弹性力学第三章
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弹性力学第三章
of a rectangular plate in pure shear. P37
Fig.3.1.1(b)
徐汉忠第一版2000/7
弹性力学 第三章
Hale Waihona Puke 11D. =bxy , X=0, Y=0
• 满足相容方程 4 =0
• 由下式求出应力分量 x=2/y2=0 y= 2/x2=0 xy=-2/xy=-b
Chapter 3 solution of plane problems in rectangular coordinates
第三章 平面问题直角坐标解答
3.1 solution by polynomials 3.1 多项式解答
徐汉忠第一版2000/7
弹性力学 第三章
1
Review: Inverse method 逆解法
徐汉忠第一版2000/7
弹性力学 第三章
9
徐汉忠第一版2000/7
弹性力学 第三章
10
D. =bxy , X=0, Y=0
• It satisfies the compatibility equation 4 =0
• find the stress components by x=2/y2=0 y= 2/x2=0 xy=-2/xy=-b
u/x =My/(EI) u=Mxy/(EI)+f(y) v/y = -My/(EI) v= -My2/(2EI)+g(x) u/y+v/x=0 -df(y)/dy=dg(x)/dx+Mx/(EI)
徐汉忠第一版2000/7
弹性力学 第三章
18
Separation of variables 分离变量
• Select satisfying the compatibility equation 设定 ，并 满足相容方程 4 =0 (2.12.11)
弹性力学有限元第三章
y
v v dy y
u B''
u dy y
B'
B
dy
v P
xy
P' u
dx
o
A'
v dx
yx
x
A''
v A
u u dx x
x
x
u x
y
v y
z
w z
xy
yx
v x
u y
yz
zy
w y
v
z
zx
xz
w x
u z
第三章 空间问题的基本理论
与几何方程等价的是变形连续性方程（也称相容方程 或协调方程），在空间问题里表示为
在S上
xzl yzm zn Z
在混合边界问题中，某些边界条件是位移边界条件， 而另一些边界条件是应力边界条件。
第三章 空间问题的基本理论
§ 3-5 物体内任一点的应力状态
已知物体在任一点P的六个应力分量 x, y,z ,xy yx, yz zy ,zx xz ， 试求经过P点的任一斜面上的应力。
2G 3
2G
y
y
2G
2G 3
2G
z
z
2G
2G 3 2G
及
x e 2G x
y
e
2G y
z e 2G z
xy G xy
xy
xy
G
yz
yz
G
zx
zx
G
yz G yz
zx G zx
其中 、G — 拉密常数
✓ 各种弹性常数之间的关系
G
应力状态不变量 1 x y z
弹性力学-第三章-应变状态
应变，由于六个应变分量对应三个位移分量，则其求解将相
对复杂。 这个问题以后作专门讨论。
几使何用方张程量给符出号的，应几变何通方常程称可为以表工达程为应：变。ij
1 2
ui,j
uj,i
§3.1 变形11
上式表明应变分量ij 将满足二阶张量的坐 标变换关系，应变张量分量与工程应变分 量的关系可表示为
• 刚性位移可以分解为平动与转动 • 刚性转动——变形位移的一部分，但是不产
生变形。
§3.1 变形13
通过分析弹性体内无限邻近两点的位 置变化，则可得出刚体的转动位移与 纯变形位移之间的关系。
设M点的坐标为（x，y，z）
与M点邻近的
位移（u，v，w）
N点的坐标为（x+dx，y+dy，z+dz）
位移（u+du，v+dv，w+dw）
将几何方程
x
u, x
y
v y
,
z
w z
,
中的第 1，2，4 式：
xy
vu, x y
yz
wv, y z
zx
uw z x
作如下求偏导运算：
2 x
y 2
3u xy 2
2 y
x2
3v x2y
2 xy
xy
2 u
yx
y
v x
3u xy 2
3v x 2y
§3.3 应变协调5
从几何方程中消去位移分量，第一式和第二式分别对y和 x求二阶偏导数
(
x
)l
1 2
xym
1 2
xzn
0
1 2
xyl
(
y
)m
1 2
弹性力学 第三章
3.了解简支梁受均布荷载的求解方法
4.了解楔形体受重力和液体压力的求解方法
x q l
补充作业1
ql 6
o
h/2
h/2
ql 3
x
y
l
(h l , 1)
图中矩形截面的简支梁上，作用有三角形分布 荷载。试用下列应力函数求解应力分量。（体力不 计）
Φ Ax3 y 3 Bxy 5 Cx3 y Dxy Ex Fxy
(u) x l 0,
y 0
(v ) x l 0,
y 0
v ( ) xl 0 x y 0
Ml 0 EI
u0 0
Ml 2 l v 0 0 2 EI
Ml Ml 2 解得： , u0 0, v0 y, v M l x 2 μM y 2 (3-4) EI 2 EI 2 EI 移分量： 梁轴线的挠 度方程：
自然满足
σx 0
——无法精确满足
x 6ay， y 0， xy 0
将x的边界条件改用主矢量 和主矩的条件来代替。 已知x =0, x =l 次要边界上的主矢为0，主矩为M，即：
h 2 ( ) x x 0,l dy 0 h 2 h 2 ( ) x x 0 ,l h 2
M FN
O h/2 h/2 FS l
x
半逆解法。
y
解：(1)检验 (x, y) 是否满足相容方程
4 4 4 Φ Φ Φ 4 Φ 4 2 2 2 4 0 x x y y
显然满足
=Axy+By2+Cy3+Dxy3
M FN FS
O
h/2
弹性力学课件第三章应变理论
有限元法的实现需要借助计算机编程，利用有限 元分析软件进行建模、求解和后处理。
有限差分法
01
有限差分法是一种基于离散化的数值分析方法，通过将连续的时间或 空间离散化为有限个差分，建立差分方程进行求解。
02
在弹性力学中，有限差分法常用于求解波动问题和热传导问题等偏微 分方程。
03
有限差分法的优点在于简单直观，易于编程实现，特别适合处理规则 区域的问题。
应变分析在断裂力学中的应用对于评估材料的安全性和可靠性具有重要意义，特别是在 航空航天、石油化工和核能等领域的高强度材料中尤为重要。
流体力学中的应变分析
01
流体力学是研究流体运动规律和流体与固体相互作用的一门学科。 在流体力学中，应变分析是研究流体流动状态和流体机械性能的 基础。
02
应变分析在流体力学中主要关注流体在不同压力、温度和 剪切力等条件下的流动行为。通过测量流体的应变响应， 可以评估流体的流动特性和机械性能，为流体机械的设计 和优化提供依据。
应变理论在处理大变形和塑性变形时存在困难，需要 引入更复杂的模型和理论。
应变理论在处理多相材料和复合材料时，难以准确描 述材料的复杂行为。
应变理论的新发展
发展了高阶应变理论，以更准确地描述材料的复杂 变形行为。
引入了有限变形理论，对应变和应力进行更全面的 描述。
结合数值计算方法，如有限元法，对应变进行数值 模拟和分析。
弹性力学课件第三章应变理论
目
CONTENCT
录
• 应变理论概述 • 应变理论基础 • 应变分析方法 • 应变理论应用 • 应变理论发展前景
01
应变理论概述
应变定义与测量
应变定义
物体在外力作用下发生的形状和尺寸 的相对变化。
有限差分法
01
有限差分法是一种基于离散化的数值分析方法，通过将连续的时间或 空间离散化为有限个差分，建立差分方程进行求解。
02
在弹性力学中，有限差分法常用于求解波动问题和热传导问题等偏微 分方程。
03
有限差分法的优点在于简单直观，易于编程实现，特别适合处理规则 区域的问题。
应变分析在断裂力学中的应用对于评估材料的安全性和可靠性具有重要意义，特别是在 航空航天、石油化工和核能等领域的高强度材料中尤为重要。
流体力学中的应变分析
01
流体力学是研究流体运动规律和流体与固体相互作用的一门学科。 在流体力学中，应变分析是研究流体流动状态和流体机械性能的 基础。
02
应变分析在流体力学中主要关注流体在不同压力、温度和 剪切力等条件下的流动行为。通过测量流体的应变响应， 可以评估流体的流动特性和机械性能，为流体机械的设计 和优化提供依据。
应变理论在处理大变形和塑性变形时存在困难，需要 引入更复杂的模型和理论。
应变理论在处理多相材料和复合材料时，难以准确描 述材料的复杂行为。
应变理论的新发展
发展了高阶应变理论，以更准确地描述材料的复杂 变形行为。
引入了有限变形理论，对应变和应力进行更全面的 描述。
结合数值计算方法，如有限元法，对应变进行数值 模拟和分析。
弹性力学课件第三章应变理论
目
CONTENCT
录
• 应变理论概述 • 应变理论基础 • 应变分析方法 • 应变理论应用 • 应变理论发展前景
01
应变理论概述
应变定义与测量
应变定义
物体在外力作用下发生的形状和尺寸 的相对变化。
弹性力学_第三章 应变
该应变状态只有体积 等向膨胀或收缩，而 没有形状畸变
x m xy xz eij yx y m yz zy z m zx 应变偏张量
该应变状态只有形状 畸变而没有体积改变。
应变张量分解和应变偏量不变量
1 2
xy y 1 2 zy
1 2 1 2
xz yz z
主应变和应变张量不变量
考虑一个法线为N的斜平面，方向余弦（l1=l，l2=m，l3=n） 斜平面上应变向量qN的三个分量： qNi=ij lj
q N 1 11 12 q N 2 21 22 q N 3 31 32
弹性力学
第三章 应变
§3-1 变形与应变概念 §3-2 变形连续条件 §3-3 应变增量和应变速率张量 §3-4 应力应变分析的相似性与差异性
§3-1 变形与应变概念
弹性体在受外力以后，还将发生变形。物体的 变形状态，一般有两种方式来描述： 1、给出各点的位移；2、给出各体素的变形。 弹性体内任一点的位移，用此位移在x、y、z 三个坐标轴上的投影u、v、w来表示。以沿坐标轴 正方向为正，沿坐标轴负方向为负。这三个投影称 为位移分量。一般情况下，弹性体受力以后，各点 的位移并不是定值，而是坐标的函数。
w u x z
该式表明了一点处的 位移分量和应变分量 所应满足的关系，称 为几何方程，也称为 柯西(Cauchy)关系。
几何方程是用位移导数表示应变，应变描述一点的变 形，但还不足以完全描述弹性单元体的位移变化，因为没 有考虑单元体位置的改变，即单元体的刚体位移。
应变张量
应变分量 x 、 y 、 z 、 xy 、 yz 、 zx 满足张量的性 质，构成一个二阶应变张量。 以 xi 记 x，y，z ; 以 ui 记 u，v，w
x m xy xz eij yx y m yz zy z m zx 应变偏张量
该应变状态只有形状 畸变而没有体积改变。
应变张量分解和应变偏量不变量
1 2
xy y 1 2 zy
1 2 1 2
xz yz z
主应变和应变张量不变量
考虑一个法线为N的斜平面，方向余弦（l1=l，l2=m，l3=n） 斜平面上应变向量qN的三个分量： qNi=ij lj
q N 1 11 12 q N 2 21 22 q N 3 31 32
弹性力学
第三章 应变
§3-1 变形与应变概念 §3-2 变形连续条件 §3-3 应变增量和应变速率张量 §3-4 应力应变分析的相似性与差异性
§3-1 变形与应变概念
弹性体在受外力以后，还将发生变形。物体的 变形状态，一般有两种方式来描述： 1、给出各点的位移；2、给出各体素的变形。 弹性体内任一点的位移，用此位移在x、y、z 三个坐标轴上的投影u、v、w来表示。以沿坐标轴 正方向为正，沿坐标轴负方向为负。这三个投影称 为位移分量。一般情况下，弹性体受力以后，各点 的位移并不是定值，而是坐标的函数。
w u x z
该式表明了一点处的 位移分量和应变分量 所应满足的关系，称 为几何方程，也称为 柯西(Cauchy)关系。
几何方程是用位移导数表示应变，应变描述一点的变 形，但还不足以完全描述弹性单元体的位移变化，因为没 有考虑单元体位置的改变，即单元体的刚体位移。
应变张量
应变分量 x 、 y 、 z 、 xy 、 yz 、 zx 满足张量的性 质，构成一个二阶应变张量。 以 xi 记 x，y，z ; 以 ui 记 u，v，w
弹性力学-第三章 应变分析
(3.9)
α xy
% dr2
% dr1
dr2
α yx
dr1
x
第三章 应变分析 §3-3
应变张量的进一步解释
由式(3.12)得 由式(3.12)得dr1和dr2间直角的减小量为 (3.12)
∆ϕ = 22ε ij nm j j = 2ε 12 = 2ε xy ∆ϕ = ε ij ni i m
上式表示剪应变是角度变化的一半 图中: 图中:
% dr 2 = dr 2 + 2dr ⋅ G ⋅ dr = (1 + 2n ⋅ G ⋅ n)dr 2
第三章 应变分析 §3-2
变形状态和应变张量
只讨论小变形问题,忽略高阶项 只讨论小变形问题 忽略高阶项 式(3.6) 为 其中
∇u ⋅ u∇
(3.7)
% dr 2 = (1 + 2n ⋅ ε ⋅ n)dr 2
ε x 1 γ ε ij = 2 yx 1 γ zx 2
εy
1 γ zy 2
对称张量 张量的剪切应变分量 ≠ 实际的剪切应变
第三章 应变分析 §3-3
应变张量的进一步解释
应变与位移的关系（几何方程） 点的位移是u(x+dx，y)、 应变与位移的关系（几何方程） A点的位移是 点的位移是 ， 、 v(x+dx，y)， ， ，
分别为Y 分别为Y和Z方向的正应变 如图, 如图, 设n为x轴向的单位基矢量即n=e1 轴向的单位基矢量即n=e n1 = 1, n2 = 0, n3 = 0 设m为y轴向的单位基矢量即m=e2 轴向的单位基矢量即m=e O m1 = 0, m2 = 1, m3 = 0
y
ε nn = εijni⋅ ε ⋅ n11 =ε ijxni n j ε = n nj = ε = ε
弹性力学__徐芝纶版第三章
4 f
y4
0
4 f 0
一、逆解法和半逆解法 （一）逆解法的基本步骤：
取满足相容方程的 f
求出应力分量 x , y , xy
根据边界条件求出面力
考察能解决什么问题
§3-1 逆解法与半逆解法 多项式解答
（二）半逆解法的基本步骤：
根据问题的特 点设出部分应 力分量
是 结束
否
求出应力函数 f
x
§3-3 位移分量的求出
0 u0 v0 0
y
z
u P x Eh
P x
v P y
Eh
习题
[1]写出边界条件。 解：
x x0,xb g( y h1)
0 xy x0,xb y y0 gh1, xy y0 0
y
P
hE
xy 0
u P x Eh
v P
y Eh
u v 0 y x
u
P Eh
x
f1y
v
P
Eh
y
f2 x
代入第三式得： df1 y df2 x 0
dy
dx
移项得： df1 y df2 x
u yh2 0
v yh2 0
hx1
g
b
h2
bb
y 22
FN gbh1
b
下边的等效应力边界条件： 0 y yh2 dx gbh1
b
0
xy
dx 0
y h2
b 0
y
y h2
弹性力学第三章
x
M I
y
端部较远处误差较小。
(3) 当 l 远大于 h 时，误差较小；反之误差较大。
你现在浏览的是第九页，共38页
4. 四次多项式
（1） ax4 bx3 y cx2 y2 dxy3 ey4
（2）
检验φ(x,y) 是否满足双调和方程
4
x4
24a
4
2 xy4 8c
4
y 4
24e
代入式（f），有
不转动）
u0 0,
M 2EI
l2
l
v0
0,
M l 0
EI
可求得：
u0 0,
v0
Ml 2 2EI
,
u M (l x) y,
Ml
EI v M (l x)2 M
y2
EI
2EI
2EI
你现在浏览的是第十八页，共38页
u M (l x) y
EI
(3-4)
h/2
y0
y0
y0
将其代入(f)式，有
u0 0 v0 0
Ml 2 2EI
l
v0
0
Ml
2EI
将其代回(f)式，有
u M (x l )y
EI 2
(3-3)
v M (l x)x M y2
2EI
2EI
梁的挠曲线方程：
v M (l x)x y0 2EI
—— 与材力中结果相同
你现在浏览的是第十七页，共38页
M EI
常数
说明：在微小位移下，梁纵向纤维的曲率 相同。即
1
2v x 2
M EI
—— 材料力学中挠曲线微分方程
你现在浏览的是第十六页，共38页
弹性力学第3章(徐芝纶第五版)
最主要量级q( l )2 h
,和次要量级 q l h
, 在材力
中均已反映,且与弹力相同。
最小量级 ~ q, 在材力中没有:
当lh
时,
仅占主项
M I
y
的1/15
( 6 %) ,
当 l 时h , 量级q 的值很小,可以不计。
弹力与材力的解法比较:
应力比较
弹力严格考虑并满足了A内的平衡微分 方程 ,几何方程和微分方程,以及S上的所有 边界条件(在小边界上尽管应用了圣维南 原理,但只影响小边界附近的局部区域)。
4 楔形体受重力和液体压力 问题
设有楔形体， 左面垂直，顶角为α， 下端无限长，受重 力及齐顶液体压力,
fx 0, f y 1g.
o
α 2g
y
x
n
α
2
1g
用半逆解法求解。
（1）用量纲分析法假设应力: （2）由应力~Φ关系式，Φ应为x,y的三次式，
（3）Φ 满足相容方程 4Φ 0.
（4）由 Φ求应力， （5）考察边界条件——本题只有两个大边 界，均应严格满足应力边界条件:
o
M
y
h/2
h/2
x
M
l
( l >>h)
半逆解法
3.半逆解法 步骤：
⑴ 假设应力的函数形式 （根据受力情况， 边界条件等）；
⑵ 由应力(d)式，推测 的Φ 函数形式；
⑶ 代入 4Φ，解0 出 ； Φ
半逆解法
⑷ 由式（d），求出应力；
⑸ 校核全部应力边界条件（对于多连体， 还须满足位移单值条件）. 如能满足，则为正确解答；否则修改假 设，重新求解。
为b,如图,水的密
度为 2 ，试求
弹性力学第三章
第三章 平面问题的直角坐标解答
多项式解答 位移分量的求出 简支梁受均布荷载 楔形体受重力和液体压力
1 多项式解答
按Φ 求解
1. 当体力为常量，按应力函数Φ求解平面应 力问题时， 应Φ满足
⑴ A内相容方程 4Φ 0.
(a)
⑵ S = S上应力边界条件,
l x m yx s f x , m y l xy s f y . (b)
水平截面上的应力分布如图所示。 σx σy
yx
楔形体解答的应用: 作为重力坝的参考解答, 分缝重力坝接近于平面应力问题， 在坝体中部的应力，接近于楔形体的解答。 重力坝规范规定的解法
——材料力学解法（重力法）。 重力坝的精确分析，可按有限单元法进行。
例题1 已知
(a) Φ Ay 2 (a2 x2 ) BxyC(x2 y2 ); (b) Φ Ax 4 Bx3 yCx2 y2 Dxy2 Ey4 , 试问它们能否作为平面问题的应力函数？
最主要量级q( l )2 h
,和次要量级 q l h
, 在材力
中均已反映,且与弹力相同。
最小量级 ~ q, 在材力中没有:
当lh
时,
仅占主项
M I
y
的1/15
( 6 %) ,
当 l 时h , 量级q 的值很小,可以不计。
弹力与材力的解法比较:
应力比较
弹力严格考虑并满足了A内的平衡微分 方程 ,几何方程和微分方程,以及S上的所有 边界条件(在小边界上尽管应用了圣维南 原理,但只影响小边界附近的局部区域)。
的应力和边界面力。如图示。
2a
o
2a y
b
xo
b
x
o
x
b
y b 2c y 2c
多项式解答 位移分量的求出 简支梁受均布荷载 楔形体受重力和液体压力
1 多项式解答
按Φ 求解
1. 当体力为常量，按应力函数Φ求解平面应 力问题时， 应Φ满足
⑴ A内相容方程 4Φ 0.
(a)
⑵ S = S上应力边界条件,
l x m yx s f x , m y l xy s f y . (b)
水平截面上的应力分布如图所示。 σx σy
yx
楔形体解答的应用: 作为重力坝的参考解答, 分缝重力坝接近于平面应力问题， 在坝体中部的应力，接近于楔形体的解答。 重力坝规范规定的解法
——材料力学解法（重力法）。 重力坝的精确分析，可按有限单元法进行。
例题1 已知
(a) Φ Ay 2 (a2 x2 ) BxyC(x2 y2 ); (b) Φ Ax 4 Bx3 yCx2 y2 Dxy2 Ey4 , 试问它们能否作为平面问题的应力函数？
最主要量级q( l )2 h
,和次要量级 q l h
, 在材力
中均已反映,且与弹力相同。
最小量级 ~ q, 在材力中没有:
当lh
时,
仅占主项
M I
y
的1/15
( 6 %) ,
当 l 时h , 量级q 的值很小,可以不计。
弹力与材力的解法比较:
应力比较
弹力严格考虑并满足了A内的平衡微分 方程 ,几何方程和微分方程,以及S上的所有 边界条件(在小边界上尽管应用了圣维南 原理,但只影响小边界附近的局部区域)。
的应力和边界面力。如图示。
2a
o
2a y
b
xo
b
x
o
x
b
y b 2c y 2c
第3章 弹性力学基本知识
平面ABC上的全应力SN为：
2 2 2 S N X N YN Z N
( X l XY m ZX n) 2 ( XY l Y m ZY n)2 ( XZ l YZ m Z n)2
同理，ΣY=0, ΣZ=0，整理，得
Hale Waihona Puke ： X N X l XY m ZX n YN XY l Y m ZY n Z l m n XZ YZ Z N
物理方程是描述应力和应变关系的方程。对各 向同性的均匀体用广义虎克定律描述。如(3-13):
xy 2(1 ) 1 xy xy x E [ x ( y z )] G E yz 2(1 ) 1 yz y [ y ( x z )] yz E G E 1 zx 2(1 ) z [ z ( x y )] zx zx G E E 这里 E 是弹性模量( modulus of elasticity)或杨氏模量，μ 是泊松比，and G 是剪切模量(shear modulus )or 刚度模量 (modulus of rigidity). 它们有如下关系:
3.2 弹性力学的几个基本概念
3.2.1 外力和内力
1．外力
外力：作用于物体的外力，通常分为表面力（面力）和体积 力。
（1）面力：指分布在物体表面上的外力，如压力容器所受 的内压，物体和物体相互之间的接触压力等。一般地，面力 是位置坐标的函数，即物体表面各点所受的面力是不同的。 （2）体积力：指分布在物体体积内的外力，通常与物体的 质量成正比、且是各质点位置的函数，如重力，惯性力等。
平面ABC上的全应力SN为：
2 2 2 S N X N YN Z N
( X l XY m ZX n) 2 ( XY l Y m ZY n)2 ( XZ l YZ m Z n)2
同理，ΣY=0, ΣZ=0，整理，得
Hale Waihona Puke ： X N X l XY m ZX n YN XY l Y m ZY n Z l m n XZ YZ Z N
物理方程是描述应力和应变关系的方程。对各 向同性的均匀体用广义虎克定律描述。如(3-13):
xy 2(1 ) 1 xy xy x E [ x ( y z )] G E yz 2(1 ) 1 yz y [ y ( x z )] yz E G E 1 zx 2(1 ) z [ z ( x y )] zx zx G E E 这里 E 是弹性模量( modulus of elasticity)或杨氏模量，μ 是泊松比，and G 是剪切模量(shear modulus )or 刚度模量 (modulus of rigidity). 它们有如下关系:
3.2 弹性力学的几个基本概念
3.2.1 外力和内力
1．外力
外力：作用于物体的外力，通常分为表面力（面力）和体积 力。
（1）面力：指分布在物体表面上的外力，如压力容器所受 的内压，物体和物体相互之间的接触压力等。一般地，面力 是位置坐标的函数，即物体表面各点所受的面力是不同的。 （2）体积力：指分布在物体体积内的外力，通常与物体的 质量成正比、且是各质点位置的函数，如重力，惯性力等。
平面ABC上的全应力SN为：
弹性力学第三章：应变分析
y
x
正应变
微元体棱边的相对伸长度
棱边夹角之间的变化
x y z
剪应变
z
将平行六面体 分别投影到3 个坐标面上
M A o m x a
B
y
b
z
M点在Ox轴的位移分量为
u ( x, y, z )
M点在Oy轴的位移分量为 M A o
v ( x, y , z )
B y A点和B点相应的位移分别为
u ( x dx, y, z )
2 2 z ' xl32 y m3 z n3 xyl3m3 yz m3n3 zxn3l3 3 T 3
x ' y ' 2 xl1l2 2 y m1m2 2 z n1n2 xy (l1m2 m1l2 )
dy u m’
a’ a
u x
同理
v m
o
dx
x
v y y
w z z
u
u dy y
y b
b’’
1 tan 1
v v dx v x u dx dx x
u u dx x
b’
2
dy u m’
a’’ m
o
a’
a dx
x
顺次轮换 x, y, z 和
u , v, w
可得其他两个切应变分量
yz
w v y z
xz
u w z x
当 xy , yz , zx 大于零， 表示角度缩小， 反之则表示角度扩大 综上所述。可以得到以下6个关系式
u w v x , yz x y z v u w y , zx y z x w w u z , xy z x y
弹性力学辅导教程第三章(1,2,3)
x
y
（ｃ）
３．三次函数 3 ay （体力不计）考察它能解决什么问题
h 2
1）检查Φ 是否满足
x
4
0
h 2
x
4
2
4
x y
2
2
4
y
4
0
y
L
带入计算后可以知道显然 满足相容方程
2 f x x 6 ay x 2 y 2 fy y 0 y 2 x 2 0 xy xy
y
0
xy
二. 求位移分量：
用几何方程积分
x
u x v y v x u y 2 ~ 3） （
y
xy
x
u x v y v x
M EI
y M EI y
u
M EI
xy y u 0 y
2
v
M
2 EI
M 2 EI
y0
x x v0
2
u |x0 0
由约束条件
L y
v |x0 0
y0
v |x L 0
y0
代入位移条件后得： 位移分量：
u v M EI M 2 EI
u 0 0; v0 0;
（4）结论：Ф =ａx2用来解y向均匀拉伸
同理可知 Ф =ｃy2用来解x向均匀拉伸
( 3 ) bxy
考察其能解决的问题
按照以上步骤很容易得到结果 应力分量
x 0 , y 0 , xy c
y
（ｃ）
３．三次函数 3 ay （体力不计）考察它能解决什么问题
h 2
1）检查Φ 是否满足
x
4
0
h 2
x
4
2
4
x y
2
2
4
y
4
0
y
L
带入计算后可以知道显然 满足相容方程
2 f x x 6 ay x 2 y 2 fy y 0 y 2 x 2 0 xy xy
y
0
xy
二. 求位移分量：
用几何方程积分
x
u x v y v x u y 2 ~ 3） （
y
xy
x
u x v y v x
M EI
y M EI y
u
M EI
xy y u 0 y
2
v
M
2 EI
M 2 EI
y0
x x v0
2
u |x0 0
由约束条件
L y
v |x0 0
y0
v |x L 0
y0
代入位移条件后得： 位移分量：
u v M EI M 2 EI
u 0 0; v0 0;
（4）结论：Ф =ａx2用来解y向均匀拉伸
同理可知 Ф =ｃy2用来解x向均匀拉伸
( 3 ) bxy
考察其能解决的问题
按照以上步骤很容易得到结果 应力分量
x 0 , y 0 , xy c
弹性力学徐芝纶第三章详解
在数学上，x'，y'，z' 必为x，y，
z的单值连续函数
y
x
位移函数具有三阶连续导数
二、应变
对于微分单元体的变形，将分 为两个部分讨论。
一是微分单元体棱边的伸长和缩短 正应变 二是棱边之间夹角的变化 （剪）切应变
符号规定： 伸长为正，缩短为负 直角变小为正，直角变大为负
正应力 剪应力
正应变 剪应变
v x
u y
xy
v x
u y
yz
w y
v z
zx
u z
w x
上式为剪应变的几何方程
x
u x
y
v y
z
w z
xy
v x
u y
yz
w y
v z
zx
u z
w x
这六式为几何方程（柯西方程）
四、转角方程
x
w y
v z
y
u z
w x
z
v x
u y
3－3 一点应变状态、应变张量
一、应变张量
与应力张量相同，应变张量也是二阶对称张量
则，a点的位移为：
u u dx x
v v dx x
b点的位移为：
u u dy y
v v dy y
x
M
' a' 'Ma Ma
(dx
u dx) x
dx
dx
u x
(dy v dy) dy
y
M 'b''Mb Mb
y dy
v y
同理：
x
u x
y
v y
z
w z
弹性力学 第三章应变状态理论
w
w
1 2
xz
dx
1 2
yz
dy
z
dz
1 2
y
dx
1 2
xdy
§3-2 相对位移张量 转动分量
0
u u
v
v
1 2
z
w
w
1 2
y
1 2
z
0
1 2
x
1 2
y
dx
1 2
x
dy
dz
0
x
1 2
xy
1 2
xz
dx
1 2
xy
y
1 2
yz
dy
1 2
xz
1 2
yz
dz
x
u x
y
v y
z
w z
yz
w y
v z
zx
u z
w x
xy
v x
u y
1 2
yz
yz
,
1 2
zx
zx ,
1 2
xy
xy
ij
1 2
(ui,
j
u j,i )
§3-2 相对位移张量 转动分量
相对位移张量：
u u u
x
y
z
v v v
x
y
z
w w w
x y z
转动矢量：
u(x dx, y, z) u u dx
a:
x
v(x dx, y, z) v v dx x
u(x, y dy, z) u u dy
b:
y
b a
v(x, y dy, z) v v dy
弹性力学第三章
位移边界条件
u =u v=v
位移解法例题
单位厚度薄板，两侧均匀受压，上下刚性约束， 单位厚度薄板，两侧均匀受压，上下刚性约束，不计摩擦和 体力 位移场
u = u ( x) v=0
拉梅方程
E ′ ∂ 2u 1 −ν ' ∂ 2u 1 + ν ' ∂ 2 v ( 2+ + )=0 2 2 1 − ν ′ ∂x 2 ∂y 2 ∂x∂y E ′ ∂ 2 v 1 −ν ' ∂ 2 v 1 + ν ' ∂ 2u ( 2+ + )=0 2 2 1 − ν ′ ∂y 2 ∂x 2 ∂x∂y ∂ 2u =0 2 ∂x
第三章 平面问题的直角坐标解法 问题的简化
空间问题
特殊化
平面应力问题 平面问题 平面应变问题
问题的解法
位移解法 应力解法 应力函数解法
特殊问题的解
悬臂梁的弯曲解 均布横向荷载简支梁的弯曲解 任意横向荷载简支梁弯曲的三角级数解
平面应变问题
1）无限长的等直柱体； 2）在柱体侧面受到与轴线垂直，且沿轴向均布的面力 作用； 0 Tz = 3）体力也垂直于轴线，并沿轴线均布。Fz = 0
边界条件
力学边界条件
E′ ∂u 1 − ν ′ ∂u ∂v ' ∂v [ nx ( + ν ) + ny ( + )] = Tx 2 1 −ν ′ ∂x ∂y 2 ∂y ∂x E′ ∂v ∂u 1 − ν ′ ∂v ∂u ′ ) + nx [ny ( + ν ( + )] = Ty 2 1 −ν ′ ∂y ∂x 2 ∂x ∂y
− ∫ yσ x dy = M
h 下表面 y = + ： 2 nx = 0, n y = 1
u =u v=v
位移解法例题
单位厚度薄板，两侧均匀受压，上下刚性约束， 单位厚度薄板，两侧均匀受压，上下刚性约束，不计摩擦和 体力 位移场
u = u ( x) v=0
拉梅方程
E ′ ∂ 2u 1 −ν ' ∂ 2u 1 + ν ' ∂ 2 v ( 2+ + )=0 2 2 1 − ν ′ ∂x 2 ∂y 2 ∂x∂y E ′ ∂ 2 v 1 −ν ' ∂ 2 v 1 + ν ' ∂ 2u ( 2+ + )=0 2 2 1 − ν ′ ∂y 2 ∂x 2 ∂x∂y ∂ 2u =0 2 ∂x
第三章 平面问题的直角坐标解法 问题的简化
空间问题
特殊化
平面应力问题 平面问题 平面应变问题
问题的解法
位移解法 应力解法 应力函数解法
特殊问题的解
悬臂梁的弯曲解 均布横向荷载简支梁的弯曲解 任意横向荷载简支梁弯曲的三角级数解
平面应变问题
1）无限长的等直柱体； 2）在柱体侧面受到与轴线垂直，且沿轴向均布的面力 作用； 0 Tz = 3）体力也垂直于轴线，并沿轴线均布。Fz = 0
边界条件
力学边界条件
E′ ∂u 1 − ν ′ ∂u ∂v ' ∂v [ nx ( + ν ) + ny ( + )] = Tx 2 1 −ν ′ ∂x ∂y 2 ∂y ∂x E′ ∂v ∂u 1 − ν ′ ∂v ∂u ′ ) + nx [ny ( + ν ( + )] = Ty 2 1 −ν ′ ∂y ∂x 2 ∂x ∂y
− ∫ yσ x dy = M
h 下表面 y = + ： 2 nx = 0, n y = 1
弹性力学 (3)
之比相当小的平板，其定义范围一般为
此定义为薄板。 对于圆形薄板，其定义范围是指板的厚度与其直径D之比在上述 范围之内，即
作用在板上的载荷，总可以分解为两种作用形式，一种是平行于 中面的载荷、另一种是垂直于中面的载荷。对于平行于中面的载
荷，可以认为沿壁厚均匀分布，因而引起的应力、应变和位移， 可按平面应力问题处理；对于垂直中面的载荷(又称横向载荷)， 将使薄板发生弯曲，它所引起的应力、应变和位移，可按薄板弯 曲问题进行计算。
第二节
圆板轴对称问题
圆板的几何形状、载荷和支承条件均对称于圆板中心轴，圆 板的内力和变形也是轴对称的，这类问题为圆板的轴对称问题。
由于轴对称性，圆板中的内力、变形、位移分量均为r的函 数，与 无关。
一、圆板轴对称弯曲的基本方程
由于轴对称，在微元体各截面上只有弯矩 M r , M 和剪力Qr 作用，且与 无关，仅是坐标 r 的函数。 1.平衡方程
薄板理论主要研究薄板在横向载荷作用下的应力、应变和位
移问题。在横向载荷作用下，平板内产生的内力分为薄膜力和弯 曲力，薄膜力使平板中面尺寸改变，弯曲力使平面产生双向弯曲 变形。薄板弯曲变形后，中面由平板变为曲面，称为薄板的弹性 曲面，而中面内各点在垂直于中面方向的位移 w ，称为挠度。如 果挠度w 远小于板厚S，可以认为弹性曲面内任意线段长度无变
(3-23)
将式(3-21)代入式(3-4)，得周边简支实心圆板在任意半径 r处的应力表达式
(3-24)
在板中心 r 0 处
在板边缘 r R 处
可见，最大弯矩及相应的最大应力发生在板中心处，即
(3-25) (3-26)
由上分析可见，受轴对称均布载荷的圆平板有如下的应力和 变形特点: ①板内为二向应力状态，且沿板厚呈线性分布，均为弯曲应 力；应力沿半径方向的分布与周边支承方式有关；板内最大弯 2 R S 曲应力 max 与 成正比。 ②两种支承板，最大挠度均在板中心处，若取 0.3 ，周边 简支板的最大挠度约为固支板的4倍。 ③周边固支圆平板的最大应力为板边缘表面处的径向弯曲应 力；周边简支圆平板的最大应力为板中心表面处的两向弯曲应 力。周边简支板的最大弯曲应力约为因支板的1.65倍。 由此可见，周边固支板无论从强度还是从刚度，均比周边 简支板为好。
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q y 2y 2 σ y (1 )(1 ) . 2 h h
2
应力的量级
关于应力的量级: 当 l h 时, x ~l 同阶，y ~ h 同阶.
σx
l 2 第一项~ q ( ) 同阶,（与材力解同）; h 第二项 ~ q 同阶,（弹力的修正项）.
l ~ q ( ) 同阶,（与材力解同）. h
第三章 平面问题的直角坐标解答
多项式解答
位移分量的求出 简支梁受均布荷载 楔形体受重力和液体压力
1 多项式解答
按 Φ 求解
1. 当体力为常量，按应力函数 Φ 求解平面 应力问题时，Φ 应满足
4 Φ 0. ⑴ A内相容方程
(a)
⑵ S = S 上应力边界条件,
l
x
m yx s f x ,
2a b
o
2a
x
b
b
o
y b
x
2c
o
y
2c
x
y
逆解法
例3 设图中所示的矩形长梁，l >>h，试考
F 察应力函数 Φ 3 xy (3h 2 4 y 2 )能解决什么 2h
样的受力问题？ o
h/2 h/2
x ( l >>h)
y
l
xy
(b)
x
F
(c)
F
M＝Fl
问题提出
例4 梁l×h×1，无体力，只受M作用（力矩 /单宽，与力的量纲相同）。本题属于纯弯 曲问题。
f y 1 g .
y
用半逆解法求解。 （1）用量纲分析法假设应力: （2）由应力~ Φ 关系式， Φ 应为x,y的三次式， （3） Φ 满足相容方程 4Φ 0 . （4）由 Φ 求应力， （5）考察边界条件——本题只有两个大边 界，均应严格满足应力边界条件:
水平截面上的应力分布如图所示。
应力比较
弹力与材力的解法比较: 弹力严格考虑并满足了A内的平衡微 分方程 ,几何方程和微分方程,以及S上的 所有边界条件(在小边界上尽管应用了圣 维南原理,但只影响小边界附近的局部区 域 )。 材力在许多方面都作了近似处理,所 以得出的是近似解答。
例如：在材力中
几何条件中引用平截面假定 u, ε, σ x 沿 y 为直线分布； 平衡条件中，略去 σ y作用，没有考虑微分 体的平衡，只考虑 h d x b 的内力平衡；
x
y
例题5 矩形截面的柱体受到 顶部的集中力 2 F 和 力矩M的作用，不计 体力，试用应力函数 y
M
2F
o
b/2
45
பைடு நூலகம்
b/2
h q
3
q
Φ Ay Bxy Cxy Dy
2 3
求解其应力分量。
( h b , 1)
x
例题6
y
b 2
o
b 2
挡水墙的密 度为 1 ，厚度 为b,如图,水的密 度为 2 ，试求 应力分量。
b h
b
A y
( h b , 1)
例题4
图中矩形截面的简支梁上，作用有三 角形分布荷载。试用下列应力函数
Φ Ax y Bxy Cx y
3 3 5 3
Dxy Ex Fxy,
3 3
求解应力分量。
x q l
ql 6
h/2
ql 3
o
l
h/2
( h l , 1)
边界条件也没有严格考虑； 材力解往往不满足相容条件。
对于杆件，材力解法及解答具有足够 的精度; 对于非杆件，不能用材力解法求 解，应采用弹力解法求解。
4 楔形体受重力和液体压力
设有楔形体， 左面垂直，顶角为α， 下端无限长，受重 力及齐顶液体压力,
2 g
问题
o
α
x
n
1 g
2
α
fx 0,
FN
o
σx
τ xy
h/2
y dy
h/2
x
图 l 3-5
y
(l h , 1)
例题3 图中所示的矩形截面柱体，在顶部受有
Fb 集中力F 和力矩 M 的作用，试用应力 2
函数 Φ Ax 3 Bx 2 , 求解图示问题的应力及
位移，设在A点的位移和转角均为零。
F Fb/2 O
x
2 g
1 g
x
第三章
重点归纳
本章学习重点及要求
本章是按应力求解平面问题的实际 应用。其中采用应力函数 Φ 作为基本未 知数进行求解，并以直角坐标来表示问 题的解答。在学习本章时，应重点掌握：
1. 按应力函数 Φ求 解时，Φ 必须满足的条件。 2. 逆解法和半逆解法。 3. 由应力求位移的方法。 4. 从简支梁受均布荷载的问题中，比较弹力 学和材料力学解法的异同。 在早期应用逆解法和半逆解法，曾经 得出许多平面问题的解答。但是对于有复 杂荷载和边界条件的工程实际问题，是
纯弯曲问题的讨论： 1. 弯应力 σ x与材力相同。 u M x 故在任一 2. 铅直线的转角 y EI 截面x 处，平面截面假设成立。
1 2v M 3.纵向纤维的曲率 2 (常曲率)， x EI
同材力。
故在纯弯曲情况下，弹力解与材力解相同。
思考题
弹性力学中关于纯弯曲梁的解答，与材 料力学的解答在应力、形变等方面完全 一致。由此是否可以说在纯弯曲情况下 材料力学中的平截面假设成立？
(e )
逆解法
从而得出，在面力(e)作用下的解
答，就是上述 Φ 和应力。
逆解法没有针对性，但可以积累基
本解答。
逆解法
例1 一次式 Φ =ax+by+c,对应于无体力， 无面力，无应力状态。 故应力函数中加减一次式，不影响应力。 2 例2 二次式 Φ ax2 bxy cy，分别表示常量 的应力和边界面力。如图示。
3 简支梁受均布荷载
。 简支梁 2l h 1 ，受均布荷载 q 及两端 支撑反力 ql 。
问题
q
ql
o
h/2
x
ql
h/2
l
y
l
半逆解法
按半逆解法求解。 ⑴ 假设应力分量。
⑵ 由应力分量推出应力函数的形式。 ⑶ 将 Φ 代入相容方程，求解 Φ : ⑷ 由 Φ 求应力。 对称性条件─由于结构和荷载对称于
σx
σy
yx
楔形体解答的应用:
作为重力坝的参考解答,
分缝重力坝接近于平面应力问题，
在坝体中部的应力，接近于楔形体的解答。
重力坝规范规定的解法
——材料力学解法（重力法）。
重力坝的精确分析，可按有限单元法进行。
例题1
已知
2 2 2 2 2
( a ) Φ Ay ( a x ) Bxy C ( x y ); (b) Φ Ax Bx y Cx y Dxy Ey ,
xy 为 y轴，∴ Φ, σ x , σ y 应为 x 的偶函数， x的奇函数，故 E F G 0 。
主要边界
⑸ 考察边界条件。
主要边界
次要边界
y h / 2,
x=l 上 ,
应力
最后应力解答为：
6q 2 2 y y 3 σ x 3 (l x ) y q ( 4 2 ) h h h 5 2 y y 3 M y q ( 4 2 ), I h h 5 6q h 2 2 FS S xy 3 x ( y ) , 4 bI h
m
y
l xy s f y .
(b )
⑶ 多连体中的位移单值条件。
(c)
对于单连体，(c)通常是自然满足的。 只须满足(a),(b)。 由 Φ 求应力的公式是
2 Φ σ x 2 f x x, y
σy Φ f y y, 2 x 2 τ xy Φ . xy
2
(d )
逆解法
2 .逆解法 ── 先满足(a),再满足(b)。 步骤:
⑴ 先找出满足 4Φ 0的解Φ; ⑵ 代入(d), 求出 σ x , σ y , xy ; ⑶ 在给定边界形状S下，由式(b)反推出 各边界上的面力，
f x (lσ x mτ xy ) s , f y (mσ y lτ xy ) s .
4 3 2 2 2 4
试问它们能否作为平面问题的应力函数？
例题2
设单位厚度的悬臂梁在左端受到集中力 和力矩的作用，体力可以不计， l h 如图， 试用应力函数 Φ Axy By 2 Cy 3 Dxy 3求解 应力分量。
M
Fs
Φ Axy By 2 Cy 3 Dxy 3
2 位移分量的求出
问题提出
在按应力求解中，若已得出应力，如何 求出位移？ 以纯弯曲问题为例，已知
σ x M y, I
σ y xy 0,
试求解其位移。
归纳：从应力求位移的步骤： 1. 由物理方程求出形变；
2.代入几何方程，积分求 u , v ；
3.由边界约束条件确定确定刚体位移分量
u 0 , v0 , 。
xy
σ y ~ q 同阶, （材力中不计）.
应力比较
应力与材力解比较:
l 2 l q ( ) 最主要量级 ,和次要量级 q , 在材力 h h
中均已反映,且与弹力相同。 最小量级 ~
q, 在材力中没有:
M 当 l h 时, 仅占主项 y 的1/15 ( 6 %) , I
当 l h 时, q 量级的值很小,可以不计。
o
M
h/2 h/2
M
x
y
l
( l >>h)
2
应力的量级
关于应力的量级: 当 l h 时, x ~l 同阶，y ~ h 同阶.
σx
l 2 第一项~ q ( ) 同阶,（与材力解同）; h 第二项 ~ q 同阶,（弹力的修正项）.
l ~ q ( ) 同阶,（与材力解同）. h
第三章 平面问题的直角坐标解答
多项式解答
位移分量的求出 简支梁受均布荷载 楔形体受重力和液体压力
1 多项式解答
按 Φ 求解
1. 当体力为常量，按应力函数 Φ 求解平面 应力问题时，Φ 应满足
4 Φ 0. ⑴ A内相容方程
(a)
⑵ S = S 上应力边界条件,
l
x
m yx s f x ,
2a b
o
2a
x
b
b
o
y b
x
2c
o
y
2c
x
y
逆解法
例3 设图中所示的矩形长梁，l >>h，试考
F 察应力函数 Φ 3 xy (3h 2 4 y 2 )能解决什么 2h
样的受力问题？ o
h/2 h/2
x ( l >>h)
y
l
xy
(b)
x
F
(c)
F
M＝Fl
问题提出
例4 梁l×h×1，无体力，只受M作用（力矩 /单宽，与力的量纲相同）。本题属于纯弯 曲问题。
f y 1 g .
y
用半逆解法求解。 （1）用量纲分析法假设应力: （2）由应力~ Φ 关系式， Φ 应为x,y的三次式， （3） Φ 满足相容方程 4Φ 0 . （4）由 Φ 求应力， （5）考察边界条件——本题只有两个大边 界，均应严格满足应力边界条件:
水平截面上的应力分布如图所示。
应力比较
弹力与材力的解法比较: 弹力严格考虑并满足了A内的平衡微 分方程 ,几何方程和微分方程,以及S上的 所有边界条件(在小边界上尽管应用了圣 维南原理,但只影响小边界附近的局部区 域 )。 材力在许多方面都作了近似处理,所 以得出的是近似解答。
例如：在材力中
几何条件中引用平截面假定 u, ε, σ x 沿 y 为直线分布； 平衡条件中，略去 σ y作用，没有考虑微分 体的平衡，只考虑 h d x b 的内力平衡；
x
y
例题5 矩形截面的柱体受到 顶部的集中力 2 F 和 力矩M的作用，不计 体力，试用应力函数 y
M
2F
o
b/2
45
பைடு நூலகம்
b/2
h q
3
q
Φ Ay Bxy Cxy Dy
2 3
求解其应力分量。
( h b , 1)
x
例题6
y
b 2
o
b 2
挡水墙的密 度为 1 ，厚度 为b,如图,水的密 度为 2 ，试求 应力分量。
b h
b
A y
( h b , 1)
例题4
图中矩形截面的简支梁上，作用有三 角形分布荷载。试用下列应力函数
Φ Ax y Bxy Cx y
3 3 5 3
Dxy Ex Fxy,
3 3
求解应力分量。
x q l
ql 6
h/2
ql 3
o
l
h/2
( h l , 1)
边界条件也没有严格考虑； 材力解往往不满足相容条件。
对于杆件，材力解法及解答具有足够 的精度; 对于非杆件，不能用材力解法求 解，应采用弹力解法求解。
4 楔形体受重力和液体压力
设有楔形体， 左面垂直，顶角为α， 下端无限长，受重 力及齐顶液体压力,
2 g
问题
o
α
x
n
1 g
2
α
fx 0,
FN
o
σx
τ xy
h/2
y dy
h/2
x
图 l 3-5
y
(l h , 1)
例题3 图中所示的矩形截面柱体，在顶部受有
Fb 集中力F 和力矩 M 的作用，试用应力 2
函数 Φ Ax 3 Bx 2 , 求解图示问题的应力及
位移，设在A点的位移和转角均为零。
F Fb/2 O
x
2 g
1 g
x
第三章
重点归纳
本章学习重点及要求
本章是按应力求解平面问题的实际 应用。其中采用应力函数 Φ 作为基本未 知数进行求解，并以直角坐标来表示问 题的解答。在学习本章时，应重点掌握：
1. 按应力函数 Φ求 解时，Φ 必须满足的条件。 2. 逆解法和半逆解法。 3. 由应力求位移的方法。 4. 从简支梁受均布荷载的问题中，比较弹力 学和材料力学解法的异同。 在早期应用逆解法和半逆解法，曾经 得出许多平面问题的解答。但是对于有复 杂荷载和边界条件的工程实际问题，是
纯弯曲问题的讨论： 1. 弯应力 σ x与材力相同。 u M x 故在任一 2. 铅直线的转角 y EI 截面x 处，平面截面假设成立。
1 2v M 3.纵向纤维的曲率 2 (常曲率)， x EI
同材力。
故在纯弯曲情况下，弹力解与材力解相同。
思考题
弹性力学中关于纯弯曲梁的解答，与材 料力学的解答在应力、形变等方面完全 一致。由此是否可以说在纯弯曲情况下 材料力学中的平截面假设成立？
(e )
逆解法
从而得出，在面力(e)作用下的解
答，就是上述 Φ 和应力。
逆解法没有针对性，但可以积累基
本解答。
逆解法
例1 一次式 Φ =ax+by+c,对应于无体力， 无面力，无应力状态。 故应力函数中加减一次式，不影响应力。 2 例2 二次式 Φ ax2 bxy cy，分别表示常量 的应力和边界面力。如图示。
3 简支梁受均布荷载
。 简支梁 2l h 1 ，受均布荷载 q 及两端 支撑反力 ql 。
问题
q
ql
o
h/2
x
ql
h/2
l
y
l
半逆解法
按半逆解法求解。 ⑴ 假设应力分量。
⑵ 由应力分量推出应力函数的形式。 ⑶ 将 Φ 代入相容方程，求解 Φ : ⑷ 由 Φ 求应力。 对称性条件─由于结构和荷载对称于
σx
σy
yx
楔形体解答的应用:
作为重力坝的参考解答,
分缝重力坝接近于平面应力问题，
在坝体中部的应力，接近于楔形体的解答。
重力坝规范规定的解法
——材料力学解法（重力法）。
重力坝的精确分析，可按有限单元法进行。
例题1
已知
2 2 2 2 2
( a ) Φ Ay ( a x ) Bxy C ( x y ); (b) Φ Ax Bx y Cx y Dxy Ey ,
xy 为 y轴，∴ Φ, σ x , σ y 应为 x 的偶函数， x的奇函数，故 E F G 0 。
主要边界
⑸ 考察边界条件。
主要边界
次要边界
y h / 2,
x=l 上 ,
应力
最后应力解答为：
6q 2 2 y y 3 σ x 3 (l x ) y q ( 4 2 ) h h h 5 2 y y 3 M y q ( 4 2 ), I h h 5 6q h 2 2 FS S xy 3 x ( y ) , 4 bI h
m
y
l xy s f y .
(b )
⑶ 多连体中的位移单值条件。
(c)
对于单连体，(c)通常是自然满足的。 只须满足(a),(b)。 由 Φ 求应力的公式是
2 Φ σ x 2 f x x, y
σy Φ f y y, 2 x 2 τ xy Φ . xy
2
(d )
逆解法
2 .逆解法 ── 先满足(a),再满足(b)。 步骤:
⑴ 先找出满足 4Φ 0的解Φ; ⑵ 代入(d), 求出 σ x , σ y , xy ; ⑶ 在给定边界形状S下，由式(b)反推出 各边界上的面力，
f x (lσ x mτ xy ) s , f y (mσ y lτ xy ) s .
4 3 2 2 2 4
试问它们能否作为平面问题的应力函数？
例题2
设单位厚度的悬臂梁在左端受到集中力 和力矩的作用，体力可以不计， l h 如图， 试用应力函数 Φ Axy By 2 Cy 3 Dxy 3求解 应力分量。
M
Fs
Φ Axy By 2 Cy 3 Dxy 3
2 位移分量的求出
问题提出
在按应力求解中，若已得出应力，如何 求出位移？ 以纯弯曲问题为例，已知
σ x M y, I
σ y xy 0,
试求解其位移。
归纳：从应力求位移的步骤： 1. 由物理方程求出形变；
2.代入几何方程，积分求 u , v ；
3.由边界约束条件确定确定刚体位移分量
u 0 , v0 , 。
xy
σ y ~ q 同阶, （材力中不计）.
应力比较
应力与材力解比较:
l 2 l q ( ) 最主要量级 ,和次要量级 q , 在材力 h h
中均已反映,且与弹力相同。 最小量级 ~
q, 在材力中没有:
M 当 l h 时, 仅占主项 y 的1/15 ( 6 %) , I
当 l h 时, q 量级的值很小,可以不计。
o
M
h/2 h/2
M
x
y
l
( l >>h)