新人教版九年级下册第26章二次函数总复习课件PPT

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第26章小结二次函数的复习课件

第26章小结二次函数的复习课件

2、抛物线 y = 3x 2 + 2 的开口向
坐标为
.
, 顶点
3、抛物线 y =2( x +1)2 - 4 的顶点坐标为
对称轴为
.
4、当a 为最高点.
时,抛物线 y =(a +2)x 2 的顶点
5、抛物线 y = ( x - 2) 2 + 3 的开口向 ,对称
轴为
,在对称轴左侧,y 随 x 的增大而
2
1
A
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
1
-1
D B
2 3 4 56 7
8x
1、本课主要复习了哪些内容? 2、通过复习,你有什么体会或收获呢?
二次函数 y x2 2x 3
1)用配方法求其顶点D的坐标; 2)求其与y轴的交点C的坐标、与x轴交点A、B (且点A在点B的左边)的坐标。
y x2 2x 1
y
9
8 y=x2-2x+3
7
6
y x2 4x 3
5
4
3
2
1
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
1 2 3 4 5 6 7 8x
-1
知识点回顾四:
二次函数一般式与顶点式的转化
一般式
y ax2 bx c
配方
顶点式
y ax m2 k
y ax2 bx c

大 a >0 致 图 象 a<0
函 数
a >0
变 化 a<0
在对称轴左侧,y 随 x 的增大而减小. 在对称轴右侧,y 随 x 的增大而增大. 在对称轴左侧,y 随 x 的增大而增大. 在对称轴右侧,y 随 x 的增大而减小.
由a、b、c

九年级数学下册《第二十六章二次函数》复习课件 新人教版

九年级数学下册《第二十六章二次函数》复习课件 新人教版

y A
P D
解:当x=4时,
oB
CM x
y1(46)26 5 1
6
3
即当这个隧道在中心两旁4米宽时的顶的高度达到了5米多,
而车的高度只有4米,所以这两卡车能顺利通过.
感谢亲观看此幻灯片,此课件部分内容来源于网络, 如有侵权请及时联系我们删除,谢谢配合!
CM x
需求出“脚手架”三根木杆AB、AD、
DC的长度之和的最大值是多少?请你帮
忙计算一下解.:(1)点M的坐标是(12,0),点P的坐标是(6,6)
(2)设此抛物线解析式为y=a(x-6)2+6
又因为它经过(0,0),则0=a(0-6)2+6
a 1 此抛物线解 y析 1(x式 6)为 26
6
6
施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道,其高度为 6米,宽度OM=12米,现以O点为原点,OM所在直线为x轴建 立平面直角坐标系,如图所示,
(1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标
y
(2)求出这条抛物线的函数关系式
P
(3)施工队计划在隧道门口搭建一个矩形
A
D
“脚手架”ABCD,使A、D两点在抛物线 上,B、C两点在地面OM上,为了筹备材料, o B
CM x
需求出“脚手架”三根木杆AB、AD、 DC的长度之和的最大值是多少?请你帮 忙计算一下.
y1(x6)2 6 6
(3)设点A的横坐标为m,则点A的纵坐标是
1(m6)26,即 :1m 22m
6
6
∴AD=BC=12-2m,AB=CD= 1 m2 2m
∴AB+AD+DC= 2(1m22m)16 22m1(m3)2 15
顶点坐标是:2ba

九年级数学(下册)第26章(共21张)课件人教版

九年级数学(下册)第26章(共21张)课件人教版
人教版九年级(下册)第26章
26.1 二次函数(第5课时)
2 y a ( x h ) k的图像 二次函数
学前准备
教 学 设 计
探究新知 归纳总结 新知运用 小结作业
教学设计
学前 准备
学前准备
探究新知
探究 新知
归纳 归纳总结
总结
新知运用 小结作业
新知 运用
小结 作业
1.前几节课,我们都学习了形如什么样的二次 函数的图像?你能说说它们的开口方向、对称轴和 顶点坐标吗?
y ax 2
形状相同,位置不同
1 y ( x 1) 2 1 2
1 y ( x 1) 2 1 2
y ax 2
h、k的 值怎样 决定抛 ya ( x h) 2 物线平 移的方 向、距 离?
向上(下)平移|k|
y ax 2 k
y a ( x h) 2 k
填写下列表格
二 次 y 2( x 3) 2 5 y 3( x 1) 2 2 y 4( x 3) 2 7 y 5( x 2) 2 6 y 2( x a) 2 b y 2( x a) 2 b 函 数 开 口 方 向
开口 向上 X=-3
-1.5
-3
-5.5

由对称性可 直接填入
1 y ( x 1) 2 1 2
描点、连线
X=-1
y
注意顶点(-1,-1) 附近图像的大致走向! x
o
当x<-1 (在对称轴的 左侧)时,y随着x的增大而 增大. 当x>-1 (在对称轴的 左侧)时,y随着x的增大而 减小.
1 y ( x 1) 2 1 2

人教版数学九年级下第26章二次函数复习课件 (共23张PPT)

人教版数学九年级下第26章二次函数复习课件 (共23张PPT)

各种形式的二次函数的关系
左 y = a( x – h )2 + k 上






y = ax2 + k
y = a(x – h )2
上下平移 y = ax2 左右平移
结论: 一般地,抛物线 y = a(x-h)2+k与 y = ax2形状相同,位置不同。
练习:
1.抛物线y=x2向上平移 2 个单位,再向右平移 3 个单位可得到抛物线 yx26x11 。
课堂小结:
1、二次函数的概念:
二次函数的概念:函数y= ax2+bx+c (a、b、
c为常数,其中a ≠0 )叫做二次函数。 2、二次函数的图象:
二次函数的图象是一条抛物线。 3、二次函数的性质:
包括抛物线的三要素,最值,增减性。 4、二次函数的实践应用(数形结合)
具体体现在解决一些实际应用题中。
(4)若抛物线与x轴有两个交点,则m_>__-__1_。
练习:
2.将函数y= x2+6x+7进行配方正确的结果应为 (C)
Ay.(x3)22 By.(x3)22 Cy.(x3)22 Dy.(x3)22
练习:
3.抛物线的图像如下,则满足条件a>0, b<0, c<0的是( D )
A
B
D C
练习:
A.
B.
C.
D.
中考链接:
2. 如图,抛物线的顶点P的坐标是(1,- 3),则此抛物线对应的二次函数有( B ) (A)最大值1 (B)最小值-3 (C)最大值-3 (D)最小值1
中考链接:
3. 已知抛物线的部分图象如图,则抛物线的对称轴为
直线x= 3 ,满足y<0的x的取值范围是 1<X<5 ,

人教新课标版初中数学九下第26章二次函数复习(2)课件

人教新课标版初中数学九下第26章二次函数复习(2)课件

课 后
独立思考的学习习惯。


教材分析





重点
标 呈
将 实 际 问 题 转 化 为 函 数 问 题 ,并 利 用 函 数 的 性
现 教
质进行决策.


析 教
难点
学 流
会运用二次函数知识解决有关综合问题.

同 步
关键


建立恰当的二次函数模型,建立正确的函数
课 后
关系式


交回流顾回交顾流 范例点击 随堂巩固 小结作业

步 演
常设为顶点式y=a(x-h)2+k形式。
练 课
当已知抛物线与x轴的交点或交点横坐标时,
后 练
通常设为两根式y=a(x-x1)(x-x2)

交回流顾回交顾流 范例点击 随堂巩固 小结作业




二次函数与一元二次方程之间的联系


呈 现
二次函数
一元二次方程

y=ax2+bx+c(a≠0) ax2+bx+c=0(a≠0)根
步 演 练
- 3 x+ 3 的 图 象 与 x 轴 、y 轴 的 交 点 ;且 过 (1, 1), 求 这 个 二 2


次 函 数 解 析 式 , 并 把 它 化 为 y= a(x- h)2+ k 的 形 式 。


回顾交流 范例点击 随堂巩固 小结作业




例 2: 已 知 二 次 函 数 y= 2x2- (m+ 1)x+ m- 1。

九年级数学下册 第26章 二次函数小结与复习教学课件

九年级数学下册 第26章 二次函数小结与复习教学课件

值的增大而减小,∴抛物线y=-x2+2bx+c的对称轴应在直线x=1
的左侧而抛物线y=-x2+2bx+c的对称轴 故选择D .
x ,b 即b≤b1, 2(1)
第十五页,共二十六页。
考点四 抛物线的几何变换
例4 将抛物线y=x2-6x+5向上(xiàngshàng)平移 2个单位长
度,再向右平移1个单位长度后,得到的抛物线表达式是
3.若已知二次函数图象与x轴的交点坐标为 (x1,0)、(x2,0)
时,可设交点式求表达式,最后化为一般式.
第十九页,共二十六页。
针对训练
5.已知抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2-3x+7的形状相同,顶点在 直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5,请写出满足(mǎnzú)此条件的抛物线
的表达式.
y最大=
4ac b2 4a
在对称轴左边, x ↗y↘ ;在对称轴右边, x ↗ y ↗
在对称轴左边, x ↗y ↗ ;在对称轴右边, x ↗ y ↘
第四页,共二十六页。
6.二次函数(hánshù)与一元二次方程及一元二次不等式的关系:
判别式△=b2-4ac
△>0
△=0
△<0
二次函数y=ax2+bx+c (a>0) 的图象
方法总结 抛物线平移的规律可总结如下(rúxià)口诀:左加右减 自变量,上加下减常数项.
第十六页,共二十六页。
针对训练
4.若抛物线 y=-7(x+4)2-1平移(pínɡ yí)得到 y=-7x2,则必须( )B A.先向左平移4个单位,再向下平移1个单位 B.先向右平移4个单位,再向上平移1个单位 C.先向左平移1个单位,再向下平移4个单位 D.先向右平移1个单位,再向下平移4个单位

人教版九年级数学下册第26章《二次函数》二次函数ya(xh)^2的图象与性质课件(21张)

人教版九年级数学下册第26章《二次函数》二次函数ya(xh)^2的图象与性质课件(21张)
y a ( x-h )2的 图 象 与 性 质
2020/3/23
在同一直角坐标系中,
画出函 y2 1数 x2与y2 1(x-22)的图象
2020/3/23
2020/3/23
2020/3/23
2020/3/23
2020/3/23
2020/3/23
2020/3/23
函数y=-(x+3)2的图 象可由y=-x2的图象 沿x轴向左平移3个
单位长度得到.
函数y=-(x-2)2的图 象可由y=-x2的图象 沿x轴向右平移2个
单位长度得到.
y=-(x+3)2
y=-x2 y=-(x-2)2
图象向左移还是向右移,移多少个 单位长度,有什么规律吗?
2020/3/23Leabharlann 这两个函数的图象有什么关系?
y
1 2
x2
y
1( 2
x2
)2
但是对称轴和 顶点坐标不同
的图象向右 平移 h个单位得到,当h<0时,
函数y=a(x-h)2的图象可由y=ax2的图象向
平移左个单位得到h 。
(1)函数y=4(x+5)2的图象可由y=4x2的图象 向左 平移5 个单位得到;y=4(x-11)2的图象 可由 y=4x2的图象向右平移11个单位得到。
(2)将函数y=-3(x+4)2的图象向 右 平移4 个单位可得 y=-3x2的图象;将y=2(x-7)2的图象向左平移 7 个 单位得到y=2x2的图象。将y=(x-7)2的图象
向左平移 9 个单位可得到 y=x2+2的图象。
(3)将抛物线y=4x2向左平移3个单位,所得的 抛物线的函数式是 y=4(x+3)2。

新人教版九级下册二次函数总复习精品PPT课件

新人教版九级下册二次函数总复习精品PPT课件

y
y
y
y
O
x
A
x
O
x
O
O
x
B
C
D
答案: B 前进
(三)根据函数性质求函数解析式
例4、已知二次函数y=ax2+bx+c的最
大值是2,图象顶点在直线y=x+1上,并
且图象经过点(3,-6)。求二次函数
解析式解:∵二次函数的最大值是2
∴抛物线的顶点纵坐标为2
又∵抛物线的顶点在直线y=x+1上
∴当y=2时,x=1 ∴顶点坐标为( 1 , 2)
⑤Δ=b-4ac ___ 0
二次函数y=ax2+x+a2-1的图
象如图所示,则a=_______
y
x
题型分析:
(一)抛物线与x轴、y轴的交点及所构成 的面积
例1:填空:
(1)抛物线y=x2-3x+2与y轴的交点坐 标是_____(0_,2_) _____,与x轴的交点
坐标是___(1,_0_)和_(2_,_0)____;
(6)x为何值时,y<0?x为何值时,y>0?
解: (2)由x=0,得y= - -32—
抛物线与y轴的交点C(0,- -32—)
由x1y==-30,得—12x2x=21+x- —32 =0 与x轴交点A(-3,0)B(1,0)
前进
例(5:1)求已抛知物二线次开函口数方y=向—12,x2对+x称-—32轴和顶点M的坐标。
精诚教育 降春雨
复习目标:
1.知识目标:掌握二次函数的定义,最值及性质,抛物 线的开口方向、对称轴和顶点坐标。
2.技能目标:会熟练求二次函数的解析式、对称轴及顶 点坐标。

新人教九年级下第二十六章二次函数全章精品课件-13.ppt

新人教九年级下第二十六章二次函数全章精品课件-13.ppt

3.已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如 图所示,试求出a,b,c的值。 y
3 0
2 x
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课后拓展
1.如图,隧道横截面的下部是矩 形,上部是半圆,周长为16米。 ⑴求截面积S(米2)关于底部宽 x(米)的函数解析式,及自变 量x 的取值范围? ⑵试问:当底部宽x为几米时, 隧道的截面积S最大(结果精确 到0.01米)?
3、已知一次函数y=-2x+c与二次函数y=ax2 +bx-4 的图象都经过点A(1,-1),二次函数的对称轴直线 是x=-1,请求出一次函数和二次函数的表达式. 4.写出一个二次函数的解析式,使它的顶点在第二象限 且开口向下(要求用一般式表示)
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1.抛物线y=-x2+mx-n的顶点坐标是 (2,-3),求m,n的值。
2.不画图象,说明抛物线y=-x2+4x+5可 由抛物线y=-x2经过怎样的平移得到?
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直线x=2
1 2 能否说出二次函数 y x 6 x 21 2 需要更完整的资源请到 新世纪教 图象的对称轴与顶点坐 育网 - 标呢?
1 2 (1)能否说出二次函数 y x 6 x 21 2 图象的对称轴与顶点坐 标?
(2)能否说出二次函数 y ax bx c
5.如图,在同一坐标系中,函数y=ax+b与 y=ax2+bx(ab≠0)的图象只可能是( )
y y y y
o
x
o x
o x
o
x

新人教九年级下第二十六章二次函数全章精品课件-10.ppt

新人教九年级下第二十六章二次函数全章精品课件-10.ppt

x … -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 … y=-2x2 … -8 -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 -4.5 -8 …
(3) 连线
1 函数y=-2
1
y 2 3 4 5 x
o1 x2,y=-2x2的 -5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 图像与函数y=-x2(图中虚线图 -3 形)的图像相比,有什么共同点和 -4 -5 不同点? -6 共同点: 开口向下; -7 -8 除顶点外,图像都在x轴下方 -9 需要更完整的资源请到 新世纪教 不同点: 开口大小不同 ; - -10 育网
o x
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2+m m 例2.已知 y =(m+1)x 是二次函数且其图象开口
根据表中x,y的数 值在坐标平面中描点 (x,y),再用平滑曲线顺 次连接各点,就得到 y=x2的图像.
需要更完整的资源请到 新世纪教 育网 -
从图像可以看出,二次函数y=x2和y=-x2的图像 都是一条曲线,它的形状类似于投篮球或投掷铅球时球 y y 在空中所经过的路线. o x 这样的曲线叫做抛物线.
在同一坐标系内,抛物线 y=ax2与抛物线y=-ax2是关于轴 需要更完整的资源请到 新世纪教 对称的. 育网 -
a<0
y 1 o1 2 3 4 5 x -5-4 -3 -2-1 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -轴 ,顶点是 (0,0) ; y轴
当a>0时,抛物线的 开口向上,顶点是抛物线 的最低点, a越大,抛 物线的开口越小;
一般地,抛物线y=ax2的对称轴是y轴,顶点是原点. a>0
y 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -5-4 -3 -2-1 o1 2 3 4 5 x

初中数学 九年级数学下册 26 二次函数复习课件2 新人教版

初中数学 九年级数学下册 26 二次函数复习课件2 新人教版

a<0时,ymax=0
图 26.2.1
2.一般二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0) 的图象特点和函数性质
(一) 图象特点: (1)是一条抛物线; (2)对称轴是:x=(3)顶点坐标是:(- , (4)开口方向: a>0时,开口向上; a<0时,开口向下.
2a
) 4ac-b2 4a
2a
图 26.2.4
b 的位置 : x=2a ab<0
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数: Δ>0 Δ=0 Δ<0
(1)a确定抛物线的开口方向:
a>0 y (2)c确定抛物线与y轴的交点位置: c>0 c=0 c<0 a<0

0 x
(3)a、b确定对称轴 ab>0 ab=0
b 的位置 : x=2a ab<0
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数: Δ>0 Δ=0 Δ<0
题型分析: (一)抛物线与x轴、y轴的交点急所构成的面积 例1:填空: (1)抛物线y=x2-3x+2与y轴的交点坐标是 ____________,与x轴的交点坐标是 ____________; (2)抛物线y=-2x2+5x-3与y轴的交点坐标是 ____________(0,2) ,与x轴的交点坐标是 ____________ . 和(2,0) (1,0) (0,-3) 3 (1,0)和 2 ( ,0)
(3)a、b确定对称轴 ab>0 ab=0
b 的位置 : x=2a ab<0
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数: Δ>0 Δ=0 Δ<0
(1)a确定抛物线的开口方向:
a>0 y a<0

新人教九年级下第26章《二次函数》整章成套课件(共7个)-3

新人教九年级下第26章《二次函数》整章成套课件(共7个)-3

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1、(1)抛物线y= −2x2+3的顶点坐标是 (0,3) ,对 称轴是 当x=
y轴
,在 对称轴的左
侧,y随着x的增 ,它
大而增大;在对称轴的右 侧,y随着x的增大而减小,
时,函数 y的值最大,最大值是 0
是由抛物线 y= −2x2线 3
做一做:
2、按下列要求求出二次函数的解析式: (1)已知抛物线y=ax2+c经过点(-3,2)(0,-1) 求该抛物线线的解析式。 (2)形状与y=-2x2+3的图象形状相同,但开口方向 不同,顶点坐标是(0,1)的抛物线解析式。 (3)对称轴是y轴,顶点纵坐标是-3,且经过(1, 2)的点的解析式,
(1)当a>0时, 开口向上;
一般地,抛物线y=a(x-h)2有如下特点:
当a<0时,开口向下;
y 1 o1 2 3 4 5 x -5-4 -3 -2-1 -1 1 -2 y ( x 1) 2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10
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3、在同一直角坐标系中,一次函数y=ax+c和 二次函数y=ax2+c的图象大致是如图中的( )
y
y
y
y
o
x
o
x
o
x
o
x
A
B
C
D
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虑它们的开口方向、对称轴和顶点: 解: 先列表 x … -3 -2 -1 0 描点
1 y ( x 1) 2 2 1 y ( x 1) 2 2
1 1 2 y ( x 1) 2的图像,并考 画出二次函数 y ( x 1) 、 2 2

数学九年级下人教新课标第二十六章二次函数课件PPT优秀资料

数学九年级下人教新课标第二十六章二次函数课件PPT优秀资料

4、已知点A(-1,-1)在抛物线y=(k2-1)x2-2(k-2)x+1上
D、4a-2b+c<0
B、b2-4ac>0 5、已知如图抛物线经过A、B、C三点,顶点为D,且与x轴的另一个交点为E。
(1)求抛物线的对称轴。 C、2a+b>0 (1)求抛物线的对称轴。
C、2a+b>0 -1 D、4a-2b+c<0
(2)若点B与点A关于抛物线的对称轴对称,问是否存在与抛物线只交于一点B的直线ห้องสมุดไป่ตู้若存在,求符合条件的直线,若不存在,说明理由。
5、已知如图抛物线经过A、B、C三点,顶点为D,且与x轴的另一个交点为E。
注意:抛物线的平行移动问 A、abc > 0
5、已知如图抛物线经过A、B、C三点,顶点为D,且与x轴的另一个交点为E。 (2)若点B与点A关于抛物线的对称轴对称,问是否存在与抛物线只交于一点B的直线?若存在,求符合条件的直线,若不存在,说明理由。
C、2a+b>0
注意:抛物线的平行移动问题一般应抓住“顶点”这个关键点。
(2) 已知抛物线经过 (2,0), (0,-2),(-2,3)三点。
第二节
二次函数的图像与性质(一)
(2) 已知抛物线经过 (2,0), (0,-2),(-2,3)三点。
(3)已知抛物线与x轴交点的横坐标为-2和1,且通过点(2,8)。
D
⊿BDE是否相 B3
C(2,3)
似,如果相似
请予证明;
如果不相似 A
E
请说明理由。 -1 O F
x
7
物线只交于一点B的直线?若
存在,求符合条件的直线,若
不存在,说明理由。

数学人教九年级下26章26.1二次函数.ppt

数学人教九年级下26章26.1二次函数.ppt

如图(图一)四边形ABCD为矩形,点P、点Q分别
从A、B两点同时出发,P点在AD边上以每秒1cm的
速度到达D 点后返回到A点停止;Q点在BC边上以每
秒0.5cm的速度到达D点后停止,(图二)为出发x秒
后四边形ABQP的面积y与P从点A运动到点D时关于
时间x的函数关系式的图象。
(1)求AD的长;(2)求AB的长;(3)当点P从D
向A运动时,求y关于x的函数关系式,并在坐标系中
画出图象。
y
A
P
D
10
( 图 一 )
B
Q
( 图 二4 )
C
0
6 10
x
三1、.运友动情的提方示向: 。 2.运动的起始点、终点。 3.运动的速度、运动的路径。 4.联系学习过的知识进行分析,图形结
合,数形结合;动中求静,静中求动,动 静结合;联想学习过的习题转化为旧知识 类比求新.
四、挑战中考
如图,在平面直角坐标系内,已知点A(0,6)、 点B(8,0),动点P从点A开始在线段AO上以每秒1 个单位长度的速度向点O移动,同时动点Q从点B开始 在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动, 设:点P、Q移动的时间为t秒。(1)求直线AB的解 析式;(2)当t为何值时,△APQ与△AOB相似? (3)当t为何值时,△APQ的面积为24/5个平方单位?
y A6 P
Q
0
B8
x
五、反思升华:
我今天学习到了什么? 我会解决生活中的动态问题吗? 我明天解决问题时要注意什么? 我的数学思想深化了吗?
敢做就会赢!
动态 问 题(一)
A
D
B
C
一、轻松夺冠:
如图,△ABC中,AB=8,AC=6,BC=9,如果 动点D以每秒2个单位长的速度,从B出发沿BA 方向向点A运动,直线DE∥BC,记x秒时这条直 线在△ABC内部的长度为y,写出y关于x的函数 关系式,并画出它的图象。

新课标人教版初中数学九年级下册第二十六章二次函数-精品课件

新课标人教版初中数学九年级下册第二十六章二次函数-精品课件
2020/4/15
小结
在解二次函数问题时,要善于用表格、图象、 函数表达式表示变量之间的二次函数关系,能 根据具体情况选取适当的方法,表示变量之间 的二次函数关系;要充分利用二次函数图象去 把握其性质;在解决实际问题时,二次函数也 是一个有效的数学模型,它能对变量的变化趋 势进行预测.
2020/4/15

-1
2020/4/15
• (3)写出一个图象经过原点的二次函数解析
式: 如: y=x²-2x

2020/4/15
( 4 ) 抛 物 线 y=-x²-2x+3 与 x 轴 交 于 点 A(
)、B1(,0
)-,3,与0y 轴 交 于 点 C(
),0且,△3ABC的面积为
。6
2020/4/15
2.求抛物线y=2x²-4x+1的对称轴和顶点坐标。 解: y=2x²-4x+1 = 2(x²-2x+1-1)+1 =2(x-1)²-2+1 =2(x-1)²-1 ∴ 对称轴是x=1,顶点坐标为(1,-1)
2020/4/15
(二)、解决问题:
3.在墙边(足够长)的空地上,准备用36m长的篱笆围一块矩形花圃 ,问长是多少时,才能使围成的面积最大,最大面积是多少?
解: 设长为xm时 ,面积为y m2 由已知条件得 : y=½(36-x)x
y=- ½(x-18)2+162 ∴ 当x=18m时 y 的最大面积是162m2
• (4)利用(3)的结论直接写出y= -x2+4x+2的伴随抛物线和伴随 直线。
2020/4/15
解: (3)∵伴随抛物线的顶点是(0,c), ∴设它的解析式为y=m(x-0)2+c(m≠0). ∵此抛物线过点P(-b/2a,4ac-b2/4a), ∴4ac-b2/4a=m(-b/2a)2+c.解得m=-a. ∴伴随抛物线的解析式为y=-ax2+c. 设伴随直线的解析式为y=kx+c. ∵点P在此直线上, ∴k=-b/2. 伴随直线的解析式为y=bx/2+c (4)y=x2 +2 , y=2x+2 .
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2 (2) a>0时,ymin= 4ac-b 4a
图 26.2.4
a<0时,ymax= 4ac-b2
4a
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一、定义
解析式
二、图象特点 和性质
三、解析式的求法 四、图象位置与 a、b、c、 的 正负关系
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使用 范围
已知任意 三个点 已知顶点 (h,k)及 另一点 已知与x 轴的两个 交点及另 一个点


• • •

1 3 已知二次函数y=—x2+x-— 例5: 2 2 (1)求抛物线开口方向,对称轴和顶点M的坐标。 (2)设抛物线与y轴交于C点,与x轴交于A、B两点,求C, A,B的坐标。 (3)画出函数图象的示意图。 (4)求ΔMAB的周长及面积。 (5)x为何值时,y随的增大而减小,x为何值时,y有最大 (小)值,这个最大(小)值是多少? (6)x为何值时,y<0?x为何值时,y>0? x=-1 :(5)
一、定义 二、图象特点 和性质
三、解析式的求法 四、图象位置与 a、b、c、 的 正负关系
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一、定义 二、图象特点 和性质
三、解析式的求法 四、图象位置与 a、b、c、 的 正负关系
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一般地,如果 y=ax2+bx+c(a,b,c 是常数,a≠0),那么,y 叫做x的二次函数。
c>0
x
c=0 ab=0 Δ=0
c<0 的位置: ab<0 Δ<0
0
b (3)a、b确定对称轴x=- 2a
ab>0 Δ>0
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数:
y
(1)a确定抛物线的开口方向: a>0 a<0 (2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
c>0
x
•(0,c)
0
c=0
c<0
b x=- 2a
(3)a、b确定对称轴 ab>0 ab=0 Δ>0 Δ=0
图 26.2.4
前进
(二) 函数性质:
(1) a>0时,对称轴左侧(x<-2a), 函数值y随x的增大而减小 ;对称轴 右侧(x>- ),函数值y随x的增大而 2a 增大 。 a<0时,对称轴左侧(x<- 2a), 函数值y随x的增大而增大 ;对称轴 右侧(x>- 2a ),函数值y随x的增大而 减小 。

当x≤-1时,y随x的增大 而减小; 当x=-1时,y有最小值为 y最小值=-2

(-3,0)
(1,0) x
0 3 (0,-–) 2 前进

• • • (-1,-2)
的位置: ab<0 Δ<0
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数:a>0 a<0 (2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
0 (0,0)

c>0
x
c=0
c<0
b x=- 2a
(3)a、b确定对称轴 ab>0 ab=0 Δ>0 Δ=0
的位置: ab<0 Δ<0
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数:
(四)二次函数综合应用
1 3 已知二次函数y=—x2+x-— 例5: 2 2 (1)求抛物线开口方向,对称轴和顶点M的坐标。 (2)设抛物线与y轴交于C点,与x轴交于A、B两点,求C, A,B的坐标。 (3)画出函数图象的示意图。 (4)求ΔMAB的周长及面积。 (5)x为何值时,y随的增大而减小,x为何值时,y有最大 (小)值,这个最大(小)值是多少? (6)x为何值时,y<0?x为何值时,y>0? 前进
一般式
y=ax2+bx+c
y=a(x-h)2+k y=a(x-x1)(x-x2)
顶点式
交点式
(1)a确定抛物线的开口方向: a>0 a<0 (2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
c>0 c=0 c<0
b x=- 2a
(3)a、b确定对称轴 ab>0 ab=0 Δ>0 Δ=0
的位置: ab<0 Δ<0
y
(1)a确定抛物线的开口方向: a>0 a<0 (2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
c>0 c=0 c<0
b x=- 2a
0

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x
(3)a、b确定对称轴 ab>0 ab=0 Δ>0 Δ=0
的位置: ab<0 Δ<0
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数:
题型分析:
(一)抛物线与x轴、y轴的交点急所构成 的面积 例1:填空: (1)抛物线y=x2-3x+2与y轴的交点坐 (0,2) 标是____________,与x轴的交点 (1,0)和(2,0) 坐标是____________; (2)抛物线y=-2x2+5x-3与y轴的交 (0,-3) 点坐标是____________,与x轴的 3 (1,0)和(2 ,0) 交点坐标是____________.
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数:
y
(1)a确定抛物线的开口方向: a>0 a<0 (2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
c>0 c=0 c<0
b x=- 2a x
0
•(x,0)
(3)a、b确定对称轴 ab>0 ab=0 Δ>0 Δ=0
的位置: ab<0 Δ<0
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数:
c>0
x
c=0
c<0
b x=- 2a
0
(3)a、b确定对称轴 ab>0 ab=0 Δ>0 Δ=0
的位置: ab<0 Δ<0
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数:
y
(1)a确定抛物线的开口方向: a>0 a<0
b x=2a
(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
c>0
x
c=0
c<0
b x=- 2a
0
(3)a、b确定对称轴 ab>0 ab=0 Δ>0 Δ=0
解:
1 3 已知二次函数y=—x2+x-— 例5: 2 2 (1)求抛物线开口方向,对称轴和顶点M的坐标。 (2)设抛物线与y轴交于C点,与x轴交于A、B两点,求C, A,B的坐标。 (3)画出函数图象的示意图。 (4)求ΔMAB的周长及面积。 (5)x为何值时,y随的增大而减小,x为何值时,y有最大 (小)值,这个最大(小)值是多少? (6)x为何值时,y<0?x为何值时,y>0? y x=-1 (3) ①画对称轴 (1,0) x (-3,0) ②确定顶点 0 ③确定与坐标轴的交点 前进 3 及对称点 (0,-–) 2 ④连线 (-1,-2)
前进
一、定义 二、图象特点 和性质
三、解析式的求法 四、图象位置与 a、b、c、 的 正负关系
前进
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2.一般二次函数
y=ax2+bx+c(a≠0)
的图象特点和函数性质
(一) 图象特点:
(1)是一条抛物线; (2)对称轴是:x=- 2a 4ac-b2 ) (3)顶点坐标是:(-2a , 4a (4)开口方向: a>0时,开口向上; a<0时,开口向下.
解:∵二次函数的最大值是2 ∴抛物线的顶点纵坐标为2 又∵抛物线的顶点在直线y=x+1上 ∴当y=2时,x=1 ∴顶点坐标为( 1 , 2) ∴设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+2 又∵图象经过点(3,-6) 前进 ∴-6=a (3-1)2+2 ∴a=-2 ∴二次函数的解析式为y=-2(x-1)2+2 即: y=-2x2+4x
a<0时,开口向下.
前进
(二) 函数性质:
(1) a>0时,y轴左侧,函 数值y随x的增大而减小 ; y 轴右侧,函数值y随x的增大而 增大 。
a<0时, y轴左侧,函 数值y随x的增大而增大 ; y轴 右侧,函数值y随x的增大而减 小。
图 26.2.1
(2) a>0时,ymin=0 a<0时,ymax=0


• • •

1 3 已知二次函数y=—x2+x-— 例5: 2 2 (1)求抛物线开口方向,对称轴和顶点M的坐标。 (2)设抛物线与y轴交于C点,与x轴交于A、B两点,求C, A,B的坐标。 (3)画出函数图象的示意图。 (4)求ΔMAB的周长及面积。 (5)x为何值时,y随的增大而减小,x为何值时,y有最大 (小)值,这个最大(小)值是多少? (6)x为何值时,y<0?x为何值时,y>0? y :(4)由对称性可知 MA=MB=√22+22=2√2 B(1,0) x A(-3,0) D AB=|x1-x2|=4 ∴ ΔMAB的周长=2MA+AB 0 前进 =2 √2×2+4=4 √2+4 3 1 C(0,-–) ΔMAB的面积=—AB×MD 2 2 1 M(-1,-2) =—×4×2=4 2
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一、定义 二、图象特点 和性质
三、解析式的求法 四、图象位置与 a、b、c、 的 正负关系
前进
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1.特殊的二次函数
y=ax2 (a≠0)
的图象特点和函数性质
(一) 图象特点:
(1)是一条抛物线;
(2)对称轴是y轴; (3)顶点在原点; (4)开口方向: a>0时,开口向上;
图 26.2.1
解:
∴抛物线的开口向上 1 1 ∵y= — (x2+2x+1)-2=—(x+1)2-2 2 2 ∴对称轴x=-1,顶点坐标M(-1,-2) 前进
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