弹性体的应力和应变

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第八章弹性体的应力和应变

8.1.1 一钢杆的横截面积为42

5.010m -⨯，所受轴向外力如图所示，试计算A 、B ，B 、C 和

C 、

D 之间的应力.4

1F 610N =⨯， 42F 810N =⨯，43F 510N =⨯ ，44F 310N =⨯。

[解 答]

建立坐标系O-x ，水平向右为正方向，作垂直于Ox 的假想截面123s ,s ,s 于AB 间E 处，

BC 间G 处，CD 间H 处. 42

123s s s 5.010m -===⨯

以杆的全部为隔离体。受力1234F ,F ,F ,F 杆所受合力

1

2

3

4

F=F F F F +++∑

X 轴上投影：1234F F F F 0-+-+= 合力为零，杆平衡。 在以杆的AE 部为隔离体，受力1F ，1s 面外侧对它的应力1σ 根据平衡方程

81

11

F ˆ1.210

n s σ=-

=⨯ 由于1σ与X 轴同向，82

11.210(N /m )σ∴=⨯为拉应力。

在以杆的AG 部为隔离体，经过同样分析可得：

8220.410(N /m )σ∴=-⨯为压应力

最后以杆的AH 部为隔离体，经过同样分析可得：

8230.610(N /m )σ∴=⨯为拉应力。

8.1.2利用直径为0.02m 的钢杆CD 固定刚性杆AB.若CD 杆内的应力不得超过

7max 1610Pa σ=⨯.问B 处至多能悬挂多大重量（不计杆自重）.

[解 答]

以杆AB 为隔离体。受力F,T ，建立坐标系

A xy,z -轴如图。根据刚体平衡时M 0i =∑，在z

轴方向投影方程为：

1.6F 1.0T 0-=

得到F=0.39T

对CD ，因72max 1.610(N /m ),σ=⨯故2

max max T r σπ=

y

1.0m

0.6m

370

所以4

max max F 0.39T 1.9610(N)==⨯

8.1.3图中上半段为横截面等于-424.010m ⨯且杨氏模量为10

6.910Pa ⨯的铝制杆，下半段是横截面为4

2

1.010m -⨯且杨氏模量为10

19.610Pa ⨯的钢杆，又知铝杆内允许最大应力为7

7.810Pa ⨯，钢杆内允许的最大

应力为7

13.710Pa ⨯.不计杆的自重，求杆下端所能承担的最大负荷以及在此负荷下杆的总伸长量.

[解 答]

对于铅杆允许最大内力为

4max1max11F s 3.1210(N)σ==⨯

对于钢杆允许最大内力为

4max 2max 22F s 1.3710(N)σ==⨯

所以杆的最大承受能力是：4

1.3710(N)⨯

根据胡克定律。在力4

F 1.3710(N)=⨯的作用下铅杆伸长量为

1

11

111

1

11F F

Y s s Y ==

故

同理钢杆的伸长量为

2

2

22

F s Y =

所以总的伸长量

312

12

1122

F F 2.8910(m)s Y s Y -=

+

=

+=⨯ 8.1.4 电梯用不在一条直线上的三根钢索悬挂.电梯质量为500kg.最大负载极限5.5kN.每根钢索都能独立承担总负载，且其应力仅为允许应力的70%，若电梯向上的最大加速度为g/5,求钢索的直径为多少？将钢索看作圆柱体，且不计其自重，取钢的允许应力为8

6.010Pa ⨯.

[解 答]

以电梯和最大负载为物体系，受力1212W W (m m )g +=+ 由牛顿第二定律：

121212g F (m m )g=(m m )5

6g F (m m )

5

-++=+

371

对某根钢索，根据题意

82max 2max

max

6.010(N /m )

d

F ()2

σπσ=⨯=

max 2max 30.7F F F d

()0.72d 6.1510(m)

πσ-=∴

==

=⨯

8.1.5 (1)矩形横截面杆在轴向拉力作用下拉伸应变为ε.此材料的泊松

系数为μ.求证杆体积的相对改变为

V V (12).V εμ-=- 0V 表示原来体积，V 表示变形后的体积.

（2）上式是否适用于压缩？

（3）低碳钢杨氏模量为10

Y 19.610Pa =⨯，泊松系数0.3μ=，受到的拉应力为

1.37Pa σ=，求杆体积的相对改变.

[解 答] （1）设杆长为

0，横截面积的二边长为00a ,b 。1

εμε

=

，（1ε为横向应变，ε为长应变） 拉伸时ε〉0，1ε〈 0 故1εμε=-

001010000

0000

v v (1)(1)a (1)b a b v a b εεε-+++-= 21222(1)(1)1

(1)(12)1(2(12)

εεεμεμεεεμεεμ=++-=++--=-=-展开略去项)

（2）压缩时110,0,εεεμε<>=-仍有 所以上式对压缩时亦适用 （3）根据胡克定律Y σε= 所以Y

σ

ε=