有解无解恒成立问题的处理
有解无解恒成立与双变量问题的处理
宜章一中 吴 斌
“有解无解恒成立与双变量问题”是高中阶段的非常常见的一类函数问题，如何求解困扰了很多学生，那么遇到这类问题的常规思路与方法是什么呢？现例说几种问题的常规解法：
一．“有解”问题：
1° ()k x f ≤有解()k x f ≤?min ； 2° ()k x f ≥有解()k x f ≥?max ； 3° ()k x f =有解()x f k ∈?的值域；
例1、①已知函数()12+-=ax x x f 在]2,1[∈x 有零点，求实数a 的取值范围；
②已知不等式012≥+-ax x 在]2,1[∈x 有解，求实数a 的取值范围； ③已知不等式012≤+-ax x 在]2,1[∈x 有解，求实数a 的取值范围． 分析：①()x x a x f 10+=?=，而]25,2[1∈+x x ，则]2
5,2[∈a ； ②x x a 1+≤有解25)1(max =+≤?x x a ；即：2
5≤a ； ③x x a 1+≥有解2)1(min =+≥?x
x a ；即：2≥a ． 二．“无解”问题：
1° ()k x f ≤无解()k x f >?min ； 2° ()k x f ≥无解()k x f
例2、已知集合]2,1[=A ，不等式012≥+-ax x 的解集为B ，且φ=B A ，求实数a 的取值范围． 分析：即x x a 1+≤在]2,1[∈x 无解25)1(max =+>?x x a ；即：2
5>a ． 三．“恒成立”问题：
()k x f ≤恒成立()k x f ≤?max ；()k x f ≥恒成立()k x f ≥?min ；
例3、函数()ax e x x f x +?=在区间]2,1[上单调递增，求实数a 的取值范围． 分析：即()0'≥+?+=a e x e x f x x 在]2,1[∈x 恒成立；
min )(x x e x e a ?+≤-?；设()()()x x x e x x e x e x ?+=??+=2'??
可知：()x ?在()2,-∞-单调递减；在()+∞-,2单调递增；
故：()()2min 2--==e x ??；从而2-≥e a ．
四．“双变量”问题
“双变量问题”的基本思路是“把其中一个作为变量，另一个作为常数”来处理。
1° 对任意21,x x ，都有()()21x g x f ≤()()min max x g x f ≤?；
2° 对任意1x ，存在2x ，使得()()21x g x f ≤()()max max x g x f ≤?；
对任意1x ，存在2x ，使得()()21x g x f ≥()()min min x g x f ≥?；
3° 存在21,x x ，使得()()21x g x f ≤()()max min x g x f ≤?；
例4、已知函数()12+-=ax x x f ，()12g -=x x ，若对任意的[]2,11∈x ，都存在]3,2[2∈x ，使得()()21x g x f ≤，求实数a 的取值范围．
分析：先把2x 视为变量，则()()21x g x f ≤对2x 而言有解；
则()()515121max 1≤+-?=≤ax x x g x f 对1x 而言恒成立； 那么0)4(max =-≥x
x a ，即：0≥a ． 以上通过几个简单的例题阐述了“有解无解恒成立与双变量问题”的常规解法，在实际应用中，不管多么复杂的问题都是基于以上方法解决的。因此，掌握常规解答是非常重要并且是非常必要的。
学而思高中数学恒成立与有解问题
【例1】 关于x 的不等式2121x x a a -+-++≤的解集为空集，则实数a 的取值范围是 _ ． 【例2】 若不等式1 21x a x + -+≥对一切非零实数x 均成立，则实数a 的最大值是_________． 【例3】 设函数2()1f x x =-，对任意23x ??∈+∞????，，24()(1)4()x f m f x f x f m m ?? --+ ??? ≤恒 成立，则实数m 的取值范围是 ． 典例分析 恒成立与有解问题
【例4】 若不等式220ax x ++>的解集为R ，则a 的范围是（ ） A ．0a > B ．1 8 a >- C ．18a > D ．0a < 【例5】 已知不等式 ()11112 log 112 2123 a a n n n +++ >-+++对于一切大于1的自然数n 都成立，试求实数a 的取值范围. 【例6】 若不等式2(2)2(2)40a x a x -+--<对x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是______． 【例7】 2()1f x ax ax =+-在R 上恒满足()0f x <，则a 的取值范围是（ ） A ．0a ≤ B ．4a <- C ．40a -<< D ．40a -<≤
【例8】 若对于x ∈R ，不等式2230mx mx ++>恒成立，求实数m 的取值范围． 【例9】 不等式210x ax ++≥对一切102x ?? ∈ ??? ，成立，则a 的最小值为（ ） A ．0 B ．2- C ．5 2 - D ．3- 【例10】 不等式2|3||1|3x x a a +---≤对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为 （ ） A ．(] [)14-∞-+∞，， B ．(] [)25-∞-+∞，， C ．[12]， D ．(][)12-∞∞， ， 【例11】 对任意[11]a ∈-，， 函数2()(4)42f x x a x a =+-+-的值恒大于零，则x 的取值范围为 ．
恒成立与存在性问题的基本解题策略
“恒成立问题”与“存在性问题”的基本解题策略 一、“恒成立问题”与“存在性问题”的基本类型 恒成立、能成立、恰成立问题的基本类型 1、恒成立问题的转化：()a f x >恒成立?()max a f x >；()()min a f x a f x ≤?≤恒成立 2、能成立问题的转化：()a f x >能成立?()min a f x >；()()max a f x a f x ≤?≤能成立 3、恰成立问题的转化：()a f x >在M 上恰成立?()a f x >的解集为M ()()R a f x M a f x C M ?>???≤?? 在上恒成立 在上恒成立 另一转化方法：若A x f D x ≥∈)(,在D 上恰成立，等价于)(x f 在D 上的最小值A x f =)(min ，若,D x ∈B x f ≤)(在D 上恰成立，则等价于)(x f 在D 上的最大值B x f =)(max . 4、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min min ≥ 5、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max max ≤ 6、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min max ≥ 7、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max min ≤ 8、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f =，设f(x)在区间[a,b]上 的值域为A ，g(x)在区间[c,d]上的值域为B,则A ?B. 9、若不等式()()f x g x >在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象上方； 10、若不等式()()f x g x <在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象下方； 恒成立问题的基本类型 在数学问题研究中经常碰到在给定条件下某些结论恒成立的命题. 函数在给定区间上某结论成立问题,其表现形式通常有: 在给定区间上某关系恒成立; 某函数的定义域为全体实数R;●某不等式的解为一切实数;?某表达式的值恒大于a 等等… 恒成立问题，涉及到一次函数、二次函数的性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。因此也成为历年高考的一个热点。 恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型： ①一次函数型；②二次函数型；③变量分离型；④根据函数的奇偶性、周期性等性质；⑤直接根据函数的图象。 二、恒成立问题解决的基本策略 大家知道，恒成立问题分等式中的恒成立问题和不等式中的恒成立问题。等式中的恒成立问题，特别是多项式恒成立问题，常简化为对应次数的系数相等从而建立一个方程组来解决问题的。 （一）两个基本思想解决“恒成立问题” 思路1、max )]([)(x f m D x x f m ≥?∈≥上恒成立在 思路2、min )]([)(x f m D x x f m ≤?∈≤上恒成立在 如何在区间D 上求函数f(x)的最大值或者最小值问题,我们可以通过习题的实际,采取合理有效的方法进行求解,通常可以考虑利用函数的单调性、函数的图像、二次函数的配方法、三角函数的有界性、均值定理、函数求导
不等式恒成立问题的几种求解策略(老师用)
常见不等式恒成立问题的几种求解策略 不等式恒成立问题是近几年高考以及各种考试中经常出现，它综合考查函数、方程和不等式的主要内容，并且与函数的最值、方程的解和参数的取值范围紧密相连，结合解题教学实践举例说明几种常见不等式恒成立问题的求解策略。 1 变量转换策略 例1 已知对于任意的a ∈[-1,1]，函数f (x )=ax 2+(2a -4)x +3-a >0 恒成立，求x 的取值范围. 解析 本题按常规思路是分a =0时f (x )是一次函数，a ≠0时是二次函数两种情况讨论，不容易求x 的取值范围。因此，我们不能总是把x 看成是变量，把a 看成常参数，我们可以通过变量转换，把a 看成变量，x 看成常参数，这就转化一次函数问题，问题就变得容易求解。令g (a )=(x 2+2x -1)a -4x+3在a ∈[-1,1]时，g (a )>0恒成立，则? ? ?>>-0)1(0 )1(g g ，得 133133+-<<--x . 点评 对于含有两个参数，且已知一参数的取值范围，可以通过变量转换，构造以该参数为自变量的函数，利用函数图象求另一参数的取值范围。 2 零点分布策略 例2 已知a ax x x f -++=3)(2，若0)(],2,2[≥-∈x f x 恒成立，求a 的取值范围. 解析 本题可以考虑f (x )的零点分布情况进行分类讨论，分无零点、零点在区间的左
侧、零点在区间的右侧三种情况，即Δ≤0或?????????≥≥--≤->?0)2(0)2(220f f a 或?????????≥≥-≥->?0 )2(0)2(2 20f f a ，即a 的取值范围为 [-7，2]. 点评 对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于零的问题,可以考虑函数的零点分布情况,要求对应闭区间上函数图象在x 轴的上方或在x 轴上就行了. 3 函数最值策略 例3 已知a ax x x f -++=3)(2，若2)(],2,2[≥-∈x f x 恒成立，求a 的取值范围. 解析 本题可以化归为求函数f (x )在闭区间上的最值问题,只要对于任意2)(],2,2[m in ≥-∈x f x .若2)(],2,2[≥-∈x f x 恒成立 ?2)(],2,2[m in ≥-∈?x f x ??????≥-=-=-≤-2 37)2()(2 2 m in a f x f a 或??? ???? ≥--=-=≤-≤-243)2()(2222 m in a a a f x f a 或?????≥+==>-27)2()(22m in a f x f a ， 即a 的取值范围为]222,5[+--. 点评 对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于或小于等于常数问题,可以求函数最值的方法,只要利用m x f >)(恒成立m x f >?m in )(；m x f <)(恒成立m x f
关于不等式恒成立问题的几种求解方法
关于不等式恒成立问题的几种求解方法 不等式恒成立问题，在高中数学中较为常见。这类问题的解决涉及到一次函数、二次函数、三角函数、指数与对数函数等函数的性质、图象，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。 不等式恒成立问题在解题过程中有以下几种求解方法：①一次函数型；②二次函数型；③变量分离型；④数形结合型。 下面我们一起来探讨其中一些典型的问题 一、一次函数型——利用单调性求解 例1、若不等式对满足的所有实数m都成立，求x的取值范围。 若对该不等式移项变形，转化为含参数m的关于x的一元二次不等式，再根据对称轴和区间位置关系求对应的二次函数的最小值，利用最小值大于零求解。这样得分好几种情况讨论,这思路应该说从理论上是可行的，不过运算量不小。能不能找出不需要讨论的方法解决此问题呢？若将不等式右边移到左边，然后将新得到的不等式左边看做关于m的一次函数，借助一次函数的图像直线（其实是线段）在m轴上方只需要线段的两个端点在上方即可。 分析：在不等式中出现了两个字母：x及m,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。显然可将m视作自变量，则上述问题即可转化为在[-2，2]内关于m的一次函数大于0恒成立的问题。 解：原不等式转化为(1-x2)m+2x-1>0在|m|2时恒成立, 设f(m)= (1-x2)m+2x-1,则f(m)在[-2,2]上恒大于0，故有： 此类题本质上是利用了一次函数在区间[a，b]上的图象是一线段，故只需保证该线段两端点均在m轴上方（或下方）即可。 给定一次函数y=f(x)=ax+b(a≠0),若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)>0，则根据函数的图象（线段）（如下图）可得上述结论等价于 ⅰ），或ⅱ） 可合并成 同理，若在[m,n]内恒有f(x)0恒成立；f(x)3;
不等式有解和恒成立问题
不等式有解和恒成立问题 Prepared on 24 November 2020
不等式有解和恒成立问题 知识点的罗列，文字不宜太多，简洁明了最好） ? 知识点一：不等式恒成立问题 ? 知识点二：不等式有解问题 分析该知识点在中高考中的体现，包含但不仅限于：考察分值、考察题型（单选、填空、解答题）、考察方式：考场难度、和哪些知识点在一起考察，参考中高考真题) 含参不等式的恒成立与有解问题是高考与会考考察不等式的一个重点内容，也是常考的内容，难度中等偏上，考察综合性较强，该知识点在填空选择解答题里都有涉及，经常和函数的最值问题在一起考察，需要同学对典型函数的值域求法有熟悉的掌握。 注意题目的答案，不要展示给学生看，这里答案和解析是帮助老师自己分析的) 一、不等式有解问题 例题：当m 为何值时，2211223 x mx x x +-<-+对任意的x ∈R 都成立 解法1：二次函数法： 移项、通分得： 又22230x x -+>恒成立，故知：2(2)40x m x -++>恒成立。 所以：2(2)160m ?=+-<，得到62m -<< 解法2：分离参数法： 注意到2(2)40x m x -++>恒成立，从而有：224mx x x <-+恒成立，那么： 注意到，在上式中我们用到了这样一个性质： 总结：解决恒成立问题的方法:二次函数法和分离参数法 变式练习：（初三或者高三学生必须选取学生错题或者学生所在地区的中高考真题或者当地的统考题目） 【试题来源】（上海2016杨浦二模卷） 【题目】设函数x x g 3)(=，x x h 9)(=，若b x g a x g x f +++=)()1()(是实数集R 上的奇函数，且0))(2()1)((>?-+-x g k f x h f 对任意实数x 恒成立，求实数k 的取值范围. 【答案】：因为b x g a x g x f +++= )()1()(是实数集上的奇函数，所以1,3=-=b a . )1 321(3)(+-=x x f ，)(x f 在实数集上单调递增.
有解无解恒成立问题的处理
有解无解恒成立与双变量问题的处理 宜章一中 吴 斌 “有解无解恒成立与双变量问题”是高中阶段的非常常见的一类函数问题，如何求解困扰了很多学生，那么遇到这类问题的常规思路与方法是什么呢？现例说几种问题的常规解法： 一．“有解”问题： 1° ()k x f ≤有解()k x f ≤?min ； 2° ()k x f ≥有解()k x f ≥?max ； 3° ()k x f =有解()x f k ∈?的值域； 例1、①已知函数()12+-=ax x x f 在]2,1[∈x 有零点，求实数a 的取值范围； ②已知不等式012≥+-ax x 在]2,1[∈x 有解，求实数a 的取值范围； ③已知不等式012≤+-ax x 在]2,1[∈x 有解，求实数a 的取值范围． 分析：①()x x a x f 10+=?=，而]25,2[1∈+x x ，则]2 5,2[∈a ； ②x x a 1+≤有解25)1(max =+≤?x x a ；即：2 5≤a ； ③x x a 1+≥有解2)1(min =+≥?x x a ；即：2≥a ． 二．“无解”问题： 1° ()k x f ≤无解()k x f >?min ； 2° ()k x f ≥无解()k x f ?x x a ；即：2 5>a ． 三．“恒成立”问题： ()k x f ≤恒成立()k x f ≤?max ；()k x f ≥恒成立()k x f ≥?min ； 例3、函数()ax e x x f x +?=在区间]2,1[上单调递增，求实数a 的取值范围． 分析：即()0'≥+?+=a e x e x f x x 在]2,1[∈x 恒成立；
恒成立问题的求解策略
恒成立问题的求解策略 辽宁锦州义县高级中学高二数学组王双双 高考数学复习中的恒成立问题，把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来，其以覆盖知识点多，综合性强，解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐。涉及到一次函数、二次函数的性质、图象，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想 方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。因此也成为历年高考的一个热点。恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型：①一次函数型；②二次函数型；③分离变量型； ④根据函数的奇偶性、周期性等性质；⑤数形结合。 一?一次函数型 给定一次函数y=f（x）=ax+b（a丰0）,若y=f（x）在［m,n］内恒有f（x）＞0 ,则根据函数的图象 （直线）可得上述结论等价于 a＜0 J/（加）＞0 弘）＞0亦可合并定成1/何＞0 严)€0 同理，若在［m,n］内恒有f(x)＜0 ,则有I.- L'--'.. ■"-- 处理含参不等式恒成立的某些问题时，若能适时的把主元变量和参数变量进行“换位”思考，往往会使问题降次、简化。 2 例i ?对任意兀［一1」］，不等式x +（—4）X+4-2Q0恒成立，求x的取值范围。 分析：题中的不等式是关于的一元二次不等式，但若把丿看成主元，则问题可转化 为一次不等式在：］_ L」上恒成立的问题。 解：令：- ■,则原问题转化为恒成立 （一丄） 当汁工、时，可得他二0 ，不合题意。 a＞0 ；「-或ii
当二：］时，应有1/(-1) > 0 解之得-■''■ ' O 故」的取值范围为「二..-O 二.二次函数型 (1)判别式法 若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般地，对于二次函 2 T 数/(X)二处+加+血# R),有 tj > 0 1)>。对x E R恒成立上v ° ； a <0 2)J D■=：(〕对X E R 恒成立［△ < o 例1.已知函数y = ^+(a-l)x + df2］的定义域为R求实数必的取值范围。 2 2 解：由题设可将问题转化为不等式八：■■ 对「丄匸恒成立，即有A = (H八0解得“—I或呜。 (-0J,-1) U (；,+°°) 所以实数“的取值范围为-■ O 若二次不等式中:.的取值范围有限制，则可利用根的分布解决问题。 例2 .设'■.：「「.：，当—一」⑴时，了萬聖泾恒成立，求实数匸的 取值范围。 解：设:二'丄J则当■- |［J,时，恒成立 当- :- 门―.- “ .1 时，『I.;汕显然成立; 当丄二H时，如图，小二J恒成立的充要条件为:
处理恒成立问题基本方法
处理有关“恒成立”的思路方法 乐山市井研县马踏中学廖德俊与“恒成立”有关的问题一直是中学数学的重要内容，它是函数，数列，不等式，三角等内容交汇处的一个非常活跃的知识点，特别是导数的引入，成为我们更广泛更深入的研究函数，不等式的有利工具，更为我们研究恒成立问题提供了保障。对恒成立问题的考察不仅涉及到函数，不等式等有关的传统知识和方法，而且考察极限，导数等新增内容的掌握和灵活运用。它常与数学思想方法紧密结合，体现了能力立意的原则。恒成立问题涉及到一次函数，二次函数的性质，图象渗透和换元，化归，数形结合，函数与方程等思想方法，有利于考察学生的综合解题能力，培养学生思维的灵活性，创造性，所以是历年高考的热点。 一．恒成立问题的基本类型 按区间分类可分为：①在给定区间某关系的恒成立问题；②在全体实数集上某关系的恒成立问题。 二．处理恒成立问题的基本思路 处理与恒成立有关的问题大致可分以下两种方法 ①变量分离思路处理； ②利用函数的性质，图象思路处理。 若不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于不等号的两边，则可将恒成立问题转化为函数的最值问题求解。 在不等式的恒成立问题中，以下充要条件应细心思考，甄别差异，性质使用。
≥∈--∈∴≥=-- =+∴≥-Q 21 例2：若不等式x2+ax+10对一切x (0,]成立,则a 的取值范围为（ ） 2 5 A. 0 B. -2 C. - D.-3 2 111 解析：由于x (0,],a 21115 ()在(0,]上单调递增，在x=取得最小值 2225 ,故选2 方法2：利用函数的性质，图象 其主要体现在： 1，利用一次函数的图象性质 x x x x f x x x a C ≠≥≤≥≥∈?≥≤≤∈?≤若原题可化 为一次函数类型，则由数形结合给定一次函数f(x)=ax+b (a 0).若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)0(或f(x)0)，则 根据函数的图象可得： f(m)0 f(x)0，x [m,n]恒成立{ f(n)0f(m)0 f(x)0，x [m,n]恒成立{ f(n)0 2，利用二次函数的图象性质： >≠??<≤∈220 若 f(x)=ax +bx+c (a 0)大于0恒成立{ 若二次函数在给定区间上恒成立则可利用根的分布和韦达 定理求解。 例1： 函数f(x)是奇函数，且在[-1,1]单调递增，又f(-1)=-1，若 f(x)t -2at+1对所有的a [-1,1]都成立，求t 的取值范围 解析： 不等式中有三个变元，通过逐步消元a ≤∈?≥∈≥∈?≥Q Q Q 22max 22法处理。首先选 定主元x ，()在[-1,1]递增 f(x)t -2at+1 a [-1,1]恒成立t -2at+1（x ）[-1,1] 即t -2at+11，a [-1,1]上恒成立t -2at 0 f x f x
数学中的恒成立与有解问题
数学中的恒成立与有解问题 一、恒成立问题 若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A > 若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B < 常用方法 1、分离变量法； 2、数形结合法； 3、利用函数的性质； 4、变更主元等； 1、由二次函数的性质求参数的取值范围 例题1.若关于x 的不等式2220ax x ++>在R 上恒成立,求实数a 的取值范围. 解题思路：结合二次函数的图象求解 解析：当0a =时,不等式220x +>解集不为R ,故0a =不满足题意; 当0a ≠时,要使原不等式解集为R ,只需202420 a a >??-? 综上,所求实数a 的取值范围为1 (,)2 +∞ 2、转化为二次函数的最值求参数的取值范围 例题2：已知二次函数满足(0)1f =，而且(1)()2f x f x x +-=，请解决下列问题 （1） 求二次函数的解析式。 （2） 若()2f x x m >+在区间[1,1]-上恒成立 ，求m 的取值范围。 解题思路：先分离系数,再由二次函数最值确定取值范围. 解析：(1)设2 ()(0)f x ax bx c a =++≠.由(0)1f =得1c =,故2 ()1f x ax bx =++. ∵(1)()2f x f x x +-= ∴2 2 (1)(1)1(1)2a x b x ax bx x ++++-++= 即22ax a b x ++=,所以22,0a a b =+=,解得1,1a b ==- ∴2 ()1f x x x =-+ (2)由(1)知212x x x m -+>+在[1,1]-恒成立,即231m x x <-+在[1,1]-恒成立. 令2235 ()31()2 4 g x x x x =-+=-- ,则()g x 在[1,1]-上单调递减.所以()g x 在[1,1]-上的最小值为(1)1g =-.所以m 的取值范围是(,1)-∞-. 规律总结：()m f x ≤对一切x R ∈恒成立,则min [()]m f x ≤;()m f x ≥对一切x R ∈恒成立,则max [()]m f x ≥；注 意参数的端点值能否取到需检验。 二、有解问题 3、方程的有解问题 例题3：题干与例题2相同 （1） 同例题2. （2）若()2f x x m =+在区间[1,1]-上恒成立 ，求m 的取值范围。 解题思路：先分离系数,再由二次函数值域确定取值范围. 解析：(1)解法同例题2 (2)由(1)知2 12x x x m -+=+在[1,1]-恒成立,即2 31m x x =-+在[1,1]-恒成立. 令2235 ()31()24 g x x x x =-+=-- ,则()g x 在[1,1]-上单调递减.所以()g x 在[1,1]-上的最大值为 (1)5g -=，最小值为(1)1g =-，所以m 的取值范围是[]1,5-。 规律总结：若方程()m f x =在某个区间上有解只需求出()f x 在区间上的值域A 使m A ∈。 4、不等式的有解问题 例题4题干与例题2相同 （1） 同例题2.
数列型不等式恒成立条件下确定参数范围问题解题策略
数列型不等式恒成立条件下确定参数范围问题解题策略【摘要】不等式地恒成立问题是学生较难理解和掌握地一个难点,以数列为载体地不等式恒成立条件下确定参数范围问题其综合性更强,它是一类常见地考试卷型,常出现在高考压轴题中,它与函数恒成立问题既有类似之处,又有一些差别,学生容易出错,甚至不知所措.这里通过几个例子归纳这类问题地几种常用解法和需要注 意地问题. 【关键词】不等式恒成立问题；数列；参数范围问题 不等式地恒成立问题是学生较难理解和掌握地一个难点,以数列为载体地不等式恒成立条件下确定参数范围问题其综合性更强,它是一类常见地考试卷型,常出现在高考压轴题中,它与函数恒成立问题既有类似之处,又有一些差别,学生容易出错,甚至不知所措.这里通过几个例子归纳这类问题地几种常用解法和需要注意地问 题. 1 最值法是解数列型不等式恒成立求参数地取值范围问题地一种 非常重要地方法,其解题原理是f(n>>m恒成立f(n> min>m,f(n>0. ∵an>0,∴只需lga［n(a-1>+a］>0. <1）当a>1时,lga>0,只要n(a-1>+a>0,n>a1-a. <2）当0a1-a. 为了使b n+1>b n对任何正整数n都成立,只需a1-a小于n
地最小值1,令a1-a1或0 评析以上两例是综合性极强地好题,是数列不等式恒成立求参数地取值范围,转化为解不等式或求函数 地最值,这是高中数学中有关确定参数范围题目地涅槃. 2 数列型不等式恒成立求参数地取值范围问题,对于某些最值不容易求出地问题,我们可以考虑先实行变量分离,再求其最值.所谓变量分离,是指在含有参数地数列不等式中,通过恒等变形,使参数与主元分离于不等式两端,则所蕴涵地数列关系便由隐变显,从而问 题转化为求主元函数地值域或上,下限(上限为最大值地临界值、 下限为最小值地临界值>,进而求出参数范围.这种方法由于思路清晰、规律明显、操作性强,因而应是一种较好地求参方法. 例3 <2003年新教材高考题改编题）设a0为常数,数列{a n}地通项公式a n=15［3n+(-1>n-12n］+(-1>n2na0(n∈n*>,若对任意n≥1不等式a n＞a n-1恒成立,求a0地取值范 围. 解 a n-a n-1=2×3n-1+(-1>n-13×2n-15+ (-1>n3×2n- 1a0, 故a n＞a n-1等价于(-1>n-1(5a0-1>-15×322k-2+15. 此式对k=1,2,…恒成立,有 a0>-15×322×1-3+15=0. 综上所述,①式对任意n∈n+成立,有0 故a0地取值范
函数恒成立存在性与有解问题
函数恒成立存在性问题 知识点梳理 1、恒成立问题的转化：()a f x >恒成立?()max a f x >；()()min a f x a f x ≤?≤恒成立 2、能成立问题的转化：()a f x >能成立?()min a f x >；()()max a f x a f x ≤?≤能成立 3、恰成立问题的转化：()a f x >在M 上恰成立?()a f x >的解集为M ()()R a f x M a f x C M ?>???≤??在上恒成立 在上恒成立 另一转化方法：若A x f D x ≥∈)(,在D 上恰成立，等价于)(x f 在D 上的最小值A x f =)(min ，若,D x ∈B x f ≤)(在D 上恰成立，则等价于)(x f 在D 上的最大值B x f =)(max . 4、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min min ≥ 5、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max max ≤ 6、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min max ≥ 7、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max min ≤ 8、若不等式()()f x g x >在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象 上方； 9、若不等式()()f x g x <在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象下方； 例题讲解： 题型一、常见方法 1、已知函数12)(2 +-=ax x x f ，x a x g = )(，其中0>a ，0≠x ． 1）对任意]2,1[∈x ，都有)()(x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围； 2）对任意]4,2[],2,1[21∈∈x x ，都有)()(21x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围； 2、设函数b x x a x h ++=)(，对任意]2,21[∈a ，都有10)(≤x h 在]1,4 1 [∈x 恒成立，求实数b 的取值范围． 3、已知两函数2 )(x x f =，m x g x -?? ? ??=21)(，对任意[]2,01∈x ，存在[]2,12∈x ，使得()21)(x g x f ≥，则实 数m 的取值范围为 题型二、主参换位法(已知某个参数的范围，整理成关于这个参数的函数)
高中数学恒成立问题的解题策略
高中数学恒成立问题的解题策略 论文摘要：在高中数学教学中，我们经常会碰到某些恒成立的问题。恒成立问题在解题过程中大致可分为以下两种类型：一是利用函数图像与性质;二是变量分离。本文对此进行了分析。 关键词：恒成立问题;函数图像;数学 在高中教学中，我们经常会碰到在给定条件下某些结论恒成立的问题，我们怎样来解决呢? 函数在给定区间上某结论成立问题，其表现形式通常有：(在给定区间上某关系恒成立;(某函数的定义域为全体实数R;(某不等式的解为一切实数;(某表达式的值恒大于等等…… 恒成立问题，涉及到一次函数、二次函数的性质、图像，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。因此也成为历年高考的一个热点。 恒成立问题在解题过程中大致可分为以下两种类型：一是利用函数图像与性质，例如，一次函数、二次函数等;二是变量分离。恒成立问题还要注意与存在性问题的区别和联系。 一、利用函数图像与性质 例1：对任意恒成立，求的取值范围。 解：令， 本题关于的二次函数，若二次函数大于0在R上恒成立且(即图像恒在轴上方)。
若二次函数小于0在R上恒成立且(即图像恒在轴下方)。 我们也会经常碰到二次函数在某一给定区间上的恒成立问题，碰到这样的情况，如果我们仍旧可以利用函数图像来解决的话，会更得心应手。 变式1：对任意恒成立，求的取值范围。 解：若对任意恒成立，令，利用其函数图像， ，得 变式2：若时，恒成立，求的取值范围。 分析：可以看成关于的二次函数，也可以看成关于的一次函数，所以在不等式中出现了两个字母：及，关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。显然，可将视作自变量，则上述问题即可转化为在内关于的一次函数小于0的恒成立问题。 若原题可化为一次函数型，则由数形结合思想利用一次函数知识求解，十分简捷。给定一次函数，若在内恒有，则根据函数的图像(直线)可得上述结论等价于;同理，若在内恒有，则有， 利用的函数图像可知， 变式3：对任意及时，恒成立，求的取值 范围。 分析：不等式中出现了三个字母：，及，关键在于先把哪个字母看成是变量，另外两个作为常数。 方法一：若先把看成关于的二次函数，且在上恒大于等于0，则，即，
关于函数恒成立问题的解题策略
关于恒成立问题的解题策略 整理人：凌彬 一、恒成立问题的基本类型 在数学解题中经常碰到在给定条件下某些结论恒成立的命题． 函数在给定区间上某结论成立问题，其表现形式通常有： ①在给定区间上某关系恒成立；②某函数的定义域为全体实数R ； ③某不等式的解为一切实数； ④某表达式的值恒大于a ，等等 ┅ 恒成立问题，涉及到一次函数、二次函数的性质、图像，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查综合解题能力，是历届高考的热点之一． 恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型： ①一次函数型；②二次函数型；③变量分离型；④根据函数的奇偶性、周期性等性质； ⑤直接根据函数的图像． 二、恒成立问题解决的基本策略 A 、两个基本思想解决“恒成立问题” 思路1：()m f x ≥在x D ∈上恒成立max [()]m f x ?≥； 思路2：()m f x ≤在x D ∈上恒成立min [()]m f x ?≤． 如何在区间D 上求函数()f x 的最大值或者最小值问题，可以通过题目的实际情况，采取合理有效的方法进行求解，通常可以考虑利用函数的单调性、函数的图像、二次函数的配方法、三角函数的有界性、均值定理、函数求导，等等方法求函数()f x 的最值． 此类问题涉及的知识比较广泛，在处理上也有许多特殊性，希望大家多多注意积累． B 、赋值型——利用特殊值求解 等式中的恒成立问题，常常用赋值法求解，特别是对解决填空题、选择题能很快求得． 例1．由等式43243212341234(1)(1)(1)(1)x a x a x a x a x b x b x b x b ++++=++++++++； 定义映射f ：12341234(, , , )a a a a b b b b →+++，则f ：(4,3,2,1)_____→ 解：取0x =，则412341a b b b b =++++，又由已知41a =，所以12340b b b b +++=． 例2．如果函数()sin 2cos2y f x x a x ==+的图像关于直线8x π=- 对称，那么____a = 解：取0x =及4x π=-，则(0)()4 f f π=-，即1a =-． 此法体现了数学中从特殊到一般的转化思想．
求解恒成立问题的常见方法
求解恒成立问题的常见方法 摘要：恒成立问题是高考中常见的一类问题，常见类型有：第一类是关于x的一元二次不等式对任意x∈R恒成立，求参数取值范围；第二类是不等式在给定区间上恒成立求参数的取值范围。因这类问题综合性强，思维容量大，因而成为高考一直常考不衰的热点问题。 关键词：恒成立；参数；解题方法 一、一元二次不等式中的恒成立问题 例1.已知函数f（x）=x2+ax+3对任意x∈R时恒有f（x）≥a成立，求a的取值范围。 解：∵f（x）≥a对x∈R恒成立，∴x2+ax+3-a≥0对x ∈R恒成立 ∵x∈R，∴Δ≥0，即a2-4（3-a）≥0∴a≤-6或a≥2 例2.已知函数y=lg（mx2-6mx+m+8）的定义域为R，求m的取值范围。 解：由已知得mx2-6mx+m+8>0对任意x∈R恒成立 ①当m=0时显然成立 ②当m≠0时有m>0（6m）2+4m（m+8）<0∴0
≥0）对任意x∈R恒成立，则有a>0Δ0Δ≤0），若f（x）<0（或f（x）≤0）对任意x∈R恒成立，则有a<0Δ<0（或a<0Δ≤0）等价转化即可。 二、在给定区间上恒成立问题 例3.已知函数f（x）= （x≠0）在（4，+∞）上恒大于0，求a的取值范围。 解：令f（x）=0则>0，∴a>-（x+ ） 令g（x）=x+ ，易知g（x）在（4，+∞）上为增函数，∴g（x）min=g（4）=5∴g（x）>5 ∴-（x+ ）<-5∴a≥-5 例4.已知函数f（x）=x2+2x+a lnx，在区间（0，1]上为单调函数，求实数a的取值范围。 分析：求f ′（x）→由题意转化为恒成立问题→求最值→求得a的取值范围 解：易知f ′（x）=2x+2+ ，∵f ′（x）在f ′（x）上单调 ∴f ′（x）≥0或f ′（x）<0在（0，1]上恒成立， 即2x2+2x+a≥0或2x2+2x+a≤0恒成立 ∴a≥-（2x2+2x）或a≤-（2x2+2x）在（0，1]上恒成立又-（2x2+2x）=-2（x+ ）2+ ∈[-4，0） ∴a≥0或a≤-4 方法归纳：解决此类恒成立问题通常分离参变量通过等
恒成立与有解问题
【例1】 关于x 的不等式2121x x a a -+-++≤的解集为空集，则实数a 的 取值范围是 _ ． 【例2】 若不等式1 21x a x + -+≥对一切非零实数x 均成立，则实数a 的最大值是_________． 【例3】 设 函数 2()1 f x x =-，对任意 23x ??∈+∞???? ，， 典例分析 恒成立与有解问题
24()(1)4()x f m f x f x f m m ?? --+ ??? ≤恒成立，则实数 m 的取值范围 是 ． 【例4】 若不等式220ax x ++>的解集为R ，则a 的范围是（ ） A ．0a > B ．18 a >- C ．18 a > D ．0a < 【例5】 已知不等式 ()11112 log 112 2123 a a n n n +++ >-+++对于一切大于1的自然数n 都成立，试求实数a 的取值范围.
【例6】 若不等式2(2)2(2)40a x a x -+--<对x ∈R 恒成立，则a 的取值范围 是______． 【例7】 2()1f x ax ax =+-在R 上恒满足()0f x <，则a 的取值范围是（ ） A ．0a ≤ B ．4a <- C ．40a -<< D ．40a -<≤
【例8】 若对于x ∈R ，不等式2230mx mx ++>恒成立，求实数m 的取值范 围． 【例9】 不等式210x ax ++≥对一切102x ?? ∈ ??? ，成立，则a 的最小值为（ ） A ．0 B ．2- C ． 5 2 - D ．3- 【例10】 不等式2|3||1|3x x a a +---≤对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值 范围为（ ） A ．(][)14-∞-+∞，， B ．(][)25-∞-+∞，， C ．[12]， D ．(][)12-∞∞， ， 【例11】 对任意[11]a ∈-， ，函数2()(4)42f x x a x a =+-+-的值恒大于零，则x 的取值范围为 ．
导数中含参数问题与恒成立问题的解题技巧
函数、导数中含参数问题与恒成立问题的解题技巧与方法 含参数问题及恒成立问题方法小结： 1、分类讨论思想 2、判别法 3、分离参数法 4、构造新函数法 一、分离讨论思想： 例题1： 讨论下列函数单调性： 1、()x f =();1,0,≠>-a a a a x 2、()x f =)0,11(1 2≠<<--b x x bx 二、判别法 例2：已知不等式04)2(2)2(2 <--+-x a x a 对于x ∈Ｒ恒成立，求参数a 的取值范围． 解：要使04)2(2)2(2<--+-x a x a 对于x ∈Ｒ恒成立，则只须满足： （1）???<-+-<-0)2(16)2(4022a a a 或 （2）?? ???<-=-=-040)2(202a a 解（1）得???<<-<2 22a a ，解（2）a ＝２ ∴参数a 的取值范围是－２＜a ≤２． 练习1. 已知函数])1(lg[22a x a x y +-+=的定义域为R ，求实数a 的取值范围。 三、分离法参数： 分离参数法是求参数的取值范围的一种常用方法，通过分离参数，用函数观点讨论主变量的变化情况，由此我们可以确定参数的变化范围.这种方法可以避免分类讨论的麻烦，从而使问题得以顺利解决.分离参数法在解决有关不等式恒成立、不等式有解、函数有零点、函数单调性中参数的取值范围问题时经常用到. 解题的关键是分离出参数之后将原问题转化为求函数的最值或值域问题.即： （1） 对任意x 都成立()min x f m ≤ （2）对任意x 都成立。 例3．已知函数]4,0(,4)(2∈--=x x x ax x f 时0)( 高中数学不等式恒成立与有解问题 不等式恒成立与有解问题一直是中学数学的重要内容. 它是函数、数列、不等式等内容交汇处的一个较为活跃的知识点，随着中学数学引进导数，它为我们更广泛、更深入地研究函数、不等式提供了强有力的工具. 在近几年的高考试题中，涉及不等式恒成立与有解的问题，有时在同一套试题中甚至有几道这方面的题目。 其中，特别是一些含自然对数和指数函数的不等式恒成立与有解问题，将新增内容与传统知识有机融合，用初等方法难以处理，而利用导数来解，思路明确，过程简捷流畅，淡化繁难的技巧，它不仅考查函数、不等式等有关的传统知识和方法，而且还考查极限、导数等新增内容的掌握和灵活运用. 它常与思想方法紧密结合，体现能力立意的原则，带有时代特征，突出了高考试题与时俱进的改革方向. 因此，越来越受到高考命题者的青睐. 下面通过一些典型实例作一剖析. 1．不等式恒成立与有解的区别 不等式恒成立和有解是有明显区别的，以下充要条件应细心思考，甄别差异，恰当使用，等价转化，切不可混为一团. （1）不等式f(x)高中数学不等式恒成立与有解问题