排列组合例题

1.排列的定义:
从n 个不同元素中,任取m 个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。

2.组合的定义:
从n 个不同元素中,任取m 个元素,并成一组,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.
①分类记数原理（加法原理）：完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法……在第n 类办法中有mn 种不同的方法,那么完成这件事共有N= m1+ m2 +…..+ mn 种不同的方法. ②分步记数原理（乘法原理）：完成一件事需要n 个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2 步有m2种不同的方法， ……做第n 步有mn 种不同的方法，那么完成这件事共有N= m1× m2 ×.…..× mn 种不同的方法.
③两个原理的区别：前者各种方法相互独立，用其中的任何一种方法都可以完成这件事；后者每个步骤相互依存，只有每个步骤都完成了，这件事才算完成．对前者的应用，如何分类是关键，如排数时有0没有0，排位时的特殊位置等；后者一般体现在先选后排．
从 n 个不同元素中取出m 个元素的排列数
例1：7种不同的花种在排成一列的花盆里，若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆中，问有多少不同的种法？ 解一：分两步完成
第一步选两葵花之外的花占据两端和中间的位置 第二步排其余的位置： 解二：第一步由葵花去占位 第二步由其余元素占位： 小结：当排列或组合问题中,若某些元素或某些位置有特殊要求的时候，那么，一般先按排这些特殊元素或位置，然后再按排其它元素或位置，这种方法叫特殊元素（位置）分析法。

例2：要排一个有5个独唱节目和3个舞蹈节目的节目单，如果舞蹈节目不排头，并且任何2个舞蹈节目不连排，则不同的排法有几种？
解：5个独唱节目的排法是P55舞蹈不排在头一个节目，又需任何两个舞蹈不连排,只要把舞蹈节目,插入独唱节目的5个空隙中即可,即舞蹈节目的排法是P53,所以排法的种数为 小结：当某几个元素要求不相邻时，可以先排没有条件限制的元素，再将要求不相邻的元素按要求插入已排好元素的空隙之中，这种方法叫插入法。

例3 学生要从六门课中选学两门:（1）有两门课时间冲突，不能同时学，有几种选法？ （2）有两门特别的课，至少选学其中的一门，有几种选法？
(1) 解法一：
解法二：
(2)解法一： 解法二： 例4 9人排成一行，下列情形分别有多少种排法？ ⑴甲不站排头，乙不站排尾；
解法一：(分类法) 解法二：(排除法) ⑵甲乙必须排在一起，丙丁不能排在一起； 种排法
有2
4P 种排法
有3
5P 种排法有44P 种不同的排法
共有4
435P P ∴种排法有55P 种不同的排法
共有5
524P P ∴141
41224=+C
C C 1412
6=-C
92
21412=+C C C 92
426
=-C
C 287280
7
7171788=⋅⋅+A A A A 287280
27
78899=+-A A A 60480
2
72266=⋅⋅A A A m m m
n m n C A A
=⋅
点评：小团体排列问题中，先整体后局部，再结合不相邻问题的插空处理. ⑶甲、乙、丙从左到右排列；
⑸分成甲、乙、丙三组，甲组4人，乙组3人，丙组2人； 例5 从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10的偶数,不同的取法有多少种？
解：这问题中如果直接求不小于10的偶数很困难,可用总体淘汰法。

个偶数5个奇数,所取的三个数含有3个偶数的取法有____,只含有1个偶数的取法有_____,和为偶数的取法共有____+_ 有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷,可以先求出它的反面,再从整体中淘汰.
例6设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2,3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五个盒子内,要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,有多少投法？ 解：从5个球中取出2个与盒子对号有_
____种还剩下3球3盒序号不能对应操作法，
如果剩下3,4,5号球, 3,4,5号盒3号球装4号盒时，则4,5号球有只有1种装法,
例7（徐州二模）从6人中选4人组成4×100m 接力赛，其中甲跑第一棒，乙不跑最后一棒，有多少种选法？
分析：（一）直接法 （二）间接法 =48 （一）排列
解排列问题，必须认真审题，明确问题是否是排列问题，那是否有序，抓住问题本质特征。

1、特殊元素的“优先按排法”。

例1、用0、1、2、3、4这五个数字，组成没有重复的三位数，其中偶数共有多少？
（分析）由于三位数是偶数，故末尾数字必须是偶数，以“0”不能排在首位，所以“0”就是其中特殊元素，优先按排。

按“0”在末尾和不在末尾分为两类。

共
A 24
+A 12
A 13A 1
3=30
2、相邻问题有“捆绑法”。

对于某几个元素要求相邻的排列问题，可将先相邻的元素“捆绑”起来，作为一个“大”的元素，与其他元素排列，然后再对相邻元素的内部进行排列。

例2、7人站成一排照相，要求甲、乙、丙三人相邻有多少种不同的排法？
（分析）先把甲乙丙三人“捆绑“看作一个元素，与其余4个元素进行排列再对甲、乙、丙三人进行排列。

共
A 55A 3
3种。

3、不相邻问题有“插空法”。

对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好，然后再将不相邻的元素在已排好的元素之间及两端的空隙间插入即可。

例3、7人站成一排照相，要求甲、乙、丙三人不相邻有多少种不同的排法？（分析）先让其余4人站好，有
A 4
4
种排法，这时有5个“空隙”可供甲、乙、丙选取，即
A 3
5种。

共A 4
4A 35
4、间接法或淘汰法。

理解题中的要求，把不符合要求的除去，应注意不能多减也不能少减。

例4、5名男生，5名女生排成一行，其中5名男生不排在一起，有几种排法？
（分析）先计算出10人的全排列数，再减去5名男生排在一起的排列数即可。

共A 1010—A 55A 66
5、合理分类与准确分步。

解含有约束条件的排列组合问题，应按元素的性质进行分类，事
情发生的连续性分步，做到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏。

25
C
9
6
993
3
60480A N A A ===432
9521260N C C C ==35C 12
55
C C 35C 12
55
C C 2
4
1234A A A ⋅+2
4
35A A -
例5、五人从左到右站成一排，其中甲不站排头，乙不站第二个位置，共有多少种不同站法
（分析）若甲在第二位置上其余4人可自由按排，有A 4
4种；
若甲在第3、4、5位置上，则乙可站在其他3个位置上，有A 1
3A
1
3A
3
3种；共A
4
4+ A
1
3A
1
3A
3
3
或用间接法：①甲在第一位置，乙在第二位置有A 3
3种；②甲在第一位置，乙不在第二位置
有A 1
3A
3
3种；③甲不在第一位置，乙在第二位置有A
1
3A
3
3种；即共有A
3
3+ A
1
3A
3
3+ A
1
3A
3
3种
不符合要求，则符合要求的有A 5
5—(A
3
3+ A
1
3A
3
3+ A
1
3A
3
3)种。

6“住店法”解决“允许重复排列问题”。

要注意区分两类元素，一类元素是可以重复，另一类元素是不可以重复，把不能重复的元素看作“客”把可以重复的元素看作“店”再利用乘法原理求解的方法称“住店法”
例6、七名学生争夺五项冠军，获得冠军的可能性有多少种？
（分析）因同一学生可同时夺得几项冠军，故学生可重复排列，把七名学生看作七家“店”，五项冠军看作五名“客”。

每个“客”有7种住法，共75种。

7、顺序固定问题有“除法”。

对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先将这几个元素与其他元素一同进行排列，然后用总的排列数除以这几个元素的全排列数。

例7、五人排列，甲在乙前面的排法有多少种？
（分析）先将5人全排列有A 5
5种排法，而甲、乙之间排法有A
2
2种排法，而甲在乙前的排
法只有一种符合，故符合条件的排法有
2
2
5
5
A
A
种。

8、特征分析法。

研究有约束这种的排列问题要紧扣问题所提供的数字特征、结构特征，进行推理分析求解。

例8、由1、2、3、4、5、6六个数字可组成多少个无重复且是6的倍数的五位数？
（分析）6的倍数的数既是2的倍数不是3的倍数，其中3的倍数又满足“各个数位上的数字和是3的倍数”的特征。

把6个数字分成4组：（1，5）（2，4）（3）（6），每组数字之和为3的倍数，因而可分成两类，一类由1、5、2、4、6作为数码，另一类由1、5、2、4、3
作为数码，且末尾数字为偶数即可。

第一类有A 1
3A
4
4种，第二类有共有A
1
2A
4
4种，共有
A 1
3A
4
4+ A
1
2A
4
4种。

1、有3名男生、4名女生、排成一排
（1）选其中5人排成一行（2）甲只能在中间或两头（3）甲、乙二人必须在两头（4）甲不在排头，乙不在排尾（5）男生、女生各站一边（6）男生必须排在一起（7）男生、女生各不相邻（8）男生不能相邻（9）甲、乙、丙三人中甲必须在前，丙必须在后，但三人不一定相邻（10）甲、乙中间必须有3人，各有多少种不同的排法
（答案）（1）A 5
7（2）A
1
3A
6
6（3）A
2
2A
5
5（4）3720（5）A
3
3A
4
4A
2
2（6）A
3
3A
5
5（7）A
3
3A
4
4
（8）A 4
4A
3
5（9）
3
3
7
7
A
A
（10）A
2
2A
3
5A
3
3
1、由数字0、1、
2、2、4、5组成（各位上数字不允许重复）（1）多少六位数？（2）
多少个六位偶数（3）多少个被5整除的五位数？（4）多少个被3整除的五位数（5）比240135大的六位数有多少个？
（答案）(1)A 1
5A
5
5(2)312(3)216(4)216(5)407
（二）组合
组合与排列有许多联系，在解决组合问题中常借用解决排列问题的方法。

以下是解决组合问题的几种方法
1、直接法或间接法
例1、在100件产品中有98件合格品，2件次品。

从这100件产品中任意取出3件（1）一共有多少种不同的取法（2）恰好取出1件次品，有多少种取法（3）至少有1件次品，有多少种取法？
（答案）(1)C 3
9(2)C
1
2C
2
98(3) C
1
2C
2
98+C
2
2C
1
98(或C
3
100–C
3
98)
练习：要从12人中选出5人去参加一项活动，按下列要求有多少种不同选法？（1）A、B、C三人必须入选（2）A、B、C三人不能入选（3）A、B 、C三人只有一人入选（4）A、B、C三人至少一人入选（5）A、B、C三人至多二人入选
（答案）(1)C 2
9(2)C
5
9(3)C
1
3C
4
9(4)C
1
3C
4
9+C
2
3C
3
9+C
3
3C
2
9( 5)C
3C
5
9+
C 1
3C
4
9+ C
2
3C
3
9(或C
5
12–C
2
9)
2、分组分配
例2、六本不同的书按下列条件各有多少种不同的分法？
（1）分给甲、乙、丙三人，每人两本子（2）分成三份，每份两本（3）分成三份，一份一本，一份二本，一份三本（4）分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人二本，一人三本
（分析）（1）先分给甲有C 2
6种,再分给乙有C
2
4种,最后为丙有C
2
2种,共C
2
6C
2
4C
2
2=90
种
（2）问题（1）也可以分成两步完成：第一步先把六本书均分成三份，设有x种分法，第
二步把已分好的书分给甲、乙、丙三人有A 3
3种,即有xA
3
3= C
2
6C
2
4C
2
2 x=
3
3
2
2
2
4
2
6
A
C
C
C
=15
种
说明：（1）（2）两题的区别在于（2）只分组不分配，（1）既分组又分配。

那么为什么在（2）
中也就是只分组的问题中要除去A m
m呢？比如A、B 、C、D四个元素要均分为两组，先取
AB再取CD为一种即｛AB
CD或先取CD再取AB为另一种即｛
CD
AB，AB与
CD间是无序的因而只能算一种分法。

因而“分组分配”有如下一般结论：
a)
将2n 个元素均分为两组方法数：!22n n
n n C C 种。

b)
将3n 个元素均分为三组方法数：!323n
n
n n n n C C C 种。

c) 将kn 个元素均分为k 组方法数：
!
....)1(k C C C n n
n n k n kn -种。

d)
将n 个元素均分为m 组每组r 个（m ∙r=n ）方法数：!...22m C C C C C r
r
r r r r n r r n r n -- e)
若再将m 组分配给m 个对象，则分配方法有
!...22m C C C C C r
r
r r r r n r r n r n --∙m! (3)先分一本，再分二本，最后分三本，即得分三组的方法数 共有
C 16C
2
5C 3
3=60
种
(4)先要把收分成三组有C 16C 25
C 3
3=60
种，再分配给三人有
A 3
3种
共有
A 33C 16C
25C 3
3=360
种。

练习：六本不同的书，分成3组，1组4本，其余各1
本有多少种分法？221
1
1246A C C C
3、隔板法
例3、某中学从高中7个班中选出12名学生组成校代表队，参加市课外知识竞赛，使代表中每个班至少有1人参加的选法有多少种？
（分析）由于12个名额是不可区分的，所以将问题转化为：把排成一行的12个“0”分成7份的不同方法数。

12个“0”形成11个空隙，用6个隔板可将其分成7组，有C 6
11种不同
的插法,即
C 611=462
种。

练习：10个相同的球放入6
个盒中，每个盒中至少一个的放法有多少种。

C 5
9=126
4、插空法
例4、某城市新修建的一条道路上有12盏路灯，为了节约用电又不影响照明，可以熄灭其中的3盏，但两端的灯不能熄，也不能熄灭相邻的两盏灯，则熄灭的方法共有多少种？ （分析）把要熄灭的三盏灯去掉，有九盏灯亮着，则有8个空隙，在这8个空隙中安排3盏灯故有
C 38种。

练习：一排无区别的座位10个，3个人来坐，都不能坐两头，且两人之间至少有一个座位，
问有多少种不同的坐位？C 3
6
巩固练习
1、 从五双不同鞋子中任取4只，4只鞋子中至少有2只配在一双的可能性有多少种？
2、 有20个不加区别的小球放入编号为1、2、3的三个盒子中，要求每个盒子内的球
数不少于盒子的编号数，问有多少种不同的放法？
3、 某校高二年级共有6个班，现从外地转入4名学生要按排到该年级的两个班，每班
二名有多少不同的方案？
4、 四个不同的小球放入编号为1、2、3、4的四个盒子则恰好一个空盒的放法有多种？
（答案）1、130
2、C 2
16
3、C 2
6C 24
4、C 2
4A 34
=144
典型例题一
例1 用0到9这10 个数字．可组成多少个没有重复数字的四位偶数？
分析：这一问题的限制条件是：①没有重复数字；②数字“0”不能排在千位数上；③个位数字只能是0、2、4、6、8、，从限制条件入手，可划分如下：
如果从个位数入手，四位偶数可分为：个位数是“0”的四位偶做，个位数是 2、4、6、8的四位偶数（这是因为零不能放在千位数上）．由此解法一与二．
如果从千位数入手．四位偶数可分为：千位数是1、3、5、7、9和千位数是2、4、6、8两类，由此得解法三．
如果四位数划分为四位奇数和四位偶数两类，先求出四位个数的个数，用排除法，得解法四．
解法1：当个位数上排“0”时，千位，百位，十位上可以从余下的九个数字中任选3
个来排列，故有39A 个；
当个位上在“2、4、6、8”中任选一个来排，则千位上从余下的八个非零数字中任选一
个，百位，十位上再从余下的八个数字中任选两个来排，按乘法原理有2
81814A A A ⋅⋅（个）．
∴ 没有重复数字的四位偶数有
229617925042
8181439=+=⋅⋅+A A A A 个． 解法2：当个位数上排“0”时，同解一有3
9A 个；当个位数上排2、4、6、8中之一时，
千位，百位，十位上可从余下9个数字中任选3个的排列数中减去千位数是“0”排列数得：
)(283
914A A A -⋅个
∴ 没有重复数字的四位偶数有
22961792504)(2
8391439=+=-⋅+A A A A 个． 解法3：千位数上从1、3、5、7、9中任选一个，个位数上从0、2、4、6、8中任选一个，百位，十位上从余下的八个数字中任选两个作排列有
281515A A A ⋅⋅个
干位上从2、4、6、8中任选一个，个位数上从余下的四个偶数中任意选一个（包括0
在内），百位，十位从余下的八个数字中任意选两个作排列，有2
81414A A A ⋅⋅个 ∴ 没有重复数字的四位偶数有
22962
81414281515=⋅⋅+⋅⋅A A A A A A 个．
解法4：将没有重复数字的四位数字划分为两类：四位奇数和四位偶数．
没有重复数字的四位数有39410A A -个．
其中四位奇数有
)(2
83915A A A -个 ∴ 没有重复数字的四位偶数有2
8393939283915394105510)(A A A A A A A A A +--⨯=--- 283
954A A +=2828536A A +=2841A =2296=个
说明：这是典型的简单具有限制条件的排列问题，上述四种解法是基本、常见的解法、要认真体会每种解法的实质，掌握其解答方法，以期灵活运用．
典型例题二
例2 三个女生和五个男生排成一排
（1）如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？ （2）如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？ （3）如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？ （4）如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？
解：（1）（捆绑法）因为三个女生必须排在一起，所以可以先把她们看成一个整体，这
样同五个男生合一起共有六个元素，然成一排有6
6A 种不同排法．对于其中的每一种排法，三个女生之间又都有33A 对种不同的排法，因此共有
43203
366=⋅A A 种不同的排法． （2）（插空法）要保证女生全分开，可先把五个男生排好，每两个相邻的男生之间留
出一个空档．这样共有4个空档，加上两边两个男生外侧的两个位置，共有六个位置，再把三个女生插入这六个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个
女生都不相邻．由于五个男生排成一排有55A 种不同排法，对于其中任意一种排法，从上述六个位置中选出三个来让三个女生插入都有36A 种方法，因此共有
144003
655=⋅A A 种． （3）解法1：（位置分析法）因为两端不能排女生，所以两端只能挑选5个男生中的2个，
有25A 种不同的排法，对于其中的任意一种排法，其余六位都有6
6A 种排法，所以共有144006625=⋅A A 种不同的排法．
解法2：（间接法）3个女生和5个男生排成一排共有8
8A 种不同的排法，从中扣除女生排在首位的7713A A ⋅种排法和女生排在末位的7
713A A ⋅种排法，但这样两端都是女生的排法在
扣除女生排在首位的情况时被扣去一次，在扣除女生排在未位的情况时又被扣去一次，所
以还需加一次回来，由于两端都是女生有6
623A A ⋅种不同的排法，所以共有1440026
623771388=+-A A A A A 种不同的排法．
解法3：（元素分析法）从中间6个位置中挑选出3个来让3个女生排入，有36A 种不同的排法，对于其中的任意一种排活，其余5个位置又都有5
5A 种不同的排法，所以共有144005
536=⋅A A 种不同的排法，
（4）解法1：因为只要求两端不都排女生，所以如果首位排了男生，则未位就不再受
条件限制了，这样可有7715A A ⋅种不同的排法；如果首位排女生，有1
3A 种排法，这时末位就只能排男生，有15A 种排法，首末两端任意排定一种情况后，其余6位都有6
6A 种不同的排法，这样可有661513A A A ⋅⋅种不同排法．因此共有360006615137715=⋅⋅+⋅A A A A A 种
解法2：3个女生和5个男生排成一排有88A 种排法，从中扣去两端都是女生排法
6
623A A ⋅种，就能得到两端不都是女生的排法种数．
因此共有
360006
62388=⋅-A A A 种不同的排法． 说明：解决排列、组合（下面将学到，由于规律相同，顺便提及，以下遇到也同样处
理）应用问题最常用也是最基本的方法是位置分析法和元素分析法．
若以位置为主，需先满足特殊位置的要求，再处理其它位置，有两个以上约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时要兼顾其它条件．
若以元素为主，需先满足特殊元素要求再处理其它的元素．
间接法有的也称做排除法或排异法，有时用这种方法解决问题来得简单、明快． 捆绑法、插入法对于有的问题确是适用的好方法，要认真搞清在什么条件下使用．
典型例题三
例3 排一张有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单。

（1）任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种？
（2）歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种？
解：（1）先排歌唱节目有55A 种，歌唱节目之间以及两端共有6个位子，从中选4个放入舞蹈节目，共有46A 中方法，所以任两个舞蹈节目不相邻排法有：55A 4
6A ＝43200. （2）先排舞蹈节目有4
4A 中方法，在舞蹈节目之间以及两端共有5个空位，恰好供5
个歌唱节目放入。

所以歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的排法有：4
4A 55A ＝2880种方法。

说明：对于“间隔”排列问题，我们往往先排个数较少的元素，再让其余元素插空排
列。

否则，若先排个数较多的元素，再让其余元素插空排时，往往个数较多的元素有相邻
情况。

如本题（2）中，若先排歌唱节目有55A ，再排舞蹈节目有46A ，这样排完之后，其中
含有歌唱节目相邻的情况，不符合间隔排列的要求。

典型例题五
例5 现有3辆公交车、3位司机和3位售票员，每辆车上需配1位司机和1位售票员．问
车辆、司机、售票员搭配方案一共有多少种？
分析：可以把3辆车看成排了顺序的三个空：，然后把3名司机和3名售票员分别填入．因此可认为事件分两步完成，每一步都是一个排列问题．
解：分两步完成．第一步，把3名司机安排到3辆车中，有
6
3
3
=
A
种安排方法；第二
步把3名售票员安排到3辆车中，有
6
3
3
=
A
种安排方法．故搭配方案共有
36
3
3
3
3
=
⋅A
A
说明：许多复杂的排列问题，不可能一步就能完成．而应分解开来考虑：即经适当地分类成分或分步之后，应用分类计数原理、分步计数原理原理去解决．在分类或分步时，要尽量把整个事件的安排过程考虑清楚，防止分类或分步的混乱．
典型例题六
例6下是表是高考第一批录取的一份志愿表．如果有4所重点院校，每所院校有3个专业是你较为满意的选择．若表格填满且规定学校没有重复，同一学校的专业也没有重复的话，你将有多少种不同的填表方法？
分析：填写学校时是有顺序的，因为这涉及到第一志愿、第二志愿、第三志愿的问题；同一学校的两个专业也有顺序，要区分出第一专业和第二专业．因此这是一个排列问题．
解：填表过程可分两步．第一步，确定填报学校及其顺序，则在4所学校中选出3所并
加排列，共有
3
4
A种不同的排法；第二步，从每所院校的3个专业中选出2个专业并确定其
顺序，其中又包含三小步，因此总的排列数有
2
3
2
3
2
3
A
A
A⋅
⋅
种．综合以上两步，由分步计数
原理得不同的填表方法有：
5184
2
3
2
3
2
3
3
4
=
⋅
⋅
⋅A
A
A
A
种．
说明：要完成的事件与元素的排列顺序是否有关，有时题中并未直接点明，需要根据实际情景自己判断，特别是学习了后面的“组合”之后这一点尤其重要．“选而且排”（元素之间有顺序要求）的是排列，“选而不排”（元素之间无顺序要求）的是组合．另外，较复杂的事件应分解开考虑．
典型例题七
例57名同学排队照相．(1)若分成两排照，前排3人，后排4人，有多少种不同的排法(2)若排成两排照，前排3人，后排4人，但其中甲必须在前排，乙必须在后排，有多少种不同的排法？(3)若排成一排照，甲、乙、丙三人必须相邻，有多少种不同的排法？(4)若排成一排照，7人中有4名男生，3名女生，女生不能相邻，有多少种不面的排法？
分析：(1)可分两步完成：第一步，从7人中选出3人排在前排，有3
7A 种排法；第二步，
剩下的4人排在后排，有4
4A 种排法，故一共有774437A A A =⋅种排法．事实上排两排与排成
一排一样，只不过把第7~4个位子看成第二排而已，排法总数都是7
7A ，相当于7个人的
全排列．(2)优先安排甲、乙．(3)用“捆绑法”．(4)用“插空法”．
解：(1)
50407
74437==⋅A A A 种． (2)第一步安排甲，有13A 种排法；第二步安排乙，有1
4A 种排法；第三步余下的5人排在剩下的5个位置上，有55A 种排法，由分步计数原理得，符合要求的排法共有14405
51413=⋅⋅A A A 种．
(3)第一步，将甲、乙、丙视为一个元素，有其余4个元素排成一排，即看成5个元素
的全排列问题，有55A 种排法；第二步，甲、乙、丙三人内部全排列，有3
3A 种排法．由分步计数原理得，共有
7203355=⋅A A 种排法． (4)第一步，4名男生全排列，有4
4A 种排法；第二步，女生插空，即将3名女生插入4
名男生之间的5个空位，这样可保证女生不相邻，易知有3
5A 种插入方法．由分步计数原理
得，符合条件的排法共有：14403
5
44=⋅A A 种．
说明：(1)相邻问题用“捆绑法”，即把若干个相邻的特殊元素“捆绑”为一个“大元素”，与其他普通元素全排列；最后再“松绑”，将这些特殊元素进行全排列．(2)不相邻问题用“插空法”，即先安排好没有限制条件的元素，然后再将有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间．
典型例题八
例8 从65432、、、、
五个数字中每次取出三个不同的数字组成三位数，求所有三位数的和．
分析：可以从每个数字出现的次数来分析，例如“2”，当它位于个位时，即形如
的数共有2
4A 个（从6543、、、四个数中选两个填入前面的两个空），当这些数相加时，由“2”
所产生的和是
224⋅A ．当2位于十位时，即形如的数也有2
4A ，那么当这些数相加时，
由“2”产生的和应是
1022
4⋅⋅A ．当2位于面位时，可同理分析．然后再依次分析6543、、、
的情况．
解：形如
的数共有24A 个，当这些数相加时，由“2”产生的和是22
4⋅A ；形如
的数也有24A 个，当这些数相加时，由“2”产生的和是
1022
4⋅⋅A ；形如的数也有
2
4A 个，当这些数相加时，由“2”产生的和应是10022
4⋅⋅A ．这样在所有三位数的和中，由“2”
产生的和是111224⋅⋅A ．同理由6543、、、产生的和分别是111324⋅⋅A ，11142
4⋅⋅A ，111524⋅⋅A ，111624⋅⋅A ，因此所有三位数的和是26640)65432(1112
4
=++++⋅⋅A ． 说明：类似于这种求“数字之和”的问题都可以用分析数字出现次数的办法来解决．如“由x ,5,4,1四个数字组成没有重复数字的四位数，若所有这些四位数的各数位上的数字之和为288，求数x ”．本题的特殊性在于，由于是全排列，每个数字都要选用，故每个数字
均出现了
244
4=A 次，故有288)541(24=+++⨯x ，得2=x ． 典型例题十一
例11 八个人分两排坐，每排四人，限定甲必须坐在前排，乙、丙必须坐在同一排，共有多少种安排办法？
解法1：可分为“乙、丙坐在前排，甲坐在前排的八人坐法”和“乙、丙在后排，甲坐在前排的八人坐法”两类情况．应当使用加法原理，在每类情况下，划分“乙丙坐下”、“甲坐下”；“其他五人坐下”三个步骤，又要用到分步计数原理，这样可有如下算法：
6408551424551224=⋅⋅+⋅⋅A A A A A A (种)．
解法2：采取“总方法数减去不命题意的所有方法数”的算法．把“甲坐在第一排的八
人坐法数”看成“总方法数”，这个数目是7
714A A ⋅．在这种前提下，不合题意的方法是“甲坐第一排，且乙、丙坐两排的八人坐法．”这个数目是5
514131214A A A C A ⋅⋅⋅⋅．其中第一个因数14A 表示甲坐在第一排的方法数，1
2C 表示从乙、丙中任选出一人的办法数，1
3A 表示把选出的这个人安排在第一排的方法数，下一个1
4A 则表示乙、丙中沿未安排的那个人坐在第二排
的方法数，5
5A 就是其他五人的坐法数，于是总的方法数为
64085
5141312147714=⋅⋅⋅⋅-⋅A A A C A A A (种)．
说明：解法2可在学完组合后回过头来学习．
典型例题十二
例12 计划在某画廊展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且不彩画不放在两端，那么不同陈列方式。