九年级中考数学高频考点专题突破与提升策略(二次函数五大必考考点专题练习)

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2023年九年级中考数学高频考点提升练习--二次函数与动态几何

2023年九年级中考数学高频考点提升练习--二次函数与动态几何1．已知，m,n是一元二次方程x2+4x+3=0的两个实数根，且|m|<|n|，抛物线y=x2+ bx+c的图象经过点A(m,0)，B(0,n)，如图所示．（1）求这个抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D，试求出点C，D 的坐标，并判断△BCD的形状；（3）点P是直线BC上的一个动点（点P不与点B和点C重合），过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，点Q在直线BC上，距离点P为√2个单位长度，设点P的横坐标为t，△PMQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式．2．已知x轴上有点A（1，0），点B在y轴上，点C（m，0）为x轴上一动点且m＜﹣1，连接AB，BC，tan∠ABO= 12，以线段BC为直径作∠M交直线AB于点D，过点B作直线l∠AC，过A，B，C三点的抛物线为y=ax2+bx+c，直线l与抛物线和∠M的另一个交点分别是E，F．（1）求B点坐标；（2）用含m的式子表示抛物线的对称轴；（3）线段EF的长是否为定值？如果是，求出EF的长；如果不是，说明理由．（4）是否存在点C（m，0），使得BD= 12AB若存在，求出此时m的值；若不存在，说明理由．3．将一个直角三角形纸片ABC放置在平面直角坐标系中，∠ACB=90°，点A(4，0)，点C(0，2)，点O(0，0)，点B在x轴负半轴，点E在线段AO上以每秒2个单位长度的速度从A向点O运动，过点E作直线EF∠x轴，交线段AC于点F，设运动时间为t秒．将∠AEF沿EF翻折，使点A 落在x轴上点D处，得到∠DEF．（1）如图①，连接DC，当∠CDF=90°时，求点D的坐标．（2）①如图②，若折叠后∠DEF与∠ABC重叠部分为四边形，DF与边BC相交于点M，求点M的坐标（用含t的代数式表示），并直接写出t的取值范围；②∠DEF与∠ABC重叠部分的面积为S，当12≤t≤2时，求S的取值范围（直接写当出结果即可）．4．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）.抛物线y=ax2+bx过A、C两点.（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）动点P从点A出发．沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒.过点P作PE∠AB交AC于点E①过点E作EF∠AD于点F，交抛物线于点G.当t为何值时，线段EG最长?②连接EQ．在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得∠CEQ是等腰三角形?请直接写出相应的t值.5．在平面直角坐标系中，抛物线y= −√34x 2+√32x+2√3与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点为D，对称轴与x轴交于点Q.（1）如图1，连接AC，BC.若点P为直线BC上方抛物线上一动点，过点P作PE∠y轴交BC于点E，作PF∠BC于点F，过点B作BG∠AC交y轴于点G.点H，K分别在对称轴和y轴上运动，连接PH，HK.当∠PEF的周长最大时，求PH+HK+ √32KG的最小值及点H的坐标.（2）如图2，将抛物线沿射线AC方向平移，当抛物线经过原点O时停止平移，此时抛物线顶点记为D/，N为直线DQ上一点，连接点D/，C，N，∠D/CN能否构成等腰三角形？若能，直接写出满足条件的点N的坐标；若不能，请说明理由.6．已知抛物线G：y1＝mx2﹣（3m﹣3）x+2m﹣3，直线h：y2＝mx+3﹣2m，其中m≠0．（1）当m＝1时，求抛物线G与直线h交点的坐标；（2）求证：抛物线G与直线h必有一个交点A在坐标轴上；（3）在（2）的结论下，解决下列问题：①无论m怎样变化，求抛物线G一定经过的点坐标；②将抛物线G关于原点对称得到的图象记为抛物线G′，试结合图象探究：若在抛物线G与直线h，抛物线G′与直线h均相交，在所有交点的横坐标中，点A横坐标既不是最大值，也不是最小值，求此时抛物线G的对称轴的取值范围．7．如图，在平面直角坐标系中，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+3x+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，8），直线l经过原点O，与抛物线的一个交点为D（6，8）．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴与直线l交于点E，点T为x轴上方的抛物线上的一个动点．①当∠TEC=∠TEO时，求点T的坐标；②直线BT与y轴交于点P，与直线l交于点Q，当OP=OQ时，求点P的坐标．8．如图，在Rt△ABC，∠ACB=90∘，AC=8，BC=6,点D是边AB的中点，动点P从点B 出发以每秒4个单位长度的速度向终点A运动，当P与点D不重合时，以PD为边构造Rt△PDQ，使∠PDQ=∠A，∠DPQ=90∘，且点Q与点C在直线AB同侧，设点P的运动时间为t 秒（t>0），△PDQ与△ABC重叠部分图形面积为S．（1）用含t的代数式表示线段PD的长；（2）当点Q落在边BC上时，求t的值；（3）当△PDQ与△ABC重叠部分图形为四边形时，求S与t的函数关系式．（4）当点Q落在△ABC内部或边上时，直接写出点Q与△ABC的顶点的连线平分△ABC面积时t的值．9．如果一个三角形有一条边上的高等于这条边的一半，那么我们把这个三角形叫做“半高三角形”．这条高称为“半高”．如图1，对于∠ABC，BC边上的高AD等于BC的一半，△ABC就是“半高三角形”．此时，称∠ABC是“BC边半高三角形”，AD是“BC边半高”；如图2，对于∠EFG，EF边上的高GH等于EF的一半，∠EFG就是半高三角形，此时，称∠EFG是EF边半高三角形，CH是“EF 边半高”．（1）在Rt∠ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，若∠ABC是“BC边半高三角形”，则AC＝cm；（2）若一个三角形既是等腰三角形又是半高三角形，且“半高”长为2cm，则该等腰三角形底边长的所有可能值为．（3）如图3，平面直角坐标系内，直线y＝x+2与抛物线y＝x2交于R，S两点，点P是抛物线y ＝x2.上的一个动点，点Q是坐标系内一点，且使得∠RSQ为“RS边半高三角形”当点P介于抛物线上点R与点S之间，且PQ取得最小值时，求点P的坐标．10．如图1，二次函数y=a(x+3)(x−4)的图象交x轴于点A，交y轴于点B(0，−2)，点P为x轴上一动点．（1）求二次函数y=a(x+3)(x−4)的表达式并化成一般形式；（2）过点P作PQ⊥x轴交线段AB于点Q，交抛物线于点C，连接AC．当OP=1时，求△ACQ的面积；（3）如图2，将线段PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PD．当点D在x轴下方的抛物线上时，求点D的坐标．11．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=ax2−2ax−3a交x轴的负半轴于点A，交x轴的正半轴点B，交y轴的正半轴于点C，且OB＝2OC．（1）求a的值；（2）如图1，点D、P分别在一、三象限的抛物线上，其中点P的横坐标为t，连接BP，交y轴于点E，连接CD、DE，设∠CDE的面积为s，若4s+3t=0，求点D的坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，射线AE与射线FB交于点G，连接AP，若∠AGB＝2∠APB，求点P的坐标．12．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y = ax2+ bx + c经过A、B、C三点，已知点A（-3，0），B（0，3），C（1，0）.（1）求此抛物线的解析式；（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点，（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为F，交直线AB于点E，作PD∠AB于点D.动点P在什么位置时，∠PDE的周长最大，求出此时P 点的坐标；（3）在直线x = -2上是否存在点M，使得∠MAC = 2∠MCA，若存在，求出M点坐标.若不存在，说明理由.13．综合与探究：在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx−7(a≠0)经过x轴上的点A(1，0)和点B及y轴上的点C，经过B、C两点的直线为y=x+n．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线对称轴上存在一点H，连接AH、CH，则|AH−CH|的最大值是；（3）点P从A出发，在线段AB上以每秒1个单位的速度向B运动，同时点E从B出发，在线段BC上以每秒2个单位的速度向C运动．设运动时间为t秒且（0<t<4），求t为何值时，△PBE的面积最大并求出最大值；（4）过点A作AM⊥BC于点M，过抛物线上一动点N（不与点B、C重合）作直线AM的平行线交直线BC于点Q．若点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点N的横坐标．14．在平面直角坐标系xOy中，把与x轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”．如图，抛物线L1：y=12x2−32x−2的顶点为D，交x轴于点A、B（点A在点B左侧），交y轴于点C．抛物线L2与L1是“共根抛物线”，其顶点为P．（1）若抛物线L2经过点（2，﹣12），求L2对应的函数表达式；（2）当BP﹣CP的值最大时，求点P的坐标；（3）设点Q是抛物线L1上的一个动点，且位于其对称轴的右侧．若∠DPQ与∠ABC相似，求其“共根抛物线”L2的顶点P的坐标．15．综合与探究在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+2的图象与x轴交于A(−3,0)，B(1,0)两点，与y轴交于点C．P（1）求抛物线与直线AC的函数解析式；（2）若点P是直线AC上方抛物线上的一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线AC于点D，求线段PD的最大值．（3）点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．16．如图甲，在平面直角坐标系中，A、B的坐标分别为（4，0）、（0，3），抛物线y= 34x2+bx+c经过点B，且对称轴是直线x=﹣5 2．（1）求抛物线对应的函数解析式；（2）将图甲中∠ABO沿x轴向左平移到∠DCE（如图乙），当四边形ABCD是菱形时，请说明点C和点D都在该抛物线上；（3）在（2）中，若点M是抛物线上的一个动点（点M不与点C、D重合），经过点M作MN∠y轴交直线CD于N，设点M的横坐标为t，MN的长度为l，求l与t之间的函数解析式，并求当t为何值时，以M、N、C、E为顶点的四边形是平行四边形．（参考公式：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣b2a，4ac−b24a），对称轴是直线x=﹣b2a．）答案解析部分1．【答案】（1）解：∵x2+4x+3=0，∴x1=−1，x2=−3，∵m，n是一元二次方程x2+4x+3=0的两个实数根，且|m|<|n|，∴m=−1，n=−3，∵抛物线y=x2+bx+c的图象经过点A(m,0)，B(0,n)，∴{1−b+c=0c=−3，∴{b=−2c=−3，∴抛物线解析式为y=x2−2x−3，（2）解：令y=0，则x2−2x−3=0，∴x1=−1，x2=3，∴C(3,0)，∵y=x2−2x−3=(x−1)2−4，∴顶点坐标D(1,−4)，过点D作DE⊥y轴，∵OB=OC=3，∴BE=DE=1，∴△BOC和△BED都是等腰直角三角形，∴∠OBC=∠DBE=45°，∴∠CBD=90°，∴△BCD是直角三角形；（3）解：如图，∵B(0,−3)，C(3,0)，∴直线BC解析式为y=x−3，∵点P的横坐标为t，PM⊥x轴，∴点M的横坐标为t，∵点P在直线BC上，点M在抛物线上，∴P(t,t−3)，M(t,t2−2t−3)，过点Q作QF⊥PM，∴△PQF是等腰直角三角形，∵PQ=√2，∴QF=1，当点P在点M上方时，即0<t<3时，PM=t−3−(t2−2t−3)=−t2+3t，∴S=12PM×QF=12(−t2−3t)=−12t2+32t，如图3，当点P在点M下方时，即t<0或t>3时，PM=t2−2t−3−(t−3)，∴S=12PM×QF=12(t2−3t)=12t2−32t．综上所述：当点P在点M上方时，即0<t<3时，S=−12t2+32t，当点P在点M下方时，即t<0或t>3时，S=12t2−32t．2．【答案】（1）解：∵tan∠ABO= OAOB=12，且A（1，0），∴OB=2，即：点B的坐标为（0，2）（2）解：点C（m，0），A（1，0），B（0，2）在抛物线y=ax2+bx+c上，∴{a+b+c=0c=2am2+bm+c=0解之得：b=﹣2(m+1)m，a= 2m，∴x=﹣b2a= m+12．即：抛物线的对称轴为x= m+1 2（3）解：∵点E在抛物线y=ax2+bx+c上，又在直线y=2上，∴2=ax2+bx+2∴x1=0，x2=﹣b a∴E（﹣ba，2），又∵直线l∠x轴，BC是∠M的直径，∴BF∠OC，BF=OC，∴F（m，2）∴EF=﹣ba﹣m，∵点C（m，0）为x轴上一动点且m＜﹣1，∴m的值是一个变量，即：线段EF的长不是定值（4）解：如下图所示：连接CD∵BCS是∠M的直径，∴∠CDB=90°，∵若BD= 12AB，即BD=DA则易证CB=CA∴√22+m 2 =1﹣m 解之得m=﹣ 32，即：存在一点C （﹣ 32 ，0），使得BD= 12AB3．【答案】（1）解：∵点A(4，0)，点C(0，2)，∴OA=4，OC=2， ∵∠AOC=90°， ∴tan∠CAO=OC OA =12，∵∠AEF 沿EF 翻折后，点A 落在x 轴上点D 处， ∴∠DEF∠∠AEF ， ∴∠FDE=∠FAE ， ∵∠CDF=90°， ∴∠FDE+∠CDO=90°， ∵∠COD=90°， ∴∠OCD+∠CDO=90°， ∴∠FDE=∠OCD ， ∴∠FDE=∠OCD=∠FAE ， ∴tan∠OCD=tan∠FAE=12，在Rt∠OCD 中，tan∠OCD =OD OC =12， ∴OD=12OC =1，∴D(1，0)．（2）解：①过点M 作MN∠x 轴，如图所示：∵∠MNB=90°， ∴∠MBN+∠BMN=90°，∵∠ACB=90°， ∴∠CBA+∠CAB=90°， ∴∠BMN=∠CAB ，在RtΔBMN 中，tan∠BMN=tan∠CAB =MN DN =12， ∴MN=2BN ，在RtΔDMN 中，tan∠MDN=tan∠CAB =MN DN =12， ∴DN=2MN=4BN ， ∴BD=DN ﹣BN=3BN ， ∵∠ACB=∠AOC=90°，∴∠BCO+∠ACO=∠ACO+∠CAB=90°， ∴∠BCO=∠CAB ，在RtΔBOC 中，tan∠BCO =OB OC =12， ∴OB=12OC=1，∴AB=5， ∴∠DEF∠ΔAEF ， ∴AE=DE=2t ，∴BD=AD ﹣AB=4t ﹣5， ∴4t ﹣5=3BN ， ∴BN =4t−53，MN=2BN =8t−103，∴M (4t−83，8t−103)，要使重叠部分为四边形，则2AE ＞AB ，即4t ＞5，解得t ＞54，∵点E 在线段AO 上， ∴AE ≤AO ，即2t ≤4，解得：t ≤2，∴t 的取值范围是54＜t ≤2；②14≤S ≤25134．【答案】（1）解：点A 的坐标为（4，8）将A (4，8)、C （8，0）两点坐标分别代入y=ax 2+bx 得8=16a+4b 0=64a+8b解得a= −12，b=4∴抛物线的解析式为：y=- 12x 2+4x（2）解：①在Rt∠APE 和Rt∠ABC 中，tan∠PAE= PE AP = BC AB ，即 PE AP =48=12PE= 12 AP= 12t ．PB=8-t ．∴点E 的坐标为（4+ 12 t ，8-t ）.∴点G 的纵坐标为：- 12 （4+ 12 t ）2+4(4+ 12 t ）=- 18 t 2+8. ∴EG=- 18 t 2+8-(8-t) =- 18 t 2+t.∵- 18 ＜0，∴当t=4时，线段EG 最长为2 ②共有三个时刻：t 1= 163 ，t 2= 4013 ，t 3= 852+55．【答案】（1）解：易求A(-2,0)，B(4,0)，C(0, 2√3 )，D(1, 9√34)，∠PEF∠∠BOC. ∴当PE 最大时，∠PEF 的周长最大.易求直线BC 的解析式为y= −√32x +2√3 设P(x, −√34x 2+√32x +2√3 )，则E(x, −√32x +2√3 ) ∴PE= −√34x 2+√32x +2√3 -( −√32x +2√3 )= −√34x 2+√3x ∴当x=2时，PE 有最大值. ∴P(2, 2√3 )，此时如图，将直线OG 绕点G 逆时针旋转60 °得到直线l ，过点P 作PM∠l 于点M ，过点K 作KM /∠l 于M /.则PH+HK+ √32KG= PH+HK+KM /≥PM 易知∠POB=60°.POM 在一直线上. 易得PM=10，H(1, √3 )（2）解：易得直线AC 的解析式为y= √3x +2√3 ，过D 作AC 的平行线，易求此直线的解析式为y= √3x +5√34 ，所以可设D /(m, √3m +5√34 )，平移后的抛物线y 1= −√34(x −m)2+√3m +5√34 .将（0，0）代入解得m 1=-1（舍），m 2=5.所以D /(5, 25√34).设N(1,n)，又C(0, 2√3 )，D /(5, 25√34).所以NC 2=1+(n- 2√3 )2，D /C 2= 52+(25√34−2√3)2= 126716 ，D /N 2= （5−1)2+(25√34−n)2 . 分NC 2= D /C 2 D /C 2= D /N 2；NC 2= D /N 2.列出关于n 的方程求解.答案N 1(1, 8√3+3√1394 )，N 2(1, 8√3−3√1394 )，N 3(1, 25√3+√10114 )，N 4(1, 25√3−√10114)，N 5(1, 641√3136).6．【答案】（1）解：当m =1时，抛物线G ：y 1=x 2−1，直线ℎ：y 2=x +1，令x 2−1=x +1，解得x =−1或x =2，∴抛物线G 与直线ℎ交点的坐标为(−1，0)或(2，3)；（2）证明：令mx 2−(3m −3)x +2m −3=mx +3−2m ，整理得mx 2−(4m −3)x +4m −6=0，即(x −2)(mx −2m +3)=0，解得x =2或x =2m−3m，当x =2时，y =3；当x =2m−3m时，y =0； ∴抛物线G 与直线ℎ的交点分别为(2，3)和(2m−3m，0)， ∴必有一个交点在x 轴上；（3）解：①证明：由（2）可知，抛物线一定过点(2，3)；②解：抛物线G ：y 1=mx 2−(3m −3)x +2m −3=(mx −2m +3)(x −1)，则抛物线G 与x 轴的交点为(1，0)，(2m−3m，0)，∵抛物线G 与抛物线G′关于原点对称， ∴抛物线G′过点(−1，0)，(−2m−3m，0)， ∴抛物线G′的解析式为：y′=−m(x +1)(x +2m−3m)=−mx 2−(3m −3)x −2m +3，令−mx 2−(3m −3)x −2m +3=mx +3−2m ，整理得mx 2+(4m −3)x =0， ∴x =0或x =3−4mm，即四个交点分别为：(0，3−2m)，(2，3)，A(2m−3m ，0)，(3−4mm，6−6m)，当0⩽3−4m m⩽2时，即12⩽m ⩽34时，0为最小值，2为最大值， ∴0<2m−3m<2(m >0)，不等式无解，这种情况不成立；当3−4m m <0时，则0<m <34，则3−4m m <2m−3m<2，解得m >1，不成立；当3−4m m >2时，得0<m <12，此时0<2m−3m <3−4m m ，解得得0<m <12， ∴0<3m−32m <32．即抛物线G 对称轴的取值范围为：0<3m−32m<32． 7．【答案】（1）解：把C 、D 两点的坐标代入抛物线解析式可得 {c =836a +18+c =8，解得 {c =8a =−12， ∴抛物线解析式为y=﹣ 12 x 2+3x+8（2）解：①∵y=﹣ 12 x 2+3x+8=﹣ 12 （x ﹣3）2+ 252 ，∴抛物线对称轴为x=3，设直线l解析式为y=kx，把D（6，8）代入可得8=6k，解得k= 3 4，∴直线l的解析式为y= 43x，∴E（3，4），∵O（0，0），C（0，8），∴OE=CE，∴点E在线段OC的垂直平分线上，∵∠TEC=∠TEO，∴TE∠x轴，∴T的纵坐标为4，在y=﹣12x2+3x+8中，令y=4可得4=﹣12x2+3x+8，解得x=3+ √17或x=3﹣√17，∴T的坐标为（3+ √17，4）或（3﹣√17，4）；②在y=﹣12x2+3x+8中，令y=0可得0=﹣12x2+3x+8，解得x=﹣2或x=8，∴B（8，0），∵E（3，4），∴OE=5，如图2，过点E作BP的平行线，交y轴于点F，交x轴于点H，∴OPOF=OQOE，∵OP=OQ，∴OF=OE=5，∴F（0，5），∴可设直线PB的解析式为y=kx+5，把E点坐标代入可得4=3k+5，解得k=﹣1 3，∴直线EF的解析式为y=﹣13x+5，∴可设直线PB的解析式为y=﹣13x+m，把B点坐标代入可得0=﹣13×8+m，解得m=83，∴P点坐标为（0，8 3）8．【答案】（1）解：由题意得，AB= √AC2+BC2=√62+82=10,AD=BD= 12AB=5 当P在线段BD上且不与D重合时，有PD=5-4t（0<t<54）；当P在线段AD上且不与D重合时，有PD=4t-5（0<t<54）；则当0<t<54时，PD=5−4t；当54<t≤52时，PD=4t−5；（2）解：如图1∵∠PDQ=∠A, ∠DPQ=∠ACB=90°,∴∠DQP∠∠ABC∴DQAB=DPAC,DQ=54PD=54(5−4t)=254−5t又∵∠PDQ=∠A∴DQ//AC,∵点D是边AB的中点∴DQ为∠ABC的中位线∴当点Q落在BC上时，DQ= 12AC=4∴254−5t=4,解得t=920；（3）解：由（1）（2）可知：①如图2：当0＜t＜920时，重叠部分为四边形S=S∠BND-S∠BPM= 12×3×4−12×(4t)2×43= =−333t2+6；②如图3：当Q在AC上时，P在AD的中点，即此时t= 15 8当158＜t＜52时，重叠部分为四边形S=S∠ADQ-S∠APM= 12×5×52×34−12×(10−4t)2×34= −6t2+30t−52516；（4）t的值为920，365228，17209．【答案】（1）2 √5（2）4或2√6+2√2或2√6−2√2（3）解：将抛物线的表达式y=x2与直线方程y=x＋2联立并解得：x=−1或2，即：点R、S的坐标分别为（−1，1）、（2，4），则RS＝3 √2，则RS边上的高为：12×3 √2= 32√2，则点Q在于RS平行的上下两条直线上，如下图，设直线RS与y轴交于点N，则N（0，2），过点N作NQ∠TQ于点Q，则NQ= 32√2，则NT=NQsin45°＝3，∴点T（0，5），则点Q所在的直线方程为：y＝x＋5，同理：当点Q所在的直线在直线RS的下方时，y＝x−1，∴点Q所在的直线方程为：y＝x＋5或y＝x−1；如图4，当点P介于点R与点S之间时，设与RS平行且与抛物线只有一个交点p′的直线方程为：y＝x＋d，将该方程与抛物线方程联立并整理得：x2−x−d＝0，∴∠＝1＋4d＝0，解得：d＝−1 4，此时，x2−x＋14＝0，解得：x＝12，∴点p′（12，14），此时，P（p′）Q取得最小值．10．【答案】（1）解：将B（0，﹣2）代入y＝a（x+3）（x﹣4），∴a ＝16，∴y ＝16（x+3）（x ﹣4）＝16x 2﹣16x ﹣2；（2）解：令y ＝0，则16（x+3）（x ﹣4）＝0，∴x ＝﹣3或x ＝4， ∴A （4，0），设直线AB 的解析式为y ＝kx+b ， ∴{b =−24k +b =0， ∴{k =12b =−2， ∴y ＝12x ﹣2，∵OP ＝1， ∴P （1，0）， ∵PQ∠x 轴，∴Q （1，﹣32），C （1，﹣2），∴AP ＝3，∴S ∠ACQ ＝S ∠ACP ﹣S ∠APQ ＝12×3×2﹣12×3×32＝34；（3）解：设P （t ，0），如图3，过点D 作x 轴垂线交于点N ，∵∠BPD ＝90°，∴∠OPB+∠NPD ＝90°，∠OPB+∠OBP ＝90°， ∴∠NPD ＝∠OBP ， ∵BP ＝PD ，∴∠PND∠∠BOP （AAS ）， ∴OP ＝ND ，BO ＝PN ， ∴D （t+2，﹣t ），∴﹣t ＝16（t+2+3）（t+2﹣4），解得t ＝1或t ＝﹣10，∴D （3，﹣1）或D （﹣8，10）．11．【答案】（1）解： ∵ 抛物线 y =ax 2−2ax −3a 交x 轴的负半轴于点A ，交x 轴的正半轴点B ，交y 轴的正半轴于点C ，且 OB =2OC ，令 x =0 ，则 y =−3a ，则 C(0，−3a) ， ∴OC =−3a ，由 y =ax 2−2ax −3a =a(x 2−2x −3)=a(x −3)(x +1) ，则 A(−1，0) ， B(3，0) ， ∴OB =3 ， ∵ OB =2OC ，即 3=2×(−3a) ，解得 a =−12，（2）解： ∵ a =−12 ，∴y =−12x 2+x +32 ，∵ 点P 的横坐标为t ，则 P(t ，−12t 2+t +32) ， A(−1，0) ， B(3，0) ， C(0，32) ，设 D 的横坐标为 m ，设直线 BP 的解析式为 y =kx +b ，则 {kt +b =−12t 2+t +323k +b =0解得 {k =−t 2+2t+32t−6=−12(t +1)b =3t 2−6t+92t−6=32(t +1) ∴y =−12(t +1)x +32(t +1) ，∴OE =−b =3t 2−6t+96−2t =3(t 2−2t+3)2(3−t)=−32(t +1) ，CE=32−32(t+1)=−32t，设∠CDE的面积为s，则S=12CE⋅x D=12×(−32t)×m=−34mt，∵4s+3t=0，∴−3mt+3t=0，解得m=1，∴x D=1，将x=1代入y=−12x2+x+32=−12+1+32=2，∴D(1，2)，（3）解：如图，连接AD，BD，过D作DH⊥x轴与H∵A(−1，0)，B(3，0)，C(0，32)，D(1，2)，P(t，−12t2+t+32)，E(0，32t+32)∴AD=√(1+1)2+22=2√2，BD=√(3−1)2+22=2√2，AB=4∴AD2+BD2=16，AB2=16，AD=BD∴△ABD是等腰直角三角形∴∠ADB=90°∵将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，∴∠EDF=90°，DE=DF∴∠ADE+∠EDB=∠EDB+∠BDF∴∠ADE=∠BDF∴△AED≌△BFD ∴AE=BF，DA=DB，∠DAE=∠DBF延长GF至R，使得FR=EG，连接DR，DG，∵AE=BF，FR=EG∴AG=BR在△DAG与△DBR中{DA=DB ∠DAG=∠DBR AG=BR∴△DAG≌△DBR∴DG=DR，∠ADG=∠BDR，∵∠ADB=90°∴∠ADG+∠GDB=90°∴∠BDR+GDB=90°即∠GDR=90°∴△DRG是等腰直角三角形∴∠DRG=∠DGR=45°∵∠DGA=∠DRB∴∠DGA=45°∴∠AGB=∠DGA+∠DGB=90°∵∠AGB=2∠APB∴∠APB=45°过点P引坐标的两条垂线，垂足为Y，Z，作直线BP关于x轴对称的直线BT，交DH于点T，过点T作TS⊥DB，设T关于x轴对称的点为T′，∵∠APE=45°∴∠EPZ+∠YPA=45°设∠PBA=α，则∠TBO=α，∠EPZ=α，∠YPA=45°−α∵DH⊥x轴，△ADB是等腰直角三角形，∴∠DBO=45°∴∠SBT=45°−α=∠YPA∴tan∠SBT=tan∠YPA，∴STSB=YAYP∵D(1，2)，DH⊥x轴，∴T，T′的横坐标为1，∵直线BP的解析式为y=−12(t+1)x+32(t+1)令x=1解得y=t+1∴T′(1，t+1)∴T(1，−t −1) ∴DT =3+t∴ST =DS =DT ⋅sin45°=√22(3+t)∵ D(1，2) ， H(1，0) ∴ DH =2∴SB =DB −DS =DHsin45°−DS =2√2−√22(3+t)=√22−√22t∵ P(t ，−12t 2+t +32) ， A(−1，0) ，∴YA =−1−t ， YP =12t 2−t −32=12(t +1)(t −3) ，∴ST SB =YAYP，即 √22(3+t)√22−√22t =−1−t12t 2−t−32 ，整理得 t 2−2t −7=0 ，解得 t 1=1+2√2，t 2=1−2√2 ， ∵t <0 ， ∴t =1−2√2 ，将 t =1−2√2 t 代入 −12t 2+t +32=−2 ，∴P(1−2√2，−2) ．12．【答案】（1）解：∵抛物线y=ax 2+bx+c 经过点A （-3，0），B （0，3），C （1，0），∴{9a −3b +c =0c =3a +b +c =0 ，解得： {a =−1b =−2c =3 ，所以，抛物线的解析式为y=-x 2-2x+3；（2）解：∵A （-3，0），B （0，3），∴OA=OB=3，∴∠AOB 是等腰直角三角形，∴∠BAO=45°， ∵PF∠x 轴，∴∠AEF=90°-45°=45°，又∵PD∠AB ，∴∠PDE 是等腰直角三角形，∴PD 越大，∠PDE 的周长越大，易得直线AB 的解析式为y=x+3，设与AB平行的直线解析式为y=x+m，联立{y=x+my=−x2−2x+3，消掉y得，x2+3x+m-3=0，当∠=9-4（m-3）=0，即m= 214时，直线与抛物线只有一个交点，PD最长，此时x=- 32，y=154，∴点（- 32，154），∠PDE的周长最大；（3）解：设直线x=-2与x轴交于点E，作点A关于直线x=-2的对称点D，则D（-1，0），连接MA，MD，MC.∴MA=MD，∠MAC=∠MDA=2∠MCA，∴∠CMD=∠DCM∴MD=CD=2 ，∴ME= √3∴点M（-2，√3）或（-2，- √3）.13．【答案】（1）解：∵点B、C在直线为y=x+n上，∴B(−n，0)、C(0，n)，∵点A(1，0)在抛物线上，∴{a+b−7=0an2−bn−7=0n=−7，∴a=−1，b=8，∴抛物线解析式：y=−x2+8x−7（2）解：5√2（3）解：由题意，得，PB=6−t，BE=2t，由OB=OC，∠BOC=90°，得∠OBC=45°，∴点P 到BC 的高h 为BP ·sin45°=√22(6−t)，∴S ΔPBE =12BE ⋅ℎ=12×√22(6−t)×2t =−√22t 2+3√2t =−√22(t −3)2+9√22，当t ＝3时，面积最大，最大值为9√22；（4）解：6或7+√732或7−√73214．【答案】（1）解：令 y =0 ，则 12x 2−32x −2=0 ，解得 x 1=−1 ， x 2=4 ，∴A(−1,0) ， B(4,0) ，根据题意设抛物线L 2的解析式为： y =a(x +1)(x −4) ，把点 (2,−12) 代入，得 −6a =−12 ，解得 x =2 ， ∴y =2(x +1)(x −4)=2x 2−6x −8 ；（2）解：∵抛物线L 2与L 1是“共根抛物线”， A(−1,0) ， B(4,0) ，∴它们的对称轴都是直线 x =32 ，∴点P 在直线 x =32上，如图，当A 、C 、P 共线时， BP −CP 的值最大，∵PA =PB ，∴BP −CP =AP −CP =AC ，此时点P 是直线AC 与直线 x =32的交点，∵A(−1,0) ， C(0,−2) ，∴直线AC 的解析式为： y =−2x −2 ，∴P(32,−5) ；（3）解：∵A(−1,0) ， B(4,0) ， C(0,−2) ，∴AB =5 ， CB =2√5 ， CA =√5 ，∴AB 2=CB 2+CA 2 ，∴∠ACB =90° ， CB =2CA ，∵y =12x 2−32x −2=12(x −32)2−258， ∴D(32,258) ，根据题意， ∠PDQ 不可能是直角，第一种情况，当 ∠DPQ =90° 时，①如图，当 △QDP ∼△ABC 时， QP DP =AC BC =12设 Q(x,12x 2−32x −2) ，则 P(32,12x 2−32x −2) ， ∴DP =12x 2−32x −2−(−258)=12x 2−32x +98， QP =x −32 ， ∵DP =2QP ，∴12x 2−32x +98=2(x −32) ，解得 x 1=112 ， x 2=32（舍去）， ∴P(32,398) ； ②如图，当 △DQP ∼△ABC 时，则 PQ =2PD ，∴x −32=2(12x 2−32x +98) ，解得 x 1=52 ， x 2=32 （舍去）， ∴P(32,−218) ；第二种情况：当 ∠DQP =90° 时，①如图，当 △PDQ ∼△ABC 时， PQ DQ =AC BC =12 ，过点Q 作 QM ⊥PD 于点M ，则 △QDM ∼△PDQ ，∴QM MD =PQ DQ =12 ，由图知， M(32,398) ， Q(112,398) ， ∴MD =8 ， MQ =4 ，∴DQ =4√5 ，由 DQ DM =PD DQ ，得 PD =10 ，∵D(32,−258) ， ∴P(32,558) ； ②如图，当 △DPQ ∼△ABC 时，过点Q 作 QM ⊥PD 于点M ，同理得 M(32,−218) ， Q(52,−218) ，∴DM =12 ， QM =1 ， QD =√52 ，由 QD DM =PD DQ ，得 PD =52 ，∴P(32,−58) ；综上：点P 的坐标是 (32,398) 或 (32,−218) 或 (32,558) 或 (32,−58) ．15．【答案】（1）解：∵二次函数 y =ax 2+bx +2 的图象与x 轴交于 A(−3,0) ，B(1,0) 两点， ∴{9a −3b +2=0a +b +2=0 ，解得： {a =−23b =−43∴这个二次函数的解析式为 y =−23x 2−43x +2 ；∵二次函数 y =−23x 2−43x +2 与y 轴交于点C ，∴点C 的坐标为 (0,2)设直线 AC 的解析式为 y =kx +2 ，∵直线 AC 经过点 A(−3,0)∴0=−3k +2解得 k =23 ，∴直线 AC 的解析式为 y =23x +2 ；（2）解：由（1）得 y =−23x 2−43x +2 ，设点 P(m,−23m 2−43m +2) ，则 D(m,23m +2) ，∴PD =−23m 2−43m +2−(23m +2) =−23m 2−2m =−23(m +32)2+32 ∴当 m =−32时， PD 最大，最大值是 32 ．（3）存在， Q 1(−5,0) ， Q 2(−1,0) ， Q 3(2+√7,0) ， Q 4(2−√7,0)16．【答案】（1）解：由于抛物线y= 34x 2+bx+c 与y 轴交于点B （0，3），则 c=3； ∵抛物线的对称轴 x=﹣ b 2a =﹣ 52， ∴b=5a= 154；即抛物线的解析式：y= 34 x 2+ 154x+3．（2）解：∵A （4，0）、B （0，3），∴OA=4，OB=3，AB= √OA 2+OB 2 =5；若四边形ABCD 是菱形，则BC=AD=AB=5，∴C （﹣5，3）、D （﹣1，0）．将C （﹣5，3）代入y= 34 x 2+ 154 x+3中，得： 34 ×（﹣5）2+ 154×（﹣5）+3=3，所以点C 在抛物线上；同理可证：点D 也在抛物线上．（3）解：设直线CD 的解析式为：y=kx+b ，依题意，有：{−5k +b =3−k +b =0 ，解得 {k =−34b =−34∴直线CD ：y=﹣ 34 x ﹣ 34．由于MN∠y 轴，设 M （t ， 34 t 2+ 154t+3），则 N （t ，﹣ 34 t ﹣ 34 ）； ② t ＜﹣5或t ＞﹣1时，l=MN=（ 34 t 2+ 154 t+3）﹣（﹣ 34 t ﹣ 34 ）= 34 t 2+ 92 t+ 154 ； ②﹣5＜t ＜﹣1时，l=MN=（﹣ 34 t ﹣ 34 ）﹣（ 34 t 2+ 154 t+3）=﹣ 34 t 2﹣ 92 t ﹣ 154；若以M 、N 、C 、E 为顶点的四边形是平行四边形，由于MN∠CE ，则MN=CE=3，则有： 34 t 2+ 92 t+ 154=3，解得：t 1=﹣3+2 √2 ，t 2=﹣3﹣2 √2 ；﹣ 34 t 2﹣ 92 t ﹣ 154=3，解得：t=﹣3；综上，l= {34t 2+92t +154(t <−5或t >−1)34t 2−92t −154(−5<t <−1)且当t=﹣3+2 √2 ，t=﹣3﹣2 √2 或﹣3时，以M 、N 、C 、E 为顶点的四边形是平行四边形．。

2021年中考一轮复习数学热点问题《二次函数压轴题的突破与提升》六大必考模型专题练习

中考数学热点问题《二次函数压轴题的突破与提升》六大必考模型专题练习题型一：求图形面积类问题1. 如图,假设篱笆(虚线部分)的长度为16m,则所围成矩形ABCD 的最大面积是 .2. 如图,抛物线y=-x 2+2x+3与y 轴交于点C,点D(0,1),点P 是抛物线上的动点.若△PCD 是以CD 为底的等腰三角形,此时△PCD 的面积为________.3.如图,已知二次函数2y x bx c =++的图象与y 轴交于点A, 与x 轴正半轴交于B,C 两点,且BC ＝2,ABC S ∆ ＝3,则b 的值为( )A.-5B.4或-4C. 4D.-4 4.如图,抛物线经过A (-2,0),B ,C (0,2)三点. (1)求抛物线的解析式;(2)在直线AC 下方的抛物线上有一点D ,使得△DCA 的面积最大,求点D 的坐标.题型二：参数求值类问题1. 若函数y=(m-1)x |m|+1是二次函数,则m 的值为____.2. 抛物线y=x 2-2x+m 2+2(m 是常数)的顶点在 ( ) A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3. 已知二次函数y=-x 2+2x+m.(1)如果二次函数的图象与x 轴有两个交点,求m 的取值范围.4. 当a ≤x ≤a+1时,函数y=x 2-2x+1的最小值为1求a 的值.5. 已知二次函数263y kx x =-+的图象与x 轴有交点，求k 的取值范围.题型三：利用图像分析类问题1. 下列图象中，当ab ＞0时，函数y ＝ax 2与y ＝ax ＋b 的图象是( )2. 如图,二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴相交于(-2,0)和(4,0)两点,当函数值y>0时,自变量x 的取值范围是 ( )A.x<-2B.-2<x<4C.x>0D.x>43.已知二次函数的图象如图所示，对称轴是，则下列结论中正确的是（）．Ａ．0>ac Ｂ．0>b Ｃ．04ac -2<bＤ．4. 二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的大致图象如图所示,顶点坐标为(-2,-9a),下列结论:①4a+2b+c>0;②5a -b+c=0;③若方程a(x+5)(x-1)=-1有两个根x 1和x 2,且x 1<x 2,则-5<x 1<x 2<1;④若方程|ax 2+bx+c|=1有四个根,则这四个根的和为-4.其中正确的结论有 ( )A.1个B.2个C.3个D.4个5. 如图所示是二次函数c bx ax y ++=2图象的一部分，图象过A 点（3,0），二次函数图象对称轴为1=x ，给出四个结论：①ac b 42>；②0<bc ；③02=+b a ；④0=++c b a ，其中正确结论是（）A.②④B.①③C.②③D.①④ 题型四：动点求最值类问题2y ax bx c =++1x=20a b +=1. 若二次函数y=x2-4x+c的图象经过点(0,3),则函数y的最小值是.2. 如图是函数y=x2-2x-3(0≤x≤4)的图象,直线l∥x轴且过点(0,m),将该函数在直线l上方的图象沿直线l向下翻折,在直线l下方的图象保持不变,得到一个新图象.若新图象对应的函数的最大值与最小值之差不大于5,则m的取值范围是 .3. 如图,抛物线y=-x2+2x+3与y轴交于点C,点D(0,1),点P是抛物线上的动点.若△PCD是以CD为底的等腰三角形,则点P的坐标为________.4. 如图,抛物线y=x2-bx+c交x轴于点A(1,0),交y轴于点B,对称轴是x=2.(1)求抛物线的表达式.(2)点P是抛物线对称轴上的一个动点,是否存在点P,使△PAB的周长最小?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.5. 若二次函数y=ax2+b的最大值为4,且该函数的图象经过点A(1,3).(1)a=________,b=________,顶点D的坐标为________;(2)求这个抛物线关于x轴对称后所得的新函数表达式;(3)是否在抛物线上存在点B,使得S△DOB =2S△AOD?若存在,请求出B的坐标;若不存在,请说明理由.6. 已知m,n是一元二次方程x2+4x+3=0的两个实数根,且|m|<|n|,抛物线y=x2+bx+c的图象经过点A(m,0),B(0,n),如图所示.(1)求这个抛物线的解析式.(2)设(1)中的抛物线与x轴的另一个交点为C,抛物线的顶点为D,试求出点C,D 的坐标,并判断△BCD的形状.(3)点P是直线BC上的一个动点(点P不与点B和点C重合),过点P作x轴的垂线,交抛物线于点M,点Q在直线BC上,距离点P为√2个单位长度,设点P的横坐标为t,△PMQ的面积为S,求出S与t之间的函数关系式.题型五：实际应用类问题1. 图2是图1中拱形大桥的示意图,桥拱与桥面的交点为O,B,以点O为原点,水平直线OB为x轴,建立平面直角坐标系,桥的拱形可以近似看成抛物线y=-1(x-80)2+16,桥拱与桥墩AC的交点C恰好在水面,有AC⊥x轴.若OA=10m, 400则桥面离水面的高度AC为( )A.16940mB.174mC.16740mD.154m2. 某网店尝试用单价随天数而变化的销售模式销售一种商品,利用30天的时间销售一种成本为10元/件的商品,售后经过统计得到此商品单价在第x 天(x 为正整数)销售的相关信息,如表所示:(1)请计算第几天该商品单价为25元/件?(2)求网店销售该商品30天里所获利润y(元)关于x(天)的函数表达式. (3)这30天中第几天获得的利润最大?最大利润是多少?3. 某果园有100棵橙子树,平均每棵树结600个橙子,现准备多种一些橙子树以提高果园产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子,假设果园多种了x 棵橙子树.(1)直接写出平均每棵树结的橙子个数y(个)与x 之间的关系. (2)果园多种多少棵橙子树时,可使橙子的总产量最大?最大为多少个?4. 河上有一座桥孔为抛物线形的拱桥，水面宽6m时，水面离桥孔顶部3m．因降暴雨水位上升1m．（1）如图①，若以桥孔的最高点为原点，建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式；（2）一艘装满物资的小船，露出水面的高为0.5m、宽为4m（横断面如图②）．暴雨后这艘船能从这座拱桥下通过吗？请说明理由．题型六：综合应用类问题1. 已知抛物线y=ax2+bx-4经过点A(2,0),B(-4,0),与y轴交于点C.(1)求这条抛物线的表达式.(2)如图1,点P是第三象限内抛物线上的一个动点,当四边形ABPC的面积最大时,求点P的坐标.(3)如图2,线段AC的垂直平分线交x轴于点E,垂足为D,M为抛物线的顶点,在直线DE上是否存在一点G,使△CMG的周长最小?若存在,求出点G的坐标;若不存在,请说明理由.2. 如图,抛物线y=-23x2+bx+c与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),点A的坐标为(-1,0),与y轴交于点C(0,2),直线CD:y=-x+2与x轴交于点D.动点M在抛物线上运动,过点M作MP⊥x轴,垂足为点P,交直线CD于点N.(1)求抛物线的表达式.(2)当点P在线段OD上时,△CDM的面积是否存在最大值,若存在,请求出最大值;若不存在,请说明理由.(3)点E是抛物线对称轴与x轴的交点,点F是x轴上一动点,点M在运动过程中,若以C,E,F,M为顶点的四边形是平行四边形时,请写出点F的坐标.3. 如图，在平面直角坐标系中，直线y＝mx＋3与抛物线交于点A(9，－6)，与y轴交于点B，抛物线的顶点C的坐标是(4，－11)．(1)分别求该直线和抛物线的函数表达式；(2)D是抛物线上位于对称轴左侧的点，若△ABD的面积为812，求点D的坐标；(3)在y轴上是否存在一点P，使∠APC＝45°？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．4. 如图1,抛物线y=-3[(x-2)2+n]与x轴交于点A(m-2,0)和B(2m+3,0)(点A在5点B的左侧),与y轴交于点C,连接BC. (1)求m,n的值.(2)如图2,点N为抛物线上的一动点,且位于直线BC上方,连接CN,BN.求△NBC 面积的最大值.(3)如图3,点M,P分别为线段BC和线段OB上的动点,连接PM,PC,是否存在这样的点P,使△PCM为等腰三角形,△PMB为直角三角形同时成立?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.。

2023年中考九年级数学高频考点专题训练--二次函数的最值

2023年中考九年级数学高频考点专题训练--二次函数的最值一、单选题1．已知二次函数y=x2−4x+2，当自变量x取值在−2≤x≤5范围内时，下列说法正确的是（）A．有最大值14，最小值－2B．有最大值14，最小值7C．有最大值7，最小值－2D．有最大值14，最小值22．已知关于x的二次函数y=（x﹣h）2+3，当1≤x≤3时，函数有最小值2h，则h的值为（）A．32B．32或2C．32或6D．2、32或63．二次函数y=x2﹣2x﹣3，当m﹣2≤x≤m时的最大值为5，则m的值可能为（）A．0或6B．4或﹣2C．0或4D．6或﹣24．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，给出以下结论：①abc<0 ②当x=1时，函数有最大值。

③当x=-1或x=3时，函数y的值都等于0. ④4a+2b+c<0，其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．45．已知a≥2，m2﹣2am+2=0，n2﹣2an+2=0，则（m﹣1）2+（n﹣1）2的最小值是（）A．6B．3C．﹣3D．06．一个滑道由滑坡（AB段）和缓冲带（BC段）组成，如图所示，滑雪者在滑坡上滑行的距离y （单位：m）和滑行时间t1（单位：s）满足二次函数关系，并测得相关数据：滑行时间t1/s01234滑行距离y1/s0 4.51428.548滑雪者在缓冲带上滑行的距离y2（单位：m）和在缓冲带上滑行时间t2（单位：s）满足：y2＝52t2﹣2t22，滑雪者从A出发在缓冲带BC上停止，一共用了23s，则滑坡AB的长度（）米A．270B．280C．375D．4507．如图，抛物线y1＝a（x+1）2﹣5与抛物线y2＝﹣a（x﹣1）2+5（a≠0）交于点A（2，4），B（m，﹣4），若无论x取任何值，y总取y1，y2中的最小值，则y的最大值是（）A．4B．5C．2D．18．抛物线y=3（x﹣4）2+5的顶点坐标为（）A．（﹣4，﹣5）B．（﹣4，5）C．（4，﹣5）D．（4，5）9．抛物线y=(x+1)2−4(−2≤x≤2)，如图所示，则函数y的最小值和最大值分别是（）A．−3和5B．−4和5C．−4和−3D．−1和510．当﹣2≤x≤1时，二次函数y=﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（）A．﹣74B．√3或−√3C．2或−√3D．2或√3或−7411．二次函数y=(x-5)2+7的最小值是()A．5B．-7C．-5D．712．已知y=ax2+bx+3（a≠0）的对称轴为直线x=2，与x轴的其中一个交点为（1，0），该函数在1≤x≤4的取值范围，下列说法正确的是（）．A．有最小值0，有最大值3B．有最小值-1，有最大值3C．有最小值-3，有最大值4D．有最小值-1，有最大值4二、填空题13．二次函数y=2x2-4x+5,当﹣3≤x≤4时，y的最大值是，最小值是.14．当x=时，二次函数y=x2﹣2x+6有最小值．15．如图所示，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为实数）的图象过点A(3,0)，对称轴为直线x=1，给出以下结论：①abc<0；②3a+c=0；③ax2+bx≤a+ b；④若M(−0.5,y1)、N(3.5,y2)为函数图象上的两点，则y1<y2.其中正确的有.（填写序号即可）16．已知函数y=-3（x-2）2+4，当x=时，函数取得最大值为.17．已知函数y＝mx2+2mx+1在﹣3≤x≤2上有最大值4，则常数m的值为．18．二次函数y=x2+2ax+a在﹣1≤x≤2上有最小值﹣4，则a的值为三、综合题19．某农作物的生长率p与温度t( C∘)有如下关系：如图，当10≤ t≤25 时可近似用函数p=150t−15刻画；当25≤ t≤37 时可近似用函数p=−1160(t−ℎ)2+0.4刻画．（1）求ℎ的值．（2）按照经验，该作物提前上市的天数m(天)与生长率p满足函数关系，部分数据如下：生长率p0.20.250.30.35提前上市的天数m（天）051015求：①求m关于p的函数表达式；②请用含t的代数式表示m③天气寒冷，大棚加温可改变农作物生长速度．在大棚恒温20℃时每天的成本为100元，该作物30天后上市时，根据市场调查：每提前一天上市售出(一次售完)，销售额可增加600元．因此决定给大棚继续加温，但加温导致成本增加，估测加温到20≤t≤25时的成本为200元/天，但若加温到25＜t≤37，由于要采用特殊方法，成本增加到400元/天，问加温到多少度时增加的利润最大？并说明理由。

2023年中考九年级数学高频考点专题训练--二次函数与一元二次方程

2023年中考九年级数学高频考点专题训练--二次函数与一元二次方程一、综合题1．在平面直角坐标系中，设二次函数y1=x2+bx+a，y2=ax2+bx+1(a，b是实数，a≠0)。

（1）若函数y1的对称轴为直线x=3，且函数y1的图象经过点(a，b)，求函数y1的表达式。

（2）若函数y1的图象经过点(r，0)，其中r≠0，求证：函数y2的图象经过点( 1r，0)。

（3）若函数y1和函数y2的最小值分别为m和n，若m+n=0，求m，n的值。

2．已知，抛物线y=ax2+ax+b（a≠0）与直线y=2x+m有一个公共点M（1，0），且a＜b．（1）求b与a的关系式和抛物线的顶点D坐标（用a的代数式表示）；（2）直线与抛物线的另外一个交点记为N，求△DMN的面积与a的关系式；（3）a=﹣1时，直线y=﹣2x与抛物线在第二象限交于点G，点G、H关于原点对称，现将线段GH沿y轴向上平移t个单位（t＞0），若线段GH与抛物线有两个不同的公共点，试求t的取值范围．3．如图，抛物线y=ax2+bx−4a(a≠0)经过A(−1，0)，C(0，4)两点，与x轴交于另一点B，连接AC，BC．（1）求抛物线的解析式；（2）平行于x轴的直线y=−14与抛物线分别交于点D，E，求线段DE的长．4．如图1，抛物线C1：y＝ax2+bx+1的顶点坐标为D（1，0）且经过点（0，1），将抛物线C1向右平移1个单位，向下平移1个单位得到抛物线C2，直线y＝x+c，经过点D交y轴于点A，交抛物线C2于点B，抛物线C2的顶点为P．（1）求抛物线C1的解析式；（2）如图2，连结AP，过点B作BC△AP交AP的延长线于C，设点Q为抛物线上点P至点B 之间的一动点，连结BQ并延长交AC于点F，①当点Q运动到什么位置时，S△PBD×S△BCF＝8？②连接PQ并延长交BC于点E，试证明：FC（AC+EC）为定值．5．十一黄金周期间，某商场销售一种成本为每件60元的服装，规定销售期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数y=-x+120（1）销售单价定为多少元时，该商场获得的利润恰为500元？（2）设该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少？6．如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（－1，0），B（3，0）.请解下列问题：（1）求抛物线的解析式；（2）点E（2，m）在抛物线上，抛物线的对称轴与x轴交于点H，点F是AE中点，连接FH，求线段FH的长.7．已知二次函数y=x2−2mx+2m−1．（1）求证：二次函数的图象与x轴总有交点；（2）若二次函数的图象与x轴的一个交点为原点，求方程x2−2mx+2m−1=0的解．8．某运动器材批发市场销售一种篮球，每个篮球进价为50元，规定每个篮球的售价不低于进价，经市场调查，每月的销售量y（个）与每个篮球的售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：（1）求y与x之间的函数关系式；（不需求自变量x的取值范围）（2）该批发市场每月想从这种篮球销售中获利8000元，又想尽量多给客户实惠，应如何给这种篮球定价？（3）物价部门规定，该篮球的每个利润不允许高于进货价的50%，设销售这种篮球每月的总利润为w（元），那么销售单价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？9．如图，已知：P（-1，0），Q（0，-2）.（1）求直线PQ的函数解析式；（2）如果M（0，m）是线段OQ上一动点，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点M和点P，①求抛物线y=ax2+bx+c与x轴另一交点N的坐标（用含a，m的代数式表示）；②若PN= 12是，抛物线y=ax2+bx+c有最大值m+1，求此时a的值；③若抛物线y=ax2+bx+c与直线PQ始终都有两个公共点，求a的取值范围.10．已知二次函数y=ax2+bx+3(a≠0)的最小值为1，图象上一点的坐标为(2，3)。

中考数学微专题《二次函数与最值问题》突破与提升专题练习(无答案)

中考数学微专题《二次函数与最值问题》突破与提升专题练习1. 已知二次函数y ＝ax 2－2ax ＋c （a ＜0）的最大值为4，且抛物线过点79()24-，，点P(t ，0)是x 轴上的动点，抛物线与y 轴交点为C ，顶点为D ．（1）求该二次函数的解析式及顶点D 的坐标；（2）求|PC －PD|的最大值及对应的点P 的坐标；（3）设Q(0，2t)是y 轴上的动点，若线段PQ 与函数y ＝a|x|2－2a|x|＋c 的图象只有一个公共点，请直接写出t 的取值．2.如图，抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 与直线AB 交于A(－4，－4)，B(0，4)两点，直线AC ：162y x =--交y 轴于点C ，点E 是直线AB 上的动点，过点E 作EF ⊥x 轴交AC 于点F ，交抛物线于点G ．（1）求抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 的表达式．（2）连接GB ，EO ，当四边形GEOB 是平行四边形时，求点G 的坐标．（3）①在y 轴上存在一点H ，连接EH ，HF ，当点E 运动到什么位置时，以A ，E ，F ，H 为顶点的四边形是矩形？求出此时点E ，H 的坐标；②在①的前提下，以点E 为圆心，EH 长为半径作圆，点M 为⊙E 上一动点，求AM ＋CM 的最小值．123. 抛物线y ＝ax 2－bx ＋4（a≠0）过点A(1，－1)，B(5，－1)，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的函数表达式．（2）如图，⊙O 1过A ，B ，C 三点，AE 为直径，点M 为ACE ︵上的一动点（不与点A ，E 重合），连接MB ，作BN⊥MB 交ME 的延长线于点N ，求线段BN 长度的最大值．4.如图，抛物线y ＝ax 2＋bx －a －b （a ＜0，a ，b 为常数）与x 轴交于A ，C 两点，与y 轴交于点B ，直线AB 的函数关系式为．（1）求该抛物线的函数关系式与点C 的坐标．（2）已知点M(m ，0)是线段OA 上的一个动点，过点M 作x 轴的垂线l 分别与直线AB 和抛物线交于D ，E 两点，当m 为何值时，△BDE 恰好是以DE 为底边的等腰三角形？（3）在（2）问条件下，当△BDE 恰好是以DE 为底边的等腰三角形时，动点M 相应位置记为点M′，将OM′绕原点O 顺时针旋转得到ON （旋转角在0°到图281693y x =+90°之间）．i ．探究：线段OB 上是否存在定点P （P 不与O ，B 重合），无论ON 如何旋转，始终保持不变．若存在，试求出P 点坐标；若不存在，请说明理由. ii ．试求出此旋转过程中，(NA ＋NB)的最小值．5. 【探索发现】如图1，是一张直角三角形纸片，∠B ＝90°，小明想从中剪出一个以∠B 为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线DE ，EF 剪下时，所得的矩形的面积最大，随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为________．【拓展应用】如图2，在△ABC 中，BC ＝a ，BC 边上的高AD ＝h ，矩形PQMN 的顶点P ，N 分别在边AB ，AC 上，顶点Q ，M 在边BC 上，则矩形PQMN 面积的最大值为__________（用含a ，h 的代数式表示）．【灵活应用】如图3，有一块“缺角矩形”ABCDE，AB ＝32，BC ＝40，AE ＝20，CD ＝16，小明从中剪出了一个面积最大的矩形（∠B 为所剪出矩形的内角），求该矩形的面积．【实际应用】NPNB34如图4，现有一块四边形的木板余料ABCD ，经测量AB ＝50cm ，BC ＝108 cm ，CD ＝60 cm ，且，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点M ，N 在边BC 上且面积最大的矩形PQMN ，求该矩形的面积．图1 图2 图36.已知抛物线y ＝a(x ＋3)(x －1)（a≠0），与x 轴从左至右依次相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点C ，经过点A 的直线与抛物线的另一个交点为D ．（1）若点D 的横坐标为2，求抛物线的函数解析式；（2）若在第三象限内的抛物线上有点P ，使得以A ，B ，P 为顶点的三角形与△ABC 相似，求点P 的坐标；（3）在（1）的条件下，设点E 是线段AD 上的一点（不含端点），连接BE ．一动点Q 从点B 出发，沿线段BE 以每秒1个单位的速度运动到点E ，再沿线段ED 以每秒个单位的速度运动到点D 后停止，则当点E 的坐标是多少时，点Q 在整个运动过程中所用时间最少？4tan tan 3B C ==FEDC BAAB CD EM NPQABC DE图（2）图（yb =+3ED CBAABCD7. 已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=4，AC=8，点D 在斜边AB 上，分别作DE ⊥AC ，DF ⊥BC ，垂足分别为E 、F ，得四边形DECF ，设DE=x ，DF=y.(1)用含y 的代数式表示AE.(2)求y 与x 之间的函数关系式，并求出x 的取值范围. (3)设四边形DECF 的面积为S ，求出S 的最大值.8.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x 2+bx+c 的图象与x 轴交于A 、B 两点，A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0），与y 轴交于C （0，﹣3）点，点P 是直线BC 下方的抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的表达式．（2）连接PO 、PC ，并把△POC 沿CO 翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P ，使四边形POP′C 为菱形？若存在，请求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）当点P 运动到什么位置时，四边形ABPC 的面积最大？求出此时P 点的坐标和四边形ABPC 的最大面积．DCBFE A9.如图，抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 经过B(－1，0)，D(－2，5)两点，与x 轴另一交点为A ，点H 是线段AB 上一动点，过点H 的直线PQ ⊥x 轴，分别交直线AD 、抛物线于点Q ，P ．（1）求抛物线的解析式．（2）是否存在点P ，使∠APB ＝90°？若存在，求出点P 的横坐标；若不存在，说明理由．（3）连接BQ ，一动点M 从点B 出发，沿线段BQ 以每秒1个单位的速度运动到Q ，再沿线段QD个单位的速度运动到D 后停止，当点Q 的坐标是多少时，点M 在整个运动过程中的用时t 最少？10. 如图，四边形OABC 为直角梯形，A （4，0），B （3，4），C （0，4）．点M 从O 出发以每秒2个单位长度的速度向A 运动；点N 从B 同时出发，以每秒1个单位长度的速度向C 运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N 作NP 垂直轴于点P ，连结AC 交NP 于Q ，连结MQ ．（1）点（填M 或N ）能到达终点；（2）求△AQM 的面积S 与运动时间t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围，当t 为何值时，S 的值最大；（3）是否存在点M ，使得△AQM 为直角三角形？若存在，求出点M 的坐标，若不存在，说明理由．。

2021年九年级中考数学专题复习《二次函数的几何应用》高频考点靶向提升练习

2021年中考数学专题复习《二次函数的几何应用》高频考点靶向提升练习一．选择题.1. 如图，△ABC 和DEF 都是边长为2的等边三角形，它们的边BC ，EF 在同一条直线l 上，点C ，E 重合，现将△ABC 沿直线l 向右移动，直至点B 与F 重合时停止移动，在此过程中，设点C 移动的距离为x ，两个三角形重叠部分的面积为y ，则y 随x 变化的函数图象大致为（）A . B.C. D.2.如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a>0)的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴正半轴交于点C ，它的对称轴为直线x ＝－1.则下列选项中正确的是（）A ．abc<0B ．4ac －b 2>0C ．c －a>0D ．当x ＝－n 2－2(n 为实数)时，y≥c3. 设函数2()y a x h k =-+（a ，h ，k 是实数，0a ≠），当1x =时，1y =；当8x =时，8y =，（）A ．若4h =，则0a <B ．若5h =，则0a >C ．若6h =，则0a <D ．若7h =，则0a >4.如图，正方形四个顶点的坐标依次为（1,1），（3,1），（3，3），（1,3），若抛物线y=ax 2的图象与正方形有公共顶点，则实数a 的取值范围是（）A.391≤≤a B.191≤≤a C.331≤≤a D.131≤≤a5. 如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋4交y 轴于点A ，交过点A 且平行于x 轴的直线于另一点B ，交x 轴于C ，D 两点（点C 在点D 的右边），对称轴为直线x ＝52，连接AC ，AD ，BC ．若点B 关于直线AC 的对称点恰好落在线段OC 上，下列结论中错误的是（）A ．点B 坐标为（5，4） B ．AB ＝ADC ．a ＝16-D ．OC•OD＝166. 抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴是直线x ＝－2，抛物线与x 轴的一个交点在点(－4， 0)和点(－3，0)之间，其部分图象如图所示，下列结论中正确的个数有：①4a －b ＝0;②c≤3a;③关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝2有两个不相等实数根;④b 2＋2b> 4ac ．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7. 在同一平面直角坐标系内，二次函数y ﹦ax 2＋bx ＋b （a ≠0）与一次函数y ﹦ax ＋b 的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．8. 如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴为直线x ＝1．给出下列结论： ①ac ＜0；②b 2－4ac ＞0；③2a －b ＝0；④a －b ＋c ＝0．其中，正确的结论有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二．填空题.9. 在平面直角坐标系中，已知()1,A m -和()5,B m 是抛物线21y x bx =++上的两点，将抛物线21y x bx =++的图象向上平移n （n 是正整数）个单位，使平移后的图象与x 轴没有交点，则n的最小值为．O 1yx310. 如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)与x 轴交于点A 、B ，顶点为C ，对称轴为直线x ＝1，给出下列结论：①abc ＜0；②若点C 的坐标为(1，2)，则△ABC 的面积可以等于2；③M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)是抛物线上两点(x 1＜x 2)，若x 1＋x 2＞2，则y 1＜y 2；④若抛物线经过点(3，－1)，则方程ax 2＋bx ＋c ＋1＝0的两根为－1，3．其中正确结论的序号为______．11.二次函数y=ax 2—3ax+3的图像过点A （6,0），且与y 轴交于点B ，点M 在该抛物线的对称轴上，若△ABM 是以AB 为直角边的直角三角形，则点M 的坐标为．12. 抛物线y ＝ax 2+bx+c （a ≠0）的部分图象如图所示，其与x 轴的一个交点坐标为（﹣ 3，0），对称轴为x ＝﹣1，则当y ＜0时，x 的取值范围是．13. 如图所示，已知二次函数c +bx +ax =y 2的图象与x 轴交于A （-1，0），B （3，0）两点，与y 轴的正半轴交于点C ，顶点为D ，则下列结论：①2a+b=0；②2c<3b ；③当△ABC 是等腰三角形时，a 的值有2个；④当△BCD 是直角三角形时，22-=a .其中正确的有 .14. 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论：①ac＜0；②3a＋c＝0；③4ac－b2＜0；④当x＞－1时，y随着x的增大而减小．其中正确的有 .三．解答题.15. 如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c（c＞0）的顶点为D，与y轴的交点为C．过点C的直线CA与抛物线交于另一点A（点A在对称轴左侧），点B在AC的延长线上，连结OA，OB，DA和DB．（1）如图1，当AC∥x轴时，①已知点A的坐标是（﹣2，1），求抛物线的解析式；②若四边形AOBD是平行四边形，求证：b2＝4c．（2）如图2，若b＝﹣2，BCAC =35，是否存在这样的点A，使四边形AOBD是平行四边形？若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由．16. 如图，已知抛物线y＝ax2+bx+6经过两点A（﹣1，0），B（3，0），C是抛物线与y轴的交点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P （m ，n ）在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设△PBC 的面积为S ，求S 关于m 的函数表达式（指出自变量m 的取值范围）和S 的最大值；N 使得∠CMN ＝90°，且△CMNAB 相交于A ，B 两点，其中A PAB 面积的最大值； ()1110b x c a +≠，平移后的抛在平面直角坐标系中是否存E 的坐标；若不18. 如图，在平面直角坐标系中，函数223(0)=-++>的图像交x轴于点A、B，交yy ax ax a a轴于点C，它的对称轴交x轴于点E.过点C作CD∥x轴交抛物线于点D，连接DE并延长交y轴于点F，交抛物线于点G.直线AF交CD于点H，交抛物线于点K，连接HE、GK.（1）点E的坐标为：；（2）当△HEF是直角三角形时，求a的值；（3）HE与GK有怎么的位置关系？请说明理由.19. 如图，二次函数y＝ax2＋bx＋4的图象与x轴交于点A(－1．0)，B(4．0)，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，其对称轴与线段BC交于点E．垂直于x轴的动直线l分别交抛物线和线段BC于点P和点F，动直线l在抛物线的对称轴的右侧（不含对称轴）沿x轴正方向移动到B点．（1）求出二次函数y＝ax2＋bx＋4和BC所在直线的表达式；（2）在动直线l移动的过程中，试求使四边形DEFP为平行四边形的点P的坐标；（3）连接CP，CD，在移动直线l移动的过程中，抛物线上是否存在点P，使得以点P，C，F为顶点的三角形与△DCE相似，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由．20. 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx＋3分别交x轴、y轴于A，B两点，经过A，B两点的抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴的正半轴相交于点C (1，0)．(1)求抛物线的解析式;(2)若P为线段AB上一点，∠APO＝∠ACB，求AP的长;(3)在(2)的条件下，设M是y轴上一点，试问:抛物线上是否存在点N，使得以A，P，M，N 为顶点的四边形为平行四边形?若存在，求出点N的坐标;若不存在，请说明理由．。

2023年中考九年级数学高频考点专题训练--二次函数的三种形式

2023年中考九年级数学高频考点专题训练--二次函数的三种形式一、综合题1．已知二次函数y=x2﹣（2k+1）x+k2+k（k＞0）（1）当k= 12时，将这个二次函数的解析式写成顶点式；（2）求证：关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k=0有两个不相等的实数根．2．求二次函数的顶点坐标和对称轴．（1）用配方法：y=3x2﹣6x+2；（2）用公式法：y=﹣5x2+80x﹣319．3．如图，已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A(1，0)、B(3，0)，与y轴交于点C.（1）求二次函数的解析式；（2）若点P为抛物线上的一点，点F为对称轴上的一点，且以点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；（3）点E是二次函数第四象限图象上一点，过点E作x轴的垂线，交直线BC于点D，求四边形AEBD面积的最大值及此时点E的坐标.4．在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（﹣4，0），B（0，﹣4），C（2，0）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．5．某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利过程．下面的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润s（万元）与销售时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和s和t之间的关系）．根据图象提供的信息，解答下列问题：（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润s（万元）与时间t（月）之间的函数关系式；（2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元；（3）求第8个月公司所获利润是多少万元？6．利用配方法，把下列函数写成y=a（x﹣h）2+k的形式，并写出它们图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．（1）y=﹣x2+6x+1（2）y=2x2﹣3x+4（3）y=﹣x2+nx（4）y=x2+px+q．7．对于二次函数y= 12x2﹣3x+4，（1）配方成y=a（x﹣h）2+k的形式．（2）求出它的图象的顶点坐标和对称轴．（3）求出函数的最大或最小值．8．已知二次函数的解析式是y=x2﹣2x﹣3（1）用配方法将y=x2﹣2x﹣3化成y=a（x﹣h）2+k的形式；（2）在直角坐标系中，用五点法画出它的图像；（3）利用图象求当x为何值时，函数值y＜0（4）当x为何值时，y随x的增大而减小？（5）当﹣3＜x＜3时，观察图象直接写出函数值y的取值的范围．9．如图，△M的圆心M（﹣1，2），△M经过坐标原点O，与y轴交于点A，经过点A的一条直线l解析式为：y=﹣12x+4与x轴交于点B，以M为顶点的抛物线经过x轴上点D（2，0）和点C（﹣4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）求证：直线l是△M的切线；（3）点P为抛物线上一动点，且PE与直线l垂直，垂足为E，PF△y轴，交直线l于点F，是否存在这样的点P，使△PEF的面积最小？若存在，请求出此时点P的坐标及△PEF面积的最小值；若不存在，请说明理由．10．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）求该抛物线的对称轴以及顶点坐标；（3）设（1）中的抛物线上有一个动点P，当点P在该抛物线上滑动到什么位置时，满足S△PAB=8，并求出此时P点的坐标．11．如图1，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点为C（1，4），交x轴于A、B两点，交y轴于点D，其中点B的坐标为（3，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F，其中点E的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为直线PQ上的一动点，则x轴上是否存在一点H，使D、G，H、F 四点所围成的四边形周长最小？若存在，求出这个最小值及点G、H的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图3，在抛物线上是否存在一点T，过点T作x轴的垂线，垂足为点M，过点M作MN△BD，交线段AD于点N，连接MD，使△DNM△△BMD？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．12．如图，抛物线与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，且x1＜x2与y轴交于点C（0，4），其中x1，x2是方程x2﹣4x﹣12=0的两个根．（1）求抛物线的解析式；（2）点M是线段AB上的一个动点，过点M作MN△BC，交AC于点N，连结CM，当△CMN 的面积最大时，求点M的坐标；（3）点D（4，k）在（1）中抛物线上，点E为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点F，使以A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出所有满足条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．13．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3交x轴于A（﹣1，0）和B（5，0）两点，交y轴于点C，点D是线段OB上一动点，连接CD，将线段CD绕点D顺时针旋转90°得到线段DE，过点E作直线l△x轴于H，交抛物线于点M，过点C作CF△l于F．（1）求抛物线解析式；（2）如图2，当点F恰好在抛物线上时（与点M重合）①求点F的坐标；②求线段OD的长；③试探究在直线l上，是否存在点G，使△EDG=45°？若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由．（3）在点D的运动过程中，连接CM，若△COD△△CFM，请直接写出线段OD的长．14．如图，已知抛物线与x轴交于A（1，0），B（﹣3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），抛物线的顶点为P，连接AC．（1）求此抛物线的解析式；（2）在抛物线上找一点D，使得DC与AC垂直，且直线DC与x轴交于点Q，求点D的坐标；（3）抛物线对称轴上是否存在一点M，使得SΔMAP=2SΔACP，若存在，求出M点坐标；若不存在，请说明理由．15．已知抛物线G: y=x2−2tx+3( t为常数)的顶点为P.（1）求点P的坐标；(用含t的式子表示)（2）在同一平面直角坐标系中，存在函数图象H，点A(m,n1)在图象H上，点B(m,n2)在抛物线G上，对于任意的实数m，都有点A，B关于点(m,m)对称.①当t=1 时，求图象H对应函数的解析式；②当1≤m≤t+1时，都有n1>n2成立，结合图象，求t的取值范围.16．抛物线y= 13x2+bx+c经过点A（﹣4，0）、B（2，0）两点，与y轴交于点C，顶点为D，对称轴与x轴交于点H，过点H的直线m交抛物线于P、Q两点，其中点P位于第二象限，点Q在y轴的右侧．（1）求D点坐标；（2）若△PBA= 12△OBC，求点P的坐标；（3）设PQ的中点为M，点N在抛物线上，则以DP为对角线的四边形DMPN能否为菱形？若能，求出点N的坐标；若不能，请说明理由．答案解析部分1．【答案】（1）解：把k= 12代入y=x2﹣（2k+1）x+k2+k（k＞0）得y=x2﹣2x+ 34，因为y=（x﹣1）2﹣1 4所以抛物线的顶点坐标为（1，﹣1 4）（2）证明：△=（2k+1）2﹣4（k2+k）=1＞0，所以关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k=0有两个不相等的实数根2．【答案】（1）解：y=3x2﹣6x+2=3（x﹣1）2﹣1，顶点坐标为（1，﹣1），对称轴为x=1（2）解：∵a=﹣5，b=80，c=﹣319，∴﹣b2a=﹣802×(−5)=8，4ac−b2 4a = 4×(−5)×(−319)−8024×(−5)=1，∴顶点坐标为（8，1），对称轴为x=83．【答案】（1）解：用交点式函数表达式得：y=(x−1)(x−3)=x2−4x+3；故二次函数表达式为：y=x2−4x+3（2）解：①当AB为平行四边形一条边时，如图1，则AB=PF=2，则点P坐标为(4，3)，当点P在对称轴左侧时，即点C的位置，点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，故：点P(4，3)或(0，3)；②当AB是四边形的对角线时，如图2，AB中点坐标为(2，0)设点P的横坐标为m，点F的横坐标为2，其中点坐标为：m+2 2，即：m+22=2，解得：m=2，故点P(2，−1)；综上：点P(4，3)或(0，3)或(2，−1)；（3）解：利用待定系数法求得直线BC的表达式为：y=−x+3，设点E坐标为(x，x2−4x+3)，则点D(x，−x+3)，S四边形AEBD =12AB(yD−yE)=−x+3−x2+4x−3=−x2+3x，∵−1<0，故四边形AEBD面积有最大值，当x=32，其最大值为94，此时点E(32，−34).4．【答案】（1）解：设抛物线解析式为y=a（x+4）（x﹣2），将B（0，﹣4）代入得：﹣4=﹣8a，即a= 1 2，则抛物线解析式为y= 12（x+4）（x﹣2）=12x2+x﹣4；（2）解：过M作MN△x轴，将x=m代入抛物线得：y= 12m2+m﹣4，即M（m，12m2+m﹣4），∴MN=| 12m2+m﹣4|=﹣12m2﹣m+4，ON=﹣m，∵A（﹣4，0），B（0，﹣4），∴OA=OB=4，∴△AMB的面积为S=S△AMN+S梯形MNOB﹣S△AOB= 12×（4+m）×（﹣12m2﹣m+4）+ 12×（﹣m）×（﹣12m2﹣m+4+4）﹣12×4×4 =2（﹣12m2﹣m+4）﹣2m﹣8=﹣m2﹣4m=﹣（m+2）2+4，当m=﹣2时，S取得最大值，最大值为4．5．【答案】（1）解：由图象可知其顶点坐标为（2，﹣2），故可设其函数关系式为：S=a（t﹣2）2﹣2．∵所求函数关系式的图象过（0，0），于是得：a（0﹣2）2﹣2=0，解得a= 1 2．∴所求函数关系式为：S= 12（t﹣2）2﹣2，即S= 12t2﹣2t．答：累积利润S与时间t之间的函数关系式为：S= 12t2﹣2t（2）解：把S=30代入S= 12（t﹣2）2﹣2，得12（t﹣2）2﹣2=30．解得t1=10，t2=﹣6（舍去）．答：截止到10月末公司累积利润可达30万元（3）解：把t=7代入关系式，得S= 12×72﹣2×7=10.5，把t=8代入关系式，得S= 12×82﹣2×8=16，16﹣10.5=5.5，答：第8个月公司所获利是5.5万元．6．【答案】（1）解：y=﹣x2+6x+1=﹣（x2﹣6x）+1=﹣（x﹣3）2+10，对称轴x=3，顶点坐标为：（3，10），开口向下（2）解：y=2x2﹣3x+4=2（x2﹣32x）+4=2（x﹣34）2+ 238，对称轴x= 34，顶点坐标为：（34，238），开口向上（3）解：y=﹣x2+nx=﹣（x﹣n2）2+n24，对称轴x= n2，顶点坐标为：（n2，n24），开口向下（4）解：y=x2+px+q=（x+ p2）2+4q−p24，对称轴x=﹣p2，顶点坐标为：（p2，4q−p24），开口向上7．【答案】（1）解：y= 12x2﹣3x+4 = 12（x2﹣6x）+4= 12[（x﹣3）2﹣9]+4= 12（x﹣3）2﹣12（2）解：由（1）得：图象的顶点坐标为：（3，﹣1 2），对称轴为：直线x=3（3）解：∵a= 12＞0，∴函数的最小值为：﹣1 28．【答案】（1）解：y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，即y=（x﹣1）2﹣4（2）解：由（1）可知，y=（x﹣1）2﹣4，则顶点坐标为（1，﹣4），令x=0，则y=﹣3，∴与y轴交点为（0，﹣3），令y=0，则0=x2﹣2x﹣3，解得x1=﹣1，x2=3，∴与x轴交点为（﹣1，0），（3，0）．列表：描点、连线：（3）解：由图象知，当﹣1＜x＜3时，函数值y＜0（4）解：由图象知，当x＜1时，y随x的增大而减小（5）解：当x=﹣3时，y=9+6﹣3=12，则﹣3＜x＜3时，0＜y＜129．【答案】（1）解：设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）（x+4），将点M的坐标代入得：﹣9a=2，解得：a=﹣2 9．∴抛物线的解析式为y=﹣29x2﹣49x+169（2）解：连接AM，过点M作MG△AD，垂足为G．把x=0代入y=﹣12x+4得：y=4，∴A（0，4）．将y=0代入得：0=﹣12x+4，解得x=8，∴B（8，0）．∴OA=4，OB=8．∵M（﹣1，2），A（0，4），∴MG=1，AG=2．∴tan△MAG=tan△ABO= 1 2．∴△MAG=△ABO．∵△OAB+△ABO=90°，∴△MAG+△OAB=90°，即△MAB=90°．∴l是△M的切线（3）解：∵△PFE+△FPE=90°，△FBD+△PFE=90°，∴△FPE=△FBD．∴tan△FPE= 1 2．∴PF：PE：EF= √5：2：1．∴△PEF的面积= 12PE•EF=12×2√55PF• √55PF= 15PF2．∴当PF最小时，△PEF的面积最小．设点P的坐标为（x，﹣29x2﹣49x+169），则F（x，﹣12x+4）．∴PF=（﹣12x+4）﹣（﹣29x2﹣49x+169）=﹣12x+4+29x2+ 49x﹣169=29x2﹣118x+209=29（x﹣18）2+ 7132．∴当x= 18时，PF有最小值，PF的最小值为7132．∴P（18，5532）．∴△PEF的面积的最小值为= 15×（7132）2= 5041512010．【答案】（1）解：∵抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，∴方程x2+bx+c=0的两根为x=﹣1或x=3，∴﹣1+3=﹣b，﹣1×3=c，∴b=﹣2，c=﹣3，∴二次函数解析式是y=x2﹣2x﹣3（2）解：∵y=﹣x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的对称轴x=1，顶点坐标（1，﹣4）（3）解：设P 的纵坐标为|y P |，∵S △PAB =8，∴12AB•|y P |=8，∵AB=3+1=4，∴|y P |=4， ∴y P =±4，把y P =4代入解析式得，4=x 2﹣2x ﹣3，解得，x=1±2 √2 ，把y P =﹣4代入解析式得，﹣4=x 2﹣2x ﹣3，解得，x=1，∴点P 在该抛物线上滑动到（1+2 √2 ，4）或（1﹣2 √2 ，4）或（1，﹣4）时，满足S △PAB =8 11．【答案】（1）解：设抛物线的解析式为：y=a （x ﹣1）2+4，∵点B 的坐标为（3，0）．∴4a+4=0，∴a=﹣1，∴此抛物线的解析式为：y=﹣（x ﹣1）2+4=﹣x 2+2x+3（2）解：存在．抛物线的对称轴方程为：x=1，∵点E 的横坐标为2，∴y=﹣4+4+3=3，∴点E （2，3），∴设直线AE 的解析式为：y=kx+b ，∴{−k +b =02k +b =3， ∴{k =1b =1， ∴直线AE 的解析式为：y=x+1，∴点F （0，1），∵D （0，3），∴D 与E 关于x=1对称，作F 关于x 轴的对称点F′（0，﹣1），连接EF′交x 轴于H ，交对称轴x=1于G ，四边形DFHG 的周长即为最小，设直线EF′的解析式为：y=mx+n ，∴{n =−12m +n =3，解得： {m =2n =−1， ∴直线EF′的解析式为：y=2x ﹣1，∴当y=0时，2x ﹣1=0，得x= 12，即H （ 12，0），当x=1时，y=1，∴G （1，1）；∴DF=2，FH=F′H= √(12)2+12 = √52 ，DG= √22+12 = √5 ， ∴使D 、G ，H 、F 四点所围成的四边形周长最小值为：DF+FH+GH+DG=2+ √52 + √52+ √5 =2+2 √5（3）解：存在．∵BD= √32+32 =3 √2 ，设M （c ，0），∵MN△BD ，∴MN BD =AN AB，即 3√2= 1+c 4 ， ∴MN= 3√24（1+c ），DM= √32+c 2 ，要使△DNM△△BMD ，需 DM BD =MN DM，即DM 2=BD•MN ，可得：9+c 2=3 √2 × 3√24 （1+c ），解得：c= 32或c=3（舍去）．当x= 32 时，y=﹣（ 32 ﹣1）2+4= 154．∴存在，点T的坐标为（32，154）12．【答案】（1）解：∵x2﹣4x﹣12=0，∴x1=﹣2，x2=6．∴A（﹣2，0），B（6，0），又∵抛物线过点A、B、C，故设抛物线的解析式为y=a（x+2）（x﹣6），将点C的坐标代入，求得a= 1 3，∴抛物线的解析式为y= 13x2﹣43x﹣4.（2）解：设点M的坐标为（m，0），过点N作NH△x轴于点H（如图（1））．∵点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（6，0），∴AB=8，AM=m+2，∵MN△BC，∴△MNA△△BCA．∴NHCO=AMAB，∴NH4=m+28，∴NH= m+2 2，∴S△CMN=S△ACM﹣S△AMN= 12•AM•CO﹣12AM•NH，= 12（m+2）（4﹣m+22）=﹣14m2+m+3，=﹣14（m﹣2）2+4．∴当m=2时，S△CMN有最大值4．此时，点M的坐标为（2，0）.（3）解：∵点D（4，k）在抛物线y= 13x2﹣43x﹣4上，∴当x=4时，k=﹣4，∴点D的坐标是（4，﹣4）．①如图（2），当AF为平行四边形的边时，AF平行且等于DE，∵D（4，﹣4），∴DE=4．∴F1（﹣6，0），F2（2，0），②如图（3），当AF为平行四边形的对角线时，设F（n，0），∵点A的坐标为（﹣2，0），则平行四边形的对称中心的横坐标为：n+(−2)2，∴平行四边形的对称中心坐标为（n−22，0），∵D（4，﹣4），∴E'的横坐标为：n−22﹣4+n−22=n﹣6，E'的纵坐标为：4，∴E'的坐标为（n﹣6，4）．把E'（n﹣6，4）代入y= 13x2﹣43x﹣4，得n2﹣16n+36=0．解得n=8±2 √7．F3（8﹣2 √7，0），F4（8+2 √7，0），综上所述F1（﹣6，0），F2（2，0），F3（8﹣2 √7，0），F4（8+2 √7，0）．13．【答案】（1）解：把x=0代入抛物线的解析式得：y=3，∴C（0，3）．设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣5），将点C的坐标代入得：﹣5a=3，解得：a=﹣3 5．∴抛物线的解析式为y=﹣35x2+125x+3（2）解：①∵CF△l，OB△l，∴CF△x轴．∴点F的纵坐标为3．将y=3代入抛物线的解析式得：﹣35x2+ 125x+3=3，解得x=0或x=4．∴点F的坐标为（4，3）．②∵点F的坐标为（4，3），∴点H的坐标为（4，0）．∵△CDE=90°，∴△CDO+△EDH=90°．∵△OCD+△CDO=90°，∴△OCD=△EDH．由旋转的性质可知：CD=DE．在Rt△OCD和Rt△HDE中，{∠OCD=∠EDH∠COD=∠DHECD=DE，∴Rt△OCD△Rt△HDE．∴CO=DH=3．又∵OH=4，∴OD=1．③如图1所示：将CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CN，则N（3，4）且四边形CDEN为正方形．∵四边形CDEN为正方形，∴△GDE=45°．设DN的解析式为y=kx+b，将点D和点N的坐标代入得：{k+b=03k+b=4，解得：k=2，b=﹣2．∴DN的解析式为y=2x﹣2．把x=4代入得：y=6，∴G（4，6）．设直线DG′的解析式为y=﹣12x+c，将点D的坐标代入得：﹣12+c=0，解得：c=12．∴直线DG′的解析式为y=﹣12x+12．将x=4代入得：y=﹣3 2．∴点G′的坐标为（4，﹣3 2）．综上所述，点G的坐标为（4，6）或（4，﹣3 2）（3）解：如图2所示：设点D的坐标为（a，0），则点M的坐标（a+3，﹣35a2﹣65a+245）．∴FM=﹣35a2﹣65a+95．∵△COD△△CFM，∴OCDO=CFFM，即3a=3+a−35a2−65a+95，整理得：14a2+33a﹣27=0，解得a= 914或a=﹣3（舍去）．∴OD= 9 14．如图3所示：设点D的坐标为（a，0），则点M的坐标（a+3，﹣35a2﹣65a+245）．∴FM= 35a2+ 65a﹣95．∵△COD△△CFM，∴OCDO=CFFM，3a=a+335a2+65a−95，整理得：4a2+3a﹣27=9，解得：a=﹣3（舍去）或a=94．∴OD= 9 4．综上所述，OD 的长为 914 或 9414．【答案】（1）解：设此抛物线的解析式为： y =ax 2+bx +c ，由题意得： {a +b +c =09a +3b +c =0c =3 ∴{a =−1b =−2c =3∴所求解析式为y =−x 2−2x +3（2）解：∵点A （1，0），点C （0，3），∴OA=1，OC=3，∵DC△AC ，OC△x 轴，∴△QOC△△COA ，∴OQ OC =OC OA ，即 OQ 3=31， ∴OQ=9，又∵点Q 在x 轴的负半轴上，∴Q （﹣9，0），设直线DC 的解析式为：y=mx+n ，则 {−9m +n =0n =3，解之得： {m =13n =3， ∴直线DC 的解析式为： y =13x +3 ， ∵点D 是抛物线与直线DC 的交点，∴{y =13x +3y =−x 2−2x +3，解之得： {x 1=−73y 1=209， {x 2=0y 2=3 （不合题意，应舍去）， ∴点D (−73，209) ，（3）解：如图，点M 为直线x=﹣1上一点，连接AM ，PC ，PA ，设点M （﹣1，y ），直线x=﹣1与x 轴交于点E ，∴AE=2，∵抛物线y=﹣x 2﹣2x+3的顶点为P ，对称轴为x=﹣1，∴P （﹣1，4），∴PE=4，则PM=|4﹣y|，∵S 四边形AEPC =S 四边形OEPC +S △AOC ，= 12×1×（3+4）+12×1×3 = 12（3+7） =5，又∵S 四边形AEPC =S △AEP +S △ACP ，S △AEP 12AE ×PE =12×2×4=4，∴+S △ACP =5﹣4=1，∵S △MAP =2S △ACP ，∴12×2×|4−y|=2×1 ，∴|4﹣y|=2，∴y 1=2，y 2=6，故抛物线的对称轴上存在点M 使S△MAP=2S△ACP，点M（﹣1，2）或（﹣1，6）15．【答案】（1）y=x2−2tx+3=x2−2tx+t2−t2+3=(x−t)2−t2+3∴顶点P的坐标为(t,−t2+3)；（2）解：①当t=1时，得G的解析式为：y=x2−2x+3，点B(m,n2)在G上，∴n2=m2−2m+3∵点A(m,n1)与点B关于点(m,m)对称，则点A，B到点(m,m)的距离相等，此三点横坐标相同，有n2−m=m−n1.∴(m2−2m+3)−m=m−n1整理，得n1=−m2+4m−3，由于m为任意实数，令m为自变量x，n1为y.即可得H的解析式为：y=−x2+4x−3；①关于抛物线G的性质：点B(m,n2)在G上，∴n2=m2−2tm+3由G：y=x2−2tx+3，知抛物线G开口向上，对称轴为x=t，顶点P(t,−t2+3)，且图象恒过点(0,3).∴当t≤x≤t+1时，图象G的y随着x的增大而增大.当x=t+1时，y取最大值−t2+4；当x=t时，y取最小值−t2+3；最大值比最小值大1.关于图象H的性质：∵点A(m,n1)与点B关于点(m,m)对称，有n2−m=m−n1，(m2−2tm+3)−m=m−n1，整理，得n1=−m2+2tm+2m−3所以，图象H的解析式为：y H=−x2+2tx+2x−3.=−[x−(t+1)]2+(t2+2t−2)配方，得yH∴图象H为一抛物线，开口向下，对称轴为x=t+1，顶点P(t+1,t2+2t−2)，且图象恒过点(0,−3).∴当t≤x≤t+1时，图象H的y随着x的增大而增大.当x=t+1时，y取最大值t2+2t−2；当x=t时，y取最小值y=t2+2t−3，即过Q(t,t2+2t−3)；最大值比最小值大1.情况1：当P，Q两点重合，即两个函数恰好都经过(t,t)，(t+1,t+1)时，把(t,t)代入y=x2−2tx+3得t=t2−2t⋅t+3，解得，t=−1+√132或t=−1−√132.分别对应图3，图4两种情形，由图可知，当m=t，或m=t+1时，A与B重合，即有n1=n2，不合题意，舍去；情况2：当点P在点Q下方，即t>−1+√132时，大致图象如图1，当t<−1−√132时，大致图象如图2，都有点A在点B的上方，即n1>n2成立，符合题意；情况3：当点P在点Q上方，即−1−√132<t<−1+√132时，大致图象如图5，图6，当t≤m≤t+1时，存在A在B的下方，即存在n1<n2，不符合题意，舍去；综上所述，所求t的取值范围为：t>−1+√132或t<−1−√132.16．【答案】（1）解：∵y= 13x2+bx+c经过点A（﹣4，0）、B（2，0）两点，∴y= 13（x+4）（x﹣2）=13（x2+2x﹣8）= 13（x+1）2﹣3．∴D（﹣1，﹣3）．（2）解：在x轴上点E（﹣2，0），连接CE，并延长CE交PB于点F，过点F作FG△x轴，垂足为G．∵点E与点B关于y轴对称，∴△OBC=△OEC．∴△OBC=△GEF．∵△PBA= 12△OBC，∴△PBA=△EFB．∴EF=EB=4．∵OE=2，OC= 8 3，∴EC= 10 3．∵GF△OC，∴△FGE△△COE．∴FGOC=EGOE=EFEC，即FG83= EG2=4103，解得：FG= 165，EG=125，∴F（﹣225，165）．设BP的解析式为y=kx+b，将点F和点B的坐标代入得：{2k+b=0−225k+b=165，解得：k=﹣12，b=1，∴直线BP的解析式为y=﹣12x+1．将y=﹣12x+1与y=13x2+ 23x﹣83联立，解得：x=﹣112，x=2（舍去），∴y= 15 4．∴P（﹣112，154）；（3）解：设P（x1，y1）、Q（x2，y2）且过点H（﹣1，0）的直线PQ的解析式为y=kx+b，∴﹣k+b=0，∴b=k，∴y=kx+k．由{y=kx+ky=13x2+23x−83得：13x2+（23﹣k）﹣83﹣k=0∴x1+x2=﹣2+3k，y1+y2=kx1+k+kx2+k=3k2，解得：x1=﹣1，x2=3k﹣1，∵点M是线段PQ的中点，∴由中点坐标公式的点M（32k﹣1，32k2）．假设存在这样的N点如图2，直线DN△PQ，设直线DN的解析式为y=kx+k﹣3由{y=kx+k−3y=13x2+23x−83，解得：x1=﹣1，x2=3k﹣1，∴N（3k﹣1，3k2﹣3）．∵四边形DMPN是菱形，∴DN=DM，∴（3k）2+（3k2）2=（3k2）2+ 32k2+3）2，整理得：3k4﹣k2﹣4=0，∵k2+1＞0，∴3k2﹣4=0，解得k=± 2√33，∵k＜0，∴k=﹣2√33，∴P（﹣3 √3﹣1，6），M（﹣√3﹣1，2），N（﹣2 √3﹣1，1）．∴PM=DN=2 √7，∵PM△DN，∴四边形DMPN是平行四边形，∵DM=DN，∴四边形DMPN为菱形，∴以DP为对角线的四边形DMPN能成为菱形，此时点N的坐标为（﹣2 √3﹣1，1）．。

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中考数学高频考点专题突破与提升策略（二次函数）
考点一：二次函数图像信息题
一.解决函数图象问题的一般步骤:
1.弄清题意,分析函数自变量的取值范围及分段.
2.分析各段上的函数的变化趋势.
3.确定函数表达式,根据函数的图象与性质作出判断.
二．典型题专练
1. 如图,下列各曲线中能够表示y是x的函数的是( )
2. 小明从家到学校,先匀速步行到车站,等了几分钟后坐上了公交车,公交车沿着公路匀速行驶一段时间后到达学校.小明从家到学校行驶路程s(m)与时间
t(min)的大致图象是( )
3.如图,正方形ABCD的边长为2 cm,动点P,Q同时从点A出发,在正方形的边上,分别按A→D→C,A→B→C的方向,都以1 cm/s的速度运动,到达点C运动终止,连接PQ,设运动时间为x s,△APQ的面积为y cm2,则下列图象中能大致表示y与x的函数关系的是( )
4. 如图,在正方形ABCD中,AB=3 cm,动点M自A点出发沿AB方向以每秒1 cm 的速度运动,同时动点N自D点出发沿折线DC-CB以每秒2 cm的速度运动,到达B点时运动同时停止,设△AMN的面积为y(cm2),运动时间为x(秒),则下列图象中能大致反映y与x之间的函数关系的是 ( )
考点二：二次函数的图象和性质
=ax2+bx 1.已知a,b是非零实数,|a|>|b|,在同一平面直角坐标系中,二次函数y
1
与一次函数y
=ax+b的大致图象不可能是( )
2
2.抛物线y=x2+6x+7可由抛物线y=x2如何平移得到的( )
A.先向左平移3个单位,再向下平移2个单位
B.先向左平移6个单位,再向上平移7个单位
C.先向上平移2个单位,再向左平移3个单位
D.先向右平移3个单位,再向上平移2个单位
3.二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示,有以下结
论:①3a-b=0;②b2-4ac>0;③5a-2b+c>0;④4b+3c>0,其中错误结论的个数是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
4.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,若M=4a+2b,N=a-b.则M,N的大小关系为M N.(填“>”“=”或“<”)
5.一次函数y=kx+4与二次函数y=ax2+c的图象的一个交点坐标为(1,2),另一个交点是该二次函数图象的顶点.
(1)求k,a,c的值.
(2)过点A(0,m)(0<m<4)且垂直于y轴的直线与二次函数y=ax2+c的图象相交于B,C两点,点O为坐标原点,记W=OA2+BC2,求W关于m的函数表达式,并求W的最小值.
考点三：二次函数的应用
一．利用二次函数解决实际问题的一般步骤: 1.先分析问题中的数量关系,列出函数表达式. 2.确定自变量的取值范围. 3.分析所得函数的性质. 4.解决提出的问题. 二．典型题专练
1. 运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出,足球飞行的路线是一条抛物线,不考虑空气阻力,足球距离地面的高度h(单位:m)与足球被踢出后经过的时间t(单位:s)之间的关系如下表:
下列结论:①足球距离地面的最大高度为20 m;②足球飞行路线的对称轴是直线t=9
2;③足球被踢出9.5 s 时落地:④足球被踢出7.5 s 时,距离地面的高度是11.25 m,其中不正确结论的个数是 ( ) A.1
B.2
C.3
D.4
2. 如图,一位运动员推铅球,铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系是y=-1
12x 2+2
3x+5
3,则此运动员把铅球推出多远 ( )
A.12 m
B.10 m
C.3 m
D.4 m
3. 如图,某工厂大门是抛物线形水泥建筑,大门底部地面宽4米,顶部距地面的高度为
4.4米,现有一辆满载货物的汽车欲通过大门,其装货宽度为2.4米,该车要想通过此门,装货后的高度应小于( )
A.2.80米
B.2.816米
C.2.82米
D.2.826米
4. 如图,隧道的截面由抛物线和长方形OABC构成,长方形的长OA是12 m,宽OC
x2+bx+c表示.在抛物是4 m.按照图中所示的平面直角坐标系,抛物线可以用y=-1
6
线形拱壁上需要安装两排灯,使它们离地面的高度相等,如果灯离地面的高度不超过8 m.那么两排灯的水平距离最小是 .
5. 如图,一铁杠长为1.6 m,两立柱高为2.2 m,将一根绳子的两端拴在立柱与铁杠的结合处,绳子自然下垂呈抛物线状. 一身高为0.7 m的小孩子站在离立柱0.4 m处,其头部刚好触到绳子,则绳子最低点到地面的距离为 .
6. “互联网+”时代,网上购物备受消费者青睐.某网店专售一款休闲裤,其成本为每条40元,当售价为每条80元时,每月可销售100条.为了吸引更多顾客,该网店采取降价措施.据市场调查反映:销售单价每降1元,则每月可多销售5条.设每条裤子的售价为x元(x为正整数),每月的销售量为y条.
(1)直接写出y与x的函数表达式.
(2)设该网店每月获得的利润为w元,当销售单价降低多少元时,每月获得的利润最大,最大利润是多少?
(3)该网店店主热心公益事业,决定每月从利润中捐出200元资助贫困学生.为了保证捐款后每月利润不低于4 220元,且让消费者得到最大的实惠,该如何确定休闲裤的销售单价?
考点四：二次函数与一元二次方程的关系
一．二次函数与一元二次方程的关系:
1.以形定数,抛物线与x轴交点的横坐标是对应的一元二次方程的实数根;以数定形,求出方程ax2+bx+c=0的实数根,便得到抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标.
2.一元二次方程ax2+bx+c=m的解,即为二次函数y=ax2+bx+c在当y=m时的两点的横坐标.
二．典型题专练
1已知二次函数y=ax2+2ax-3的部分图象(如图),由图象可知关于x的一元二次方
程ax2+2ax-3=0的两个根分别是x
1=1.3和x
2
= ( )
A.-1.3
B.-2.3
C.-0.3
D.-3.3
2.若二次函数y=x2+bx-5的对称轴为直线x=2,则关于x的方程x2+bx-5=2x-13的解为.
3. 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列结论:①b>0;②a-b+c=0;③一元二次方程ax2+bx+c+1=0(a≠0)有两个不相等的实数根;④当x<-1或x>3时,y>0.上述结论中正确的是.(填上所有正确结论的序号)
4. 在画二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象时,甲写错了一次项的系数,列表如下:
乙写错了常数项,列表如下:
通过上述信息,解决以下问题:
(1)求原二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的表达式.
(2)对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),当x 时,y的值随x的值增大而增大.
(3)若关于x的方程ax2+bx+c=k(a≠0)有两个不相等的实数根,求k的取值范围.
5. 已知二次函数y=x2+x+a的图象与x轴交于A(x
1,0),B(x
2
,0)两点,且1
x12
+1
x22
=1,
求a的值.
6. 已知二次函数y=a(x-m)2-a(x-m)(a、m为常数,且a≠0).
(1)求证:不论a与m为何值,该函数的图象与x轴总有两个公共点.
(2)设该函数的图象的顶点为C,与x轴交于A、B两点,与y轴交于点D.
①当△ABC的面积等于1时,求a的值;
②当△ABC的面积与△ABD的面积相等时,求m的值.
考点五：二次函数综合应用
一．二次函数压轴题,一般遵循多问解答的形式,第一问是对基础知识的考查,如求表达式等,第二问是对知识点的应用或小的拓展,第三问是在前两问的基础上进行开放性探究. 二．典型题专练
1. 已知二次函数y=x 2+x+m,当x 取任意实数时,都有y>0,则m 的取值范围是( )
A.m ≥1
4 B.m>1
4
C.m ≤1
4
D.m<1
4
2. 已知二次函数y=(k-2)2x 2+(2k+1)x+1与x 轴有交点,则k 的取值范围是( ) A.k>4
3且k ≠2
B.k ≥4
3且k ≠2
C.k>4
3
D.k ≥3
4且k ≠2
3. 将二次函数y=x 2的图象先向下平移1个单位,再向右平移3个单位,得到的图象与一次函数y=2x+b 的图象有公共点,则实数b 的取值范围是 .
4. 如图,顶点为M 的抛物线y=ax 2+bx+3与x 轴交于A(3,0),B(-1,0)两点,与y 轴交于点C.
(1)求这条抛物线对应的函数表达式.
(2)问在y 轴上是否存在一点P,使得△PAM 为直角三角形?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,说明理由.
(3)若在第一象限的抛物线下方有一动点D,满足DA=OA,过D 作DG ⊥x 轴于点G,设△ADG 的内心为I,试求CI 的最小值.
5. 如图,顶点为M的抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(-1,0),B两点,与y轴交于点C,过点C作CD⊥y轴交抛物线于另一点D,作DE⊥x轴,垂足为点E,双曲线(x>0)经过点D,连接MD,BD.
y=6
x
(1)求抛物线的表达式.
(2)点N,F分别是x轴,y轴上的两点,当以M,D,N,F为顶点的四边形周长最小时,求出点N,F的坐标.
(3)动点P从点O出发,以每秒1个单位长度的速度沿OC方向运动,运动时间为t 秒,当t为何值时,∠BPD的度数最大?(请直接写出结果)。

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