固体物理 晶体振动
固体物理学中的晶格振动和声子
固体物理学中的晶格振动和声子晶体是由原子、离子或分子组成的三维周期性结构，在固体物理学中起着重要的作用。
而晶体中的晶格振动是指晶体中原子的振动行为，它是固体物理学中的一个重要研究领域。
在这个领域中，声子是一种非常重要的概念，它可以用来描述晶体中各个原子的振动状态。
晶格振动是由于晶格结构的周期性而出现的。
当我们把晶体简化成最简单的一维线性链结构来研究，就可以更好地理解晶格振动的性质。
假设晶体中的原子按照一定的规则排列，形成一个周期性的结构。
当晶体中的原子发生微小的振动时，它会传递给相邻的原子，从而引起整个晶体的振动。
声子是晶体中的一种元激发，它描述了晶体中各个原子的振动状态，并且可以传递能量和动量。
在一维线性链结构中，我们可以通过人为设定边界条件来研究声子的行为。
假设链的两端被固定住，这意味着链中的第一个和最后一个原子不能移动。
在这种情况下，我们称之为固定边界条件。
根据固定边界条件，声子的振动模式可以分为两种类型，即长波动和短波动。
在长波动中，链中的每个原子振动的幅度大致相同，而在短波动中，链中的原子振动的幅度逐渐减小，直到最后一个原子完全不振动。
在晶体中，声子的振动模式可以更加复杂。
由于晶体的周期性结构，声子的能量和动量也有一定的限制。
根据晶体的对称性和周期性，声子的振动模式可以分为不同的类型，称之为晶格振动模式。
在固体物理学中，研究晶体中声子的行为是非常重要的，因为声子的能量影响了晶体的热传导性能，而声子的动量则影响了晶体的电导性能。
在研究晶体中的声子时，科学家们发现了一些有趣的现象。
例如，在一些特殊的晶体结构中，声子的能带结构会出现禁带。
这意味着在某些能量范围内，声子是无法存在的。
这种现象与电子在固体中的行为非常相似，因为晶体中的声子和电子都具有波粒二象性。
这种禁带结构对于理解固体的热传导性和光学性质都是非常重要的。
此外，声子还可以与其他凝聚态物理中的激发类似，例如声子与电子之间的相互作用。
固体物理学中的晶格振动
固体物理学中的晶格振动晶格振动是固体物理学中一个重要的研究课题，涉及到材料的结构、热力学性质以及电子传输等多个方面。
晶格振动指的是晶体中原子的振动行为，这种振动是由原子间的相互作用引起的，形成了固体的稳定结构。
晶格振动的研究与材料的热传导性能密切相关。
晶格结构中的原子通过弹性束缚力相互作用，形成了周期性的振动。
这些振动可以看作是一连串的微小位移，沿着晶格的方向传播。
振动的传播速度和强度影响了材料的导热性能。
热导率是材料导热性能的一个重要指标，与晶格振动密切相关。
因此，研究晶格振动对于理解热传导机制以及开发高效热电材料具有重要意义。
晶格振动还涉及到材料的光学性质。
尤其是在光电子学和半导体器件中，晶格振动的研究对于理解材料的光学响应和能带结构具有重要意义。
晶格振动可以通过散射实验来研究，如X射线散射和中子散射等技术。
借助于这些实验手段，研究人员可以探测晶格振动的频率、强度以及耦合效应。
晶格振动的理论基础是固体物理学中的晶格动力学理论。
根据这个理论，晶格振动可以视为离散的荷质点在周期势场中的运动。
通过数学方法可以得到晶格振动的频率和振动模式等信息。
晶格动力学理论也可以用来解释晶格振动的热力学性质，如热容和热膨胀等。
从实际研究的角度来看，现代固体物理学中涌现了许多晶格振动的相关研究领域。
一个重要的研究方向是声子学，它研究的是固体中的声子，即晶格振动的量子态。
声子学的实验技术既包括晶格振动的散射实验，也包括通过激光和超导器件等手段产生和探测声子的方法。
另一个研究领域是热声学，它研究的是晶格振动和热传导之间的相互作用。
热声学研究的对象是晶体中热激励所引起的声学振动，从而揭示了热力学和声学性质之间的联系。
此外，也有一些新颖的研究方向在固体的晶格振动领域获得了突破性的进展。
例如，超导态材料中的相场调控、拓扑绝缘体中的表面声子等。
这些研究不仅提供了新的理论认识，也为应用领域的发展提供了基础。
总的来说，固体物理学中的晶格振动是一个广泛而具有深度的研究领域。
固体物理学中的晶体结构与晶格振动
固体物理学中的晶体结构与晶格振动晶体是由周期性重复排列的原子、离子或分子构成的固体。
通过研究晶体的结构与振动，我们可以深入了解物质的性质和行为。
在固体物理学中，晶体结构与晶格振动是两个重要的研究方向。
晶体结构是描述晶体中原子、离子或分子的排列方式和空间组织的学科。
晶体结构的研究可以通过实验手段来确定，最常用的方法是X射线衍射。
X射线衍射可以通过测量衍射花样来确定晶体中的原子排列方式和空间组织。
通过这种方法，科学家们可以揭示出晶体的对称性、晶胞参数和晶格类型等信息。
晶体结构的研究不仅有助于我们深刻理解晶体的性质，还可以帮助我们设计新材料和改进现有材料的性能。
例如，通过调控晶体结构，可以改变材料的电导率、机械性能和光学性质等。
因此，晶体结构的研究对于材料科学和工程具有重要意义。
除了晶体结构，晶格振动也是固体物理学的重要研究方向之一。
晶格振动是指晶体中原子、离子或分子在平衡位置附近做小幅度运动的现象。
晶格振动可以分为声子振动和电子振动两种类型。
声子是晶体中描述振动的基本单位，可以看作是晶体中的一种输运粒子。
声子的能量和动量由晶格结构决定，其振动方式对应着不同的振动模式，如纵波和横波。
通过研究晶格振动，我们可以了解声子的能量传播、散射等现象，从而揭示出晶体的热传导、热膨胀等性质。
另一方面，电子振动也是固体中特有的振动现象。
晶体中的电子在晶格的周期性势场中做振动运动，形成了能带结构。
通过研究电子振动，我们可以了解材料的导电性、光学性质等，这对于电子器件设计和光电材料的开发具有重要意义。
晶体结构与晶格振动之间有着紧密的联系。
晶体的结构对晶格振动的模式和能量传播起着决定作用。
例如，晶体的对称性会影响声子的能带结构和振动模式的个数。
另一方面，晶格振动也会影响晶体的结构稳定性和相变行为。
因此，通过研究结构与振动之间的关系，可以深入理解晶体的物理性质以及相变现象。
在实际应用中，固体物理学中的晶体结构与晶格振动在各个领域都有重要的应用。
固体物理中的晶格振动
固体物理中的晶格振动在固体物理学中，晶格振动是研究材料内部结构和性质的重要手段。
晶体是由无数个原子组成的，而原子的振动不仅决定了晶体的力学性质，还直接关系到热学、电学等性质的表现。
本文将深入探讨固体物理中晶格振动的原理和应用。
晶体中的原子按照规则的空间排列形成晶格。
这种排列使得晶体具有高度有序、周期性和对称性。
而晶格振动则是指晶体中原子在其平衡位置附近的微小振动。
晶格振动可以分为转动模式和拉伸模式。
在转动模式中，原子围绕平衡位置进行微小的旋转运动；而在拉伸模式中，原子在平衡位置附近的距离发生微小变化。
这些振动是固体物质独特的振动特性，不同原子种类和晶格结构会导致其振动频率和能量发生变化。
固体物理学家通过研究晶格振动的性质，可以了解材料内部结构的细节。
振动频率和能量的变化可以揭示材料中的缺陷、杂质和界面等。
例如，固体材料中存在位错，即晶格中原子的错位。
位错会导致晶格振动的局部异常，通过分析其振动特征可以精确地确定位错的位置和性质。
同样地，晶格振动也可以用于研究材料中的相变、相互作用等物理过程。
晶格振动还与材料的热学性质密切相关。
根据热学理论，温度越高，晶格振动的振幅越大。
这就是为什么在高温下，晶体结构会变得不稳定，甚至融化。
晶格振动还可以解释材料的热膨胀性质。
当材料受热膨胀时，原子的振动增大，导致晶格的空间结构变化，进而导致材料体积的改变。
除了晶格振动对于材料内部结构的研究，它也在纳米技术和光电子学中扮演着重要角色。
在纳米领域，由于晶格振动的限制，材料的热传导性能和机械强度可能会发生显著改变。
这对于纳米材料的设计和应用具有重要意义。
而在光电子学中，晶格振动可以直接与光学性质相联系。
例如，在光利用设备中，声子振动可以散射光子，从而影响光的传播。
这种相互作用为光场调控和信息处理提供了新的思路。
晶格振动不仅对于固体物理研究有重要影响，还具有实际应用价值。
例如，晶格振动可以用于材料的热导率测量，这对于研发新型高导热材料和热管理技术至关重要。
《固体物理基础》晶格振动与晶体的热学性质
一、三维简单格子
二、三维复式格子
三、第一布里渊区
四、周期性边界条件
◇一个原胞内有P
个不同原子，则
有3P个不同的振
动模式，其中3支 声学波。
◇具有N个原胞的 晶体中共有3PN个
振动模式，其中
3N个声学波， 3N(P-1)个光学波。
四、周期性边界条件 总结
§ 3.4 声子
声子：晶格振动中格波的能量量子
二、一维单原子链的振动
格波
二、一维单原子链的振动
色散关系
二、一维单原子链的振动
色散关系
二、一维单原子链的振动
第一布里渊区
二、一维单原子链的振动
第一布里渊区
二、一维单原子链的振动
第一布里渊区
二、一维单原子链的振动
周期性边界条件
玻恩—卡曼边界条件
二、一维单原子链的振动
周期性边界条件
即q有N个独立的取值—晶格中的原胞数第一布
◇非弹性X射线散射、非弹性中子散射、可见光 的非弹性散射。
§ 3.4 声子
§ 3.4 声子
90K下钠晶体沿三个方向的色散关系
§ 3.5 晶格热容
一、晶格振动的平均能量
热力学中，固体定容热容：
根据经典理论，每一个自由度的平均能量是kBT， kBT/2为平均动能，kBT/2为平均势能，若固体有
N个原子，总平均能量： 取N=1摩尔原子数,摩尔热容是：
二、一维单原子链的振动
一维单原子链的振动
二、一维单原子链的振动
简谐近似下的运动方程
二、一维单Hale Waihona Puke 子链的振动简谐近似下的运动方程
在简谐近似下，原子的相互作用像一个弹 簧振子。一维原子链是一个耦合谐振子，各原 子的振动相互关联传播，形成格波。
固体物理3-1 晶体振动与热学性质
α , β = 1,2,3
l, l′ = 0,1,2, , N 1
μα(l)和μβ(l’)分别是第l和第l’个原子沿α和β方向的位移。
2U Cαβ (l, l′) = = Cβα (l′, l ) μα (l )μ β (l′) 0
力常数
第l个原子的运动方程：
1 E j = n j + hω j 2
n j = 0,1,2,L
当电子或光子与晶格振动相互作用时，总是以 hω j为 单元交换能量。 声子只是反映晶体原子集体运动状态的激发单元，它不 能脱离固体而单独存在，它并不是一种真实的粒子, 只 是一种准粒子。 声子的作用过程遵从能量守恒和准动量守恒。 由N个原子组成的一维单原子链，晶格振动的总能量为：
ω(q) ω+(0)
ω=c0q ω+
0
q
对于实际晶体， ω＋(0)在1013 ~ 1014Hz，对应于远 红外光范围。离子晶体中光学波的共振可引起对远红外 光在ω ≈ ω＋(0)附近的强烈吸收。
2. 声学波（acoustic branch）
μn 2m cos( 1 aq )e 2 = ν ( M m ) M 2 + m 2 + 2 Mm cos(aq ) n
N+1 1 2 n N N+2 N+n
μ
N +n
=μ
=1
n
Ae
i [ ωt ( N + n ) nq ]
= Ae
i ( ωt naq )
e
iNaq
ei 2π h ≡ 1) (
h =整数
2π ∴q = h Na
2π 在q轴上，每一个q的取值所占的空间为 Na
固体物理：第三章 晶格振动总结-
..
x m 2n1 x2n2 x2n 2 x2n1
x2n1 Aei t 2n1aq
2n+2
O A
x2n Bei t2naq
π
o
πq
2a
2a
2 {(m M ) m2 M 2 2mM cos 2aq}
mM
π q π
2a
2a
x x , 2n
2(n N )
三维晶格振动、声子
；
(3)设晶体由N个原子组成,共
有3N个频率为的振动。
E
3N
e kBT
1
1 2
德拜模型 (1)晶体视为连续介质,格波视 为弹性波； (2)有一支纵波两支横波；
(3)晶格振动频率在 0 ~ D 之间 (D为德拜频率)。
E
D 0
e kBT
1
1 2
(
)d
9N
3 D
2
爱因斯坦模型
CV
3 Nk Bf E
ห้องสมุดไป่ตู้
3. 什么叫简正振动模式？简正振动数目、格波数目 或格波振动模式数目是否是一回事？
• 为了使问题既简化又能抓住主要矛盾，在分析讨 论晶格振动时，将原子间互作用力的泰勒级数中 的非线形项忽略掉的近似称为简谐近似. 在简谐近
似下, 由N个原子构成的晶体的晶格振动, 可等效 成3N个独立的谐振子的振动. 每个谐振子的振动
长声学支格波可以看成连续波，晶体可以看成连续介质。
1.黄昆方程
离子晶体的长光学波
W
b11W
b12 E
P b21W b22E
(1) ---黄昆方程 ( 2)
(1)式代表振动方程，右边第一项
b11W
为准弹性恢复力，
固体物理 第三章 晶格振动
1 2 T = ∑q 2 i =1 i
3N •
3.1晶体中原子的微振动 3.1晶体中原子的微振动 声子 晶体振动势能U (qi ) 按 qi 的幂将势能在平衡位置附近展开为泰勒级数 ∂U 1 ∂ 2U U = U0 + ∑ ( ) 0 qi + ∑ ( ) 0 qi q j + 高阶项 ∂q i 2 ij ∂qi ∂q j i 其中 U 0 = 0 平衡位置处的势能为零势能点
xn = x N + n
又 : xn = Ae
i ( kna − ωt )
又 − π < k ≤ π s = − N + 1,− N + 2⋯⋯ N 共有N个取值 ： a a 2 2 2
=1 e ⇒ 2π ⋅ s， = N+ 2π ,− π + 2 2π ,..., π 有N种均匀分布的分立取值 种均匀分布的分立取值 a L a L a 2π L 间隔∆k = ，密度 ，第一布里渊区倒格点数N。 L 2π
, ( l =1, 2, ⋯ 3N )
Ql = Ql0 sin(ωl t + α 1 )
1 ε l = (Q l + ωl2Ql2 ) 2
• 2
能量量子化
1 εl = (nl + )hυl 2
3.2 一维布拉菲格子的晶格振动 一、简谐近似
du 1 d 2u u( x) ≈ u( x0 ) + ∆x + (∆x)2 2 dx r0 2 dx x
3.1晶体中原子的微振动 声子 3.1晶体中原子的微振动 晶格振动模式
质量加权坐标下： 质量加权坐标下：
•• 3N
↔
独立的谐振子
↔
声子
固体物理学中的晶格振动与声子理论
固体物理学中的晶格振动与声子理论晶体是由原子或分子按照一定的规则排列形成的三维空间周期性结构。
在晶体中，原子或分子不是静止不动的，而是以不同的方式振动。
这种振动称为晶格振动，它是固体物理学中的一个重要研究课题，与晶体的性质和行为密切相关。
晶格振动是晶体中原子或分子的协同振动。
晶格振动可以分为长波和短波两种类型。
长波振动是指原子或分子在晶格中以相对偏移的方式振动，而短波振动则是指原子或分子在晶格中以体积变化的方式进行振动。
晶格振动是通过声波传播的，因为声波是介质中粒子振动的传递方式。
声子理论是描述固体中晶格振动的重要理论框架。
根据声子理论，晶体中的振动可以看做是自由度离散的量子力学系统。
它引入了一个新的物理量，即声子，它代表了晶格中的元激发，类似于固体中的粒子。
声子具有能量和动量，并且可以在固体中传播和相互作用。
声子的能量与振动模式相关。
在晶体中，存在不同的振动模式，每种振动模式对应一个特定的波矢和频率。
通过声子理论，可以计算出不同振动模式的能量，进而获得晶体中的频谱信息。
频谱信息反映了晶体中的振动性质，可以用来解释和预测材料的热力学性质、电子结构等。
声子理论还可以解释和预测晶体的热传导性能。
晶体的热传导是通过声子的散射传递热量的，因此理解声子的传播性质对于研究和优化热传导材料至关重要。
通过声子理论，可以计算声子的群速度和散射率，进而预测材料的热导率。
这对于设计新的热障涂层、热电材料等具有重要意义。
声子理论也在纳米材料和低维材料中发挥着重要作用。
在这些材料中，表面效应和尺寸效应导致晶格振动的变化，进而影响材料的性质。
声子理论可以用来研究这种尺寸效应，并解释纳米材料的热力学性质、凝聚态物理行为等。
总之，固体物理学中的晶格振动与声子理论是研究晶体性质和行为的重要工具。
通过声子理论，可以揭示晶体中振动模式的能量、频率和传播性质，进而解释和预测材料的热力学性质、热传导性能等。
声子理论在材料科学和凝聚态物理研究中具有广泛的应用前景。
固体物理晶格振动
3. 量子描述
1 3N 2 H = pi i2Qi2 2 i =1
根据经典力学写出的哈密顿量, 可以直接用来作为量子力学分 析的出发点, 只要把 pi 和 Qi 看作量子力学中的正则共轭算符
3N 1 2 2 2 2 i Qi (Q1 , Q2 ,, Q3 N ) 2 Qi i =1 2 = E (Q1 , Q2 ,, Q3 N )
方程的一般解： un = Aj e
j
i j t naq j
=
1 Nm
Q q, t einaq
q
Q(q, t ) = Nm A j e
i j t
线性变换系数正交条件：
1 N
e
n
ina q q
= q , q
系统的总机械能化为(详细推导过程见后面附录部分)
处理小振动问题时往往选用 位移矢量u (t) 的 3N 个分量 n 与平衡位置的偏离为宗量 写成ui (i=1,2,…,3N)
N 个原子体系的势能函数可以在平衡位置附近展开成泰勒级 数
V 1 3 N 2V V = V0 ui 2 i , j =1 ui u j i =1 ui 0
q=
2π s Na
晶格振动波矢只能取分立的值, 即是量子化的. 为了保证un的单值性, 限制q在一个周期内取值
< q
N N , 0, 1, 2, , 1), ( 2), ( 3), 1, 2 2
N N <s 2 2
2π q= s Na 波矢q也只能取 N 个不同的值, 即
1 2 晶体链的动能： T = mun 2 n 1 2 晶体链的势能： U = un un 1 2 n 1 1 2 2 系统的总机械能： H = mun un un1 2 n 2 n
固体物理第三章 晶格振动与晶体热学性质
固体物理第三章晶格振动与晶体热学性质第三章晶格振动与晶体的热学性质晶格振动是描述原子在平衡位置附近的振动，由于晶体内原子间存在着相互作用力，各个原子的振动也不是孤立的，而是相互联系的，因此在晶体内形成各种模式的波。
只有当振动微弱时，原子间非谐的相互作用可以忽略，即在简谐近似下，这些模式才是独立的。
由于晶格的周期性条件，模式所取的能量值不是连续的而是分立的。
对于这些独立而又分立的振动模式，可以用一系列独立的简谐振子来描述。
和光子的情形相似，这些谐振子的能量量子称为声子。
这样晶格振动的总体就可以看成声子系综。
若原子间的非谐相互作用可以看作微扰项，则声子间发生能量交换，并且在相互作用过程中，某些频率的声子产生，某些频率的声子湮灭。
当晶格振动破坏了晶格的周期性，使电子在晶格中的运动受到散射而电阻增加，可以看作电子受到声子的碰撞，晶体中的光学性质也与晶格振动有密切关系，在很大程度上可以看作光子与声子的相互作用乃至强烈耦合。
晶格振动最早是用于研究晶体的热学性质，其对晶体的电学性质、光学性质、超导电性、磁性、结构相变等一系列物理问题都有相当重要的作用，是研究固体宏观性质和微观过程的重要基础。
ωη§3-1 简谐近似和简正坐标由原子受力和原子间距之间的关系可以看出，若离开平衡位置的距离在一定限度，原子受力和该距离成正比。
这时该振动可以看成谐振动.用n μϖ表示原子偏离平衡位置（格点）位移矢量，对于三维空间，描述N 个原子的位移矢量需要3N 个分量，表为)3,,2,1(N i i Λ=μ将体系的势函数在平衡位置附近作泰勒展开:高阶项+∑⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂+∑∂∂+===j i N j i j i i N i i V V V V μμμμμμ031,2031021)(第一项为平衡位置的势能，可取为零，第二项为平衡位置的力，等于零。
若忽略高阶项，因为势能仅和位移的平方成正比，即为简谐近似。
23121i N i i m T μ&∑==引入合适的正交变换，将动能和势能用所谓的简正坐标表示成仅含平方∑==N j j ij i i Q a m 31μ项而没有交叉项，即：由分析力学，基本形式的拉格朗日方程为：)32,1(,N i q Q T Q T dt d i i i Λ&==∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂其中)32,1(,1N i q f q i j N j j i Λϖϖ=∂∂⋅∑==μ朗日方程：)32,1(,0N i Q L Q L dt d i i Λ&==∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂则正则方程为：)3,2,1(,02N i Q Q i i i Λ&&==+ω其解为：)sin(δω+=t A Q i i 当考察某一个j Q 时，则：)sin(δωμ+=t A m a j i iji 晶体参与的振动，且它们的振动频率相同。
固态物理学中的晶格振动研究
固态物理学中的晶格振动研究在固态物理学领域中，晶格振动研究是一项十分重要的科学研究内容。
晶格振动是指晶体中原子、离子或分子由于热运动而引起的震动现象。
它不仅与材料的热传导、声学性质和热力学性质有关，而且在材料设计与应用中具有重要作用。
1. 晶格振动的基本概念和特点晶格振动是指晶体结构中原子或离子在平衡位置附近的微小偏离和迅速的相邻位置间的来回振动。
晶格振动具有以下几个基本特点：（1）固定频率：晶格振动的频率由晶体的结构和原子振动模式决定，与材料的热力学性质和结构有关。
（2）产生声学和光学模式：根据振动频率的不同，晶格振动可以划分为声学模式和光学模式。
声学模式主要是晶体中原子排列的相对位移导致的密度变化，而光学模式则与电磁辐射相互作用产生。
（3）与温度和材料性质有关：温度的变化会影响晶格振动的频率和振幅，从而影响材料的性质。
例如，声学模式与热导率有关，光学模式与折射率和吸收能力有关。
2. 晶格振动的研究方法（1）X射线散射：通过测量X射线在晶体中发生的散射现象，可以得到晶体中原子的位置和结构信息，从而研究晶体的振动特性。
（2）中子散射：中子散射技术可以提供更丰富的信息，例如晶格振动的能谱、动力学信息等。
中子散射还可以通过改变能量和散射角度等条件，研究不同振动模式的贡献。
（3）拉曼散射：拉曼散射可以通过散射光子的能量和频率变化来研究晶格振动的性质。
拉曼光谱可以提供关于晶体振动模式和晶体结构等重要信息。
（4）红外光谱：红外光谱可以对振动频率进行非常精确的测量，通过分析红外光的吸收和散射特性，可以获得晶格振动的相关信息。
3. 晶格振动在材料科学中的应用晶格振动的研究对于材料科学和工程具有重要意义，它在以下几个方面发挥着重要作用：（1）材料设计和合成：通过研究晶格振动的频率和模式，可以预测材料的稳定性和相变行为，为材料的设计和合成提供理论依据。
（2）热力学性质：晶格振动对材料的热传导性质有着直接影响。
通过研究晶格振动的热导率，可以优化材料的热导特性，提高材料的加工和应用性能。
电科固体物理第五章 晶格振动
Chapter 5晶 格 振 动在前面的章节中，我们把组成晶体的原子看作是在各自的平衡位置上，这样可使得整个晶体的势能最低。
实际上，晶体内的原子并不是在平衡位置上固定不动的，而是围绕其平衡位置振动。
由于晶体内原子之间存在着相互作用力，各个原子的振动必然是相互联系的，因此就在晶体中形成了各种模式的波。
这种波就称为晶格波，简称格波，格波就是晶格中原子振动在晶体中的传播。
晶格振动即格波对晶体的许多性质，诸如固体的比热、热膨胀、热传导、光吸收以及电子的运动状态等都有重要的影响。
本章主要讨论关于晶格振动的一些基本概念。
§5.1 两个概念5.1.1 简谐近似从经典力学的观点，晶格振动是一个典型的小振动问题。
凡是力学体系中自平衡位置发生的微小偏移时，该力学体系的运动都是小振动。
在许多情况下都把小振动当作简谐振动来处理。
1、简谐近似在图5.1.1中，黑色曲线表示的是两个原子组成体系的势能随原子间距的变化曲线，蓝色曲线是一弹簧振子的势能随位移变化的情况。
从图中可以看出，当原子偏离平衡位置很小时，即偏移量δ与两原子平衡间距0r 相比是一小量(0r <<δ)时，黑色曲线和蓝色曲线在0r 附近重合。
说明此时原子的振动可以近似地看作简谐振动。
如果原子偏离平衡位置稍大一些，原子的振动就不能再近似地看作简谐振动了。
下面我们进一步从势能变化的角度来考察原子的小振动情形。
对于两个原子组成的体系，平衡距离为0r 。
设原子在其平衡位置作小振动，在某一时刻与平衡位置的偏移量为δ。
则此时系统的势能可以按泰勒级数展开：L L +⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂+⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂+=+33322200000!3121)()(δδδδr r r r U r U r U r U r U ， (5.1.1)在上式右端，第一项是平衡位置处的势能，是一个常数；第二项为零（因为00=⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂r r U ）。
若是只保留到二次项，略去二次以上的高次项，则式(5-1-1)化为22200021)()(δδr rU r U r U ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂+≈+， (5.1.2) 或者 22200021)()(δδr r U r U r U ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂=−+， (5.1.2)′ 上式表示，在略去高次项后，系统势能的变化量同偏移量的平方成正比。
固体物理：第三章 晶格振动和晶体的热学性质
2 sin aq
m
2
2π / a π / a
0
π/ a
2π / a
是波矢q的周期性函数,且(-q)= (q)。
m
2 sin aq
m
2
2π a
π a
o
πa
2π a
当 q , q 2π s ( s为 整 数), a
(q) (q)
且
i t na ( q 2π s )
xn (q) Ae
x2n Beit2naq
其他原子位移可按下列原则得出:
(1)同种原子周围情况都相同，其振幅相同；原子不同，其振幅 不同。
(2)相隔一个晶格常数2a的同种原子，相位差为2aq。
x2n1 Aeit 2n1aq
x Be 2n2
[t ( 2n2 )aq]
..
x M 2n x2n1 x2n1 2 x2n
2
2
2
2
波矢 q
2π Na
s
也只能取N个不同的值。
晶格振动波矢只能取分立的值
波矢的数目(个数)=晶体原胞的数目
6. 长波极限:
q 2π 0
2 sin aq 2 aq a q
m2
m2
m
Vp q
vp a m
弹性波
m
2π a
π a
o
πa
Vp q
vp a m
由连续介质波
弹性模量
x
格波 不能在晶体中传播，实际上此时它是一种驻波。因为 此时相邻原子的振动位相相反，
模型 运动方程
试探解
色散关系
波矢q范围 B--K条件
波矢q取值
一维无限长原子链，m，a，
n-2 n-1 n mm
固体物理学3晶格振动
第三章 晶格振动与晶体热力学性质3-1 一维晶格的振动一、 一维单原子链(简单格子)的振动 1. 振动方程及其解(1)模型：一维无限长的单原子链，原子间距(晶格常量)为a ，原子质量为m 。
用xn 和xk 分别表示序号为n 和k 的原子在t 时刻偏离平衡位置的位移，用x nk = x n -x k 表示在t 时刻第n 个和第k 个原子的相对位移。
(2)振动方程和解平衡时，第k 个原子与第n 个原子相距0r a k n =-)(r u 为两个原子间的互作用势能，平衡时为)(0r u ，t 时刻为)()(0r r u r u δ+=)()(0r r u r u δ+=⋅⋅⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=3332220)(d d 61)(d d 21d d )(000r r u r r u r r u r u r r r δδδ ⋅⋅⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛+=3332220000d d 61d d 21d d )()(nk r nk r nk r x r u x r u x r u r u r u 第 n 个与第 k 个原子间的相互作用力:⋅⋅⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=2332200d d 21d d d d nk r nk r nkx r u x r u r u f 振动很微弱时，势能展开式中忽略掉（δr ）二次方以上的高次项---简谐近似。
(忽略掉作用力中非线性项的近似---简谐近似。
) 得: nk nk r nkx x r u f β-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=022d d 022d d r r u ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=β()k n kn x x f --=∑β原子的振动方程: ()k n knx x mx--=∑β..只考虑最近邻原子间的相互作用，且恢复力系数相等：()()11..+-----=n n n n x x x x n m x ββ ()11..2+----=n n n x x x nm x β给出试探解：()naq t i n A x --=ωe ])1([1e aq n t i n A x +--+=ω原子都以同一频率ω，同一振幅A 振动,其中naq 表示第n 个原子在t=0时刻的振动相位，相邻原子间的位相差为aq 。
固体物理学中的晶格振动
固体物理学中的晶格振动在固体物理学中，晶格振动是一个重要而有趣的研究领域。
晶格振动指的是晶体中原子或离子在其平衡位置附近发生的微小振动。
这种振动是由于原子或离子之间的相互作用而产生的。
晶格振动广泛应用于各种领域，如材料科学、固体力学和纳米技术等。
本文将介绍晶格振动的基本原理和应用。
晶格振动的基本原理是基于区域平衡理论。
根据这个理论，晶体中的每个原子或离子都处于一个平衡位置，附近的原子或离子对其施加一个平衡力。
当原子或离子受到微小扰动时，平衡力会使其回到平衡位置，并且会引起周围原子或离子的扰动。
这种扰动会在整个晶体中传播，形成晶格振动。
晶格振动有两种基本类型：声子振动和光子振动。
声子振动是通过晶体中的弹性介质传播的机械波。
它的频率和波矢由晶体的结构确定。
光子振动是通过晶体中的电磁介质传播的电磁波。
它的频率和波矢由晶体的电子结构和禁带结构决定。
晶格振动在材料科学中有广泛的应用。
例如，在合金的研究中，了解晶格振动对合金的力学性能和热学性能的影响非常重要。
通过研究晶格振动，可以预测合金的热膨胀性质、热导率和声速等。
这对于材料的设计和制备具有重要意义。
此外，晶格振动还在固体力学中起着重要作用。
晶格振动对晶体的弹性性能和声学性能有直接影响。
通过研究晶格振动，可以预测晶体的弹性恢复和声学传播特性，这对于材料的强度和稳定性分析非常重要。
晶格振动在纳米技术中也发挥了关键作用。
由于纳米材料的尺寸非常小，其表面与体积之比很大，晶格振动对它们的性质有显著影响。
例如，纳米材料的热导率会因为晶格振动的限制而降低。
这一特性被广泛应用于热电材料和热障涂层等领域。
尽管晶格振动在许多领域中都起着关键作用，但要准确地描述和理解它仍然具有挑战性。
由于晶格振动是一个多粒子系统，需要考虑到多个原子或离子之间的相互作用和非线性效应。
因此，研究晶格振动需要使用复杂的数学模型和计算方法。
总之，晶格振动在固体物理学中是一个重要的研究领域。
通过研究晶格振动，我们可以更好地理解晶体的性质和行为，并在材料科学、固体力学和纳米技术等领域中应用这一知识。
固态物理中的晶格振动
固态物理中的晶格振动固态物理是研究固体物质性质和现象的学科，晶体是其中最重要的一类。
晶体的结构是由周期性排列的原子或分子构成的，它们按照特定的规则排列在一起，形成具有明显对称性和周期性的空间结构，称为晶体结构。
晶体的性质和现象与其晶体结构密切相关，晶体也是固态物理研究的重要对象。
晶格振动是固体物理中的一个重要课题，它是指晶体中原子或分子围绕其平衡位置做小幅度的震动，并形成一定频率和振型的振动现象。
晶格振动在各种物理现象中都发挥着重要作用，如热学、光学、声学、电学等领域都与晶格振动有关。
晶格振动的频率称为晶格振动频率或声子频率，是由晶格结构和相互作用决定的。
每个晶体都有一些特征频率，这些频率决定了晶体的热学性质、电学性质、光学性质等。
晶格振动频率的测定对于研究晶体的物理性质和准确了解物质结构十分重要。
晶格振动的形式由声子表示。
声子也是晶格内的元激发，具有粒子的属性。
每种晶体结构中，声子的种类和数目是固定的，且不会增加或减少。
在固体中，声子具有色散关系。
色散关系指的是声子频率和它的晶体动量（波矢）之间的关系。
通俗的说法，声子具有动量。
在一定的晶体内，声子的频率和波矢间具有一定的关系，这个关系构成了声子的色散关系。
声子的色散关系通常用图像表示，称为声子色散谱或声子分支。
在固体物理中，声子的色散关系的研究成为了一门学科，被称为声子学。
晶格振动的理论模型是谐振子模型。
谐振子是一种振动系统，它具有简谐运动的特征，即系统的势能随振动量的增加而增加，虽然振动幅度增大，但是周期不发生变化。
固体中的晶格振动可以通过谐振子模型来简化计算。
谐振子模型的基本假设是，原子的振动是在球形势场中运动的，势场的形状不变，随着原子振动而移动。
不同原子之间的相互作用可以通过弹性常数和晶格常数来表示，这个模型为理解和计算晶格振动提供了很好的基础。
在实际中，固体中的原子间势场不是完全球形的，因此谐振子模型只能作为近似模型来计算晶格振动。
固体物理3-2 晶体振动与热学性质
hω0 1 ≈ 3Nk B 2 k BT hω0 hω0 1+ 1 + 2k BT 2k BT
= 3Nk B
在低温下：T << ΘE 即
2
k BT
hω0
hω 0 CV = 3Nk B 2 k BT hω 0 exp 1 k BT 2 hω 0 hω 0 ≈ 3Nk B exp k BT k BT
1 β= k BT
1 E j = hω j + 2
∑ n jhω j exp ( n j β hω j ) n
j
1 1 = hω j ln 2 β 1 exp( β h ω j ) hω 1 j = hω + 2 j exp( β hω ) 1
j
1 = hω l n ∑ exp n β h ω j j 2 j β nj
dx
∫
∞
0
ξ e
m aξ
Γ ( m + 1) m! dξ = = m +1 m +1 a a
T ∴ CV = 9 Nk B ΘD
4
3
4! ∑ n n5 n =1
3
∞
1 π4 ∑ n 4 = 90 n =1
∞
12π Nk B T CV = ∝T3 5 ΘD
这表明，Debye模型可以很好地解释在很低温度下 晶格热容CV ∝ T3的实验结果。 由此可见，用Debye模型来解释晶格热容的实验结果 是相当成功的，尤其是在低温下，温度越低，Debye近似 就越好。
当T→0时，CV →0，与实验结果定性符合。 但实验结果表明， T→0 ， CV ∝T3; 根据Einstein模型，T→0，
hω 0 exp k BT
固体物理基础第3章 晶格振动理论
第3章 晶格振动理论
图3.3 一维单原子链的玻恩-卡曼周期性边界条件
17
第3章 晶格振动理论 下面对式(3.5)所表示的一维单原子链的色散关系做一些
表面上看来，对于一个波数q应该对应±ω(q)两个频率， 而一组(ω(q)，q)确定一个格波，所以总共应该有2N个格波。 但是，由于ω是q的偶函数，只需要取式(3.5)的正根就足够 了，因为q和-ω(q)确定的解与由-q和ω(q)=ω(-q) 确定的解 是同一个解，反映晶格原子的振动情况也就完全相同。因此 式(3.5)可进一步写成：
别表示 q π (对应波长λ=4a)和 q 5 π(对应波长 4 a
2a
2a
5
11
第3章 晶格振动理论 的两个波。对于连续波而言，这是两个完全不同的波，然而， 由于晶格的周期性，这两个波反映一维单原子链中原子的振 动情况却是完全相同的，这就是为什么要把波数q的取值限 定在一个周期内，也就是第一布里渊区的原因。
把这些连续量带入方程(3.1)整理后即可得到：
m 2 ( t2 x ,t) 2 x (x 2 ,t)a 2 2 ( t2 x ,t)0 2 2 x (x 2 ,t)
(3.3)
7
第3章 晶格振动理论
这是数理方程中的波动方程，其中
2 0
程的特解为
a2 m
为波速度，该方
(x,t)Aei(tqx)
2
第3章 晶格振动理论 μn+2，…表示，第n个原子的实际位移为Xn=na+μn，如图 3.1(b)所示。尽管晶格中任一原子都会受到其他(n-1)个原子 的作用，但是这种作用会随着原子间距的增加而快速减小， 这是比较容易理解的，因此，为了使问题进一步简化，可以 进行近邻作用近似，即假定晶格中任一原子只受到其最近邻 原子的作用。这样的话，由于晶格中相邻原子间的相互作用 (化学键)都相同，就可以把一维单原子链想象成N个原子由 完全相同的弹簧连接的情况，如图3.1(c)所示，于是对于第n 个原子，只受到前后两个原子的作用fn-1，fn+1，它们与原子 的相对位移成正比，并且具有相同的弹性系数(或者叫回复 力系数)β。
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3.2 晶格振动的量子化－声子
参考黄昆书3.1节（p79-82）及p88-92Kittel 书 4.3和4.4 两节一. 简谐近似和简正坐标
二. 晶格振动的量子化
三. 声子
一.简谐近似和简正坐标：
从经典力学的观点看，晶格振动是一个典型的小振动问题，由于质点间的相互作用，多自由度体系的振动使用拉格朗日方程处理比上节中使用的牛顿方程要简单明了。
本节采用简正坐标重新处理。
（见黄昆书p79-82）N 个原子组成的晶体，平衡位置为
，偏离平衡位置的位移矢量为：'()()
n n n R t R u t =+n R ()
n u t 所以原子的位置表示为：
晶体中原子间的耦合振动，在简谐近似下也可以用3nN 个简正坐标下的谐振子运动来描述。
由于简正坐标Q
是各原子位移量的某种线性组合，所以一个简正
i
振动并不是表示一个原子的振动，而是整个晶体所有原子都参与的运动。
由简正坐标所代表的体系中所有原子一起参与的共同振动常被称作晶体的一个振动模。
N个原胞，每个原胞n个原子的晶体总共有3nN种振动模。
或说可以用3nN种简谐振子的运动来表述。
引入简正坐标后，我们可以方便地转入用量子力学的观点来理解晶格振动问题，这才是最为重要的。
显然，一旦找到了简正坐标，就可以直接过渡到量子理论。
每一个简正坐标，对应一个谐振子方程，波函数是以简正坐标为宗量的谐振子波函数，其能量本征值是量子化的，所以把量子力学的基本结论应用到晶格振动上才揭示出了晶格振动的最基本的特征。
从量子力学的观点看，表征原子集体运动的简谐振子的能量是量子化的，每个振动模式能量的最小单位被称为声子（Phonon ）。
这是晶格振动量子理论最重要的结论。
在经典理论中，势能函数是连续的，量子理论修正了这个错误，而保留了经典理论中原子振动要用集体运动方式描述的观点，因而按经典力学求出的色散关系是正确的，量子理论并没有改变其结论，只是对各模式振幅的取值做了量子化的规定。
i ω
声子概念引入后给我们处理具有强相互作用的原子集体－－晶体带来了极大方便，而且生动地反映了晶格振动能量量子化的特点。
这种高度抽象化出概念是固体物理的一大特征，他们被称作元激发（Elementary excitation）
元激发方法就是把有强相互作用的多粒子体系化成准粒子的气体问题来处理的一种方法,元激发正是针对着我们各种不同物理问题提出来得一类准粒子.
固体物理中的元激发很多,如能带中的电子、空穴、等离激元、极化子、磁振子、声子等. 现代固体理论都是建立在这套处理方法之上的
声子是固体中重要的元激发。
三. 声子：
声子是晶格振动的能量量子。
声子具有能量，也具有准动量，它的行为类似于电子或光子，具有粒子的性质。
但声子与电子或光子是有本质区别的，声子只是反映晶体原子集体运动状态的激发单元，它不能脱离固体而单独存在，它并不是一种真实的粒子。
我们将这种具有粒子性质，但又不是真实物理实体的概念称为准粒子。
所以，声子是一种准粒子。
而光子是一种真实粒子，它可以在真空中存在。
一种格波即一种振动模式称为一种声子，对于由N个原胞（每个原胞有n个原子）组成的三维晶体，有3nN 种格波，即有3nN种声子。
当一种振动模式处于其能量本征态时，称这
种振动模有n
i 个声子。
i
ω
i
q
i
ω
◆引入声子概念后，对于由强相互作用的原子的集体运动状态——晶格振动的每一个格波，便可看作是由数目为能量为的理想声子组成，而整个系统则是由众多声子组成的声子气体。
引入声子的概念不仅能生动地反映出晶格振动能量量子化的特点，而且在处理与晶格振动有关的问题时，可以更加方便和形象。
例如：处理晶格振动对电子的散射时，便可以当作电子与声子的碰撞来处理。
声子的能量是，动量是。
又例如：热传导可以看成是声子的扩散；热阻是声子被散射等等。
使许多复杂的物理问题变得如此形象和便于处理是引入声子概念的最大好处。
i n i ω i
ω q
◆
但它的动量不是真实动量，因为当波矢增加一个倒格矢量时，不会引起声子频率和原子位移的改变。
()()
h q q G ωω=+即从物理上看，他们是等价的，这是晶体结构周期性的反映。
但在处理声子同声子、声子同其它粒子之间的相互作用时，
又具有一定的动量性质，所以叫做“准动量”。
q
思考题:
1.何谓声子？试将声子的性质与光子做一比较，在比较中加
深对声子的理解。
2.在一定温度下，一个光学模式的声子数目多，还是一个声
学模式的声子数目多？
3.同一个振动模式，温度低的时候声子数目多，还是温度高
的时候声子数目多？
4. 从晶体Si 晶格振动色散关系的实测曲线（黄昆书p102）判
断，是光学支的态密度大，还是声学支的态密度大？
5. 声子的数目是否守恒？高温时，频率为ω的格波声子数目
与温度成何关系？
6. 晶体在绝对零度时，还有声子（或问还有格波）存在吗？。