chap4-晶体的宏观对称

根据相应的对称性特征，晶体可以分为3个晶族， 7 个晶系和32个晶类。
根据晶体对称型中有无高次轴以及高次轴 的多少，把晶体分为3个晶族；各晶族再 根据具体对称特点划分晶系： ⒈ 高级晶族--高次轴多于1个 • 等轴晶系（立方晶系） ⒉ 中级晶族—只有一个高次轴 • 四方晶系：L4或Li4； • 三方晶系：L3； • 六方晶系：L6或Li6 。
轴次高于2的对称轴：L3、L4、L6为高次轴。
晶体中的对称轴：2，3，4，6
• 对称定律：晶体中不可能出现五次及高于 六次的对称轴。
垂直对称轴所形成的多边形网孔
垂直对称轴所形成的多边形网孔
以色列科学家丹尼尔-谢赫特曼（Daniel Shechtman） 因发现准晶体而 一人独享了2011年诺贝尔化学奖。
• 吊扇中的叶片以转子中心线为对称轴，三个 叶片之间可以围绕这个对称轴每旋转120
重复一次。
– 对称操作：绕对称轴旋转一定的角度 – 对称要素：旋转轴
现实生活中的几个对称的例子
对称操作：镜子的反映 (这是一个虚拟 操作) 对称要素：镜子构成的对称面
二、晶体的宏观对称要素
晶体外形的对称为宏观对称性，晶体内部结构原 子或离子排列的对称性为微观对称性。前者是有 限大小宏观晶体具有的对称性，后者是无限晶体 结构具有的对称性。两者本质上是统一的，微观 对称性是晶体的本征性质，宏观对称性是微观对 称性的外在表现。
2. 对称轴(Ln)
• 概念：通过晶体中心的一根假想直线，当图形 绕此直线旋转一定角度后可使相同部分重复。 • 轴次(n)：旋转一周重复的次数。
• 基转角()：在旋转操作中，使物体复原所需的 最小旋转角。
n=360/ • 表示方法：mLn ：如3L2、4L3
晶体外形上可能出现的对称轴
名称 一次对称轴 二次对称轴 三次对称轴 四次对称轴 六次对称轴 符号 L1 L2 L3 L4 L6 基转角 作图符号 360 180 120 90 60
（3）Ln与垂直它的P组合。 Ln(偶)+P⊥= LnP(C)； (L1 +P=L1P=P)； L2+P=L2 PC； L3+P =L3P； L4+P =L4PC； L6+P= L6PC。
（4）Ln与包含它的P组合 Ln+P// = LnnP， (L1+P// =L1P =P)； L2 +P// =L2 2P； L3 +P// =L33P； L4+P// =L44P ； L6 +P// =L66P 。
定理5 ：如果有轴次分别为n和m的两个对称轴 以δ角斜交时，围绕Ln必有n个共点且对称分 布的Lm；同时，围绕Lm必有m个共点且对称 分布的Ln，且任两个相邻的Ln和Lm之间的交
角均等于δ：
Ln+ Lm = nLm mLn
二、对称型和晶类
1、概念
结晶多面体中全部宏观对称要素的组合，称为 该结晶多面体的对称型，也称点群。
（6）Lin单独存在 Li1= C； Li2= P； Li3 = L3C； Li4； Li6 = L3P。
（7）Lin与垂直的L2 (或包含它的P)的组合
Lin(奇)+ L2 ⊥(或P//)= Lin n L2 nP，
Lin(偶)+ L2 ⊥(或P//) = Lin(n/2) L2(n/2)P， (Li1L2P = L2 PC)； Li33 L2 3P = L33 L23PC； (Li2 L2 P = L2 2P)； Li 42 L2 2P； Li63L23P.
具Li4 的四方四面体
由Li4 的联系的图形
具有Li6的三方柱
晶体中只存在有 8 种独立的宏观对称要素:
C , P, L , L , L , L , L , L
参见：p42，表4-2
1
2
3
4
6
4 i
任何宏观晶体所具有的对称性都是这 8 种基本对称要素的组合。
4.3 对称要素的组合及对称型
• 任意两个对称要素同时存在一个晶体时，将 产生第三个对称要素，且产生的个数一定。 • 晶体上对称要素的组合必须遵循对称定律和 对称要素的组合定理。
晶类：按对称型所划分的晶体类别。
2、分类： •A类：高次轴不多于一个； •B类：高次轴多于一个。
三、对称型的推导
1、A类对称型
对称要素有7种组合情况： （1）对称轴单独存在 L1； L2 ； L3； L4； L6。
（2）Ln与垂直的L2组合
Ln+ L2⊥= LnnL2 (L1+L2 = L1L2= L2)； L2+L2 =L22L2 = 3L2 ； L3+L2 =L33L2 ； L4+L2= L44L2 ； L6+L2 = L66L2 。
该图形显然具有一个对称中心
因此 3 次反轴相当于 1 个 3 次 旋转轴加上一个对称中心
L L C
3 i 3
4 次反轴
相当于旋转90后再对中 心反伸而图形不变。
这是一个独立的对称操 作。它既没有 4 次旋转 轴也没有对称中心，不 能分解成其他基本对称 要素的组合。
注意这里的 2、6、4、 8 这四个点是不存在 的，也是过渡点。
• 表示方法：Lin；n=1, 2, 3, 4, 6 晶体中不可能出现5次及高于6次的旋转 反伸轴。
1 次反轴
相当于旋转360后再对 中心反伸。 旋转360将使图形回复 到原始位置；因此，1次 反轴的效果与单纯的反 伸操作完全相同。
1次反轴也就是对称中心。
L C
1 i
2 次反轴
相当于旋转180后再对中心 反伸。
两个相同部分，通过一个平面
的反映发生重复
若干个相同部分，通过绕一根 直线的旋转发生重复
晶体是对称的。
晶体对称在外形上表现为相同晶面、晶 棱的规律重复。
石榴石晶体
绿柱石晶体
二、晶体对称的特点
⑴ 所有的晶体都是对称的。 ⑵ 晶体的对称是有限的。 ⑶ 晶体的对称不仅表现在外形上，内部 结构和物理性质也是对称的。
由对称中心联系的两个反向平行的晶面
4. 旋转反伸轴(Lin)
旋转反伸轴是一种复合对称要素，由一根 假想的直线和在此直线上的一个定点组成。 相应的对称操作是绕此直线旋转一定角度后 再对此定点的反伸。
对称操作包含两种操作：旋转和反伸，两 个操作步骤完成后对称图形才可复原。 根据晶体对称轴定律，反轴也只有 1 次、2 次、3 次、4 次和 6 次 。
3. 低级晶族--无高次轴 • 斜方晶系： L2和P的总数不少于三个； • 单斜晶系： L2或P不多于一个； • 三斜晶系：无L2、无P。 p48，表4-5
教学基本要求
1. 理解对称的概念与晶体对称特点，掌握对称 操作与对称要素、对称要素的组合定理。
2. 熟悉32种对称型，理解对称型与点群的概念、
一、对称要素的组合定理
定理1：如果有一个对称面P包含Ln，则必有n 个P同时包含此Ln，且相邻两个P之间的夹 角等于360º /2n：
Ln + P// = Ln nP ——万花筒定理
定理2：如果有一个L2 垂直于Ln，则必有n 个 L2垂直于Ln
Ln + L2⊥= Ln nL2 定理3：偶次对称轴垂直对称面，交点必为对 称中心： Ln(偶) +P⊥ = Ln PC。 定理3的推论：存在对称中心时，晶体中偶次 对称轴数目和反映面数目相等。
第四章 晶体的宏观对称
主要教学内容：
晶体的宏观对称要素* 对称要素的组合定理* 对称型* 晶体的对称分类体系*
自然界中对称的现象
4.1 对称的概念和晶体对称的特点
一、对称的概念
图形相同部分有规律的重复，称为对称。 对称图形的条件： • 有两个或两个以上相同部分； • 这些相同部分可以借助于对称动作发生 重复。
6 次反轴
相当于旋转60后再对中心反 伸而图形不变。 旋转120图形能够复原，因 此该图形具有一条 3 次旋转 轴 该图形显然具有一个对称面 因此 6 次反轴相当于一条 3 次旋转轴加上一个对称面
L L P
6 i 6
晶体结构中的旋转反伸轴：
Li1 Li2 Li3 Li4 Li6
570
1150ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2150
2150 570
1150
NaCl抗拉强度(g/mm2)的对称性
4.2 晶体的宏观对称要素
一、对称操作和对称要素
对称操作：使物体的相同部分重复所进行的操作。 对称要素：进行对称操作时必须凭借一定的几何要 素。 •对称操作：反映、旋转、反伸 •对称要素：面、线、点
现实生活中的几个对称的例子
对称操作：反映 表示方法：nP，如 9P、
6p等
P1和P2为对称面； AD非对称面
• 晶体中对称面可能出现的位置 垂直并平分晶面 垂直晶棱并通过它的中点 包含晶棱
晶体中如果存在对称面，则必定通 过晶体的几何中心并将晶体分为互 成镜像反映的两个相同部分。 晶体中的对称面：0≤P≤9
立方体9个对称面的分布
（5）Ln与平行它的P以及垂直它的P组合 Ln+ P// +P⊥=Lnn L2(n+1)P(C) (L1+P⊥+P// =L1 L2 2P= L22P)； L2+P⊥+P// =L22 L2 3PC=3L23PC； L3+P⊥+P// =L33 L2 4P = Li63L23P； L4+P⊥+P// = L44 L25PC； L6+P⊥+P// =L66 L2 7PC。
准晶具有完全有序的结构，然而又不具有晶体所应 有的平移对称性，因而可以具有晶体所不允许的宏 观对称性。
对称轴可能出现的位置