弹性力学与有限元法大作业17
弹性理论及有限元方法学习通课后章节答案期末考试题库2023年
弹性理论及有限元方法学习通课后章节答案期末考试题库2023年1.弹性力学的基本假定为___、___、___、___。
参考答案:连续性###完全弹性###均匀性###各向同性;2.在弹性力学中规定,切应变以___时为正,___时为负,与___的正负号规定相适应。
参考答案:直角变小###变大###切应力;3.连续性假定是指整个物体是由同一材料组成的。
()参考答案:错4.下面哪些物体可以作为平面应力问题分析？参考答案:大平圆盘###大平薄板5.当物体的形变分量完全确定时,位移分量却不能完全确定。
()参考答案:对6.物体受外力以后,其内部将发生___,它的集度称为___。
与物体的形变和材料强度直接有关的,是应力在其作用截面的___和___的分量,也就是___和___。
应力及其分量的量纲是___。
参考答案:内力###应力###法线方向###切线方向###正应力###切应力###ML7.下列属于平面应变问题的是:参考答案:天然气输送管道###具有固定截面的型材8.按应力求解平面问题时常采用位移法和应力法。
()参考答案:错9.弹性力学体素变形分为几类？分别是什么，简述之？参考答案:两类：长度的变化和角度的变化。
任一线素的长度的变化与原有长度的比值称为线应变（或称正应变）。
当线素伸长时，其线应变为正。
线素缩短时，其线应变为负。
任意两个原来彼此正交的线素，在变形后其夹角的变化值称为角应变或剪应变。
夹角变小时为正，变大时为负。
10.弹性力学中应力如何表示?正负如何规定?参考答案:正应力分量三个、剪应力分量六个；正面上与坐标轴方向一致，为正；负面上与坐标轴负向一致，为正。
11.表示位移分量与应力分量之间关系的方程为物理方程。
()参考答案:错12.平面问题分为___问题和___问题。
参考答案:平面应力###平面应变;13.按应力求解平面问题,最后可以归纳为求解一个应力函数。
()参考答案:错14.平面应力问题与平面应变问题的物理方程是完全相同的。
弹性力学至用有限单元法求平面问题共36页
弹性力学至用有限单元法求 平面问题
41、实际上，我们想要的不是针对犯 罪的法 律，而 是针对 疯狂的 法律。 ——马 克·吐温 42、法律的力量应当跟随着公民，就 像影子 跟随着 身体一 样。— —贝卡 利亚 43、法律和制度必须跟上人类思想进 步。— —杰弗 逊 44、人类受制于法律，法律受制于情 理。— —托·富 勒
45、法律的制定是为了保证每一个人 自由发 挥自己 的才能 ，而不 是为了 束缚他 的才能 。—— 罗伯斯 庇尔谢谢你的阅读❖知识就是财富 ❖ 丰富你的人生
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
弹性力学及有限单元法_河海大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年
弹性力学及有限单元法_河海大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.建立平衡微分方程时，用到了下列哪些假定（）、（）。
参考答案:连续性_小变形2.有限单元法中的单元仍然满足（）、（）、（）、（）的理想弹性体。
参考答案:完全弹性_均匀性_各向同性_连续性3.应力边界条件是指在边界上（）之间的关系式。
参考答案:应力与面力4.面力是指分布在物体的力。
参考答案:表面上##%_YZPRLFH_%##表面5.位移是指一点的移动。
参考答案:位置6.线应变（或正应变）以为正。
参考答案:伸长7.极坐标系下的几何方程有（）。
参考答案:3个8.极坐标系下的平衡微分方程有（）。
参考答案:2个9.应力是指上的内力。
参考答案:单位面积##%_YZPRLFH_%##单位截面10.地面的沉陷与地基的弹性模量无关。
（）参考答案:错误11.弹性力学问题中，仅对位移分量要求单值。
（）参考答案:错误12.在小边界上按圣维南原理列写的三个边界条件是方程。
参考答案:代数##%_YZPRLFH_%##积分13.在大边界上按精确的应力边界条件，列出的两个边界条件是方程。
参考答案:函数14.精确的应力边界条件可理解为，边界上的应力分量应等于对应的。
参考答案:面力分量15.当体力为常量时，按应力求解可简化为按求解。
参考答案:应力函数16.常体力，是指。
参考答案:体力是常量##%_YZPRLFH_%##体力等于常量##%_YZPRLFH_%##体力为常量17.体力是指分布在物体的力。
参考答案:体积内##%_YZPRLFH_%##体积18.在弹性力学中，可以应用叠加原理。
参考答案:正确19.逆解法先假设应力分量的函数形式进行求解。
参考答案:错误20.应力的量纲与面力的量纲是一样的。
参考答案:正确21.弹性力学中应力的符号与面力的符号规定，在正、负坐标面上是一致的。
参考答案:错误22.弹性力学和材料力学中关于切应力的符号规定是一样的。
参考答案:错误23.小变形假定可简化（）、（）为线性方程。
机械工程有限元法大作业,弹性力学读书报告
弹性力学，又称弹性理论，研究弹性体由于受外力、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。
研究对象：弹性体。
研究目标：变形等效应，即应力、形变和位移。
研究方法：在弹性体区域内必须严格考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，在边界上严格考虑受力条件或约束条件，由此建立微分方程和边界条件进行求解，得出精确解答。
弹性力学中的几个基本概念：1） 外力：体积力和表面力，简称体力和面力。
体力：分布在物体体积内的力，例如重力和惯性力。
f : 极限矢量,即物体在P 点所受体力的集度。
方向就是 F 的极限方向。
f x , f y , f z ：体力分量, 沿坐标正方向为正，沿坐标负方向为负。
量纲：N/m 3=kg ∙m/s 2∙m 3=kg/m 2∙s 2即：L -2MT -2fV F lim 0V =∆∆→∆面力：分布在物体表面的力，例如流体压力和接触力。
f : 极限矢量,即物体在P 点所受面力的集度。
方向就是∆F 的极限方向。
f x , f y , f z ：体力分量。
符号规定:沿坐标正方向为正，沿坐标负方向为负。
量纲：N/m 2=kg ∙m/s 2∙m 2=kg/m 2∙s 2即：L -1MT -2f S F lim 0V =∆∆→∆2） 应力：单位截面面积的内力。
内力：发生在物体内部的力，即物体本身不同部分之间相互作用的力。
p A F =∆∆→lim 0ΔVp : 极限矢量,即物体在截面mn 上的、在P 点的应力。
方向就是F 的极限方向。
应力分量：σ，τ量纲：N/m 2=kg ∙m/s 2∙m 2=kg/m ∙s 2 即：L -1MT -2PA=∆x, PB=∆y , PC=∆z符号规定:正面：截面上的外法线沿坐标轴的正方向。
正面上的应力以沿坐标轴的正方向为正，沿坐标轴的负方向为负。
负面：截面上的外法线沿坐标轴的负方向。
负面上的应力以沿坐标轴的负方向为正，沿坐标轴的正方向为负。
正应力符号规定与材力同，切应力与材力不相同。
有限元大作业
1．推导有限元计算格式，理解有限元原理：建立图示受拉直杆在自重（设单位长度重度为q ，截面积为A ）和外力P 作用下的拉伸问题的微分方程，并分别利用不同的原理（变分求极值（最小势能或虚功原理）、加权残值法）推导有限元计算格式（取两个单元）。
手工求出端点的位移（自己给定参数值）。
设杆长为L ，截面面积为A(x)，弹性模数为E,单位长重量q ，受拉杆x 处的位移为u(x)。
取微元dx 的力平衡，建立受拉杆位移所满足的微分方程()du x dx ε=，()du x E E dxσε== dx 上下截面内力与微元自重相等得()*()()*()A x dx x dx A x x dx qdx σσ++-+=-(()())dA x x q dxσ∴=- (())d duEA x q dx dx=- 0x L << ()0u x = 0x =()duEA x p dx= x L = 得解析解：2()2q x P u Lx x EA EA=-+将其分为两个单元，节点为1,2,3，得22382qL PL u EA EA=+232qL PL u EA EA=+有限元法：1)位移函数01u α= 2111u u l α-=得1211(1)x x u u u l l =-+ 令11(1)x N l =-21x N l = 11122122u u N u N u N N u⎧⎫⎪⎪⎡⎤=+=⎨⎬⎣⎦⎪⎪⎩⎭{}1u N d ⎡⎤=⎣⎦ 2)应变、应力表达{}{}111211du dN d d dx dx l l ε⎡⎤⎡⎤===-⎢⎥⎣⎦⎣⎦{}1B d ε⎡⎤=⎣⎦ {}1E E B d σε⎡⎤==⎣⎦ {}1S d σ⎡⎤=⎣⎦3)势能表示{}{}(){}{}(){}{}{}{}{}1111''112211''121112210111111111111111121221222T V ll T T T T T U W D dV F u F u qdx u u d B E d Adx F u F u ql EA EA ql l l d d d F d EA EA ql l l εε⎡⎤=-=-+-⎣⎦+⎡⎤=-+-⎣⎦⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦∏⎰⎰⎰4)单元平衡方程 a)最小势能原理110u ∂=∂∏120u ∂=∂∏111111212112112ql F u AE l u ql F ⎧⎫-⎪⎪⎧⎫⎡⎤-⎪⎪⎪⎪=⎨⎬⎨⎬⎢⎥-⎣⎦⎪⎪⎪⎪⎩⎭+⎪⎪⎩⎭b)虚位移原理{}(){}(){}TeTdd F qdx d δδδεσΩ+=Ω⎰⎰{}{}1B d σεδ⎡⎤=⎣⎦ {}1E E B d σεδ⎡⎤==⎣⎦{}(){}{}(){}111111TTT l d F d B E B d Adxδδ⎡⎤=⎣⎦⎰ 由虚位移任意性得，{}{}1111T lF B E B Adxd ⎡⎤=⎣⎦⎰ 积分得111111212112112ql F u AE l u ql F ⎧⎫-⎪⎪⎧⎫⎡⎤-⎪⎪⎪⎪=⎨⎬⎨⎬⎢⎥-⎣⎦⎪⎪⎪⎪⎩⎭+⎪⎪⎩⎭ 记为{}{}111k d F ⎡⎤=⎣⎦ 同理222212323112112ql F u AE l u ql F ⎧⎫-⎪⎪⎧⎫⎡⎤-⎪⎪⎪⎪=⎨⎬⎨⎬⎢⎥-⎣⎦⎪⎪⎪⎪⎩⎭+⎪⎪⎩⎭{}{}222k d F ⎡⎤=⎣⎦ {}{}ei i eF R =∑ 12220F F += 23F P =11111112211223222022202EAEAql F l l u ql ql EA EA EA EA u l l l l u ql EAEA P l l ⎡⎤⎧⎫-⎢⎥+⎪⎪⎢⎥⎧⎫⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢-+-⎥=+⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎩⎭⎪⎪+⎢⎥⎪⎪--⎢⎥⎩⎭⎣⎦可得：22382qL PLu EA EA=+232qL PL u EA EA=+与解析解结果一致。
弹性力学与有限元分析试题及参考答案
按应力求解平面应变问题的相容方程：
将已知应力分量 ， ， 代入上式，可知满足相容方程。
4、试写出平面问题的应变分量存在的必要条件，并考虑下列平面问题的应变分量是否可能存在。
（1） ， ， ；
（2） ， ， ；
（3） ， ， ；
其中，A，B，C，D为常数。
弹性力学与有限元分析试题及参考答案
四、分析计算题
1、试写出无体力情况下平面问题的应力分量存在的必要条件，并考虑下列平面问题的应力分量是否可能在弹性体中存在。
（1） ， ， ；
（2） ， ， ；
其中，A，B，C，D，E，F为常数。
解：应力分量存在的必要条件是必须满足下列条件：（1）在区域内的平衡微分方程 ；（2）在区域内的相容方程 ；（3）在边界上的应力边界条件 ；（4）对于多连体的位移单值条件。
6、证明应力函数 能满足相容方程，并考察在如图所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题（体力不计， ）。
解：将应力函数 代入相容方程
可知，所给应力函数 能满足相容方程。
由于不计体力，对应的应力分量为
， ，
对于图示的矩形板和坐标系，当板内发生上述应力时，根据边界条件，上下左右四个边上的面力分别为：
上边， ， ， ， ， ；
解：应变分量存在的必要条件是满足形变协调条件，即
将以上应变分量代入上面的形变协调方程，可知：
（1）相容。
（2） （1分）；这组应力分量若存在，则须满足：B=0，2A=C。
（3）0=C；这组应力分量若存在，则须满足：C=0，则 ， ， （1分）。
5、证明应力函数 能满足相容方程，并考察在如图所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题（体力不计， ）。
弹性力学与有限元分析试题及其答案
一、填空题1、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。
2、在弹性力学中规定，线应变以伸长时为正，缩短时为负，与正应力的正负号规定相适应。
3、在弹性力学中规定，切应变以直角变小时为正，变大时为负，与切应力的正负号规定相适应。
4、物体受外力以后，其内部将发生内力，它的集度称为应力。
与物体的形变和材料强度直接有关的，是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量，也就是正应力和切应力。
应力及其分量的量纲是L -1MT -2。
5、弹性力学的基本假定为连续性、完全弹性、均匀性、各向同性。
6、平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。
7、已知一点处的应力分量100=x σMPa ，50=y σMPa ，5010=xy τ MPa ，则主应力=1σ150MPa ，=2σ0MPa ，=1α6135' 。
8、已知一点处的应力分量， 200=x σMPa ，0=y σMPa ，400-=xy τ MPa ，则主应力=1σ512 MPa ，=2σ-312 MPa ，=1α-37°57′。
9、已知一点处的应力分量，2000-=x σMPa ，1000=y σMPa ，400-=xy τ MPa ，则主应力=1σ1052MPa ，=2σ-2052 MPa ，=1α-82°32′。
10、在弹性力学里分析问题，要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程。
11、表示应力分量与体力分量之间关系的方程为平衡微分方程。
12、边界条件表示边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。
分为位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。
13、按应力求解平面问题时常采用逆解法和半逆解法。
14、有限单元法首先将连续体变换成为离散化结构，然后再用结构力学位移法进行求解。
其具体步骤分为单元分析和整体分析两部分。
15、每个单元的位移一般总是包含着两部分：一部分是由本单元的形变引起的，另一部分是由于其他单元发生了形变而连带引起的。
弹性力学及有限元习题参考答案(赵均海、汪梦甫)汇编
xy
x
xz
X 0
x
y
z
yx
y
yz
Y 0
x
y
z
zx
z
zy
Z 0
x
y
z
已知：
x
2f1
2f2
E（1 ）
E
（
2A)
x （1 ）（1 2）x2 （1 ）（1 2） xy
τN =55.2Mpa;
习题 1.3
解：（1）应力不变量：
2 − 2 − 2
因为 I 1 = x + + ； I 2 = y + + −
将已知代入上式，得：I 1 = 25 MPa ，I 2 = −3250 MPa
（2）求主应力：
x −
y
2f2
2f1
E（1 ）
E
（
2B)
y （1 ）（1 2） y 2 （1 ）（1 2） xy
z
z
0
xy
2f
2f2
E
（ 21
)
y
（
2 1 ） x
xy
xz
0 ， yz 0
z
z
+
z 2 z =
（1 ）（1 2） （1 ）
xy xy
E
xy
（
2 1 ）
yz yz
E
yz
（
2 1 ）
xz xz
弹性力学与有限元智慧树知到答案章节测试2023年武汉工程大学
第一章测试1.下列不属于弹性力学研究对象的是（）。
A:板壳B:刚体C:杆件D:实体结构答案:B2.下列不属于弹性力学中基本未知量的是（）。
A:位移分量B:应力分量C:面力分量D:应变分量答案:C3.在工程强度校核中起着重要作用的是（）。
A:应力分量B:主应力C:正应力D:切应力答案:B4.已知物体内某点的应力张量(单位：Pa)，则沿方向的正应力大小为（）。
A:222.22 PaB:888.89 PaC:666.67 PaD:444.44 Pa答案:D5.下列关于应力分量的说法，正确的有（）。
A:坐标面上的应力B:一点的9个应力分量可以完全确定该点的应力状态C:应力分量与面力分量的正负号规定相同D:正截面上的应力E:弹性力学中应力分量的正负号规定反映了作用力与反作用力原理以及“受拉为正、受压为负”的传统观念。
答案:ABDE6.理想弹性体满足的假设有（）。
A:无初始应力假设B:均匀性假设C:连续性假设D:完全弹性假设E:各向同性假设答案:BCDE7.建立在基本假设上的弹性力学，也称为（）。
A:弹性理论B:线性弹性力学C:应用弹性力学D:数学弹性力学答案:ABD8.弹性力学的主要任务是解决各类工程中所提出的问题，这些问题包括（）。
A:稳定B:刚度C:强度D:动力答案:ABC9.弹性力学的研究方法是在弹性体的区域内严格考虑三方面条件，建立三套基本方程，这三方面条件包括（）。
A:几何学B:物理学C:静力学D:动力学答案:ABC10.中国科学家胡海昌于1954年最早提出了三类变量的广义变分原理。
（）A:错B:对答案:B11.物体内任意一点的应力分量、应变分量和位移分量，都不随该点的位置而变化，它们与位置坐标无关。
（）A:对B:错答案:B12.在最大正应力的作用面上切应力为零，在最大切应力的作用面上正应力为零。
（）A:对B:错答案:B13.应力张量的三个不变量是与坐标选择无关的标量。
（）A:错B:对答案:B14.弹性力学与材料力学在研究方法上是完全相同的。
弹性力学有限元考试卷与答案(AB卷)
2009-2010学年第一学期《弹性力学有限元》课内考试A卷授课班号年级专业学号姓名一、判断正误（×）1. 节点的位置依赖于形态，而并不依赖于载荷的位置（√）2. 对于高压电线的铁塔那样的框架结构的模型化处理使用梁单元（×）3. 不能把梁单元、壳单元和实体单元混合在一起作成模型（√）4. 四边形的平面单元尽可能作成接近正方形形状的单元（×）5. 平面应变单元也好，平面应力单元也好，如果以单位厚来作模型化处理的话会得到一样的答案（×）6. 用有限元法不可以对运动的物体的结构进行静力分析（√）7. 一般应力变化大的地方单元尺寸要划的小才好（×）8. 所谓全约束只要将位移自由度约束住，而不必约束转动自由度（×）9. 线性应力分析也可以得到极大的变形（√）10. 同一载荷作用下的结构，所给材料的弹性模量越大则变形值越小二、填空1．平面应力问题与薄板弯曲问题的弹性体几何形状都是薄板，但前者受力特点是：平行于板面且沿厚度均布载荷作用，变形发生在板面内；后者受力特点是：垂直于板面的力的作用，板将变成有弯有扭的曲面。
（3分）2．平面应力问题与平面应变问题都具有三个独立的应力分量：σx，σy，τxy，三个独立的应变分量：εx，εy，γxy，但对应的弹性体几何形状前者为薄板，后者为长柱体。
（3分）3．位移模式需反映刚体位移 ，反映 常变形 ，满足 单元边界上位移连续 。
（3分）4．单元刚度矩阵的特点有：对称性 ， 奇异性 ，还可按节点分块。
（2分） 5．薄板弯曲问题每个节点有个3自由度，分别是：w 、θx 、θy ，但其中只有 一个是独立的，其余两个可以用它表示为：,x y w wy xθθ∂∂==-∂∂。
（3分） 6．用有限元程序计算分析一结构的强度须提供（4分） ① 几何信息：节点坐标，单元节点组成，板厚度，梁截面等 ② 材料信息：弹性模量，泊松比，密度等 ③ 约束信息：固定约束，对称约束等④ 载荷信息：集中力，集中力矩，分布面力，分布体力等7．轴对称问题单元形状为：三角形或四边形截面的空间环形单元 ，由于轴对称的特性，任意一点变形只发生在子午面上，因此可以作为 二 维问题处理。
有限元理论与技术-习题-弹性力学
弹性力学填空题：1、连续体力学包括固体力学、流体力学、热力学和电磁场力学，非连续体力学包括量子力学。
2、弹性力学所研究的范围属于固体力学中弹性阶段。
3、弹性力学的基本假定为：连续性、完全弹性、均匀性和各向同性、变形很小、无初应力。
4、连续性假设是指：物体内部由连续介质组成，物体中应力、应变和位移分量为连续的，可用连续函数表示。
5、均匀性和各向同性假设是指：物体内各点和各方向的介质相同，即物理性质相同，物体的弹性常数杨氏模量和泊松比不随坐标和方向的变化而变化。
6、完全弹性假设是指：物体在外载荷作用下发生变形，在外载荷去除后，物体能够完全恢复原形，材料服从胡克定律，即应力与形变成正比。
7、在弹性力学里分析问题，要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程为：平衡方程、几何方程和物理方程，三组方程分别表示：应力与载荷关系、应变与位移关系、应力与应变关系。
8、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。
9、在弹性力学中规定，线应变以伸长时为正，缩短时为负，与正应力的正负号规定相适应。
10、在弹性力学中规定，切应变以直角变小时为正，变大时为负，与切应力的正负号规定相适应。
11、物体受外力以后，其内部将发生以，它的集度称为应力。
与物体的形变和材料强度直接有关的，是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量，也就是正应力和切应力。
12、建立平衡方程时，在正六面微分体的6个面上共有2_个应力分量，分别为：，其中正应力为：，剪应力为：，这些应力分量与外载荷共同建立2个方程。
13、建立几何方程时，线应变为，角应变为，这些应变与位移共同建立6 个方程。
14、物理方程表示应力与应变的关系，即为3克定律，其中弹性常数E和〃分别表示材料的杨氏模量和泊松比，物理方程组共包含6个方程。
15、平面问题分为平面应力问题和平面应变问题，两者所研究得对象分别为等厚度薄平板和等截面长柱体。
弹性力学与有限元(应试版)
分量间的关系；
7) 物理方程：[������] = [������][������]，它反映了 6 个应力与 6 个应变之间的关系，其
1
μ
μ00Fra bibliotek01−μ 1−μ
μ
1
μ
0
0
0
1−μ
1−μ
μ
μ
1
0
0
中[������]
=
E(1−μ) (1+μ)(1−2μ)
1−μ
0
1−μ
0
0
1−2μ 2(1−μ)
0
0 ，称为弹性矩
0，仅受平行于截面和沿长度不变的外力作用； ������������
2) 几何方程: [������] = [ ������������ ]； ������������������
3) 物理方程：把平面应力问题中������换成������⁄(1 − ������2),把������换成������⁄(1 − ������)可得； 由物理方程可得：������������������ = ������������������ = 0，������������ = ������(������������ + ������������)；
������������������
������������
1 ������
3)
物理方程为：[������]
=
[ ������������ ] ������������������
=
������ 1−������2
[������ 0
1 0
������������������
=
������������������
弹性力学及有限元习题参考答案(赵均海、汪梦甫)汇编
12
1
6
7
12
17
12
1
6
5
12
5
12
1
6
5
12
5
12
1
0
1
5
12
5
12
0
0
1
1
6
5
12
5
12
0
5
12
5
12
0
0
1
6
1
1
6
0
0
1
同理，可求得单元②、③、④的刚度矩阵：
5
12
0
0
18 E
x
y 2 y 2
f2(x ,y )
y
z 2 z 2（ 2Ax 2By C）
xy xy （
f（
f（x，y )
1 x，y）
2
）
y
x
yz yz （
f（
3 x，y）
+
z 2 z =
（1 ）（1 2） （1 ）
xy xy
E
xy
（
2 1 ）
yz yz
E
yz
（
2 1 ）
xz xz
E
xz
（
2 1 ）
由空间问题的平衡微分方程 P76(5.1a)（联系应力分量和体力分量的方程）
--弹性力学与有限元分析试题及参考答案
弹性力学与有限元分析试题及参考答案四、分析计算题1、试写出无体力情况下平面问题的应力分量存在的必要条件，并考虑下列平面问题的应力分量是否可能在弹性体中存在。
（1）By Ax x +=σ，Dy Cx y +=σ，Fy Ex xy +=τ； （2）)(22y x A x +=σ，)(22y x B y +=σ，Cxy xy =τ； 其中，A ，B ，C ，D ，E ，F 为常数。
解：应力分量存在的必要条件是必须满足下列条件：（1）在区域内的平衡微分方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂+∂∂=∂∂+∂∂00x yy xxy y yxx τστσ；（2）在区域内的相容方程()02222=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂y x y x σσ；（3）在边界上的应力边界条件()()()()⎪⎩⎪⎨⎧=+=+s fl m s f m l y s xy y xs yx x τστσ；（4）对于多连体的位移单值条件。
（1）此组应力分量满足相容方程。
为了满足平衡微分方程，必须A =-F ，D =-E 。
此外还应满足应力边界条件。
（2）为了满足相容方程，其系数必须满足A +B =0；为了满足平衡微分方程，其系数必须满足A =B =-C /2。
上两式是矛盾的，因此，此组应力分量不可能存在。
2、已知应力分量312x C Qxy x +-=σ，2223xy C y -=σ，y x C y C xy 2332--=τ，体力不计，Q 为常数。
试利用平衡微分方程求系数C 1，C 2，C 3。
解：将所给应力分量代入平衡微分方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂+∂∂=∂∂+∂∂00x yy x xy y yxx τστσ 得⎩⎨⎧=--=--+-023033322322212xy C xy C x C y C x C Qy 即()()()⎩⎨⎧=+=+--0230333222231xy C C y C Q x C C 由x ，y 的任意性，得⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=-023030332231C C C Q C C 由此解得，61Q C =，32Q C -=，23QC = 3、已知应力分量q x -=σ，q y -=σ，0=xy τ，判断该应力分量是否满足平衡微分方程和相容方程。
弹性力学与有限元分析试题及参考答案
弹性力学与有限元分析试题及参考答案四、分析计算题1、试写出无体力情况下平面问题地应力分量存在地必要条件，并考虑下列平面问题地应力分量是否可能在弹性体中存在.资料个人收集整理，勿做商业用途（1）By Ax x，Dy Cx y，Fy Ex xy；（2）)(22y xA x，)(22y xB y，Cxy xy；其中，A ，B ，C ，D ，E ，F 为常数.解：应力分量存在地必要条件是必须满足下列条件：（1）在区域内地平衡微分方程xyyxxyyyxx；（2）在区域内地相容方程02222yx yx；（3）在边界上地应力边界条件sflms f ml ysxy yxs yx x；（4）对于多连体地位移单值条件.资料个人收集整理，勿做商业用途（1）此组应力分量满足相容方程.为了满足平衡微分方程，必须A=-F ，D=-E.此外还应满足应力边界条件.资料个人收集整理，勿做商业用途（2）为了满足相容方程，其系数必须满足A+B=0；为了满足平衡微分方程，其系数必须满足A=B=-C/2.上两式是矛盾地，因此，此组应力分量不可能存在.资料个人收集整理，勿做商业用途2、已知应力分量312x C Qxyx，2223xy C y，y x C yC xy2332，体力不计，Q 为常数.试利用平衡微分方程求系数C1，C2，C3.解：将所给应力分量代入平衡微分方程0xyyxxyyyxx得23033322322212xy C xy C xC yC xC Qy即230333222231xy C C yC Q xC C 由x ，y 地任意性，得23030332231C C C Q C C 由此解得，61Q C ，32Q C ，23Q C 3、已知应力分量q x，q y，0xy，判断该应力分量是否满足平衡微分方程和相容方程.解：将已知应力分量q x，q y，0xy，代入平衡微分方程0Y xyX yxxyyyxx可知，已知应力分量q x，q y，0xy一般不满足平衡微分方程，只有体力忽略不计时才满足.按应力求解平面应力问题地相容方程：yx xyxyxy yx 22222)1(2)()(将已知应力分量q x，q y，0xy代入上式，可知满足相容方程.按应力求解平面应变问题地相容方程：yx xyxyxyyx2222212)1()1(将已知应力分量q x，q y，0xy代入上式，可知满足相容方程.4、试写出平面问题地应变分量存在地必要条件，并考虑下列平面问题地应变分量是否可能存在.（1）Axy x，3By y，2Dy C xy；（2）2Ay x ，y Bx y2，Cxy xy；（3）0x，0y ，Cxy xy ；其中，A ，B ，C ，D 为常数.解：应变分量存在地必要条件是满足形变协调条件，即yx x yxyyx 22222将以上应变分量代入上面地形变协调方程，可知：（1）相容.（2）C By A 22（1分）；这组应力分量若存在，则须满足：B=0，2A=C.（3）0=C ；这组应力分量若存在，则须满足：C=0，则0x，0y，0xy（1分）.5、证明应力函数2by 能满足相容方程，并考察在如图所示地矩形板和坐标系中能解决什么问题（体力不计，0b ）.解：将应力函数2by 代入相容方程24422444yyxx可知，所给应力函数2by 能满足相容方程.由于不计体力，对应地应力分量为b yx222，022xy，2yx xy对于图示地矩形板和坐标系，当板内发生上述应力时，根据边界条件，上下左右四个边上地面力分别为：上边，2h y，0l ，1m，0)(2h yxyxf ，0)(2h yyyf ；下边，2h y，0l ，1m ，0)(2h yxyx f ，0)(2h yyy f ；左边，2l x，1l ，0m ，b f l xxx2)(2，0)(2l xxyy f ；右边，2l x，1l ，0m ，b f l xxx 2)(2，0)(2l xxyy f .l/2l/2h/2h/2yxOOx b 可见，上下两边没有面力，而左右两边分别受有向左和向右地均布面力2b.因此，应力函数2by能解决矩形板在x 方向受均布拉力（b>0）和均布压力（b<0）地问题.资料个人收集整理，勿做商业用途6、证明应力函数axy 能满足相容方程，并考察在如图所示地矩形板和坐标系中能解决什么问题（体力不计，0a ）.解：将应力函数axy 代入相容方程24422444yyxx可知，所给应力函数axy 能满足相容方程.由于不计体力，对应地应力分量为022yx，022xy，ayx xy2对于图示地矩形板和坐标系，当板内发生上述应力时，根据边界条件，上下左右四个边上地面力分别为：上边，2h y，0l ，1m ，a f h yxyx2)(，0)(2h yyyf ；下边，2h y ，0l ，1m ，a f h yxyx 2)(，0)(2h yyy f ；左边，2l x ，1l ，0m ，0)(2l xxxf ，a f l xxyy 2)(；右边，2l x，1l ，0m ，0)(2l xxx f ，a f l xxyy 2)(.可见，在左右两边分别受有向下和向上地均布面力a ，而在上下两边分别受有向右和向左地均布面力 a.因此，应力函数axy 能解决矩形板受均布剪力地问题.资料个人收集整理，勿做商业用途7、如图所示地矩形截面地长坚柱，密度为，在一边侧面上受均布剪力，试求应力分量.解：根据结构地特点和受力情况，可以假定纵向纤维互不挤压，即设0x.由此可知l/2l/2h/2h/2yxO22yx将上式对y 积分两次，可得如下应力函数表达式)()(,21x f y x f yx 将上式代入应力函数所应满足地相容方程则可得)()(424414dxx f d dxx f d y2.3 直角三角形固定在刚性基础上，受齐顶地水压力和自重作用，如图 2.14所示.若按一个单元计算，水地容重g ，三角形平面构件容重g ,取泊松比v =1/6，试求顶点位移和固定面上地反力.资料个人收集整理，勿做商业用途解：按逆时针编码，局部编码与整体编码相同：1-2-3建立坐标)0,0(3)3,0(20,21:a a xoy （1）求形函数矩阵：aa a a 60321a b b a b 303321ac a c c 220321图（2.14）形函数:)(21y c x b a AN i i i i233221aa a A所以：ay ax Na y N a xN 32132321形函数地矩阵为：ay a xay ax ay a x a y a xN NN Nmji321302003210302（2）刚度矩阵333231232221131211KKKK K K K K KKesr sr s r sr s r s r s r sr rsb bc c c b b c b c c b c c b b AEtK21212121142125213531416122aE A Et t 可得：40035353415093532211EKEK251035343127273323531233E KEK215251935313EK41253535323EK431274252151273321352594140012535035250215250254150191009353E Ke（3）位移列向量和右端项由边界条件可确定：Teu a00022水压力和构件厚分别为：10tgh p TTet l q h q h q R 032031020306000001自重为W 与支座反力：Ty x y x e W R R W W R R R 330333112所以：Ty x y x eW R h q R W h q W R R R33363303011由eeeRa K得到下列矩阵方程组：3336300030301122W R h q R W h q W R R u y x y x 化简得：431274252151273321352594140012535035250215250254150191009353E Ke364035353022W h q u E可得：EW E h q u 363567022将22u 代入下式：333425135025103533031122W R h q R W R R u E y x y x 固定面上地反力：ahga gh q 330从而可得支座反力为：43221234120303011h q W Rh q W R W h q R WR y x y x 这是y 地线性方程，但相容方程要求它有无数多地解（全柱内地y 值都应该满足它），可见它地系数和自由项都应该等于零，即资料个人收集整理，勿做商业用途0)(414dxx f d ，)(424dxx f d 这两个方程要求ICx Bx Axx f 231)(，KJx Ex Dxx f 232)(代入应力函数表达式，并略去对应力分量无影响地一次项和常数项后，便得2323)(ExDxCx BxAxy 对应应力分量为22yxgyEDx B Ax y xy26)26(22CBx Axyx xy2322以上常数可以根据边界条件确定.左边，0x ，1l，0m ，沿y 方向无面力，所以有)(C xxy右边，b x ，1l ，0m ，沿y 方向地面力为q ，所以有qBb Ab bxxy23)(2上边，0y ，0l ，1m ，没有水平面力，这就要求xy 在这部分边界上合成地主矢量和主矩均为零，即)(00dx y b xy将xy地表达式代入，并考虑到C=0，则有)23(23232BbAbBxAxdx Bx Ax b b 而00)(dx ybxy自然满足.又由于在这部分边界上没有垂直面力，这就要求y在这部分边界上合成地主矢量和主矩均为零，即0)(00dx y b y，)(00x d x y b y将y地表达式代入，则有02323)26(22Eb DbEx Dx dx E Dx b b22)26(2323EbDbExDxxdx E Dx b b 由此可得2bq A，bq B，0C ，0D ，0E 应力分量为0x,gy bx by q y312,23bx bx q xy虽然上述结果并不严格满足上端面处（y=0）地边界条件，但按照圣维南原理，在稍远离y=0处这一结果应是适用地.资料个人收集整理，勿做商业用途8、证明：如果体力分量虽然不是常量，但却是有势地力，即体力分量可以表示为xV f x，yV f y，其中V 是势函数，则应力分量亦可用应力函数表示为，V yx22，V xy22，yx xy2，试导出相应地相容方程.资料个人收集整理，勿做商业用途证明：在体力为有势力地情况下，按应力求解应力边界问题时，应力分量x，y，xy应当满足平衡微分方程yV xyx V yxxyyyxx（1分）还应满足相容方程y f x f yxy x yx 12222（对于平面应力问题）yf xf yxy x yx 112222（对于平面应变问题）并在边界上满足应力边界条件（1分）.对于多连体，有时还必须考虑位移单值条件.首先考察平衡微分方程.将其改写为0xVyyV x xyyyxx这是一个齐次微分方程组.为了求得通解，将其中第一个方程改写为yxxyVx根据微分方程理论，一定存在某一函数A （x ，y ），使得yA Vx，xAyx同样，将第二个方程改写为yxyxVy（1分）可见也一定存在某一函数B （x ，y ），使得xB Vy，yByx由此得yB xA 因而又一定存在某一函数y x,，使得y A，xB代入以上各式，得应力分量V yx22，V xy22，yx xy2为了使上述应力分量能同量满足相容方程，应力函数y x,必须满足一定地方程，将上述应力分量代入平面应力问题地相容方程，得资料个人收集整理，勿做商业用途Vyx Vx Vyyx2222222222221VyxV yxxy yx222222222222222212简写为V24)1(将上述应力分量代入平面应变问题地相容方程，得Vyx Vx Vyyx22222222222211VyxVyxxy yx2222222222222222112简写为V241219、如图所示三角形悬臂梁只受重力作用，而梁地密度为，试用纯三次地应力函数求解.O解：纯三次地应力函数为3223dycxyy bx ax相应地应力分量表达式为dy cx xf yx x6222,gy by ax yf xy y2622,cybx yx xy222这些应力分量是满足平衡微分方程和相容方程地.现在来考察，如果适当选择各个系数，是否能满足应力边界条件.资料个人收集整理，勿做商业用途上边，0y ，0l ，1m，没有水平面力，所以有2)(bx yxy对上端面地任意x 值都应成立，可见b 同时，该边界上没有竖直面力，所以有6)(ax yy对上端面地任意x 值都应成立，可见a 因此，应力分量可以简化为dy cx x62，gy y，cyxy2斜面，tanx y ，sin 2cosl ，cos cos m ，没有面力，所以有0tantan x y xyyx y yx x lmml 由第一个方程，得sin tan 6sin4costan 2sintan 62dx cx cx dx cx 对斜面地任意x 值都应成立，这就要求tan64d c 由第二个方程，得sin sin tan 2cos tan sintan 2gx cx gx cx 对斜面地任意x 值都应成立，这就要求0tan 2g c （1分）由此解得cot 21g c（1分），2cot31g d从而应力分量为2cot2cot gy gx x,gy y,cotgy xy设三角形悬臂梁地长为l ，高为h ，则lh ta n.根据力地平衡，固定端对梁地约束反力沿x 方向地分量为0，沿y 方向地分量为glh 21.因此，所求x 在这部分边界上合成地主矢应为零，xy应当合成为反力glh 21.资料个人收集整理，勿做商业用途cotcotcot2cot2202gh glh dygy gl dyh lxh xglhgh dygy dyh h lx xy21cot21cot2可见，所求应力分量满足梁固定端地边界条件.10、设有楔形体如图所示，左面铅直，右面与铅直面成角，下端作为无限长，承受重力及液体压力，楔形体地密度为1，液体地密度为2，试求应力分量.资料个人收集整理，勿做商业用途解：采用半逆解法.首先应用量纲分析方法来假设应力分量地函数形式.取坐标轴如图所示.在楔形体地任意一点，每一个应力分量都将由两部分组成：一部分由重力引起，应当与g 1成正比（g 是重力加速度）；另一部分由液体压力引起，应当与g2成正比.此外，每一部分还与，x ，y 有关.由于应力地量纲是L-1MT-2，g 1和g 2地量纲是L-2MT-2，是量纲一地资料个人收集整理，勿做商业用途量，而x 和y 地量纲是L ，因此，如果应力分量具有多项式地解答，那么它们地表达式只可能是gx A 1，gy B 1，gx C2，gy D2四项地组合，而其中地A ，B ，C ，D 是量纲一地量，只与有关.这就是说，各应力分量地表达式只可能是x 和y 地纯一次式.资料个人收集整理，勿做商业用途其次，由应力函数与应力分量地关系式可知，应力函数比应力分量地长度量纲高二次，应该是x 和y 纯三次式，因此，假设资料个人收集整理，勿做商业用途3223dycxyy bx ax相应地应力分量表达式为dy cx xf yx x6222,gy byax yf xy y12226,cybx yx xy222这些应力分量是满足平衡微分方程和相容方程地.现在来考察，如果适当选择各个系数，是否能满足2g1gyxO应力边界条件.资料个人收集整理，勿做商业用途左面，0x ，1l，0m ，作用有水平面力gy 2，所以有gydy xx26)(对左面地任意y 值都应成立，可见62gd同时，该边界上没有竖直面力，所以有2)(cy xxy对左面地任意y 值都应成立，可见c 因此，应力分量可以简化为gy x2，gy byax y126，bxxy2斜面，tan y x ，cos l ，sin2cosm ，没有面力，所以有0tantan y x xy yy x yx x lmm l 由第一个方程，得sin tan 2cos 2by gy 对斜面地任意y 值都应成立，这就要求sin tan 2cos 2b g 由第二个方程，得sin sin4sin tan 6cos tan 2sin 2tan611y g b a by gy byay 对斜面地任意x 值都应成立，这就要求4tan61g ba 由此解得321cot31cot61g g a，22cot21g b 从而应力分量为gy x 2,y g g xg g y 122321cotcot2cot ,22cotgx xy 位移边界条件对称、固定边和简支边上支点地已知位移条件如下：对称轴: 法线转角=0固定边: 挠度=0 (或已知值)边线转角=0 (或已知值)法线转角=0 (或已知值)简支边: 挠度=0 (或已知值)边线转角=0 (或已知值)计算图示四边固定方板方板地边长为l ，厚度为t ，弹性模型量为E ，波松比μ=0.3，全板承受均布法向荷载ｑ，求薄板中地挠度和内力. 资料个人收集整理，勿做商业用途单元划分：为了说明解题方法，采用最简单地网络2×2，即把方板分成四个矩形单元.由于对称性，只需计算一个单元，例如，计算图中有阴影地单元，单元地节点编号为１，２，３，４.此时，单元地a, b 是4l ba 计算节点荷载:由前面地均布荷载计算公式得：Tl l l l l l l l qlR ]21121212[192}{2边界条件：边界23和34为固定边，因此节点2, 3, 4地挠度、边线和法线转角均为零.边界12和14为对称轴，因此θx1 =0、θy1 =0.于是，在4个节点和12个位移分量中,只有一个待求地未知量1w .资料个人收集整理，勿做商业用途结构地代数方程组：这是一个单元地计算题目，单元刚度矩阵在此处即为总刚度矩阵.引入支承条件后，在总刚度矩阵中只取第一行、列元素，在方程组右端项中只保留第一个元素.于是结构地代数方程为：16)681(15815821201120qlw l D w k lD 资料个人收集整理，勿做商业用途同此解出04100148.0D ql w .其中32309158.0)1(12EtEt D 内力:利用式(4-2-6)可求得方板中点力矩为：由表看出，网格越密，计算结果越接近于精确答案.还可看出，位移地精度一般比内力地精度高，这是因为在位移法中，位移是由基本方程直接求出地，而内力则是根据位移间接求出地.资料个人收集整理，勿做商业用途第三章平面问题有限单元法习题答案3-2图示等腰直角三角形单元，设=1/4，记杨氏弹性模量E ，厚度为t ，求形函数矩阵[N]、应变矩阵[B]、应力矩阵[S]与单元刚度矩阵[K]e.资料个人收集整理，勿做商业用途【解】：ijmj imi j ji mm i j i m j m i i m j j m i m j i j m m j ix x c y y b y x y x a x x c y y b y x y x a x x c y y b y x y x a ,,,,,,aj(0,a)aac a a b a aa a a ac b a a a c a a b a a mmmj j j i i i 0,0,0*0*0,00,00**0000,0,0*00*02mjim j i N N N N N N N000),,()(21m j i y c x b a AN i i ii 221001010121aa a Ayxayxy x ay x a Na yx a ay ax aaN a y ay x a N a x y ax a N m j i 000001)(1)00(1)00(122221000310131031001310311103)411(2412100141141411411)4121)(411()411()1(2210011011)21)(1()1(EE E E D321B B B Baa c a ab a aa a a a cb a a ac a a b a a mmmj jj i i i 0,0,0*0*0,000,00**0000,0,0*00*0211011010100001000111110011011000110000110000100212aBaB aB a a a aB b c c b AB mjii i i i i1003101310E D1101101010000100011aB11011313001*********11110100001000110003101310aE a E BD S 1003101310E D11111010000100011aB42311124111331300111011011011013100320211101101010000100011000310131101101010000100011022Et at aE tAB D BKTTe3-3正方形薄板，受力与约束如图所示，划分为两个三角形单元，=1/4，板厚为t ，求各节点位移与应力.【解】：yP 34242311124111331300111011011011013100320Et tAB D BKTe0000000000000000003001310001101100011011001003130031114200111324201Et K4211310024131100111001001303100031013000111001000000000000000000202Et K4211310241311001140023113042011310240111120041300311142001113242021Et KKK 载荷向量：000000P R1001414004040042000000004211310241311001140023113042011310240111120041300311142001113242013344332211P v u Et P v u v u v u v u Et 101414041PEt PEt v u 05010015330050000044332211Et P v u v u v u v u 10003101310E D111101010000100011a B1101110001000010111aB12BB31201010003101325000000110111000100001011000310131033221111atPatPEtP aE v u v u v u BD 1002101031013200500011111000100001110310131022334422atP atP Et P aE v u v u v u BD 3-4三角形单元i,j,m 地j ，m 边作用有如图所示线形分布面载荷，求结点载荷向量.【解】：面力移置公式：tdsp NRTe其中：mjim j i N N N N N N N000),,()(21m j i y c xb a AN i i ii 426,132,62*63*2352,426,26*22*5165,363,213*56*6mmmj j j i i i c b a c b a c b a 213431402212165136122121Aj(6,3)i(2,2)m(5,6)1q 2q yxo)46(131)342(131)321(131y x N y x N y x N mj i 所以:yx yx yx y x yx y x N460342033004603420321131载荷分布函数：0)6(3)(121y q q q p积分函数：])6,5[(213x x y dyy q q q yxyx y x yx yxyxttdsy q q q yx y x yx yxyx y xRe3100)6(3)(460463420034233003211310)6(3)(464634200342330032113112163121dyy q q q y y y y t dyy q q q y yyy yy yy tRe)6(3)(133130013313263130026313000013*3100)6(3)(473160473163283420032834200013*3101216312163dyy q q q q y y q q q q y tdyy q q q q y y q q q q y tRe63121212126312121212))(36(*30))(36(*60027100)3)(2(*133130)3)(2(*26313013*310126323122126312631212632312212631263129292331)(321)36(3)(3)36(299331)(621)36(6)(6)36(q q y yq q yyq q dyy y q q dy y q q q q yyq q yyq q dy y y q q dy y q q 所以:210210031002182902990027100)3)(2(*133130)3)(2(*26313013*310121212126312121212q q q q tq q q q t dyy q q q q y y q q q q ytRe3-5图示悬臂深梁，右端作用均布剪力，合力为P ，取=1/3，厚度为t ，如图示划分四个三角形单元，求整体刚度方程.资料个人收集整理，勿做商业用途【解】：13524612341000420248410012102112)311(23121001311310311311)3121)(311()311()1(22100011011)21)(1()1(EE E E D10420248E D1111101000010001B53411235211442400211011011011024200416211101101010000100011020410241101101010000100018Et t E tAB D B KTTe534112352114424002110110110110242004164321Et KKKK0000000000000000000000000000000000000000000000400042020000010011100000000000000000000000000000410053120000210035140000010011100000200024041K534112352114424002110110110110242004164321Et KKKK00000000000000000000000000000000000000000000001011000100000424002000001253004100001435002100000000000000000000000000002420040000010110001162Et K00000000000000000000000000000000000000000000000080008404000002002220000000000000000000000000000082001062400004200610280000020022200000400048081612Et KK80844000020022200000000000000000000000000000820010624000042006102800000200222000004000480800000000000000000000000000000000000000000000000000001643Et KK808440200222000000000000000000000000000008200186248404420061228222002002220000040004808000000008200106240000420061028000002002220000040004808164321Et K K K K K算例2：正方形薄板平面应力问题地求解已知图示正方形薄板，沿其对角线承受压力作用，载荷沿厚度为均匀分布，P=20kN/m.设泊松比u=0，板厚t=1m ，求此薄板应力.资料个人收集整理，勿做商业用途课本第42页3.7节计算结果如下：变形：76.176.172.388.052.1252.32653321u u v u v v 应力：)/(40.40.2088.021m kN xyy x ；)/(052.1276.122m kN xyy x；)/(08.372.388.023m kN xyy x ；)/(32.172.3024m kN xyy x 1、如图1所示等腰直角三角形单元，其厚度为t ，弹性模量为E ，泊松比0；单元地边长及结点编号见图中所示.求(1)形函数矩阵N(2)应变矩阵B 和应力矩阵S (3)单元刚度矩阵eK1、解：设图1所示地各点坐标为点1（a ，0），点2（a ，a ），点3（0，0）于是，可得单元地面积为12A2a ，及(1)形函数矩阵N 为(7分)123aa12122121(0a a )a 1(00a )a 1(aa 0)aN x y N x y N x y ；123123N N N NI I I N N N (2)应变矩阵B 和应力矩阵S 分别为(7分)12a 010-a a-aaB ，220010a aa 0B ，32-a 0100a-aB ；123B B B B 12a00-a a11-a a 22E S ，22000a a1a 02E S ，32-a 000a10-a 2E S ；123123SD B B B S S S (3)单元刚度矩阵eK(6分)111213T21222331323331102113120111100140202002000201111eEt tAK K K KB DB K K K K K K 2、图2（a ）所示为正方形薄板，其板厚度为t ，四边受到均匀荷载地作用，荷载集度为21/N m ，同时在y 方向相应地两顶点处分别承受大小为2/N m 且沿板厚度方向均匀分布地荷载作用.设薄板材料地弹性模量为E ，泊松比0.试求资料个人收集整理，勿做商业用途(1)利用对称性，取图（b ）所示1/4结构作为研究对象，并将其划分为4个面积大小相等、形状相同地直角三角形单元.给出可供有限元分析地计算模型（即根据对称性条件，在图（b ）中添加适当地约束和荷载，并进行单元编号和结点编号）.资料个人收集整理，勿做商业用途(2)设单元结点地局部编号分别为i 、j 、m ，为使每个单元刚度矩阵eK 相同，试在图（b ）中正确标出每个单元地合理局部编号；并求单元刚度矩阵eK .资料个人收集整理，勿做商业用途(3)计算等效结点荷载.(4)应用适当地位移约束之后，给出可供求解地整体平衡方程（不需要求解）.图13①②③④2、解：(1)对称性及计算模型正确(5分) (2)正确标出每个单元地合理局部编号(3分) (3)求单元刚度矩阵eK(4分) (4)计算等效结点荷载(3分)(5)应用适当地位移约束之后，给出可供求解地整体平衡方程（不需要求解）.(5分)如图3.11所示地平面三角形单元，厚度t=1cm ，弹性模量E=2.0*105mpa ，泊松比γ=0.3，试求插值函数矩阵N ，应变矩阵B ，应力矩阵S ，单元刚度矩阵Ke.资料个人收集整理，勿做商业用途图2j m m mmi ii ij j j 1N /m21N /m 12456对称1011012020031214301201eEt K对称123356322000026121006120146101620212v v u Et tv u u解：此三角形单元可得：2△=（10-2）*4=32，故有a1=1/32*（8u1-5u2-16u3）a2=1/32*（4u1-4u2）a3=1/32*（-8u1+8u3）a4=1/32*（56v1-8v2-16v3）a5=1/32*（-4v1+4v2）a6=1/32*（-8v1+8v3）而b1=y2-y3=-4 b1=x2-x3=-8b1=y3-y1=4 b1=x3-x1=0b1=y1-y2=0 b1=x1-x2=8b1 0 b2 0 b3 0 -4 0 4 0 0[B]=1/2△* 0 c1 0 c2 0 c3 =1/32* 0 -8 0 0 8资料个人收集整理，勿做商业用途c1 b1 c2 b2 c3 b3 -8 4 0 8 01 γ 0 1 0.3 0[D]=[E/(1-γ2)]* γ 1 0 =[E/0.91]* 0.3 1 0资料个人收集整理，勿做商业用途0 0 (1-γ)/2 0 0 0.351 0.3 0 -0.125 0 0.125 0 0[S]=[D]*[B]={E/0.91}* 0.3 1 0 * 0 -0.25 0 0 0.25资料个人收集整理，勿做商业用途0 0 0.35 -0.25 0.125 0 0.25 01.4 0 -1.4 -0.7 0 0.70 4 -0.6 -4 0 0[K]①=BT*D*B①*t*△={E/36.4}* -1.4 -0.6 2.4 1.3 0.6 0.7资料个人收集整理，勿做商业用途-0.7 -4 1.3 -0.6 -1 0.350 0 0.6 -1 -0.6 00.7 0 0.7 -0.35 0 01 0 0 0.6 -1 -0.60 0.35 0.7 0 -0.7 -0.350 0.7 1.4 0 -1.4 -0.7[K]②=BT*D*B②*t*△={E/36.4}* 0.6 0 0 4 -0.6 -4资料个人收集整理，勿做商业用途1 -0.7 -1.4 -0.6 2.4 1.30.6 -0.35 -1.4 -4 1.3 3.53.12 求下图中所示地三角形地单元插值函数矩阵及应变矩阵，u1=2.0mm，v1=1.2mm，u2=2.4mm，v2=1.2mm，u3=2.1mm，v3=1.4mm，求单元内地应变和应力，求出主应力及方向.若在单元jm边作用有线性分布面载荷（x轴），求结点地地载荷分量.资料个人收集整理，勿做商业用途解：如图2△=64/3，解得以下参数：a1=19 a2=-2 a3=6；b1=-3 b2=4 b3=-1；c1=-1 c2=-3 c3=4；资料个人收集整理，勿做商业用途N1={64/3}*(19-3x-y) N2={64/3}*(-2-3x-3y)N3={64/3}*(6-x+4y)故N=Ni 0 Nj 0 Nm 00 Ni0 Nj0 Nm1 0 1 0 1 0 =0 1 0 1 0 1bi 0 bj 0 bm 0[B]={1/2△}* 0ci 0 cj 0 cm ci bi cj bj cm bm -3 0 4 0 -1 0={64/3}*0 -1 0 -3 0 4 -1 -3 -3 4 4 -11 γ 0[D]={E/(1-γ2)}*γ 1 00 (1-γ)/21 γ 0 -3 0 4 0 -1 0 单元应力矩阵[S]=[D]*[B]={E/13(1-γ2)}* γ 1 0* 0 -1 0 -3 0 4资料个人收集整理，勿做商业用途0 (1-γ)/2 -1 -3 -3 4 4 -12 1.1-3 -u 4 3u -1 4u2.4单元应力[δ]=[S]*[q]= {E/13(1-γ2)}* -3u -1 4u -3 -u 4* 1.2资料个人收集整理，勿做商业用途(u-1)/2 (3u-3)/2(3u-3)/2 2-2u 2-2u (u-1)/22.4资料个人收集整理，勿做商业用途1.43.13解：二维单元在x,y 坐标平面内平移到不同位置，单元刚度矩阵相同，在平面矩阵180°时变化，单元作上述变化时，应力矩阵不变化.3.14解：令1t，1p ，而E2.0e 011，1/3，210101102E D（0,1）（2,1）x y①②（0,0）（2,0）12312311223300000b b b Nc c c c b c b c b 2NBA单元①2.250.7500.75 2.25000.75D①②0.500.50000100010.500.51B①-1.125-0.75 1.125000.751.0+011*-0.375-2.250.37502.25-0.75-0.37500.3750.75Se ①S DB1.31250.75-0.5625-0.375-0.75-0.3750.752.4375-0.375-0.1875-0.375-2.25-0.5625-0.3750.562500.375*1.0011-0.375-0.187500.18750.3750-0.75-0.37500.3750.750-0.375-2.250.3752.25kee ①单元②：00.500.50B101001010.50.5②00.75 1.1250.75 1.125002.250.375 2.250.3750*1.00110.7500.750.37500.375Se ②0.7500.750.37500.37502.250.3752.250.3750.750.3751.31250.750.56250.3750.375 2.250.75 2.43750.3750.187500.3750.56250.37510.562500.37500.3750.18750.1875ke②由ke①和ke ②扩充KZ （总刚度阵）1.31250.750.56250.3750.750.375000.752.43750.3750.18750.375 2.25000.56250.3751.312500.75000.3750.3750.18750 2.437502.250.37501.01011*0.750.3750.750 2.06250.750.56250.3750.375 2.250kz e 2.250.75 4.68750.3750.18750000.3750.56250.3750.56250000.37500.3750.187500.1875而Re .kz qe ，其中112211Re22Rx Ry Rx Ry ，112200qex y x y ，化简得：112201.312500.7500.11310 2.43750 2.250.596820.750 2.06250.7500.194702.250.754.687510.42432x y x y 则，11220.56250.3750.750.3750.11130.148100.18750.375 2.250.59680.95170.750.3750.56250.3750.19470.17420.3750.3750.18750.42430.0482Rx Ry Rx Ry 3.15如图所示有限元网格，cm a4，单元厚度mm t 1，弹性模量MPa E5100.2，泊松比3.0.回答下述问题：（1）结点如何编号才能使结构刚度矩阵带宽最小？（2）如何设置位移边界条件才能约束结构地刚体移动？（3）形成单元刚度矩阵并集成结构刚度矩阵.（4）如果施加一定载荷，拟定求解步骤.(1) (2) （3）资料个人收集整理，勿做商业用途解：1、节点编号如图(2)所示；2、如图(3)设置位移边界条件才能约束结构地刚体移动；3、如图(2)所示各节点地坐标为(以m 为单位)：1(0,0)，2(0.08,0)，3(0,0.04)，4(0.08,0.04 )，5(0,0.08)，6(0.08,0.08)，7(0,0.12)，8(0.08,0.12)资料个人收集整理，勿做商业用途解：单元号 1 2 3 4 56相邻结点1 3 4 5 5 72 2 5 4 6 63436 78对于单元号1：04.0321y y b ；04.0132y y b ；0213y y b ；08.0231x x c ；0312x x c ；08.0123x x c ；对于单元号2：04.0423y y b ；0342y y b ；04.0234y y b ；0243x x c ；08.0432x x c ；08.0324x x c ；对于单元号3：04.0354y y b ；0435y y b ；04.0543y y b ；0534x x c ；08.0345x x c ；08.0453x x c ；对于单元号4：04.0645y y b ；0564y y b ；04.0456y y b ；0465x x c ；08.0654x x c ；08.0546x x c ；对于单元号5：04.0765y y b ；04.0576y y b ；0657y y b ；08.0675x x c ；0756x x c ；08.0567x x c ；对于单元号6：04.0867y y b ；0786y y b ；04.0678y y b ；0687x x c ；08.0876x x c ；08.0768x x c ；平面三角形单元地面积均为1112321x x x 23210032.0m y y y 弹性矩阵均为0112E D12/)1(0003.0191.0100.21113.035.000应变矩阵11)5()3()1(021c b BBB110b c 220c b 220b c 330c b 33b c 2505.125.1225005.125.12002500025033)6()4()2(021c b BBB330b c 220c b 220b c 440c b 44b c 005.125.1200250002502505.125.12250应力矩阵)1()5()3()1(BD SSS2308.192418.84725.27100.1116154.99451.544835.1602418.84725.276154.9002308.190009451.544835.16)2()6()4()2(BD SSS2418.84725.27100.1116154.9002308.190009451.544835.162308.192418.84725.276154.99451.544835.16单元刚度矩阵tA SBKKKT)1()1()5()3()1(3297.07692.03846.05495.07143.03187.1100.181978.23846.01923.03297.03901.27143.03297.0005495.03297.05495.003846.01923.001923.03846.007692.03846.003846.07692.01978.2003297.01978.23297.0t A SBKKKT)2()2()6()4()2(3297.05495.03297.0005495.0100.181923.03846.003846.01923.003846.07692.007692.03846.001978.23297.01978.2003297.07143.03187.13297.07692.03846.05495.03901.27143.01978.23846.01923.03297.0结构刚度矩阵为：。
西安交通大学17年3月课程考试《弹性力学》作业考核试题满分答案
##交通大学17年3月课程考试《弹性力学》作业考核试题一、单选题〔共30 道试题,共60 分.〕V 1. 下列关于几何方程的叙述,没有错误的是〔〕A. 由于几何方程是由位移导数组成的,因此,位移的导数描述了物体的变形位移B. 几何方程建立了位移与变形的关系,因此,通过几何方程可以确定一点的位移C. 几何方程建立了位移与变形的关系,因此,通过几何方程可以确定一点的应变分量D. 几何方程是一点位移与应变分量之间的唯一关系标准答案：C2. 弹性力学对杆件分析〔〕A. 无法分析B. 得出近似的结果C. 得出精确的结果D. 需采用一些关于变形的近似假定标准答案：C3. 表示应力分量与体力分量之间关系的方程为〔〕A. 平衡微分方程B. 平衡应力方程C. 物理方程D. 平衡应变方程标准答案：A4. 对于承受均布荷载的简支梁来说,弹性力学解答与材料力学解答的关系是〔〕A. σx的表达式相同B. σy的表达式相同C. τxy的表达式相同D. 都满足平截面假定标准答案：C5. 在平面应变问题中〔取纵向作z轴〕〔〕A. σz=0,w=0,εz=0B. σz≠0,w≠0,εz≠0C. σz=0,w≠0,εz=0D. σz≠0,w=0,εz=0标准答案：D6. 下列哪种材料可视为各向同性材料〔〕A. 木材B. 竹材C. 混凝土D. 夹层板标准答案：C7. 具体步骤分为单元分析和整体分析两部分的方法是〔〕A. 有限差分法B. 边界元法C. 有限单元法的D. 数值法标准答案：C8. 利用有限单元法求解弹性力学问题时,不包括哪个步骤〔〕A. 结构离散化B. 单元分析C. 整体分析D. 应力分析标准答案：D9. 在弹性力学里分析问题,要建立〔〕套方程.A. 一B. 二C. 三D. 四标准答案：C10. 用应力分量表示的相容方程等价于〔〕A. 平衡微分方程B. 几何方程和物理方程C. 用应变分量表示的相容方程D. 平衡微分方程.几何方程和物理方程标准答案：B11. 如果必须在弹性体上挖空,那么孔的形状应尽可能采用〔〕A. 正方形B. 菱形C. 圆形D. 椭圆形标准答案：C12. 关于弹性力学的正确认识是〔〕A. 计算力学在工程结构设计中的作用日益重要B. 弹性力学从微分单元体入手分析弹性体,因此与材料力学不同,不需要对问题作假设C. 任何弹性变形材料都是弹性力学的研究对象D. 弹性力学理论像材料力学一样,可以没有困难的应用于工程结构分析标准答案：A13. 在弹性力学中规定,线应变〔〕,与正应力的正负号规定相适应.A. 伸长时为负,缩短时为负B. 伸长时为正,缩短时为正C. 伸长时为正,缩短时为负D. 伸长时为负,缩短时为正标准答案：C14. 每个单元的位移一般总是包含着〔〕部分A. 一B. 二C. 三D. 四标准答案：B15. 弹性力学研究〔〕由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移B. 刚体C. 粘性体D. 塑性体标准答案：A16. 弹性力学与材料力学的主要不同之处在于〔〕A. 任务B. 研究对象C. 研究方法D. 基本假设标准答案：B17. 应力不变量说明〔〕A. 应力状态特征方程的根是不确定的B. 一点的应力分量不变C. 主应力的方向不变D. 应力随着截面方位改变,但是应力状态不变标准答案：D18. 平面应变问题的应力、应变和位移与那个〔些〕坐标无关〔纵向为z 轴方向〕〔〕A. xB. yC. zD. x, y, z标准答案：C19. 每个单元的应变包括〔〕部分应变.A. 二B. 三C. 四D. 五标准答案：A20. 设有平面应力状态,σx=ax+by,σy=cx+dy,τxy=?dx?ay?γx,其中a,b,c,d均为常数,γ为容重.该应力状态满足平衡微分方程,其体力是〔〕A. fx=0,fy=0B. fx≠0,fy=0C. fx≠0,fy≠0D. fx=0,fy≠0标准答案：D21. 圆弧曲梁纯弯时,〔〕A. 横截面上有正应力和剪应力B. 横截面上只有正应力且纵向纤维互不挤压C. 横截面上只有正应力且纵向纤维互相挤压D. 横截面上有正应力和剪应力,且纵向纤维互相挤压标准答案：C22. 下列外力不属于体力的是〔〕A. 重力C. 惯性力D. 静水压力标准答案：D23. 用应变分量表示的相容方程等价于〔〕A. 平衡微分方程B. 几何方程C. 物理方程D. 几何方程和物理方程标准答案：B24. 按应力求解〔〕时常采用逆解法和半逆解法.A. 应变问题B. 边界问题C. 空间问题D. 平面问题标准答案：D25. 在弹性力学中规定,切应变以直角〔〕,与切应力的正负号规定相适应.A. 变小时为正,变大时为正B. 变小时为负,变大时为负C. 变小时为负,变大时为正D. 变小时为正,变大时为负标准答案：D26. 关于应力状态分析,〔〕是正确的.A. 应力状态特征方程的根是确定的,因此任意截面的应力分量相同B. 应力不变量表示主应力不变C. 主应力的大小是可以确定的,但是方向不是确定的D. 应力分量随着截面方位改变而变化,但是应力状态是不变的标准答案：D27. 应力状态分析是建立在静力学基础上的,这是因为〔〕A. 没有考虑面力边界条件B. 没有讨论多连域的变形C. 没有涉与材料本构关系D. 没有考虑材料的变形对于应力状态的影响标准答案：D28. 下列材料中,〔〕属于各向同性材料.A. 竹材B. 纤维增强复合材料C. 玻璃钢D. 沥青标准答案：D29. 平面应力问题的外力特征是〔〕A. 只作用在板边且平行于板中面B. 垂直作用在板面C. 平行中面作用在板边和板面上D. 作用在板面且平行于板中面标准答案：A30. 下列问题可简化为平面应变问题的是〔〕A. 墙梁B. 高压管道C. 楼板D. 高速旋转的薄圆盘标准答案：B二、多选题〔共10 道试题,共20 分.〕V 1. 下列对象属于弹性力学研究对象的是〔〕A. 杆件B. 板壳C. 块体D. 质点标准答案：ABC2. 下面不属于平面应力问题的外力特征是〔〕A. 只作用在板边且平行于板中面B. 垂直作用在板面C. 平行中面作用在板边和板面上D. 作用在板面且平行于板中面标准答案：BCD3. 下列材料中,〔〕不属于各向同性材料.A. 竹材B. 纤维增强复合材料C. 玻璃钢D. 沥青标准答案：ABC4. 函数φ<x,y>=axy3+bx3y能作为应力函数,则a与b〔〕A. a与b可取任意值B. a=bC. a=-bD. a=b/2标准答案：ABCD5. 有限单元法的具体步骤分为〔〕两部分A. 边界条件分析B. 单元分析C. 整体分析D. 节点分析标准答案：BC6. 下列哪种材料不能视为各向同性材料〔〕A. 木材B. 竹材C. 混凝土D. 夹层板标准答案：ABD7. 下列力是体力的是：〔〕A. 重力B. 惯性力C. 电磁力D. 静水压力标准答案：ACD8. 下列问题不能简化为平面应变问题的是〔〕A. 墙梁B. 高压管道C. 楼板D. 高速旋转的薄圆盘标准答案：ACD9. 边界条件表示在边界上位移与约束的关系式,它可以分为〔〕边界条件A. 位移B. 内力C. 混合D. 应力标准答案：ACD10. 关于弹性力学的不正确认识是〔〕A. 计算力学在工程结构设计的中作用日益重要B. 弹性力学从微分单元体入手分析弹性体,因此与材料力学不同,不需对问题作假设C. 任何弹性变形材料都是弹性力学的研究对象D. 弹性力学理论像材料力学一样,可以没有困难的应用于工程结构分析.标准答案：BCD三、判断题〔共10 道试题,共20 分.〕V 1. 当问题可当作平面应力问题来处理时,总有σz=τxz=τyz=0.〔〕A. 错误B. 正确标准答案：B2. 三次或三次以下的多项式总能满足相容方程.〔〕A. 错误B. 正确标准答案：B3. 对于应力边界问题,满足平衡微分方程和应力边界条件的应力,必为正确的应力分布〔〕A. 错误B. 正确标准答案：A4. 体力作用在物体内部的各个质点上,所以它属于内力〔〕A. 错误B. 正确标准答案：A5. 当物体可当作平面应变问题来处理时,总有εz=γxz=γyz=0〔〕A. 错误B. 正确标准答案：B6. 孔边应力集中是由于受力面减小了一些,而应力有所增大〔〕A. 错误B. 正确标准答案：A7. 对于多连体位移解答不必满足位移单值条件.〔〕A. 错误B. 正确标准答案：A8. 当物体的形变分量完全确定时,位移分量却不能完全确定.〔〕A. 错误B. 正确标准答案：B9. 物体变形连续的充分和必要条件是几何方程<或应变相容方程>〔〕A. 错误B. 正确标准答案：A10. 按应力求解平面问题,最后可以归纳为求解一个应力函数.〔〕A. 错误B. 正确标准答案：A。
弹性力学与有限元法习题集.. 共72页
试检验这些应力公式是否满足变形协调方程 ？
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8.下图示梁作用有分布载荷q (x)，体力忽略不计，已知 ，其中 M（x）为梁的截面弯矩，I为截面惯性矩。试根据单元体的平衡 方程式，求应力 。6. 题答案由：源自xu x，
y
v y
2x 2y 2xy
y2 x2 yy
，
xy
v x
u y
x 2u
y xy
，
2 x 3u
y2 xy2
y 2v
x xy
，
2 y
x 2
3v yx 2
6. 应用几何方程推导应变分量应满足下列变形协调方程。
2x
y2
2x2y
2xy
xy
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7. 悬臂梁在三角形分布载荷作用下，可以看成平面应力问题，
应力分量表达式为，x4q a3x3y2x3y5 6a2xy，y qx4ya33 34ay12
弹性力学与有限元法习题集 与参考答案
2019/7/20
单丽君
大连交通大学
2009年10月
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第一章 第二章
第三章
参考试卷
第四章 第五章
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第一章习题与答案
1. 有限单元法的含义？ 2. 有限单元法的解题思路？ 3. 有限单元法的优点？
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x y 2 1 E x y 2 1 E 8 q 3 3 a 2 a 2 x y 2 1 5 a 4 y 4 5 6 a 2 y 2
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弹性力学与有限元法-大作业
1、计算模型
工程中有许多悬臂梁结构（如图示），高度为h，长度为L，L>>h，在边界上受均匀分布载荷q。
2、试检验应力函数
y Ex Dx Cy y Bx Ay 2
23325++++=Φ 能否成为此问题的解？如可以，试求应力分量
3、有限元计算
（1） 计算参数，长度L=0.4m
高度H=30mm（学号末尾数为0或1）
H=32mm（学号末尾数为2或3）
H=34mm（学号末尾数为4或5）
H=36mm（学号末尾数为6或7）
H=38mm（学号末尾数为8或9）
分布载荷q=100N/m。
分别用四节点和八节点等参元计算结构的应力和位移。
计算材料参数E=200GPa，泊松比0.3
（2） 分别应用8节点和4节点单元有限元求解梁截面x=0.2处x,y向的应力，并与解析解比较。
报告要求：
⏹2017年12月2号之前提交报告
⏹报告封面写明学号姓名及班级
⏹A4打印。