各向异性弹性体的应力和应变关系
弹性力学：04 应力和应变的关系
广义胡克定律
杨氏模量
单向应力状态时的胡克定律是
x E x
式中 E 称为弹性模量。对于一种材 料在一定温度下，E 是常数。
Chapter 5.1
广义胡克定律
泊松比
在单向拉伸时，在垂直于力作用线的方向发生收缩。
在弹性极限内，横向相对缩短 x 和纵向相对伸长 y
成正比，因缩短与伸长的符号相反，有：
ν
x y
Chapter 5.1
广义胡克定律
根据实验可知，xy只引起 xy 坐标面内的剪应变xy，
而不引起 xz、yz，于是可得
xy
xy
G
同理
yz
yz
G
zx
zx
G
Chapter 5.1
广义胡克定律
于是，得到各向同性材料的应变-应y
1 E
y
ν x
z
z
ij
1 2
ui, j u j.i
协调条件：
ij,kl kl,ij ik , jl jl,ik 0
对于一个假定位移场ui ，其相应的协调应变分量ij 可直接由应
变－位移关系得到。显然，这组协调的应变和位移，仅仅是许 多其他可能的应变和位移场中的一组。
几何可能的位移未必是真实的，真实位移在弹性体内部须满足 以位移表示的平衡微分方程。
应力和应变的关系
1. 本构关系的概念 2. 广义胡克定律 各向同性体 3. 各向异性弹性体 4. 热力学定律与应变能函数 5. 应变能和应变余能(自学) 6. 热弹耦合本构关系(自学) 7. 例题
应力和应变的关系
1. 本构关系的概念 2. 广义胡克定律 各向同性体 3. 各向异性弹性体 4. 热力学定律与应变能函数 5. 应变能和应变余能(自学) 6. 热弹耦合本构关系(自学) 7. 例题
2-第二章-各向异性材料的应力-应变关系
三、正交各向异性材料的应力-应变关系
具有3个相互正交的弹性对称面的材料称为正交各向异性材料。当图2.2中的
1O2，1O3和2O3平面均为弹性对称面时，按单对称材料的分析方法可以得到式
1 C11 C12 C13 0
2
C12
C22
C23
0
0 C16 1
0
C26
2
233
C013
C23 0
C34 C44
C35 C45
C36 C46
233
31
C51
C52
C53
C54
C55
C56
31
12 C61 C62 C63 C64 C65 C66 12
即刚度矩阵或柔度矩阵具有对称性。因此，一般各向异性材料中独立的 性常数为21个。
二、单对称材料的应力-应变关系
事实上，材料往往具有不同程度的弹性对称性。 单对称性材料是指具有一个弹性对称面的各向异性材 料（即沿两个相反方向，应力应变关系相同）。
应力，即 3 0 ，其他应力分量均为零，得到
1 S11 S12 S13 0
2
S12
S22
S23
0
0 S16 0
0
S26
0
3 3
2
233
S031
S32 0
S33 0
0 S44
0 S45
S36 0
03
(2.20)
1
31
0
0
0
S45 S55
0 0
12 S16 S26 S36 0 0 S66 0
应变—应力关系为:
11 S1111
22
S2211
33 23
弹性体的应变与应力特性
弹性体的应变与应力特性弹性体是一种特殊的材料，具有独特的应变和应力特性。
在应用中，了解弹性体的应变和应力特性对于设计和制造具有弹性特性的产品至关重要。
首先，了解什么是应变。
应变是弹性体在受力作用下发生的形变量。
它通常以变形体积与初始体积之比来表示。
当施加外力时，弹性体内的分子或原子之间的相对位置会发生变化，从而引起材料的形变。
应变是弹性体发生的可逆性变形，即当外力消失时，弹性体会恢复到原始形态。
而应力则是弹性体内部由于外界施加力而产生的内部力。
应力和力的大小成正比，与受力点附近的弹性体横截面积成反比。
应力可以分为拉伸应力、压缩应力和剪切应力等。
在材料的应变-应力曲线中，通常可以观察到不同阶段的特征。
首先是线性弹性阶段，这个阶段的特点是应变与应力成正比。
当外力移除时，弹性体会回到原始状态，没有留下永久变形。
接着是屈服点之后的塑性变形阶段。
在这个阶段，应变增加，但材料没有完全失去可逆性。
当外力移除后，材料会部分恢复，但仍然存在永久塑性变形。
最后是断裂阶段，材料无法恢复原状，会发生破裂。
这时，应变和应力之间的关系失去线性关系，也就是材料的断裂点。
弹性体的应变和应力特性对于产品设计和材料选择至关重要。
学习和预测这些特性可以帮助工程师选择恰当的材料，并了解产品在受力时的行为。
例如，汽车制造业中常用的悬挂系统。
这些悬挂系统需要具有弹性特性，以吸收和缓解车辆在不平路面上的震动和冲击。
由于弹性体的应变和应力特性，悬挂系统可以使车辆在行驶过程中保持稳定性和驾驶舒适度。
另一个例子是运动鞋的制造。
在设计运动鞋的缓震系统时，工程师必须考虑弹性体的应变和应力特性。
优秀的缓震系统可以缓解由于跑步等运动产生的震动和冲击，为运动员提供更加舒适和安全的体验。
除了产品设计，了解弹性体的应变和应力特性还有助于研究材料的性能和改进材料的制造工艺。
利用工程分析和模拟方法，可以精确地预测弹性体在不同受力情况下的行为，进而优化产品的设计和生产过程。
《弹塑性力学》第四章 应力应变关系(本构方程)-精品文档42页
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2
第四章 应力应变关系（本构方程）
共9个方程，但需确定的未知函数共15个：
ui，ij=ji， ij=ji，
还需要根据材料的物理性质来建立应力与 应变间的关系：
ij = ji = fij ( kl )
Wijij
——W为
的函数。
ij
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§4-1 应变能、应变能密度与弹性材料的
本构关系
因为W只取决于弹性体的初始应变状态和最 终应变状态，与变形过程（加载路线）无关，
所以W 为它的全微分
W
W
ij
ij
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§4-1 应变能、应变能密度与弹性材料的
时刻达到 t +t：位移有增量 uuiei
应变增量 ijeiej 外力功增量：A Vfu d V S F u d S
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§4-1 应变能、应变能密度与弹性材料的
A 本构f关u 系d VF u d ：函S 数增量
则 [C] 为对称矩阵 [C]= [C]T。
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§4-2 线弹性体的本构关系
2.1 各向异性材料 Eijkl 的独立系数为21个——材料为各向
异性线弹性材料。
*对各向异性材料的本构关系可见，剪应 变引起正应力，正应变也产生剪应力。 弹性材料性质一般都具有某些对称性， 利用对称可进一步简化 [C] 中系数。
V
S
Vfiuid V sF iuid SU V Wd
应变能增量A 中有体积分和面积分，利用
第四章 应力和应变的关系
于是
∂K ∂2 u ∂2 v ∂2 w δK = δ t = ∫∫∫ ρ dτ[ 2 δu + 2 δv + 2 δw] ∂t ∂t ∂t ∂t
第二节 弹性变形过程中的能量 对于物体静止时 可认为 δ K = 0 , 不考虑热交换 ，即 δ Q = 0 δ V = δ U , δ U = δ U1 + δ U 2 其中，
c41 = c42 = c43 = 0 c51 = c52 = c53 = 0 c61 = c62 = c63 = 0 只能证9个数为0
第三节 各向同性体中的弹性常数 （2）沿任意两个相反的方向，弹性关系相同。 如只改变z轴方向，w和z的方向改变,则
γ yz
∂w ∂v = + = −γ yz′ ∂y ∂z
σ x = f 1 ( ε x , ε y , ε z , γ xy , γ yz , γ zx ) σ y = f 2 ( ε x , ε y , ε z , γ xy , γ yz , γ zx ) σ z = f 3 ( ε x , ε y , ε z , γ xy , γ yz , γ zx ) τ xy = f 4 ( ε x , ε y , ε z , γ xy , γ yz , γ zx ) τ yz = f 5 ( ε x , ε y , ε z , γ xy , γ yz , γ zx ) τ zx = f 6 ( ε x , ε y , ε z , γ xy , γ yz , γ zx )
+
σ ij , j + X i = ρ u i
..
第二节 弹性变形过程中的能量 由平衡方程： σ ij, j + X i = ρ ui ∂δu ∂u ∂ v ∂u 又 ; ∂ δ v ∂δ u =δ = δε = δγ + = δ +
第2章 各向异性材料弹性力学基础_2017_19990
The basic questions of lamina macromechanics are: (1) what are the characteristics of a lamina? and (2) how does a lamina respond to applied stresses as in Figure 2-1?
• 平衡方程 σ ij , j + fi = 0 i, j = 1,2,3
展开一个方程:
∂σ x ∂x
+
∂τ xy ∂y
+
∂τ xz ∂z
+
f
= 0x
• 运动方程:
σ ij , j +
fi = ρ
∂ 2u ∂t 2
惯性力
指标重复服从加法约定
平衡方程
⎧ ⎪ ⎪
∂σ x ∂x
+
∂τ xy ∂y
+
∂τ xz ∂z
线性弹性力学中的六个应变分量εij之 间必须满足的微分方程。 六个应变分 量εij是由三个位移分量导出的，它们 彼此之间存在一定的内在联系，这些 联系就是应变协调方程。
• （i, j 交换）共有六个方程，六个应变分量应该 满足的一个关系，即:
ε ε ε ε + = + ij,kl
kl,ij
ik, jl
几何关系方程
εx
=
∂u ∂x
,
εy
=
∂v ∂y
,
εz
=
∂w ∂z ,
γ yz
=
∂w ∂y
+
∂v ∂z
;
γ zx
=
我所认识的应力应变关系
我所认识的应力应变关系应力应变都是物体受到外界载荷产生的响应。
物体由于受到外界载荷后，在物体内部各部分之间要产生互相之间的力的作用，由于受到力的作用就会产生相应的变形；或者由于变形引起相应的力的作用。
则一定材料的物体其产生的应力和应变也必然存在一定的关系。
一 应力-应变关系影响本构关系的因素有很多，例如材料、环境、加载类型（载荷、温度）、加载速度（动载荷、静载荷）等，当然，本构关系有很多类型，包括弹性、塑性、粘弹性、粘塑性、各向同性、各向异性本构关系，那么首先来叙述一下简单情况本构关系，所谓简单情况就是六个应力分量x y xy yz zx σσστττ、、z 、、、只有一个不为零，六个应变分量x y xy yz zx εεεγγγ、、z 、、、只有一个自由变化，应力应变关系图1-1。
图1-1 应力应变关系图图中OA 为线弹性阶段，AB 为非线弹性阶段，故OB 为初始弹性阶段，C 点位初始屈服点，()s σ+为初始屈服应力，CBA 为弹性阶段卸载，这一阶段中E σε=，初始弹性阶段结束之后，应力继续增大，进入塑性阶段，CDE 为强化阶段，应变强化硬化，EF 为颈缩阶段，应变弱化软化。
如果在进入塑性阶段卸载后再加载，例如在D 点卸载至零，应力应变关系自D 点沿'DO 到达'O 点，且'DO ∥OA ，其中'O O 为塑性应变p ε，DG 为弹性应变e ε，总应变为它们之和。
此后再继续加载，应力应变关系沿ODEF 变化，D 点为后继屈服点，OD 为后继弹性阶段，()'s σ+为后继屈服应力，值得一提的是初始屈服点只有一个，而后继屈服点有无数个（由加载历史决定）。
若在卸除全部载荷后反向加载，弹性阶段'COC ，()()s s σσ+-=，而在强化阶段'DOD ，()()s s σσ+->，称为Bauschinger 效应。
从上述分析得出材料弹塑性行为有一定的特殊性，主要表现在：弹性应力应变关系是线性，且是单值对应关系，而塑性应力应变关系是非线性的非单值对应。
各向异性材料的应力分析
各向异性材料的应力分析材料科学与工程领域中，各向异性材料是一类具有不同物理性质和力学行为的材料。
相比于各向同性材料，各向异性材料在应力分析中具有更加复杂的特性。
本文将探讨各向异性材料的应力分析方法和相关理论。
首先，我们需要了解各向异性材料的基本特性。
各向异性材料是指其物理性质在不同方向上具有差异的材料。
这种差异可以体现在材料的弹性模量、热膨胀系数、导热性等方面。
在应力分析中，各向异性材料的主要特点是其应力-应变关系不再是简单的线性关系，而是具有非线性和非均匀性。
对于各向异性材料的应力分析，最常用的方法是使用张量分析。
张量是一种具有多个分量的数学对象，可以用来描述各向异性材料的物理性质和力学行为。
在应力分析中，我们通常使用应力张量和应变张量来描述材料的应力和应变状态。
应力张量是一个3x3的矩阵，表示材料内部的应力分布情况。
在各向异性材料中，应力张量的各个分量在不同方向上可能具有不同的取值。
例如，在一个各向异性材料中，沿x方向的应力分量可能与沿y方向和z方向的应力分量不同。
通过求解应力张量，我们可以得到材料内部的应力分布情况，从而进一步分析材料的强度和稳定性。
应变张量是一个3x3的矩阵，表示材料内部的应变分布情况。
在各向异性材料中，应变张量的各个分量也可能在不同方向上具有不同的取值。
通过求解应变张量，我们可以得到材料的变形情况，进而分析材料的可塑性和变形能力。
在实际的应力分析中，我们通常需要求解各向异性材料的弹性常数。
弹性常数描述了材料的弹性性质，包括杨氏模量、剪切模量和泊松比等。
对于各向异性材料，弹性常数的取值与材料的晶体结构和分子排列方式有关。
求解弹性常数是各向异性材料应力分析的关键步骤，可以通过实验测量或者计算模拟的方法得到。
除了张量分析和弹性常数的求解，各向异性材料的应力分析还涉及到一些其他的方法和理论。
例如，有限元分析是一种常用的数值计算方法，可以用来模拟各向异性材料的应力分布。
该方法通过将材料划分为许多小的单元，然后求解每个单元的应力和应变，最终得到整个材料的应力分布情况。
弹性力学第四章应力应变
当变形较小时，可展开成泰勒级数， 并略去二阶以上的小量。
f1 f1 f1 f1 f1 f1 xy x ( f1 )0 x y z yz xz z 0 x 0 xz 0 y 0 yz 0 xy 0
x C11 x C12 y C13 z C14 yz C15 xz C16 xy y C21 x C22 y C23 z C24 yz C25 xz C26 xy z C31 x C32 y C33 z C34 yz C35 xz C36 xy yz C41 x C42 y C43 z C44 yz C45 xz C46 xy
上式中 cmn(m,n=1,2…6)是弹性系数，共36个，对 于均匀材料它们为常数,称为弹性常数,与坐标无关。
上式即为广义胡克定律，可以看出应 力和应变之间是线性的。 可以证明各弹性常数之间存在关系式 cmn = c nm 。对于最一般的各向异性介质，弹 性常数也只有21个。
§4.2 弹性体变形过程中的功与能
yz C41 x C42 y C43 z C44 yz C45 xz C46 xy
xz C51 x C52 y C53 z C54 yz C55 xz C56 xy
(4-2)
xy C61 x C62 y C63 z C64 yz C65 xz C66 xy
0 0 0
f3 f3 f3 f3 f3 f3 z ( f3 )0 z yz x y xz xy z 0 x 0 xz 0 y 0 yz 0 xy 0
第二章各向异性材料的应力应变关系
四：横向各向同性材料的应力-应 变关系
三个相互垂直的弹性对称面中有一个是各向同 性的，如单向纤维增强复合材料。
其应力-应变关系为：
独立弹性常数只有５ 个
五：各向同性材料的应力-应变关 系
具有无穷多个弹性对称面的材料称为各向同性材 料。这种材料对于三个相互垂直的弹性对称面 的弹性性能完全相同。刚度系数满足：
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复合材料力学与结构
第二章各向异性材料的应力应变关系
２.１三维各向异性材料的应力-应 变关系
一：广义胡克定律
在弹性变形范围内，应力与应变成正比例关系，
其比例系数称为弹性量。（拉压模量、剪切模
量等）
ij C ijkl kl
应力与应变的 关系
S ij
ijkl (ki.lj.k.l=1.2.3)
则柔度系数与工程弹性常数关系为：
同理，沿 ２ 轴向和 ３ 轴向的 单向拉伸，还可得：
对于102面、203面和103面的纯剪切，可得：
式中E1,E2,E3和G12,G23,G13分 别为正交各向异性材料的拉压弹 性模量和剪切弹性模量； V12,V23,V13以及V21,V32,V31分 别为主泊松比和副泊松比
单对称材料的应力
则单对称材料的应力应变关系就可以表示为：
则其应变-应力关系可以表示为：
三：正交各向异性材料的应力-应 变关系
具有三个相互正交的弹性对称面的材料称为正交 各向异性材料。按单对称材料分析方法可得：
则应力-应变关系为：
应变-应力关系为：
独立弹性常数只有９个， 正交各向异性材料三个 相互垂直的弹性对称面
弹性力学 第四章应力和应变的关系
vI t
x
x
t
y
y
t
z
z
t
yz
yz
t
xz
xz
t
xy
xy
t
若固定x,y,z的值，则得在dt时间内vI 的增量为，即在上式两边乘以dt
dvI xd x yd y zd z yzd yz xz d xz xyd xy
由于内能密度 vI 是状态的单值函数，dvI 必须是全微分，因此
所以
v
1 2
(
x
x
y y
zz
xy xy
xz xz
zy zy )
张量表示
v
1 2
ij
ij
弹性体应变能 V v dV V
§4－3 各向异性弹性体
（一）极端各向异性弹性体
理论具有36个弹性常数
x c11 x c12 y c13 z c14 xy c15 yz c16 zx y c21 x c22 y c23 z c24 xy c25 yz c26 zx
的值，根据无初始应力假设，( f1)0为0。均匀材料，函数 f1
对应变的一阶偏导数为常数。这是因为对物体内各点来说，
承受相同的应力，必产生相同的应变；反之，物体内各点
有相同的应变，必承受同样的应力。
经过上面的处理后，小变形情况就可简化为
广义胡克定律
x C11 x C12 y C13 z C14 xy C15 yz C16 xz y C21 x C22 y C23 z C24 xy C25 yz C26 xz z C31 x C32 y C33 z C34 xy C35 yz C36 xz xy C41 x C42 y C43 z C44 xy C45 yz C46 xz yz C51 x C52 y C53 z C54 xy C55 yz C56 xz xz C61 x C62 y C63 z C64 xy C65 yz C66 xz
弹性力学 第04章应力和应变关系
第四章应力与应变关系§4-1 应力和应变的最一般关系式§4-2 弹性体变形过程中的功和能§4-3 各向异性弹性体§4-4 各向同性弹性体§4-5 弹性常数的测定§4-6 各向同性体应变能密度的表达式显然有5225C C =同理可证nmmn C C =这样就证明了极端各向异性体，只有6+30/2=21个独立的弹性常数。
⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧xy xz yz z y x xy xzyz z y x C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C γγγεεετττσσσ66564636266156554535255146454434244 136353433233 126252423222 16 15 14 13 12 111②具有一个弹性对称面的各向异性弹性体如果物体内的每一点都具有这样一个平面，关于该平面对称的两个方向具有相同的弹性，则该平面称为物体的弹性对称面，而垂直于弹性对称面的方向，称为物体的弹性主方向。
这样，物体的弹性常数从21个变为13个。
若Oyz 为弹性对称面，则（可用坐标变换公式得到）⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧xy xz yz z y x xy xzyz z y x C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C γγγεεετττσσσ665656554434244 13433233 1242322214 13 1211100000000000000如果互相垂直的3个平面中有2个式弹性对称面，则第3个平面必然也是弹性对称面。
应力和应变关系
第四章应力和应变关系一. 内容介绍前两章分别从静力学和运动学的角度推导了静力平衡方程，几何方程和变形协调方程。
由于弹性体的静力平衡和几何变形是通过具体物体的材料性质相联系的，因此，必须建立了材料的应力和应变的内在联系。
应力和应变是相辅相成的，有应力就有应变；反之，有应变则必有应力。
对于每一种材料，在一定的温度下，应力和应变之间有着完全确定的关系。
这是材料的固有特性，因此称为物理方程或者本构关系。
对于复杂应力状态，应力应变关系的实验测试是有困难的，因此本章首先通过能量法讨论本构关系的一般形式。
分别讨论广义胡克定理；具有一个和两个弹性对称面的本构关系一般表达式；各向同性材料的本构关系等。
本章的任务就是建立弹性变形阶段的应力应变关系。
二. 重点1. 应变能函数和格林公式；2. 广义胡克定律的一般表达式；3. 具有一个和两个弹性对称面的本构关系；4. 各向同性材料的本构关系；3. 材料的弹性常数。
知识点应变能原理应力应变关系的一般表达式完全各向异性弹性体正交各向异性弹性体本构关系弹性常数各向同性弹性体应变能格林公式广义胡克定理一个弹性对称面的弹性体本构关系各向同性弹性体的应力和应变关系应变表示的各向同性本构关系§4.1 弹性体的应变能原理学习思路:弹性体在外力作用下产生变形，因此外力在变形过程中作功。
同时，弹性体内部的能量也要相应的发生变化。
借助于能量关系，可以使得弹性力学问题的求解方法和思路简化，因此能量原理是一个有效的分析工具。
本节根据热力学概念推导弹性体的应变能函数表达式，并且建立应变能函数表达的材料本构方程。
根据能量关系，容易得到由于变形而存储于物体内的单位体积的弹性势能，即应变能函数。
探讨应变能的全微分，可以得到格林公式，格林公式是以能量形式表达的本构关系。
如果材料的应力应变关系是线性弹性的，则单位体积的应变能必为应变分量的齐二次函数。
因此由齐次函数的欧拉定理，可以得到用应变或者应力表示的应变能函数。
各向异性材料的应力应变关系
其应力-应变关系：
应变-应力关系：
只有２个独 立弹性常数
２.２正交各向异性材料的工程弹 性常数
用工程弹性常数 拉压模量、剪切模量、泊松比 来表示各向异性材料应力-应变关系，
➢ 柔度系数、刚度系数与工程弹性常数关系 由三个单向拉伸和三个纯剪切示意图来推导
沿 １ 轴向单向拉伸时,应力σ ≠ ０ ,其他应力 均为零,可得： 根据胡克定律和泊松效应有：
单对称材料的应力
则单对称材料的应力应变关系就可以表示为：
则其应变-应力关系可以表示为：
三：正交各向异性材料的应力-应 变关系
具有三个相互正交的弹性对称面的材料称为正交 各向异性材料，按单对称材料分析方法可得：
则应力-应变关系为：
应变-应力关系为：
独立弹性常数只有９个, 正交各向异性材料三个 相互垂直的弹性对称面
应变与应力的 关系
简化后,工程上常用的胡克定律表达式：
i C ij j
S i.j=1.2.3.4.5.6
i
ij j
其中： Cij 刚度矩阵, Sij 柔度矩阵,互为逆矩阵,即 Cij = Sij -1
二：单对称材料应力应变关系
１Ｏ２ 平面是弹性对称面,沿 ３ 轴和 ３′ 轴方向上的应力和 应变有以下关系：
复合材料力学与结构
第二章各向异性材料的应力应变关系
２.１三维各向异性材料的应力-应 变关系
一：广义胡克定律
在弹性变形范围内,应力与应变成正比例关系,其 比例系数称为弹性量， 拉压模量、剪切模量等
ij C ijkl kl
应力与应变的 关系
i.j.k.l=1.2.3
ij S ijkl kl
则用工程弹性常数表达的正交各向异性材料的应 变-应力关系为：
我所认识的应力应变关系
我所认识的应力应变关系应力应变都是物体受到外界载荷产生的响应。
物体由于受到外界载荷后，在物体内部各部分之间要产生互相之间的力的作用，由于受到力的作用就会产生相应的变形;或者由于变形引起相应的力的作用。
则一定材料的物体其产生的应力和应变也必然存在一定的关系。
一 应力－应变关系影响本构关系的因素有很多,例如材料、环境、加载类型（载荷、温度)、加载速度(动载荷、静载荷）等,当然，本构关系有很多类型，包括弹性、塑性、粘弹性、粘塑性、各向同性、各向异性本构关系,那么首先来叙述一下简单情况本构关系，所谓简单情况就是六个应力分量x y xy yz zx σσστττ、、z 、、、只有一个不为零,六个应变分量x y xy yz zx εεεγγγ、、z 、、、只有一个自由变化，应力应变关系图1－1。
图1-1 应力应变关系图图中O Ａ为线弹性阶段，AB 为非线弹性阶段，故ＯB 为初始弹性阶段，C 点位初始屈服点,()s σ+为初始屈服应力，CBA 为弹性阶段卸载,这一阶段中E σε=,初始弹性阶段结束之后，应力继续增大,进入塑性阶段,CDE 为强化阶段，应变强化硬化,EF 为颈缩阶段，应变弱化软化。
如果在进入塑性阶段卸载后再加载，例如在D 点卸载至零,应力应变关系自D 点沿'DO 到达'O 点,且'DO ∥O Ａ，其中'O O 为塑性应变p ε，ＤG 为弹性应变e ε，总应变为它们之和。
此后再继续加载，应力应变关系沿ODE Ｆ变化,D 点为后继屈服点,ＯD 为后继弹性阶段，()'s σ+为后继屈服应力，值得一提的是初始屈服点只有一个,而后继屈服点有无数个（由加载历史决定）。
若在卸除全部载荷后反向加载,弹性阶段'COC ,()()s s σσ+-=,而在强化阶段'DOD ，()()s s σσ+->,称为Bau ｓchin ｇｅr 效应。
从上述分析得出材料弹塑性行为有一定的特殊性,主要表现在:弹性应力应变关系是线性，且是单值对应关系，而塑性应力应变关系是非线性的非单值对应。
我所认识的应力与应变关系
我所认识的应力与应变关系经过分析，我们已经得知弹塑性问题中有15个未知量，9个方程，因此它是一个超静定问题，为了求解这一问题必须引入应力应变，它们之间一定存在必然的联系，这种联系就是我们所了解的应力应变关系。
应力应变关系即所谓的本构关系，是物质力学特性的反映，通常用本构方程来描述。
影响本构关系的因素有很多，例如材料、环境、加载类型（载荷、温度）、加载速度（动载荷、静载荷）等，当然，本构关系有很多类型，包括弹性、塑性、粘弹性、粘塑性、各向同性、各向异性本构关系，那么首先来叙述一下简单情况本构关系，所谓简单情况就是六个应力分量x y xy yz zx σσστττ、、z 、、、只有一个不为零，六个应变分量x y xy yz zx εεεγγγ、、z 、、、只有一个自由变化，应力应变关系图1-1。
图中OA 为线弹性阶段，AB 为非线弹性阶段，故OB 为初始弹性阶段，C 点位初始屈服点，()s σ+为初始屈服应力，CBA 为弹性阶段卸载，这一阶段中E σε=，初始弹性阶段结束之后，应力继续增大，进入塑性阶段，CDE 为强化阶段，应变强化硬化，EF 为颈缩阶段，应变弱化软化。
如果在进入塑性阶段卸载后再加载，例如在D 点卸载至零，应力应变关系自D 点沿'DO 到达'O 点，且'DO ∥OA ，其中'O O 为塑性应变p ε，DG 为弹性应变e ε，总应变为它们之和。
此后再继续加载，应力应变关系沿ODEF 变化，D 点为后继屈服点，OD 为后继弹性阶段，()'s σ+为后继屈服应力，值得一提的是初始屈服点只有一个，而后继屈服点有无数个（由加载历史决定）。
若在卸除全部载荷后反向加载，弹性阶段'COC ，()()s s σσ+-=，而在强化阶段'DOD ，()()s s σσ+->，称为Bauschinger 效应。
图1-1、应力应变关系图从上述分析得出材料弹塑性行为有一定的特殊性，主要表现在：弹性应力应变关系是线性，且是单值对应关系，而塑性应力应变关系是非线性的非单值对应。
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各向异性弹性体的应力和应变关系
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下面从广义胡克定理公式出发,用应变能的概念建立常见的各向异性弹性体的应力和应变关系。
1.完全各向异性弹性体
根据格林公式和广义胡克定律，有
；对于上式,如果对切应变γxy求偏导数，有。
同理,有;对
于上式,如果对正应变εx求偏导数，有。
因此，Ｃ1４＝C41。
对于其它的弹性常数可以作同样的分析,则Ｃmn＝Cｎｍ
上述结论证明完全各向异性弹性体只有21个弹性常数。
其本构方程为
2．具有一个弹性对称面的各向异性弹性体
如果弹性体内每一点都存在这样一个平面，和该面对称的方向具有相同的弹性性质，则称该平面为物体的弹性对称面。
垂直于弹性对称面的方向称为物体的弹性主方向。
若设yz为弹性对称面，则x轴为弹性主方向。
以下根据完全各向异性弹性体本构方程,推导具有一个弹性对称面的各向异性弹性体的本构方程。
将x轴绕动ｚ轴转动π 角度,成为新的Ｏx'ｙ'ｚ'坐标系。
新旧坐标系之间的关系为
x y z ｘ'l
=-1m1=0n1=0
１
ｙ＇l
=-1ｍ2＝0n2=0
２
z'l3=-1m３=0n3=0
根据弹性对称性质。
关于x轴对称的应力和应变分量在坐标系变换时保持不变，而关于x轴反对称的应力和应变分量在坐标系变换时取负值。
所以σx'=σx，σy'＝σy,σz＇＝σz，τｘ'y' =τxy，τy'z'＝τyz，τz'ｘ' =τｚx
εx＇=εx，εｙ' =εy,εz' =εz,γx'y' =γxy，γｙ＇ｚ＇＝γyz,γz'x' ＝γzx
根据弹性主方向性质，作这一坐标变换时,本构关系将保持不变。
根据完全各向异性弹性体的本构方程，将上述关系式
代入广义胡克定理，可得
将上式与广义胡克定理相比较，要使变换后的应力和应变关系保持不变，则必有
C１4=C16=C24＝Ｃ26=C３４=C3６=C54=C５6=０
这样,对于具有一个弹性对称面的弹性体,其弹性常数由21个将减少为13个。
具有一个弹性对称面的弹性体的应力应变关系为
3．正交各向异性弹性体
若物体每一点有两个弹性对称面,称为正交各向异性弹性体。
以下根据完全具有一个弹性对称面的各向异性弹性体本构方程
推导具有两个弹性对称面的各向异性弹性体的本构方程。
设ｘz 平面也是弹性对称面，即y轴也是弹性主方向。
在具有一个弹性对称面的基础
上，将y轴绕动z轴转动 角度，成为新的Oｘ＇y'z'坐标系，如图所示。
根据弹性对称性质。
关于y轴对称的应力和应变分量在坐标系变换时也保持不变,而关于y轴反对称的应力和应变分量在坐标系变换时取负值。
所以，则新旧坐标系下的应力和应变分量的关系为
σx' =σｘ,σy' =σy，σｚ' =σz,τx＇ｙ' ＝-τxｙ,τy＇z' ＝-τyz,τz'ｘ'=τzx
εｘ' =εｘ，εy' =εy,εｚ＇=εz，γx＇y' =-γxy,γy'z'=－γyz，γz＇x＇=γzｘ
将上述关于y 轴弹性对称的应力应变关系代入具有一个弹性对称面的各向异性材料本构关系。
为保持应力和应变在坐标变换后不变，则必有
Ｃ
15= C
25
＝C
35
=Ｃ６4=０
这样,对于具有二个弹性对称面的弹性体，
如图所示,其弹性常数由13个将减少为9个。
于是其应力应变关系简化为
假如弹性体有3个弹性对称面，也就是说,如果设xy平面也是弹性对称面，z轴也为弹性主方向，则类似的推导可以证明，本构方程不会出现有新的变化。
因此, 如果相互垂直的3个平面中有两个弹性对称面, 则第三个必为弹性对称面。
二个弹性对称面的弹性体本构方程表明:如果坐标轴与弹性主方向一致时，正应力仅与正应变有关,切应力仅与对应的切应变有关,因此拉压与剪切之间，以及不同平面内的剪切之间将不存在耦合作用。
这种弹性体称为正交各向异性弹性体,其独立的弹性常数为9个。