恒成立与有解问题

【例1】 关于x 的不等式2121x x a a -+-++≤的解集为空集，则实数a 的

取值范围是 _ ．

【例2】 若不等式1

21x a x

+

-+≥对一切非零实数x 均成立，则实数a 的最大值是_________．

【例3】 设

函数

2()1

f x x =-，对任意

23x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭

，，

典例分析

恒成立与有解问题

24()(1)4()x f m f x f x f m m ⎛⎫

--+ ⎪⎝⎭

≤恒成立，则实数

m

的取值范围

是 ．

【例4】 若不等式220ax x ++>的解集为R ，则a 的范围是（ ）

A ．0a >

B ．18

a >- C ．18

a > D ．0a <

【例5】 已知不等式

()11112

log 112

2123

a a n n n +++

>-+++对于一切大于1的自然数n 都成立，试求实数a 的取值范围.

【例6】 若不等式2(2)2(2)40a x a x -+--<对x ∈R 恒成立，则a 的取值范围

是______．

【例7】 2()1f x ax ax =+-在R 上恒满足()0f x <，则a 的取值范围是（ ）

A ．0a ≤

B ．4a <-

C ．40a -<<

D ．40a -<≤

【例8】 若对于x ∈R ，不等式2230mx mx ++>恒成立，求实数m 的取值范

围．

【例9】 不等式210x ax ++≥对一切102x ⎛⎤

∈ ⎥⎝⎦

，成立，则a 的最小值为（ ）

A ．0

B ．2-

C ．

5

2

- D ．3-

【例10】 不等式2|3||1|3x x a a +---≤对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值

范围为（ ）

A ．(][)14-∞-+∞，，

B ．(][)25-∞-+∞，，

C ．[12]，

D ．(][)12-∞∞，

，

【例11】 对任意[11]a ∈-，

，函数2()(4)42f x x a x a =+-+-的值恒大于零，则x 的取值范围为 ．

【例12】 若不等式

lg 21lg()

ax

a x <+在[1,2]x ∈时恒成立，试求a 的取值范围．

【例13】 若(]1x ∈-∞-，，()21390x x a a ++->恒成立，求实数a 的取值范围.

【例14】 设()222f x x ax =-+，当[)1x ∈-+∞，

时，

都有()f x a ≥恒成立，求a 的取值范围.

【例15】 设对所有实数x ，不等式()()2

22

222

4112log 2log log 014a a a

x x a

a a ++++>+恒

成立，求a 的取值范围.

【例16】 已知不等式22412ax x x a +---≥对任意实数恒成立，求实数a 的取

值范围．

【例17】 已知关于x 的不等式20x x t ++>对x ∈R 恒成立，则t 的取值范围

是 ．

【例18】 如果|1||9|x x a +++>

对任意实数x 恒成立，则a 的取值范围是（ ）

A ．{|8}a a <

B ．

{|8}

a a > C ．{|8}a a ≥

D ．{|8}a a ≤

【例19】 在R 上定义运算⊗：)1(y x y x -=⊗．

若不等式1)()(<+⊗-a x a x 对任意实数x 成立，则（ ） A ．11<<-a B ．20<

321

<<-a

D ．2

123<<-a

【例20】 设不等式2220x ax a -++≤的解集为M ，如果[1,4]M ⊆，求实数a 的

取值范围．

【例21】 如果关于

x 的不等式23208

kx kx +-<对一切实数x 都成立，则k

的取值范围是 ．

【例22】 已知函数()1)f x x g x =+，若不等式(3)(392)0x x x f m f ⋅+--<对

任意x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围．

【例23】 已知集合(){}121212|00D x x x x x x k =>>+=，，，(其中k 为正常数).

⑴ 设12

u x x =，求u 的取值范围；

⑵ 求证：当

1

k ≥时不等式

2

12121122k x x x x k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪⎪ ⎪⎝⎭

⎝⎭⎝⎭≤对任意

()12x x D ∈，恒成立；

⑶ 求使不等式2

12121122k x x x x k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫

--- ⎪⎪ ⎪

⎝⎭

⎝⎭⎝⎭≥对任意()12x x D ∈，恒成立

的2k 的范围.