第二章各向异性材料的应力应变关系

第二章各向异性材料的应力应变关系
一：广义胡克定律
在弹性变形范围内，应力与应变成正比例关系，
其比例系数称为弹性量。（拉压模量、剪切模
量等）
ij Cijkl kl
应力与应变的 关系
S ij
ijkl kl (i.j.k.l=1.2.3)
应变与应力的 关系
简化后，工程上常用的胡克定律表达式：
互等关系为：
9个工程弹性常数，3个拉压 弹性模量，3个剪切弹性模量， 3个主泊松比
则刚度矩阵和柔度矩阵分别为：
其应力-应变关系为：
独立弹性常数只有５ 个
具有无穷多个弹性对称面的材料称为各向同性材 料。这种材料对于三个相互垂直的弹性对称面 的弹性性能完全相同。刚度系数满足：
其应力-应变关系：
应变-应力关系：
只有２个独 立弹性常数
用工程弹性常数（拉压模量、剪切模量、泊松比） 来表示各向异性材料应力-应变关系。
式中E1,E2,E3和G12,G23,G13分 别为正交各向异性材料的拉压弹 性模量和剪切弹性模量； V12,V23,V13以及V21ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱV32,V31分 别为主泊松比和副泊松比
则用工程弹性常数表达的正交各向异性材料的应 变-应力关系为：
由刚度系数矩阵与柔度系数矩阵的可逆性，可得：
式中：
➢ 工程弹性常数的互等关系 由于柔度矩阵的对称性，可得工程弹性常数的
i Cij j i Sij j
(i.j=1.2.3.4.5.6)
其中：[Cij]刚度矩阵，[Sij] 柔度矩阵，互为逆矩 阵，即[Cij]= [Sij]-1
１Ｏ２ 平面是弹性对称面，沿 ３ 轴和 ３′ 轴方向上的应力和 应变有以下关系：
单对称材料的应力
则单对称材料的应力应变关系就可以表示为：
则其应变-应力关系可以表示为：
具有三个相互正交的弹性对称面的材料称为正交 各向异性材料。按单对称材料分析方法可得：
则应力-应变关系为：
应变-应力关系为：
独立弹性常数只有９个， 正交各向异性材料三个 相互垂直的弹性对称面
的法线方向 称为该材料的主方向。
三个相互垂直的弹性对称面中有一个是各向同 性的，如单向纤维增强复合材料。
➢ 柔度系数、刚度系数与工程弹性常数关系 由三个单向拉伸和三个纯剪切示意图来推导
沿 １ 轴向单向拉伸时，应力σ ≠ ０ ，其他应力 均为零，可得： 根据胡克定律和泊松效应有：
则柔度系数与工程弹性常数关系为：
同理，沿 ２ 轴向和 ３ 轴向的 单向拉伸，还可得：
对于102面、203面和103面的纯剪切，可得：