正交各向异性单向板强准则
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图3-6 纤维沿1方向铺设的 单向板横截面
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图3-7 Tsai－Hill强度准则
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3.4 Tsai－Wu张量强度准则
蔡-胡张量理论（Tsai-Wu)
蔡-胡假定在应力空间中的破坏表面存在如下形式:
Fii Fiji j 1 i, j 1,2, 6
3.1 复合材料的强度特性与强度准则概念
(1)在材料力学或弹性理论中的主应力与主应变是与材料主方向 无关的应力、应变极值，故主应力与主应变的概念在各向异性 材料中是没有意义的。 (2) 在材料主方向坐标系下，若正交各向异性单向板处于简单应 力状态，则其极限应力很容易通过试验测定，通常把这些极限 应力称为单向板的基本强度(Basic Strength)。 (3)对于正交各向异性材料，尽管在材料主方向上的抗拉强度与 抗压强度不同，但在材料主方向上的抗剪强度是不随切应力的 方向(即切应力的正负号)而改变。
1
1 E1
(cos2
12
sin2
) x
2
1 E2
(sin2
21
cos2
) x
1 12 G12 (sin cos )x
Xt
Xt E1
Xc
Xc E1
Yt
Yt E2
S
S G12
Yc
Yc E2
x
cos2
Xt 12
sin2
Y x sin2 21 cos2
S x sin cos
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1 Xt 2 Yt 12 S 拉伸时
1 Xc 2 Yc 12 S
压缩时
1 1 E1 (1 122 )
1 2 E2 (2 211 )
12
12 G12
1 122 Xt (Xc ) 2 211 Yt (Yc ) 12 S
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最大应变理论
1 x cos 2 2 x sin2 12 x sin cos
第1页/共31页
图3-1 纤维增强单向板 的基本强度
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图3-2 在材料主方向的切应力
第3页/共31页
图3-3 在与材料主方向成45°角方向的切应力
第4页/共31页
• 基本强度特性
– Xt——纵向拉伸强度；Xc——纵向压缩强度 – Yt——横向拉伸强度；Yc——横向压缩强度 – S——面内剪切强度
应变准则压30时的误差是100% • 在蔡希尔准则中破坏强度X、Y、S之间存在着重
要的相互作用,但在其它准则中,这种作用不存在
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蔡-希尔理论
• 不一定对所有的材料都适合 • 不能用一个表达式同时表达拉、压应力两
种情况
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单向板的Tsai－Hill强度准则的优越性
(1)和最大应力、最大应变强度准则不同，曲线连续、光滑、没 有尖点。 (2)对于拉伸，σx随θ角的增加而连续减少，没有像最大应力、最 大应变强度准则那样，随θ角的增加反而增大。 (3)考虑了基本强度X、Y、S之间相互作用。 (4)理论曲线与试验数据很吻合。 (5)该准则也适用于各向同性材料。
– 失效准则有3个相互不影响，各自独立的表达 式组成的，实际上有三个分准则
– 必须转换成材料主方向上的应变 – 和最大应力理论相比,在最大应变准则中包含
了泊松比项,也就是说，最大应变理论中考虑 了另一弹性主方向应力的影响，如果泊松比很 小，这个影响就很小 – 与试验结果偏差也较大
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最大应变理论
拉伸时 压缩时
1 x cos2 2 x sin2 12 x sin cos
x
Xt cos2
Y x sin2
S x sin cos
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图3-4 最大应力强度准则
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3.2.2 最大应变强度准则
• 单层板在平面应力状态下，主方向的任意 一个分量达到极限应变时，就发生破坏或 失效
12 x sin cos
cos4 X2
1 S2
1 X2
cos2
sin2
sin4 Y2
1
2 x
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蔡-希尔理论
• 一个破坏准则 • 强度随方向角的变化是光滑的,没有尖点 • 单向强度随角从0增加而连续减小而不是像最大应
力和最大应变两个准则那样增加 • 理论与试验之间的一致性比原先的好,最大应力和
• 单层板在平面应力状态下，主方向的任意 一个分量达到极限应力时，就发生破坏或 失效
– 失效准则有3个相互不影响，各自独立的表达 式组成的，实际上有三个分准则
– 必须转换成材料主方向上的应力 – 理论预报与材料试验值温和的不好
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最大应力理论
1 Xc 2 Yc 12 S
1 Xt 2 Yt 12 S
图3-5 最大应变强度准则
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3.3 Tsai－Hill强度准则
蔡-希尔理论(Tsai-Hill)
如果只有12作用在物体上
1 2N S2
如果只有1作用在物体上
1 G H X2
如果只有2作用在物体上
1 F H Y2
如果只有3作用在物体上
1 F G Z2
2H
1 X2
1 Y2
1 Z2
111 2G X2 Y2 Z2
111 2F X2 Y2 Z2
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蔡-希尔理论(Tsai-Hill)
对于纤维在1-方向的简单层板在1-2平面内的平面应力，
3 13 23 0
12 X2
1 2 X2
2 2
Y2
122 S2
1
1 x cos 2
2 x sin2
其中：Fi，Fij为二阶和四阶强度张量 4 23 5 13 6 12 在平面应力状态下：
F11
F2 2
F6 6
F11
2 1
F22
2 2
F66
2 6
2F121 2
1
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蔡-胡张量理论（Tsai-Wu)
强度张量的某些分量可以用已经讨论过的工程强度来确定：
对拉伸载荷：
F1Xt
F11
X
2 t
1
对压缩载荷：
F1Xc
F11X
2 c
1
F1
wk.baidu.com
1 Xt
1 Xc
F11
1 Xt Xc
同理：
11 F2 Yt Yc
1 F22 YtYc
• 刚度特性为：
– E1——1-方向上的弹性模量；E2——2-方向上的弹性 模量
– 12——-2/1，当1= ，而其他应力皆为零； – 21——-1/2，当2= ，而其他应力皆为零； – G12——在1-2平面内的剪切模量
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3.2 最大应力强度准则与最大应变强度准则 3.2.1 最大应力强度准则
图3-6 纤维沿1方向铺设的 单向板横截面
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图3-7 Tsai－Hill强度准则
第19页/共31页
3.4 Tsai－Wu张量强度准则
蔡-胡张量理论（Tsai-Wu)
蔡-胡假定在应力空间中的破坏表面存在如下形式:
Fii Fiji j 1 i, j 1,2, 6
3.1 复合材料的强度特性与强度准则概念
(1)在材料力学或弹性理论中的主应力与主应变是与材料主方向 无关的应力、应变极值，故主应力与主应变的概念在各向异性 材料中是没有意义的。 (2) 在材料主方向坐标系下，若正交各向异性单向板处于简单应 力状态，则其极限应力很容易通过试验测定，通常把这些极限 应力称为单向板的基本强度(Basic Strength)。 (3)对于正交各向异性材料，尽管在材料主方向上的抗拉强度与 抗压强度不同，但在材料主方向上的抗剪强度是不随切应力的 方向(即切应力的正负号)而改变。
1
1 E1
(cos2
12
sin2
) x
2
1 E2
(sin2
21
cos2
) x
1 12 G12 (sin cos )x
Xt
Xt E1
Xc
Xc E1
Yt
Yt E2
S
S G12
Yc
Yc E2
x
cos2
Xt 12
sin2
Y x sin2 21 cos2
S x sin cos
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1 Xt 2 Yt 12 S 拉伸时
1 Xc 2 Yc 12 S
压缩时
1 1 E1 (1 122 )
1 2 E2 (2 211 )
12
12 G12
1 122 Xt (Xc ) 2 211 Yt (Yc ) 12 S
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最大应变理论
1 x cos 2 2 x sin2 12 x sin cos
第1页/共31页
图3-1 纤维增强单向板 的基本强度
第2页/共31页
图3-2 在材料主方向的切应力
第3页/共31页
图3-3 在与材料主方向成45°角方向的切应力
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• 基本强度特性
– Xt——纵向拉伸强度；Xc——纵向压缩强度 – Yt——横向拉伸强度；Yc——横向压缩强度 – S——面内剪切强度
应变准则压30时的误差是100% • 在蔡希尔准则中破坏强度X、Y、S之间存在着重
要的相互作用,但在其它准则中,这种作用不存在
第15页/共31页
蔡-希尔理论
• 不一定对所有的材料都适合 • 不能用一个表达式同时表达拉、压应力两
种情况
第16页/共31页
单向板的Tsai－Hill强度准则的优越性
(1)和最大应力、最大应变强度准则不同，曲线连续、光滑、没 有尖点。 (2)对于拉伸，σx随θ角的增加而连续减少，没有像最大应力、最 大应变强度准则那样，随θ角的增加反而增大。 (3)考虑了基本强度X、Y、S之间相互作用。 (4)理论曲线与试验数据很吻合。 (5)该准则也适用于各向同性材料。
– 失效准则有3个相互不影响，各自独立的表达 式组成的，实际上有三个分准则
– 必须转换成材料主方向上的应变 – 和最大应力理论相比,在最大应变准则中包含
了泊松比项,也就是说，最大应变理论中考虑 了另一弹性主方向应力的影响，如果泊松比很 小，这个影响就很小 – 与试验结果偏差也较大
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最大应变理论
拉伸时 压缩时
1 x cos2 2 x sin2 12 x sin cos
x
Xt cos2
Y x sin2
S x sin cos
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图3-4 最大应力强度准则
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3.2.2 最大应变强度准则
• 单层板在平面应力状态下，主方向的任意 一个分量达到极限应变时，就发生破坏或 失效
12 x sin cos
cos4 X2
1 S2
1 X2
cos2
sin2
sin4 Y2
1
2 x
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蔡-希尔理论
• 一个破坏准则 • 强度随方向角的变化是光滑的,没有尖点 • 单向强度随角从0增加而连续减小而不是像最大应
力和最大应变两个准则那样增加 • 理论与试验之间的一致性比原先的好,最大应力和
• 单层板在平面应力状态下，主方向的任意 一个分量达到极限应力时，就发生破坏或 失效
– 失效准则有3个相互不影响，各自独立的表达 式组成的，实际上有三个分准则
– 必须转换成材料主方向上的应力 – 理论预报与材料试验值温和的不好
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最大应力理论
1 Xc 2 Yc 12 S
1 Xt 2 Yt 12 S
图3-5 最大应变强度准则
第12页/共31页
3.3 Tsai－Hill强度准则
蔡-希尔理论(Tsai-Hill)
如果只有12作用在物体上
1 2N S2
如果只有1作用在物体上
1 G H X2
如果只有2作用在物体上
1 F H Y2
如果只有3作用在物体上
1 F G Z2
2H
1 X2
1 Y2
1 Z2
111 2G X2 Y2 Z2
111 2F X2 Y2 Z2
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蔡-希尔理论(Tsai-Hill)
对于纤维在1-方向的简单层板在1-2平面内的平面应力，
3 13 23 0
12 X2
1 2 X2
2 2
Y2
122 S2
1
1 x cos 2
2 x sin2
其中：Fi，Fij为二阶和四阶强度张量 4 23 5 13 6 12 在平面应力状态下：
F11
F2 2
F6 6
F11
2 1
F22
2 2
F66
2 6
2F121 2
1
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蔡-胡张量理论（Tsai-Wu)
强度张量的某些分量可以用已经讨论过的工程强度来确定：
对拉伸载荷：
F1Xt
F11
X
2 t
1
对压缩载荷：
F1Xc
F11X
2 c
1
F1
wk.baidu.com
1 Xt
1 Xc
F11
1 Xt Xc
同理：
11 F2 Yt Yc
1 F22 YtYc
• 刚度特性为：
– E1——1-方向上的弹性模量；E2——2-方向上的弹性 模量
– 12——-2/1，当1= ，而其他应力皆为零； – 21——-1/2，当2= ，而其他应力皆为零； – G12——在1-2平面内的剪切模量
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3.2 最大应力强度准则与最大应变强度准则 3.2.1 最大应力强度准则