第三章 各向异性弹性力学基础
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弹性力学知识点总结
弹性力学知识点总结弹性力学是固体力学的重要分支，主要研究弹性体在外界因素作用下产生的应力、应变和位移。
以下是对弹性力学主要知识点的总结。
一、基本假设1、连续性假设：假定物体是连续的，不存在空隙。
2、均匀性假设：物体内各点的物理性质相同。
3、各向同性假设：物体在各个方向上的物理性质相同。
4、完全弹性假设：当外力去除后，物体能完全恢复到原来的形状和尺寸，不存在残余变形。
5、小变形假设：变形量相对于物体的原始尺寸非常小，可以忽略高阶微量。
二、应力分析1、应力的定义：应力是单位面积上的内力。
2、应力分量：在直角坐标系下，有 9 个应力分量，分别为正应力（σx、σy、σz）和剪应力（τxy、τyx、τxz、τzx、τyz、τzy）。
3、平衡微分方程：根据物体的平衡条件，可以得到应力分量之间的关系。
三、应变分析1、应变的定义：应变是物体在受力后的变形程度。
2、应变分量：包括线应变（εx、εy、εz）和剪应变（γxy、γyx、γxz、γzx、γyz、γzy）。
3、几何方程：描述了应变分量与位移分量之间的关系。
四、位移与变形的关系位移是指物体内各点位置的变化。
通过位移可以导出应变，从而建立起位移与变形之间的联系。
五、物理方程物理方程也称为本构方程，它描述了应力与应变之间的关系。
对于各向同性的线弹性材料，物理方程可以表示为应力与应变之间的线性关系。
六、平面问题1、平面应力问题：薄板在平行于板面且沿板厚均匀分布的外力作用下，板面上无外力作用，此时应力分量只有σx、σy、τxy。
2、平面应变问题：长柱体在与长度方向垂直的平面内受到外力作用，且沿长度方向的位移为零，此时应变分量只有εx、εy、γxy。
七、极坐标下的弹性力学问题在一些具有轴对称的问题中，采用极坐标更为方便。
极坐标下的应力、应变和位移分量与直角坐标有所不同，需要相应的转换公式。
八、能量原理1、应变能：物体在变形过程中储存的能量。
2、虚功原理：外力在虚位移上所做的虚功等于内力在虚应变上所做的虚功。
弹性力学基础知识
06
弹性力学的有限元法
有限元法的基本概念
有限元法是一种数值分析方法，通过将复杂的 物理系统离散化为有限个简单元（或称为元素） 的组合，来近似求解复杂的物理问题。
这些简单元在节点处相互连接，形成一个离散 的系统，其行为可以通过物理定律和数学模型 进行描述。
有限元法的核心思想是将连续的求解域离散化， 将复杂的边界条件和应力状态转化为有限个单 元的组合。
弹性力学基础知识
• 弹性力学概述 • 弹性力学的基本假设 • 弹性力学的基本方程 • 弹性力学的基本问题 • 弹性力学的能量原理与变分原理 • 弹性力学的有限元法
01
弹性力学概述
定义与特点
定义
弹性力学是一门研究弹性物体在外力 作用下变形和内力的科学。
特点
弹性力学主要关注物体在受力后发生 的变形，以及这种变形如何影响物体 的内力和应力分布。
在声学领域，有限元法可以用于分析声音的传播、噪音的来源 等。
THANKS
感谢观看
有限元法的求解步骤
单元分析
对每个单元进行受力分析，建 立单元的刚度方程。
求解方程
使用数值方法（如直接法、迭 代法等）求解整体刚度方程， 得到节点的位移和应力。
分析模型建立
首先需要建立待分析系统的数 学模型，包括对系统进行离散 化、定义节点、建立方程等。
系统组装
将所有单元的刚度方程组装成 整体的刚度方程，同时引入边 界条件和载荷。
弹性力学的能量原理与变分原理
弹性力学的能量原理
总结词
弹性力学的能量原理是描述物体在外力 作用下能量变化的重要理论，它为解决 弹性力学问题提供了基础框架。
VS
详细描述
弹性力学的能量原理指出，一个弹性系统 在外力作用下，其能量变化等于外力所做 的功与物体形变所吸收的功之和。这个原 理在解决弹性力学问题时非常有用，因为 它可以将复杂的物理现象转化为数学上的 能量平衡问题。
弹性力学基础知识PPT课件
应力矩阵
应变矩阵
19
20
弹性体变形实际上是弹性体内质点的位置变化，质点位置 的改变称为位移（displacement）。位移可分解为x、y、z 三个坐标轴上的投影，称为位移分量。沿坐标轴正方向的 位移分量为正，反之为负。
位移的矩阵表示为 弹性体发生变形时，各质点的位移不一定相同，因此位移
也是x、y、z的函数。
• 完全弹性分为线性和非线性弹性，弹性力学研究限于线性 的应力与应变关系。
• 研究对象的材料弹性常数不随应力或应变的变化而改变。
8
1 弹性力学的基本假设
5. 小变形假设
——假设在外力或者其他外界因素（如温度等）的影响下， 物体的变形与物体自身几何尺寸相比属于高阶小量。
——在弹性体的平衡等问题讨论时，可以不考虑因变形所引 起的尺寸变化。
• —— 物体的弹性性质处处都是相同的。
• 工程材料，例如混凝土颗粒远远小于物体的的几何形状， 并且在物体内部均匀分布，从宏观意义上讲，也可以视为 均匀材料。
• 对于环氧树脂基碳纤维复合材料，不能处理为均匀材料 6
1 弹性力学的基本假设 3. 各向同性假设
• ——假定物体在各个不同的方向上具有相同的物理性质， 这就是说物体的弹性常数将不随坐标方向的改变而变化。
17
z
oy x
τyz
τyx
σy
应力分量
符号规定： 图示单元体面的法线为y,称为y面，应力分量垂直于单元 体面的应力称为正应力。 正应力记为 ,沿y轴的正向为正,其下标表示所沿坐标轴 的方向。 平行于单元体面的应力称为切应力，用τyx 、τyz表示，其
第一下标y表示所在的平面，第二下标x、y分别表示沿
1，没有正应力，没有正应变 2，没有正应变，没有正应力 3，没有应变，没有位移 4，没有位移，没有应变
应变矩阵
19
20
弹性体变形实际上是弹性体内质点的位置变化，质点位置 的改变称为位移（displacement）。位移可分解为x、y、z 三个坐标轴上的投影，称为位移分量。沿坐标轴正方向的 位移分量为正，反之为负。
位移的矩阵表示为 弹性体发生变形时，各质点的位移不一定相同，因此位移
也是x、y、z的函数。
• 完全弹性分为线性和非线性弹性，弹性力学研究限于线性 的应力与应变关系。
• 研究对象的材料弹性常数不随应力或应变的变化而改变。
8
1 弹性力学的基本假设
5. 小变形假设
——假设在外力或者其他外界因素（如温度等）的影响下， 物体的变形与物体自身几何尺寸相比属于高阶小量。
——在弹性体的平衡等问题讨论时，可以不考虑因变形所引 起的尺寸变化。
• —— 物体的弹性性质处处都是相同的。
• 工程材料，例如混凝土颗粒远远小于物体的的几何形状， 并且在物体内部均匀分布，从宏观意义上讲，也可以视为 均匀材料。
• 对于环氧树脂基碳纤维复合材料，不能处理为均匀材料 6
1 弹性力学的基本假设 3. 各向同性假设
• ——假定物体在各个不同的方向上具有相同的物理性质， 这就是说物体的弹性常数将不随坐标方向的改变而变化。
17
z
oy x
τyz
τyx
σy
应力分量
符号规定： 图示单元体面的法线为y,称为y面，应力分量垂直于单元 体面的应力称为正应力。 正应力记为 ,沿y轴的正向为正,其下标表示所沿坐标轴 的方向。 平行于单元体面的应力称为切应力，用τyx 、τyz表示，其
第一下标y表示所在的平面，第二下标x、y分别表示沿
1，没有正应力，没有正应变 2，没有正应变，没有正应力 3，没有应变，没有位移 4，没有位移，没有应变
Ch3各向异性弹性力学基础.
可以求解了吗？
定解还需边界条件！
给定力的边界条件(3)
xl xy m xz n X ,已知 yx l y m yz n Y ,已知 l m n Z ,已知 zy z zx
给定位移的边界条件(3)
u u ,已知 v v ,已知 w w,已知
之间的关系
各向异性弹性力学问题需满足的基 本方程
• 与各向同性弹性力学一样,各向异性弹性力 学有15个未知量
3个位移分量,u,v,w 6个应变分量, x , y , z , yz , xz , yx 6个应力分量, x , y , z , yz , xz , yx
• 15个场方程 静力平衡方程（3）＋几何关系（6）＋本构方程（6）
复合材料宏观力学分析的基本假设
• 1)所研究的各向异性弹性体为均质连续固体.
• 2)线弹性范围内,服从广义虎克定律. • 3)小变形
各向异性与各向同性弹性力学的基本方程的差别
• 差别在于:本构方程
• 其它平衡方程,几何方程,协调方程,和边界条件等 则完全相同. • 即用各向异性胡克定律代替各向同性胡克定律,这 一代换将使力学计算及反映的现象十分复杂.
柔度矩阵
刚度矩阵的性质一
1 C11 C 2 21 3 C31 4 C41 5 C51 C61 6 C12 C22 C32 C42 C52 C62 C13 C23 C33 C43 C53 C63 C14 C24 C34 C44 C54 C64 C15 C25 C35 C45 C55 C65 C16 1 C26 2 C36 3 C46 4 C56 5 C66 6
第三章-各向异性弹性力学基础
判定依据是非零应力状态下，材料的弹性 应变能位正值，应变能应是应变（或应力）的 正定二次型。 1 W S ij i j 2
W 为 i 的正定二次型的充要条件是矩阵 S
的所有主要主子式大于零，即：
S11 0,
S11
S12
S 21 S 22
0, , det Sij 0
五、各向同性（2个弹性常数） E G E, 2(1 )
S11 S 12 S12 0 0 0 S12 S11 S12 0 0 0 S12 S12 S11 0 0 0 0 0 0 2( S11 S12 ) 0 0 0 2( S11 S12 ) 0 0 0 2( S11 S12 ) 0 0 0 0 0 0
Sij 可展开为：
四、横观同性（5个弹性常数）
纤维在横截面内随机排列的，宏观而言， 其在横向的所有方向的弹性性能相同，则称为 横向同性。由于横向同性，则在2-3平面内应为 各向同性，则有 E2 G23 2(1 23 )
故只有5个独立常数：
E1 , E2 , 21（或 12）， G12 ,G23 （或 23）
三、正交各向异性（9个弹性常数）
正交各向异性是指有三个互相正交的弹性主轴 的情况。（有三个互相正交的弹性对称面）
取 x1 , x2 , x3 为三个正交弹性主轴，如图所示：
由a）、b）两坐标系中计算的应变能应该 相同，而在两坐标系下：
31 , 12 , 31 , 12（即 5 , 6 , 5 , 6 ）变号，可得：
xy
yz
前三个分别是xy，yz，zx平面内的3个应变量间 的协调关系；而后三者则分别是正应变和3个切 应变之间的协调关系。
W 为 i 的正定二次型的充要条件是矩阵 S
的所有主要主子式大于零，即：
S11 0,
S11
S12
S 21 S 22
0, , det Sij 0
五、各向同性（2个弹性常数） E G E, 2(1 )
S11 S 12 S12 0 0 0 S12 S11 S12 0 0 0 S12 S12 S11 0 0 0 0 0 0 2( S11 S12 ) 0 0 0 2( S11 S12 ) 0 0 0 2( S11 S12 ) 0 0 0 0 0 0
Sij 可展开为：
四、横观同性（5个弹性常数）
纤维在横截面内随机排列的，宏观而言， 其在横向的所有方向的弹性性能相同，则称为 横向同性。由于横向同性，则在2-3平面内应为 各向同性，则有 E2 G23 2(1 23 )
故只有5个独立常数：
E1 , E2 , 21（或 12）， G12 ,G23 （或 23）
三、正交各向异性（9个弹性常数）
正交各向异性是指有三个互相正交的弹性主轴 的情况。（有三个互相正交的弹性对称面）
取 x1 , x2 , x3 为三个正交弹性主轴，如图所示：
由a）、b）两坐标系中计算的应变能应该 相同，而在两坐标系下：
31 , 12 , 31 , 12（即 5 , 6 , 5 , 6 ）变号，可得：
xy
yz
前三个分别是xy，yz，zx平面内的3个应变量间 的协调关系；而后三者则分别是正应变和3个切 应变之间的协调关系。
复合材料力学-各向异性弹性力学基础
弹性模量
复合材料的弹性模量取决于增强相和基体相的弹性模量以及它们之 间的界面结合强度。
强度和韧性
复合材料的强度和韧性取决于增强相的分布、数量和尺寸，以及它 们与基体相之间的界面结合强度。
04
复合材料的各向异性弹性力学分析
复合材料的弹性常数
弹性常数是复合材料在受到外力作用时表现出的刚 度特性，描述了复合材料的应力与应变之间的关系 。
与单一材料的应力-应变关系不 同，复合材料的应力-应变关系 通常是非线性的，因为它们由 多种材料组成，且各组分材料 的性质和排列方式可能不同。
复合材料的应力-应变关系需要 通过实验测定，因为它们的数 值取决于复合材料的微观结构 和组成。
复合材料的本构方程
本构方程是描述复合材料在受到外力作用时如何响应的数学模型，即描述 了复合材料在不同外力作用下的应力和应变的变化关系。
各向异性材料的分类
按来源分类
天然各向异性材料（如木材、 骨骼等）、人造各向异性材料 （如复合材料、玻璃纤维增强 塑料等）。
按结构分类
晶体各向异性材料、纤维增强 各向异性材料、织物增强各向 异性材料等。
按对称性分类
单轴各向异性材料、正交各向 异性材料、各项同性材料等。
各向异性弹性力学的基本方程
01
汽车零部件
复合材料还用于制造汽车中的各种 零部件，如刹车片、气瓶和油箱等， 以提高其耐久性和安全性。
汽车轻量化
复合材料的轻质特性使其成为汽车 轻量化的理想选择，有助于提高车 辆的燃油效率和动力性能。
建筑领域的应用
建筑结构加固
复合材料可以用于加固建 筑结构，提高其承载能力 和耐久性，如桥梁、大坝 和高层建筑等。
未来研究方向
进一步深入研究复合材料的各向异性性质，探索 其在不同环境和载荷条件下的行为和性能。
复合材料的弹性模量取决于增强相和基体相的弹性模量以及它们之 间的界面结合强度。
强度和韧性
复合材料的强度和韧性取决于增强相的分布、数量和尺寸，以及它 们与基体相之间的界面结合强度。
04
复合材料的各向异性弹性力学分析
复合材料的弹性常数
弹性常数是复合材料在受到外力作用时表现出的刚 度特性，描述了复合材料的应力与应变之间的关系 。
与单一材料的应力-应变关系不 同，复合材料的应力-应变关系 通常是非线性的，因为它们由 多种材料组成，且各组分材料 的性质和排列方式可能不同。
复合材料的应力-应变关系需要 通过实验测定，因为它们的数 值取决于复合材料的微观结构 和组成。
复合材料的本构方程
本构方程是描述复合材料在受到外力作用时如何响应的数学模型，即描述 了复合材料在不同外力作用下的应力和应变的变化关系。
各向异性材料的分类
按来源分类
天然各向异性材料（如木材、 骨骼等）、人造各向异性材料 （如复合材料、玻璃纤维增强 塑料等）。
按结构分类
晶体各向异性材料、纤维增强 各向异性材料、织物增强各向 异性材料等。
按对称性分类
单轴各向异性材料、正交各向 异性材料、各项同性材料等。
各向异性弹性力学的基本方程
01
汽车零部件
复合材料还用于制造汽车中的各种 零部件，如刹车片、气瓶和油箱等， 以提高其耐久性和安全性。
汽车轻量化
复合材料的轻质特性使其成为汽车 轻量化的理想选择，有助于提高车 辆的燃油效率和动力性能。
建筑领域的应用
建筑结构加固
复合材料可以用于加固建 筑结构，提高其承载能力 和耐久性，如桥梁、大坝 和高层建筑等。
未来研究方向
进一步深入研究复合材料的各向异性性质，探索 其在不同环境和载荷条件下的行为和性能。
Ch3各向异性弹性力学基础解读
之间的关系
各向异性弹性力学问题需满足的基 本方程
• 与各向同性弹性力学一样,各向异性弹性力 学有15个未知量
3个位移分量,u,v,w 6个应变分量, x , y , z , yz , xz , yx 6个应力分量, x , y , z , yz , xz , yx
• 15个场方程 静力平衡方程（3）＋几何关系（6）＋本构方程（6）
可以求解了吗？
定解还需边界条件！
给定力的边界条件(3)
xl xy m xz n X ,已知 yx l y m yz n Y ,已知 l m n Z ,已知 zy z zx
给定位移的边界条件(3)
u u ,已知 v v ,已知 w w,已知
1 C11 C 2 21 3 C31 4 C41 5 C51 C61 6 C12 C22 C32 C42 C52 C62 C13 C23 C33 C43 C53 C63
36个 刚度矩阵
w v zy y z
w u zx x z
yx
u v y x
本构方程（6）
反映出材料 的性质！
6个应变分量, x , y , z , yz , xz , yx
与
6个应力分量, x , y , z , yz , xz , yx
S12 S22 S32 S42 S52 S62
S13 S23 S33 S43 S53 S63
S14 S24 S34 S44 S54 S64
S15 S25 S35 S45 S55 S65
S16 1 S26 2 S36 3 S46 4 S56 5 S66 6
各向异性弹性力学问题需满足的基 本方程
• 与各向同性弹性力学一样,各向异性弹性力 学有15个未知量
3个位移分量,u,v,w 6个应变分量, x , y , z , yz , xz , yx 6个应力分量, x , y , z , yz , xz , yx
• 15个场方程 静力平衡方程（3）＋几何关系（6）＋本构方程（6）
可以求解了吗？
定解还需边界条件！
给定力的边界条件(3)
xl xy m xz n X ,已知 yx l y m yz n Y ,已知 l m n Z ,已知 zy z zx
给定位移的边界条件(3)
u u ,已知 v v ,已知 w w,已知
1 C11 C 2 21 3 C31 4 C41 5 C51 C61 6 C12 C22 C32 C42 C52 C62 C13 C23 C33 C43 C53 C63
36个 刚度矩阵
w v zy y z
w u zx x z
yx
u v y x
本构方程（6）
反映出材料 的性质！
6个应变分量, x , y , z , yz , xz , yx
与
6个应力分量, x , y , z , yz , xz , yx
S12 S22 S32 S42 S52 S62
S13 S23 S33 S43 S53 S63
S14 S24 S34 S44 S54 S64
S15 S25 S35 S45 S55 S65
S16 1 S26 2 S36 3 S46 4 S56 5 S66 6
各向异性弹性力学课件
建议
开发更先进的实验设备和方法，提高测 试精度和效率
深入研究各向异性材料的微观结构和性 能关系
在实际工程中考虑各向异性材料的性能 特点，确保结构安全和稳定性
06
各向异性弹性力学的案例 分析
案例一：高层建筑结构的各向异性分析
总结词
高层建筑结构的各向异性分析是各向异性弹性力学的重要应用之一，主要研究高层建筑在不同方向上的刚度和强 度表现。
03 02
实验设备与实验方法
01
将样本固定在测试仪上
02
通过计算机控制系统施加不同方向的应力
实时采集数据并进行分析
03
实验结果与分析
实验结果
1
2
不同方向上的弹性模量存在差异
3
应变分布不均匀，与方向相关
实验结果与分析
01
泊松比随方向变化而变化
02
结果分析
03
各向异性材料的弹性性质与晶体结构密切相关
。
各向异性弹性力学的发展历程
03
早期研究
理论发展
应用领域拓展
各向异性弹性力学的研究始于19世纪中 叶，当时主要关注天然材料的各向异性性 质。
20世纪初，随着复合材料和金属材料的 广泛应用，各向异性弹性力学的理论得到 进一步发展和完善。
随着科技的进步，各向异性弹性力学在航 空航天、土木工程、机械制造等领域得到 广泛应用，为解决复杂问题提供了重要的 理论支持。
复杂材料行为
各向异性弹性材料在不同方向上 表现出不同的弹性性质，导致其 力学行为非常复杂，难以用传统
弹性力学理论描述。
缺乏统一理论框架
目前缺乏一个统一的数学理论框 架来描述各向异性弹性材料的本 构关系、边界条件和应力分析。
开发更先进的实验设备和方法，提高测 试精度和效率
深入研究各向异性材料的微观结构和性 能关系
在实际工程中考虑各向异性材料的性能 特点，确保结构安全和稳定性
06
各向异性弹性力学的案例 分析
案例一：高层建筑结构的各向异性分析
总结词
高层建筑结构的各向异性分析是各向异性弹性力学的重要应用之一，主要研究高层建筑在不同方向上的刚度和强 度表现。
03 02
实验设备与实验方法
01
将样本固定在测试仪上
02
通过计算机控制系统施加不同方向的应力
实时采集数据并进行分析
03
实验结果与分析
实验结果
1
2
不同方向上的弹性模量存在差异
3
应变分布不均匀，与方向相关
实验结果与分析
01
泊松比随方向变化而变化
02
结果分析
03
各向异性材料的弹性性质与晶体结构密切相关
。
各向异性弹性力学的发展历程
03
早期研究
理论发展
应用领域拓展
各向异性弹性力学的研究始于19世纪中 叶，当时主要关注天然材料的各向异性性 质。
20世纪初，随着复合材料和金属材料的 广泛应用，各向异性弹性力学的理论得到 进一步发展和完善。
随着科技的进步，各向异性弹性力学在航 空航天、土木工程、机械制造等领域得到 广泛应用，为解决复杂问题提供了重要的 理论支持。
复杂材料行为
各向异性弹性材料在不同方向上 表现出不同的弹性性质，导致其 力学行为非常复杂，难以用传统
弹性力学理论描述。
缺乏统一理论框架
目前缺乏一个统一的数学理论框 架来描述各向异性弹性材料的本 构关系、边界条件和应力分析。
第3章 弹性力学基础知识-1弹性力学的平衡
2 2 ∂ 2ε x ∂ ε y ∂ γ xy ∂ ∂γ zx ∂γ xy ∂γ yz ∂ 2ε x =2 + = , + + ∂y 2 ∂x 2 ∂x∂y ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y∂z ∂ 2ε y ∂ 2ε z ∂ 2γ yz ∂ ∂γ xy ∂γ yz ∂γ zx ∂ 2ε y =2 , + = + + ∂z 2 ∂y 2 ∂y∂z ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z∂x 2 ∂ 2ε z ∂ ε y ∂ 2γ zx ∂ ∂γ yz ∂γ zx ∂γ xy ∂ 2ε z =2 , + = + + ∂x2 ∂x2 ∂z∂x ∂z ∂x ∂y ∂z ∂x∂y
3.2 弹性力学的几个基本概念
3.2.3 一点的应力状态 1．概念 ． 把经过物体内任意一点各个截面上的应力状况叫做一点的应力状 态。 2．一点的应力状态 ． 假设已知弹性体内任意一点P的 假设已知弹性体内任意一点 的 6个应力分量 σ 6个应力分量： x , σ y , σ z , τ xy , τ yz , τ xz ， 个应力分量： 则可以确定经过P点的任一斜面上的 则可以确定经过 点的任一斜面上的 应力。 应力。 如图3.3所示 所示， 如图 所示，在P点附近取一平 点附近取一平 图3.3 斜面应力 与给定斜面平行， 面ABC与给定斜面平行，且该平面 与给定斜面平行 与经过P点而垂直于坐标轴的三个平面形成微小的四面体 点而垂直于坐标轴的三个平面形成微小的四面体PABC, 当ABC 与经过 点而垂直于坐标轴的三个平面形成微小的四面体 无限接近于P点时，平面 上的应力无限接近于斜面上的应力。 无限接近于 点时，平面ABC上的应力无限接近于斜面上的应力。 点时 上的应力无限接近于斜面上的应力
3.2 弹性力学的几个基本概念
3.2.3 一点的应力状态 1．概念 ． 把经过物体内任意一点各个截面上的应力状况叫做一点的应力状 态。 2．一点的应力状态 ． 假设已知弹性体内任意一点P的 假设已知弹性体内任意一点 的 6个应力分量 σ 6个应力分量： x , σ y , σ z , τ xy , τ yz , τ xz ， 个应力分量： 则可以确定经过P点的任一斜面上的 则可以确定经过 点的任一斜面上的 应力。 应力。 如图3.3所示 所示， 如图 所示，在P点附近取一平 点附近取一平 图3.3 斜面应力 与给定斜面平行， 面ABC与给定斜面平行，且该平面 与给定斜面平行 与经过P点而垂直于坐标轴的三个平面形成微小的四面体 点而垂直于坐标轴的三个平面形成微小的四面体PABC, 当ABC 与经过 点而垂直于坐标轴的三个平面形成微小的四面体 无限接近于P点时，平面 上的应力无限接近于斜面上的应力。 无限接近于 点时，平面ABC上的应力无限接近于斜面上的应力。 点时 上的应力无限接近于斜面上的应力
各向异性弹性力学
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泊松比等。
各向异性弹性力学广泛应用于工程领域，如建筑、机械、航空
03
航天等。
研究背景和意义
随着科技的发展，各向异性材料在工程中的应用越来越广泛，如复合材料、功能材 料等。
各向异性材料的复杂力学行为需要精确的数学模型来描述，因此研究各向异性弹性 力学具有重要的理论意义和应用价值。
各向异性弹性力学的研究有助于深入理解材料的力学行为，为工程设计和优化提供 理论支持。
建筑结构的各向异性分析
总结词
建筑结构的各向异性分析是利用各向异性弹性力学理论，对 建筑结构在不同方向上的受力特性进行详细分析和评估的过 程。
详细描述
在建筑结构设计中，由于材料、结构和构造等因素的影响， 结构在不同方向上可能会表现出不同的力学特性。各向异性 弹性力学提供了对这种复杂行为的数学描述，帮助工程师更 准确地预测和评估建筑结构的性能。
各向异性弹性力学与其他领域的交叉研究
各向异性材料与生物医学 工程
研究各向异性材料在生物医学工程中的应用 ，如组织工程和再生医学，为个性化医疗和 人体植入物的发展提供理论和技术支持。
各向异性材料与环境工程
探讨各向异性材料在环境工程中的应用，如 土壤和地下水污染修复、生态修复和防洪减 灾等，以提高环境工程的效率和可持续性。
05
各向异性弹性力学 的未来研究方向
高性能各向异性材料的开发
高强度各向异性复合材料
利用先进的制备技术，开发具有高强度 、高刚度和优异耐久性的各向异性复合 材料，以满足航空航天、汽车和体育器 材等领域对高性能材料的需求。
VS
多功能各向异性材料
探索新型的多功能各向异性材料，如具有 电磁、热学和光学等多功能的材料，为未 来智能设备和新能源领域的发展提供有力 支持。
第三章-各向异性弹性力学基础
的。
6个独立等式：
2 x 2 y 2 xy
y 2 x2 xy
2 y 2 z 2 yz
z2 y2 yz
2 z
x 2
2 x
z 2
2 zx
zx
( zx xy yz ) 2 2 x
x y z x yz
( xy yz zx ) 2 2 y
y z x y zx
( yz zx xy ) 2 2 z
2(1 23 )
故只有5个独立常数：
E1, E2 , 21（或 12）， G12 , G（23 或 23）
即：
S11 S12 S12 0 0 0
S21 S 22 S 23
0
0
0
S021
S 23 0
S 22 0
0 S 44
0 0
0
0
0
0
0
0
S 66
0
0 0 0 0 0 S66
由工程应变形式的展开式为：
1轴沿纤维方向，并有 ij ji ，而是
ij ji 即 ij 没有对称性。
E j Ei
Sij 可展开为：
四、横观同性（5个弹性常数）
纤维在横截面内随机排列的，宏观而言， 其在横向的所有方向的弹性性能相同，则称为 横向同性。由于横向同性，则在2-3平面内应为 各向同性，则有
G23
E2
1 S13 3; 2 S23 3; 3 S33 3;
4 23 0 5 31 0 6 12 S36 3
此公式说明：当沿弹性主轴拉伸时，除纵向伸 长、横向收缩外，还会引起与主轴垂直的面内 剪应变，且弹性主轴方向不变。
三、正交各向异性（9个弹性常数）
正交各向异性是指有三个互相正交的弹性主轴 的情况。（有三个互相正交的弹性对称面） 取 x1, x2 , x3 为三个正交弹性主轴，如图所示：
6个独立等式：
2 x 2 y 2 xy
y 2 x2 xy
2 y 2 z 2 yz
z2 y2 yz
2 z
x 2
2 x
z 2
2 zx
zx
( zx xy yz ) 2 2 x
x y z x yz
( xy yz zx ) 2 2 y
y z x y zx
( yz zx xy ) 2 2 z
2(1 23 )
故只有5个独立常数：
E1, E2 , 21（或 12）， G12 , G（23 或 23）
即：
S11 S12 S12 0 0 0
S21 S 22 S 23
0
0
0
S021
S 23 0
S 22 0
0 S 44
0 0
0
0
0
0
0
0
S 66
0
0 0 0 0 0 S66
由工程应变形式的展开式为：
1轴沿纤维方向，并有 ij ji ，而是
ij ji 即 ij 没有对称性。
E j Ei
Sij 可展开为：
四、横观同性（5个弹性常数）
纤维在横截面内随机排列的，宏观而言， 其在横向的所有方向的弹性性能相同，则称为 横向同性。由于横向同性，则在2-3平面内应为 各向同性，则有
G23
E2
1 S13 3; 2 S23 3; 3 S33 3;
4 23 0 5 31 0 6 12 S36 3
此公式说明：当沿弹性主轴拉伸时，除纵向伸 长、横向收缩外，还会引起与主轴垂直的面内 剪应变，且弹性主轴方向不变。
三、正交各向异性（9个弹性常数）
正交各向异性是指有三个互相正交的弹性主轴 的情况。（有三个互相正交的弹性对称面） 取 x1, x2 , x3 为三个正交弹性主轴，如图所示：
PPT-1.各向异性体弹性力学基础
τyz B
C
O
σz
y
x
二.平衡微分方程
平衡微分方程
x yx zx X 0 x y z xy y zy Y 0 x y z xz yz z Z 0 x y z
m 2 m3 m3 m1 m1 m2
n 2 n3 n3 n1 n1 n2
x ' T x
x 2l 2 m2 y 2l3 m3 z l 2 m3 l3 m2 yz l3 m1 l1 m3 zx l1 m2 l 2 m1 xy 2l1 m1
2 m2 2 m3
n12
2 n2 2 n3
2m1 n1 2m 2 n 2 2 m3 n 3 m 2 n 3 m3 n 2 m3 n1 m1 n3 m1 n2 m2 n1
2n1l1 2n 2 l 2 2 n3 l 3 n 2 l 3 n3 l 2 n3 l1 n1l3 n1l 2 n2 l1
第1章
各向异性体弹性力学基础
I. 弹性力学的基本假设
假设 内容 数理应用 应力、应变和位 移是连续的，可 表示成坐标的连 续函数，可运用 连续和极限的概 念。 适用条件 与复材性质 矛盾的处理
连续性
组成物体的质点间 不存在任何空隙。
微粒尺寸及各 微粒间距远小于 物体的几何尺寸。
均匀性
所研究的物体由同 一类型的均匀材料 组成，故各部分的 物性相同，不随坐 标位置而变化。
IV. 应力和应变的关系
一.广义虎克定律
以应力表示应变
x S11 y S 21 z S 31 yz S 41 zx S 51 xy S 61 S12 S 22 S 32 S 42 S 52 S 62 S13 S 23 S 33 S 43 S 53 S 63 S14 S 24 S 34 S 44 S 54 S 64 S15 S 25 S 35 S 45 S 55 S 65 S16 x S 26 y S 36 z S 46 yz S 56 zx S 66 xy
弹性力学ppt课件
应变定义
物体在外力作用下产生的 形变，表示物体尺寸和形 状的变化。
应力与应变关系
应力与应变之间存在一一 对应关系，通过本构方程 来描述。
广义胡克定律及应用
1 2
广义胡克定律 又称作弹性本构关系，表示应力与应变之间的线 性关系。
广义胡克定律的应用 用于计算弹性体在复杂应力状态下的应力和应变， 是弹性力学中的重要基础。
弹性力学ppt课件
contents
目录
• 弹性力学概述 • 弹性力学基本原理 • 线性弹性力学问题求解方法 • 非线性弹性力学问题简介 • 弹性力学实验方法与技术应用 • 弹性力学在相关领域拓展应用
01 弹性力学概述
弹性力学定义与研究对象
弹性力学定义
弹性力学是研究弹性体在外力和其他 外界因素作用下产生的变形和内力， 从而在变形与外力之间建立一定关系 的科学。
有限元法在弹性力学中应用
有限元法基本原理
将连续体离散化为有限个单元，每个单元用简单的函数近似表示，通 过变分原理得到有限元方程。
有限元法求解过程
包括网格划分、单元分析、整体分析、边界条件处理和求解有限元方 程等步骤。
有限元法的优缺点
有限元法可以求解复杂几何形状、非均质材料和非线性问题，但存在 网格划分和计算精度等问题。
布。
弹性模量和泊松比测定实验
拉伸法
通过对标准试件进行拉伸实验，测量试件的应力和应变，从 而计算得到弹性模量和泊松比。
压缩法
通过对标准试件进行压缩实验，测量试件的应力和应变，进 而计算弹性模量和泊松比，适用于脆性材料的测量。
弯曲法
通过对梁式试件进行三点或四点弯曲实验，测量试件的挠度 和应力，从而推算出弹性模量，特别适用于细长构件的测量。
有限元分析第3章弹性力学基础知识1
¶w ¶v ¶w ¶w ¶u z ， yz + ， zx + ¶z ¶z ¶y ¶x ¶z
联立得到几何方程，表明应变分量与位移分量之间的关系：
¶u ¶v ¶w ， y ， z ¶x ¶y ¶z ¶u ¶v ¶v ¶w ¶w ¶u + ， yz + ， zx + ¶y ¶x ¶z ¶y ¶x ¶z
弹性力学的基本假定
4、各向同性(Isotropy)
物体的弹性性质在所有各个方向都相同 好处：物体材料常数不随坐标方向改变而改变
像木材，竹子以及纤维增强材料等，属于各向异 性材料。
弹性力学的基本假定
5、小变形假定(Small deformation):
物体的位移和形变是微小的. 即物体的位移 远小于物体原来的尺寸, 而且应变和转角都远小 于1
u+
¶u dy ¶y
C'
D" b D '
D C
A ' B ' AB x AB ¶u (u + dx) u ¶x dx ¶u ¶x
dy
u
v
A
A'
B'
a
v+
¶v dx ¶x
B dx
¶u u + dx ¶x
B"
x
0
¼ Í
1-5
弹性力学的基本方程之几何方程
（2）y方向的相对伸长量
y
¶u dy ¶y
切应力符号 的含义
受力面的法线方向
xy
力的方向
弹性力学的运动与变形
1、位移、形变、正应变、剪应变的概念
位移（displacement）: 是指位置的移动. 它在 x, y and z 轴上的 投影用 u, v 和w。
联立得到几何方程，表明应变分量与位移分量之间的关系：
¶u ¶v ¶w ， y ， z ¶x ¶y ¶z ¶u ¶v ¶v ¶w ¶w ¶u + ， yz + ， zx + ¶y ¶x ¶z ¶y ¶x ¶z
弹性力学的基本假定
4、各向同性(Isotropy)
物体的弹性性质在所有各个方向都相同 好处：物体材料常数不随坐标方向改变而改变
像木材，竹子以及纤维增强材料等，属于各向异 性材料。
弹性力学的基本假定
5、小变形假定(Small deformation):
物体的位移和形变是微小的. 即物体的位移 远小于物体原来的尺寸, 而且应变和转角都远小 于1
u+
¶u dy ¶y
C'
D" b D '
D C
A ' B ' AB x AB ¶u (u + dx) u ¶x dx ¶u ¶x
dy
u
v
A
A'
B'
a
v+
¶v dx ¶x
B dx
¶u u + dx ¶x
B"
x
0
¼ Í
1-5
弹性力学的基本方程之几何方程
（2）y方向的相对伸长量
y
¶u dy ¶y
切应力符号 的含义
受力面的法线方向
xy
力的方向
弹性力学的运动与变形
1、位移、形变、正应变、剪应变的概念
位移（displacement）: 是指位置的移动. 它在 x, y and z 轴上的 投影用 u, v 和w。
Ch3各向异性弹性力学基础
从宏观力学分析角度看，复合材料可被视作均质各向 异性材料。（没有绝对的均质材料，如离散原子在空 间的密度就不均匀，可以视作连续和均质是因为所研 究系统的尺度远大于材料不均匀变化波长。）
各向异性是复合材料宏观力学的最重要特征！
复合材料的各向异性可能来源于两个方面 • 增强相排布的方向性 • 增强相和基体相本身的各向异性
12
E2
13
E3
0 0 0 1 G23 0 0
0 0 0 0 1 G31 0
1 E2
23
E3
32
E2 0 0 0
1 E3 0 0 0
0 0 0 0 0 1 G12
当只在j方向作用正应力时 i i ij Sij E j j j / Ej
第三章
各向异性弹性力学基础
第一节
简介
以往所学的材料力学与弹性力学的研究对象主要 是均质、各向同性材料 什么是均质材料？ • 均质材料是指材料内部各个不同物质点（或空间坐 标）的性质相同，如弹性模量 什么是各向同性材料？
•各向同性材料是指材料沿不同方向的性质相同（图）
从细观上看，复合材料是异质材料，因为材料中的增 强相和基体相的材料性质不同，所以复合材料细观力 学要反映出这种非均质性。
x2
正交各向异性(三个互相正交的弹性对称面) (9个 弹性常数)(13-4)
没有拉压 剪切耦合 现象
1 S11 S12 S13 S22 S23 2 3 S33 4 5 对称 6
对于各向异性材料的柔度矩阵或刚度矩阵， 其分量是和坐标方向选取有关！！！ 可以从两方面理解：1 张量的分量、2 以单 拉为例
第三章各向异性弹性力学基础
Sij 可展开为：
四、横观同性（5个弹性常数）
纤维在横截面内随机排列的，宏观而言， 其在横向的所有方向的弹性性能相同，则称为 横向同性。由于横向同性，则在2-3平面内应为 各向同性，则有 E2 G23 2(1 23 )
故只有5个独立常数：
E1 , E2 , 21（或 12）， 23） G12 , G （或 23
纤 维 在 横截 面 内 按矩形排列的单向纤 维复合材料，宏观而 言则是一正交异性体。 共有9个弹性常数：
E1 , E2 , E3 , 12 , 31 , 23 , G23 , G31 , G12
1轴沿纤维方向，并有
ij ji
，而是
ij
Ej
ji
Ei
即 ij 没有对称性。
共有81个方程，但只有6个是不同的，其余的 不是恒等式就是由于 ij 的对称性而都是重复 的。 6个独立等式： 2 2 2 xy x y
y
2
z 2 2 z y yz
2
y 2 yz
2
x
2
xy
2 2
z x zx 2 2 x z zx
S16 S 26 S 36 S 45 0
即： S11 S12 S13
S 22 S 23 S 33 对 称 0 0 0 S 44 0 0 0 0 S 55 0 0 0 0 0 S 66
由此可得：1）当采用材料主轴来描述正交异性 体时，没有任何拉剪耦合现象；2）在非材料主 轴系里，正交异性材料仍有耦合现象。
如果 3 0 ，其余应力分量为零，则有：
1 S13 3 ; 2 S 23 3 ; S ; 33 3 3
复合材料力学_各向异性弹性力学基础
则：S66＝2(S11 –S12)
2
横观各向同性材料
S11 S12 S13 S 0 0 0
S12 S11 S13 0 0 0
S13 S13 S 33 0 0 0
0 0 0 S 44 0 0
0 0 0 0 S 44 0
0 0 0 0 2S11 S12 0
一、完全各向异性（21个弹性常数）
x S11 S12 S13 S14 S15 S16 x y S 21 S 22 S 23 S 24 S 25 S 26 y z S31 S32 S33 S34 S35 S36 z yz S 41 S 42 S 43 S 44 S 45 S 46 yz zx S51 S52 S53 S54 S55 S56 zx C61 C62 C63 C64 C65 C66 xy xy
完全各向异性 具有一个弹性对称面的材料 正交各向异性材料 横观各向同性材料 各向同性材料
§2.2
x 1 y 2 z 3 应力 yz 4 zx 5 xy 6
应变
yz zx xy
x 1 y 2 z 3 2 yz 4 2 zx 5 2 xy 6
i 单独在j方向有正应力时i方向上 ij — 应变与j方向应变之比的负值 j
对正交各向异性材料：
S11 S12 S13 S 0 0 0 S12 S 22 S 23 0 0 0 S13 S 23 S 33 0 0 0 0 0 0 S 44 0 0 0 0 0 0 S 55 0 0 0 0 0 0 S 66
2
横观各向同性材料
S11 S12 S13 S 0 0 0
S12 S11 S13 0 0 0
S13 S13 S 33 0 0 0
0 0 0 S 44 0 0
0 0 0 0 S 44 0
0 0 0 0 2S11 S12 0
一、完全各向异性（21个弹性常数）
x S11 S12 S13 S14 S15 S16 x y S 21 S 22 S 23 S 24 S 25 S 26 y z S31 S32 S33 S34 S35 S36 z yz S 41 S 42 S 43 S 44 S 45 S 46 yz zx S51 S52 S53 S54 S55 S56 zx C61 C62 C63 C64 C65 C66 xy xy
完全各向异性 具有一个弹性对称面的材料 正交各向异性材料 横观各向同性材料 各向同性材料
§2.2
x 1 y 2 z 3 应力 yz 4 zx 5 xy 6
应变
yz zx xy
x 1 y 2 z 3 2 yz 4 2 zx 5 2 xy 6
i 单独在j方向有正应力时i方向上 ij — 应变与j方向应变之比的负值 j
对正交各向异性材料：
S11 S12 S13 S 0 0 0 S12 S 22 S 23 0 0 0 S13 S 23 S 33 0 0 0 0 0 0 S 44 0 0 0 0 0 0 S 55 0 0 0 0 0 0 S 66
第3章弹性力学基础知识3
合并同类项，得
u u v w v v w w u y z yx x yz xz dxdydz y z z z x y x y x
上式的推导中，用到了平衡条件，包含体内力的平衡和边界上力的平衡。 因此，弹性体的虚功原理与弹性体的平衡方程和力的边界条件是等价的。
弹性 力学 边值 问题 提法
n p
on S p
in
用虚功方程代替。
许可位移场 虚位移满足条件 与虚功原理无关
A b 0 Lu D
u u , v v , w w on Su
Fi ri FNi ri 0
Fi FNi 0
或记为
W
Fi
0
此方程称虚功方程,其表达的原理称虚位移原理或虚功原理.
对于具有理想约束的质点系,其平衡的充分必要条件是:
作用于质点系的所有主动力在任何虚位移中所作的虚功的和 等于零. 解析式为
F x F y F z 0
如果在质点系的任何虚位移中,所有约束力所作虚功的和 等于零，称这种约束为理想约束.
WN WNi FNi ri 0
光滑固定面约束、光滑铰链、无重刚杆，不可伸长 的柔索、固定端、轮子只滚不滑等约束为理想约束.
设质点系处于平衡,有
即
Fi r i FNi ri 0 F i ri 0
二、弹性体的虚功原理
x u x udydz xy vdydz xz wdydz x dx u dx dydz x x xy v w xy dx v dx dydz xz xz dx w dx dydz x x x x
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判定依据是非零应力状态下，材料的弹性 应变能位正值，应变能应是应变（或应力）的 正定二次型。 1 W S ij i j 2
W 为 i 的正定二次型的充要条件是矩阵 S
的所有主要主子式大于零，即：
S11 0,
S11
S12
S 21 S 22
0, , det Sij 0
即：
S11 S 21 S 21 0 0 0
S12 S 22 S 23 0 0 0
S12 S 23 S 22 0 0 0
0 0 0 S 44 0 0
0 0 0 0 S 66 0
0 0 0 0 0 S 66
由工程应变形式的展开式为：2 12 4而 1 4 在x3变向时要变号，为保证W相同， 则有
S14 0
同理： S14 S 24 S 34 S 46 0
S15 S 25 S 35 S 56 0
独立常数减少为13个，即
S11 S12 S 22 S13 S 23 S 33 对 称 0 0 0 S 44 0 0 0 S 45 S 55 S16 S 26 S 36 0 0 S 66
Cij C ji 刚度矩阵 Sij S ji 柔度矩阵
*
各向异性体的弹性应变能为：
1 1 W C ij i j S ij i j 2 2
拉-拉耦合 （泊桑效 应）
拉剪耦 合
C11
C22
C33 C44 C55
二、有一弹性对称面（13个弹性常数）
弹性对称面：沿这些平面的对称方向弹性性 能是相同的。 材料主轴（或弹性主轴）：垂直于弹性对称 面的轴。
利用两个方向下材料的应变能密度表达式 应保持不变（即利用两个坐标系计算得到的单 位体积应变能的结果是相同的）可以推得： 设仅有 1 , 4 ，即有
W S11 2S14 1 4
1、对于各向同性，可推得： 1 1 E0 2 1 实际上一般为： 0 2 2、对于正交各向异性，有：
E1 , E2 , E3 , G23 , G31 , G12 0
1 E1
12
对称
E2 0 1 E2
，…… 等等
作业：
1.推导正交各向异性材料柔度矩阵为 零的分量； 2.推导正交各向异性材料中各个常数 的取值范围。
Sij 可展开为：
四、横观同性（5个弹性常数）
纤维在横截面内随机排列的，宏观而言， 其在横向的所有方向的弹性性能相同，则称为 横向同性。由于横向同性，则在2-3平面内应为 各向同性，则有 E2 G23 2(1 23 )
故只有5个独立常数：
E1 , E2 , 21（或 12）， 23） G12 , G （或 23
ij, j f i 0
分量形式为：
(i, j 1,2,3)
x xy xz X 0 x y z yx x y y yz z Y 0
zx zy z Z 0 x y z
2、几何关系（小变形）
如果 3 0 ，其余应力分量为零，则有：
1 S13 3 ; 2 S 23 3 ; S ; 33 3 3
4 23 0 5 31 0 6 12 S36 3
此公式说明：当沿弹性主轴拉伸时，除纵向 伸长、横向收缩外，还会引起与主轴垂直的 面内剪应变，且弹性主轴方向不变。
纤 维 在 横截 面 内 按矩形排列的单向纤 维复合材料，宏观而 言则是一正交异性体。 共有9个弹性常数：
E1 , E2 , E3 , 12 , 31 , 23 , G23 , G31 , G12
1轴沿纤维方向，并有
ij ji
，而是
ij
Ej
ji
Ei
即 ij 没有对称性。
五、各向同性（2个弹性常数） E G E, 2(1 )
S11 S 12 S12 0 0 0 S12 S11 S12 0 0 0 S12 S12 S11 0 0 0 0 0 0 2( S11 S12 ) 0 0 0 2( S11 S12 ) 0 0 0 2( S11 S12 ) 0 0 0 0 0 0
三、正交各向异性（9个弹性常数）
正交各向异性是指有三个互相正交的弹性主轴 的情况。（有三个互相正交的弹性对称面）
取 x1 , x2 , x3 为三个正交弹性主轴，如图所示：
由 a）、 b）两坐标系中计算的应变能应该 相同，而在两坐标系下：
31 , 12 , 31 , 12（即 5 , 6 , 5 , 6 ）变号，可得：
C66
剪 - 剪耦 合
§3-2 各向异性弹性力学的本构方程
一、完全各向异性（21个弹性常数）
1 S11 1 S12 2 S13 3 S14 4 S15 5 S16 6
其中Sij为柔度系数，4、5和6即为剪应 力23、31和 12。可见各向异性体一般具有耦 合现象：正应力引起剪应变，剪应力也可以 引起正应变；反之亦然。
E1 E 2 E 3 , 12 G G G 23 12 1 1 [ 1 ( 2 3 )] E 2 2 3 1 3 1 2 3 1 23 23 31 G 31 12 12
六、弹性常数的取值范围
共有81个方程，但只有6个是不同的，其余的 不是恒等式就是由于 ij 的对称性而都是重复 的。 6个独立等式： 2 2 2 xy x y
y
2
x
2
xy
2 2
y
2
z 2 2 z y yz
2
yz
2
z x zx 2 2 x z zx
第三章 各向异性弹性力学基础
§3-1 各向异性弹性力学基本方程
基本未知量： 位移分量：u, v, w
应变分量： x , y , z , yz , zx , xy 应力分量： x , y , z , yz , zx , xy
基本方程： 1、平衡方程
2
x zx ( )2 x y z x yz 2 y zx xy yz ( )2 y z x y zx yz zx xy 2 z ( )2 z x y z xy
2
xy
yz
前三个分别是xy，yz，zx平面内的3个应变量间 的协调关系；而后三者则分别是正应变和3个切 应变之间的协调关系。
3、边界条件 * 力边界条件： ij ni Ti (在S )
位移边界条件： ui ui (在Su ) 4、各向异性本构方程（小变形） (i, j 1,2,,6) i Cij j 及 i Sij j
S16 S 26 S36 S 45 0
即： S11 S12 S13
S 22 S 23 S 33 对 称 0 0 0 S 44 0 0 0 0 S 55 0 0 0 0 0 S 66
由此可得：1）当采用材料主轴来描述正交异性 体时，没有任何拉剪耦合现象；2）在非材料主 轴系里，正交异性材料仍有耦合现象。
1 ij (u i , j u j ,i ) 2
分量形式为：
u x x
yz
zx
w v y z
u w z x
v y y
w z z
xy
v u x y
变形协调方程：六个应变分量应该满足的一 个关系，即 ij,kl kl,ij lj,ki ki,lj 0 (i, j, k , l 1,2,3)
W 为 i 的正定二次型的充要条件是矩阵 S
的所有主要主子式大于零，即：
S11 0,
S11
S12
S 21 S 22
0, , det Sij 0
即：
S11 S 21 S 21 0 0 0
S12 S 22 S 23 0 0 0
S12 S 23 S 22 0 0 0
0 0 0 S 44 0 0
0 0 0 0 S 66 0
0 0 0 0 0 S 66
由工程应变形式的展开式为：2 12 4而 1 4 在x3变向时要变号，为保证W相同， 则有
S14 0
同理： S14 S 24 S 34 S 46 0
S15 S 25 S 35 S 56 0
独立常数减少为13个，即
S11 S12 S 22 S13 S 23 S 33 对 称 0 0 0 S 44 0 0 0 S 45 S 55 S16 S 26 S 36 0 0 S 66
Cij C ji 刚度矩阵 Sij S ji 柔度矩阵
*
各向异性体的弹性应变能为：
1 1 W C ij i j S ij i j 2 2
拉-拉耦合 （泊桑效 应）
拉剪耦 合
C11
C22
C33 C44 C55
二、有一弹性对称面（13个弹性常数）
弹性对称面：沿这些平面的对称方向弹性性 能是相同的。 材料主轴（或弹性主轴）：垂直于弹性对称 面的轴。
利用两个方向下材料的应变能密度表达式 应保持不变（即利用两个坐标系计算得到的单 位体积应变能的结果是相同的）可以推得： 设仅有 1 , 4 ，即有
W S11 2S14 1 4
1、对于各向同性，可推得： 1 1 E0 2 1 实际上一般为： 0 2 2、对于正交各向异性，有：
E1 , E2 , E3 , G23 , G31 , G12 0
1 E1
12
对称
E2 0 1 E2
，…… 等等
作业：
1.推导正交各向异性材料柔度矩阵为 零的分量； 2.推导正交各向异性材料中各个常数 的取值范围。
Sij 可展开为：
四、横观同性（5个弹性常数）
纤维在横截面内随机排列的，宏观而言， 其在横向的所有方向的弹性性能相同，则称为 横向同性。由于横向同性，则在2-3平面内应为 各向同性，则有 E2 G23 2(1 23 )
故只有5个独立常数：
E1 , E2 , 21（或 12）， 23） G12 , G （或 23
ij, j f i 0
分量形式为：
(i, j 1,2,3)
x xy xz X 0 x y z yx x y y yz z Y 0
zx zy z Z 0 x y z
2、几何关系（小变形）
如果 3 0 ，其余应力分量为零，则有：
1 S13 3 ; 2 S 23 3 ; S ; 33 3 3
4 23 0 5 31 0 6 12 S36 3
此公式说明：当沿弹性主轴拉伸时，除纵向 伸长、横向收缩外，还会引起与主轴垂直的 面内剪应变，且弹性主轴方向不变。
纤 维 在 横截 面 内 按矩形排列的单向纤 维复合材料，宏观而 言则是一正交异性体。 共有9个弹性常数：
E1 , E2 , E3 , 12 , 31 , 23 , G23 , G31 , G12
1轴沿纤维方向，并有
ij ji
，而是
ij
Ej
ji
Ei
即 ij 没有对称性。
五、各向同性（2个弹性常数） E G E, 2(1 )
S11 S 12 S12 0 0 0 S12 S11 S12 0 0 0 S12 S12 S11 0 0 0 0 0 0 2( S11 S12 ) 0 0 0 2( S11 S12 ) 0 0 0 2( S11 S12 ) 0 0 0 0 0 0
三、正交各向异性（9个弹性常数）
正交各向异性是指有三个互相正交的弹性主轴 的情况。（有三个互相正交的弹性对称面）
取 x1 , x2 , x3 为三个正交弹性主轴，如图所示：
由 a）、 b）两坐标系中计算的应变能应该 相同，而在两坐标系下：
31 , 12 , 31 , 12（即 5 , 6 , 5 , 6 ）变号，可得：
C66
剪 - 剪耦 合
§3-2 各向异性弹性力学的本构方程
一、完全各向异性（21个弹性常数）
1 S11 1 S12 2 S13 3 S14 4 S15 5 S16 6
其中Sij为柔度系数，4、5和6即为剪应 力23、31和 12。可见各向异性体一般具有耦 合现象：正应力引起剪应变，剪应力也可以 引起正应变；反之亦然。
E1 E 2 E 3 , 12 G G G 23 12 1 1 [ 1 ( 2 3 )] E 2 2 3 1 3 1 2 3 1 23 23 31 G 31 12 12
六、弹性常数的取值范围
共有81个方程，但只有6个是不同的，其余的 不是恒等式就是由于 ij 的对称性而都是重复 的。 6个独立等式： 2 2 2 xy x y
y
2
x
2
xy
2 2
y
2
z 2 2 z y yz
2
yz
2
z x zx 2 2 x z zx
第三章 各向异性弹性力学基础
§3-1 各向异性弹性力学基本方程
基本未知量： 位移分量：u, v, w
应变分量： x , y , z , yz , zx , xy 应力分量： x , y , z , yz , zx , xy
基本方程： 1、平衡方程
2
x zx ( )2 x y z x yz 2 y zx xy yz ( )2 y z x y zx yz zx xy 2 z ( )2 z x y z xy
2
xy
yz
前三个分别是xy，yz，zx平面内的3个应变量间 的协调关系；而后三者则分别是正应变和3个切 应变之间的协调关系。
3、边界条件 * 力边界条件： ij ni Ti (在S )
位移边界条件： ui ui (在Su ) 4、各向异性本构方程（小变形） (i, j 1,2,,6) i Cij j 及 i Sij j
S16 S 26 S36 S 45 0
即： S11 S12 S13
S 22 S 23 S 33 对 称 0 0 0 S 44 0 0 0 0 S 55 0 0 0 0 0 S 66
由此可得：1）当采用材料主轴来描述正交异性 体时，没有任何拉剪耦合现象；2）在非材料主 轴系里，正交异性材料仍有耦合现象。
1 ij (u i , j u j ,i ) 2
分量形式为：
u x x
yz
zx
w v y z
u w z x
v y y
w z z
xy
v u x y
变形协调方程：六个应变分量应该满足的一 个关系，即 ij,kl kl,ij lj,ki ki,lj 0 (i, j, k , l 1,2,3)