1
0 3 c
正交各向异性材料的强度
3、正交各向异性材料在材料主向上的剪切强度都具有 相同的最大值，但在非材料主向上剪切强度依赖于 剪应力的方向，为什么？
第四章 单层复合材料的强度
第四章 单层复合材料的强度4.1 复合材料的强度特征材料强度是材料承载时抵抗破坏的能力。
破坏是与结构的技术要求相关的，多数情况下，宏观强度理论将(塑性)材料的屈服和(脆性材料的)断裂视为破坏或失效。
对于各向同性材料，强度在各个方向上均相同，没有方向性。
常用的强度理论有：1. 最大应力理论材料破坏是由于最大应力(拉伸应力1σ、压缩应力3σ或剪切应力m ax τ)达到极限值(屈服极限或强度极限)，tm σσ≤1，cm σσ≤3，m ττ≤max式中tm σ、cm σ和m τ分别为材料单向拉伸、单向压缩和纯剪切时的极限应力。
2. 最大应变理论材料破坏是由于最大应变(拉伸应变1ε、压缩应变3ε或剪切应变m ax γ)达到极限值，tm εε≤1，cm εε≤3，m γγ≤max式中tm ε、cm ε和m γ分别为材料单向拉伸、单向压缩和纯剪切时的极限应变。
3. 最大歪形能理论材料破坏是由于歪形能达到一定极限值，ym y U U ≤式中)(31133221232221σσσσσσσσσν---+++=EU y ，231tm ymEU σν+=，tm σ为单向拉伸时的极限应力，因而得 2133221232221tm σσσσσσσσσσ≤---++对于复合材料，其强度的特点是具有方向性。
对于正交各向异性材料，存在三个材料主方向，不同主方向的强度是不同的。
例如，纤维增强复合材料单向板，沿纤维方向强度通常为沿着垂直纤维方向强度的几十倍。
与各向同性材料不同，正交各向异性单向板有如下强度特征：1．对于各向同性材料，主应力与主应变是与材料主方向无关的应力应变极值，对各向异性材料，由于强度的方向性，最大作用应力不一定对应材料的危险状态，而材料主方向的应力比最大作用应力更重要。
2．对正交各向异性单向板，沿材料的主方向的强度极限值称为基本强度，它们是：X－沿纤维方向(材料主方向1)的强度；Y－垂直于纤维方向(材料主方向2)的强度；S－(1－2平面内)剪切强度。
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– 失效准则有3个相互不影响，各自独立的表达 式组成的，实际上有三个分准则
– 必须转换成材料主方向上的应力 – 理论预报与材料试验值温和的不好
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最大应力理论
1 Xc 2 Yc 12 S
1 Xt 2 Yt 12 S
3.1 复合材料的强度特性与强度准则概念
(1)在材料力学或弹性理论中的主应力与主应变是与材料主方向 无关的应力、应变极值，故主应力与主应变的概念在各向异性 材料中是没有意义的。 (2) 在材料主方向坐标系下，若正交各向异性单向板处于简单应 力状态，则其极限应力很容易通过试验测定，通常把这些极限 应力称为单向板的基本强度(Basic Strength)。 (3)对于正交各向异性材料，尽管在材料主方向上的抗拉强度与 抗压强度不同，但在材料主方向上的抗剪强度是不随切应力的 方向(即切应力的正负号)而改变。
其中：Fi，Fij为二阶和四阶强度张量 4 23 5 13 6 12 在平面应力状态下：
F11
F2 2
F6 6
F11
2 1
F22
2 2
F66
2 6
2F121 2
Байду номын сангаас
1
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蔡-胡张量理论（Tsai-Wu)
强度张量的某些分量可以用已经讨论过的工程强度来确定：
对拉伸载荷：
F1Xt
F11
1 Z2
111 2G X2 Y2 Z2
111 2F X2 Y2 Z2
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蔡-希尔理论(Tsai-Hill)
对于纤维在1-方向的简单层板在1-2平面内的平面应力，
3 13 23 0
12 X2
1 2 X2
2 2
Y2
122 S2
1
1 x cos 2
2 x sin2
1
1 E1
(cos2
12
sin2
) x
2
1 E2
(sin2
21
cos2
) x
1 12 G12 (sin cos )x
Xt
Xt E1
Xc
Xc E1
Yt
Yt E2
S
S G12
Yc
Yc E2
x
cos2
Xt 12
sin2
Y x sin2 21 cos2
S x sin cos
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X
2 t
1
对压缩载荷：
F1Xc
F11X
2 c
1
F1
1 Xt
1 Xc
F11
1 Xt Xc
同理：
11 F2 Yt Yc
1 F22 YtYc
1 Xt 2 Yt 12 S 拉伸时
1 Xc 2 Yc 12 S
压缩时
1 1 E1 (1 122 )
1 2 E2 (2 211 )
12
12 G12
1 122 Xt (Xc ) 2 211 Yt (Yc ) 12 S
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最大应变理论
1 x cos 2 2 x sin2 12 x sin cos
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图3-1 纤维增强单向板 的基本强度
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图3-2 在材料主方向的切应力
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图3-3 在与材料主方向成45°角方向的切应力
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• 基本强度特性
– Xt——纵向拉伸强度；Xc——纵向压缩强度 – Yt——横向拉伸强度；Yc——横向压缩强度 – S——面内剪切强度
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图3-6 纤维沿1方向铺设的 单向板横截面
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图3-7 Tsai－Hill强度准则
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3.4 Tsai－Wu张量强度准则
蔡-胡张量理论（Tsai-Wu)
蔡-胡假定在应力空间中的破坏表面存在如下形式:
Fii Fiji j 1 i, j 1,2, 6
12 x sin cos
cos4 X2
1 S2
1 X2
cos2
sin2
sin4 Y2
1
2 x
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蔡-希尔理论
• 一个破坏准则 • 强度随方向角的变化是光滑的,没有尖点 • 单向强度随角从0增加而连续减小而不是像最大应
力和最大应变两个准则那样增加 • 理论与试验之间的一致性比原先的好,最大应力和
拉伸时 压缩时
1 x cos2 2 x sin2 12 x sin cos
x
Xt cos2
Y x sin2
S x sin cos
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图3-4 最大应力强度准则
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3.2.2 最大应变强度准则
• 单层板在平面应力状态下，主方向的任意 一个分量达到极限应变时，就发生破坏或 失效
应变准则压30时的误差是100% • 在蔡希尔准则中破坏强度X、Y、S之间存在着重
要的相互作用,但在其它准则中,这种作用不存在
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蔡-希尔理论
• 不一定对所有的材料都适合 • 不能用一个表达式同时表达拉、压应力两
种情况
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单向板的Tsai－Hill强度准则的优越性
(1)和最大应力、最大应变强度准则不同，曲线连续、光滑、没 有尖点。 (2)对于拉伸，σx随θ角的增加而连续减少，没有像最大应力、最 大应变强度准则那样，随θ角的增加反而增大。 (3)考虑了基本强度X、Y、S之间相互作用。 (4)理论曲线与试验数据很吻合。 (5)该准则也适用于各向同性材料。
• 刚度特性为：
– E1——1-方向上的弹性模量；E2——2-方向上的弹性 模量
– 12——-2/1，当1= ，而其他应力皆为零； – 21——-1/2，当2= ，而其他应力皆为零； – G12——在1-2平面内的剪切模量
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3.2 最大应力强度准则与最大应变强度准则 3.2.1 最大应力强度准则
– 失效准则有3个相互不影响，各自独立的表达 式组成的，实际上有三个分准则
– 必须转换成材料主方向上的应变 – 和最大应力理论相比,在最大应变准则中包含
了泊松比项,也就是说，最大应变理论中考虑 了另一弹性主方向应力的影响，如果泊松比很 小，这个影响就很小 – 与试验结果偏差也较大
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最大应变理论
图3-5 最大应变强度准则
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3.3 Tsai－Hill强度准则
蔡-希尔理论(Tsai-Hill)
如果只有12作用在物体上
1 2N S2
如果只有1作用在物体上
1 G H X2
如果只有2作用在物体上
1 F H Y2
如果只有3作用在物体上
1 F G Z2
2H
1 X2
1 Y2