恒成立、存在、有解

恒成立与存在、有解结合的问题

例1.已知函数2()(21)ln f x ax a x x =-++

（1）当1a =时，求()f x 的极值；

（2）设()1x g x e x =--，若对于任意的1(0,)x ∈+∞，2x R ∈，不等式12()()f x g x ≤恒成立，求实数a 的取值范围。

演变1.已知函数()ln 2a f x x x x

=

+，32()1g x x x x =--- （1）如果存在12[02]x x ∈，，，使得12()()g x g x M -≥，求满足该不等式的最大整数M ；

（2）如果对任意的1[,2]3s t ∈，，都有()()f s g t ≥成立，求实数a 的取值范围。

演变2.设函数2

()ln f x a x bx =-（0x >）． （1）若函数()f x 在1x =处与直线12

y =-

相切，求实数a 、b 的值； （2）当0b =时，若不等式()f x m x ≥+对所有的3[0]2a ∈，，2(1]x e ∈，都成立（e 为自然对数的底数），求实数m 的取值范围．

例2.已知函数1()ln 1a f x x ax x -=-+

-（a R ∈）. （1）当12

a ≤时，讨论()f x 的单调性； （2）设2()24g x x bx =-+，当14

a =时，若对任意1(0,2)x ∈，存在2[1,2]x ∈，使12()()f x g x ≥，求实数

b 的取值范围.

演变1.已知函数2()mx f x x n

=+（m n R ∈，）在1x =处取得极值2 （1）求函数()f x 的解析式；

（2）设函数()l n a g x x x

=+，若对任意的1x R ∈，总存在2[1]x e ∈，，使得217()()2

g x f x ≤+

，求实数a 的取值范围。

演变2.已知函数()(2)(1)2ln f x a x x =---（a R ∈），1()x g x xe -=

（1）讨论函数()f x 的单调性；

（2）若对任意给定的(]00,x e ∈，在(]0,e 上总存在两个不同的i x （1,2i =），使得0()()i f x g x =成立，求a 的取值范围。

例3.设函数329()612

f x x x x =-++． （1）对于任意实数x ，()f x m '≥恒成立，求m 的最大值；

（2）若对任意的1[]a e e ∈，，关于x 的不等式31()ln 32f x a a a ka ≤

--+在[2,)+∞上有解，求实数k 的取值范围。

演变1.已知函数()x f x e x =-

（1）求()f x 的最小值；

（2）关于x 的不等式()f x ax >的解集为P ，若1{|

2}2M x x =≤≤且M P ≠∅，求实

数a 的取值范围。

强化练习

1.设函数1()x e f x x

-=，0x ≠ （1）判断函数()f x 在(0)+∞，

上的单调性； （2）证明：对任意正数a ，存在正数x ，使不等式|()1|f x a -<成立

2.设函数a

ax x e x f x

++=2)(，其中a 为实数。 （1）当函数)(x f 的定义域为R 时，求)(x f 的单调区间；

（2）当1a =-时，若对任意[01]x ∈，

，[01]t ∈，，不等式2()1f x t mt ≤--恒成立，求实数m 的取值范围。

3.设函数1()ln 1a f x x ax x

-=-+-． （1）当1a =时，求曲线()f x 在1x =处的切线方程；

（2）当13

a =时，求函数()f x 的单调区间； （3）在（2）的条件下，设函数25()212

g x x bx =--

，若对于1[12]x ∀∈，，2[01]x ∃∈，，使12()()f x g x ≥，求实数b 的取值范围．

4.已知函数21()(21)2ln 2

f x ax a x x =-++（a R ∈） （1）若曲线()y f x =在1x =和3x =处的切线互相平行，求a 的值与函数()f x 的单调区间；

（2）设2()(2)x g x x x e

=-，若对任意1(02]x ∈，，均存在2(02]x ∈，，使得12()()f x g x <，求a 的取值范围

5.已知函数()sin cos f x ax x x =⋅+，且()f x 在4x π

= （1）求a 的值，并讨论()f x 在[]ππ-，上的单调性；

（2）设函数1()ln(1)1x g x mx x -=++

+，0x ≥，其中0m >，若对任意的1[0,)x ∈+∞，总存在2[0,

]2x π∈，使得12()()g x f x ≥成立，求m 的取值范围。