12分式应用题-工程问题培优题
初中数学分式方程的应用培优训练(精选40道习题 附答案详解)
（2）若商店按售价为每个书包 元，销售完这两批书包，总共获利多少元？
15．某服装加工厂计划加工4000套运动服，在加工完1600套后，采用了新技术，工作效率比原计划提高 ，结果共用了18天完成全部任务．求原计划每天加工多少套运动服．
16．为落实“美丽抚顺”的工作部署，市政府计划对城区道路进行了改造，现安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队的工作效率是乙队工作效率的 倍，甲队改造360米的道路比乙队改造同样长的道路少用3天．
13．科幻小说《流浪地球》的销量急剧上升．为应对这种变化，某网店分别花20000元和30000元先后两次购进该小说，第二次的数量比第一次多500套，且两次进价相同．
（1）该科幻小说第一次购进多少套？每套进价多少元？
（2）根据以往经验：当销售单价是25元时，每天的销售量是250套；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10套．网店要求每套书的利润不低于10元且不高于18元．
11．小明家用 元网购的 型口罩与小磊家用 元在药店购买的 型口罩的数量相同， 型与 型口罩的单价之和为 元，求 两种口罩的单价各是多少元？
12．某市为治理污水，需要铺设一段全长为 的污水排放管道，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加 ，结果提前 天完成这一任务，实际每天铺设多长管道？
（1）甲，乙两公司单独完成此项工程，各需多少天？
（2）若让一个公司单独完成这项工程，哪个公司的施工费较少？
6．甲、乙两人做某种机械零件，已知甲每小时比乙多做5个，甲做80个所用的时间与乙做60个所用的时间相等，问甲、乙两人每小时各做多少个零件？（用列方程的方法解答）
7．某超市预测某饮料有发展前途，用1600元购进一批饮料，面市后果然供不应求，又用6000元购进这批饮料，第二批饮料的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵2元．那么第一批饮料进货单价多少元？
分式方程应用题——工程问题优秀课件
列分式方程解应用题的一般步骤 1.审:分析题意,找出数量关系和相等关系. 2.设:选择恰当的未知数,注意单位和语言完整. 3.列:根据数量和相等关系,正确列出代数式和方程. 4.解:认真仔细. 5.验:既要验证求得的解是否是方程的根，又要检验 是否符合题意。
6.答:注意单位和语言完整.
中考链接
(2016湖北襄阳）“汉十”高速铁路襄阳段正在建设中，甲、乙
甲
90 x
90 x
60
乙
60
X--6
x6
例1 甲、乙两人加工同一种机器零件，已知甲每小时比乙 多加工6个，甲加工90个零件所用的时间和乙加工60个零 件所用时间相等，求甲、乙两人每小时各加工多少个零件？
解：设甲每小时做x个零件, 则乙每小时做(x－6)个零件
90x 6 60x
x 18
经检验: x=18是原分式方程的根,且符合题意。 由x＝18得x－6=12
是他的2.5倍，则他俩合作，每天做（ x 2.5x ）个？
一、已知工作总量的工程问题：
例1 甲、乙两人加工同一种机器零件，已知甲每小 时比乙多加工6个，甲加工90个零件所用的时间和 乙加工60个零件所用时间相等，求甲、乙两人每小 工作时间
分析：基本量之间的关系：工作量 = 工作效率 X 工作时间
注：工程问题常把总工程看作是单位1，水池注 水问题也属于工程问题
。
【例2】两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施
工一个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队
又共同工作了半个月，总工程全部完成. 哪个队的施工速
度快？
单独做所需时间 工作效率 实际做时间 工作量
两个工程队计划参与一项工程建设，甲队单独施工30天完成该项 1
分式培优练习题(完整标准答案)
分式 (一)一 选择1 下列运算正确的是（ ）A -40=1B （-3）-1=31 C （-2m-n ）2=4m-n D （a+b ）-1=a -1+b -12 分式28,9,12zy x xy z x x z y -+-的最简公分母是（ ） A 72xyz 2 B 108xyz C 72xyz D 96xyz 23 用科学计数法表示的树-3.6×10-4写成小数是（ ）A 0.00036B -0.0036C -0.00036D -360004 若分式6522+--x x x 的值为0，则x 的值为（ ）A 2B -2C 2或-2D 2或35计算⎪⎭⎫ ⎝⎛-+÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-+1111112x x 的结果是（ ） A 1 B x+1 C x x 1+ D 11-x 6 工地调来72人参加挖土和运土，已知3人挖出的土1人恰好能全部运走，怎样调动劳动力才能使挖出的土能及时运走，解决此问题，可设派x 人挖土，其它的人运土，列方程 ①3172=-x x ②72-x=3x ③x+3x=72 ④372=-xx 上述所列方程，正确的有（ ）个 A 1 B 2 C 3 D 47 在ma y x xy x x 1,3,3,21,21,12+++π中，分式的个数是（ ） A 2 B 3 C 4 D 58 若分式方程xa x a x +-=+-321有增根，则a 的值是（ ） A -1 B 0 C 1 D 29 若3,111--+=-ba ab b a b a 则的值是（ ） A -2 B 2 C 3 D -3 10 已知k b a c c a b c b a =+=+=+，则直线y=kx+2k 一定经过（ ） A 第1、2象限 B 第2、3象限 C 第3、4象限 D 第 1、4象限二 填空1 一组按规律排列的式子：()0,,,,41138252≠--ab a b a b a b a b ，其中第7个式子是 第n 个式子是2 7m =3,7n =5,则72m-n =3 ()2312008410-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-= 4 若2222,2ba b ab a b a ++-=则= 三 化简 1 ()d cd b a c ab 234322222-∙-÷ 2 111122----÷-a a a a a a 3 ⎪⎭⎫ ⎝⎛---÷--225262x x x x 四 解下列各题1 已知b ab a b ab a b a ---+=-2232,311求 的值2 若0<x<1,且xx x x 1,61-=+求 的值 五 （5）先化简代数式()()n m n m mn n m n m n m n m -+÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+---+222222，然后在取一组m,n 的值代入求值六 解方程 1 12332-=-x x 2 1412112-=-++x x x 七 2008年5月12日，四川省发生8.0级地震，我校师生积极捐款，已知第一天捐款4800元，第二天捐款6000元，第二天捐款人数比第一天捐款人数多50人，且两天人均捐款数相等，那么两天共参加捐款的人数是多少？分式(二)一、选择题：1．已知230.5x y z ==，则32x y z x y z +--+的值是（ ） A ．17 B.7 C.1 D.132．一轮船从A 地到B 地需7天，而从B 地到A 地只需5天，则一竹排从B 地漂到A 地需要的天数是（ ）A ．12 B.35 C.24 D.473．已知226a b ab +=，且0a b >>，则a b a b +-的值为（ ） A ．2 B ．2± C ．2 D ．2±二、填空题：4. 若关于x 的分式方程3232-=--x m x x 无解，则m 的值为__________. 5.若分式231-+x x 的值为负数，则x 的取值范围是__________． 6. 已知2242141x y y x y y +-=-+-，则的24y y x ++值为______. 三、解答题：7. 计算： ()3322232n m n m --⋅8. 计算 （1）168422+--x x x x （2）mn n n m m m n n m -+-+--2 9. 先化简，后求值：222222()()12a a a a a b a ab b a b a b -÷-+--++-，其中2,33a b ==- 10. 解下列分式方程．1412112-=-++x x x 11. 计算：（1）1111-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛--x x x （2）4214121111x x x x ++++++- 12．已知x 为整数，且918232322-++-++x x x x 为整数，求所有符合条件的x 的值． 13．先阅读下面一段文字，然后解答问题：一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买铅笔301支以上（包括301支）可以按批发价付款；购买300支以下（包括300支）只能按零售价付款．现有学生小王购买铅笔，如果给初三年级学生每人买1支，则只能按零售价付款，需用()12-m 元，（m 为正整数，且12-m ＞100）如果多买60支，则可按批发价付款，同样需用()12-m 元．设初三年级共有x 名学生，则①x 的取值范围是 ；②铅笔的零售价每支应为 元；③批发价每支应为 元．（用含x 、m 的代数式表示）．14． A 、B 两地相距20 km ，甲骑车自A 地出发向B 地方向行进30分钟后，乙骑车自B 地出发，以每小时比甲快2倍的速度向A 地驶去，两车在距B 地12 km 的C 地相遇，求甲、乙两人的车速. 分式(三)一、填空题1、在有理式22xy ，πx ，11+a ，y x +1，122-m 中属于分式的有 .2、分式3-x 的值为0，则x= .3、分式x x 2-和它的倒数都有意义，则x 的取值范围是 .4、当_____=x 时，x --11的值为负数；当x 、y 满足 时，)(3)(2y x y x ++的值为32； 5、若分式y x y-3的值为4，则x,y 都扩大两倍后，这个分式的值为6、当x= 时，分式11+x 与11-x 互为相反数.7、若分式方程=-1x m 1-x -11有增根，则m= .8、要使方程=-11x a x -2有正数解，则a 的取值范围是9、+++)2)(1(1 x x )3)(2(1++x x +)2007)(2006(1.....+++x x =_____________10、若=a 3b 4=c 5，则分式222c b a acbc ab +++-=____________二、选择题11、已知m 、n 互为相反数，a 、b 互为倒数,|x|=2,则ab x x nm -++2的值为（） A 、2 B 、3 C 、4 D 、512. 下列式子:（1）y x y x yx -=--122；（2）c a b a a c a b --=--；（3）1-=--b a ab ；（4）y x yx y x yx +-=--+-中正确的是 （ ）A 、1个B 、2 个C 、3 个D 、4 个13. 下列分式方程有解的是（ ）A 、++12x 13-x =162-x B 、012=+x x C 、0122=-x D 、111=-x14. 若分式m x x ++212不论m 取何实数总有意义，则m 的取值范围是（ ）A 、m ≥1B 、m ＞1C 、m ≤1D 、m ＜115、晓晓根据下表，作了三个推测：①3-x-1x(x>0)的值随着x 的增大越来越小； ②3-x-1x (x>0)的值有可能等于2；③3-x-1x (x>O)的值随着x 的增大越来越接近于2．则推测正确的有( )A 、0个B 、1个C 、2个D 、3个16. 已知分式xyy x -+1的值是a ，如果用x 、y 的相反数代入这个分式所得的值为b ，则a 、b 关系（ ） A 、相等 B 、互为相反数 C 、互为倒数 D 、乘积为－1 三、解答题17、化简：[22222a b a ab b -+++2ab ÷(1a +1b )2]·2222a b ab-+. 18、当21,23-==b a 时，求⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-b a ab b a b a ab b a ＋44的值. 19、A 玉米试验田是边长为a 米的正方形减去一个边长为1米的正方形蓄水池后余下部分，B 玉米试验田是边长为（a －1）米的正方形，两块试验田的玉米都收获了500千克.（1）那种玉米的单位面积产量高？ （2）高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？四、探索题20、观察以下式子：1112122132+→=+＞，5527544264+→=+＜，3354355555+→=+＞， 773722232+→=+＜.请你猜想，将一个正分数的分子分母同时加上一个正数，这个分数的变化情况，并证明你的结论.21、甲、乙两位采购员同去一家饲料公司购买两次饲料.两次饲料的价格有变化，两位采购员的购货方式也不同，其中，甲每次购买1000千克，乙每次用去800元，而不管购买多少饲料.谁的购货方式更合算？22、一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买铅笔300枝以上，（不包括300枝），可以按批发价付款，购买300枝以下，（包括300枝）只能按零售价付款.小明来该店购买铅笔，如果给八年级学生每人购买1枝，那么只能按零售价付款，需用120元，如果多购买60枝，那么可以按批发价付款，同样需要120元，①这个八年级的学生总数在什么范围内？②若按批发价购买6枝与按零售价购买5枝的款相同，那么这个学校八年级学生有多少人？。
2024年中考数学复习-分式性质的拓展应用考点培优练习
分式性质的拓展应用考点培优练习考点直击1.分式定义：形如AB的式子叫分式，其中A，B是整式，且B中含有字母.(1) B=0时,分式无意义; B≠0时,分式有意义.(2) 分式的值为0:A=0,B≠0时,分式的值等于0.(3)分式的约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去叫作分式的约分.方法是把分子、分母因式分解，再约去公因式.(4)最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫作最简分式.分式运算的最终结果若是分式，一定要化为最简分式.(5)通分：把几个异分母的分式分别化成与原来分式相等的同分母分式的过程，叫作分式的通分.(6)最简公分母：各分式的分母所有因式的最高次幂的积.(7)有理式：整式和分式统称有理式.2.分式的基本性质：(1)AB =A⋅MB⋅M(M是不为0的整式)；(2)AB =A÷MB÷M(M是不为0的整式)；(3)分式的变号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变.例题精讲例1若实数a，b，c满足条件1a +1b+1c=1a+b+c,则a,b,c中( )A.必有两个数相等B.必有两个数互为相反的数C.必有两个数互为倒数D.每两个数都不等【思路点拨】首先把等式去分母得到b²c+bc²+a²c+ac²+a²b+ab²+2abc=0，用分组分解法将上式左边分解因式得(a+b)(b+c)(a+c)=0,，从而得到a+b=0或b+c=0或a+c=0，根据相反数的定义即可选出选项.举一反三1 (湖北中考)已知分式x+y1−xy的值是a，如果用x，y的相反数代入这个分式所得的值为b，则a，b ( )A. 相等B.互为相反数C.互为倒数D.乘积为−1举一反三2 下列分式从左到右的变形一定正确的是 ( )A.b+xa+x =baB.b2a=b22abC.x−yx+y =y−xx+yD.−x−yx+y=−1举一反三3 要使1x+2=x−3x2−x−6成立，必须满足 ( )1A. x≠-2B.x≠−2且x≠3C. x≠3D.以上都不对例2 (南京统考)已知三个数x，y，z满足xyx+y =−2,yzy+z=43,xzx+z=−43,求xyzxy+yz+zx的值.【思路点拨】分式的分子是单项式，分母是多项式时，可以通过对等号两边同时取倒数来帮助运算.举一反三 4 已知代数式x⁴−x²+6x−8的值等于1，求代数式xx+1的值.举一反三5 已知xx2+x+1=13,求分式x2x4+x2+1的值.举一反三6 已知1x −1y=3,求分式2x−3xy−2yx−2xy−y的值.例3【探索】(1)若3x+4x+1=3+mx+1,则m=;(2) 若5x−3x+2=5+mx+2,则m= .【总结】若ax+bx+c =a+mx+c(其中a,b,c 为常数),则m=.【应用】利用上述结论解决：若代数式4x−3x−1的值为整数，求满足条件的整数x的值.举一反三7 已知x+1x =3,求x2x4+x2+1的值.11举一反三8 (西安统考)阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：83=6+23=2+23=223.在分式中，我们定义：对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”.如x−1x+1,x2x−1这样的分式就是假分式；再如3x+1,2xx2+1这样的分式就是真分式.类似的，假分式也可以化为带分式(即整式与真分式的和的形式).如x−1x+1=(x+1)−2x+1=1−2x+1;再如x2x−1=x2−1+1x−1=(x+1)(x−1)+11=x+1+1x−1.解决下列问题：(1) 分式2x是 (填“真分式”或“假分式”)；(2)将假分式x−1x+2化为带分式：；(3)如果分式2x−1x+1的值为整数，那么整数x的值为 .过关检测基础夯实1.下列各式中2x ,a+2b2,a+bπ,a+1a,(x−1)(x+2)x+2,a+√bb，分式的个数是 ( )A. 2B. 3C.4D. 52.使分式x−1x2−3x+2有意义的x 的取值范围是 ( ) A. x≠1 B. x≠2C. x≠1且x≠2D.x可为任何数3.若分式x2−4x+3(x−1)(x−2)的值为0，则( )A. x=1或x=3B. x=3C. x=1D. x≠1且. x≠24.下列约分正确的是 ( )A.a9a3=a3 B.x+1x+1=0 C.x2+2x+1x+1=x+1 D.a2+b2a+b=a+b5.a5,n2m,12π,ab+1,a+b3,y5−1z中,分式有个.6.当分式1x−3有意义时，则 x 满足的条件是 .7.若分式x+1x−1的值为 0，则 x 的值是8.利用分式的基本性质填空：(1)3a5xy =()10axy(a≠0);(2)a+2a2−4=1().9.约分:(1)a3b3a2b+ab ;(2)x2−2x+1(x2+1)2−4x2.10. 通分: 2m−3,12(m+3).能力拓展11. 当分式62x−3的值为整数时，自然数x 的取值可能有 ( )A.3个B. 4个C.6 个D.8个12. 如果分式a2a+b中的a，b都同时扩大2倍，那么该分式的值 ( ) A. 不变 B. 缩小 2倍C. 扩大 2倍D. 扩大 4 倍13. 设xyz≠0,且3x+2y—7z=0,7x+4y—15z=0,则4x2−5y2−6z2x2+2y2+3z2=¯.14.不改变分式的值，将分式的分子、分母的各项系数都化为整数，则a−23b12a+2b=15.x 取何值时，下列分式有意义：(1)x+22x−3;(2)6(x+3)|x|−12;(3)x+6x2+1.16. (1) 已知分式2x2−8x−2,x取何值时，分式的值为0?(2)x 为何值时,分式x2+23x−9的值为正数?17.已知实数a,b满足, 6ᵃ=2010,335ᵇ=2 010,求1a +1b的值.综合创新18. 设 a +b +c = abc(abc≠0),化简: a (1−b 2)(1−c 2)+b (1−c 2)(1−a 2)+c (1−a 2)(1−b )2aℎc= .19.若 x²+x −1=0,则x 4+(x−1)2−1x (x−1)的值为 .20.(舟山中考)给定下面一列分式(其中x≠ 0):x 3y,−x 5y2,x 7y3,−x 9y 4,⋯(1)把任意一个分式除以前面一个分式，你发现了什么规律? (2)根据你发现的规律，试写出给定的那列分式中的第7个分式.4 分式性质的拓展应用【例题精讲】 1. B 解析: 1a+1b+1c=1a+b+c,去分母并整理得 b²c +bc²+a²c +ac²+a²b + ab²+2abc =0,即 (b²c +2abc +a²c )+(bc²+ac²)+(a²b +ab²)=0,∴c(a + b)²+c²(a +b )+ab (a +b )=0,(a +b ). (ac +bc +c²+ab )=0,(a +b )(b +c )⋅(a+c)=0,即a+b=0或b+c=0或a+c=0，则a ，b ，c 中必有两个数互为相反数.2. --4 解析：由已知条件可得x+y xy= −12,y+zyz=34,z+xzx=−34,即 1x+ 1y=−12,1y+1z=34,1z+1x=−34,三式相加得 2x+2y+2z=−12,∴1x+ 1y+1z=−14,∴xy+yz+zxxyz=−14, ∴xyz xy+yz+zx=−4.3.【探索】(1)1 (2)-13【总结】b-ac 【应用】x=2或x=0 解析：【探索】(1)将已知等式整理得3x+4x+1=3x+3+m x+1,即3x+4=3x+3+m,解得m=1;(2) 将已知等式整理得5x−3x+2=5x+10+m x+2,即5x-3=5x+10+m,解得:m=-13.【应用】4x−3x−1=4(x−1)+1x−1=4+1x−1,:x 为整数且4x−3x−1为整数,∴x-1=±1,∴x=21或x=0.【举一反三】1.B 解析：根据题意，用x ，y 的相反数代入这个 分 式,即 b =−x−y1−(−x )(−y )= −x+y 1−xy=−a,所以a ，b 互为相反数.2. D 解析:当a≠0且x=0时,等式才能成立，A 错误；当b≠0时，从左到右的变形才能成立，B 错误；分式从左不能变形到右,C 错误;−x−y x+y=−(x+y )x+y=−1,D 正确.3. B 解析:x+2≠0,解得x≠--2,又∵x²-x--6≠0,(x+2)(x -3)≠0,解得x≠-2且x≠3,则x≠-2且x≠3时,等式成立.4.7±√136解析： ∵x⁴−x²+6x −8=1, ∴x⁴−x²+6x −9=0,∴x⁴−(x −3)²= ,∴(x²+x −3)(x²−x +3)=0,∴x²+(x--3=0或 x²−x +3=0.当 x²−x +3=0时，方程无解；当 x²+x −3=0时,x=−1±√132.当 x =−1+√132时, xx+1=−1+√132−1+√132+1√131+√13= 7−√136;当 x =−1−√132时,xx+1=−1−√132−1−√132+1√131−√13=7+√136. 5. 13解析：由x x 2+x+1=13整理变形得1x+1+1x=13,从而得 x +1x=2.而 x 2+x 2x 4+x 2+1=1x 2+1+1x2,1x 2=(x +1x)2−2=2, 故x2x4+x2+1=13.6. 35解析：∵1x−1y=3,∴y−x=3xy,∴x−y=−3xy,∴2x+3xy−2yx−2xy−y=2(x−y)+3xy(x−y)−2xy=2×(−3xy)+3xy−3xy−2xy=−3xy−5xy=35.7. 18解析：将x+1x=3两边同时乘x，得x2+1=3x,x2x4+x2+1=x2(x2+1)2−x2=x29x2−x2=18.8.(1) 真分式(2)1−3x+2(3)2或-4或0或-2解析：(3)2x−1x+1=2x+2−3x+1=2−3x+1.所以当x+1=3或-3或1或-1时，分式的值为整数.解得x=2或x=-4或x=0或x=-2.【过关检测】1. B 解析: a+2b2,a+bπ的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式；a+√bb的分子不是整式，因此不是分式.2. C 解析: ∵x²−3x+2≠0即(x-1)(x-2)≠0,∴x-1≠0且x-2≠0,∴x≠1且x≠2.3. B 解析:∵分式x2−4x+3(x−1)(x−2)的值为0,∴x²−4x+3=0且(x--1)(x--2)≠0,∴x=3.4. C 解析:原式=a⁶,A错误;原式=1,B错误；该分式是最简分式，不需要约分，D错误.5.3 解析: n2m ,ab+1,y5−1z为分式.6. x≠3解析：由题意得x--3≠0，解得x≠3.7.-1 解析:由分式x+1x−1的值为0,得x+1=0且x-1≠0,解得x=-1.8.(1) 6a² (2)a-29.(1) 原式=a3b3ab(a+1)=a2b2a+1(2) 原式=(x−1)2(x2+1+2x)(x2+1−2x)=(x−1)2(x+1)2(x−1)2=1(x+1)210.2m−3=4(m+3)2(m+3)(m−3)12(m+3)=m−32(m+3)(m−3)11. B 解析:要使62x−3的值为整数，则2x-3只能取±1,±2,±3,±6,而x 是自然数,分析知2x-3可取±1或±3,对应得x为0,1,2,3.12. C 解析:∵分式a2a+b 中的a，b都同时扩大2倍, ∴(2a)22a+2b=2a2a+b,∴该分式的值扩大2倍.13.−116解析:∵xyz≠0,∴x≠0且y≠0且z≠0,{3x+2y−7z=0circle17x+4y−15z=0circle2②--①×2得7x-6x--15z+14z=0,∴x=z,将x=z代入①得3z+2y-7z=0,解得y=2x= 2z,原式=4z2−5×4z2−6z2z2+2×4z2+3z2=−22z212z2=−116.14.6a−4b3a+12b 解析a−23b12a+2b=6(a−23b)6(12a+2b)=6a−4b3a+12b.15.(1)x≠32(2)x≠±12 (3) x 为任意实数解析:(1)要使x+22x−3有意义,则2x-3≠0,解得x≠32.当x≠32时, x+22x−3有意义.(2)要使6(x+3)|x|−12有意义,则|x|-12≠0,解得x≠±12.当x≠±12时, 6(x+3)|x|−12有意义.(3)要使x+6x2+1有意义，则x²+1≠0.x为任意实数，x+6x2+1有意义.16.(1) -2 (2)x>3解析:(1)由2x2−8x−2=0,得2x²−8=0且x--2≠0,解得x=-2.当x=-2时,分式的值为0.(2)x2+23x−9的值为正数，得3x-9>0,解得x>3.当x>3时,分式x2+23x−9的值为正数.17. 1 解析: ∵6ᵃ=2010,335ᵇ=2010,∴6ᵃᵇ=2010ᵇ,335ᵃᵇ=2010ᵃ,∴6ᵃᵇ×335ᵃᵇ=2010ᵇ⁺ᵃ,(6×335)ᵃᵇ=2010ᵃ⁺ᵇ,∴ab=a+b,∴1a +1b=a+bab=1.18.4 解析:分子=a(1−b²−c²+b²c²)+b(1−c²−a²+a²c²)+c(1−a²−b²+a²b²)=(a+b+c)−ab(a+b)−bc(b+c)-ac(c+a)+abc(ab+ac+bc).∵a+b+c=abc,∴分子=abc-ab(abc-c)-bc(abc-a)-ac(abc-b)+abc(ab+ac+bc)=abc-abc(ab-1+bc-1+ac-1)+abc(ab+ac+bc)=abc+3abc=4abc.∴原式=4abcabc=4.19. 3 解析: ∵x²+x−1=0,∴x²=−(x−(1),x2+x=1,∴x4+(x−1)2−1x(x−1)=[−(x−1)]2+(x−1)2−1x(x−1)=2x2−4x+1x2+x−2x=2(1−x)−4x+11−2x=3(1−2x)1−2x=3.20.(1)任意一个分式除以前面一个分式恒等于−x2y(2)观察这一列分式：①发现分母上是y¹,y²,y³,…,故第7 个式子的分母是y⁷.②发现分子上是x³, x⁵,x⁷,…,i故第7个式子的分子是：x¹⁵.③再观察符号，发现第偶数个分式为负，第奇数个分式为正.综上，第 7 个分式应该是x15y7.。
分式应用题_工程问题
分式应用题一、工程问题1、甲、乙二人做某种机械零件。
已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙做60个所用的时间相等。
求甲、乙每小时各做零件多少个？【变式1】某化肥厂计划在规定日期内生产化肥120吨，由于采用了新技术，每天多生产化肥3吨，实际生产180吨与原计划生产120吨的时间相等，求计划每天生产多少吨化肥？【变式2】A做90个零件所需要的时间和B做120个零件所用的时间相同，又知每小时A、B两人共做35个机器零件。
求A、B每小时各做多少个零件？【变式3】A、B两种机器人都被用来搬运化工原料，B型机器人比A型机器人每小时少搬运30kg，A型机器人搬运900kg所用时间与B型机器人搬运600kg所用时间相等，两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？2、两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的13，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成。
哪个队的施工速度快？【变式1】张明3h清点完一批图书的一半，李强加入清点另一半图书的工作，两人合作1.2h清点完另一半图书。
如果李强单独清点这批图书需要几小时？【变式2】在某路段工程招标时，工程指挥部接到甲、乙两个工程队的投标书。
根据甲、乙两队的标书测算，若甲队单独完成这项工程需要40天；若由乙队先做10天，剩下的工作再由甲、乙两队合作20天可完成。
（1）若安排乙队单独完成这项工程需要多少天？（2）为了缩短工期，方便行人，若安排两队共同完成这项工程，需要多少天？【变式3】甲、乙两个工程队共同完成一项工程，乙队先单独做1天后，再由两队合作2天就完成了全部工程，已知甲队单独完成工程所需的天数是乙队单独完成所需天数的13，求甲、乙两队单独完成各需多少天？【变式4】甲、乙两个工程队共同完成一项工程，乙队先单独做1天，再由两队合作2天就完成全部工程，已知甲队与乙队完成此工作时间比是2:3，求甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天？【变式5】一项工程要在限期内完成。
八年级(上)培优专题十二 分式方程应用题分类解析
专题十分式方程应用题分类解析分式方程应用性问题联系实际比较广泛，灵活运用分式的基本性质，有助于解决应用问题中出现的分式化简、计算、求值等题目，运用分式的计算有助于解决日常生活实际问题．本课内容：一、【营销类应用性问题】例1．某校办工厂将总价值为2000元的甲种原料与总价值为4800元的乙种原料混合后，其平均价比原甲种原料每千克少3元，比乙种原料每千克多1元，问混合后的单价每千克是多少元？分析：市场经济中，常遇到营销类应用性问题，与价格有关的是：单价、总价、平均价等，要了解它们的意义，建立它们之间的关系式．例2 A、B两位采购员同去一家饲料公司购买同一种饲料两次，两次饲料的价格有变化，但两位采购员的购货方式不同．其中，采购员A每次购买1000千克，采购员B每次用去800元，而不管购买饲料多少，问选用谁的购货方式合算？例3 某商场销售某种商品，一月份销售了若干件，共获得利润30000元;二月份把这种商品的单价降低了 0.4元，但是销售量比一月份增加了5000件，从而获得利润比一月份多2000元，调价前每件商品的利润为多少元？二、【工程类应用性问题】例4 甲乙两个工程队合作一项工程，两队合作2天后，由乙队单独做1天就完成了全部工程。
已知乙队单独做所需天数是甲队单独做所需天数的倍，问甲乙单独做各需多少天？ 分析：例5 甲、乙两个学生分别向计算机输入1500个汉字，乙的速度是甲的3倍，因此比甲少用20分钟完成任务，他们平均每分钟输入汉字多少个？分析：等量关系：甲用时间=乙用时间+20（分钟）例6 某农场原计划在若干天内收割小麦960公顷，但实际每天多收割40公顷，结果提前4天完成任务，试求原计划一天的工作量及原计划的天数。
112等量关系：原计划天数=实际天数+4（天）例7 某工程由甲、乙两队合做6天完成，厂家需付甲、乙两队共8700元，乙、丙两队合做10天完成，厂家需付乙、丙两队共9500元，甲、丙两队合做5天完成全部工程的32，厂家需付甲、丙两队共5500元． ⑴求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？⑵若工期要求不超过15天完成全部工程，问由哪个队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由． 分析：这是一道联系实际生活的工程应用题，涉及工期和工钱两种未知量．对于工期，一般情况下把整个工作量看成1，设出甲、乙、丙各队完成这项工程所需时间分别为x 天，y 天，z 天，可列出分式方程组．例8 某工程需在规定日期内完成，若由甲队去做，恰好如期完成；若由乙队去做，要超过规定日期三天完成．现由甲、乙两队合做两天，剩下的工程由乙独做，恰好在规定日期完成，问规定日期是多少天？例9 今年某大学在招生录取时，为了防止数据输入出错，2640名学生的成绩数据分别由两位教师向计算机输入一遍，然后让计算机比较两人的输入是否一致.已知教师甲的输入速度是教师乙的2倍，结果甲比乙少用2小时输完.问这两位教师每分钟各能输入多少名学生的成绩？例10 甲乙两人做某种机器零件。
分式方程工程问题20道及答案
分式方程工程问题20道及答案一．对角相乘4x=x+33x=3x=1分式方程要检验经检验,x=1是方程的解x/(x+1)=2x/(3x+3)+1两边乘3(x+1)3x=2x+(3x+3)3x=5x+32x=-3x=-3/2分式方程要检验经检验,x=-3/2是方程的解2/x-1=4/x^2-1两边乘(x+1)(x-1)2(x+1)=42x+2=42x=2x=1分式方程要检验经检验,x=1使分母为0,是增根,舍去所以原方程无解5/x^2+x - 1/x^2-x=0两边乘x(x+1)(x-1)5(x-1)-(x+1)=05x-5-x-1=04x=6x=3/2分式方程要检验经检验,x=3/2是方程的解5x/(3x-4)=1/(4-3x)-2乘3x-45x=-1-2(3x-4)=-1-6x+811x=7x=7/11分式方程要检验经检验x=7/11是方程的解1/(x+2) + 1/(x+7) = 1/(x+3) + 1/(x+6)通分(x+7+x+2)/(x+2)(x+7)=(x+6+x+3)/(x+3)(x+6) (2x+9)/(x^2-9x+14)-(2x+9)/(x^2+9x+18)=0(2x+9)[1/(x^2-9x+14)-1/(x^2+9x+18)]=0因为x^2-9x+14不等于x^2+9x+18所以1/(x^2-9x+14)-1/(x^2+9x+18)不等于0所以2x+9=0x=-9/2分式方程要检验经检验x=-9/2是方程的解7/(x^2+x)+1/(x^2-x)=6/(x^2-1)两边同乘x(x+1)(x-1)7(x-1)+(x+1)=6x8x-6=6x2x=6x=3分式方程要检验经检验,x=3是方程的解化简求值.[X-1-（8/X+1）]/[X+3/X+1] 其中X=3-根号2 [X-1-（8/X+1）]/[(X+3)/(X+1)]={[(X-1)(X+1)-8]/(X+1)}/[(X+3)/(X+1)]=(X^2-9)/(X+3)=(X+3)(X-3)/(X+3)=X-38/(4x^2-1)+(2x+3)/(1-2x)=18/(4x^2-1)-(2x+3)/(2x-1)=18/(4x^2-1)-(2x+3)(2x+1)/(2x-1)(2x+1)=1[8-(2x+3)(2x+1)]/(4x^2-1)=18-(4x^2+8x+3)=(4x^2-1)8x^2+8x-6=04x^2+4x-3=0(2x+3)(2x-1)=0x1=-3/2x2=1/2代入检验,x=1/2使得分母1-2x和4x^2-1=0.舍去所以原方程解:x=-3/2(x+1)/(x+2)+(x+6)/(x+7)=(x+2)/(x+3)+(x+5)/(x+6) 1-1/(x+2)+1-1/(x+7)=1-1/(x+3)+1-1/(x+6)-1/(x+2)-1/(x+7)=-1/(x+3)-1/(x+6)1/(x+2)+1/(x+7)=1/(x+3)+1/(x+6)1/(x+2)-1/(x+3)=1/(x+6)-1/(x+7)(x+3-(x+2))/(x+2)(x+3)=(x+7-(x+6))/(x+6)(x+7)1/(x+2)(x+3)=1/(x+6)(x+7)(x+2)(x+3)=(x+6)(x+7)x^2+5x+6=x^2+13x+42x=-9/2经检验,x=-9/2是方程的根.(2-x)/(x-3)+1/(3-x)=1(2-x)/(x-3)-1/(x-3)=1(2-x-1)/(x-3)=11-x=x-32-x=23-分式方程要检验4-经检验,x=2是方程的根二．1、重量相同的两种商品,分别价值900元和1500元,已知第一种商品每千克的价值比第二种少300元,分别求这两种商品每千克的价值.2、某客车从甲地到乙地走全长480Km的高速公路,从乙地到甲地走全长600Km的普通公路.又知在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快45Km,由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从乙地到甲地所需时间的一半,求该客车由高速公路从甲地到乙地所需要的时间.3、从甲地到乙地的路程是15千米,A骑自行车从甲地到乙地先走,40分钟后,B骑自行车从甲地出发,结果同时到达.已知B的速度是A的速度的3倍,求两车的速度.4、一台甲型拖拉机4天耕完一块地的一半,加一台乙型拖拉机,两台合耕,1天耕完这块地的另一半.乙型拖拉机单独耕这块地需要几天?5、A做90个零件所需要的时间和B做120个零件所用的时间相同,又知每小时A、B两人共做35个机器零件.求A、B每小时各做多少个零件.。
第15章第12课时分式方程的实际应用——工程问题-2020秋人教版(广东)八年级数学上册课件
需 根的 据时 题间 意为 列方x程小，时得．3x00－320x0＝3 ．
解得
x＝50
．
检验：当 x＝ 50
时， 2x≠0
．
所以，原分式方程的解为 x＝50
．
答：乙工程队每小时能完成 50 平方米的绿化面积．
2．(绥化中考)某工厂新引进一批电子产品，甲工人比乙工人每小时多
解：设甲工程队每天铺设 x m 管道，则乙工程队每天铺设(x－10)m 管 道，依题意，得 3x50＝x－25100，解得 x＝35. 经检验，x＝35 是原方程的解，且符合题意， ∴x－10＝25. 答：甲工程队每天铺设 35 m 管道，乙工程队每天铺设 25 m 管道．
【变式 1】 (肇庆期末)甲、乙两人做某种机械零件，已知甲每小时比 乙多做 6 个，甲做 90 个所用时间与乙做 60 个所用时间相等．求甲、 乙每小时各做多少个零件？ 解：设乙每小时做 x 个零件，则甲每小时做(x＋6)个零件，根据题意， 得 6x0＝x＋906，解得 x＝12.
2 原计划少用了 10 天．求实际每天种植多少棵？
解：设计划每天种 x 棵树，则实际每天种32x 棵树，根据题意，得 1 2x00－10＝1 3200，解得 x＝40.
2x 经检验，x＝40 是原方程的解，且符合题意， ∴32×40＝60(棵)． 答：实际每天种植 60 棵树．
【变式 2】 某市为落实“2020 脱贫攻坚政策”，甲工程队计划将该市 的 900 套老旧房屋进行翻新改造，为尽快完成任务，实际每天翻新改 造的数量是原来计划的 1.5 倍，结果提前 30 天完成任务，求甲工程队 原计划每天翻新改造老旧房屋的数量．
(完整版)分式经典培优竞赛题
1. 若，试判断是否有意义。
ab a b +--=101111a b -+，2. 计算：a a a a a a 2211313+-+--+-3、解方程：11765556222-++=-+-+x x x x x x 4. 已知与互为相反数，求代数式a a 269-+||b -1的值。
()42222222222a b a b ab a b a ab b a b ab b a -++-÷+-++5. 一列火车从车站开出，预计行程450千米，当它开出3小时后，因特殊任务多停一站，耽误30分钟，后来把速度提高了0.2倍，结果准时到达目的地，求这列火车的速度。
6. 已知，试用含x 的代数式表示y ，并证明。
x y y =+-2332()()323213x y --=6、中考原题： 例1．已知，则M ＝__________。
M x y xy y x y x y x y 222222-=--+-+ 例2．已知，那么代数式的值是_________。
x x 2320--=()x x x --+-111321. 当x 取何值时，分式有意义？2111x x+-3. 计算：4. 解方程：x y y x y x y y x ++-+-242442222x x x x x x x x ++-++=++-++214365875. 要在规定的日期内加工一批机器零件，如果甲单独做，刚好在规定日期内完成，乙单独做则要超过3天。
现在甲、乙两人合作2天后，再由乙单独做，正好按期完成。
问规定日期是多少天？6. 已知，求的值。
43602700x y z x y z xyz --=+-=≠，，x y z x y z+--+29、（6分）已知，求的值．02=-a a 1112421222-÷+--∙+-a a a a a a 21、（6分）设，当为何值时，与的值相等？23111x A B x x ==+--x A B 3、计算（1） (2)⎪⎭⎫ ⎝⎛--++-y x x y x y x x 21214214121111x x x x ++++++-6、若,试求A 、B 的值.25452310A B x x x x x -+=-+--16、已知，求的值c b a -=+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛+b a c c a b c b a 11111117、已知=0，则= 12--x x 5412x x x ++18、设，则1=abc =++++++++111c ca c b bc b a ab a 19、已知，，，且，求20032=+x a 20042=+x b 20052=+x c 6012=abc 的值cb a abc ac b bc a 111---++20、已知，，，求的值31=+b a ab 41=+c b bc 51=+c a ac acbc ab abc ++1．若的值为,则的值是（ ）73212++y y 8196412-+y y （A ） （B ） （C ） （D ）21-171-71-712．已知,则的值为（ ）x z z y x +=+=531z y y x +-22（A ）1 （B ） （C ） （D ）2323-413．若对于以外的一切数均成立,则的值是（ 3±=x 98332-=--+x x x n x m mn ）（A ）8 （B ） （C ）16 （D ）8-16-4.有三个连续正整数,其倒数之和是,那么这三个数中最小的是（ ）6047（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）45．若满足,则的值为（ ）d c b a ,,,a d d c c b b a ===2222d c b a da cd bc ab ++++++（A ）1或0 （B ） 或0 （C ）1或（D ）1或1-2-1-6．设轮船在静水中的速度为,该船在流水(速度为)中从上游A 驶往下游v v u <B,再返回A ，所用的时间为T,假设,即河流改为静水,该船从A 至B 再返回0=u A,所用时间为,则（ ）t （A ） （B ） （C ） （D ）不能确定T 与的大小关系t T =t T <t T >t 二、填空题（每题5分,共30分）7.已知:满足方程,则代数式的值是_____.x 20061120061=--x x2007200520062004+-x x 8. 已知:,则的值为_____.b a b a +=+511ba ab +9.方程的正整数解是_____.71011=++zy x ()z y x ,,10. 若关于的方程的解为正数,则的取值范围是_____.x 122-=-+x a x a 11. 若,则_____.11,11=+=+zy y x =xyz12.设是两个不同的正整数,且,则y x ,5211=+y x ._____=+y x 三、解答题（每题10分,共40分）13． 已知与的和等于，求之值.2+x a 2-x b 442-x x b a ,14．解方程:.708115209112716512311222222-+=+++++++++++++x x x x x x x x x x x x 15． 为何值时，分式方程无解？a ()01113=++++-x x a x x x 16． 某商场在一楼与二楼之间装有一部自动扶梯,以均匀的速度向上行驶,一男孩与一女孩同时从自动扶梯上走到二楼(扶梯本身也在行驶).如果二人都做匀速运动,且男孩每分钟走动的级数是女孩的两倍.又已知男孩走了27级到达顶部,女孩走了18级到达顶部(二人每步都只跨1级).(1)扶梯在外面的部分有多少级.(2)如果扶梯附近有一从二楼下到一楼的楼梯,台阶级数与扶梯级数相等,这两人各自到扶梯顶部后按原速度走下楼梯,到一楼后再乘坐扶梯(不考虑扶梯与楼梯间的距离).则男孩第一次追上女孩时,他走了多少台阶?。
培优题：工程问题应用题
培优题：工程问题应用题
工程问题应用题
合作几天可以装完？
师傅单独加工，需要10天完成，如果全部由徒弟加工需几天完成？4、一件工作，甲独做10小时完成，乙独做12小时完成，丙独做15小时完成。
三人合做几小时可以完成工作的一半的一半？
5、从甲地到乙地，慢车要行15小时，快车要行10小时，慢车从乙地开出5小
时后，快车从甲地开出，再经过几小时两车相遇？
6、一件工程，甲乙两人合作8天可以完成；乙丙两人合作6天可以完成；丙丁
两人合作12天能够完成。
那末甲丁合作几天能够完成？
7、有一批机器零件，甲零丁制造需要八又二分之一天，比乙零丁制造多用了1/
2天，两人合作4天后，剩下210个零件，由甲单独去做，自始至终甲共制
作了多少个零件？
8、甲、乙二人骑自行车从环形公路上同一地点同时出发，背向而行。
现在已知
甲走一圈的时间是70分钟，如果在出发后第45分钟甲、乙二人相遇，那么
乙走一圈的工夫是多少分钟？
9、一件工程，乙队先独做4天，继而甲、丙两队合作6天，剩下的工程甲队又
成的2倍。
甲、乙、XXX独做各需几天完成？
未注水？
11、某村挖一条水渠，若甲乙两个队各单独挖，甲队要12天挖完，乙队要15
天挖完。
现在甲、乙两队合挖2天后，丙队也来参加，自丙队加入后3天便
完工。
若丙队单独挖，需几天完工？
12、一个蓄水池装了一根进水管和三根放水速度一样的出水管。
单开一根进水管。
列分式方程解工程问题训练(培优)
列分式方程解工程问题训练（培优）一．选择题（共6小题）1．已知完成某项工程甲组需要12天，乙组需要若干天，甲组单独工作半天后，乙组加入，两组合作2天后，甲组又单独工作了3天半，工程完工，则乙组单独完成此项工程需要的天数比甲组（）A．少6天B．少8天C．多3天D．多6天2．某工程队承接了60万平方米的绿化工程，由于情况有变，…．设原计划每天绿化的面积为x万平方米，列方程为，根据方程可知省略的部分是（）A．实际工作时每天的工作效率比原计划提高了20%，结果提前30天完成了这一任务B．实际工作时每天的工作效率比原计划提高了20%，结果延误30天完成了这一任务C．实际工作时每天的工作效率比原计划降低了20%，结果延误30天完成了这一任务D．实际工作时每天的工作效率比原计划降低了20%，结果提前30天完成了这一任务3．一项工程由甲、乙两队合做共需4天完成，如果甲队单独做共需6天完成，那么由乙单独一天能完成这件工程的（）A．B．C．D．4．某项工程先由甲工程队工作2天后，再由乙工程队单独工作3天完成．已知乙工程队单独完成这项工程比甲工程队多用2天，则乙队单独完成需要的天数为（）A．3B．4C．5D．65．两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的，这时增加了乙队，两队共同工作了半个月，总工程全部完成．设乙队单独施工1个月完成总工程的，则可以表示“两队共同工作了半个月完成的工程量”的代数式是（）A．B．C．D．6．下面是学习分式方程的应用时，老师板书的问题和两名同学所列的方程．例：有甲、乙两个工程队，甲队修路400m与乙队修路600m所用时间相等，且乙队每天比甲队多20m，求甲队每天修路的长度．冰冰：．庆励：．方程中的x和y表示的意义，下列说法错误的是（）A．x表示甲队每天修路的长度B．x表示乙队每天修路的长度C．y表示甲队修400m所用的时间D．y表示乙队修600m所用的时间二．填空题（共4小题）7．某社区计划对面积为1600m2的区域进行绿化．经投标，由甲、乙两个工程队来完成，若甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的2倍，并且在独立完成面积为400m2区域的绿化时，甲队比乙队少用5天．若甲队每天绿化费用是0.6万元，乙队每天绿化费用为0.25万元，规定甲乙两队单独施工的总天数不超过25天完成，且施工总费用最低，则最低费用为万元．8．甲、乙两个施工队共同完成某居民小区绿化改造工程，乙队先单独做2天后，再由两队合作10天就能完成全部工程．已知乙队单独完成此项工程所需天数是甲队单独完成此项工程所需天数的，则乙施工队单独完成此项工程需天．9．某公司需在一个月（31天）内完成新建办公楼的装修工程．如果由甲、乙两个工程队合做，12天可完成；如果由甲、乙两队单独做，甲队比乙队少用10天完成．又已知请甲工程队施工，公司每日需付费用2000元；如果请乙队施工，公司每日需付费用1400元．规定时间内：A．请甲队单独完成此项工程；B．请乙队单独完成此项工程；C．请甲、乙两队合作完成此项工程．以上三种方案中花钱最少的方案为；需付最少费用元．10．有一项工程，若甲、乙合作10天可以完成，甲单独工作13天后，因某原因离开了，此后由乙来接替，乙三天后完成了这项工程，则甲的工作效率是乙的倍．三．解答题（共10小题）11．某工程队承接了3000米的修路任务，在修好600米后，引进了新设备，工作效率是原来的2倍，一共用30天完成了任务．求引进新设备前平均每天修路多少米？12．在社会主义新农村建设中，县交通局决定对某乡的村级公路进行改造，由甲工程队单独施工，预计180天能完成．为了提前完成任务，改由甲、乙两个工程队同时施工，100天就能完成．试问：若由乙工程队单独施工，需要多少天才能完成任务？13．随着合肥市大建设大发展的推进，金寨路修建起了高架桥．某工程队承担了铺设其中一段长3400米高架桥的任务，铺设了1800米后，该工程队改进技术，平均每天比原来多铺设10米，结果共用了100天完成任务．试问：该工程队改进技术后平均每天铺设道路多少米？14．有一市政建设工程，若甲、乙两工程队合做，需要12个月完成；若甲队先做5个月，剩余部分再由甲、乙两队合做，还需要9个月才能完成．（1）甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少个月？（2）已知甲队每月施工费用5万元，乙队每月施工费用3万元．要使该工程施工总费用不超过95万元，则甲工程队至多施工多少个月？15．通惠新城开发某工程准备招标，指挥部现接到甲、乙两个工程队的投标书，从投标书中得知：乙队单独完成这项工程所需天数是甲队单独完成这项工程所需天数的2倍；该工程若由甲队先做6天，剩下的工程再由甲、乙两队合作16天可以完成．（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需要多少天？（2）已知甲队每天的施工费用为0.67万元，乙队每天的施工费用为0.33万元，该工程预算的施工费用为19万元．为缩短工期，拟安排甲、乙两队同时开工合作完成这项工程，问：该工程预算的施工费用是否够用？若不够用，需要追加预算多少万元？请说明理由．16．由甲、乙两个工程队承包某校校园绿化工程，甲、乙两队单独完成这项工程所需时间比是3：2，两队合做6天可以完成．（1）求两队单独完成此项工程各需多少天？（2）此项工程由甲、乙两队合做6天完成任务后，学校付给他们20 000元报酬，若按各自完成的工程量分配这笔钱，问甲、乙两队各得到多少元？17．某工程，甲工程队单独做40天完成，若乙工程队单独做30天后，甲、乙两工程队再合作20天完成．（1）求乙工程队单独做需要多少天完成？（2）将工程分两部分，甲做其中一部分用了x天，乙做另一部分用了y天，其中x、y 均为正整数，且x＜15，y＜70，求x、y．18．在达成铁路复线工程中，某路段需要铺轨．先由甲工程队独做2天后，再由乙工程队独做3天刚好完成这项任务．已知乙工程队单独完成这项任务比甲工程队单独完成这项任务多用2天，求甲、乙工程队单独完成这项任务各需要多少天？19．在我市某一城市美化工程招标时，有甲、乙两个工程队投标，经测算：甲队单独完成这项工程需要60天，若由甲队先做20天，剩下的工程由甲、乙合作24天可完成．（1）乙队单独完成这项工程需要多少天？（2）甲队施工一天，需付工程款3.5万元，乙队施工一天需付工程款2万元．若该工程计划在70天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成工程省钱？还是由甲乙两队全程合作完成该工程省钱？20．在四川汶川地震灾后重建中，某公司拟为灾区援建一所希望学校．公司经过调查了解：甲、乙两个工程队有能力承包建校工程，甲工程队单独完成建校工程的时间是乙工程队的1.5倍，甲、乙两队合作完成建校工程需要72天．（1）甲、乙两队单独完成建校工程各需多少天？（2）在施工过程中，该公司派一名技术人员在现场对施工质量进行全程监督，每天需要补助100元．若由甲工程队单独施工时平均每天的费用为0.8万元．现公司选择了乙工程队，要求其施工总费用不能超过甲工程队，则乙工程队单独施工时平均每天的费用最多为多少？。
冀教版八年级上册数学第12章 分式和分式方程 工程问题和行程问题(2)
B.6x0－60×（1＋x 25%）＝60 D.6x0－（1＋6205%）x＝60
3．(2019·广东广州)甲、乙二人做某种机械零件，已知每小时甲
比乙少做 8 个，甲做 120 个所用的时间与乙做 150 个所用的
时间相等，设甲每小时做 x 个零件，下列方程正确的是( D )
A.12x0＝x1－508 C.x1－208＝15x0
7.在我市“青山绿水”规划设计中，某社区计划对面积为 3 600 m2 的区域进行绿化，经投标由甲、乙两个工程队来完成，已知甲 队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的 2 倍， 如果两队各自独立完成面积为 600 m2 区域的绿化时，甲队比 乙队少用 6 天．
(1)求甲、乙两个工程队每天各能完成多少面积的绿化；
9．(2019·河北张家口模拟)甲、乙两人分别从距目的地 6 km 和
10 km 的两地同时出发，甲、乙的速度比是 3∶4，结果甲比
乙提前 20 分钟到达目的地，求甲、乙的速度．若设甲的速
度为 3x km/h，乙的速度为 4x km/h.则所列方程是( C )
A.36x＋20＝140x C.36x＋2600＝140x
后的速度为_1_.5_x_k_m_/h____．
(3)列：根据等量关系，列分式方程为1_8_0_－x__6_0_－__1_8_10_.－5_x_6_0_＝__46_00__． (4)解：解分式方程，得 x＝__6_0_____． (5)验：检验所求得的解是否为分式方程的解，并检验分式方程的
解是否符合问题的实际意义． 经检验：_x_＝_6_0____是原方程的解，且符合题意． (6)答：写出答案(不要忘记单位)． 答：原计划的行驶速度为_6_0_km__/h___．
冀教版八年级上
分式方程应用题之工程问题
1.某工程甲工程队单独做需40天完成，甲 乙工程队合作20天完成，求乙工程队单独 做需要多少天完成？
练习2 ：一件工作．已知甲、乙两人合做要3小时 可以完成．而甲单独做比乙单独做少用8小时，问乙 独做需要多少小时。
解：设乙独做需要x 小时。
1 1 1 x x8 3
解：设乙队如果单独施工1个月能完成总工程的
1 x
根据工程的实际进度，得:
11 1 1
3 6 2x
方程两边同乘以6x，得：
解得：
2x x 3 6x
x=1
检验：x＝1时6x≠0，x＝1是原方程的解。
由以上可知，若乙队单独工作一个月可以完成全部任务， 对比甲队1个月完成任务的 1 ，可知乙队施工速度快。
引例1、
有两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单施工
1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，
两队又共同工作了半个月，总工程全部完成。哪
个的施工队速度快？
1
分析：甲队1个月完成总工程的 3 ，设乙队
如果单独施工1个月能完成总工程的
1
1 x
，那么甲
队 程半的个21x月，完两成队总半工个程月的完6成总，工乙程队的完成16 总 21工。x
练习7：近几年高速公路建设有较大的发展，有力地 促进了经济建设．欲修建的某高速公路要招标．现 有甲、乙两个工程队，若甲、乙两队合作，24天可 以完成，费用为120万元；若甲单独做20天后剩下 的工程由乙做，还需40天才能完成，这样所需费用 110万元，问：
（1）甲、乙两队单独完成此项工程，各需多少天 ？
3
答：乙队的速度快。
随时小结 1
列分式方程解应用题的一般步骤
分式方程应用题---工程问题
分式方程应用题---工程问题一、教学目标（一）知识与技能（1）、使学生了解工程问题的结构特征，掌握工程问题的解题方法，会列分式方程解决比较简单的实际问题并检验根的合理性。
（2）、以工程问题为例，能将此类实际问题中的相等关系用分式方程表示，提高运用方程思想解决问题的能力。
（二）过程与方法（1）经历“实际问题情景——建立分式方程模型——求解——解释解的合理性”这种探索的过程，进一步提高学生提高学生提出问题、分析问题和解决问题的能力，增强学生学数学、用数学的意思（2）在教学过程中培养学生尝试、探究、猜测、合作交流等能力，渗透数学的应用意识。
（三）情感态度与价值观（1）、通过分式方程的实际生活应用，提高学生的思维水平，体会分式方程数学模型在解决实际问题中的重要作用。
（2）、在生活中培养学生乐于探究、合作学习的习惯，引导学生努力寻找解决问题的方法，体会数学的应用价值。
（3）、鼓励学生大胆表述自己的观点，客服胆小、怕羞、自卑等不良心理。
二、教学的重点、难点和关键：（1）、教学重点：掌握工作问题的结构特征和解答方法。
实际生活中相关的工程问题类的分式方程应用题的分析应用（2）教学难点：为什么将工作总量抽象为单位“1”，建立工作总量与工作效率的对应关系。
将实际问题中的等量关系用分式方程来表示并且求得结果（3）教学关键：掌握工程问题的基本数量关系，会迁移运用，组建新的认识结构。
三、教学方法情景——引导——探索——合作教学法四、教学过程。
1、创设情景，导入新课师：现在各地都在进行城镇规划建设，规划建设离不开工程，如果你是开发商该如何选用施工队进行施工今天我们来解决这一问题，（板书课题）设计意图：这样引入课题不以现成的知识结构为出发点，而是诱导启发创设问题情景，激发学生的求知欲，让他们在迫切要求下进行学习2尝试练习，探究解法师：出示一道复习题、只列方程不解、学生自主探究回答老师提出的问题？并讲解用什么等量关系？1、为了美化环境，我局对街道进行改造，现有一项工程，甲队单独完成要20天，乙队独完成要30天求：(1)现两队合作，几天可以完成?(2) 甲队先作3天，余下的有甲乙合作还需几天完成？(3)甲乙两队合作3天，余下的工程有乙去做还需几天完成？师：1题生： (1)设：现两队合作，X 天可以完成生： (2)设：甲队先作3天，余下的有甲乙合作还需X 天完成？203+（201+301）×X=1 师：根据基本数量关系式是生：甲的工作量+甲乙X 天的工作量=总工作量师：还有其他方法吗生： 203X ++30x =1 师：根据基本数量关系式是 生：甲的工作量+乙的工作量=总工作量师：3题生： (3)设：甲乙两队合作3天，余下的工程有乙去做还需X 天完成？生： 13020=+ 师：根据基本数量关系式是生：甲的工作量+乙的工作量=总工作量教师巡视，掌握学生预习情况；留心学生预习过程中需要解决的问题让学生回答后，师生互动总结：概括出基本数量关系：工作总量÷工作效率=工作时间。
河北省2024八年级数学上册第十二章分式方程的应用第1课时工程问题和行程问题课件新版冀教版
2
3
4
5
6
7
8
9
10
解：设该建筑集团原来每天铺设高架桥 x 米，则采用新的
铺设技术后每天铺设高架桥2 x 米，
−
依题意，得
＋
＝9，解得 x ＝300.
经检验， x ＝300是原方程的解，且符合题意.
答：该建筑集团原来每天铺设高架桥300米.
1
2
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知识点2
10
8. 如图是学习“分式方程的应用”时，老师板书的问题和两名同学所
列的方程.
一艘轮船在静水中的最大航速为50 km/h，它以最大航速沿江顺
流航行110 km所用的时间，与以最大航速沿江逆流航行90 km所用
的时间相等，江水的流速为多少？
甲：
＝
.
乙：
＋ ＝50×2.
+
−
展，某建筑集团承担一座高架桥的铺设任务，在合同期内
高效完成了任务，这是记者与该集团工程师的一段对话：
记者：“你们是怎样用9天完成4 800米长的高架桥铺设任
务的？”
工程师：“我们铺设600米后，采用新的铺设技术，这样
每天的铺设长度是原来的2倍.”
通过这段对话，请你求出该建筑集团原来每天铺设高架桥
的长度.
题意，下面所列方程正确的是( A )
A.
＝
+
B.
C.
＝
+
＝
−
D.
初中数学微课--分式--分式方程的实际问题——工程问题
分式方程的实际问题——工程问题
1．某市建设地铁2号线，有一项工程原计划由甲工程队独立完成需要20天．在甲工程队施工4天后，为了加快工程进度，又调来乙工程队与甲工程队共同施工，结果比原计划提前10天完成任务．求：乙工程队独立完成这项工程需要的时间．
2．为了备战体育中考，某学校新购进一批体育器材，需用九年级两个班级的学生整理体育器材，已知一班单独整理需要30分钟完成，如果一班与二班共同整理15分钟后，一班另有任务需要离开，剩余工作由二班单独整理15分钟才完成，求二班单独整理这批体育器材需要多少分钟？
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分式
分式应用题
工程问题
【培优练习】
1、甲计划用若干天完成某项工作，在甲独立工作两天后，乙加入此项工作，且甲、乙两人工效相同，结果提前两天完成任务．设甲计划完成此项工作的天数是x，则x的值是_____________．
2、甲乙两个工程队合作一项工程，两队合作2天后，由乙队单独做1天就完成了全部工程。
已知乙队单独做所需天数是甲队单独做所需天数的3
2
倍，问甲乙单独做各需多少天？
3、张桑公路有一隧道，由A队单独施工，预计200天贯通．为了公路早日通车，由A，B 两队同时施工，结果120天就贯通了．试问：如果由B队单独施工，需要多少天才能贯通？
4、某公司投资某个工程项目，现在甲、乙两个工程队有能力承包这个项目．公司调查发现：乙队单独完成工程的时间是甲队的2倍；甲、乙两队合作完成工程需要20天；甲队每天的工作费用为1000元、乙队每天的工作费用为550元．根据以上信息，从节约资金的角度考虑，公司应选择哪个工程队、应付工程队费用多少元？
5、由甲、乙两个工程队承包某校校园绿化工程，甲、乙两队单独完成这项工程所需时间比是3︰2，两队合做6天可以完成．
（1）求两队单独完成此项工程各需多少天?
（2）此项工程由甲、乙两队合做6天完成任务后，学校付给他们20000元报酬，若按各自完成的工程量分配这笔钱，问甲、乙两队各得到多少元?
6、某运输公司需要装运一批货物，由于机械设备没有到位，只好先用人工装运，6小时后完成一半，后来机械装运和人工同时进行，1小时完成了后一半，如果设单独采用机械装运x小时可以完成后一半任务，那么应满足的方程是什么？
7、在达成铁路复线工程中，某路段需要铺轨．先由甲工程队独做2天后，再由乙工程队独做3天刚好完成这项任务．已知乙工程队单独完成这项任务比甲工程队单独完成这项任务多用2天，求甲、乙工程队单独完成这项任务各需要多少天？
9、整理一批图书，如果由一个人单独做要花60小时．现先由一部分人用一小时整理，随后增加15人和他们一起又做了两小时，恰好完成整理工作．假设每个人的工作效率相同，那么先安排整理的人员有多少人？
10、甲、乙两个施工队共同完成某居民小区绿化改造工程，乙队先单独做2天后，再由两队合作10天就能完成全部工程．已知乙队单独完成此项工程所需天数是甲队单独完成此项工
程所需天数的45
，求甲、乙两个施工队单独完成此项工程各需多少天？
11、在新华南北路改造过程中，某路段工程招标时，工程指挥部接到甲、乙两个工程队的投标书．根据甲、乙两队的投标测算；若让甲队单独完成这项工程需要40天；若由乙队先做10天，剩下的工程由甲、乙两队合作20天可完成．
（1）若安排乙队单独完成这项工程需要多少天？
（2）为了缩短工期方便行人，若安排甲、乙两队共同完成这项工程需要多少天？
12、某一工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书．施工一天，需付甲工程队工程款1.2万元，乙工程队工程款0.5万元．工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，有如下方案：
（1）甲队单独完成这项工程刚好如期完成；
（2）乙队单独完成这项工程要比规定日期多用6天；
（3）若甲、乙两队合做3天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成．
试问：在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？请说明理由．
13、金泉街道改建工程指挥部，要对某路段工程进行招标，接到了甲、乙两个工程队的投标书．从投标书中得知：甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的2
；若由甲队先做10天，剩下的工程再由甲、乙两队合作30天可以完成．
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（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需要多少天？
（2）已知甲队每天的施工费用为0.84万元，乙队每天的施工费用为0.56万元，工程预算的施工费用为50万元．为缩短工期以减少对住户的影响，拟安排甲、乙两队合作完成这项工程，则工程预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断并说明理由．
14、某工程需在规定日期内完成，若由甲队去做，恰好如期完成；若由乙队去做，要超过规定日期三天完成．现由甲、乙两队合做两天，剩下的工程由乙独做，恰好在规定日期完成，问规定日期是多少天？
【课后练习】
1、Ａ、Ｂ两种机器人都被用来搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每小时多搬运20千克，A型机器人搬运1000千克所用时间与B型机器人搬运800千克所用时间相等，两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？
2、)某工程队承接了3000米的修路任务，在修好600米后，引进了新设备，工作效率是原来的2倍，一共用30天完成了任务，求引进新设备前平均每天修路多少米？
3、有一项工程，甲队工作了2天后，为了缩短工程时间，乙队也加入工作，两队合作了3天后完成了全部工程。
已知乙队单独做所需天数是甲队单独做所需天数的3倍，问甲乙单独做各需多少天？
4、某工程需在规定日期内完成，若由甲队去做，要超过规定日期两天完成；若由乙队去做，可提前三天完成．现由甲、乙两队合做一天，剩下的工程由甲单独做，恰好在规定日期完成，问规定日期是多少天？。