有限差分法

两端都要给定边界条件（双程坐标） 。
9
(C) 双曲型方程：适当的边界条件和初始条件，与波动传 播的性质有关 如：一维对流方程
∂u ∂u +c =0 ∂t ∂x u (x ,0) = f (x )
解为 u (x , t ) = f (x − ct ) ，代表一个向右(c > 0 时)或向左 ( c < 0 时)传播的波形。必须在波形传来的一侧提供边界条 件（单程坐标） 。
10
不适定的例子：
utt + u xx = 0 u (x ,0) = u t (x ,0) = 0
拉普拉斯方程＋非闭域边界条件，解为 u (x , t ) ≡ 0 。 然而，若定解条件为 u (x ,0) = 0, ut (x ,0) =
u (x , t ) = 1 sin nx ，解为 n
1 sinh nt sin nx n
(
)
n n um+1 = um −
cτ n n um +1 − um −1 2h
(
)
设计算到第 n 步时的累积误差
n ~n εn = 计算值um − 差分法精确解um m
反之
n ~n um = εn + um m
15
则第 n+1 步的计算值
~n ~ n cτ u n − u n ~ ~ um+1 = um − m +1 m −1 2h cτ n cτ n n n = um − um +1 − um −1 + εn − εm +1 − εn −1 m m 2h 2h n = um+1 + εn +1 m
uin +1 − uin −1 uin+1 − uin +1 − uin −1 − uin−1 −α =0 Lh u = τ h2 ατ 2 ⎛ ∂ 2u ⎞ τ 2 ⎛ ∂ 3u ⎞ Ti = Lh u − Lu (x i , t n ) = 2 ⎜ 2 ⎟ + ⎜ 3 ⎟ − L 截断误差 6 ⎜ ∂t ⎟i h ⎜ ∂t ⎟i ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
n n i 2 τ n 2⎛ ∂ u ⎞ 若 = r = 常数， Ti → αr ⎜ 2 ⎟ ≠ 0 ，不相容。 ⎜ ∂t ⎟ h ⎝ ⎠i n n n
(
) (
)
13
3. 收敛性：当步长趋于零时，差分解应收敛于微分方程的真 解。 Lax 等价定理：对于适定的线性微分方程的初值问题，若差 分格式相容，则稳定性是收敛性的充分必要条件。
(
)
( β = cτ / h )
17
◆ 用范数来表示计算误差的总体大小 可取 或 稳定性要求 然而
εn m ⎛ ⎞2 = ⎜ ∑ | εn |2 ⎟ m ⎝m ⎠
m
1
εn = sup | εn | m m εn +1 = λ εn ≤ εn ，即 m m m λ ≤1
| λ |= 1 − βi sin kh = 1 + β 2 sin 2 kh ≥ 1
n n ⎧ um − um −1 c ∂u ⎪ ⎪ c ≈⎨ n h n ∂x ⎪ um +1 − um c ⎪ h ⎩
(c > 0时) (c < 0时)
来流的上游决定下游。
|β|≤1，即 Δt ≤
Δx ――Courant 条件 c
即： Δt ≤ 波传播Δx 距离所用的时间，使 umn+1 的依赖区域不 超出[xm-1,xm+1]。
22
例 5：一维扩散方程
n m
∂u ∂ 2u −α 2 = 0 ∂t ∂x
n n n n n um+1 − um um +1 − 2um + um −1 −α =0 (1) 用显格式 Lh u = τ h2
令 r=
ατ ，有 h2
n n n n um+1 = (1 − 2r )um + r (um +1 + um −1 )
uin = u (x i , tn )
差分方程 截断误差
uin +1 − uin uin+1 − uin−1 =0 Lh u = +c 2Δx Δt
n i
Tin = Lh uin − Lu = O (Δt , Δx 2 ) →0，相容。
12
例 3：扩散方程
n i
∂u ∂ 2u Lu = −α 2 = 0 ∂t ∂x
⎛ ∂ 2u ∂ 2u ⎞ ∂u = α⎜ 2 + 2 ⎟ ⎜ ∂x ∂t ∂y ⎟为闭域边界条件；初 始条件 u (x , y ,0) = u 0 (x , y ) ，可以从初始条件开始步进计算。 又如：一维扩散方程
∂u ∂ 2u =α 2 ∂t ∂x u (x ,0) = u 0 (x ) ； u (0, t ) = f 1 (t ) ， u (L , t ) = f 2 (t )
⎛ dy ⎞ ⎛ Δy ⎞ y i +1 − y i ⎜ ⎟ ≈⎜ ⎟ = dx ⎠i ⎝ Δx ⎠i x i +1 − x i ⎝
1
向前差商
由此产生的误差称为截断误差：
⎛ Δy ⎞ ⎛ dy ⎞ y (x i + h ) − y (x i ) − y ′(x i ) ⎜ ⎟ −⎜ ⎟ = h ⎝ Δx ⎠i ⎝ dx ⎠i ⎫ ⎤ 1 ⎧⎡ h2 = ⎨⎢y (x i ) + hy ′(x i ) + y ′′(x i ) + L⎥ − y (x i )⎬ − y ′(x i ) h ⎩⎣ 2 ⎦ ⎭ = h y ′′(x i ) + L = O (h ) 2
(i-1,j)
(i,j)
(i+1,j)
(i,j-1)
6
二、差分法的基本问题 （其它方法也存在类似问题）
1. 适定性：方程在一定的定解条件（初始条件，边界条件） 下有唯一解，并且解连续性地依赖定解条件（解随定解条 件的连续变化而连续变化）
7
(A) 椭圆型方程：要求在闭域边界上给出边界条件。 如：拉普拉斯方程 第一类边界条件 第二类边界条件
误差方程为
εn +1 = (1 − 2r )εn + r (εn +1 + εn −1 ) m m m m λ = 1 − 2r (1 − coskh )
εn = Ak e ikxm = Ak e ikmh m
则 放大因子
⎡ cτ ikh ⎤ εn +1 = Ak e ikmh ⎢1 − e − e −ikh ⎥ = λε n m m ⎣ 2h ⎦
(
)
λ = 1−
cτ ikh cτi e − e −ikh = 1 − sin kh = 1 − βi sin kh 2h 2h
则 放大因子
εn +1 = 1 + β − βe ikh εn m m λ = 1 + β − βe ikh
(
)
不同 k 值，复数 1 + β − βe ikh 位于复平面上圆心为 (1 + β, 0) ， 半径为 | β | 的轨迹圆上。
19
β>0 (c > 0)时，轨迹圆在|λ|=1 之外，不满足|λ|≤1。 β<0 (c < 0)，且|β|≤1 时，|λ| ≤1，格式稳定。 (3) 向后差商格式
所以中心差格式不满足稳定性要求（计算结果出现较大的波 动） 。
18
n n um+1 − um c n n + um +1 − um = 0 （2）向前差商格式 τ h
(
)
即 误差方程为
n ikmh 令 εm = Ak e ，
n n n um+1 = (1 + β)um − βum +1
εn +1 = (1 + β)εn − βε n +1 m m m
第二章 流体力学中的有限差分法
2.1 基本概念
一、 差分法：用离散点上函数值的差商代替导数 如：取离散点（结点） x 0 < x 1 < x 2 < LL < x n −1 < x n 结点函数值为 y 0 , y1 , y 2 ,LLy n −1 , y n 用差商代替 y(x)在结点 xi 的导数
(
)
放大因子 λ = 1 − β + βe ikh β<0 (c < 0)时，|λ|≥1，不稳定。 β>0 (c > 0)，且|β|≤1 时，|λ|≤1，格式稳定。
结论：c > 0，且|β|≤1 时，后差商格式稳定 c < 0，且|β|≤1 时，前差商格式稳定
21
――迎风格式（上风格式，upwind scheme）
步长 h = x i +1 − x i
2
若
⎛ dy ⎞ ⎛ Δy ⎞ yi − yi −1 ⎜ ⎟ ≈⎜ ⎟ = dx ⎠i ⎝ Δx ⎠i x i − x i −1 ⎝
向后差商
截断误差为 O (h ) 。
若
⎛ dy ⎞ ⎛ Δy ⎞ yi +1 − yi −1 ⎜ ⎟ ≈⎜ ⎟ = ⎝ dx ⎠i ⎝ Δx ⎠i x i +1 − x i −1
例 1： 对拉普拉斯方程 得到差分格式如下
u i +1, j − 2u ij + u i −1, j Δx 2
∂ 2u ∂ 2u + =0 ∂x 2 ∂y 2
+
ui , j +1 − 2u ij + u i , j −1 Δy 2
=0
或
5
2 ⎤ ⎡ ⎛ Δx ⎞ ⎟ (u i , j +1 + u i , j −1 )⎥ u ij = ⎢u i +1, j + u i −1, j + ⎜ ⎜ Δy ⎟ ⎥ ⎢ ⎝ ⎠ ⎦ ⎣