弹性力学与有限元法习题集

2 v 2u 2 x yx x
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7. 题答案
y 3 3y 1 q 3 6 2 3 答： x 1 x y 1 x y 2xy a xy qx 4a 3 4a 2 E E 4a 3 5
弹性力学与有限元法习题集 与参考答案
单丽君
大连交通大学
2009年10月
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第一章 第二章
第三章
参考试卷 第四章
第五章
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第一章习题与答案
1. 有限单元法的含义？ 2. 有限单元法的解题思路？ 3. 有限单元法的优点？
答案
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1 4 6 2 2 2 2 2 4 3x a y a y a y 5 5


2 2 x y 3qxy1 y 2 x 2 Ea 3 2 2 2 x y xy 所以， y 2 x 2 xy
同理
N 1 S A x dA
' ' d yx dx 在顶面r p上切向内力系的合力：
M I

A1
y1 dA
M * Sz I
取截面下的物体为分离体
X 0
M dM * M * Sz S z ' yx dx 0 I I
yx
' n * dM S 2 Q( x ) 2 Q( x ) n 2 Q( x ) n 2 2 1 2 y dy ( y ) ( y ) 1 1 dx I I y I 4 2 2I 4
① ②
答案
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Baidu Nhomakorabea
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11.试用“*”表示非零子块，用“0”表示零子块，写出图示已 划分单元弹性体的总刚矩阵。
12.图（a）、(b)所示是同一结构的两种不同的网格划分方法， 试计算两图的半带宽，并说明哪种划分方法比较合理，为什么？
答案
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13. 已知某单元，其结点编号为i，j，m，其坐标依次为（2， 2）、（6，3）、（5，6），试写出其形函数Ni，Nj，Nm 及单 元的应变矩阵。
3 1 1 y 3y 1 q 3 6 2 3 y y x qx x y 2xy a xy 3 4a 3 E E 4a 2 5 4a
xy
21 21 q xy E E 8a3
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18. 如图所示固端梁受集中力P作用，取 问题计算，求图示单元的结点位移。
1 6
,按平面应力
答案
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1、2题答案
1.
答：（1）位移模式应包括单元的刚体位移状态和常量应变状态， 满足这个条件的单元为完备单元。 （2）位移模式应保证相邻单元在公共边界处位移是连续的， 这种连续性称为协调性或相容性； 条件（1）是收敛的必要条件，条件（1）+（2）是收敛的 充分条件。 2. 答：（1）单元的大小：重要部位、易发生应力集中、应力位移变 化剧烈部位单元划小些，次重要部位、应力和位移变化比较平缓的 部位单元划大些。 （2）单元形状：应力及位移的误差与单元的最小内角正旋成 反比。 （3）结构厚度和弹性常数有突变时的单元划分：把厚度和弹 性常数有突变线作为单元的分界线，不能使突变线穿过单元。
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3.题答案
答：（1）将整体刚度矩阵[K] 中的第1行、第3行、第5行、第 6行的主对角线元素改为1，将 第1行、第3行、第5行、第6行 非对角线元素改为0； （2）为了保持[K]矩阵的对称 性，将第1列、第3列、第5列、 第6列非对角线元素改为0； （3）将1、3、5行对应的载荷 向量改为0。
y
2v x xy
，
2 y x 2
3v yx 2 2 xy
xy
3v 3u ， xy yx 2 xy 2 3 3 2 y 2 x v u （1）式+（2）式得： x 2 y 2 yx 2 xy 2 2 2 2 x y xy 即： 证毕 2 2 xy y x
8.简述有限元计算结果如何整理？
9.试在图示的网格划分图上标上合适的结点编 码，使其有限元计算时的半带宽最小，并计 算其半带宽。
答案
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10.一平面三角形薄板构件，离散为2个单元4个节点，如图所示。 已知单元①的编码顺序为（1，3，4），单元②的编码顺序为（1， 2， 3）。试分别写出：（１）单元①的刚度矩阵；（2）单元② 的刚度矩阵；（３）总刚矩阵的表达式。
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第二章习题与答案
1. 试说明弹性力学的基本假设？
2. 弹性力学平面问题的基本方程有哪三大类？各表征何种关系？
3. 虚功原理内容？
答案
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4. 工程上具有什么特点的空间问题可以简化为平面应力问题？
5.工程上具有什么特点的空间问题可以简化为平面应变问题？
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4.题答案
解：
S ijm
1 1 xj 2 1 xm
1 xi
1 y j 1 7 7 13.5 2 1 1 4 ym
yi
1 4
1
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5.题答案
1 [(ai x i a j x j a m y m ) (bi x i b j x j bm x m ) x 2A
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由剪应力互等定理， yx yx
'
Y 0
Q( x ) n 2 ( y2 ) 2I 4
y xy dy dx ( xy dx) dy y dx xy dy 0 y y x y xy Q( x ) n 2 dQ( x) 1 n 2 q ( x) n 2 2 2 ( y ) ( y ) ( y2 ) y x 2I 2 dx 2I 2 2I 2
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1. 有限单元法的含义？ 答：用有限个单元将连续体离散化，通过对有限个单元作分片插 值求解各种力学、物理问题的一种数值方法。连续体的单元是 各种形状（ 如三角形、四边形、六面体等 ）的单元体。 2.有限元法的解题思路？ 答（1）网格划分； （2）单元分析；（3）整体分析。 3.有限元法的优点？ 答（1）物理概念清晰，便于入门； （2）采用矩阵形式，便于编制计算机程序； （3）有较强的灵活性和适用性。
y
n 2 y
q ( x) n 2 q ( x) 3 2 n3 2 3 ( y )dy ( n yy ) 2I 2 6I 4 4
dM ( x) Q( x) dx
dQ ( x ) q( x) dx

My Iz
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第三章习题与答案
1.为满足解答收敛性要求，选择位移模式应满足什么条件？
2.弹性体在进行单元划分时，应注意什么问题？
答案
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3.试说明图示工程实例的约束如何引进整体刚度矩阵？
答案
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4.计算出图示单元节点的编码方式下的三角形ijm的面积Ｓ△ijm的
值。 5.试证明:三结点三角形单元内任意一点有：
Ni xi N j x j N m xm x
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4、5. 题答案
4. 工程上具有什么特点的空间问题可以简化为平面应力问题？ 答： （1）在几何外形上，它们都是等厚度的平面薄板； （2）在受力状态上，面力都只作用在板边上，且平行于板面， 并且不沿厚度变化，体力也平行于板面，且不沿厚度变化； （3）σz=0 ，εz≠0 。 5.工程上具有什么特点的空间问题可以简化为平面应变问题？ （1）在几何形状上，它们都是一个近似等截面的长柱体，它 们的长度要比横截面的尺寸大得多； （2）在受力情况上，它们都只受有平行于横截面，且沿纵向 长度均布的面力和体力。有的在纵向的两端还受有约束。 （3）εz=0，σz≠0
答案
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14. 图示平面应力状态的直角三角形单元及其结点编码，设 试求： （1）形态矩阵[N]； （2）几何矩阵[B]及应力转移矩阵[S]; （3）单元刚度矩阵[k]e

1 6
答案
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15. 如图所示单元，在jm边上作用有线性分布的水平载荷， 试求其等效结点载荷。单元的厚度为1cm。
答案
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16. 如图所示单元，在ij边上作用有均布，载荷密度为q，试 单元的等效结点载荷。单元的厚度为t。
答案
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17. 如图所示单元，在ij边上作用有均布，载荷密度为q，试 单元的等效结点载荷。单元的厚度为t。
答案
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6. 应用几何方程推导应变分量应满足下列变形协调方程。
2 2 2 x y xy 2 y 2 x xy
答案
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7. 悬臂梁在三角形分布载荷作用下，可以看成平面应力问题，
q 3 6 2 y3 3y 1 3 x 3 x y 2 xy a xy ， 应力分量表达式为， y qx 3 5 4a 4a 2 4a
答案
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1、2、3. 题答案
1. 试说明弹性力学的基本假设？ 答（1）假设物体是线性弹性的； （2）假设物体是连续的； （3）假设物体是均匀的，各向同性的； （4）假设物体的位移和应变是微小的。 2. 弹性力学平面问题的基本方程有哪三大类？各表征何种关系？ 答：弹性力学平面问题的基本方程包括平衡方程、几何方程和 物理方程。 平衡方程表征：应力与外力的关系。 几何方程表征：应变与位移的关系。 物理方程表征：应力与应变的关系。 3. 虚功原理? 外力在虚位移上所做的虚功W，恒等于应力乘虚应变的 虚变形功（或虚变形能）。
xy
q 2 2 1 4 6 2 2 2 4 3 x a y a y a y 8a 3 5 5


试检验这些应力公式是否满足变形协调方程 ？
答案
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8.下图示梁作用有分布载荷q (x)，体力忽略不计，已知 ，其中 M（x）为梁的截面弯矩，I为截面惯性矩。试根据单元体的平衡 方程式，求应力 。
6. “在应用有限元求解弹性力学平面问题时，单元划分得越小 越好” ，这句话对吗？试说明理由。
答案
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7. 试证明平面三角形三结点单元的位移模式：
ux, y a1 a2 x a3 y vx, y a4 a5 x a6 y
含有刚体位移状态。
2 xy xy

3qxy1 Ea 3
即应力公式满足相容方程
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8. 题答案
解：
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N 2 S A x dA
( M dM ) y1 M dM dA A1 I I

A1
y1 dA
M dM * Sz I
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6. 题答案
由： x u
x
， y
v y
，
xy
v u x y
2 2 2 x y xy 2 2 y x yy
2 x x 3u 2u ， y 2 xy 2 y xy